CAPITULO 5: CINÉTICA DE CUERPOS RIGIDOS

5.1.1. INTRODUCCIÓN

El análisis cinético de los cuerpos rígidos esta basado en la Segunda Ley de Newton. En capítulos

anteriores definimos La Primera Ecuación Fundamental de la Dinámica, es decir:

ag

WamRF .. 1era E.F.D…………… (1)

Pero existen una 2da formula que tiene la siguiente forma.

HM 2da E.F.D……………. (2)

Donde: H : Cantidad de movimiento angular.

H : Derivada respecto el tiempo de la cantidad de movimiento angular, que representa la variación

respecto el tiempo de la cantidad de movimiento angular del cuerpo.

Las ecuaciones (1) y (2) están relacionadas entre si por una correlación de movimiento lineal y

angular. Esto lo visualizamos en los siguientes gráficos:

a) Movimiento circular de una partícula.

Cantidad de movimiento angular de una partícula de masa

“M” en un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo.

b) Movimiento general de una partícula

ere

r

vm.

rvm.

vm.

rmrH ..0

vm.

r

La magnitud será:

wmrH

rmvmrH

..

....

2

0

2

0

De los gráficos: el vector resultantes de vmr . lo denominamos: H

vmrH .

Por otro lado:

Si: kZjYiXr

y kVzmjVymiVxmvm ....

vmrH .

=

iVyzmjVzxmkVxymjVxzmkVyxmiVzym ............

kVxyVyxmjVzxVxzmiVyzVzymH )..()..()..(

Haciendo:

)..(

)..(

)..(

VxyVyxmHz

VzxVxzmHy

VyzVzymHx

kHzjHyiHxH ……………(α)

La ecuación (α) representa el vector de cantidad de movimiento angular en un entorno

tridimensional en términos de componentes rectangulares.

Donde:

Hx: cantidad de movimiento Angular alrededor del eje X.

Hy: cantidad de movimiento Angular alrededor del eje Y.

Hz: cantidad de movimiento Angular alrededor del eje Z.

ZYX mVmVmV

zyx

kji

ZYX VVV

zyx

kji

m

Marco de

referencia fijo

VARIACION CON RESPECTO AL TIEMPO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ANGULAR

Sabemos: vmrH .

Finalmente:

5.2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO BIDIMENSIONAL DE UN CUERPO RIGIDO

.GGIM , donde:

GI : Momento de inercia del cuerpo tomado en su centro de gravedad

α : Aceleración angular de movimiento del cuerpo.

Sea el grafico:

Y

X

y

x

j

i

k

G

B

r

R

dm

Donde:

®: Cuerpo en movimiento.

y : Velocidad y aceleración angular del movimiento cuyos vectores son:

kk y

G: Centro de masa del cuerpo rígido

dm: Masa infinitesimal del cuerpo rígido.

: Vector de posición de “dm”

Marco de

referencia móvil

MH

FrH

amrH

amrvmvH

amrvmrH

vmdt

drvm

dt

rdH

vmrdt

dH

.

..

..

..

.

Del grafico: jyix

Si a la velocidad VB/G lo multiplicamos por la masa infinitesimal dm, obtenemos:

VB/G.dm – Cantidad de movimiento relativo alrededor de “G”

Y si a VB/G lo multiplicamos por el vector jyix , obtenemos el momento de la Cantidad de

movimiento relativo alrededor de “G” representado por “H”. Es decir:

GBVdmH .

Pero, como: GBGB rdt

dV /

Y: GBr - Vector de magnitud constante fijo en cuerpo rigido que gira, entonces le aplicamos

el Teorema Omega

dmH

rrdt

dGBGB

.

/

Integrando:

dmH )( (Cantidad de mov. Angular total del CR)…… (1)

Pero:

iyjx

jyixk

..

)(

Entonces:

kkyx

kykx

iyjxjyix

..

..

)..()()(

222

22

Reemplazando en la Ecuación (1):

dmH

dmH

.

..

2

2

Por estática: Idm2

.IH

Derivando respecto el tiempo:

.

..

GIH

IIdt

dH

Por otro lado como:

.IM

HM

Finalmente para un movimiento bidimensional de cuerpos rígidos las ecuaciones escalares teniendo

como referencia el plano XY y teniendo en cuenta la 1era y 2da ecuación de la dinámica son las

siguientes.

.

.

.

