UKOCHANEJ MONICE - repo.pw.edu.pl

UKOCHANEJ MONICE

Pobrano z http://repo.pw.edu.pl / Downloaded from Repository of Warsaw University of Technology 2021-11-03

PODZIĘKOWANIA

Serdecznie dziękuję prof. dr. hab. inż. Janowi Zabrodzkiemu za nieustanne wspieranie mojej działalności naukowej od samego początku jej prowadzenia na Politechnice Warszawskiej. Równie serdecznie dziękuję recenzentom: prof. dr. hab. inż. Krzysztofowi Marciniakowi i prof. dr. hab. inż. Władysławowi Skarbkowi za wnikliwe uwagi, które znacznie wpłynęły na ulepszenie rozprawy. Specjalne podziękowania kieruję do prof. dr. hab. inż. Jacka Kudrewicza za zainteresowanie, cenne rady oraz wskazanie kilku istotnych błędów, którymi obarczona była pierwotna wersja rozprawy.


P R A C E N A U K O W E P O L I T E C H N I K I WA R S Z A W S K I E Jz. 178 Elektronika 2011

Tomasz MartynInstytut Informatyki Politechniki Warszawskiej

ALGORYTMY GEOMETRYCZNE W WIZUALIZACJI FRAKTALI

UKŁADÓW ODWZOROWAŃ ITEROWANYCH

Rękopis dostarczono 16.03.2011 r.

W pracy przedstawiono i przeanalizowano algorytmy rozwiązywania podstawowych pro-blemów geometrycznych pojawiających się w wizualizacji komputerowej obiektów fraktalnych opisywanych przy użyciu układów odwzorowań iterowanych (IFS) – atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP. Przedstawiono również – wykorzystujące te algorytmy – metody ob-razowania wymienionych obiektów. Zagadnienia omawiane w pracy obejmują: aproksymację tych obiektów, w tym ich aproksymowanie na równomiernych siatkach dyskretnych; wyzna-czanie wypukłych zbiorów o zadanej geometrii zawierających atraktory IFS, w tym kół i kul oraz wielokątów i wielościanów wypukłych; wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem oraz obliczanie odległości punktu przestrzeni od atraktora; szacowanie wektorów normalnych w punktach atraktora; metody obrazowania rozważanych obiektów zlokalizowanych przestrzeni dwu- i trójwymiarowej. Większość z omawianych algorytmów zaprezentowano w formie pseu-dokodu, który powinien być zrozumiały dla każdego czytelnika znającego dowolny język pro-gramowania proceduralnego. Efektywne algorytmy rozwiązywania wymienionych problemów umożliwiają m.in. dokony-wanie realistycznej wizualizacji atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP w czasie rzeczy-wistym przy wykorzystaniu współczesnego sprzętu grafi cznego. Nadto, po dokonaniu implemen-tacji odpowiednich algorytmów rozwiązujących te problemy, obrazowanie może być dokonywane za pomocą istniejących aplikacji grafi cznych. Implementacje te mogą również posłużyć jako nie-zbędny element do wizualizowania omawianych obiektów przy użyciu powszechnie stosowanych API grafi cznych, takich jak OpenGL lub Direct3D. W szczególności implementacje te mogą zostać zastosowane jako moduły rozszerzające funkcjonalność istniejących silników grafi cznych i fi zycz-nych o możliwość przetwarzania modeli opartych na specyfi kacjach IFS. Potencjalny zakres zasto-sowań problematyki podjętej w pracy jest bardzo szeroki i rozciąga się od wizualizacji naukowej, poprzez rozrywkę (gry komputerowe i wideo), do sztuki nowoczesnej. Celem pracy jest zebranie i usystematyzowanie rozwiązań do tej pory rozproszonych w litera-turze dotyczącej zarówno grafi ki komputerowej, jak i stricte fraktali oraz matematycznej, w tym re-zultatów wieloletnich badań przedstawianych przez autora w jego indywidualnych publikacjach. Niektóre z rezultatów, zarówno tych uzyskanych poprzednio przez autora, jak i przez innych ba-


6 Stosowane oznaczenia

daczy, zostały w niniejszej pracy rozszerzone i zaktualizowane, pewne zaś zostały przedstawione w formie zawężonej do kontekstu tematu pracy. Słowa kluczowe: fraktal, atraktor IFS, układ odwzorowań iterowanych, algorytmy geometrycz-ne, grafi ka komputerowa, wizualizacja

STOSOWANE OZNACZENIA

– zbiór pustyN – zbiór liczb naturalnychN0 – zbiór liczb naturalnych z zeremZ – zbiór liczb całkowitychR – zbiór liczb rzeczywistychR+ – zbiór liczb rzeczywistych dodatnichRn – przestrzeń n-elementowych wektorów liczb rzeczywistychRm×n – przestrzeń macierzy m×n nad ciałem liczb rzeczywistych2X – zbiór wszystkich podzbiorów zbioru Xmin – minimum zbiorumax – maksimum zbioruinf – kres dolny zbiorusup – kres górny zbioru

. , . – zaokrąglenie liczby w dół, zaokrąglenie liczby w górę|| ||x – norma wektora|| ||Ex , || ||x , || ||px – norma euklidesowa, norma maksimum, norma p wektora|| ||EM , || ||M , || ||FM – norma spektralna, norma maksimum, norma Frobeniusa macierzy| |A – moc (liczność) zbioru

A – brzeg zbioruA – domknięcie zbioru( , )X d – przestrzeń metryczna z metryką ddiam( )A – średnica zbioru

( , )B x r – kula otwarta o środku w punkcie x i promieniu r( , )B x r – kula domknięta o środku w punkcie x i promieniu r( , )N A – otoczenie epsilonowe (otwarte) zbioru

conv( )A – otoczka wypukła zbioru A( )f A – obraz zbioru przy odwzorowaniu f

1( )f A – przeciwobraz zbioru przy odwzorowaniu f, Xid id – odwzorowanie identycznościowe, odwzorowanie identycznościowe na

przestrzeni Xf g – złożenie odwzorowań

kf – k-krotne złożenie odwzorowania |Af – restrykcja odwzorowania do zbioru A

Lip( ), Lip ( )df f – stała Lipschitza odwzorowania, stała Lipschitza odwzorowania wzglę-dem metryki d

d e – równoważność metryk,Ed d – metryka euklidesowa, metryka maksimum

( , )d x A – kres dolny odległości punktu od punktów zbioru( , )h A B – odległość Hausdorffa zbiorów

spt – nośnik miary #f – obraz miary przy odwzorowaniu f


7 Wstęp

( )P A – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A ( | )P A B – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B( )E X – wartość oczekiwana zmiennej losowej

1. WSTĘP

1.1. GEOMETRIA FRAKTALNA A WIZULIZACJA

Termin fraktal1 został stworzony i użyty przez B.B. Mandelbrota w jego książce Les objects fractals: forme, hasard et dimension z 1975 roku, jako nazwa obiektów geometrycznych o złożonej, wielopoziomowej, samopodobnej strukturze2, które odegrały ważną rolę w powstaniu nowoczesnej matematyki teoretycznej XX wie-ku. Jak zauważa F.J. Dyson [27], na przełomie XIX i XX wieku miał miejsce wy-syp rewolucyjnych idei matematycznych, który spowodował zmianę w sposobie postrzegania matematyki przez matematyków, wytyczając wyraźną granicę mię-dzy matematyką klasyczną XIX wieku a nowoczesną matematyką wieku XX. Ma-tematyka klasyczna, mając swoje korzenie w regularnych strukturach geometrii euklidesowej i rachunku różniczkowym Newtona i Leibniza, postrzegana była bo-wiem głównie jako aparat opisu zjawisk świata fi zycznego, w myśl siedemnasto-wiecznego poglądu wyrażonego przez Galileusza, iż „językiem natury jest mate-matyka, zaś jej alfabetem – trójkąty, koła i inne fi gury geometryczne”. Matematykanowoczesna rozpoczyna się wraz z teorią mnogości Cantora i krzywymi wypeł-niającymi przestrzeń, skonstruowanymi m.in. przez Peano, Hilberta i Kocha. Dziś często uważa się, iż to właśnie odkrycie tych dziwnych – nieprzystających do in-tuicji rozwijającej się na gruncie geometrii euklidesowej i ciągłej dynamiki New-tona – struktur geometrycznych było jedną z sił napędowych rewolucji w mate-matyce. Opierając się na obowiązującym paradygmacie klasycznej matematyki, ówcześni ortodoksyjni matematycy uznali te krzywe za konstrukcje wydumane i nieistotne, bowiem niemające żadnego odzwierciedlenia w świecie rzeczywi-stym. Pogląd ten znalazł wówczas wyraz w pejoratywnym określeniu tych krzy-wych jako krzywych patologicznych – „monstrów”, które być może budzą zain-

1 Jak wskazuje Mandelbrot [76], nazwa „fraktal” pochodzi od łacińskiego przymiotnika fractus, a odpowiadający mu czasownik frangere oznacza „łamać”, „tworzyć nieregularne fragmenty”.2 Jak dotychczas, nie ma powszechnie akceptowanej, ścisłej matematycznej defi nicji fraktala. Jed-na z najczęściej spotykanych w literaturze pochodzi od Mandelbrota, defi niującego go jako zbiór, którego wymiar Hausdorffa-Besicovitcha jest większy od wymiaru topologicznego tego zbioru [76, s. 15]. Niestety, defi nicja ta nie obejmuje wielu obiektów powszechnie uznawanych za fraktale, w tym słynnego zbioru Mandelbrota, którego oba wspomniane wymiary wynoszą 2 (por. np. (Ku-drewicz [70])).


8 Wstęp

teresowanie, ale jedynie jako swego rodzaju panoptikum dziwolągów. Z drugiej strony, twórcy tych geometrycznych osobliwości uznawali je za ważne, bowiem stanowiące dowód, iż platoński świat matematyki teoretycznej zawiera bogactwo możliwości wykraczających daleko poza proste struktury konstytuujące świat fi -zyczny. Opierając się na takim przeświadczeniu, dwudziestowieczni matematycy uznali, iż matematyka dokonała tym samym transcendencji, uwalniając się z oko-wów nałożonych na nią przez jej naturalistyczne korzenie. Jednakże wbrew ówcześnie panującym poglądom, język tej „czystej”, wyzwo-lonej matematyki – podobnie jak już to wielokrotnie miało miejsce w historii na-uki – po upływie przeszło pół wieku objawił swą zadziwiającą, tak często wpra-wiającą w zdumienie fi lozofów nauki, relację ze światem rzeczywistym. Okazało się bowiem, iż – paradoksalnie – konstrukcje, które przedstawiciele obydwu prze-ciwstawnych sobie obozów matematyków zgodnie uznali za nienaturalne z punk-tu widzenia otaczającego świata, są w tym świecie wszechobecne i jako takie na-dają się znacznie lepiej do jego opisu, aniżeli „język trójkątów, kół i innych fi gur euklidesowych”. Transformacja sposobu postrzegania kontrowersyjnych obiek-tów „patologicznych” dokonała się za sprawą powstania tak zwanej fraktalnej geometrii, której rozkwit nastąpił po roku 1982 wraz z wydaniem słynnej książki B.B. Mandelbrota o trafnie oddającym jej treść tytule: Fraktalna geometria natu-ry (The fractal geometry of nature) [76]. „Chmury nie są sferami, góry nie są stoż-kami, linia brzegowa nie jest kołem, kora nie jest gładka, ani też błyskawica nie mknie po linii prostej” – powiada we wstępie Mandelbrot. Zdanie to, będąc anty-tezą przytoczonego wyżej poglądu Galileusza, uznawane jest dziś za motto geo-metrii fraktalnej i dobrze oddaje jej cel i istotę. Od samego zarania, geometria fraktalna była nierozerwalnie związana z gra-fi ką komputerową, będącą najpierw jej entelechią, by następnie stać się jej głów-nym narzędziem badawczym. U podłoża powstania tej nowej geometrii leżało bowiem zerwanie z antywizualnym podejściem obowiązującym w nowoczesnej matematyce XX wieku, na rzecz wizualizacji. Jak wspomina Mandelbrot [77]: „Wykonane przeze mnie we wczesnej fazie prac wizualizacje takich klasycznych obiektów, jak krzywe Kocha i Peana, czy zbiór Cantora, były bardzo inspirujące. Obrazy te wystarczyły do całkowitego obalenia poprzednio dominującego poglą-du, że zbiory te są «monstrami». Całkiem przeciwnie, okazało się, że są one swe-go rodzaju «karykaturami» rzeczywistości. Na przykład, w ten sposób udało mi się «zdegradować» krzywe Peana ze statusu niezgodnych z intuicją potworów do bycia niczym innym, jak ruchami układu sieci rzek wypełniających płaszczyznę” [77, s. 6]. W innym miejscu cytowanej pracy czytamy: „Moja praktyka była za-wsze zdominowana, zarówno jeśli chodzi o matematykę, jak i nauki przyrodnicze, przez w pełni rozwinięte obrazy komputerowe, które były tak dokładne, jak to tyl-ko możliwe, i które wykraczały daleko poza proste szkice i diagramy. [...] Książka Fraktalna geometria natury z 1982 roku była pomyślana przede wszystkim jako


9 Wstęp

swego rodzaju manifest sławiący «wyszkolone oko». Uważam, że grafi ka kom-puterowa pozwoliła obalić ikonoklastyczny dogmat, który pokutował w matema-tyce i fi zyce, otwierając drzwi do uniwersum nowych możliwości odkrywczych. W nieustannym poszukiwaniu zawsze świeżych dowodów umacniających mnie w tym poglądzie wypatrywałem w wizualizacjach nowych faktów, które pozosta-wały do tej pory skryte. Na początku cel obrazów był skromny: uzyskać akcepta-cję dla idei i teorii, które udało mi się rozwinąć bez pomocy wizualizacji, a których przyjęcie było powolne i utrudnione z powodu czynników kulturowych. W rezul-tacie, obrazy nie tylko doprowadziły do akceptacji, ale również zaczęły pomagać mnie i innym w tworzeniu nowych idei i teorii. Pojawił się strumień nowych, co-raz bardziej zaawansowanych pytań i zagadnień, wykraczających znacznie dalej, aniżeli moje początkowe zamiary i przewidywania” [77, s. 5]. Z drugiej strony, geometria fraktalna odegrała i wciąż odgrywa ważną rolę w grafi ce komputerowej. Ponieważ umożliwia ona opis złożonych form przypo-minających pod wieloma względami kształty występujące w naturze, niemalże od początku jej istnienia techniki fraktalne wykorzystywane są do modelowania obiektów naturalnych na potrzeby realistycznej syntezy obrazów. Potrzeby te za-owocowały różnymi sposobami reprezentacji obiektów fraktalnych, stymulując tym samym rozwój grafi ki komputerowej w zakresie nowych podejść do modelo-wania i wizualizacji, aplikacji grafi cznych oraz sprzętu grafi cznego. Fraktalne te-reny i góry, fraktalna roślinność czy fraktalne tekstury są dziś wszechobecne jako modele obiektów naturalnych w grach komputerowych i wideo oraz innych pro-gramach grafi cznych ukierunkowanych na realistyczną wizualizację zjawisk na-turalnych. Nie bez znaczenia dla grafi ki komputerowej, rozważanej jako nowoczesne medium wyrazu artystycznego, pozostaje również estetyczny aspekt fraktali. Fraktale bowiem są bardzo często atrakcyjne wizualnie i od wielu lat przyciągają uwagę zawodowych artystów i amatorów, którzy za pomocą dedykowanych pro-gramów tworzą budzące zachwyt obrazy „mieszkańców” świata fraktalnej geo-metrii.

1.2. UKŁADY ODWZOROWAŃ ITEROWANYCH

Układy odwzorowań iterowanych (IFS), zaproponowane przez Hutchinsona [59] i spopularyzowane przez Barnsleya za sprawą jego znanej książki Fractals everywhere [7], są jedną z istniejących metod defi niowania fraktali. Metoda ta umożliwia przede wszystkim modelowanie i opis geometrii obiektów pod wie-loma względami przypominających twory występujące w naturze. Ponadto, przy użyciu IFS można również opisywać wiele innych złożonych obiektów „abstrak-cyjnych”, które mają cechę samopodobieństwa. W odróżnieniu od niektórych in-


10 Wstęp

nych sposobów reprezentowania fraktali (np. opartych na ułamkowych ruchach Browna (Mandelbrot [76], Peitgen i Saupe [114]) czy różnego rodzaju innych szumach fraktalnych (Ebert i inni [29])), przedmiotem zainteresowania teorii IFS jest geometria, która wykazuje cechę samopodobieństwa w rozumieniu determi-nistycznym. Ponieważ cecha ta jest również zauważalna w wielu obiektach opisy-wanych przez geometrię klasyczną, teoria IFS może być rozważana jako sui gene-ris rozszerzenie geometrii euklidesowej. Struktury geometryczne opisywane przy wykorzystaniu specyfi kacji IFS, zarówno fraktale sensu stricte, jak i obiekty nie-mające cech fraktalnych, określane są w teorii IFS jako atraktory IFS. Sposób opisu geometrii stosowany w teorii IFS opiera się na – znanych z kla-sycznej geometrii – różnego rodzaju transformacjach przestrzeni (takich jak na przykład odwzorowania afi niczne), przy użyciu których wyrażane są relacje mię-dzy częściami defi niowanego obiektu geometrycznego. Dzięki takiemu podej-ściu, teoria IFS dostarcza jednolitego sposobu opisu continuum geometrycznego, od klasycznych obiektów znanych z geometrii euklidesowej, takich jak trójkąty i kwadraty, do niezwykle skomplikowanych struktur fraktalnych o nieskończonym poziomie szczegółowości w każdej skali. Co więcej, „fraktalne formuły” IFS sta-nowią bardzo zwartą reprezentację opisywanych przez nie obiektów w rozumie-niu kosztów pamięciowych wynikających z przechowywania tych reprezentacji. Cecha ta jest przede wszystkim eksploatowana w tak zwanej fraktalnej kompresji obrazów (np. (Fisher [36])). Niemniej, jest ona również bardzo istotna ze wzglę-du na inne potencjalne zastosowania IFS w grafi ce komputerowej, takie jak choć-by reprezentowanie obiektów naturalnych na potrzeby realistycznej syntezy obra-zów (Hart i inni [53], Traxler i Gervautz [149], Martyn [82, 85, 95], Maciejewski [75], Stępień [142, 143]). Poza zastosowaniami do opisu samej geometrii, teoria IFS ma głębokie związ-ki z teorią miary. Umożliwia ona bowiem również defi niowanie szerokiej kla-sy samopodobnych miar borelowskich, określanych w literaturze jako miary nie-zmiennicze IFSP (np. Barnsley [7], Falconer [34], Harte [54], Martyn [88, 90]). Jako taka, teoria IFS znajduje zastosowanie w nowoczesnej geometrycznej teorii miary (Mattila [97]) i teorii układów dynamicznych (Elton [32], Gutiérrez i inni [49], Alligood i inni [3]), a także w grafi ce komputerowej, jako sposób reprezen-towania i generowania fraktalnych tekstur oraz cieniowanych obrazów (Barnsley i inni [11]), Barnsley [7, 9], van Wijk i Saupe [151], Van Loocke [150]).

1.3. CEL, ZAKRES I TEZA PRACY

Jak wskazano w punkcie 1.1, istnieje silna potrzeba wizualizowania obiek-tów fraktalnych. Geometria fraktalna i grafi ka komputerowa przenikają się bo-wiem od samego początku istnienia tej pierwszej, wzajemnie stymulując swój


11 Wstęp

rozwój. O ile metody wizualizacji obiektów fraktalnych opartych na ułamkowych ruchach Browna oraz będących produktami zespolonych układów dynamicznych są stosunkowo dobrze poznane (Fournier i inni [39], Kajiya [62], Peitgen i Sau-pe [114], Musgrave i inni [102], Szeliski i Terzopoulos [146], Ebert i inni [29]), o tyle metody obrazowania atraktorów IFS są w grafi ce komputerowej rozwinięte raczej połowicznie. Dotyczy to przede wszystkim metod wizualizacji atraktorów IFS w przestrzeni trójwymiarowej, w szczególności w czasie rzeczywistym, któ-re to zagadnienia są w literaturze niemalże nietknięte. Może się to wydawać nieco zaskakujące, szczególnie wziąwszy pod uwagę fakt, że teoria IFS rozwijana była przede wszystkim pod kątem zastosowań grafi cznych. Głównej przyczyny takiego stanu rzeczy należy upatrywać przede wszystkim w tym, że w swej oryginalnej postaci specyfi kacje IFS generują obiekty fraktalne w postaci niezorganizowanych, nieskończonych zbiorów punktów. Sprzęt gra-fi czny rozwijany był jednakże przede wszystkim pod kątem przetwarzania geo-metrii w postaci siatek wielokątów, których podstawowymi elementami skła-dowymi (tzw. prymitywami grafi cznymi) są trójkąty. Choć z punktu widzeniaklasycznej geometrii opartej na teorii mnogości może wydawać się to nieco dziw-ne, zaawansowane idee reprezentowania i wizualizacji modeli zbudowanych z prymitywów punktowych w grafi ce komputerowej pojawiły się stosunkowo niedawno. Mowa tutaj o nurcie grafi ki komputerowej określanym mianem grafi -ki punktowej (ang. point-based graphics). Chociaż w literaturze grafi ki kompute-rowej od przeszło dwudziestu lat pojawiały się mniej lub bardziej trafne idee za-stosowania prymitywów punktowych w miejsce powszechnie wykorzystywanych trójkątów, to jednak podstawowe założenia i metodyka grafi ki punktowej zosta-ły sformułowane dopiero na początku XXI wieku (Gross i Pfi ster [46]). Jednak-że rozwój sprzętu grafi cznego i wykorzystujących ten sprzęt powszechnie uży-wanych w profesjonalnych zastosowaniach API grafi cznych, takich jak OpenGL i DirectX, pozostaje pod silną dominacją reprezentacji wielokątowych. W rezul-tacie implementacja potoku przetwarzania geometrii opartej na punktach, nawet przy użyciu współczesnego sprzętu grafi cznego, stanowi problem. Wizualizacja modeli punktowych zwykle polega na przekształceniu takiego modelu w odpo-wiednią reprezentację wielokątową, bądź to w fazie obliczeń poprzedzających proces wizualizacji, bądź też na odpowiednim etapie standardowego, programo-walnego potoku nowoczesnej karty grafi cznej. Wykorzystanie znanych technik grafi ki punktowej w odniesieniu do atrakto-rów IFS nie jest jednak sprawą prostą. Głównym powodem jest to, że obiekty te są zwykle bardzo skomplikowane pod względem geometrycznym i topologicz-nym, w szczególności na ogół nie reprezentują one powierzchni ciągłych. Aby więc otrzymać pożądaną dokładność wizualizacji, atraktory IFS muszą być zwy-kle reprezentowane (a dokładniej – aproksymowane, biorąc pod uwagę, iż są one zbiorami nieskończonymi) za pomocą ogromnej liczby punktów, co czyni ich ob-


12 Wstęp

razowanie zadaniem trudnym zarówno pod względem czasu obliczeń, jak i kosz-tów pamięciowych. Ogromna liczba punktów niezbędna do aproksymowania atraktorów IFS z po-żądaną dokładnością stanowi również poważną przeszkodę w wyznaczaniu dla tych obiektów tzw. fi gur ograniczających, czyli możliwie najmniejszych zbiorów o zadanej (zwykle prostej i wypukłej) geometrii, które zawierają dane obiekty geometryczne. Figury ograniczające są jednym z podstawowych i często niezbęd-nych elementów ogólnie rozumianej wizualizacji trójwymiarowej, w tym tzw. sil-ników grafi cznych i silników fi zycznych (Eberly [28], Lengyel [72]). Zakres za-stosowań fi gur ograniczających obejmuje m.in. szereg zaawansowanych metod przyspieszania obliczeń związanych z samym procesem wizualizacji (wstępne te-sty widzialności), metody wykrywania kolizji między obiektami w aplikacjach grafi cznych czasu rzeczywistego, czy po prostu dostosowanie współrzędnych ekranu do rozmiarów wizualizowanego obiektu (np. Glassner [43], Lengyel [72], Luna [74], Eberly [28]). Na ogół do wyznaczania fi gur ograniczających dla „typo-wych” obiektów stosowanych w grafi ce komputerowej wykorzystywane są zna-ne algorytmy geometrii obliczeniowej (Preparata i Shamos [120], de Berg i inni [23], O’Rourke [110]). Niestety, ogromna liczba punktów reprezentujących atrak-tor IFS zwykle powoduje, że bezpośrednie zastosowanie tych algorytmów w kon-tekście IFS jest albo niemożliwe (ze względu na ograniczone ramy czasowe nało-żone przez konkretne zastosowanie), albo po prostu nieopłacalne. Z punktu widzenia zastosowań, blisko spokrewnione z problemem wyznacza-nia fi gur ograniczających pozostają zagadnienia wyznaczania przecięcia półpro-stej z obiektem geometrycznym oraz wyznaczania najmniejszej odległości punk-tu przestrzeni od obiektu. Możliwość wydajnego rozwiązywania wspomnianych problemów jest często niezbędna do rozwiązywania elementarnych problemów grafi ki komputerowej, takich jak choćby testowanie widzialności obiektów w me-todzie śledzenia promieni czy detekcja kolizji między obiektami. Niestety, podob-nie jak w przypadku wyznaczania fi gur ograniczających, w przypadku atraktorów IFS zastosowanie standardowych metod rozwiązywania tych zagadnień jest na ogół niemożliwe. Innym ważnym aspektem atraktorów IFS, który poważnie utrudnia zastosowa-nie znanych metod obrazowania modeli trójwymiarowych do tych obiektów, jest fakt ich nieróżniczkowalności. W rezultacie, wektor normalny w punkcie atrak-tora IFS jest na ogół nieokreślony, przynajmniej z matematycznego punktu wi-dzenia, co powoduje trudności w zastosowaniu powszechnie wykorzystywanych technik cieniowania i oświetlania modeli trójwymiarowych (Hall [51], Akenine--Möller i Haines [1], Olano i inni [109]). Jako podsumowanie powyższych rozważań można sformułować następującą listę podstawowych problemów pojawiających się w szeroko rozumianej wizuali-zacji atraktorów IFS:


13 Wstęp

• aproksymowanie atraktorów z zadaną dokładnością;• wyznaczanie zbiorów o zadanej geometrii, które ograniczają atraktory lub ich

aproksymacje;• wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem;• wyznaczanie najmniejszej odległości punktu przestrzeni od atraktora;• określanie wektorów normalnych w zadanych punktach atraktora.

Lista ta oczywiście nie wyczerpuje wszystkich możliwych problemów i obej-muje jedynie zagadnienia elementarne, ale zarazem najistotniejsze. Efektywne algorytmy rozwiązania tych problemów umożliwiają dokonywanie m.in. reali-stycznej wizualizacji atraktorów IFS przy wykorzystaniu najbardziej popular-nych w dzisiejszej grafi ce komputerowej metod, takich jak śledzenie promieni i algorytm z-bufora. Co więcej, po dokonaniu implementacji odpowiednich al-gorytmów rozwiązujących te problemy, wizualizacje takie mogą być dokony-wane za pomocą istniejących aplikacji grafi cznych. Implementacje te mogą być również wykorzystane jako niezbędny element obrazowania atraktorów IFS przy użyciu powszechnie stosowanych API grafi cznych, takich jak OpenGL lub Di-rect3D. Mogą one zostać także zastosowane jako moduły rozszerzające funkcjo-nalność istniejących silników grafi cznych i fi zycznych o możliwość przetwarza-nia modeli opartych na specyfi kacjach IFS.

Celem niniejszej rozprawy jest kompleksowe przedstawienie i analiza algo-rytmów rozwiązywania wyżej przytoczonych problemów, przy wykorzystaniu ujednoliconego aparatu matematycznego. Ze względu na ograniczone ramy opra-cowania, zakres rozważań zawężono do zwykłych układów IFS i układów IFS z prawdopodobieństwami, mianowicie do IFS składających się ze skończonej liczby odwzorowań (na ogół zwężających), pomijając szereg istniejących w lite-raturze uogólnień, takich jak choćby IFS rekurencyjne i hierarchiczne, czy super-fraktale. Ponadto, skupiono się wyłącznie na problemach wizualizacji. Całkowi-cie pominięto więc problematykę ogólnie rozumianego modelowania obiektów przy wykorzystaniu specyfi kacji IFS, w tym zagadnienia związane z fraktalną kompresją obrazów, fraktalną interpolacją oraz morfi ngiem atraktorów IFS. Ze względu na interdyscyplinarny charakter przedmiotu badań, prezentowany ma-teriał oparty jest na rozwiązaniach do tej pory rozproszonych w literaturze doty-czącej zarówno grafi ki komputerowej, jak i stricte fraktali oraz matematycznej,w tym na rezultatach badań przedstawionych przez autora w jego indywidu-alnych publikacjach oraz przez innych badaczy. Niektóre z rezultatów zostały w niniejszej pracy rozszerzone i zaktualizowane, pewne zaś zostały przedstawio-ne w formie zawężonej do kontekstu tematu pracy. Tezą pracy jest to, że rozwiązania wyżej przedstawionych problemów mogą być efektywnie znalezione w sposób automatyczny poprzez obliczenia numerycz-ne. W konsekwencji, wizualizacja obiektów opisanych przez IFS, w tym wizuali-


14 Wstęp

zacja realistyczna trójwymiarowych atraktorów IFS i miar niezmienniczych IFSP w czasie rzeczywistym, jest możliwa.

1.4. UKŁAD PRACY

Sposób prezentacji materiału w niniejszej pracy wzorowany był głównie na monografi ach poświęconych metodom numerycznym, ze szczególnym uwzględ-nieniem geometrii obliczeniowej, takich jak choćby cytowane w załączonej lite-raturze pozycje (Kiełbasiński i Schwetlick [66], Preparata i Shamos [120]). Więk-szość z omawianych algorytmów zaprezentowano w formie pseudokodu, który powinien być zrozumiały dla każdego czytelnika znającego dowolny język pro-gramowania proceduralnego. Rozdział 2 poświęcono elementom teoretycznym teorii IFS w ujęciu topolo-gii metrycznej oraz teorii prawdopodobieństwa i teorii miary. Rozdział ten ma celu przede wszystkim zaznajomienie czytelnika z faktami, na których opierają się algorytmy przedstawiane w następnych rozdziałach, oraz wprowadzenie ozna-czeń i nazewnictwa wykorzystywanych w niniejszej pracy. Zakończono go punk-tem zawierającym podstawowe informacje z zakresu teorii łańcuchów Markowa, które są wykorzystywane przy analizie niektórych z algorytmów przedstwionych w następnych rozdziałach. W rozdziałach 3 i 4 przedstawiono i poddano analizie metody aproksymowa-nia atraktorów IFS. W rozdziale 3 podjęto tematykę algorytmów generowania aproksymujących zbiorów punktowych nieujętych w ramy żadnej struktury upo-rządkowania przestrzennego oraz przedstawiono – stosunkowo rzadko omawiane w literaturze – metody wyznaczania i szacowania współczynników zwężania od-wzorowań tworzących układy IFS. W rozdziale 4 zajęto się algorytmami aprok-symacji na równomiernych siatkach w przestrzeni nR . Pewne zaskoczenie może budzić przedstawiony w nim, a rzadko podnoszony w literaturze fakt, że – niejako wbrew teorii – w rzeczywistych implementacjach niektórych algorytmów aprok-symacji atraktorów IFS dany układ odwzorowań iterowanych może defi niować zbiór graniczny w sposób niejednoznaczny. Z kolei rozdz. 5 i 6 zawierają kompleksowe omówienie metod wyznaczania fi gur ograniczających atraktory IFS. Zakres rozważań zawężono do fi gur ogra-niczających najczęściej stosowanych w grafi ce komputerowej, pomijając poja-wiające się niekiedy w literaturze struktury wykorzystywane w przypadku spe-cyfi cznych zagadnień (takie jak choćby tzw. kapsułki i pastylki (Eberly [28])). Rozdział 5 poświęcono zatem zagadnieniu szacowania najmniejszych kul za-wierających wspomniane obiekty, rozdział 6 – algorytmom wyznaczania wielo-kątów i wielościanów, takich jak: prostokąty i prostopadłościany o krawędziach równoległych do osi układu współrzędnych, prostokąty i prostopadłościany zo-


15 Podstawy teoretyczne

rientowane, wielokąty i wielościany o zadanej liczbie wierzchołków czy aprok-symacje otoczek wypukłych. Zagadnieniu wyznaczania przecięcia półprostej z atraktorem IFS poświęco-no rozdz. 7. Oprócz omówienia i analizy algorytmów rozwiązywania tego zagad-nienia, rozdział ten zawiera również omówienie metody szacowania najmniejszej odległości punktu przestrzeni od atraktora IFS. W rozdziale 8 dokonano przeglądu wykorzystywanych w grafi ce komputero-wej metod szacowania wektorów normalnych w punktach „powierzchni” frak-talnych w kontekście zastosowań do realistycznej wizualizacji atraktorów IFS. Prezentację poszczególnych algorytmów uzupełniono informacjami o możliwo-ści zastosowania danego podejścia w wizualizacji atraktorów IFS w czasie rze-czywistym. Część merytoryczną pracy kończy rozdz. 9, w którym zaprezentowano zastoso-wanie omówionych algorytmów geometrycznych w różnego rodzaju metodach wi-zualizowania atraktorów IFS oraz miar niezmienniczych IFSP. Rozdział podzielony jest na dwie części. W części pierwszej zaprezentowano podejścia do obrazowania struktur generowanych przez układy IFS i IFSP działające na przestrzeni 2R . Omó-wione w tej części podejścia obejmują zarówno algorytmy wizualizowania geome-trii atraktora, wzbogaconej ewentualnie o dodatkową informację, np. wartości mia-ry niezmienniczej, jak i różnego rodzaju metody obrazowania informacji zawartej w dopełnieniu atraktora. Część druga rozdziału odnosi się do zagadnień obrazowa-nia atraktorów i miar niezmienniczych w przestrzeni 3R , ze szczególnym uwzględ-nieniem wizualizacji realistycznej dokonywanej w czasie rzeczywistym przy wyko-rzystaniu współczesnego sprzętu grafi cznego. Rozprawę zamyka rozdz. 10, w którym podsumowano dotychczasowe prace nad wizualizacją atraktorów IFS oraz podjęto próbę określenia dalszych kierun-ków rozwoju tej problematyki.

2. PODSTAWY TEORETYCZNE

2.1. POJĘCIA PODSTAWOWE

W niniejszej pracy będziemy zajmowali się głównie podzbiorami przestrze-ni metrycznych (X, d), gdzie X jest pewnym zbiorem (nośnikiem przestrzeni), zaś d metryką. Często będzie to skończenie wymiarowa przestrzeń rzeczywista nR z metryką euklidesową, bądź zwarty podzbiór tej przestrzeni. Oczywiście każ-da przestrzeń liniowa unormowana (a także dowolny podzbiór tej przestrzeni) może być rozpatrywana w kategoriach przestrzeni metrycznej z (naturalną) me-



tryką indukowaną przez normę tej przestrzeni, to jest metryką zdefi niowaną jako d(x, y) = ||x – y||. Poniżej przedstawione zostaną podstawowe pojęcia i notacja wykorzystywane w dalszej części pracy. Będziemy mówili, że metryki d i e są równoważne i oznaczali ten fakt przez d e , gdy istnieją liczby 1 2,c c R takie, że

1 2( , ) ( , ) ( , )c d x y e x y c d x y

dla wszystkich ,x y X . Łatwo pokazać, że równoważność metryk jest rzeczywi-ście relacją równoważności w rozumieniu algebraicznym. Kulę otwartą i, odpowiednio, kulę domkniętą, o środku x X i promieniu r R oznaczamy przez

( , ) { : ( , ) }B x r y X d x y r i ( , ) { : ( , ) }B x r y X d x y r .

Przez A oznaczono brzeg zbioru A X , to jest zbiór wszystkich punktów x X takich, że

0, , \ , , ( , )p A q X A p q B x .

Średnicę niepustego podzbioru A X oznaczono jako

diam( ) sup{ ( , ) : , }A d x y x y A .

Dodatkowo będziemy przyjmowali, że diam( ) 0 . Przez f(A) i, odpowiednio, przez 1( )f B dla pewnego odwzorowania

:f X Y będziemy oznaczali obraz zbioru A X i, odpowiednio, przeciw-obraz zbioru B Y przy odwzorowaniu f, to jest

( ) { ( ) : }f A f x Y x A ,

1( ) { : ( ) }f B x X f x B .

Jeśli x X oraz A i B są niepustymi podzbiorami X, to odległość punktu x od zbioru B oraz odległość zbioru A od zbioru B wynoszą, odpowiednio,

( , ) inf{ ( , ) : }d x B d x y y B ,

( , ) sup{ ( , ) : }d A B d x B x A .

W ogólnym przypadku ( , ) ( , )d A B d B A . Otoczenie epsilonowe (otwarte) zbioru A X określamy jako

( , ) { : ( , ) dla pewnego }N A y d x y x A dla R . Siatką epsilonową zbioru A X będziemy nazywać dowolny skończony podzbiór A A taki, że

, , ( , )x A y A d x y dla R .



Całka Lebesgue’a

( ) ( )

A A

f d f x d x

względem miary po zbiorze A oraz pojęcie całkowalności funkcji f zdefi nio-wane są w powszechnie przyjmowany sposób (Rudin [131]). W przypadku gdy dziedziną całkowania będzie cała przestrzeń X, wówczas zwykle będziemy ją pod symbolem całkowania pomijać, używając notacji

X

f d f d .

2.2. ZUPEŁNOŚĆ, ZWARTOŚĆ I TWIERDZENIE BANACHA O ODWZOROWANIU ZWĘŻAJĄCYM

Defi nicja 2.1. Odwzorowanie :w X Y z przestrzeni metrycznej (X, dX) w prze-strzeń metryczną (Y, dY) jest ciągłe w sensie Lipschitza, jeśli istnieje liczba 0s taka, że

( ( ), ( )) ( , ), ,Y Xd w x w y sd x y x y X . (2.1)

Z defi nicji tej natychmiast wynika, że ciągłość w sensie Lipschitza implikuje nie tylko ciągłość, ale także ciągłość jednostajną odwzorowania w. Ponadto za-chodzi:

Twierdzenie 2.2. Niech [0, )S będzie zbiorem liczb spełniających nierów-ność (2.1) dla danego odwzorowania :w X Y ciągłego w sensie Lipschitza. Zbiór S posiada minimum.

Dowód. Aby wykazać tezę twierdzenia, należy pokazać, że inf S S . Załóżmy dla dowodu nie wprost, że inf S S . Wtedy dla pewnych punktów ,x y X

( ( ), ( )) inf ( , )Y Xd w x w y S d x y .

Zatem ( , ) 0Xd x y , bowiem w przeciwnym przypadku, na podstawie aksjomatów metryki, x y i stąd ( ( ), ( )) 0Yd w x w y . Niech 0 ( ( ), ( )) / ( , )Y Xs d w x w y d x y . Wtedy

0( ( ), ( )) ( , )Y Xd w x w y s d x y ,

i stąd 0inf S s . Wobec tego

0 , ( ( ), ( )) ( , )Y Xs s d w x w y s d x y ,

a zatem istnieje przedział 0(inf , )S s , który nie zawiera żadnej liczby ze zbioru S. Stąd inf S nie jest kresem dolnym zbioru S, a więc otrzymujemy sprzeczność kończącą dowód twierdzenia.



Defi nicja 2.3. Najmniejsza liczba s spełniająca nierówność (2.1) określana jest jako stała Lipschitza1 odwzorowania w. Liczba ta będzie oznaczana przez Lip(w).

Szczególnym przypadkiem odwzorowań ciągłych w sensie Lipschitza są od-wzorowania afi niczne na przestrzeniach rzeczywistych nR z normą || . || defi nio-wane jako

( ) ( )w L x x t , (2.2)

gdzie nt R jest wektorem translacji, zaś L – odwzorowaniem liniowym na nR , to jest takim, że

( ) ( ) ( )L L L x y x y , , R , , .n x y R (2.3)

Ze względu na izomorfi zm algebry operatorów liniowych i algebry macierzy, odwzorowanie afi niczne na nR można przedstawić w postaci macierzowej albo jako

( )w x Lx t , (2.4)

gdzie n nL R jest macierzą reprezentującą odwzorowanie liniowe, albo w ukła-dzie współrzędnych jednorodnych jako

( )H Hw x Wx , (2.5)

gdzie T T[ ,1]H x x , natomiast ( 1) ( 1)n n W R jest macierzą postaci

T 1

L tW

0. (2.6)

Gdy dla stałej Lipschitza zależność (2.1) przybiera postać równości, mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem odwzorowania afi nicznego, jakim jest podobieństwo (izometria).

Defi nicja 2.4. Odwzorowanie ciągłe w sensie Lipschitza jest odwzorowaniem zwężającym, jeśli istnieje stała Lipschitza Lip( ) [0, 1)w . Taka stała Lipschitza określana jest jako współczynnik zwężania odwzorowania w.

Defi nicja 2.5. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zupełna, jeśli każdy ciąg Cau-chy’ego w tej przestrzeni, to jest ciąg 1{ }i ix

taki, że

0, , , , ( , )m nN m n N d x x N , jest ciągiem zbieżnym.

Łatwo zauważyć, że jeśli (X, d) jest zupełna i d e , to również (X, e) jest zupełna.

1 Należy zauważyć, iż w wielu pozycjach, w tym (Barnsley [7, 9]), mianem stałej Lipschitza od-wzorowania określa się każdą liczbę s spełniającą nierówność (2.1). Natomiast liczbę, o której mowa w defi nicji 2.3, nazywa się czasem najlepszą stałą Lipschitza odwzorowania.



Równie łatwo pokazać, że obraz ciągu Cauchy’ego przy odwzorowaniu jed-nostajnie ciągłym jest również ciągiem Cauchy’ego. Stąd, jeśli odwzorowa-nie :w X Y z przestrzeni metrycznej zupełnej (X, dX) w przestrzeń metryczną (Y, dY) jest jednostajnie ciągłe i odwracalne oraz jego odwrotność jest również od-wzorowaniem jednostajnie ciągłym, to (Y, dY) jest również zupełna. Ze względu na fakt, że ciągłość w sensie Lipschitza jest silniejszą własnością od ciągłości jed-nostajnej, wniosek ten stosuje się również do odwzorowań ciągłych w sensie Lip-schitza.

Twierdzenie 2.6 (Banacha o odwzorowaniu zwężającym). Niech :w X X bę-dzie odwzorowaniem zwężającym na przestrzeni metrycznej zupełnej X. Wów-czas w posiada dokładnie jeden punkt stały xf = w(xf). Ponadto, dla dowolnego x X ,

lim ( )k

fkw x x

, (2.7)

gdzie kw oznacza k-krotne złożenie odwzorowania w.

Dowód. Na przykład (Barnsley [7, s. 75]).

Na przykład: przestrzenią zupełną jest każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa z metryką indukowaną przez normę (Giles [42, s. 25]), dowolny podzbiór domknięty przestrzeni zupełnej z metryką tej przestrzeni, a także dowolna prze-strzeń zwarta. W tym ostatnim przypadku zupełność przestrzeni wynika natych-miast z ciągowej defi nicji zbioru zwartego:

Defi nicja 2.7. Podzbiór przestrzeni metrycznej jest zbiorem zwartym, jeśli każdy ciąg punktów z tego zbioru zawiera podciąg zbieżny w tym zbiorze.

Defi nicja 2.8. Podzbiór A przestrzeni metrycznej X jest ograniczony, jeśli istnieje kula ( , )B x r X taka, że ( , )A B x r . Podzbiór A jest całkowicie ograniczony, gdy dla dowolnego 0 istnieje siatka epsilonowa tego zbioru.

Warto zauważyć, że każdy zbiór całkowicie ograniczony jest również ogra-niczony, zaś implikacja odwrotna w ogólnym przypadku przestrzeni metrycz-nych jest nieprawdziwa. Jednakże, na przykład, dla skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych z dowolną metryką indukowaną przez normę oraz do-wolnych podzbiorów tych przestrzeni obie własności są równoważne (np. Gi-les [41, s. 171]).

Twierdzenie 2.9. Podzbiór A przestrzeni metrycznej zupełnej jest zbiorem zwar-tym wtedy i tylko wtedy, gdy A jest podzbiorem domkniętym i całkowicie ogra-niczonym.

Dowód. (Barnsley [7, s. 20]).



Na podstawie tego twierdzenia, dla przypadku skończenie wymiarowych prze-strzeni liniowych z metryką indukowaną przez normę otrzymujemy:

Wniosek 2.10. Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d), gdzie X jest dowolnym domkniętym podzbiorem skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej, zaś d jest metryką indukowaną przez normę, jest podzbiorem zwartym wtedy i tylko wtedy, gdy A jest domknięty i ograniczony.

2.3. UKŁAD ODWZOROWAŃ ITEROWANYCH I ATRAKTOR IFS

Defi nicja 2.11. Rodzinę wszystkich zwartych i niepustych podzbiorów przestrze-ni metrycznej X będziemy oznaczać przez ( )XH .

Defi nicja 2.12. Odległość (metryka) Hausdorffa h między podzbiorami , ( )A B XH przestrzeni metrycznej (X, d) defi niowana jest jako

( , ) max{ ( , ), ( , )}h A B d A B d B A . (2.8)

Często wygodnie jest korzystać z równoważnej logicznie defi nicji odległości Hausdorffa wyrażonej w języku otoczeń epsilonowych zbiorów:

Defi nicja 2.13. Odległość Hausdorffa między podzbiorami , ( )A B XH prze-strzeni metrycznej (X, d) jest dana przez

( , ) inf{ : ( , ) i ( , )}h A B A N B B N A . (2.9)

Nietrudno pokazać, że rodzina ( )XH wraz z odległością Hausdorffa h jest przestrzenią metryczną (Barnsley [7, s. 32]). Ponadto zachodzi następujące twier-dzenie:

Twierdzenie 2.14. Niech przestrzeń metryczna (X, d) będzie zupełna. Wtedy ( )XH wraz z odległością Hausdorffa h jest przestrzenią metryczną zupełną.

Dowód. Na przykład (Barnsley [7, s. 35–37]) . Znacznie krótszy dowód wykorzy-stujący defi nicję otoczeniową 2.13 odległości Hausdorffa można znaleźć w (Ed-gar [31, s. 67]).

Defi nicja 2.15. Układem odwzorowań iterowanych IFS (od ang. Iterated Function System) nazywamy skończony zbiór {w1,...,wN}, N N , odwzorowań :iw X X ciągłych w sensie Lipschitza na przestrzeni metrycznej zupełnej (X, d). W przypad-ku, gdy odwzorowania są zwężające na tej przestrzeni, wówczas powyższy układ odwzorowań określa się jako hiperboliczny IFS. Operatorem Hutchinsona skoja-rzonym z danym IFS nazywane jest przekształcenie zdefi niowane jako

1

( ) ( )N

ii

W A w A

, (2.10) gdzie ( )A XH .



Twierdzenie 2.16. Operator Hutchinsona skojarzony z IFS {w1,...,wN} jest odwzo-rowaniem ciągłym w sensie Lipschitza na przestrzeni ( )XH z metryką Haus-dorffa h. Stała Lipschitza tego operatora spełnia nierówność

1Lip( ) max{Lip( ),..., Lip( )}NW w w .

W szczególności, operator Hutchinsona skojarzony z hiperbolicznym IFS jest od-wzorowaniem zwężającym na ( ) , )( X hH .

Dowód. (Barnsley [7, s. 79–80]) .

Ponieważ operator Hutchinsona skojarzony z hiperbolicznym IFS jest odwzo-rowaniem zwężającym na przestrzeni ( ) , )( X hH oraz na mocy twierdzenia 2.14

( ) , )( X hH jest zupełna, jeśli tylko (X, d) jest zupełna, zatem bezpośrednio na podstawie twierdzenia 2.6 otrzymujemy następujący wniosek:

Wniosek 2.17. Operator Hutchinsona skojarzony z hiperbolicznym IFS {w1,...,wN} posiada dokładnie jeden punkt stały ( )A X H ,

( )A W A (2.11)

oraz, dodatkowo, dla dowolnego ( )B XH zachodzi

lim ( )n

nA W B . (2.12)

Uwaga. Zauważmy, że fakt posiadania przez operator Hutchinsona właściwości odwzorowania zwężającego (w szczególności zapewnionej przez hiperboliczność IFS) jest warunkiem wystarcza-jącym, ale nie koniecznym posiadania przez ten operator unikalnego punktu stałego. Co więcej, je-śli weźmie się pod uwagę oszacowanie „z góry” stałej Lipschitza operatora Hutchinsona podane w twierdzeniu 2.16, operator ten może być odwzorowaniem zwężającym, nawet jeśli układ IFS nie jest hiperboliczny. Jednakże w dalszej części pracy będziemy głównie zajmowali się układami IFS, które są hiperboliczne. Dlatego na ogół będziemy pomijać to dookreślenie, zakładając domyślnie, iż dany IFS składa się wyłącznie z odwzorowań zwężających. W nielicznych przypadkach, w których będzie mowa o układach IFS zawierających odwzorowania nieposiadające właściwości odwzoro-wań zwężających, fakt ten będzie wyraźnie odnotowany.

Defi nicja 2.18. Punkt stały operatora Hutchinsona, o którym mowa we wnio-sku 2.17, nazywany jest atraktorem IFS.

Dla celów praktycznych (ale nie tylko – patrz następny punkt) często pożąda-ne jest zawężenie oryginalnej, nieograniczonej dziedziny, na której działają od-wzorowania IFS, do zbioru zwartego. Okazuje się, że mając dany IFS z atrakto-rem A określony na zupełnej, ale nie zwartej przestrzeni (X, d), można zawsze dokonać takiego zawężenia do zbioru zwartego K X , takiego że K A oraz skojarzony z tym IFS operator Hutchinsona jest operatorem na ( )KH . Na przy-



kład zawężenia takiego dokonamy, przyjmując 0

( )n

n

K W E

dla dowolnego

( )E XH . (W szczególności, jeśli E będzie równy samemu atraktorowi IFS, wówczas otrzymamy zawężanie do przestrzeni atraktora – zob. twierdzenie 3.4). Oczywiście, ze względu na (zwykle) skomplikowaną geometrię zbioru zwarte-go otrzymanego w ten sposób, z praktycznego punktu widzenia takie rozwiąza-nie jest często niezadowalające. Jednakże w przypadku przestrzeni metrycznych, w których całkowita ograniczoność jest równoważna ograniczoności, za zbiór zwarty można przyjąć domkniętą kulę skonstruowaną przy wykorzystaniu nastę-pującego twierdzenia:

Twierdzenie 2.19 (Skarbek [139]). Niech dany będzie IFS 1{ }Ni iw na przestrze-

ni zupełnej (X, d). Niech ( , )B c r będzie dowolną kulą domkniętą w (X, d) zawie-rającą wszystkie punkty stałe ( )i

fx X odwzorowań wi. Wtedy dla ( , )B B c r ,

gdzie 11

ss

i

1,...,max Lip( )ii N

s w

, zbiór restrykcji 1{ }|N

i iw B jest IFS na ( , )B d .

Dowód. Dla dowolnego x B i dla każdego {1,..., }i N

( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) ( 1)i if fd x x d x c d c x r r r .

Zatem

( ) ( ) ( )( ( ), ) ( ( ), ( )) Lip( ) ( , ) ( 1)| | |i i i

i f i i f i fB B Bd w x x d w x w x w d x x sr r r .

Na tej podstawie

( ) ( )( ( ), ) ( ( ), ) ( , )| |i i

i i f fB Bd w x c d w x x d x c r r r r

i stąd :|i Bw B B dla każdego {1,..., }i N . Nadto, |i Bw są zwężające, bo wi są zwężające, oraz (B, d) jest zupełna, ponieważ B jest zbiorem domkniętym i (X, d) jest zupełna.

Każda kula jest zbiorem ograniczonym (defi nicja 2.8). Zatem, wobec wnio-sku 2.10, w przypadku IFS określonych na dowolnych domkniętych podzbiorach skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych z metryką indukowaną przez normę, kule wyznaczone na podstawie twierdzenia 2.19 są zbiorami zwartymi. W szczególności dotyczy to przestrzeni X będących domkniętymi podzbiorami przestrzeni nR z normą. Dodatkowo, w przypadku układów IFS składających się ze zwężających od-wzorowań afi nicznych działających na przestrzeni nR z metryką indukowaną przez normę, najmniejszym wypukłym zbiorem zwartym, do którego można do-



konać omawianego zawężenia dziedziny IFS, jest otoczka wypukła atraktora1. Do przedstawienia dowodu tego faktu potrzebny będzie następujący lemat:

Lemat 2.20 (Carathéodory’ego). Niech A będzie dowolnym podzbiorem prze-strzeni nR . Otoczka wypukła conv( )A jest sumą mnogościową wszystkich (do-mkniętych) simpleksów rozpiętych na co najwyżej 1n wierzchołkach w A:

1 1

1 1conv( ) : , 0, 1

n n

k k k k kk k

A A

a a .

Dowód. Na przykład (Kincaid i Cheney [67, s. 410]).

Następne twierdzenie ujmuje rozważaną możliwość zawężania dziedziny afi nicznego IFS w punkcie (a). Dodatkowo w punkcie (b) prezentuje interesu-jącą zależność między otoczką wypukłą atraktora i otoczkami wypukłymi jego podzbiorów.

Twierdzenie 2.21. Niech nA R będzie atraktorem układu IFS {w1,...,wN}, N N , w którym : n n

iw R R są zwężającymi odwzorowaniami afi nicznymi. Wtedy:(a) dla każdego {1,..., }i N , (conv( )) conv( )iw A A ;(b) dla dowolnego złożenia

1...

mi if w w , {1,..., }ki N , odwzorowań IFS, conv( ( )) (conv( ))f A f A .

Dowód. Przed przystąpieniem do właściwego dowodu wykażemy kilkukrot-nie wykorzystywany w nim fakt, że obrazem dowolnej kombinacji wypukłej punktów przestrzeni nR przy odwzorowaniu afi nicznym jest kombinacja wy-pukła obrazów tych punktów przy tym odwzorowaniu. Niech 1,..., n

m p p R ,

1,..., 0m , 1

1m

kk

, zaś : n ng R R będzie odwzorowaniem afi nicznym

( ) ( )g L x x t . Wtedy

1 1 1 1 1( ) ( )

m m m m m

k k k k k k k k kk k k k k

g L L g

p p t p t p .

a) Niech conv( )Ac . Wtedy, na podstawie lematu 2.20, istnieją punkty

1 1,..., n A a a oraz liczby 1 1,..., 0n , 1

11

n

kk

, takie że 1

1

n

k kk

c a .

Odwzorowania IFS są afi niczne, zatem {1,..., }i N , 1

1( ) ( )

n

i k i kk

w w

c a .

1 W tym miejscu należy odnotować, że otoczka wypukła zbioru zwartego w skończenie wymiaro-wej przestrzeni liniowej z normą jest zbiorem zwartym; por. np. (Kincaid i Cheney [67, s. 410]).



Odwzorowania IFS przekształcają atraktor w niego samego (równości (2.10) i (2.11)), zatem ( )i kw Aa , 1,..., 1k n . Stąd, na podstawie lematu 2.20,

( ) conv( )iw Ac .b) Pokażemy najpierw, że conv( ( )) (conv( ))f A f A . Niech (conv( ))f Ac . Wtedy, na podstawie lematu 2.20, istnieją punkty 1 1,..., n A a a i liczby

1 1,..., 0n , 1

11

n

kk

, takie że 1

1

n

k kk

f

c a . Złożenie odwzorowań

afi nicznych jest odwzorowaniem afi nicznym, więc 1

1( )

n

k kk

f

c a . Z kolei odwzorowania IFS przekształcają atraktor w niego samego, zatem ( )kf Aa ,

1,..., 1k n . Stąd, na podstawie lematu 2.20, conv( ( ))f Ac .

Pokażemy teraz, że conv( ( )) (conv( ))f A f A . Ponieważ conv( )A A , zatem (conv( )) ( )f A f A oraz conv( ( ))f A jest najmniejszym (w sensie relacji zawierania) zbiorem wypukłym zawierającym ( )f A .

Dodatkowo przecięcie dowolnych zbiorów wypukłych jest zbiorem wypu-kłym. Wobec tego, aby wykazać, że conv( ( )) (conv( ))f A f A , wystarczy pokazać, że (conv( ))f A jest zbiorem wypukłym. Niech 1 2(1 ) c b b ,

gdzie 1 2, (conv( ))f Ab b i [0, 1] . Wtedy istnieją 1 2, conv( )Aa a takie, że 1 1( )f a b i 2 2( )f a b . Dodatkowo conv( )A jest wypu-kły, zatem dla każdego [0, 1] , 1 2(1 ) conv( )A a a . Stąd

1 2( (1 ) ) (conv( ))f f A a a i, ponieważ f jest odwzorowaniem afi nicz-nym, 1 2( ) (1 ) ( ) (conv( ))f f f A a a . Co za tym idzie, (conv( ))f Ac ,

a więc (conv( ))f A jest zbiorem wypukłym.

Następne twierdzenie pokazuje jak zapisywać IFS w różnych układach współ-rzędnych.

Twierdzenie 2.22 (O przekształceniu atraktora IFS). Niech A będzie atrakto-rem IFS {w1,...,wN} na (X, dX). Niech :f X Y będzie odwzorowaniem odwra-calnym. Wtedy ( )f A jest atraktorem IFS 1 1

1{ ,..., }Nf w f f w f na prze-strzeni (Y, dY) z metryką 1 1( , ) ( ( ), ( ))Y Xd x y d f x f y .

Dowód. Ponieważ f jest odwracalne, zatem dY jest metryką (spełnia aksjomaty metryki). Ponadto zarówno f, jak i 1f są ciągłe w sensie Lipschitza ze stałą Lip-schitza równą 1. Stąd (Y, dY) jest zupełna, gdyż (X, dX) jest zupełna. Ponieważ

1Lip( ) Lip( ) 1f f , zatem złożenia 1 :if w f Y Y , 1,...,i N , są od-wzorowaniami zwężającymi ze współczynnikami zwężania Lip(wi). Tym samym wykazaliśmy, że przekształcony układ odwzorowań spełnia założenia IFS (defi ni-cja 2.15). Następnie pokażemy, że atraktorem tego IFS jest zbiór ( )f A . Ponieważ A jest punktem stałym operatora Hutchinsona skojarzonego z {w1,..., wN}, zatem



1

1 1 1

( ) ( ( )) ( ) ( ( ))N N N

i i ii i i

f A f w A f w A f w f f A

.

Stąd zbiór ( )f A jest punktem stałym operatora Hutchinsona skojarzonego z przekształconym IFS, a zatem ( )f A jest atraktorem tego układu.

Lemat 2.23. Niech przestrzeń (X, d) będzie zupełna. Niech :w X X będzie od-wzorowaniem zwężającym o punkcie stałym xf . Wtedy

1 1( , ) (1 ) ( , ( )) ( , )

1f fsd x x s d x w x d x xs

(2.13)

dla dowolnego x X i [Lip( ), 1)s w .

Dowód. (Pierwsza z nierówności). Ponieważ dla ustalonego x X , d(x, y) jest funkcją ciągłą na (X, d), zatem na podstawie twierdzenia 2.6 oraz zastosowania nierówności trójkąta i wzoru na granicę szeregu geometrycznego otrzymujemy

( 1)

11

1 1

1

( , ) ( , lim ( )) lim ( , ( )) lim ( ( ), ( ))

lim ( , ( )) Lip( ) ( , ( ))(1 Lip( )) ( , ( ))(1 ) .

nn n m m

f n n n mn

m

n m

d x x d x w x d x w x d w x w x

d x w x w d x w x w d x w x s

(Druga z nierówności). Z nierówności trójkąta wynika

( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , ) ( ( ), ( ))

( , ) Lip( ) ( , ) (1 ) ( , ).f f f f

f f f

d x w x d x x d x w x d x x d w x w xd x x w d x x s d x x

Stąd, na podstawie pierwszej z udowodnionych nierówności, otrzymujemy tezę.

Jedną z konsekwencji powyższego lematu jest znane twierdzenie „o kolażu”, dające podstawy do aproksymowania dowolnych zbiorów zwartych przy użyciu atraktorów IFS:

Twierdzenie 2.24 (o kolażu). Niech dane będą aproksymowany zbiór ( )D XH oraz 0 . Jeśli zdefi niujemy układ IFS {w1,..., wN} taki, że

1

( , ( ))N

ii

h D w D

to

1,...,

( , )1 max Lip( )ii N

h D Aw

.

Dowód. Na podstawie lematu 2.23 zastosowanego do operatora Hutchinsona jako odwzorowania zwężającego na przestrzeni ( )XH z metryką Hausdorffa (twier-dzenie 2.16).



Innymi słowy, opisywanie danego zbioru zwartego D przy użyciu formuły IFS polega na zdefi niowaniu zbioru przekształceń zwężających takich, żeby suma mnogościowa pomniejszonych obrazów zbioru D przy tych przekształceniach jak najbardziej przypominała zbiór D.

2.4. UKŁAD ODWZOROWAŃ ITEROWANYCH Z PRAWDOPODOBIEŃSTWAMI I MIARA NIEZMIENNICZA

Defi nicja 2.25. Miarą borelowską na przestrzeni metrycznej (X, d) nazywana jest funkcja : [0, ] B taka, że

11

( ) ( )i iii

A A

, 1 2, ,A A B parami rozłącznych,

gdzie B oznacza rodzinę zbiorów borelowskich na (X, d). Miara borelowska jest unormowana (probabilistyczna), jeśli ( ) 1X .

Należy pamiętać, że zbiory borelowskie na przestrzeni (X, d) to najmniejsza -algebra1, która zawiera wszystkie zbiory otwarte w (X, d). Stąd do zbiorów bo-relowskich, obok zbiorów otwartych, należą również m.in. wszystkie zbiory do-mknięte w przestrzeni (X, d), a także sumy mnogościowe oraz części wspólne przeliczalnej liczby zbiorów.

Defi nicja 2.26. Nośnikiem spt miary borelowskiej na przestrzeni (X, d) jest podzbiór domknięty defi niowany jako

spt \ { : jest otwarty i ( ) 0}X V V V . (2.14)

Defi nicja 2.27. Zbiór unormowanych miar borelowskich na zwartej przestrzeni metrycznej (X, d) będziemy oznaczali przez ( )XP . Metryka Monge’a-Kantoro-wicza2 dP na ( )XP defi niowana jest jako

( , ) supd f d f d P , (2.15)

gdzie całkowanie obejmuje wszystkie funkcje :f X R takie, że ( ) – ( ) ( , )f x f y d x y , ,x y X .

1 To jest rodzina M podzbiorów przestrzeni X taka, że: , X M ; jeśli A M , to \X A M ;jeśli 1 2, ,...A A M , to

1i

i

A M

.2 W literaturze metryka ta czasem określana jest jako metryka Hutchinsona (np. Barnsley [7], Ku-drewicz [70]). Sam Hutchinson jednakże w swojej pionierskiej pracy [59] oraz kolejnych określał tę metrykę mianem zastosowanym w tej rozprawie w defi nicji 2.27. Zgodnie z sugestiami Hutchinso-na nazwa te została również przejęta w końcu przez Barnsleya w jego najnowszej książce [9].



Twierdzenie 2.28. Niech przestrzeń metryczna (X, d) będzie zwarta. Wtedy prze-strzeń metryczna ( ( ), )X dPP jest także zwarta.

Dowód. (Hutchinson [59]).

Defi nicja 2.29. Obraz miary przy odwzorowaniu :f X X defi niowany jest jako

# 1( ) ( ( ))f A f A , A X .

Jako natychmiastowy wniosek otrzymujemy, że jeśli jest miarą borelow-ską na przestrzeni metrycznej X i f jest odwzorowaniem ciągłym (w szczególno-ści zwężającym) na X, to obraz #f jest również miarą borelowską na X.

Defi nicja 2.30. Układem odwzorowań iterowanych z prawdopodobieństwami (IFSP) {w1,...,wN ; p1,...,pN} nazywany jest układ {w1,...,wN}, N N , odwzorowań

:iw X X ciągłych w sensie Lipschitza na zwartej przestrzeni (X, d), w którym

każdemu z N odwzorowań wi przyporządkowano liczbę pi > 0, tak że 1

1N

ii

p

oraz 1

Lip( ) 1N

i ii

p w

. Operatorem Markowa skojarzonym z danym IFSP nazy-

wana jest funkcja : ( ) ( )M X XP P zdefi niowana jako

#

1( )

N

i ii

M p w

. (2.16)

W związku z tą defi nicją przede wszystkim zauważmy, że każdy (hiperbolicz-ny) IFS określony na zwartej przestrzeni spełnia warunki IFSP po przypisaniu od-wzorowaniom IFS dodatnich prawdopodobieństw, których suma wynosi jeden. Co więcej, mając dany IFS z atraktorem A określony na przestrzeni zupełnej (X, d), można zawsze dokonać zawężenia dziedziny tego IFS do odpowiednie-go zbioru zwartego, tak jak to pokazano w poprzednim punkcie (twierdzenia 2.19 i 2.21).

Twierdzenie 2.31. Operator Markowa M skojarzony z IFSP jest odwzorowaniem zwężającym na przestrzeni ( ( ), )X dPP . Współczynnik zwężania tego operatora

spełnia nierówność 1

Lip( ) Lip( )N

i ii

M p w

.

Dowód. (Barnsley [9, s. 127–128]).

Ponieważ operator Markowa jest zwężający na przestrzeni ( ( ), )X dPP oraz, na mocy twierdzenia 2.28, ( ( ), )X dPP jest zwarta i stąd zupełna, jeśli tylko (X, d) jest zwarta, zatem bezpośrednio z twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwęża-jącym (twierdzenie 2.6) wynika następujący wniosek:



Wniosek 2.32. Operator Markowa posiada dokładnie jeden punkt stały ( )X P

#

1

N

i ii

p w

(2.17)

oraz dla dowolnego ( )v XP zachodzi

lim ( )n

nM v

. (2.18)

Mając to na uwadze, warto odnotować, iż do tego, aby operator Marko-wa skojarzony z danym IFSP był odwzorowaniem zwężającym na ( ( ), )X dPP (i stąd na pewno posiadał dokładnie jeden punkt stały), nie jest konieczne, aby odwzorowania wchodzące w skład IFSP były odwzorowaniami zwężający-mi na zwartej przestrzeni (X, d). Twierdzenie 2.31 gwarantuje bowiem, iż dla każdego układu odwzorowań z prawdopodobieństwami spełniającego warun-ki defi nicji 2.30, istnieje dokładnie jedna miara spełniająca równości (2.17) i (2.18). W konsekwencji IFSP defi niuje także w sposób jednoznaczny pe-wien zwarty i niepusty podzbiór przestrzeni X, który jest nośnikiem tej mia-ry. W przypadku układów IFSP mamy zatem do czynienia z sytuacją bardziej ogólną niż w przypadku „zwykłych” układów IFS, dla których gwarantem ist-nienia unikalnych zwartych zbiorów niezmienniczych (atraktorów IFS) jest właśnie fakt posiadania przez odwzorowania składowe właściwości odwzoro-wań zwężających. W literaturze, w celu zaakcentowania tej bardziej ogólnej właściwości zwężającej układów IFSP, stosuje się często określenie, iż dany IFSP jest zwężający „na średnio” (ang. contractive on average). Co więcej, wykorzystując twierdzenie Schaudera-Tichonowa o punkcie stałym, można pokazać, że nawet jeśli układ {w1,...,wN ; p1,..., pN} nie jest zwężający „na śred-nio”, ale odwzorowania :iw X X są ciągłe (w ogólnym sensie) na zwartej przestrzeni (X, d), to operator (2.16) posiada przynajmniej jeden punkt stały (Barnsley [9, s. 128]). Gdy odwzorowania IFSP są zwężające na zwartej przestrzeni (X, d) i jako ta-kie tworzą układ IFS, wówczas spełnione jest następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2.33. Nośnikiem miary będącej punktem stałym operatora Markowa skojarzonego z IFSP {w1,...,wN ; p1,..., pN} na przestrzeni (X, d), w którym odwzo-rowania wi są zwężające, jest atraktor IFS {w1,...,wN }.

Dowód. (Barnsley [7, s. 359]).

Defi nicja 2.34. Miara borelowska będąca punktem stałym operatora Markowa skojarzonego z danym IFSP nazywana jest miarą niezmienniczą (generowaną przez) IFSP.



2.5. MOMENTY ZWYKŁE PIERWSZEGO I DRUGIEGO RZĘDU MIARY NIEZMIENNICZEJ IFSP

Poszukując przybliżonych rozwiązań problemów geometrycznych dotyczą-cych nieskończonych i skomplikowanych zbiorów punktowych, często wygodnie jest dokonać transformacji dziedziny danego problemu ze współrzędnych geome-trycznych do dziedziny rozkładów mas skojarzonych z tymi zbiorami. W dziedzi-nie rozkładu mas, zamiast operować współrzędnymi geometrycznymi punktów zbioru, dokonuje się obliczeń na podstawie parametrów tych rozkładów, takich jak środek masy, macierz kowariancji czy ogólnie tzw. momenty. W przypadku atraktorów IFS, naturalnymi funkcjami rozkładu masy dla tych zbiorów są wła-śnie – zdefi niowane w poprzednim punkcie – miary niezmiennicze IFSP. W niniejszym punkcie przedstawiono metodę obliczania momentów zwy-kłych pierwszego i drugiego rzędu miar niezmienniczych generowanych przez IFSP składających się ze zwężających afi nicznych odwzorowań na przestrze-niach nR . Jak pokazano poniżej, wykorzystanie współrzędnych jednorodnych prowadzi do zwartego rozwiązania, które łatwo ująć w formę algorytmu nume-rycznego. Przedstawiony materiał jest uogólnieniem rezultatów częściowych, prezentowanych poprzednio przez autora w pracach [86], [87] w odniesieniu do przestrzeni 2R i 3R .

Twierdzenie 2.35. Niech {w1,...,wN ; p1,..., pN} będzie IFSP na zwartej przestrzeni (X, d), gdzie wi są odwzorowaniami zwężającymi. Niech :f X R będzie od-wzorowaniem ciągłym. Wtedy

1

N

i iiA A

f d p f w d

, (2.19)

gdzie A X jest atraktorem IFS {w1,...,wN }, zaś – miarą niezmienniczą ge-nerowaną przez ten IFSP.

Dowód. Podane twierdzenie jest bezpośrednią konsekwencją bardziej ogólnego faktu wykazanego w (Barnsley [7, s. 350]), a mianowicie, że

1( ( ))

N

i iiX X

f d M p f w dv

, gdzie M jest operatorem Markowa skojarzonym

z IFSP i ( )X P .

Niech dany będzie IFSP {w1,...,wN ; p1,..., pN} na przestrzeni (X, d), tak że X jest zwartym podzbiorem nR oraz wi są zwężające na (X, d). Niech A będzie atraktorem IFS {w1,...,wN}, zaś miarą niezmienniczą IFSP. Oznaczmy przez

1: n n R R odwzorowanie przekształcające współrzędne punktu nx R do układu współrzędnych jednorodnych, to jest T

1( ) [ ( ),..., ( ),1]nx x x , gdzie



: ni R R , i = 1..., n, i wartością ( )i x jest i-ta współrzędna punktu x. Następ-

nie, niech ( 1) ( 1): n n nT R R oznacza odwzorowanie zdefi niowane jako

1 1 1 1

T

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ( ))( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1

n

n n n n

n

T

x x x x x

x x xx x x x x

x x

.

Teraz całkując T względem po A , otrzymamy macierz symetryczną ( 1) ( 1)n n M R taką, że

1 1 1 1

1

1 1

nA A A

n n n nA

A A A

nA A

d d d

Td d d d

d d

M

. (2.20)

Ponieważ nośnikiem miary niezmienniczej jest atraktor A (twierdzenie 2.33), zatem elementy lewej górnej podmacierzy n×n macierzy M są momentami zwykłymi drugiego rzędu miary , zaś ostatnią kolumnę (i ostatni wiersz) two-rzą momenty zwykłe pierwszego rzędu tej miary (zakończone momentem zero-wym d równym 1 ze względu na fakt unormowania ).

Twierdzenie 2.36. Niech {w1,..., wN ; p1,..., pN} będzie IFSP na przestrzeni (X, d), gdzie :iw X X są zwężającymi odwzorowaniami afi nicznymi, zaś X jest zwar-tym podzbiorem nR . Macierz ( 1) ( 1)n n M R momentów miary niezmienniczej jest rozwiązaniem układu ( 3) / 2n n równań liniowych określonych równa-niem macierzowym

T

1

N

i i ii

p

M W M W , (2.21)

gdzie ( 1) ( 1)n ni

W R jest macierzą reprezentującą odwzorowanie wi w układzie współrzędnych jednorodnych.

Dowód. Na podstawie twierdzenia 2.35

1( ) ( )

N

i iiA A

T d p T w d

M x x .

Z kolei

1 T T( ) ( ( ( ))) ( ( ))( ( )) ( )i i i i i iT w T T x W x W x W x W x W ,



a zatem

T

1( )

N

i i ii A

p T d

M W x W . (2.22)

Rozpisując całkowanie po prawej stronie tej równości względem elementów ma-cierzy

1( ), , 1

nii k m k m

a

W i

1, , 1

( ) ( )n

k m k mT b

x x oraz biorąc pod uwagę fakt, że cał-

kowanie Lebesgue’a jest operacją liniową, otrzymujemy

11 1

T ( ) ( ), , ,

1 1, 1

11 1

( ) ( ), , ,

1 1, 1

T T

( ) ( )

( )

( ) .

nn n

i ii i k q m r k m

q rA A k m

nn n

i ik q m r k m

q r A k m

i i i iA

T d a a b d

a a b d

T d

W x W x

x

W x W W M W

Stąd, w wyniku zastąpienia całki w równaniu (2.22) wyrażeniem Ti iW M W , uzy-

skujemy równanie (2.21). Ponieważ M jest macierzą symetryczną rozmiaru (n+1)(n+1) oraz element

[ 1, 1] 1n n M , zatem układ równań składa się z 1

( 1) ( 3) / 2n

ii n n

rów-nań i tylu samych niewiadomych (momentów).

Następnie zajmiemy się przedstawieniem układu równań (2.21) w formie dogodnej do obliczeń. W celu zwięzłości zapisu oznaczmy ,[ , ] k mk m MM

i ( ),[ , ] i

i k mk m aW ( , 1,..., 1k m n ) . Układ równań reprezentowany przez równa-nie macierzowe (2.21) można przedstawić w postaci jawnej jako

1 1( ) ( )

, , , ,1 1 1

N n ni i

k m i k q m r q ri q r

M p a a M

, 1,...,k n , ,..., 1m k n . (2.23)

Oznaczając momenty pierwszego rzędu , 1 1,q n n qM M ( 1,...,q n ) po prawej stronie równości (2.23) przez qM i dokonując elementarnych operacji algebra-icznych, układ równań liniowych można sprowadzić do układu składającego się z n równań postaci:

1( ) 2 ( ) ( )

, , , , , ,1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 2, , 1 , 1

1 1 1

( ) 2

2 ( ) , 1,..., ,

n N n n Ni i i

k k i k q q q i k q k r q rq i q r q i

n N Ni i i

i k q k n q i k nq i i

M p a M p a a M

p a a M p a k n

(2.24a)



oraz n(n + 1)/2 równań postaci:

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , , , , ,1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1 , 1 , , 1 , 1

1 1 1

( )

( ) ,

n N n n Ni i i i i i

k m i k q m q q q i k q m r k r m q q rq i q r q i

n N Ni i i i i i

i k q m n k n m q q i k n m nq i i

M p a a M p a a a a M

p a a a a M p a a

(2.24b) k = 1,..., n, m = k + 1,..., n + 1.

Ponieważ macierze Wi (i = 1,..., N) reprezentują odwzorowania afi niczne w układzie współrzędnych jednorodnych (por. (2.6)), zatem ( )

1, 0in ma (m = 1,..., n)

i ( )1, 1 1i

n na . Stąd podzbiór równań (2.24b), w których momenty pierwszego rzę-du , 1k n kM M (k = 1,..., n) występują po lewej stronie, może zostać wyrażony w uproszczonej formie

( ) ( ), , 1

1 1 1

n N Ni i

k i k q q i k nq i i

M p a M p a

, k = 1,..., n, (2.25a)

lub równoważnie w notacji macierzowej jako

1 1

N N

i i i ii i

p p

I L E t , (2.25b)

gdzie n nI R oznacza macierz identycznościową, n ni

L R i ni t R oznacza-

ją odpowiednio macierz części liniowej i wektor translacji odwzorowania wi re-prezentowanego przez macierz Wi (por. (2.6)), E zaś jest wektorem momentów pierwszego rzędu. Korzystając z analogii zaczerpniętych z mechaniki, wektor ten często utożsamia się ze środkiem masy o rozkładzie określonym przez miarę . Na podstawie wzorów (2.25), w przypadku afi nicznych IFS momenty zwykłe pierwszego rzędu są niezależne od momentów zwykłych drugiego rzędu. Zatem obliczenie macierzy momentów M może zostać dokonane w dwóch następują-cych po sobie krokach. W kroku pierwszym rozwiązywany jest układ n równań liniowych (2.25) w celu otrzymania wektora momentów pierwszego rzędu E . W kroku drugim wektor E jest wykorzystywany do obliczania momentów zwy-kłych rzędu drugiego, które są wyznaczane jako rozwiązanie układu ( 1) / 2n n równań liniowych określonych równościami: (2.24a) dla k = 1,..., n oraz (2.24b) dla k = 1,..., n – 1 i m = k + 1,..., n.

2.6. ELEMENTY TEORII ŁAŃCUCHÓW MARKOWA

Przy analizie niektórych algorytmów aproksymacji opisanych w rozdz. 3 i 4 będziemy korzystali z elementów teorii łańcuchów Markowa. W tym punkcie



przedstawiono stosowane w niniejszej pracy defi nicje i własności tych procesów stochastycznych.

Defi nicja 2.37. Łańcuchem Markowa nazywany jest ciąg zmiennych losowych 0{ }i iX

o wartościach w przeliczalnym zbiorze S (przestrzeni stanów) taki, że dla każdego iN i każdej sekwencji 0 1, ,..., is s s S zachodzi

1 1 1 1 0 0 1 1( | ,..., , ) ( | )i i i i i i i iP X s X s X s X s P X s X s ,

jeśli tylko 1 1 1 1 0 0( | ,..., , ) 0i i i iP X s X s X s X s . Własność ta określana jest jako własność Markowa ciągu zmiennych losowych.

Innymi słowy, łańcuch Markowa to taki proces stochastyczny, którego stan w chwili i zależy wyłącznie od stanu w chwili 1i .

Defi nicja 2.38. Niech 0{ }i iX będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni sta-

nów S. Macierzą przejścia (macierzą stochastyczną) łańcucha Markowa w kro-ku iN nazywana jest macierz , ,( ) [ ]

k m k ms s s s Si p P , taka że dla każdego ks S ,

, 1k m

m

s ss S

p

oraz ,k ms sp określa prawdopodobieństwo przejścia łańcucha w i-tym

kroku ze stanu ks do stanu ms , to jest:

, 1( | )k ms s i m i kp P X s X s ,

jeśli tylko 1( ) 0i kP X s .

Defi nicja 2.39. Rozkładem początkowym łańcucha Markowa 0{ }i iX nazywamy

rozkład zmiennej losowej 0X . Łańcuch Markowa nazywany jest jednorodnym (jednorodnym w czasie), gdy istnieje macierz przejścia P będąca dla każdego iN macierzą przejścia tego łańcucha w i-tym kroku, to jest ( ), i i P P N .

W pracy zajęto się wyłącznie łańcuchami Markowa jednorodnymi w czasie. Z tego względu w dalszej części niniejszego podpunktu będzie pomijane to do-określenie.

Twierdzenie 2.40. Niech 0{ }i iX będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni

stanów 1 2{ , ,...}S s s . Niech wektor 1 2

[ ( ), ( ),...]s sp l p l , 0lN , określa rozkład zmiennej losowej lX , zaś , ,[ ( )]

k m k m

is s s s Sp i P , iN , będzie i-krotnym iloczy-

nem macierzy przejścia tego łańcucha. Wtedy wektor

1 2 1 2[ ( ), ( ),...] [ ( ), ( ),...] i

s s s sp l i p l i p l p l Pokreśla rozkład zmiennej losowej l iX . W szczególności, w przypadku rozkładu początkowego danego wektorem

1 2[ (0), (0),...]s sp p , wektor

1 2 1 2[ ( ), ( ),...] [ (0), (0),...] i

s s s sp i p i p p P

określa rozkład zmiennej losowej iX .

Dowód. Na przykład (Jakubowski i Sztencel [60, s. 265 i n.]).



Na podstawie twierdzenia 2.40, elementy , ( )k ms sp i macierzy iP określa-

ją prawdopodobieństwa przejścia łańcucha Markowa ze stanu ks do stanu ms w i-kro kach, czyli

0

,, ( ) ( | )k ms s l i m l kl p i P X s X s N ,

jeśli tylko ( ) 0l kP X s .

Defi nicja 2.41. Niech 0{ }i iX będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów

1 2{ , ,...}S s s . Niech , ,[ ( )]k m k m

is s s s Sp i P będzie i-krotnym iloczynem macierzy

przejścia tego łańcucha. (a) Stan ms jest osiągalny ze stanu ks , jeśli istnieje iN , dla którego ( ) 0

k ms sp i . (b) Stany ks i ms nazywane są wzajemnie komunikującymi się, jeśli stan ks jest

osiągalny ze stanu ms oraz stan ms jest osiągalny ze stanu ks . (c) Podzbiór stanów C S nazywany jest nieprzywiedlnym, jeśli wszystkie stany

ze zbioru C wzajemnie komunikują się. Podobnie, jeśli cała przestrzeń stanów S tworzy zbiór nieprzywiedlny, wówczas będziemy mówili o nieprzywiedlnym łańcuchu Markowa.

(d) Podzbiór stanów C S nazywany jest zamkniętym, jeśli żaden stan spoza zbioru C nie jest osiągalny z żadnego ze stanów należących do C. Stan nazy-wany jest pochłaniającym, jeśli tworzy zamknięty podzbiór jednoelementowy.

Defi nicja 2.42. Niech 0{ }i iX będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni stanów

1 2{ , ,...}S s s . Przez ,k ms sF oznaczono prawdopodobieństwo, że łańcuch wycho-dząc ze stanu ks dotrze kiedykolwiek do stanu ms :

, 0

1

{ }|k ms s i m k

i

F P X s X s

.

Stan ks nazywany jest(a) powracającym, gdy , 1

k ks sF ;(b) chwilowym, gdy , 1

k ks sF .

Twierdzenie 2.43. Przestrzeń stanów nieprzywiedlnego łańcucha Markowa skła-da się wyłącznie albo ze stanów powracających, albo ze stanów chwilowych.

Dowód. Na przykład (Jakubowski i Sztencel [60, s. 282]).

Twierdzenie 2.44. Przestrzeń stanów S łańcucha Markowa można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy:

1 2 ...S T R R ,

gdzie T jest zbiorem stanów chwilowych, zaś iR są nieprzywiedlnymi zamknię-tymi zbiorami stanów powracających.

Dowód. Na przykład (Jakubowski i Sztencel [60, s. 283 i n.]).



Z twierdzenia tego wynika, że jeśli 0 iX R , to łańcuch Markowa nigdy nie opuści iR . Zatem dla każdego (niepustego) podzbioru iR można dokonać „za-wężenia” oryginalnego łańcucha Markowa do łańcucha Markowa działającego na przestrzeni stanów iR , otrzymując w ten sposób nieprzywiedlny łańcuch Marko-wa o przestrzeni stanów składającej się ze stanów powracających.

Twierdzenie 2.45. Jeżeli łańcuch Markowa jest nieprzywiedlny oraz jego prze-strzeń stanów składa się ze stanów powracających, to dla każdego stanu ks

( 1, ) 1i kP i X s niezależnie od rozkładu początkowego tego łańcucha. Dowód. Na przykład (Jakubowski i Sztencel [60, s. 282]).

Według twierdzenia 2.45 nieprzywiedlny łańcuch Markowa, którego prze-strzeń składa się ze stanów powracających (por. twierdzenie 2.43), w trakcie swo-jej ewolucji odwiedzi wszystkie swoje stany niezależnie od stanu, z którego wy-startował.

Twierdzenie 2.46. Niech 0{ }i iX będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni sta-

nów 1 2{ , ,...}S s s i macierzy przejścia P. Jeżeli ms jest stanem chwilowym, to dla każdego stanu ks

lim ( ) 0

k ms sip i

gdzie ( )k ms sp i jest elementem i-krotnego iloczynu iP macierzy przejścia tego łań-

cucha. Dowód. Na przykład (Jakubowski i Sztencel [60, s. 280]).

Jeśli przestrzeń stanów 1 2{ , ,..., }nS s s s łańcucha Markowa jest skończona,

to dla każdego stanu ks mamy ,1

( ) 1k m

n

s sm

p i

. Zatem w takim przypadku zawsze

istnieje stan ms taki, że prawdopodobieństwo ( )k ms sp i nie zbiega do zera przy

i . Z twierdzenia 2.46 wynika zatem następujący wniosek:

Wniosek 2.47. Niech 0{ }i iX będzie łańcuchem Markowa na skończonej prze-

strzeni stanów 1 2{ , ,..., }nS s s s . Niech SR będzie zbiorem stanów powraca-jących. Wtedy:(a) R ;(b) ( 0 : ) 1iP i X R niezależnie od stanu, z którego łańcuch wystartował.

Twierdzenie 2.48. Niech 0{ }i iX będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni sta-

nów 1 2{ , ,...}S s s i macierzy przejścia , ,[ ]k m k ms s s s Sp P . Oznaczmy przez ( )C kp s i ( )C ks prawdopodobieństwo dojścia tego łańcucha do podzbioru C S i, od-

powiednio, średni czas tego dojścia pod warunkiem, że łańcuch jest w stanie ks :


36 Aproksymacja – algorytmy ogólne

0( ) ({ 0 : }| )C k i kp s P i X C X s ,

0( ) (inf{ 0 : }| )C k i ks E i X C X s .Wtedy:(a) jeśli ks C , to ( ) 1C kp s i ( ) 0C ks ;(b) jeśli ks C , to spełnione są układy równań

( ) ( )

k m

m

C k s s C ms S

p s p p s

,

( ) 1 ( )

k m

m

C k s s C ms C

s p s

.

Ponadto, gdy S jest zbiorem skończonym, wówczas powyższe układy równań mają jednoznaczne rozwiązanie.

Dowód. Na przykład (Jakubowski i Sztencel [60, s. 299–300]).

