Unidad4 matrices_algebra superior_rosa_depena

Matrices

UNIDAD 4

Prof. Rosa De Peña

1

Algebra Superior Rosa De Peña & Tulio Mateo

Matrices

Unidad 4

Índice

4.1 Definición y notación…………………………………………………………………….......... 2 4.2 Orden y dimensión………………………………………………………………………..…..3 4.3 Matríz cuadrada y rectangular. Diagonal principal de una matríz cuadrada. Traza de una matríz cuadrada…………………………………………………………..…. 3 4.4 Igualdad de matrices. Propiedades………………………………………………………..….4 4.5 Operaciones con matrices:……………………………………………………………………..6 4.5.1 Suma o adición de matrices………………………………………………………………....6 4.5.2 Diferencia o sustracción de matrices……………………………………………………….8 4.5.3 Multiplicación de un escalar por una matríz………………………………………………8 4.5.4 Multiplicación de matrices. Propiedades: Asociativa, distributiva con relación a la adición, no cancelativa. Divisores de cero…………………………………………..9 4.5.5 Potencia entera positiva de una matriz cuadrada………………………………………. 11 4.6 Tipos especiales de matrices: Triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar, unidad o matriz identidad, conmutativa, anticonmutativa, simétrica y antisimétrica……………………………………………………………………………………..12 4.7 Matríz traspuesta. Propiedades de la matríz traspuesta…………………………………...13 4.8 Matríz inversa. Matrices inversibles…………………………………………………………..14 4.9 Dependencia lineal de las filas y columnas de una matríz………………………………..15 4.10 Rango o característica de una matríz..............................................................................16 4.11 Operaciones elementales en una matríz ……………………………………………..….16 4.12 Matrices equivalentes. Notación. Propiedades como relación de equivalencia….…….16 4.13 Matrices escalonadas.………………………………………………………………….……. 17 4.14 Matríz en la forma escalonada reducida…………………………………………………....17 4.15 Determinación del rango o característica de una matríz ……………………………..18 4.16 Cálculo de la inversa de una matríz cuadrada usando las operaciones elementales de filas…………………………………………………………………………...19 4.17 Ecuaciones con matrices…………………………………………………………………….. 21 Practica Propuesta No. 1. Unidad 4…………………………………………………………..…. . 24 Practica Propuesta No. 2. Unidad 4 ……………………………………………………...……..27 Cuestionario Unidad 4……………………………………………………………………………… 34

Bibliografia Consultada..….............………………………………………………………...35

2


Matrices

Unidad 4

MATRICES

Introducción

Por el uso creciente de las matemáticas en la ciencia y la tecnología, así como en otros campos del

saber humano, se hace necesario dedicar nuestra atención al estudio de las matrices, las cuales

constituyen herramientas eminentemente útiles por su valor estructural y operativo. Ellas se manejan

en la mayoría de las ciencias, y gran cantidad de las operaciones realizadas por las computadoras son

efectuadas tomando elementos a las matrices. La teoría de matrices, introducida en 1858 tiene hoy

aplicaciones en campos tan diversos como el control de inventarios en las fábricas; teoría cuántica en

física; análisis de costos en transportes y de otras industrias; problemas de estrategias en las

operaciones militares y análisis de datos, en sociología y psicología.

4. 1 Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas. Los elementos

pueden ser números reales, números complejos, funciones, etc., y se acostumbran a colocar entre

corchetes.

Notación

A las matrices, en general, se le acostumbra denotar por letras mayúsculas y sus elementos se suelen

designar con letras minúsculas seguidas de dos subíndices, indicando el primero en qué fila está el

elemento y el segundo en qué columna. Por ejemplo: a i j , donde la “i” señalará la fila y la “j” la

columna. De manera que, en general, una matriz se escribe así:

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

......

......

......

...

...

21

22221

11211

3


Matrices

Unidad 4

Es bueno tener presente que una matriz no tiene valor numérico y que es solo una manera de ordenar

números.

A las filas y las columnas se les llama líneas, cuando no hay necesidad de distinguirlas.

El conjunto de matrices definen un espacio vectorial, pues con ellas podemos verificar todas las

propiedades que se satisfacen en los espacios vectoriales.

4.2 Orden o Dimensión

Si una matiz tiene “m” filas y “n” columnas, entonces decimos que la matriz es de orden ""mxn .

Siempre se indicará el orden de una matriz escribiendo primero el número de filas y luego el número

de columnas de la matriz.

Otra notación usada para las matrices es: mxnijaA

donde A es de orden mxn y sus elementos los ija , deben variar “i” de “1”

a “m” y “j” de “1” a “n” .

4.3 Si en una matriz el número de filas es igual al número de columnas se dice que la matriz es

cuadrada. Cuando se tiene una matriz cuadrada mxm, decimos que su orden es m en lugar de decir

que su orden es mxm.

Así, la matriz B cuadrada 2x2: B =

03

21 es una matriz cuadrada de orden dos.

En una matriz cuadrada de orden “n” se le llamará a los elementos:

ija siendo i = j , es decir nnaaa ,...,, 2211 , la Diagonal Principal.

ija siendo ji , es decir 1)1(21 ,...,, nnn aaa , la Diagonal Secundaria.

Es decir, en la matriz:

302

540

321

A

La diagonal principal la forman los elementos 3,4,1 y la diagonal secundaria 2,4,3 .

