Unidad 3Anlisis de flujo incompresible en conductos

La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.

En la figura, se representa un fluido comprendido entre una lmina inferior fija y una lmina superior mvil.

Viscosidad

La capa de fluido en contacto con la lmina mvil tiene la misma velocidad que ella, mientras que la adyacente a la pared fija est en reposo. La velocidad de las distintas capas intermedias aumenta uniformemente entre ambas lminas tal como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se denomina laminar.

Como consecuencia de este movimiento, una porcin de lquido que en un determinado instante tiene la forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformar y se transformar en la porcin ABCD

Viscosidad

Sean dos capas de fluido de rea A que distan dx y entre las cuales existe una diferencia de velocidad dv.

La fuerza por unidad de rea que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad. La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad .

Viscosidad

=

=

En un fluido ideal la viscosidad es cero h = 0

En un fluido real la viscosidad toma un valor finito h > 0

En un slido la viscosidad tiende al infinito h 0

Viscosidad en fluidos y slidos

Un fluido ideal (figura de la izquierda) sale por la tubera con una velocidad v = 2, de acuerdo con el teorema de Torricelli.

Toda la energa potencial disponible (debido a la altura h) se transforma en energa cintica.

Fluido ideal

En un fluido viscoso (figura de la derecha) el balance de energa es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo, sale fluido con una velocidad bastante ms pequea.

Los tubos manomtricos marcan alturas decrecientes, informndonos de las prdidas de energa por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energa potencial que tiene cualquier elemento de fluido al iniciar el movimiento se ha transformado ntegramente en calor.

El hecho de que los manmetros marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la prdida de energa en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo

Fluido viscoso

Lquido 10-2 kg/(ms)

Aceite de ricino 120

Agua 0.105

Alcohol etlico 0.122

Glicerina 139.3

Mercurio 0.159

Viscosidad de algunos lquidos

1 poise = 10-1 N

2

1 cp = 10-2 poise

La relacin entre la fuerza y la velocidad de desplazamiento lineal expresada en el prrafo anterior es vlido slo para el caso de fluidos Newtonianos.

Aquellos fluidos donde el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la rapidez de deformacin se denominan fluidos Newtonianos.

Algunos ejemplos de fluidos prcticamente newtonianos son el agua, el aire, la gasolina y el petrleo.

Fluidos newtonianos

Los fluidos No Newtonianos son aquellos en que el esfuerzo cortante no es directamente proporcional a la deformacin.

Algunos ejemplos de fluidos con comportamientos marcadamente No Newtonianos son la crema dental, la grasa y el lavaplatos en gel. En estos ejemplos existe un esfuerzo de cedencia por debajo del cual se comportan como un slido.

En los fluidos Newtonianos este esfuerzo de cedencia es cero.

Fluidos no newtonianos

En los lquidos, la viscosidad es sensible a la temperatura y disminuye al aumentar sta. Eso se debe a que predomina la disminucin de la causa 1) sobre el aumento de la 2). As, por ejemplo, la viscosidad del agua a 0 C es 1,75 cP y a 100 C es de 0,28 cP.

En cuanto al efecto de la presin, la viscosidad de los lquidos aumenta muy ligeramente con ella, siendo el agua una excepcin, pues en ella la viscosidad primero disminuye y luego aumenta con la presin.

Efectos temperatura en fluidos

En los gases, la viscosidad aumenta con la temperatura. Eso es debido a que la disminucin de la causa 1) es pequea,

porque en los gases las fuerzas de cohesin ya son pequeas, y en cambio es importante el aumento de la causa 2). Las molculas gaseosas al calentarse se desplazan ms rpidamente, pero hay ms choques y ms efectos de frenado de unas capas sobre otras. La viscosidad de los gases se ha estudiado intensamente en la teora cintica de los gases, disponindose de tablas exactas para su clculo. La constante n vara entre 0,65 y 1, segn los casos.

En cuanto a la influencia de la presin, es poco importante, aumentando la viscosidad con ella, especialmente en las proximidades del punto crtico.

Efectos temperatura en fluidos

Resulta que las molculas que componen un fluido real no se hallan ordenadas entre s y menos lo estn cuando avanzan en una corriente.

No slo avanzan en el sentido de la corriente, tambin tienen libertad de desplazarse transversalmente.

De modo que si pudisemos ver la trayectoria de algunas cuantas molculas para darnos cuenta de cmo est avanzando el fluido encontraramos cosas de este estilo:

Flujo laminar y turbulento

El estilo de la izquierda, ms ordenado, se llama laminar; el de la derecha, ms desordenado, turbulento. Esas trayectorias reciben el nombre de lneas de corriente, y tienen su importancia operativa.

El flujo turbulento no es muy eficiente en el uso de la energa... gran parte se va en choques, reflujos, remolinos, aceleraciones y frenadas. La fsica de los fluidos turbulentos es bastante complicada y suele requerir de cantidades considerables de cmputo.

El flujo laminar es ms predecible, y existen varias leyes que describen su comportamiento. Su nombre obedece a que las molculas parecen desplazarse en lminas de igual velocidad, que se envuelven unas a otras en forma concntrica:

Flujo laminar

Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en rgimen laminar por una tubera de radio interior R, y de longitud L, bajo la accin de una fuerza debida a la diferencia de presin existente en los extremos del tubo.

F=(p1-p2)p r2 (1)

Ley de Pouseuille

Sustituyendo F en la frmula (1) y teniendo en cuenta que el rea A de la capa es ahora el rea lateral de un cilindro de longitud L y radio r.

1 2 2

2=

Perfil de velocidades:

Integrando esta ecuacin, obtenemos el perfil de velocidades en funcin de la distancia radial, al eje del tubo. Se ha de tener en cuenta que la velocidad en las paredes del tubo r=R es nula.