3. APROKSYMACJA – ALGORYTMY OGÓLNE

Aproksymacja atraktorów IFS jest postawowym problemem spotykanym za-równo w wizualizacji tych zbiorów, jak i wielu zadaniach z zakresu numeryczne-go rozwiązywania różnego rodzaju zagadnień z dziedziny geometrii obliczeniowej, czy też obliczania cech ilościowych charakteryzujących te zbiory, takich jak choć-by wymiar fraktalny. Zbiory te składają się bowiem na ogół z nieskończonej (i zwy-kle, nieprzeliczalnej) liczby punktów, a sposób ich opisu oparty na specyfi kacji IFS sprawia, iż często nie jest możliwe rozwiązanie danego zadania bezpośrednio na podstawie samej specyfi kacji. W większości przypadków zatem obliczenia mogą być dokonywane co najwyżej z pewną określoną precyzją, na postawie skończone-go zbioru punktów, który aproksymuje oryginalny atraktor z zadaną dokładnością. W tym rozdziale przedstawiono i przeanalizowano algorytmy aproksyma-cji atraktorów IFS generujące zbiory aproksymacyjne, które nie zawierają żad-nych dodatkowych informacji dotyczących topologii zbioru lub zależności prze-strzennych między składowymi zbioru. W rozdziale następnym omówiono meto-dy aproksymacji atraktorów generujące zbiory uporządkowane względem podzia-łu przestrzennego indukowanego przez równomierną siatkę na przestrzeni nR .

3.1. ITEROWANIE OPERATORA HUTCHINSONA

Algorytm aproksymacji atraktora IFS oparty na iterowaniu operatora Hutchinso-na skojarzonego z tym IFS jest bezpośrednią konsekwencją konstruktywnej części



twierdzenia Banacha o odwzorowaniu zwężającym (twierdzenie 2.6) zastosowanego w odniesieniu do tego operatora, ujętej w poprzednim rozdziale w formule (2.12). Niech dany będzie IFS {w1,...,wN} określony na przestrzeni metrycznej X z me-tryką d. Niech A będzie atraktorem tego IFS, zaś (0, diam( )]A dozwolo-nym błędem aproksymacji. Wówczas, na podstawie twierdzenia 2.16, w wyni-ku iteracyjnego zastosowania operatora Hutchinsona W skojarzonego z tym IFS, w k-tym kroku iteracji otrzymuje się zbiór Bk = W(Bk1) taki, że

01,...,( , ) ( max Lip( )) ( , )k

k ii Nh B A w h B A

(3.1)

gdzie zbiór początkowy 0B X jest zwarty i niepusty, zaś h oznacza metrykę Hausdorffa (indukowaną przez d). Zatem, wybierając zbiór początkowy B0 taki, że 0( , ) diam( )h B A A oraz przyjmując

1,...,

log diam( ) loglog( maxLip ( ))ii N

AMw

, (3.2)

w M-tej iteracji operatora W, otrzymuje się zbiór MA B taki, że ( , )h A A ,to jest aproksymujący atraktor IFS z błędem nie większym niż względem metry-ki Hausdorffa. W celu otrzymania aproksymacji punktowej atraktora, zbiór początkowy B0 na-leży określić jako singleton zawierający jeden z punktów atraktora A . Z kolei, dowolny punkt atraktora najłatwiej wyznaczyć jako punkt stały xf = wi(xf) dowol-nego z odwzorowań wi wchodzących w skład IFS1. W przypadku odwzorowań afi -nicznych na przestrzeniach nR (lub ich zwartych podzbiorach) obliczenie punk-tu stałego sprowadza się do rozwiązania układu n równań liniowych. Ponieważ IFS składa się z odwzorowań zwężających, zatem na podstawie twierdzenia Ba-nacha o odwzorowaniu zwężającym (twierdzenie 2.6) rozważany układ równań li-niowych jest oznaczony. W przypadku IFS składających się z odwzorowań nieli-niowych, punkt stały odwzorowania nieliniowego można wyznaczyć numerycznie z dowolną dokładnością, np. poprzez aproksymację formuły (2.7), k-krotnie stosu-jąc to odwzorowanie do dowolnego punktu przestrzeni. Jedną z podstawowych wad omawianego algorytmu aproksymowania atrakto-rów IFS jest jego wykładnicze zapotrzebowanie na pamięć. Zakładając bowiem, że IFS składa się z N odwzorowań i B0 jest singletonem, należy w k-tej iteracji przechowywać w pamięci zbiór kN punktów, po czym w kroku kolejnym każdy z tych punktów jest przekształcany każdym z N odwzorowań IFS.

1 Faktu przynależności punktu stałego xf dowolnego z odwzorowań IFS do atraktora można na przykład dowieść w następujący sposób (Skarbek [140]): ({ })f fx W x , więc ({ })k

f fx W x dla każdego k N . Stąd ( ({ }), ) ( , ) 0k

f fd W x A d x A . Na podstawie twierdzenia 2.6 ( ({ }), ) 0k

fd W x A przy k . Zatem ( , ) 0fd x A i stąd fx A , bo A jest zbio-rem domkniętym.



Ponadto, w ogólnym przypadku, algorytm ten daje w wyniku zbiory, które choć aproksymują dany atraktor z zadaną dokładnością, to jednak tworzące je punkty wypełniają atraktor nierównomiernie. Ponieważ

1

1

0 0 0,..., 1

(...( ( )...) ( ) ... ( )M

M

M NM

i ii i

W W B W B w w B

, (3.3)

zatem M-krotne zastosowanie operatora Hutchinsona do zbioru początkowego B0 w procesie iteracyjnym (lewa strona formuły (3.3)) jest równoważne zastosowa-niu do tego zbioru każdego z MN różnych złożeń odwzorowań IFS (prawa stro-na formuły (3.3)). Z kolei na podstawie (2.11) otrzymuje się

1

1 ,..., 1

( ) ... ( )M

M

NM

i ii i

A W A w w A

. (3.4)

Stąd, przyjmując za zbiór początkowy singleton B0 = {x}, x A , otrzymamy, że każdy z MN podzbiorów

1... ( )

Mi iw w A atraktora zawiera punkt 1

... ( )Mi iw w x

zbioru MA B aproksymującego ten atraktor. Dodatkowo, na podstawie nierów-ności (2.1), średnice podzbiorów

1... ( )

Mi iw w A spełniają zależności

1 1

1

diam( ... ( )) Lip( ... )diam( ) Lip( )diam( )M M j

M

i i i i ij

w w A w w A w A

,

(3.5)

które przybierają postać równości w przypadku, gdy jiw są podobieństwami. Za-

tem w przypadku, gdy współczynniki zwężania odwzorowań IFS nie są sobie równe, dla ustalonego M N , średnice podzbiorów wchodzących w skład sumy mnogościowej prawej strony równości (3.4) mogą różnić się od siebie dowolnie dużo. Jak wcześniej pokazano, na każdy z tych MN podzbiorów przypada przy-najmniej jeden z punktów zbioru A i punktów tych jest co najwyżej MN . Stąd, części atraktora, na które przypadają podzbiory

1... ( )

Mi iw w A o mniejszych średnicach, są zwykle wypełniane przez punkty zbioru A gęściej, aniżeli części atraktora, na które przypadają podzbiory o średnicach większych. Na zakończenie niniejszego punktu warto nadmienić, że złożoność pamięcio-wą niniejszego podejścia można zredukować z O( MN ) do O(M), przekształcając jawną iterację operatora Hutchinsona w algorytm rekurencyjny. Jak zauważono bowiem wyżej (równość (3.3)), M-krotne zastosowanie operatora Hutchinsona do pewnego zbioru jest równoważne sumie mnogościowej obrazów tego zbioru przy wszystkich możliwych MN złożeniach odwzorowań IFS o długości M. Zatem ten sam rezultat otrzymuje się wykonując następujący prosty algorytm rekurencyjny (Martyn [79, s. 103], Nikiel i Steć [107]):



procedure RecursiveHutchinson(B, k) begin 1. for each {1, , }i N do begin2. ( )iB w B ;3. if k = M then 4. A A B ;5. else RecursiveHutchinson( B , k + 1); end for; end.

dla argumentów B = B0 i k = 1 i początkowej wartości A równej tożsamościo-wo . Ponieważ w trakcie konstruowania zbioru aproksymującego atraktor należy

dokonać 1

1

1 11

MMi

i

NNN

przekształceń punktów, złożoność obliczeniowa

obydwu rozwiązań jest rzędu O( MN ).

Rys. 3.1. Samopodobna budowa atraktora IFS

3.2. ALGORYTM ADAPTACYJNYCH ODCIĘĆ

Algorytm adaptacyjnych odcięć (ang. adaptive-cut algorithm), zapropono-wany w pracy (Hepting i inni [56]), wykorzystuje cechę samopodobieństwa atraktorów IFS, która jest bezpośrednią konsekwencją defi nicji operatora Hut-chinsona oraz faktu, że atraktory IFS są niezmiennicze względem tego operato-ra. Algorytm ten pozwala uzyskać zbiory aproksymujące, które zwykle wypeł-



niają atraktory o wiele bardziej równomiernie aniżeli algorytm opisany w punk-cie poprzednim. Nadto, w wersji rekurencyjnej, charakteryzuje się on logaryt-micznym zapotrzebowaniem na pamięć w stosunku do liczby punktów wcho-dzących w skład zbioru aproksymującego. W pracy [56] algorytm adaptacyjnych odcięć został zaproponowany jako me-toda aproksymacji atraktorów IFS składających się jedynie z odwzorowań afi -nicznych na nR . Może on jednakże być również stosowany w bardziej ogólnym przypadku IFS zawierających zwężające różniczkowalne odwzorowania nielinio-we na wypukłych podzbiorach nR . Ujęcie przedstawione w niniejszym punkcie obejmuje także ten ogólny przypadek i stąd stanowi rozszerzenie podejścia orygi-nalnego.

3.2.1. Opis i analiza

Samopodobieństwo atraktorów IFS wynika z formuły (2.11), która pokazuje, że każdy atraktor IFS składa się z podzbiorów będących obrazami tego atraktora przy odwzorowaniach IFS. Ponieważ odwzorowania te są zwężające, zatem skła-dowe podzbiory ( )iw A , i = 1,..., N, atraktora A są mniejsze (względem średnic) od całego atraktora. Na podstawie zależności (3.5) otrzymujemy bowiem, że

diam( ( )) Lip( )diam( )i iw A w A i Lip( ) [0,1)iw . (3.6)

Z kolei, podobnie jak cały atraktor, każdy z podzbiorów ( )iw A składa się z N mniejszych podzbiorów o postaci ( )i jw w A , j = 1,..., N, ponieważ

1 1

( ) ( ( )) ( )N N

i i j i jj j

w A w w A w w A

(3.7a)

oraz, na podstawie (3.5),

diam( ( )) Lip( )diam( ) Lip( )Lip( )diam( )i j i j i jw w A w w A w w A . (3.7b)

Ogólnie

1 1 1 1 1

1 11 1

... ( ) ... ( ( )) ... ( )k k k k k

k k

N N

i i i i i i i ii i

w w A w w w A w w w A

, (3.8)

a więc każdy podzbiór 1

... ( )ki iw w A atraktora można rozłożyć na N mniej-

szych podzbiorów postaci 1 1

... ( )k ki i iw w w A

, ik+1 = 1,..., N, o średnicach speł-niających zależność (3.5) (rys. 3.1). Powyższa obserwacja stanowi podstawę ogólnej koncepcji algorytmu ada-ptacyjnych odcięć. Niech dany będzie IFS {w1,..., wN} określony na prze-strzeni metrycznej X z metryką d. Niech A będzie atraktorem tego IFS, zaś

(0, diam( )]A dozwolonym błędem aproksymacji. Wówczas, rozpoczyna-



jąc od zbioru zawierającego odwzorowania IFS, w kolejnych krokach algoryt-mu konstruujemy zbiór odwzorowań poprzez sekwencyjne zastępowanie każdego odwzorowania

1...

ki iw w , {1,..., }ji N , kN , dla którego współczynnik zwę-żania

1

Lip( ... )diam( )ki iw w

A

, (3.9)

N odwzorowaniami postaci 1 1

...k ki i iw w w

, ik+1 = 1,..., N. W rezultacie działa-

nia algorytmu otrzymujemy zbiór F składający się z odwzorowań 0 1... mi i if będą-

cych złożeniami odwzorowań IFS 1

...mi iw w (w ogólnym przypadku o różnej

długości) takich, że

0 1

0 1

......

( )m

m

i i if Fi i i

A f A

(3.10)

oraz których współczynniki zwężania spełniają zależność

0 1 0 1 1... ...Lip( ) Lip( )

diam( )m mi i i i i if fA

, (3.11)

gdzie mN i 0i

f = Xid jest odwzorowaniem identycznościowym na przestrzeni X. Zbiór aproksymujący atraktor otrzymujemy na podstawie zbioru F , defi niu-jąc go jako

0 1 0 1... ...{ : ( ) i }m mi i i i i iA x X x f A f F . (3.12)

Występujące w powyższej formule punkty należące od podzbiorów 0 1... ( )

mi i if A zwykle wyznacza się jako obrazy dowolnego punktu atraktora przy tych odwzo-rowaniach. Podobnie jak w algorytmie iteracji operatora Hutchinsona, za punkt należący do atraktora wygodnie jest przyjąć punkt stały dowolnego odwzorowa-nia IFS. Na podstawie (3.12), A A , zatem ( , ) 0d A A . Nadto, na podstawie (3.5), (3.10) i (3.11),

0 1...diam( ( ))mi i if A dla każdego

0 1... mi i if F . Zatem dla każdego a A istnieje x A taki, że ( , )d a x i stąd ( , )d A A . Wobec powyższego ( , )h A A , czyli zbiór A aproksymuje atraktor A z błędem nie większym niż względem metryki Hausdorffa. Ponieważ IFS składa się ze skończonej liczby N odwzorowań zwężających, zatem w skład wynikowego zbioru F będzie wchodziło co najwyżej MN odwzo-rowań (i co najwyżej tyle samo punktów zbioru A ), gdzie

0 1...

1,...,

log diam( ) logmax{ : }log( maxLip( ))mi i i

ii N

AM m f Fw

, (3.13)

czyli M jest równe prawej stronie równości (3.2). Stąd w przypadku pesymistycz-

nym należy uwzględnić 1 1 1

1

MN NN

złożeń odwzorowań podczas konstru-



owania zbioru F . W takim przypadku zbiór aproksymujący uzyskany przy użyciu algorytmu adaptacyjnych odcięć będzie się składał z tej samej liczby MN punk-tów, co zbiór aproksymujący będący rezultatem algorytmu opisanego w punk-cie 3.1. Sytuacja taka będzie miała miejsce na przykład wówczas, gdy w skład układu IFS będą wchodziły podobieństwa o identycznych współczynnikach zwę-żania. Choć istnieją klasyczne zbiory fraktalne będące atraktorami IFS w takiej po-staci (trójkąt Sierpińskiego, czy krzywa Kocha), to jednak z punktu widzenia ogól-nych zastosowań IFS dla celów grafi ki komputerowej (np. jako sposób opisu geo-metrii przy użyciu twierdzenia 2.24) przypadek taki występuje względnie rzadko. W zależności od potrzeb, algorytm adaptacyjnych odcięć może być zaimple-mentowany zarówno w formie iteracyjnej, jak i rekurencyjnej. W wersji iteracyj-nej algorytm jest następujący:

procedure IterativeACA()1. begin 1{ , , }NF w w ; A ;2. while F do begin3. \ { }F F f , gdzie f F ;

4. if Lip( )diam( )

fA

then begin

5. Wyznacz punkt ( )x f A ;6. { }A A x ; end if;7. else 1{ ,..., }NF F f w f w ; end while; end.

Zaletą podejścia iteracyjnego jest możliwość określenia dowolnej funkcji wy-boru bieżącego odwzorowania f ze zbioru F w kroku 3 algorytmu, co w niektó-rych adaptacjach tego podejścia do rozwiązywania innych zagadnień geome-trycznych może wpłynąć na znaczne zmniejszenie realnego czasu obliczeń. (Na przykład wybór w pierwszej kolejności odwzorowań o punktach stałych najbliż-szych danemu punktowi y przestrzeni pozwala często na skrócenie czasu obli-czeń w przypadku aproksymowania odległości ( , )d y A tego punktu od atrakto-ra – zob. punkt 7.3). W przypadku, gdy nie zależy nam na żadnej konkretnej funk-cji wyboru, zbiór F wygodnie jest implementować jako kolejkę. Wadą podejścia iteracyjnego jest złożoność pamięciowa1 rzędu 1( )MO N ,w przypadku IFS składającego się jedynie z odwzorowań afi nicznych,

1 Podane złożoności pamięciowe nie uwzględniają pamięci zajmowanej przez aproksymację A atrak-tora. Należy bowiem zauważyć, iż algorytm nie pobiera żadnych informacji z tej pamięci w trakcie swe-go działania. Operacja sumowania, która jest dokonywana w kroku 6 algorytmu, w kategoriach algoryt-micznych jest niczym innym, jak przekazaniem nowo obliczonego punktu na wyjście algorytmu.



i 1( )MO MN , gdy IFS zawiera odwzorowania nieliniowe, gdzie M jest określo-ne równością (3.13). Podane złożoności wynikają z konieczności przechowywa-nia w pamięci złożeń odwzorowań wchodzących w skład zbioru F w trakcie dzia-łania algorytmu (krok 7 algorytmu). Różnica w podanej złożoności pamięciowej dla ściśle afi nicznych IFS oraz IFS zawierających odwzorowania nieliniowe jest skutkiem zastosowania odmiennego podejścia do wyznaczania i przechowywania złożeń odwzorowań w tych dwóch przypadkach. Wyznaczanie złożenia odwzorowań afi nicznych na nR można sprowadzić do mnożenia odpowiednich macierzy reprezentujących te odwzorowania (por. wzór (2.6)), w wyniku czego otrzymuje się macierz tych samych rozmiarów co macierze mnożone. Zatem zarówno koszt obliczeniowy wyznaczania złożenia afi nicznego, jak i koszt pamięciowy związany z jego przechowywaniem są sta-łe. Jak wspomniano, zbiór F składa się z co najwyżej MN odwzorowań. Dlate-go w przypadku pesymistycznym zbiór F zawierający złożenia pośrednie będzie składał się z 1MN odwzorowań i stąd wynika podany wyżej rząd złożoności pa-mięciowej w przypadku afi nicznych IFS. Sytuacja przedstawia się odmiennie w przypadku wyznaczania złożeń zawie-rających odwzorowania nieliniowe. Po pierwsze, wyznaczanie złożenia odwzo-rowań nieliniowych w postaci jawnej reprezentacji przydatnej do obliczeń jest w ogólnym przypadku zadaniem nietrywialnym pod względem algorytmicznym, które zwykle pociąga za sobą konieczność dokonywania obliczeń symbolicznych (na przykład wówczas, gdy w skład odwzorowania wchodzą funkcje elementarne, takie jak np. sinus, kosinus). Po drugie, koszt pamięciowy związany z przecho-wywaniem jawnej reprezentacji złożenia odwzorowań nieliniowych jest zwykle większy niż koszt pamięciowy związany z przechowywaniem dowolnego z od-wzorowań wchodzących w skład tego złożenia (na przykład złożenie odwzorowa-nia wielomianowego stopnia k1 z odwzorowaniem wielomianowym stopnia k2 jest odwzorowaniem wielomianowym stopnia k1k2). Dlatego w przypadku IFS zawie-rających odwzorowania nieliniowe często wygodniej jest zrezygnować z wyzna-czania jawnej reprezentacji złożeń tych odwzorowań. W praktyce zwykle o wiele lepszym rozwiązaniem jest przechowywanie w trakcie działania algorytmu jedy-nie informacji o tworzących te złożenia odwzorowaniach IFS w postaci skończo-nych ciągów indeksów i1i2...im. (Ponieważ, na podstawie formuły (3.13), M okre-śla górną granicę długości tych ciągów, stąd podana wyżej złożoność pamięciowa dla przypadku IFS zawierających odwzorowania nieliniowe). Stosując to drugie podejście, punkty

0 1... ( )mi i ix f A zbioru aproksymującego A występujące w for-

mule (3.12) wyznacza się, w kroku 5 algorytmu, poprzez iteracyjne zastosowanie składowych odwzorowań IFS jako

1(... ( )...)

mi iw w a , gdzie a jest dowolnym punk-tem atraktora A . W algorytmie adaptacyjnych odcięć w wersji rekurencyjnej złożenia nale-żące do zbioru F wyznaczane są w sposób bardziej ekonomiczny pamięcio-



wo. Rozwiązanie to wymaga bowiem pamiętania jedynie informacji o odwzo-rowaniach

0 0 1 0 1...{ , ,..., }mi i i i i if f f bieżącej ścieżki podstawień wiodącej do złożenia

0 1... mi i if F . Ogólną wersję rekurencyjną algorytmu można przedstawić w spo-sób następujący:

procedure RecursiveACA( f ) begin 1. for each {1, , }i N do begin2. ig f w ;

3. if Lip( )diam( )

gA

then begin

4. Wyznacz punkt ( )x g A ;5. { }A A x ; end if;6. else RecursiveACA( g ); end for; end.

Zbiór A aproksymujący atraktor otrzymuje się, wywołując powyższą pro-cedurę z odwzorowaniem f = Xid równym odwzorowaniu identycznościowemu i początkową wartością A równą tożsamościowo .

Działanie obydwu przedstawionych wersji algorytmu adaptacyjnych od-cięć może być zatem rozpatrywane w kategoriach przeszukiwania drzewa zło-żeń odwzorowań IFS, w którym węzły na k-tym poziomie przechowują zło-żenia o postaci

1...

ki iw w i których węzły potomne przechowują złożenia 1 1

...k ki i iw w w

. W korzeniu drzewa znajduje się odwzorowanie identyczno-

ściowe, zaś w jego liściach – złożenia o stałych Lipschitza nie większych od / diam( )A . O ile jednak algorytm w wersji iteracyjnej przeszukuje to drze-

wo „wszerz”, o tyle w wersji rekurencyjnej przeszukiwane drzewa postępuje „w głąb”. W przypadku zastosowania omówionego podejścia do reprezentowania złożeń odwzorowań nieliniowych za pomocą ciągów indeksów odwzorowań IFS, reku-rencyjna wersja algorytmu adaptacyjnych odcięć przybiera postać:

procedure NonlinearRecursiveACA( k ) begin 1. for each {1, , }i N do begin2. [ ]k i ;

3. if [1] [ ]Lip( ... )diam( )kw w

A

then begin



4. Wyznacz punkt [1] [ ]... ( )kx w w A , jako

[1] [ ](... ( )...)kx w w a , gdzie a A ;5. { }A A x ; end if;6. else NonlinearRecursiveACA( k + 1 ); end for; end.

Zbiór A aproksymujący atraktor otrzymuje się, wywołując powyższą pro-cedurę z argumentem k równym 1 i początkową wartości A równą tożsamo-ściowo . W obydwu wyżej przedstawionych wariantach wersji rekurencyjnej algorytm adaptacyjnych odcięć charakteryzuje się logarytmicznym zapotrzebowaniem na pamięć rzędu (log ) ( )MO N O M , gdzie M jest określone równością (3.13). Wszystkie przedstawione wersje algorytmu adaptacyjnych odcięć charak-teryzują się w przypadku pesymistycznym złożonością obliczeniową rzędu

( )MO N , gdzie oznacza czas potrzebny na wyznaczanie stałej Lipschitza bieżącego złożenia odwzorowań.

3.2.2. Wyznaczanie stałych Lipschitza odwzorowań

Przedstawione w poprzednim punkcie wersje algorytmu adaptacyjnych odcięć wymagają wyznaczenia (lub przynajmniej oszacowania od góry) stałej Lipschitzabieżącego złożenia odwzorowań IFS. W literaturze problem ten dyskutowanyjest rzadko i to w sposób ograniczony. Dotyczy to zarówno pozycji poświęco-nych stricte tematyce IFS, jak i ogólnych opracowań dotyczących poszczegól-nych dziedzin matematyki. Nieliczne prace poruszają bowiem jedynie temat wy-znaczania lub szacowania współczynników zwężania zwężających odwzorowań afi nicznych. W przypadku odwzorowań nieliniowych zagadnienie to pozostaje niemalże nietknięte. W niniejszym punkcie podjęto próbę przedstawienia powyższego problemu w sposób kompleksowy, obejmujący przypadek zarówno IFS zawierających od-wzorowania nieliniowe różniczkowalne na wypukłych podzbiorach nR , jak i IFS składających się jedynie z odwzorowań afi nicznych. Rozpoczynając od podstaw teoretycznych, pokazano, że zagadnienie wyznaczania stałych Lipschitza odwzo-rowań afi nicznych jest przypadkiem szczególnym problemu wyznaczania tych stałych w odniesieniu do różniczkowalnych odwzorowań nieliniowych. Następ-nie, opierając się na rozważaniach teoretycznych przedstawiono i przeanalizowa-no różne metody numeryczne rozwiązywania tego problemu.

Defi nicja 3.1. Norma macierzy n nL R indukowana przez normę wektorową .

p na nR defi niowana jest jako



|| |||| || sup : ,

|| ||p n

pp

LxL x R x 0

x. (3.14)

Opierając się na arytmetyce macierzy i aksjomatach normy nietrudno pokazać (np. (Martyn [81])), że zbiór wektorów x występujących w tej defi nicji można ograniczyć do brzegu kuli jednostkowej ( , 1)B 0 i wzór (3.14) zapisać w równo-ważnej postaci:

|| || sup{|| || : ,|| || 1}np p p L Lx x R x . (3.15)

Normę macierzową indukowaną przez euklidesową normę wektorową często określa się mianem normy spektralnej macierzy. Lemat 3.2. Niech f będzie ciągłym odwzorowaniem przedziału [ , ]a b R w przestrzeni nR , które jest różniczkowalne w (a, b). Wtedy istnieje liczba

( , )x a b taka, że

( ) ( ) ( ) ( )E E

f b f a f x b a . (3.16)

Dowód. (Rudin [131, s. 97]).

Twierdzenie 3.3. Niech : nf R będzie odwzorowaniem T1[ ,..., ]nf f f róż-

niczkowalnym na otwartym i wypukłym podzbiorze n R . Jeśli f jest ciągłe w sensie Lipschitza na względem metryki euklidesowej dE, to

Lip( ) sup{|| ( ) || : } Ef Df p p , (3.17)

gdzie

1 1

1

1

( ) ( )

( )

( ) ( )

m

m m

m

f fx x

f fx x

p p

Df p

p p

(3.18)

jest macierzą Jacobiego odwzorowania f w punkcie p, zaś || ( )||EDf p oznacza nor-mę spektralną tej macierzy.

Dowód. W celu zwięzłości zapisu oznaczmy sup{|| ( )|| : }EM Df p p . Poka-żemy najpierw, że Lip( )f M . Niech a, b będą dowolnymi punktami zbioru . Zdefi niujmy funkcję ( ) (1 )t t t a b . Ponieważ zbiór jest wypukły, zatem dla każdego [0,1]t , ( )t . Oznaczając ( ) ( ( ))g t f t , otrzymujemy, że

( ) ( ( )) ( ) ( ( ))( )g t f t t f t b a , [0,1]t .

Ponieważ macierz Jacobiego Df(p) reprezentuje pochodną funkcji f w punkcie p, stąd dla wszystkich [0,1]t



|| ( ) || || ( ( )) || || || || ||E E E Eg t f t M b a b a .

Z kolei, na podstawie lematu 3.2, dla pewnego [0,1]x zachodzi

|| (1) (0)|| || ( )||E Eg g g x

i stąd

|| (1) (0)|| || ||E Eg g M b a .

Dokonując teraz podstawienia g(1) = f(b) i g(0) = f(a) w ostatniej nierówno-ści otrzymuje się || ( ) ( )|| || ||E Ef f M b a b a dla dowolnych , a b i stąd Lip( )f M . Z powyższych rozważań wynika, że do udowodnienia tezy twierdzenia pozo-staje wykazać, że Lip( )M f . Niech p będzie dowolnym punktem . Oznaczmy L = Df(p). Macierz L reprezentuje pochodną funkcji f w punkcie p, zatem spełnia ona równość

|| ( ) ( ) ( )||lim 0|| ||

E

E

f f

x p

x p L x px p

. (3.19a)

Równość ta może zostać wyrażona w równoważnej postaci

( ) ( ) ( ) ( )f f x p L x p r x p , (3.19b)

gdzie wektor ( ) n r x p R , taki że ( )lim|| ||E

x p

r x p 0x p

. Stąd

( ) ( ) Lip( )E E

f L x p r x p x p ,

gdyż f jest ciągła w sensie Lipschitza. Ponieważ jest otwarty, zatem istnieje kula ( , ) { : || || }n

EB p y R y p i na podstawie powyższej nierówno-ści otrzymujemy, że dla każdego ( , )B h x p 0 ,

|| ( ) ( ) || Lip( ) || ||E Ef L h r h h .

Stąd dla h 0 dostajemy

( ) Lip( )|| || || ||E E E

L f

h r hh h

i przechodząc do granicy przy 0 otrzymujemy

Lip( )

|| ||E E

f

hLh

, (3.20)

dla każdego ( , )B h 0 , h 0 . Ponieważ



sup : ( , ), sup{|| || : , || || 1}

|| ||n

E EE E

B

hL h 0 h 0 Lh h R hh

,

na podstawie formuł (3.20) i (3.15) otrzymujemy || ( )|| Lip( )E fDf p . Ponieważ p jest dowolnym punktem zbioru , zatem Lip( )M f , co kończy dowód.

Twierdzenie 3.3 daje praktyczną podstawę numerycznego wyznacza-nia stałej Lipschitza dowolnego odwzorowania f ciągłego w sensie Lipschitzana otwartym zbiorze wypukłym . Stałą Lipschitza takiego odwzorowa-nia można bowiem wyznaczyć z dowolną dokładnością przy użyciu dowol-nego algorytmu optymalizacji na zbiorze wypukłym, maksymalizując funkcję

( ) || ( )||EF p Df p na . W przypadku zastosowania opisanej metody do wyznaczania stałej Lipschitzanieliniowej funkcji

1...

ki if w w , reprezentowanej niejawnie za pomocą ciągu indeksów i1i2...im odwzorowań składowych, można macierz Jacobiego tej funk-cji w punkcie 0p wyznaczyć iteracyjnie (wykorzystując regułę różniczkowania funkcji złożonej) jako iloczyn macierzy Jacobiego (.)

miDw odwzorowań składo-

wych w odpowiednich punktach:

1

00

( ) ( )k

i mm

k m

Df p Dw p , 1 ( )m i mk mw

p p , {0,..., 2}m k , (3.21)

o ile ik mw

są różniczkowalne w punktach .mp

Należy zauważyć, że z podejściem takim wiążą się jednak co najmniej dwie trudności. Po pierwsze, nawet jeśli wi są różniczkowalne na pewnym otwartym i wypukłym zbiorze , to jednak w ogólnym przypadku ( )iw , a zatem wi niekoniecznie muszą być różniczkowalne w punktach mp (i stąd odwzorowa-nie f niekoniecznie jest różniczkowalne na ). Po drugie, bezpośrednie włącze-nie opisywanego podejścia do algorytmu adaptacyjnych odcięć w kroku, w któ-rym wyznaczany jest współczynnik zwężania bieżącego złożenia odwzorowań (krok 4 algorytmu w wersji iteracyjnej i krok 3 algorytmu w wersji rekurencyj-nej algorytmu), wiązałoby się ze znacznym nakładem obliczeniowym. Rozważa-ny krok algorytmu wykonywany jest bowiem, w zależności od wersji algorytmu, w każdym przebiegu iteracji lub w każdym wywołaniu rekursywnym. W takich okolicznościach wygenerowanie zbioru A aproksymującego atraktor wymaga-łoby (| |)O A wywołań algorytmu maksymalizacji funkcji na zbiorze wypukłym, gdzie | |A oznacza liczbę punktów zbioru A . Ponieważ w praktycznych zasto-sowaniach zbiory aproksymujące składają się zwykle co najmniej z kilku tysięcy punktów, rozwiązanie takie jest w praktyce na ogół nie do zaakceptowania. Po-niżej przedstawiono metodę pozwalającą na ominięcie wspomnianych trudności w zastosowaniach praktycznych.



Niech 1{ }Ni iw , :iw X X , będzie IFS z atraktorem A . Załóżmy, że istnie-

je otwarty i wypukły zbiór X , taki że A . Wówczas restrykcje |iw ,i = 1,..., N, są odwzorowaniami zwężającymi na ze współczynnikami zwę-żania Lip( ) Lip( )|i iw w

. Ponadto, dla dowolnego złożenia

1...

ki if w w , {1,..., }mi N , |f jest odwzorowaniem zwężającym na ze współczynnikiem

zwężania

Lip( ) Lip( )|f f

. (3.22)

Dodatkowo, ponieważ A , zatem diam( ( )) Lip( )diam( )|f A f A . Oczy-

wiście

1

Lip( ) Lip( )m

k

im

f w

i stąd, na podstawie nierówności (3.22), także

1

Lip( ) Lip( )| m

k

im

f w

.

Pomimo to, niekoniecznie spełniona jest nierówność 1

Lip( ) Lip( )| |m

k

im

f w

,

bowiem – jak sygnalizowano to już wcześniej – w ogólnym przypadku wi nie od-wzorowują w . Jednakże zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.4. Niech A będzie atraktorem IFS 1{ }Ni iw na X z metryką eu-

klidesową dE. Wtedy A jest także atraktorem IFS 1{ }|N

i iAw

o odwzorowaniach działających na zwartej przestrzeni ( , )EA d . Jeśli dodatkowo istnieje otwarty i wypukły zbiór X , taki że A oraz restrykcje |iw , i = 1,..., N, są róż-niczkowalne na , to

1

1

Lip( ... ) sup{|| ( )|| : } 1| |k m

k

i i i Em

A Aw w

Dw p p (3.23)

dla dowolnych {1,..., }mi N , kN .

Dowód. Niech W będzie operatorem Hutchinsona skojarzonym z 1{ }Ni iw .

Wtedy dla każdego ( )E AH , 1

( )( ) ( ) ( )| |N

ii

A AW E W E w E

H. Po-

nieważ także atraktor IFS ( )A A H i A jest punktem stałym W, zatem ( ) ( )| ( )AA W A W A

H. Wobec tego A jest także punktem stałym

| ( )AWH

oraz : ( ) ( )| ( )AW A A

H

H H jest zwężający na ( )AH ze współczynnikiem zwężania Lip( ) Lip( )| ( )AW W

H. Ponieważ A jest zwarty,

zatem jest przestrzenią zupełną z metryką dE. Stąd, na podstawie twierdzenia 2.6,



| ( )AWH

posiada dokładnie jeden punkt stały i jest nim właśnie A . Stąd A jest atraktorem IFS 1{ }|

Ni iAw

.

Pokażemy teraz, że zachodzi nierówność (3.23). Ponieważ :|i Aw A A

,

i = 1,..., N, zatem 1

1

Lip( ... )| | |k m

k

i i im

A A Aw w w

. Ponieważ X A i wi

są zwężające na X, zatem |iw są zwężające na i Lip( ) Lip( ) 1| |i iAw w

.Ponadto, jest otwarty i wypukły oraz |iw są różniczkowalne na . Stąd, stosu-jąc twierdzenie 3.3 do Lip( )|iw

, otrzymujemy nierówność (3.23).

Z punktu widzenia praktycznych zastosowań w problemach numerycznych, część pierwsza powyższego twierdzenia mówi o tym, że w odniesieniu do do-wolnego IFS na przestrzeni X, zamiast rozpatrywać oryginalne odwzorowania składowe, można ograniczyć rozważania do restrykcji tych odwzorowań do pod-zbioru jakim jest atraktor. W szczególności, w przypadku dowolnego złożenia

1...

ki iw w oryginalnych odwzorowań IFS

1 1

1

diam( ... ( )) diam( ... ( ))| |Lip( ... )diam( ).| |

k k

k

i i i i

i i

A A

A A

w w A w w A

w w A

(3.24)

Stąd, wykorzystując do aproksymacji atraktora IFS algorytm adaptacyjnych od-cięć, można wyznaczanie współczynników zwężania (krok 4 algorytmu w wer-sji iteracyjnej i krok 3 algorytmu w wersji rekurencyjnej) ograniczyć do złożeń restrykcji odwzorowań oryginalnych. Z kolei, na mocy drugiej części powyższe-go twierdzenia, współczynniki zwężania złożeń tych restrykcji można oszacować z góry za pomocą prawej strony nierówności (3.23), o ile istnieje otwarty i wy-pukły podzbiór przestrzeni X zawierający atraktor, na którym odwzorowania ory-ginalne są różniczkowalne1. Kresy górne norm odpowiednich macierzy Jacobie-go występujące w nierówności (3.23) należy wyznaczyć w fazie poprzedzającej proces aproksymacji atraktora, wykorzystując w tym celu – tak jak wspomniano wcześniej – odpowiedni algorytm optymalizacji na zbiorze wypukłym. Najmniej-szym zbiorem wypukłym, który wchodzi w rachubę, jest zbiór (conv( ), )N A dla dowolnie małego 0 , to jest dowolnie małe otoczenie epsilonowe otoczki wypukłej atraktora. W przypadku IFS składających się wyłącznie z odwzorowań afi nicznych na

nR problem wyznaczania współczynników zwężania złożeń tych odwzorowań znacznie się upraszcza. Pochodną odwzorowania afi nicznego w(x) = L(x) + t

1 Warto zauważyć, że na podstawie twierdzenia Rademachera każde odwzorowanie ciągłe w sen-sie Lipschitza na podzbiorze otwartym w nR jest różniczkowalne na tym podzbiorze prawie wszę-dzie, to jest z wyjątkiem zbioru zerowej miary Lebesgue’a (Mattila [97]).



(wzór (2.2)) jest bowiem L, czyli część liniowa tego odwzorowania, i nie zależy ona od punktów przestrzeni. Dlatego macierz Jacobiego odwzorowania części li-niowej jest po prostu macierzą L reprezentującą tę część. Ponieważ dowolne zło-żenie odwzorowań afi nicznych jest odwzorowaniem afi nicznym, to samo tyczy dowolnego złożenia tych odwzorowań. Macierz Jacobiego złożenia tych odwzo-rowań jest równa macierzy części liniowej tego złożenia, a ta ostatnia jest równa iloczynowi macierzy części liniowych tych odwzorowań (co zresztą wynika rów-nież z formuły (3.21)). Dlatego dowolne odwzorowanie afi niczne jest różniczko-walne na nR oraz – jak łatwo pokazać – jest ono ciągłe w sensie Lipschitza na

nR z metryką euklidesową. Zatem w przypadku odwzorowań afi nicznych formu-ła (3.17) upraszcza się do postaci:

Lip( )E

w L , (3.25)

gdzie L jest macierzą części liniowej odwzorowania w. Rozważając wymienione własności odwzorowań afi nicznych w kontekście algorytmu adaptacyjnych odcięć, można wysnuć wniosek, że zwykle efektyw-niejszym rozwiązaniem problemu wyznaczania współczynników zwężania bie-żących złożeń odwzorowań afi nicznych jest zastosowanie odmiennej strategii, aniżeli szacowanie tych współczynników na podstawie formuły (3.23). Meto-dom tym poświęcona jest dalsza część niniejszego podpunktu. Na podstawie twierdzenia o rozkładzie macierzy względem wartości szcze-gólnych (Kiełbasiński i Schwetlick [66, s. 47]) norma spektralna macierzy L jest równa

max ( )E

L L , (3.26)

gdzie max ( ) L oznacza maksymalną wartość szczególną macierzy. Choć istnie-ją stabilne numerycznie metody rozkładu macierzy względem wartości szcze-gólnych (SVD) (Golub i Van Loan [44]), to jednak ich zastosowanie w celu wyznaczenia stałej Lipschitza każdego z O(NM) złożeń odwzorowań tworzo-nych w algorytmie adaptacyjnych odcięć nie byłoby rozwiązaniem rozsądnym. Przede wszystkim metody te są kosztownymi obliczeniowo algorytmami itera-cyjnymi (patrz np. implementacja SVD w pracy (Press i inni [121])). Ponadto, na podstawie twierdzenia o rozkładzie macierzy symetrycznej względem warto-ści własnych (Kiełbasiński i Schwetlick [66, s. 41]), 2 T

max( ) ( ) L L L , gdzie lewa strona równości oznacza maksymalną wartość własną nieujemnie określo-nej macierzy symetrycznej TL L . Stąd norma spektralna macierzy L może zo-stać wyrażona również jako

T

max ( )E

L L L . (3.27)

Norma spektralna macierzy może być zatem wyznaczona na podstawie zer wielomianu charakterystycznego macierzy TL L . W szczególności, ponieważ pier-wiastki wielomianów stopnia trzeciego i czwartego można wyznaczyć analitycz-



nie, stosując reguły Cardano i Ferrariego (Schwarze [133], Herbison-Evans [57]), zaś wyznaczenie pierwiastków wielomianu stopnia drugiego polega na rozwiąza-niu równania kwadratowego, zatem normę spektralną macierzy n nL R dla n < 5 można obliczyć w stałym czasie. Podejście to można wykorzystać więc do obli-czania stałych Lipschitza odwzorowań na przestrzeniach rzeczywistych o wymia-rach mniejszych niż pięć. Dotyczy to zarówno obliczania współczynników zwę-żania złożeń afi nicznych odwzorowań IFS bezpośrednio w algorytmie adaptacyj-nych odcięć (Martyn [80, 81], Peitgen i inni [113, s. 325]), jak i obliczania warto-ści funkcji ( ) || ( )||EF p Df p w algorytmie jej maksymalizacji w opisanej uprzed-nio metodzie wyznaczania współczynnika zwężania nieliniowego odwzorowania IFS na zbiorze wypukłym. Przedstawiona metoda wyznaczania stałej Lipschitza odwzorowania nie może zostać zastosowana do IFS na przestrzeniach rzeczywistych o wymiarze więk-szym niż cztery. Słynne twierdzenie Abela-Ruffi niego mówi bowiem, że pier-wiastki wielomianów stopnia większego niż cztery nie mogą zostać wyznaczone przy użyciu skończonej liczby podstawowych działań arytmetycznych1. W takim przypadku wyznaczenie wartości własnej macierzy symetrycznej wymaga zasto-sowania jednej ze znanych metod numerycznych rozwiązywania symetrycznego zadania własnego. Biorąc pod uwagę, że w zastosowaniach IFS w grafi ce kom-puterowej wymiar przestrzeni rzeczywistej, na której działa IFS, zwykle nie prze-kracza wymiaru 9 (patrz np. (Nikiel [104, 105])), najbardziej odpowiednią meto-dą wyznaczania wartości własnych w celu obliczenia stałych Lipschitza wydaje się algorytm Jacobiego (Martyn [81], Kiełbasiński i Schwetlick [66, s. 384]). Al-gorytm Jacobiego, rozpatrywany w kontekście innych znanych metod rozwiązy-wania symetrycznego zadania własnego dla macierzy wymiaru mniejszego niż 10, jest uważany za metodę wydajną. Jednakże, w ogólnym przypadku, sens jego wykorzystania do wyznaczania współczynników zwężania każdego z O(NM) zło-żeń odwzorowań afi nicznych w trakcie działania algorytmu adaptacyjnych odcięć jest kwestią dyskusyjną. Należy bowiem zauważyć, że jest to algorytm iteracyj-ny, w którym koszt wykonania jednego cyklu dla macierzy rozmiaru n×n wynosi w przybliżeniu 8n podstawowych działań arytmetycznych, przy czym zwykle na-leży wykonać od kilku do kilkunastu cykli. Rozważając problem wyznaczania stałych Lipschitza odwzorowań afi nicz-nych bezpośrednio w algorytmie adaptacyjnych odcięć, należy wziąć pod uwa-gę możliwość górnego szacowania tych wartości przy użyciu formuły (Martyn [81, 82]):

2

1 1

n n

ijFi j

a

L , (3.28a)

1 Przez podstawowe działania arytmetyczne rozumie się tutaj operacje: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia oraz pierwiastkowania.



gdzie , 1[ ]n n nij i ja

L R , tak jak poprzednio, jest macierzą części liniowej od-wzorowania afi nicznego. Wartość (3.28a), choć nie jest indukowana przez żad-ną normę wektorową, określana jest często mianem normy Frobeniusa macierzy (Kiełbasiński i Schwetlick [66]). Łatwo pokazać, że wartość ta rzeczywiście speł-nia aksjomaty normy oraz że zachodzi równość

2

1( )

n

iFi

L L , (3.28b)

gdzie ( )i L oznaczają wartości szczególne macierzy L. Na podstawie powyższej równości, biorąc pod uwagę równość (3.26), otrzymuje się następujące oszacowa-nie normy spektralnej przez normę Frobeniusa:

E F En L L L . (3.29)

Na podstawie równości (3.28b) łatwo zauważyć, że nierówność po prawej stro-nie formuły (3.29) przybiera postać równości jedynie wtedy, gdy wartości szcze-gólne macierzy są sobie równe, a więc tylko wówczas, gdy macierz L reprezen-tuje podobieństwo. Wobec stałego kosztu 22 1n działań wymaganych do obliczenia normy Fro-beniusa dowolnej macierzy n nL R , szacowanie stałych Lipschitza odwzoro-wań afi nicznych na podstawie normy Frobeniusa jest konkurencyjne nie tylko w stosunku do algorytmu Jacobiego dla n > 4, ale również do metody opartej na analitycznym wyznaczaniu pierwiastków wielomianów stopnia 4n . Nale-ży bowiem zauważyć, że na przykład dla n = 3, pomijając nawet koszt związa-ny z wyznaczeniem wielomianu charakterystycznego macierzy TL L , samo zasto-sowanie wzorów Cardano wymaga wykonania ponad 50 arytmetycznych działań podstawowych. Z drugiej strony wyznaczenie normy Frobeniusa macierzy L wy-maga w tym przypadku wykonania jedynie 17 takich działań, przy czym, na pod-stawie nierówności (3.29), wartość normy Frobeniusa jest co najwyżej 3 razy większa niż wartość normy spektralnej. Przedstawione metody wyznaczania stałych Lipschitza dotyczą odwzoro-wań ciągłych w sensie Lipschitza względem metryki euklidesowej. Jednakże, jak słusznie zauważono m.in. w (Peitgen i inni [113, s. 259]), z punktu widzenia teo-rii IFS metryka euklidesowa nie jest jakąś metryką wyróżnioną w tym sensie, że można na jej podstawie przesądzać o tym, czy dany zbiór odwzorowań spełnia warunki IFS (defi nicja 2.15). Należy bowiem zauważyć, że nawet jeśli dane od-wzorowanie nie jest zwężające w metryce euklidesowej dE na zupełnej przestrzeni X, to być może istnieje na X jakaś inna metryka e, względem której odwzorowanie to jest jednak zwężające oraz X jest zupełna. W takich okolicznościach układ N ta-kich odwzorowań niezwężających względem dE będzie IFS na przestrzeni (X, e) i stąd zbiór ten będzie również posiadał atraktor. Na przykład, z przypadkiem ta-



kim mamy zwykle do czynienia w praktycznych zastosowaniach teorii IFS w za-gadnieniach interpolacji skończonych zbiorów punktów przy wykorzystaniu frak-talnych funkcji i powierzchni interpolujących (tzw. interpolacja fraktalna) (Barn-sley [7, s. 215], Massopust [96]). Wobec tego rodzi się pytanie o możliwość stosowania algorytmu adaptacyj-nych odcięć do aproksymacji atraktorów IFS opisanych przez odwzorowania nie-zwężające w metryce euklidesowej. Należy bowiem zauważyć, że nawet jeśli znana byłaby a priori metryka, względem której odwzorowania składowe IFS są zwężające, to jednak obliczanie współczynników zwężania w tej metryce, w ogól-nym przypadku, byłoby zagadnieniem nietrywialnym. Paradoksalnie, w przypadku IFS określonych na przestrzeni nR (lub jej pod-zbiorach) z dowolną metryką równoważną metryce euklidesowej, problem po-wyższy nie tylko ma proste rozwiązanie, ale co więcej, rozwiązanie to sugeruje inne wydajne metody wyznaczania stałych Lipschitza odwzorowań.

Lemat 3.5. Niech odwzorowanie :f X X będzie ciągłe w sensie Lipschitza ze stałą Lipschitza Lip ( )e f na przestrzeni metrycznej (X, e). Niech d e . Wte-dy istnieje stała c R taka, że

( ( ), ( )) Lip ( ) ( , ), ,ed f x f y c f d x y x y X ,

to jest f jest ciągłe w sensie Lipschitza względem metryki d ze stałą LipschitzaLip ( ) Lip ( )d ef c f .

Dowód. Ponieważ metryka d jest równoważna metryce e, zatem istnieją stałe 1 2,c c R takie, że 1 2( , ) ( , ) ( , ), ,c d x y e x y c d x y x y X . Na tej podstawie

1 2( ( ), ( )) ( ( ), ( )) Lip ( ) ( , ) Lip ( ) ( , )e ec d f x f y e f x f y f e x y c f d x y

i stąd

2

1

( ( ), ( )) Lip ( ) ( , ), ,ecd f x f y f d x y x y Xc

.

Zatem poszukiwana stała wynosi 2

1

ccc

.

Niech dany będzie IFS 1{ }Ni iw na (X, e). Niech d e . Ponieważ wi są zwężające

na (X, e), zatem algorytm adaptacyjnych odcięć uruchomiony dla 1{ }Ni iw na (X, e)

wygeneruje zbiór F , składający się ze skończonej liczby złożeń 1

...mi if w w

o stałych Lipschitza Lip ( )e f nieprzekraczających dowolnie małej wybranej war-tości 0

diam( )A

(równanie (3.11)). Na podstawie lematu 3.5, wartości stałych

Lipschitza Lip ( )d f tych złożeń względem metryki d są jednak ograniczone przez Lip ( )ec f dla pewnej stałej c R . Zatem w przypadku

c , gdzie 0 jest



dowolnie małą wybraną wartością, algorytm ten uruchomiony dla 1{ }Ni iw na (X, e)

wygeneruje zbiór F , składający się ze skończonej liczby złożeń g o stałych Lip-schitza Lip ( )d g względem d nieprzekraczających wartości

diam( )A

. Stąd, przy

powyższych założeniach, dokonywanie porównań na podstawie wartości stałych Lipschitza w metryce d w instrukcji warunkowej algorytmu (krok 4 w wersji ite-racyjnej i krok 3 w wersji rekurencyjnej) nie spowoduje utraty zbieżności algoryt-mu i wygeneruje on zbiór F składający się ze skończonej liczby złożeń g o sta-łych Lipschitza Lip ( )d g nieprzekraczających wartości

diam( )A

. W rezultacie

otrzyma się zbiór A aproksymujący atraktor A z błędem nie większym niż względem metryki Hausdorffa indukowanej przez metrykę d. Jedną z konsekwencji powyższego faktu jest to, że jeśli 1{ }N

i iw jest afi nicznym IFS na (X, d), gdzie nX R oraz Ed d , wówczas można dokonywać aproksy-macji atraktora tego układu przy użyciu algorytmu adaptacyjnych odcięć oraz me-tod wyznaczania/szacowania stałych Lipschitza opisanych w niniejszym punk-cie. W rezultacie otrzymuje się zbiór aproksymujący atraktor z zadaną dokładno-ścią względem metryki Hausdorffa indukowanej przez metrykę euklidesową. Ze względu na fakt równoważności norm na przestrzeniach liniowych o skończo-nej liczbie wymiarów (Bachman i Narici [4, s. 122]), powyższa uwaga dotyczy w szczególności wszystkich metryk indukowanych przez normy na nR . Ponadto, ze względu na fakt, że równoważność metryk jest relacją równo-ważności, w przypadku układu odwzorowań afi nicznych spełniającego warun-ki IFS względem metryki euklidesowej (lub jakiejkolwiek innej metryki jej rów-noważnej), obliczanie współczynników zwężania w algorytmie adaptacyjnych odcięć można oprzeć na dowolnej metryce równoważnej z metryką euklideso-wą. W wyniku otrzymuje się zbiór aproksymujący atraktor z zadaną dokładnością względem metryki Hausdorffa indukowaną przez wybraną metrykę. Wykorzy-stanie tego faktu może wpłynąć na zwiększenie wydajności procesu aproksyma-cji w przypadku zastosowania metryki, w której wyznaczenie stałych Lipschitza odwzorowań wymaga mniejszego nakładu obliczeń, aniżeli w metryce euklideso-wej. W przypadku stałych Lipschitza odwzorowań afi nicznych względem metryk indukowanych przez normy wektorowe zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.6. Niech : n nw R R będzie odwzorowaniem afi nicznym w(x) = Lx + t, n nL R , nt R , na przestrzeni metrycznej ( nR , d), gdzie metryka d jest indukowana przez pewną normę wektorową || . ||p na nR . Wtedy w jest cią-głe w sensie Lipschitza ze stałą Lipschitza Lip( ) || ||pw L .

Dowód. Ponieważ (ze względu na równoważność norm na nR ) Ed d oraz od-wzorowanie afi niczne jest ciągłe w sensie Lipschitza na ( nR , dE), zatem jest ono



również ciągłe w sensie Lipschitza na ( nR , d). Stała Lipschitza Lip(w) jest naj-mniejszą liczbą spełniającą nierówność (2.1), zatem

( ( ), ( ))Lip( ) sup : , ,( , )

|| ||sup : , ,

|| ||

|| ( )||sup : , ,

|| ||

|| ||sup : , || || .

|| ||

n

p n

p

p n

p

p np

p

d w wwd

x y x y R x yx y

Lx Lyx y R x y

x y

L x yx y R x y

x y

Lxx R x 0 L

x

Na podstawie tego twierdzenia, zagadnienie wyboru metryki w celu dążenia do redukcji kosztu wyznaczania stałych Lipschitza odwzorowań afi nicznych w al-gorytmie adaptacyjnych odcięć sprowadza się do porównania kosztu obliczania (lub szacowania) normy spektralnej z kosztem obliczania normy macierzowej in-dukowanej przez dowolną inną normę wektorową. Wobec tak postawionego problemu, jedną z metryk, które można wykorzy-stać w tym celu, jest metryka indukowana przez wektorową normę maksimum || . || . Wartość normy macierzowej indukowanej przez || . || można bowiem wy-razić jako

1,..., 1

maxn

iji n ja

L , (3.30)

gdzie , 1[ ]n n nij i ja

L R . Ze względu na koszt 2n operacji (w tym n operacji po-równania) związanych z wyznaczeniem prawej strony równości (3.30), wykorzy-stanie macierzowej normy maksimum jest konkurencyjne nawet wobec, opisane-go wyżej, zastosowania normy Frobeniusa (koszt 22 1n operacji) w celu szaco-wania normy spektralnej. Dodatkowo łatwo pokazać, że spełnione są następują-ce nierówności:

1E

nn

L L L . (3.31)

Stąd, dla dowolnej macierzy n nL R , norma spektralna macierzy jest co naj-wyżej n razy większa od normy maksimum tej macierzy, zaś norma maksimum tej macierzy jest co najwyżej n razy większa od normy spektralnej tej macierzy. Wobec tego, w przypadku IFS na przestrzeni z metryką euklidesową, zastoso-wanie normy maksimum w algorytmie adaptacyjnych odcięć może wpłynąć na



co najwyżej n -krotne pogorszenie zbieżności algorytmu w stosunku do wyko-rzystania w tym celu normy spektralnej. Zatem w takich okolicznościach, ewen-tualne pogorszenie zbieżności algorytmu jest tego samego rzędu, jak w rozwią-zaniu opartym na szacowaniu normy spektralnej przy użyciu normy Frobeniusa. W tym drugim przypadku otrzyma się jednakże zbiór wynikowy A aproksymują-cy atraktor względem metryki Hausdorffa indukowanej przez metrykę euklideso-wą, zaś w wyniku zastosowania normy maksimum zbiór A będzie aproksymował atraktor względem metryki Hausdorffa indukowanej przez metrykę maksimum. W związku z tym należy zauważyć, iż w wielu zastosowaniach aproksymacji to właśnie metryka maksimum jest metryką „naturalną” (rozdz. 4). Przykładem są za-dania aproksymacji atraktora na siatkach n-wymiarowych (Martyn [88]), w szcze-gólności, na przestrzeni obrazu z „prostokątną” geometrią piksela (Skarbek [138]) czy przestrzeni wokselowej (Nikiel i Goinski [106], Martyn [94]).

Rys. 3.2. Przykłady zastosowania algorytmu adaptacyjnych odcięć do aproksymowania atraktorów IFS zawierających odwzorowania nieliniowe. Układy IFS zostały skonstruowane poprzez nielinio-we modyfi kacje odwzorowań wchodzących w skład IFS opisującego trójkąt Sierpińskiego (zob. do-

datek A, pkt 2). Więcej przykładów – na załączonym dysku CD-ROM

Niestety, problem aproksymacji atraktorów IFS zawierających odwzoro-wania nieliniowe i niezwężające względem metryki euklidesowej Ed jest nie-co bardziej złożony. Należy bowiem zauważyć, że jednym z założeń twierdze-nia 3.4, na którym oparto zaproponowaną metodę szacowania stałych Lipschit-za złożeń odwzorowań nieliniowych (formuła (3.23)), jest właśnie to, że od-wzorowania IFS są zwężające względem Ed . Jednakże, jak pokazano wyżej, je-śli metryka przestrzeni, na której określony jest IFS, jest równoważna Ed , to dla dowolnego 0 algorytm adaptacyjnych odcięć zastosowany z metryką Ed wygeneruje skończony zbiór F złożeń f odwzorowań IFS o stałych Lipschitza Lip( )

diam( )f

A

względem Ed . Z kolei, na podstawie równości (3.10), zbiór

F może być rozpatrywany jako IFS opisujący ten sam atraktor, co IFS wej-ściowy. Wobec tego, przyjmując diam( ) 1A , dla danego IFS na (X, d), gdzie

Ed d , zawsze można skonstruować przy użyciu algorytmu adaptacyjnych od-cięć odpowiedni IFS o odwzorowaniach zwężających względem Ed . Konstruk-



cję tę należy wykonać w fazie poprzedzającej właściwy proces aproksymacji, korzystając z dowolnego algorytmu optymalizacji na zbiorze wypukłym dla wy-znaczenia stałych Lipschitza bieżących złożeń odwzorowań. Na rysunku 3.2 zaprezentowano obrazy przykładowych aproksymacji nielinio-wych atraktorów IFS na 2R , które zostały uzyskane przy wykorzystaniu omówio-nego uogólnienia algorytmu adaptacyjnych odcięć. Defi niujące te atraktory układy IFS zostały skonstruowane poprzez złożenie odwzorowań układu IFS opisującego trójkąt Sierpińskiego z różnymi nieliniowymi przekształceniami przestrzeni 2R ,których interesujący katalog można znaleźć w artykule (Draves i Reckase [24]).

3.3. GRA W CHAOS

3.3.1. Opis algorytmu

Algorytm probabilistyczny, określany popularnie jako gra w chaos (ang. the chaos game), został zaproponowany (Barnsley i inni [11], Barnsley [7]) jako me-toda aproksymacji miar niezmienniczych generowanych przez układy IFSP (de-fi nicje 2.30 i 2.34). Ze względu na fakt, że w przypadku, gdy IFS składa się z od-wzorowań zwężających, atraktory IFS są nośnikami tych miar (twierdzenie 2.33), algorytm probabilistyczny jest często wykorzystywany do aproksymacji tych atraktorów (np. Pierański [117], Kudrewicz [70]). Niech dany będzie IFSP {w1,...,wN ; p1,..., pN} na zwartej przestrzeni X. Algo-rytm probabilistyczny jest algorytmem iteracyjnym. Rozpoczynając od dowolne-go punktu przestrzeni X, algorytm generuje losowo skończoną sekwencję punk-tów, która począwszy od pewnego wyrazu, aproksymuje atraktor. Algorytm pro-babilistyczny można przedstawić w następujący sposób:

procedure ChaosGame( x0, OmittedPoints, NumPoints ) begin 1. 0x x ; A ;2. for 1i to NumPoints do begin3. Wybierz losowo, niezależnie od poprzednich losowań, liczbę k ze

zbioru indeksów {1, ..., N} odwzorowań IFSP tak, że prawdopodo-bieństwo P(k = m) = pm ;

4. ( )kx w x ;5. if i > OmittedPoints then 6. { }A A x ; end for; end.gdzie argumenty x0, OmittedPoints i NumPoints oznaczają odpowiednio: dowolny punkt przestrzeni X; początkową liczbę punktów generowanych przez algorytm,



które nie są uwzględniane w zbiorze aproksymującym atraktor; całkowitą liczbę iteracji algorytmu. W przypadku gdy IFSP zawiera wyłącznie odwzorowania zwężające (a za-tem układ odwzorowań tworzy IFS), odwzorowania te przekształcają atraktor IFS w niego samego. Zatem wybierając punkt początkowy x0 jako jeden z punktów atraktora, w rezultacie działania algorytmu otrzymuje się sekwencję punktów, której wszystkie wyrazy również należą do atraktora. W takich okolicznościach zwykle bezzasadne jest pomijanie jakichkolwiek początkowych wyrazów genero-wanej sekwencji (OmittedPoints = 0). Zaletą algorytmu probabilistycznego jest liniowa złożoność obliczeniowa rzę-du O(NumPoints) oraz stała złożoność pamięciowa. Podstawową wadę algorytmu stanowi trudność w określeniu a priori skończonej liczby punktów wymaganej do aproksymacji atraktora dla zadanej wartości dokładności aproksymacji . Nale-ży bowiem zauważyć, że choć (jak to zostanie pokazane w podpunkcie 3.3.2 oraz 3.3.4) teoretycznie dla 0x A , przy NumPoints dążącym do nieskończoności, al-gorytm wygeneruje z prawdopodobieństwem równym 1, ciąg punktów wypełnia-jący atraktor w sposób gęsty, to jednak rezultaty działania algorytmu w skończo-nym czasie silnie zależą od wartości prawdopodobieństw przypisanych odwzo-rowaniom (zob. np. Hepting i inni [56]). Dla porządku należy jedynie dodać, że w realnych zastosowaniach w rachubę wchodzą jedynie wyniki działania algoryt-mu w czasie skończonym, to jest skończone sekwencje punktów uzyskane dla da-nego NumPoints N . Co więcej, ze względu na probabilistyczny charakter omawianego algorytmu, fakt aproksymacji atraktora z zadaną dokładnością 0 przez sekwencję punk-tów wygenerowaną przez algorytm w skończonej liczbie kroków jest zdarzeniem losowym o prawdopodobieństwie zależnym zarówno od liczby wyrazów sekwen-cji, jak wartości prawdopodobieństw układu IFSP. Zagadnieniu numerycznego szacowania prawdopodobieństw tych zdarzeń poświęcono podpunkt 3.3.3.

3.3.2. Analiza w przypadku nieskończonej liczby iteracji

Oryginalny dowód poprawności algorytmu probabilistycznego wyrażany jest przy użyciu pojęć z teorii miary i teorii ergodycznej. Dowód ten opiera się na twierdzeniu ergodycznym Eltona [32], które z kolei może być rozważane jako przypadek szczególny twierdzenia ergodycznego Birkoffa (Petersen [116, s. 30]). Istotny dla dalszych rozważań jest następujący wniosek z twierdzenia Eltona, któ-ry przedstawiono poniżej w formie twierdzenia:

Twierdzenie 3.7. Niech będzie miarą niezmienniczą generowaną przez IFSP na zwartej przestrzeni X. Niech 0{ }i ix

będzie ciągiem punktów wygenerowa-nym przez algorytm probabilistyczny w nieskończonej realizacji tego algorytmu.



Oznaczmy przez n(B, i) liczbę punktów przecięcia 0 1{ , , ..., }ix x x B , 0iN ,gdzie B X jest dowolnym zbiorem borelowskim, takim że ( ) 0B . Wtedy, z prawdopodobieństwem równym jeden,

( , )( ) lim

1i

n B iBi

(3.32)

dla dowolnego punktu początkowego 0x X .

Na podstawie równości (3.32), rozkład nieskończonego ciągu punktów ge-nero wanego przez algorytm probabilistyczny zbiega do miary niezmienniczej, której nośnikiem jest pewien zwarty podzbiór przestrzeni X. Stąd, pomijając od-powiednią liczbę wyrazów początkowych, ciąg 0{ }i ix

aproksymuje ten podzbiór z dowolną dokładnością 0 względem metryki Hausdorffa. W przypadku,gdy odwzorowania są zwężające, podzbiorem tym jest atraktor IFS (twierdze-nie 2.33). Warto jednakże odnotować, że twierdzenie 3.7 nie stawia wymagania, aby układ IFSP zawierał odwzorowania zwężające. Warunkiem wystarczającym na to, aby ciąg punktów wygenerowany przez algorytm probabilistyczny zbiegał do zwartego nośnika miary niezmienniczej jest bowiem jedynie to, aby układ od-wzorowań z prawdopodobieństwami spełniał warunki1 podane w defi nicji 2.30. Jednakże w dalszej części tego podpunktu oraz podpunktach 3.3.3 i 3.3.4 będą rozważane układy IFSP składające się wyłącznie z odwzorowań zwężających, czyli będziemy zakładać, że zbiór odwzorowań wchodzących w skład IFSP two-rzy (hiperboliczny) IFS. Z punktu widzenia złożoności obliczeniowej i pamięciowej wyznaczania aproksymacji atraktora IFS (i ewentualnie dalszego przetwarzania tej aproksyma-cji w celu rozwiązywania innych problemów numerycznych) istotne jest, aby ge-nerowana sekwencja punktów była jak najkrótsza. Problem ten sprowadza się do zagadnienia generowania sekwencji punktów wypełniających podzbiory atrakto-ra w sposób jak najbardziej bliski rozkładowi równomiernemu. Na podstawie powyższego twierdzenia, rozkłady sekwencji punktów gene-rowanych przez algorytm probabilistyczny dążą do miary niezmienniczej gene-rowanej przez IFSP, która zależy od wartości prawdopodobieństw przypisanych odwzorowaniom IFS (wniosek 2.32). Zatem w celu dążenia do równomiernego rozkładu punktów tej sekwencji wskazane jest takie dopasowanie prawdopodo-bieństw układu IFSP, aby generowana przez ten IFSP miara niezmiennicza była jak najbliższa rozkładowi równomiernemu. Niestety, w ogólnym przypadku IFS nie istnieje układ prawdopodobieństw, dla którego IFSP wygeneruje miarę niezmienniczą równą rozkładowi równomierne-mu. Niemniej, jeśli IFS składa się z odwzorowań afi nicznych oraz jego atraktor

1 To jest, aby układ odwzorowań z prawdopodobieństwami był zwężający „na średnio”.



jest zbiorem całkowicie niespójnym1, to z punktu widzenia omawianego proble-mu dobre oszacowanie pożądanych prawdopodobieństw dane jest przez (Barn-sley [7, s. 85]):

1

max(|det |, )

max(|det |, )

ii N

ii

p

L

L, (3.33)

gdzie Li oznacza macierz części liniowej i-tego odwzorowania IFS, zaś 0 jest

arbitralnie wybraną małą liczbą,

1

|det |

|det |

iN

ii

L

L , i = 1,..., N.

Należy zauważyć, że

( ( ))|det |( )

ni

i n

w EE

L LL

,

gdzie nL jest n-wymiarową miarą Lebesgue’a2, zaś E dowolnym zbioremn-wymiarowym przestrzeni nR . Powyższy sposób określania prawdopodo-bieństw może zostać zatem zinterpretowany jako wyznaczanie wartości ip pro-porcjonalnie do stosunku wartości n-wymiarowej miary Lebesgue’a otoczki wy-pukłej podzbioru ( )iw A do wartości tej miary dla otoczki wypukłej atraktora (por. punkt b twierdzenia 2.21). W przypadku, gdy afi niczne odwzorowanie IFS jest nieodwracalne, wymiar otoczki conv( ( ))iw A jest mniejszy niż n, a zatem jej n-wymiarowa miara Lebesque’a jest równa zeru. Wówczas, w celu spełnie-nia wymogu niezerowych wartości prawdopodobieństw IFSP (defi nicja 2.30), prawdopodobieństwu ip przypisuje się arbitralnie małą liczbę. Ze względu na swą prostotę, przedstawiona metoda określania prawdopodo-bieństw jest powszechnie stosowana do wszystkich IFS zawierających odwzoro-wania afi niczne, bez względu na rodzaj spójności charakteryzującej atraktor. Jak wskazano wyżej, oryginalny dowód faktu wyrażonego w twierdzeniu 3.7, angażuje aparat matematyczny, którego zrozumienie wymaga wiedzy z zakresu teorii ergodycznej i teorii miary. Ze względu na popularność algorytmu probabi-listycznego (głównie jako metody wizualizacji fraktali IFS), w literaturze przed-miotu podejmowano próby przeprowadzenia bardziej elementarnego dowodu po-

1 Dokładniej, zamiast o atraktorach, należy tutaj mówić o IFS „całkowicie niespójnych” i „prawie niespójnych” (ang. just-touching) jako przeciwieństwie IFS „nakładających się” (ang. overlapping) (Barnsley [7, s. 125]).2 Innymi słowy, w zależności od wymiaru n przestrzeni, miara Lebesgue’a jest uogólnieniem dłu-gości, pola powierzchni, objętości etc.



prawności tego algorytmu1. Forte i Mendivil [38] znacznie uprościli oryginalny dowód twierdzenia Eltona, uwzględniając (w oryginale niewykorzystany) fakt unikalności miary niezmienniczej generowanej przez IFSP. Z kolei Goodman [45] wykazał poprawność algorytmu probabilistycznego, opierając się na teorii łańcu-chów Markowa. Interesujący dowód, będący analizą zbieżności omawianego algorytmu dla przypadku IFSP o równych wartościach prawdopodobieństw przypisanych od-wzorowaniom, zapezentowano w pracy (Skarbek [137]). Idea przewodnia do-wodu polega na przekształceniu zbioru nieskończonych ciągów indeksów prze-kształceń IFS na odcinek jednostkowy2 i wykazaniu, że dla dowolnej skończonej sekwencji indeksów miara Lebesgue’a obrazu nieskończonych ciągów zawierają-cych tę sekwencję jest równa 1. Twierdzenie oraz dowód są następujące:

Twierdzenie 3.8. Niech dany będzie IFSP 0 1 0 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p na zwartej przestrzeni (X, d), tak że prawdopodobieństwa 1

kpN

, {0,..., 1}k N , są sobie równe. Niech A X będzie atraktorem IFS 0 1{ ,..., }Nw w . Wtedy ciąg punktów

0{ }i ix wygenerowany przez algorytm probabilistyczny w nieskończonej realiza-

cji tego algorytmu dla dowolnego punktu początkowego 0x X i błędu aproksy-macji 0 ma następujące własności:(a) a A , 0({ } ( , ) ) 1i iP x B a

;(b) M N , \ ( ,2 )b X N A , ({ } ( , ) ) 0i i MP x B b

.

Dowód. (a) Ponieważ ( )X XH , zatem na podstawie równości (2.12) lim ( )i

iW X A

. Stąd dla dowolnego punktu a A , istnieje nieskończone złożenie odwzorowań IFS takie, że dla każdego x X ,

1lim ... ( )

iiw w x a

,{0,..., 1}k N . Ponieważ X, jako zbiór zwarty, jest całkowicie ograniczony

(twierdzenie 2.9) i stąd ograniczony, na podstawie powyższego istnieje M N takie, że dla wszystkich x X ,

1... ( ) ( , )

iw w x B a , jeśli tylko i M .

Niech teraz 1...M

S będzie zbiorem wszystkich nieskończonych sekwencji in-deksów ze zbioru {0,..., 1}N N , które zawierają sekwencję 1...M :

1

01... { ... : , , }

M

pM N NS p N ,

gdzie pN i N

oznaczają zbiory sekwencji, odpowiednio, o długości p i długo-ści nieskończonej. Załóżmy, że algorytm w nieskończonej liczbie iteracji wygene-

1 Należy zaakcentować, iż w odróżnieniu od oryginalnego twierdzenia Eltona, wszystkie cytowa-ne w niniejszej pracy uproszczenia dowodu tego twierdzenia przyjmują dodatkowe założenie, że od-wzorowania wchodzące w skład IFSP są odwzorowaniami zwężającymi. 2 Zgodnie z nomenklaturą teorii IFS, mowa jest tutaj o przekształceniu z przestrzeni adresów sko-jarzonej z danym IFS (Barnsley [7, s. 122]) w przedział [0, 1].



ruje pewną sekwencję 11 1 ...... ...

Mp M S . Wtedy, dla dowolnego 0x X , 1 1 0... ... ( ) ( , )

M pw w w w x B a . Stąd każda sekwencja indeksów ze zbioru

1...MS generuje ciąg punktów 0{ }i ix

, który przecina kulę ( , )B a . Za-tem, aby wykazać pierwszą część twierdzenia, wystarczy udowodnić, że prawdo-podobieństwo wygenerowania przez algorytm gry w chaos sekwencji ze zbioru

1...MS jest równe jedności:

1...( ) 1M

P S . Fakt ten zostanie wykazany dla pewnego podzbioru

1 1... ...M MS S określo-

nego jako

1

01... { ... : , , , | }

M

pM N NS p M p N ,

gdzie |M p oznacza, iż liczba p jest wielokrotnością liczby M. Ponieważ 1 1... ...M M

S S , zatem

1 1... ...( ) ( )M M

P S P S . (3.34)

W celu obliczenia prawdopodobieństwa 1...( )

MP S , zbiór N

zostanie od-wzorowany na odcinek [0, 1] przy użyciu surjekcji : [0, 1]NT zdefi niowa-nej jako 1 2 1 2( ...) (0, ...)NT , gdzie zapis występujący po prawej stronie rów-ności oznacza ułamek w systemie liczbowym o podstawie N. Wtedy prawdopodo-bieństwo

1 1... ...( ) ( ( ))M M

P S T S L , (3.35)

gdzie L oznacza miarę Lebesgue’a na przestrzeni R. Rozważmy zbiór

1...( ) [0, 1]M

T S . W zbiorze 1...M

S sekwencja 1...M

poprzedzona jest p indeksami tworzącymi sekwencję oraz liczba p jest wielo-krotnością liczby M. Zatem, traktując sekwencje o długości M indeksów ze zbio-ru {0,..., 1}N jak pojedyncze symbole ze zbioru MN

(uporządkowanego zgod-nie z naturalnym porządkiem liczb rzeczywistych w systemie o podstawie N), zbiór

1...( )M

T S może być rozważany jako zbiór ułamków w systemie liczbo-

wym o podstawie MN . Zbiór ten można rozłożyć na sumę rozłącznych podzbio-rów jY , j =1,2, …, o postaci:

1

1{(0, ) [0, 1]: ( \{ }) , ( ... ) , }M M M Mj

j M NN N N NY tsm t s s m .

Z kolei, każdy ze zbiorów jY może być przedstawiony jako suma rozłącznych podzbiorów postaci:

1( \{ })

{(0, ) : }M Mj

MN

j N Nt s

Y tsm m

.

Wobec tego miara Lebesgue’a

1( \{ })

( ) {(0, ) : }M Mj

MN

j N Nt s

Y tsm m

L L ,



ale dla dowolnego 1( \{ })Mj

Nt s

1{(0, ) : } [(0, ) , (0, ( 1)) ]M M M M

j

MN N N Ntsm m ts t s

N

L L ,

a zatem

11 1 1 1( ) ( 1)

jj MM j

j M M M

NY NN N N

L .

Ponieważ 1

1...( )

M jj

T S Y

oraz jY są rozłączne, zatem

1

1...( ( )) ( ) 1jj

MT S Y

L L ,

co na podstawie formuł (3.34) i (3.35) kończy dowód pierwszej części twierdzenia.

(b) Operator Hutchinsona W skojarzony z IFS 0 1{ ,..., }Nw w jest odwzorowaniem zwężającym na ( ( ) , )X hH (twierdzenie 2.16) oraz ( )X XH . Stąd, dla każ-dego iN ,

( ( ), ) (Lip( )) ( , ) (Lip( )) diam( )i i ih W X A W h X A W X .

Zatem, na podstawie defi nicji 2.13,

log log diam( )log Lip( )

Xi MW

,

1 0... ( ) ( , )i

w w x N A ,

dla dowolnych {0,..., 1}k N i dowolnego 0x X . Ponieważ dla \ ( ,2 )b X N A , kule ( , ) \ ( , )B b X N A , zatem kule te nie są przecina-

ne przez { }i i Mx .

Poniżej zaprezentowano dowód poprawności algorytmu probabilistyczne-go przedstawiony w pracy (Martyn [83]). W odróżnieniu od poprzedniego, do-wód obejmuje wszystkie przypadki układów IFSP składających się z odwzoro-wań zwężających oraz jest elementarny w tym sensie, że wykorzystuje jedynie podstawową wiedzę z rachunku prawdopodobieństwa. Ponadto, jak pokazano w cytowanej pracy, przedstawione wnioskowanie w sposób naturalny może zo-stać zaadaptowane do wykazania poprawności algorytmu probabilistycznego dla uogólnień specyfi kacji IFS, takich jak IFS rekurencyjny (Barnsley i inni [10]) i IFS hierarchiczny (Peitgen i inni [113, s. 272]).

Twierdzenie 3.9. Niech dany będzie IFSP {w1,..., wN ; p1,..., pN} na zwartej prze-strzeni X. Niech A X będzie atraktorem IFS {w1,..., wN}. Niech 0{ }i ix

będzie ciągiem punktów wygenerowanym przez algorytm probabilistyczny w nieskoń-



czonej realizacji tego algorytmu dla dowolnego punktu początkowego 0x X . Wtedy, z prawdopodobieństwem równym 1, dla dowolnego (0, diam( )]A , istnieje M N takie, że ( ,{ } )i i Mh A x

, to jest podciąg { }i i Mx aproksymuje

A z błędem nie większym niż względem metryki Hausdorffa.

Dowód. Dowód składa się z dwóch części. W części pierwszej pokazano, że jeśli punkt początkowy x0 należy do atraktora, to dla dowolnego M N punkty ciągu { }i i Mx

stanowią zbiór gęsty w atraktorze. W części drugiej dowodu wykorzysta-no ten fakt do wykazania tezy twierdzenia. Niech punkt początkowy 0x A . Ponieważ odwzorowania IFS przekształca-ją atraktor w atraktor, wszystkie punkty ciągu 0{ }i ix

należą do A . Niech a X będzie dowolnym punktem A . W celu przeprowadzenia pierwszej części dowo-du wystarczy pokazać, że dla dowolnego (0, diam( )]A i dowolnego M N ,podciąg { }i i Mx

zawiera – z prawdopodobieństwem równym 1 – punkt znajdu-jący się w odległości nie większej niż od punktu a. Na podstawie rozważań z podpunktu 3.2.1, dla dowolnego (0, diam( )]A , atraktor A może zostać rozłożony na skończoną liczbę podzbiorów postaci

1... ( )

kw w A o średni-

cach nie większych niż . Zatem punkt a należy przynajmniej do jednego z pod-zbiorów

1... ( )

kw w A dekompozycji. Stąd, jeśli począwszy od dowolnej ite-

racji m działania algorytmu, w k bezpośrednio następujących po sobie iteracjach zostanie wylosowana sekwencja 1,...,k indeksów odwzorowań IFS, to punkt

1m kx ciągu 0{ }i ix będzie należał do zbioru

1... ( )

kw w A . Niech Bm ozna-

cza zdarzenie losowe, że w kolejnych iteracjach o numerach m, 1m ,..., 1m k została wylosowana sekwencja 1,...,k . Ponieważ

1diam( ... ( ))

kw w A

oraz 1

... ( )k

a w w A , zatem jeśli zdarzenie Bm będzie miało miejsce, to 1( , )m kd x a . Ponieważ losowania indeksów odwzorowań odbywają są nie-

zależnie, zatem

1

( ) 0i

k

mi

P B p

. (3.36)

Oczywiście kolejne zdarzenia Bm, m = 1, 2,..., nie są niezależne. Zdarzenia kmB ,m = 1, 2,..., są już jednak niezależne, a zatem wystąpienie zdarzeń z podciągu

1{ }mkmB może być rozpatrywane w kategoriach nieskończonego ciągu prób Ber-

noulliego z prawdopodobieństwem p sukcesu (tj. wystąpienia dowolnego zda-rzenia spośród zdarzeń 1{ }mkmB

) w pojedynczej próbie, określonym równością (3.36). Na mocy prawa wielkich liczb Bernoulliego1 (Jakubowski i Sztencel [60, s. 154]), dla dowolnego 0 ,

1 Pokazany dalej rezultat można równie łatwo otrzymać, stosując zamiast prawa wielkich liczb Bernoulliego – lemat Borela-Cantelliego. Ponieważ jednak lemat ten operuje stosunkowo trudnymi pojęciami granic górnej i dolnej ciągu zdarzeń, więc w ocenie autora prawo wielkich liczb Bernoul-liego jest łatwiejsze do przyswojenia na podstawowym poziomie znajomości rachunku prawdopo-dobieństwa.



lim 1m

mSP pm

,

gdzie Sm oznacza liczbę sukcesów w m próbach. Stąd, z prawdopodobieństwem równym 1, lim

m mS

. Zatem w nieskończonej realizacji algorytmu probabili-stycznego zajdzie nieskończenie wiele spośród zdarzeń 1{ }mkmB

, więc tym bar-dziej spośród zdarzeń 1{ }mmB

. Stąd, dla dowolnego M N , w nieskończonej realizacji algorytmu probabilistycznego zajdzie również nieskończenie wiele spośród zdarzeń { }m MmB

. Ponieważ a A był dowolny, zatem jeśli punkt po-czątkowy 0x A , wówczas, z prawdopodobieństwem równym 1, dla dowolne-go punktu atraktora, dowolnego M N oraz każdego (0, diam( )]A , ciąg punktów { }i i Mx

zawiera punkt położony w odległości nie większej niż . Co więcej, punkty ciągu { }i i Mx

należą do A , a zatem zbiór tych punktów, z praw-dopodobieństwem równym 1, jest gęsty w A . Niech teraz punkt x0 będzie dowolnym punktem przestrzeni X. Niech 0{ }i ix

i 0{ }i iy

będą nieskończonymi ciągami punktów wygenerowanymi równolegle przez tę samą realizację algorytmu probabilistycznego dla punktów początko-wych 0x X i 0y A , tzn. 1 ( )

ii ix w x i 1 ( )ii iy w y , gdzie i jest indek-

sem odwzorowania IFS wylosowanym w i-tej iteracji algorytmu. Ponieważ od-wzorowania IFS są zwężające, zatem odległość między punktami xm i ym ciągów w m-tej iteracji algorytmu wynosi

1 1

1

0 0

0 0 0 01

( , ) ( ... ( ), ... ( ))

Lip( ... ) ( , ) Lip( ) ( , )

m m

m k

m m

m

k

d x y d w w x w w y

w w d x y w d x y

oraz, dla każdego n > m,

( , ) (max Lip( )) ( , )n mn n l m md x y w d x y ,

gdzie max Lip( ) 1lw . Zatem, dla dowolnego (0, diam( )]A , istnieje M N takie, że dla każdego n M , ( , )n nd x y . Stąd, odległość Hausdorffa między domknięciami zbiorów punktów podciągów { }i i Mx

i { }i i My

{ } ,{ }i i M i i Mh x y

. (3.37)

Ponieważ jednak 0y A , więc na podstawie pierwszej części dowodu, z praw-dopodobieństwem równym 1, punkty ciągu { }i i My

tworzą zbiór gęsty w A . Wobec tego, domknięcie { }i i My A

. Stąd, na podstawie nierówności (3.37), otrzymujemy tezę.

Alternatywny dowód poprawności algorytmu probabilistycznego, oparty na roz-ważaniach zawartych w następnym podpunkcie, przedstawiono w podpunkcie 3.3.4.



3.3.3. Analiza w przypadku skończonej liczby iteracji

W literaturze przedmiotu temat analizy algorytmu probabilistycznego w przy-padku skończonej liczby iteracji podejmowany jest niezmiernie rzadko. Autorzy prac dotyczących zagadnień numerycznych, których rozwiązania opierają się na wykorzystaniu tego algorytmu, zwykle ograniczają się w tym zakresie do enigma-tycznego stwierdzenia, iż iterację należy przeprowadzić odpowiednią liczbę razy, bądź po prostu zalecają a priori dokonywanie liczby iteracji rzędu miliona i wię-cej (Barnsley [6, s. 28])1. W tym drugim przypadku, uzasadnienia wspomnianego zalecenia należy poszukiwać w próbie reprezentowania nieskończonej liczby ite-racji, o jakiej mowa w twierdzeniach 3.7 i 3.9, za pomocą wielkich liczb. Jako jedną z nielicznych pozycji dotyczących rozważanego problemu nale-ży wspomnieć artykuł (Goodman [45]). Cytowana praca poświęcona jest analizie algorytmu probabilistycznego w kontekście IFSP o równych prawdopodobień-stwach i odwzorowaniach opisujących trójkąt Sierpińskiego. Korzystając z teorii łańcuchów Markowa, dokonano w niej próby oszacowania od góry prawdopodo-bieństwa, że skończona sekwencja punktów wygenerowana przez algorytm pro-babilistyczny będzie aproksymowała wspomniany fraktal z zadaną dokładnością. Analiza dokonana w niniejszym podpunkcie opiera się na podejściu przedsta-wionym poprzednio przez autora w artykule (Martyn [84]). Podobnie jak w pra-cy (Goodman [45]), w cytowanej pozycji również skorzystano z elementów teorii łańcuchów Markowa. Jednakże, w odróżnieniu od pracy Goodmana, analiza za-warta w (Martyn [84]) obejmuje ogólny przypadek IFSP zarówno w zakresie od-wzorowań IFS, jak i wartości prawdopodobieństw przypisanych tym odwzorowa-niom. Dodatkowo, niniejszy podpunkt uzupełnia oryginalne rozważania o metodę szacowania wartości średniej liczby iteracji potrzebnej do wygenerowania przez algorytm probabilistyczny zbioru punktów aproksymujących atraktor IFS dla za-danej dokładności. Ponieważ, z punktu widzenia minimalizacji nakładu obliczeń związanych z aproksymacją (oraz jej ewentualnym wykorzystaniem do numerycznego rozwią-zywania innych problemów), ciąg punktów generowany przez algorytm probabi-listyczny powinien być jak najkrótszy, w dalszej części tego podrozdziału założo-no, że punkt początkowy należy do atraktora. W takich okolicznościach bowiem wszystkie punkty ciągu również są punktami atraktora, zaś sam punkt początkowy można łatwo wyznaczyć jako punkt stały dowolnego z odwzorowań IFS. Przed przystąpieniem do właściwych rozważań zdefi niowane zostaną pojęcia i oznaczenia wykorzystywane w dalszej części podpunktu.

1 W literaturze z dziedziny grafi ki komputerowej można również spotkać oszacowania wymaga-nej liczby iteracji n algorytmu probabilistycznego w zależności od rozdzielczości ekranu w postaci

)ln( num_pixelsenum_pixelsn , gdzie e jest stałą Eulera (Monro i Dudbridge [100]). Jed-nakże oszacowanie to opiera się na nierealnych założeniach.