La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se llama traza

de A. Es decir Traza de nnaaaaA ...332211

4


Matrices

Unidad 4

Ejemplo.:

La traza de A es: 8341332211 aaaA

Si el número de filas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una fila o

vector fila.

Ejemplos:

382 A 101B

BA son puntos del espacio, expresado en términos de sus coordenadas rectangulares.

Si el número de columnas de una matriz es uno, dicha matriz se llama matriz de una columna o

vector columna.

Ejemplos:

0

1A

0

1

2

B

1

1

1

C

4.4 Igualdad de Matrices

Dos matrices A y B son iguales si se cumple que:

1) A tiene el mismo orden de B.

2) Cada elemento de A es igual al elemento correspondiente de B simbólicamente:

Dada las matrices mxnijaA

y mxnijbB

entonces:

ijij baBA para todo ij .

Ejemplos:

a)

31

02

30

12

30

12

b) Resuelva la siguiente ecuación.

37

53

2

3

vuyx

vuyx

5


Matrices

Unidad 4

Resolver la ecuación matricial planteada significa hallar los valores de vuyx ,,,

que satisfacen la igualdad, con este propósito formamos dos sistemas:

1) a) 3 yx 2) a) 53 vu

b) 7 yx b) 22 vu

De 1 Sumando las ecuaciones a, b anteriores: De 2 Multiplicando a por 2:

102 x 1026 vu

52

10x 22 vu

Sustituyendo x en a :

2353 xy 127 u

x=5

y=2 7

12u

De 2 Sustituyendo u en a tenemos:

57

123

v

Despejando v: 7

1

7

3635

7

365

v

7

12u

7

1v

Propiedades de la Igualdad de Matrices

a) AA Propiedad Reflexiva

b) ABBA Propiedad Simétrica

c) Si CACBBA Propiedad Transitiva

6


Matrices

Unidad 4

4.5 Operaciones con Matrices.

4.5.1 Suma de Matrices

Si no se definen operaciones entre las matrices, éstas tendrían relativamente poco interés. Lo que las

hace útiles dentro de la ciencia y la tecnología es el hecho de que se pueden definir entre ellas las

operaciones suma y multiplicación. Veamos en primer lugar la suma de matrices.

Si mxnijaA y

mxnijbB entonces se define:

mxnijij baBA para todo ., ji

Nota:

Obsérvese que para poder sumar dos matrices, éstas deben ser del mismo

orden.

Ejemplos:

a) Si

431

012A

210

311B

641

323BA

b) Si

4

3

y

vuyxA

3

22

yx

vuyxB

7

32

x

vuxBA

Si consideramos el conjunto de todas las matrices de orden ""mxn , mxnR , entonces si:

mxnRA y mxnRB , se sigue que mxnRBA , es decir que la suma de matrices es una

operación interna en mxnR .

7


Matrices

Unidad 4

Propiedades de la suma de matrices

1) Existe mxnmxn R0 , tal que mxnmxnmxnmxnmxn AAA 00

La matriz mxn0 es aquella cuyos elementos son todos iguales a cero, y a ella llamaremos Matriz Cero

o Matriz Nula. Se representará por n0 . Si m = n.

La matriz cero es el elemento identidad para la suma de matrices.

00

0002

000

000

000

03

0000

0000

0000

0000

0 4

Si

2221

1211

aa

aaA luego, A

aa

aa

aa

aaA

00

00

00

000

2221

1211

2221

1211

2

2) En mxnR la suma de matrices es una operación conmutativa por ser los elementos de las matrices

números reales y por verificarse la conmutatividad de la suma de números reales. O sea:

mxnmxnmxnmxn ABBA

3) En el conjunto mxnR , la suma de matrices es asociativa, es decir, mxnRCBA ,,

entonces : CBACBA

4) Toda matriz mxnA , mxnR , tiene una inversa aditiva mxnA , tal que:

mxnmxnmxn AA 0

La matriz mxnA es aquella cuyos elementos son los de mxnA cambiados de signo, es decir los

inversos aditivos de los elementos de mxnA . A la matriz mxnA también se le llama la negativa de

mxnA .

8


Matrices

Unidad 4

4.5.2 Diferencia de Matrices

Si mxnRBA , , entonces la diferencia entre BA, , que se denota por BA es una matriz

mxnRC , tal que C es la suma de la matriz A A y la opuesta de B , es decir:

BABAC

Ejemplos: Dadas las matrices

56

40

21

A

10

13

12

B

Hallar a) A – B b) B – A

56

40

21

BA

10

13

12

=

56

40

21

+

10

13

12

=

46

53

13

10

13

12

AB

56

40

21

=

10

13

12

+

56

40

21

=

46

53

13

4.5.3 Multiplicación de una Matriz por un Escalar

Si A= [aij ]mxn y k R k.A = [ kaij]mxn

Nota: El producto de una matriz por un número, es una matriz y no un número.

Si

56

40

21

A para k =3 entonces KA= 3

1518

120

63

A

9


Matrices

Unidad 4

Propiedades de la Multiplicación de una Matriz por un Escalar

Sean A y B matrices de orden ""mxn y ""k ^ ""t escalares R , entonces se cumple :

1) kA es una matriz de orden ""mxn

2) AkttAk

3) kBkABAk

4) tAkAAtk

5) AA .1

4.5.4 Multiplicación de dos Matrices

Si A es una matriz de orden mxp y B una matriz de orden pxn , entonces la matriz producto C = A.

