06 equilibrio de cuerpos rigidos

MECÁNICA VECTORIAL

(ESTÁTICA). CAPÍTULO 3: EQUILIBRIO DE

CUERPOS RÍGIDOS.

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

EN DOS DIMENSIONES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Equilibrio de cuerpos rígidos. Equilibrio de un cuerpo rígido en dos dimensiones.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Mecánica Vectorial para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,

Mecánica y de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Mecánica Vectorial para

Ingenieros en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además

de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el

crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Mecánica Vectorial, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



3.1.- EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO EN DOS DIMENSIONES.

Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden reducirse a un sistema

fuerza-par en un punto arbitrario O. Cuando la fuerza y el par son iguales a cero, las fuerzas

externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra

en equilibrio.

Las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se

pueden obtener igualando a cero a 0F y a 0 OM .

Cuando el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas, las cuales se encuentran en

el plano x – y, las fuerzas pueden ser resueltas en sus componentes x y y. En consecuencia,

las condiciones de equilibrio en dos dimensiones son:

0 xF 0 yF 0 OM

Aquí xF y yF representan, respectivamente, las sumas algebraicas de las

componentes x y y de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, y OM representa la

suma algebraica de los momentos de par y los momentos de todas las componentes de

fuerza con respecto a un eje perpendicular al plano x–y y que pasa por el punto arbitrario O,

el cual puede encontrarse sobre o fuerza del cuerpo.

Procedimiento de análisis.

Los problemas de equilibrio de fuerzas coplanares para un cuerpo rígido pueden ser

resueltos usando el siguiente procedimiento.

Diagrama de cuerpo libre.

- Establezca los ejes coordenados x, y en cualquier orientación adecuada.

- Trace el contorno del cuerpo.

- Muestre todas las fuerzas y los momentos de par que actúan sobre el cuerpo.

- Rotule todas las cargas y especifique sus direcciones relativas a los ejes x, y. El sentido de

una fuerza o momento de par que tenga una magnitud desconocida, pero de línea de acción

conocida, puede ser supuesto.

- Indique las dimensiones del cuerpo necesarias para calcular los momentos de la fuerzas.

Ecuaciones de equilibrio.



- Al aplicar las ecuaciones de equilibrio mediante fuerzas, 0 xF y 0 yF , oriente

los ejes x y y a lo largo de líneas que porporcionen la resolución más simple de las fuerzas

en sus componentes x y y.

- Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da un escalar negativo para una magnitud de

fuerza o de momento de par, esto indica que el sentido es contrario al que fue supuesto en

el diagrama de cuerpo libre.

- Aplique la ecuación de equilibrio por momentos, 0 OM , con respecto a un punto O

que se encuentre en la intersección de las líneas de acción de dos fuerzas desconocidas. De

este modo, los momentos de esas incógnitas son cero con respecto a O, y una solución

directa para la tercera incógnita puede ser determinada.

Reacciones.

El primer paso para la solución de cualquier problema relacionado con el equilibrio de un

cuerpo rígido es la construcción de un diagrama de cuerpo libre apropiado. Como parte de

este proceso es necesario mostrar en el diagrama las reacciones a través de las cuales el

suelo y otros cuerpos se oponen al posible movimiento del cuerpo. En las figuras siguientes

se resumen las posibles reacciones ejercidas en cuerpos bidimensionales.

Apoyo o conexión Reacción Número de

incógnitas

Rodillos

Patines

Balancín ó

mecedora

Superficie de

contacto sin

fricción (lisa)

Fuerza con línea de

acción conocida

Una incógnita.

La reacción es

una fuerza que

actúa

perpendicularme

nte al elemento.

Cable corto

Eslabón corto


acción conocida

Una incógnita.

La reacción es

una fuerza que

actúa a lo largo

del eje de la

cuerda o el

eslabón.



Collarín sobre una barra sin

fricción

Perno sin fricción en una

ranura lisa


acción conocida

Una incógnita.

La reacción es

una fuerza que

actúa

perpendicularme

nte a la barra.

Perno sin fricción,

articulación lisa, pasador o

bisagra

Superficie de contacto rugosa

Fuerza de dirección

desconocida

Dos incógnitas.

Las reacciones

son dos

componentes de

fuerza, o la

magnitud y

dirección de la

fuerza resultante.

Apoyo (soporte) fijo o empotrado

Fuerza y par

Tres incógnitas.

Las reacciones

son el momento

de par y las dos

componentes de

fuerza, o el

momento de par

y la magnitud y

dirección de la

fuerza resultante.

Miembro con conexión fija a un collar sobre una barra lisa

Fuerza de dirección

conocida y par

Dos incógnitas.

Las reacciones

son el momento

de par y la fuerza

que actúa

perpendicularme

nte a la barra.

Ejemplo 3.1. Problema resuelto 4.2 del Beer-Johnston. Novena Edición. Pág. 167.

Se aplican tres cargas a una viga como se

muestra en la figura. La viga se apoya en un

rodillo en A y en un perno en B. a) Sin

tomar en cuenta el peso de la viga,

determine las reacciones en A y B cuando P

= 15 kips, b) Determine el rango de valores



de P para los cuales la viga es segura, si se

sabe que el valor máximo permisible para

cada una de las reacciones es de 30 kips y

que la reacción en A debe estar dirigida

hacia arriba.

Solución.

Reacciones:

Punto A (Rodillo): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la superficie de

contacto y su valor es A.

Punto B (Perno sin fricción): La reacción consiste en dos componentes de fuerza, una

horizontal (Bx) y una vertical (By).

Se dibuja el diagrama del cuerpo libre sobre la figura, mostrándose las reacciones en los

puntos A y B.

ByA

Bx

Ecuaciones de equilibrio:

Balance de fuerzas.

0

xF :

0xB

0 yF :

066 yBPA

PBA y 12

27 yBA (1)

Balance de momento en el punto A.

0)2263(6)263(6)63()3( yBP

0786693 yBP



9

3144 PBy

(2)

kips 21yB

De la ecuación (1):

yBA 27

2127 A

kips 6A

Comprobación.

Se comprueban los resultados realizando el balance de momento en el punto B.

0)22(6)2(6)6()63( PA

0)22(6)2(6)6(15)63(6

024129054

b) Un balance de momentos en el punto A arrojó la ecuación (2):

9

3144 PBy

De donde 483 yBP (3)

Balance de momentos en el punto B.

0)22(6)2(6)6()63( PA

03669 PA

65.1 AP (4)

De la ecuación (III), con 300 yB obtenemos: 4248 P .

De la ecuación (IV), con 300 A obtenemos: 516 P .

El intervalo solución para P es: kips 42kips 6 P .



Ejemplo 3.2. Ejemplo 5.6 del Hibbeler. Décima Edición. Pág. 211.

Determine las componentes horizontal y

vertical de reacción en la viga cargada como

se muestra en la figura. En los cálculos

ignore el peso de la viga.

Solución.



Punto B (Perno sin fricción): La reacción consiste en dos componentes de fuerza, una

horizontal (Bx) y una vertical (By).


puntos A y B.

ByA

Bx


Balance de fuerzas.

0

xF :

0º45cos600 xB

º45cos600xB

N 26.424xB

0 yF :

020010045ºsen 600 yBA

20010045ºsen 600 yBA

26.724 yBA (1)


0)232(200)232()32(100)2(º45cos600)2.0(º45cos600 yB

01400750053.84885.84 yB



38.28337 yB

N 77.404yB


yBA 26.724

77.40426.724 A

N 49.319A

Comprobación.


0(2)100(0.2) 45ºsen 600)23(º45cos600)232(49.319

020085.8432.212143.2236

Ejemplo 3.3.

Una viga está apoyada en dos soportes de

rodillos situados sobre superficies lisas,

como se muestra. Determine la posición a

de la carga para la cual la viga estará en

equilibrio, si L = 9 m, P = 20 kN, º45 y

º30 .

Solución.

Ejemplo 3.4.

La viga AB de 13 ft descansa sobre los

rodillos A y B. Si se desprecia el peso de la

viga, determine el valor de

correspondiente a la posición de equilibrio.

