1.4 FACTORES DE INTERS Y SU EMPLEO: FACTOR DE PAGO NICO, FACTOR VALOR PRESENTE, FACTOR VALOR FUTURO, FACTOR DE SERIE UNIFORME, FACTOR DE GRADIENTE

Factor de pago nico (F/P y P/F) Permite la determinacin de cantidades futuras de dinero F (valor futuro) que se acumulan despus de n(nmero de periodos de inters) aos a partir de una inversin nica P (valor presente) con un inters compuesto una vez anualmente (o por periodo). Si una suma de dinero P se invierte en algn momento t=0, la suma de dinero F, que se habr acumulado en un ao a partir del momento de la inversin a una tasa de inters i por ciento anual ser: F1 = P + Pi = P (1 + i) Al final del segundo ao, la suma de dinero acumulada F2 es la cantidad acumulada despus del ao 1 ms el inters desde el final del ao 1 hasta el final del ao 2. Por tanto:

F2 = F1 + F1 i = P (1 + i) + P (1 + i) i Lo cual puede escribirse como: F2 = P (1 + i + i + i2) = P (1 + 2i + i2) = P (1 + i)2 En forma similar, la cantidad de dinero acumulada al final del ao 3, utilizando la ecuacin anterior ser: F3 = F2 + F2 i F3 = P (1 + i) 3 La frmula se generaliza para n aos as: F = P (1 + i)n

El factor (1 + i)n se denomina factor de cantidad compuesta de pago nico (FCCPU) pero

se conoce como factor F/P. Este es el factor de conversin que, cuando se multiplica por P,

produce la cantidad futura F de una inversin inicial P despus de n aos con la tasa de inters i. Nota: F/P significa encuentre F cuando P est dado. Para calcular una cantidad P dada una cantidad F ocurriendo n periodos en el futuro queda: Despejando P P = F 1 . (1 + i) n P = F (1 + i)-n

La expresin en corchetes se conoce como factor de valor presente de pago nico (FVPPU) o el factor P/F. Tal expresin determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, despus de n aos con una tasa de inters i. Estas frmulas son frmulas de pago nico; es decir, son utilizadas para encontrar la cantidad presente o futura cuando solamente hay un pago o entrada.

Se adopt una notacin estndar para todos los factores. La notacin incluye dos smbolos de flujo de efectivo: tasa de inters y nmero de periodos. Siempre est en la forma general (X/Y, i, n). La literal X representa lo que se busca, mientras que la literal Y representa lo que est dado.

Factores de valor presente y de recuperacin de capital para

series uniformes (P/A y A/P)

Permite la determinacin de cantidades presentes de dinero P conociendo el valor de A para n aos (o periodos) con un inters compuesto anual o viceversa. La frmula es:

P = A (1+i)n -1 i0 i(1+i)n El trmino entre corchetes es el factor de conversin llamado Factor de Valor Presente de Serie Uniforme (FVPSU). Se trata del factor P/A con que se calcula el valor P equivalente en el ao 0 para una serie uniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final del periodo 1 y se extienden durante n periodos. El diagrama de flujo se muestra de la siguiente manera: Diagrama de flujo para determinar P, dada una serie uniforme de A

P=?

Para invertir la situacin, se conoce el valor presente P y se busca la cantidad equivalente A de serie uniforme. El primer valor A ocurre al final del periodo 1, es decir, un periodo despus que P ocurre. Se despeja A de la ecuacin anterior:

El trmino entre corchetes se denomina Factor de Recuperacin de Capital (FRC), o Factor A/P. Con l se calcula el valor anual uniforme equivalente A durante n aos de una P dada en el ao 0, cuando la tasa de inters es i.

Diagrama de flujo para determinar A, dado un valor presente de P. P=dado

Factor de fondo de amortizacin y factor de cantidad compuesta

para una serie uniforme (A/F y F/A) La frmula es:

La expresin entre corchetes de la ecuacin es el factor de fondo de amortizacin o A/F, el

cual determina la serie de valor anual uniforme equivalente a un valor futuro determinado F.

