D I N M I C AUNIDAD V: CINTICA DEL CUERPO RGIDO CINETICA DE LOS
CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO 5.1 Introduccin 5.2 Ecuaciones del
movimiento plano de un cuerpo rgido 5.3 Momento angular de un
cuerpo rgido en el plano 5.4 Movimiento de un cuerpo rgido 5.4.1
Principio de D Alembert 5.4.2 Traslacin, rotacin centroidal y
movimiento general 5.5 Trabajo y energa 5.5.1 Trabajo de una fuerza
5.5.2 Energa Cintica 5.5.3 Principio de la conservacin de la energa
5.5.4 Potencia 5.6 Principio de impulso y de la cantidad de
movimiento 5.1 Introduccin Dado que un cuerpo rgido es un conjunto
de puntos materiales, podremos utilizar las relaciones
desarrolladas en el captulo anterior para el movimiento de un
sistema de puntos materiales. En este captulo se aplicar muchas
veces la ecuacin: Ecuacin que relaciona la resultante R de las
fuerzas aplicadas exteriormente con la aceleracin aG del centro de
masa G del sistema. En el caso ms general en que la resultante del
sistema de fuerzas exteriores consista en una fuerza resultante R
que pase por el cdm G ms un par de momento C, el cuerpo
experimentar Rotacin y Traslacin. Las leyes de Newton slo son
aplicables al movimiento de un punto material (traslacin), no
siendo adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo rgido
que puede ser de traslacin ms rotacin; as pues, se necesitarn
ecuaciones adicionales para relacionar los momentos de las fuerzas
exteriores con el movimiento angular del cuerpo. Ga m R
=AcontinuacinsevanaextenderlasleyesdeNewton
parapodercubrirelmovimientoplanodeuncuerpo
rgido,proporcionandoasecuacionesquerelacionenel movimiento
acelerado lineal y angular del cuerpo con las fuerzas y momentos
que lo originan. Dichas ecuaciones pueden utilizarse para
determinar: 1.-Lasaceleracionesinstantneasocasionadaspor fuerzas y
momentos conocidos, o 2.-Lasfuerzasymomentosquesenecesitanpara
originar un movimiento prefijado. 5.2 Ecuaciones del movimiento
plano Enelcaptuloanteriorsedesarrollelprincipiodel
movimientodelcentrodemasadeunsistemadepuntos materiales. Como un
cuerpo rgido se puede considerar como
unconjuntodepuntosmaterialesquemantieneninvariables
susdistanciasmutuas,elmovimientodelCDMGdeun cuerpo rgido vendr dado
por la ecuacin: Escalarmente: La ecuacin anterior se obtuvo
simplemente sumando fuerzas, con lo que no se tiene informacin de
la situacin de su recta soporte. Ga m R =Gz z z Gy y y Gx x xa m R
F a m R F a m R F = = = = = =
Elmovimientorealdelamayoradeloscuerposrgidosconsisteenla
superposicin de la traslacin originada por la resultante R y la
rotacin debida
almomentodeesafuerzacuandosurectasoportenopasaporelcdmGdel cuerpo.
ANALISIS DE LA ROTACIN: Consideremos un cuerpo rgido de forma
arbitraria como el de la figura.
ElsistemadecoordenadasXYZestfijoenel espacio.
Elsistemadecoordenadasxyzessolidarioal cuerpo en el punto A.
Eldesplazamientodeunelementodemasadm respecto al punto A viene dado
por el vector y respecto al origen O del sistema de coordenadas XYZ
viene dado por el vector R. EldesplazamientodelpuntoArespectoal
origen O del sistema XYZ lo da el vector r.