Solución.

Punto A (Patín): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la superficie de




Punto B (Patín): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la superficie de

contacto y su valor es B.


puntos A y B y la fuerza P.


Balance de fuerzas.

0

xF :

0sen º03sen BA (1)

0 yF :

0cosº30cos PBA (2)

Balance de momento en el punto B.

0)9()94(º30cos PA

09º30cos13 PA (3)

Observación: Se pudo realizar el balance de momentos en el punto A, pero la conveniencia

de realizarlo en el punto B está en que en éste último se eliminan dos incógnitas de la

ecuación (B y ).

Disponemos de tres ecuaciones, y tenemos cuatro incógnitas (A, B, P y ). Si tomamos P

como conocida, podemos determinar y las reacciones en A y en B en función de la fuerza

P.


º30cos9

13 AP (4)

Al sustituir en la ecuación (2):

0º30coscosº30cos9

13 ABA

0º30coscos94 AB

De donde:



º30coscos94 AB (5)

Por otra parte, de la ecuación (1):

º03sen sen AB (6)

Al dividir la ecuación (6) entre la ecuación (5):

º30cos

30ºsen

cos

sen

94

º30tantan49

)º30tan(tan491

º41.52


cos 13

4 PB

cos52.41º 13

4 PB

PB 5044.0


º03sen

sen BA

º03sen

2.41º5sen .50440 PA

PA 7994.0

Comprobación.

Se comprueban los resultados realizando el balance de momento en el punto A.

0)94(cos)4( BP

0cos134 BP

0º41.52cos)5044.0(134 PP

044 PP




El eslabón mostrado en la figura está

articulado en A y descansa contra un

soporte liso ubicado en B. Calcule las

componentes horizontal y vertical de

reacción en el pasador A.

Solución.

Punto A (Perno sin fricción): La reacción consiste en dos componentes de fuerza, una

horizontal (Ax) y una vertical (Ay).

Punto B (Superficie de contacto sin fricción, lisa): La reacción consiste en una fuerza

perpendicular a la superficie de contacto y su valor es B.


punto A y B, y la fuerza de 60 N.


Balance de fuerzas.

0

xF :

0º30sen xAB (1)

0 yF :

060º30cos yAB

60º30cos yAB (2)


090)1(60)75.0( B

15075.0 B



N 200B


30ºsen BAx

30ºsen )200(xA

N 100xA


º30cos60 BAy

º30cos)200(60 yA

N 21.233yA


La llave mostrada en la figura se usa para

apretar el perno ubicado en A. Si la llave no

gira cuando se aplica la carga al mango,

determine la torca o el momento aplicado al

perno y la fuerza de la llave sobre el perno.

Solución.

Punto A (Apoyo fijo): La reacción consiste en dos componentes de fuerza, una horizontal

(Ax) y una vertical (Ay) y un par.

Se dibuja el diagrama del cuerpo libre sobre la figura, mostrándose las reacciones y el par

en el punto A.


Balance de fuerzas.



0

xF :

0º60cos30)(52135 xA

º60cos30)(52135 xA

N 5xA

0 yF :

060ºsen 30)(521312 yA

º60sen 30)(521312 yA

N 98.73yA


00.4)(0.360ºsen 30)3.0()(521312 AM

0.4)(0.360ºsen 30)3.0()(521312 AM

N.m 59.32AM

Comprobación.


0(0.4)60ºsen 30)3.0(98.7359.32

039.1019.2259.32


Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg se usa para

levantar una caja de 2400 kg. La grúa se mantiene en

su lugar por medio de un perno en A y un balancín en

B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G.

Determine las componentes de las reacciones en A y B.

Solución.



Punto B (Balancín): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la superficie de



puntos A y B.

El peso de la grúa y de la caja son N 98101 W y N 235442 W , respectivamente.




Balance de fuerzas.

0

xF :

0 xx BA (1)

0 yF :

021 WWAy

21 WWAy

235449810yA

N 33354yA


0)42()2()5.1( 21 WWBx

21 625.1 WWBx

)23544(6)9810(25.1 xB

N 107256xB


xx BA

N 107256x A

Comprobación.


0)42()2()5.1( 21 WWAx



0)6(23544)2(9810)5.1()107256(

014126419620160884


Un carro de carga se encuentra en reposo sobre un

carril que forma un ángulo de 25º con respecto a la

vertical. El peso total del carro y su carga es de 5500 lb

y éste actúa en un punto que se encuentra a 30 in del

carril y que es equidistante a los dos ejes. El carro se

sostiene por medio de un cable que está unido a éste en

un punto que se encuentra a 24 in del carril. Determine

la tensión en el cable y la reacción en cada par de

ruedas.

Solución.

Punto B (Rodillo): La reacción es perpendicular a la superficie de contacto y su valor es R1.

Punto B (Rodillo): La reacción es perpendicular a la superficie de contacto y su valor es R2.

Se dibuja el diagrama del cuerpo libre (con los ejes rotados) sobre la figura, mostrándose

las reacciones en los puntos R1 y R2 y la tensión en el cable.

El peso del carro es lb 5500W .




Balance de fuerzas.

0

xF :

0º25cos WT

º25cosWT

º25cos5500T

lb 69.4984T

0 yF :

025ºsen 21 WRR

025ºsen 550021 RR

40.232421 RR (1)


0)2525((25)25ºsen )6(º25cos 2 RWW

25ºsen 25º25cos650 2 WWR

25ºsen )5500(25º25cos)5500(650 2 R

17.8801850 2 R

lb 36.17602 R


21 40.2324 RR

36.176040.23241 R

lb 04.5641 R

Comprobación.


0)25(25ºsen )6(º25cos)2525(1 WWR

0)25(25ºsen )5500()6(º25cos)5500()2525)(04.564(

001.5811016.2990828202




La barra uniforme lisa mostrada en la figura está

sometida a una fuerza y a un momento de par. Si la

barra está soportada en A por una pared lisa, y en B y C

por rodillos colocados en la parte superior o inferior,

determine las reacciones en esos soportes. Ignore el

peso de la barra.

Solución.

Punto A (Superficie de contacto sin fricción, lisa): La reacción consiste en una fuerza

perpendicular a la superficie de contacto y su valor es A.

Punto B (Rodillo): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la superficie de


Punto C (Rodillo): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la superficie de

contacto y su valor es C.

Se dibuja el diagrama del cuerpo libre (con los ejes rotados) sobre la figura, mostrándose

las reacciones en los puntos B y C.


Balance de fuerzas.



0

xF :

0º30cosº03sen 300 A

º30cos

º03sen 300A

N 21.173A

0 yF :

030ºsen º30cos300 ABC

30ºsen º30cos300 ABC

30ºsen 21.173º30cos300 BC

41.346 BC (1)

Balance de momento en el punto C.

02)(430ºsen 21.173)4((2)º30cos3004000 B

062.519462.5194000 B

40004 B

N 1000B


BC 41.346

)1000(41.346 C

N 41.1346C

Comprobación.


0(2)30ºsen 21.173)4(4)(2º30cos3004000 C

0(2)30ºsen 21.173)4(41.13464)(2º30cos3004000

021.17364.538585.15584000


La cuerda mostrada en la figura soporta una fuerza de

100 lb y se enrolla sobre la polea sin fricción.

Determine la tensión en la cuerda en C y las

componentes horizontal y vertical de reacción en el

pasador A.

Solución.





Se dibuja el diagrama del cuerpo libre sobre la figura, mostrándose la reacción en el punto

A y la tensión en la cuerda.



0)5.0()5.0(100 T

505.0 T

lb 100T

Se ve que la tensión permanece constante al pasar la cuerda sobre la polea. Estos es,

por supuesto, cierto para cualquier ángulo con que esté dirigida la cuerda y para

cualquier radio r de la polea.

Balance de fuerzas.

0

xF :

030ºsen 100 xA

30ºsen 100xA

lb 50xA

0 yF :

0º30cos100100 yA

º30cos100100yA

lb 60.186yA




El marco mostrado en la figura sostiene una

parte del techo de un pequeño edificio. Se

sabe que la tensión en el cable es de 150

kN, determine la reacción en el extremo fijo

E.