Diagrama de flujo para determinar A, dado F

Como podemos ver en la figura la serie uniforme A se inicia la final del ao 1 y contina a lo largo del periodo de la F dada. El ltimo valor de A y F ocurre al mismo tiempo.

Para encontrar el valor F dado A, se utilizar la frmula siguiente:

La expresin entre corchetes se denomina factor de cantidad compuesta de una serie

uniforme (FCCSU) o factor F/A. Cuando se multiplica por la serie anual uniforme A dada,

produce el valor futuro de la serie uniforme.

Diagrama de flujo para encontrar F, dado A

Recordemos que la cantidad futura F ocurre durante el mismo periodo que la ltima A.

Factor de gradiente aritmtico (P/G y A/G) Un gradiente aritmtico es una serie de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en una cantidad

constante en cada periodo. La cantidad del cambio se llama gradiente. Un ejemplo ser cuando

se pronostica que el costo de mantenimiento de una mquina aumentar $1,000.00 por ao hasta que termine su vida til. La serie de flujo de efectivo para el mantenimiento involucra un gradiente constante de $1,000.00 por ao. De igual forma si una empresa espera que sus ingresos disminuyan $500,000 anuales durante los prximos 5 aos, el ingreso decreciente representa un gradiente negativo por una suma de $500,000 anuales. El valor G puede ser positivo o negativo.

Se puede presentar el caso en el que al final del ao 1 exista una cantidad base de la serie de flujo de efectivo, por lo que no forma parte de la serie del gradiente. Por ejemplo, si una persona compra un automvil usado con garanta de un ao, se espera que durante el primer ao solo pagar gasolina y el seguro. Suponga que el costo ser de $2,500; es decir, esto ser la cantidad base. Despus del primer ao se debe solventar el costo de las reparaciones, y se esperan que los costos aumenten cada ao por $200.

En el siguiente diagrama se ver representado este caso.

Ejemplo: La compaa de Vinos y Licores del Centro SA de CV espera obtener ingresos por $4, 000,000 el prximo ao, sin embargo con el lanzamiento de una nueva bebida sus ventas aumentarn de manera uniforme hasta llegar a $11, 000,000 en 5 aos. Determine el gradiente y construya el diagrama de flujo de efectivo.

Solucin Cantidad base = $4, 000,000 Ganancia en recaudos en 5 aos = $11, 000,000 - $4, 000,000 = $7, 000,000 Gradiente = Ganancia / n-1 =$7, 000,000 5-1 =$1, 750,000 anual Diagrama de flujo de efectivo

El valor presente total PT para una serie que incluya una cantidad base A y un gradiente aritmtico convencional debe tomar en cuenta el valor presente tanto de la serie uniforme definida por A como de la serie del gradiente aritmtico. La suma de los dos resultados hace que

PT = PA PG Donde PA es el valor presente de la serie uniforme nicamente. PG es el valor presente de la serie del gradiente, y el signo + o se utiliza para un gradiente que aumento o disminuya respectivamente. El valor equivalente que corresponde, AT es la suma del valor de la serie de la cantidad base AA y el valor de la serie de gradiente AG.

AT = AA AG

En el presente tema se obtienen tres factores de gradientes aritmticos: El factor P/G para el valor presente, el factor A/G para la serie anual y el factor F/G para el valor futuro. Las frmulas son las siguientes:

Para el factor P/G

Esta ecuacin es la relacin general para convertir un gradiente aritmtico G (sin incluir cantidad base) para n aos en un valor presente en el ao 0. El factor de valor presente de gradiente aritmtico o factor P/G, puede expresarse de dos formas:

Para el factor A/G (serie anual)

La expresin entre corchetes se denomina factor de gradiente aritmtico de una serie uniforme y se identifica por (A/G,i,n) Ejemplo: La factura de servicios de un pequeo centro de reciclaje de papel ha estado aumentando en $428 anual. Si el costo de los servicios en el ao 1 fue de $3,000, cul es el valor anual uniforme equivalente hasta el ao 8 si la tasa de inters es 15% anual? Realiza el diagrama de flujo AG = 428 AG = 428 (2.7813) AG = $1, 190.39 Utilizando el factor A/G en la tabla de factores del 15 %, tenemos: AG = 428 (2.7813) = $1, 190.39