Niech * oznacza zbiór wszystkich skończonych słów, wraz ze słowem pu-stym , nad skończonym alfabetem {1,..., }N , zaś *L – zbiór wszyst-kich słów o długości L. Dla danego słowa *a , 1 2... ma , przez

1( ) ... ka k i –( ) ...m k ma k będą oznaczane odpowiednio: prefi ks i sufi ks o długości {0, ..., | |}k a słowa a, gdzie |a| = m oznacza długość tego słowa oraz (0) (0)a a . Symbolami i będą oznaczane odpowiednio: relacja prefi ksowa i relacja sufi ksowa na * , to jest

{0,...,| |}, ( )a b k b b k a ,

{0,...,| |}, ( )a b k b b k a ,gdzie *,a b . (Należy zauważyć, że słowo puste jest w relacji prefi ksowej i sufi ksowej z każdym słowem z * ). W końcu, niech 0:a S N oznacza funkcję sufi ksową słowa a S , to jest

( ) max{ : ( ) }a b k a k b . Niech teraz {w1,..., wN ; p1,..., pN} będzie IFSP na zwartej przestrzeni X. Niech A X będzie atraktorem IFS {w1,..., wN}. Na podstawie rozważań z podpunktu 3.2.1, dla dowolnego 0 , atraktor A może zostać rozłożony na skończoną licz-bę podzbiorów postaci

1... ( )

ki iw w A o średnicach 1

diam( ... ( ))ki iw w A .

Niech F będzie zbiorem skończonych złożeń odwzorowań 1

...ki iw w IFS speł-

niającym warunki (3.10) i (3.11). Zdefi niujmy odwzorowanie z przestrzeni *

na przestrzeń wszystkich skończonych złożeń odwzorowań IFS jako:

( ) Xid ,

2 11 2( ... ) ...mm w w w , (3.38)

gdzie Xid jest odwzorowaniem identycznościowym na przestrzeni X. Wykorzystując powyższe odwzorowanie zdefi niujemy następnie podzbiory D, D oraz S przestrzeni *, odpowiednio: D jako zbiór wszystkich sekwencji indeksów generujących zbiór F za pośrednictwem odwzorowania , D jako zbiór wszystkich właściwych prefi ksów zbioru D, zaś S jako sumę mnogościo-wą D i D :

1( )D F , (3.39a)

*{ : , , }D a a s a s s D , (3.39b)

S D D . (3.39c)Lemat 3.10. (a) S i stąd a S , (1)a S ; (b) jeśli a S , to , {1, ..., 1}k a , ( ) ( )a k S ;(c) jeśli a S i ( )a k D dla pewnego {0, ..., | |}k a , to ( )a a k .



Dowód (a) Jak pokazano w podpunkcie 3.2.1, konstrukcja zbioru F polega na gene-

rowaniu złożeń 0 1 1 0 1 1... ...m m m mi i i i i i i if f w

dla każdego 1 {1,..., }mi N , gdzie

mN i 0i

f jest odwzorowaniem identycznościowym. Zatem, dla każdego 1 {1,..., }i N , zbiór F zawiera przynajmniej jedno złożenie

0 1... mi i if , mN . Stąd, dla każdego a , istnieje a D takie, że (1)a . Ponieważ D S , stąd wynika teza.(b) Na postawie a), teza spełniona jest na przykład dla k = 0.(c) Niech a D i ( )a k D . Wtedy dla każdego {0,..., | | 1}k a , ( )a k D ,

bo na podstawie (3.11), Lip( ( ( ))) / diam( )a k A . Zatem ( )a a k . Niech teraz a D i ( )a k D dla pewnego {0,..., | |}k a . Wtedy, na pod-

stawie (3.11),

Lip( ( ( ))) / diam( )a k A . (3.40)

Na podstawie założenia jednak a D . Zatem istnieje *b takie, że ab D i stąd

Lip( ( )) / diam( )ab A .

Wobec nierówności (3.40), jednocześnie jednak

Lip( ( ( ) )) / diam( )a k b A .

Zatem, na podstawie (3.11), ( )a k a .

Niech ( , , )L P F będzie przestrzenią probabilistyczną, taką że zbiór zdarzeń 2 LF oraz prawdopodobieństwo

1

1...( ) ...

L

L AP A p p

, (3.41)

gdzie i

p jest wartością prawdopodobieństwa ze zbioru {p1,..., pN} prawdopodo-bieństw IFSP. Działanie algorytmu probabilistycznego w L iteracjach można roz-patrywać w kategoriach ewolucji pewnego dyskretnego procesu stochastyczne-go w czasie 0 i L , 0iN , i stanach w zbiorze S, to jest ciągu 0{ }L

i iY zmien-nych losowych określonych na przestrzeni ( , , )L P F i przyjmujących wartości ze zbioru S. W procesie tym przejście ze stanu Yi w chwili i do następnego stanu Yi+1 w chwili i + 1 następuje zgodnie z regułą:

0

1 max

,

( ) ( ),i i

Y

Y Y k

(3.42a)

gdzie

max max( ( ))a ia Sk Y

, (3.42b)

zaś jest indeksem odwzorowania IFS wylosowanym w i + 1 iteracji algo-rytmu.



Łatwo zauważyć, że reguła ta określa ewolucję procesu w sposób poprawny. Na postawie punktów (a) i (b) lematu 3.10 można bowiem sformułować wniosek, że dla dowolnego stanu iY S procesu w chwili i i dowolnego symbolu wylosowanego w chwili i + 1, istnieje jakiś stan ( ) ( )iY k S procesu dla chwi-li i + 1. Ponadto, ponieważ dla ustalonego iY S i ustalonego , istnieje w zbiorze S tylko jedno słowo max( ) ( )iY k , gdzie kmax określone jest równa-niem (3.42b), przejście procesu ze stanu do stanu określone jest w sposób jedno-znaczny. Co więcej, na podstawie (3.42a), stan procesu w chwili i + 1 zależy wy-łącznie od stanu w chwili i oraz indeksu wylosowanego w chwili i + 1. Zatemproces ten jest łańcuchem Markowa, to jest posiada własność (to jest własność Markowa – defi nicja 2.37):

1 0 1 1( | , ,..., ) ( | )i i i iP Y a Y Y Y P Y a Y . (3.43)

Na podstawie (3.41), prawdopodobieństwo przejścia ze stanu Yi do stanu 1 max( ) ( )i iY Y k , , wynosi

1 max( ( ) ( ) | )i i iP Y Y k Y p , (3.44)

gdzie p jest prawdopodobieństwem ze zbioru {p1,..., pN} prawdopodobieństw IFSP. Ponieważ wartości prawdopodobieństw (3.44) nie zależą od czasu, 0{ }L

i iY jest łańcuchem jednorodnym w czasie (defi nicja 2.39).

Dodatkowo zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.11. Niech Ls będzie sekwencją indeksów odwzorowań IFS wygenerowaną w L iteracjach algorytmu probabilistycznego. Jeśli s zawiera, po-cząwszy od i-tego miejsca, sekwencję a D , to | | 1 i aY a .

Dowód. Niech 1 2 | |... aa . Na podstawie (3.42), dla każdego {1,..., | |}k a ,

1 2( ) ( )i k i k k kY Y m ,

gdzie, na mocy punktu (b) lematu 3.10, 1km . Jednocześnie dla każdego {1,..., | |}k a ,

( )a k S .

Zatem km k dla każdego {1,..., | |}k a i stąd

1 ( ) ( )i k kY b n a k

dla pewnych 0kn i ( 1)b s i . Wobec tego, | | 1 | |( )i a aY b n a . Ale

| |( )ab n a S i, na podstawie założeń twierdzenia, a D . Zatem wobec punktu (c) lematu 3.10, | |( )ab n a a i stąd | |( )ab n . Stąd | | 1i aY a .



Wobec tego, jeśli punkt początkowy 0x A , to oszacowanie prawdopodo-bieństwa zdarzenia, że ciąg punktów 0{ }L

i ix wygenerowany przez algorytm pro-babilistyczny w L iteracjach będzie aproksymował atraktor z błędem nie więk-szym aniżeli 0 , sprowadza się do oszacowania prawdopodobieństwa, że łań-cuch Markowa 0{ }L

i iY odwiedzi wszystkie stany należące do podzbioru D:

1 1

({ , 0 , }) { } 1 { }L L

i i ia D i a D i

P a D i L Y a P Y a P Y a

.

Na podstawie nierówności Boole’a otrzymujemy

1 1 1

{ } { } { }L L L

i i ia D a Da D i i i

P Y a P Y a D P Y a

i stąd

1

({ , 0 , }) 1 { }L

i ia D i

P a D i L Y a P Y a D

. (3.45)

Niech teraz T będzie zmienną losową reprezentującą czas, w którym łańcuch Markowa 0{ }i iY

odwiedzi wszystkie stany z podzbioru D, to jest

1 | |1 | | 1 | | 1 | |inf{ 0 : ,..., , ,..., , { ,..., } }.Di i D D DT L Y a Y a i i L a a D

Ponieważ wartość zmiennej T jest nie większa od sumy czasów dojścia łańcucha Markowa do każdego ze stanów z podzbioru D indywidualnie, to jest

inf{ 0 : }L

a DT L Y a

,

zatem średni czas E(T) odwiedzenia przez łańcuch Markowa wszystkich stanów z podzbioru D spełnia:

( ) (inf{ 0 : })L

a DE T E L Y a

. (3.46)

W celu wykorzystania oszacowań (3.45) i (3.46) w praktyce pozostaje wyzna-

czyć, dla każdego stanu a D , wartości 1

{ }L

ii

P Y a

i (inf{ 0 : })LE L Y a ,

to jest, odpowiednio: prawdopodobieństwo zdarzenia, że łańcuch Markowa od-wiedzi w czasie 0 i L stan a przynajmniej raz, i średni czas dojścia łańcucha Markowa do tego stanu.

Dojście do ustalonego stanu. Jest dobrze znanym faktem, że prawdopodobień-stwo wystąpienia skończonego słowa a w skończonej sekwencji symboli s, któ-ra została wygenerowana losowo poprzez niezależne losowania symboli z alfa-betu , zależy nie tylko od prawdopodobieństwa wylosowania danego symbolu spośród symboli składowych słowa a, ale również od samej struktury tego sło-wa. Na przykład, w przypadku, gdy prawdopodobieństwa wylosowania symbo-



li z alfabetu są równe, wówczas wystąpienie słowa będącego n-powtórzeniem pojedynczego symbolu jest mniej prawdopodobnym zdarzeniem losowym aniże-li wystąpienie dowolnego słowa o tej samej długości, lecz składającego się z róż-nych symboli alfabetu. Niech 1 2... ka D i 0{ }L

i iY będzie łańcuchem Markowa na przestrzeni probabilistycznej ( , , )L P F o regule przejścia określonej równościami (3.42). Wówczas spełnionych jest k następujących równoważności:

(1) 1( 1)i iY a a k Y i k został wylosowany w iteracji i,

(2) 1 2( 1) ( 2)i ia k Y a k Y i 1k został wylosowany w iteracji i –1,

(k) 1(1) i k i ka Y Y i 1 został wylosowany w iteracji i – k + 1.

Opierając się na sekwencji powyższych równoważności łatwo zauważyć, iż prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia, że łańcuch Markowa osiągnie w przyszłości stan a D pod warunkiem, że jest on w stanie b S , zależy od maksymalnego sufi ksu max( )b m równego prefi ksowi max( )a m , max ( )am b ,oraz nie zależy od pozostałej części słowa b, to jest od prefi ksu max(| | )b b m . Stąd, jeśli maksymalne sufi ksy dwóch różnych słów ,b c S są równe pewnemu prefi ksowi słowa a, wówczas słowa te są nierozróżnialne z punktu widzenia praw-dopodobieństwa warunkowego osiągnięcia przez łańcuch Markowa stanu a pod warunkiem przebywania w danym stanie w teraźniejszości:

( ) ( ) ( | ) ( | ),{0,..., 1}, {0,..., }.

a a i k i i k ib c P Y a Y b P Y a Y ck L i L

Wobec tego, z punktu widzenia problemu dojścia łańcucha Markowa 0{ }Li iY

do danego stanu a D istotne jest osiąganie przez ten łańcuch poszczególnych podzbiorów podziału zbioru S, który to podział wprowadzany jest na S przez rela-cję „równoważności sufi ksowej” względem słowa a. Dla ustalonego a D , zdefi niujmy na S relację ~ jako

~ ( ( ) ( )), ,a ab c b c b c S . (3.47)

Z defi nicji tej natychmiast wynika, że relacja ~ jest relacją równoważności. Tym sposobem otrzymujemy podział ~/ {0,..., | |} S a zbioru S względem relacji ~ na | | 1a klas równoważności [ ]i b , gdzie [b] oznacza klasę równoważności sło-wa b S , taką że ( )ai b .

Niech teraz 0{ }Li iZ będzie ciągiem zmiennych losowych określonych – po-

dobnie jak łańcuch Markowa 0{ }Li iY – na przestrzeni ( , , )L P F oraz przybie-

rających wartości ze zbioru ~/S na podstawie wartości zmiennych iY zgodnie z regułą:



0

11

0, | |, gdy | |,

( ), w p.p.

ii

a i

Za Z a

ZY

(3.48)

Ponieważ 0{ }Li iY jest łańcuchem Markowa, zatem wobec powyższej defi nicji

0{ }Li iZ również posiada własność Markowa (defi nicja 2.37) z prawdopodobień-

stwem przejścia ze stanu do stanu określonym przez:

1

1

1, gdy | | ,( | ) 0, gdy | | ,

( ( ) | ( ) ), w p.p.i i

i ia a

k a mP Z m Z k k a m

P Y m Y k

(3.49)

Ponadto, jeśli ( )a iY k , to, wobec reguł (3.42), 1 max( ) (( ) ( ))a i a iY Y k ( ( ) )a a k . Stąd, na mocy reguły przejścia (3.48), otrzymujemy funkcję

przejścia :{0,...,| |} {0,..., | |}a a a łańcucha Markowa 0{ }Li iZ ze stanu

~/k S pod wpływem symbolu w postaci:

| |, gdy | |,( , )

( ( ) ), w p.p.aa

a k ak

a k

(3.50)

Stąd, na podstawie (3.44), dla | |k a otrzymujemy

1

{ : ( , ) }

( ( ) | ( ) )a

a i a ik m

P Y m Y k p

,

gdzie p jest prawdopodobieństwem ze zbioru {p1,..., pN} prawdopodo-bieństw IFSP. Ponieważ (| |, ) | |a a a dla wszystkich , zatem wykorzystując powyż-sze obserwacje, można wzór (3.49) wyrazić przy użyciu funkcji przejścia (3.50) w równoważnej postaci jako

1

{ : ( , ) }

( | )a

i ik m

P Z m Z k p

. (3.51)

Wartości prawdopodobieństw IFSP nie zależą od czasu, stąd, na podstawie (3.51), łańcuch Markowa 0{ }L

i iZ jest – podobnie jak 0{ }Li iY – jednorodny w czasie.


Twierdzenie 3.12. Dla każdego a D ,

1

{ } ( | |)L

i Li

P Y a P Z a

.



Dowód. Na podstawie funkcji przejścia (3.50), stan |a| jest stanem pochłaniają-

cym. Stąd 1 1 1

{ | |} { | |} { ( ) | |} { | |}L L L

L i i ii i i

aZ a Z a Y a Y a

. Ponadto,

stan |a| jest klasą równoważności słowa a D względem relacji (3.47), to jest *| | [ ] { : ( ) | |} { : }aa a b S b a ca S c . Stąd, na podstawie punktu (c)

lematu 3.10, | | { }a a . Wobec tego, 1

{ | |} { }L

L ii

Z a Y a

i ponieważ zmien-

ne losowe iZ oraz iY , i = 1,..., L, są określone na tej samej przestrzeni probabili-stycznej – stąd wynika teza.

Ponieważ łańcuch 0{ }Li iZ jest jednorodny w czasie, zatem wartości prawdo-

podobieństw warunkowych (3.51) określają, niezależną od czasu, macierz stocha-styczną (| | 1) (| | 1)a a

a P R tego łańcucha, to jest macierz

, , /~[ ]a k m k m Sp P , ,{ : ( , ) }a

k mk m

p p

. (3.52)

Wobec tego, rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej ZL dany jest wekto-rem 1a z R , takim że T T Lz x P ,

gdzie k-ta współrzędna wektora z jest równa prawdopodobieństwu zdarzenia {ZL = k}, zaś T[1, 0,...,0]x jest rozkładem początkowym rozważanego łańcu-cha Markowa (to jest rozkładem zmiennej losowej Z0). Stąd, na podstawie twier-dzenia 3.12,

( )0,| |

1

{ }L

Li a

i

P Y a p

, (3.53)

gdzie ( )0,| |

Lap jest prawym górnym elementem macierzy ( )

, , /~[ ]L La k m k m Sp P .

Funkcja przejścia (3.50) oraz macierz stochastyczna (3.52) mogą zostać wy-znaczone w efektywny sposób przy wykorzystaniu algorytmu zaprezentowanego pod koniec niniejszego podpunktu. Na rysunku 3.3 przestawiono wartości funkcji przejścia oraz macierz stocha-styczną łańcucha Markowa 0{ }L

i iZ indukowanego przez przykładowy ciąg sym-boli. Na rysunku 3.4 zobrazowano zależności liczby iteracji wystarczającej do uzyskania aproksymacji z zadaną dokładnością od prawdopodobieństwa (3.45) dla trzech przykładowych zbiorów prawdopodobieństw układu IFSP opisującego trójkąt Sierpińskiego. Niech teraz | | ( )a k oznacza średni czas dojścia łańcucha 0{ }i iZ

do stanu |a|, gdy łańcuch znajduje się w stanie k, tzn.

| | ( ) (inf{ 0 : | |} | )a L j jk E L Z a Z k .



Rys. 3.3. Łańcuch Markowa indukowany przez słowo : a) graf przejścia (pominięto przejścia do stanu 0); b) wartości funkcji przejścia; c) macierz stochastyczna – symbole identyfi ko-

wane są z wartościami przypisanych im prawdopodobieństw

Wtedy zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.13. Dla | |k a , | | ( ) 0a k . Dla {0,...,| | 1}k a wartości | | ( )a k określone są jako jednoznaczne rozwiązanie układu równań

| | , | |

{0,...| | 1}( ) 1 ( )a k m a

m ak p m

, (3.54)

gdzie wartości ,k mp są elementami macierzy stochastycznej (3.52).

Dowód. Na podstawie twierdzenia 2.48.

Na podstawie reguły (3.48), | | (0) (inf{ 0 : })a LE L Y a . Twierdzenie 3.13 daje zatem podstawę do oszacowania z góry średniego czasu odwiedzenia przez łańcuch Markowa 0{ }i iY

wszystkich stanów ze zbioru D, poprzez obliczenie pra-wej strony nierówności (3.46) przy wykorzystaniu macierzy stochastycznych (3.52) indukowanych przez stany z D. Obliczenia takie można przeprowadzić w trakcie konstruowania zbioru D przy użyciu prostej modyfi kacji algorytmu ada-ptacyjnych odcięć (Martyn [84]). W szczególności, jeśli stan a stanowi sekwencję n-powtórzeń pojedyncze-go symbolu, to wówczas – na postawie funkcji przejścia (3.50) – układ równań (3.54) zapisuje się w postaci:

| | | |

1

1( ) (0)k

a a mm

kp

dla {1,...,| | 1}k a



oraz

| | | |(| | 1) 1 (1 ) (0)a aa p ,

gdzie p jest prawdopodobieństwem wylosowania symbolu składowego. Stąd

| |

| | | |

1(0)(1 )

a

a a

pp p

.

Wobec tego, dla każdego a D

max

max

min

min min

1(inf{ 0 : })(1 )

L

L L

pE L Y ap p

,

gdzie: min min{ : }p p , max max{| |: }L a a D . Stąd, dla danego IFSP {w1,..., wN ; p1,..., pN} z atraktorem A , średni czas (3.46) wygenerowania przez algorytm probabilistyczny ciągu punktów { }ix , 0x A , aproksymującego A z błędem nie większym niż 0 względem metryki Hausdorffa, może być osza-cowany z góry jako

maxmax

max

min

min min

1( )(1 )

LL

L

pE T Np p

, (3.55)

gdzie:

max 1,...,

max min : Lip( )diam( )

kii N

L k wA

N , min 1,...,

min { }ii Np p

.

Wyniki empiryczne przedstawione w artykule (Martyn [84]) pokazują, że dla ustalonych (stosunkowo dużych) wartości dokładności aproksymacji i liczby kro-ków algorytmu probabilistycznego, maksymalizacja wartości prawej strony nie-równości (3.45) w dziedzinie możliwych wartości prawdopodobieństw afi nicznych IFSP umożliwia wyznaczenie prawdopodobieństw skutkujących bardziej równo-miernymi rozkładami punktów generowanych sekwencji niż te, które uzyskano dla prawdopodobieństw określonych przy użyciu wzoru (3.33). Na podstawie defi ni-cji 2.30, wartości prawdopodobieństw przypisywanych odwzorowaniom spełniają

warunki 0ip oraz 1

1N

ii

p

. Dlatego wspomniany proces optymalizacji wygod-

nie jest przeprowadzić w układzie współrzędnych barycentrycznych, maksymali-zując rozważaną funkcję na zbiorze punktów wnętrza ( 1)N -wymiarowego sim-pleksu rozpiętego na wierzchołkach o współrzędnych barycentrycznych [1,0,...,0] ,[0,1,...,0] ,…, [0,0,...,1] . Na rysunku 3.5 przedstawiono przykładowe porównanie rozkładów punktów wygenerowanych przez grę w chaos dla IFSP opisującego pa-protkę Barnsleya i trzech różnych zestawów prawdopodobieństw, w tym zestawu uzyskanego w wyniku procesu optymalizacji. W ostatnim z przypadków, wygene-rowana sekwencja punktów pokrywa atraktor w sposób bardziej równomierny niż w pozostałych.



Rys. 3.4. Wystarczająca liczba iteracji algorytmu probabilistycznego do otrzymania aproksyma-cji trójkąta Sierpińskiego z zadanym prawdopodobieństwem i dozwolonym błędem aproksyma-cji . Wykresy przedstawiają wyniki dla trzech przykładowych zbiorów prawdopodobieństw IFSP

i trzech dozwolonych błędów aproksymacji mierzonych względem metryki maksimum



Rys. 3.5. Rozkłady punktów wygenerowanych przy wykorzystaniu gry w chaos dla układu IFSP opisującego paprotkę Barnsleya (dodatek A, pkt 3) dla trzech różnych zbiorów prawdopodobieństw. Wartości miary w punktach obrazu przedstawiono przy użyciu kolorów, począwszy od zieleni, po-przez brąz, czerwień, aż do barwy żółtej. Od strony lewej do prawej: prawdopodobieństwa [0,85, 0,07, 0,07, 0,01] wyznaczone przy użyciu formuły (3.33), prawdopodobieństwa [0,73, 0,11, 0,13, 0,03] zaproponowane w artykule (Hepting i inni [56]), prawdopodobieństwa [0,741, 0,099, 0,119,

0,068] uzyskane w wyniku procesu optymalizacji (patrz tekst)

Wyznaczanie funkcji przejścia i macierzy stochastycznej. Niniejszy podpunkt zostanie zakończony omówieniem efektywnego algorytmu obliczania funkcji przejścia a (3.50) oraz macierzy stochastycznej aP (3.52) łańcucha Markowa

0{ }Li iZ . Przedstawiony materiał oparty jest na rozwiązaniu przedstawionym w ar-

tykule (Martyn [84]). Problem wyznaczania wartości funkcji przejścia a przypomina pod wieloma względami zagadnienie dopasowywania wzorców tekstowych. Istotnie, opisywa-ne tutaj podejście do wyznaczania funkcji przejścia a opiera się na spostrzeże-niach przedstawionych w artykule (Knuth i inni [68]), które stały się podstawą dla zaproponowanej w nim metody wyszukiwania ustalonego ciągu znaków w tekście przy użyciu automatów skończonych (patrz również: Cormen i inni [21]). Niech :{0,...,| |} {0,...,| | 1}a a a będzie funkcją prefi ksową słowa a D , to jest funkcją zdefi niowaną jako (Knuth i inni [68])

0, gdy 0;( )

max{ : i ( ) ( )}, w p.p.a

kk

m m k a m a k

(3.56)



Innymi słowy, dla 0k , wartością ( )a k jest długość najdłuższego prefi ksu sło-wa ( )a k , który jest jednocześnie właściwym sufi ksem tego słowa.

Twierdzenie 3.14. Niech 1 2 | |... aa , i . Dla każdego {0,...,| | 1}k a i każdego , wartości funkcji przejścia (3.50) spełniają następującą zależ-ność:

1

1

0, gdy 0 i ;( , ) 1, gdy ;

( ( ), ), w p.p.a k

a a

kk k

k

(3.57)

Dowód. Dwie pierwsze równości są oczywiste. Aby udowodnić równość trzecią, zostanie pokazane, że jeśli k > 0 i 1k , to

( ) ( ) ( ) ( ( ))aa m a k a m a k .

Stąd, na podstawie defi nicji funkcji sufi ksowej oraz defi nicji funkcji przejścia (3.50), otrzymamy tezę. Niech ( ) ( )a m a k , gdzie 0k i 1k . Ponieważ 1k , zatem

( ) ( )a m a k i stąd ( )a m jest właściwym sufi ksem słowa ( )a k . Z ko-lei, na podstawie (3.56), ( ( ))aa k jest najdłuższym z prefi ksów słowa ( )a k ,które są jednocześnie właściwymi sufi ksami tego słowa. Stąd ( ( ))aa k jest najdłuższym z prefi ksów słowa ( )a k będących jednocześnie właściwymi sufi ksami tego słowa. Ponadto, łatwo zauważyć, że dla dowolnych słów x, y i z, założenie x z i y z oraz | | | |y x implikuje y x . Ponieważ, jak wykazano wyżej, ( ) ( )a m a k i ( ( )) ( )aa k a k oraz | ( ) | | ( ( )) |aa m a k , zatem – na podstawie powyższej obserwacji – ( ) ( ( ))aa m a k . Niech teraz ( ) ( ( ))aa m a k . Łatwo pokazać, że relacja sufi ksowa jest przechodnia. Ponieważ, jak wykazano wyżej, ( ( )) ( )aa k a k – stąd

( ) ( )a m a k .

Wykorzystując twierdzenie 3.14, można skonstruować wydajny algorytm suk-cesywnego wyznaczania wartości funkcji przejścia (3.50) oraz macierzy stocha-stycznej (3.52) łańcucha Markowa indukowanego przez ustalone słowo a D . Algorytm wyznacza, dla zadanego stanu ~/k S i 1k symbolu słowa a, przej-ścia ( , )a k pod wpływem każdego z symboli oraz wartości k-tego rzę-du aP [k,.] macierzy stochastycznej, który określa prawdopodobieństwa przejścia ze stanu k do poszczególnych stanów z ~/S :

procedure ComputeTransitions 1( , )kk

begin 1. for each ~/m S do aP [k, m] = 0;2. if | |k a then begin



3. aP [k, k] = 1; 4. for each do ( , )a k k ; end if; 5. else begin 6. ( )a k ComputePrefi xFunction(k); 7. for each do begin 8. if 1k then ( , ) 1a k k ; 9. else if k = 0 then ( , ) 0a k ;10. else ( , ) ( ( ), )a a ak k ;11. [ , ( , )] [ , ( , )]a a a ak k k k p P P ; end for; end else; end.

gdzie 1k jest dla | |k a , 1k symbolem słowa a oraz dla | |k a − dowol-nym symbolem, zaś p jest prawdopodobieństwem ze zbioru {p1, ..., pN} praw-dopodobieństw IFSP. Jak łatwo zauważyć, dla danego stanu bieżącego k oraz 1k symbolu sło-wa a, algorytm wyznacza wartości funkcji przejścia a (k,.) wraz z wartościa-mi prawdopodobieństw aP [k,.], wykorzystując w tym celu jedynie informację o wartościach funkcji przejścia wyznaczonych dla stanów poprzedzających stan k. Informacja dotycząca stanów następnych i symboli słowa a następujących po symbolu 1k nie jest wymagana. W konsekwencji, macierze stochastyczne in-dukowane przez sekwencje indeksów (słowa) należące do zbioru D mogą być wyznaczane równolegle w trakcie konstruowania tego zbioru przy użyciu algo-rytmu adaptacyjnych odcięć (punkt 3.2). Odpowiednia modyfi kacja algorytmu adaptacyjnych odcięć została przedstawiona w pracy (Martyn [84]). Podobnie jak wartości funkcji przejścia a , wartość funkcji prefi ksowej ( )a k dla zadanego stanu k (krok 6 algorytmu) można obliczać efektywnie jedynie na podstawie wartości przyjmowanych przez tę funkcję dla stanów i k . Twierdze-nie 3.15 daje podstawę do skonstruowania odpowiedniego algorytmu, który jest wykonywany w tym celu za sprawą wywołania funkcji oznaczonej w wyżej za-prezentowanym pseudokodzie jako: ComputePrefi xFunction( k ).

Twierdzenie 3.15. Niech ...q

qa a a

oznacza q-krotne złożenie funkcji

prefi ksowej a . Nadto, dla ustalonego {1,..., | |}k a , zdefi niujmy zbiór ( )a k jako

1,..., 1

( ) { ( )}qa a

q k

k k

. (3.58)



Wtedy zbiór

( )

{ ( )}i ka

a i

zawiera wszystkie prefi ksy ( )a i będące właściwymi sufi ksami słowa ( )a k .

Dowód. Teza wynika z przechodniości relacji sufi ksowej i defi nicji funkcji pre-fi ksowej.

Na podstawie twierdzenia 3.15 otrzymuje się następujący wniosek:

Wniosek 3.16. Niech 1 2 | |... aa , i . Prefi ks ( 1)a i jest właściwym su-fi ksem słowa ( )a k wtedy i tylko wtedy, gdy ( 1)ai k oraz 1i k .

Przyjmując, że sup oraz 1 , funkcję prefi ksową słowa 1 2 | |... aa , i , można zatem zapisać w postaci:

1( ) sup{sup{ ( 1) : } 1, 0}a a i kk i k . (3.59)

Wyznaczenie wartości funkcji prefi ksowej dla zadanego stanu ~/k S może więc zostać dokonane efektywnie na podstawie wartości tej funkcji określonych poprzednio dla stanów i k przy użyciu następującego algorytmu:

function ComputePrefi xFunction( k ) : integer begin 1. if k = 0 then return 0;2. else begin3. ( 1)ai k ;4. while i > 0 and 1i k do ( )ai i ; 5. if 1i k then 1i i ; end else; 6. return i; end.

3.3.4. Alternatywny dowód poprawności algorytmu w przypadku nieskończonej liczby iteracji

Przedstawiona w podpunkcie 3.3.3 analiza algorytmu probabilistycznego dla skończonej liczby iteracji może zostać w prosty sposób wykorzystana do wyka-zania poprawności tego algorytmu w nieskończonym czasie działania. Dokonu-jąc takiego rozszerzenia, otrzymamy – oparty na teorii łańcuchów Markowa – al-ternatywny dowód faktu wykazanego w twierdzeniu 3.9 przy założeniu, że punkt startowy algorytmu probabilistycznego należy do atraktora.



Niech | | ( )aP k będzie prawdopodobieństwem dojścia łańcucha Markowa 0{ }i iZ

do stanu |a| pod warunkiem, że łańcuch znajduje się w stanie k, to jest

| | ( ) ({ 0 : | |} | )i j jaP k P i Z a Z k .

Wówczas zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 3.17. Jeśli | |k a , to | | ( ) 1aP k . W przypadku przeciwnym, prawdo-podobieństwa | | ( )aP k określone są jako jednoznaczne rozwiązanie układu równań

| | , | |/~

( ) ( )a k m am S

P k p P m

, (3.60)

gdzie wartości ,k mp są elementami macierzy stochastycznej (3.52).

Dowód. Na podstawie twierdzenia 2.48.

Na podstawie twierdzenia 3.17 oraz defi nicji funkcji przejścia (3.50) otrzymu-jemy dla {0,..., | | 1}k a , że

| | , | |0

| |

,0

( ) ( )( 1)

1

k

a k m am

a k

k mm

P k p P mP k

p

oraz | | (| |) 1aP a . Wobec tego

| | 1 | | 1

| | 1, | | | | 1, | |0 0

1 (| | 1) ( )a a

a m a a m am m

p P a p P m

,

a zatem układ równań (3.60) spełniony jest dla

| | | | | |(| |) (| | 1) ... (0) 1a a aP a P a P .

Co więcej, stosownie do twierdzenia 3.17, jest to jedyne rozwiązanie tego układu. Z kolei, | | (0) lim ( | |)a LL

P P Z a

oraz, na podstawie twierdzenia 3.12,

1

lim ( | |) lim { }L

L iL Li

P Z a P Y a

. Stąd, z nierówności (3.45), otrzymujemy

lim ({ , 0 , }) 1iL

P a D i L Y a

,

co oznacza, że łańcuch Markowa 0{ }i iY odwiedzi, z prawdopodobieństwem 1,

wszystkie stany zbioru D. Zatem, dla dowolnego 0 , algorytm probabilistycz-ny, w nieskończonym czasie działania, wygeneruje ciąg punktów 0{ }i ix

aprok-symujących atraktor A z błędem nie większym niż względem metryki Haus-dorffa, jeśli tylko 0x A .



3.4. PORÓWNANIE ALGORYTMÓW

W zależności od konkretnego przypadku IFS {w1,..., wN}, każdy z trzech al-gorytmów aproksymacji omówionych w tym rozdziale ma zarówno zalety, jak i pewne wady. Zaletą pierwszego z omówionych algorytmów – algorytmu iterowania opera-tora Hutchinsona jest przede wszystkim jego prostota implementacji. Ponadto, jak pokazano w punkcie 3.1, algorytm ten generuje zbiór aproksymujący A zawsze w czasie O(NM) i przy zapotrzebowaniu pamięciowym rzędu O(M) (w wersji re-kurencyjnej algorytmu), gdzie wartość M określona jest równością (3.2). Z ko-lei, omówiony w punkcie 3.2, algorytm adaptacyjnych odcięć do wygenerowania zbioru A potrzebuje w pesymistycznym przypadku czasu ( )MO N i pamięci O(M) (w wariancie rekurencyjnym), gdzie oznacza czas potrzebny na wyzna-czanie stałej Lipschitza bieżącego złożenia odwzorowań. Przypadek ten będzie miał na przykład miejsce wtedy, gdy odwzorowania IFS będą podobieństwami o równych współczynnikach zwężania. W takich okolicznościach algorytm itero-wania operatora Hutchinsona jest bardziej efektywny pod względem czasu obli-czeń od algorytmu adaptacyjnych odcięć. Niemniej, algorytm iterowania operatora Hutchinsona przechodzi zawsze całe zrównoważone drzewo wszystkich możliwych złożeń odwzorowań IFS o długości M. Algorytm adaptacyjnych odcięć dokonuje zaś aproksymacji na podstawie pierwszych napotkanych węzłów, które przechowują złożenia f o współczynnikach zwężania Lip( ) /diam( )f A , i pomija zaczepione w tych węzłach poddrzewa. Ponieważ Lip( ) (max Lip( ))M

if w , zatem M jest gór-nym ograniczeniem wysokości drzewa złożeń odwzorowań IFS przeszukiwane-go przez algorytm adaptacyjnych odcięć. Stąd algorytm adaptacyjnych odcięć przeszuka co najwyżej pełne zrównoważone drzewo wszystkich możliwych zło-żeń odwzorowań o długości M, tak jak to czyni algorytm iteracji operatora Hut-chinsona. Jednakże w ogólnym przypadku IFS, w szczególności IFS składają-cego się z odwzorowań o różnych współczynnikach zwężania, długość złożenia o współczynniku zwężania nie większym niż /diam( )A jest często mniejsza aniżeli górne ograniczenie M. Dlatego algorytm adaptacyjnych odcięć w celu wygenerowania jednego z punktów aproksymacji przemierza na ogół krótszą ścieżkę od korzenia do odpowiedniego węzła, niż ma to miejsce w przypadku algorytmu iterowania operatora Hutchinsona. W rezultacie, algorytm adapta-cyjnych odcięć podczas generowania zbioru aproksymacyjnego przeszukuje na ogół znacznie mniejsze obszary drzewa złożeń odwzorowań IFS niż algorytm iterowania operatora Hutchinsona. Zaoszczędzony w ten sposób czas zwykle z nawiązką rekompensuje czas potrzebny na wyznaczanie współczynników zwężania bieżących złożeń odwzorowań. W konsekwencji algorytm adaptacyj-nych odcięć w praktyce okazuje się zwykle znacznie efektywniejszy od algo-



rytmu iterowania Hutchinsona. Co więcej, z tych samych powodów aproksyma-cja uzyskana przy wykorzystaniu tego algorytmu składa się na ogół ze znacznie mniejszej liczby punktów niż aproksymacja otrzymana poprzez iterowanie ope-ratora Hutchinsona. W przypadku afi nicznych IFS i – zaproponowanego w podpunkcie 3.2.2 – podejścia do szacowania od góry stałych Lipschitza złożeń odwzorowań skła-dowych, algorytm adaptacyjnych odcięć podczas przeszukiwania drzewa zło-żeń może przekroczyć rozważane górne ograniczenie M wysokości drzewa. Pomimo to, jak wskazuje praktyka, sumaryczny czas potrzebny na oszacowa-nie stałych Lipschitza wszystkich złożeń takiego „rozszerzonego” drzewa jest na ogół znacznie mniejszy od czasu potrzebnego na dokładne obliczenie tych stałych dla złożeń odwzorowań drzewa przeszukiwanego przez standardową realizację tego algorytmu. Dotyczy to szczególnie – najbardziej interesują-cych z punktu widzenia grafi ki komputerowej – przypadków afi nicznych IFS na przestrzeniach rzeczywistych o wymiarze 2 i 3. W rezultacie implementacja algorytmu adaptacyjnych odcięć oparta na szacowaniu stałych Lipschitza jest zwykle o wiele bardziej wydajna niż implementacja standardowej wersji tego algorytmu. Co za tym idzie, implementacja taka jest na ogół również o wiele bardziej efektywna od implementacji algorytmu iterowania operatora Hutchin-sona. Podobnie jak algorytm iterowania operatora Hutchinsona, trzeci z opisanych algorytmów – algorytm gry w chaos cechuje prostota implementacji. Dodatko-wo, w odróżnieniu od dwóch pozostałych algorytmów, charakteryzuje się on stałym zapotrzebowaniem pamięciowym. Do zalet gry w chaos można równieżzaliczyć to, iż w przypadku afi nicznych IFSP z prawdopodobieństwami wyzna-czonymi na podstawie wzoru (3.33), używając tego algorytmu można zwykle, w stosunkowo krótkim czasie, otrzymać przybliżenie atraktora dające informa-cję o globalnej geometrii tego zbioru. Niestety, ze względu na probabilistycz-ny charakter algorytmu, oszacowanie dokładności takiego przybliżenia wymagadodatkowego nakładu obliczeń i, co więcej, może być dokonane tylko z pew-nym prawdopodobieństwem. Autorską analizę gry w chaos z punktu widzenia zarówno nieskończonej, jak i skończonej liczby iteracji zaprezentowano w pod-punktach 3.3.2 i 3.3.3 (Martyn [83, 84]). Jak pokazują wyniki eksperymentów numerycznych, uzyskanie aproksymacji atraktora w zakresie dokładności wy-korzystywanych w grafi ce komputerowej i ze względnie wysokim prawdopo-dobieństwem wymaga często ogromnej liczby iteracji omawianego algorytmu. W rezultacie, otrzymywane w ten sposób zbiory aproksymujące atraktory skła-dają się zwykle z ogromnej liczby punktów. Ponieważ w praktyce zbiory aprok-symujące często wykorzystywane są następnie jako dana wejściowa innych al-gorytmów (takich jak np. algorytmy geometrii obliczeniowej), których złożo-ność zależy od liczności (mocy) zbioru, wykorzystywanie gry w chaos jako na-



rzędzia aproksymacji atraktorów IFS jest z punktu widzenia takich zastosowań problematyczne. Na rysunku 3.6 przedstawiono obrazy aproksymacji paprotki Barnsleya, które otrzymano przy użyciu omówionych algorytmów. Zastosowanie algo-rytmu iterowania operatora Hutchinsona daje w tym przypadku zbiór, który mimo iż składa się ze znacznie większej liczy punktów niż dwa pozostałe zbio-ry, aproksymuje atraktor z dokładnością znacznie odbiegającą od dokładno-ści zdeterminowanej rozdzielczością obrazu. Rezultaty otrzymane przy wyko-rzystaniu dwóch pozostałych algorytmów są znacznie lepsze pod względem dokładności aproksymacji, jednak – jak łatwo zauważyć – rozkład punktów zbioru otrzymanego przy wykorzystaniu algorytmu adaptacyjnych odcięć jest znacznie bliższy rozkładowi równomiernemu niż rozkład punktów zbioru wy-generowanego przy użyciu gry w chaos. W konsekwencji, cechą charaktery-styczną zbioru uzyskanego przy wykorzystaniu gry w chaos jest to, że do-kładność aproksymacji zmienia się lokalnie w zakresie różnych części zbioru (w zależności od wartości miary niezmienniczej, pewne fragmenty zbioru są aproksymowane lepiej niż inne), natomiast zbiór otrzymany za pośrednictwem algorytmu adaptacyjnych odcięć wykazuje pod tym względem znacznie lepsze właściwości.

Rys. 3.6. Zastosowanie algorytmów opisanych w niniejszym rozdziale do aproksymowania paprotki Barnsleya. Od strony lewej do prawej: algorytm iterowania operatora Hutchinsona (1 048 576 punk-

tów), gra w chaos (128 584 punkty), algorytm adaptacyjnych odcięć (128 584 punkty)



W odróżnieniu od algorytmu adaptacyjnych odcięć, algorytm gry w chaos umożliwia jednak generowanie przybliżeń nośników miar niezmienniczych gene-rowanych przez układy IFSP zwężające „na średnio” (por. defi nicja 2.30), które zawierają odwzorowania niemające właściwości odwzorowań zwężających. Na rysunku 3.7 przedstawiono przykłady nośników takich miar niezmienniczych ge-nerowanych przez IFSP składające się z odwzorowań afi nicznych, z których jed-no jest obrotem o stałej Lipschitza równej 1.

Rys. 3.7. Przykładowe nośniki miar niezmienniczych IFSP generowanych przez niehiperboliczne układy odwzorowań afi nicznych (zob. dodatek A, pkt 4)


87 Aproksymacja na -siatkach

4. APROKSYMACJA NA -SIATKACH

Wiele problemów numerycznych wymaga aproksymacji fraktali na -siat-kach G przestrzeni nR , to jest pokryciach tej przestrzeni hipersześcianami o (za-danej) długości boku 0 :

1 1 1( ,..., ) [ , ( 1) ) ... [ , ( 1) )n n nC m m m m m m ,

gdzie 1,..., nm m Z . Przez

T

1 11 1( ,..., ) ,...,2 2n nm m m m

c

będzie oznaczany punkt środkowy hipersześcianu 1( ,..., )nC m m . W teorii fraktali z zagadnieniem aproksymacji na -siatce mamy najczęściej do czynienia w związku z wyznaczaniem wymiaru pudełkowego zbiorów (np. Barnsley [7, s. 171 i n.], Falconer [33, s. 36 i n.]) oraz w analizie mulitfraktalnej (np. Harte [54], Martyn [88]). W zastosowaniach fraktali w grafi ce komputerowej aproksymacja na -siatkach wykorzystywana jest zwykle do wizualizacji fraktali dwuwymiarowych na siatce pikseli tworzących przestrzeń obrazu lub do uzyska-nia danych objętościowych określonych na przestrzeni wokseli, obrazowanej na-stępnie przy użyciu jednej ze znanych technik wizualizacji wolumetrycznej (Ni-kiel i Goinski [106], Martyn [94]).

4.1. CZAS UCIECZKI I FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA ATRAKTORA

Algorytm czasu ucieczki dla IFS (ang. the escape time algorithm) (Prusinkie-wicz i Sandness [125]), (Hepting i inni [56]) jest wdrożeniem do teorii IFS po-pularnego algorytmu wizualizacji (aproksymacji) „wypełnionych” zbiorów Julii (ang. fi lled-in Julia sets), to jest zbiorów będących dopełnieniami basenów przy-ciągania punktu w nieskończoności na sferze Riemanna1 (Peitgen i Saupe [114, s. 154–155], Kudrewicz [70, s. 100 i n.], Martyn [79, s. 96 i n.]). Zgodnie z ter-minologią zaczerpniętą z teorii układów dynamicznych, punkty stałe operatorów Hutchinsona, które w klasycznym podejściu są atraktorami, w ujęciu algorytmu czasu ucieczki są traktowane – podobnie jak zbiory Julii – jako tzw. repelery (por. np. Kudrewicz [70]). W tym ujęciu, zamiast operatora Hutchinsona zdefi niowane-go jako suma mnogościowa odwzorowań zwężających IFS (2.10), rozpatruje się operator analogiczny z tą różnicą, że zbudowany na podstawie odwróconych od-

1 Zbiór Julii jest brzegiem tego dopełnienia.



wzorowań IFS1. Zatem, zbiór A jest także punktem stałym „odwróconego” ope-ratora Hutchinsona, jednakże iteracyjne zastosowanie tego operatora do singleto-na zawierającego dowolny punkt nienależący do A daje w rezultacie ciąg zbio-rów oddalających się od A względem metryki Hausdorffa2. Algorytm czasu ucieczki dla IFS opiera się na następującym twierdzeniu:

Twierdzenie 4.1. Niech dany będzie IFS 1{ }Ni iw na przestrzeni ( nR , dE) i z atrak-

torem A , gdzie odwzorowania : n niw R R są odwracalne. Wtedy dla dowol-

nego Ax istnieje przynajmniej jeden ciąg odwzorowań odwrotnych 11{ }

ki kw

taki, że

1

1 1, ... ( )ki ik w w A

N x .

Jeśli Ax , to dla każdego ciągu 11{ }

ki kw zachodzi:

1

1 10, , ... ( ) ( , )ki ir k w w B r N x 0 ,

czyli trajektoria punktu x określona ciągiem odwzorowań 11{ }

ki kw jest nieogra-

niczona.

Dowód. Niech Ax . Wtedy x należy przynajmniej do jednego z podzbiorów ( )iw A , i = 1,..., N. Ponieważ wi są odwracalne, zatem 1( )iw A

x . Stąd, przez indukcję, otrzymujemy pierwszą część twierdzenia. Dowód części drugiej opiera się fakcie, że odwrotnościami odwzorowań zwężających są odwzorowania „roz-ciągające” przestrzeń – można go znaleźć w (Prusinkiewicz i Sandness [125]).

Wobec tego, dla danego IFS 1{ }Ni iw na ( , )n

EdR , defi niowana jest rekuren-cyjnie funkcja dyskretnego czasu ucieczki (ang. the discrete escape time function)

0ET : nR R N jako

1

1,...,1 max ET( ( )), gdy ( , ),

ET ( )0, w p.p.,

ii NR

w B R

x x 0x (4.1)

gdzie ( , )B R A0 . Kulę ( , )B R0 określa się jako spełniającą warunek ( , ) ( ( , ))B R W B R0 0 (Hepting i inni [56]). Kulę taką można łatwo wyznaczyć,

stosując twierdzenie 2.19.

1 Dokonując zawężenia dziedzin działania odwzorowań składowych „odwróconego” operatora Hut-chinsona do odpowiednich podzbiorów przestrzeni, można skonstruować pewien układ dynamicz-ny z czasem dyskretnym (Kudrewicz [70]), którego (odpychającym) zbiorem niezmienniczym jest atraktor oryginalnego IFS; zob. np. (Barnsley [7, s. 246 i n.]).2 Stąd nazwa repeler – rzeczownik od ang. czasownika to repel, tłumaczonego w tym kontekście jako odpychać.



Na podstawie twierdzenia 4.1, dany punkt x przestrzeni nie będzie należał do atraktora wtedy i tylko wtedy, gdy wartość ET ( )R x jest skończona; w przypadku przeciwnym x jest punktem atraktora. Algorytm czasu ucieczki stosowany jest zwykle do wizualizacji atraktora IFS wraz z jego otoczeniami na -siatkach poprzez sprawdzanie wartości funkcji ET dla wybranych (zwykle centralnych) punktów elementów siatki (podpunkt 9.1.6). W praktyce, przed rozpoczęciem procesu wizualizacji, warto dokonać translacji atraktora w kierunku punktu 0 tak, aby kula ( , )B R0 była w miarę możliwości jak najmniejsza. Najłatwiej tego dokonać, wyznaczając wektor momentów pierwsze-go rzędu miary niezmienniczej generowanej przez prawdopodobieństwa (3.33) poprzez rozwiązanie układu równań (2.25), a następnie zastosowanie odpowied-niej translacji do odwzorowań układu IFS, jak to pokazano w twierdzeniu 2.22. W ogólnym przypadku nieliniowych odwzorowań IFS przyjmuje się zwy-kle arbitralnie skończoną maksymalną wartość funkcji czasu ucieczki, dla której punkt uznawany jest za należący do atraktora. W takiej implementacji rozważana wartość maksymalna określa graniczną głębokość rekursji obliczeń określonych zależnością (4.1). Niestety, podejście takie nie gwarantuje otrzymania aproksy-macji atraktora o zadanej dokładności. W przypadku IFS składających się z odwzorowań afi nicznych stosunkowo łatwo adaptować algorytm czasu ucieczki do wyznaczania aproksymacji atrak-tora na równomiernej siatce przy zadanej dokładności mierzonej względem me-tryki Hausdorffa. W związku z tym należy przede wszystkim zauważyć, że je-śli odwzorowania IFS 1{ }N

i iw są odwracalne, to, dla pewnej sekwencji 11{ }

m

ki mw

, 1

1 1... ( ) ( , )ki iw w B R x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

1... ( ( , ))

ki iw w B Rx 0 . Ob-serwacja ta stanowi podstawę alternatywnej defi nicji funkcji dyskretnego czasu ucieczki (ang. forward discrete time (Hepting i Hart [55])):

,1,...,,

1 max ET ( ), gdy ( ( , )),ET ( )

0, w p.p.

R ii NR

f w f B Rf

xx

x 0 (4.2)

W świetle powyższych rozważań ,ET ( ) ET ( )R R id xx , gdzie id jest odwzoro-waniem identycznościowym na nR . Ponadto, z założenia, kula ( , )B R A0 ,zatem jej obraz

1 1... ( ( , )) ... ( )

k ki i i iw w B R w w A0 . Stąd, jeśli punkt 1

... ( ( , ))ki iw w B Rx 0 , to odległość Hausdorffa

1 1 1({ }, ... ( )) diam( ... ( ( , ))) 2 Lip( ... )

k k ki i i i i ih w w A w w B R R w w x 0 .

Powyższe obserwacje dają podstawę do zaprojektowania zmodyfi kowanego algorytmu czasu ucieczki dla aproksymacji atraktora z zadaną dokładnością na -siatce, którego działanie będzie opierało się na idei funkcji charakterystycznej zbioru.



Niech G będzie -siatką przestrzeni nR . Załóżmy, że ( , )B R A0 jest kulą w metryce d indukowanej przez pewną normę wektorową na nR . Funkcję charak-terystyczną aproksymacji atraktora A defi niujemy jako

1,...

1, gdy ( ( ), ( )) i Lip ( ) diam ( ) / 2 ;( , ) max ( , ), gdy ( ( ), ( )) i Lip ( ) diam ( ) / 2 ;

0, w p.p.

d d

i d di N

B f r f f C Rf f w B f r f f C R

x 0x x x 0

(4.3a)gdzie:

1( ) max diam ( ), Lip ( )2 d dr f C f R

, (4.3b)

(., ( ))B r f jest kulą w metryce d, natomiast Lip ( )d f i diam ( )d C oznaczają od-powiednio stałą Lipschitza odwzorowania f i średnicę hipersześcianu z G wzglę-dem metryki d. Korzystając z funkcji charakterystycznej, można zbiór aproksymujący atrak-tor A zdefi niować jako domknięcie sumy mnogościowej hipersześcianów okre-ślonej jako

1 1{ ( ,..., ) : ( ( ,..., ), ) 1 }n nA C m m G m m id c . (4.4)

Twierdzenie 4.2. Niech 1{ }Ni iw będzie IFS na przestrzeni ( , )n dR , gdzie d jest

metryką indukowaną przez pewną normę na nR . Zbiór A określony równo-ścią (4.4) aproksymuje atraktor A z błędem 3 diam ( )

2 d C względem metry-ki Hausdorffa.

Dowód. Niech ( , )B R A0 . Niech Aa będzie dowolnym punktem atraktora. Wtedy a należy przynajmniej do jednego podzbioru ( )f A ,

1...

ki if w w , ta-kiego że 2 Lip ( ) diam ( )d dR f C . Zatem ( ( ), )B f ra 0 , gdzie 1 diam ( )

2 dr C .Ponieważ siatka G pokrywa nR hipersześcianami o średnicach diam ( )d C , zatem istnieje co najmniej jeden hipersześcian 1( ,..., )nC m m , którego środek

1( ,..., ) ( ( ), )nm m B f rc 0 . Stąd 1 1( ( ,..., ), ) ( ( ,..., ), ) 1n nm m f m m id c c , a za-tem 1( ,..., )nC m m A . Zatem, dla każdego Aa istnieje punkt 1( ,..., )nm m Ac taki, że 1( ( ,..., ), ) diam ( )n dd m m Cc a . Stąd ( ,diam ( ))dN A C A . Niech teraz Ax będzie dowolnym punktem aproksymacji. Wte-dy 1( ,..., )nC m mx dla pewnego hipersześcianu 1( ,..., )nC m m A . Stąd

1( ( ,..., ), ) 1nm m id c , a zatem istnieje złożenie 1

...ki if w w odwzorowań

IFS takie, że kula ( ( ), )B f r0 , 1 diam ( )2 dr C , zawiera środek 1( ,..., )nm mc tego

hipersześcianu. Ponieważ także ( ( ), ) ( )B f r f A0 , zatem dla każdego Ax istnieje Aa taki, że



1 1( , ) ( , ( ,..., )) ( ( ,..., ), )1 3diam ( ) diam ( ) diam ( ).2 2

n n

d dd

d d m m d m m

C C C

a x a c c x

Stąd ( , 3diam ( ) / 2)dN A C A . Na podstawie powyższych rozważań otrzymujemy ( ,diam ( ))dN A C A i ( , 3diam ( ) / 2)dN A C A . Stąd, na mocy definicji otoczeniowej odległo-ści Hausdorffa (definicja 2.13), 3( , ) diam ( )

2 dh A A C .

Na podstawie defi nicji funkcji charakterystycznej (4.3), dla danego nx R , ( , ) 1id x wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje złożenie

0 1 1... ...m mi i i i if w w odwzo-

rowań IFS takie, że 0 1...Lip ( ) diam ( ) 2

md i i i df C R , oraz dla każdego {0,1,..., }k m ,0 1 0 1... ...( ( ), ( ))

k ki i i i i iB f r fx 0 , gdzie 0i

f id . Wobec tego, wyznaczanie aproksyma-cji A poprzez ewaluację wartości funkcji dla środków spójnego podzbioru

nD hipersześcianów siatki G charakteryzuje się złożonością obliczeniową rzę-du ( )n MO D N , gdzie

1,...,

log 2 log diam ( )log( max Lip ( ))

d

d ii N

R CMw

, (4.5)

natomiast jest czasem potrzebnym na wyznaczenie stałej Lipschitza względem metryki d. Koszt pamięciowy to (log ) ( )MO N O M . Zakładając, że kula ( , )B R A0 zawiera się w kolekcji hipersześcianów

1( ,..., )nC m m o współrzędnych 1, , / 2 ,..., / 2nm m D D , można oma-wianą modyfi kację algorytmu czasu ucieczki przedstawić w następujący sposób:

procedure GridET() begin 1. for each 1,..., / 2 ,..., / 2nm m D D do 2. 1( , , )nC m m CharacteristicFunction(c(m1, …, mn), id ); end.

gdzie:

function CharacteristicFunction( x, f ) : integer begin a1. if Lip ( ) diam ( ) / 2d df C R then

a2. if 1( ) diam ( )2 df C x 0 then return 1;

a3. else return 0;a4. else begina5. if ( ) Lip ( )df f R x 0 then



a6. for 1,...,i N do a7. if CharacteristicFunction(x, if w ) = 1 thena8. return 1; end else;a9. return 0; end.

Ze względu na równoważność norm na nR (Bachman i Narici [4, s. 122]), al-gorytm ten można z powodzeniem stosować do aproksymacji atraktorów afi nicz-nych IFS na przestrzeniach rzeczywistych z metrykami d indukowanymi przez dowolną normę wektorową. Na przykład w przypadku IFS na nR z normą eu-klidesową, na mocy twierdzenia 4.2 otrzymuje się zbiór aproksymujący atraktor z błędem nie większym niż 3

2n względem metryki Hausdorffa indukowanej

przez normę euklidesową. Co więcej, ponieważ równoważność norm jest relacją równoważności, za-tem w przypadku IFS zawierających odwzorowania afi niczne zwężające wzglę-dem jakiejkolwiek metryki indukowanej przez normę na nR , wyznaczanie war-tości Lip ( )d f oraz ( )fx 0 w funkcji CharacteristicFunction można oprzeć na dowolnej normie, przyjmując za R promień kuli o geometrii indukowanej przez tę normę. W wyniku zastosowania takiego podejścia otrzymuje się zbiór aprok-symujący atraktor z błędem nie większym niż 3 diam ( )

2 d C względem metryki Hausdorffa indukowanej przez tę normę. Przy niskim koszcie obliczeń wyznacza-nia wartości Lip ( )d f dla normy maksimum (3.30) i „kubicznej” geometrii indu-kowanej przez nią kuli, „współgrającej” z geometrią elementów siatki, zastoso-wanie tej normy w omawianym problemie aproksymacji stanowi zwykle najlep-sze rozwiązanie. Stosownie do twierdzenia 4.2, zbiór A aproksymuje wówczas atraktor z błędem nie większym aniżeli 3

2 .

Ponadto, w przedstawionej wersji algorytmu, zamiast obliczać dokładne war-tości stałych Lipschitza, można te wartości szacować od góry, stosując metody przedstawione w podpunkcie 3.2.2. W konsekwencji, algorytm ten można rów-nież łatwo zaadaptować do aproksymowania atraktorów IFS zawierających od-wzorowania nieliniowe.

4.2. ZMODYFIKOWANY ALGORYTM ADAPTACYJNYCH ODCIĘĆ

Ponieważ w praktyce liczba nD hipersześcianów, dla których wyznaczane są war-tości funkcji charakterystycznej (4.3), jest zwykle stosunkowo duża, algorytm przed-stawiony w poprzednim punkcie jest na ogół mało wydajny obliczeniowo. Okazuje się jednak, że taki sam rezultat pod względem dokładności aproksymacji można uzy-



skać znacznie mniejszym kosztem obliczeniowym i przy takim samym koszcie pa-mięciowym poprzez odpowiednią adaptację algorytmu adaptacyjnych odcięć. Niech G będzie -siatką przestrzeni nR oraz niech A będzie atraktorem afi nicznego IFS 1{ }N

i iw na ( , )n eR , gdzie metryka e jest indukowana przez nor-mę .

e. Następnie, niech ( , )B R A0 będzie kulą w metryce d indukowanej

przez pewną normę . d

. W końcu, niech F będzie zbiorem wszystkich złożeń

0 1 1... ...m mi i i i if w w odwzorowań IFS takich, że

0 1 0 1 1... ...diam ( )Lip ( ) Lip ( )

2m m

dd i i i d i i i

Cf fR

, (4.6)

gdzie 0i

f id , Lip (.)d oznacza stałą Lipschitza odwzorowania względem me-tryki d, natomiast diam ( )d C jest średnicą hipersześcianu G liczoną względem tej metryki. Ponieważ wszystkie normy na nR są równoważne (Bachman i Narici [4, s. 122]), zatem e d . Stąd, na podstawie rozważań z punktu 3.2.2, zbiór F istnieje i spełnia równość (3.10). Zdefi niujmy zbiór aproksymujący atraktor jako

1 1 1 1{ ( ,..., ) : ( ) ( ,..., )}

f F

A C m m G f C m m

0 . (4.7)

Twierdzenie 4.3. Zbiór A określony równością (4.7) aproksymuje atraktor A z błędem 3 diam ( )

2 d C względem metryki Hausdorffa indukowanej przez me-trykę d.

Dowód. Niech punkt Aa . Wtedy, na podstawie (3.10), istnieje złożenie od-wzorowań IFS f F takie, że punkt ( )f Aa . Ponieważ ( , )B R A0 , więc na mocy (4.6) równocześnie ( ( ), )B f ra 0 , gdzie 1 diam ( )

2 dr C . Na podstawie (4.7) jednak ( )f A0 . Stąd dla każdego punktu Aa istnieje punkt Ax taki, że 1( , ) diam ( )

2 dd Ca x . Zatem ( ,diam ( ) / 2)dN A C A .

Niech teraz punkt Ax . Wtedy punkt x należy do pewnego 1( ,..., )nC m m A oraz istnieje złożenie f F takie, że 1( ) ( ,..., )nf C m m0 . Stąd dla pewnego f F , ( , ( )) diam ( )dd f Cx 0 . Dodatkowo kula ( ( ), ) ( )B f r f A0 , gdzie

1 diam ( )2 dr C , więc 1( ( ), ) diam ( )

2 dd f C0 a dla pewnego punktu Aa . Za-tem, dla każdego punktu Ax istnieje punkt Aa taki, że

3( , ) ( , ( )) ( ( ), ) diam ( )2 dd d f d f C x a x 0 0 a .

Stąd ( , 3diam ( ) / 2)dN A C A . Wobec tego, na mocy defi nicji 2.13 (otoczeniowej odległości Hausdorffa) otrzymujemy tezę.



Ponieważ algorytm adaptacyjnych odcięć umożliwia generowanie zbioru zło-żeń odwzorowań IFS spełniających równość (3.10) i, równocześnie, o stałych Lip-schitza nieprzekraczających dowolnie małej, zadanej wartości, zatem zbiór złożeń odwzorowań F (formuła (4.6)) i – co za tym idzie – zbiór A można wyznaczyć za pomocą odpowiednio zmodyfi kowanej wersji algorytmu oryginalnego. Zakładając, że kula ( , )B R A0 zawiera się w kolekcji hipersześcianów

1( ,..., )nC m m o współrzędnych 1,..., / 2 ,..., / 2nm m D D , omawiana adaptacja algorytmu adaptacyjnych odcięć w wersji rekurencyjnej przedstawia się następująco: procedure GridACE() begin 1. for each 1,..., / 2 ,..., / 2nm m D D do 2. 1( , , ) 0nC m m ;3. GridRecursiveACA(id); end.

gdzie: procedure GridRecursiveACA( f ) begin a1. for each {1, , }i N do begina2. ig f w ;a3. if Lip ( ) diam ( ) / 2d df C R then a4. ( ) / 1C g 0 ;a5. else GridRecursiveACA( g ); end for; end.zaś ( ) /g 0 oznacza wektor utworzony poprzez zastosowanie funkcji . do współrzędnych wektora ( ) /g 0 . Koszt obliczeniowy takiego podejścia wynosi zatem ( )n MO D N , gdzie M określone jest równością (4.5), zaś jest czasem potrzebnym na wyznaczenie stałej Lipschitza względem metryki d. Należy zauważyć, że narzut czasowy nD spowodowany jest wymaganiem wstępnego „wyzerowania” tablicy hipersześcia-nów w procedurze GridACA (kroki 1 i 2). Koszt pamięciowy to, podobnie jak w oryginalnym algorytmie w wersji rekurencyjnej, (log ) ( )MO N O M . Wobec tego, podejście przedstawione w niniejszym punkcie charakteryzuje się niemalże nD razy większą wydajnością obliczeń w stosunku do adaptacji algoryt-mu czasu ucieczki z punktu poprzedniego. Z tych samych względów jak w przypadku adaptacji algorytmu czasu ucieczki, wybór metryki d jako metryki maksimum jest zwykle najlepszym rozwiązaniem pod względem minimalizacji czasu obliczeń. Zgodnie z twierdzeniem 4.3, zbiór A będzie aproksymował wówczas atraktor z błędem nie większym niż 3

2 .



Ponadto, podobnie jak oryginalny algorytm adaptacyjnych odcięć, tak i jego wer-sja opisana w niniejszym punkcie może być również zmodyfi kowana pod kątem sza-cowania stałych Lipschitza od góry (por. podpunkt 3.2.2), a także zaadaptowana do aproksymowania atraktorów IFS zawierających odwzorowania nieliniowe.

4.3. UKŁAD -IFSP I DYSKRETNA GRA W CHAOS

Interesujące podejście do aproksymacji atraktorów IFS na -siatkach w przestrzeni zostało przedstawione w stosunkowo mało znanej książce Discre-te iterated function systems (Peruggia [115]). W cytowanej pozycji rozważania ograniczono do układów IFS składających się z odwzorowań zwężających na przestrzeni 2R . W niniejszym punkcie uogólniono przedstawione tam rezultaty do IFS zwężających na zwartych podzbiorach przestrzeni nR . Niech G będzie -siatką przestrzeni nR . Oznaczmy przez n

RK zbiór środków 1( ,..., )nm mc hipersześcianów z G .

Defi nicja 4.4. -zaokrąglenie odwzorowania : n nw R R defi niujemy jako od-wzorowanie :w K K takie, że 1( ) ( ,..., )nw m mx c , gdzie 1,..., nm m Z ta-kie, że 1( ) ( ,..., )nw C m mx .

Innymi słowy, -zaokrąglenie w danego odwzorowania : n nw R R jest swego rodzaju restrykcją odwzorowania w do podzbioru środków hipersześcia-nów w nR , otrzymaną w ten sposób, że wartość ( )w x wyznaczana jest jako śro-dek hipersześcianu zawierającego obraz punktu x K przy oryginalnym od-wzorowaniu w.

Defi nicja 4.5. Niech odwzorowania : n niw R R , 1,...,i N , będą zwężające na

zwartym podzbiorze nK R względem metryki d. Niech 1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p będzie IFSP na (K, d). Układ utworzony z -zaokrągleń odwzorowań wi, i = 1,..., N, to jest układ 1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p nazywany jest -IFSP (dyskret-nym IFSP).

Okazuje się, że ta pozornie niewielka zmiana w stosunku do oryginalnego IFSP ma daleko idące konsekwencje. Przede wszystkim należy zauważyć, że w ogól-nym przypadku odwzorowania iw nie są zwężające na przestrzeni K (wzglę-dem żadnej z metryk), nawet jeśli wi są zwężającymi odwzorowaniami afi niczny-mi. Stąd, -zaokrąglenia odwzorowań zwężających na ogół nie posiadają unikal-nych punktów stałych. Jednakże, jeśli odwzorowanie w jest zwężające, to nietrud-no wykazać1, że istnieje skończony podzbiór M K taki, że

, , , ( )mK m K w x N xK M .

1 Na przykład wykorzystując twierdzenie 2.44 i wniosek 2.47 dla „zdegenerowanego” łańcucha Markowa generowanego przez jedno odwzorowanie.



Zbiór M nazywany jest minimalnym zbiorem absorbującym -zaokrąglenia w i może być rozważany jako swego rodzaju analog punktu stałego odwzorowania w. Co więcej, w ogólnym przypadku zbiór M składa się z rozłącznych podzbiorów o elementach będących składnikami orbit okresowych 0 0 0{ , ( ),..., ( )}pw wx x x ,

0 x M , 0 0( )pw x x . W dalszej części tego punktu rozważane podzbiory okre-ślane będą jako komponenty zbioru M . Na rysunku 4.1 zobrazowano komponen-ty i obszary (baseny) ich przyciągania dla przykładowych -zaokrągleń zwężają-cych odwzorowań afi nicznych. Wobec tego, nawet jeśli intuicja podpowiada, że istnieje jakiś zwarty zbiór, który jest punktem stałym operatora Hutchinsona skojarzonego z -IFSP, to i tak nie można wykazać istnienia takiego zbioru w sposób „standardowy” dla IFS, to jest wykorzystując twierdzenie 2.6 (Banacha). Ponadto należy zauważyć, iż choć przy pierwszym oglądzie dyskretna wer-sja odwzorowań IFS może wydawać się tworem nieco egzotycznym, to jednak – ze względu na skończoną precyzję liczb zmiennopozycyjnych – w rzeczywi-stych obliczeniach numerycznych to właśnie z taką postacią tych odwzorowań mamy do czynienia. Co więcej, szereg zaproponowanych w literaturze algoryt-mów aproksymacji i wizualizacji atraktorów IFS (zebranych w kolejnych punk-tach niniejszego rozdziału oraz rozdz. 9) działa z założenia w przestrzeni dyskret-nej: przestrzeni pikseli lub przestrzeni wokseli1. W związku z tym rodzą się pytania: jaki zbiór zostanie otrzymany w rezultacie zastosowania algorytmu probabilistycznego dla -IFSP oraz jak ten zbiór ma się do atraktora oryginalnego IFS. Odpowiedzi na te pytania stanowią podstawę al-gorytmów aproksymacji opisanych w tym i dwóch następnych punktach. Ponieważ w każdej iteracji algorytmu probabilistycznego odwzorowania są losowane niezależnie od iteracji poprzednich oraz przestrzeń K jest przeliczal-na, zastosowanie tego algorytmu do -IFSP może być rozważane w kategoriach jednorodnego łańcucha Markowa 0{ }i iX

na przestrzeni stanów K . Z kolei, na podstawie twierdzenia 2.44, przestrzeń stanów K łańcucha 0{ }i iX

można jed-noznacznie przedstawić w postaci

K T R , (4.8)

gdzie T jest podzbiorem stanów chwilowych, R zaś – rodziną nieprzywiedl-nych, zamkniętych podzbiorów stanów powracających. Zatem, jeśli punktem po-czątkowym algorytmu probabilistycznego będzie pewien punkt będący stanem na-leżącym do jednego z nieprzywiedlnych, zamkniętych podzbiorów rodziny R , to – z defi nicji zamkniętości zbioru stanów (defi nicja 2.41d) – wszystkie punkty ge-nerowane przez ten algorytm pozostaną w tym podzbiorze.

1 Niestety, autorzy tych algorytmów na ogół nie uwzględniają tego faktu w dowodach ich popraw-ności i wykazują zbieżność danego algorytmu dla „zwykłego” układu odwzorowań IFS, składają-cego się z odwzorowań zwężających działających na przestrzeni ciągłej.



Rys. 4.1. Minimalne zbiory absorbujące i baseny przyciągania dla -zaokrągleń przykładowych zwężających odwzorowań afi nicznych (patrz dodatek A, pkt 5) dla 1



Ponadto zachodzą następujący lemat i twierdzenie:

Lemat 4.6. Niech (K, d) będzie przestrzenią metryczną, gdzie K jest zwar-tym podzbiorem nR oraz d jest indukowana przez pewną normę na nR . Niech

1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p będzie układem IFSP na (K, d) spełniającym założenia defi nicji 4.5, zaś 1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p odpowiadającym mu -IFSP. Niech

0 Kx oraz niech 0 x K będzie środkiem hipersześcianu, do którego należy 0x . Następnie, niech 0{ }i i

x i 0{ }i i

x będą ciągami punktów wygenerowanych

równolegle przez tę samą realizację algorytmu probabilistycznego dla układów IFSP i -IFSP, to jest 1 ( )

ii iw x x i 1 ( )ii iw x x , gdzie i jest indeksem od-

wzorowania wylosowanym w i-tej iteracji algorytmu. Jeśli odwzorowania IFS iw , 1,...,i N , są zwężające na przestrzeni 0( { } , )i iK d

x ze współczynnika-mi zwężania Lip( )iw , to

11( , ) diam ( )2(1 )

i

i i dsd C

s

x x dla każdego 0iN (4.9)

gdzie 1,...,

maxLip( )ii Ns w

oraz diam ( )d C oznacza średnicę hipersześcianu z G

względem metryki d.

Dowód. Dla i = 0 nierówność spełniona jest w sposób oczywisty. Dla iN nie-równości dowodzi się przy wykorzystaniu indukcji. Dla i = 1, na postawie nierówności trójkąta

1 11 1 1 0 0 1( , ) ( , ( )) ( ( ), )d d w d w x x x x x x .Z kolei

1 1 11 0 0 0 0 01( , ( )) ( ( ), ( )) ( , ) diam ( )2 dd w d w w sd s C x x x x x x ,

ponieważ iw , i = 1,..., N, są zwężające na 0( { } , )i iK d x , oraz

1 1 10 1 0 01( ( ), ) ( ( ), ( )) diam ( )2 dd w d w w C x x x x ,

bo 1 0( )w x jest środkiem hipersześcianu, do którego należy

1 0( )w x . Stąd

2

1 11 (1 )( , ) (1 )diam ( ) diam ( )2 2(1 )d d

sd s C Cs

x x .

Załóżmy teraz, że nierówność (4.9) jest spełniona dla i. Wtedy



1 11 1 1 1

1

2

( , ) ( , ( )) ( ( ), )

1( , ) diam ( )2

1 1diam ( ) diam ( )2(1 ) 2

1 diam ( ),2(1 )

i i i i i i

i i d

i

d d

i

d

d d w d w

sd C

ss C Cs

s Cs

x x x x x x

x x

ponieważ iw , i = 1,..., N, są zwężające na 0( { } , )i iK d x . To kończy dowód.

Wniosek 4.7. Niech spełnione będą założenia lematu 4.6. Wówczas

0 diam ( ), ( , )2(1 )

di i

Ci ds

N x x .

Twierdzenie 4.8. Niech (K, d) będzie przestrzenią metryczną, gdzie K jest zwar-tym podzbiorem nR oraz d jest indukowana przez pewną normę na nR . Niech

1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p będzie układem IFSP na (K, d) spełniającym założenia de-fi nicji 4.5, zaś 1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p odpowiadającym mu -IFSP. Zdefi niujmy zbiór S K jako

0k

k

S S

, 11

( )N

k i ki

S w S

, (4.10)

gdzie 0S jest zbiorem środków hipersześcianów -siatki G mających niepuste przecięcie ze zbiorem K. Jeśli odwzorowania mw , m = 1,…, N, oryginalnego IFS są zwężające na przestrzeni ( , )S K d , to podzbiór stanów powracających R łań-cucha Markowa 0{ }i iX

jest niepusty i skończony. Ponadto, 0{ }i iX , startując z do-

wolnego stanu z S, osiąga pewien stan z R z prawdopodobieństwem równym 1.

Dowód. Zbiór S składa się z punktów wszystkich możliwych ciągów 0{ }i i x K ,

o jakich mowa w lemacie 4.6. Ponieważ zbiór K jest zwarty oraz :mw K K dla każdego {1,..., }m N , zatem, na podstawie wniosku 4.7, zbiór S jest ograniczony i stąd skończony. Wobec tego, 0{ }i iX

jest jednorodnym łańcuchem Markowa na skończonej przestrzeni stanów S. Teza twierdzenia wynika zatem z wniosku 2.47.

Na podstawie pierwszej części twierdzenia 4.8 oraz twierdzenia 2.44, podzbiór stanów powracających SR rozważanego łańcucha Markowa 0{ }i iX

przed-stawia się jednoznacznie jako skończona suma mnogościowa nieprzywiedlnych, zamkniętych i skończonych podzbiorów stanów powracających:

1

M

kk

R R . (4.11)



Na podstawie drugiej części twierdzenia 4.8, algorytm probabilistyczny, star-tując z dowolnego punktu (stanu) z S, wygeneruje, z prawdopodobieństwem 1, punkt należący do jednego z podzbiorów kR . Jak już zauważono wyżej, począw-szy od tego punktu kolejne punkty generowane przez algorytm pozostaną w tym podzbiorze.

Co więcej, na podstawie twierdzenia 2.45, łańcuch 0{ }i iX po osiągnięciu do-

wolnego stanu należącego do jednego z podzbiorów kR , odwiedzi z prawdopo-dobieństwem równym 1 wszystkie stany należące do tego podzbioru. W konsekwencji, algorytm probabilistyczny, w zależności od wyboru punk-tu początkowego, w nieskończonym czasie działania wygeneruje z prawdopodo-bieństwem równym 1, ciąg punktów, który zawiera oprócz pewnego podzbioru stanów chwilowych dokładnie jeden z podzbiorów kR . W szczególności, jeśli punkt początkowy będzie należał do kR , wszystkie punkty wygenerowane przez algorytm probabilistyczny będą należały do kR i algorytm w nieskończonej licz-bie iteracji wygeneruje ten zbiór. W cytowanej pozycji (Peruggia [115, s. 128]) wykazano, że w przypadku IFS na przestrzeni 2R z metryką euklidesową liczba podzbiorów kR sumy mnogościowej (4.11) nie może przekroczyć liczby komponentów minimalne-go zbioru absorbującego -zaokrąglenia odwzorowania IFS o najmniejszej stałej Lipschitza. Wobec tego, nieskończone realizacje algorytmu probabili-styczny dla odpowiedniego -IFSP na 2R mogą wygenerować, w zależno-ści od wyboru punktu początkowego, co najwyżej M różnych zbiorów stabil-nych (to jest zbiorów powstałych poprzez odrzucenie punktów należących do zbioru stanów chwilowych T ). Należy zauważyć, że jest to sytuacja odmien-na w stosunku do podejścia polegającego na zastosowaniu algorytmu proba-bilistycznego dla IFSP i wybieraniu hipersześcianów -siatki, do których na-leżą generowane punkty. W takim przypadku twierdzenie 3.7 gwarantuje nam bowiem, że po ustabilizowaniu się procesu (to jest zbliżeniu się trajektorii ge-nerowanych punktów na odpowiednio małą odległość do atraktora), zawsze otrzyma się ten sam zbiór. Z punktu widzenia zagadnienia aproksymacji istot-ne jest zatem pytanie, jak poszczególne podzbiory kR mają się do atraktora oryginalnego IFS.

Lemat 4.9. Przy spełnionych założeniach twierdzenia 4.8, dla każdego zamknię-tego nieprzywiedlnego zbioru kR sumy (4.11), odległość Hausdorffa zbioru kR od atraktora A oryginalnego IFS 1{ ,..., }Nw w spełnia nierówność

diam ( )( , )2(1 )

dk

Ch As

R , (4.12)

gdzie 1,...,

max Lip( )ii Ns w

.



Dowód. Pokażemy najpierw, że diam ( ),2(1 )

dk

CN As

R dla dowolnego

0 . Niech a będzie dowolnym punktem atraktora A . Na podstawie twier-dzenia 3.9, dla każdego 0 , 0{ } ( , )i i B

x a dla dowolnego 0 kx R , gdzie 0{ }i i

x jest ciągiem punktów wygenerowanym przez realizację algoryt-

mu probabilistycznego dla oryginalnego IFSP. Stąd, na podstawie wniosku 4.7,

0diam ( ){ } ,

2(1 )d

i iCBs

x a dla 0 0x x , gdzie 0{ }i ix jest ciągiem punk-

tów wygenerowanym przez tę samą realizację algorytmu probabilistycznego dla -IFSP. Wobec tego, dla każdego Aa i każdego 0 , istnieje kx R taki,

że diam ( )( , )2(1 )

d Cds

a x . Stąd, diam ( ),2(1 )

dk

CN As

R dla dowolnego 0 .

Pokażemy teraz, że diam ( ),2(1 )

dk

CN As

R dla dowolnego 0 .

Niech x będzie dowolnym elementem zbioru kR . Ponieważ kR jest nieprzy-wiedlny, zatem istnieje sekwencja 1,..., j indeksów odwzorowań IFS taka, że

1... ( )

jw w x x . Stąd, dla każdego iN

1( ... ) ( )

j

iw w x x

oraz, na podstawie wniosku 4.7,

1

diam ( )( ,( ... ) ( ))2(1 )j

i d Cd w ws

x x .

Z kolei, dla dowolnego 0 , istnieje ( )M N takie, że dla każdego ( )m M

1( ... ( ), ) ( , )

m

md w w A s d A x x

niezależnie od sekwencji 1,..., m . Wobec tego, dla każdego kx R , istnieje

punkt Aa taki, że diam ( )( , )2(1 )

d Cds

x a . Stąd, diam ( ),2(1 )

dk

CN As

R dla dowolnego 0 . Na tej podstawie, tezę twierdzenia otrzymujemy, wykorzystując defi nicję oto-czeniową odległości Hausdorffa (defi nicja 2.13).

Defi niując zbiór aproksymujący atraktor jako

( )

1 1{ ( ,..., ) : ( ,..., ) }kn n kA C m m G m m c R (4.13)

otrzymujemy następujące twierdzenie:



Twierdzenie 4.10. Zbiór ( )kA określony równością (4.13) aproksymuje atraktor A z błędem

1 2diam ( )2 1d

sCs

względem metryki Hausdorffa indukowanej przez metrykę d, gdzie s zdefi niowa-no w lemacie 4.9.

Dowód. Ponieważ, z defi nicji zbioru aproksymującego (formuła (4.13)), ( ) 1( , ) diam ( )

2k

k dh A C R , zatem na podstawie nierówności trójkąta i nierówno-ści (4.12) otrzymujemy tezę.

Wniosek 4.11. Dla danego 0 , określając długość boku hipersześcianów -siatki tak, aby średnica hipersześcianu spełniała nierówność

diam ( )1

d Cs

otrzymuje się zbiór ( )kA aproksymujący atraktor A z błędem nie większym niż względem metryki Hausdorffa indukowanej przez metrykę d.

4.4. ALGORYTM MINIMALNEGO RYSOWANIA

Jak pokazano w punkcie poprzednim, dyskretny algorytm probabilistyczny w nieskończonej liczbie iteracji zbiega, z prawdopodobieństwem 1, do zbio-ru punktów równego jednemu z zamkniętych nieprzywiedlnych podzbiorów

kR . Jednakże, podobnie jak w przypadku oryginalnego algorytmu probabili-stycznego, zagadnienie czy ciąg punktów wygenerowany przez ten algorytm w skończonej liczbie iteracji będzie równy jednemu z tych podzbiorów, może być rozpatrywane jedynie w kategoriach zdarzenia losowego o prawdopodo-bieństwie zależnym od liczby iteracji, przypisanych prawdopodobieństw, oraz od wartości . Z praktycznego punktu widzenia taka „losowa dokładność” jest często rozpatrywana jako cecha niekorzystna. Algorytmy przedstawione w tym i następnym punkcie nie mają wymienionej wady i umożliwiają wyznaczenie zbiorów aproksymujących w skończonym czasie w sposób deterministyczny. Podobnie jak w punkcie poprzednim, niech G będzie -siatką przestrzeni

nR oraz n RK zbiorem środków 1( ,..., )nm mc hipersześcianów z G . W tym

i następnym punkcie przyjęto, że układ IFSP na zwartej przestrzeni (K, d) spełnia założenia twierdzenia 4.8, to znaczy jego odwzorowania są zwężające na prze-strzeni ( , )S K d , przy czym zbiór S K został zdefi niowany we wspomnia-nym twierdzeniu.



Dla danego -IFSP 1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p , dyskretny operator Hutchinsona : ( ) ( )W S S H H zostanie zdefi niowany jako

1

( ) ( )N

ii

W E w E

. (4.14)

Jak już zauważono w poprzednim punkcie, w ogólnym przypadku nie istnie-je metryka na nR , w której -zaokrąglenia iw byłyby zwężające na przestrzeni stanów S (pomimo iż z założenia oryginalne odwzorowania IFS są zwężające na zbiorze K S ). W takich okolicznościach także W nie jest na ogół operatorem zwężającym na przestrzeni ( )SH wyposażonej w metrykę Hausdorffa. Spełnio-ne jest jednakże następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4.12. Dla dowolnego podzbioru kR sumy (4.11),

( )k kW R R . (4.15)

Dodatkowo, dla każdego kx R ,

0

({ })k

mk

m

W

x R

R , (4.16)

gdzie 0 ({ }) { }W x x , zaś kR oznacza liczbę stanów w kR .

Dowód. kR jest zamkniętym podzbiorem stanów łańcucha Markowa 0{ }i iX , za-

tem dla każdego kx R i każdego {1,..., }i N , ( )i kw x R . Stąd ( )k kW R R . Dodatkowo, kR jest zbiorem stanów powracających, zatem dla każdego kx R istnieją ky R oraz {1,..., }i N takie, że ( )iw y x . Stąd ( )k kW R R . Wobec tego ( )k kW R R . Niech x będzie dowolnym punktem zbioru kR . Ponieważ zbiór kR jest skoń-czonym, nieprzywiedlnym i zamkniętych zbiorem stanów powracających, zatem na podstawie twierdzenia 2.45, dla każdego ky R , istnieje sekwencja 1,..., k indeksów odwrowań -IFSP taka, że

1... ( )

kw w x y , gdzie kk R . Co

więcej, 1

... ( )i kw w x R dla każdego i k , gdyż kR jest zamknięty. Ponie-

waż mW generuje wszystkie możliwe m-krotne złożenia odwzorowań -IFSP i, stąd, wszystkie możliwe sekwencje 1,..., m indeksów, na podstawie powyższe-go otrzymujemy tezę twierdzenia.

Twierdzenie 4.12 stanowi podstawę metody iteracyjnego wyznaczania jed-nego z podzbiorów kR . Oryginalny algorytm, zaproponowany w pracy (Dubuc i Elqortobi [25]), wykorzystuje w tym celu trzy bufory: bufor R do przechowy-wania punktów zbioru kR oraz bufory New i Prev do przechowywania nowych punktów zbioru kR wyznaczonych odpowiednio w bieżącej i w poprzedniej iteracji. Wersję algorytmu wykorzystującą twierdzenie 4.12 można przedstawić w sposób następujący:



procedure MinimalPlotting1() begin 1. New x , gdzie x dowolny element zbioru kR ;2. R ;3. while New do begin4. R R New ;5. Prev New ;6. ( )New W Prev ;7. \New New R ; end while; end. Każdy z punktów bufora R przekształcany jest – za pośrednictwem buforów New i Prev – dyskretnym operatorem Hutchinsona (krok 6). Zatem, jak słusznie wskazali autorzy metody, jeśli w wyniku takiego przekształcenia powstaje punkt już znajdujący się w buforze R, to kolejne przekształcenia tego punktu nie są ko-nieczne, bowiem generują punkty, które już były wyznaczone w poprzednich ite-racjach. Dlatego, w celu minimalizacji redundancji obliczeń, punkty takie są eli-minowane z dalszego przetwarzania w kroku 7. W rezultacie działania algorytmu generowane są zatem wszystkie punkty jednego ze zbiorów kR , przy czym każ-dy z tych punktów przetwarzany jest dokładnie raz dyskretnym operatorem Hut-chinsona. Stąd złożoność obliczeniowa algorytmu jest rzędu ( )kO N R , zaś jego złożoność pamięciowa to ( )kO R . W artykule (Monro i Dudbridge [100]) zaproponowano implementację algo-rytmu minimalnego rysowania, która, zamiast trzech buforów, wykorzystuje je-den bufor R i kolejkę Q. Wersję algorytmu opartą na twierdzeniu 4.12 można za-pisać w sposób następujący: procedure MinimalPlotting2() begin 1. Zainicjuj kolejkę Q dowolnym elementem x zbioru kR ;2. R x ;3. while Q do begin4. Pobierz punkt x z początku Q;5. for each {1, , }i N do begin6. ( )iwy x ;7. if Ry then begin8. { }R R y ;9. Dodaj y z tyłu Q; end if; end for; end while; end.