Solución.

Punto E (Apoyo fijo): La reacción consiste en dos componentes de fuerza, una horizontal

(Ax) y una vertical (Ay) y un momento de par (ME).


E y la tensión en la cuerda.


Balance de fuerzas.

0

xF :

0sen TEx

sen TEx

0 yF :

0cos20202020 yET

cos80 TEy

Cálculo de .

25.275.3

5.4tan

75.0tan

º87.36



º87.36sen 150xE º87.36cos15080yE

kN 90xE kN200yE

Balance de momento en el punto E.

03.75)(2.25sen )8.1(20)8.18.1(20)8.18.18.1(20)8.18.18.18.1(20 EMT

0sen 63672108144 EMT

360sen 6 TM E

360º87.36sen )150(6 EM

kN.m 180EM

Ejemplo 3.12. Problema 4.15 del Beer-Johnston. Novena Edición. Pág. 174.

Los eslabones AB y DE están conectados

mediante manivela de campana como se

muestra en la figura. Si se sabe que la

tensión en el eslabón AB es de 720 N,

determine a) la tensión en el eslabón DE, b)

la reacción en C. c) Determine la fuerza

máxima que puede ejercer con seguridad el

eslabón AB sobre la manivela de campana

si el máximo valor permisible para la

reacción en C es de 1600 N.

Solución.

Punto C (Perno sin fricción): La reacción consiste en dos componentes de fuerza, una

horizontal (Cx) y una vertical (Cy).


C y las tensiones en los eslabones AB y DE.




Balance de fuerzas.

0

xF :

0sen xAB CT

sen 720xC (1)

0 yF :

0cos DEyAB TCT

0cos720 DEy TC (2)

Cálculo de y la longitud BC.

80

60tan

222 )60()80( BC

75.0tan 100002 BC

º87.36 mm 100BC


0)120.0( DEAB TBCT

120.0

1.0720DET

N 600DET


º87.36sen 720xC

N 432xC


DEy TC cos720

60087.36cos720 yC



N 1176yC

Módulo de la reacción en C: N 84.1252C

Dirección de la reacción en C: º83.69 .

Si la reacción máxima en C es 1600 N:

222 1600)576()432( DET

Al resolver la ecuación anterior:

N 57.964DET

Ejemplo 3.13. Problemas 4.17 y 4.18 del Beer-Johnston. Novena Edición. Pág. 174.

La tensión requerida en el cable AB es de

200 lb. Determine la fuerza vertical P que

debe aplicarse sobre el pedal. b) la reacción

correspondiente en C. c) Determine la

máxima tensión que puede desarrollarse en

el cable AB si el máximo valor permisible

de la reacción en C es de 250 lb.

Solución.




C, la tensión en el eslabón AB y la fuerza P.


Balance de fuerzas.



0

xF :

0 xAB CT

lb 200xC

0 yF :

0 yCP (1)


0)15()60ºsen 7( PTAB

ABTP 4041.0

lb 83.80P


PC y

lb 83.80yC

Módulo de la reacción en C: lb 71.215C


Si la reacción máxima en C es 250 lb:

222 250)4041.0( ABAB TT


lb 79.231ABT


Una varilla ligera AD se sostiene mediante

clavijas sin fricción en B y C y descansa

contra una pared sin fricción en A. Se aplica

una fuerza vertical de 120 lb en D.

Determine las reacciones en A, B y C.

Solución.

Punto A (Superficie de contacto sin fricción, lisa): La reacción consiste en una fuerza

perpendicular a la superficie de contacto y su valor es A.



Punto B (Clavija sin fricción): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la

superficie en contacto con la clavija y su valor es B.

Punto C (Clavija sin fricción): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la

superficie en contacto con la clavija y su valor es C.

Se dibuja el diagrama del cuerpo libre sobre la figura, mostrándose la reacción en los

puntos A, B y C y la fuerza de 120 lb.


Balance de fuerzas.

0

xF :

0sen30º 120º30cos A

º60cos

sen30º 120A

lb 28.69A

0 yF :

0º30cos12030ºsen CBA

0º30cos12030ºsen 28.69 CB

lb 56.138 CB (1)


)888(º30cos120)88()8( CB

15.2494168 CB (2)

Al resolver el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2):

lb 65.34B . El ángulo que forma la reacción B con la horizontal es de 60.0º

lb 21.173C . El ángulo que forma la reacción C con la horizontal es de 60.0º




La barra AC soporta dos cargas de 400 N

como se muestra en la figura. Los rodillos

en A y C descansan sobre superficies sin

fricción y el cable BD está unido en B.

Determine a) la tensión en el cable BD, b)

la reacción en A y c) la reacción en C.

Solución.



Punto C (Rodillo): La reacción consiste en una fuerza perpendicular a la superficie de

contacto y su valor es C.


puntos A y C y la tensión en la cuerda.


Balance de fuerzas.

0

xF : 0sen CT (1)

0 yF : 0400cos400 TA



800cos TA (2)


0)1.0(400)075.0(0.25sen )15.05.0(cos)1.03.0(400)5.0( TTA

040)175(0.sen )35.0(cos1605.0 TTA

200)sen 175.0cos35.0(5.0 TA (3)

Cálculo de .

500

250

AE

BE

500

250

150

BE

mm 75BE

BE

AEAD tan

75

150500tan

6667.4tan

º90.77

Las ecuaciones (2) y (3) son equivalentes a:

8002096.0 TA

2002445.05.0 TA

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior:

N 07.1100A

N 64.1431T


sen TC

º90.77sen 64.1431C

N 83.1399C



Una forma alternativa de resolver este problema es ubicando un punto de intersección de

dos fuerzas desconocidas (preferiblemente reacciones). Este punto es designado en la figura

como F, donde convergen las reacciones A y C.

Un balance de momentos en el punto F conduce a:

0)3.01.0(400)075.0(0.25sen )15.0(cos)1.0(400 TT

016077.90)sen 175.0º90.77cos15.0(40 T

1397.0

200T

N 64.1431T

Ejemplo 3.16. Problema 4.30 del Beer-Johnston. Octava Edición.

Sin tomar en cuenta la fricción y el radio de

la polea, determine la tensión en el cable

BCD y la reacción en el apoyo A cuando

in 4d .

Solución.




Una palanca AB está articulada en C y se

encuentra unida a un cable de control en A.

Si la palanca se somete a una fuerza

horizontal en B de 500 N, determine a) la

tensión en el cable y b) la reacción en C.

Solución.




C y la tensión en la cuerda.


Balance de fuerzas.



0

xF : 0500)º30(cos xCT

500)º30(cos xCT

Cálculo de .

AE

ED )º30(tan

mm 51.216º30cos250º30cos ACAE

mm 375250125250sen30º 250sen30º CDACCDECED

51.216

375)º30(tan

73.1)º30(tan

º60º30

500º60cos xCT (1)

0 yF : 0)º30(sen yC T

0º60sen yC T (2)


0500º60cos60ºsen FBECTAET

0)30ºsen 2.0(500)125.0(º60cos)21651.0(60ºsen TT

500625018750 T.T.

50125.0 T

N 400T


º60cos500 TCx

º60cos400500xC

N 300xC


º60sen TCy



º60sen 400 Cy

N 41.346yC

Módulo de la reacción en C: N 25.458C


Ejemplo 3.18. Modificación del problema 4.33 del Beer – Jhonston. Novena Edición.

Pág. 176.

22. Sin tomar en cuenta la fricción, determine a) el

valor de para que la tensión en el cable ABD sea de

4/3P , b) la correspondiente reacción en C.

Solución.

Ejercicios propuestos.

1. Un tractor de 2100 lb se utiliza

para levantar 900 lb de grava.

Determine la reacción en las a)

llantas traseras A, b) llantas

delanteras B.

Respuesta: a) A = 325 lb; b) B =

1175 lb.