B es de orden ""mxn , en la cual el elemento ijc viene dado por la suma de los productos formados

multiplicando los elementos de la i-ésima fila de

ipii aaaA ,...,, 21 por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de

pjjj bbbB ,...,, 21

pjipjiji

pj

j

j

ipiiij bababa

b

b

b

aaaC

...

.

.

.... 2211

2

1

21

Simbólicamente:

Dadas mxpikaA y

pxnkjbB , se define C = A . B

donde mxnijcC

y kj

p

k

ikij baC

1

Debe tenerse en cuenta:

a) Sólo es posible multiplicar una matriz A, por una matriz B, si el número de columnas de A es

igual al número de filas de B. En ese caso se dice que A es conforme con B respecto de la

multiplicación.

10


Matrices

Unidad 4

b) La matriz producto ABC tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de

columnas de B.

c) A fin de obtener el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna de AB multiplicamos los

elementos de la i-ésima fila de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y

sumamos los productos obtenidos.

Ejemplos

a) Si

301

132A

14

01

23

B

a.1) Hallar

130021431031

110322411332

14

01

23

301

132AB

19

513

3021203

104436AB

Siendo la matriz A de orden 2x3, B de orden 3x2 la matriz que resulta al multiplicar AB

es de orden 2.

a.2) Hallar

311401341124

301100311021

321302331223

301

132

14

01

23

BA

1129

132

398

3401218

010302

630926

BA

Siendo la matriz B de orden 3x2 , A de orden 2x3 la matriz que resulta al multiplicar BA

es de orden 3.

11


Matrices

Unidad 4

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

a) ACABCBA 1ra. Propiedad Distributiva

b) BCACCBA 2da. Propiedad Distributiva

c) CABBCA Propiedad Asociativa

Sin embargo,

d) BAAB En general no se cumple la propiedad conmutativa.

e) 0AB Esto no implica necesariamente que A = 0 ó B = 0

f) ACAB Esto no implica necesariamente que B = C

4.5.5 Potencia Entera Positiva de una Matriz Cuadrada

Sea ijaA una matriz cuadrada de orden “n”, luego si queremos obtener una potencia entera

positiva de dicha matriz cuadrada, sólo tenemos que multiplicarla por si misma tantas veces como

lo indique la potencia.

Ejemplos: Sea

101

210

112

A , entonces

112011011011110021

122110021110120120

112112011112110122

101

210

112

101

210

1122 AAA

213

412

1352A

AAA 23

213

412

135

101

210

112

348

818

0811

y así sucesivamente

IA 0

12


Matrices

Unidad 4

4.6 Tipos Especiales de Matrices

Una matriz cuadrada A cuyos elementos 0ija para ji se llama Matriz Triangular Superior.

Ejemplo:

44

3433

242322

14131211

000

00

0

a

aa

aaa

aaaa

A Los elementos debajo de la diagonal principal son cero.

Una matriz cuadrada A cuyos elementos 0ija para ji se denomina Matriz Triangular Inferior.

Ejemplo:

44434241

333231

2221

11

0

00

000

aaaa

aaa

aa

a

A Los elementos encima de la diagonal principal son cero.

La matriz que es a la vez triangular superior e inferior se identifica como Matriz Diagonal.

En esta matriz tenemos 0ija siendo i = j

Ejemplos

44

33

22

11

000

000

000

000

a

a

a

a

D

5000

0300

0040

0006

H

Matriz Escalar es una matriz diagonal donde se verifica que kaij 0 siendo k un escalar .

Ejemplo:

6000

0600

0060

0006

C

13


Matrices

Unidad 4

Matriz Unidad o Matriz Identidad es una matriz escalar donde el valor asignado a

k = 1

Se representa por “I”.

10

012I

100

010

001

3I

1000

0100

0010

0001

4I

10000

01000

00100

00010

00001

5I

La matriz unidad I es el elemento idéntico o neutro para la multiplicación de matrices.

Matrices Conmutativas y Anticonmutativas

Si A y B son dos matrices cuadradas y se verifica que BAAB , entonces dichas matrices se llaman

Conmutativas. En las condiciones anteriores, si A y B son tales que

BAAB , entonces las matrices A y B se llaman Anticonmutativas.

4.7 Matriz Traspuesta

La matriz traspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz tA , traspuesta de A, de orden nxm

obtenida intercambiando las filas por las columnas. Abreviadamente si:

mxnijaA , entonces

nxmji

t aA

Ejemplo

Si

52

63

41

A

564

231tA

Propiedades de la Matriz Traspuesta

Sean At y B

t, respectivamente, las traspuestas de las matrices A y B, “k” un escalar cualquiera, entonces

vale que:

1) AAtt

2) tttBABA

3) ttkAkA

4) tttABAB

14


Matrices

Unidad 4

Matriz Simétrica

Una matriz cuadrada A tal que At =A se llama Matriz Simétrica. Por tanto, en una matriz cuadrada

ijaA simétrica se verifica que jiij aa para todos los valores de “i” y de “j”.

Ejemplos:

653

542

321

A

101

034

142

B

A y B son matrices simétricas.

Matriz Antisimétrica (o hemisimétrica)

Es una matriz cuadrada A tal que AAt . Por tanto en una matriz cuadrada A antisimétrica se

verifica jiij aa , para todo valor de “i” y de “j”.

Evidentemente que los elementos de la diagonal principal deben ser nulos .