IM

amF

amF

YX

XX

5.3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RIGIDOS EN TRANSLACION

Si un cuerpo rígido esta en traslación, solo es necesario la 1era ecuación para determinar su

movimiento. No existe movimiento rotacional, pero sin embargo puede ser necesaria la aplicación

del movimiento angular para determinar fuerzas o pares desconocidos. Las ecuaciones de

movimiento serán:

0 y . , . MamFamF YYXX

5.3.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA UN CUERPO RIGIDO CON

ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN EJE FIJO

a) Rotación Centroidal:

El eje de rotación pasa por el centro de masa. En este caso la aceleración lineal 0a .Los

diagramas equivalentes de fuerzas aplicadas y efectos dinámicos son como se indica en el siguiente

diagrama.

P

I

2

1P

Rv

hRW

En este caso las ecuaciones del movimiento serán:

y 0 , 0 IMFF YX

OBS.: El signo barra se usa para determinar la suma de momentos respecto el eje centroidal de

rotación.

b) Rotación No Centroidal.- En este caso, el eje de rotación no pasa por el centro de masa. Por lo

tanto debido a la acción de las fuerzas se generan una velocidad y una aceleración angular ),(

. Sea el grafico:

hR W

G

A

P

r

A

r

G

I m an

m at

Del grafico deducimos lo siguiente:

1. Las fuerzas W, P, Rh y Rv dan los valores instantáneos de y .

2. El centro de masa G se mueve en forma circular en una circunferencia de radio r y tiene una

aceleración a cuyas componentes son:

2ran (Hacia A)

rat (Perpendicular a r en sentido de )

3. nam. y tam. como componentes de la fuerza resultante ag

R , actúan tal como se

muestra en la figura. Y junto a .I componen un sistema dinámico que es equivalente al sistema

de fuerzas inicial.

Entonces, tomando suaba de momentos respecto “O” (centro de rotación)

.

..

2r

gIM

rrg

IM

O

O

Haciendo: 2

0 rg

II

.0IMO

Donde:

2

rg

I Se interpreta de la siguiente manera:

“El momento de inercia centroidal se transfiere desde “G” hacia “O” en una distancia r ”.Por lo

tanto las ecuaciones de movimiento tomaran la siguiente forma:

. , .. , .. 0

2 IMrmFrmF Otn

Ejemplo:

1G

2G

5.3.2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA CUERPOS RODANTES

En cuerpos rodantes, el centro de masa tiene un movimiento rectilíneo paralelo a la superficie plana

sobre la cual rueda.

Sea el grafico:

P

I

N

F

y

x

y

x

Cr

r

m a

Donde:

ag

W : Fuerza resultante que pasa por “G” y es paralela a la superficie de rodamiento.

Además: la aceleración lineal a donde sus componentes: 0Xa y 0Xa

Entonces las ecuaciones del movimiento serán:

. , 0 , . IMFamF YX

En el movimiento de cuerpos rodantes se presentan 2 casos:

a) Disco rodante sin deslizamiento

Esto ocurre solo si hay suficiente fuerza de fricción en el C.I. para mantener ese punto instantáneo

en reposo.

La fuerza de fricción se encuentra entre “O y f .N”

.I

am.r

Dado que desconoce el valor de dicha fuerza de fricción entonces, para eliminarla tomamos sumas

de momentos respecto de “C”.

rag

IM C . .

Dado que: el disco rueda sin deslizamiento .ra

.

. .

2

2

rg

IM

rg

IM

C

C

Haciendo: CIrg

I2

.CC IM

b) Discos Rodantes Desbalanceados

En este caso el centro de masa “G” y el centro geométrico del disco no coinciden tal

como se muestra en la figura.

Rh

O G O

aO

aG/O

n

ta

G/O

Oa

Del grafico:

tOG

nOGOG

OGOG

aaaa

aaa

//

/

Donde: ).(

).(

/

2

/

OGa

OGa

t

OG

n

OG

5.4 MOVIMIENTO PLANO GENERAL (MPG)

Se dice que un cuerpo rígido esta en MPG cuando se traslada y gira. Este movimiento combinado se

analiza utilizando las ecuaciones de la primera ecuación fundamental de la dinámica y la ecuación

del movimiento angular, entonces las ecuaciones de movimiento serán:

. y . , . IMamFamF YGYXGX

Pasos para la Solución de Problemas de Cinética:

1) Construcción del DCL del sistema o DCL de cada uno de los componentes del sistema.

2) Determinar la dirección del movimiento.

3) Hacer positivo la dirección del movimiento.

4) Aplicar las ecuaciones de movimiento de cuerpos rígidos, según sea el tipo de movimiento:

(traslación, rotación, rotación pura, etc.)

5) Determinar las relaciones cinemáticas en caso de que el número de ecuaciones sea menor al

número de incógnitas.

6) Crear un equilibrio dinámico (opcional).