2. a) La jardinera que se muestra en la figura

usa una carretilla de 60 N para transportar

una bolsa de 250 kg de fertilizante. ¿Cuál es

la fuerza que debe ejercer en cada

manubrio?, b) La jardinera debe transportar

una segunda bolsa de 250 N de fertilizante al

mismo tiempo que la primera. Determine la

distancia horizontal permisible desde el eje

A de la llanta de la carretilla hasta el centro

de gravedad de la segunda bolsa, si la

jardinera sólo puede cargar 75 N con cada

brazo.

Respuesta: a) 42.0 N; b) 0.264 m.

3. Si la carretilla y su contenido tienen una

masa de 60 kg y centro de masa en G,

determine la magnitud de la fuerza resultante

que el hombre debe ejercer sobre cada uno

de los dos mangos para mantenerla en

equilibrio.

Respuesta: 105 N.

4. Dos cajas, cada una con una masa de 350

kg, se colocan en la parte trasera de una

camioneta de 1400 kg como se muestra en la

figura. Determine las reacciones en las a)

llantas traseras A y b) llantas delanteras B. c)

Retome el problema y ahora suponga que la

caja D se retira y que la posición de la caja C

permanece intacta.

Respuesta: a) A = 6.07 kN; b) B = 4.23 kN;



c) A = 4.89 kN, B = 3.69 kN.

5. Para mover dos barriles, cada uno con una

masa de 40 kg, se utiliza un carrito. Sin

tomar en cuenta la masa del carrito,

determine a) la fuerza vertical P que debe

aplicarse en el manubrio del carrito para

mantener el equilibrio cuando º35 y b)

la reacción correspondiente en cada una de

las dos ruedas.

Respuesta: a) 37.9 N; b) 373 N ↑.

6. La esfera homogénea y lisa de 50 kg

descansa en la pendiente de 30º en A y se

apoya contra la pared vertical lisa B.

Calcular las fuerzas de contacto en A y B.

Respuesta: A = 566 N, B = 283 N.

7. Para la viga y las cargas mostradas en la

figura, determine a) la reacción en A, b) la

tensión en el cable BC.

Respuesta: a) A = 245 lb; b) TBC = 140.0 lb.

8. Una ménsula en forma de T sostiene las

cuatro cargas mostradas. Determine las

reacciones en A y B si a) a = 10 in., b) a = 7

in. c) Determine la distancia mínima a si la

ménsula no debe moverse.

Respuesta: a) A = –2010 lb, B = 150 lb; b) A

= 10 lb, B = 140 lb; c) a = 4 in.



9. El valor máximo permisible para cada una

de las reacciones es de 180 N. sin tomar en

cuenta el peso de la viga, a) determine el

rango de valores de la distancia d para los

cuales la viga es segura, b) Retome el

problema y ahora suponga que la carga de 50

N se sustituye por una carga de 80 N.

Respuesta: a) mm 400mm 0.150 d .

10. La viga uniforme de 500 kg se somete a

las tres cargas externas que se muestran.

Calcular las reacciones en el punto de apoyo

O.

Respuesta: Ox = 1500 N, Oy = 6100 N, MO =

7560 N.m.

11. La viga AB de 10 m descansa sobre los

apoyos C y D, pero no está unida a ellos. a)

Si se desprecia el peso de la viga, determine

el rango de valores de P para los cuales la

viga permanecerá en equilibrio, b) El

máximo valor permisible de cada una de las

reacciones es de 50 kN y cada reacción debe

estar dirigida hacia arriba. Si se desprecia el

peso de la viga, determine el rango de

valores de P para los cuales la viga es segura.

Respuesta: a) kN 0.86kN 50.3 P ; b)

kN 0.41kN 50.3 P .



12. Para la viga y las cargas mostradas,

determine el rango de valores de la distancia

a para los cuales la reacción en B no excede

100 lb hacia abajo o 200 lb hacia arriba.

Respuesta: a) in 00.10in .002 a

13. Determine las reacciones en A y B

cuando a) h = 0, b) h = 200 mm.

Respuesta: a) A = 150 N, 30.0º, B = 150 N,

30.0º; b) A = 433 N, 12.55º, B = 488 N,

30.0º.

14. Para cada una de las placas y cargas mostradas, determine las reacciones en A y B.

(a)

(b)

(c)

(d)

Respuesta: a) A = 44.7 lb, 26.6º, B = 30.0 lb; b) A = 20.0 lb, B = 50.0 lb, 36.9º; c) A = 30.2

lb, 41.4º, B = 34.6 lb, 60.0º; d) A = 23.1 lb, 60.0º, B = 59.6 lb, 30.2º.



15. Para el marco y las cargas mostradas, determine las

reacciones en A y E cuando a) º30 , º45 .

Respuesta: a) A = 8.29 lb, 58.0º, E = 31.2 lb, 60º; b) A

= 0, E = 28.3 lb, 58.0º.

16. Determine las reacciones en A y B cuando a)

º0 , b) º90 , c) º30 .

17. Determine las reacciones en A y B cuando a)

º0 , b) º90 , c) º30 .

Determine las reacciones en A y C cuando

a) º0 , b) º30 .

Respuesta: a) A = 225 N ↑, C = 641 N,

20.6º; b) A = 365 N, 60º, C = 844 N, 22.0º.



18. La barra rígida uniforme de ángulo recto tiene masa

m. Si la fricción en el apoyo se desprecia, a) determinar

la magnitud de la fuerza normal en A y la magnitud de

la reacción en el pasador en O, b) determinar la fuerza

vertical aplicada en B requerida para causar la pérdida

de contacto en A.

Respuesta: a) A = 0.1091 mg; b) O = 94.9 N.

19. La ménsula BCD está articulada en C y

se une a una barra de control en B. Para la

carga mostrada, determine a) la tensión en

el cable y b) la reacción en C. c) Retome el

problema y ahora suponga que a = 0.32 m.

Respuesta: a) TAB = 2.00 kN; b) C = 2.32

kN, 46.4º.

20. Una varilla AB que está articulada en A

y se encuentra unida al cable BD en B,

soporta las cargas que se muestran en la

figura. Si se sabe que d = 200 mm,

determine a) la tensión en el cable BD, b) la

reacción en A. c) Retome el problema y

ahora suponga que d = 150 mm.

Respuesta: a) TBD = 190.0 N; b) A = 142.3

N, 18.43º; c) TBD = 324 N, A = 270 N →.



21. Una palanca AB está articulada en C y

se encuentra unida a un cable de control en

A. Si la palanca se somete a una fuerza

vertical en B de 75 lb, determine a) la

tensión en el cable y b) la reacción en C.

Respuesta: T = 119.3 lb; b) C = 178.7 lb,

60.5º.

22. Se aplica una fuerza P con magnitud de 280 lb al

elemento ABCD, el cual se sostiene mediante un

pasador sin fricción en A y por medio del cable CED.

Como el cable pasa sobre una pequeña polea en E, se

puede suponer que la tensión es la misma en los tramos

CE y ED del cale. Para el caso que a = 3 in., determine

a) la tensión en el cable, b) la reacción en A.

Respuesta: a) 875 lb; b) 1584 lb, 45.0º.

23. Sin tomar en cuenta la fricción, a) determine la

tensión en el cable ABD y la reacción en el apoyo C.

Respuesta: TABD = 80 N, C = 89.4 N, 26.6º.



24. Determine la tensión presente en el cable y las

componentes de reacción horizontal y vertical del

pasador A. La polea en D no tiene fricción y el cilindro

pesa 80 lb.

Respuesta: T = 74.6 lb, Ax = 33.4 lb, Ay = 61.3 lb.

25. La rampa de un barco tiene un peso de 200 lb y

centro de gravedad en G. Determine la fuerza del cable

CD necesaria para empezar a levantar la rampa (la

reacción en B es entonces cero). Determine también las

componentes de fuerza horizontal y vertical presentes

en la articulación (pasador) ubicada en A.

Respuesta: FCD = 194.9 lb, Ax = 97.4 lb, Ay = 31.2 lb.

26. Sin tomar en cuenta la fricción, a) determine la

tensión en el cable ABD y la reacción en C cuando

º60 ; b) Retome el problema cuando º45 .

Respuesta: a) 3

2 PT , PC 577.0 ; b) PT 586.0 ,

PC 414.0 .