Lasresultantesdelasfuerzasexteriorese
interioresqueseejercensobreelelementode
masadmsonFyf,respectivamente.As,el momento respecto al punto A de
las fuerzas F y f es: segn la 2 ley de Newton: ) ( x f F M dA+ = R
dm a dm f Fdm = = +As: dm a f F M ddm A) x ( ) ( x = + =La
aceleracin adm de un cuerpo rgido en movimiento plano puede
escribirse: ( ) ( ) | | e e e x x x + + =A dma aSustituyendo e
integrando, tenemos: ( ) | | ( ) | | { } m d m d m d a Mm m mA A} }
}+ + = e e e x x x x x ) x (El movimiento plano de un cuerpo rgido
es un movimiento en el cual todos los
elementosdelcuerposemuevenenplanosparalelos,llamandoplanodel
movimiento a un plano paralelo que contiene el cdm G. Segn la
figura, los vectores velocidad angular y aceleracin angular sern
paralelos entre s y perpendiculares al plano de movimiento.
Sitomamoselsistemadecoordenadasxyzde
maneraqueelmovimientoseaparaleloal plano xy, tendremos que: o e oe
ee e= === = =z zzy x Aza0Para el movimiento en el plano xy, los
diferentes trminos de la expresin de MA,
cuandoelpuntoAestsituadoenelplanodemovimientosedesarrollana
continuacin: ( ) ( ) | | ( ) | | { } m d m d m d a Mm m mA A} } }+
+ = e e e x x x x x x( )k j i0k j iAx Ay Ax AyAy Axa y a x a z a za
az y x + + =j i 0 0k j io o o x yz y x+ = j i 0 0k j ie e e x yz y
x+ =j i00 0k j i2 2e ee ee y xx y =( ) ( ) | | ( ) | | { } m d m d
m d a Mm m mA A} } }+ + = e e e x x x x x x( )k j iAx Ay Ax Aya y a
x a z a z + + ( ) k j i2 2o o o y x z y z x + + j i2 2e e x z z y k
j iAz Ay AxM M M + +( )} } }} } }} } }+ + =+ =+ =m mAxmAy Azm m mAx
Aym m mAy Axdm y x dm y a dm x a Mdm x z dm z y dm z a Mdm z y dm x
z dm z a M2 222oe oe o( )Azm mAyzm mAzxm mI dm y x m z dm zI dm z y
m y dm yI dm x z m x dm x= + == == =} }} }} }2 2Momentos primeros
Productos de Inercia Momento de Inercia Las integrales que aparecen
en el desarrollo anterior son: Como ya que se trata de un
movimiento plano en el plano xy que pasa por el cdm G (y por el
punto A) tenemos: 0 = zAz Ax Ay AzAzx Ayz AyAyz Azx AxI m y a m x a
MI I MI I Moe oe o+ =+ =+
=22Estesistemadeecuacionesrelacionalosmomentosdelasfuerzasexteriores
queseejercensobreelcuerporgidoconlasvelocidadesangularesylas
propiedades inerciales del cuerpo. Az Ax Ay AzAzx Ayz AyAyz Azx AxI
m y a m x a MI I MI I Moe oe o+ =+ =+ =22Los momentos de las
fuerzas y los momentos y productos de inercia lo son respecto a los
ejes xyz que pasan por el punto A y estn fijos en el cuerpo. Si
noestuvieranfijosenelcuerpo,losmomentosyproductosdeinercia seran
funciones del tiempo.
LasecuacionesmuestranquepuedensernecesarioslosmomentosMAxy MAy para
mantener el movimiento plano en torno al eje z.