Ejemplo:

042

401

210

A

4.8 Matriz Inversa. Matrices Inversibles

Se dice que una matriz cuadrada A es inversible si existe una matriz B con la cual se satisfaga la

relación IBAAB , donde I es la Matriz Unidad. En estas condiciones, la matriz B se llama la

inversa de A y se escribe 1 AB (B es igual a la inversa de A ). Recíprocamente, la matriz A

es la inversa de B, y se puede escribir 1 BA .

Importante:

No todas las matrices poseen inversa, pero si la tienen, es única.

Ejemplo

Hallar la inversa de

11

32A

Una manera de hallar la inversa, consiste en suponer una matriz desconocida de orden igual a la que

se conoce, donde cada elemento es una incógnita a determinar, que se obtiene realizando un

producto matricial y posteriormente una igualdad de matrices, considerando la matriz unidad de

orden igual a la matriz dada.

15


Matrices

Unidad 4

Sea B la matriz inversa a determinar, 2I la matriz unidad a considerar.

dc

baB

10

012I

2IAB

11

32

dc

ba

10

01

10

013232

dbca

dbca

Planteando la igualdad de matrices:

1) 132 ca 3) 032 db

2) 0 ca 4) 1 db

Resolviendo simultáneamente 1 y 2:

De 2) a = c Sustituyendo en 1) 2a – 3a = 1 a = -1 c = -1

Resolviendo simultáneamente 3 y 4:

Multiplicando 4) por –3 y sumando con 3): 032 db

333 db

3b

b = 3 ;

23

32

3

2

bd

luego d = 2

Los valores determinados son los indicados a continuación a= -1, b=3, c= -1, d= 2

Entonces:

1

21

31

A

dc

baB siendo la matriz B la inversa de A

4.9 Dependencia Lineal de las Filas y las Columnas de una Matriz

Llamaremos combinación lineal de varias líneas (filas y columnas) de una matriz, a otra línea que

resulte de sumar sus elementos después de multiplicarlos por ciertos números llamados coeficientes;

con ello una línea (fila o columna) de una matriz se dice que es linealmente dependiente de otras

paralelas a élla cuando es una combinación lineal de éllas.

Por ejemplo, en la matriz A la tercera fila es linealmente dependiente de las dos primeras, pues

213 23 FFF

16


Matrices

Unidad 4

2543

5210

4321

A

F1 = ( 1 -2 3 4) 3F1 = ( 3 - 6 9 12)

F2 = ( 0 1 -2 -5) 2F2 = ( 0 2 - 4 -10)

F3 = ( 3 - 4 5 2 ) 3F1 + 2F2 = ( 3 - 4 5 2 ) = F3

En cambio , diremos que varias líneas paralelas son linealmente independientes ( o que no existe

una relación lineal entre éllas) cuando ninguna se puede expresar como combinación lineal de las

otras. Por ejemplo en la matriz B:

2540

5210

4321

B Sus tres filas son linealmente independientes

4.10 Rango o Característica de una Matriz

Viene dado por el máximo número de líneas (filas o columnas) linealmente independientes que

hay en una matriz. Si una línea de una matriz es combinación de otras paralelas a élla, al

suprimirla se obtiene otra matriz de igual característica.

4.11 Operaciones Elementales en Matrices

Son operaciones que se efectúan con las líneas (filas o columnas) de una matriz que no modifican

ni su orden ni su característica. Las tres operaciones elementales sobre líneas son:

1.- Intercambio de dos líneas (filas o columnas).

2.- Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar 0 .

3.- Suma de los elementos de una línea con los correspondientes de otra línea, luego de multiplicarlos

por un escalar . 0 .

4.12 Matrices Equivalentes

Dos matrices A y B se denominan equivalentes, A ~ B, si una de ellas se deduce de la otra como

consecuencia de de la aplicación de una o varias operaciones elementales de líneas. Las matrices

equivalentes tienen el mismo orden e igual característica.

17


Matrices

Unidad 4

4.13 Matrices Escalonadas

Una matriz está en la forma escalonada si se cumplen las condiciones siguientes:

1) Todas las filas que consisten únicamente de ceros (si existen) aparecen en la parte de abajo de

la matriz.

2) El primer número distinto de cero (si empezamos por la izquierda) en cualquier fila que no

consista únicamente de cero es igual a la unidad.

3) Si dos filas sucesivas no consisten únicamente de ceros, entonces el primer uno en la fila inferior

está más a la derecha que el primer uno de la fila superior.

Ejemplos de matrices en la forma escalonada:

100

510

321

A

1000

8210

4611

B

10

21C

2100

5201D

4.14 Matriz en la Forma Escalonada Reducida

Una matriz está en la forma escalonada reducida si se verifican las tres condiciones requeridas para

tener una matriz escalonada y además se cumple que:

“Cualquier columna que contenga el primer uno de una fila tendrá ceros en los demás lugares”.

La diferencia entre las dos formas es clara. En la forma escalonada todos los números que están abajo

del primer uno de una fila son cero. En la forma escalonada reducida todos los números que están arriba

y abajo del primer uno de una fila son cero. Así, la forma escalonada reducida es más exclusiva. Esto

es, cualquier matriz en forma escalonada reducida está en forma escalada pero no inversamente.

Ejemplo

Reduzca la siguiente matriz a la forma escalonada y escalonada reducida:

3

2

1

343

222

062

F

F

F

A

Para formar la matriz escalonada realizamos en la matriz A las operaciones elementales siguientes:

343

240

0312

1

3

21

1

F

FF

F

;

3502

110

031

34

1

31

2

1

FF

F

F

;

2

100

2110

031

5 32

2

1

FF

F

F

18


Matrices

Unidad 4

1002

110

031

2 3

2

1

F

F

F

Esta matriz está escalonada

100

010

031

21

3

23

1

F

FF

F

;

100

010

0013

3

2

12

F

F

FF

Esta matriz está en la forma escalonada reducida.