27. La barra ABC está doblada en forma de un arco

circular de radio R. Si se sabe que º30 , determinar

la reacción a) en B y b) en C. c) Retome el problema

cuando º60 .

Respuesta: a) B = 2 P, 60º; b) C = 1.239 P, 36.2º; c) B

= 1.155 P, 30º, C = 1.086 P, 22.9º.

28. Una barra ligera AD se encuentra suspendida de un

cable BE y sostiene un bloque de 50 lb en C. Los

extremos A y D de la barra están en contracto con

paredes verticales sin fricción. Determine la tensión en

el cable BE y las reacciones en A y D.

Respuesta: a) lb 0.50BET , lb 75.18A →,

lb 75.18B ←.

29. Determine la magnitud de la fuerza

presente en el pasador situado en A y en el

cable BC necesarias para soportar la carga

de 500 lb. Ignore el peso del pescante AB.

Respuesta: A = 2060.9 lb, TBC = 1820.7 lb.

30. Sin tomar en cuenta la fricción ni el

radio de la polea, determine a) la tensión en

el cable ABD y b) la reacción en C.

Respuesta: a) T = 130.0 N; b) C = 224 N,

2.05º.



31. Una caja de 120 lb descansa en el

portón trasero de 60 lb de una camioneta

Pick Up. Calcular la tensión en cada uno de

los dos cables, uno de los cuales se muestra.

Los centros de gravedad son G1 y G2. La

caja se encuentra a la mitad de distancia

entre los dos cables.

Respuesta: T = 131.2 lb.

32. Determinar la tensión en cada cable y la

reacción en D.

Respuesta: N 3230BET , N 960CFT ,

N 3750D ←.

33. Si una fuerza de 120 N se aplica al

mango, determinar la fuerza que cada

rodillo ejerce sobre su superficie

correspondiente.

34. El doblador de tubo consiste en dos

poleas acanaladas montadas y libres para

girar en un marco fijo. El tubo se dobla en

la forma mostrada por una fuerza P = 300

N. Calcular las fuerzas soportadas por los



rodamientos de las poleas.

Respuesta: A = 1266 N, B = 1514 N.

35. Determinar la distancia d de aplicación de la carga

P por equilibrio de la barra lisa en la posición como

se muestra. Ignore el peso de la barra.

Respuesta: 3cos

ad .

36. La ménsula en forma de T mostrada en la figura se

sostiene mediante una pequeña rueda en E y clavijas en

C y D. Sin tomar en cuenta el efecto de la fricción,

determine a) las reacciones en C, D y E cuando

º30 y b) el mínimo valor de para el cual se

mantiene el equilibrio de la ménsula y c) las reacciones

correspondientes en C, D y E.

Respuesta: C = 7.97 lb →; D = 42.6 lb ←, E = 69.3 lb,

60.0º

37. Se cortan dos ranuras en la placa DEF

mostrada en la figura, y la placa se coloca

de manera que las ranuras se ajusten a dos

pasadores fijos sin fricción en A y B. Si se

sabe que P = 15 lb, determine a) la fuerza

que ejerce cada pasador sobre la placa, b) la

reacción en F. c) Si el valor permisible

máximo de la reacción en F es de 20 lb y si

se desprecia la fricción en los pasadores,

determine el rango requerido para los



valores de P.

Respuesta: a) A = 20.2 lb ↑, B = 30 lb, 60º;

b) F = 16.21 lb; c) lb 17.23lb 44.5 P .

38. La barra AD se une en A y C a los

collarines que pueden moverse libremente

sobre las varillas mostradas. Si la cuerda BE

está en posición vertical ( 0 ), a)

determine la tensión en la cuerda y las

reacciones en A y en C. b) Retome el

problema si la cuerda BE se encuentra

paralela a las varillas ( º30 ).

Respuesta: a) N 0.80BET , N 160A ,

30.0º, N 160C , 30.0º; a) N 3.69T ,

N 140A , 30.0º, N 180C , 30.0º.

39. Una masa de 8 kg puede sostenerse de las tres formas diferentes que se muestran en la

figura. Si se sabe que las poleas tienen un radio de 100 mm, determine en cada caso las

reacciones en A.

(a) (b) (c)

Respuesta: a) A = 78.5 N, MA = 125.6 N.m; b) A = 111.0 N, 45º, MA = 125.6 N.m; c) A =

157.0 N, MA = 251 N.m.



40. Mientras una cinta pasa a través del

sistema de apoyo mostrado en la figura,

sobre ésta se mantiene una tensión de 5 lb.

a) Si se sabe que el radio de cada polea es

de 0.4 in., determine la reacción en C. b)

Retome el problema y ahora suponga que se

usan poleas con 0.6 in de radio.

Respuesta: a) C = 7.07 lb, 45.0º,

lb.in 0.43CM ; b) C = 7.07 lb, 45.0º,

lb.in 0.45CM .

41. Un poste telefónico de 6 m que pesa 1600 N se usa

para sostener los extremos de dos alambres. Los

alambres forman con la horizontal los ángulos que se

muestran en la figura y las tensiones en los alambres

son, respectivamente, N 6001 T y N 3752 T .

Determine la reacción en el extremo fijo A.

Respuesta: N 1848A , 82.6º, N.m 1431AM .

42. La viga AD soporta las dos cargas de 40

lb que se muestran en la figura. La viga se

sostiene mediante un soporte fijo en D y por

medio del cable BE que está unido al

contrapeso W. Determine la reacción en D

cuando a) W = 100 lb, b) W = 90 lb. c)

Determine el rango de valores de W para

que la magnitud del par en D no exceda 40

lb.ft.

Respuesta: a) D = 20.0 lb ↓ MD = 20.0 lb.ft;

b) D = 10.00 lb ↓, MD = –30.0 lb.ft; c)



lb 104lb 88 W .

43. Si se sabe que la tensión en el alambre

BD es de 1300 N, a) determine la reacción

del bastidor mostrado en el apoyo fijo C. b)

Determine el rango de valores permisibles

para la tensión en el alambre BD si la

magnitud del par en el apoyo fijo C no debe

ser mayor que 100 N.m.

Respuesta: a) C = 1951 N, 88.5º, MC = –

75.0 N.m; b) kN 1774kN 1232 T .

44. Encontrar el ángulo de inclinación con

la horizontal de manera que la fuerza de

contacto en B sea la mitad que en A para el

cilindro liso.

Respuesta: º43.18 .

45. Cuando el cuerpo de 0.05 kg está en la

posición mostrada, el resorte torsional en O

está pretensado con el fin de ejercer un

momento de 0.75 N.m en sentido horario en

el cuerpo. Determinar la fuerza P requerida

para romper contacto en C. Complete

soluciones para a) incluyendo los efectos

del peso y b) sin considerar el peso.

Respuesta: a) P = 6.00 N; b) P = 6.25 N.



46. Una carga vertical P se aplica en el extremo B de la

barra BC. a) Desprecie el peso de la varilla y exprese el

ángulo correspondiente a la posición de equilibrio en

términos de P, l y el contrapeso W. b) Determine el

valor de correspondiente a la posición de equilibrio

cuando WP 2 .

Respuesta: a)

P

W

2sin 2 1 , b) º0.29 .

47. La posición de la barra en forma de L

mostrada en la figura se controla mediante

un cable conectado en el punto B. Si se sabe

que la barra soporta una carga de magnitud

P = 50 lb, determinar la tensión máxima T y

el valor correspondiente de .

Respuesta: lb 2.132max T , º4.50 .

48. La viga uniforme tiene peso W y

longitud l, y está soportada mediante un

pasador en A y un cable BC. Determine las

componentes de reacción horizontal y

vertical en A y la tensión necesaria en el

cable para mantener la viga en la posición

mostrada.

Respuesta: )(sen 2

coscos

WAx ,



)(sen 2

)sen cos2cossen (

WAy ,

)(sen 2

cos

WTBC .

49. Una barra delgada AB con un peso W

está unida a los bloques A y B, los cuales

pueden moverse libremente por las guías

mostradas en la figura. Los bloques se

conectan entre sí mediante una cuerda

elástica que pasa sobre una polea en C. a)

Exprese la tensión en la cuerda en términos

de W y . B) Determine el valor de para

el cual la tensión en la cuerda es igual a 3W.