Rzędy złożoności obliczeniowej i pamięciowej tego algorytmu są takie same jak algorytmu w wersji pierwotnej. Ponieważ obydwie wersje algorytmu generują jeden z podzbiorów kR , zatem defi niując zbiór aproksymujący zgodnie z zależnością (4.13), otrzymuje się zbiór aproksymujący atraktor z dokładnością opisaną twierdzeniem 4.10. W praktyce, wyznaczenie początkowego punktu x tak, aby należał do jedne-go z podzbiorów kR , na ogół jest zadaniem trudnym. Okazuje się jednak, że jako punkt początkowy można wybrać środek hipersześcianu -siatki, do którego na-leży punkt stały dowolnego z odwzorowań IFS1. Jak zostanie pokazane, choć taki wybór punktu początkowego nie gwarantuje, że zbiór wynikowy E będzie rów-ny jednemu ze zbiorów kR ani nawet, że ( )E W E , to jednak E będzie aprok-symował oryginalny atraktor A z dokładnością ograniczoną od góry wartością diam ( ) / 2(1 )d C s . Niech x będzie środkiem hipersześcianu -siatki, do którego należy

( ),f i fwx x {1,..., }i N . Punkt x może być stanem powracającym i wtedy al-gorytm wygeneruje jeden ze zbiorów kR , jednak w zależności od odwzorowa-nia i wartości , punkt x może być równie dobrze stanem chwilowym. W tym drugim przypadku, ponieważ zbiór stanów S jest skończony, istnieje sekwencja

1 | |,..., S indeksów odwzorowań -IFSP taka, że

1 1... ( ) ... ... ( )

j m jw w w w w x x (4.17)

dla pewnych | |j m S . Jeżeli prawdopodobieństwo powrotu ,Fx x , o którym mowa w defi nicji sta-nu chwilowego (defi nicja 2.42b), jest niezerowe, wówczas istnieje sekwen-cja 1,..., j , | |j S , taka, że

1... ( )

jw w x x , czyli punkt x jest okre-

sowy względem złożenia 1

...j

w w . Wówczas dla każdego punktu y zbio-ru E wygenerowanego przez omawiany algorytm istnieje punkt Ez taki, że

( )iw z y i stąd ( )W E E . Ponadto, algorytm zawsze generuje zbiór E spełnia-jący ( )E W E . Zatem, jeśli x jest okresowy dla pewnego złożenia

1...

jw w

odwzorowań -IFSP, to w rezultacie działania algorytmu otrzymuje się zbiór ( )E W E . W takich okolicznościach, choć wynikowy zbiór E nie jest równy

żadnemu z podzbiorów kR , to jednak na podstawie twierdzenia 4.13 przedsta-wionego w następnym punkcie, aproksymuje on oryginalny atraktor z dokładno-ścią ograniczoną wartością diam ( ) / 2(1 )d C s . Jeżeli jednak prawdopodobieństwo powrotu , 0F x x , to punkt x nie jest okresowy względem żadnego ze złożeń odwzorowań -IFSP. Wówczas, wo-

1 W oryginalnym rozwiązaniu przedstawionym przez Monro i Dudbridge’a [100] kolejka Q inicjo-wana jest środkami pikseli odpowiadających punktom stałym wszystkich odwzorowań wchodzących w skład IFS. Jednakże z punktu widzenia zagadnienia aproksymacji, wynik o takiej samej dokładno-ści otrzymuje się, inicjując Q przy użyciu tylko jednego punktu stałego dowolnie wybranego odwzo-rowania IFS, przy czym w ogólnym przypadku zbiór aproksymujący będzie składał się z mniejszej liczby punktów niż zbiór otrzymany za pomocą algorytmu oryginalnego.



bec równania (4.17), dla każdego złożenia tych odwzorowań jest on co najwy-żej preokresowy. W takich okolicznościach, choć wynikowy zbiór ( )iE W E

dla każdego iN , to jednak niekoniecznie ( )W E E . Na podstawie wniosku 2.47b, inkluzja ( )iE W E zachodząca dla każdego iN implikuje jednak, że E zawiera przynajmniej jeden z nieprzywiedlnych zamkniętych podzbiorów kR . Stąd, na podstawie lematu 4.9 i defi nicji otoczeniowej odległości Hausdorffa (de-

fi nicja 2.13) otrzymujemy, że diam ( ),2(1 )

d CN E As

dla dowolnego 0 .

Z kolei, punkt początkowy x jest środkiem hipersześcianu, do którego należy punkt stały fx jednego z odwzorowań IFS, zatem na podstwie wniosku 4.7, dla dowolnej sekwencji 1,..., j indeksów odwzorowań -IFSP,

1 1

diam ( )( ... ( ), ... ( ))2(1 )j j

df

Cd w w w ws

x x ,

przy czym 1

... ( )j fw w A x . Stąd, diam ( ),

2(1 )d CN A E

s

. Wobec tego, na

podstawie defi nicji otoczeniowej odległości Hausdorffa,

diam ( )( , )2(1 )

d Ch E As

.

Rys. 4.2. Rezultaty zastosowania algorytmu minimalnego rysowania do aproksymowania wybra-nych atraktorów układów IFS zawierających odwzorowania dowolnego typu. Rząd górny przedsta-wia aproksymacje atraktorów afi nicznych IFS, zaś rząd dolny – aproksymacje atraktorów IFS skła-

dających się z odwzorowań nieliniowych (patrz dodatek A, pkt 6)



Algorytm minimalnego rysowania może być z powodzeniem stosowany do aproksymowania atraktorów IFS składających się z odwzorowań zwężających dowolnego typu (zarówno afi nicznych, jak i nieliniowych). Na rysunku 4.2 przed-stawiono rezultaty zastosowania tego algorytmu do przykładowych IFS składają-cych się z odwzorowań afi nicznych oraz IFS składających się ze zwężających od-wzorowań nieliniowych.

4.5. WYZNACZANIE MAKSYMALNEGO ZBIORU NIEZMIENNICZEGO DYSKRETNEGO OPERATORA HUTCHINSONA

4.5.1. Uwagi wstępne

Na wstępie należy zauważyć, że na podstawie (4.15)

( )W R R .

Jak pokazano jednak w punkcie poprzednim, w pewnych przypadkach mogą ist-nieć podzbiory E S niezmiennicze względem działania dyskretnego operatora Hutchinsona, które zawierają – oprócz stanów powracających – także stany chwi-lowe. Zatem pełny zbiór R stanów powracających nie jest w ogólnym przypadku nawiększym (w sensie inkluzji) zbiorem niezmienniczym tego operatora w kon-tekście przestrzeni stanów S. W niniejszym punkcie zajęto się wyznaczaniem ta-kiego maksymalnego zbioru niezmienniczego, to jest zbioru maxE S takiego, że

max max( )E W E (4.18a)oraz

maxE E dla każdego ( )E W E , E S . (4.18b)

Dla dowolnego zbioru niezmienniczego względem dyskretnego operatora za-chodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4.13. Niech 1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p będzie układem IFSP spełnia-jącym założenia twierdzenia 4.8, 1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p zaś odpowiadającymmu -IFSP na przestrzeni stanów S. Jeśli dla pewnego E S zachodzi

( )E W E , to (a) E zawiera przynajmniej jeden z nieprzywiedlnych zamkniętych podzbiorów

kR ;

(b)

diam ( )( , )2(1 )

d Ch E As

, gdzie A jest atraktorem oryginalnego IFS 1{ ,..., }Nw w .

Dowód. (a) Ponieważ ( )iE W E dla dowolnego iN , zatem tezę otrzymujemy na podstawie wniosku 2.47b oraz twierdzenia 2.45.



(b) Na podstawie punktu (a) niniejszego twierdzenia, kE R , zaś na podstawie

lematu 4.9, ( , ) diam ( ) / 2(1 )k dh A C s R . Zatem diam ( ),2(1 )

d CN E As

dla dowolnego 0 . Aby wykazać tezę, trzeba zatem pokazać, że diam ( ),

2(1 )d CN A E

s

dla dowolnego 0 i skorzystać z defi nicji otocze-

niowej odległości Hausdorffa (defi nicja 2.13). Ponieważ ( )E W E , zatem dla każdego stanu Ex , istnieje stan Ey taki, że ( )iw y x dla pewnego {1,..., }i N . Stąd dla każdego kN , istnieje stan

k Ey oraz sekwencja 1,..., k indeksów odwzorowań IFS, takie że

1... ( )

k kw w x y .

Stąd, na podstawie wniosku 4.7,

1

diam ( )( , ... ( ))2(1 )k

dk

Cd w ws

x y .

Ponieważ jednak E jest skończony i stąd ograniczony, zatem dla każdego 0 , istnieje ( )k N takie, że

1 ( )

( )( ... ( ), ) ( , )k

kd w w A s d A

y y

dla każdego Ey niezależnie od sekwencji 1 ( ),..., k . Wobec tego, dla każde-go Ex , istnieje Aa taki, że

diam ( )( , )2(1 )

d Cds

x a .

Zatem diam ( ),2(1 )

d CN A Es

dla dowolnego 0 , co kończy dowód twier-

dzenia.

Zakładając, że zbiór maxE jest wyznaczony, można zbiór aproksymujący atrak-tor zdefi niować jako

1 1 max{ ( ,..., ) : ( ,..., ) }n nA C m m G m m E c (4.19)

Twierdzenie 4.14. Zbiór A określony równością (4.19) aproksymuje odpowia-dający mu atraktor IFS A z błędem

1 2diam ( )2 1d

sCs

względem metryki Hausdorffa indukowanej przez metrykę d.



Dowód. Z defi nicji (4.19) zbioru aproksymującego max1( , ) diam ( )2 dh E A C

oraz na podstawie twierdzenia 4.13b, max( , ) diam ( ) / 2(1 )dh E A C s . Tezę twierdzenia otrzymuje się więc na podstawie nierówności trójkąta.

W dwóch kolejnych podpunktach omawiane są metody wyznaczania zbioru maxE .

4.5.2. Iterowanie dyskretnego operatora Hutchinsona

Pierwszy z omawianych algorytmów oparty jest na iteracyjnym zastosowaniu dyskretnego operatora Hutchinsona. Jak zauważono na wstępie punktu 4.4, opera-tor ten na ogół nie jest operatorem zwężającym na przestrzeni ( )SH z metryką Hausdorffa. Dlatego, w przeciwieństwie do oryginalnej ciągłej wersji operatora Hutchinsona, iteracyjne zastosowanie operatora dyskretnego do dowolnego zwar-tego podzbioru przestrzeni S w ogólnym przypadku nie gwarantuje, iż wygene-rowany w ten sposób ciąg obrazów będzie zbieżny do jednego z punktów stałych tego operatora, w szczególności do maksymalnego zbioru niezmienniczego maxE .Jako pouczający przykład potwierdzający tę tezę można podać dyskretny opera-tor Hutchinsona składający się tylko z jednego -zaokrąglenia, którego minimal-ny zbiór absorbujący zawiera komponent niebędący singletonem (por. punkt 4.3). W takim przypadku, wybierając – jako zwarty zbiór początkowy – dowolny punkt należący do obszaru przyciągania tego komponentu, w wyniku iterowania takie-go opertora otrzyma się ciąg punktów, który co prawda począwszy od pewnej ite-racji dotrze i pozostanie w tym komponencie, ale żaden z punktów tego ciągu nie będzie temu komponentowi równy. Pomimo to, jak pokazujemy poniżej, zbieżność ciągu generowanego przy użyciu iterowania dyskretnego operatora Hutchinsona do maksymalnego zbio-ru niezmienniczego maxE S jest gwarantowana, gdy iteracja zostanie zasto-sowana do dowolnego skończonego podzbioru 0U S takiego, że 0 maxU Ei 0 0( )U W U . Niech 0U będzie zdefi niowany jak wyżej oraz niech 0{ }i iU

będzie ciągiem podzbiorów stanów S wygenerowanym poprzez iterowanie dyskretnego operato-ra Hutchinsona:

1 ( )i iU W U .

Ponieważ max max( )E W E oraz 0 maxU E , zatem maxiU E dla każdego 0iN .Ponadto, 0 0( )U W U , zatem 0 1 ... ...iU U U . Ponieważ 0U jest skoń-czony, zatem istnieje maxMU E taki, że 1 ( )M M MU U W U dla pewne-go 0| \ |MM U U . Jednakże maxE jest największym zbiorem niezmienniczym względem dyskretnego operatora Hutchinsona, stąd maxMU E i zbiór ten otrzy-mywany jest w co najwyżej 0 max| \ |U E iteracjach.



Podobnie jak algorytm minimalnego rysowania, algorytm iterowania dys-kretnego operatora Hutchinsona może być wykorzystywany do aproksymowania atraktorów IFS składających się z odwzorowań zwężających dowolnego typu.

4.5.3. Usuwanie tła

Podobne podejście do wyznaczania maksymalnego zbioru niezmienniczego maxE przedstawiono w pracy (Stark [141]). Począwszy od dowolnego (skończo-

nego) podzbioru 0E S takiego, że 0 maxE E , zaprezentowany tam algorytm wyznacza iteracyjnie zagnieżdżony ciąg 0 1 ... ...iE E E podzbiorów po-przez odrzucanie stanów należących do aktualnie rozpatrywanego zbioru iE nie posiadających przeciwobrazów w iE dla żadnego z odwzorowań -IFSP. Inny-mi słowy, kolejne podzbiory sekwencji wyznaczane są zgodnie z regułą

1 ( )i i iE E W E , (4.20)gdzie 0 maxE E . Ponieważ 0 maxE E oraz max max( )E W E , zatem na podstawie reguły (4.20)

maxiE E dla każdego 0iN . Niech teraz 0{ }i iU będzie ciągiem podzbiorów

stanów takim, że 1 ( )i iU W U i 0U S . Ponieważ 0 maxU E i z defi nicji zbioru stanów S (formuła (4.10)) 0 0( )U W U , zatem na podstawie rozważań z poprzed-niego podpunktu, istnieje 0M N takie, że maxkU E dla każdego k M . Wo-bec tego, dla każdego k M , max maxk kE U E E . Stąd dla każdego k M ,

maxkE E , czyli sekwencja (4.20) jest zbieżna do maksymalnego zbioru nie-zmienniczego. Ponadto, biorąc pod uwagę, iż rozważana sekwencja jest zagnież-dżona, zbiór maxE osiągany jest w co najwyżej 0 max| \ |E E krokach iteracji. Rozważania podsumowane zostaną algorytmem wykorzystującym dwa bufo-ry U i E, który można zapisać w sposób następujący:

procedure RemoveBackground() begin 1. 0E E , gdzie 0E dowolny podzbiór S taki, że 0 maxE E ; 2. U ; 3. while | | | |E U do begin 4. U E ; 5. E ; 6. for each Uy do begin 7. for each {1, , }i N do begin 8. ( )iwx y ; 9. if Ux then10. { }E E x ; end for; end for; end while; end.



Na rysunku 4.3 przedstawiono przykład zastosowania omówionego algorytmu do wyznaczania maksymalnego zbioru niezmienniczego aproksymującego pa-protkę Barnsleya.

Rys. 4.3. Kolejne kroki algorytmu usuwania tła zastosowanego do aproksymowania paprotki Barnsleya


Pierwszy z omówionych algorytmów, algorytm oparty na funkcji charaktery-stycznej atraktora, umożliwia aproksymację atraktorów IFS na nR z dowolną do-kładnością zależną jedynie od długości boku hipersześcianów -siatki, na któ-rej dokonywana jest aproksymacja. Algorytm ten dokonuje aproksymacji w cza-



sie ( )n MO D N , przy zapotrzebowaniu pamięciowym O(M), gdzie oznacza czas potrzebny na wyznaczenie stałej Lipschitza złożenia odwzorowań IFS, nD jest liczbą hipersześcianów, dla których obliczana jest wartość funkcji charakte-rystycznej, N – liczbą odwzorowań układu IFS, zaś wartość M określona jest za-leżnością (4.5). Algorytm nadaje się do aproksymowania atraktorów afi nicznych IFS, ale może być także zaadaptowany dla IFS składających się z odwzorowań nieliniowych. Znacznie wydajniejszym algorytmem w stosunku do algorytmu funkcji cha-rakterystycznej atraktora jest zmodyfi kowany algorytm adaptacyjnych odcięć. Dokonuje on bowiem aproksymacji w czasie ( )n MO D N z tą samą dokład-nością, co ten pierwszy algorytm i przy tych samych wymogach pamięciowych. Dodatkowo, analogicznie jak oryginalny algorytm adaptacyjnych odcięć opisa-ny w punkcie 3.2, także jego wersja „dyskretna” może zostać zaadaptowana do aproksymacji atraktorów IFS nieliniowych. Z kolei dyskretna wersja gry w chaos ma te same wady i zalety, co jej wersja oryginalna. Algorytm ten m.in. umożliwia wygenerowanie, w stosunkowo krót-kim czasie i przy stałych wymaganiach pamięciowych, zbioru punktów dającego informację o globalnej geometrii atraktora, jednakże o dokładności aproksymacji będącej funkcją losową liczby iteracji algorytmu (por. podpunkt 3.3.3). Ze wzglę-du na probabilistyczny charakter dyskretnej gry w chaos, uzyskanie zbioru aprok-symującego atraktor z dokładnością zależną od średnic hipersześcianów -siatki (twierdzenie 4.10) z prawdopodobieństwem 1 wymagałoby nieskończonej liczby iteracji. Warunek ten jest nie do spełnienia w rzeczywistych realizacjach tego al-gorytmu. Z punktu widzenia dokładności aproksymacji ten sam rezultat, który otrzyma-no by przy użyciu hipotetycznej, nieskończonej realizacji dyskretnej gry w cha-os, można otrzymać w skończonym czasie przy wykorzystaniu algorytmu mini-malnego rysowania. Autorską analizę tego algorytmu opartą na teorii łańcuchów Markowa zaprezentowano w punkcie 4.4. Jak pokazano, algorytm ten dokonu-je aproksymacji atraktora IFS w czasie ( | |)O N E , przy zapotrzebowaniu pamię-ciowym (| |)O E , gdzie | |E jest liczbą hipersześcianów -siatki wchodzących w skład zbioru aproksymującego. Ponadto, algorytm ten nadaje się (bez dokony-wania żadnych modyfi kacji) do aproksymowania atraktorów opisanych zarówno przez układy IFS zawierające odwzorowania afi niczne, jak i dowolne, zwężają-ce odwzorowania nieliniowe na zwartym podzbiorze przestrzeni nR . W odróż-nieniu od dokładności algorytmu funkcji charakterystycznej atraktora i dyskret-nej wersji algorytmu adaptacyjnych odcięć, dokładność algorytmu minimalnego rysowania jest zależna zarówno od średnicy hipersześcianów -siatki, jak i mak-symalnej stałej Lipschitza odwzorowań tworzących IFS. Niemniej, jak pokazano we wniosku 4.11, niedogodność tę łatwo wyeliminować, ustalając odpowiednią długość boku tych hipersześcianów w zależności od maksymalnej stałej Lip-


113 Figury ograniczające – kule

schitza odwzorowań IFS. Co więcej, przy rozdzielczości -siatek stosowanych w praktycznych zastosowaniach grafi ki komputerowej, warunek, o którym mowa we wspomnianym wniosku, jest zwykle spełniony. Zakres możliwych zastosowań algorytmu iterowania dyskretnego operatora Hutchinsona i algorytmu usuwania tła, jest taki sam, jak algorytmu minimalnego rysowania. Autorską analizę tych algorytmów opartą na teorii łańcuchów Marko-wa zaprezentowano w punkcie 4.5. Jak wykazano, algorytmy te dokonują aprok-symacji atraktora z tą samą dokładnością, co algorytm minimalnego rysowania (twierdzenie 4.14). Jednakże złożoność obliczeniowa pierwszych dwu rozważa-nych algorytmów jest większa, aniżeli algorytmu minimalnego rysowania, bo-wiem wynosi ona ( )nO NM D , gdzie nD jest liczbą hipersześcianów tworzących podzbiór -siatki, na którym wyznaczana jest aproksymacja, zaś M – liczbą hi-persześcianów tego podzbioru nienależących do tej aproksymacji. Również więk-sza jest złożoność pamięciowa tych algorytmów, bowiem wynosi ona ( )nO D . Co więcej, aproksymacje te składają się na ogół z większej liczby hipersześcianów, niż ich odpowiedniki otrzymane za pomocą algorytmu minimalnego rysowania. Na podstawie powyższego porównania można zatem stwierdzić, że z punktu widzenia złożoności obliczeniowej oraz zakresu stosowalności, najlepszym z al-gorytmów aproksymacji opisanych w niniejszym rozdziale jest algorytm mini-malnego rysowania. Stwierdzenie to jest istotne, gdyż algorytm ten wydaje się niedoceniany, bowiem stosunkowo rzadko jest wymieniany w literaturze – doty-czącej zarówno fraktali, jak i zagadnień grafi ki komputerowej.

5. FIGURY OGRANICZAJĄCE – KULE

5.1. WPROWADZENIE

W tym rozdziale będziemy zajmowali się układami IFS na przestrzeni zupeł-nej (X, dE), gdzie X = nR lub X jest zwartym i wypukłym podzbiorem nR , zaś dE metryką euklidesową. Mówiąc o kulach, w tym kulach zawierających (ogranicza-jących) dany zbiór punktów, będziemy mieli na myśli domknięte kule w metryce euklidesowej. Przedstawione algorytmy można także zastosować do układów IFS zwężających na przestrzeni X wyposażonej w dowolną inną metrykę indukowaną przez normę wektorową na nR . W tym celu oryginalny IFS należy sprowadzić do IFS zwężającego względem metryki euklidesowej przy użyciu techniki zapropo-nowanej pod koniec podpunktu 3.2.2. Zagadnienie wyznaczania najmniejszej kuli zawierającej dany zbiór punktów jest jednym z podstawowych problemów geometrii obliczeniowej. Choć problem



znany jest niemalże od zarania tej dziedziny, dopiero całkiem niedawno (bowiem dopiero na przełomie lat dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku) zaproponowano efektywne algorytmy jego rozwiązywania dla ogólnych skończonych zbiorów punktów (Megiddo [98, 99], Preparata i Shamos [120], Welzl [152]). W grafi ce komputerowej zakres zastosowań kul ograniczających zadane zbio-ry punktów jest bardzo szeroki. Wśród nich można wymienić tak podstawowe, jak: optymalne dopasowywanie obszaru wizualizacji do rozmiarów i położenia zbioru w przestrzeni, przyspieszanie obliczeń związanych z testowaniem widzial-ności (szybkie testy przecięcia w metodzie śledzenia promieni (Glassner [43], Lengyel [72])), hierarchiczne reprezentacje geometrii sceny i grafy sceny (Eber-ly [28]), wykrywanie obiektów przysłoniętych (Seculic [134]), wskazywanie wi-zualizowanych obiektów czy wykrywanie kolizji między obiektami (Eberly [28], Lengyel [72]). W przypadku atraktorów IFS, obok zastosowań wyżej wymienio-nych, dodatkowo dochodzą: szacowanie od góry średnicy atraktora jako średnicy kuli ograniczającej na potrzeby algorytmów aproksymacji opisanych w poprzed-nich rozdziałach, wyznaczanie przecięcia linii z atraktorem (rozdz. 7) oraz esty-macja wektorów normalnych w punktach atraktora (rozdz. 8). Łatwo wykazać, że dla danego zwartego zbioru A X istnieje dokładnie jedna najmniejsza kula zawierająca ten zbiór (Welzl [152]). Ponadto, kula taka określona jest przez co najwyżej 1n punktów zbioru A (Preparata i Shamos [120, s. 256], Welzl [152]). Innymi słowy, poszukiwana kula jest największą spo-śród wszystkich najmniejszych kul zawierających simpleksy o wierzchołkach w zbiorze A. Ogólnie, problem wyznaczanie najmniejszej kuli zawierającej zwarty (co naj-mniej dwupunktowy) zbiór punktów A X można rozłożyć na dwa następujące podproblemy:(a) wyznaczenie dla danego punktu Xc najmniejszego promienia min ( )r c R ,

tak aby kula o środku w c i promieniu min ( )r c zawierała A:

min ( ) max ( , )EAr d

ac c a ; (5.1)

(b) znalezienie optymalnego środka min Xc minimalizującego długość promie-nia (5.1):

min min min( ) min ( )X

r r

c

c c . (5.2)

W przypadku skończonych zbiorów punktów, problem (a) może być rozwiąza-ny w trywialny sposób w czasie liniowym poprzez przejrzenie wszystkich punktów zbioru A. Jednakże w przypadku zbiorów nieskończonych, takich jak atraktory IFS, takie podejście z oczywistych względów nie wchodzi w rachubę. W takich okolicz-nościach zwykle pozostaje jedynie szacowanie pożądanej wartości promienia. Problem (b) jest nie tylko trudny w przypadku zbiorów nieskończonych, ale jest on także nietrywialny w przypadku skończonych podzbiorów punktów płasz-



czyzny. Jedną z przyczyn takiego stanu rzeczy należy zapewne upatrywać w tym, że choć równanie (5.2) nie nakłada żadnych ograniczeń na położenie punktu c, to jednak problem ten nie jest zadaniem optymalizacji ciągłej, lecz dyskretnej (Pre-parata i Shamos [120, s. 256]). Ponieważ promień (5.2) wyrażony jest w termi-nach metryki euklidesowej, zatem funkcja celu jest nieliniowa, co powoduje trud-ności1 w zastosowaniu do tego problemu znanych technik optymalizacji dyskret-nej; patrz np. (Sysło i inni [145]). W przypadku atraktorów IFS algorytmy wyznaczania kuli zawierającej atraktor można podzielić na dwie kategorie. Pierwsza z kategorii obejmuje al-gorytmy pośrednie, to jest obliczające takie kule na podstawie specyfi kacji IFS, bez potrzeby generowania zbioru aproksymującego atraktor. Do drugiej kate-gorii zaliczają się algorytmy bezpośrednie, dokonujące obliczeń na podstawie skończonego zbioru punktów aproksymującego atraktor lub skończonego po-krycia atraktora zbiorami o zadanej geometrii. Algorytmy te są zwykle adapta-cjami znanych algorytmów z geometrii obliczeniowej. W kontekście dotychczas zaprezentowanego materiału bodajże najprostsze podejście do problemu wyznaczania kuli zawierającej atraktor IFS polega na za-projektowaniu algorytmu opartego na twierdzeniu 2.19. W przypadku danego IFS {w1,..., wN} na (X, dE) oraz punktu Xc , wspomniane twierdzenie gwarantuje, że kula o środku w punkcie c i promieniu

1,..., ( )

1,...,1,...,

1 max Lip( )max ( , )

1 max Lip( )ii N i

E fi Nii N

wr d

w

c x , (5.3)

gdzie ( )ifx jest punktem stałym odwzorowania wi, będzie zawierała atraktor tego

IFS. Wobec tego, twierdzenie to dostarcza jedynie pewnego oszacowania war-tości (5.1) z góry, pozostawiając jednak problem „optymalnego środka” (5.2) bez odpowiedzi. Z punktu widzenia równości (5.3) optymalnym środkiem (mi-nimalizującym długość promienia r) będzie punkt c minimalizujący wartość

( )1,...,max ( , )i

i N E fd c x , to jest środek najmniejszej kuli zawierającej punkty stałe odwzorowań IFS. Punkt taki można znaleźć za pomocą znanych metod geometrii obliczeniowej; np. (Welzl [152]). Co więcej, biorąc pod uwagę fakt, że w przy-padku rozważanego problemu liczba punktów stałych jest zwykle niewielka, do wyznaczenia tego punktu wraz z odpowiednim promieniem często można wyko-rzystać metodę naiwną polegającą na wyznaczeniu największej kuli spośród naj-mniejszych kul zawierających simpleksy o wierzchołkach w zbiorze punktów sta-łych. Środek ten można także szacować, często z dobrym skutkiem, przy użyciu środka masy (to jest średniej arytmetycznej) wspomnianych punktów stałych.

1 Wyrafi nowane przekształcenie problemu znajdowania najmniejszego koła zawierającego skoń-czony zbiór punktów na płaszczyźnie do postaci umożliwiającej zastosowanie trójwymiarowego programowania liniowego, przedstawiono np. w Megiddo [98, 99].



Zgodnie z twierdzeniem 2.19, kula o promieniu (5.3) zawiera atraktor, po-nieważ zawiera ona swoje obrazy przy odwzorowaniach IFS. Choć drugi z fak-tów jest warunkiem wystarczającym zachodzenia faktu pierwszego, to jednak nie jest warunkiem koniecznym. Dlatego promień obliczany za pomocą formuły (5.3) zwykle nie jest promieniem minimalnym w rozumieniu zależności (5.1). Często lepszego (i co najmniej nie gorszego) oszacowania promienia (5.1) do-starcza lemat 2.23. Należy bowiem zauważyć, że jeśli jako odwzorowanie zwę-żające na przestrzeni zupełnej – o jakim mowa w lemacie – będzie rozpatrywany operator Hutchinsona W na przestrzeni ( ( ), )X hH , wówczas nierówności (2.13) przybiorą postać:

1,...,1

1,...,1,...,

1 max Lip( )( , ) (1 max Lip( )) ( , ( )) ( , )

1 max Lip( )ii N

ii Nii N

wh B A w h B W B h B A

w

,

gdzie A jest atraktorem IFS, zaś ( )B XH . Przyjmując za B singleton {c} oraz metrykę euklidesową jako metrykę na X, w rezultacie podstawień do powyższych nierówności otrzymuje się

1,...,1

1,..., 1,...,1,...,

1 max Lip( )({ }, ) (1 max Lip( )) max ( , ( )) ({ }, )

1 max Lip( )ii N

i E ii N i Nii N

wh A w d w h A

w

c c c c .

Ponieważ, na podstawie defi nicji 2.12, ({ }, ) max{ ( , ) : }Eh A d A c c a a , za-tem na mocy pierwszej z powyższych nierówności kula o środku w c i promieniu

1

1,..., 1,...,(1 max Lip( )) max ( , ( ))i E ii N i N

r w d w

c c (5.4)

będzie zawierała atraktor A . Co więcej, na podstawie drugiej nierówności, pro-mień ten będzie co najwyżej

1,..., 1,...,(1 max Lip( )) / (1 max Lip( ))i ii N i N

w w

razy dłuższy od promienia minimalnego w rozumieniu zależności (5.1). Ponieważ dla punktów stałych ( ) ( )( )i i

f i fwx x

( ) ( )

1,..., 1,...,

( ) ( )

1,...,

( )

1,..., 1,...,

max ( , ( )) max{ ( , ) ( ( ), ( ))}

max{ ( , ) Lip( ) ( , )}

(1 max Lip( )) max ( , ),

i iE i E f E i f ii N i N

i iE f i E fi N

ii E fi N i N

d w d d w w

d w d

w d

c c c x x c

c x x c

x c

zatem dla danego c, promień wyznaczony przy wykorzystaniu formuły (5.4) bę-dzie nie większy od promienia wyznaczonego na podstawie formuły (5.3). Na ry-sunku 5.1 przedstawiono porównanie kół ograniczających otrzymanych przy wy-korzystaniu obydwu oszacowań dla przykładowych atraktorów afi nicznych IFS na 2R . Choć zastosowanie drugiego z oszacowań daje zwykle dużo lepsze rezul-



taty niż wykorzystanie pierwszego, to jednak rozmiary kul wyznaczanych w ten sposób znacznie odbiegają od rozmiarów kul minimalnych.

Rys. 5.1. Przykładowe rezultaty wykorzystania oszacowań (5.3) (większe koła) i (5.4) (mniejsze koła) do wyznaczania kół ograniczających atraktory IFS na R2 (patrz dodatek A, pkt 7)

Ponieważ w żadnym z dwóch opisanych wyżej podejść nie wykorzystuje się do obliczeń aproksymacji atraktora, dlatego obydwa zaliczają się do kategorii algoryt-mów pośrednich. W kolejnych podpunktach przedstawione zostaną inne algorytmy pośrednie, zaś rozdział zakończony zostanie dwoma algorytmami bezpośrednimi.

5.2. ALGORYTM ITERACYJNY

Jeden z pierwszych algorytmów pośrednich wyznaczania kuli zawierającej atraktor IFS został zaproponowany w artykule (Hart i DeFanti [52]).



Niech {w1,...,wN} będzie IFS na przestrzeni zupełnej (X, dE). Omawiany algo-rytm wyznacza w sposób iteracyjny ciąg 0{ }i iB

domkniętych kul ( , )i i iB B r c .Każda następna kula ciągu obliczana jest na podstawie poprzedniej jako kula ograniczająca kule zawierające obrazy kuli poprzedniej przy odwzorowaniach IFS. W tym celu środek i promień kuli 1iB , 0,1,...,i , obliczane są jako:

1

1

1 ( )N

i m im

wN

c c , (5.5a)

1 11,...,max { ( , ( )) Lip( ) }i E i m i m im N

r d w w r c c . (5.5b)

Początkowa kula B0 może być dowolna (autorzy algorytmu sugerują kulę jednost-kową o środku w początku układu współrzędnych). Choć w cytowanym artykule tego formalnie nie wykazano (a co zostanie poka-zane w dalszej części tego punktu), powyższy ciąg jest zbieżny do pewnej kuli B zawierającej atraktor IFS. Podstawową wadą omawianego podejścia jest jednakże to, że fakt zawierania się atraktora w kuli dotyczy jedynie kuli granicznej, natomiast algorytm nie gwarantuje uzyskania takiej kuli w skończonej liczbie iteracji. Niech :f X X będzie funkcją przybierającą, dla danego x, wartości równe prawej stronie zależności (5.5a), to jest

1

1( ) ( )N

mm

f wN

x x . (5.6)

Ponieważ wm są zwężające względem metryki Ed , ta zaś jest indukowana przez normę, zatem dla dowolnych , Xx y

1

1 1

1( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

1 1( ) ( ) Lip( ) ( ). ,

N

E m mEm E

N N

m m m EEm m

d f f f f w wN

w w w dN N

x y x y x y

x y x y

Stąd 1

1Lip( ) Lip( ) 1N

mm

f wN

, a więc odwzorowanie f jest zwężające na prze-

strzeni zupełnej (X, Ed ). Wobec tego, na podstawie twierdzenia Banacha 2.6, f po-siada dokładnie jeden punkt stały c i punkt ten jest granicą ciągu (5.5a). Zatem c jest środkiem kuli granicznej B .

Podobnie można pokazać, że ciąg promieni (5.5b) zbiega do pewnego pro-mienia granicznego lim ii

r r (Rice [127]). Ponieważ i c c oraz Ed i wm,

m = 1,..., N, są ciągłe, zatem przechodząc do granicy w (5.5b) otrzymuje się

11,...,

1,...,

lim max { ( , ( )) Lip( ) }

max { ( , ( )) Lip( ) }.

E i m i m ii m N

E m mm N

r d w w r

d w w r

c c

c c



Wobec tego kula ( , )B B r c o promieniu

1,...,

( , ( ))max1 Lip( )E m

m Nm

d wrw

c c (5.7)

zawiera (na podstawie nierówności trójkąta) każdą z N kul ( )( ( ), )mmB w rc , gdzie

( ) Lip( )mmr r w , {1,..., }m N . Ponieważ, z kolei, ( )( ( ), ) ( )m

m mB w r w B c , zatem ( )B W B i stąd B A . W szczególności, jeśli IFS składa się wyłącznie z odwzorowań afi nicznych

( )m m mw x L x t , gdzie n nm

L R i nm t R , wówczas kulę B można wyzna-

czyć analitycznie, obliczając jej środek c jako punkt stały odwzorowania (5.6) poprzez rozwiązanie układu n równań liniowych

1 1

1 1N N

m mm mN N

I L c t . (5.8)

Promień r obliczany jest następnie na podstawie wzoru (5.7). Ponieważ ( )B W B , zatem promień r (5.7), podobnie jak promień wy-znaczony na podstawie wzoru (5.3), jest na ogół dłuższy od promienia najmniej-szej kuli o środku w c i zawierającej atraktor, czyli promienia min ( )r c (5.1). Jednakże

1,...,

1,...,1,...,

max ( , ( ))( , ( ))max1 Lip( ) 1 max Lip( )

E mm NE m

m Nm ii N

d wd ww w

c cc c . (5.9)

Dlatego r stanowi w ogólnym przypadku lepsze oszacowanie promie-nia min ( )r c niż promień obliczony na podstawie wzoru (5.4) (a zatem rów-nież wzoru (5.3)), przy czym – podobnie jak ten ostatni – r jest co najwyżej


w w

razy dłuższy od min ( )r c .

Ponadto, porównując wzór (5.8) ze wzorem (2.25b) można zauważyć, że w przypadku afi nicznych IFS środek c jest równy wektorowi momentów pierw-szego rzędu miary niezmienniczej generowanej przez IFS z równymi prawdopo-dobieństwami. Z punktu widzenia interpretacji mechanicznej, wektor ten utożsa-miany jest ze środkiem masy o rozkładzie określonym tą miarą. Dlatego punkt c ma zwykle niewiele wspólnego ze środkiem najmniejszej kuli zawierającej atrak-tor, tj. optymalnym środkiem minc określonym zależnością (5.2).

5.3. OPTYMALIZACJA ŚRODKA

Podejście zaproponowane w pracach (Rice [128], Edalat i inni [30]) stanowi niejako kontynuację metody przedstawionej w punkcie poprzednim, polegającą na próbie wyznaczenia „lepszego” środka kuli zawierającej atraktor, aniżeli punkt c .



W tym celu oryginalny wzór na promień (5.7) został sparametryzowany wzglę-dem punktów przestrzeni X i przybiera on formę funkcji :r X R o postaci:

1,...,

( , ( ))( ) max1 Lip( )

E m

m Nm

d wrw

c cc . (5.10)

Wobec tego, dla każdego {1,..., }m N

( ) ( , ( )) Lip( ) ( )E m mr d w w r c c c c .

Stąd na podstawie nierówności trójkąta, dla dowolnego Xc , kula ( , ( ))B rc c zawiera każdą z N kul ( ( ), )m mB w rc , Lip( ) ( )m mr w r c . Z ko-

lei kule ( ( ), ) ( ( , ( )))m m mB w r w B rc c c , zatem ( , ( )) ( ( , ( )))B r W B rc c c c i stąd ( , ( ))B r Ac c .

Lemat 5.1. Niech :f X R będzie ciągła na zwartej przestrzeni (X, d). Wte-dy istnieją punkty ,p q X takie, że ( ) ( ) ( )f q f x f p dla wszystkich x X .

Dowód. (Rudin [131, s. 77]).

Twierdzenie 5.2. Niech {w1,..., wN} będzie IFS na przestrzeni (X, Ed ), gdzie X = nR lub X jest zwartym podzbiorem nR . Wtedy funkcja r określona równo-ścią (5.10) jest ciągła, posiada minimum globalne i minimum to należy do kuli

( , ( ))f fB rx x , gdzie fx jest punktem stałym dowolnego odwzorowania IFS.

Dowód. Na podstawie wzoru (5.10) natychmiast można zauważyć, że funkcja r jest ciągła. Na mocy lematu 5.1, r osiąga minimum na ( , ( ))f fB rx x , bowiem kula ( , ( ))f fB rx x w przestrzeni metrycznej (X, Ed ) jest zbiorem zwartym (wnio-sek 2.10). Ponadto dla każdego \ ( , ( ))n

f fB ry R x x

( ) ( , ) ( )f E fr d r x y x y

ponieważ ( , ( ))f A B r x y y , a zatem rozważane minimum jest minimum glo-balnym.

W konsekwencji środek optymalny w rozumieniu omawianej metody to punkt minimalizujący wartość promienia (5.10), tj. punkt min Xc , dla którego

min( ) min ( )X

r r

c

c c . (5.11)

W pracach (Dubuc i Hamzaoui [26], Rice [128]) zauważono, że zamiast orygi-nalnej funkcji r, zwykle wygodniej jest minimalizować funkcję 2 :r X R . Po-nieważ występująca we wzorze (5.10) odległość wyrażona jest przy użyciu me-tryki euklidesowej, podejście takie umożliwia wyeliminowanie obliczania pier-wiastka kwadratowego i zastąpienie go iloczynem skalarnym wektorów. W kon-



sekwencji, oryginalny problem można przekształcić w, dogodniejszy dla obli-czeń, równoważny problem wyznaczania minimum funkcji

221,...,

( ) ( )( ) max(1 Lip( ))

m m

m Nm

rw

c cc , (5.12)

gdzie ( ) ( )m mw c c c .

Ponadto, w przypadku afi nicznych IFS zachodzi – istotne z punktu widzenia praktycznych problemów optymalizacji – następujące twierdzenie:

Twierdzenie 5.3. Jeśli IFS na ( , )nEdR składa się wyłącznie z odwzorowań afi -

nicznych, to istnieje dokładnie jedno minimum globalne funkcji r określonej wzo-rem (5.10) oraz funkcja ta nie posiada minimów i maksimów lokalnych.

Dowód. Dubuc i Hamzaoui [26] przedstawili prosty dowód, że przy powyższych za-łożeniach zbiór rozwiązań rozważanego problemu minimalizacji tworzy domknięty zbiór wypukły oraz że zbiór ten jest singletonem, gdy r jest ściśle wypukła na nR . Pełny dowód twierdzenia można natomiast znaleźć w pracy (Rice [127]).

Należy zauważyć, że jeśli nX R lub, ewentualnie, X jest zwartym i wypukłym podzbiorem nR , to na podstawie twierdzenia 5.2 rozważany problem jest zagadnie-niem optymalizacji ciągłej. Na pierwszy rzut oka może wydawać się to nieco zaska-kujące, bowiem – jak odnotowano w podrozdz. 5.1 – problem znajdowania środka najmniejszej kuli zawierającej dany zbiór punktów (wzór (5.2)) należy do klasy za-dań optymalizacji dyskretnej. Należy jednak pamiętać o tym, iż – podobnie jak mia-ło to miejsce w metodzie Harta-DeFantiego – fakt zawierania się atraktora w kuli

( , ( ))B rc c o promieniu r(c), określonym wzorem (5.10), wynika z założenia, że kula ta zawiera kule ( ( ), )m mB w rc , Lip( ) ( )m mr w r c , m = 1,..., N. Ponieważ jest to jedynie warunek wystarczający, ale nie konieczny, do zachodzenia tego faktu, punkt

minc (5.11) w ogólnym przypadku nie jest tożsamy ze środkiem obiektywnie naj-mniejszej kuli zawierającej atraktor (tj. punktem minc zdefi niowanym równaniem (5.2)). Dotyczy to również samego promienia min( )r c , którego długość w ogólności nie tylko nie jest równa długości promienia obiektywnie minimalnego min min( )r c ,ale również zwykle przewyższa długość promienia min min( )r c (5.1), tj. promienia najmniejszej kuli o środku w punkcie minc i zawierającej atraktor. Jednakże, analo-gicznie jak w metodzie Harta-DeFantiego, dla każdego Xc , promień r(c) jest co najwyżej (1 min Lip( )) (1 min Lip( ))i iw w razy dłuższy od promienia min ( )r c na podstawie nierówności (5.9) przepisanej dla punktu c. W pewnych prostych przykładach IFS możliwe jest obliczenie punktu minc analitycznie; patrz np. (Dubuc i Hamzaoui [26]), gdzie wykorzystano w tym celu mnożniki Lagrange’a. Jednakże w przypadku ogólnym konieczne jest zastoso-wanie odpowiedniej metody optymalizacji numerycznej (Press i inni [121]). Rice



[128], w celu wyznaczania rozważanych punktów dla afi nicznych IFS, wykorzy-stał wariant popularnej metody optymalizacji ciągłej zaproponowanej przez Nel-dera i Meada (tzw. Downhill Simplex Method) [103]. Przykładowe rezultaty zastosowania algorytmu optymalizacji środka i algoryt-mu iteracyjnego zaprezentowano na rys. 5.2.

Rys. 5.2. Przykładowe rezultaty zastosowania algorytmu iteracyjnego (kolor niebieski) i algoryt-mu optymalizacji środka (kolor zielony) do wyznaczania kół ograniczających atraktory IFS na R2

(w przypadku, gdy jedno z kół nie jest widoczne, oba koła się pokrywają)

5.4. WYWAŻANIE ATRAKTORA

Podobnie jak podejście opisane w poprzednim punkcie, metoda wyważania atraktora (ang. balancing the attractor), zaproponowana w pracy (Martyn [86]),



także może być rozpatrywana jako próba ulepszenia metody Harta-DeFantiego, m.in. pod kątem wyznaczania „lepszego” środka kuli zawierającej atraktor. Me-toda ta jest algorytmem heurystycznym, stosowanym do układów IFS składają-cych się z odwzorowań afi nicznych. Punktem wyjścia idei, na której opiera się omawiane podejście, jest – odnotowany już w punkcie 5.2 – fakt, że środkiem kuli granicznej iteracji Harta-DeFantiego jest wektor momentów pierwszego rzędu miary niezmienniczej IFSP generowanej przez równe prawdopodobień-stwa. W konsekwencji, w odróżnieniu od metody przedstawionej w poprzed-nim punkcie, metoda wyważania atraktora poszukuje „lepszego” środka w dzie-dzinie wektorów momentów pierwszego rzędu miar IFSP, których nośnikiem jest dany atraktor. Ponadto, w cytowanej pracy przedstawiono wydajny sposób aproksymowania, z dowolną dokładnością, najkrótszego promienia kuli zawie-rającej atraktor, której środek należy do wspomnianej dziedziny. Niech A będzie atraktorem IFS {w1,...,wN} na przestrzeni zupełnej (X, dE). Jak odnotowano w poprzednim punkcie, promień r(c), Xc , określony równo-ścią (5.10) jest co najwyżej


w w

razy dłuższy od minimalnego promienia min ( )r c kuli o środku w punkcie c i zawierającej A . Na tej podstawie, wartością wpływającą na dokładność przybliżenia min ( )r c przez r(c) jest wartość max Lip( )mw ; im mniejsza wartość maksymalnego współczyn-nika zwężania odwzorowań IFS, tym lepsze oszacowanie. Jednakże, jak zauwa-żono w podpunkcie 3.2.2, dla danego 0 , zastosowanie algorytmu adaptacyj-nych odcięć umożliwia wygenerowanie skończonego zbioru F złożeń f odwzo-rowań IFS takich, że Lip( )f , przy czym F może być rozpatrywany jako układ IFS o tym samym atraktorze, co IFS oryginalny. Powyższe spostrzeżenie daje zatem podstawę do aproksymowania wartości

min ( )r c od góry z dowolną dokładnością 0 przy wykorzystaniu wariantu al-gorytmu adaptacyjnych odcięć, jako

( , ( ))( ) max1 Lip( )

E

f F

d frf

c cc . (5.13)

Ponieważ maksymalny współczynnik zwężania odwzorowań zbioru F (trak-towanego jako układ IFS) nie przekracza wartości , zaś ( )r c jest co najwy-żej (1 max Lip( )) / (1 max Lip( ))

f F f Ff f

razy dłuższy od min ( )r c , zatem przyj-

mując / (2 ) otrzymamy promień ( )r c dłuższy od promienia min ( )r co -krotność tego ostatniego.


Twierdzenie 5.4. Niech {w1,...,wN} będzie afi nicznym IFS na ( nR , dE) z atraktorem A . Niech conv( )Ac oraz niech ( , )B rx będzie dowolną kulą zawierającą A .



Wtedy dla dowolnego złożenia 1

...mi if w w , {1,..., }ki N , odwzorowań IFS

spełniona jest nierówność

1 1( ( ), ) ( ... ( ), ) Lip( ... )

q qE E i i i id f d w w r w w c c x c , (5.14)

dla każdego {1,..., }q m .

Dowód. Z nierówności trójkąta mamy

1 1( ( ), ) ( ... ( ), ) ( ... ( ), ( ))

q qE E i i E i id f d w w d w w f c c x c x c .

Dodatkowo, zarówno 1

...mi if w w , jaki i

1...

qi iw w , jako złożenia odwzoro-wań afi nicznych, są ciągłe w sensie Lipschitza, zatem

1 1 1( ... ( ), ( )) Lip( ... ) ( , ... ( ))

q q q mE i i i i E i id w w f w w d w w

x c x c

(gdzie dla q = m, 1

...q mi iw w jest odwzorowaniem identycznościo-

wym). Z kolei, na podstawie punktu a) twierdzenia 2.21, otrzymujemy 1

... ( ) conv( )q mi iw w A c . Ponieważ conv( )A jest najmniejszym zbiorem wy-

pukłym zawierającym A , kule w metryce euklidesowej są zbiorami wypukły-mi oraz przecięcie zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, zatem założenie

( , )B r Ax implikuje ( , ) conv( )B r Ax . Stąd 1

... ( ) ( , )q mi iw w B r

c x , a za-tem

1( , ... ( ))

q mE i id w w r

x c , co kończy dowód.

Łatwo wykazać, że jeśli c jest wektorem momentów pierwszego rzędu dowol-nej miary niezmienniczej generowanej przez IFSP, to conv(spt( ))c (Mar-tyn [86]). Zakładając zatem, że współczynnik zwężania każdego złożenia f F spełnia Lip( ) / (2 )f , na podstawie powyższego twierdzenia, dla każ-dego f F ,

1...

mi if w w i każdego {1,..., }q m , spełniona jest nierówność

1 1

( ( ), ) (1 / 2)( ( ... ( ), ) Lip( ... ))1 Lip( ) q q

EE i i i i

d f d w w r w wf

c c x c , (5.15)

gdzie x i r są odpowiednio środkiem i promieniem dowolnej kuli zawierającej atraktor, zaś c jest wektorem momentów pierwszego rzędu pewnej miary nie-zmienniczej IFSP. Wobec tego, jeśli wartość prawej strony nierówności (5.15) jest mniejsza od wartości ( ( ), ) / (1 Lip( ))Ed g gc c dla pewnego złożenia g F , to wszystkie złożenia f F rozpoczynające się od złożenia

1...

qi iw w nie mają wpływu na wartość maksimum (5.13) i jako takie mogą być pominięte w oblicza-niu promienia ( )r c .

Jako rezultat powyższych spostrzeżeń otrzymujemy więc następujący algo-rytm obliczania długości promienia (5.13):



procedure ComputeRMin( f ) begin 1. for each {1, , }i N do begin2. ig f w ;3. if Lip( ) / (2 )g then 4. if ( ( ), ) / (1 Lip( ))Ed g g R c c then begin5. ( ( ), ) / (1 Lip( ))ER d g g c c ;6. maxf g ; end if;7. else if (1 / 2)( ( ( ), ) Lip( ))Ed g r g R x c then8. ComputeRMin( g ); end for; end.

W przedstawionej procedurze R jest zmienną globalną przechowującą bieżącą wartość obliczanego promienia, c – zmienną globalną przechowującą wektor mo-mentów pierwszego rzędu miary niezmienniczej, dla którego wykonywane są ob-liczenia, – dozwolonym błędem aproksymacji, zaś x i r są zmiennymi global-nymi reprezentującymi odpowiednio środek i promień dowolnej kuli zawierającej atraktor. Wynikowa długość promienia ( )r c umieszczana jest w zmiennej R jako rezultat wykonania tej procedury dla f równego odwzorowaniu identycznościo-wemu i, w ogólnym przypadku, początkowej wartości zmiennej R równej zeru. Przy pierwszym wywołaniu procedury, zmiennej globalnej R przypisywa-na jest wartość zero. Natomiast promień r i środek x dowolnej kuli zawierającej atraktor (wykorzystywane w kroku 7 w celu optymalizacji obliczeń przy użyciu wyżej opisanej reguły) można wyznaczyć na podstawie wzoru (5.10), przyjmując za środek kuli na przykład wektor momentów pierwszego rzędu miary niezmien-niczej generowanej przez równe prawdopodobieństwa IFSP. Ponieważ im mniejszy promień r, tym większa dokładność oszacowania war-tości ( ( ), ) / (1 Lip( ))Ed f fc c dostarczanego przez prawą stronę nierówności (5.15), dlatego przy następnych wywołaniach procedury, tak jak ma to miejsce w opisanym niżej procesie wyważania atraktora, za r i x warto przyjąć promień i środek najmniejszej kuli z wyznaczonych dotychczas. Ponadto, obliczenia war-tości promienia R (krok 5) dokonywane są na podstawie złożeń odwzorowań IFS należących do zbioru F . Ten ostatni zaś, dla danego IFS i błędu aproksymacji , pozostaje niezmienny we wszystkich wywołaniach procedury. Zatem, w celu dążenia do jak najszybszej eliminacji złożeń niemających wpływu na wartość maksimum (5.13), wartość początkowa zmiennej globalnej R dla kolejnych wy-wołań procedury może być określona przy użyciu dowolnego złożenia f z F , jako ( ( ), ) / (1 Lip( ))Ed f fc c . W przypadku, gdy punkt c zlokalizowany jest we względnie niewielkiej odległości od punktu, dla którego prowadzone były obli-



czenia w poprzednim wywołaniu procedury, mając na uwadze eksploatację spój-ności przestrzennej, można uznać, że najlepszym kandydatem na rozważane zło-żenie odwzorowań jest złożenie konstytuujące maksimum (5.13) w poprzednim wywołaniu procedury. Złożenie to zapamiętywane jest w kroku 6 w zmiennej globalnej maxf .

Rys. 5.3. Koła ograniczające i rozkłady odpowiednich miar niezmienniczych IFSP w kolejnych kro-kach „wyważania” przykładowego atraktora IFS na R2. Wzrost stopnia koncentracji (gęstości) mia-ry odwzorowano za pomocą kolorów od czerwieni do bieli. Kolorem zielonym oznaczono obszary

atraktora o mierze bliskiej zera

Sam proces wyważania atraktora afi nicznego IFS {w1,...,wN} polega na minima-lizacji wartości funkcji promienia r . Minimalizacja odbywa się względem wekto-rów momentów pierwszego rzędu miar niezmienniczych generowanych przez ukła-dy IFSP {w1,...,wN ; P}, gdzie P jest parametrem reprezentującym uporządkowany zbiór 1{ ,..., }Np p prawdopodobieństw IFSP. Na podstawie równania (2.25b), wek-tor momentów pierwszego rzędu miary niezmienniczej określony jest całkowicie przez odwzorowania IFS i wartości przypisanych im prawdopodobieństw, zatem dla danego IFS, omawiany proces minimalizacji ma miejsce w dziedzinie parame-tru P. Ponieważ, na podstawie defi nicji 2.30,

11

N

ii

p

i (0, 1)ip , zatem zbiór wartości parametru P może być utożsamiany ze współrzędnymi barycentrycznymi punktów wewnętrznych ( 1)N -wymiarowego simpleksu rozpiętego na N wierz-



Rys. 5.4. Rezultaty zastosowania algorytmu wyważania atraktora do wyznaczania kul ograniczają-cych przykładowe atraktory IFS na przestrzeni R3 (patrz dodatek A, pkt 8)



chołkach o współrzędnych (barycentrycznych) [1, 0,..., 0], [0, 1,..., 0],..., [0, 0,..., 1].Ze względu na symplektyczną geometrię dziedziny optymalizacji, w przypadku omawianego zagadnienia minimalizacji wygodnie jest zastosować adaptację algo-rytmu Downhill Simplex Method (Nelder i Mead [103]), której pełny opis można znaleźć w cytowanej już pracy (Martyn [86]). Na rysunku 5.3 zaprezentowano rozkłady miar niezmienniczych oraz odpo-wiednie koła ograniczające otrzymane w kolejnych iteracjach „wyważania” przy-kładowego atraktora IFS na przestrzeni 2R , a na rys. 5.4 – kule ograniczające ob-liczone przy użyciu omówionego podejścia dla wybranych atraktorów IFS na 3R . Choć metoda jest heurystyczna, na ogół daje bardzo dobre rezultaty (bliskie wyni-kom optymalnym – zob. punkt 5.8) w niewielkiej liczbie iteracji. Ponadto, zamiast w dziedzinie prawdopodobieństw, opisany proces minimali-zacji wartości funkcji promienia (5.13) może być dokonany względem punktów c należących do otoczki wypukłej atraktora (por. twierdzenie 5.4). Rozwiązanie ta-kie będzie zatem udoskonaloną wersją algorytmu optymalizacji środka z punktu poprzedniego.

5.5. KOPERTY

Interesujące podejście do problemu wyznaczania kul zawierających atraktory IFS zostało zaproponowane w artykule (Canright [17]). W odróżnieniu od metod opisanych w poprzednich punktach, idea algorytmu kopertowego polega na wy-znaczeniu zbioru ograniczającego, nazywanego kopertą (ang. envelope), składa-jącego się nie z jednej, ale N kul, gdzie N jest liczbą odwzorowań IFS. Niech A będzie atraktorem IFS {w1,...,wN} na przestrzeni zupełnej (X, dE).

Algorytm kopertowy wyznacza zbiór ( )

1

( , )N

if i

i

E B r

x , gdzie ( )if Ax jest punk-

tem stałym odwzorowania iw oraz

1,...,

Lip( ) max ( )i i ij jj Nj i

r w d r

, (5.16a)

( ) ( )( , )i j

ij E f fd d x x , , {1,..., }i j N . Ponieważ dla dowolnego {1,..., }i N , ( )( , ) max( )i

E f ij jj id d r

x y dla każde-

go ( )\ ( , )if iE B ry x , zatem, na podstawie (5.16a), ( ) ( )( , ) ( \ ( , ))i i

f i i f iB r w E B rx x ,i = 1,..., N. Ponadto, ( ) ( )( , ) ( ( , ))i i

f i i f iB r w B rx x . Wobec tego ( )( , ) ( )if i iB r w Ex ,

i = 1,..., N, a zatem ( )E W E i stąd E A . Gdy IFS składa się jedynie z dwóch odwzorowań, promienie ri, i =1, 2, mogą być obliczone algebraicznie. Rozwiązaniem pary równań (5.16a) jest wówczas



1 21 12

1 2

2 12 12

1 2

Lip( )(1 Lip( )) ,1 Lip( )Lip( )Lip( )(1 Lip( )) .1 Lip( )Lip( )

w wr dw w

w wr dw w

(5.16b)

W przypadku IFS złożonych z liczby odwzorowań większej niż dwa, rozwią-zanie układu (5.16b) można wyznaczyć algorytmicznie. W cytowanej pracy [17] zaproponowano w tym celu dwa algorytmy. Algorytm iteracyjny wyznacza w m kolejnych iteracjach N ciągów ( ){ }k

ir , k = 1, 2,..., zgodnie z regułą

( 1) ( )Lip( )max( )k k

i i ij jj ir w d r

, , {1,..., }i j N , (5.17a)

począwszy od wyrazów

(1) Lip( )(1 Lip( ))max

1 Lip( )Lip( )i j

i ijj ii j

w wr d

w w

. (5.17b)

Zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 5.5. Dla każdego {1,..., }i N , ciąg ( ){ }kir zbiega do wartości ri okre-

ślonej zależnością (5.16a) w co najwyżej N–2 iteracjach, tj. ( 1)Ni ir r .

Dowód. Ponieważ każdy z N rozważanych ciągów jest monotonicznie rosnący oraz ograniczony odpowiednią wartością ri (tj.

( ) ( 1)k ki i ir r r ), zatem ciągi te

są zbieżne. Co więcej, na podstawie zależności (5.16a) i (5.17a) granicą i-tego ciągu jest właśnie ri. Fakt dotyczący maksymalnej liczby iteracji wynika z anali-zy przedstawionej niżej, „bezpośredniej” wersji algorytmu. Dowód tego faktu zo-stał przedstawiony jako konsekwencja rozważań przeprowadzonych w dowodzie twierdzenia 5.6.

Podstawą drugiego algorytmu, określanego w cytowanej pracy [17] jakoalgorytm bezpośredni1, jest odpowiednie przeskalowanie odległości ijd wzglę-dem współczynników zwężania i następnie wykorzystanie tych wartości do utworzenia nowego porządku („przeindeksowania” odwzorowań) w ukła-dzie IFS. Niech

(1 Lip( ))(1 Lip( ))1 Lip( )Lip( )

i jij ij

i j

w wD d

w w

. (5.18)

1 Nie należy mylić z kategorią „algorytmów bezpośrednich” wymienioną we wstępie niniejszego rozdziału.



Nowe uporządkowanie odwzorowań iw w układzie IFS określone jest przez mo-notonicznie malejącą sekwencję maksimów przeskalowanych odległości ikD jako

1,..., 1,...,max maxik jlk N l N

i k D D

, , 1,...,i j N . (5.19a)

Następnie, względem tak określonego porządku, wyznaczanych jest N wartości Ri, 1,...,i N . Dla i = 1, 2, Ri obliczane są zgodnie z prawymi stronami równo-ści (5.16b), dla pozostałych zaś wartości i, Ri obliczane są kolejno na podstawie uprzednio obliczonych wartości Rj o mniejszych indeksach, jako:

Lip( )max( )i i ij jj i

R w d R

, 3,...,i N . (5.19b)

Twierdzenie 5.6. Wartości Ri wyznaczone przez algorytm bezpośredni są równe wartościom ri określonym równaniami (5.16a) dla układu IFS uporządkowanego zgodnie z porządkiem (5.19a).

Dowód. Przed przystąpieniem do dowodu zauważmy, że w przypadku szczegól-nym, w którym wszystkie wartości ijD , i j , są równe, algorytm bezpośredni wyznaczy wartości i iR r bez względu na kolejność ich określania. W przypad-ku przeciwnym, dla pewnych wartości i, promienie ir będą większe od ich osza-cowań (1)

ir danych zależnością (5.17b). Stąd, na podstawie zależności (5.16a), w ogólności

Lip( )1 Lip( )

ii ij

i

wr Dw

, , 1,...,i j N . (5.20)

Przejdźmy teraz do właściwego dowodu. Ponieważ dwa pierwsze promienie, 1R i 2R , wyznaczane są przy użyciu zależności (5.16b), zatem spełniają równa-

nia (5.16a) dla i, j = 1, 2. Do wykazania prawdziwości twierdzenia wystarczy za-tem pokazać, że dla dowolnego m = 3, ..., N i każdego i m ,

Lip( )( )i i im mR w d R .

Stąd, na podstawie (5.19b), otrzymujemy tezę twierdzenia. Załóżmy dla dowodu indukcyjnego, że pierwsze 1m promieni iR spełnia równania (5.16a), a zatem i równanie (5.20), dla , 1,..., 1i j m . Niech k będzie wartością indeksu j we wzorze (5.19b), dla którego osiągane jest maksimum po prawej stronie równości dla promienia mR . Wtedy, na podstawie (5.20) oraz po-rządku (5.19a),

Lip( )1 Lip( )

kk km

k

wR Dw

i stąd

Lip( )((1 Lip( )) Lip( ) ) Lip( )( )k k m km m k k km mR w w d w R w d R .



Podobnie, dla i k , i m ,

Lip( ) Lip( )(1 Lip( ))1 Lip( ) 1 Lip( )

i i mi im im

i m

w w wR D dw w

, (5.21)

bowiem Lip( ) 1iw . Ponadto, z założenia indukcyjnego, Lip( )( )i i ik kR w d R , zatem nierówność (5.21) możemy przekształcić do postaci:

Lip( )((1 Lip( )) Lip( )( ))Lip( )( Lip( )( )) Lip( )( ),

i i m im m ik k

i m m km k i im m

R w w d w d Rw d w d R w d R

co kończy dowód niniejszego twierdzenia. Zauważmy również, że na podstawie powyższych rozważań, algorytm ite-racyjny wyznaczy przynajmniej dwa promienie określone zależnością (5.16a) w kroku początkowym oraz znajdzie przynajmniej jeden taki promień w każdym kroku iteracji. Wobec tego, algorytm iteracyjny wyznacza rozwiązanie w co naj-wyżej 2N iteracjach, tak jak to wyrażono w tezie twierdzenia 5.5.

Rys. 5.5. Koperty wyznaczone dla przykładowych atraktorów IFS na R2



Podstawową wadą omawianego podejścia jest to, że rozmiary wynikowe-go zbioru E w ogólnym przypadku znacznie przekraczają rzeczywiste rozmiary atraktora. W szczególności sytuacja taka ma miejsce w przypadku, gdy jeden lub więcej punktów stałych odwzorowań IFS umiejscowiony jest na (lub w pobliżu) brzegu otoczki wypukłej atraktora. Na rysunku 5.5 zaprezentowano koperty wy-znaczone dla przykładowych atraktorów IFS na 2R .

5.6. PODEJŚCIE ADAPTACYJNE

W odróżnieniu od dotychczas przedstawionych podejść, metoda zapropono-wana w pracy (Martyn [81]) dokonuje obliczeń związanych z wyznaczeniem kuli zawierającej atraktor nie na podstawie samego układu IFS, ale skończonego (zwykle dużego) zbioru punktów należących atraktora. Metoda ta należy zatem do wymienionej w punkcie 5.1 kategorii algorytmów bezpośrednich. Opisywana metoda opiera się na ideach szacowania najmniejszej kuli zawiera-jącej skończony zbiór punktów, które zostały uprzednio przedstawione w pracach (Ritter [129], Wu [156]). Do generowania skończonego zbioru punktów atraktora, na podstawie którego wyznaczana jest kula ograniczająca, wykorzystywany jest jeden z algorytmów aproksymacji atraktora opisanych w rozdz. 3. Niech dany będzie IFS {w1,..., wN} na przestrzeni zupełnej (X, dE), gdzie nX R lub X jest zwartym i wypukłym podzbiorem nR . Algorytm adaptacyjny składa się z dwóch etapów: etapu inicjującego układ IFS oraz etapu, w którym dokonywane są obliczenia kuli. Dla jasności wywodu rozpoczniemy od opisania etapu wyzna-czania kuli, po czym zajmiemy się poprzedzającym go etapem inicjującym. Etap, w którym dokonuje się wyznaczenia kuli ograniczającej, jest adaptacją podejścia, które zaproponowano w (Ritter [129]) dla ogólnych skończonych zbio-rów punktów w przestrzeni nR . W oryginalnej implementacji omawianej adapta-cji, która została przedstawiona w (Martyn [81]), algorytm opiera się na algorytmie gry w chaos. Obliczenia dokonywane są podczas generowania skończonego zbio-ru 1{ }M

i ia punktów atraktora (tj. bez potrzeby przechowywania tego zbioru), gdzie a1 jest punktem stałym dowolnego odwzorowania IFS, zaś M jest na tyle dużą licz-bą, aby 1{ }M

i ia aproksymował atraktor z wystarczającą dokładnością. (W zastoso-waniach w grafi ce komputerowej zwykle wystarcza w tym celu liczba M rzędu 105 (Martyn [81])). W przypadku afi nicznych IFS, prawdopodobieństwa skojarzone z odwzorowaniami IFS określane są zgodnie z regułą (3.33); w przypadku prze-ciwnym dla prawdopodobieństw przyjmowane są równe wartości. Na wstępie, w trakcie iteracyjnego generowania zbioru 1{ }M

i ia , spośród punk-tów tego zbioru wyznaczanych jest n par punktów ( ) ( )

min max( , )k ka a o odpowiednio najmniejszej i największej k-tej współrzędnej. Następnie spośród tych par wy-bierana jest para min max( , )a a , dla której ( ) ( )

min max min max1,...,( , ) max ( , )k k

E Ek nd d

a a a a , i na



jej podstawie wyznaczana jest kula 0 0( , )B rc o środku i promieniu odpowiednio równych:

0 min max

0 min max

( ) / 2,

( , ) / 2.Er d

c a a

a a (5.22)

Ostatni krok wyznaczania kuli ograniczającej polega na iteracyjnym dopaso-wywaniu kuli tak, aby zawierała wszystkie wyrazy zbioru 1{ }M

i ia . Dokonujemy tego, rozpoczynając od kuli 0 0( , )B rc , poprzez ponowne generowanie punktów ciągu przy jednoczesnym stosowaniu następującej reguły: jeśli punkt ia nie na-leży do bieżącej kuli ( , )m mB rc , to za bieżącą kulę przyjmowana jest najmniej-sza kula 1 1( , )m mB r c zawierająca kulę ( , )m mB rc i ten punkt, czyli kula o środku i promieniu określonych odpowiednio jako (rys. 5.6):

1

1

1 ( )(1 / ( , )) ,2

1 ( ( , ) ).2

m i m i m E m i

m E m i m

r d

r d r

c a c a c a

c a (5.23)

Rys. 5.6. Schemat progresywnego powiększania kuli w podejściu adaptacyjnym wyznaczania kuli ograniczającej atraktor IFS (wzory (5.23))

Jak trafnie zauważono w pracy (Wu [156]), jakość wyniku uzyskiwanego przy wykorzystaniu podejścia przedstawionego w (Ritter [129]) silnie zależy od kie-runków, w których rozmiary zbioru są największe. Omawiany algorytm daje naj-lepsze wyniki w przypadku zbiorów, dla których kierunek maksymalnego wychy-lenia punktów jest równoległy do jednej z osi układu współrzędnych. W takich okolicznościach bowiem początkowa kula 0 0( , )B rc jest określona przez punkty wyznaczające średnicę zbioru. Stąd stanowi ona najlepsze przybliżenie kuli mi-nimalnej, które można uzyskać w pierwszym kroku opisanego etapu i, co za tym idzie, przyrost długości promienia podczas iteracyjnego dopasowywania kuli jest



minimalizowany. W szczególności, jeśli średnica najmniejszej kuli zawierającej zbiór punktów jest równa średnicy tego zbioru oraz istnieje dokładnie jedna para punktów wyznaczających tę średnicę, to początkowa kula 0 0( , )B rc jest równa tej najmniejszej kuli. Naturalną konsekwencją powyższej obserwacji jest zastosowanie – przed przystąpieniem do etapu wyznaczania kuli – do rozważanego zbioru odpowied-niego obrotu. W celu określenia tego obrotu, w pracy (Wu [156]) zaproponowa-no podejście statystyczne zaczerpnięte z analizy głównych składowych (Manly [78]), oparte na macierzy kowariancji. Macierz kowariancji C(A) dowolnego skończonego zbioru { }iA a M punk-tów (1) ( ) T[ ,..., ]n

i i ia aa w układzie współrzędnych o wersorach 1{ ,..., }nv v jest nieujemnie określoną macierzą symetryczną (Jakubowski i Sztencel [60, s. 87]) rozmiaru n×n o postaci:

(1) (1) (1) ( )

( ) (1) ( ) ( )

cov( , ) cov( , )( )

cov( , ) cov( , )

n

n n n

a a a aA

a a a a

C

, (5.24)

gdzie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cov( , ) [( ( ))( ( ))]k l k k l la a E a E a a E a (5.25a)

( ) ( )

( ) ( )1 ( ) ( ) , , 1,..., ,

Mk l

i ik li

a aE a E a k l n

M

(5.25b)

jest kowariancją1 współrzędnych punktów względem k-tego i l-tego wersora, zaś

( )

( ) 1( ) , 1,..., ,

Mm

im i

aE a m n

M

(5.25c)

oznacza moment pierwszego rzędu współrzędnych punktów względem m-tego wer-sora. Poszukiwany obrót reprezentowany jest ortonormalną macierzą T

1[ ,..., ]nu u , gdzie iu , i = 1,...,n, są wektorami własnymi macierzy kowariancji (5.24). Ponieważ C(A) jest macierzą symetryczną, wektory własne można wyznaczyć dowolną me-todą rozwiązywania pełnego symetrycznego zadania własnego (Press i inni [121]). Ze względu na zwykle stosunkowo niewielki rozmiar tej macierzy2 preferowana jest tutaj metoda Jacobiego (Kiełbasiński i Schwetlick [66, s. 384 i n.]).

1 Dla k = m, ( ) ( ) 2 ( )cov( , ) ( )k k ka a D a , czyli jest wariancją współrzędnych punktów względem k-tego wersora.2 W znanych zastosowaniach IFS w grafi ce komputerowej wymiar przestrzeni rzeczywistej zwykle nie przekracza liczby 10.



W przypadku ogólnym, w którym IFS składa się ze zwężających odwzoro-wań dowolnego rodzaju, macierz kowariancji może być wyznaczona na podsta-wie współrzędnych punktów ciągu 1{ }M

i ia zgodnie ze wzorami (5.25b) i (5.25c) podczas generowania tego ciągu przy użyciu algorytmu probabilistycznego. Na podstawie twierdzenia 3.7, rozkład punktów generowanych przez algorytm probabilistyczny aproksymacji atraktora określony jest przez miarę niezmienni-czą generowaną przez IFS z prawdopodobieństwami. Zatem dla afi nicznych IFS i ciągu 1{ }M

i ia przy M , macierz kowariancji może być wyznaczona anali-tycznie na podstawie samego IFSP z prawdopodobieństwami (3.33), poprzez wy-korzystanie wzorów (2.24) i (2.25) na momenty zwykłe pierwszego i drugiego rzędu miary niezmienniczej. Elementy macierzy kowariancji obliczane są jako

( ) ( ),cov( , )k l

k l k la a m m m .

Środek kuli otrzymanej opisaną metodą jest na ogół dobrym przybliżeniem środka optymalnego (5.2). Wadą tego podejścia jest dokonywanie obliczeń bez-pośrednio na podstawie skończonej liczby punktów generowanych przez algo-rytm probabilistyczny aproksymacji atraktora. W rezultacie kula wynikowa jest zwykle jedynie pewnym przybliżeniem kuli zawierającej wszystkie punkty atrak-tora. Problem ten można rozwiązać, przynajmniej w teorii, zwiększając długość promienia wynikowej kuli o pewną wartość , wynikającą z dokładności aprok-symacji generowanej przez algorytm probabilistyczny dla danego zbioru praw-dopodobieństw i zadanej liczby punktów, przy zastosowaniu techniki opisanej w punkcie 3.3.3. Wyznaczenie pożądanej wartości (i to jedynie z pewnym praw-dopodobieństwem) wymagałoby jednakże znacznie większego nakładu obliczeń, aniżeli wyznaczenie samej kuli. Powyższy problem można łatwo ominąć, dokonując prostej modyfi kacji orygi-nalnego podejścia (Martyn [81]), polegającej na zastosowaniu – w miejsce algo-rytmu probabilistycznego aproksymacji atraktora – deterministycznego algorytmu adaptacyjnych odcięć omówionego w punkcie 3.2. W tym celu, najpierw wyznacza się dowolną kulę 1 1( , )B r c zawierającą atraktor przy użyciu jednej z metod opi-sanych we wprowadzeniu do niniejszego rozdziału. Punkty, na podstawie których dokonywane są obliczenia kuli wynikowej, generowane są następnie za pomocą algorytmu adaptacyjnych odcięć jako obrazy środka 1c przy złożeniach odwzoro-wań IFS ze zbioru F dla średnicy diam( ) A szacowanej z góry przy użyciu śred-nicy kuli 1 1( , )B r c (czyli wartości 12r ). Przy powyższych założeniach, dla dane-go złożenia f F , podzbiór ( )f A atraktora zawiera się w kuli 1

1( ),2

B f

c .Stąd, na podstawie (3.10),

1

1( ), :2

A B f f F

c . (5.26)



Ponieważ kula ( , )m mB rc będąca wynikiem działania algorytmu adaptacyjne-go zawiera zbiór 1{ ( ) : }f f F c , zatem, na podstawie formuły (5.26) i nierów-ności trójkąta, poszukiwaną wartością , o którą należy zwiększyć promień rm, tak aby kula ( , )m mB r c zawierała atraktor, jest wartość 1

2 .

Przedstawiona metoda daje na ogół bardzo dobre rezultaty, które są często bli-skie optymalnego rozwiązania. Na rysunku 5.7 przedstawiono koła początkowe oraz wynikowe koła ograniczające przykładowe atraktory IFS na 2R wyznaczo-ne przy użyciu opisanej metody.

Rys. 5.7. Rezultaty zastosowania adaptacyjnej metody wyznaczania kół ograniczających przykła-dowe atraktory IFS na przestrzeni R2. Mniejsze kółka to koła początkowe (wzory (5.22)), zaś więk-

sze – koła wynikowe (w przypadku, gdy jedno z kół nie jest widoczne, oba koła się pokrywają)



5.7. PUNKTY ROZPINAJĄCE

Podstawowym problemem w bezpośrednim zastosowaniu znanych z geometrii obliczeniowej algorytmów wyznaczania najmniejszej kuli ograniczającej (Prepa-rata i Shamos [120], Megiddo [98], Welz [152]) do zbioru punktów aproksymu-jącego atraktor jest to, że w praktycznych zastosowaniach zbiory te składają się zwykle z ogromnej liczby punktów (rzędu miliona i więcej) nawet przy względnie niewielkiej dokładności aproksymacji. Ponieważ algorytmy te wymagają stałego dostępu do pełnego zbioru punktów1, należałoby w takich okolicznościach prze-chowywać w pamięci całą aproksymację atraktora. Co więcej, najszybszy znany algorytm wyznaczania najmniejszej kuli ograniczającej zbiór M punktów w prze-strzeni nR (tj. zrandomizowany algorytm Welzla (Welzl [152])) działa w czasie oczekiwanym ( ! )O M , gdzie 1n (Seidel [135]). W konsekwencji obli-czanie rozważanej kuli przy użyciu dowolnego algorytmu geometrii obliczenio-wej zastosowanego do punktowej aproksymacji atraktora pociągałoby za sobą w praktyce nie tylko ogromne wymogi pamięciowe, ale również byłoby mało wy-dajne pod względem czasu obliczeń. Podejście zaproponowane w artykule (Martyn [93]) ma na celu ominięcie po-wyższej trudności w przypadku afi nicznych IFS na 2R . Algorytm ten można rów-nież łatwo uogólnić do wyznaczania najmniejszych kul zawierających atraktory IFS na przestrzeni 3R . W zarysie, główną ideą leżącą u podstaw omawianego algorytmu jest wyzna-czenie, na podstawie aproksymacji atraktora, pewnego niewielkiego zbioru punk-tów charakterystycznych określanych jako punkty rozpinające (ang. spanning po-ints). Następnie, obliczenie koła zawierającego atraktor dokonywane jest przy użyciu algorytmu Welzla zastosowanego do tych punktów. W przypadku IFS na przestrzeni 2R , algorytm punktów rozpinających wyko-rzystuje pokrycie atraktora domkniętymi prostokątami AAB (ang. Axis-Aligned Boxes), tj. prostokątami o bokach równoległych do osi kartezjańskiego ukła-du współrzędnych. Prostokąty AAB określone są przez punkt środkowy 2c R i wektor T 2[ , ]x yr r r R , , 0x yr r , jako

2( , ) { :| ( ) | i | ( ) | }x yAAB x r y r c r p R p c p c ,

gdzie x( . ) i y( . ) oznaczają odpowiednio współrzędną x i współrzędną y dane-go wektora. Wobec tego, długość boków prostokąta ( , )AAB c r wynosi odpowiednio 2rx i 2ry, zaś jego średnica w metryce maksimum jest równa

1 Algorytmy te klasyfi kowane są w geometrii obliczeniowej jako algorytmy off-line, w odróżnieniu od algorytmów on-line, to jest takich, których działanie polega na progresywnym poprawianiu bieżą-cego wyniku na podstawie nowych punktów pojawiających się na wejściu (Preparata i Shamos [120]).



diam ( ( , )) 2max ( , )x yAAB r r c r .

-pokryciem ( , )Cover A atraktora 2A R prostokątami AAB będzie na-zywana każda skończona rodzina { ( , )}i i i IAAB c r , dla której

( , )i i

i I

AAB A

c roraz diam ( ( , ))i iAAB c r

( , )i iAAB A c r ,dla każdego i I . Mając dane pokrycie ( , )Cover A , oznaczmy przez xmin i xmax minimalną i, odpowiednio, maksymalną współrzędną x punktów należących do tego pokrycia:

min

max

min{ ( ) : ( , ) ( , )},max{ ( ) : ( , ) ( , )}.

i i i i

i i i i

x x AAB Cover Ax x AAB Cover A

c r c rc r c r

Niech teraz K N będzie liczbą ze zbioru max min1,..., /x x determi-nującą wybraną dopuszczalną liczbę par punktów rozpinających, na podstawie których dokonywane będą obliczenia koła zawierającego atraktor A . Przy po-wyższych oznaczeniach, k-ta para punktów ekstremalnych ( ) ( )

min max,k k p p R R ,{0,..., }k K , defi niowana jest jako:

( ) ( ) Tmin min min( ) ( ) Tmax max max

[ , ] ,

[ , ] ,

k k

k k

x k yx k y

pp

(5.27a)

gdzie1

( ) min minmin

( ) min minmax

( ) ( )inf ( ) : lub ,

( ) ( )sup ( ) : lub ,

k i i i ii ii I

k i i i ii i

i I

x x x xy y k k

x x x xy y k k

c r c rc r

c r c rc r

(5.27b)

max min ( ) ,x x

K

(5.27c)

zaś 2,i i c r R takie, że ( , ) ( , )i iAAB Cover A c r ; k-ty punkt ekstremalny bę-dzie miał współrzędną y równą , jeśli zbiór współrzędnych y wierzchołków prostokątów pokrycia ( , )Cover A , określony w jednym ze wzorów (5.27), bę-dzie zbiorem pustym.

1 Zgodnie z powszechnie przyjmowaną konwencją inf i sup .



Zbiór ( , ) punktów rozpinających skojarzony z atraktorem A określamy poprzez odrzucenie punktów ekstremalnych o współrzędnej y równej i for-malnie defi niujemy jako

( ) ( ) ( ) ( )min min 0 max max 0( , ) { : ( ) } { : ( ) }k k K k k K

k ky y p p p p . (5.28)

Ideę punktów rozpinających dla przykładowej kolekcji prostokątów AAB przedstawiono na rys. 5.8.

Rys. 5.8. Punkty rozpinające wyznaczone dla przykładowej kolekcji prostokątów AAB (wzo-ry (5.27) i (5.28)). Prostokąty generujące punkty ekstremalne wyróżniono kreską pogrubioną

Zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 5.7. Niech ( , )B r c będzie najmniejszym kołem zawierającym zbiór punktów rozpinających ( , ) skojarzony z atraktorem 2A R . Wtedy

( , )B r A c (5.29a)oraz

2 2

min min ( )r r r , (5.29b)

gdzie rmin jest promieniem najmniejszego koła zawierającego A .

Dowód. W pierwszej kolejności pokażemy, że ( , )B r A c Niech a będzie do-wolnym punktem atraktora A . Wtedy istnieje prostokąt AAB należący do po-krycia ( , )Cover A taki, że AABa . Zatem, z defi nicji punktów ekstremalnych (5.27) kwalifi kowanych jako punkty rozpinające (5.28):

min min( ) ( 1)x k x x k aoraz

( ) ( 1) ( ) ( 1)min min max maxmax( , ) ( ) min( , )k k k ky y y y y a



dla pewnego {0,..., }k K . Stąd a jest jednym z punktów czworokąta, którego wierzchołkami są punkty rozpinające ( )

minkp , ( )

maxkp , ( 1)

minkp , ( 1)

maxkp (rys. 5.9a). Ponie-

waż koło ( , )B r c zawiera wszystkie punkty rozpinające, zatem zawiera wspo-mniany czworokąt, a zatem i rozważany punkt a. Ponieważ a był dowolnym punk-tem atraktora, więc ( , )B r A c .

Rys. 5.9. Ilustracja do dowodu twierdzenia 5.7

Następnie pokażemy, że zachodzą nierówności (5.29b). Nierówność po le-wej stronie jest spełniona bezpośrednio na podstawie faktu wykazanego powyżej. Udowodnimy drugą z nierówności. ( , )B r c jest najmniejszym kołem zawiera-jącym zbiór ( , ) oraz istnieje dokładnie jedno najmniejsze koło zawierające ten zbiór. Zatem do wykazania drugiej z nierówności wystarczy pokazać, że koło

2 2min min( , ( ) )B r c , gdzie cmin i rmin są odpowiednio środkiem i promie-

niem najmniejszego koła zawierającego A , zawiera zbiór ( , ) . Niech min min( , ) \ ( , )B r c . Wtedy min min( , ) ( , )B r c i na podstawie pierwszej nierówności min min( , ) ( , )B r B r c c , a zatem 2 2

min ( )r r . Niech teraz min min( , ) \ ( , )B r c oraz niech min min( , ) \ ( , )B r p c . Wtedy

min min( , ( , )) ( , ) ,Ed B r d A p c p a a ,

gdzie wartość po lewej stronie nierówności oznacza odległość punktu od zbioru indukowaną przez metrykę euklidesową. Z defi nicji punktów rozpinających (zob. rys. 5.9b):

2 2( , ) , , ( , ) ( )EA d p a p a .

Na tej podstawie

2 2

min min( , ( , )) ( )d B r p ci stąd

2 2

min min min min min( , ) ( , ( , )) ( )Ed r d B r r p c p c ,

a zatem 2 2min min( , ( ) )B r p c , co kończy dowód.



Wobec tego, zamiast aproksymować najmniejsze koło ograniczające bezpo-średnio na podstawie ogromnej liczby punktów tworzących aproksymację atrak-tora, można najpierw wyznaczyć zbiór punktów rozpinających i następnie obli-czyć poszukiwane koło, stosując algorytm Welzla do tego zbioru. Na podstawie równości (5.28) i (5.27c), | ( , ) | 2( 1)K , gdzie max min( ) /K x x , za-tem liczba punktów rozpinających jest znikoma w stosunku do całkowitej licz-by punktów zbioru aproksymującego atraktor z zadaną dokładnością. Ponadto, ponieważ , na podstawie (5.29b), błąd niesiony przez aproksymację naj-mniejszego koła zawierającego atraktor przez koło ( , )B r c zawiera się w gra-nicach min0 5r r . W rezultacie liczba punktów rozpinających potrzeb-nych do obliczenia najmniejszego koła ograniczającego na przykład z dokładno-ścią do 0,01 rozmiaru atraktora w poziomie jest rzędu 100.