4.15 Determinación del Rango o Característica de una Matriz

El rango o característica de una matriz podemos obtenerlo expresando dicha matriz en su forma

escalonada mediante las operaciones elementales (matrices equivalentes). En ésta, el rango viene

dado por el número de filas que no consista únicamente de ceros, lo cual se corresponde con el

número de filas linealmente independiente de la matriz.

Ejemplos

Determine la característica en cada caso aplicando operaciones elementales.

1)

7621

5342

4121

A Para A escalonamos la matriz:

3500

61000

4121

31

231

1

FF

FFF

F

;

0000

61000

4121

2 32

2

1

FF

F

F

000010

6100

4121

101

3

2

1

F

F

F

Como la última fila es cero, entonces el rango de A es dos.

Por tanto, r(A) = 2

19


Matrices

Unidad 4

2)

5431

1532

2321

B Para B escalonamos la matriz:

3110

3110

2321

2

13

21

1

FF

FF

F

;

0000

3110

2321

32

2

1

FF

F

F

Como la última fila es cero, entonces el rango de B es dos (2)

4.16 Cálculo de la Inversa de una Matriz Cuadrada A aplicando las

Operaciones Elementales de Filas

Procedimento:

1) Escribir la matriz aumentada IA Utilizar las operaciones elementales para reducir la matriz A

a su forma escalonada reducida.

2) Decidir si la matriz A es invertible:

a) Si A puede ser reducida a la matriz identidad I, entonces la inversa de 1AA es la

matriz que está a la derecha de la barra vertical.

b) Si al aplicar las operaciones por filas se obtiene alguna fila de ceros a la izquierda de la

barra vertical, la matriz A no es invertible.

Ejemplo

Hallar la inversa de A, si :

421

331

321

A

Escribimos la matriz A y la matriz identidad de orden tres I3 , por ser A de orden tres.

100421

010331

001321

3

2

1

F

F

F

;

20


Matrices

Unidad 4

010010342211

000110332311

001321

13

12

1

FF

FF

F

101100

011010

001321

3

2

1

F

F

F

;

101100

011010

0002123022102

3

2

12

F

F

FF

101100

011010

023301

3

2

1

F

F

F

101100

011010

0320330300103

3

2

13

F

F

FF

101100

011010

326001

3

2

1

F

F

F

La matriz inversa es:

101

011

3261A

21


Matrices

Unidad 4

4.17 Ecuaciones con matrices.

a) En la ecuación matricial: A+X = B

donde A y B son matrices del mismo orden, podemos hallar la solución y dicha solución es

única si :

X = B + (-A)

X es una matriz de igual orden que los sumandos A, B.

b) Si la ecuación matricial es de la forma: AX= B

donde A y B existen, entonces X existe siempre que exista la inversa de la matriz A y

esté definido el producto de BA 1 .

BAAXA 11

En éste caso: BAX 1

Ejemplos. Resuelva las ecuaciones matriciales propuestas.

A) Hallar X en:

37

02

76

42X

Consideremos

dc

baX Reemplazando X en la ecuación matricial conocida tenemos:

37

02

76

42

dc

ba

37

02

76

42

dc

ba

Igualando los términos semejantes:

2-a = 2 a = 2-2 = 0

4-b = 0 b = 4

6-c =7 c = 6-7 = -1

7- d = 3 d = 7-3 = 4

Por lo que :

41

40

dc

baX

22


Matrices

Unidad 4

B)

54

23

37

25X

Consideremos

dc

baX Reemplazando X en la ecuación matricial conocida tenemos:

54

23

37

25

dc

ba Efectuando el producto de matrices:

54

23

3275

3275

dcdc

baba

Igualando los términos semejantes tenemos las ecuaciones:

5a+7b = 3 2a+3b = -2

5c+7d = 4 2c+3d = -5

Resolviendo simultáneamente las parejas de ecuaciones, hallamos a,b,c,d.

De este modo: 5a+7b = 3 Multiplicando por 2: 10 a +14b = 6

2a+3b = -2 Multiplicando por -5:-10 a - 15b = -10

--------------------

-b = - 4

Por lo que : b= 4

Reemplazando en : 2a+3b = -2 2 a + 3(4) = - 2

2 a + 12 = -2

Luego 2 a = -2 -12 = -14 a = - 72

14 , a = -7

De este modo: 5c+7d = 4 Multiplicando por 2: 10 c +14d = 8

2c+3 d =-5 Multiplicando por -5:-10 c – 15d = - 25

--------------------

- d = - 17

Por lo que : d= 17

Reemplazando en : 2c+ 3d = -5 2 c + 3( 17) = - 5

23


Matrices

Unidad 4

2 c + 51 = -5

Luego 2 c = - 5 - 51 = -56 c = - 282

56 , c = - 28

Por lo que la Matriz X es:

1728

47

dc

baX

24


Matrices

Unidad 4

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 1 . UNIDAD 4

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares

Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________

Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

I. A partir de las matrices conocidas, determine si es posible la operación planteada.

Justifique su respuesta.