Respuesta: a) tan1

21

WT , b) º8.39 .

50. La barra AB se somete a la acción de un par M y a

dos fuerzas, cada una de las cuales tiene una magnitud

P. a) Obtenga una ecuación en función de , P, M y l

que se cumpla cuando la barra esté en equilibrio. B)

Determine el valor de correspondiente a la posición

de equilibrio cuando M = 150 N.m, P = 200 N, y l =

600 mm.

Respuesta: a) lP

M cossin , b) º11.17 y

º9.72 .



51. La varilla AB está unida a un collarín en A y

descansa contra un pequeño rodillo en C. a) Desprecie

el peso de la varilla AB y obtenga una ecuación en

términos de P, Q, a, l y que se cumpla cuando la

varilla está en equilibrio. b) Determine el valor de

correspondiente a la posición de equilibrio cuando

lb 16P , Q = 12 lb, l = 20 in y a = 5 in.

Respuesta: a) lP

QPa )(cos3

, b) º6.40 .

3.2.- SISTEMAS QUE INVOLUCRAN RESORTES.

Ejemplo 3.19. Problema 4.21 del Beer – Jhonston. Octava Edición.

La fuerza requerida que debe ejercer la

palanca ABC en A es de 3 lb. Si º30 y

el resorte se ha estirado 1.2 in, determine a)

la constante k del resorte, b) la reacción en

B.

Solución.




Un peso de 400 lb se une a la palanca

mostrada en la figura en el punto A. La

constante del resorte BC es k = 250 lb/in y

éste no se encuentra deformado cuando

0 . Determine la posición de equilibrio.

Retome el problema, y ahora suponga que

el resorte se encuentra sin deformación

cuando º90 .

Solución.

Punto O (Perno sin fricción): La reacción consiste en dos componentes de fuerza, una

horizontal (Rx) y una vertical (Ry).


O, la fuerza ejercida por el resorte y la tensión en la cuerda debido al peso.


Balance de fuerzas.

0

xF :

0 sx FR

sx FR (1)

0 yF :

0WRy

WRy (2)

Balance de momento en el punto O.

0)sen ( rFlW s



0sen rFlW s (3)

Fuerza del resorte.

lkFs (4)

El alargamiento del resorte l es equivalente a la longitud del arco DB.

rDBl

La ecuación (4) se escribe como:

rkFs

Y la ecuación (3):

0sen 2 rklW

Al sustituir valores:

0)3(250sen 8004 2

02250sen 2003


0 , rad 4020.1

º33.80

Ejemplo 3.21. Problema 5.53 del Hibbeler. Décima Edición. Pág. 229.

La barra uniforme AB tiene un peso de 15

lb y el resorte no está estirado cuando

0 . Si º30 , determine la rigidez k

del resorte de manera que la barra esté en

equilibrio.

Solución.




A, la fuerza ejercida por el resorte y el peso de la barra.




Balance de fuerzas.

0

xF :

0sen sx FA (1)

0 yF :

0cos WFA sy

15cos sy FA (2)

Cálculo de β y las distancias involucradas en el cálculo.

ft 60.2º30cos3cos3 AD ft 40.360.266 ADCD

ft 50.1º30sen 3sen 3 DB

ft 72.3)50.1()40.3( 2222 DBCDCB

27.250.1

40.3tan

DB

CD

º19.66

Fuerza del resorte.

lkFs

)( 0llkFs

)( 0lCBkFs


0)cos(sen cos21 BAWDBFADF ss

0cossen )(cos)(21

00 BAWDBlCBkADlCBk

Al despejar k:



)sen cos()(

cos

0

21

DBDAlCB

BAWk

Al sustituir valores:

)º19.66sen 50.1º19.66cos60.2()372.3(

)º30cos3()15(21

k

lb/ft 17.11k

Ejemplo 3.22. Problema 3.53 del Meriam-Kraige. Séptima Edición. Pag. 142.

La barra uniforme OC de longitud L gira

libremente alrededor de un eje horizontal a

tavés de O. Si el resorte de constante k no

está estirado cuando C es coincidente con

A, determinar la tensión T requerida para

sostener la barra en la posición de 45º

mostrada. El diámetro de la polea pequeña

es insignificante.

Solución.


52. El resorte AB de constante k está sin

deformar cuando 0 . Si se sabe que

in 10R , in 20a y lb/in 5k ,

determinar el valor de correspondiente a

la posición de equilibrio cuando lb 5W .

Respuesta: º9.22 .



53. Un collarín B de peso W puede moverse libremente

a lo largo de la barra vertical mostrada en la figura. El

resorte de constante k se encuentra sin deformar cuando

0 . a) Encuentre una ecuación en términos de , W,

k, l que se cumpla cuando el collarín está en equilibrio.

b) Si se sabe que W = 300 N, l = 500 mm y k = 800

N/m, determine el valor de correspondiente a la

posición de equilibrio.

Respuesta: a) lk

W sen tan ; b) º0.58 .

54. Una carga vertical P se aplica en el extremo B de la

barra BC. La constante del resorte es k y se encuentra

sin deformar cuando º90 . Sin tomar en cuenta el

peso de la barra, determine a) el ángulo

correspondiente a la posición de equilibrio, expresado

en términos de P, k y l y b) el valor de

correspondiente a la posición de equilibrio cuando

lkP41 .

Respuesta:

Plk

lk2

1

1sen 2 ; b) º06.141 .



55. El interruptor de palanca consiste en una palanca

articulada a un bastidor fijo en A y mantenida en su

lugar mediante el resorte que tiene una longitud no

alargada de 200 mm. Determine la magnitud de la

fuerza resultante en A y la fuerza normal sobre el perno

en B cuando la palanca está en la posición mostrada.

Respuesta: A = 2.81 N, B = 2.11 N.

56. Una barra delgada AB de peso W se une

a los bloques A y B que se mueven

libremente sobre las guías mostradas en la

figura. El resorte, que tiene una constante k,

se encuentra sin deformar cuando 0 . a)

Sin tomar en cuenta el peso de los bloques,

encuentre una ecuación en términos de W, k,

l y que se cumpla cuando la barra está en

equilibrio. b) Determine el valor de

cuando W = 75 lb, l = 30 in. y k = 3 lb/in.

Respuesta: a) lk

W

2tan)cos1( , b)

º7.49 .



57. La fuerza requerida que debe ejercer la

palanca ABC en A es de 3.6 lb. Si el resorte

estirado ejecuta una fuerza de 12 lb en C,

determine a) el valor de , b) la reacción

en B.

58. El disco B tiene una masa de 20 kg y está soportado

sobre la superficie cilíndrica lisa por un resorte con

rigidez k = 400 N/m y una longitud no estirada

m 10 l . El resorte permanece en la posición

horizontal puesto que su extremo A está unido a la

pequeña guía de rodillo que tiene peso insignificante.

Determine el ángulo por equilibrio del rodillo.

Respuesta: º1.27 ó º2.50 .

59. Cuando el cuerpo de 0.05 kg está en la

posición mostrada, el resorte lineal se

extiende 10 mm. Determinar la fuerza P

requerida para romper contacto en C.

Complete soluciones para a) incluyendo los

efectos del peso y b) sin considerar el peso.

Respuesta: a) P = 5.59 N; b) P = 5.83 N.

3.3.- EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A TRES FUERZAS.

Otro caso de equilibrio que es de gran interés es aquel de un cuerpo rígido sujeto a tres

fuerzas, esto es, un cuerpo rígido sobre el que actúan tres fuerzas o, en forma más general,

un cuerpo rígido sometido a fuerzas que actúan sólo en tres puntos. Se demuestra que si el

cuerpo está en equilibrio, las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser concurrentes o

paralelas.



Aunque los problemas relacionados con cuerpos sujetos a tres fuerzas se pueden

resolver por medio de los métodos generales de la sección 3.1, la propiedad que se acaba de

establecer puede utilizarse para resolverlos en forma gráfica o matemática a partir de

relaciones trigonométricas o geométricas simples.