EnlamayoradelosproblemasdeDinmicareferentesalmovimiento plano, se
pueden simplificar las ecuaciones anteriores. Principio de D
Alembert ElprincipiodeDAlembertenunciado
porJeanDAlembertensuobramaestra
Tratadodedinmicade1743,establecequela
sumadelasfuerzasexternasqueactansobre un cuerpo y las denominadas
fuerzas de inercia formanunsistemadefuerzasenequilibrio.A
esteequilibrioseledenominaequilibrio dinmico. El principio de
d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un
sistema: Donde la suma se extiende sobre todas las partculas del
sistema, siendo: momentum de la partcula i-sima. fuerza externa
sobre la partcula i-sima. cualquier campo vectorial de
desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partculas que sea
compatible con los enlaces y restricciones de movimiento
existentes. El principio de d'Alembert es realmente una
generalizacin de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a
sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las
fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento
compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones
de Euler-Lagrange. Lagrange us este principio bajo el nombre de
principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus
ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764,
abandonando desde entonces el principio de accin y basando todo su
trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y
de manera especial en su Mcanique Analytique. Tal cambio de actitud
pudo estar influido por dos razones:
Enprimerlugar,elprincipiodeaccinestacionaria
estligadoalaexistenciadeunafuncinpotencial,
cuyaexistencianorequiereenelprincipiode d'Alembert.
Ensegundolugar,elprincipiodeaccinseprestaa
interpretacionesfilosficasyteleolgicasquenole gustaban a Lagrange.
Finalmentedebesealarsequeelprincipioded Alembert es peculiarmente
til en la mecnica de slidos
dondepuedeusarseparaplantearlasecuacionesde movimiento y clculo de
reacciones usando un campo de
desplazamientosvirtualesqueseadiferenciable.Enese caso el clculo
mediante el principio de D Alembert, que tambin se llama en ese
contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre
elenfoque ms simple de la mecnica newtoniana. El principio de
D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de Newton
cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La
derivacin resulta de hecho trivial si se considera un sistema de
partculas tal que sobre la partcula i-sima acta una fuerza externa
ms una fuerza de ligaduraentonces la mecnica newtoniana asegura que
la variacin de momentum viene dada por:
SielsistemaestformadoporNpartculassetendrnNecuaciones vectoriales
de la formasi se multiplica cada una de estas
ecuacionesporundesplazamientoarbitrariocompatibleconlas
restricciones de movimiento existentes: Donde el segundo trmino se
anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos
arbitrario de modo compatible, donde matemticamente compatible
implica que el segundo trmino es un producto escalar nulo.
Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente
el principio de D'Alembert. Ecuaciones de Euler-Lagrange El
principio de d'Alembert en el caso de existir ligaduras no
triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa
conjunto de coordenadas generalizadas independientes que
implcitamente incorporen dichas ligaduras. Consideremos un sistema
de N partculas en el que existan m ligaduras: Por el teorema de la
Funcin Implcita existirn n = 3N-m coordenadas generalizadas y N
funciones vectoriales tales que: El principio de d'Alembert en las
nuevas coordenadas se expresar simplemente como: (4) La ltima
implacacin se sigue de que ahora todas las son independientes.
Adems la fuerza generalizada Qj y el trmino Wj vienen dados por:
Expresando Wj en trminos de la energa cintica T tenemos: Y por
tanto finalmente usando (4) llegamos a las ecuaciones de
Euler-Lagrange: (5) Si las fuerzas son adems conservativas entonces
podemos existe una funcin potencial U(Wj) y podemos definir el
lagrangiano L = T - U, simplificando an ms la expresin anterior.
Sistemas en movimiento acelerado
OtraconsecuenciadelprincipiodeD'Alembertesqueconocidaslas
aceleraciones de un cuerpo rgido las fuerzas que actan sobre el
mismo sepuedenobtenermediantelasecuacionesdelaesttica.Dichodeotra
manera,siseconocentodaslasaceleracionesunproblemadinmico puede
reducirse a un problema esttico de determinacin de fuerzas. Para
ver esto necesitamos definir las fuerzas de inercia dadas por:
Donde: es la aceleracin conocida de un punto del slido. es la
velocidad angular conocida del slido. son respectivamente la masa y
el momento de inercia del slido con respecto a un sistema de ejes
que pase por el punto c. En estas condiciones las ecuaciones del
movimiento pueden escribirse como un problema de esttica donde
existe una fuerza adicionaly un momento adicional: Traslacin,
Rotacin y movimiento plano cualquiera de un cuerpo rgido Az Ax Ay
Az xAzx Ayz Ay y yAyz Azx Ax x xI m y a m x a M FI I M ma FI I M ma
Foe oe o+ = =+ = =+ =
=022Losproblemasdemovimientoplanosepuedenclasificar,segnsunaturaleza,
en: 1.- Traslacin. 2.- Rotacin en torno a un eje fijo. 3.-
Movimiento plano cualquiera. Los dos primeros son casos
particulares del Movimiento plano cualquiera.