541

132A

55

41

32

B

12

43C

632

132

045

D

651

403E

671

201F

1) DA 2) AD 62 3) CAB 4

4) DBA 3 5) 2A -3B – 5F = 6) FB=

7) BF= 8) ABC 42 9) 3C

10) CDtrABCtr 11) Compruebe si: tttBABA

12) La matriz X si: CABX t 32

13) Halle M a partir de: 320 xMA

II.

1) Busque el valor de K en: EKA 43

2) Determine la matriz N siendo NEF 32 igual a la matriz cero de orden 2x3

3) Encuentre X de modo que: FEAX 4532

25


Matrices

Unidad 4

III. Forme la matriz A de orden 4 cuyos elementos correspondan a lo que se indica:

a ii = 4 para i = 1, 2, 3, 4

a12 + a 21 = 3 a12 = -6

a13 – a 31 = 7 a13 = 8

a14 ( a 41 ) = -1 a14 = 5

a24 + a 42 = - 3 a24 = 9

a34 – a43 = 7 a34 = -7

a23(a32 ) = 12 a23 = - 3

IV. A partir de

122

212

221

W compruebe si se verifica que: 0542 IWW

V. Halle X en cada caso.

a) XtrI 223

45

13

42

43

21

43

24

15

311

56246

b) X

t

13

42

43

21

43

20

15

311

5023

61

542

2

c)

421

331

321

431

341

331

3

2

4

X

d)

5

4

6

28198

27208

24177

X

26


Matrices

Unidad 4

VI. En cada matriz complete lo que se solicita. Obtenga la inversa mediante la

realización de operaciones elementales

Matriz Dada Matriz / I Matriz

Escalonada

Matriz Inversa Rango

1)

87

42A

2)

123

312

111

B

3)

653

321

542

C

4)

312

625

311

D

27


Matrices

Unidad 4

AUTONOMA DE SANTO DOMINGO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

ALGEBRA SUPERIOR. MAT– 230

PRACTICA PROPUESTA No. 2 . UNIDAD 4

Preparado por: Prof. Rosa Cristina De Pena Olivares Matricula ________________ Nombres-Apellidos ______________________________________ Grupo No. ______ Sección No. ______ Fecha de entrega_____________________

Encierre en un círculo la expresión que haga cierto lo que se

plantea en cada caso. 1. ¿Cómo se indica el orden de una matriz? Escribiendo el número de:

a) Filas b) Columnas x el de filas c) Filas x el de columnas d) Filas entre columnas

2. Una matriz es cuadrada cuando:

a)Todos sus elementos son pares b) Sus elementos son cuadrados de números

c) Número de filas es igual al de columnas d) a y b son correctas

3. La suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada se identifica como:

a) Matriz Traspuesta b) Matriz escalar c) Matriz nula d) Traza

4. Cuando realizamos Intercambio de líneas, producto de un escalar por una línea de una matriz y/o

adición de líneas nos referimos a:

a) Propiedades de las matrices b) Operaciones elementales entre matrices

c) Característica de una matriz d) Equivalencia de matrices

5. Al multiplicar una matriz cuadrada por su inversa obtenemos:

a) Una matriz escalonada b) Una matriz nula c) La matriz unidad d) El rango de una matriz

6. Es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas:

a) Igualdad de matrices b) Traspuesta c) Notación d) Una matriz

7. ¿ Cuál es la traspuesta de la matriz 𝐴 = [1 −43 62 5

]?

a) [−−1 43 −6

−2 −5] b) [

−1 −3 −24 −6 −5

] c) [1 3 2

−4 6 5] d) [

1 6 5−4 3 2

]

28


Matrices

Unidad 4

8. Una matriz cuadrada A tal que 𝐴𝑡 = 𝐴 se llama matriz:

a) Traspuesta b) Unidad c) Escalar d) Simétrica

9. El producto de dos matrices de orden 2x3 y 3x3 produce una matriz de orden:

a) 2x3 b) 2x2 c) 3x2 d) 3x3


a) 2x3 b) No es posible c) 3x2 d) 3x3


a) 2x3 b) 3x2 c) 3x3 d) No es posible

12. Dos matrices A, B se denominan equivalentes si una de ellas se deduce de la otra como

consecuencia de :

a) La aplicación de una o varias operaciones elementales entre líneas

b) La adición de un escalar a sus líneas c) Matriz escalonada d) Ninguna de las anteriores

13. ¿Cuál es la traspuesta de la matriz 𝐴 = [2 3 61 5 8

]?

a) [2 83 62 5

] b) [−2 −1−3 −5−6 −8

] c) [1 5 82 3 6

] d) [2 13 56 8

]

14. Para escalonar una matriz las operaciones a realizar pueden ser:

a) Producto (o división) de todos los elementos de una línea por su escalar.

b) Adición o sustracción de filas .

c) Intercambio de dos líneas (filas o columnas).

d) Todas las anteriores son correctas.