Ejemplo 3.23. Problemas 4.17 y 4.18 del Beer-Johnston. Novena Edición. Pág. 174.

La tensión requerida en el cable AB es de

200 lb. Determine la fuerza vertical P que

debe aplicarse sobre el pedal. b) la reacción

correspondiente en C. c) Determine la

máxima tensión que puede desarrollarse en

el cable AB si el máximo valor permisible

de la reacción en C es de 250 lb.

Solución.

Se ubica un punto de intersección de dos fuerzas con direcciones conocidas (P y TAB). Ese

punto ha de ser un punto sobre la línea de acción de la tercera fuerza (C). En el dibujo se

ilustra como el punto E.

Se dibuja el diagrama vectorial de fuerzas.



Fuerza P.

ABT

P

15

60ºsen 7

ABTP 15

60ºsen 7

20015

60ºsen 7P

lb 83.80P

Reacción en C.

cosCTAB

cos

ABTC

Cálculo de β.

15

60ºsen 7tan

4041.0tan

º0.22

º22cos

200C

lb 70.215C




Los eslabones AB y DE están conectados

mediante manivela de campana como se

muestra en la figura. Si se sabe que la

tensión en el eslabón AB es de 720 N,

determine a) la tensión en el eslabón DE, b)

la reacción en C. c) Determine la fuerza

máxima que puede ejercer con seguridad el

eslabón AB sobre la manivela de campana

si el máximo valor permisible para la

reacción en C es de 1600 N.

Solución.

Se ubica un punto de intersección de dos fuerzas con direcciones conocidas (TDE y TAB).

Ese punto ha de ser un punto sobre la línea de acción de la tercera fuerza (C). En el dibujo

se ilustra como el punto F.




Cálculo de y β.

80

60tan

75.0tan

º87.36

º13.143

Distancia vertical entre los puntos B y F.

BG

FG )º90(tan

)º87.36º90(tan200 FG

mm 67.266FG

Cálculo de γ.

FH

CHtan

67.26660

120tan



3673.0tan

º17.20

º180

º70.16

sen sen sen

CTT DEAB

sen sen

ABDE

TT

º6.701sen º17.20sen

720DET

N 600DET

sen sen

ABTC

143.13ºsen º17.20sen

720C

N 84.1252C


Un extremo de la varilla AB descansa en la

esquina A y el otro se encuentra unido a la

cuerda BD. Si la varilla está sometida a una

carga de 400 lb en su punto medio C,

determine la reacción en A y la tensión en la

cuerda.

Solución.



Se ubica un punto de intersección de dos fuerzas con direcciones conocidas (TBD y C). Ese

punto ha de ser un punto sobre la línea de acción de la tercera fuerza (A). En el dibujo se



Cálculo de y β.

1212

10tan



4167.0tan

º62.22

º38.67

Distancia EF.

12tan

EF

º62.22tan12EF

in 5EF

Cálculo de γ.

518

12tan

5217.0tan

º55.27

º180

º07.85

sen sen sen

ACTBD

sen sen

CTBD


40BDT

lb 57.18BDT

sen sen

CA

67.38sen 85.07sen

40A

lb 06.37C

Dirección de la reacción en A:

º90



55.27º90

º45.62


Una varilla uniforme AB de longitud R2 se

apoya en el interior de un recipiente

semiesférico de radio R como se muestra en

la figura. Sin tomar en cuenta la fricción, a)

determine el ángulo correspondiente a la

posición de equilibrio. b) Determine las

reacciones en A y B en función del peso W

de la barra.

Solución.

La línea de acción de la reacción en A es perpendicular a la superficie del recipiente. Esta

línea de acción de A pasa por el centro del recipiente.

La línea de acción de la reacción en C es perpendicular a la barra.

Se ubica un punto de intersección de dos fuerzas con direcciones conocidas (A y C). Ese

punto ha de ser un punto sobre la línea de acción de la tercera fuerza (W). En el dibujo se


OA = R



OC = R

Cálculo de .

sen sen

OAOC

sen sen

RR

sen sen

La proyección del segmento AE sobre la horizontal es igual a la proyección del segmento

AG sobre la horizontal.

cos)2(cos AGAE

El segmento AE pasa por el centro del círculo y va de un punto a otro del mismo. Su

longitud es 2 R

AE = 2 R.

El punto G es el centro de la varilla, su centro de gravedad. Siendo que la varilla mide 2 R,

la distancia del extremo a su centro es R.

AG = R

cos)2(cos2 RR

cos)2(cos2

0cos)2(cos2


rad 5678.0

º56.32




60. Para la ménsula y la carga mostradas, a) Determine

las reacciones en A y B cuando mm 180a . b)

Determine el rango de valores de la distancia a para los

cuales la magnitud de la reacción en B no excede 600

N.

Respuesta: a) A = 400 N ↑, B = 500 N, 53.1º; b)

mm 138.6a .

61. La llave mostrada se usa para girar un

eje. Un pasador entra a un orificio en A,

mientras que una superficie plana y sin

fricción descansa contra el eje en B. Si se

aplica una fuerza P de 60 lb sobre la llave

en D, determine las reacciones en A y B.

62. Una caja de 50 kg se sostiene mediante

la grúa viajera mostrada en la figura. Si se

sabe que m 5.1a , determine a) la tensión

en el cable CD y b) la reacción en B. c)

Retome el problema, y ahora suponga que

m 3a .

Respuesta: a) TCD = 499 N; b) 457 N, 26.6º;

c) 998N, 822 N, 5.72º.



63. Determine las reacciones en A y D

cuando a) º30 , b) º60 .

Respuesta: a) A = 243.7 N →, D = 344.2 N,

22.2º; b) A = 188.4 N →, D = 327 N, 13.2º.

64. Un rodillo de 40 lb, con 8 in de diámetro, se usa

sobre un suelo de teja y descansa en el desnivel que se

muestra en la figura. si se sabe que el espesor de cada

teja es de 0.3 in., determine la fuerza P requerida para

mover el rodillo sobre la teja si éste a) se empuja hacia

la izquierda, b) se empuja hacia la derecha.

Respuesta: a) 24.9 lb, 30.0º; b) 15.34 lb, 30.0º.

65. El elemento ABC se sostiene por medio de un apoyo de pasador en B y mediante una

cuerda inextensible unida en A y C que pasa sobre una polea sin fricción en D. Se supone

que la tensión en los tramos AD y CD de la cuerda es la misma. Para las cargas mostradas

en las figuras y sin tomar en cuenta el tamaño de la polea, determine la tensión en la cuerda

y la reacción en B.



(a) (b)

Respuesta: a) T = 100.0 lb, B = 111.1 lb, 30.3º; b) T = 300 lb, B = 375 lb, 36.9º.

66. Determine las reacciones en A y B

cuando º50 .

Respuesta: A = 163.1 N, 55.9º, B = 258 N,

65º.



67. La varilla AB se sostiene mediante un apoyo de

pasador en A y descansa sobre una clavija sin fricción

en C. Determine las reacciones en A y C cuando se

aplica una fuerza vertical de 170 N en B.

Respuesta: A = 170.0 N, 33.9º, C = 160.0 N, 28.1º.

68. Calcular la magnitud de la fuerza que

soporta el pasador en A bajo la acción de la

carga de 1.5 kN aplicada al soporte.

Desprecie la fricción en la ranura.

Respuesta: A = 1.082 kN.

69. Determine la reacción en B y en C si se sabe que a)

º30 , b) º60 .

Respuesta: a) B = 2 P, 60.0º, C = 1.239 P, 36.2º; b) B =

1.155 P, 30.0º, C = 1.086 P, 22.9º.



70. La varilla AB está doblada en forma de arco de

círculo y se coloca entre las clavijas D y E. La barra

soporta una carga P en el extremo B. Sin tomar en

cuenta la fricción ni el peso de la barra, determine la

distancia c correspondiente a la posición de equilibrio

cuando mm 20a y mm 100R .

Respuesta: 60.0 mm.

71. La barra rígida uniforme de longitud 2 r y masa m

descansa contra la superficie circular como se muestra.