EJERCICIOS DESARROLLADOS:

1. Una varilla de 1.8m que pesa 50kg. esta rígidamente asegurado a un cilindro de 100kg. Para

ello se pide calcular la aceleración lineal del bloque “W” de 150kg. en la posición dada.

Solución:

DCL de los componentes.

Determinamos la dirección del movimiento.

La

aceleración lineal del bloque será:

6,0.rab ……………….. (1)

Calculo de la aceleración angular .

Aplicando la ecuación del movimiento para el conjunto.

…………..…. (2)

B

V

BV

BB

I

WT

IWT

IM

9,0.6,0

.9,06,0

.

dWVW

hRVR

150

.100

.50

W

kgW

kgW

d

V

Calculo del momento de inercia BI

Calculo de la tensión.

Aplicando la ecuación del movimiento para el bloque.

X

XX

ag

WTW

amF .

Pero: 6,0Xa

………………. (4)

Reemplazando (3) y (4) en (2).

45549072

72

9,0506,0.90150

9,06,0

gg

g

g

I

WT

B

V

)3(...............................72

6,0100

2

19,0

508,1

50

12

1

2

1

12

1

2

1

12

1

var

2

222

222

222

smkgg

I

gggI

rg

Wd

g

WL

g

WI

rmdmLmI

discoIillaII

B

B

dVVB

dVVB

B

gT

gT

g

WWT

90150

6,0150150

6,0

Pero: g = 9,81 m/s2

2502,3 srad

Finalmente:

De la ecuación (1):

21,2

502,36,0

6,0

sma

a

a

b

b

b

2. En el mecanismo con cuerpos rodantes mostrada en la figura calcule la tensión en la cuerda

que sostiene el cuerpo A teniendo en cuenta que WA = 50kg.

.

Solución:

DCL de cada componente.

CIR.

mr

kgW

g

D

6,0

150

mr

kgW

g

B

27,0

100

kgWA 50

mr

kgW

g

B

27,0

100

mr

kgW

g

D

6,0

150

D

BDT

DW

BW

BTDT

Relaciones cinemáticas:

Aplicamos relaciones cinemáticas: (Del gráfico anterior):

BD

BD

BD

BD

.2,1

5,1

8,1

.8,1.5,1

.8,1.5,1

Calculo de los momentos de inercia de los cuerpos rodantes respecto su CIR.

a) Del Cuerpo Rígido D:

2

22

2

1

2

2

1

2

2

1

..5,175

9,0150

6,0150

..

.

smkgg

I

ggI

dg

Wgr

g

WI

dmgrmI

dmII

D

D

DDD

DDD

DD

b) Del Cuerpo Rígido B:

kgWA 50AW

D

1dB

2d

gT

ggT

BD

BD

4,140

5,1

12,15,175

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

..108

9,0100

27,0100

..

.

smkgg

I

ggI

dg

Wgr

g

WI

dmgrmI

dmII

B

B

BBB

BBB

BB

Aplicando las ecuaciones de movimiento o cinéticas:

a) El bloque:

X

XX

ag

WTW

amF .

Pero: BXa .6,0

………………………..…. (1)

b) Al cuerpo rodante D:

DD

DDCD

gT

IM

5,1755,1.

.

Pero: BD .2,1

B

B

B

gT

gT

g

WWT

3050

6,050

50

6,0

.……..………. (2)

c) Al cuerpo rodante B:

BBBD

BBCB

ITWT

IM

.6,09,08,1

.

Reemplazando valores de TD, T, IB en la ecuación:

2108,3

3168,0

12072,378

10818309072,252

10830506,09,01008,14,140

srad

g

g

ggg

ggg

B

B

B

BBB

BBB

Finalmente de la ecuación (1):

kgT

T

5,40

3168,03050

3. Se tiene un conjunto de poleas mostrado en la figura con un peso de 75kg. y un radio de

giro centroidal de 0,6m. los bloques se encuentran unidos por cuerdas y

pesan WA = 50kg y WB = 100kg,

Calcular:

a. “α” de las poleas y aceleración lineales de los bloques A y B.

b. Tensiones en las cuerdas y la reacción en el eje de las poleas.

gT

gT

g

WamWT

A

A

AXA

4550

509,050

9,0.

?, RyTT BA

.6,0

.75

mr

kgW

g

P

Solución: Parte A

Construcción del DCL de los componentes:

Determinamos la dirección del movimiento y hacemos (+) positivo en dirección X para el

bloque A y B.

Escribiendo las ecuaciones de movimiento:

Para el bloque A:

...…………………………. (1)

Para el bloque B:

……………………….……. (2)

Para la polea: Rotación alrededor de un eje fijo (centroidal)

“El bloque B esta bajando”

gT

gT

g

WamTW

B

B

BXBB

60100

6,0100100

6,0.