Rys. 5.10. Najmniejsze koła ograniczające dla przykładowych atraktorów IFS na R2 wyznaczone przy wykorzystaniu punktów rozpinających



Pokrycie ( , )Cover A i sam zbiór ( , ) można wydajnie wyznaczyć przy wykorzystaniu adaptacji algorytmu adaptacyjnych odcięć i dwuwymiarowej wer-sji metody obliczania prostopadłościanów AAB ograniczających podzbiory atrak-tora, która została opisana w punkcie 6.2.2 następnego rozdziału. Przykładowe rezultaty zastosowania omówionej metody do wyznaczania naj-mniejszych kół zawierających atraktory IFS na przestrzeni 2R przedstawiono na rys. 5.10. Jak wspomniano na wstępie, metodę tę można uogólnić do wyznaczania naj-mniejszych kul zawierających atraktory afi nicznych IFS na przestrzeni 3R . W tym celu, w pierwszym kroku algorytmu wyznaczane są minimalne i maksymalne xmin i xmax oraz ymin i ymax punktów należących do pokrycia atraktora prostopadłościana-mi AAB (zob. punkt 6.2.2). Następnie prostokąt min max min max[ , ] [ , ]x x y y dzielony jest na równomierną siatkę K2 kwadratów. Punkty rozpinające wyznaczane są na podstawie punktów ekstremalnych, które są obliczane wzdłuż trzeciej osi układu współrzędnych, w obszarach kwadratów siatki. Podobnie jak w przypadku dwu-wymiarowym, kula ograniczająca atraktor IFS wyznaczana jest na podstawie zbio-ru punktów rozpinających za pomocą algorytmu Welzla. Na rysunku 5.11 zapre-zentowano przykładowe rezultaty zastosowania tego algorytmu do wyznaczania najmniejszych kul ograniczających atraktory afi nicznych IFS na przestrzeni 3R .

Rys. 5.11. Przykładowe rezultaty zastosowania algorytmu punktów rozpinających do obliczania naj-mniejszych kul ograniczających atraktory afi nicznych IFS na R3




W celu porównania jakości wyników otrzymywanych przy użyciu algoryt-mów omówionych w poprzednich punktach, na rys. 5.12 przedstawiono wykres obrazujący stosunek średnic zbiorów ograniczających, otrzymanych przy użyciu tych algorytmów, do średnicy najmniejszego koła ograniczającego otrzymane-go przy wykorzystaniu metody punktów rozpinających. Zaprezentowane wyniki otrzymano dla zbioru dziewięciu atraktorów afi nicznych IFS na 2R , które posłu-żyły jako przykłady na rysunkach przedstawionych w niniejszym rozdziale.

Rys. 5.12. Wykres obrazujący ilorazy średnic zbiorów ograniczających otrzymanych przy użyciu al-gorytmów opisanych w niniejszym rozdziale do średnicy minimalnego koła ograniczające uzyska-nego metodą punktów rozpinających. Prezentowane wyniki dotyczą atraktorów IFS na R2, które zostały wykorzystane na poprzednich rysunkach rozdziału. Zastosowane w legendzie skróty ozna-czają odpowiednio: Radius estm 1 – szacowanie promienia kuli przy użyciu wzoru (5.3), Radius estm 2 – szacowanie promienia kuli przy użyciu wzoru (5.4), Iterative – algorytm iteracyjny, Cen-ter optm – algorytm optymalizacji środka, Balancing – algorytm wyważania atraktora, Envelo-

pe – algorytm kopertowy, Adaptive – algorytm adaptacyjny

Zaletą metod polegających na wyznaczaniu promienia kuli ograniczającej na podstawie wzorów (5.3) i (5.4) jest przede wszystkim prostota ich implementa-cji. Co więcej, przy założeniu, że wymiar przestrzeni jest ustalony, algorytmy te charakteryzują się niewielkim czasem obliczeń rzędu O(N), gdzie N jest liczbą



odwzorowań wchodzących w skład układu IFS. Ponadto, algorytmy te są ogólne w tym sensie, że umożliwiają, bez żadnych modyfi kacji, wyznaczanie kul ogra-niczających atraktory układów IFS składających się ze zwężających odwzoro-wań dowolnego typu (zarówno afi nicznych, jak i nieliniowych). Niestety, jak wi-dać na przedstawionym wykresie (dane Radius estm 1 i Radius estm 2), średni-ce kul wyznaczonych przy wykorzystaniu tych metod na ogół znacznie odbiegają od średnicy minimalnej kuli zawierającej atraktor. Jak widać na wykresie, pewną alternatywą dla tych metod jest algorytm „koper-towy” opisany w punkcie 5.5 (dane Envelope). Algorytm ten charakteryzuje się tym samym czasem obliczeń (twierdzenie 5.5), przy czym wyznaczane przez niego zbio-ry ograniczające (tj. koperty) mają na ogół mniejszą średnicę, niż kule otrzymywa-ne przy wykorzystaniu tych metod. Niestety, pomimo, że koperty stanowią bardziej złożoną strukturę geometryczną niż pojedyncze kule, średnica tych zbiorów często znacznie odbiega od średnicy najmniejszej kuli zawierającej atraktor. Na ogół znacznie lepsze rezultaty można uzyskać przy wykorzystaniu algorytmu iteracyjnego (dane Iterative) opisanego w punkcie 5.2, przy czym dla afi nicznych IFS i ustalonego wymiaru przestrzeni, algorytm ten charakteryzuje się tą samą złożonością obliczeniową, co algorytmy poprzednie. Pomimo to, jakość wyników uzyskiwanych przy użyciu tego algorytmu na ogół również stosunkowo mocno odbiega od wyniku optymalnego. Dlatego z punktu widzenia praktycznego wy-korzystania kul ograniczających w różnych zagadnieniach grafi ki komputerowej, zastosowanie rozważanego algorytmu jest często niewskazane. Poprawę jakości wyników dostarczanych przez algorytm iteracyjny otrzymu-je się, poszukując „lepszego” środka kuli ograniczającej atraktor. Można tego do-konać, wykorzystując algorytm optymalizacji środka opisany w punkcie 5.3. Jak widać na wykresie (dane Center optm), wyniki otrzymywane przy użyciu tej metody są na ogół dobre (kule ograniczające często są bliskie kuli optymalnej).Niemniej, w celu poszukiwania „lepszego” środka, metoda ta angażuje algorytm optymalizacji numerycznej, co w konsekwencji czyni ją znacznie mniej wydajną od algorytmów omówionych do tej pory w niniejszym podpunkcie (czas obliczeń zależy od zastosowanego algorytmu optymalizacji). Z kolei, pewnym wariantem metody optymalizacji środka jest – zapropo-nowana przez autora w artykule (Martyn [86]) – metoda wyważania atraktora (punkt 5.4). Podobnie jak w przypadku tej pierwszej metody, „wyważanie” atrak-tora również opiera się na idei wyznaczania „lepszego” środka kuli ograniczają-cej, angażując w tym celu algorytm optymalizacji numerycznej. Jednakże opty-malizacja dokonywana jest w tym przypadku w dziedzinie prawdopodobieństw przypisywanych odwzorowaniom układu IFS. Eksperymenty numeryczne poka-zują, że metoda ta na ogół zbiega do rozwiązania w kilku iteracjach, co czyni ją zwykle bardziej wydajną od metody optymalizacji środka. Co więcej, algo-rytm wyważania atraktora stosuje lepsze oszacowanie promienia kuli ogranicza-


145 Figury ograniczające – wielokąty i wielościany wypukłe

jącej niż metoda optymalizacji środka. W konsekwencji, wyniki otrzymywane przy użyciu tej metody są często nieco lepsze od wyników dostarczanych przez algorytm optymalizacji środka (dane Balancing). Niestety, główną wadą tej me-tody jest brak, jak dotychczas, jakichkolwiek uzasadnień teoretycznych jej działa-nia, które dawałyby gwarancję jakości wyników uzyskiwanych za jej pomocą. W odróżnieniu od dotychczas porównanych algorytmów, które dokonują ob-liczeń na podstawie odwzorowań układu IFS (klasa algorytmów pośrednich), za-proponowany przez autora (Martyn [81]) algorytm adaptacyjny (punkt 5.6) wy-znacza kule ograniczające atraktory IFS na podstawie skończonej liczby punktów aproksymujących atraktor. W oryginalnej implementacji jest to algorytm itera-cyjny, który do wyznaczenia kuli ograniczającej atraktor potrzebuje zwykle wię-cej czasu niż algorytmy pośrednie (liczba iteracji jest proporcjonalna do liczby punktów zbioru aproksymacyjnego). Niemniej, jest on stosunkowo prosty w im-plementacji, zaś rozmiary kul ograniczających otrzymywanych przy jego użyciu na ogół niewiele odbiegają od rozmiarów kul minimalnych (dana Adaptive). Co więcej, podobnie jak metody poprzednie, algorytm ten może być zastosowany w przypadku IFS zawierających zwężające odwzorowania dowolnego typu. Zdecydowanie najlepszym algorytmem pod względem jakości otrzymywa-nych wyników jest przedstawiony przez autora (Martyn [93]) algorytm wyko-rzystujący punkty rozpinające (punkt 5.7). Algorytm ten pozwala na obliczanie, z dowolnie zadaną dokładnością, minimalnych kul ograniczających atraktory IFS w przestrzeniach 2R i 3R , przy czym w praktyce jego wydajność jest na ogół znacznie lepsza od wydajności algorytmu adaptacyjnego. Niestety, jak dotych-czas, zastosowanie tego algorytmu ogranicza się do układów IFS składających się wyłącznie z afi nicznych odwzorowań zwężających.

6. FIGURY OGRANICZAJĄCE – WIELOKĄTY I WIELOŚCIANY WYPUKŁE

6.1. WPROWADZENIE

Wykorzystanie wielokątów i wielościanów wypukłych jako fi gur ograniczają-cych w grafi ce komputerowej pokrywa się z zastosowaniami kul (w metryce eu-klidesowej), wymienionymi na wstępie poprzedniego rozdziału. Dodatkową zaletą wykorzystania w tym celu wspomnianych fi gur jest to, że na ogół lepiej one aprok-symują powierzchnię otaczanego obiektu względem metryki Hausdorffa (czyli przylegają „ściślej” do danego obiektu) niż kule. Należy zauważyć, że wymienio-na cecha jest jednym z dwóch podstawowych kryteriów oceny użyteczności da-



nej geometrii jako zbioru otaczającego; drugim jest „złożoność” tej geometrii roz-patrywana jako złożoność obliczeniowa i pamięciowa danego algorytmu opartego na fi gurach ograniczających. Często wybór odpowiedniej geometrii stanowi kom-promis między obydwiema wymienionymi cechami (Akenine-Möller i Haines [1], Lengyel [72], Eberly [28]). Na przykład w metodzie śledzenia promieni, w ogól-nym przypadku, im więcej ścian ma wielościan otaczający, tym lepiej przybliża ograniczany obiekt, jednakże kosztem większego nakładu obliczeń wyznaczania przecięcia promienia z tym wielościanem (Glassner [43]). Najczęściej wykorzystywanymi w grafi ce komputerowej wielokątami i wie-lościanami ograniczającymi są fi gury AAB, czyli, w ogólnym przypadku, prosto-padłościany w przestrzeni nR o krawędziach równoległych do osi kartezjańskie-go układu współrzędnych. Dodatkowo, obok ogólnych zastosowań fi gur ograni-czających, w przypadku IFS fi gury AAB wykorzystywane są w algorytmie punk-tów rozpinających omówionym w poprzednim rozdziale (punkt 5.7), a także w zagadnieniu wyznaczania przecięcia półprostej z atraktorem (rozdz. 7). Nie-malże równie często jak fi gury AAB, jako fi gury ograniczające w grafi ce kompu-terowej wykorzystywane są prostopadłościany skierowane. Dzięki dodatkowym stopniom swobody określonym przez transformację obrotu, prostopadłościany te zwykle lepiej ograniczają dany zbiór aniżeli fi gury AAB. Algorytmy obliczania obydwu rodzajów prostopadłościanów ograniczających atraktory IFS opisa now punkcie 6.2. Punkt 6.3 poświęcono zagadnieniu ograniczania atraktorów IFS przy użyciu wypukłych wielokątów i wielościanów. Obok wymienionych, standardowych za-stosowań w grafi ce komputerowej, w przypadku IFS fi gury te wykorzystywane są w jednym z algorytmów estymacji wektorów normalnych w punktach atraktora, który został opisany w rozdz. 8. Podobnie jak w przypadku problemu wyznaczania kul ograniczających, w al-gorytmach wyznaczania wielokątów i wielościanów ograniczających można wy-różnić kategorię algorytmów pośrednich, które dokonują obliczeń na podstawie specyfi kacji IFS, oraz kategorię algorytmów bezpośrednich, czyli obliczających fi gurę ograniczającą na podstawie skończonego zbioru punktów aproksymujące-go atraktor lub skończonego pokrycia atraktora zbiorami o zadanej geometrii.

6.2. PROSTOPADŁOŚCIANY

W dwóch kolejnych podpunktach omówiono podejścia pośrednie i bezpo-średnie do wyznaczania prostopadłościanów ograniczających atraktory IFS. W każdym z tych podpunktów, przegląd metod rozpoczęto od algorytmów ob-liczania prostopadłościanów AAB, by następnie zająć się przypadkiem ograni-czających prostopadłościanów skierowanych. Metody obliczania tych ostatnich



opierają się bowiem na metodach wyznaczania prostopadłościanów AAB i po-legają na sprowadzeniu rozważanego problemu do obliczania prostopadłościanu AAB w kartezjańskim układzie współrzędnych o osiach zgodnych z kierunkami, w których rozmiary atraktora są największe. Następnie dokonywane jest sprowa-dzenie wynikowego prostopadłościanu AAB do oryginalnego układu współrzęd-nych przy użyciu transformacji obrotu. Algorytmy wyznaczania skierowanych prostopadłościanów ograniczających polegają zatem na wprowadzaniu dodatko-wego etapu, poprzedzającego obliczenia prostopadłościanu AAB, w którym wy-znaczany jest obrót sprowadzający układ IFS (i co za tym idzie, sam atraktor) do odpowiedniego układu współrzędnych. Analogicznie do prostokątów AAB zdefi niowanych w punkcie 5.7, prostopa-dłościany AAB w nR można zdefi niować jako

( ) ( ) ( )( , ) { :| | , 1,..., }n i i iAAB p c r i n c r p R , (6.1)

gdzie (1) ( ) T[ ,..., ]n nc c c R jest punktem środkowym prostopadłościanu, zaś (1) ( ) T[ ,..., ]n nr r r R , ( ) 0ir , wektorem wyznaczającym rozmiary tego prosto-

padłościanu względem poszczególnych osi kartezjańskiego układu współrzędnych. W szczególności średnica takiego prostopadłościanu w metryce maksimum wynosi

diam ( ( , )) 2 || ||AAB c r r . (6.2)

6.2.1. Algorytmy pośrednie

Algorytmy pośrednie wyznaczania prostopadłościanu AAB zawierającego atraktor IFS oparte są na twierdzeniu 2.19 lub lemacie 2.23, gdzie rozpatrywa-ną metryką jest metryka maksimum. Należy bowiem zauważyć, że metryka ta in-dukuje kule o geometrii hipersześcianu AAB. Niemniej, warunkiem koniecznym do zastosowania wspomnianych twierdzeń w przypadku omawianego zagadnie-nia jest to, aby IFS był zwężający właśnie względem metryki maksimum. W przy-padku IFS zwężających względem dowolnej metryki indukowanej przez normę na nR spełnienie tego warunku nie stanowi jednak problemu. Jak bowiem po-kazano w podpunkcie 3.2.2, takie układy IFS zawsze można sprowadzić do wy-maganej postaci, stosując technikę zastępowania oryginalnych odwzorowań ich odpowiednimi złożeniami. W przypadku odwzorowań afi nicznych zwężających w metryce euklidesowej proces zastępowania odwzorowań ich złożeniami konty-nuowany jest dopóty, dopóki normy maksimum (3.30) macierzy części liniowych wszystkich odwzorowań układu IFS są mniejsze od jedności. Natomiast w przy-padku układów IFS zawierających odwzorowania nieliniowe zwężające w me-tryce euklidesowej, poszukiwany IFS otrzyma się, stosując wspomnianą technikę dopóki współczynniki zwężania wszystkich odwzorowań IFS względem metryki euklidesowej będą mniejsze od wartości 1 / n (na podstawie nierówności (3.31) wynikowy IFS będzie zwężający w metryce maksimum).



Wobec tego, bez utraty ogólności rozważań, w dalszej części niniejszego pod-punktu założono, że atraktor A jest opisany przez IFS 1{ ,..., }Nw w na zupełnej przestrzeni metrycznej ( , )X d , gdzie nX R lub X jest zwartym i wypukłym podzbiorem nR , zaś d oznacza metrykę maksimum. Podobnie jak w przypadku algorytmów pośrednich wyznaczania kul ograni-czających w metryce euklidesowej opisanych w punkcie 5.1, metoda wyznacza-nia o prostopadłościanu AAB opierająca się na twierdzeniu 2.19 wyznacza hiper-sześcian T( ,[ ,..., ] )AAB r rc , gdzie

1,..., ( )

1,...,1,...,

1 max Lip( )max ( , )

1 max Lip( )ii N i

E fi Nii N

wr d

w

c x , (6.3)

przy czym ( )ifx oznacza punkt stały odwzorowania iw . W celu minimaliza-

cji wartości r, środek c należy określić jako punkt minimalizujący wartość ( )

1,...,max ( , )i

fi Nd

c x , czyli środek (w ogólnym przypadku niekoniecznie unikatowy) najmniejszego prostopadłościanu AAB zawierającego punkty stałe odwzorowań IFS. Przykładowe wyniki zastosowania tej metody do afi nicznych IFS na prze-strzeni 2R przedstawiono na rys. 6.1 (kwadraty oznaczone kolorem czarnym). Wykorzystanie lematu 2.23 w omawianym zagadnieniu (Martyn [86]) odbywa się również w analogiczny sposób, jak w przypadku kul ograniczających w me-tryce euklidesowej, i polega na określeniu poszukiwanej fi gury AAB jako hiper-sześcianu T( ,[ ,..., ] )AAB r rc , dla którego

1,...,

1,...,

1 max ( , ( ))1 max Lip( ) ii N

ii N

r d ww

c c . (6.4)

Środek c wygodnie określić tak, jak w poprzednio opisanej metodzie. Rezultaty tej metody przedstawiono na rys. 6.1 (kwadraty oznaczone kolorem zielonym). Niezależnie od metod przedstawionych wyżej, w artykule (Chu i Chen [19]) zaproponowano1 podobną metodę określania hipersześcianu AAB ograniczające-go atraktor IFS o odwzorowaniach afi nicznych zwężających w metryce maksi-mum. Metoda ta polega na określeniu hipersześcianu AAB jako hipersześcianu o środku w początku układu współrzędnych i wartości r obliczanej jako

( )

1,...,11,...,

1 max | |1 max Lip( )

nk

ii Nkii N

r tw

, (6.5)

gdzie ( )kit oznacza k-tą współrzędną wektora translacji odwzorowania iw . Ponie-

waż środek wynikowego hipersześcianu znajduje się w początku układu współrzęd-nych, zatem w celu dążenia do minimalizowania wartości r, w ogólnym przypadku pożądane jest (choć autorzy oryginalnej metody o tym nie wspominają) obliczenie

1 W oryginale autorzy przedstawili dowód zawierania się atraktora w zbiorze ograniczającym je-dynie dla przypadku dwuwymiarowego. Jednakże zaproponowana metoda uogólnia się w naturalny sposób do przypadku n-wymiarowego.



wartości (6.5) w układzie współrzędnych o początku zlokalizowanym w pewnym punkcie „centralnym” c atraktora. Dokonamy tego poprzez wyznaczenie wartości (6.5) dla przekształconego układu IFS przy użyciu translacji opisanej wektorem c (twierdzenie 2.22); wynikowym hipersześcianem AAB zawierającym atraktor bę-dzie wówczas hipersześcian o środku w punkcie c. Wzorem poprzednio omówionej metody, za punkt centralny c wygodnie jest przyjąć środek najmniejszego prostopa-dłościanu AAB zawierającego punkty stałe odwzorowań IFS.

Rys. 6.1. Wyniki zastosowania algorytmów opisanych w punkcie 6.2 do wyznaczania kwadratów i pro-stokątów ograniczających atraktory afi nicznych IFS na R2 (patrz dodatek A, pkt 7). Kwadraty o kolorach czarnym, zielonym i niebieskim odpowiadają rezultatom uzyskanym przy użyciu metod pośrednich, od-powiednio: oszacowania (6.3), oszacowania (6.4) oraz oszacowania (6.5). Kolorem czerwonym oznaczo-no prostokąty AAB otrzymane przy użyciu metody quasi-pośredniej wykorzystującej proporcję (6.6). Ko-lorem fi oletowym oznaczono prostokąty skierowane wyznaczone metodą quasi-pośrednią opartą na ma-cierzy kowariancji (5.6). Skierowane prostokąty o kolorze ciemnozielonym reprezentują wyniki uzyskane

przy użyciu algorytmu bezpośredniego opisanego w podpunkcie 6.2.2



Ponieważ

( ) ( )

1,..., 1,..., 1,..., 1,...,1max ( , ( )) max ( max | |) max | |

nk k

i i ii N i N k n i Nkd w t t

0 0 ,

zatem hipersześcian wyznaczony przy użyciu wzoru (6.4) będzie zwykle mniej-szy (i co najmniej nie większy) od hipersześcianu wyznaczonego za pomocą wzoru (6.5). Jednakże, jak pokazali Chu i Chen [19], ten ostatni hipersześcian zawiera swoje obrazy przy odwzorowaniach IFS, czego nie może zagwaranto-wać metoda poprzednia. Niemniej, na podstawie twierdzenia 2.19, hipersze-ścian wyznaczony przy użyciu wzoru (6.3) również zawiera swoje obrazy i, jak pokazują eksperymenty numeryczne, jest często mniejszy od hipersześcianu uzyskanego przy użyciu omawianej metody (por. punkt 6.4 oraz rys. 6.1 – kwa-draty w kolorze niebieskim). Zastosowanie trzech dotychczas przedstawionych metod pośrednich ograni-czone jest do wyznaczania przypadku szczególnego prostopadłościanu AAB, ja-kim jest hipersześcian AAB. Niemniej, w celu dążenia do minimalizacji obję-tości poszukiwanej fi gury AAB ograniczającej atraktor (i co za tym idzie, „ści-ślejszego” otaczania atraktora przez tę fi gurę) zwykle pożądane jest zniesienie wskazanego ograniczenia „równych krawędzi” prostopadłościanu wynikowe-go. Ograniczenie to jest bezpośrednią konsekwencją geometrii kuli indukowa-nej przez metrykę maksimum leżącą u podstaw działania tych metod. Pomimo to, każdą z tych metod można udoskonalić, tak aby w wyniku dawała prostopadło-ściany AAB o proporcjach określonych rozmiarami atraktora względem poszcze-gólnych osi układu współrzędnych. Zakładając, że proporcje te są znane i okre-ślone wektorem 2[1, ,..., ]n , w którym k-ty składnik jest stosunkiem rozmiaru atraktora względem k-tej osi układu współrzędnych do rozmiaru atraktora wzglę-dem osi pierwszej, zamierzony cel osiągnie się, stosując dowolną z tych metod do układu IFS przekształconego (twierdzenie 2.22) przy użyciu skalowania opi-sanego macierzą diagonalną 1 1

2diag(1, ,..., )n . Wynikowym prostopadłościa-

nem AAB ograniczającym atraktor oryginalnego IFS będzie wówczas prostopa-dłościan T

2 2(diag(1, ,..., ) ,[ , ,..., ] )n nAAB r r r c . W ogólnym przypadku IFS proporcje ograniczającego prostopadłościanu AAB można szacować na podstawie skończonego zbioru punktów wygenero-wanego przy użyciu algorytmu probabilistycznego, przy czym możliwe są dwa podejścia. Pierwsze polega na określeniu rozważanych proporcji na podstawie rozmiarów atraktora w kierunkach poszczególnych osi układu współrzędnych, które są szacowane jako różnice między maksymalnymi i minimalnymi warto-ściami poszczególnych współrzędnych wygenerowanych punktów. W podejściu drugim adaptuje się techniki statystyczne analizy głównych składowych (Man-ly [78]) (por. punkt 5.6) i wyznacza poszukiwane proporcje na podstawie macie-rzy kowariancji (5.24) skończonego zbioru wygenerowanych punktów wzglę-dem punktu c, jako



( )

1,...,(1)

1,...,

max | |

max | |

ki ii n

ki ii n

u

u

, (6.6)

gdzie 0i i (1) ( ) T[ ,..., ]ni i iu uu są, odpowiednio, i-tą wartością własną oraz

i-tym wektorem własnym nieujemnie określonej macierzy symetrycznej (5.24). Ponieważ obydwa wymienione podejścia do określania proporcji prostopa-dłościanu opierają się na skończonym zbiorze punktów atraktora, zastosowanie dowolnego z nich w fazie obliczeń wstępnych wyznaczania prostopadłościanu ograniczającego skutkuje algorytmem quasi-pośrednim, sytuującym się między metodami pośrednimi a bezpośrednimi. Niemniej w przypadku atraktorów afi -nicznych IFS macierz kowariancji (5.24) może być wyznaczona bezpośrednio na podstawie samego układu IFS z prawdopodobieństwami (3.33), przy użyciu wzorów (2.24) i (2.25), zgodnie z zasadami opisanymi w punkcie 5.6 poprzed-niego rozdziału. Przykładowe wyniki tej metody zaprezentowano na rys. 6.1 (prostokąty w kolorze czerwonym). Kolejnym krokiem ku minimalizacji objętości prostopadłościanu zawierają-cego atraktor IFS jest zniesienie restrykcji równoległości krawędzi prostopadło-ścianu do poszczególnych osi układu współrzędnych poprzez zastosowanie, jako fi gury ograniczającej, prostopadłościanu skierowanego. Niemniej, jak już wcze-śniej wspomniano, metody wyznaczania prostopadłościanów skierowanych sta-nowią rozszerzenie metod wyznaczania prostopadłościanów AAB, polegające na wprowadzeniu dodatkowego etapu inicjującego, w którym dokonywana jest od-powiednia transformacja obrotu układu IFS, aby kierunki maksymalnych roz-miarów atraktora pokrywały się z osiami układu współrzędnych. Obrót ten naj-łatwiej oszacować na podstawie macierzy kowariancji punktów atraktora wzglę-dem środka c, jako ortonormalną macierz T

1[ ,..., ]nu u , gdzie ui, i = 1,..., n, są wektorami własnymi macierzy kowariancji (por. punkt 5.6). Po dokonaniu ob-rotu i obliczeniu ograniczającego prostopadłościanu AAB, stosowny prostopa-dłościan skierowany zawierający oryginalny atraktor, otrzymuje się, dokonując obrotu wynikowego prostopadłościanu AAB przy użyciu transformacji opisanej macierzą 1[ ,..., ]nu u . Uzyskane tą metodą skierowane prostokąty ograniczające dla przykładowych atraktorów afi nicznych IFS na 2R pokazano na rys. 6.1 (pro-stokąty w kolorze fi oletowym).

6.2.2. Algorytmy bezpośrednie

Wyniki uzyskane dzięki każdej z trzech metod z poprzedniego podpunktu można następnie progresywnie ulepszać, stosując techniki bezpośrednie. W arty-kule (Chu i Chen [19]) przedstawiono podejście do wyznaczania prostokąta AAB ograniczającego atraktor afi nicznego IFS na przestrzeni 2R . Rozpoczynając od



kwadratu C obliczonego na podstawie wzoru (6.5), metoda wyznacza obrazy C przy złożeniach odwzorowań IFS generowanych zgodnie z ideą leżącą u podstaw algorytmu adaptacyjnych odcięć (punkt 3.2). Wynikowy prostokąt AAB określa-ny jest na podstawie ekstremalnych współrzędnych wierzchołków obrazów C ob-liczonych na najgłębszym dozwolonym poziomie rekursji. W rezultacie, wyniko-wym prostokątem jest najmniejszy prostokąt AAB zawierający pewne skończone -pokrycie atraktora obrazami kwadratu C, wygenerowane przy użyciu algoryt-mu adaptacyjnych odcięć. Ponieważ odwzorowania IFS są z założenia afi niczne, zatem obrazami kwadratu C są w ogólności równoległoboki, które autorzy oma-wianej metody wyznaczają poprzez zastosowanie danego złożenia odwzorowań IFS do każdego z 4 wierzchołków tego kwadratu. Poniżej przedstawiono udoskonaloną wersję tego podejścia, która umożliwia wydajne wyznaczanie prostopadłościanów AAB ograniczających atraktory afi -nicznych IFS na przestrzeniach nR . W odróżnieniu od poprzedniego rozwiąza-nia, metoda wyznacza poszukiwane współrzędne ekstremalne na podstawie po-krycia atraktora A prostopadłościanami AAB o średnicach nieprzekraczających zadanej wartości 0 , to jest -pokrycia ( , )Cover A (por. punkt 5.7). Wspo-mniane prostopadłościany są najmniejszymi prostopadłościanami AAB zawiera-jącymi obrazy

1... ( )

ki iw w P prostopadłościanu AAB P A przy złożeniach od-wzorowań IFS. Prostopadłościany te są wyznaczane bezpośrednio na podstawie danego złożenia odwzorowań za pomocą techniki zaproponowanej przez autora w pracy (Martyn [85]), bez potrzeby jawnego obliczania wspomnianych obrazów. Niech 0 0( , )AAB Ac r , 0

nc R , (1) ( ) T0 0 0[ ,..., ]n nr r r R , będzie prostopa-

dłościanem AAB wyznaczonym przy użyciu dowolnej z metod pośrednich z po-przedniego podpunktu, A zaś – atraktorem afi nicznego IFS 1{ ,..., }Nw w na nR .Na podstawie twierdzenia 2.22, atraktorem oryginalnego IFS przekształconego odwzorowaniem

(1) ( )

0 0 0( ) diag(1 / ,...,1 / )( )nr r x x c (6.7)

czyli IFS 1 11{ ,..., }Nw w , będzie zbiór ( )A zawarty w hipersze-

ścianie T0 0( ( , )) ( ,[1,...,1] )AAB AAB c r 0 o wierzchołkach T[ 1,..., 1]k p ,

k = 1,...,2n. Z kolei, obrazem hipersześcianu T( ,[1,...,1] )AAB 0 przy odwzorowa-niu afi nicznym ( ) f ff x L x t , , , 1[ ]n

f i j i jl L , (1) ( ) T[ ,..., ]nf t tt , jest w ogólno-

ści równoległościan Q o wierzchołkach (1) ( ) T( ) [ ,..., ]nk k q q q p , gdzie

( ) ( )

,1 ,... , 1,...,i ii i nq l l t i n .

Stąd najmniejszym prostopadłościanem AAB ograniczającym równoległościan Q jest prostopadłościan ( , )f fAAB c r o środku w punkcie f fc t i wektorze

(1) ( ) T[ ,..., ]nf f fr rr , gdzie

( ),

1| |, 1,...,

ni

f i jj

r l i n

. (6.8)



Co więcej, ponieważ T( ( ,[1,...,1] ))Q f AAB 0 , zatem jeśli f jest odwzorowa-niem postaci 1w , gdzie w jest dowolnym odwzorowaniem afi nicznym, to

1 1 T( ) ( ( ,[1,...,1] ))Q w AAB 0 i stąd

1

0 0( ) ( ( , ))Q w AAB c r ,

bo T0 0( , ) ( ( ,[1,...,1] ))AAB AABc r 0 . Zatem dla 1f w , prostopadło-

ścian

1 1 1( ( , )) ( ( ), )f f f fAAB AAB c r c L r (6.9a)

jest najmniejszym prostopadłościanem AAB ograniczającym równoległościan 0 0( ( , ))w AAB c r , przy czym na podstawie (6.2) i (6.7)

1 1 ( ) ( )

01,...,diam ( ( ( ), )) 2 max i i

f f fi nAAB r r

c L r . (6.9b)

Wykorzystując powyższe informacje w algorytmie adaptacyjnych odcięć można, dla dowolnego 0 , efektywnie wyznaczać -pokrycia ( , )Cover A atraktora A afi nicznego IFS 1{ ,..., }Nw w , obliczając prostopadłościany AAB ograniczające podzbiory

1... ( )

ki iw w A atraktora bezpośrednio na podsta-wie złożeń odwzorowań przekształconego IFS 1{ ,..., }Nw w , 1

i iw w , i = 1,..., N. Zaprezentowana technika obliczania prostopadłościanów AAB ograniczają-cych podzbiory atraktora ma szereg zastosowań. Między innymi umożliwia wy-dajne obliczenie punktów rozpinających (punkt 5.7), wydajne aproksymowanie przecięcia półprostej z atraktorem (punkt 7.2), a także efektywne rozwiązanie problemu będącego tematem niniejszego podpunktu. W celu zapobieżenia dokonywaniu przekształceń występujących we wzo-rze (6.9a) w każdym wywołaniu rekurencyjnym algorytmu adaptacyjnych od-cięć, w przypadku omawianego zagadnienia, zamiast bezpośrednio wyznaczać poszukiwany prostopadłościan AAB ograniczający oryginalny atraktor A , wy-godniej jest zastosować ten algorytm do wyznaczenia prostopadłościanu AAB zawierającego zbiór ( )A . Na podstawie (6.9a) prostopadłościany AAB zawie-rające podzbiory zbioru ( )A są obrazami odpowiednich prostopadłościanów zawierających podzbiory atraktora A . Stąd, stosownie do (6.9b), wyznacza-jąc przy użyciu omawianej metody pokrycie zbioru ( )A prostopadłościanami

( , )f fAAB c r , dla których

( )( )

0

, 1,...,2

if ir i n

r

(6.10)

otrzymamy obraz -pokrycia ( , )Cover A przy odwzorowaniu . Za-tem najmniejszy prostopadłościan ( , )AAB c r zawierający rozważane pokry-cie zbioru ( )A jest obrazem przy odwzorowaniu poszukiwanego, naj-mniejszego prostopadłościanu AAB zawierającego -pokrycie ( , )Cover A .



Wobec tego, poszukiwanym prostopadłościanem AAB jest prostopadłościan 1 1

min min( , ) ( ( ), )AAB AAB c r c L r . Ponieważ średnice (względem metryki maksimum) prostopadłościanów -pokrycia ( , )Cover A nie przekraczają war-tości , zatem średnica prostopadłościanu min min( , )AAB c r jest co najwyżej więk-sza o wartość 2 od średnicy najmniejszego prostopadłościanu AAB zawierają-cego atraktor A . Jako podsumowanie przeprowadzonych rozważań, przedstawiona zostanie procedura wyznaczania wektorów współrzędnych ekstremalnych , nMin Max R obrazu pokrycia -pokrycie ( , )Cover A przy odwzorowaniu :

procedure ExtremalCoordsACA( f, PrevBoxMin, PrevBoxMax ) begin 1. for each {1, , }i N do begin 2. Wyznacz bieżące złożenie odwzorowań ig f w , gdzie ( ) g gg x L x t ; 3. Oblicz wektor gr zgodnie ze wzorem (6.8) na podstawie macierzy

gL ; 4. g g CurBoxMin t r ; 5. g g CurBoxMax t r ; 6. // max( , )CurBoxMin PrevBoxMin CurBoxMin ; 7. // min( , )CurBoxMax PrevBoxMax CurBoxMax ; 8. // 1 ( )

2g r CurBoxMax CurBoxMin ; 9. if (1) ( ) T

0 0[ / 2 ,..., / 2 ]ng r r r then begin

10. min( , )Min Min CurBoxMin ;11. max( , )Max Max CurBoxMax ; end if;12. else if CurBoxMin Min or CurBoxMax Max then13. ExtremalCoordsACA( g, CurBoxMin, CurBoxMax ); end for; end.

Zmienne CurBoxMin i CurBoxMax oraz PrevBoxMin i PrevBoxMax oznaczają wektory współrzędnych ekstremalnych, odpowiednio: bieżącego prostopadłościa-nu AAB otaczającego zbiór ( ( ))g A i prostopadłościanu AAB z poprzedniego po-ziomu rekursji, czyli otaczającego zbiór ( ( )) ( ( ))f A g A . Wartością funkcji min (odpowiednio: max) użytej do wektorów jest wektor powstały poprzez zastoso-wanie skalarnej operacji min (odpowiednio: skalarnej operacji max) do poszczegól-nych par współrzędnych podanych argumentów. Podobnie, wektorowa wersja rela-cji ≤ jest spełniona, gdy wszystkie współrzędne pierwszego wektora są nie większe od odpowiednich współrzędnych wektora drugiego. Z kolei, wektor a jest w relacji z wektorem b (odpowiednio w relacji ) wtedy i tylko wtedy, gdy w wektorze a przynajmniej jedna współrzędna ( )ia jest mniejsza (odpowiednio: większa) od od-



powiadającej jej współrzędnej ( )ib wektora b. W wektorach Min i Max zapamięty-wane są wartości najmniejszych i, odpowiednio, największych współrzędnych ob-razu -pokrycia ( , )Cover A przy odwzorowaniu . Sekcja procedury opatrzona znakiem // (linie 6–8) dokonuje obcięcia bieżą-cego prostopadłościanu względem prostopadłościanu z poprzedniego poziomu rekursji (wyznaczana jest część wspólna obydwu prostopadłościanów). Choć nie jest ona niezbędna do poprawnego działania procedury, to jednak może efek-tywnie wpłynąć na poprawienie zbieżności algorytmu. Należy bowiem zauwa-żyć, że ( ( )) ( ( ))f A g A . Zatem jeśli ( ( ))PrevBox f A jest prostopa-dłościanem AAB z poprzedniego poziomu rekursji, zaś ( ( ))CurBox g A bie-żącym prostopadłościanem AAB, to również PrevBox CurBox jest prostopa-dłościanem AAB ograniczającym zbiór ( ( ))g A , przy czym w ogólnym przy-padku PrevBox CurBox CurBox . Stąd 1( )PrevBox CurBox jest prosto-padłościanem AAB ograniczającym podzbiór

1

1( ( ( ))) ... ( )ki ig A w w A

, 1

1...ki ig w w , oryginalnego atraktora A .

Poszukiwany prostopadłościan min min( , )AAB Ac r , który aproksymu-je najmniejszy prostopadłościan AAB zawierający A , otrzymamy wykonu-jąc powyższą procedurę dla argumentów f id , T[ 1,..., 1] PrevBoxMin ,

T[1,...,1]PrevBoxMax i następnie obliczając wektory minc i minr na podstawie wektorów 1( ) Min i 1( ) Max jako:

1 1

min ( ( ) ( )) / 2 r Max Min ,

1

min min( ) c Min r . Podobnie jak w przypadku metod pośrednich, najmniejsze prostopadłościany skierowane zawierające atraktory IFS można oszacować, poprzedzając etap obli-czeń najmniejszego prostopadłościanu AAB odpowiednim obrotem układu IFS. Obrót ten wyznaczany jest na podstawie macierzy kowariancji punktów atrakto-ra, zgodnie z zasadami podanymi w punkcie 5.6. Wynikowy najmniejszy prosto-padłościan AAB sprowadzamy następnie do poszukiwanego prostopadłościanu skierowanego ograniczającego oryginalny atraktor, stosując do prostopadłościa-nu AAB obrót odwrotny. Przykładowe wyniki zastosowania opisanej metody dla atraktorów afi nicz-nych IFS na przestrzeń 2R zaprezentowano na rys. 6.1 (prostokąty w kolorze ciemnozielonym).

6.3. WIELOKĄTY I WIELOŚCIANY

6.3.1. Programowanie liniowe

W artykule (Lawlor i Hart [71]) zaproponowano interesujące podejście pośred-nie do wyznaczania wielokątów wypukłych zawierających atraktory afi nicznych IFS. Podejście to opiera się na programowaniu liniowym (Sysło i inni [145]).



Reprezentacja wielokąta wypukłego przyjęta w cytowanej pracy jest klasycz-ną reprezentacją przy użyciu półpłaszczyzn. Dany wielokąt 2P R defi niowany jest zatem jako część wspólna

s

s S

P H

(6.11a)

odpowiednich (domkniętych) półpłaszczyzn

2{ : }s s sH d x R n x (6.11b)

gdzie 2s n R jest wektorem normalnym skierowanym „na zewnątrz” półpłasz-

czyzny, sd R zaś – najmniejszą odległością (ze znakiem1) punktu 0 od brzegu półpłaszczyzny. Zawieranie się atraktora A układu IFS 1{ ,..., }Nw w w wielokącie P autorzy opierają na warunku ( )P W P (czyli warunku wystarczającym do zawierania się A w danej fi gurze), gdzie W oznacza operator Hutchinsona. Ponieważ od-wzorowania wi są afi niczne, zatem dla danego wielokąta o wierzchołkach | |

1{ }Sm mv

powyższe założenie jest równoważne wymaganiu, aby ( )i mw Pv dla wszyst-kich i = 1,...,N i 1,...,| |m S . Wobec defi nicji wielokąta (6.11) otrzymuje się za-tem P A , jeśli tylko

( )s i m sw d n v (6.12)

dla wszystkich s S , {1,..., }i N i 1,...,| |m S . Innymi słowy, wielokąt będzie zawierał atraktor, jeśli obrazy każdego jego wierzchołka przy odwzorowaniach IFS będą należały do wszystkich półpłaszczyzn sH defi niujących ten wielokąt. Z kolei, każdy wierzchołek mv jest przecięciem brzegów pewnych półpłasz-czyzn qH i pH , ,q p S . Zatem, na podstawie (6.11b), istnieje odwzorowanie

:{1,...,| |}S I , I S S , ( ) ( , )m p q takie, że

1( ) ( )m m m

v N d , (6.13)

gdzie T( ) [ , ]m p qN n n i T

( ) [ , ]m p qd d d . Stąd, dla ustalonych normalnych sn , s S , otrzymuje się – na podstawie (6.12) – zestaw warunków ograniczających programowania liniowego względem przemieszczeń sd , o postaci:

1, ,( )s i p q p q i sd n L N d t , , ( , ) , {1,..., }s S p q I i N , (6.14a)

gdzie iL i it oznaczają odpowiednio macierz części liniowej i wektor translacji odwzorowania iw . Aby zapewnić liniowość zagadnienia, zamiast minimalizacji pola poszukiwa-nego wielokąta (co prowadziłoby do problemu optymalizacji nieliniowej), prze-prowadza się minimalizację sumy przemieszczeń sd , s S , hiperpłaszczyzn de-fi niujących wielokąt 1 | |( ,..., )SP d d , czyli funkcji celu o postaci:

1 | |( ,..., )S s

s Sf d d d

. (6.14b)

1 To jest, 0sd wtedy i tylko wtedy, gdy sH0 .



Normalne sn , s S , ustalane są jako wektory normalne krawędzi wieloką-ta foremnego, czyli jako wektory o równomiernym rozkładzie kierunków w prze-strzeni. Niestety, jak trafnie zauważyli Lawlor i Hart [71], dla dowolnie ustalonej licz-by | |S wierzchołków poszukiwanego wielokąta zawierającego atraktor, problem (6.14) może nie mieć żadnego rozwiązania. Innymi słowy, dla danego afi niczne-go IFS 1{ ,..., }Nw w może nie istnieć wielokąt 1 | |( ,..., )SP d d o zadanej z góry liczbie wierzchołków spełniający warunek 1 | | 1 | |( ( ,..., )) ( ,..., )S SW P d d P d d , to jest – leżą-cy u podstaw omawianej metody – warunek wystarczający zawierania się atrakto-ra IFS w tym wielokącie. W związku ze wskazanym problemem autorzy metody pokazują, że warunkiem wystarczającym dla istnienia rozwiązania rozważanego problemu programowania liniowego (przy równomiernym rozkładzie kierunków wektorów normalnych) jest to, aby liczba wierzchołków | |S poszukiwanego wie-lokąta spełniała nierówność

1

1,...,

| |cos ( max Lip( ))ii N

Sw

(6.15)

gdzie Lip( )iw jest współczynnikiem zwężania względem metryki euklidesowej. Jak łatwo zauważyć, w ogólnym przypadku liczba wymaganych wierzchołków może być dowolnie duża i dąży ona do nieskończoności przy

1,...,max Lip( ) 1ii N

w

.

Omawiana metoda może być także stosunkowo łatwo uogólniona do oblicza-nia wielościanów ograniczających atraktory afi nicznych IFS na 3R , poprzez od-powiednie przeformułowanie warunków ograniczających dla programowania li-niowego. Równomierne kierunki wektorów normalnych sn , s S , półprzestrze-ni defi niujących poszukiwany wielościan, mogą zostać ustalone na podstawie wektorów normalnych ścian brył platońskich. Jednakże w celu zagwarantowa-nia istnienia rozwiązania problemu programowania liniowego poprzez zapew-nienie odpowiedniej liczby ścian wielościanu, autorzy sugerują zastosowaniepodejścia sekwencyjnego obcinania wierzchołków danej bryły wejściowej o geo-metrii czworościanu lub sześcianu. Wielokąt (wielościan) 1 | |( ,..., )SP d d otrzymany w wyniku optymalizacji linio-wej może być następnie poddany dalszemu przetwarzaniu przy użyciu metody bezpośredniej w celu zredukowania jego pola (objętości). Aby to osiągnąć, Lawlor i Hart [71] zaproponowali podejście polegające na przesuwaniu krawędzi (ścian) tej fi gury ku jej wnętrzu. Odpowiednie wartości przesunięć ustalane są na podsta-wie minimalnych odległości krawędzi (ścian) fi gury 1 | |( ,..., )SP d d od obrazów jej wierzchołków przy złożeniach odwzorowań IFS o stałej, zadanej z góry długo-ści. Przedstawiony w cytowanej pracy algorytm opiera się na ideach algorytmu adaptacyjnych odcięć w wersji iteracyjnej (punkt 3.2.1) i wyznacza odpowied-nią odległość oddzielnie dla każdej krawędzi (ściany) tej fi gury. Jednakże w celu



Rys. 6.2. Rezultaty zastosowania metody redukcji pola wielokąta ograniczającego, otrzymanego przy wykorzystaniu programowania liniowego do wyznaczania ośmiokątów ograniczających przy-kładowe atraktory afi nicznych IFS na 2R . Aby zagwarantować istnienie rozwiązania problemu pro-gramowania liniowego wyrażonego formułą (6.14), oryginalne układy IFS zmodyfi kowano tak, aby wartość maksymalnego współczynnika zwężania odwzorowań układu spełniała nierówność (6.15) dla |S| = 8. W tym celu zastosowano adaptację algorytmu adaptacyjnych odcięć w wersji iteracyj-

nej (por. podpunkt 3.2.1)

uniknięcia kosztownego obliczeniowo przekształcania każdego z | |S wierzchoł-ków 1 | |( ,..., )SP d d w każdej iteracji algorytmu, zamiast wyznaczania wspomnia-nych przesunięć bezpośrednio na podstawie obrazów 1 | |... ( ( ,..., ))

j ki i Sw w P d d ,przesunięcia te obliczane są na podstawie zastosowania odwzorowań odwrot-nych do odpowiedniej prostej (płaszczyzny), na której leży krawędź (ściana) ak-tualnie analizowana. Ponadto, w celu przyspieszenia obliczeń (jednakże kosz-



tem zwiększenia złożoności pamięciowej) wykorzystano strukturę kopca, na któ-ry odkładane są obrazy prostych (płaszczyzn) generowane w kolejnych itera-cjach. Kopiec uporządkowany jest rosnąco względem odległości bieżącego obra-zu 1 | |... ( ( ,..., ))

j ki i Sw w P d d od analizowanej prostej (płaszczyzny). Przetwarza-nie obrazów prostych (płaszczyzn) w kolejnych iteracjach wedle tego porządku (poprzez pobieranie bieżącego obrazu prostej lub płaszczyzny zawsze ze szczytu kopca) prowadzi zwykle do znacznego zredukowania obliczeń, ponieważ pierwszy znaleziony obraz prostej (płaszczyzny) przy złożeniu odwzorowań o maksymalnej dozwolonej długości wyznacza poszukiwaną wartość przesunięcia. Przykładowe rezultaty działania opisanej metody przedstawiono na rys. 6.2.

6.3.2. Odcinanie wierzchołków

Główną wadą metody opisanej w poprzednim podpunkcie jest to, że stawia ona ograniczenie na minimalną liczbę wierzchołków generujących poszukiwany wie-lokąt (wielościan) zawierający atraktor danego układu IFS. W rezultacie, na pod-stawie nierówności (6.15), w ogólnym przypadku wynikowa fi gura ograniczająca może składać się z bardzo dużej liczby wierzchołków, dążącej do nieskończoności dla IFS zawierających odwzorowania o współczynnikach zwężania bliskich jedno-ści. Jednakże, jak zauważono we wstępie do niniejszego rozdziału, wysoki stopień „złożoności geometrycznej” fi gury ograniczającej wpływa na ogół niekorzystnie na wydajność algorytmów bazujących na tych zbiorach. W konsekwencji, wieloką-ty (wielościany) ograniczające wyznaczane za pośrednictwem tej metody są często zbyt złożone, aby uznać je za przydatne do typowych zastosowań zbiorów ograni-czających w grafi ce komputerowej1. Co więcej, wspomniana metoda wymaga podania a priori, jako jednej z da-nych wejściowych, wektorów normalnych krawędzi wielokąta (ścian wielościa-nu), które to wektory pozostają niezmienne przez cały czas działania algorytmu i są normalnymi do krawędzi wielokąta (ścian wielościanu) wynikowego ograni-czającego atraktor. Ponieważ wybór kierunków normalnych odbywa się arbitral-nie bez uwzględniania geometrii konkretnego atraktora, więc wierzchołki fi gury wynikowej mogą się znajdować w dużych odległościach od punktów atraktora. W konsekwencji, fi gura ta nie będzie otaczała atraktora na tyle „ściśle”, aby za-kwalifi kować ją jako fi gurę ograniczającą dobrej jakości w kontekście zastosowań tych zbiorów w grafi ce komputerowej. Podejście zaproponowane w pracach (Martyn [89], Prokop [122]) dla afi nicz-nych IFS na przestrzeni 2R i uogólnione do afi nicznych IFS na przestrzeni 3R w (Martyn [91], Prokop [123]) nie ma wyżej wymienionych wad. Umożliwia

1 Co prawda, możliwa jest modyfi kacja tej metody tak, aby generowała wielokąty (wielościany) o zadanej liczbie wierzchołków (ścian), jednak odbywa się kosztem znacznego zwiększenia liczby odwzorowań układu IFS.



ono wyznaczanie wielokątów (wielościanów) ograniczających o liczbie wierz-chołków nieprzekraczającej z góry zadanej wartości. Ponadto, wynikowe fi gu-ry ograniczające stanowią dobre przybliżenia najmniejszego zbioru wypukłe-go ograniczającego dany atraktor, czyli otoczki wypukłej atraktora. Stąd, meto-da ta umożliwia osiągnięcie pożądanego kompromisu między „złożonością geo-metryczną” fi gury ograniczającej a stopniem dokładności aproksymowania „po-wierzchni” atraktora przez tę fi gurę. U podstaw omawianego podejścia do wyznaczania wypukłych fi gur ograni-czających zbiory w 2R leży następująca prosta obserwacja: Niech 1{ ,..., }Kv v będzie listą wierzchołków wielokąta wypukłego 2P R ta-kiego, że P zawiera dany zwarty zbiór 2S R oraz każda krawędź 1i i ie v v ,

{1,..., }i K , 1 1K v v , posiada niepuste przecięcie z S:

P S i ie S .Bez utraty ogólności rozważań możemy założyć, że wierzchołki iv , i = 1,...,K, uporządkowane są przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaś każda z krawę-dzi 1i i ie v v zorientowana jest od wierzchołka iv (początek ei) do wierzchoł-ka 1iv (koniec ei). Ponadto, oznaczmy przez ( )i

Op i ( )iTp punkty przecięcia ie S

takie, że ( )iOp jest punktem znajdującym się najbliżej wierzchołka iv , zaś ( )i

Tp jest punktem najbliższym wierzchołka 1iv . Oczywiście ( )i

Op i ( )iTp należą do brzegu

conv( )S otoczki wypukłej zbioru S oraz jeśli ( ) ( )i iO Tp p , to (domknięty) odci-

nek ( ) ( )i iO Tp p jest częścią tego brzegu między tymi punktami. Co więcej, ( )

1i

T ip v wtedy i tylko wtedy, gdy ( 1)

1i

O i

p v , zatem w takim przypadku 1 conv( )i S v (i nie istnieją inne punkty conv( )S między ( )i

Tp i ( 1)iOp ). W przypadku przeciw-

nym zachodzi następujące twierdzenie:

Twierdzenie 6.1. Niech 1i i ie v v i 1 1 2i i ie v v będą następującymi po sobie krawędziami wielokąta P oraz niech ( )

1i

T ip v . Niech 1iL oznacza prostą zorien-towaną od punktu ( )i

Tp do punktu ( 1)iOp i przechodzącą przez te punkty. Ponadto,

oznaczmy przez 1iQ część brzegu conv( )S między ( )iTp i ( 1)i

Op . Wtedy:

(a) jeśli nie istnieją żadne punkty zbioru S na prawo od prostej 1iL , wówczas ( ) ( 1)

1i i

T O iQp p ;

(b) w przypadku przeciwnym, 1 1 1 10 ( , ) ( , )i i i id Q L d L v , gdzie odległości zbioru od zbioru i punktu od zbioru indukowane są przez metrykę euklidesową.

Dowód. Patrz rys. 6.3.

Wykorzystując powyższe informacje, można podzielić zbiór wierzchołków wielokąta P na dwa rozłączne podzbiory G i H. Do podzbioru H zaliczane są wierzchołki należące do conv( )S , podczas gdy do podzbioru G – wierzchoł-ki nienależące do conv( )S , stąd zbiór G jest dopełnieniem zbioru H. Ponieważ



wierzchołki należące do H tworzą częściowe rozwiązanie problemu wyznacza-nia otoczki wypukłej zbioru S, nie można ich zastąpić żadnymi innymi „lepszy-mi” wierzchołkami w celu dążenia do minimalizacji rozmiarów wielokąta otacza-jącego zbiór S. W odróżnieniu jednakże od wierzchołków ze zbioru H, wierzchoł-ki należące do zbioru G mogą być rozpatrywane jako kandydaci do usunięcia z li-sty wierzchołków wielokąta P i następnie zastąpienia ich – o ile zajdzie taka po-trzeba – punktami znajdującymi się bliżej brzegu conv( )S .

Rys. 6.3. Ilustracja twierdzenia 6.1

Dla danego kandydata 1i G v , wspomniana redukcja pola powierzchni wie-lokąta otaczającego zbiór S dokonywana jest przy użyciu prostej 1iL wymienio-nej w twierdzeniu 6.1, zgodnie z następującymi dwiema regułami:1. Jeśli nie istnieją żadne punkty zbioru S po prawej stronie prostej 1iL , to na

podstawie punktu (a) twierdzenia 6.1, punkty ( )iTp i ( 1)i

Op są końcami do-

mkniętego odcinka należącego do conv( )S i można nimi zastąpić punkt 1iv na liście wierzchołków wielokąta otaczającego zbiór S. Innymi słowy, dokonu-je się w ten sposób „odcięcia” trójkąta ( ) ( 1)

1i i

T i O

p v p od wielokąta P. W wyniku operacji odcięcia, ze zbioru G usuwany jest wierzchołek 1iv , zaś do zbioru H dodawane są wierzchołki ( )i

Tp i ( 1)iOp .

2. W przypadku przeciwnym, dokonuje się translacji prostej 1iL w kierun-ku wierzchołka 1iv o wektor 1it prostopadły do tej prostej, taki że nie ist-nieją żadne punkty zbioru S po prawej stronie prostej 1 1i iL t oraz prosta

1 1i iL t posiada niepuste przecięcie ze zbiorem S. Stosownie do punktu (b) twierdzenia 6.1, wielkość przesunięcia jest mniejsza od wartości 1 1( , )i id L v .



Następnie wyznacza się punkty przecięcia 1iv i 1iv prostej 1 1i iL t od-powiednio z krawędzią ie i 1ie , po czym zastępuje tymi punktami wierz-chołek 1iv na liście wierzchołków wielokąta otaczającego zbiór S. Zatem, z geometrycznego punktu widzenia, tym sposobem od wielokąta P „odcinany” jest trójkąt 1 1 1i i i v v v . Ponieważ punkt 1i ie v leży bliżej wierzchołka 1iv niż punkt ( )i

Tp , zaś ( )iTp jest najbliższym punktem 1iv ze wszystkich punktów

przecięcia conv( ) iS e , zatem 1iv nie należy do conv( )S . Analogicznie, do conv( )S nie należy także punkt 1iv . Stąd, w omawianym przypadku ope-racja odcięcia pozostawia zbiór H niezmienionym i oddziałuje ona jedynie na zbiór G tak, że wierzchołek 1iv zastępowany jest w tym zbiorze przez punk-ty 1iv i 1iv .

Na podstawie powyższych rozważań można zaproponować następujący al-gorytm wyznaczania wielokąta ograniczającego o liczbie wierzchołków nieprze-kraczającej zadanej wartości. Dla danego zwartego zbioru S w przestrzeni 2R ,w pierwszej fazie algorytmu, znajdujemy dowolny prostokąt 0P S , którego krawędzie mają niepuste przecięcie ze zbiorem S. Następnie, rozpoczynając od zdefi niowanych wyżej zbiorów H i G skonstruowanych na podstawie wierzchoł-ków prostokąta 0P , wyznaczamy sekwencję wielokątów 0 1 ... MP P P po-przez iteracyjne stosowanie operacji odcinania do wierzchołków znajdujących się w zbiorze G (rys. 6.4). Dążąc do minimalizacji rozmiarów poszukiwanego wielo-kąta ograniczającego w jak najmniejszej liczbie iteracji, w każdym kolejnym kro-ku algorytmu, z bieżącej zawartości zbioru G, do odcięcia wybiera się wierzcho-łek kv , dla którego

1,...,| |( , ) max ( , ), || || 0k k k i i i ii G

d L d L

v t v t t . (6.16)

W tym celu, do reprezentacji zbioru G warto wykorzystać kopiec uporządkowany względem wartości ( , )i i id L v t , 1,...,| |i G , z aktualnym wierzchołkiem kv (6.16) na szczycie (tj. w korzeniu) kopca. Innym możliwym kryterium wyboru wierzchołka do odcięcia ze zbioru G jest wybór wierzchołka trójkąta o najwięk-szym polu spośród wszystkich bieżących trójkątów-kandydatów do odcięcia.

Twierdzenie 6.2. Niech S będzie zwartym (być może nieskończonym) podzbio-rem przestrzeni 2R . Jeśli conv( )S jest wielokątem o q wierzchołkach, to do obli-czenia conv( )S potrzeba co najwyżej O(q) operacji odcięcia wierzchołka.

Dowód. Niech i Gv , gdzie G jest zbiorem wierzchołków do odcięcia pro-stokąta 0P S . Ponieważ conv( )S jest wielokątem o q wierzchołkach, istnie-je co najwyżej 2m q wierzchołków otoczki conv(S) między wierzchołka-mi ( 1) ( ), conv( )i i

T O S p p . Podczas działania algorytmu, dla każdego wierzchoł-ka conv( )k Sv , konstruowana jest co najwyżej jedna prosta odcinająca k kL t



o niezerowym przesunięciu ( || || 0k t ) zawierająca kv . Stąd, algorytm w trakcie swego działania wygeneruje co najwyżej m prostych o niezerowym przesunię-ciu w celu znalezienia wierzchołków conv(S) znajdujących się między punktami

( 1)iTp i ( )i

Op (reguła 2). Dodatkowo, wygeneruje on co najwyżej 1m nieprzesu-niętych prostych w celu stwierdzenia, że nie istnieją żadne inne wierzchołki mię-dzy ( 1)i

Tp i ( )i

Op (reguła 1). Ponieważ | | 4G , więc kończy to dowód.

Rys. 6.4. Idea algorytmu iteracyjnego odcinania wierzchołków

Na podstawie twierdzenia 6.2 ciąg wielokątów otaczających kP S generowa-nych poprzez sekwencyjne stosowanie operacji odcięcia zmierza do otoczki wy-pukłej zbioru S, jeśli tylko jest ona wielokątem. Z kolei, otoczka wypukła dane-go zbioru jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym ten zbiór. Zatem z punktu widzenia przedstawionych w punkcie 6.1 założeń dotyczących pożąda-nego kompromisu między „złożonością geometryczną” fi gury ograniczającej a do-kładnością aproksymowania „powierzchni” danego zbioru przez tę fi gurę, opisaną metodę należy uznać za zadowalającą. Jak pokazano w pracach (Strichartz i Wang [144], Kenyon i inni [65]), w przy-padku atraktorów IFS założenie o skończonej liczbie wierzchołków otoczki wy-pukłej zbioru jest jednak na ogół niespełnione. Niemniej, w praktycznych zasto-



sowaniach atraktorów IFS w grafi ce komputerowej mamy zwykle do czynienia z aproksymacjami A tych zbiorów składającymi się ze skończonej liczby punk-tów (rozdz. 3 i 4). Co za tym idzie, otoczki wypukłe conv( )A tych aproksy-macji są w ogólności wielotopami1 oraz (conv( ),conv( )) 0h A A , ponieważ

( , ) 0h A A przy 0 . Zatem z punktu widzenia realnych zastosowań fakt, że otoczka wypukła atraktora w przestrzeni 2R na ogół nie jest wielokątem, nie ma zwykle znaczenia, bowiem może być ona aproksymowana z dowolną dokład-nością przy użyciu wielokątów. Stąd przedstawiona metoda zachowuje swoje za-lety także w przypadku ogólnym.

Rys. 6.5. Rezultaty zastosowania algorytmu odcinania wierzchołków do wyznaczania wielokątów o maksymalnej liczbie krawędzi nieprzekraczającej liczby 8, ograniczających przykładowe atrakto-

ry afi nicznych IFS na przestrzeni 2R

1 To jest, wielokątami w przypadku przestrzeni 2R i wielościanami w przypadku przestrzeni 3R .



Poszukiwane przesunięcie prostej odcinającej można obliczyć w czasie O(n), gdzie n jest liczbą punktów aproksymacji A atraktora, na przykład na podsta-wie punktów ekstremalnych tej aproksymacji. Punkty ekstremalne wyznaczane są przy użyciu niewielkiej modyfi kacji algorytmu adaptacyjnych odcięć z zasto-sowaną metryką euklidesową, w podobny sposób, jak w algorytmie Extremal-CoordsACA przedstawionym w podpunkcie 6.2.2. Stosując takie podejście, przed wywołaniem procedury wyznaczania punktów ekstremalnych należy przekształ-cić układ odwzorowań IFS (twierdzenie 2.22) za pomocą obrotu sprowadzające-go atraktor IFS do układu współrzędnych, w którym kierunek jednej z jego osi jest zgodny z kierunkiem wektora prostopadłego do rozważanej prostej. Po wyzna-czeniu poszukiwanego wielokąta, w celu zagwarantowania zawierania się w nim atraktora A , należy dokonać dodatkowego, korekcyjnego przesunięcia krawędzi wielokąta „na zewnątrz” o wartość zależną od dokładności aproksymacji, z jaką dokonywane były obliczenia (por. podpunkt 6.3.3). Przykładowe rezultaty zastosowania algorytmu odcinania wierzchołków do wyznaczania wielokątów ograniczających atraktory afi nicznych IFS na przestrze-ni 2R zaprezentowano na rys. 6.5.

Rys. 6.6. Przykład zastosowania algorytmu odcinania wierzchołków do wyznaczania wielościanów wypukłych o 25 ścianach, ograniczających atraktory afi nicznych IFS na przestrzeni 3R



Opisane podejście stosunkowo łatwo rozszerzyć do wyznaczania wielościa-nów ograniczających atraktory afi nicznych IFS na przestrzeni 3R (Martyn [91], Prokop [123]). Naturalnym uogólnieniem linii odcinających są w tym przypadku płaszczyzny odcinające. Aby zapewnić optymalny czas usuwania wierzchołków ze struktury danych opisującej fi gurę ograniczającą, w cytowanych pracach do repre-zentowania wielościanów wykorzystano strukturę DCEL (ang. Double-Connec-ted-Edge-List) (Preparata i Shamos [120, s. 15–17]). Wyniki zastosowania opisa-nego algorytmu do przykładowych atraktorów 3D zaprezentowano na rys. 6.6.

6.3.3. Owijanie atraktora

Jak pokazano w poprzednim podpunkcie, zaprezentowany tam algorytm, obok wyznaczania wypukłych wielokątów (i wielościanów) ograniczających, umoż-liwia także aproksymowanie otoczek wypukłych atraktorów afi nicznych IFS na przestrzeni 2R w czasie O(qn) i z pamięcią O(q log n), gdzie q jest liczbą wierz-chołków otoczki, n zaś liczbą punktów aproksymacji atraktora. Choć otoczki wy-pukłe, ze względu na ich (w ogólnym przypadku) stosunkowo dużą „złożoność geometryczną”, nie są zwykle fi gurami użytecznymi z punktu widzenia bezpo-średnich zastosowań fi gur ograniczających w grafi ce komputerowej, to jednak umiejętność ich wyznaczania otwiera drogę do rozwiązywania wielu innych pro-blemów z dziedziny geometrii obliczeniowej (Preparata i Shamos [120], de Berg i inni [23], O’Rourke [110]). Do istotnych zagadnień niniejszej pracy, które moż-na rozwiązać za pomocą otoczki wypukłej, należy zaliczyć problem wyznaczania najmniejszego skierowanego prostokąta ograniczającego dany zbiór w przestrze-ni 2R oraz obliczanie średnicy takiego zbioru. Algorytm przedstawiony w pracy (Martyn [92]) przeznaczony jest do aprok-symacji otoczek wypukłych atraktorów afi nicznych IFS na przestrzeni 2R . Po-dobnie jak algorytm z poprzedniego podpunktu, charakteryzuje się pesymistycz-ną złożonością obliczeniową rzędu O(qn) (przy wymaganiach pamięciowych rzędu O(log n)). W praktycznych zastosowaniach jest on jednak zwykle wydaj-niejszy obliczeniowo od tego pierwszego, bowiem, jak pokazują wyniki ekspe-rymentalne zamieszczone w cytowanej pracy, dla „typowych” atraktorów IFS al-gorytm wyznacza otoczkę w czasie ( )O q n . Omawiany algorytm adaptuje znaną w geometrii obliczeniowej technikę „owijania zbioru” (ang. the gift-wrapping approach) w wersji zaproponowanej w (Akl [2]). Niech dany będzie afi niczny IFS 1{ ,..., }Nw w z atraktorem A na 2R . Niech

0 określa najkrótszą dopuszczalną długość krawędzi poszukiwanego wieloką-ta wypukłego ( )P aproksymującego otoczkę conv( )A . Obliczenia rozpoczy-nają się od wyznaczenia – z dokładnością względem metryki euklidesowej – dwóch punktów ekstremalnych atraktora na podstawie punktów aproksymacji A .



Punkt Lp , określany jako punkt najniższy, jest punktem ze zbioru A mającym najmniejszą współrzędną y. W przypadku, gdy istnieje więcej niż jeden taki punkt, wówczas spośród tych punktów wybierany jest punkt o największej współrzęd-nej x. Analogicznie, punkt Hp , określany jako najwyższy, jest punktem o minimal-nej współrzędnej x spośród podzbioru punktów aproksymacji A , których współ-rzędna y jest maksymalna. Łatwo zauważyć, że Lp i Hp są wierzchołkami otoczki conv( )A . Następnie, rozpoczynając od punktu Lp , algorytm iteracyjnie konstru-uje sekwencje wierzchołków wielokąta ( )P , które znajdują się między punktami

Lp i Hp (tzw. prawy łańcuch) oraz Hp i Lp (tzw. lewy łańcuch). Wierzchołki prawego łańcucha obliczane są przeciwnie do ruchu wskazówek zegara w następujący sposób: Niech ( , ) a b oznacza kąt między wektorem ba

i prostą przechodzącą przez punkt b i równoległą do osi X kartezjańskiego ukła-du współrzędnych, mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Jeśli p jest nowo obliczonym wierzchołkiem wielokąta, to kolejny wierzchołek q wyznacza-ny jest jako ten punkt zbioru A , dla którego wartość ( , ) q p jest najmniejsza oraz ( , )Ed q p . W przypadku, gdy istnieje kilka takich punktów, wybierany jest spośród nich punkt najbardziej odległy od punktu p. Następnie p q i itera-cja kontynuowana jest dopóty, dopóki ( , )E Hd p p . Lewy łańcuch obliczany jest w sposób analogiczny od punktu Hp do punktu

Lp w układzie współrzędnych kartezjańskich o przeciwnie skierowanych osiach (to jest w układzie współrzędnych obróconym o 180 względem układu oryginal-nego). Dla dowolnych punktów 1 2, Aq q , porównanie wartości 1( , ) q p i 2( , ) q p może być dokonane wydajnie bez potrzeby jawnego obliczania tych kątów przy wykorzystaniu podwojonej wartości pola trójkąta 2 1( , , ) p q q ze znakiem1, to jest na podstawie wartości

2 1 2 1 2 12 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )x y y x p q q q p q p q p q p , (6.17a)

gdzie (.)x i (.)y oznaczają odpowiednio współrzędną x i współrzędną y danego wektora. Spełnione są następujące zależności (Preparata i Shamos [120, s. 106]):

2 1 2 1( , ) ( , ) 2 ( , , ) 0 q p q p p q q (6.17b)oraz

2 1 2 1( , ) ( , ) 2 ( , , ) 0 q p q p p q q . (6.17c)

Najniższy i najwyższy punkt atraktora obliczane są równolegle z dokładno-ścią na podstawie pokrycia atraktora kołami o promieniach nie większych niż i środkach w zbiorze A , przy użyciu modyfi kacji algorytmu adaptacyjnych odcięć o następującej postaci:

1 Innymi słowy, jest to pole (ze znakiem) równoległościanu o krawędziach 1 1e pq

i 2 2e pq

i stąd obliczane jako 2 1det[ , ]e e .



procedure LoHiPoints( f ) begin 1. for each {1, , }i N do begin 2. ig f w ; 3. ( )g gc c ; 4. Lip( )gr r g ; 5. if gr then begin 6. if ( ) ( )g Ly yc p or ( ( ) ( )g Ly yc p and ( ) ( )g Lx xc p ) then 7. L gp c ; 8. if ( ) ( )g Hy yc p or ( ( ) ( )g Hy yc p and ( ) ( )g Hy yc p ) then 9. H gp c ; end if;10. else if ( ) ( )g g Ly r y c p or ( ) ( )g g Hy r y c p then11. LoHiPoints( g ); end for; end.

gdzie c i r reprezentują odpowiednio środek i promień (domkniętego) koła za-wierającego atraktor IFS. (Koło takie można wyznaczyć za pomocą jednego z al-gorytmów pośrednich opisanych w poprzednim rozdziale.) Poszukiwane punk-ty umieszczane są w zmiennych globalnych Lp i Hp i są one obliczane poprzez wywołanie powyższej procedury dla f = id i początkowej wartości zmiennych Lpi Hp równych odpowiednio [ , ] i [ , ] . Wierzchołki prawego łańcucha wielokąta ( )P obliczane są również przy wy-korzystaniu zasad algorytmu adaptacyjnych odcięć. W tym celu stosowany jest następujący algorytm, który wyznacza kolejny wierzchołek q sekwencji na pod-stawie ostatnio wyznaczonego wierzchołka p:

procedure WrapNextRVert( f ) begin 1. for each {1, , }i N do begin2. ig f w ;3. ( )g g t c p ;4. Lip( )gr r g ;5. if gr then 6. if || ||g E t then begin7. ( ) ( ) ( ) ( )g new g newArea x y y x t t t t ;8. if 0Area or ( 0Area and || || || ||g E new Et t ) then9. new gt t ; end if;



10. else if || ||g E grt then11. WrapNextRVert( g );12. else begin13. ( ) ( ) ( ) ( )new g new gArea x y y x t t t t ;14. if 2 2|| ||g E g g g newArea r r t t t then 15. WrapNextRVert( g ); end else; end for; end.

gdzie, jak poprzednio, c i r reprezentują odpowiednio środek i promień koła za-wierającego atraktor IFS. Nowy wierzchołek obliczany jest w formie wektora przesunięcia newt względem współrzędnych wierzchołka poprzedniego p, a za-tem new q p t . Podobnie jak w algorytmie wyznaczania najniższego i najwyższego punktu atraktora, procedura WrapNextRVert rozpoczyna się od obliczenia, dla każdego odwzorowania wi, środka i promienia koła ( ( ), )gB g rc zawierającego podzbiór

( )g A , ig f w , atraktora (linie 1–4). Analogicznie jak w przypadku nowe-go wierzchołka q, współrzędne środka określane są w formie translacji względem wierzchołka p i zapamiętywane w zmiennej globalnej gt (linia 3). Jeśli długość promienia gr nie przekracza dozwolonego błędu aproksymacji (linia 5), to punkt g(c) aproksymuje podzbiór ( )g A atraktora z zadaną do-kładnością względem metryki Hausdorffa. Stąd punkt g(c) jest kandydatem na na-stępny wierzchołek prawego łańcucha, o czym decyduje wynik porównania ką-tów ( ( ), )g c p i ( , )new p t p opartego na zależnościach (6.17) (linie 7 i 8), po uprzednim sprawdzeniu warunku ( ( ), )Ed g c p (linia 6). Jeśli punkt g(c) speł-nia wskazane warunki, to jest uznawany za punkt o mniejszym kącie ( ( ), )g c p aniżeli dotychczas znaleziony najmniejszy kąt ( , )new p t p i wektor translacji

gt zastępuje bieżące przesunięcie newt (linia 9). Jeśli promień gr przekracza wartość , to koło ( ( ), )gB g rc testowane jest pod względem zawierania potencjalnych punktów o kątach nie większych aniżeli do-tychczas znaleziony najmniejszy kąt . Test (linie 10–14) opiera się na następują-cym twierdzeniu:

Twierdzenie 6.3. Dla danych punktów 21, p q R , 1( , ) 0 q p , i koła ( , )B rc ,

istnieje należący do tego koła punkt 2q taki, że 2 1( , ) ( , ) q p q p wtedy i tyl-ko wtedy, gdy:(a) 2 2|| ||E r c p lub(b) 2 2|| ||E r c p i 2 2

1 12 ( , , ) || || ( ) ( )E r r p q c c p q p c p .



Dowód. Dla wykazania prawdziwości twierdzenia kluczowa jest interpretacja geometryczna nierówności zawartej w części (b). Niech ( , )B rp c Wtedy

inf{ ( , ) : ( , )} 0B r b p b coraz

! ( , ), ( , ) inf{ ( , ) : ( , )}B r B r z c z p b p b c

przy czym punkt z wyznaczony jest przez styczną do brzegu koła ( , )B rc prze-chodzącą przez p (rys. 6.7). Wobec tego, współrzędne punktu z mogą być wyra-żone przy użyciu współrzędnych punktów c i p jako

( ) ( ( )cos ( )sin ) ( ),( ) ( ( )sin ( )cos ) ( ),

x s x y xy s x y y

z c c pz c c p

dla pewnego 0s , gdzie

sin

|| ||E

r c p

i 2 2|| ||

cos|| ||

E

E

r

c p

c p.

Rys. 6.7. Ilustracja twierdzenia 6.3

Na podstawie powyższego i zależności (6.17), dla dowolnego 2q R ,( , ) 0 q p ,

inf{ ( , ) : ( , )} ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )B r x y y z b p b c q p z p q p z p q p .

Równoważność ta, po podstawieniu współrzędnych punktu z w drugiej nierów-ności i dokonaniu elementarnych przekształceń algebraicznych, przybiera postać znaną z części (b) twierdzenia:

2 2inf{ ( , ) : ( , )} ( , ) 2 ( , , ) || || ( ) ( ).EB r r r b p b c q p p q c c p q p c p

(6.18)



Zajmiemy się teraz właściwym dowodem. Niech spełnione będzie założenie zawarte w części (a) lub części (b) twierdzenia. Założenie 2 2|| ||E r c p (które jest równoważne, że ( , )B rp c ) pociąga za sobą istnienie punktu 2q , o którym mowa w twierdzeniu, w sposób oczywisty. Z kolei założenie prawdziwości zało-żenia zawartego w części (b) gwarantuje istnienie punktu 2q na podstawie rów-noważności (6.18). Załóżmy teraz odwrotnie, że rozważany punkt 2q istnieje. Wtedy oczywiście

( , )B rp c lub ( , )B rp c . W tym drugim przypadku

2inf{ ( , ) : ( , )} ( , )B r b p b c q p

ponieważ 2 ( , )B rq c . Dodatkowo 2 1( , ) ( , ) q p q p , zatem

1inf{ ( , ) : ( , )} ( , )B r b p b c q p ,

co na podstawie równoważności (6.18) jest tożsame z nierównością zawartą w części (b) twierdzenia.

W przypadku zachodzenia jednego z warunków, o których mowa w powyż-szym twierdzeniu, wspomniane punkty należą do koła ( ( , )gB g rc) , a zatem za-warty w tym kole podzbiór ( )g A atraktora również może takie punkty posiadać. W takich okolicznościach, w celu wykrycia tych potencjalnych punktów w pod-zbiorze ( )g A , procedura WrapNextRVert wywoływana jest rekurencyjnie dla złożenia g odwzorowań IFS (linie 11 i 15).

Rys. 6.8. Koncepcja działania algorytmu owijania atraktora



Kolejne wierzchołki kp (k = 1,2,...) prawego łańcucha wielokąta ( )P wy-znaczane są sekwencyjnie poprzez iteracyjne wywoływanie procedury Wrap-NextRVert dla argumentu f = id oraz wartości zmiennej globalnej 1kp p ,

0 Lp p , i początkowej wartości zmiennej globalnej new t 0 . Iteracja konty-nuowana jest dopóty, dopóki długość zwróconego wektora newt jest równa zeru, a więc gdy spełniona jest zależność ( , )E k Hd p p . Koncepcję działania algoryt-mu zilustrowano na rys. 6.8. Sekwencja wierzchołków lewego łańcucha obliczana jest analogicznie, z tą różnicą, że kąty ( , ) q p wyznaczane są względem przeciwnie skierowanej osi X. W rezultacie implementacja odpowiedniej procedury jest niemalże identyczna z tą przedstawioną wyżej, z wyjątkiem linii 3, która dla wierzchołków lewego łań-cucha powinna przyjąć postać: ( )g g t p c . W twierdzeniu 6.5 pokazano, że wielokąt otrzymany za pomocą omawiane-go algorytmu aproksymuje otoczkę wypukłą atraktora z błędem nie większym niż zadana minimalna odległość między sąsiednimi wierzchołkami tego wielokąta. Do wykazania tego faktu potrzebny będzie następujący lemat:

Lemat 6.4. Niech 2, ( )A B RH . Wtedy ( , ) (conv( ), )d A B d A B .

Dowód. Załóżmy dla dowodu nie wprost, że ( , )d A B i (conv( ), )d A B .Druga z nierówności implikuje, że istnieje punkt conv( )Ac taki, że dla każde-go Bb , || || c b . Jeśli jednak conv( )Ac , to na podstawie lematu 2.20,

3

1i i

i

c a dla pewnych 1 2 3, , Aa a a i 3

11i

i

, 0i . Na tej podstawie, dla

każdego Bb ,

3 3 3

1,2,31 1 1|| || ( ) || || max || ||i i i i i i iii i i

c b a b a b a b a b ,

dla pewnych 1 2 3, , Aa a a . Wobec tego, istnieje Aa takie, że dla każde-go Bb , || || a b . Z założenia jednak ( , )d A B , a zatem dla każdego

Aa , istnieje Bb taki, że || || a b . Otrzymaliśmy sprzeczność. Stąd (conv( ), )d A B .

Twierdzenie 6.5. Wielokąt ( )P aproksymuje otoczkę conv( )A z błę-dem nie większym aniżeli wartość 2 względem metryki Hausdorffa, to jest

( ( ),conv( )) 2h P A .

Dowód. W celu wykazania prawdziwości twierdzenia musimy pokazać, że (conv( ), ( )) 2d A P i ( ( ),conv( )) 2d P A (por. defi nicja 2.12).

Wykażemy najpierw prawdziwość pierwszej nierówności. Łatwo pokazać, że dla dowolnych podzbiorów 2, , ( )A B C RH , ( , ) max( ( , ), ( , ))d A B C d A C d B C



oraz jeśli A B , to ( , ) 0d A B . Na tej podstawie

( , ( )) (( \ ( )) ( ( )), ( )) ( \ ( ), ( ))d A P d A P A P P d A P P . (6.19)

Niech \ ( )A Pa . Wtedy istnieje punkt Ab taki, że || ||E a b . Ponad-to, na podstawie konstrukcji wielokąta ( )P , ( , ( ))d P b . Wobec tego ist-nieje punkt ( )P q taki, że || ||E b q . Wykorzystując nierówność trój-kąta, otrzymujemy zatem, że dla każdego \ ( )A Pa istnieje ( )P q taki, że || || 2E a q . Stąd, ( \ ( ), ( )) 2d A P P i dalej, na podstawie (6.19),

( , ( )) 2d A P . Stąd (conv( ), ( )) 2d A P na podstawie lematu 6.4. Teraz wykażemy, że ( ( ),conv( )) 2d P A . Wykorzystując analogiczną ar-gumentację jak w dowodzie pierwszej nierówności, otrzymujemy

1 10 0({ } ,conv( )) ({ } \ conv( ),conv( ))h h

i i i id A d A A p p , (6.20)

gdzie 10{ }h

i ip jest zbiorem wierzchołków wielokąta ( )P . Niech

10{ } \ conv( )h

i i A p p . Wtedy równocześnie Ap na podstawie konstruk-

cji wielokąta ( )P . Wobec tego istnieje punkt Aa taki, że || ||E a p .Równocześnie jednak conv( )Aa . Na tej podstawie, dla każdego

10{ } \ conv( )h

i i A p p istnieje conv( )Aa taki, że || ||E p a . Stąd, na pod-

stawie (6.20), 10({ } ,conv( ))h

i id A p i dalej, wykorzystując lemat 6.4, otrzymu-

jemy 10(conv({ } ),conv( ))h

i id A p , ale 1

0conv({ } ) ( )hi i P

p , co kończy dowód twierdzenia.

Rys. 6.9. Korekcja krawędzi przybliżenia otoczki wypukłej w celu osiągnięcia całkowitego zawie-rania się atraktora w tym wielokącie



Na podstawie twierdzenia 6.5, dowolny punkt Aa znajduje się co najwyżej w odległości 2 od ( )P . Zatem w celu zagwarantowania całkowitego zawiera-nia się atraktora w wielokącie ograniczającym, pożądany wielokąt otrzymuje się poprzez translację krawędzi wielokąta ( )P „na zewnątrz” o wartość 2 , zgod-nie z zasadą zobrazowaną na rys. 6.9. W praktyce wyznaczanie wierzchołków kp nowego wielokąta sprowadza się do rozwiązania układów dwóch równań linio-wych postaci 2m k m k n p n p , m = 1,2, gdzie mn są wektorami normalny-mi krawędzi przyległych do wierzchołka kp wielokąta ( )P . Na rysunku 6.10 przedstawiono aproksymacje otoczek wypukłych przykładowych atraktorów IFS na przestrzeni 2R otrzymane przy wykorzystaniu algorytmu omówionego w ni-niejszym podpunkcie.

Rys. 6.10. Przybliżenia otoczek wypukłych przykładowych atraktorów IFS na przestrzeni 2R otrzymane przy wykorzystaniu algorytmu owijania atraktora



Jak wspomniano na wstępie niniejszego podpunktu, uzyskane przybliżenie otoczki wypukłej atraktora IFS może zostać wykorzystane do wyznaczenia aproksymacji najmniejszego, względem pola powierzchni, prostokąta skierowanego zawierającego atraktor. W tym celu należy wykorzystać, znany w geometrii obliczeniowej, algorytm „obracających się suwmiarek” (ang. rotating calipers) (Toussaint [147]). Algorytm ten opiera się na ważnym twierdzeniu Freemana-Shapiry (Freeman i Shapira [40]) stwierdzającym, że jedna z krawędzi takiego prostokąta jest współliniowa z jedną z krawędzi zawartego w nim wielokąta wypukłego,

Rys. 6.11. Przykłady zastosowania algorytmu owijania atraktora wraz z algorytmem suwmiarek do wyznaczania średnic przykładowych atraktorów afi nicznych IFS na 2R oraz, zawierających te

atraktory, najmniejszych (względem pola powierzchni) prostokątów skierowanych

i umożliwia obliczenie tego prostokąta w czasie O(q), gdzie q jest liczbą wierz-chołków wielokąta. Co więcej, algorytm ten może zostać łatwo przeformułowa-ny, tak aby w wyniku dawał – również w czasie O(q) – prostokąty ograniczające o najmniejszej średnicy (Pirzadeh [118]). Ponadto, zastosowanie metody suwmia-



rek do wielokta przybliżającego otoczkę wypukłą atraktora umożliwia aproksyma-cję w czasie O(q) średnicy atraktora (Martyn [92], Toussaint [147]), ponieważ śred-nica zbioru jest równa średnicy jego otoczki wypukłej (Preparata i Shamos [120]). Na rysunku 6.11 przedstawiono przykłady wykorzystania omówionej metody owijania atraktora wraz z algorytmem suwmiarek do aproksymowania najmniej-szych prostokątów ograniczających atraktory oraz średnic tych atraktorów.


W celu porównania wyników otrzymywanych przy użyciu algorytmów omówio-nych w poprzednich punktach, na rys. 6.12 przedstawiono wykres obrazujący stosu-nek pól zbiorów ograniczających, uzyskanych za pomocą tych algorytmów, do pola otoczki wypukłej wyznaczonej metodą owijania atraktora. Zaprezentowane wyniki dotyczą zbioru dziewięciu atraktorów afi nicznych IFS na przestrzeni 2R , które po-służyły jako przykłady na rysunkach przedstawionych w niniejszym rozdziale. Podobnie jak w przypadku zagadnienia kul ograniczających, główną zaletą metod pośrednich (i metod quasi-pośrednich) wyznaczania hipersześcianów i pro-stopadłościanów ograniczających jest przede wszystkim stosunkowo niewielka złożoność obliczeniowa. Dodatkowo, algorytmy te są ogólne w sensie typu od-wzorowań wchodzących w skład układu IFS, bowiem umożliwiają wyznaczanie rozważanych zbiorów ograniczających atraktory zarówno afi nicznych układów IFS, jak i IFS nieliniowych. Przy założeniu, że wymiar przestrzeni jest ustalony, metody wyznaczania hiper-sześcianów ograniczających na podstawie wzorów (6.3), (6.4) i (6.5) charakteryzu-ją się czasem obliczeń rzędu O(N), gdzie N jest liczbą odwzorowań wchodzących w skład układu IFS. Niestety, jak widać na rys. 6.12 (dane: Estm 1, Estm 2 i Estm 3), rozmiary zbiorów ograniczających wyznaczonych przy wykorzystaniu tych podejść na ogół znacznie przekraczają rozmiary zbiorów uzyskanych innymi metodami. Zwykle lepsze wyniki uzyskuje się wyznaczając – zamiast hipersześcianów AAB – prostopadłościany AAB za pomocą – zaproponowanej przez autora w ni-niejszej pracy, metody quasi-pośredniej, opartej na proporcjach rozmiarów atrak-tora wzdłuż poszczególnych osi układu współrzędnych (dane AAB). Odbywa się to jednak kosztem zwiększenia nakładu obliczeń, które muszą być dodatkowo po-święcone na oszacowanie tych proporcji. Poprawę jakości wyników dostarcza-nych przez tę metodę otrzymuje się, stosując jej wariant służący do wyznaczania skierowanych prostopadłościanów ograniczających, który wykorzystuje macierz kowariancji punktów atraktora (dane Cov). Jak pokazano na rys. 6.12, znaczne lepsze wyniki, w stosunku do otrzymanych przy użyciu metod pośrednich i quasi-pośrednich, uzyskuje się za pomocą metod bezpośrednich (dane: Cov min, Caliper, Lin prog, Vertex cut). Ich zastosowanie



ogranicza się jednak do atraktorów afi nicznych IFS i pociąga za sobą nieco więk-szy nakład obliczeń, aniżeli w przypadku metod pośrednich.