Determine la fuerza normal del pequeño rodillo A y la

magnitud de la reacción del pivote ideal en O.

Respuesta: A = 0.892 mg, O = 0.580 mg.

72. La barra rígida uniforme de longitud 2 r y masa m

descansa contra la superficie circular como se muestra.

Determine la fuerza normal en el punto de contacto C y

la magnitud de la reacción del pivote ideal en O.

Respuesta: A = 0.433 mg, O = 0.869 mg.



73. Una varilla delgada de longitud L está unida a dos

collarines que se pueden deslizar libremente a lo largo

de las guías mostradas en la figura. Si se sabe que la

barra está en equilibrio, obtenga una expresión para

calcular el ángulo en términos del ángulo agudo .

Respuesta: tan2tan .

74. Una varilla delgada de 8 kg, con longitud L está

unida a dos collarines que se pueden deslizar

libremente a lo largo de las guías mostradas en la

figura. Si se sabe que la barra está en equilibrio, y que

º30 , determine a) el ángulo que forma la barra

con la vertical y b) las reacciones en A y B.

Respuesta: a) 49.1º; b) A = 45.3 N ←, B = 90.6 N,

60.0º.

75. Una varilla delgada uniforme de longitud L se

mantiene en equilibrio como se muestra en la figura,

con uno de sus extremos apoyado sobre una pared sin

fricción y el otro unido a una cuerda de longitud S.

Obtenga una expresión para calcula la distancia h en

términos de L y S. demuestre que si LS 2 la posición

de equilibrio no existe.

76. Una varilla delgada de longitud L = 20 in. se

mantiene en equilibrio como se muestra en la figura,

con uno de sus extremos apoyado sobre una pared sin

fricción y el otro unido a una cuerda de longitud S = 30

in. Si se sabe que el peso de la barra es 10 lb, determine

a) la distancia h, b) la tensión en la cuerda y c) la

reacción en B.



Respuesta: a) 12.91 in; b) 11.62 lb; c) 5.92 lb.

77. Una varilla delgada de longitud L y peso

W está unida a un collarín en A y se conecta

a una pequeña rueda en B, además se sabe

que la rueda gira libremente a lo largo de

una superficie cilíndrica de radio R. Sin

tomar en cuenta la fricción, obtenga una

ecuación en términos de , L y R que se

cumpla cuando la varilla se encuentra en

equilibrio.

Respuesta:

1

3

1cos

2

2

L

R

3.4.- EQUILIBRIO DE UN CUERPO SUJETO A DOS FUERZAS.

Un caso particular de equilibrio que es de considerable interés es el de un cuerpo rígido

sujeto a la acción de dos fuerzas. Por lo general, un cuerpo que se encuentra en estas

circunstancias recibe el nombre de cuerpo sujeto a dos fuerzas. Se demuestra que si un

cuerpo sujeto a dos fuerzas está en equilibrio entonces las dos fuerzas que actúan sobre

éste deben tener la misma magnitud, la misma línea de acción y sentidos opuestos.

En el estudio de estructuras, marcos y máquinas se verá que saber identificar los

cuerpos sometidos a dos fuerzas simplifica la solución de ciertos problemas.




La palanca ABCD está articulada en A y es conectada a

un eslabón corto BD, como se muestra en la figura. Si

el peso del miembro es insignificante, determine la

fuerza del pasador de la articulación sobre la palanca

en A.

Solución.


Determine las reacciones en B y C cuando

in 5.1a .

Solución.

Por tratarse de un elemento sometido sólo a dos fuerzas, la reacción en el elemento CD está

dirigida a lo largo de la línea CD.

Se ubica un punto de intersección de dos fuerzas con direcciones conocidas (A y C). Ese

punto ha de ser un punto sobre la línea de acción de la tercera fuerza (B). En el dibujo se





Cálculo de .

5

3tan

6.0tan

º96.30

Distancia AE.

523tan

AE

º96.30tan10AE

in 6AE

Cálculo de β.

aAE

3tan



5.16

3tan

6667.0tan

º69.33

Cálculo de γ.

º90

º35.25

º180

º96.120

sen sen sen

CBP

sen sen

PB


50B

lb 14.100B

sen sen

PC


50C

lb 78.64C

Dirección de la reacción en C:

º90

º9096.120

º96.30




78. Para el bastidor y la carga que se

muestran en la figura, determine las

reacciones en A y C.

Respuesta: A = 63.6 lb, 45.0º, C = 87.5 lb,

59.0º.

79. Determine las reacciones en B y D

cuando a) mm 60b , b) mm 120b .

Respuesta: a) B = 888 N, 41.3º, D = 943 N,

45.0º; b) B = 1001 N, 48.2º, D = 943 N,

45.0º.

80. Para el armazón y la carga que se

muestran en la figura, determinar la fuerza

que actúa sobre el elemento ABC a) en B,

b) en C.

Respuesta: a) 125 N, 36.9º; b) 125 N, 36.9º.



81. Determine la fuerza que actúa sobre el

elemento BD y las componentes de la

reacción en C.

Respuesta: FBD = 255 N, Cx = 120.0 N →,

Cy = 625 N ↑.

82. La varilla CD se ajusta a un collarín en

D, el cual puede moverse a lo largo de la

varilla AB. La varilla AB está doblada en

forma de un arco circular. Para la posición

en la que º30 , determine a) la fuerza en

la varilla CD y b) la reacción en B.

Respuesta: a) 80.0 lb; b) 72.1 lb, 16.1º.

83. Determine las componentes de las

reacciones en A y E si se aplica una fuerza

de 750 N dirigida verticalmente hacia abajo

a) en B, b) en D.

Respuesta: Ax = 450 N ←, Ay = 525 N ↑, Ex

= 450 N →, Ey = 225 N ↑; b) Ax = 450 N ←,

Ay = 150 N ↑, Ex = 450 N →, Ey = 600 N↑.




reacciones en A y E si se aplica una fuerza

de 750 N dirigida verticalmente hacia abajo

a) en B, b) en D.

Respuesta: Ax = 300 N ←, Ay = 600 N ↑, Ex

= 300 N →, Ey = 90 N ↑; b) Ax = 300 N ←,

Ay = 150 N ↑, Ex = 300 N →, Ey = 600 N↑.


reacciones en A y B, a) si se aplica una

carga de 100 lb como se muestra en la

figura, b) si la carga de 100 lb se mueve a lo

largo de su línea de acción y se aplica en F.

Respuesta: Ax = 80.0 lb ←, Ay = 40.0 lb ↑,

Bx = 80.0 lb →, By = 60.0 lb ↑; b) Ax = 0, Ay

= 40.0 lb ↑, Bx = 0, By = 60.0 lb ↑.

86. La carga de 48 lb que se muestra en la

figura puede moverse a lo largo de su línea

de acción y, por tanto, puede aplicarse en A,

D o E. Determine las componentes de las

reacciones en B y F si la carga de 48 lb se

aplica a) en A, b) en D, c) en E.

Respuesta: a) y c) Bx = 32.0 lb →, By = 10.0

lb ↑, Fx = 32.0 lb ←, Fy = 38.0 lb ↑; b) Bx =

32.0 lb →, By = 34.0 lb ↑, Fx = 32.0 lb ←,

Fy = 14.0 lb ↑.



87. La pequeña grúa está montada en la

parte posterior de una camioneta Pick Up.

Para la posición º40 , determinar la

magnitud de la fuerza que soporta el

pasador en O y la presión de aceite p

contras el pistón de diámetro 50 mm del

cilindro hidráulico BC.

Respuesta: O = 4140 N, P = 2.58×106 Pa.

88. La grúa de piso portátil está levantando

un motor de 420 lb. Para la posición

mostrada calcular la magnitud de la fuerza

que soporta el pasador en C y la presión P

de aceite contra el pistón de diámetro 3.20

in de la unidad de cilindro hidráulico AB.

Respuesta: C = 1276 lb, P = 209 lb/in2.



BIBLIOGRAFÍA.

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ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

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10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013.

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México, S.A de C.V. México, 2004.

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Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados

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