15. Una matriz diagonal donde se verifica que 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑎𝑖𝑖 = 𝑘 siendo k un escalar es

una matriz:

a) Escalonada b) Anti simétrica c) Simétrica d) Escalar

16. Una matriz diagonal donde se verifica que 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑎𝑖𝑖 = 𝑘 siendo k un escalar es

una matriz:

a) Unidad b) Anti simétrica c) Simétrica d) Escalonada

17. Es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en filas y columnas.

a) Suma de matrices b) Matriz traspuesta c) Rango o característica de una matriz d) Matriz

18. Si A es de orden PxN y B de orden NxP, entonces la matriz C es de orden P en la

operación matricial de:

a) Multiplicación b) Adición c) Diferencia d) b y c son correctas

29


Matrices

Unidad 4

19. Si A es una matriz de orden PxN, B es una matriz de orden NxQ entonces la matriz

C = AxB es de orden:

a) PxN b) NxQ c) PxQ d) a y b son correctas

20. Si A es una matriz de orden PxN, B es una matriz de orden NxQ entonces la operación

matricial a realizar es:

a) Multiplicación b) Adición c) Diferencia d) b y c son correctas

21. Para que dos matrices A y B sean iguales se debe cumplir que:

a) A tiene el mismo orden de B. b) A y B deben ser iguales.

c) Cada elemento de A debe ser igual al elemento de B simbólicamente.

d) a y c son correctas.

22. La propiedad simétrica de las matrices indica que:

a) A=A b)[A=B] ^[B=C] → [A=C] c)[A=B] ]↔[B=A] d)[A=B]

23. La propiedad distributiva de la multiplicación de matrices establece que:

a) (A+B)C = AC + BC b)A(B+C) = AB + AC c) A(BC) = (AB)C d)a y b son correctas

24. La matriz que a la vez es triangular superior e inferior se identifica como Matriz:

a) Escalar. b) Idéntica. c) Diagonal. d) Traspuesta.

25. La matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son igual a cero es la matriz :

a) Diagonal superior. b) Diagonal inferior. c) Diagonal. d) Inversa.

26. ¿Cuándo una matriz es cuadrada?

a) Si el número de filas es igual al número de columnas

b) Si la suma de los elementos de la diagonal principal es 2

c) Si el resultado de cualquier operación matricial es igual a 4

d) Si el número de columnas difiere del número de filas

27. Siendo 𝐴 = [4 2 31 5 6

] 𝐵 = [1 2 30 2 4

] entonces A+B =?

a) [3 0 11 7 6

] b) [1 7 105 4 6

] 𝑐) [5 4 61 7 10

] d) [−3 0 0−1 −3 −2

]

28. Si una matriz tiene cuatro filas y dos columnas su orden es:

a) mxn b) 2x4 c) 4x3 d) 4x2

29. ¿Cuál de las siguientes matrices esta escalonada?

a) [7 2 30 5 71 3 6

] b) [1 2 30 5 71 3 6

] c) [1 2 30 1 70 1 6

] d) [1 2 30 1 50 0 1

]

30


Matrices

Unidad 4


𝑎) [1 2 30 1 50 0 5

] b) [1 2 30 5 71 3 6

] c) [1 2 30 1 70 0 1

] d) [1 2 30 0 10 1 7

]


𝑎) [2 21 5

] b) [1 20 1

] c) [1 20 5

] d) [0 51 2

]


𝑎) [1 60 10 4

] b) [1 20 1

] c) [1 20 5

] d) [0 51 2

]

33. Una matriz diagonal es:

a) Una matriz cuadrada cuyos elementos son cero

b) Es aquella que viene dada por el máximo número de filas o columnas

c) Es una matriz escalar donde k = 1

d) Una matriz cuadrada cuyos elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 y 𝑎𝑖𝑖 = 𝑘

34. La traza de la matriz [1 7 105 4 6

] es:

a) 7 b) 8 c) 11 d) Ninguna de las anteriores

35. La traza de la matriz [1 7 105 4 6

] es:

a) 15 b) 7 c) No es posible d) 11

36. La traza de la matriz [1 2 34 5 69 8 9

] es:

a) 17 b) 15 c) 14 d) 18

37. El orden de la matriz dada [2 4 62 4 88 4 2

866

] es:

a) 4x3 b) 4x4 c) 3x4 d) Todas son correctas


866

] es:

a) 4x3 b) No posee c) 3x4 d) Todas son correctas


866

] es:

a) 4x3 b) 4 c) 3 d) Todas son incorrectas

31


Matrices

Unidad 4

40. El orden de la matriz [1 2 34 5 69 8 9

] es:

a) 4 b) 3x3 c) 3 d) b y c son correctas

41. Dos matrices son iguales si:

a) A tiene el mismo orden de B b) Su determinante es cero

c) Cada elemento de A es igual al correspondiente de B d) a y c son correctas

42. Cuando nos referimos a la traspuesta entre matrices respecto al producto se cumple:

a) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡𝐵𝑡 b) (𝐴𝐵)𝑡 = (𝐵𝐴)𝑡 c) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡 d) Ninguna de las anteriores

43. Por qué la suma de matrices es una operación conmutativa? Por ser:

a) Números reales los sumandos b) Una función

c) Espacio Vectorial d) Ninguna de las anteriores

44. Dos matrices A, B son iguales si y solo si:

a) A es la opuesta de B b) Cada elemento de A es igual al correspondiente de B

c) A es diferente de B

d) Cada elemento de A es igual al opuesto que le corresponde en B.