Rys. 6.12. Wykres obrazujący ilorazy pól zbiorów ograniczających otrzymanych przy użyciu al-gorytmów opisanych w niniejszym rozdziale do pola otoczki wypukłej uzyskanej metodą owija-nia atraktora. Prezentowane wyniki dotyczą atraktorów IFS na R2, które zostały wykorzystane na poprzednich rysunkach rozdziału. Zastosowane w legendzie skróty oznaczają odpowiednio: Estm 1 – szacowanie „promienia” kwadratu przy użyciu wzoru (6.3), Estm 2 – szacowanie „promienia” kwadratu przy użyciu wzoru (6.4), Estm 3 – szacowanie „promienia” kwadratu przy użyciu wzoru (6.5), AAB – metoda pośrednia wyznaczania prostokąta AAB przy wykorzystaniu proporcji (6.6), Cov – metoda pośrednia wyznaczania prostokąta skierowanego przy wykorzystaniu macierzy ko-wariancji, Cov min – metoda bezpośrednia wyznaczania prostokąta skierowanego wykorzystują-ca pokrycie atraktora (podpunkt 6.2.2), Caliper – metoda wyznaczania najmniejszych prostokątów skierowanych przy wykorzystaniu algorytmu owijania atraktora wraz z algorytmem suwmiarek, Lin prog – metoda oparta na programowaniu liniowym z podpunktu 6.3.1 (ośmiokąty ogranicza-jące), Vertex cut – metoda odcinania wierzchołków z podpunktu 6.3.2 (ośmiokąty ograniczające)

Z punktu widzenia ogólnych zastosowań fi gur ograniczających w grafi ce kompu-terowej, spośród metod bezpośrednich na szczególną uwagę zasługują metody opi-sane w podpunkcie 6.2.2, w przypadku których wykorzystuje się pokrycie atraktoraprostopadłościanami AAB. Metody te pozwalają w sposób wydajny wyznaczać za-równo najmniejsze ograniczające prostopadłościany AAB, jak i ograniczające pro-stopadłościany skierowane. Najmniejsze prostopadłościany AAB wyznaczane są z dowolną zadaną dokładnością. Natomiast rozmiary ograniczających prostopadło-ścianów skierowanych zwykle niewiele odbiegają od rozmiarów najmniejszych pro-


178 Wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem i odległości punktu od atraktora

stopadłościanów skierowanych (por. dane Cov min i Caliper). Co więcej, jak poka-zano na rys. 6.12, w przypadku atraktorów afi nicznych IFS na przestrzeni 2R pole powierzchni skierowanego prostokąta ograniczającego otrzymanego rozważaną me-todą jest zwykle niewiele większe od pola powierzchni otoczki wypukłej atraktora oraz bliskie polu powierzchni ośmiokątów ograniczających wyznaczonych przy wy-korzystaniu metody opartej na programowaniu liniowym i metody odcinania wierz-chołków (dane Lin prog i Vertex cut). Cechy te powodują, że prostokąty i prosto-padłościany wyznaczane rozważaną metodą na ogół wystarczają w przypadku więk-szości standardowych zastosowań fi gur ograniczających w grafi ce komputerowej. Niemniej, w niektórych zastosowaniach pożądana jest dokładność przybliżenia geometrii atraktora przez fi gurę ograniczającą większa niż dokładność dana przez prostokąty i prostopadłościany. Porównanie jakości wyników otrzymywanych przy wykorzystaniu – zaproponowanej przez autora (Martyn [89, 91]) – metody odci-nania wierzchołków (dane Vertex cut) z odpowiednimi wynikami uzyskiwanymi za pomocą konkurencyjnej metody opartej na programowaniu liniowym (dane Lin prog) pokazuje, że pierwsza z metod jest nieco lepsza. Dodatkowo, w odróżnieniu od drugiej metody, metoda odcinania wierzchołków umożliwia wyznaczanie wielo-kątów i wielościanów ograniczających o liczbie krawędzi lub ścian nieprzekracza-jącej z góry ustalonej liczby bez żadnych dodatkowych modyfi kacji układu IFS. Niejako z założenia, najlepszym algorytmem pod względem jakości otrzymy-wanych wyników jest – przedstawiony w artykule (Martyn [92]) – algorytm owi-jania atraktora (podpunkt 6.3.3), który wyznacza, z zadaną dokładnością, otoczkę wypukłą atraktora. Co więcej, wyniki uzyskane przy użyciu tego algorytmu mogą zostać następnie wykorzystane do wyznaczania najmniejszego prostokąta skiero-wanego ograniczającego atraktor za pomocą algorytmu suwmiarek. Niestety, jak dotychczas, zastosowanie tego algorytmu ogranicza się jedynie do układów afi -nicznych IFS na przestrzeni 2R .

7. WYZNACZANIE PRZECIĘCIA PÓŁPROSTEJ Z ATRAKTOREM I ODLEGŁOŚCI PUNKTU

OD ATRAKTORA

7.1. WPROWADZENIE

Zagadnienie testowania istnienia przecięć półprostych (czyli tzw. promieni – ang. rays) z obiektami sceny oraz zagadnienie wyznaczania takich przecięć należą do elementarnych i zarazem ważnych zagadnień grafi ki komputerowej. Efektywne algorytmy realizujące te zadania stanowią niezbędny składnik podstawowych dla



grafi ki komputerowej problemów takich, jak choćby testowanie widzialności obiek-tów, oświetlanie i cieniowanie obiektów czy detekcja kolizji między obiektami. Zagadnienie „przecięcia promienia z obiektem” można sformułować w sposób ogólny w następującej postaci: Dla danego domkniętego zbioru nS R i półprostej

( , ) { : [0, )}R t t o d o d (7.1)

o początku w punkcie no R i wektorze kierunkowym nd R , wyznacz pod-zbiór przecięcia ( , )R So d spełniający warunek cond. W szczególności, w przypadku niepustego przecięcia ( , )R So d , warunek cond formułowany jest zwykle tak, że spełniony jest on jedynie wtedy, gdy:(a) jest singletonem składającym się z punktu min( , ; )R to d leżącego najbliżej

punktu o (tzw. najbliższe przecięcie), tj. punktu półprostej, dla którego para-metr min min{ [0, ) : ( , ; ) }t t R t S o d (test widzialności, generowanie mapy otoczeń i światła, unikanie kolizji);

(b) jest singletonem składającym się z dowolnego punktu przecięcia (wyzna-czanie obszarów znajdujących się w cieniu);

(c) jest równy pełnemu zbiorowi ( , )R So d (wizualizacja wolumetryczna).

Gdy zbiorem S jest atraktor IFS, rozważane zagadnienie może być rozwiązane jedynie ze skończoną dokładnością. W związku z tym należy zauważyć, że skoń-czona dokładność otrzymywanych wyników nie jest w tym przypadku wadą, ale zaletą. Atraktory IFS są bowiem zwykle fraktalami, zaś n-wymiarowa miara Le-besgue’a fraktali jest na ogół równa zeru. Stąd wynikiem działania hipotetycz-nego idealnego algorytmu wyznaczania przecięcia półprostej z atraktorem byłby prawie zawsze (to jest z prawdopodobieństwem równym 1) zbiór pusty. Z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa bowiem, w takich okolicznościach zaistnie-nie niepustego przecięcia półprostej z atraktorem byłoby zdarzeniem elementar-nym należącym do zbioru zdarzeń o zerowej mierze. Znane algorytmy rozwiązywania omawianego problemu opierają swe obli-czenia na przybliżeniach atraktora przy użyciu skończonego pokrycia tego zbiorukolekcją fi gur euklidesowych o średnicach nieprzekraczających zadanej dokład-ności aproksymacji. Najprostsze podejście wykorzystuje w tym celu ograniczony,„kubiczny” podzbiór -siatki (tzw. wolumen) i jeden z algorytmów aproksyma-cji atraktora opisanych w rozdz. 4. W takim rozwiązaniu poszukiwany podzbiór przecięcia łatwo wyznaczyć, wykorzystując na przykład – stosowane w wizu-alizacji wolumetrycznej – techniki próbkowania przestrzeni wokselowej opartena wariancie algorytmu Bresenhama (Foley i inni [37]). Reprezentacja wolumetrycz-na zbioru w przestrzeni nR charakteryzuje się jednak zapotrzebowaniem pamię-ciowym rzędu ( )nO . W rezultacie, wymogi pamięciowe opisywanego po dejścia są duże nawet w przypadku stosunkowo niewielkiej dokładności aproksymacji.Ponadto, ze względu na zwykle skomplikowaną, „fraktalną topologię” atraktorów



IFS, znaczny procent wokseli przechowywanego w pamięci wolumenu nie ma części wspólnej z atraktorem aproksymowanym przez ten wolumen (tzw. puste woksele). W kontekście rozważanego zagadnienia wyznaczania przecięcia pół-prostej z atraktorem woksele takie nic nie wnoszą do poszukiwanego rozwiąza-nia. Wobec tego, przechowywanie w pamięci zawartej w nich informacji o „bra-ku informacji o atraktorze” z tą samą dokładnością, co przechowywanie istotnej informacji o zajętości przestrzennej atraktora, z punktu widzenia ekonomii za-rządzania zasobami pamięciowymi może być rozpatrywane jako marnotrawienie tych zasobów. W przypadku atraktorów na przestrzeni 3R (odpowiednio: na przestrzeni 2R )pewnym remedium dla takiego stanu rzeczy może być przekształcenie oryginal-nej reprezentacji wolumetrycznej atraktora w reprezentację wykorzystującą nie-zrównoważone drzewo ósemkowe (odpowiednio: drzewo czwórkowe) (Akenine- -Möller i Haines [1]). W drzewie takim warunkiem koniecznym do tego, aby węzeł posiadał węzły potomne, jest istnienie niepustego przecięcia tego węzła z atraktorem. Główną cechą takiego podejścia jest to, że – podobnie jak orygi-nalna reprezentacja wolumetryczna atraktora – reprezentacja w postaci drzewa ósemkowego (lub czwórkowego) wyznaczana jest w fazie obliczeń wstępnych. Dlatego musi być ona obecna w pamięci podczas procesu poszukiwania przecię-cia. W konsekwencji, choć rząd złożoności pamięciowej algorytmu wykorzystu-jącego tę reprezentację jest stały (dla ustalonej dokładności aproksymacji), to jed-nak w praktyce jego zapotrzebowanie pamięciowe jest duże i niezależne od licz-by punktów poszukiwanego przecięcia. W odniesieniu do większości zastosowań w grafi ce komputerowej, brak zależ-ności wymogów pamięciowych od wyniku, charakteryzujący taki algorytm, roz-patrywany jest jako cecha niekorzystna. Należy bowiem zauważyć, że na ogół je-dynie niewielka część pamiętanych wokseli przecinana jest przez daną półprostą, czego skrajnym przykładem jest przypadek braku przecięcia półprostej z aprok-symacją atraktora. Jeśli natomiast zadaniem jest wyznaczenie pełnych zbiorów przecięcia dla wielu półprostych oraz znaczny ich procent posiada niepuste przecięcie ze zbio-rem aproksymującym atraktor, to opisywane podejście często można uznać za akceptowalne. W grafi ce komputerowej z sytuacją taką (lub zbliżoną) mamy na przykład do czynienia w zagadnieniach wizualizacji wolumetrycznej. Niemniej, w przypadkach o wiele częściej spotykanych, w których wymaga-ne jest wyznaczenie najbliższych lub dowolnych przecięć półprostych z atrakto-rem, zwykle lepszym wyborem jest zastosowanie w tym celu algorytmów adapta-cyjnych opartych na dynamicznej strukturze aproksymującej atraktor. Podobnie jak drzewa ósemkowe i czwórkowe, wspomniana struktura ma postać drzewa fi -gur ograniczających podzbiory atraktora. W odróżnieniu jednakże od tych pierw-szych, poszczególne części tej struktury mogą być dynamicznie tworzone w mia-



rę potrzeby i następnie usuwane bezpośrednio w procesie wyznaczania przecię-cia, zgodnie z ideą algorytmu adaptacyjnych odcięć (punkt 3.2). Szczegółowemu omówieniu tych algorytmów poświęcono punkt następny niniejszego rozdziału. W bliskim związku z problemem przecięcia pozostaje zagadnienie obliczania odległości punktu od atraktora:

( , ) inf{ ( , ) : }Ed A d A p p a a (7.2)

dla danego np R i metryki euklidesowej Ed (prawa strona wyrażenia). W gra-fi ce komputerowej problem ten występuje głównie w zagadnieniach wykrywa-nia i unikania kolizji między obiektami sceny. Algorytmy wyznaczania odległości punktu od zbioru wykorzystywane są również w estymacji wektorów normalnych w punktach atraktora (punkt 8.4) oraz w niektórych metodach wizualizacji frakta-li (podpunkt 9.1.5) (Hepting i inni [56]), (Hart i inni [53]). Ponieważ atraktor IFS składa się z nieskończonej liczby punktów1, wartość wy-rażenia (7.2) w ogólnym przypadku może co najwyżej oszacowana z dołu z zada-ną, skończoną dokładnością. Podobnie jak ma to miejsce w problemie przecięcia, algorytmy obliczania rozważanej odległości oparte są na strukturze drzewa opisu-jącego hierarchiczne uporządkowanie podzbiorów atraktora. Drzewo takie można utworzyć w fazie obliczeń wstępnych (np. w przypadku atraktorów na przestrzeni

3R i 2R jako drzewo ósemkowe lub czwórkowe) na przykład na podstawie aprok-symacji wolumetrycznej atraktora. Podejście takie obarczone jest jednak tymi sa-mymi wadami dotyczącymi wymogów pamięciowych, jak wymienione przy oka-zji omawiania problemu przecięcia. Dlatego efektywne (zarówno pod względem pamięciowym, jak i obliczeniowym) metody rozwiązywania tego problemu wyko-rzystują – analogicznie jak wspomniane algorytmy wyznaczania przecięcia – drze-wo dynamiczne, w którym poszczególne węzły są tworzone i usuwane w trak-cie obliczania poszukiwanej odległości. Omówieniu tego zagadnienia poświęcono punkt 7.3.

7.2. WYZNACZANIE PRZECIĘCIA PÓŁPROSTEJ Z ATRAKTOREM

7.2.1. Hierarchia fi gur ograniczających

Jedną z ważniejszych metod przyspieszania obliczeń, które leżą u podstaw za-pytań dotyczących relacji przestrzennych między obiektami geometrycznymi, jest technika polegająca na zastosowaniu pomocniczej struktury hierarchicznego upo-rządkowania fi gur ograniczających. Zgodnie z przyjmowaną w grafi ce komputero-wej defi nicją, hierarchia fi gur ograniczających (ang. hierarchy of bounding volu-

1 Wyjąwszy przypadki zdegenerowane, w których układ IFS składa się wyłącznie z odwzorowań o stałych Lipschitza równych zeru.



mes) powstaje przez utworzenie drzewa, w którego węzłach przechowywane są fi -gury ograniczające zgodnie z regułą, że fi gury znajdujące się węzłach potomnych zawierają się w fi gurze węzła-przodka. W poszczególnych liściach drzewa znajdu-ją się zaś fi gury ograniczające właściwe obiekty będące przedmiotem analizy1. Hierarchia fi gur ograniczających defi niuje zatem pomocniczą relację zależno-ści przestrzennych między samymi obiektami oraz grupami tych obiektów. Odpo-wiednie wykorzystanie tej informacji pozwala na ogół w praktyce znacznie zre-dukować koszt obliczeniowy odpowiedzi na wspomniane zapytania. W szczegól-ności, w przypadku zapytań dotyczących istnienia przecięcia półprostej ze skoń-czonym zbiorem m obiektów geometrycznych, warunkiem koniecznym przecina-nia danego obiektu przez półprostą jest istnienie przecięcia z fi gurą ograniczającą znajdującą się w odpowiednim liściu hierarchii oraz z fi gurami ograniczającymi znajdującymi się we wszystkich węzłach-przodkach tego liścia. Stąd, jeśli półpro-sta nie przecina fi gury ograniczającej pewnego węzła-przodka, to nie ma potrzeby przeprowadzania testu przecięcia w odniesieniu do fi gur znajdujących się w wę-złach potomnych. Wobec tego, zastosowanie hierarchii fi gur ograniczających dla tego typu zapytań pozwala zredukować minimalną wymaganą liczbę testów prze-cięcia z O(m) do O(log m) w przypadku istnienia przecięcia półprostej z obiektem zbioru (pierwszy napotkany liść hierarchii określa poszukiwane przecięcie) oraz z O(m) do O(1) w przypadku braku takiego przecięcia (półprosta nie przecina fi -gury znajdującej się w korzeniu hierarchii) (Martyn [81]).

7.2.2. Drzewo fi gur ograniczających podzbiory atraktora

Przedstawione w punkcie 7.2.1 idee mogą być z powodzeniem wykorzysta-ne do rozwiązywania zagadnień dotyczących relacji przestrzennych określo-nych dla atraktorów IFS. W tym celu atraktor A układu IFS 1{ ,..., }Nw w roz-patrywany jest jako obiekt złożony ze skończonej liczby podzbiorów postaci

1... ( )

ki iw w A o odpowiednio małych rozmiarach. Rozkład atraktora na wska-zane podzbiory jest naturalną konsekwencją samopodobnej struktury atraktorów IFS, która została przedstawiona w punkcie 3.2.1 (por. rys. 3.1). Z punktu widze-nia konstruowanego drzewa fi gur ograniczających, wspomniane podzbiory po-strzegane są jako niepodzielne, właściwe obiekty geometryczne, których fi guryograniczające będą przechowywane w liściach drzewa. Ponieważ suma mno-gościowa podzbiorów rozkładu atraktora jest równa atraktorowi, zatem suma mnogościowa fi gur ograniczających znajdujących się w węzłach-liściach zawie-ra atraktor. Ponadto, jeśli średnice rozważanych fi gur nie przekraczają pewnej wartości , to rodzina tych fi gur stanowi -pokrycie atraktora. Zatem w takich

1 Cecha ta odróżnia hierarchię fi gur ograniczających od drzew ósemkowych/czwórkowych, bo-wiem w tych ostatnich fi gury znajdujące się w liściach drzewa mogą nie zawierać żadnych obiek-tów geometrycznych z analizowanej kolekcji.



okolicznościach, suma mnogościowa tych fi gur będzie aproksymowała atraktor z błędem nie większym niż względem metryki Hausdorffa. W literaturze przedmiotu istnieje kilka ogólnych strategii tworzenia hierarchii fi gur ograniczających (Akenine-Möller i Haines [1, s. 641]) dla obiektów geome-trycznych, jednakże w przypadku atraktorów IFS najbardziej naturalnym podej-ściem jest metoda eksploatująca samopodobieństwo tych zbiorów na zasadach analogicznych do tych, które są podstawą dla algorytmu adaptacyjnych odcięć (punkt 3.2). Ogólna idea tworzenia drzewa fi gur ograniczających dla atraktorów IFS przedstawia się następująco: Niech B będzie fi gurą ograniczającą atraktor A IFS 1{ ,..., }Nw w przechowy-waną w korzeniu drzewa. W klasycznym podejściu budowa drzewa odbywa się poprzez rekurencyjne wyznaczanie obrazów fi gury B przy złożeniach odwzoro-wań IFS zgodnie z regułami, w myśl których: węzeł drzewa jest liściem wtedy i tylko wtedy, gdy średnica przechowywanej

w tym węźle fi gury 1

... ( )ji iw w B jest nie większa niż określona dokładność

aproksymacji 0 ; w przypadku przeciwnym, węzeł jest przodkiem N węzłów potomnych prze-

chowujących fi gury 1 1

... ( )j ji i iw w w B

, 1 1,...,ji N .

Proces tworzenia omawianego drzewa fi gur ograniczających zilustrowano na rys. 7.1.

Rys. 7.1. Schemat tworzenia drzewa fi gur ograniczających atraktor IFS



Należy zwrócić uwagę, że tak określone drzewo w ogólnym przypadku nie spełnia dokładnie przytoczonej w poprzednim podpunkcie defi nicji hierarchii fi gur ograniczających. Powyższe reguły nie gwarantują bowiem, że fi gura wę-zła-przodka będzie zawierała w całości fi gury ograniczające znajdujące się w węzłach potomnych. Jednakże, dla dowolnego podzbioru

1... ( )

ki iw w A atraktora, każda z fi gur ograniczających sekwencji {B,

1( )iw B ,

1 2( )i iw w B ,...,

1 2... ( )

ki i iw w w B } wytyczającej ścieżkę od korzenia do węzła przechowujące-go fi gurę

1 2... ( )

ki i iw w w B zawiera ten podzbiór, bowiem

1 1

1 1

( )

... ( ) ... ( )

... ( ( )) ... ( ) , {1,..., }j j

j k

i i i i

k ji i i i

B A w w B w w A

w w W A w w A j k

gdzie W jest operatorem Hutchinsona skojarzonym z IFS. Wyznaczenie przecięcia półprostej z atraktorem za pomocą wyżej zdefi niowa-nego drzewa fi gur ograniczających sprowadza się do wyznaczenia przecięcia pół-prostej ze zbiorem fi gur ograniczających znajdujących się węzłach-liściach. Pod-czas przeszukiwania drzewa w głąb począwszy od korzenia, testowane są przecięcia półprostej z fi gurami ograniczającymi znajdującymi się w odwiedzanych węzłach. Warunkiem koniecznym dokonania testu przecięcia z fi gurą

1 1... ( )

j ji i iw w w B

jest istnienie niepustego przecięcia półprostej z fi gurą

1... ( )

ji iw w B znajdującą się w węźle-przodku. W przypadku wykrycia niepustego przecięcia półprostej z fi -gurą znajdującą się w węźle-liściu przyjmuje się, że półprosta przecina atraktor, zaś punkt przecięcia półprostej z fi gurą leżący najbliżej początku półprostej uzna-je się za jeden z punktów przecięcia półprostej z atraktorem. Jak już zauważono, fi gury znajdujące się w liściach aproksymują atraktor z określoną dokładnością. Wobec tego, powyższy sposób określania punktów przecięcia jest przybliżeniem rzeczywistego przecięcia półprostej z atraktorem za pomocą punktów półprostej leżących od atraktora nie dalej, aniżeli zadana do-kładność obliczeń .

7.2.3. Adaptacyjne wyznaczanie przecięcia – algorytmy wzorcowe

Drzewo fi gur ograniczających podzbiory atraktora może być zbudowane w fa-zie obliczeń wstępnych poprzedzających właściwy proces wyznaczania przecięcia. Podejście takie wymaga jednakże przechowywania w pamięci całego drzewa pod-czas tego procesu, co zwykle nie jest rozwiązaniem opłacalnym z powodów poda-nych w punkcie 7.1. Co więcej, ponieważ liczba fi gur ograniczających znajdujących się w liściach drzewa jest zwykle bardzo duża nawet w przypadku stosunkowo nie-wielkiej dokładności aproksymacji, rozwiązanie takie jest kosztowne pod wzglę-dem wymagań pamięciowych. Problem ten jest szczególnie widoczny w praktycz-nych zastosowaniach omawianego zagadnienia przecięcia, takich jak wizualizacja



metodą śledzenia promieni, gdzie efektownie prezentująca się scena może składać się z dziesiątków lub nawet setek atraktorów; patrz np. (Martyn [82, 85]).

Rys. 7.2. Adaptacyjne wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem

Rozwiązaniem powyższego problemu jest niejawne zastosowanie wskaza-nej struktury drzewa polegające na wybiórczym tworzeniu i usuwaniu fi gur ogra-niczających w trakcie procesu wyznaczania przecięcia, w porządku określonym przez algorytm przeszukiwania drzewa. Metoda ta została po raz pierwszy wyko-rzystana w artykule (Kajiya [62]) do wyznaczania przecięcia półprostej z rekuren-cyjnie zdefi niowanymi stochastycznymi powierzchniami fraktalnymi. Jej adapta-cja dla przypadku atraktorów IFS przedstawia się następująco: fi gura

1 1... ( )

j ji i iw w w B

jest tworzona jedynie wtedy, gdy fi gura 1

... ( )ji iw w B jest przecinana przez półprostą i średnica tej fi gury przekracza

dozwolony błąd aproksymacji (oraz ewentualnie punkt przecięcia spełnia do-datkowe przesłanki wynikające z warunku cond narzuconego na poszukiwany podzbiór przecięcia);

fi gura 1 1

... ( )j ji i iw w w B

jest usuwana, jeśli poddrzewo o korzeniu repre-

zentowanym przez tę fi gurę nie będzie już eksplorowane.



W ten sposób, w dowolnej chwili działania algorytmu wyznaczania przecięcia, w zasobach pamięciowych przechowywana jest sekwencja fi gur ograniczają-cych należących tylko do jednej ścieżki drzewa, która jest „rozwijana” jedynie wtedy, gdy wymaga tego proces przeszukiwania, po czym jest automatycznie usuwana po zakończeniu testowania tej części drzewa. Ideę algorytmu przed-stawiono na rys. 7.2. W konsekwencji, przy założeniu, że koszt pamiętania fi gury ograniczają-cej jest stały, koszt pamięciowy wyznaczania przecięcia zostaje zredukowanyz ( )O m do (log )O m , gdzie m jest liczbą wszystkich fi gur ograniczających, które byłyby przechowywane w liściach utworzonego drzewa. Przy założeniu stałego kosztu obliczania fi gur ograniczających, pesymistyczna złożoność obliczeniowa podejścia wynosi ( )O m . Jest ona zatem takiego samego rzędu, jak w przypadku podejścia naiwnego polegającego na testowaniu przecięcia półprostej ze wszyst-kimi fi gurami ograniczającymi, których suma mnogościowa aproksymuje atrak-tor z zadaną dokładnością. Jednakże – jak wskazano w punkcie 7.2.1 – zastosowa-nie drzewa charakteryzuje się mniejszą złożonością obliczeniową optymistyczną, która wynosi (log )O m . Dotychczasowe rozważania zostaną podsumowane wzorcowym algoryt-mem adaptacyjnego wyznaczania przecięcia półprostej ( , )R o d z atraktorem IFS

1{ ,..., }Nw w :

procedure RayAttractorIntersection( f ) begin 1. ( )fB f B ;2. if ( , ) fR B o d then begin3. int min( , ; )R tp o d , gdzie min min{ : ( , ; ) }ft t R t B o d ;4. if diam( )fB then begin5. if IntersectionCond( intp ) then6. ActualizeIntersection( int, p ); end if;7. else if ExploreCond( intp ) then8. for each {1,..., }i N do 9. RayAttractorIntersection( if w ) end if; end.

gdzie B jest fi gurą ograniczającą atraktor IFS, zaś – dozwolonym błędem aproksymacji przecięcia. Poszukiwany podzbiór przecięcia umieszczany jest w zmiennej globalnej i obliczany jest poprzez wywołanie powyższej procedury dla argumentu f = id i początkowej wartości równej . Warunki logiczne IntersectionCond( intp ) i ExploreCond( intp ) oraz funkcja ActualizeIntersection( int, p ), występujące w liniach 5, 7 i 6, przybierają odpo-



wiednie wartości w zależności od defi nicji wspomnianego w punkcie 7.1 warun-ku cond, określającego poszukiwany podzbiór przecięcia półprostej z atrakto-rem. W przypadku poszukiwania: (a) najbliższego przecięcia, warunki IntersectionCond( intp ) i ExploreCond( intp ) są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy int( , ) ( , )Ed d o p o , zaś wartością funk-

cji ActualizeIntersection( int, p ) jest singleton int{ }p ;(b) dowolnego przecięcia, warunek IntersectionCond( intp ) jest spełniony zawsze,

warunek ExploreCond( intp ) jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy , zaś wartością funkcji ActualizeIntersection( int, p ) jest singleton int{ }p ;

(c) pełnego przecięcia, warunki IntersectionCond( intp ) i ExploreCond( intp ) są spełnione zawsze, zaś wartością funkcji ActualizeIntersection( int, p ) jest zbiór int{ } p .

Całkowity czas wyznaczania zadanego podzbioru przecięcia uzależniony jest w znacznej mierze od szybkości, z jaką eliminowane są z dalszych przeszuki-wań te ścieżki drzewa, których liście zawierają fi gury ograniczające nieprzecina-ne przez półprostą. Niech fB oznacza fi gurę ograniczającą podzbiór ( )f A atraktora, gdzie

1...

ji if w w jest danym złożeniem odwzorowań IFS. Im „ściślej” fB ograni-

cza podzbiór ( )f A , tym bardziej suma mnogościowa 1

j

N

f wj

B

ograniczających

fi gur potomnych jf wB wypełnia przestrzeń ograniczaną przez fB . Wobec tego,

im lepiej fB przybliża ( )f A , tym większa wartość prawdopodobieństwa

1

( , ) | ( , )j

N

f w fj

P R B R B

o d o d ,

czyli prawdopodobieństwa istnienia przecięcia półprostej przynajmniej z jed-ną z fi gur potomnych

jf wB , {1,..., }j N , pod warunkiem istnienia przecięcia tej półprostej z fB . Natomiast decyzja o zaniechaniu przeszukiwania dane-go poddrzewa podejmowana jest na podstawie wykrycia braku przecięcia pół-prostej z fi gurą ograniczającą znajdującą się w korzeniu tego poddrzewa. Dla-tego, im lepiej fi gury ograniczające przybliżają odpowiadające im podzbiory atraktora, tym wcześniejsza predykacja tych części drzewa, które nic nie wno-szą do wyniku. Ponadto, im „ściślej” fi gury

1fB i

2fB ograniczają odpowiadające im podzbio-

ry 1( )f A i 2 ( )f A atraktora, tym większe jest prawdopodobieństwo warunkowe

1 2 1 21,..., 1,...,( min ( ) min ( ) | ( ) ( ))j jj N j N

P u f w u f w u f u f

,

gdzie

( ) inf{ : ( , ; ) }fu f t R t B o d .



Innymi słowy, jeśli punkt najbliższego przecięcia półprostej z fi gury 1f

B leży bli-żej punktu o niż punkt najbliższego przecięcia półprostej z fi gurą

2fB , to prawdo-

podobieństwo zajścia analogicznego zdarzenia dla ograniczających fi gur potom-nych będzie tym większe, im dokładniej fi gury

1fB i

2fB aproksymują otaczane

przez nie podzbiory atraktora. Powyższa obserwacja stanowi „probabilistyczną” podstawę ulepszonej stra-tegii eksploracji drzewa fi gur ograniczających w zagadnieniu wyznaczania naj-bliższego przecięcia półprostej z atraktorem. W proponowanym rozwiązaniu porządek, w jakim dokonywane są testy przecięcia, określony jest na podsta-wie odległości punktów przecięcia półprostej ze wszystkimi fi gurami ograni-czającymi przecinanymi przez tę półprostą, które znajdują się w węzłach koń-czących dotychczas wygenerowane ścieżki drzewa. W danym cyklu algorytmu, spośród fi gur wybierana jest ta, której punkt przecięcia z półprostą leży najbli-żej początku półprostej. Jeśli średnica tej fi gury nie przekracza zadanej dokład-ności aproksymacji (czyli zawierający ją węzeł jest liściem drzewa), to punkt przecięcia jest poszukiwanym „najbliższym przecięciem” półprostej z atrakto-rem. W przypadku przeciwnym, test przecięcia kontynuowany jest dla N fi gur potomnych tej fi gury. Te z nich, które są przecinane przez półprostą, dodawane są do zbioru fi gur, spośród których wybierana będzie „najbliższa” fi gura ograni-czająca w następnym cyklu algorytmu. Zakładając, że poszukiwany punkt przecięcia istnieje, w świetle przedstawio-nych rozważań zaprezentowana strategia przeszukiwania drzewa pozwala zatem zwiększyć prawdopodobieństwo wyznaczenia tego punktu w optymalnym – dla zastosowanej struktury drzewa – czasie (log )O m . Algorytm realizujący tę strate-gię za pomocą struktury kopca (Kay i Kajiya [64], Haines [50]), wykorzystanej w celu aktualizowania porządku na bieżącym zbiorze fi gur ograniczających, można zapisać w sposób następujący: function NearestRayAttractorIntersection( ) : real begin 1. NearestIntt ; 2. if ( , ) fR B o d then begin 3. min{ : ( , ; ) }CurIntt t R t B o d ; 4. Heap.put( , ,CurIntt id B ); 5. while NearestIntt and Heap do begin 6. , ,CurInt ft f B Heap.get( ); 7. if diam( )fB then 8. NearestInt CurIntt t ; 9. else for each {1,..., }i N do begin 10. ig f w ;11. ( )gB g B ;



12. if ( , ) gR B o d then begin13. min{ : ( , ; ) }CurInt gt t R t B o d ; 14. Heap.put( , ,CurInt gt g B ); end if; end for; end while; end if;15. return NearestIntt ; end.

Wynikiem działania powyższej funkcji jest wartość parametru t, która okre-śla poszukiwany punkt w równaniu parametrycznym półprostej – tj. jako R(o,d;t); w przypadku braku istnienia przecięcia funkcja przybiera wartość . W kopcu Heap przechowywane są trójki , ,CurInt gt g B , gdzie CurIntt oznacza odległość punktu przecięcia półprostej z fi gurą Bg będącą obrazem fi gury B ograniczają-cej atraktor przy złożeniu g odwzorowań IFS. Kopiec uporządkowany jest wzglę-dem pierwszego składnika trójek w porządku niemalejącym. Działania (metody) Heap.get i Heap.put oznaczają odpowiednio: operację pobrania trójki ze szczytu kopca i operację dodania trójki do kopca. Zastosowanie opisanej metody wiąże się jednak z pogorszeniem złożoności pe-symistycznej, zarówno pamięciowej jak i obliczeniowej, w stosunku do złożoności charakteryzującej opisany poprzednio ogólny algorytm oparty na strategii przeszu-kiwania drzewa „w głąb”. W przypadku pesymistycznym bowiem, w kopcu będzieskładowanych ( )O m fi gur ograniczających, a więc rząd złożoności pamięciowej będzie w tym przypadku taki sam, jak w podejściu polegającym na przechowywa-niu w pamięci całego drzewa fi gur ograniczających. W takich okolicznościach, ze względu na koszt operacji związanych z aktualizacją zawartości kopca1, rząd zło-żoności obliczeniowej algorytmu wyniesie ( log )O m m . Warunkiem koniecznym dla zaistnienia przypadku pesymistycznego jest jednakże istnienie przecięć półpro-stej z ( / )O m N fi gurami będącymi bezpośrednimi przodkami fi gur znajdujących się w liściach drzewa fi gur ograniczających. Zatem sytuacja taka może mieć miej-sce jedynie w bardzo szczególnym przypadku, w którym geometria atraktora IFS jest bliska w sensie metryki Hausdorffa pewnemu podzbiorowi punktów półpro-stej, dla której wyznaczane jest przecięcie z tym atraktorem.

7.2.4. Adaptacyjne wyznaczanie przecięcia a geometria fi gur ograniczających

Koszt obliczeniowy algorytmów przedstawionych w poprzednim podpunk-cie zależy głównie od kosztu wyznaczania obrazów początkowej fi gury B ogra-

1 Należy pamiętać, że koszt obliczeniowy operacji dodania elementu do kopca oraz po-brania elementu ze szczytu kopca wynosi (log )O m .



niczającej atraktor, kosztu wyznaczania średnic tych obrazów oraz kosztu te-stowania i wyznaczania punktu przecięcia półprostej z fi gurami ograniczający-mi. Wymienione koszty z kolei zależą mocno od rodzaju wykorzystanych fi gur ograniczających. W artykule (Hart i DeFanti [52]), dotyczącym przypadku afi nicznych IFS, jako fi gurę ograniczającą atraktor wykorzystano kulę (w metryce euklidesowej) oraz jej afi niczne obrazy – elipsoidy w roli fi gur ograniczających podzbiory atraktora. Rozwiązanie takie pociąga za sobą jednak wysokie koszty obliczeniowe związa-ne z określaniem średnic elipsoid. Dla każdej tworzonej elipsoidy bowiem nale-ży w tym celu wyznaczyć maksymalną wartość własną symetrycznej, nieujemnie określonej macierzy równania macierzowego elipsoidy o środku w początku ukła-du współrzędnych (Trajdos [148], Martyn [81]); średnica elipsoidy jest równa po-dwojonej odwrotności pierwiastka kwadratowego z tej wartości. Ponieważ wyzna-czanie wartości własnych wspomnianych macierzy jest kosztowne obliczeniowo (w cytowanej pracy [52] zastosowano w tym celu metodę Jacobiego – por. punkt 3.2.2), w rzeczywistych zastosowaniach podejście takie okazuje się wysoce nie-efektywne. W pracy (Hepting i inni [56]), dla atraktorów afi nicznych IFS, wykorzysta-no bardzo podobne podejście do przedstawionego wyżej, z tą różnicą, że zamiast elipsoid, jako fi gury ograniczające podzbiory atraktora zastosowano najmniejsze kule zawierające te elipsoidy. Dla danego złożenia

1...

ji iw w odwzorowań IFS, środek i promień takiej kuli obliczane są jako:

1 1... ... ( )j ji i i iw wc c (7.3a)

1 1... Lip( ... )j ji i i ir r w w (7.3b)

gdzie c i r oznaczają odpowiednio środek i promień kuli zawierającej atraktor, zaś Lip(.) jest stałą Lipschitza odwzorowania względem metryki euklidesowej. Jednakże, jak pokazano w punkcie 3.2.2, obliczanie stałej Lipschitza odwzo-rowania afi nicznego ( )w x Lx t sprowadza się do wyznaczenia pierwiastka kwadratowego z maksymalnej wartości własnej symetrycznej, nieujemnie okre-ślonej macierzy TL L (por. równanie (3.27)). Zatem omawiane podejście ma tę samą wadę „niskiej efektywności obliczeń”, co podejście w którym wykorzysty-wane są elipsoidy. Niejako naturalnym usprawnieniem wydajności prezentowanych dotychczas podejść jest więc zastąpienie w równaniu (7.3b) kosztownej obliczeniowo stałej Lipschitza przez znacznie tańsze górne oszacowania tego współczynnika. W pra-cach (Martyn [81, 82]) autor wykorzystał w tym celu oszacowanie stałej Lipschitza przez normę Frobeniusa (3.28a) macierzy części liniowej odwzorowania afi nicz-nego. Zastosowanie takiego podejścia powoduje pogorszenie zbieżności omawia-nego algorytmu wyznaczania przecięcia, jednakże – jak pokazano w punkcie 3.2.2 – w praktyce jest ono konkurencyjne nie tylko w stosunku do iteracyjnych metod



numerycznych określania wartości własnych, ale również metod analitycznych po-legających na wyznaczaniu tych wartości jako pierwiastków wielomianu charakte-rystycznego (w przypadku atraktorów na przestrzeniach o wymiarze nie większym niż cztery). Z kolei, w pracy (Traxler i Gervautz [149]) jako fi gurę ograniczającą atraktor afi nicznego IFS wykorzystano prostopadłościan AAB, zaś do ograniczania pod-zbiorów atraktora – afi niczne obrazy tego prostopadłościanu, czyli równoległo-ściany. W celu wyeliminowania stosunkowo kosztownych obliczeniowo operacji: jawnego wyznaczania równoległościanów

1... ( )

ji iw w AAB i obliczania przecięć półprostej R(o,d) z tymi prostopadłościanami w każdym cyklu algorytmu, zasto-sowano technikę obliczania przecięć wyjściowego prostopadłościanu AAB z ob-razami półprostej przy odwrotnych odwzorowaniach IFS:

1 1 1

1 1 1 1 1 1... ( ( , )) ( ... ( ), ... )j j ji i i i i iw w R R w w o d o L L d , (7.4)

gdzie ki

L oznacza macierz części liniowej odwzorowania ki

w . Ze wzgledu na niski koszt obliczeniowy obliczania przecięcia półprostej z prostopadłościanem AAB (Glassner [43]), podejście takie jest znacznie bardziej efektywne oblicze-niowo niż metody dotychczas omówione. Niestety, w wersji przedstawionej w pracy [149], nie umożliwia ono obliczenia (lub choćby oszacowania z góry) śred-nic równoległościanów ograniczających podzbiory atraktora (w cytowanej pra-cy testy przecięcia kontynuowane były dla zadanej a priori głębokości rekursji). Choć, jak pokazano w pracach (Martyn [80, 81]), podejście takie może zostać wzbogacone o ten element, to jednak odbywa się to kosztem znacznego zwięk-szenia nakładu obliczeń (porównywalnego z nakładem obliczeń charakteryzują-cym metody omówione powyżej). W podejściu zaproponowanym w pracach (Martyn [81, 85]) wykorzysta-no prostopadłościany AAB zarówno do ograniczania całego atraktora afi nicz-nego IFS, jak i jego podzbiorów. Prostopadłościany ograniczające podzbio-ry atraktora wyznaczane są jako najmniejsze prostopadłościany AAB zawiera-jące obrazy

1... ( )

ji iw w AAB prostopadłościanu ograniczającego atraktor. Obli-czanie prostopadłościanów dokonywane jest bezpośrednio na podstawie złożeńodwzorowań IFS, przy wykorzystaniu efektywnej metody przedstawionej w pod-punkcie 6.2.2 niniejszej pracy. Ponieważ prostopadłościany te wyznaczane są explicite w postaci ( , )AAB c r zdefi niowanej równością (6.1), więc obliczanie ich średnic w trakcie procesu wyznaczania przecięcia półprostej z atraktorem nie na-stręcza żadnych trudności, bowiem wynoszą one

diam ( ( , )) 2 || ||E EAAB c r r .

Wobec tego, jeśli weźmie się dodatkowo pod uwagę – wspomniany już wcześniej – niski koszt obliczania przecięcia półprostej z prostopadłościanem AAB, wydaj-ność takiego podejścia jest porównywalna z wydajnością poprzednio omówionej



metody (Traxler i Gervautz [149]), przy czym nie ma ono wskazanej wady „trud-ności w obliczaniu średnic” charakteryzującej tę metodę. W odróżnieniu od dotychczas zaprezentowanych podejść dotyczących atrak-torów afi nicznych IFS, w artykule (Gröller [47]) przedstawiono wdrożenie idei adaptacyjnego wyznaczania przecięcia do przypadku atraktorów opisanych przez odwzorowania nieliniowe. W zaproponowanym tam podejściu, do ota-czania zarówno atraktora, jak i jego podzbiorów, wykorzystano kule. W istocie rzeczy, jest ono uogólnieniem wyżej omówionej metody przedstawionej w pra-cy (Hepting i inni [56]). Kule ograniczające podzbiory atraktora obliczane są jako przybliżenia kul określonych wzorami (7.3), poprzez górne oszacowanie wartości

1Lip( ... )

ji iw w występującej w formule (7.3b), za pomocą iloczynu

1

Lip( )j

k

ij

w (por. twierdzenie 3.4).

W cytowanej pracy (Gröller [47]) dodatkowo przedstawiono także inne podej-ście do fi gurę ograniczających, dotyczące układów IFS zawierających odwzorowa-nia defi niowane explicite na ...l m punktach węzłowych siatek „kubicznych” zadanych (skończonych) rozmiarów. Przy takiej reprezentacji odwzorowań, jako brzeg fi gury ograniczającej dany podzbiór

1... ( )

ji iw w A atraktora wykorzysta-no powierzchnię obrazu siatki przy złożeniu

1...

ji iw w odwzorowań, zdefi niowa-ną przez obrazy brzegowych punktów węzłowych przy tym złożeniu. Jak słusznie wskazano we wspomnianej pracy, choć takie fi gury ograniczające zwykle znacz-nie lepiej aproksymują podzbiory atraktora aniżeli czynią to kule, to jednak ich za-stosowanie pociąga za sobą znacznie bardziej kosztowne testy przecięcia z półpro-stą. To samo odnosi się także do kosztów wyznaczania średnic tych fi gur. W celu wyeliminowania kosztownych obliczeniowo operacji jawnego wy-znaczania fi gur ograniczających podzbiory atraktora nieliniowego IFS oraz określania przecięcia półprostej z tymi fi gurami, w pracach (Gröller [48], Won-ka i Gervautz [155]) wykorzystano – wspomnianą już wcześniej – technikę wy-znaczania przecięć fi gury ograniczającej atraktor z obrazami półprostej przy złożeniach odwrotnych odwzorowań IFS. O ile jednak rezultatem zastosowa-nia złożenia

1

1 1...ji iw w odwzorowań afi nicznych do półprostej R(o,d) jest za-

wsze półprosta (7.4), o tyle przekształcenie półprostej przy użyciu odwzorowań nieliniowych daje, w ogólnym przypadku, pewną krzywą. W cytowanych pra-cach, krzywe

1

1... ( , )

ji if R o d , 1 1

1 1 1... ...

j ji i i if w w , generowane podczas adaptacyj-nego wyznaczania przecięcia, przybliżane były łamanymi określonymi przez obrazy

1

1... ( )

ji i kf p M wybranych punktów ( , )k Rp o d . Dodatkowo, w artyku-le (Wonka i Gervautz [155]) wprowadzono metodę szacowania błędu tego przy-bliżenia polegającą na wyznaczaniu odległości punktu

1

1... 1( )

ji i kf p od odcinka

1 1

1 1... ... 2( ) ( )

j ji i k i i kf f p p dla każdego {1,..., 2}k M . Jeśli, dla pewnego k, odle-

głość ta przekraczała arbitralnie ustaloną wartość progową, to między punktami



kp i 1kp oraz 1kp i 2kp półprostej dodawane były nowe punkty, których obra-zy uwzględniane były w nowym przybliżeniu krzywej przez łamaną. Proces ten był kontynuowany dopóty, dopóki łamana nie przybliżyła krzywej względem za-danej dokładności przybliżenia. Niestety, podobnie jak ma to miejsce w przypadku techniki przekształcania półprostej zastosowanej do atraktorów afi nicznych IFS w pracy (Traxler i Ge-rvautz [149]), tak i w przypadku atraktorów nieliniowych podstawową wadą ta-kiego podejścia jest brak możliwości obliczania średnic fi gur ograniczających podzbiory atraktora. Dlatego w cytowanych pracach proces wyznaczania przecię-cia dokonywany był dla ustalonego z góry drzewa złożeń odwzorowań IFS.

7.3. WYZNACZANIE ODLEGŁOŚCI PUNKTU OD ATRAKTORA

Idea leżąca u podstaw metod obliczania odległości (7.2) punktu np R od atraktora A IFS 1{ ,..., }Nw w polega na oszacowaniu minimum z odległości tego punktu od poszczególnych podzbiorów

1 1... ( ) ... ( )j ji i i if A w w A , które two-

rzą rozkład atraktora na m podzbiorów o średnicach nieprzekraczających zadanej wartości 0 :

1 1 1... ... ...( , ) min{ ( , ( )) : diam( ( )) i ( ) }j j ji i i i i id A d f A f A f A A p p . (7.5)

Ponieważ średnica żadnego z podzbiorów 1... ( )

ji if A nie przekracza , więc od-ległości

1...( , ( ))ji id f Ap mogą być oszacowane od dołu z błędem nie większym

niż za pomocą nierówności

1 1 1... ... ...( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))j j jE i i i i E i id f d f A d f p a p p a , (7.6)

gdzie Aa jest dowolnym punktem atraktora.

Ponieważ 1 1... ...( ) ( )

j ji i i if f Aa oraz 1... ( )

ji if A stanowi -pokrycie atrakto-ra, zatem zbiór

1...{ ( )}ji if a aproksymuje atraktor z błędem nie większym niż

względem metryki Hausdorffa. Wobec tego, oszacowanie wartości (7.5) za po-mocą lewej strony nierówności (7.6) może zostać dokonane adaptacyjnie po-przez przeglądanie drzewa hierarchii podzbiorów atraktora przy użyciu nieznacz-nie zmodyfi kowanego algorytmu adaptacyjnych odcięć, który został opisanyw punkcie 3.2. W pracy (Hepting i inni [56]) przedstawiono implementację opisanego podej-ścia w postaci algorytmu iteracyjnego, który wykorzystuje listę do przechowy-wania danych dotyczących aktualnie rozpatrywanych podzbiorów atraktora. Pod-czas działania algorytmu, na liście składowane są trójki , ,f fd f D , gdzie fd oznacza odległość punktu np R od punktu ( )f a , ( )Aa , należącego do pod-



zbioru ( )f A atraktora, fD zaś jest oszacowaną z góry średnicą tego podzbioru przy użyciu wartości diam( )Lip( )A f . Działanie algorytmu rozpoczyna się od umieszczenia na liście trójki

( , ), ,diam( )Ed id A p a odnoszącej się do całego atraktora. Następnie algorytm w każdej iteracji:1) zastępuje na liście każdą z trójek , ,f fd f D N trójkami

, ,i if w i f wd f w D , i = 1,…,N;

2) wyznacza z listy trójek wartość tmpMind będącą najmniejszą wartością pierw-szego składnika fd trójek;

3) porównuje wartość tmpMind z najmniejszą dotychczas znalezioną odległością mind i jeśli mintmpMind d , to min tmpMind d (i ewentualnie ( )nearest fa a ,

gdzie f jest drugim elementem trójki zawierającej tmpMind ) ;4) usuwa z listy wszystkie trójki, których wartości „średnic” fD są nie więk-

sze od zadanej dokładności 0 , a także te, dla których wartość f fd D jest większa od aktualnej wartości mind ;

5) jeśli lista nie jest pusta, powtarza powyższą sekwencję kroków począwszy od kroku 1.

Dokonywane w kroku 4 wykluczenie z dalszego przetwarzania trójek, których wartości fD nie przekraczają wartości , jest konsekwencją zadanej dokładno-ści algorytmu. Reprezentowane przez te trójki podzbiory mogą bowiem zawie-rać punkty leżące o co najwyżej bliżej punktu p niż „najbliższy” dotychczas znaleziony punkt atraktora (który może być przechowywany w kroku 3 w zmien-nej nearesta na potrzeby innych algorytmów wykorzystujących tę procedurę – zob. punkt 9.1.5), którego odległość od p przechowywana jest w zmiennej mind . Nato-miast usuwanie trójek, dla których wartość f fd D jest większa od wartości mind , wynika z faktu, iż reprezentowane przez te trójki podzbiory leżą dalej od punktu p niż wspomniany „najbliższy” dotychczas znaleziony punkt atraktora. Oszacowanie od dołu poszukiwanej odległości (7.5) z błędem nie większym niż otrzymuje się na podstawie wynikowej wartości mind , obliczając wartość wyrażenia minmax(0, )d . Optymistyczna złożoność pamięciowa i obliczeniowa przedstawionego al-gorytmu wynosi (log )O m , gdzie m jest liczbą podzbiorów tworzących rozkład atraktora na podzbiory o średnicach nieprzekraczających wartości . Natomiast w przypadku pesymistycznym, w którym wyznaczanych jest O(m) podzbiorów rozkładu atraktora, koszt obliczeniowy i pamięciowy jest rzędu O(m). Inne możliwe warianty implementacji przedstawionego podejścia obejmują wersję algorytmu iteracyjnego, w którym zamiast listy wykorzystuje się kopiec (na analogicznych zasadach, jak w algorytmie NearestRayAttractorIntersection opisanym w podpunkcie 7.2.3), oraz adaptację algorytmu adaptacyjnych odcięć w wersji rekurencyjnej.


195 Estymacja wektorów normalnych w punktach atraktora

8. ESTYMACJA WEKTORÓW NORMALNYCH W PUNKTACH ATRAKTORA

8.1. WPROWADZENIE

Jeżeli celem wizualizacji jest uzyskanie obrazów o pewnym stopniu reali-zmu, to proces wyznaczania punktów powierzchni obiektów postrzeganych przez obserwatora musi zostać wzbogacony o odpowiedni schemat wyznacza-nia barwy tych punktów. Schemat ten określany jest w grafi ce komputerowej mianem oświetlania i cieniowania (ang. lighting and shading). Barwa przypisy-wana danemu punktowi wyznaczana jest na ogół poprzez rozwiązanie tzw. rów-nania oświetlenia, będącego formułą defi niującą model oświetlania (ang. illumi-nation model). Model oświetlania uwzględnia właściwości optyczne wizualizo-wanej powierzchni oraz wpływ źródeł światła i innych obiektów sceny na bar-wę rozważanego punktu. Na potrzeby realistycznej grafi ki komputerowej stwo-rzono kilka takich schematów (patrz np. (Hall [51, s. 63], Glassner [43, s. 121]) i, z wyjątkiem niektórych stosowanych w wizualizacji obiektów wolumetrycz-nych (np. Blinn [13], Kajiya i Von Herzen [63], Martyn [90]), ich wspólną ce-chą jest to, że jedynym z parametrów równania oświetlenia jest wektor normal-ny w cieniowanym punkcie. Znajomość wektorów normalnych w punktach powierzchni wizualizowa-nych obiektów jest również niezbędna do rozwiązywania problemów związanych z wyznaczaniem trajektorii ruchu obiektów dynamicznych, będącej rezultatem interakcji (kolizji) tych obiektów między sobą oraz z obiektami statycznymi. Do podstawowych zadań należy określenie kierunku, w którym będzie przemieszczał się obiekt na skutek zderzenia sprężystego z innym obiektem sceny, oraz trajek-torii ruchu w przestrzeni ze statycznymi barierami (na przykład w trakcie przesu-wania się obiektu wzdłuż ścian modelu reprezentującego obiekt architektonicz-ny – ang. sliding) (Lengyel [72]). W przypadku powierzchni gładkich, opisanych przez funkcje różniczkowalne, wektor normalny zdefi niowany jest w każdym punkcie powierzchni i jego wyzna-czenie odbywa się poprzez obliczenie wektora gradientu funkcji w danym punk-cie. Atraktory IFS są jednak na ogół fraktalami, a te ostatnie – pomijając pewne szczególne konstrukcje funkcji fraktalnych (np. Cochran i inni [20]) – są w ogól-nym przypadku nieróżniczkowalne. W konsekwencji, wektory normalne w punk-tach „powierzchni” atraktora są na ogół niezdefi niowane – przynajmniej w kla-sycznym znaczeniu tego terminu. Co więcej, jak pokazują rozważania teoretyczne dotyczące lokalnych własno-ści fraktali (Falconer [33, s. 6982], Mattila [97, s. 202214]), uogólnienie poję-cia płaszczyzny stycznej w punkcie zbioru fraktalnego (i co za tym idzie – wek-



tora normalnego) oparte na teorii miary i na wykorzystaniu s-wymiarowej mia-ry Hausdorffa, ma zastosowanie jedynie w przypadku stosunkowo wąskiej klasy zbiorów1. Na podstawie powyższego, z teoretycznego punktu widzenia zagadnienie wyznaczania normalnych w punktach atraktora należy uznać w ogólnym przy-padku za problem źle postawiony. Niemniej – niejako wbrew uzasadnieniom teoretycznym – wychodząc naprzeciw potrzebom grafi ki komputerowej, w li-teraturze przedmiotu zaproponowano kilka metod heurystycznych szacowania tych wektorów. Oczywiście, wobec braku jakiegokolwiek obiektywnego kryte-rium ocennego, miarą jakości tych oszacowań jest jedynie intuicja obserwatora bazująca na doświadczeniach wzrokowych kształtowanych oglądem obiektów świata rzeczywistego. Omówieniu tych metod poświecono kolejne punkty ni-niejszego rozdziału.

8.2. WYGŁADZANIE ATRAKTORA

W przypadku metod omawianych w tym podpunkcie obliczenia opierają się na aproksymacjach podzbiorów atraktora IFS przy użyciu powierzchni gładkich, podobnie jak miało to miejsce w algorytmach wyznaczania przecięcia półprostej z atraktorem opisanych w poprzednim rozdziale. Metody te można podzielić na dwie kategorie: metody bezpośrednie – wyznaczające normalne dla podzbioru atraktora na po-

stawie wektorów normalnych w odpowiednich punktach powierzchni gładkiej aproksymującej ten podzbiór;

metody hierarchiczne – wyznaczające normalne dla podzbioru atraktora na podstawie sekwencji wektorów normalnych w odpowiednich punktach se-kwencji powierzchni gładkich, które aproksymują ten podzbiór oraz jego nadzbiory, zgodnie z hierarchicznym uporządkowaniem podzbiorów atraktora.

8.2.1. Metody bezpośrednie

Metody te należą do najstarszych sposobów szacowania normalnej w punk-cie ogólnie rozumianej powierzchni fraktalnej. Pierwsze obrazy cieniowanych fraktali, uzyskane za pomocą metod bezpośrednich, zostały sporządzone przez R. Vossa i przedstawione jako ilustracje do książki B.B. Mandelbrota The frac-

1 Mowa tutaj o klasie tzw. zbiorów regularnych, tj. zbiorów składających się z punktów, w któ-rych gęstość względem s-wymiarowej miary Hausdorffa jest dobrze określona (pomijając pod-zbiór punktów zerowej miary Hausdorffa). Równoważna klasyfi kacja zbiorów posiadających płasz-czyzny styczne w punktach względem s-wymiarowej miary Hausdorffa oparta jest na pojęcius-prostowalności zbioru; por. (Mattila [97, s. 204–212]).



tal geometry of nature (Mandelbrot [76]). Metody te najlepiej sprawdzają się w odniesieniu do zagadnień związanych z wizualizacją realistyczną tzw. frak-talnych terenów, które w dzisiejszej grafi ce komputerowej czasu rzeczywistego aproksymowane są zwykle za pomocą siatek trójkątów; por. np. (Polack [119]). W takim rozwiązaniu wektory normalne mogą być wyznaczone jako wektory normalne odpowiednich trójkątów. (Do fraktalnych terenów będących atrakto-rami IFS metoda ta została zastosowana np. w pracach (Massopust [96], Wit-tenbrink [154])). Bardziej wyszukane rozwiązanie, mające na celu stworzenie u obserwatora iluzji gładkiej powierzchni, do wyznaczenia normalnej w punk-cie trójkąta wykorzystuje interpolację dwuliniową wektorów skojarzonych z odpowiednimi wierzchołkami siatki, zaś wektory w wierzchołkach obliczane są jako znormalizowana średnia wektorów normalnych trójkątów współdzielą-cych dany wierzchołek (ang. vertex normal averaging). Inne podejścia do sza-cowania wektorów normalnych w punktach terenów fraktalnych za pomocą me-tody bezpośredniej oparte są na aproksymacjach tych powierzchni za pomocą czworokątów, płatków Béziera (Fournier i inni [39]) i powierzchni sklejanych (Szeliski i Terzopoulos [146]). Idea szacowania wektorów normalnych jako normalnych w punktach po-wierzchni gładkich przybliżających podzbiory fraktala została następnie zastoso-wana w ogólnym przypadku atraktorów IFS w pracach (Hepting i inni [56], Gröller [47]). Do aproksymacji podzbiorów atraktora wykorzystano kule o odpowiednio małej średnicy, zaś wektory normalne wyznaczane były jako normalne w punktach ich powierzchni. Niestety, wykorzystanie tak wyznaczonych wektorów normal-nych do cieniowania atraktora IFS daje często rezultaty niezadowalające. Jeśli bo-wiem średnica kul jest zbyt duża, to w obrazie atraktora widoczna jest geometria kolekcji sfer aproksymujących atraktor, która na ogół odbiega od wyobrażenia ob-serwatora o geometrii samego atraktora. Z kolei, cieniowanie atraktora przy użyciu wektorów normalnych, wyznaczonych na podstawie kul o średnicy bliskiej roz-dzielczości urządzenia wyświetlającego, daje w wyniku obrazy o niskiej korela-cji jasności między sąsiednimi elementami obrazu atraktora, co przez obserwatora odbierane jest na ogół jako niepożądany artefakt „szumu jasności” na powierzchni atraktora. Jak pokazano w artykule (Martyn [95]), znacznie lepsze rezultaty zastosowa-nia omawianej idei można uzyskać, wykorzystując do przybliżania podzbiorów atraktora zamiast kul, wielościany aproksymujące otoczki wypukłe tych podzbio-rów. Ponieważ otoczka wypukła jest zbiorem, który najlepiej oddaje geometrię danego podzbioru atraktora spośród wszystkich zbiorów wypukłych, zatem dzię-ki takiemu podejściu rozkład wektorów normalnych odzwierciedla „krzywiznę” powierzchni atraktora w sposób znacznie lepiej odpowiadający intuicji, aniżeli w przypadku zastosowania w tym celu kul lub jakichkolwiek innych, arbitralnie wybranych fi gur ograniczających. Na rysunku 8.1 przedstawiono aproksymacje



przy użyciu wielościanów utworzone dla przykładowych atraktorów IFS. Wielo-ściany te można wyznaczyć za pomocą algorytmu odcinania wierzchołków, który został przedstawiony w podpunkcie 6.3.2. Co więcej, w przypadku atraktorów afi -nicznych IFS, obliczenie tych wielościanów sprowadza się do zastosowania algo-rytmu do wyznaczenia wielościanu zawierającego atraktor i następnie obliczenia obrazów tego wielościanu przy odpowiednich złożeniach odwzorowań IFS defi -niujących aproksymowane podzbiory atraktora (twierdzenie 2.21).

Rys. 8.1. Przykłady aproksymacji atraktorów układów IFS na przestrzeni R3 wykorzystujących przybliżenia otoczek wypukłych podzbiorów atraktora przez wielościany o określonej liczbie ścian

Powyższe podejście może być również zastosowane do szacowania normal-nych w punktach atraktora lub punktach zbioru punktowego aproksymującego atraktor (np. wyznaczonego przy wykorzystaniu jednego z algorytmów z rozdz. 3). W tym celu należy wyznaczyć wielościan o średnicy nieprzekraczającej zadanej wartości 0 , który ogranicza podzbiór atraktora zawierający dany punkt atrak-tora lub jego przybliżenia. W przypadku aproksymacji punktowej atraktora, war-tość powinna być odpowiednio większa od dozwolonego błędu aproksymacji, tak aby wielościan zawierał również inne punkty tej aproksymacji. Wektor nor-



malny w punkcie wyznaczany jest jako normalna do ściany wielościanu, która leży najbliżej tego punktu (jeśli najbliższa ściana nie jest określona jednoznacz-nie, wówczas wybierana jest dowolna ściana ze zbioru ścian najbliższych). Przy-kładowe rezultaty zastosowania tej metody przedstawiono na rys. 8.2.

Rys. 8.2. Przykłady zastosowania metody szacowania normalnych w punktach atraktora na pod-stawie przybliżeń otoczek wypukłych podzbiorów atraktora wielościanami. Poszczególne punkty aproksymacji atraktora przedstawiono za pomocą kół zorientowanych prostopadle do oszacowa-

nych normalnych

Ponieważ wektory normalne uzyskiwane za pomocą metod bezpośrednich dla skończonego zbioru punktów mogą być obliczane w fazie poprzedzającej proces wizualizacji, metody te mogą być z powodzeniem wykorzystane w realistycznej wizualizacji aproksymacji punktowych atraktorów w czasie rzeczywistym przy użyciu procesorów grafi cznych (podpunkt 9.2.4).



8.2.2. Metody hierarchiczne

Metody hierarchiczne mają na celu zwiększenie współczynnika korelacji wy-znaczanych wektorów normalnych w sąsiadujących ze sobą punktach obrazu atraktora (lub jego aproksymacji) i, co za tym idzie, zredukowanie, powstające-go w rezultacie cieniowania, artefaktu „szumu jasności” na powierzchni atrakto-ra. Dodatkowo, ich wykorzystanie w kontekście cieniowania pozwala ukryć przed obserwatorem trywialną, „niefraktalną” strukturę powierzchni gładkich aprok-symujących podzbiory atraktora. W konsekwencji, jeśli podzbiory atraktora są aproksymowane przez powierzchnie o średnicach zbliżonych do wielkości pik-sela, to cieniowany obraz atraktora oddaje złożony charakter geometrii atraktora, przy czym jednocześnie wywołuje, zgodne z intuicją, wrażenie „lokalnej ciągło-ści” rozkładu jasności w punktach postrzeganych przez obserwatora. Jak wskaza-no w poprzednim podpunkcie, cechy te są trudne do pogodzenia w przypadku za-stosowania metod bezpośrednich. Wspólną cechą metod hierarchicznych jest to, że kierunek wyznaczanych przez nie wektorów normalnych jest zależny od lokalizacji punktu obserwacji. Niech

np R będzie punktem atraktora A IFS 1{ ,..., }Nw w należącym do fi gury ogra-niczającej

1 1... ... ( )k ki i i iB w w A , której średnica nie przekracza dozwolonego

błędu 0 aproksymacji atraktora. Niech no R będzie ustalonym punktem obserwacji. Wektor normalny n(p) w punkcie p obliczany jest na podstawie wa-żonej sumy wektorów normalnych

0 1...( )ji i in x w 1k punktach

0 1... ji i ix (j = 0,...,k) powierzchni fi gur ograniczających

0 0 1 0 1 2 0 1 2 ..., , ,...,ki i i i i i i i i iB B B B . Punkt

0 1... ji i ix jest naj-bliższym (punktu o) punktem przecięcia bryły

0 1 2 ... ji i i iB z domkniętym odcinkiem op , zaś

0iB oznacza fi gurę ograniczającą atraktor.

W artykule (Hart i DeFanti [52]) zaproponowano trzy metody nadawania wag sumowanym wektorom normalnym. W przypadku metody wag stałych (ang. the constant weighting sum) nie wy-różnia się żadnego z sumowanych wektorów i oblicza wektor normalny w punk-cie p jako

0 ...

0( ) ( )

j

k

i ij

n p n x . (8.1a)

W metodzie wag dolnoprzepustowych (ang. the low-pass weighting sum) wektorom normalnym przypisywane są wagi proporcjonalne do rozmiarów fi -gur ograniczających i, tym samym, wyróżniane są wektory normalne w punk-tach powierzchni brył większych. Wektor normalny obliczany jest tutaj zgodnie z formułą:

0 0... ...

0( ) diam( ) ( )

j j

k

i i i ij

B

n p n x . (8.1b)



Z kolei, w przypadku metody wag górnoprzepustowych (ang. the high-pass weighting sum) zmniejsza się rola wektorów normalnych brył większych, a jed-nocześnie zwiększa udział normalnych brył mniejszych:

0 0 0... ...

0( ) (diam( ) diam( )) ( )

j j

k

i i i i ij

B B

n p n x . (8.1c)

Teoretycznie, jako fi gury ograniczające w wyżej opisanych metodach można zastosować dowolne zamknięte powierzchnie różniczkowalne prawie wszędzie. Jak pokazują jednak wyniki prezentowane w literaturze, najlepsze rezultaty wi-zualne otrzymywane są przy wykorzystaniu cieniowania atraktora na podstawie sum wektorów normalnych w punktach fi gur ograniczających o geometrii elipso-idy (Hart i DeFanti [52]) oraz kuli (Martyn [82]). Ponieważ wynikowe wektory normalne zależą od położenia punktu obserwa-cji, metod hierarchicznych nie stosuje się w realistycznej wizualizacji atraktorów w czasie rzeczywistym, gdzie wzajemne położenie punktu obserwacji oraz atrak-torów ulega zmianom. Ze względu jednak na defi nicję sum (8.1), metody te świet-nie koegzystują z algorytmami adaptacyjnego wyznaczania przecięcia półprostej z atraktorem (podpunkt 7.2.3) i, jako takie, wykorzystywane są z powodzeniem w wizualizacji atraktorów metodą śledzenia promieni.

8.3. WYKORZYSTANIE z-BUFORA

Metoda przedstawiona w niniejszym punkcie wyznacza wektory normalne w punktach zbioru widocznych z określonego kierunku, na podstawie odwzo-rowania tego zbioru w z-buforze (buforze głębi) przy wykorzystaniu rzutowania równoległego prostokątnego. W oryginale (Norton [108]) metoda ta została za-proponowana w związku z problemem cieniowania trójwymiarowych projekcji zbiorów Julii opisanych przez odwzorowania kwaternionowe. Może być ona jed-nak również stosowana do dowolnego innego zbioru punktowego w przestrzeni

3R , w tym i punktowych aproksymacji atraktorów IFS. W celu oszacowania wektora normalnego w punkcie p wizualizowanego zbio-ru na podstawie projekcji p tego punktu w z-buforze, porównywana jest wartość głębi ( )z p z wartościami głębi najbliżej położonych projekcji innych punktów zbioru w z-buforze. Niech q będzie jedną z rozważanych projekcji najbliższych projek-cji p w z-buforze. Wówczas wartość bezwzględna różnicy wartości głę-bi ( ) ( )b z z p q podzielona przez odległość a między p i q w układzie współrzędnych z-bufora wykorzystywana jest do oszacowania tangensa kąta między przybliżeniem nq wektora normalnego n w punkcie p i kierunkiem rzu-



towania d (rys. 8.3). Wektor nq obliczany jest na podstawie tg( ) w płaszczyź-nie wyznaczonej przez wektory pq

i d.

Rys. 8.3. Schemat wyznaczania wektora normalnego na podstawie zawartości z-bufora

Wektor normalny n w punkcie p wyznaczany jest poprzez uśrednienie znor-malizowanych wektorów

iqn obliczonych przy użyciu opisanej metody dla zbioru projekcji 1,...,{ }i i kq najbliższych projekcji p w z-buforze. Zbiór naj-bliższych projekcji wyznaczany jest na ogół poprzez przeszukanie zawartości z-bufora wzdłuż osi X i Y układu współrzędnych z-bufora. Podstawową wadą omówionej metody jest to, że – niejako z założenia projek-towego leżącego u podstaw pracy (Norton [108]) – ogranicza się ona do równo-ległego rzutowania punktów. Z punktu widzenia problemu cieniowania, konse-kwencją tego faktu jest to, że może być ona jedynie stosowana do wyznaczania barwy punktów oświetlanych przy użyciu kierunkowych (równoległych) źródeł światła. W rezultacie, metody w przedstawionej wersji nie można wykorzystać do wyznaczania barwy punktów oświetlanych przy wykorzystaniu, powszechnie stosowanych we współczesnej grafi ce komputerowej, punktowych i stożkowych źródeł światła, czy też do symulowania efektu odbicia lustrzanego na powierzch-niach zakrzywionych. Chociaż teoretycznie możliwe jest uogólnienie tej metody na inne rodzaje rzutów, w tym i rzutowanie perspektywiczne, to jednak skutkowa-łoby to znacznie większą ilością obliczeń. Ponadto należy zauważyć, iż poprawne zastosowanie przedstawione-go podejścia wymusza generowanie i przechowywanie zawartości z-bufora oddzielnie dla każdego obiektu sceny, dla którego normalne wyznaczane są w opisany sposób. W konsekwencji, zastosowanie omawianej metody do wi-zualizacji scen zawierających nawet niewielką liczbę takich obiektów należy uznać za kosztowne, zarówno pamięciowo jak i obliczeniowo, nawet w kon-tekście możliwości dzisiejszego sprzętu graficznego. Oprócz składowania za-wartości z-buforów, proces wizualizacji wymagałby bowiem co najmniej tylu



przebiegów potoku graficznego, ile jest zbiorów punktowych w scenie, a na-stępnie dodatkowego przebiegu, w którym generowany byłby obraz wyniko-wy na podstawie porównania zawartości z-buforów otrzymanych z przebie-gów poprzednich.

8.4. METODA GRADIENTU FUNKCJI ODLEGŁOŚCI

Metoda przedstawiona w artykule (Hart i inni [53]) polega na określaniu wek-tora normalnego w punkcie p danego zbioru nA R jako wartości gradientu1 funkcji odległości : [0, )nd R

( ) inf { ( , ) : }Ed d A x x a a (8.2)

w tym punkcie. Ponieważ funkcja odległości na ogół nie jest dana w postaci ana-litycznej, poszczególne współrzędne ( )i gradientu ( ) ( ) T( ) [ ,..., ]i i n p w punk-cie p są szacowane jako

( ) ( ( )) ( ( ))i d i d i p p , (8.3)

gdzie ( )i jest wektorem o i-tej współrzędnej równej i pozostałych współrzęd-nych równych zeru, 0 zaś jest arbitralnie ustaloną wartością odzwierciedlają-cą dokładność oszacowania. Metoda ta pierwotnie została zaproponowana w kontekście zagadnienia reali-stycznej wizualizacji trójwymiarowych projekcji zbiorów Julii opisanych przez odwzorowania kwaternionowe. Pomimo to, może być ona również z powodze-niem zastosowana do innych zbiorów punktowych, dla których możliwe jest ob-liczenie lub oszacowanie wartości funkcji (8.2). Metodę aproksymowania tej wartości dla atraktorów IFS przedstawiono w punkcie 7.3. W przypadku zasto-sowania podejścia gradientowego łącznie z tą metodą, wartość powinna prze-kraczać dozwolony błąd aproksymacji wartości funkcji odległości. Podstawową niedogodnością wykorzystania metody gradientowej do wy-znaczania wektora normalnego w punkcie skończonej aproksymacji punktowej atraktora IFS jest duży nakład obliczeń rzędu O(m), gdzie m jest liczbą punktów aproksymacji. Koszt ten jest bezpośrednią konsekwencją złożoności oblicze-niowej metody aproksymowania wartości funkcji odległości punktu od atrakto-ra. Dlatego metoda ta nie może zostać wykorzystana do obliczania normalnych w punktach atraktora w trakcie procesu wizualizacji w czasie rzeczywistym. Wektory te jednak mogą być obliczone dla poszczególnych punktów aproksy-

1 W związku z zastosowaniem omawianego podejścia do zbiorów o geometrii fraktalnej należy jed-nak zauważyć, iż choć funkcja odległości jest ciągła, to jednak na ogół – podobnie jak same frakta-le – jest nieróżniczkowalna. Co za tym idzie, rozważany gradient z matematycznego punktu widze-nia jest nieokreślony; por. (Barnsley [9, s. 58–62]).



macji w procesie poprzedzającym wizualizację i następnie zastosowane do cie-niowania punktów atraktora w czasie rzeczywistym przy wykorzystaniu współ-czesnych procesorów grafi cznych.

8.5. REGRESJA LINIOWA

Ostatnia z metod prezentowanych w niniejszym rozdziale jest adaptacją me-tody wykorzystywanej do rozwiązywania zagadnienia rekonstrukcji powierzch-ni na podstawie skończonego, niezorganizowanego zbioru punktów pochodzące-go z akwizycji przy użyciu skanera 3D. Jako taka, metoda ta ma swoje korzenie w – popularnym w ostatnich latach – nurcie grafi ki komputerowej określanej jako grafi ka punktowa (ang. point-based graphics) (Gross i Pfi ster [46]). Oryginalna metoda zaproponowana w artykule (Hoppe i inni [58]) polega na wyznaczeniu normalnej w punkcie p skończonej aproksymacji punktowej nS R oryginalnej powierzchni S , jako wektora normalnego płaszczyzny H stycznej do S w punkcie p. Płaszczyzna H szacowana jest na podstawie skończonego pod-zbioru k innych punktów i Sq , i = 1,...,k, które znajdują się w arbitralnie usta-lonym, bliskim otoczeniu punktu p. Jest ona obliczana jako płaszczyzna zawie-rająca punkt p i zorientowana w przestrzeni tak, aby leżała jak najbliżej punktów

iq (rys. 8.4). Jako miarę odległości punktów od płaszczyzny zastosowano sumę kwadratów odległości ( , )id Hq tych punktów od płaszczyzny. Jeżeli przyjmie się za środek układu współrzędnych punkt p, to ( , ) | ( ) |i id H q n q p , gdzie n jest znormalizowanym wektorem normalnym płaszczyzny H. Stąd zagadnienie wy-znaczania normalnej n w punkcie p jest zadaniem najmniejszych kwadratów zde-fi niowanym jako problem minimalizacji:

2

|| || 1 1min ( ( ))

k

ii

nn q p . (8.4a)

Rys. 8.4. Wyznaczanie wektora normalnego na podstawie oszacowania płaszczyzny stycznej w punkcie

Niestety, ze względu na ograniczenie || || 1n jest to problem optymalizacji nie-liniowej, który w postaci danej formułą (8.4a) nie jest dogodny do obliczeń nume-rycznych. Niemniej, problem ten można sprowadzić do równoważnego (z punktu widzenia optymalizacji) zagadnienia minimalizacji funkcjonału o postaci:



T T

1( ) ( )( )

k

i ii

n n q p q p n . (8.4b)

Macierz T

1( )( )

k

i ii

q p q p jest macierzą symetryczną, zatem stosując rozkład

względem wartości własnych można ją przedstawić w postaci:

T T

11

( )( ) diag( ,..., )k

i i ni

q p q p U U , (8.5)

gdzie 1[ ,..., ]nU u u jest ortonormalną macierzą wektorów własnych ui, zaś 1 ... n – przynależnymi do tych wektorów, rzeczywistymi wartościami wła-

snymi macierzy (8.5). Na tej podstawie łatwo zauważyć, że funkcjonał ( )F n w dziedzinie wektorów jednostkowych osiąga minimum dla 1n u , czyli dla wek-tora własnego macierzy (8.5) skojarzonego z najmniejszą wartością własną 1 . Powyższa metoda została następnie udoskonalona w pracach (Pauly i inni [112], Gross i Pfi ster [46]) poprzez nadanie odpowiednich wag składnikom sumy (8.4a). Wartości wag określane są na postawie odległości danego punktu

iq od punktu p, jako wartości funkcji Gaussa 2 2(|| ||) exp(|| || / )h i i h q p q p , h R . W rezultacie, rozważany problem minimalizacji przybiera postać:

2

|| || 1 1min ( ( )) (|| ||)

k

i h ii

nn q p q p , (8.6)

zaś jego rozwiązanie sprowadza się do wyznaczenia wektora własnego skojarzo-nego z najmniejszą wartością własną symetrycznej macierzy

T

1( )( ) (|| ||)

k

i i h ii

q p q p q p . (8.7)

Opisane podejścia mogą być w stosunkowo łatwy sposób adaptowane do sza-cowania wektora normalnego w punkcie p atraktora A (lub jego aproksymacji punktowej A ). Niech 0 będzie arbitralnie ustaloną liczbą defi niującą wiel-kość otoczenia ( , )B p , które określa zbiór punktów ( , )i B A q p branych pod uwagę podczas wyznaczania normalnej. Na wstępie należy wyznaczyć skoń-

czoną rodzinę 1,2

F p złożeń

1...

mi iw w odwzorowań IFS, które określa-

ją podzbiory atraktora 1

... ( )mi iw w A o średnicach nieprzekraczających war-

tości 12 i mających niepuste przecięcie z kulą 1,

2B p . W ogólnym przy-

padku, podzbiory te najłatwiej oszacować przy użyciu prostej modyfi kacji algo-rytmu wyznaczania wszystkich przecięć półprostej z atraktorem, wykorzystujące-go drzewo kul ograniczających podzbiory atraktora (podpunkt 7.2.3). Wspomnia-



na modyfi kacja polega na zastosowaniu – w miejsce oryginalnej półprostej – kuli 1,2

B p i dokonywaniu adaptacyjnych testów przecięcia tej kuli z kulami znaj-

dującymi się w węzłach drzewa. Macierz M zdefi niowana wzorami (8.5) lub (8.7) obliczana jest na podsta-wie punktów ( )ifq x , gdzie 1,

2f F

p , zaś ix są punktami skończonej

sekwencji 0{ }Ki ix wygenerowanej przy użyciu algorytmu probabilistycznego dla

0 Ax (por. punkt 3.3). Obliczanie macierzy M może być dokonywane równo-legle z generowaniem punktów wspomnianej sekwencji, poprzez zastosowanie iteracji

T1

( , /2)( ( ) )( ( ) ) , 0,...,i i i i

f Ff f i K

p

M M x p x p

,

dla macierzy (8.5) lub, odpowiednio dla macierzy (8.7), iteracji

T1

( , /2)( ( ) )( ( ) ) (|| ( ) ||), 0,...,i i i i h i

f Ff f f i K

p

M M x p x p x p

.

W obydwu formułach, dla i = 0, 1M oznacza macierz zerową.

Wadą opisanego podejścia jest jego duży koszt obliczeniowy, który powodu-je, że nie może ono być wykorzystane do obliczania wektorów normalnych bez-pośrednio w trakcie procesu wizualizacji atraktorów w czasie rzeczywistym. Jed-nakże, podobnie jak w przypadku metody gradientowej, wektory normalne mogą być wyznaczone w fazie obliczeń wstępnych i następnie wykorzystywane w stan-dardowy sposób do cieniowania atraktora w czasie rzeczywistym przy wykorzy-staniu funkcjonalności potoku współczesnych akceleratorów grafi cznych.


W celu porównania wyników otrzymywanych przy wykorzystaniu metod omó-wionych w niniejszym rozdziale, na rys. 8.5 zaprezentowano rezultaty wizualiza-cji odbicia rozproszonego światła białego w punktach aproksymacji atraktora IFS określanego popularnie jako dywan Sierpińskiego, usytuowanego w przestrzeni trójwymiarowej. Zastosowano model równoległego (kierunkowego) źródła świa-tła o wektorze padania światła [1,1,1]T (w lewoskrętnym układzie współrzęd-nych). Intensywność odbicia światła obliczono przy wykorzystaniu modelu lam-bertowskiego (Foley i inni [37], Zabrodzki [157]), zastosowanego w kontekście wektorów normalnych oszacowanych w punktach aproksymacji przy użyciu po-szczególnych podejść. Na rysunku 8.6 przedstawiono histogramy kosinusów ką-tów utworzonych przez wektory normalne i normalną płaszczyzny, której pod-zbiorem jest rozważany atraktor.



Rys. 8.5. Wykorzystanie normalnych oszacowanych w punktach aproksymacji atraktora do oblicza-nia odbicia rozproszonego światła emitowanego przez źródło kierunkowe. Metoda wykorzystują-ca otoczki wypukłe podzbiorów atraktora, metoda wykorzystująca zawartość z-bufora oraz metoda wykorzystująca regresję liniową dają w tym przypadku identyczny wynik, który został zobrazowa-ny na wizualizacji a). Pozostałe wizualizacje odnoszą się odpowiednio do: b) metody „wygładza-nia” atraktora przy wykorzystaniu kul, c) metody wag stałych, d) metody wag dolnoprzepustowych,

e) metody wag górnoprzepustowych, f) metody gradientu funkcji odległości



Rys. 8.6. Histogramy kosinusów kątów utworzonych przez wektory normalne i normalną płaszczy-zny, której podzbiorem jest atraktor IFS z rys. 8.5 (poszczególne wykresy odnoszą się do odpowied-

nich wizualizacji tego atraktora)

Jak widać na rys. 8.6a, normalne wyznaczone przy użyciu metody wykorzy-stującej otoczki wypukłe podzbiorów atraktora, metody wykorzystującej regresję liniową i metody wykorzystującej zawartość z-bufora są identyczne i całkowicie zgodne z normalną płaszczyzny, na której zlokalizowany jest atraktor. W rezulta-cie, obliczona intensywność odbicia rozproszonego jest taka sama w każdym punk-cie aproksymacji atraktora, czego wyrazem jest równomierny rozkład jasności na atraktorze w wizualizacji przedstawionej na rys. 8.5a. Jeśli za kryterium jakości wyników przyjąć kryterium oparte na – wyrażonym w podpunkcie 8.2.1 – postula-cie „odzwierciedlania krzywizny powierzchni atraktora przez wektory normalne”, to, w świetle przedstawionych wyników, metody te należy uznać za najlepsze. Jak wskazano jednak w punkcie 8.3, metoda wykorzystująca zawartość z-bu fora obar-czona jest szeregiem ograniczeń, m.in. jej zastosowanie zawężone jest jedynie do


209 Wizualizacja

przypadku rzutowania równoległego wizualizowanych zbiorów. Z kolei, metoda oparta na regresji liniowej charakteryzuje się dużym kosztem obliczeniowym, któ-ry jest znacznie większy od nakładu obliczeń dwóch pozostałych wymienionych metod. Stąd, w tej kategorii metod, metoda wykorzystująca otoczki wypukłe za-proponowana w pracy (Martyn [95]) wydaje się najlepsza. Zbliżone rezultaty daje również metoda wykorzystująca szacowanie gradientu funkcji odległości (rys. 8.5f i 8.6f). Niemniej, podobnie jak metoda wykorzystu-jąca regresję liniową, metoda ta wymaga na ogół dużego nakładu obliczeń zwią-zanych z szacowaniem wartości funkcji odległości punktów od atraktora. Z punktu widzenia wspomnianego wyżej postulatu, pozostałe cztery metody dają znacznie gorsze wyniki (por. wykresy na rys. 8.6). Niemniej, należy zauwa-żyć, iż wobec faktu nieróżniczkowalności obiektów fraktalnych i, co za tym idzie, formalnie nieokreślonych normalnych w punktach takich obiektów, postulat ten stanowi jedynie próbę wyrażenia z natury subiektywnej intuicji w obiektywnym języku matematyki. Jako taki, postulat ten nie jest bezwzględnie wiążący i w mia-rę potrzeb może być zastąpiony postulatem innym. Kryterium ocennym mogą być w szczególności wrażenia estetyczne płynące z percepcji wizualizowanych atrak-torów cieniowanych przy użyciu normalnych uzyskanych za pomocą danej me-tody. Jeżeli przyjmie się taki punkt widzenia, wizualizacje zaprezentowane na rys. 8.5b–e będą prawdopodobnie uznane przez większość obserwatorów za bar-dziej atrakcyjne niż przedstawione na rys. 8.5a, f. Wybór odpowiedniej metody szacowania wektorów normalnych zależy zatem od kontekstu, w którym wektory te będą następnie wykorzystywane.

9. WIZUALIZACJA

9.1. ATRAKTORY W PRZESTRZENI 2D

Zagadnienie wizualizacji atraktorów IFS będących podzbiorami przestrzeni dwuwymiarowej obejmuje metody obrazowania geometrii tych zbiorów oraz po-średniej informacji niesionej przez te zbiory i ich dopełnienia, a także informa-cji, która dotyczy specyfi kacji IFS. Wybór odpowiedniej metody zależy zatem od określonego celu i przedmiotu wizualizacji. Jednym z możliwych ogólnych podziałów metod obrazowania atraktorów 2D jest podział na:• metody wizualizacji geometrii atraktora, ewentualnie wraz z dodatkową infor-

macją zlokalizowaną na tym zbiorze,• metody wizualizacji informacji zawartej w dopełnieniu atraktora.