Parauncuerpodeformaarbitraria,lasecuacionesdeMovimientoplano
cualquieradesarrolladasanteriormentevienendadasporlasecuacionesenla
forma: 16.4.1 Traslacin Un cuerpo rgido lleva movimiento de
Traslacin cuando todo segmento rectilneo del cuerpo se mantenga
paralelo a su posicin inicial a lo largo del movimiento. Durante la
Traslacin, no hay movimiento angular ( = = 0); por tanto, todas las
partes del cuerpo tienen la misma aceleracin lineal a. La Traslacin
slo puede tener lugar cuando la recta soporte de la resultante de
las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su
cdm G. En el caso de Traslacin, con el origen del sistema de
coordenadas xyz en el cdm G
delcuerpo,lasecuacionesparaunmovimientoplanocualquierase reducen a:
( ) 0 = = y x0 ===GzGy yGx xMa m Fa m
FCuandouncuerpoestanimadodeunatraslacincomolailustradaenla1
figura,podemostomarelejexparaleloalaaceleracinaG,encuyocasola
componente aGy de la aceleracin ser nula. Cuando el cdm de un
cuerpo siga una curva plana, comoseobservaenla2figura,sueleser
conveniente tomar los ejes x e y en las direcciones
delascomponentesinstantneasnormaly
tangencialdelaaceleracin.Sisesumanlos
momentosdelasfuerzasexterioresrespectoaun
puntoquenoseaelcdmdebermodificarsela ecuacin de momentos a fin de
tener en cuenta los efectos de aGx y de aGy. As,m y a m x a Ma m Fa
m FGx Gy AzGy yGx x ===16.4.2 Rotacin en torno a un eje fijo
Estetipodemovimientoplanoseproducecuandotodosloselementosdeun
cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo.
( ) 0 = =Gyz GzxI IoGz Gz Gy yGx xI M a m Fa m F= = == =
00Lafigurarepresentauncuerporgidosimtrico respecto al plano de
movimiento y que gira en torno a un eje fijo que pasa por el cdm G
del cuerpo ( ) 0 = = y xEn este caso aG = 0; por tanto, las
ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a o oeAz
Az Gy yGx xI M x m a m Fx m a m F= = = = = 2A menudo aparecen
rotaciones en torno a ejes fijos que no pasan por el cdm del
cuerpo.Lafigurarepresentauncuerporgidosimtrico respecto al plano de
movimiento ( ) 0 = =Gyz GzxI Iy que gira en torno a un eje fijo que
NO pasa por el cdm G del cuerpo En este caso aA = 0; por tanto, las
ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a ( ) (
)( ) ( ) o o o oAz Gz Gz Gy GzGx Gy Gz x y Gz AzI m x I x m x I ma
x Mma y ma x M y F x F M M= + = + = + == + + = + + = 2016.4.3
Movimiento plano cualquiera
Enlafigura,dondeunmboloestconectadoaunvolante
medianteunabielaAB,seilustrantresformasde movimiento plano: 1.-
Rotacin del volante en torno a un eje fijo. 2.- Traslacin rectilnea
del mbolo 3.- Movimiento plano cualquiera de la biela AB
Cuandoelvolantegiraunngulo,elpasadorA
recorreunadistanciasA=Ralolargodeuncamino
circular.ElmovimientodelpasadorBsepuede
considerarqueesunasuperposicindelos
desplazamientosresultantesdeunatraslacin
curvilneadelabielaydeunarotacindelabielaen
tornoalpasadorA.Comoresultadodeestosdos desplazamientos, el pasador
B recorre una distancia sB a lo largo de un camino horizontal.