AT BT

hR

VR

PW

AW BW

AT BT

2. grmI P Pero:

…………………. (3)

Reemplazando los valores: (TA y TB) en (3)

242,11449,0

9,0.45362715

2736609,04545

27601006,045509,0

sradg

ggg

ggg

ggg

Reemplazan (1) y (2) obtenemos BA TyT

kgT

T

A

A

5,56

1449,04550

kgT

gT

B

B

3,91

60100

Parte B:

Dado que 0hR

gTT

gTT

g

WTT

ITT

IM

BA

BA

PBA

PBA

276,09,0

6,0756,09,0

.6,06,09,0

.6,09,0

.

2

2

AT BT

hR

VR

PW

kgR

R

TTWR

TTWR

F

V

V

BAPV

BAPV

y

8,222

3,915,5675

0

0

4. Un cuerpo rígido CR mostrado en la figura conectada de una barra uniforme AB que pesa

32,2 lb. soldada en el punto “A” a un disco homogéneo que pesa 64,4 lb. Un peso W esta

suspendido de un cable sin masa el cual esta unido en B a la barra; pasando por una polea, la cual

pesa 16,1 lb. con un radio de giro de 0,5 pies alrededor de su eje.

a) Calcular las aceleraciones angulares de la polea y el CR compuesto.

b) Calcular las reacciones en la polea “P”.

Solución:

DCL de los componentes:

Análisis de movimiento:

Bloque: Movimiento de Traslación.

Polea: Movimiento de Rotación alrededor del eje fijo.

piesrg 5,0

.2,32 lbWAB

1O

2O

R

elaciones cinemáticas.

Aceleración del bloque: PPXaRa 1;

Aceleración de CRC: 6

16 PABPAB

Aplicación de las ecuaciones cinemáticas:

Bloque: XX amF .

Polea: .IM

Para el cuerpo compuesto:

)1(................6,642

2,32

6,646,64

2

2

2

P

P

P

T

T

g

WTW

2

2

5,0

.

g

WI

rmI

PP

gPP

)2(......................125,0

.5,02,32

1,161

12

2

12

P

P

TT

TT

YO2

XO1

YO1

Wd

AB

ABW

1T

1T 2T

2T

PWP

.11 OO IM ; Aplicando: 2.dmIIO

2

2

22

1

2

1 ..12

1..

2

1dmLmdmrmI ABABddO

I Disco I Barra

2

1

1

2222

1

..33,20

1633,121

42,32

2,324

2,32

2,32

12

11

2,32

4,641

2,32

4,64

2

1

slbpiesI

I

I

O

O

O

)3(......................2,14356,0

633,20)14,6442,326

6:;33,20146

1

1

1

P

P

PABABdAB

T

T

peroWWT

Reemplazando (1) y (3) en (2)

.12

125,02,19356,026,64

segradP

PPP

De las relaciones cinemáticas: .26

segradPAB

Parte B: Reacción en la polea:

a) 0YF ;

)4(..........................

0

122

122

TTWO

TTWO

PY

PY

b) Calculo de 12 TyT :

De la ecuación (1):

De la ecuación (2):

.6,40

1226,64

26,64

2

2

2

lbT

T

T P

.200

2,1931256,0

1

1

lbT

T

Reemplazando en (4):

.7,256

2006,401,16

2

2

122

lbO

O

TTWO

Y

Y

PY

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1) En la figura mostrada sin deslizamiento una varilla AB de 1,8 m. de largo y con un peso de

30 kg. Cuelga del centro de un cilindro macizo de 0,6 m. de radio y un peso de 50 kg. Si el cilindro

puede rodar, determinar las aceleraciones del centro de masa A. después de aplicar una fuerza de 33

kg. En el punto B. El cuerpo se encuentra inicialmente en reposo.

3) El disco y el tambor acoplados que vemos en la figura están bajo el efecto de una fuerza P =

50 kg. Que siempre permanece horizontal, suponiendo que ruedan libremente, determine la

aceleración y la fuerza de fricción requerida

Resp. 296,1 smaA

2) En el sistema de cuerpos conectados mostrado en la figura AB es una barra de 25 kg. Y 1,8

m. de largo, la cual se encuentra firmemente adherida al tambor B. El sistema parte del reposo,

cuando se encuentra en su posición mas baja. Calcular la velocidad angular de B cuando 030

Resp. 215,2s

ma

.1,42 kgf

mL

kgWA

8,1

25

mr

kgW

g

C

27,0

25mr

kgW

g

B

6,0

50

20,0

150

fk

kgWD