45. El producto de una matriz por un escalar es:

a) Un escalar b) Una matriz c) Una función d) Una ecuación

46. La matriz que es simultáneamente triangular superior e inferior se identifica como matriz:

a) Traspuesta b) Diagonal c) Inversa d) a y b son correctas

47. La matriz Identidad es una matriz:

a) Diagonal b) Cuya traza es uno c) Es una matriz escalar donde k es uno d) ay b son correctas

48. El resultado de sumar las matrices [3 21 4

] + [2 46 8

] es:

a) [4 82 3

] b) [6 87 32

] c) [5 67 12

] d) [18 2826 16

]

49. El resultado de multiplicar las matrices [3 21 4

] + [2 46 8

] es:

a) [4 82 3

] b) [6 87 32

] c) [5 67 12

] d) [18 2826 16

]

50. Si decimos que en dos matrices [A=B] y [ B=A] estamos indicando que se cumple la propiedad:

a) Reflexiva b) Transitiva c) Simétrica d) Ninguna de las anteriores

51. De acuerdo a la matriz dada: [2 48 12

] Cuál es la traza?

a) 12 b) -14 c) 14 d) -12

52. El rango de la matriz [1 3 31 4 32 6 6

] es:

a) Dos b) Tres c) Uno d) Ninguna de las anteriores

32


Matrices

Unidad 4

53. El rango de la matriz [1 3 31 4 31 3 4

] es:

a) Dos b) Tres c) Uno d) Ninguna de las anteriores

54. El producto de las matrices [2 33 2

] [3 22 3

] es:

a) [13 1212 13

] b) [12 1313 12

] c) [12 1212 12

] d) [12 1312 13

]

55. Sumar las matrices [2 45 3

] y [1 −25 −6

] es:

a) [1 20 −3

] b) [3 2

10 −3] c) [

2 −825 −18

] d) [22 −2820 −28

]

56. Multiplicar las matrices [2 45 3

] y [1 −25 −6

] es:

a) [1 20 −3

] b) [3 2

10 −3] c) [

2 −825 −18

] d) [22 −2820 −28

]

57. De acuerdo a las operaciones de matrices 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 es igual a:

a) 𝐴𝑡 + 𝐵 b) A+B c) (𝐴 + 𝐵)𝑡 d) (𝐴𝑡 + 𝐵𝑡)𝑡

58. Es una propiedad de la matriz traspuesta:

a) A(B+C) = AB +AC b) AB = 0 c) (𝐴𝑡)𝑡 d) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 𝐵𝑡

59. Es una propiedad de la matriz traspuesta:

a) A(B+C) = AB +AC b) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 𝐴𝑡 c) AB = 0 d) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 𝐵𝑡

60. Es un arreglo rectangular de elementos que se obtiene intercambiando filas por columnas:

a) Igualdad de matrices b) Traspuesta c) Notación d) Una matriz unidad

61.El producto de dos matrices de orden 2x3 y 3x2 produce una matriz de orden:

a) 2x3 b) 2x2 c) 3x2 d) 3x3

62. La matriz cuyos elementos por encima de la diagonal principal son igual a cero es la matriz :

a)Diagonal superior. b) Diagonal inferior. c) Diagonal. d) Inversa.

63. ¿Cuál de las siguientes matrices no está escalonada?

𝑎) [7 2 30 5 71 3 6

] b) [1 5 30 1 70 0 1

] c) [1 −2 30 1 −70 0 1

] d) [1 2 30 1 50 0 1

]


𝑎) [1 2 30 1 50 0 1

] b) [1 2 30 5 71 3 6

] c) [1 −2 −30 1 00 0 1

] d) [1 2 30 1 10 0 1

]

33


Matrices

Unidad 4


𝑎) [2 21 5

] b) [1 20 1

] c) [1 −20 1

] d) [1 50 1

]


𝑎) [1 60 10 4

] b) [1 20 1

] c) [1 10 1

] d) [1 −10 1

]

34


Matrices

Unidad 4

Cuestionario No. 4

Después de leer cada pregunta planteada, indique correctamente la respuesta que

corresponde a cada una.

1. ¿Qué es una matriz?

2. ¿Cuándo decimos que dos matrices son equivalentes?

3. ¿Qué característica requieren dos o más matrices para efectuar entre ellas la

adición y /o sustracción?

4. Enumere las operaciones elementales que podemos efectuar en matrices.

5. ¿Cuándo decimos que una matriz es simétrica de otra?

6. ¿Qué característica requieren dos matrices A,B para efectuar entre ellas un pr

oducto.

7. Siendo A,B matrices que se pueden multiplicar, si AB difiere de BA a que

nos referimos?

8. Defina rango de una matriz.

9. Siendo A,B dos matrices, ¿cuándo decimos que B es la inversa de A ?

10. Podemos decir que todas las matrices poseen inversa?

11. Ponga un ejemplo acerca del uso de matrices.

35


Matrices

Unidad 4

Bibliografía Consultada

Poole, David (2006). Algebra Lineal. Una introducción moderna. (Segunda edición). Mexico: Thomson Learning Iberoamerica. Grossman, Stanley I. ( 1996). Algebra Lineal. (Quinta edición). Mexico: MacGraw-Hill Interamericana. Zill, Dennis G.; Dewar, Jacqueline M. (1999). Algebra y Trigonometria. ( Segunda edición actualizada). Colombia: McGraw-Hill. Interamericana S. A. Féliz Lebreault, Rubén. (2007). Algebra y Análisis Matricial. (Primera edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Serie Multitexto. Báez Veras, José Justo; De Peña Olivares, Rosa Cristina.(2010). Manual de Prácticas (Décima edición). República Dominicana: Editora Universitaria UASD. Notas de Cátedra de: Mateo, Tulio; De Peña, Rosa. (2007). Curso de Algebra Superior. Navarro Peña, Tomás Darío. (2008).Apuntes de Algebra Superior. Direcciones Electrónicas: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/index.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices_jgrb/matrices_intro.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/index.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/index.htm

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http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/index.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica

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