Aspues,elmovimientoplanodelabielaABesla superposicin de una
traslacin y una rotacin en torno a un eje fijo.
A.-SisetomaelorigendecoordenadasenelpasadorAy
losejesxeyestnorientadossegnelejedelabielay
perpendicularmenteaella,respectivamente,las ecuaciones generales de
movimiento plano quedan as: ( ) 0 = yoAz Ay Az Gy yGx xI m x a M a
m Fa m F+ = == B.-Sisesitaelorigendelsistemadecoordenadasenel cdm G
de la biela, las ecuaciones se reducen a: oGz Gz Gy yGx xI M a m Fa
m F= == Anlisis Cintico de la Biela: Tenemos dos posibilidades:
Cuando el cuerpo no sea simtrico respecto al plano del movimiento,
habr que ir
concuidadoalaplicarlasecuacionesyreducirlasadecuadamentemediantela
seleccin del sistema de coordenadas xyz solidario al cuerpo.
Ejemplo1:Discomacizomontadosobreun
rbolqueformaconelejedeldiscounngulo . En un sistema de coordenadas
xyz de origen coincidente con el cdm G del disco. como 0 0 , 0 = =
= =G Gyza y I y xtenemos: Gz Az xGzx Ay Gy yGzx Ax Gx xI M FI M ma
FI M ma Foeo= == = = = = =0002El plano xz es plano de simetra
Ejemplo 2: Placa triangular de grosor uniforme
solidariaaunrbolcircularquegira.Paraun sistema de coordenadas xyz
con origen A en el eje del rbol. como 0 0 , 0 = = =A Ayza y I
ytenemos: Az Az xAzx Ay Gy yAzx Ax Gx xI M FI M x m ma FI M x m ma
Foe oo e= == = = = = =022Siguiendo con el anlisis de cuerpos no
simtricos respecto al plano del movimiento tenemos otro ejemplo: El
plano xz es plano de simetra Fsicamente en qu se diferencian o
asemejan ambas realizaciones? V0 = 0 V = 0 V0 = 0 V = 0 At = h / V
At = s / V Energa Medida cuantitativa del movimiento en todas sus
formas. Trabajo Medida cuantitativa de la transferencia de
movimiento ordenado de un cuerpo a otro mediante la accin de una
fuerza } =21ds F W cos21}= Fds WEscalar [J] > 90o el trabajo es
resistivo En los tramos en que cita = 90 el trabajo es nulo El
trabajo es un escalar F X1 X2 X AAX = X2 - X1 CUL SERA EL TRABAJO
EFECTUADO POR LA FUERZA F? mov Ax F Fuerza constante y
desplazamiento rectilneo } =21ds F Wx cos cos cos2121A = = =} }F dx
F Fdx Wx F dx F dx F Wx x xA = = =} }2121xFyFu F es una fuerza
constante u cos Fu sen FFx AW=F XCOSuAx FxA =x F wA - =u F es una
FUERZA CONSTANTE u cos Fu sen FFx ATrayectoria RECTILNEA y El
trabajo realizado por unaFuerza constanteEs igual al producto de la
componente de la fuerza a lo largo de la direccion del
desplazamiento por el desplazamiento El trabajo realizado por
unaFuerza constanteEs igual al producto escalar del vector fuerza
por el desplazamiento X(m) ) (N FxxFX1 X2 W x F x x F Wx xA = = )
(1 2En toda graficaFuerzaVsDesplazamientoEl rea bajo la curva nos
da el trabajo realizado por la fuerza paralela al desplazamiento u
0