210 Wizualizacja

Pierwsza grupa metod opiera się na algorytmach aproksymacji przedstawio-nych w rozdz. 3 i 4, wzbogaconych ewentualnie o schematy przypisywania po-ziomu jasności lub barwy punktom aproksymacji na podstawie wartości miary niezmienniczej, której nośnikiem jest atraktor, lub innych możliwych kryteriów, zwykle estetycznych. Na rysunku 9.1 przedstawiono diagram obrazujący zależ-ności między algorytmami geometrycznymi i innymi zagadnieniami składający-mi się na metody wizualizacji geometrii atraktora.

Rys. 9.1. Wizualizacja geometrii atraktora 2D – diagram zależności między algorytmami składo-wymi. Zapis A B oznacza, że do rozwiązania problemu B konieczne jest rozwiązanie proble-mu A. W przypadku, gdy strzałka narysowana jest linią przerywaną, oznacza to, iż do rozwiązania problemu B ewentualnie może być konieczne rozwiązanie problemu A (w zależności od wykorzy-

stanych algorytmów)

Z kolei, wśród metod wizualizacji dopełnienia atraktora można wyróżnić me-tody obrazowania:• funkcji odległości punktu od atraktora,• czasu ucieczki,• funkcji potencjału.

Metody obrazowania geometrii atraktora przedstawiono w podpunktach 9.1.19.1.4, zaś metodom wizualizacji dopełnienia atraktora poświęcono pod-punkty 9.1.5–9.1.7.

9.1.1. Operator Hutchinsona a wizualizacja atraktorów i miar niezmienniczych

Z punktu widzenia defi nicji 2.18 atraktora IFS opartej na właściwościach operatora Hutchinsona (2.10), które zostały ujęte we wniosku 2.17, za najbar-dziej elementarne podejście do wizualizacji tych zbiorów należy uznać meto-


211 Wizualizacja

dy eksploatujące iterację tego operatora. W najprostszym zastosowaniu tych metod wizualizacja polega na zapaleniu pikseli reprezentujących poszczegól-ne punkty zbioru aproksymującego atraktor, otrzymanego w rezultacie zastoso-wania jednego z wariantów algorytmu aproksymacji, które zostały przedstawio-ne w punkcie 3.1. W związku z tym należy zauważyć, że proces aproksymacjiatraktora odbywa się tutaj, niejako z założenia, w continuum liczb rzeczywi-stych1, zaś proces dyskretyzacji zbioru aproksymującego ma miejsce dopiero w momencie przedstawiania obrazu tego zbioru w dyskretnej przestrzeni pikse-li w procesie wizualizacji. Odmienne podejście, w przypadku którego proces aproksymacji atraktora odbywa się bezpośrednio w dyskretnej przestrzeni obrazu (przestrzeni pikse-li), polega na zastosowaniu metody opartej na iteracji dyskretnej wersji opera-tora Hutchinsona W (formuła (4.14)) opisanej w podpunkcie 4.5.2. Rozpoczy-nając od prostokątnej siatki 0I m n zapalonych pikseli takiej, że 0 0( )I W I , w kolejnych iteracjach tworzona jest sekwencja binarnych obrazów 0 1, ,..., MI I I o rozdzielczości mn pikseli, gdzie obraz 1kI powstaje poprzez przekształcenie współrzędnych zapalonych pikseli poprzedniego obrazu kI przy użyciu operatora W~ ; operację tę oznaczymy jako 1 ( )k kI W I . Na podstawie rozważań przepro-wadzonych w podpunkcie 4.5.2, rozważany ciąg obrazów zbiega w skończonejliczbie kroków do obrazu ( )M MI W I , którego zapalone piksele aproksymu-ją oryginalny atraktor IFS z dokładnością, o jakiej mówi twierdzenie 4.14. Opi-sany sposób wizualizacji (oraz jego modyfi kacje w zakresie zawartości obrazu początkowego) stosowany jest często w celach edukacyjnych, aby zobrazować fakt zbieżności procesu iterowania operatora Hutchinsona do atraktora IFS2; (np. Barnsley [7, s. 86–87]). Metoda iteracji dyskretnego operatora Hutchinsona może zostać uogólniona do obrazowania miar niezmienniczych IFSP {w1,...,wN ; p1,..., pN}, których no-śnikami są atraktory IFS. Jak pokazano w punkcie 2.4, miara taka jest granicą ciągu miar powstałego poprzez iteracyjne zastosowanie operatora Markowa do dowolnej unormowanej miary borelowskiej o zwartym nośniku spt (wnio-sek 2.32). Bezpośrednio z defi nicji operatora Markowa (formuła (2.16)) wy-nika, że obrazem miary przy tym przekształceniu jest miara ( )M , będąca sumą N miar postaci #

i ip w . Z kolei, z defi nicji 2.29 obrazu miary przy danym odwzorowaniu oraz defi nicji nośnika miary 2.26, wynika, że dla każdej z tych miar, nośnik #spt( ) (spt )i i ip w w oraz, że miara #

iw – podobnie jak miara – jest unormowana.

1 Oczywiście pomijając fakt skończonej precyzji liczb zmiennopozycyjnych. 2 Należy zauważyć, iż nieco na wyrost, wziąwszy pod uwagę fakt, iż w rzeczywistości iteracji pod-dawana jest jedynie dyskretna wersja tego operatora.


212 Wizualizacja

Rys. 9.2. Zastosowanie algorytmu stałej masy do wizualizacji przykładowej miary niezmienni-czej IFSP – wyniki kolejnych kroków iteracji algorytmu. Wykorzystany IFSP to układ odwzoro-wań zamieszczony w dodatku A w punkcie 6 (pierwszy układ) wyposażony w prawdopodobień-

stwa [0,28, 0,33, 0,39]

Na podstawie powyższych informacji, wykorzystanie idei iteracji dyskretnego operatora Hutchinsona do wizualizowania miary niezmienniczej IFSP sprowadza się do utworzenia sekwencji obrazów monochromatycznych 0 1, ,..., MI I I o roz-dzielczości m×n pikseli przyjmujących odpowiednie wartości w skali szarości, zgodnie z zależnością

1

1( )

N

k i i ki

I p w I

, (9.1)

gdzie 0 0( )I W I jest obrazem o jednorodnej, niezerowej wartości wszystkich pikseli. Zapis ( )i kw I oznacza utworzenie nowego obrazu o rozdzielczości m×n


213 Wizualizacja

poprzez przekształcenie współrzędnych zapalonych pikseli obrazu kI odwzoro-waniem iw i zakumulowanie wartości odpowiednich pikseli w obrazie ( )i kw I . Operacje mnożenia przez wartość skalarną ip i sumowania są operacjami ma-cierzowymi dokonywanymi na obrazach ( )i kw I , interpretowanych jako macierze m×n określające wartości odpowiednich pikseli. W zależności od celu wizualiza-cji, wartości pikseli są zwykle interpretowane albo jako poziom jasności pikseli, albo jako indeks w pewnej zdefi niowanej palecie kolorów. Na rysunku 9.2 zaprezentowano wyniki uzyskane w kolejnych krokach opisa-nego algorytmu dla przykładowej miary niezmienniczej IFSP. Opisana wyżej metoda wizualizacji miary niezmienniczej została zapropono-wana między innymi w (Barnsley [7, s. 352 i n.]), a także pod nazwą algorytmu stałej masy (ang. constant mass algorithm) w (Monro i Dudbridge [100]). W arty-kule (van Wijk i Saupe [151]) zaprezentowano implementację tej metody wyko-rzystującą elementarne operacje na teksturach, obecne w potoku grafi cznym API OpenGLa począwszy od wersji 1.1 (i realizowane sprzętowo niemalże w każ-dej karcie grafi cznej współczesnych komputerów osobistych). W cytowanej pracy [151] przedstawiono również proste rozszerzenie tej metody do generowania ko-lorowych obrazów atraktorów IFS w celach estetycznych. Rozszerzenie to polega na dokonywaniu iteracji (9.1) niezależnie dla każdej składowej koloru w modelu barw RGB. Każdemu z odwzorowań iw przypisywana jest zatem trójka prawdo-podobieństw ( , , )R G B

i i ip p p odnoszących się do poszczególnych składowych kolo-ru, zaś rezultatem iteracji są aproksymacje trzech miar niezmienniczych, których wartości w danym pikselu określają barwę tego piksela.

9.1.2. Gra w chaos a metody wizualizacji – kolorowanie IFS i wykradanie kolorów

W ogólnym ujęciu, zastosowanie algorytmu probabilistycznego aproksyma-cji (zarówno w wersji omówionej w punkcie 3.3, jak i punkcie 4.3) w zagad-nieniu wizualizacji polega na zapalaniu pikseli będących dyskretną reprezentacją punktów sekwencji generowanej przez ten algorytm. W najprostszym rozwiąza-niu, w którym piksele przybierają tylko dwie wartości (interpretowane jako infor-macja o zapaleniu lub zgaszeniu piksela), w wyniku otrzymuje się binarny obraz aproksymacji geometrii atraktora. Ze względu na prostotę implementacji, techni-ka ta jest najbardziej popularną metodą wizualizacji atraktorów IFS na przestrze-ni 2R , powszechnie wykorzystywaną w celach edukacyjnych jako „naoczny” do-wód poprawności algorytmu probabilistycznego (por. np. Barnsley [7], Pierański [117], Kudrewicz [70]). Rozszerzenie tego podejścia polega na obrazowaniu aproksymacji miary nie-zmienniczej IFSP niesionej przez atraktor. W tym celu szacowana jest wartość mia-ry niezmienniczej poszczególnych pikseli interpretowanych jako podzbiory bore-


214 Wizualizacja

lowskie przestrzeni 2R i wartości te reprezentowane są w obrazie jako poziomy ja-sności pikseli w odpowiedniej skali szarości. Na podstawie twierdzenia 3.7, wartość miary niezmienniczej piksela, dla dostatecznie dużej liczby iteracji algorytmu pro-babilistycznego, może być aproksymowana jako stosunek liczby punktów wygene-rowanej sekwencji należących do tego piksela (czyli reprezentowanych przez ten piksel) do całkowitej liczby punktów ciągu. Wobec tego, zastosowanie gry w cha-os w omawianym celu polega na inkrementowaniu poziomu jasności pikseli „od-wiedzanych” przez punkty sekwencji generowanej przez ten algorytm. W rezultacie otrzymywany jest obraz monochromatyczny będący swego rodzaju histogramem rozkładu miary niezmienniczej na dyskretnej reprezentacji atraktora. Obok zastoso-wań czysto edukacyjnych, metoda ta wykorzystywana jest do generowania fraktal-nych tekstur oraz atrakcyjnych wizualnie, „pocieniowanych” obrazów fraktali dwu-wymiarowych (np. Barnsley i inni [11], Barnsley [7]). Przykładowe obrazy miar niezmienniczych IFSP zlokalizowanych na kwadracie, które zostały uzyskane przy wykorzystaniu omówionej metody, zaprezentowano na rys. 9.3.

Rys. 9.3. Uzyskane, za pośrednictwem algorytmu gry w chaos, obrazy przykładowych miar nie-zmienniczych IFSP zlokalizowanych na kwadracie. Prawdopodobieństwa od strony lewej do pra-wej, z góry na dół: [0,287, 0,216, 0,259, 0,238], [0,27, 0,19, 0,27, 0,27], [0,3125, 0,21875, 0,3125,

0,15625], [0,221, 0,26, 0,312, 0,207]


215 Wizualizacja

Niemniej, przedstawione wyżej, liniowe odwzorowywanie „gęstości” miary niezmienniczej IFSP w pikselach w jasność tych pikseli bardzo często daje w wy-niku obrazy o niskim poziomie jasności. Jak trafnie zauważono w artykule (Dra-ves i Reckase [24]), przyczyną wspomnianego efektu jest to, że na ogół liczba pikseli o danej gęstości miary maleje wykładniczo w stosunku do wartości tej gęstości – liczba ta jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do logarytmu gęstości. Ponieważ maksymalna gęstość miary w pikselach obrazu jest zwykle o wiele większa od średniej wartości tej gęstości, liniowe odwzorowanie gęstości w jasność skutkuje tym, że znaczna część obrazu atraktora ma niską jasność (ob-raz jest ciemny) – rys. 9.4a. Niejako naturalnym rozwiązaniem przedstawionego problemu jest – zaproponowane w cytowanej pracy – wykorzystanie, w miejsce odwzorowania liniowego, funkcji logarytmicznej i określanie jasności poszcze-gólnych pikseli jako logarytmu wartości (gęstości) miary w tych pikselach. Zasto-sowanie takiego podejścia daje w wyniku obrazy, które często sprawiają wraże-nie, iż atraktor jest strukturą trójwymiarową (rys. 9.4b), co powodowane jest tym, że części atraktora charakteryzujące się większą gęstości miary zdają się przysła-niać podzbiory o gęstości mniejszej. Podobnie jak algorytmy wizualizacji miary niezmienniczej opisane w po-przednim podpunkcie, obrazy generowane przy wykorzystaniu algorytmu proba-bilistycznego można wzbogacić o walor koloru. W najprostszym rozwiązaniu do-konuje się tego poprzez interpretowanie wartości skalarnych przechowywanych w pikselach jako indeksów kolorów w zdefi niowanej palecie kolorów. Inne roz-wiązanie polega na równoczesnej wizualizacji trzech miar niezmienniczych nie-sionych przez atraktor, których trójki wartości dla poszczególnych pikseli inter-pretowane są jako barwy w przestrzeni barw RGB (lub innej). Bardziej wyszukany sposób generowania barwnych obrazów miar nie-zmienniczych został zaproponowany w artykule (Draves i Reckase [24]). Polega on na przypisaniu każdemu z N odwzorowań IFS pewnej barwy c(i) w przestrzeni RGB. Barwa bieżącego punktu 1( )k i kw p p wygenerowane-go w k-tej iteracji gry w chaos określana jest jako ( )

1( ) / 2ik k c c c , gdzie i

jest indeksem odwzorowania wylosowanego w k-tej iteracji algorytmu. Barwa 0c jest dowolnie ustaloną barwą początkową. Barwy punktów akumulowane

są (addytywnie) w „odwiedzanych” przez te punkty pikselach. Po zakończe-niu działania gry w chaos, wynikowa barwa piksela P(x, y) obrazu oblicza-na jest jako ( , ) log ( , ) / ( , )x y x y x y c , gdzie ( , )x yc jest sumą barw punktów,które „odwiedziły” piksel P(x, y), zaś ( , )x y oznacza liczbę takich punk-tów. Efekt wykorzystania tego podejścia zobrazowano na rys. 9.4c. Ponad-to, w cytowanej pracy zaproponowano wzbogacenie powyższej formuły wy-znaczania barwy piksela o parametr 1 odpowiadający za korekcję gamma.Formuła określania barwy piksela uwzględniająca korekcję gamma ma postać

1/( , )(log ( , )) / ( , )x y x y x y c . Wspomniany parametr umożliwia zwiększenie


216 Wizualizacja

udziału w obrazie „ciemniejszych” części atraktora. Przykład zastosowania ko-rekcji gamma zaprezentowano na rys. 9.4d.

Rys. 9.4. Przykład wizualizacji miary niezmienniczej IFSP zlokalizowanej na atraktorze nielinio-wego IFS: a) liniowe odwzorowanie miary w jasność pikseli, b) logarytmiczne odwzorowanie mia-ry w jasność pikseli, c) „kolorowanie” miary, d) „kolorowanie” miary z korekcją gamma ( 2,2 )

Łatwo zauważyć, że formuła ( )1( ) / 2i

k k c c c , przy użyciu której opisana metoda wyznacza barwę bieżącego punktu wygenerowanego przez grę w chaos, może zostać wyrażona jako podobieństwo na przestrzeni 3R o postaci:

T T ( )1 1 1 1([ , , ] ) diag , , [ , , ]2 2 2 2

iiC R G B R G B

c .

Odwzorowanie to jest odwzorowaniem zwężającym o punkcie stałym c(i). Uogól-nienie tej metody zostało przedstawione w książce (Barnsley [9, s. 325–327])


217 Wizualizacja

i określone jako kolorowanie IFS (ang. IFS colouring). Kolorowanie IFS opiera się na rozszerzeniu oryginalnego układu IFS 1{ ,..., }Nw w na przestrzeni 2R z me-tryką d i o atraktorze A do przestrzeni 2 R C , 3 RC , poprzez wzbogacenie oryginalnych odwzorowań IFS w dodatkowe przekształcenia :iC C C działa-jące na trójwymiarowej przestrzeni barw RGB. W rezultacie otrzymuje się układ odwzorowań 1 1{( , ),..., ( )}N Nw C w C . W cytowanej pracy, jako przekształcenia Ci, zaproponowano przekształcenia afi niczne postaci:

T T T([ , , ] ) diag( , , )[ , , ] [ , , ]i i i i i i iC R G B a b c R G B , (9.2)

gdzie | |,| |,| | 1i i ia b c . Tym sposobem odwzorowania Ci są zwężające na prze-strzeni ( , )EdC , a zatem układ odwzorowań 1{ ,..., }NC C jest IFS na tej prze-strzeni i stąd posiada pewien atraktor C . Wobec tego, rozszerzony układ

1 1{( , ),..., ( )}N Nw C w C jest IFS na przestrzeni 2 R C z metryką max{ , }Ed d i rów-nież on posiada atraktor. Atraktor ten można interpretować jako wykres pewnej funkcji odwzorowującej C na A . Innymi słowy, każdemu punktowi należące-mu do atraktora C przyporządkowany jest dokładnie jeden punkt atraktora A oraz każdemu punktowi należącemu do A przyporządkowany jest co najmniej jeden punkt należący do C . Pewne uogólnienie opisanej techniki kolorowania atraktorów IFS, w którym w miejsce odwzorowań (9.2) zastosowano odwzorowania afi niczne w ogólnej po-staci, można znaleźć w pracach (Nikiel [104, 105]). Bardziej wyrafi nowana metoda nadawania barwy punktom atraktora IFS pole-ga na zastosowaniu techniki opisanej w (Barnsley [9]) i określanej jako wykrada-nie kolorów (ang. colour stealing). Dla danego atraktora A IFS 1{ ,..., }Nw w na przestrzeni 2R , defi niowany jest IFS 1{ ,..., }NC C na przestrzeni 2R oraz arbitral-nie wybierany jest kolorowy obraz dyskretny C (np. pewna rzeczywista fotogra-fi a). Do układu IFS 1{ ,..., }NC C stosowane są odpowiednie przekształcenia (zwy-kle skalowania i translacji), tak aby atraktor C układu 1{ ,..., }NC C po przekształ-ceniu zawierał się w siatce pikseli obrazu C rozpatrywanej jako podzbiór prze-strzeni 2R . W ten sposób powstaje pewne przyporządkowanie kolorów punktom atraktora C , poprzez określenie barwy danego punktu atraktora jako barwy pik-sela zawierającego ten punkt. Przypisanie barwy punktom oryginalnego atraktora A następuje poprzez zastosowanie algorytmu gry w chaos równocześnie do oby-dwu układów IFS. Począwszy od punktów 0 Aa i 0 Cc generowane są dwie sekwencje 0{ }M

k ka i 0{ }Mk kc punktów należące do wspomnianych atraktorów, tak

że 1( )kk kw a a i 1( )

kk kC c c , gdzie {1,..., }k N jest indeksem odwzoro-wania IFS wylosowanym w k-tej iteracji algorytmu. Tym sposobem barwa punk-tu ka określana jest jako barwa punktu kc , która z kolei jest pobierana (używając oryginalnej nomenklatury: „wykradana”) z obrazu C . W związku z zastosowaniem obydwu przedstawionych metod przypisywa-nia kolorów punktom atraktora rodzi się problem, jaką barwę nadać pikselowi,


218 Wizualizacja

do którego przynależy więcej niż jeden punkt generowanej sekwencji i punkty te mają różne barwy. Jedno z najprostszych1 rozwiązań polega na zastosowaniu mieszania kolorów za pośrednictwem kanału . Bardziej wyszukane podejście,zaproponowane w (Barnsley [8]) (por. także (Barnsley [9, s. 336 i n.])), wyko-rzystuje w tym celu tzw. funkcję wierzchu (ang. the tops function). Podanie ści-słej defi nicji funkcji wierzchu wykracza poza zakres niniejszej pracy. Tutaj wy-starczy jedynie powiedzieć, iż funkcja ta pozwala wyodrębnić „zewnętrzne warstwy” atraktora spośród części wspólnych „warstw” (podzbiorów atraktora)

1... ( )

mw w A , {1,..., }k N , mN , na podstawie pewnego porządku linio-wego na przestrzeni nieskończonych ciągów indeksów odwzorowań (czyli tzw. przestrzeni adresów) skojarzonych z punktami atraktora2. W praktyce, wykorzy-stanie funkcji wierzchu sprowadza się do szacowania jej wartości na podstawie ciągu indeksów odwzorowań IFS sprowadzających dany punkt trajektorii wyge-nerowanej przez grę w chaos do danego piksela. Załóżmy3, że 0 0( )Nwa a . Je-śli bieżący punkt

1 0... ( )kk w w a a generowanej sekwencji należy do piksela,

wówczas sekwencja 1...k indeksów odwzorowań IFS porównywana jest z bie-żącą sekwencją 1...j , j < k, pamiętaną dla tego piksela. Relacja porównywania sekwencji indeksów zdefi niowana jest przy wykorzystaniu wspomnianego wyżej porządku na przestrzeni adresów jako

1 1 1 1... ... ... ... lubk j k k j j k i j i , (9.3)

gdzie

min{ {0,..., 1}: }k m j mi m j ,

przy czym 1...k , gdzie oznacza pustą sekwencję indeksów. Jeśli nowa sekwencja 1...k jest większa niż zapamiętana 1...j , wówczas bieżąca barwa piksela zastępowana jest barwą punktu ka i dla piksela, w miejsce dotychczasowej sekwencji, pamiętana jest sekwencja 1...k . W przypadku przeciwnym, zarów-no kolor piksela, jak i pamiętana dla niego sekwencja symboli nie ulega zmianom. Rezultatem zastosowania opisanej procedury są barwne obrazy atraktorów, które sprawiają wrażenie, iż atraktor składa się z „warstw”. W rzeczywistych im-

1 Jeszcze prostsze rozwiązanie przedmiotowego problemu podał M. Barnsley w związku z algoryt-mem kolorowania IFS, stwierdzając po prostu, iż nie trzeba się tym kłopotać, bowiem można okre-ślać barwę piksela jako barwę ostatniego punktu odwiedzającego ten piksel (Barnsley [9, s. 325]).2 Adresem punktu a atraktora IFS {w1,...,wN} na przestrzeni X nazywany jest dowolny nieskończo-ny ciąg indeksów 1 2, ... ...k ze zbioru {1,...,N} taki, że

1 2... ...( )

kw w w x a dla każde-

go x X . Można pokazać, że z każdym punktem atraktora można skojarzyć co najmniej jeden ad-res (Barnsley [7, s. 122 i n.]). 3 W związku z tym zauważmy, że powyższe założenie implikuje, iż adresem punktu

1 0... ( )k

w w a wygenerowanego w k-tej iteracji algorytmu probabilistycznego jest 1...k N , gdzie N oznacza nieskończoną sekwencję symbolu N.


219 Wizualizacja

plementacjach, sekwencje indeksów, przechowywane dla poszczególnych pikse-li, pamiętane są zwykle w postaci skróconej, ograniczonej z góry zadaną dopusz-czalną liczbą indeksów (indeksy wykraczające poza tę granicę nie są pamiętane). Na rysunku 9.5a pokazano „warstwy” przykładowego atraktora wyznaczone na podstawie pojedynczych indeksów, na rys. 9.5b – efekt zastosowania metody kolorowania IFS wraz z wykorzystaniem funkcji wierzchu, a na rys. 9.5c – wynik zastosowania funkcji wierzchu wraz z metodą wykradania kolorów, które pobra-no z fotografi i zamieszczonej na rys. 9.5d.

Rys. 9.5. Zastosowanie metody kolorowania IFS oraz metody wykradania kolorów z wykorzysta-niem wartości funkcji wierzchu: a) uporządkowanie „warstw” ( )iw A atraktora IFS względem przykładowego porządku na zbiorze indeksów odwzorowań, b) przykład zastosowania kolorowa-nia IFS wykorzystującego wartości funkcji wierzchu, c) przykład zastosowania metody wykra-dania kolorów wykorzystującej wartości funkcji wierzchu, d) rzeczywista fotografi a, z której po-

brano barwy

9.1.3. Wykorzystanie algorytmu adaptacyjnych odcięć

Wykorzystanie algorytmu adaptacyjnych odcięć do tworzenia binarnych obra-zów geometrii atraktora odbywa się na analogicznych zasadach jak te, które leżą u podstaw zastosowania w tym celu algorytmu probabilistycznego. Obraz tworzo-


220 Wizualizacja

ny jest przy wykorzystaniu algorytmu ACA zmodyfi kowanego pod kątem aproksy-macji atraktora na -siatce, który został opisany w punkcie 4.2. Binarne wartości przybierane przez poszczególne piksele obrazu odpowiadają usytuowaniu odpo-wiednich podzbiorów atraktora w przestrzeni obrazu i tym samym obraz ten stano-wi wizualną reprezentację zbioru aproksymującego zdefi niowanego formułą (4.7). Algorytm adaptacyjnych odcięć może być również rozszerzony o możli-wość obrazowania miary niezmienniczej IFSP zlokalizowanej na atraktorze A (Hepting i inni [56]). Ponieważ na podstawie wniosku 2.32, dla danego IFSP{w1,..., wN ; p1,..., pN}, miara niezmiennicza jest znormalizowana oraz jest punktem stałym operatora Markowa (2.16), zatem może zostać rozłożona na sumę N miar o postaci

1 1

#i ip w o nośnikach

1 1 1

#spt( ) ( )i i ip w w A oraz całko-witej wartości

1 1 1 1

# ( ( ))i i i ip w w A p , 1 1,...,i N . Z kolei, każda miara składo-wa

1 1

#i ip w jest sumą N miar:

1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2

2 2

# # # # # #

1 1( )

N N

i i i i i i i i i i i ii i

p w p w M p w p w p p w w

,

których nośniki spełniają 1 2 1 2 1 2

# #spt( ) ( )i i i i i ip p w w w w A , zaś całkowite war-tości

1 2 1 2 1 2 1 2

# # ( ( ))i i i i i i i ip p w w w w A p p , 2 1,...,i N . Stosując powyższe rozu-mowanie, na podstawie indukcji otrzymuje się, iż w ogólności każda miara składo-wa

1 1

# #... ...k ki i i ip p w w o nośniku

1 1 1

# #spt( ... ... ) ... ( )k k ki i i i i ip p w w w w A

i całkowitej wartości 1 1 1 1

# #... ... ( ... ( )) ...k k k ki i i i i i i ip p w w w w A p p jest sumą

N miar:

1 1 1 1 1 1

1

# # # # #

1... ... ... ...

k k k k k k

k

N

i i i i i i i i i ii

p p w w p p p w w w

.

Nośniki tych miar spełniają

1 1 1 1 1 1

# # #spt( ... ... ) ... ( )k k k k k ki i i i i i i i ip p p w w w w w w A

,

zaś ich całkowite wartości wynoszą

1 1 1 1 1 1 1 1

# # #... ... ( ... ( )) ...k k k k k k k ki i i i i i i i i i i ip p p w w w w w w A p p p

, 1 1 ,...,ki N .

Wobec tego, zastosowanie algorytmu adaptacyjnych odcięć do obrazowania miary niezmienniczej polega na akumulowaniu w odpowiednich pikselach całkowitych wartości miar składowych, których nośniki mają średnicę nie więk-szą od dozwolonego błędu aproksymacji. Akumulowanie wartości miary w da-nym pikselu odbywa się poprzez inkrementację bieżącej wartości piksela o całko-witą wartość

1...

mi ip p miary składowej 1 1

# #... ...m mi i i ip p w w niesionej przez pod-

zbiór atraktora 1

... ( )mi iw w A , który jest reprezentowany przez punkt przyna-

leżny do tego piksela.


221 Wizualizacja

Należy zauważyć, iż otrzymywane w ten sposób obrazy miary niezmienni-czej dają na ogół pełniejszy wgląd w rozkład tej miary, aniżeli obrazy otrzyma-ne przy pomocy algorytmu probabilistycznego. Dotyczy to w szczególności pod-zbiorów atraktora, dla których wartość miary niezmienniczej jest relatywnie nie-wielka. Podczas gdy prawdopodobieństwo „trafi enia” w taki podzbiór przez se-kwencję generowaną przez algorytm probabilistyczny w skończonej liczbie kro-ków jest również odpowiednio niskie, algorytm adaptacyjnych odcięć „oszacuje” miarę tego podzbioru niezależnie od jej wartości. Podobnie jak w przypadku metod opisanych w poprzednich podpunktach, wartości przechowywane w pikselach mogą być interpretowane albo jako pozio-my jasności, albo odwzorowane w odpowiednie indeksy w zdefi niowanej palecie kolorów. Na rysunku 9.6 przedstawiono wizualizacje przykładowych miar nie-zmienniczych IFSP zlokalizowanych na paprotce Barnsleya.

Rys. 9.6. Przykłady zastosowania algorytmu adaptacyjnych odcięć do wizualizacji miar niezmien-niczych IFSP zlokalizowanych na paprotce Barnsleya generowanych przez prawdopodobieństwa: [0,692, 0,15365, 0,15365, 0,0007], [0,784, 0,137, 0,0784, 0,0006] oraz [0,749, 0,099, 0,149, 0,003]. Stopień jasności barwy czerwonej (począwszy od ciemnej czerwieni do bieli) w punktach obrazu jest proporcjonalny do wartości miary w tych punktach. Barwą zieloną oznaczono piksele o warto-

ści miary bliskiej zera

Co więcej, wizualizacja przy wykorzystaniu algorytm adaptacyjnych odcięć może być również rozszerzona o, opisane w poprzednim podpunkcie, metody ko-lorowania atraktora, tj. kolorowanie IFS oraz wykradanie kolorów.


222 Wizualizacja

Zastosowanie w omawianym algorytmie pierwszej z metod kolorowania jest trywialne i sprowadza się do generowania aproksymacji atraktora pięciowymia-rowego układu IFS, powstałego poprzez rozszerzenie odwzorowań oryginalne-go IFS o przekształcenie kolorów (9.2). Trzy ostatnie współrzędne punktów zbio-ru aproksymującego atraktor interpretowane są jako współrzędne barwy punktu w przestrzeni RGB. Równie łatwe jest wykorzystanie w algorytmie adaptacyjnych odcięć metody wykradania kolorów. Wyznaczanie barwy dla danego punktu aproksymacji atrak-tora A IFS {w1,...,wN} odbywa się w trakcie generowania zbioru aproksymują-cego atraktor, poprzez wyznaczanie tych punktów jednocześnie z generowaniem punktów atraktora C układu IFS {C1,...,CN} na przestrzeni 2R , przy użyciu któ-rego „wykradane” są kolory z obrazu C . Danemu punktowi

1 0... ( )ki iw w a ,

0 Aa , aproksymacji przypisywana jest barwa piksela, do którego przynależy punkt

1 0... ( )ki iC C c , 0 Cc , w obrazie C .

Obydwie metody przypisywania barw mogą być wzbogacone o technikę roz-wiązywania konfl iktu różnych barw punktów przynależnych do tego samego pik-sela, opartą na funkcji wierzchu. Analogicznie do rozwiązania wykorzystującego algorytm probabilistyczny, dla każdego piksela tworzonego obrazu należy skła-dować sekwencje indeksów odwzorowań skojarzonych z punktami tworzonej aproksymacji. Bieżąca barwa danego piksela określana jest na podstawie porów-nania (9.3) bieżącej sekwencji zapamiętanej dla tego piksela z sekwencją indek-sów 1 1... ...k ki i odwzorowań skojarzoną z nowym punktem

1 0... ( )ki iw w a ,

0 0( )Nwa a , który został wygenerowany przez algorytm i jest przynależny do tego piksela.

9.1.4. Inne metody wizualizacji geometrii atraktora

Oprócz wyżej wymienionych, do obrazowania geometrii atraktora można również zastosować pozostałe algorytmy aproksymacji na -siatkach, opisane w rozdz. 4. Niemniej, w praktyce algorytmy te są wykorzystywane na potrzeby wizualizacji stosunkowo rzadko. Przyczyn takiego stanu rzeczy należy zapewne upatrywać w tym, iż algorytmy opisane w poprzednich podpunktach są na ogół bardziej wydajne obliczeniowo oraz podatne na rozszerzenia o różne warianty przypisywania barw punktom atraktora. W odniesieniu do wspomnianej wyżej niskiej wydajności obliczeń pozosta-łych algorytmów, pewnym wyjątkiem jest algorytm minimalnego rysowania (punkt 4.4), przy użyciu którego można uzyskać binarny obraz geometrii atrakto-ra w czasie na ogół krótszym, aniżeli w przypadku zastosowania w tym celu me-tod opisanych w poprzednich podpunktach. U podstaw wydajności tego algoryt-mu leży jednak fakt, iż dla każdego piksela generuje on tylko jeden punkt zbioru aproksymującego atraktor. Dlatego m.in. algorytm ten nie może zostać rozszerzo-


223 Wizualizacja

ny o możliwość obrazowania miary niezmienniczej zlokalizowanej na atraktorze ani też o – dające atrakcyjne efekty wizualne – metody przypisywania barwy tym punktom wykorzystujące funkcję wierzchu. Pomimo to, w pracy (Monro i Dudbridge [100]) zaproponowano metodę ge-nerowania monochromatycznych i kolorowych obrazów atraktorów opartą na algorytmie minimalnego rysowania. Metoda ta polega na określaniu jasności (lub barwy) piksela na podstawie szacowania średniej wartości pewnej funk-cji fraktalnej (Barnsley [5], a także Massopust [96], Barnsley [7, s. 205 i n.]) przyjmowanej przez tę funkcję dla danego piksela. Niemniej, podejście to ogra-niczone jest jedynie do wizualizowania atraktorów o geometrii prostokąta, któ-re są zdefi niowane przez układy IFS określające „rozbicie” prostokąta na siatkę mniejszych prostokątów (niekoniecznie równej wielkości). Stąd, generowane obrazy atraktorów są pewną formą obrazowania wartości przybieranych przez funkcję fraktalną na prostokącie. Z punktu widzenia ogólnych metod wizuali-zacji opisanych w poprzednich podpunktach, zakres zastosowań tego podejścia jest zatem bardzo wąski.

9.1.5. Wizualizacja funkcji odległości

W odróżnieniu od metod przedstawionych w poprzednich podpunktach, metody wizualizacji oparte na funkcji odległości należą do grupy metod obrazowania do-pełnienia atraktora. Na rysunku 9.7 przedstawiono diagram zależności między algo-rytmami geometrycznymi i innymi zagadnieniami składającymi się na te metody.

Rys. 9.7. Wizualizacja funkcji odległości – diagram zależności między algorytmami składowymi (interpretacja oznaczeń jak na rys. 9.1)

W najprostszej realizacji tej metody, dla każdego piksela tworzonego obra-zu, aproksymowana jest wartość odległości (7.2) środka tego piksela od atrakto-


224 Wizualizacja

ra przy wykorzystaniu algorytmu z punktu 7.3. Wartości te następnie odwzoro-wywane są albo w poziom jasności pikseli, albo w indeks w zdefi niowanej pale-cie kolorów. Przykłady wizualizacji otrzymanych omawianą metodą zaprezento-wano na rys. 9.8. Wartości odległości można również utożsamiać z „wysokościa-mi” punktów, interpretując tym samym -siatkę pikseli jako tzw. pole wysokości (ang. height fi eld), które może być następnie wizualizowane w formie swoistego terenu w przestrzeni 3R (Hepting i inni [56]).

Rys. 9.8. Wizualizacja funkcji odległości przykładowych atraktorów IFS. Wartości funkcji odległo-ści są odwrotnie proporcjonalne do jasności danej barwy, przekształcanej dodatkowo przy użyciu funkcji modulo. Punkty należące do atraktora przedstawiono przy użyciu wyróżnionego, jednolite-

go koloru

Metodę tę można usprawnić pod względem wydajności obliczeń, poprzez wykorzystanie faktu ciągłości funkcji odległości rozpatrywanej, dla ustalone-go atraktora IFS, jako funkcja 2: [0, )d R (Hepting i inni [56], Barnsley [9, s. 58–62]). Niech newp będzie środkiem piksela, dla którego należy wy-znaczyć wartość funkcji odległości, prevp – środkiem sąsiedniego piksela, dla


225 Wizualizacja

którego wartość ta została już obliczona, nearesta zaś – punktem atraktora ta-kim, że ( ) ( , )prev prev nearestd dp p a . (Punkt nearesta jest punktem atraktora najbliż-szym punktu prevp i może być on wyznaczony bez dodatkowego nakładu obli-czeń przez algorytm aproksymowania wartości funkcji odległości – por. krok 3 wspomnianego algorytmu). Wówczas wartość ( , )new nearestd p a można uznać za dobre, wstępne oszacowanie poszukiwanej wartości ( )newd p . Wartość tę moż-na zatem wykorzystać w algorytmie aproksymowania odległości jako wartość pierwszego elementu trójki inicjującej ten algorytm. Z kolei, punkt nearesta moż-na uznać za dowolny punkt atraktora, na podstawie obrazów którego obliczane są wartości pierwszych elementów trójek, czyli, używając notacji zastosowanej w punkcie 7.3, odległości ( , ( ))f new nearestd d f p a . Zastosowanie takiego podej-ścia pozwala zatem na ogół na wcześniejsze wykrycie i odrzucenie z dalszego przetwarzania przez algorytm podzbiorów atraktora, od których punkt newp jest położony dalej, aniżeli aproksymowana wartość odległości ( )newd p . W celu dą-żenia do wykorzystania spójności przestrzennej obrazu, kolejne piksele tworzo-nego obrazu mogą być wybierane w porządku spiralnym (Hepting i inni [56]) lub, stosując bardziej wyrafi nowane podejście, w porządku określonym przez krzywą z rodzaju krzywych wypełniających przestrzeń (np. krzywą Hilberta lub Peano; por. Skarbek [138]). Nieco inna metoda wykorzystania funkcji odległości w wizualizacji dopeł-nienia atraktora IFS adaptuje technikę obrazowania zbiorów Julii i Mandelbrota przedstawioną przez Y. Fishera w książce (Peitgen i Saupe [114]). W kontekście atraktorów IFS technika ta została wykorzystana w pracy (Hepting i inni [56]). Polega ona na rysowaniu w przestrzeni obrazu kół o promieniach proporcjonal-nych do odległości środka koła od atraktora. Za stałą proporcji na ogół przyj-mowana jest wartość 4

1 . Punkty znajdujące się wewnątrz narysowanego koła odrzuca się z dalszych rozważań i procedurę rysowania kół wywołuje się reku-rencyjnie dla ośmiu nowych środków leżących na brzegu narysowanego koła.Rekurencja kontynuowana jest dopóty, dopóki promień koła jest mniejszy od ustalonej wartości 0 determinującej minimalną dopuszczalną odległość punktu od atraktora, poniżej której bieżący środek uznawany jest za jeden z punktów atraktora (koło wówczas nie jest rysowane). Wartość ustala się zwykle stosownie do rozmiarów piksela. Nowo narysowane koła „przykrywają” koła narysowane wcześniej, zaś procedura rekurencyjna rysowania kół urucha-miana jest w pętli dla każdego piksela, który nie należy do żadnego z dotychczas narysowanych kół ani do atraktora. W celu zwiększenia atrakcyjności tworzone-go obrazu, wygenerowany w ten sposób obraz może również zostać wzbogaco-ny o element cieniowania poprzez zastąpienie kół kulami, zdefi niowanie źródeł światła i następnie zastosowanie jednej z metod wizualizacji realistycznej (np. metody śledzenia promieni).


226 Wizualizacja

9.1.6. Wizualizacja czasu ucieczki

Podobnie jak metody opisane w poprzednim podpunkcie, metody wizualizacji wykorzystujące ideę czasu ucieczki zaliczają się do grupy algorytmów obrazowa-nia informacji zawartej w dopełnieniu atraktora. Najczęściej wykorzystywana metoda do wizualizacji czasu ucieczki atrakto-rów IFS polega na obliczaniu, dla każdego piksela tworzonego obrazu, wartości funkcji dyskretnego czasu ucieczki 2 0ET :R R N , zdefi niowanej formułą (4.1). Wyznaczone wartości mogą następnie zostać zinterpretowane jako pozio-my jasności pikseli bądź odwzorowane w odpowiednie indeksy w przygotowanej palecie kolorów (zob. rys. 9.9). Diagram zależności między algorytmami geome-trycznymi i innymi zagadnieniami składającymi się na tę metodę zaprezentowano na rys. 9.10.

Rys. 9.9. Wizualizacja dyskretnego czasu ucieczki przykładowych atraktorów IFS przy wykorzysta-niu trójkolorowej palety kolorów indeksowanej za pośrednictwem funkcji modulo

Podobnie jak w przypadku obrazowania funkcji odległości, -siatka pikse-li może być również potraktowana jako defi nicja pola wysokości i zobrazowa-


227 Wizualizacja

na przy wykorzystaniu metod odpowiednich dla reprezentacji danych tego typu (Hepting i inni [56], Prusinkiewicz i Hammel [124]).

Rys. 9.10. Wizualizacja czasu ucieczki – diagram zależności między algorytmami składowymi (in-terpretacja oznaczeń jak na rys. 9.1)

Innym możliwym sposobem wizualizowania informacji dotyczącej funk-cji czasu ucieczki jest obrazowanie indeksów sekwencji odwrotnych odwzoro-wań IFS

1 2

1 1 1, ,...,mi i iw w w wyznaczających wartości tej funkcji dla punktów zbio-

ru ( , ) \B R A0 (czyli ET ( )R mx na podstawie 2 1

1 1 1... ( ) ( , )mi i iw w w B R x 0 ,

gdzie m jest maksymalne) (Hepting i inni [56]). U podstaw omawianego spo-sobu obrazowania leżą tzw. odwzorowania indeksowe (ang. index maps)

: ( , ) \ {1,..., }k B R A N 0J , defi niowane jako ( )k kixJ , gdzie ki jest warto-ścią indeksu k-tego odwzorowania wspomnianej sekwencji odwzorowań. Przed-miotem wizualizacji są przeciwobrazy indeksów ze zbioru {1,...,N} przy odwzo-rowaniach indeksowych w zadanym przedziale parametru k. Przeciwobrazy te tworzą podział zbioru ( , ) \B R A0 na obszary wskazujące, które z odwróconych odwzorowań IFS determinują czas ucieczki dla danego punktu tego zbioru. Na przykład dla 3N , przeciwobraz 1

1 (3)J jest obszarem, dla którego punktów pierwszym odwrotnym odwzorowaniem IFS sekwencji określającej czas uciecz-ki jest odwzorowanie 1

3w . Z kolei, w obrębie obszaru 11 (3)J można zdefi nio-

wać N obszarów 1 11 2 2(3) ( )i J J , 2 1,...,i N , z których każdy określa punkty

z czasem ucieczki determinowanym sekwencjami 2

1 13 , ,...iw w . Przykład zastoso-

wania omówionej metody do wizualizacji dopełnienia trójkąta Sierpińskiego zo-stał zaprezentowany na rys. 9.11a. Ponadto, funkcja dyskretnego czasu ucieczki może zostać zmodyfi kowana, tak aby – zamiast całkowitych wartości – przybierała wartości ze zbioru [0, ] .Modyfi kacja polega na wzbogaceniu oryginalnej defi nicji (4.1) o funkcję reszty

: ( , ) \ [0,1)res B R A 0 (ang. residual function) o postaci (Prusinkiewicz i Ham-mel [124]):

11,...,

0, gdy ;( ) log log || ||max , w p.p.;

log || ( ) || log || ||i Ni

res Rw

x 0x x

x x (9.4)


228 Wizualizacja

gdzie ||.|| oznacza normę euklidesową. Przy wykorzystaniu funkcji reszty, funk-cja ciągłego czasu ucieczki (ang. the contiuous escape-time function) defi niowa-na jest jako

1

1

1,...,

0, gdy || || ;CET ( ) ( ), gdy || || i || ( ) || , {1,..., };

1 max CET ( ( )), w p.p.R i

R ii N

Rres R w R i N

w

xx x x x

x (9.5)

Porównując powyższą defi nicję z defi nicją (4.1) łatwo zauważyć, że dla ( , ) \x B R A 0 , CET ( ) ET ( ) ( ) 1R R res x x x . Ponadto można wykazać, że

CETR jest funkcją ciągłą zarówno na przestrzeni 2 \ AR , jak i względem warto-ści parametru R (Hepting i inni [56]).

Rys. 9.11. Wizualizacja dopełnienia trójkąta Sierpińskiego przy wykorzystaniu: a) odwzorowania indeksowego, b) funkcji średniej ważonej czasu ucieczki dla prawdopodobieństw [1/10, 2/10, 7/10]

Proces obliczania wartości omówionych wyżej wariantów funkcji czasu ucieczki w poszczególnych pikselach tworzonego obrazu można usprawnić wy-korzystując rekurencyjną naturę defi nicji tych funkcji, która znajduje wyraz w re-kursji o postaci 1

1,...,( ) 1 max ( ( ))ii N

f f w

x x . Jeśli wartość funkcji czasu ucieczki

została uprzednio obliczona dla piksela, do którego należy punkt 1( )iw x , to war-tość tę można zastosować w powyższej formule do szacowania wartości czasu ucieczki 1

1,...,max ( ( ))ii N

f w

x . W celu dążenia do wykorzystania uprzednio obliczo-

nych wartości zaleca się obliczanie wartości funkcji ucieczki dla poszczególnych pikseli w porządku spiralnym – począwszy od brzegu tworzonego obrazu, ku jego środkowi. W celu minimalizowania błędu wprowadzanego przez opisane pod-stawienie, w artykule (Hepting i inni [56]) zaproponowano wyznaczanie warto-ści funkcji czasu jedynie dla środków pikseli. Inne proponowane podejście pole-


229 Wizualizacja

ga na obliczaniu wartości tej funkcji w wierzchołkach pikseli i szacowaniu warto-ści 1

1,...,max ( ( ))ii N

f w

x poprzez interpolację tych wartości uprzednio wyznaczonych

dla piksela zawierającego punkt 1( )iw x . Przykładowe wizualizacje ciągłego cza-su ucieczki w postaci pól wysokości zaprezentowano na rys. 9.12.

Rys. 9.12. Przykłady wizualizacji ciągłego czasu ucieczki atraktorów IFS w postaci pól wysokości

Jako alternatywę dla usprawnienia przedstawionego wyżej, w artykule (Hep-ting i Hart [55]) przedstawiono wydajną obliczeniowo implementację wyzna-czania wartości funkcji czasu ucieczki w pikselach tworzonego obrazu, dla ukła-dów IFS składających się z odwzorowań afi nicznych. Do przechowywania war-tości funkcji czasu ucieczki dla poszczególnych pikseli implementacja wyko-rzystuje tzw. bufory ucieczki (ang. the escape buffers), które z punktu widzenia grafi ki komputerowej mogą być utożsamiane z buforami głębi (z-buforami). Ge-


230 Wizualizacja

nerowanie obrazu odbywa się iteracyjnie, poprzez przetwarzanie elementów bu-forów ucieczki EB przy użyciu formuły 1( ) max{ ( ), ( ( )) 1}iEB EB w EB p p p ,

1,...,i N , gdzie 1( ( ))iw EB p oznacza aktualną wartość „niesioną” przez prze-ciwobraz elementu p bufora ucieczki przy odpowiednim odwzorowaniu układu IFS (przekształconego do układu współrzędnych bufora przy użyciu twierdze-nia 2.22). Jeśli przeciwobraz ten nie zawiera się w zakresie współrzędnych bu-fora, to za wartość tę przyjmuje się zero. W zależności od tego, czy wizualizo-wane są wartości dyskretnego czy też ciągłego czasu ucieczki, elementy bufora ucieczki inicjalizowane są odpowiednio wartością zero lub wartościami funk-cji reszty (9.4) (w drugim z przypadków funkcja reszty obliczana jest jedynie w odniesieniu do elementów należących do dziedziny tej funkcji; pozostałym elementom przypisywana jest wartość zero). Kolejny możliwy wariant wizualizowania informacji odnoszącej się do cza-su ucieczki to obrazowanie średniego (oczekiwanego) zachowania się sekwencji punktów, które są generowane przez algorytm gry w chaos zastosowany do ukła-du 1 1

1 1{ ,..., ; ,..., }N Nw w p p odwróconych odwzorowań IFS z prawdopodobień-stwami. W tym celu wprowadza się tzw. funkcję średniej ważonej czasu uciecz-ki (ang. the weighed average escape-time function) 2AET : \R A R R , defi nio-waną jako (Hepting i inni [56]):

1 1

1 1( ,..., ) ( ) 1

log log || ||AET ( ) ...log || || log || ||m

m R

mR i i

i i S m m

Rp p m

x

xxx x

, (9.6)

gdzie:

1

1 1... ( )mm i iw w x x i

1 1

1 11 ... ( )

mm i iw w

x x ,

( )RS x zaś jest zbiorem skończonych sekwencji indeksów 1 1( ,..., )mi i , {1,..., }ji N , takich, że

|| ||m Rx i 1|| ||m R x .

Na podstawie powyższej defi nicji łatwo zauważyć, że do wartości funkcji śred-niej ważonej czasu ucieczki mają wkład wszystkie możliwe „sekwencje ucieczki” danego punktu. Jest to zatem istotna różnica w stosunku do poprzednio omówio-nych funkcji czasu ucieczki, których wartości wyznaczane są na podstawie naj-dłuższej z takich sekwencji. Podobnie jak w przypadku funkcji (9.5), można po-kazać, że funkcja średniej ważonej czasu ucieczki jest ciągła (Hepting i inni [56]). Przykład wizualizacji funkcji średniej ważonej czasu ucieczki dla układu IFSP opisującego trójkąt Sierpińskiego przedstawiono na rys. 9.11b.

9.1.7. Wizualizacja funkcji potencjału

Metoda obrazowania dopełnienia atraktora opisana w niniejszym podpunkcie wykorzystuje pojęcia zaczerpnięte z elektrostatyki. Informacja będąca przedmio-


231 Wizualizacja

tem wizualizacji to wartości s-potencjału w punktach dopełnienia atraktora IFS względem danego, hipotetycznego rozkładu ładunku elektrostatycznego na atrak-torze. Przy założeniu, że rozkład ten opisany jest przez miarę na 2R , funkcja s-potencjału 2: [0, )s R , 0s , defi niowana jest przy użyciu całki Lebes-gue’a jako (Falconer [33])1:

( ) || || s

sA

d

x x a (9.7)

gdzie ||.|| oznacza normę euklidesową wektora. W zagadnieniach wizualizacji atraktorów IFS jako miarę na ogół przyjmuje się albo rozkład równomierny, albo miarę niezmienniczą IFSP. Obliczanie wartości funkcji potencjału w celu wizualizacji dokonywane jest w przestrzeni obrazu (pikseli) na podstawie dyskretnej aproksymacji atrakto-ra IFS (w przypadku równomiernego rozkładu ładunku na atraktorze) lub dys-kretnej aproksymacji miary niezmienniczej IFSP (w przypadku rozkładu ładun-ku określonego miarą niezmienniczą). Aproksymacje te wyznaczane są w fazie obliczeń wstępnych przy użyciu metod opisanych w podpunktach 9.1.19.1.4. Na rysunku 9.13 przedstawiono diagram zależności między algorytmami geo-metrycznymi i innymi zagadnieniami składającymi się na metodę wizualizacji funkcji potencjału.

Rys. 9.13. Wizualizacja funkcji potencjału – diagram zależności między algorytmami składowymi (interpretacja oznaczeń jak na rys. 9.1)

1 W literaturze można również spotkać nieco inną defi nicję funkcji potencjału na 2R w postaci: 1( ) || ||s

A

d

x x a ; zob. (Hepting i inni [56]).


232 Wizualizacja

W poszczególnych pikselach tworzonego obrazu wartości funkcji potencjału dla rozkładu równomiernego aproksymowane są przy użyciu sum (Hepting i inni [56]):

1

1( ) || ||m

c c c ss i

km

p p a ,

gdzie 1{ }c mi ia jest zbiorem środków m pikseli ia , i = 1,...,m, tworzących dyskret-

ną aproksymację atraktora, 1{ }c c mi ip a zaś środkiem piksela, dla którego wyzna-

czana jest rozważana wartość. Analogicznie, w przypadku rozkładu określonego miarą niezmienniczą IFSP wartość funkcji potencjału w poszczególnych pikselach tworzonego obrazu aproksymowana jest jako

1( ) ( ) || ||

mc c c s

s i ik

p a p a ,

gdzie ( )i a jest przybliżoną wartością miary niezmienniczej piksela ia , odczyta-ną z dyskretnej aproksymacji 1{ ( )}m

i i a tej miary. W świetle defi nicji (9.7), metoda wizualizacji oparta na funkcji potencjału może być rozpatrywana jako swego rodzaju połączenie metody wizualizacji funk-cji odległości z wizualizacją miary (w szczególności miary niezmienniczej IFSP), której nośnikiem jest atraktor. Przykłady wizualizacji funkcji potencjału dla trój-kąta Sierpińskiego zaprezentowano na rys. 9.14.

Rys. 9.14. Wizualizacja funkcji s-potencjału trójkąta Sierpińskiego: a) dla s = 2 i równomiernego rozkładu ładunku, b) rozkładu określonego miarą niezmienniczą IFSP generowaną przez wartości prawdopodobieństw [1/4, 5/12, 1/3]. Wartości funkcji potencjału odwzorowano przy użyciu palety

kolorów indeksowanej za pośrednictwem funkcji modulo


233 Wizualizacja

9.2. ATRAKTORY W PRZESTRZENI 3D

9.2.1. Uwagi wstępne

Wizualizacja scen trójwymiarowych zawierających atraktory IFS jest zada-niem znacznie trudniejszym, aniżeli omówione w poprzednim punkcie analogicz-ne zagadnienie dotyczące podzbiorów przestrzeni dwuwymiarowej. Podobnie jak w przypadku wizualizacji klasycznych, gładkich powierzchni składających się na modele w wizualizowanej scenie 3D, trudności leżące u podstaw obrazowania trójwymiarowych obiektów fraktalnych mają źródło w ogólnie znanym proble-mie przedstawiania zawartości sceny trójwymiarowej przy użyciu medium z na-tury dwuwymiarowego (monitora, wydruku, fotografi i itd.). Aby uzyskany dwuwymiarowy obraz informacji przestrzennej zawartej w sce-nie trójwymiarowej był czytelny dla widza, oprócz zastosowania rzutowania od-powiedniego dla celu wizualizacji, należy zwykle zmierzyć się z problemem te-stowania widzialności (ang. visibility testing), czyli nieuwzględniania w obrazie tych części obiektów, które są niewidoczne z danego punktu obserwacji z powo-du zasłaniania przez inne obiekty znajdujące się w scenie. Obok testu widzialności, główną rolę w „kodowaniu” informacji przestrzen-nej w obrazie dwuwymiarowym gra barwa. Odpowiednie przypisanie barwy(i/lub jasności) elementom tworzonego obrazu umożliwia obserwatorowi nie tyl-ko rozróżnianie poszczególnych obiektów sceny, ale przede wszystkim ekstrak-cję informacji o względnych odległościach między obiektami oraz percepcję geo-metrii tych obiektów. Barwa punktów obrazowanych obiektów wyznaczana jest na ogół przy użyciu jednej ze znanych metod grafi ki komputerowej, występują-cych w literaturze pod zbiorczą nazwą modelu oświetlania (ang. lighting model). Model oświetlania odzwierciedla wpływ światła i ewentualnie innych obiektów geometrycznych na barwę rozważanego punktu (m.in. na postawie właściwości optycznych skojarzonych z powierzchnią obrazowanego obiektu). Wizualizowa-nie obiektów trójwymiarowych przy wykorzystaniu modelu oświetlania, które-go zadaniem jest przedstawienie interakcji światła z obiektami geometrycznymi zgodnie z prawami fi zyki, w grafi ce komputerowej często określa się mianem wi-zualizacji realistycznej. Oprócz wymienionych, dodatkowym, ważnym czynnikiem ułatwiającym per-cepcję informacji przestrzennej jest możliwość interaktywnej zmiany punktu ob-serwacji oraz interaktywnego manipulowania obiektami sceny. Funkcjonalność taka jest nie tylko niezwykle istotna w zagadnieniach wizualizacji naukowej, ale również jest niezbędnym składnikiem aplikacji grafi cznych o charakterze czysto rozrywkowym, takich jak choćby gry komputerowe i gry wideo. Niestety, w przypadku atraktorów IFS bezpośrednie zastosowanie znanych me-tod wizualizacji scen trójwymiarowych jest zwykle niemożliwe, przede wszyst-


234 Wizualizacja

kim dlatego że specyfi kacje IFS opisują atraktory jako nieuporządkowane zbiory punktów. Informacja geometryczna w postaci niezorganizowanej chmury punk-tów jest zwykle – z punktu widzenia wspomnianych metod – „nienaturalna”. Po-toki generowania obrazu będące podstawą popularnych metod obrazowania scen trójwymiarowych przeznaczone są bowiem na ogół do przetwarzania geometrii w postaci: reprezentacji brzegowych (siatki wielokątów), danych objętościowych (reprezentacja w postaci -siatki wokseli) czy funkcji uwikłanych opisujących powierzchnie gładkie (Glassner [43], Foley i inni [37], Zabrodzki [157]). Aby wykorzystać te metody do wizualizowania atraktorów IFS, należy więc zastoso-wać odpowiednie modyfi kacje, zarówno w zakresie samych algorytmów, jak i re-prezentacji opisującej geometrię atraktorów. Modyfi kacje te oparte są na algoryt-mach przedstawionych w poprzednich rozdziałach. Ich omówieniu poświęcono trzy następne podpunkty.

9.2.2. Zastosowanie metody śledzenia promieni do wizualizacji geometrii atraktorów IFS

Śledzenie promieni jest jedną z podstawowych metod wizualizacji realistycznej. W podstawowej wersji, algorytm śledzenia promieni (ang. ray tracing) uwzględnia tylko jeden rodzaj promieni, mianowicie promienie pierwotne (nazywane również promieniami oka) (Foley i inni [37]). Drogi wytyczone przez te promienie mogą być rozpatrywane jako umowne ścieżki, po których światło odbite od obiektów sceny wędruje do oka obserwatora. Rozszerzając algorytm podstawowy o katego-rię promieni wtórnych i algorytmiczne mechanizmy ich przetwarzania, uzyskuje się rekursywną metodę śledzenia promieni (Whitted [153], Glassner [43]). Nazwy zastosowane do obydwu kategorii promieni oddają charakter wiążącej je zależno-ści: warunkiem koniecznym rekursywnego generowania i przetwarzania promie-ni wtórnych jest istnienie (niepustego) przecięcia promienia pierwotnego z jednym z obiektów wizualizowanej sceny. W grupie promieni wtórnych można z kolei do-konać podziału, ze względu na charakter zjawiska „badanego” przez promień, na promienie służące do wyznaczania cieni (promienie cienia) oraz promienie odbicia i załamania światła przez obiekt (rys. 9.15). Śledzenie promieni zalicza się do metod wizualizacji działających z precyzją obrazową (Foley i inni [37]), tzn. jej dokładność zdeterminowana jest przez pa-rametry związane z tworzonym obrazem. W prototypowej wersji, w której przez każdy piksel tworzonego obrazu wysyłany jest tylko jeden promień pierwotny, parametrami tymi są rozdzielczość pionowa i pozioma obrazu. Jeśli cechę tę roz-ważać z punktu widzenia zachowania stopnia szczegółowości charakteryzującego defi nicję obiektu w jego obrazie powstałym w wyniku wizualizacji, to zależność ta pozostaje w ścisłym związku z rozmiarami pikseli względem układu współ-rzędnych sceny.


235 Wizualizacja

Gdy następstwem zwiększenia stopnia szczegółowości charakteryzującego de-fi nicję obiektu jest większe zapotrzebowanie pamięciowe lub zwiększenie kosz-tu obliczeniowego wizualizacji, wówczas pożądane jest aby poziom detali zawar-ty w defi nicji nie był nadmiarowy. Sytuacja taka nie występuje, gdy obiekt jest zdefi niowany przy użyciu – naturalnego dla metody śledzenia promieni – wzoru w postaci uwikłanej: 3{ : ( ) 0}f x R x . Reprezentacja taka charakteryzuje się nieskończoną precyzją opisu, przy czym zadanie wyznaczania przecięcia promie-nia (półprostej) z obiektem rozwiązywane jest poprzez podstawienie formuły na półprostą w postaci parametrycznej (7.1) i rozwiązanie tak powstałego równania względem parametru.

Rys. 9.15. Koncepcja metody śledzenia promieni

Niestety, przypadek atraktorów IFS stanowi przykład występowania niedogod-nego związku dokładności opisu obiektu z kosztem pamięciowo-obliczeniowym wizualizacji metodą śledzenia promieni. O ile bowiem układ IFS w zwięzły spo-sób defi niuje atraktor z nieskończoną precyzją, o tyle wizualizacja omawianą me-todą pociąga za sobą: albo potrzebę wygenerowania modelu pośredniego o wie-lomianowym zapotrzebowaniu pamięciowym, albo – w przypadku zastosowania adaptacyjnego wyznaczania przecięcia promienia z atraktorem opisanego w pod-punkcie 7.2.3 – zależność między nakładem obliczeń a dokładnością otrzymywa-nych wyników. Wobec tego wskazane jest, aby dokładność obliczeń (dokładność aproksymacji atraktora) była taka sama, jak dokładność optymalna zdeterminowa-na parametrami wizualizacji. Dokładność tę określa się w literaturze grafi ki kom-puterowej jako dokładność pikselową (ang. pixel-size accuracy), bowiem opiera się ona na wyznaczaniu minimalnej średnicy zbiorów aproksymujących podzbiory atraktora przecinanych przez promień jako odpowiedniej funkcji rozmiaru piksela


236 Wizualizacja

w układzie współrzędnych sceny. Przez rozmiar piksela zwykle rozumie się jego średnicę względem metryki maksimum. W przypadku promieni pierwotnych i rzutowania równoległego minimalna średnica zbioru aproksymującego przecinanego przez promień jest niezależna od odległości punktu przecięcia od obserwatora i równa rozmiarowi piksela w ukła-dzie współrzędnych sceny. W przypadku promieni pierwotnych i rzutowania perspektywicznego minimal-ną średnicę zbioru aproksymującego przecinanego przez promień wyznacza się zwykle jako wartość funkcji (Hart i DeFanti [52], Barr [12]):

2tg2( )

max{ , }EyeP t th

, (9.8)

gdzie t jest odległością punktu przecięcia od obserwatora, kątem pola widze-nia, h i zaś, odpowiednio, rozdzielczością poziomą i pionową obrazu. W przypadku promieni cieni wysłanych z punktowego źródła światła minimal-na średnica zbioru aproksymującego przecinanego przez promień dana jest wzo-rem (Hart i DeFanti [52])

( ) Prev

Pointlightshadowed

PP t tt

, (9.9)

gdzie t jest odległością punktu przecięcia promienia cienia ze zbiorem aproksy-mującym od początku tego promienia, PrevP oznacza minimalną średnicę zbioru aproksymującego w cieniowanym punkcie powierzchni względem promienia po-przedniej generacji, shadowedt zaś jest odległością przecięcia promienia cienia z cie-niowanym punktem od początku tego promienia. Ponieważ kierunkowe źródło światła może być rozpatrywane jako źródło punktowe położone w nieskończoności (Foley i inni [37]), w przypadku promieni cieni wysłanych z kierunkowego źródła światła minimalna średnica zbioru aprok-symującego dana jest przez funkcję stałą:

( )Dirlight PrevP t P . (9.10)

Problem wyznaczania minimalnej średnicy zbioru aproksymującego w przy-padku promieni odbitych i załamanych w rzutowaniu perspektywicznym jest za-daniem trudnym, bowiem wartość ta zależy od krzywizny powierzchni, na której następuje odbicie lub załamanie światła (Shinya i inni [136]). Aby wspomniane zjawiska mogły być uwzględnione w wizualizacji atraktorów IFS przy założeniu rozsądnego nakładu obliczeń, stosując metodę śledzenia promieni na ogół zakła-da się, że powierzchnia odbijająca (załamująca) światło może być – w dostatecz-nie dużym otoczeniu punktu odbicia (załamania) – dobrze przybliżona przez wy-cinek płaszczyzny stycznej w tym punkcie.


237 Wizualizacja

Dzięki zastosowaniu takiego kompromisu, funkcja określania minimalnej średnicy zbioru aproksymującego w przypadku promieni odbitych i rzutowania perspektywicznego może być aproksymowana przez funkcję liniową o postaci (Hart i DeFanti [52]):

( ) ( || ||)

|| ||Prev

Reflection Prev ReflectedPrev Reflected

PP t t

o eo e

, (9.11)

gdzie t jest odległością punktu przecięcia promienia odbitego, w którym wyzna-czana jest minimalna wielkość zbioru aproksymującego, od początku tego pro-mienia, Prevo – punktem początkowym promienia odbijanego (czyli promienia poprzedniej generacji), Reflectede zaś – „odbitym” punktem położenia obserwatora. Punkt Reflectede wyznaczany jest przy użyciu formuły

2 || ( ) ||Reflected e e n e p n ,

gdzie e oznacza oryginalne położenie obserwatora w układzie współrzędnych sce-ny, p jest punktem powierzchni, w którym następuje odbicie, n zaś – wektorem normalnym w tym punkcie. W przypadku promieni odbitych i rzutowania równoległego formuła (9.11) upraszcza się do funkcji stałej o wartości PrevP . Pomimo zastosowania założenia o „lokalnej planarności” cieniowanej po-wierzchni, obliczanie minimalnej średnicy zbioru aproksymującego w przypad-ku promieni załamanych nadal pozostaje problemem nietrywialnym. Wynika to z nieliniowego charakteru zjawiska załamania światła na powierzchni, opisanego prawem Snella; por. np. (Glassner [43]). Jak pokazano jednak w (Martyn [81]), niezależnie od zastosowanego rzutowania, poszukiwana minimalna średnica na ogół może być stosunkowo dobrze przybliżana wartością PrevP . Wizualizacja atraktorów IFS metodą śledzenia promieni z dokładnością pik-selową sprowadza się do zastąpienia w procedurze wyznaczania przecięcia pół-prostej z atraktorem (punkt 7.2.3) stałej dokładności aproksymacji , funkcją dokładności odpowiednią dla danego typu promienia (Hart i DeFanti [52], Mar-tyn [82, 85]). W ten sposób atraktor IFS aproksymowany jest z lokalnie zmie-niającą się dokładnością (zależną m.in. od położenia danego podzbioru atrak-tora względem początku promienia), tak aby obraz atraktora, obrazy jego cieni oraz ewentualne jego obrazy powstałe na skutek odbicia od powierzchni zwier-ciadlanych były aproksymowane na rzutni z dokładnością określoną rozmiara-mi pikseli. W celu zapobiegania artefaktom powodowanym ograniczoną gęstością próbkowania sceny przez promienie zaleca się, aby rozmiary fi gur ograniczają-cych wyznaczanych w procedurze adaptacyjnego wyznaczania przecięcia były


238 Wizualizacja

nie mniejsze od minimalnej średnicy zbioru aproksymującego w punkcie cen-tralnym aktualnie badanej fi gury ograniczającej. Jeśli przypadek taki ma miej-sce, to fi gura ograniczająca skalowana jest w odpowiednim kierunku (Martyn [81]). Na rysunku 9.16 zaprezentowano przykład zastosowania omawianej me-tody do wizualizacji atraktorów IFS z dokładnością pikselową. Jak łatwo za-uważyć, zbliżanie punktu obserwacji do wizualizowanych modeli powoduje automatyczny wzrost stopnia szczegółowości, z jakim prezentowane są mo-dele (przy powiększeniu okazuje się, że listki paprotki są zbudowane z list-ków mniejszych, zaś grubość łodygi pozostaje stała). Opisane podejście może być zatem utożsamiane z „fraktalną” odmianą techniki adaptacyjnego poziomu szczegółowości (LOD) (Luebke i inni [73], Eberly [28]), która w tym przypad-ku wykorzystuje – charakteryzujące obiekty fraktalne, w tym i atraktory IFS – samopodobieństwo.

Rys. 9.16. Wizualizacja atraktorów IFS z dokładnością pikselową przy wykorzystaniu metody śle-dzenia promieni

Wyznaczanie przecięcia atraktora z każdym promieniem z osobna charak-teryzuje się dużą redundancją obliczeń, ponieważ im mniejsza różnica między wektorami kierunkowymi promieni o wspólnym początku, tym większe praw-dopodobieństwo zaistnienia przecięć z tymi samymi fi gurami ograniczającymi odpowiednie podzbiory atraktora. W celu wykorzystania spójności przestrzen-nej (Foley i inni [37]), w pracach (Martyn [81, 85]) zaproponowano podejście


239 Wizualizacja

polegające na śledzeniu nie jednego, ale grup promieni w pojedynczym wywo-łaniu procedury wyznaczania przecięcia promienia z atraktorem. Procedura ta funkcjonuje w tym przypadku na zasadzie „rekurencyjnego fi ltra”, przepuszcza-jącego na niższy poziom drzewa fi gur ograniczających tylko te z promieni gru-py, które przecinają bieżącą fi gurę ograniczającą. Podejście to zalecane jest jed-nak jedynie w odniesieniu do promieni pierwotnych i ich pochodnych promie-ni cieni; promienie następnych poziomów (tj. promienie odbite i załamane oraz ich pochodne promienie cieni) powinny być przetwarzane w standardowy spo-sób. Grupowe przetwarzanie tych ostatnich promieni na ogół nie daje żadnych korzyści, bowiem w następstwie procesu odbicia (załamania) na powierzchni zakrzywionej promieni pierwotnych o zbliżonych wektorach kierunkowych, generowane są promienie wtórne, których wektory kierunkowe zwykle różnią się w znacznym stopniu. W przypadku promieni pierwotnych, grupa promieni określana jest jako zbiór promieni próbkujących prostokątny obszar płaszczy-zny rzutowania, zaś zbiór promieni cieni tworzony jest na podstawie punktów przecięcia grupy promieni pierwotnych z obiektami sceny. Ponadto, przetwarzanie zbioru promieni pierwotnych można dalej usprawnić,określając, w odniesieniu do każdego podzbioru promieni i fi gury ograniczającej obowiązujących w danym kroku procedury wyznaczania przecięcia, minimalne prostokątne obszary na powierzchni rzutni o bokach równoległych do krawędzipikseli (Martyn [81]). Dla podzbioru promieni obszar określany jest jako naj-mniejszy prostokąt zawierający punkty przecięcia promieni z rzutnią, zaś dla fi -gury ograniczającej najmniejszy prostokąt zawierający rzut tej fi gury na rzutnię (Foley i inni [37, s. 660], Ritter [130]). Zastosowanie takiego podejścia pozwala zwiększyć wydajność obliczania przecięcia podzbioru promieni z fi gurą ograni-czającą poprzez zastosowanie prostego obcinania podzbioru promieni we współ-rzędnych obrazu. Test przecięcia z fi gurą ograniczającą dokonywany jest wów-czas tylko w odniesieniu do tych promieni podzbioru, które przecinają część wspólną prostokątnych obszarów. Barwa punktów cieniowanych powierzchni atraktorów oraz innych potencjal-nych obiektów sceny wyznaczana jest przy użyciu – powszechnie wykorzysty-wanego w metodzie śledzenia promieni – modelu oświetlenia, który uwzględnia wpływ światła otoczenia, lambertowskie odbicie rozproszone, odbłyski zwier-ciadlane oraz odbicie zwierciadlane i załamanie światła na powierzchni obiek-tów. Stosowne wzory można znaleźć na przykład w (Glassner [43], Foley i inni [37], Zabrodzki [157]). Z wyjątkiem wpływu światła otoczenia, do uwzględnie-nia wymienionych składników mających wkład do barwy cieniowanego punk-tu wykorzystany model oświetlenia wymaga znajomości wektora normalnego w tym punkcie. W pracach (Hart i DeFanti [52], Martyn [82, 85]) wektor normal-ny w cieniowanym punkcie atraktora obliczany był przy wykorzystaniu metody


240 Wizualizacja

hierarchicznej wag górnoprzepustowych, która została opisana w punkcie 8.2.2 (formuła (8.1c)). Natomiast w pracach (Hepting i inni [56], Gröller [47, 48], Tra-xler i Gervautz [149], Wonka i Gervautz [155]) wykorzystano w tym celu meto-dę bezpośrednią „wygładzania” atraktora przy użyciu kolekcji kul lub elipsoid (podpunkt 8.2.1).

Rys. 9.17. Obrazy scen zawierających atraktory IFS uzyskane przy wykorzystaniu metody śledze-nia promieni

Zastosowanie pełnej metody śledzenia promieni do wizualizowania atrakto-rów IFS może dawać atrakcyjne obrazy, charakteryzujące się wysokim stopniem realizmu (rys. 9.17). Niestety, ze względu na znaczny nakład obliczeń nieroze-rwalnie związanych z samym procesem wizualizacji, obrazowanie nie jest doko-nywane w czasie rzeczywistym (nawet przy wykorzystaniu mocy obliczeniowej nowoczesnych kart grafi cznych). Diagram zależności między algorytmami geo-metrycznymi i innymi zagadnieniami składającymi się na wizualizację atrakto-rów IFS opisaną metodą przedstawiono na rys. 9.18.


241 Wizualizacja

Rys. 9.18. Wizualizacja atraktorów IFS metodą śledzenia promieni – diagram zależności między al-gorytmami składowymi (interpretacja oznaczeń jak na rys. 9.1)

9.2.3. Obrazowanie miar niezmienniczych IFSP przy użyciu wizualizacji wolumetrycznej

Metoda śledzenia promieni może być również dostosowana do wolumetrycz-nej wizualizacji miar niezmienniczych IFSP z dokładnością pikselową (Martyn [90]). W tym celu, w trakcie adaptacyjnego wyznaczania przecięcia promienia z atraktorem, obliczane są wartości miar podzbiorów atraktora zawartych w od-powiednich zbiorach ograniczających. Wyznaczane jest pełne przecięcie promie-nia ze zbiorem aproksymującym atraktor (rozdz. 7), zaś wartości miar określane są zgodnie z rekurencyjną regułą opisaną w podpunkcie 9.1.3. W rezultacie, dla danego promienia otrzymywana jest rodzina zbiorów ograniczających z przypisa-nymi wartościami miar i przecinanych przez ten promień. Wartości te interpreto-wane są w kategoriach optycznych za pośrednictwem odpowiednio zdefi niowanej funkcji (określanej zwykle jako funkcja transferu), jako współczynniki nieprze-zroczystości poszczególnych zbiorów ograniczających. Jasność piksela przecina-nego przez promień pierwotny wyznaczana jest jako odpowiednia suma ważona jasności poszczególnych zbiorów ograniczających rodziny zgodnie z równaniem zaproponowanym przez Blinna dla wizualizacji obiektów gazowych (Blinn [13], Ebert i inni [29]). Dodatkowo, w celu zawarcia w obrazie informacji o średniej


242 Wizualizacja

gęstości miary niesionej przez poszczególne podzbiory atraktora, funkcja transfe-ru może zostać rozszerzona o odpowiedni schemat odwzorowania średniej gęsto-ści miary w kolor. Niestety, to podejście do wizualizacji charakteryzuje się bardzo dużym kosz-tem obliczeniowym, który skutecznie uniemożliwia obrazowanie miar niezmien-niczych IFSP w czasie rzeczywistym. Główną przyczyną takiego stanu rzeczy jest to, że miara niezmiennicza jest aproksymowana na bieżąco dla każdego promie-nia w trakcie adaptacyjnego wyznaczania pełnego przecięcia promienia z atrak-torem. Jeżeli weźmie się pod uwagę znaczną liczbę promieni wykorzystywanych do tworzenia obrazu, to wizualizacja miar niezmienniczych oparta na takim po-dejściu jest mało wydajna. Znacznie lepsza metoda polega na wyeliminowaniu aproksymowania miary niezmienniczej z procesu wizualizacji i wyznaczeniu jej wartości w fazie obliczeń wstępnych na -siatce wokseli w analogiczny sposób, jak opisano to w podpunk-cie 9.1.3 dla przypadku miary w przestrzeni 2R aproksymowanej na siatce pikseli. Dzięki temu miara niezmiennicza może być obrazowana przy użyciu adaptacji zna-nych technik bezpośredniej wizualizacji wolumetrycznej (ang. direct volume rende-ring) pól skalarnych. Co więcej, odpowiednia implementacja przy wykorzystaniu procesorów strumieniowych nowoczesnych kart grafi cznych umożliwia obrazowa-nie tych miar w czasie rzeczywistym. Jak już wspomniano, możliwość interaktyw-nej zmiany punktu obserwacji i manipulowania wizualizowanym obiektem jest istot-nym czynnikiem wpływającym na percepcję cech przestrzennych tego obiektu i jako taka jest wysoce pożądana w wizualizacji naukowej. Poniżej przedstawiono meto-dę interaktywnej wizualizacji miar niezmienniczych IFSP wykorzystującą proceso-ry grafi czne, która została zaproponowana w artykule (Martyn [94]). Na rys. 9.19 zaprezentowano diagram zależności między algorytmami geometrycznymi i innymi zagadnieniami składającymi się na tę metodę wizualizacji.

Rys. 9.19. Wizualizacja miar niezmienniczych IFSP na przestrzeni R3 w czasie rzeczywistym – dia-gram zależności między algorytmami składowymi (interpretacja oznaczeń jak na rys. 9.1)


243 Wizualizacja

Wspomniana metoda opiera się na zmodyfi kowanej wersji modelu oświetlania określanego jako model emiterów zmiennej gęstości (ang. varying density emit-ters) (Sabella [132]), zaadaptowanego w artykule (Martyn [94]) do wizualizacji miar fraktalnych. Model ten reprezentuje pole skalarne jako zbiór cząstek emitu-jących światło o natężeniu zależnym od gęstości przypisanej danej cząstce. Ada-ptacja tego modelu do wizualizacji miar niezmienniczych ma postać następującą: Niech ( )tr , [0, )t , będą punktami promienia pierwotnego ( , )R o d . Mając -siatkę w 3R przechowującą w poszczególnych wokselach wartości [ , , ]x y z miary niezmienniczej IFSP, dla każdego piksela tworzonego obrazu wyznaczane są:1) całkowita, tłumiona jasność emitowana przez piksel opisana całkami Lebesgue’a:

2

1 1

2exp ( ( )) ( ( ))t t

q

t t

B d s d t

r r ; (9.12a)

2) maksymalna wartość [ , , ]x y z postrzegana przez piksel:

1 2

max [ ( )]t t t

M t

r ; (9.12b)

3) najmniejsza wartość parametru t, dla której występuje maksymalna wartość [ , , ]x y z :

min{ : [ ( )] }D t t M r ; (9.12c)

4) barwa piksela obliczana w przestrzeni HSV poprzez odwzorowanie: wartości B w składową jasności V, wartości M w składową odcienia barwy H, wartości D w składową nasycenia S.

W powyższych formułach t1 i t2 są wartościami parametru promienia takimi, że r(t1) i r(t2) są, odpowiednio, najbliższym i najdalszym punktem przecięcia pro-mienia z wokselami zawierającymi niezerową wartość miary. Wykładnik q regu-luje wkład w jasność podzbiorów atraktora o dużej mierze względem podzbiorów o małej mierze; większe wartości q akcentują w obrazie obecność obszarów cha-rakteryzujących się relatywnie większą koncentracją miary, podczas gdy mniej-sze wartości tego parametru intensyfi kują obecność obszarów o większym stopniu rozproszenia miary. Wpływ wartości parametru q na poziom jasności odpowied-nich podzbiorów atraktora zobrazowano na rys. 9.20. Obrazowanie aproksymacji miary niezmienniczej IFSP w czasie umożliwia-jącym interaktywną zmianę położenia i orientacji miary (lub obserwatora) do-konywane jest przy użyciu programowalnego potoku karty grafi cznej i dowolne-go języka programowania jednostek przetwarzania wierzchołków i fragmentów1.

1 Określanych w literaturze odpowiednio jako shadery wierzchołków i shadery fragmentów. Niestety, jak dotychczas, anglojęzyczny termin „shader” nie doczekał się ogólnie przyjętego odpowiednika pol-skiego. W związku z używaną w niniejszym podpunkcie nomenklaturą przypomnieć należy, że mia-nem fragmenty określa się elementy składające się na reprezentację wielokąta po rasteryzacji.


244 Wizualizacja

W tym celu, dane wolumetryczne pochodzące z aproksymacji miary przechowy-wane są – w zależności od możliwości karty – albo w teksturze trójwymiarowej, albo w trzech zestawach tekstur dwuwymiarowych. Proces wizualizacji odbywa się równolegle dla wszystkich pikseli tworzonego obrazu, w następujących trzech przebiegach potoku grafi cznego:1) aproksymowanie jasności B (9.12a) w poszczególnych pikselach obrazu;2) wyznaczenie maksimów M (9.12b) i ich odległości D (9.12c);3) złożenie wyników otrzymanych w poprzednich krokach przy wykorzystaniu

przestrzeni HSV, przekształcenie do przestrzeni RGB i wyświetlenie obrazu.

Rys. 9.20. Wpływ wartości wykładnika q równania jasności (9.12a) na obrazowanie miary. Od stro-ny lewej do prawej, z góry na dół: q = 1,2; 1,0; 0,8; 0,6

Rezultaty pierwszych dwóch przebiegów pośrednich przechowywane są w tek-sturach dwuwymiarowych, na podstawie których w ostatnim przebiegu tworzo-ny jest obraz wynikowy. Poniżej przedstawiono zarys implementacji kolejnych przebiegów.

Wyznaczanie jasności. Aproksymowanie wartości formuły (9.12a) równocześnie dla wszystkich pikseli obrazu może być zrealizowane przy użyciu – wykorzysty-wanych w bezpośredniej wizualizacji wolumetrycznej – metody przecinania tek-


245 Wizualizacja

stury (ang. texture slicing) lub metody rzutowania promieni (ang. ray casting). Z kolei, przecinanie tekstury można zrealizować na dwa sposoby, mianowicie wy-korzystując teksturę trójwymiarową lub trzy zestawy tekstur dwuwymiarowych. W metodzie przecinania tekstury trójwymiarowej (Cullip i Neumann [22], Ca-bral i inni [16]) zbiór danych aproksymujących miarę przekazywany jest do pa-mięci karty grafi cznej w postaci pojedynczej tekstury trójwymiarowej. Następnie, w procesie wizualizacji, z tekstury odczytywane są dane poprzez teksturowanie prostokątów równoległych do rzutni, które przecinają tę teksturę w określonych odstępach step wzdłuż osi widzenia w układzie współrzędnych obserwatora. Roz-ważane prostokąty są wizualizowane w porządku od najdalej położonych do naj-bliższych punktu obserwacji przy wykorzystania mechanizmu mieszania :

1 1 1(1 )i i i iB B .

W równaniu tym Bi+1 i Bi oznaczają, odpowiednio, nową i poprzednią jasność

elementu bufora kolorów, zaś 1 [ , , ]diam( )

qi

step x y zvoxel

, gdzie diam(voxel)

oznacza średnicę woksela w metryce euklidesowej, zaś [ , , ]q x y z reprezentu-je, podniesioną do potęgi q, wartość miary odczytaną z tekstury przecinanej przez prostokąt 1i . Dzięki sprzętowej implementacji mechanizmów teksturowania trójwymiarowego, obejmujących m.in. interpolację trójliniową danych zawartych w teksturze, proces ten może być dokonywany przy użyciu współczesnego sprzę-tu grafi cznego w czasie rzeczywistym. Niemniej, karty grafi czne starszej generacji nie wspomagają teksturowa-nia trójwymiarowego. W tym przypadku dane aproksymacji miary niezmienni-czej należy przechowywać w pamięci karty grafi cznej przy użyciu trzech zesta-wów tekstur dwuwymiarowych (Mrowiec [101]). Każdy z zestawów składa się z tekstur „przecinających” oryginalne dane w odpowiednich odstępach wzdłuż jednej z trzech osi układu współrzędnych -siatki wokseli. Zawartość odpo-wiedniego zestawu tekstur odczytywana jest następnie przy użyciu prostokątów o orientacji zgodnej z orientacją tekstur. Prostokąty są wizualizowane w porząd-ku od najdalej położonych do najbliższych punktu obserwacji przy wykorzysta-niu mieszania . Aktualnie wykorzystywany zestaw tekstur wybierany jest na podstawie minimalnego kąta między wektorami normalnymi prostokątów i osią widzenia układu współrzędnych obserwatora. Główną wadą metody opartej na teksturach dwuwymiarowych w stosunku do metody wykorzystującej teksturę trójwymiarową jest trzy razy większe zapotrzebowanie pamięciowe tej pierw-szej. Ponadto, metoda ta jest podatna na silne artefakty przestrzenne powodo-wane brakiem interpolacji trójliniowej obecnej w teksturowaniu trójwymiaro-wym. Niemniej, jak pokazano w pracy (Rezk-Salama i inni [126]), ta ostatnia wada może zostać usunięta poprzez zaimplementowanie interpolacji trójlinio-wej za pomocą mechanizmu łączników tekstur (ang. multi-texture combiners).


