Układy równań liniowych i metody ich

rozwiązywania

Angelika ChojnickaPolitechnika Gdańska

WFTiMS

Angelika Chojnicka 2

Układem m równań liniowych z n niewiadomymi

nazywamy układ równań postaci:

Nnxxx n ,,,, 21

,

,

,

,

2211

21222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

gdzie .1, njdlaRbRa iij

Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy ciąg

liczb rzeczywistych spełniających ten układ.

Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem

sprzecznym.

),,,( 21 nxxx

(1)

Postać macierzowa powyższego układu równań:

,bAX gdzie

,,

,,

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

21

22221

11211

m

def

mmnmm

n

n

def

n

def

mnmm

n

n

def

b

b

b

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

B

x

x

x

X

aaa

aaa

aaa

A

A – macierz główna układu;

X – macierz niewiadomych;

b – macierz wyrazów wolnych;

B – macierz rozszerzona układu; Angelika Chojnicka 3

Minorem stopnia macierzy nazywamy wyznacznik utworzony z

elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych k

kolumn i k wierzy.

Nk

Rządem macierzy A nazywamy:

• największy stopień jej niezerowego minora;

• maksymalną liczbę kolumn liniowo niezależnych .

•Oznaczenie rz(A).

Elementarne operacje na macierzach nie zmieniające rzędu

macierzy:

o przestawienie dwóch wierszy (kolumn)

o pomnożenie przez liczby różne od 0 wierszy (kolumn)

o dodanie do wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny)

pomnożonego przez dowolne liczby.

Macierz nazywamy schodkową, gdy pierwsze niezerowe elementy w

kolejnych niezerowych wierszach tej macierzy znajdują się w coraz

dalszych kolumnach.

Angelika Chojnicka 4

Twierdzenie ( Kroneckera – Capellego)Układ równań liniowych AX=b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rz(A) = rz(B).

Fakt:Niech AX=b będzie układem równań liniowych z n niewiadomymi. Wówczas:1. Jeżeli ,to układ nie ma rozwiązania (jest

sprzeczny).2. Jeżeli , to układ ma dokładnie jedno

rozwiązanie (jest oznaczony).3. Jeżeli , to układ ma nieskończenie wiele

rozwiązań zależnych od parametrów (jest nieoznaczony).

Układ równań (1) nazywamy jednorodnym, jeżeli .

Ma on rozwiązanie zerowe: .

)()( BrzArz

nBrzArz )()(

nrBrzArz )()(rn

021 mbbb

021 nxxx Angelika Chojnicka 5

Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych

AX=b,

w których A jest macierzą kwadratową nieosobliwą ( ).

TwierdzenieUkład Cramera AX=b ma dokładnie jedno rozwiązanie, dane wzorem

, k = 1,2,…,n

Ak – macierz powstała z macierzy A w wyniku zastąpienia w niej k-tej

kolumny kolumną wyrazów wolnych b.

0det A

A

Ax k

kdet

det

Angelika Chojnicka 6

Przykład

28

501

113

121

det,

501

113

121

05

23

12

AA

zx

zyx

zyx

Jest to układ Cramera, bo 0det A

3

001

213

121

det

,8

501

123

111

det,15

500

112

121

det

3

21

A

AA

Korzystając ze wzorów Cramera obliczamy rozwiązanie

28

3,

7

2,

28

15 zyx

Angelika Chojnicka 7

Rozwiązanie układu Cramera AX=b możemy obliczyć przez

zastosowanie wzoru:

bAX 1

Przykład

1

3

2

18

5

7

7,09,03,1

55,05,0

1,17,19,1

7,09,03,1

55,05,0

1,17,19,1

,

18

5

7

,10det,

152

413

321

1852

543

732

3

2

1

1

1

321

321

321

x

x

x

A

bAX

bAA

xxx

xxx

xxx

Angelika Chojnicka 8

Metoda eliminacji Gaussa

Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą

operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz

rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie

należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia

Kroneckera – Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań

układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu

reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

Angelika Chojnicka 9

Przykład

13

12

14

1 23

49

41

21

43

4/

420111

51122

41203

1

420111

51122

41203

91234

420111

51122

41203

91234

,

20111

1122

1203

1234

420

522

423

9234

wwww

ww

w

BA

zyx

tzyx

tzx

tzyx

Angelika Chojnicka 10

01000

113100

10

1

00

113100

10

1

00

00

10

1

0

00

10

1

0

00

0

1

911

91

92

49

41

21

43

913

9178

913

911

91

92

49

41

21

43

/

913

9178

913

91

913

91

911

91

92

49

41

21

43

47

479

23

41

21

23

21

911

91

92

49

41

21

43

/

47

479

23

41

21

23

21

411

41

21

49

49

41

21

43

3913

491

3

221

3

241

4

49

2

www

ww

ww

w

Angelika Chojnicka 11

Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma dokładnie jedno

rozwiązanie.

Otrzymujemy:

0

1

1

2

2

1

1113

0

21

43

49

49

41

21

43

92

911

911

91

92

t

z

y

x

xtzyx

ytzy

ztz

t

Angelika Chojnicka 12

Metoda Gaussa – Jordana

Niech AX=b,

gdzie A jest macierzą stopnia n.

Żeby znaleźć rozwiązanie układu budujemy macierz rozszerzoną B, a

następnie przekształcamy ją, wykonując operacje elementarne na jej

wierszach, do postaci:

gdzie ostatnia kolumna jest rozwiązaniem układu równań.

nx

x

x

1000

0010

0001

2

1

Angelika Chojnicka 13

Przykład

3:2

3

4

34

3

2

141

43

52

51

54

53

21

24

23

302210

9191000

160161700

404501

505300

302210

9191000

113111300

404501

132131700

302210

013430

133540

102311

125940

302210

111121

332122

102311

221013

322

12

3322

123

223

www

ww

wwww

wwww

ww

wwww

B

szy

tszyx

tszyx

szyx

tsyx

Angelika Chojnicka 14

100010

010000

101000

000001

000100

0010

1000

101000

0001

0100

0010

1000

0000

0001

0100

302210

9191000

160161700

404501

0100

3313

2

335

1

334

5

3323

4

337

313

12

15

14

31

34

323

323

313

313

35

35

:

31

34

323

323

337

337

313

313

35

35

175

210

35

35

ww

ww

ww

ww

wwwww

wwww

Rozwiązanie układu:

0

1

0

1

0

t

s

z

y

x

Angelika Chojnicka 15

Przykład

133

022

13310

02201

13310

11111

13310

13310

11111

11112

13310

11111

11111

13310

11112

1

133

12

21

1331 2

tzy

tzx

tzyx

tzy

tzyx

ww

wwww

Angelika Chojnicka 16

Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego wiemy, że układ posiada

nieskończenie wiele rozwiązań.

Przyjmując niewiadome z i t za parametry otrzymujemy:

tzy

tzx

331

22

Angelika Chojnicka 17