- 0 =

12

2 v =

12

4 (R2-r2)

que es la ecuacin de una parbola.

Ley de Pouseuille

La lmina ms externa es la ms lenta, debido a que est en contacto con la pared del conducto, y el rozamiento la frena. La lmina siguiente -hacia el centro- se desplaza un poco ms rpido; y as hasta el centro, donde se halla la columna ms veloz de la corriente. Se puede deducir sin demasiada dificultad que las velocidades de las lminas se distribuyen en forma cuadrtica: ac te muestro un esquema de un corte longitudinal de una manguera mientras circula un fluido real en forma laminar:

Los vectores representan la velocidad de las molculas de fluido ubicadas en sus respectivas lminas. Cuando hablemos de la velocidad del fluido nos estaremos refiriendo a un promedio de todas las velocidades de todas las lminas. Cuanto ms viscoso sea un fluido mayor ser la diferencia de velocidad entre lminas. Y cuanto ms se aproxime a cero la viscosidad del fluido menor diferencia de velocidad habr entre sus molculas. En una situacin extrema -ideal- la velocidad de todas las molculas es idntica.

Ley de Pouseuille

GastoEl volumen de fluido que atraviesa cualquier seccin normal del tubo en la unidad de tiempo se denomina gasto.

El volumen de fluido que atraviesa el rea del anillo comprendido entre r y r+dr en la unidad de tiempo es v(2r)dr.

Donde v es la velocidad del fluido a una distancia r del eje del tubo y 2 rdr es el rea del anillo.

El gasto se hallar integrando:

G = 0(2) =

(12)2 0

(R2r2) =

12 4

8

G = 2v p1-p2 = 8 L2

v

Ley de Pouseuille

El nmero de Reynolds es un nmero adimensional utilizado en mecnica de fluidos, diseo de reactores y fenmenos de transporte para caracterizar el movimiento de un fluido.

Por medio de diversos estudios se ha podido demostrar que la transicin del flujo laminar al turbulento en tuberas no es solo funcin de la velocidad, sino tambin de la densidad y viscosidad del fluido y del dimetro de la tubera por donde circula dicho fluido. Estas variables se combinan en la expresin del nmero de Reynolds, el cual es adimensional

Este nmero recibe su nombre en honor de Osborne Reynolds (1842-1912), quien lo describi en 1883. Viene dado por siguiente frmula:

Re =

Nmero de Reynolds

Re < 2.100 Flujo laminar

2.100 < Re < 3.000 Flujo de transicin

Re > 3.000 Flujo turbulento

1. Calcule el nmero de Reynolds en las siguientes situaciones:

a) Aceite de oliva a una velocidad de 10 m/s fluyendo por

una tubera de a 21C.

b) Agua circulando por una tubera de 2 cm de dimetro con

un caudal de 900 l/hora.

Ejercicios

Fluido

Aceite de oliva 1 poise 0,913 agua

Agua 1.000 x10-6 Pa s 103 Kg/m3

2. Calcular Nmero de Reynolds para los casos sealados. Considerar para todos ellos un sistema de bombeo que produce un caudal fijo de 400 cm3/s a 20C, circulando por un tubo de 8 cm de dimetro.

Fluido

Aire sinttico 1,8 x 10-5 Pa s 1,2 Kg/m3

Gasolina 2,92 x 10-4 Pa s 680,3 Kg/m3

Mercurio 1,556 x 10-3 Pa s 13,554 x 103 Kg/m3

Glicerina 1.000 mPa s 1.261 g/cm3

3. Por una tubera de 1/8 de pulgada (0.3175cm) de dimetro pasa aceite de motor. El aceite tiene una viscosidad h = 30x10-3

N.s/m2, temperatura de 20C y densidad de 0.8 gr/cm3, descargando a la atmsfera con un gasto de 0.1ml/s. Para medir la cada de presin en la tubera se colocan dos tubos manomtricos separados una distancia de 30 cm como se indica en la figura. Calcule:

El No. de Reynolds.La cada de presin en cm de altura equivalentes entre los

dos tubos manomtricos.

4. Por una tubera lisa de 8 de dimetro continuo y una longitud de 1 Km, se bombea agua a una temperatura de 20 C hasta una altura de 30.9 m. La tubera descarga en un tanque abierto a la presin atmosfrica con una rapidez de 0.4 lt/s. Calcule:

a) El tipo de rgimen del fluido en la tubera.

b) La cada de presin en la tubera.

c) La potencia de la bomba, necesaria para subir el agua con el gasto indicado.

Describe el movimiento vertical de una esfera de masa m y de radio R, en el seno de un fluido viscoso, en rgimen laminar.

La esfera se mueve bajo la accin de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo est completamente sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en rgimen laminar).

El peso es el producto de la masa por la aceleracin de la gravedad g. La masa es el producto de la densidad del material e por el volumen de la esfera de radio R.

= e4

3 3

Ley de Stokes

De acuerdo con el principio de Arqumedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido f, por el volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleracin de la gravedad.

= f4

3 3

La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y su expresin es: = 6 v

La ecuacin de movimiento queda as: =

La velocidad lmite se alcanza cuando la aceleracin es cero, de esto obtenemos la velocidad lmite:

=2(e - f)R

2

9

5. En un tubo vertical lleno de aceite de automvil dejamos caer perdigones de plomo. El dimetro del tubo es mucho mayor que el dimetro del perdign. Los datos son: Densidad del plomo e=11.35 g/cm

3

Radio de la esfera R=1.96 mm Densidad del aceite f=0.88 g/cm

3

Viscosidad del aceite =0.391 kg/(ms)

Determinar la velocidad lmite del perdign al interior del tubo.