246 Wizualizacja

Niewątpliwą zaletą powyższych metod jest prostota ich implementacji. Nie-stety, metody te charakteryzują się dużą liczbą zbędnych operacji dokonywanych na fragmentach, które nic nie wnoszą do obrazu wynikowego. Ten niekorzystny stan rzeczy powodowany jest często występującym efektem całkowitego tłumie-nia jasności obszarów dalej położonych od obserwatora przez obszary mu bliższe, a także generowaniem i przetwarzaniem fragmentów o zerowej mierze reprezen-tujących „puste” obszary przestrzeni. Co więcej, zastosowanie tych metod łącz-nie z rzutowaniem perspektywicznym skutkuje nierównym krokiem próbkowania danych aproksymujących miarę, który zmienia się z piksela na piksel, co zwykle prowadzi do widocznych artefaktów. Rozwiązanie niemające wymienionych wad, które jednocześnie charaktery-zuje się wydajnością obliczeniową umożliwiającą wyznaczanie jasności wszyst-kich pikseli w czasie rzeczywistym, polega na równoległej implementacji tech-niki rzutowania promieni na programowalnym potoku karty grafi cznej (Krüger i Westermann [69], Martyn [94]). Implementacja ta opiera się na podejściu wie-loprzejściowym potoku grafi cznego. Oryginalny zbiór danych reprezentujących aproksymację miary niezmienniczej przechowywany jest w teksturze trójwy-miarowej. Dla podzbioru -siatki „niepustych” wokseli wyznaczany jest naj-mniejszy prostopadłościan o krawędziach równoległych do osi układu współ-rzędnych -siatki wokseli, który ogranicza ten podzbiór. Prostopadłościan ten kojarzony jest z teksturą przechowującą dane o mierze poprzez zapamiętanie współrzędnych tekstury każdego wierzchołka prostopadłościanu w jego atrybu-cie barwy. W pierwszych dwóch przejściach wyznaczane są początki i wektory kierunko-we promieni pierwotnych w układzie współrzędnych tekstury trójwymiarowej. W pierwszym przejściu dokonywana jest wizualizacja przednich (widocznych) ścian prostopadłościanu. Dzięki interpolacji barwy dokonywanej w procesie raste-ryzacji przez kartę grafi czną, barwy generowanych fragmentów reprezentują naj-bliższe punkty przecięcia promieni pierwotnych z wizualizowanym zbiorem da-nych współrzędnych tekstury. Rezultat zapamiętywany jest w dwuwymiarowej teksturze RGB (tekstura punktów wejściowych) o rozdzielczości odpowiadającej rozdzielczości tworzonego obrazu. Kierunki tych promieni wyznaczane są w drugim przejściu poprzez wizu-alizację tylnych (niewidocznych) ścian prostopadłościanu. W tym przejściu na karcie grafi cznej uruchamiany jest prosty program przetwarzania fragmentów, który dla każdego fragmentu pobiera odpowiednią daną z tekstury punktów wejściowych i oblicza znormalizowany wektor kierunkowy promienia na pod-stawie tej danej oraz barwy fragmentu (barwa interpretowana jest jako współ-rzędne najdalszego punktu przecięcia promienia ze zbiorem danych w układzie współrzędnych tekstury trójwymiarowej). Wektor kierunkowy oraz jego dłu-gość przed normalizacją zapamiętywane są w dwuwymiarowej teksturze RGBA


247 Wizualizacja

(tekstura wektorów kierunkowych) o rozdzielczości odpowiadającej rozdziel-czości tworzonego obrazu. W następnych przejściach dokonywana jest właściwa aproksymacja wartości jasności (9.12a) równolegle dla wszystkich promieni, rezultat zaś zapamiętywany jest w jednokanałowej teksturze dwuwymiarowej. Kroki całkowania wzdłuż pro-mieni dokonywane są przy użyciu programu przetwarzania fragmentów. W każ-dym kroku całkowania, z tekstury trójwymiarowej pobierana jest trójliniowo zin-terpolowana dana reprezentująca wartość miary niezmienniczej w niewielkim otoczeniu próbkowanego punktu. Współrzędne bieżącego punktu próbkowania w układzie współrzędnych tekstury trójwymiarowej wyznaczane są na podstawie początku i wektora kierunkowego promienia skojarzonego z przetwarzanym frag-mentem (pobieranych z tekstury punktów wejściowych i tekstury wektorów kierun-kowych) oraz określonej długości kroku całkowania. Proces przetwarzania dane-go fragmentu jest zatrzymywany, gdy punkt próbkowania znalazł się poza teksturątrójwymiarową lub nieprzezroczystość bieżącego zbioru próbek osiągnęła war-tość maksymalną, tak że kolejne punkty próbkowania nic nie wniosą do wyniku końcowego. Próbkowanie dokonywane jest w pętli po m kroków na pojedynczewywołanie programu przetwarzania fragmentów, zaś wyniki pośrednie przecho-wywane są w teksturze dwuwymiarowej. Między poszczególnymi wywołania-mi programu próbkowania uruchamiany jest dodatkowo prosty program prze-twarzania fragmentów, którego zadaniem jest wstrzymywanie procesu próbko-wania fragmentów spełniających wyżej wymienione kryterium stopu. Fragment jest eliminowany z dalszego przetwarzania poprzez ustawienie jego głębokościw z-buforze na wartość maksymalną. W ten sposób, dzięki mechanizmowi wcze-snego testu głębokości (ang. early z-test) implementowanemu w nowoczesnych kartach grafi cznych, fragmenty spełniające warunek zatrzymania zostaną odrzu-cone zaraz po etapie rasteryzacji, bez uruchamiania programu przetwarzania frag-mentów, w którym dokonywane jest próbkowanie.

Wyznaczanie maksimów i ich odległości. Maksymalne wartości aproksyma-cji miary (9.12b) postrzegane przez piksele oraz odległości (9.12c) tych wartości od obserwatora wyznaczane są równocześnie dla wszystkich pikseli w jednym przejściu potoku grafi cznego. Podobnie jak w przypadku wyznaczania jasno-ści pikseli, stosowna implementacja może opierać się na metodzie rzutowaniapromieni. Należy jednak zauważyć, że wyznaczanie maksymalnej wartości mia-ry postrzeganej przez dany piksel pociąga za sobą konieczność przejścia promie-nia próbkującego przez wszystkie przecinane przez niego woksele. Nie można zatem tutaj skorzystać z mechanizmu wczesnego zatrzymania próbkowania. Co więcej, do wyznaczenia tej wartości nie jest wymagana ani interpolacja trójlinio-wa danych teksutury, ani też, równy dla wszystkich pikseli, krok próbkowania tekstury trójwymiarowej.


248 Wizualizacja

W tym przypadku rozsądnym rozwiązaniem jest zastosowanie podejścia ba-zującego na technice przecinania tekstury trójwymiarowej przy użyciu prosto-kątów. Odmiennie jednak od oryginalnego podejścia (Cullip i Neumann [22], Cabral i inni [16]), normalne prostokątów są zgodne nie z osią widzenia ukła-du współrzędnych obserwatora, ale z jedną z osi układu współrzędnych tekstu-ry na zasadach podejścia wykorzystującego trzy zestawy tekstur trójwymiaro-wych. Prostokąty wizualizowane są w porządku od najbliższego do najdalszego od obserwatora, a dzielące ich odległości określone na podstawie rozmiaru wok-seli wzdłuż kierunku próbkowania tekstury trójwymiarowej przez prostokąty. Proces wizualizacji odbywa się przy wykorzystaniu prostego programu przetwa-rzania fragmentów, który dla każdego z generowanych fragmentów przekazuje do z-bufora wartość miary „odczytanej” przez fragment z tektury trójwymiaro-wej, zaś do jednokanałowej tekstury dwuwymiarowej – współrzędną głęboko-ści fragmentu. Przed procesem wizualizacji z-bufor jest zerowany i ustawiany w tryb zapisu głębokości o większej wartości niż dotychczas zapisana w buforze.W ten sposób, dzięki sprzętowej implementacji algorytmu z-bufora, w tekstu-rze zapamiętywane są wartości głębokości odpowiadające maksymalnym war-tościom miary wokseli. Dodatkowo, należy wyłączyć mechanizm mieszania oraz interpolowania danych tekstury. Po procesie wizualizacji zawartośćz-bufora kopiowana jest do jednokanałowej tekstury dwuwymiarowej.

Kompozycja wyników pośrednich w przestrzeni HSV. Jako rezultat poprzed-nich kroków otrzymuje się trzy dwuwymiarowe tekstury jednokanałowe przecho-wujące wartości B, M i D dla poszczególnych pikseli. Na podstawie tych tek-stur w ostatnim przejściu potoku grafi cznego tworzony jest obraz wynikowy.Aby to uczynić, zawartość poszczególnych tekstur odwzorowywana jest we współrzędne barwy w przestrzeni HSV przy użyciu odwzorowania liniowe-go :[ , , ] [ , , ]HSVc M D B H S V . W celu przedstawienia maksymalnych wartości miary w „skali temperaturowej” barw, wspomniane odwzorowanie wykorzystuje jedynie połowę zakresu współrzędnej H, mianowicie, wartości te odwzorowywa-

ne są liniowo w interwał 4 7, mod 23 3

(to jest od niebieskiego, poprzez ma-

gentę, czerwień, do żółci). W ten sposób barwy ciepłe reprezentują duże wartości miary, zaś barwy zimne zarezerwowane są dla wartości małych. Następnie barwa z przestrzeni HSV przekształcana jest do przestrzeni RBG (zob. np. Foley i inni [37]) w celu wyświetlenia obrazu. Obraz wynikowy otrzymywany jest poprzez wizualizację prostokąta w układzie współrzędnych obrazu, zaś powyższe prze-kształcenia dokonywane są równolegle dla poszczególnych pikseli przy użyciu odpowiedniego programu przetwarzania fragmentów. Program ten, dla każdego fragmentu, odczytuje odpowiadające mu dane z tekstur i następnie dokonuje sto-sownych przekształceń w celu otrzymania barwy fragmentu w przestrzeni RGB.


249 Wizualizacja

Na rysunku 9.21 przedstawiono przykładowe obrazy miar niezmienniczych IFSP otrzymane w wyniku interaktywnej wizualizacji miar niezmienniczych opi-saną metodą.

Rys. 9.21. Ramki z obrazowania miar niezmienniczych IFSP na przestrzeni R3 w czasie rzeczywi-stym przy wykorzystaniu metod bezpośredniej wizualizacji wolumetrycznej

9.2.4. Realistyczna wizualizacja geometrii atraktorów IFS w czasie rzeczywistym

Sprzętowa implementacja potoku grafi cznego opartego na algorytmie z-bufora w połączeniu z mocą obliczeniową nowoczesnych kart grafi cznych pozwala na realistyczną wizualizację w czasie rzeczywistym scen charakteryzujących się bar-dzo wysokim stopniem złożoności geometrycznej. Bodajże najlepszym przykła-dem wykorzystywania możliwości współczesnego sprzętu grafi cznego są gry komputerowe i wideo czasu rzeczywistego. Wirtualne światy, w których ma miej-


250 Wizualizacja

sce rozgrywka, bywają przedstawiane w sposób tak realistyczny, iż gracz może odnieść wrażenie, że uczestniczy w interaktywnym fi lmie, którego akcja toczy się w rzeczywistym świecie zobrazowanym przy wykorzystaniu tradycyjnych tech-nik fi lmowych. Pomimo ogromnej wydajności obliczeniowej oferowanej przez nowoczesny sprzęt grafi czny, jego zastosowanie do realistycznej wizualizacji w czasie rzeczywi-stym scen zawierających atraktory IFS stanowi wyzwanie. Choć atraktory IFS ofe-rują duże możliwości w zakresie modelowania obiektów przypominających twory spotykane w naturze, literatura podejmująca temat ich wykorzystania jako modeli w realistycznej grafi ce czasu rzeczywistego jest niezmiernie uboga. Główną przy-czyną takiego staniu rzeczy jest to, że wielopotokowa architektura współczesnych kart grafi cznych projektowana jest z myślą o przetwarzaniu geometrii w postaci du-żych „paczek” trójkątów (ang. batches of triangles) składających się na reprezen-tację powierzchni wizualizowanych obiektów. W przeciwieństwie do popularnych reprezentacji brzegowych modeli wykorzystywanych w grafi ce czasu rzeczywiste-go, specyfi kacje IFS opisują atraktory w postaci niezorganizowanych chmur punk-tów. Aby więc trójwymiarowe atraktory IFS mogły być obrazowane w sposób wy-dajny i jednocześnie atrakcyjny wizualnie przy wykorzystaniu mocy obliczeniowej współczesnego sprzętu grafi cznego, konieczne jest dostosowanie zbioru danych re-prezentujących geometrię atraktora do mechanizmów sprzętowych składających się na potok karty grafi cznej. Jedną z nielicznych prac podejmujących problem realistycznej wizualizacji atraktorów IFS w przestrzeni 3R w czasie rzeczywistym jest artykuł (Chen i Bi [18]). W cytowanej pracy atraktory reprezentowane są w postaci nieuporządko-wanych, skończonych zbiorów punktów otrzymanych przy wykorzystaniu do-wolnego algorytmu aproksymacji. W celu uwzględnienia oddziaływania źródeł światła na barwę wizualizowanych punktów Aa atraktora zastosowano prosty model oświetlania postaci:

_T

21

( ) ( )|| ||

num lightsi

i i

LC A D

a aa l

,

gdzie T( )D a oznacza wierszowy wektor RGB współczynników odbicia rozpro-szonego w oświetlanym punkcie, iL i il – kolor RGB i, odpowiednio, położenie i-tego, punktowego źródła światła, A zaś – kolor RGB światła otoczenia. W celu polepszenia percepcji głębi model oświetlania uzupełniono o efekt mgły, który zmniejsza intensywność światła docierającego do obserwatora w zależności od jego odległości od oświetlanego punktu, zgodnie z formułą

1

( ) ( ) (1 ) ,

11 || || ,

C t C t B

t

a a

a o


251 Wizualizacja

gdzie B jest barwą RGB tła, o – położeniem obserwatora, zaś współczynnikiem mgły defi niowanym jako odległość, przy której intensywność światła zmniejsza się o połowę. W oryginale wizualizacja przy wykorzystaniu tej metody dokonywana była przy użyciu procesora ogólnego przeznaczenia (CPU), niemniej łatwo ją zaim-plementować na programowalnym potoku nowoczesnego akceleratora grafi cz-nego. W tym celu zbiór punktów aproksymujących atraktor należy przekazać do pamięci karty grafi cznej przy użyciu mechanizmu bufora wierzchołków (ang. vertex buffer) i następnie wywołać odpowiednią funkcję rysowania zawarto-ści bufora jako listy izolowanych punktów. Wizualizacja odbywa się za pomocą prostego programu przetwarzania wierzchołków, w którym dokonywane są ob-liczenia dotyczące wyznaczenia barwy tych punktów na podstawie powyższych wzorów. Niestety, choć metoda ta umożliwia wizualizację atraktorów w czasie rze-czywistym, to jednak z punktu widzenia dzisiejszych standardów realistycz-nej grafiki komputerowej, obrazy uzyskane za jej pomocą zwykle trudno uznać za akceptowalne. Główną przyczyną takiego stanu rzeczy jest to, że przedstawiony model oświetlania do wyznaczenia odbicia rozproszonego nie uwzględnia lokalnej geometrii (krzywizny) atraktora w otoczeniu oświetlane-go punktu. Problem ten jednak łatwo rozwiązać, stosując zamiast tego mode-lu oświetlania, powszechnie wykorzystywany w grafice czasu rzeczywiste-go, model oparty na rozproszonym odbiciu lambertowskim (Foley i inni [37], Zabrodzki [157]). W modelu tym krzywizna powierzchni w punkcie repre-zentowana jest wektorem normalnym, który dla atraktorów IFS można obli-czyć w fazie poprzedzającej wizualizację za pomocą jednego z algorytmów przedstawionych w rozdz. 8. W artykule (Martyn [95]) zastosowano w tym celu metodę opartą na aproksymacji otoczek wypukłych podzbiorów atrakto-ra (podpunkt 8.2.1). Innym dobrym kandydatem, choć charakteryzującym się większym nakładem obliczeń, jest algorytm wykorzystujący regresję liniową, który został opisany w punkcie 8.5. Mając wektor normalny w oświetlanym punkcie, model oświetlania może zostać, w miarę potrzeb, dodatkowo wzbo-gacony o wyznaczanie odbłysków zwierciadlanych obliczanych zgodnie z re-gułą Phonga lub Blinna. Wizualizowanie atraktorów IFS w postaci zbiorów izolowanych punktów oka-zuje się jednak na ogół nieodpowiednim podejściem w aplikacjach czasu rzeczy-wistego, w których punkt obserwacji oraz kierunek osi widzenia ulegają ciągłym zmianom, na przykład w wyniku przemieszczania się obserwatora po scenie. W takich okolicznościach występuje niekorzystny efekt migotania pikseli, powo-dowany temporalną nieciągłością odwzorowania danego punktu zbioru w dys-


252 Wizualizacja

kretną przestrzeń pikseli1. Co więcej, atraktory IFS są na ogół skomplikowanymi topologicznie obiektami fraktalnymi o zerowej objętości, zatem ich aproksyma-cje punktowe wykazują tendencję do wypełniania obszarów przestrzeni w sposób rzadki. Podczas wizualizacji atraktorów w postaci skończonego zbioru izolowa-nych punktów cecha ta powoduje, że w dużym zakresie odległości od obserwatora obiekty te wydają się eterycznymi obiektami przezroczystymi, zaś w miarę zbli-żania się obserwatora wykazują tendencję do zanikania na podobieństwo obiek-tów gazowych. W celu zniwelowania wyżej zasygnalizowanych artefaktów temporalnych, w pracy (Martyn [95]) zaadaptowano znaną technikę grafi ki punktowej, polega-jącą na reprezentowaniu punktów zbioru aproksymującego za pomocą odpowied-nio małych kół (ang. object-oriented circular splats) o wektorach normalnych zgodnych z normalnymi w punktach zbioru. Aby prawidłowo rasteryzować i rzu-tować taką reprezentację na ekran monitora w czasie rzeczywistym, w cytowanej pracy wykorzystano podejście zaproponowane w artykule (Pajarola i inni [111]). Metoda ta polega na przedstawianiu kółek przy użyciu odpowiednio teksturowa-nych trójkątów równobocznych. W tym celu wykorzystywana jest tekstura z ka-nałem przezroczystości , która przechowuje obraz koła. Tekselom należącym do koła przypisana jest dodatnia wartość współczynnika przezroczystości, zaś dla tekseli dopełnienia wartość ta jest równa zeru. Dzięki takiemu rozwiązaniu frag-menty teksturowanego trójkąta, które nie należą do koła, mogą zostać w spo-sób wydajny pominięte w wizualizacji przy wykorzystaniu – implementowanego w kartach grafi cznych – mechanizmu testowania przezroczystości (test ). W re-zultacie, wizualizacja atraktorów IFS omawianą techniką sprowadza się do prze-kazania do karty grafi cznej bufora wierzchołków wypełnionego danymi o wierz-chołkach i normalnych trójkątów i następnie wywołania odpowiedniej funkcjirysowania zawartości tego bufora jako listy trójkątów2. Proces wizualizacji odby-wa się przy wykorzystaniu programu przetwarzania wierzchołków, w którym po-szczególnym wierzchołkom przypisywane są odpowiednie współrzędne tekstu-ry koła (rys. 9.22), oraz prostego programu przetwarzania fragmentów, w którym dokonywane jest teksturowanie. Reprezentowanie punktów aproksymacji atraktora IFS w postaci teksturo-wanych trójkątów, których pełna lista przekazywana jest następnie do karty grafi cznej przy wykorzystaniu funkcjonalności bufora wierzchołków, jest wy-

1 Innymi słowy, w następujących po sobie ramkach wizualizacji, poszczególne obrazy punktów mają tendencję do „przeskakiwania” z piksela na piksel w wyniku niewielkich zmian położenia punktu obserwacji lub kierunku widzenia.2 Mechanizm generowania wierzchołków na poziomie potoku grafi cznego oferowany przez jed-nostkę shadera geometrii, obecną w kartach grafi cznych wspierających specyfi kację Shader Model 4.0, umożliwia zastosowanie opisanej techniki do bufora wierzchołków wypełnionego danymi re-prezentującymi jedynie punkty środkowe trójkątów oraz wektory normalne.


253 Wizualizacja

starczające do wizualizacji scen zawierających kilka takich obiektów. Jednak-że w przypadku, gdy opis sceny zawiera wiele różnych atraktorów IFS (np. kil-kaset fraktalnych roślin pokrywających rozległy teren w grze komputerowej), wówczas może pojawić się problem niewystarczającej pamięci karty grafi cz-nej do przechowywania takiej liczby danych. Należy bowiem zauważyć, iż aby dokładność prezentowanych modeli atraktorów odpowiadała dzisiejszym stan-dardom rozdzielczości generowania obrazu, pojedyncza reprezentacja atrakto-ra powinna na ogół składać się z kilkudziesięciu tysięcy punktów. Co więcej, zastosowanie – zwykle niezbędnych do wizualizacji złożonych scen w czasie rzeczywistym – algorytmów adaptacyjnego poziomu szczegółowości (LOD)(Luebke i inni [73], Eberly [28]), które są oparte na przechowywaniu reprezen-tacji modelu dla różnych poziomów szczegółowości, dodatkowo powiększa tę liczbę. Ponieważ pamięć współczesnych kart grafi cznych nie przekracza zwy-kle wielkości 1 GB, na ogół nie będzie ona dostatecznie pojemna dla zastoso-wania opisanego podejścia do wizualizacji scen składających się wielu takich obiektów. W takich okolicznościach bufory wierzchołków będą przekazywane z pamięci RAM do pamięci karty grafi cznej w trakcie procesu wizualizacji. Po-nieważ proces ten, z punktu widzenia czasu rzeczywistego, jest czasochłonny,zaistnienie takiej sytuacji spowoduje znaczne obniżenie wydajności generowa-nia kolejnych ramek obrazu, czyniąc tym samym wizualizację w czasie rzeczy-wistym praktycznie niemożliwą.

Rys. 9.22. Odwzorowanie współrzędnych tekstury koła na trójkąt równoboczny

W celu zapobieżenia wyżej przedstawionemu problemowi w przypadku atraktorów afi nicznych IFS, w artykule (Martyn [95]) zaproponowano wykorzy-stanie samopodobieństwa atraktorów w kontekście, realizowanej sprzętowo na


254 Wizualizacja

nowoczesnych kartach grafi cznych1, funkcjonalności powielania geometrii (ang. hardware geometry instancing). W zamyśle projektowym, mechanizm ten został stworzony w celu wizualizowania wielu kopii tego samego modelu w pojedyn-czym wywołaniu funkcji API grafi cznego, tak aby redukować liczbę czasochłon-nych odwołań do sterownika karty. Jako taki, mechanizm ten ma na celu przy-spieszanie procesu wizualizacji. Niemniej, jeśli spojrzy się na wiele obrazów (ko-pii) tego samego obiektu przy pewnych odwzorowaniach jak na jeden złożony obiekt, na przykład las utworzony przez wiele instancji pewnego modelu drzewa, wówczas łatwo zauważyć, że mechanizm powielania geometrii umożliwia rów-nież zmniejszenie kosztów pamięciowych związanych z przechowywaniem ta-kiego złożonego obiektu. Zamiast reprezentować przykładowy model lasu w po-staci zbioru autonomicznych modeli drzew, omawiany mechanizm pozwala bo-wiem przechowywać w pamięci karty grafi cznej model lasu w postaci pojedyn-czego modelu drzewa oraz zbioru odpowiednich przekształceń. Proces wizuali-zacji dokonywany jest bezpośrednio na podstawie rozważanej reprezentacji, po-przez wywołanie odpowiedniej funkcji rysującej i zastosowanie prostego pro-gramu przetwarzania wierzchołków. Ponieważ koszty pamięciowe przechowy-wania przekształcenia są zwykle mniejsze od kosztów przechowywania modelu drzewa (do zakodowania ogólnego odwzorowania afi nicznego w przestrzeni 3Rwystarcza 12 liczb zmiennopozycyjnych), korzyści płynące z wykorzystaniafunkcjonalności powielania geometrii jako metody redukcji zapotrzebowania pa-mięciowego są oczywiste.

Rys. 9.23. Koncepcja reprezentowania atraktora IFS w terminach geometrii G powielonej i roz-mieszczonej w przestrzeni zgodnie ze wzorcem P

1 Wspomniany mechanizm implementowany jest w kartach grafi cznych, które są w pełni zgodne ze specyfi kacją DirectX 9.0c i Shader Model 3.0 (np. akceleratory grafi czne fi rmy NVidia począw-szy od serii GeForce 6).


255 Wizualizacja

Ponieważ atraktory IFS są zbiorami samopodobnymi, obiekty te świetnie wpisują się w przedstawioną ideę powielania geometrii. Dowolny atraktor IFS można bowiem rozpatrywać jako obiekt złożony z przekształconych kopii danej geometrii G , które są rozmieszczone w przestrzeni zgodnie z pewnym wzorcem P (rys. 9.23). W implementacji wykorzystującej powielanie geometrii, geome-tria G reprezentuje zgrubną aproksymację całego atraktora, wyznaczoną przy wykorzystaniu jednego z algorytmów omówionych w rozdz. 3 i 4. Wzorzec P jest natomiast zdefi niowany przez transformacje, które przekształcają geometrię G do odpowiednich rozmiarów i lokalizacji w przestrzeni atraktora. W przypad-ku atraktorów afi nicznych IFS transformacje te wyznaczane są przy wykorzy-staniu algorytmu adaptacyjnych odcięć jako złożenia

1...

ki iw w odwzorowań IFS o współczynnikach zwężania

1 1 1Lip( ... ) Lip( ... )

k ki i i iw w w w

. War-tość determinuje maksymalną średnicę przekształconych kopii geometrii G wykorzystywanych do konstruowania reprezentacji atraktora i, co za tym idzie, również liczbę transformacji tworzących wzorzec P . Na rysunku 9.24 przedsta-wiono diagram zależności między algorytmami geometrycznymi i innymi zagad-nieniami składającymi się na opisaną metodę wizualizacji.

Rys. 9.24. Realistyczna wizualizacja atraktorów IFS na przestrzeni R3 w czasie rzeczywistym – dia-gram zależności między algorytmami składowymi (interpretacja oznaczeń jak na rys. 9.1)

Na podstawie powyższych rozważań, całkowita liczba wizualizowanych punk-tów zbioru reprezentującego atraktor jest równa liczbie punktów składających się na geometrię G pomnożonej przez liczbę transformacji NumTrans tworzących wzorzec P . Natomiast, zastosowanie mechanizmu powielania geometrii do prze-chowywania atraktora wymaga ( ) ( )sizeof sizeofP G pamięci karty grafi cznej,


256 Wizualizacja

gdzie sizeof(.) oznacza ilość pamięci potrzebnej do przechowywania danej repre-zentacji. Wobec tego, zastosowanie opisanego wyżej podejścia do wizualizacji atraktorów IFS skutkuje

( )( ) ( )

sizeof NumTranssizeof sizeof

GP G

razy mniejszymi wymaganiami pamięciowymi, aniżeli wykorzystanie w tym celu metody opartej na wykorzystaniu pojedynczego bufora wierzchołków do przecho-wywania pełnej aproksymacji atraktora. W przypadku, gdy ( ) ( )sizeof sizeofP G ,stopień kompresji charakteryzujący reprezentację opartą na powielaniu geometrii wynosi co najmniej

( )2 ( ) /

sizeofsizeof NumTrans

GP

.

Przy tym założeniu, współczynnik kompresji dla atraktorów afi nicznych IFS na przestrzeni 3R opisanych przy wykorzystaniu liczb zmiennopozycyjnych wy-nosi co najmniej ( ) / (24 ( ))sizeof sizeof floatG . Natomiast, w przypadku gdy

( ) ( )sizeof sizeofP G , współczynnik ten wynosi co najmniej 12

NumTrans .

W praktycznej implementacji opisanej metody w odniesieniu do atraktorów afi -nicznych IFS, każdy atraktor reprezentowany jest przy wykorzystaniu dwóch bufo-rów wierzchołków. W pierwszym buforze przechowywane są punkty (wraz z wek-torami normalnymi) reprezentujące geometrię G , zaś bufor drugi zawiera dane wzorca P , tj. macierze jednorodne reprezentujące odpowiednie złożenia afi nicz-nych odwzorowań IFS. Macierze te zakodowane są w postaci trzech czterowymia-rowych wektorów reprezentujących trzy pierwsze wiersze danej macierzy (pomija-ny jest ostatni wiersz postaci [0, 0, 0, 1]), przy czym w konkretnym API grafi cznym (takim jak np. Direct3D), wykorzystywane są w tym celu współrzędne tekstur. Opisany sposób reprezentowania i wizualizacji atraktorów IFS świetnie współ-gra z innymi metodami, które są powszechnie stosowane w grafi ce czasu rzeczy-wistego opartej na programowalnym potoku współczesnych kart grafi cznych. Na przykład, zastosowanie jednego z algorytmów adaptacyjnego poziomu szczegó-łowości (Luebke i inni [73], Eberly [28]) może być w prosty sposób realizowane dla atraktorów na podstawie kilku reprezentacji atraktora charakteryzujących się różnymi poziomach szczegółowości. Reprezentacje te otrzymuje się w łatwy spo-sób poprzez użycie geometrii G wygenerowanej dla różnych dokładności aprok-symacji atraktora, zachowując przy tym niezmieniony wzorzec P . Z kolei, rzu-canie cieni przez atraktory na obiekty znajdujące się w scenie (na przykład inne atraktory oraz „klasyczne” obiekty reprezentowane przez siatki trójkątów), w tym i efekt „samoprzysłaniania” (ang. self-shadowing), łatwo uzyskać poprzez wyko-rzystanie, powszechnie stosowanej m.in. w grach komputerowych, techniki opar-tej na mapach cieni (ang. shadow maps) (Luna [74]).


257 Wizualizacja

Rys. 9.25. Ramki z wizualizacji w czasie rzeczywistym scen zawierających wiele atraktorów IFS przy wykorzystaniu mechanizmu powielania geometrii realizowanego za pomocą współczesnego

sprzętu grafi cznego


258 Wizualizacja

Rys. 9.25, cd.

Na rysunku 9.25 przedstawiono rezultaty zastosowania opisanej metody w po-staci kilku ramek uzyskanych z aplikacji demonstracyjnej zaimplementowanej


259 Podsumowanie

przez autora. Program dokonywał wizualizacji sceny zawierającej ponad set-kę atraktorów IFS, postrzeganej z punktu widzenia przemieszczającego się po tej scenie obserwatora. Obrazy generowane były z rozdzielczością 1680×1050, z próbkowaniem 8 próbek na piksel, ze średnią prędkością 50 ramek na sekundę przy wykorzystaniu przeciętnej – z punktu widzenia możliwości współczesnego sprzętu – klasy karty grafi cznej NVidia 8800 GT.

10. PODSUMOWANIE

Od samego początku swego istnienia, geometria fraktalna była nierozerwal-nie związana z grafi ką komputerową. Obie dziedziny przenikając się wzajem-nie, stymulowały swój rozwój. Z jednej strony grafi ka komputerowa była przy-czynkiem do powstania fraktalnej geometrii, po czym stała się jej podstawowym narzędziem badawczym. Z drugiej strony, techniki fraktalne są od wielu lat po-wszechnie wykorzystywane do generowania interesujących, złożonych obrazów w grafi ce komputerowej, w tym do modelowania obiektów naturalnych na potrze-by realistycznej syntezy obrazów. Z punktu widzenia geometrii fraktalnej jedną z najbardziej popularnych me-tod opisywania obiektów fraktalnych są układy odwzorowań iterowanych (IFS). Obiekty opisywane przez tę reprezentację określane są w teorii IFS jako atrakto-ry IFS. Układy IFS umożliwiają defi niowanie, z zadaną dokładnością, teoretycz-nie dowolnych kształtów geometrycznych mających cechę ogólnie rozumiane-go samopodobieństwa geometrycznego. Co więcej, formuły te opisują defi niowa-ne geometrie na ogół w sposób niezwykle zwarty w rozumieniu kosztów pamię-ciowych związanych z przechowywaniem takich reprezentacji. Ponieważ samo-podobieństwo jest jedną z podstawowych cech charakteryzujących fraktale oraz jest zauważalne (w wielu różnych postaciach) w geometrii bytów występujących w naturze, układy IFS stanowią potencjalnie bardzo dobry sposób reprezentacji takich obiektów w grafi ce komputerowej. Oprócz zastosowań w roli narzędzia służącego do defi niowania geometrii, układy IFS umożliwiają także defi niowanie szerokiej klasy samopodobnych miar fraktalnych i multifraktalnych. Znajdują zatem zastosowanie w geometrycznej teorii miary, teorii układów dynamicznych, a także w grafi ce komputerowej do generowania i reprezentowania fraktalnych tekstur i cieniowanych obrazów. Pomimo że jednym z głównych motywów powstania teorii IFS były jej po-tencjalne zastosowania w grafi ce komputerowej, to jednak sposoby wizualizowa-nia obiektów defi niowanych przy użyciu układów IFS są rozwinięte raczej poło-wicznie. O ile metody obrazowania atraktorów IFS na płaszczyźnie są stosunko-


260 Podsumowanie

wo dobrze poznane, o tyle obrazowanie tych obiektów w przestrzeni trójwymia-rowej, w szczególności w czasie rzeczywistym, jest zagadnieniem stosunkowo trudnym i w literaturze przedmiotu prawie nietkniętym. U podłoża takiego stanu rzeczy leży przede wszystkim fakt, że atraktory IFS są na ogół nieskończonymi i nieróżniczkowalnymi zbiorami punktowymi o fraktalnej, niezwykle skompliko-wanej geometrii i topologii. Chociaż wspomniana „geometryczno-topologiczna” złożoność fraktali z punktu widzenia modelowania traktowana jest jako ich pod-stawowa zaleta, to jednak cechujące te zbiory nieskończony poziom szczegóło-wości i nieróżniczkowalność powodują, że bezpośrednie zastosowanie do obrazo-wania tych obiektów popularnych metod wizualizacji scen trójwymiarowych jest na ogół niemożliwe. W niniejszej rozprawie omówiono w sposób kompleksowy główne problemy pojawiające się przy wizualizacji obiektów opisywanych przy użyciu reprezenta-cji IFS. Do problemów tych należy zaliczyć: aproksymację aktraktorów, wyzna-czanie fi gur ograniczających atraktory, wyznaczanie przecięcia półprostej z atrak-torem oraz najmniejszej odległości danego punktu od atraktora, szacowanie wek-torów normalnych w punktach atraktora. Rozwiązanie tych problemów stanowi niezbędny składnik wielu algorytmów wykorzystywanych w ogólnie rozumianej wizualizacji komputerowej. Celem podjętych prac badawczych było opracowanie i analiza metod roz-wiązywania wyżej wymienionych zagadnień przy wykorzystaniu ujednolicone-go aparatu matematycznego. Postawiono tezę, że rozwiązania te mogą zostać efektywnie znalezione w sposób automatyczny poprzez obliczenia numeryczne i, w konsekwencji, wizualizacja obiektów opisanych przez układy IFS, w tym wi-zualizacja realistyczna trójwymiarowych atraktorów IFS i miar niezmienniczych IFSP w czasie rzeczywistym, jest możliwa. Cel pracy został osiągnięty a teza uza-sadniona. Poza tekstem niniejszej rozprawy oraz zaprezentowanymi w niej obra-zami, dowodem na to są wizualizacje i animacje otrzymane przy wykorzystaniu omówionych algorytmów i współczesnego sprzętu grafi cznego, które zostały za-mieszczone na załączonym do pracy dysku CD-ROM. Autor żywi nadzieję, że przedstawione w pracy rozwiązania i uwagi praktyczne przyczynią się zarówno do rozwoju zastosowań atraktorów IFS w grafi ce komputerowej (w szczególno-ści jako modeli obiektów na potrzeby realistycznej syntezy obrazów w czasie rze-czywistym, w tym gier komputerowych i wideo), jak i rozszerzenia zbioru narzę-dzi badawczych w zakresie metod wizualizacji naukowej w samej geometrii frak-talnej. Oprócz całościowego ujęcia, opracowania i dyskusji przedstawionej proble-matyki wizualizacji atraktorów IFS, na oryginalny dorobek autora składają się: metoda wyznaczania momentów zwykłych pierwszego i drugiego rzędu mia-

ry niezmienniczej IFSP na przestrzeni nR (punkt 2.5 – uogólnienie rezultatów prezentowanych wcześniej w (Martyn [86, 87]));


261 Podsumowanie

uogólnienie algorytmu adaptacyjnych odcięć do aproksymacji, z zadaną do-kładnością, atraktorów układów IFS zawierających odwzorowania nieliniowe (podpunkt 3.2.1);

metodyka numerycznego wyznaczania i szacowania stałych Lipschitza afi -nicznych oraz nieliniowych odwzorowań na potrzeby aproksymacji atrakto-rów IFS (podpunkt 3.2.2 – uogólnienie rezultatów prezentowanych wcześniej w (Martyn [81, 82, 85]));

prosty dowód poprawności algorytmu gry w chaos dla nieskończonej liczby iteracji (podpunkt 3.3.2, (Martyn [83]));

konstruktywna analiza dokładności algorytmu gry w chaos dla skończonej liczby iteracji oraz, oparty na tej analizie, alternatywny dowód poprawności gry w chaos dla nieskończonej liczby iteracji (podpunkty 3.3.3 i 3.3.4 – roz-szerzenie wyników prezentowanych wcześniej w (Martyn [84]));

uogólnienie dyskretnej wersji gry w chaos do zwartych podzbiorów -sia-tek w przestrzeni nR oraz analiza poprawności i dokładności algorytmów aproksymacji atraktorów na -siatkach w przestrzeni nR , w szczególności oparta na teorii łańcuchów Markowa analiza algorytmów: minimalnego ry-sowania, iterowania dyskretnego operatora Hutchinsona oraz usuwania tła (rozdz. 4);

algorytm wyważania atraktora do szacowania najmniejszej kuli zawierającej atraktor (punkt 5.4, (Martyn [86]));

adaptacyjny algorytm szacowania najmniejszej kuli zawierającej atraktor oparty na momentach zwykłych pierwszego rzędu i macierzy kowariancji mia-ry niezmienniczej IFSP (punkt 5.6 – rozszerzenie podejścia prezentowanego wcześniej w (Martyn [81]));

algorytm aproksymowania najmniejszego koła zawierającego atraktor w prze-strzeni 2R metodą punktów rozpinających (punkt 5.7, (Martyn [93]));

algorytm wyznaczania wielokątów i wielościanów wypukłych o zadanej licz-bie krawędzi/ścian i zawierających atraktory, oparty na adaptacyjnym odcina-niu wierzchołków (podpunkt 6.3.2, (Martyn [89, 91]));

algorytm aproksymowania otoczki wypukłej atraktora w przestrzeni 2R meto-dą owijania atraktora (podpunkt 6.3.3, (Martyn [92]));

wydajny algorytm wyznaczania przecięcia półprostej z atraktorem oparty na hierarchii kul ograniczających wyznaczanych na podstawie normy Frobeniusa macierzy, a także wydajny algorytm wyznaczania tego przecięcia na podsta-wie hierarchii prostopadłościanów AAB (punkt 7.2.4, (Martyn [81, 82, 85]));

algorytm szacowania wektora normalnego w punkcie atraktora przy wykorzy-staniu aproksymacji otoczki wypukłej podzbioru atraktora (podpunkt 8.2.1, (Martyn [95]));

metody przyspieszania wizualizacji atraktorów IFS z dokładnością pikselową przy wykorzystaniu śledzenia promieni (podpunkt 9.2.2, (Martyn [81, 85]));


262 Podsumowanie

wolumetryczne metody obrazowania miar niezmienniczych IFSP w przestrze-ni 3R , w tym wolumetryczna wizualizacja tych miar w czasie rzeczywistym przy wykorzystaniu programowalnego potoku grafi cznego (podpunkt 9.2.3, (Martyn [90, 94]));

metoda realistycznej wizualizacji w czasie rzeczywistym scen zawierających setki atraktorów IFS przy wykorzystaniu programowalnego potoku grafi cz-nego i funkcjonalności sprzętowego powielania geometrii (podpunkt 9.2.4, (Martyn [95])).

Jak już wspominano, problematyka obrazowania atraktorów IFS w przestrze-ni trójwymiarowej poruszana jest stosunkowo rzadko – zarówno w literaturze grafi ki komputerowej, jak i dotyczącej fraktali. Niemalże jedynym zagadnieniem podejmowanym w tym zakresie na przestrzeni ostatnich dwóch dekad był pro-blem wizualizacji tych obiektów przy wykorzystaniu metody śledzenia promieni (Hart i DeFanti [52], Gröller [47], Wonka i Gervautz [155], Martyn [81, 82, 85]). Jak pokazują rezultaty prezentowane w cytowanych pracach, zaproponowane tam rozwiązania umożliwiają tworzenie fascynujących, „realistycznych” obra-zów świata fraktali. Niestety, stosunkowo wysoki nakład obliczeń związanych bezpośrednio z samym procesem wizualizacji w praktyce skutecznie uniemożli-wia zastosowanie tych sposobów generowania obrazów w czasie rzeczywistym – nawet przy wykorzystaniu współczesnego sprzętu grafi cznego. Zgodnie z wie-dzą autora, jak dotychczas, jedyną pracą podejmującą skutecznie temat reali-stycznej wizualizacji atraktorów IFS na przestrzeni 3R w czasie rzeczywistym jest artykuł (Martyn [95]). W ocenie autora, rezultaty otrzymane w ramach cy-towanej pracy są niezwykle obiecujące. Dowodzą one bowiem, że specyfi kacja IFS świetnie nadaje się jako forma reprezentacji złożonych modeli geometrycz-nych na potrzeby wizualizacji realistycznej, zaś sama wizualizacja może być do-konywana za pomocą współczesnego sprzętu grafi cznego w czasie rzeczywistym nawet w przypadku scen zawierających setki takich modeli, przy jednocześnie niewielkim obciążeniu zasobów pamięciowych. Cechy te czynią punktowe mo-dele IFS konkurencyjnymi dla powszechnie dziś stosowanych w grafi ce czasu rzeczywistego technik „udawania” skomplikowanej, trójwymiarowej geometrii obiektów naturalnych (np. trawa czy drzewa lub ich części, takie jak korona) za pośrednictwem odpowiednich tekstur dwuwymiarowych z kanałem ; por. np. (Luna [74]). Co więcej, zauważalny w trakcie pisania niniejszej pracy skok wy-dajności jednostek shaderów geometrii w najnowszych kartach grafi cznych daje nadzieję, iż generowanie geometrii obiektów opisywanych IFS może być doko-nywane, prawdopodobnie bez znaczącej utraty wydajności wizualizacji, dopiero na poziomie potoku renderingu karty grafi cznej bezpośrednio na podstawie spe-cyfi kacji IFS. Jeśli hipoteza ta jest prawdziwa, to z punktu widzenia danych prze-kazywanych do karty grafi cznej, wizualizacja obiektów IFS mogłaby się odby-


263 Podsumowanie

wać na podobnych zasadach, jak ma to miejsce podczas wizualizowania prymi-tywu grafi cznego, jakim jest trójkąt. Należy pamiętać, że w tym przypadku kar-ta grafi czna sama generuje odpowiednią aproksymację trójkąta w procesie raste-ryzacji na podstawie przekazanej do karty reprezentacji trójkąta w postaci trzech wierzchołków. Weryfi kacja tej hipotezy stanowi jeden z kierunków badań, które autor ma zamiar podjąć w najbliższej przyszłości. Z punktu widzenia ewentualnych zastosowań w wizualizacji realistycznej,dodatkową, lecz nieporuszaną do tej pory w niniejszej pracy, zaletą zbiorów punk-towych opisanych przy wykorzystaniu IFS, jest ich duża podatność na różnego rodzaju modyfi kacje geometryczne, w tym tzw. morfi ng, czyli ciągłą metamorfo-zę geometryczną obiektów. Fakt ten ma istotne znaczenie przede wszystkim dla zagadnienia animacji obiektów przy wykorzystaniu metody ramek kluczowych (ang. keyframe animation), a także dla tworzenia różnego rodzaju interesujących efektów wizualnych w aplikacjach czasu rzeczywistego o charakterze rozrywko-wym, np. grach komputerowych i wideo. Wspomniana „elastyczność” atraktorów IFS jest od wielu lat eksploatowana w różnego rodzaju prezentacjach możliwości i zalet IFS jako sposobu opisu geometrii na płaszczyźnie i zaowocowała kilkoma interesującymi podejściami do fraktalnej metamorfozy (np. Bowman [14], Burch i Hart [15], Martyn [87]). Jej wykorzystanie w realistycznej wizualizacji obiektów trójwymiarowych, w tym wizualizacji czasu rzeczywistego, jak do tej pory jest ni-kłe, ale z pewnością godne uwagi i warte dalszych badań. W bliskim związku z zagadnieniem przekształcania atraktorów IFS pozostaje problem modelowania trójwymiarowych obiektów przy wykorzystaniu układów IFS, w szczególności zagadnienie modelowania przy wykorzystaniu technik opar-tych na strategiach ewolucyjnych. Choć istniejące interaktywne systemy „hodo-wania” fraktali opisanych przez układy IFS na przestrzeni 3R dają interesujące rezultaty (np. Żukowski [158]), to jednak systemy te opierają się na stosunkowo prostych metodach interpolowania odwzorowań IFS, które nie zachowują – istot-nych z punktu widzenia modelowania – cech topologicznych obiektu, takich jak np. spójność (Burch i Hart [15]). Stworzenie odpowiedniego zaplecza algoryt-micznego, które umożliwiałoby nakładanie różnego rodzaju ograniczeń na prze-szukiwaną przez ewolucyjny system modelowania przestrzeń zbiorów opisywa-nych przez IFS, jest wysoce pożądane, a zarazem stanowi wyzwanie i otwarty ob-szar dla przyszłych badań. Wreszcie, interesujące i niemalże nietknięte przez badaczy pozostaje zagadnie-nie modelowania i wizualizacji realistycznej, w szczególności w czasie rzeczywi-stym, obiektów trójwymiarowych opisywanych przez różnego rodzaju uogólnie-nia układów IFS, przede wszystkim IFS ze zbiorami kondensacji (Barnsley [7]), IFS rekurencyjne (Barnsley i inni [10]) i hierarchiczne (Peitgen i inni [113]) oraz najnowszy produkt myśli Hutchinsona i Barnsleya – superfraktale (Barnsley [9]). Niektóre z metod i algorytmów przedstawionych w niniejszej pracy można zasto-


264 Dodatki

sować bezpośrednio do rozwiązywania poszczególnych problemów związanych z wizualizacją tych obiektów, inne trzeba odpowiednio zmodyfi kować, zaś niektó-re problemy wymagają odrębnego potraktowania i jako takie wyznaczają poten-cjalne kierunki dalszych badań nad wykorzystaniem fraktali IFS w realistycznej grafi ce komputerowej.

Dodatki

A. ODWZOROWANIA I UKŁADY ODWZOROWAŃ WYKORZYSTANE W PRACY

W niniejszym dodatku przedstawiono układy IFS i IFSP oraz inne odwzorowania wykorzystane w pracy. Przez diag(x) oznaczono macierz diagonalną 2 2R o przekątnej składającej się z elemen-tów wektora x, zaś przez ( )rot – macierz 2 2R opisującą obrót o kąt wyrażony w radianach.

1. Trójkąt Sierpińskiego (rys. 3.1):

T

1

T

2

T3

1 1 1( ) , , 0,4332 2 2

1 1 1( ) , , 0,4332 2 21 1( ) , [0, 0,433]2 2

w diag

w diag

w diag

x x

x x

x x

2. Nieliniowe trójkąty Sierpińskiego (rys. 3.2):

1 1

2 2

3 3

3( ) ( ), 23( ) ( ),2

( ) ( )

f SinY w

f SinY w

f w

x x

x x

x x

1 1

2 2

3 3

3( ) ( ), 23( ) ( ), 2

3( ) ( )2

f SinY w

f SinY w

f Sin w

x x

x x

x x

1 1

2 2

3 3

3( ) ( )23( ) ( )23( ) ( )2

f Sin w

f Sin w

f Sin w

x x

x x

x x

gdzie w1, w2, w3 odwzorowania opisujące trójkąt Sierpińskiego oraz

T T([ , ] , ) [ ,sin( )]SinY x y a x a y

T T([ , ] ) [sin( ),sin( )]Sin x y x y .

3. Paprotka Barnsleya (rys. 3.5):

1 2

3 4

0,85 0,04 0 0,2 0,26 0( ) ( )

0,04 0,85 1,6 0,23 0,22 1,6

0,15 0,28 0 0,01 0( ) ( )

0,26 0,24 0,44 0 0,16

w w

w w

x x x x

x x x x


265 Dodatki

4. Niehiperboliczne IFSP (rys. 3.7):

T

11 5( ) , ,2 2

w x

1 0,005p

2 ( ) ( 2) ,w rotx x

2 0,995p

T

110 10 1 3( ) , , ,47 47 2 2

w diag x x 1 0,1p

2 ( ) ,

6w rot

x x

2 0,9p

T

11 1 1 5( ) , , ,8 8 2 2

w diag x x 1 0,03p

T

21 1 1 5( ) , , ,8 8 2 2

w diag x x

2 0,03p

T

31 1 7( ) , 0, ,8 8 2

w diag x x

3 0,03p

4 ( ) ,

6w rot

x x

4 0,91p

T

11 1 1 5( ) , , ,4 8 2 2

w diag x x

1 0,023p

T

21 1 1 5( ) , , ,8 3 2 2

w diag x x

2 0,023p

T

31 1 7( ) , 0, ,8 8 2

w diag x x 3 0,023p

4

4( ) ,9

w rot

x x

4 0,931p

T

11 1 1 3( ) , , ,4 4 2 2

w diag x x

1 0,25p

T

21 1 1 3( ) , , ,2 4 2 2

w diag x x

2 0,25p

T

31 1 5( ) , 0, ,4 2 2

w diag x x

3 0,25p

4 ( ) (1, 1) ,

3w diag rot

x x

4 0,25p


266 Dodatki

T

11 1 1 3( ) , , ,4 2 2 2

w diag x x 1 0,143p

T

21 1 1 3( ) , , ,2 4 2 2

w diag x x 2 0,143p

T

31 1 5( ) , 0, ,4 2 2

w diag x x 3 0,143p

4 ( ) (1, 1) ,

18w diag rot

x x

4 0,571p

5. Minimalne zbiory absorbujące i baseny przyciągania -zaokrągleń (rys. 4.1):

T T6 6 1 1 1 1( ) , , ,10 10 2 2 2 2

w diag

x x

T T5 6 6 1 1 1 1( ) , , ,180 10 10 2 2 2 2

w rot diag

x x

T T6 6 1 1 1 1( ) , , ,6 10 10 2 2 2 2

w rot diag x x

T T15 6 6 1 1 1 1( ) , , ,18 10 10 2 2 2 2

w rot diag

x x

T T9 9 1 1 1 1( ) , , ,6 10 10 2 2 2 2

w rot diag

x x

T T0,5 0,3 1 1 1 1( ) , ,0,1 0,4 2 2 2 2

w

x x

6. Atraktory IFS i algorytm minimalnego rysowania (rys. 4.2):

1

0 0,577 0,0951( )

0,577 0 0,5893w

x x

2

0 0,577 0,4413( )

0,577 0 0,7893w

x x

3

0 0,577 0,0952( )

0,577 0 0,9893w

x x

1

0,382 0 0,3072( )

0 0,382 0,619w

x x

2

0,382 0 0,6033( )

0 0,382 0,4044w

x x

3

0,382 0 0,0139( )

0 0,382 0,4044w

x x

4

0,382 0 0,1253( )

0 0,382 0,0595w

x x


267 Dodatki

5

0,382 0 0,492( )

0 0,382 0,0595w

x x

1

0,67 0,02 0( )

0,18 0,81 10w

x x

2

0,4 0,4( )

0,1 0,4w

x x

3

0,1 0 0( )

0,44 0,44 0,44w

x x

4

0,4 0.4( )

0,1 0,4w

x x

1 1

2 2

3 3

( ) (1,2 (1,3 ( )))( ) (1,4 (1,3 ( )))( ) (1,5 (0,6 ( ( ))))

f Handkerchief Sin wf Handkerchief Sin wf Handkerchief Sin Spherical w

x xx xx x

1 1

2 2

3 3

( ) ( )( ) ( )( ) ( ( ), 1,3, 1,3, 7)

f wf wf Blob w

x xx xx x

1 1

2 2

3 3

( ) ( 0,8 (1,2 (1,6 ( ))))( ) (0,8 ( 1,4 ( 1,3 ( ))))( ) (1,5 ( 0,8 ( ( ))))

f Eyefish Handkerchief Sin wf Fisheye Handkerchief Sin wf Swirl Sin Spherical w

x xx xx x

gdzie: w1, w2, w3 odwzorowania opisujące trójkąt Sierpińskiego,

T T([ , ] ) [sin( ),sin( )]Sin x y x y ,

2( ) / || ||Spherical x x x ,

T

T

T

([ , ] )

[ , ] sin arctg [ , ] ,cos arctg [ , ] ,T T

Handkerchief x y

x xx y x y x yy y

T

T

T

([ , ] , , , )

[ , ] sin arctg 1 cos arctg ,sin arctg ,2

Blob x y a b c

a b x x xx y b cy y y

( ) 2 / (1 || ||)Eyefish x x x ,

T T T ([ , ] ) 2 [ , ] / (1 || [ , ] ||)Fisheye x y y x x y ,

2 2

2 2

sin(|| || ) cos(|| || )( )

cos(|| || ) sin(|| || )Swirl

x xx x

x x.


268 Dodatki

7. Inne przykłady atraktorów afi nicznych IFS na przestrzeni R2 (rys. 5.1 i rys. 6.1):

• dragon

1

2

0,824074 0,281482 1,88229( )

0,212346 0,864198 0,110607

0,088272 0,520988 0,78536( )

0,463889 0,377778 8,095795

w

w

x x

x x

• coral

1

2

3

0,307692 0,531469 5,401953( )

0 461538 0,293706 8,655175

0,307692 0,076923 1,295248( )

0,153846 0,447552 4,15299

0 0,545455 4,893637( )

0,692308 0,195804 7,269

w.

w

w

x x

x x

x x794

• curly

1

0,18 0,18 113,46( )

0,18 0,18 90,52w

x x

2

0,89 0,33 13,64( )

0,33 0,89 27,28w

x x

• star

1

0,255 0 0,3726( )

0 0,255 0,6714w

x x

2

0,255 0 0,1146( )

0 0,255 0,2232w

x x

3

0,255 0 0,6306( )

0 0,255 0,2232w

x x

4

0,37 0.642 0,6356( )

0,642 0,37 0,0061w

x x

• H-fractal

1

0,5 0,4 77,5( )

0,5 0,4 15,5w

x x

2

0,5 0,3 46,5( )

0,5 0,3 15,5w

x x

• plant

1

0,387 0,43 0,256( )

0,43 0,387 0,522w

x x

2

0,441 0,091 0,4219( )

0,009 0,322 0,5059w

x x

3

0,468 0,02 0,4( )

0,113 0,015 0,4w

x x

• twindragon

1

2 2( ) ,4 2 2

w rot diag x x

T2

3 2 2( ) , [0, 55]4 2 2

w rot diag

x


269 Dodatki

• tree

1

0 0( )

0 0,5w

x x

2

0,42 0,42 0( )

0,42 0,42 0,2w

x x

3

0,42 0,42 0( )

0,42 0,42 0,2w

x x

4

0,1 0 0( )

0 0,1 0,2w

x x

• tree2

1

0,195 0,488 0,4431( )

0,344 0,443 0,2452w

x x

2

0,462 0,414 0,2511( )

0,252 0,361 0,5692w

x x

3

0,058 0,07 0,5976( )

0,453 0,111 0,0969w

x x

4

0,035 0,07 0,4884( )

0,469 0,022 0,5069w

x x

5

0,637 0 0,8562( )

0 0,501 0,2513w

x x

8. Przykłady atraktorów afi nicznych IFS na przestrzeni R3 (rys. 5.4):

• fern

1

0 0 0( ) 0 0,18 0

0 0 0w

x x

2

0,85 0 0 0( ) 0 0,85 0,01027 1,76

0 0,1403 0,85 0w

x x

3

0,2 0,3357 0 0( ) 0,1192 0,2 0 0,88

0 0 0,3 0w

x x

4

0,2 0,3357 0 0( ) 0,1192 0,2 0 0,88

0 0 0,3 0w

x x

• perturbed tetrahedron

1

0,5 0,1853 0 1,0462( ) 0,1667 0,3639 0,0962 0,8914

0 0,1555 0,5 1,2468w

x x

2

0,5 0,042 0 1,6029( ) 0,1667 0,3639 0,0962 0,8914

0 0,2382 0,5 0,2826w

x x


270 Dodatki

3

0,5 0,2273 0 0,5567( ) 0 0,3639 0,1925 0,8914

0 0,0827 0,5 1,5294w

x x

4

0,383 0 0,3214 0( ) 0 0,5 0 1,2247

0,3214 0 0,383 0w

x x

• plant

1

0 0 0( ) 0 0,5 0

0 0 0w

x x

2

0 0 0 0( ) 0 0,5 0 0,8

0 0 0 0w

x x

3

0,383 0,3214 0 0,2( ) 0,3214 0,383 0 5,2

0 0 0,5 0w

x x

4

0,1915 0,1607 0,433 0,1( ) 0,3214 0,383 0 5,2

0,3317 0,2783 0,25 0,1732w

x x

5

0,1915 0,1607 0,433 0,1( ) 0,3214 0,383 0 5,2

0,3317 0,2783 0,25 0,1732w

x x

• dragon

1

0,5283 0,4114 0,2273( ) 0,4698 0,4698 0,2418

0,0103 0,3317 0,2273w

x x

2

0,4114 0,5283 0,2273 2,2( ) 0,4698 0,4698 0,2418 2,16

0,3317 0,0103 0,6244 2,2w

x x

B. DYSK CD-ROM

Do pracy załączono dysk CD-ROM zawierający ilustracje oraz wyniki działania przedstawio-nych w niej algorytmów. Na dysku zawarto prawie cały materiał wizualny przedstawiony w rozpra-wie (pominięto niektóre rysunki o charakterze technicznym), a także dodatkowe obrazy oraz około 20 animacji. Między innymi zamieszczono zapis interaktywnej wizualizacji miar niezmienniczych


271 Bibliografi a

IFSP na przestrzeni R3, a także zapis działania demonstracyjnej aplikacji grafi cznej realizującej in-teraktywną, realistyczną wizualizację w czasie rzeczywistym sceny 3D zawierającej wiele atrakto-rów IFS, oglądanych z perspektywy poruszającego się po tej scenie obserwatora. Materiał zgromadzony na dysku uporządkowany jest zgodnie z układem rozprawy i zorgani-zowany przy wykorzystaniu języka HTML. W celu zapoznania się z załączonymi przykładami ob-razów i animacji należy wywołać plik index.html za pomocą przeglądarki internetowej, np. Inter-net Explorer lub Mozilla Firefox. Większość ilustracji może zostać powiększona poprzez wskazanie kursorem myszy na obrazek i naciśnięcie jej lewego przycisku. Animacje odtwarzane są w ten sam sposób.

BIBLIOGRAFIA

[1] Akenine-Möller T., Haines E.: Real-time rendering. 2nd ed. A K Peters, Wellesley, Massachu-setts, 2002.

[2] Akl S.G.: Two remarks on a convex hull algorithm. Information Processing Letters, 1979, 8, s. 108–9.

[3] Alligood K.T., Sauer T.D., Yorke J.A: Chaos. An introduction to dynamical systems. Springer, New York, 2000.

[4] Bachman G., Narici L.: Functional analysis. Dover Publications, 1998. [5] Barnsley M.F.: Fractal functions and interpolation. Constructive Approximation, 1988, 2,

s. 303–329. [6] Barnsley M.F.: The desktop fractal design handbook. Academic Press, New York, 1989. [7] Barnsley M.F.: Fractals everywhere. 2nd ed. Academic Press, Boston, 1993. [8] Barnsley M.F.: Theory and application of fractal tops. In: Fractals in Engineering: New trends

in theory and application. J. Lévy-Véhel, E. Lutton (red.), Springer, London, 2005, s. 3–20. [9] Barnsley M.F.: Superfractals. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. [10] Barnsley M.F., Elton J.H., Hardin D.P.: Recurrent iterated function systems. Constructive Ap-

proximation, 1989, 5(1), s. 3–31.[11] Barnsley M.F., Jacquin A., Malassenet F., Reuter L., Sloan A.D.: Harnessing chaos for image

synthesis. Computer Graphics, 1988, 22(4), s. 131–140.[12] Barr A.H.: Ray tracing deformed surfaces. Computer Graphics, 1986, 20(4), s. 287–296.[13] Blinn J.F.: Light refl ection functions for simulation of clouds and dusty surfaces. Computer

Graphics, 1982, 16(3), s. 21–28.[14] Bowman R.: Fractal metamorphosis: A brief student tutorial. Computers & Graphics, 1995,

19(1), s. 157–64.[15] Burch B., Hart J.: Linear fractal shape interpolation. Graphics Interface’97, 1997, s. 155–62.[16] Cabral B., Cam N., Foran J.: Accelerated volume rendering and tomographic reconstruction

using texture mapping hardware. ACM Symp. on Volume Visualization, 1994, s. 91–98.[17] Canright D.: Estimating the spatial extent of the attractors of iterated function systems. Com-

puters & Graphics, 1994, 18(2), s. 231–238.[18] Chen Y.Q., Bi G.: 3-D ifs fractals as real-time graphics models. Computers & Graphics, 1997,

21(3), s. 367–370.[19] Chu H.-T., Chen Ch.-Ch.: On bounding boxes of iterated function system attractors. Computers

& Graphics, 2003, 27(4), s. 407–414.[20] Cochran W.O., Lewis R.R., Hart J.C.: The normal of a fractal surface. The Visual Computer,

2001, 17(4), s. 209–218.[21] Cormen Th.H., Leiserson Ch.E., Rivest R.L.: Wprowadzenie do algorytmów. WNT, Warsza-

wa 1997.


272 Bibliografi a

[22] Cullip T.J., Neumann U.: Accelerating volume reconstruction with 3D texture hardware. Tech. Rep. TR93–027, University of North Caroline at Chapel Hill, 1993.

[23] de Berg M., van Kreveld M., Overmars M., Schwarzkopf O.: Computational geometry – algo-rithms and applications. 2nd ed. Springer, New York 2000.

[24] Draves S., Reckase E.: The fractal fl ame algorithm. http://fl am3.com, 2003.[25] Dubuc S., Elqortobi A.: Approximations of fractal sets. J. Computational and Applied Math-

ematics, 1990, 29, s. 78–89.[26] Dubuc S., Hamzaoui R.: On the diameter of the attractor of an IFS. Manuscript, 1994.[27] Dyson F.: Characterizing irregularity. Science, 1978, 200(4342), s. 677–678.[28] Eberly D.H.: 3D game engine design. 2nd ed. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam, 2007.[29] Ebert D.S., Musgrave F.K., Peachey D., Perlin K., Worley S.: Texturing & modeling. A proce-

dural approach. 3nd ed. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam, 2003.[30] Edalat A., Sharp D.W.N., While R.L.: Bounding the attractor of an IFS. Imperial College Re-

search Report DoC 96/5, 1996.[31] Edgar A.G.: Measure, topology, and fractal geometry. Springer, New York 1990.[32] Elton J.: An ergodic theorem for iterated maps. Journal of Ergodic Theory and Dynamical

Systems, 1987, 7, s. 481–488.[33] Falconer K.: Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. John Wiley &

Sons, Chichester 1990.[34] Falconer K.: Techniques in fractal geometry. John Wiley & Sons, Chichester 1997.[35] Feller W.: An introduction to probability theory and its application. Volume I. Third ed. John

Wiley & Sons, New York 1963. [36] Fisher Y. (red.): Fractal image compression: Theory and application. Springer, New York 1995.[37] Foley J.D., van Dam A., Feiner S.K., Hughes J.F.: Computer graphics: Principles and practice.

2nd ed in C. Addison-Wesley, Boston 1990.[38] Forte B., Mendivil F.: A classical ergodic property for IFS: A simple proof. Ergodic Theory and

Dynamical Systems, 1998, 18(3), s. 609–611. [39] Fournier A., Fussel D., Carpenter L: Computer rendering of stochastic models. Communica-

tions of the ACM, 1982, 25(6), s. 371–384.[40] Freeman H., Shapira R.: Determining the minimum-area enclosing rectangle for an arbitrary

closed curve. Communications of the ACM, 1975, 18, s. 409–13.[41] Giles J.R.: Introduction to the analysis of metric spaces. Cambridge University Press, Cam-

bridge 1987. [42] Giles J.R.: Introduction to the analysis of normed linear spaces. Cambridge University Press,

Cambridge 2000. [43] Glassner A.S. (red.): An introduction to ray tracing. Academic Press, London 1989.[44] Golub G.H., Van Loan C.F.: Matrix computations. 2nd ed. Johns Hopkins, Baltimore 1989.[45] Goodman G.S.: A probabilist looks at the chaos game. In: Fractals in the fundamental and ap-

plied sciences. H.-O. Peitgen, J.M. Henriques i L.F. Penedo (red.), North-Holland, Amsterdam 1991, s. 183–224.

[46] Gross M., Pfi ster H. (red.): Point-based graphics. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam 2007.

[47] Gröller E.: Modeling and rendering of nonlinear iterated function systems. Computers & Graphics, 1994, 18(5), s. 739–748.

[48] Gröller E.: Nonlinear ray tracing: visualizing strange worlds. The Visual Computer, 1995, 11, s. 263–274.

[49] Gutiérrez J.M., Iglesisas A., Rodríguez: A multifractal analysis of IFSP invariant measures with application to fractal image generation. Fractals. Complex geometry, patterns, and scaling in nature and society, 1996, 4(1), s. 17–27.


273 Bibliografi a

[50] Haines E.: Effi ciency improvements for hierarchy traversal in ray tracing. In: Graphics gems II, J. Arvo (red.). Academic Press, Boston 1991, s. 267–272.

[51] Hall R.: Illumination and color in computer generated imaginary. Springer, New York 1989. [52] Hart J.C., DeFanti T.A.: Effi cient antialiased rendering of 3-D linear fractals. Computer

Graphics, 1991, 25(4), s. 91–100.[53] Hart J.C., Sandin D.J., Kauffman L.H.: Ray tracing deterministic 3-D fractals. Computer

Graphics, 1989, 23(3), s. 289–296.[54] Harte D.: Multifractals. Theory and applications. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 2001.[55] Hepting D., Hart J.C.: The escape buffer: Effi cient computation of escape time for linear frac-

tals. Proc. Graphics Interface ’95, 1995, s. 204–214.[56] Hepting D., Prusinkiewicz P., Saupe D.: Rendering methods for iterated function systems. In:

Fractals in the fundamental and applied sciences. H.-O. Peitgen, J.M. Henriques i L.F. Penedo (red.), North-Holland, Amsterdam 1991, s. 183–224.

[57] Herbison-Evans D.: Solving and cubics for graphics. In: Graphics gems V, A.W. Paeth (red.), Academic Press, Boston 1995, s. 3–15.

[58] Hoppe H., DeRose T., Duchamp T., McDonald J., Suetzle W.: Surface reconstruction from unorganized points. Computer Graphics, 1992, 26(3), s. 71–78.

[59] Hutchinson J.: Fractals and self-similarity, Indiana University Journal of Mathematics, 1981, 30, s. 713–747.

[60] Jakubowski J., Sztencel R.: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. SCRIPT, Warszawa 2000.[61] Jarvis J.P., Shier D.R.: Graph-theoretic analysis of fi nite Markov chains. In: Applied math-

ematical modeling: A multidisciplinary approach. D.R. Shier, K.T. Wallenius (red.): Chapman & Hall/CRC, Boca Raton 1996.

[62] Kajiya J.T.: New techniques for ray tracing procedurally defi ned objects. Computer Graphics, 1982, 17(3), s. 91–102.

[63] Kajiya J.T., Von Herzen B.P.: Ray tracing volume densities. Computer Graphics, 1984, 18(3), s. 165–174.

[64] Kay T.L., Kajiya J.T.: Ray tracing complex scenes. Computer Graphics, 1986, 20(4), s. 269–278.[65] Kenyon R., Li J., Strichartz R.S., Wang Y. Geometry of self-affi ne tiles II. Indiana University

Mathematics Journal, 1999, 48, s. 25–42.[66] Kiełbasiński A., Schwetlick H.: Numeryczna algebra liniowa. Wprowadzenie do obliczeń

zautomatyzowanych. WNT, Warszawa 1992. [67] Kincaid D., Cheney W.: Numerical analysis. Mathematics of scientifi c computing, 3th ed.

Americal Mathematical Society, 2002.[68] Knuth D.E., Morris J.H., Pratt V.R.: Fast pattern matching in strings. SIAM Journal on Com-

puting, 1977, 6(2), s. 323–350.[69] Krüger J., Westermann R.: Acceleration techniques for GPU-based volume rendering. Pro-

ceedings of IEEE Visualization ’03, 2003, s. 287–292. [70] Kudrewicz J.: Fraktale i chaos, Wyd. 3. WNT, Warszawa 1996.[71] Lawlor O.S., Hart J.C.: Bounding recursive procedural models using convex optimization.

Proc. Pacifi c Graphics ‘03.[72] Lengyel E.: Mathematics for 3D game programming and computer graphics. 2nd ed. Charles

River Media, Hingham, Massachusetts 2004. [73] Luebke D., Reddy M., Cohen J.D., Varshney A., Watson B., Huebner R.: Level of detail for 3D

graphics. Morgan Kaufmann Publishers, Amsterdam 2003.[74] Luna F.D.: Introduction to 3D game programming with DirectX 9.0c: A shader approach.

Worldware Publishing, Inc, 2006.[75] Maciejewski M.: Modelowanie roślin przy wykorzystaniu uogólnionych systemów funkcji ite-

rowanych. Praca magisterska (pod kierunkiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warsza-wa 2003.


274 Bibliografi a

[76] Mandelbrot B.B.: The fractal geometry of nature. W. H. Freeman and Co., New York, 1982. [77] Mandelbrot B.B.: Selected topics in mathematics, physics, and fi nance originating in frac-

tal geometry. In: Thinking in patterns. M.M. Novak (red.), World Scientifi c, Singapore 2004, s. 1–33.

[78] Manly T.F.J.: Multivariate statistical methods. Chapman & Hall, London, 1986. [79] Martyn T.: Fraktale i obiektowe algorytmy ich wizualizacji. Wydawnictwo Nakom, Poznań 1996. [80] Martyn T.: Wizualizacja atraktorów IFS metodą śledzenia promieni. Raport Badawczy II PW,

2/97, Warszawa 1997.[81] Martyn T.: Wizualizacja atraktorów afi nicznych IFS metodą śledzenia promieni. Rozprawa

doktorska, Politechnika Warszawska, Warszawa 1999. [82] Martyn T.: Effi cient ray tracing affi ne IFS attractors. Computers & Graphics, 2001, 25(4),

s. 665–670.[83] Martyn T.: An elementary proof for correctness of the chaos game for IFS and its hierarchical

and recurrent generalizations. Computers & Graphics, 2002, 26(3), s. 505–510.[84] Martyn T.: On approximation accuracy of the chaos game’s fi nite-time activity. Computers &

Graphics, 2002, 26(5), s. 753–764.[85] Martyn T.: An approach to ray tracing affi ne IFS fractals. In: Emergent nature. M.M. Novak

(red.), World Scientifi c, Singapore 2002, s. 283–292.[86] Martyn T.: Tight bounding ball for affi ne IFS attractor. Computers & Graphics, 2003, 27(4),

s. 535–552. [87] Martyn T.: A new approach to morphing 2D affi ne IFS fractals. Computers & Graphics, 2004,

28(2), s. 249–272. [88] Martyn T.: A method for numerical estimation of generalized Rényi dimensions of affi ne recur-

rent IFS invariant measures. In: Thinking in patterns. M.M. Novak (red.), World Scientifi c, Singapore 2004, s. 79–90.

[89] Martyn T.: Convex containers of affi ne 2D IFS attractors. Tekst niepublikowany, arch. autora, 2006.[90] Martyn T.: A generative construction and visualization of 3D fractal measures. In: Complexus

mundi. Emergent patterns in nature. M.M. Novak (red.), World Scientifi c, Singapore 2006, s. 103–112.

[91] Martyn T.: Convex containers of IFS attractors. Seminarium Zakładu Grafi ki Komputerowej 22.01.2008, Instytut Informatyki, Politechnika Warszawska, 2008.

[92] Martyn T.: The attractor-wrapping approach to approximating convex hulls of 2D affi ne IFS attractors. Computers & Graphics, 2009, 33(1), s. 104–112.

[93] Martyn T.: The smallest enclosing disc of an affi ne IFS fractal. Fractals. Complex geometry, patterns, and scaling in nature and society, 2009, 17(3), s. 269–281.

[94] Martyn T.: Exploring the infi nite-time behavior of the chaos game: Approximation and interac-tive visualization of 3D IFSP and RIFS invariant measures using PC graphics accelerators. Machine Graphics & Vision, 2010, 18(4), s. 453–476.

[95] Martyn T.: Realistic rendering 3D IFS fractals in real-time with graphics accelerators. Com-puters & Graphics, 2010, 34(2), s. 167–175.

[96] Massopust P.R.: Fractal functions, fractal surfaces, and wavelets. Academic Press, San Diego 1994.

[97] Mattila P.: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifi ability. Cambridge University Press, Cambridge 1999.

[98] Megiddo N.: Linear-time algorithms for linear programming in R3 and related problems. SIAM J. Comput., 1983, 12(4), s. 759–776.

[99] Megiddo N.: Linear programming in linear time when the dimension is fi xed. J. of ACM., 1984, 31, s. 114–127.


275 Bibliografi a

[100] Monro D.M., Dudbridge F.: Rendering algorithms for deterministic fractals. IEEE Computer Graphics and Application, 1995, 15(1), s. 32–41.

[101] Mrowiec S.: Grafi czna analiza multifraktalna atraktorów RIFS 3D z wykorzystaniem wizuali-zacji wolumetrycznej wspomaganej sprzętowo. Praca magisterska (pod kierunkiem T. Marty-na), Politechnika Warszawska, Warszawa 2004.

[102] Musgrave F.K., Kolb C.E., Mace R.S.: The synthesis and rendering of eroded fractal terrains. Computer Graphics, 1989, 23(3), s. 41–50.

[103] Nelder J.A. Mead R.: A simplex method for function minimization. Computer Journal, 1965, 7(4), s. 308–313.

[104] Nikiel S.: True-colour images and iterated function systems. Computers & Graphics, 1998, 22(5), s. 635–540.

[105] Nikiel S.: Iterated function systems for real-time image synthesis. Springer, London 2007.[106] Nikiel S., Goinski, A.: Generation of volumetric escape time fractals. Computers & Graphics,

2003, 27, s. 977–982.[107] Nikiel S., Steć P.: Rekurencyjny algorytm generacji systemów funkcji iteracyjnych. Metody

i systemy komputerowe w badaniach naukowych i projektowaniu inżynierskim: II Krajowa Konferencja, Krakowskie Centrum Informatyki Stosowanej, Kraków 1999.

[108] Norton A.: Generation and display of geometric fractals in 3-D. Computer Graphics, 1982, 16(3), s. 61–67.

[109] Olano M., Hart J.C., Heidrich W., McCool M.: Real-time shading. A K Peters, Natic, Mas-sachusetts 2002.

[110] O’Rourke J.: Computational geometry in C. 2nd ed. Cambridge University Press, Cambridge 2003.

[111] Pajarola R., Sainz M., Guidotti P.: Confetti: object-space point blending and splatting. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 2004, 10(5), s. 598–608.

[112] Pauly M., Keiser R., Kobbelt L.P., Gross M.: Shape modeling with point-sampled geometry. ACM Transactions on Graphics, 2003, 22(3), s. 641–650.

[113] Peitgen H.-O., Jürgens H., Saupe D.: Chaos and fractals. New frontiers of science. 2nd ed. Springer, New York 2004.

[114] Peitgen H.-O., Saupe D. (red.): The science of fractal images. Springer-Verlag, New York 1988.

[115] Peruggia M.: Discrete iterated function systems. A K Peters, Wellesley, Massachusetts 1993.[116] Petersen K.: Ergodic theory. Cambridge University Press, Cambridge 1983. [117] Pierański P.: Fraktale. Od geometrii do sztuki. Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań

1992.[118] Pirzadeh H.: Computational geometry with the rotating calipers. M.Sc. thesis, School of

Computer Science, McGill University, Montréal, Québec, Canada 1999.[119] Polack T.: Focus on 3D terrain programming. Premier Press, Cincinnati, Ohio 2003.[120] Preparata F.P., Shamos M.I.: Computational geometry – an introduction. Springer Verlag,

New York 1985. [121] Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T.: Numerical Recipes in C. 2nd ed.

Cambridge University Press, Cambridge 1992. [122] Prokop J.: Tight bounding volumes for an IFS attractor. Praca inżynierska (pod kierunkiem

T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warszawa 2007. [123] Prokop J.: Approximation of convex hulls for an IFS attractor. Praca magisterska (pod kierun-

kiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warszawa 2008. [124] Prusinkiewicz P., Hammel M.S.: Escape-time visualization metod for language-restricted it-

erated function systems. Proceedings of Graphics Interface’92, 1992, s. 213–223.[125] Prusinkiewicz P., Sandness G.: Koch curves as attractors and repellers. IEEE Computer

Graphics and Applications, 1988, 8(6), s. 26–40.


276 Bibliografi a

[126] Rezk-Salama C., Engel K., Bauer M., Greiner G., Ertl T.: Interactive volume rendering on standard PC graphics hardware using multi-textures and multi-stage rasterization. Graphics Hardware 2000, 2000, s. 109–118.

[127] Rice J.: Spatial bounding of self-affi ne iterated function system attractor sets. Technical Re-port TCD-CS-96-1, Dept. Computer Science, Trinity College, Dublin, Ireland 1996.

[128] Rice J.: Spatial bounding of self-affi ne iterated function system attractor sets. Graphics Inter-face’96, 1996, s. 107–115.

[129] Ritter J.: An effi cient bounding sphere. In: Graphics gems. A.S. Glassner (red.), Academic Press, Boston 1990, s. 201–205.

[130] Ritter J.: A simple ray rejection test. In: Graphics gems. A.S. Glassner (red.), Academic Press, Boston 1990, s. 201–205.

[131] Rudin W.: Podstawy analizy matematycznej. PWN, Warszawa 1998. [132] Sabella P.: A rendering algorithm for visualizing 3D scalar fi elds. Computer Graphics, 1988,

22(4), s. 51–61.[133] Schwarze J.: Cubic and quartic roots. In: Graphics gems. A.S. Glassner (red.), Academic

Press, Boston 1990, s. 404–407. [134] Seculic D.: Effi cient occlusion culling. In: GPU Gems. R. Fernando (red.), Addison-Wesley,

Boston 2004, s. 404–407.[135] Seidel R.: Backwards analysis of randomized geometric algorithms. In: New trends in discrete

and computational geometry. Algorithms and combinatorics. Vol. 10. J. Pach (red.), Springer, Berlin 1993, s. 37–68.

[136] Shinya M., Takahashi T., Naito S.: Principles and application of pencil tracing. Computer Graphics, 1987, 21(4), s. 45–54.

[137] Skarbek W.: On correctness of algorithms for approximation of IFS fractals. Machine Gra-phics & Vision, 1992, 1(3), s. 555–560.

[138] Skarbek W.: Metody reprezentacji obrazów cyfrowych. Akademicka Ofi cyna Wydawnicza PLJ, Warszawa 1993.

[139] Skarbek W.: Notatka dołączona do recenzji rozprawy doktorskiej (Martyn [81]), 1999. [140] Skarbek W.: Notatka w recenzji wydawniczej manuskryptu tej pracy, 2011.[141] Stark J.: Iterated function systems as neural networks. Neural Networks, 1991, 4, s. 679–690.[142] Stępień C.: Self-congruent plant model and IFS models. Proceedings of the 10th IEEE Interna-

tional Conference on Methods and Robotics, 2004, s. 189–194.[143] Stępień C.: An IFS-based method for modeling horns, seashells and other natural forms.

Computers & Graphics, 2009, 33(4), s. 576–581.[144] Strichartz R.S., Wang Y.: Geometry of self-affi ne tiles I. Indiana University Mathematics Jour-

nal, 1999, s. 48:1–23.[145] Sysło M.M., Deo N., Kowalik J.S. Algorytmy optymalizacji dyskretnej. Wyd. 3. PWN,

Warszawa 1999. [146] Szeliski R., Terzopoulos D.: From splines to fractals. Computer Graphics, 1989, 23(3), s. 51–60.[147] Toussaint G.T.: Solving geometric problems with the rotating calipers. Proceedings of IEEE

MELECON’83, Athens, Greece 1983.[148] Trajdos T.: Matematyka. Część III. WNT, Warszawa 1993.[149] Traxler C., Gervautz M.: Effi cient ray tracing of complex natural scenes. In: Fractal Fron-

tiers. M.M. Novak, T.G. Dewey (red.), World Scientifi c, Singapore 1997, s. 431–442.[150] Van Loocke Ph.: Polygon-based fractals from compressed iterated function systems. Com-

puter Graphics, 2010, 30(2), s. 34–44.[151] van Wijk J.J., Saupe D.: Image-based rendering of iterated function systems. Computers &

Graphics, 2004, 28(6), s. 937–943.[152] Welzl E. Smallest enclosing disks (balls and ellipsoids). In: New results and new trends in

computer science. H. Maurer (red.), Springer Verlag, New York 1991, s. 359–370.


277 Summary

[153] Whitted T.: An improved illumination model for shaded display. Communications of the ACM, 1980, 23(6), s. 343–349.

[154] Wittenbrink C.M.: IFS fractal interpolation for 2D and 3D visualization. Proceedings of Vi-sualization 95, 1995, s. 77–84.

[155] Wonka P., Gervautz M.: Ray tracing of nonlinear fractals. WSCG Plzen Proceedings, 1998, s. 424–431.

[156] Wu X.: A linear-time simple bounding volume algorithm. In: Graphics gems III. D. Kirk (red.), Academic Press, Boston 1992, s. 301–306.

[157] Zabrodzki J. (red.): Grafi ka komputerowa – metody i narzędzia. WNT, Warszawa 1993.[158] Żukowski M.: Zastosowanie algorytmów genetycznych do interakcyjnego modelowania frak-

tali IFS. Praca magisterska (pod kierunkiem T. Martyna), Politechnika Warszawska, Warsza-wa 2004.

GEOMETRIC ALGORITHMS FOR VISUALIZATION OF FRACTALS OF ITERATED FUNCTION SYSTEMS

S u m m a r y

The monograph is devoted to the presentation and analysis of the methods and algorithms to solve some fundamental problems which appear in computer visualization of fractal objects de-scribed by iterated function systems (IFS), namely IFS attractors and IFSP invariant measures. The discussed topics cover: the approximation of the mentioned objects, including their approximation on rectangular lattices, the determination of convex sets of a given geometry to bound IFS attractors, including bounding discs and balls, as well as bounding polygons and polyhedrons; the determina-tion of the ray-attractor intersection and the computation of the distance between a given point and the attractor; the estimation of the normal vector at attractor points; visualization of attractors and invariant measures in 2D and 3D space. The majority of the algorithms are presented in the form of a pseudo-code that should be comprehensible to any reader familiar with a procedural programming language. Providing effi cient algorithms to solve the mentioned problems makes it possible to perform, amongst others, realistic visualization of the IFS attractors and IFSP invariant measures in real-time with a modern graphics adaptor. Moreover, the implementation of adequate algorithms allows visualization to be done with the aid of existing graphics applications. They can also serve as an indispensable ingredient for visualization of the considered objects by means of popular graphics APIs, such as OpenGL and Direct3D. In particular, they can be used as modules extending the functionality of existing game and physics engines. The scope of potential applications of the issues we deal with in the monograph is very broad and ranges from scientifi c visualization, entertainment (computer and video games) to modern art. The main goal of this work is to collect and systematize the solutions scattered so far in rel-evant literature focused on computer graphics as well as concerned with fractals and mathematics, including results obtained by the author and published in his individual papers. Some of the results, obtained previously both by the author and other researches, have been generalized and updated in the monograph, while some of them have been presented in a form restricted to the context of the monograph’s theme.

Keywords: fractal, IFS attractor, iterated function system, geometric algorithms, computer graphics, visualization



SPIS TREŚCI

Stosowane oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. Wstęp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Geometria fraktalna a wizualizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Układy odwzorowań iterowanych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Cel, zakres i teza pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Układ pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Podstawy teoretyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Zupełność, zwartość i twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym . . . . . . . . . . . 17 2.3. Układ odwzorowań iterowanych i atraktor IFS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Układ odwzorowań iterowanych z prawdopodobieństwami i miara niezmiennicza . . . . 26 2.5. Momenty zwykłe pierwszego i drugiego rzędu miary niezmienniczej IFSP . . . . . . . . . . 29 2.6. Elementy teorii łańcuchów Markowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323. Aproksymacja – algorytmy ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1. Iterowanie operatora Hutchinsona. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Algorytm adaptacyjnych odcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1. Opis i analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.2. Wyznaczanie stałych Lipschitza odwzorowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3. Gra w chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1. Opis algorytmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.2. Analiza w przypadku nieskończonej liczby iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.3. Analiza w przypadku skończonej liczby iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.4. Alternatywny dowód poprawności algorytmu w przypadku nieskończonej liczby

iteracji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4. Aproksymacja na -siatkach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1. Czas ucieczki i funkcja charakterystyczna atraktora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2. Zmodyfi kowany algorytm adaptacyjnych odcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3. Układ -IFSP i dyskretna gra w chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4. Algorytm minimalnego rysowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.5. Wyznaczanie maksymalnego zbioru niezmiennicznego dyskretnego operatora Hutchin-

sona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5.1. Uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.5.2. Iterowanie dyskretnego operatora Hutchinsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.5.3. Usuwanie tła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.6. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5. Figury ograniczające – kule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2. Algorytm iteracyjny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.3. Optymalizacja środka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.4. Wyważanie atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.5. Koperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.6. Podejście adaptacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.7. Punkty rozpinające . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.8. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


280 Spis treści

6. Figury ograniczające – wielokąty i wielościany wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.2. Prostopadłościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2.1. Algorytmy pośrednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.2.2. Algorytmy bezpośrednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.3. Wielokąty i wielościany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3.1. Programowanie liniowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.3.2. Odcinanie wierzchołków. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.3.3. Owijanie atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.4. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7. Wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem i odległości punktu od atraktora . . . . 178 7.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.2. Wyznaczanie przecięcia półprostej z atraktorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.1. Hierarchia fi gur ograniczających. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.2. Drzewo fi gur ograniczających podzbiory atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.2.3. Adaptacyjne wyznaczanie przecięcia – algorytmy wzorcowe . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.2.4. Adaptacyjne wyznaczanie przecięcia a geometria fi gur ograniczających. . . . . . . . 189 7.3. Wyznaczanie odległości punktu od atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 8. Estymacja wektorów normalnych w punktach atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.1. Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2. Wygładzanie atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.2.1. Metody bezpośrednie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.2.2. Metody hierarchiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.3. Wykorzystanie z-bufora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.4. Metoda gradientu funkcji odległości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.5. Regresja liniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.6. Porównanie algorytmów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 9. Wizualizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1. Atraktory w przestrzeni 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 9.1.1. Operator Hutchinsona a wizualizacja atraktorów i miar niezmienniczych . . . . . . . 210 9.1.2. Gra w chaos a metody wizualizacji – kolorowanie IFS i wykradanie kolorów . . . 213 9.1.3. Wykorzystanie algorytmu adaptacyjnych odcięć . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 9.1.4. Inne metody wizualizacji geometrii atraktora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.1.5. Wizualizacja funkcji odległości. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.1.6. Wizualizacja czasu ucieczki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.1.7. Wizualizacja funkcji potencjału . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.2. Atraktory w przestrzeni 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.2.1. Uwagi wstępne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.2.2. Zastosowanie metody śledzenia promieni do wizualizacji geometrii atraktorów

IFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.2.3. Obrazowanie miar niezmienniczych IFSP przy użyciu wizualizacji wolumetrycz-

nej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.2.4. Realistyczna wizualizacja geometrii atraktorów IFS w czasie rzeczywistym . . . 24910. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Dodatki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Bibliografi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Summary. Geometric algorithms for visualization of fractals of iterated function systems . . . . . 277


Documents

UKOCHANEJ MONICE - repo.pw.edu.pl