Upload
denisovgab
View
131
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
5/12/2018 Unitatea 1_Numere complexe - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/unitatea-1numere-complexe 1/6
Numere complexe
1Matematici speciale I – Curs şi aplicaţii
Unitatea de învăţare nr. 1
Numere complexe
Cuprins Pagina
Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 2
1.1 Forma numerelor complexe 2
1.2 Operaţii cu numere complexe 3
Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 1 5
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 5
Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 1 6
5/12/2018 Unitatea 1_Numere complexe - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/unitatea-1numere-complexe 2/6
Numere complexe
2Matematici speciale I – Curs şi aplicaţii
OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 1
Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 1 sunt:
• Înţelegerea noţiunilor de număr complex, funcţiecomplexă • Scrierea unui număr complex sub formă algebrică,
trigonometrică şi exponenţială
1.1 Forma numerelor complexe
Mulţimea numerelor complexe a apărut din necesitatea extinderii noţiunii de număr,având ca punct de pornire mulţimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaţie de gradul n
să aibă n soluţii în noua mulţime.
Fie R corpul numerelor reale. Pe mulţimea =×= R R R 2 {(x,y ) / x , y ∈R}, produsul
cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaţiile de adunare şi înmulţire astfel:
),(),(),(21212211
y y x x y x y x ++=+
),(),(),(212121212211 x y y x y y x x y x y x +−=⋅
Definiţia 1.1. Mulţimea 2 R înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire definite mai sus
formează corp, numit corpul numerelor complexe , ale cărui elemente se numesc numere
complexe: ),,(2 ⋅+= RC
Definiţia 1.2. Forma algebrică a unui număr complex este: iy x z += , R y x ∈,
Observaţie: iy x z −= se numeşte conjugatul lui z .
Definiţia 1.3. Forma trigonometrică a numărului complex z este: ( ),sincos α α ρ i z +=
unde modulul ρ şi argumentul α sunt date de relaţiile:
,)(222
1
y x z z z +=⋅== ρ
ρ α
xarccos= sau
ρ α
yarcsin= sau
x
yarctg=α
Definiţia 1.4. Forma exponenţială a numărului complex z este: α
ρ i
e z ⋅=
5/12/2018 Unitatea 1_Numere complexe - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/unitatea-1numere-complexe 3/6
Numere complexe
3Matematici speciale I – Curs şi aplicaţii
Definiţia 1.5. Două numere complexe )sincos( 1111α α ρ i z += şi )sin(cos 2222
α α ρ i z += sunt
egale dacă21
ρ ρ = şi Z).(k ;221 ∈+= π α α k
Aplicaţii:
1. Determinaţi valorile întregi ale lui n pentru care puterile numărului:( )
n
i+
1 sunt reale.
( )n
in
ei z
=+= 4
121
π
Rezolvare:
k nk nn
zk
4404
sin
1,3k 0Im
=⇒=⇔=
==
π π π
Test de autoevaluare 1.1
1. Determinaţi valorile întregi ale lui n pentru care puterile numărului:
)i+3 sunt reale.
2. Ce reprezintă mulţimea soluţiilor ecuaţiei ?1042 =++− i zi z
1.2 Operaţii cu numere complexe
Oricare ar fi111
iy x z += ,222
iy x z += , C iy x z ∈+= sunt verificate următoarele proprietăţi: .
1. )(212121
y yi x x z z ±+±=±
2. )( 1221212121 y x y xi y y x x z z ++−=⋅
3.2
2
2
2
21122121
2
1 )( y x
y x y xi y y x x z z
+
−++=
4. ( )21
2121
α α ρ ρ
+⋅=⋅ ie z z
5. ( )21
2
1
2
1 α α
ρ
ρ −
⋅=i
e z
z
6. .1-n0,k ,1
z ;
2
n111
1 =⋅=⋅=+
n
k i
innn e
n
e z
π α
α ρ ρ
5/12/2018 Unitatea 1_Numere complexe - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/unitatea-1numere-complexe 4/6
Numere complexe
4Matematici speciale I – Curs şi aplicaţii
7.2121z z z z +=+ ,
2121z z z z ⋅= , z z =
8. Re z =2
z z +, Im z =
i
z z
2
−
9.2
z z z =⋅ ,2
1
z
z
z= , z ≠ 0 , nn z z = , ∀n N ∈
10. z z = , z z ⋅=⋅ α α , z z −= , ∀ R∈α
11. 2121 z z z z ⋅= ,2
1
2
1
z
z
z
z= , ∀ 2
z ≠ 0 , 2121 z z z z +≤+
12. .2
z z z =
Aplicaţii:
1. Dacă ,2,,...,2,1, ≥== nnir zi arătaţi că
( )( ) ( ) R z z z
z z z z z z E n
n∈+++=
......
21
13221
( )( ) ( ) E
r
z z z
z z z z z zr
z z z
z z z z z z E
n
n
n
n
n
n =
+
+
+=
+++=
2
21
13221
2
21
13221 ...11...
1111
...
...
Rezolvare:
Deci E E = implică R E ∈ .
Test de autoevaluare 1.21. Completaţi spaţiul liber:
Dacă111
iy x z += şi222
iy x z += atunci2
2
2
2
211221
2
1 )(....
y x
y x y xi x x
z
z
+
−++=
2. Să se se arate că în C are loc identitatea:
2
2
2
1
2
21
2
21111 z z z z z z ++=−++
5/12/2018 Unitatea 1_Numere complexe - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/unitatea-1numere-complexe 5/6
Numere complexe
5Matematici speciale I – Curs şi aplicaţii
De reţinut!
• forma algebrică a numerelor complexe
• forma trigonometrică a numerelor complexe
• forma exponenţială a numerelor complexe • operaţiile cu numere complexe
Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 1
1. Determinaţi valorile întregi ale lui n pentru care puterile numărului:
( )n3i-1 sunt reale.
2. Să se se arate că în C are loc identitatea:
2121
2
21
2
2
2
1z z z z z z z z ++−=+
Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testelede autoevaluare
Test de autoevaluare 1.1
1. k nn
606
sin =⇒=π
2. Elipsa cu focarele în z = 2i şi z = 4i.
Test de autoevaluare 1.2
1.21
y y
2. Se foloseşte relaţia .2
z z z =
5/12/2018 Unitatea 1_Numere complexe - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/unitatea-1numere-complexe 6/6
Numere complexe
6Matematici speciale I – Curs şi aplicaţii
Recapitulare• Forma algebrică a unui număr complex este: iy x z += , R y x ∈,
• Forma trigonometrică a numărului complex z este: ( )α α ρ sincos i z
+=
• Forma exponenţială a numărului complex z este: α ρ
ie z ⋅=
Bibliografie1. Ioan–Mircea Popovici, Matematici speciale (pentru ingineri şi economişti),Editura Nautica, Constanţa, 2005
2. I.M. Popovici, D. Popovici, M. Dumitru, A. Costea, Capitole de matematici:Speciale, probabilităţi şi statistică, Editura Nautica,Constanţa, 2007 3. I.M. Popovici, E. Constantinescu, F. Memet, D. Popovici, Şt. Szabo,D.M. Popovici, Probleme de matematici speciale, 19984. R. Cristescu, Matematici superioare , Editura Didactică şi Pedagogică,Bucureşti, 1976.