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universidad complutense de madrid dimensión assouad-nagata y la

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    UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

    FACULTAD DE CIENCIAS MATEMTICAS Departamento de Geometra y Topologa

    DIMENSIN ASSOUAD-NAGATA Y LA GEOMETRA A GRAN ESCALA DE GRUPOS

    NUMERABLES.

    MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR

    PRESENTADA POR

    Jos Manuel Higes Lpez

    Bajo la direccin de los doctores

    Jerzy Dydak Jos Manuel Rodrguez Sanjurjo

    Madrid, 2009

    ISBN: 978-84-692-8446-9

  • Dimensin de Assouad-Nagata y la geometra agran escala de grupos numerables

    Memoria presentada para optar al grado de doctor

    Jos Manuel Higes Lpez

    Departamento de Geometra y Topologa.

    Facultad de CC.Matemticas.

    Universidad Complutense de Madrid.

    Directores:

    Jerzy Dydak

    University of Tennessee.

    Jos Manuel Rodriguez Sanjurjo.

    Universidad Complutense.

  • 2

  • ndice general

    Agradecimientos i

    Introduccin iii

    Preliminares xi

    0.1. Definiciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

    0.2. Propiedades elementales de las dimensiones . . . . . . . . . . . . . . xx

    0.3. Definicin de conos asintticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi

    0.4. Algunas propiedades geomtricas de los grupos . . . . . . . . . . . . xxii

    1. Propiedades de la dimensin de Assouad-Nagata 1

    1.1. Dimensin microscpica y macroscpica . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2. Espacios de dimension cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.1. Espacios ultramtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.2. Dimensin de Assouad-Nagata y Espacios Ultramtricos . . 12

    1.2.3. Espacios de Dimension Uniforme nula . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2.4. Ejemplos de espacios ultramtricos no equivalentes a granescala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.3. Dimensin de Assouad-Nagata y extensiones Lipschitz . . . . . . . . 18

    1.3.1. Esferas como extensores Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.3.2. Dimension de Assouad-Nagata y extensiones Lipschitz . . . 23

    2. Dimensin de Assouad-Nagata e invariantes a gran escala 27

    2.1. Dimensin de Assouad-Nagata y conos asintticos . . . . . . . . . . 29

    3

  • 2.1.1. Dimension de Assouad-Nagata y una propiedad de Nagata . 292.1.2. Aplicaciones con fibras mtricamente paralelas . . . . . . . . 302.1.3. Dimension topolgica de conos asintticos . . . . . . . . . . 342.1.4. Cotas inferiores para la dimensin de Assouad-Nagata . . . . 35

    2.2. Dimensin de Assouad-Nagata y otras propiedades geomtricas . . . 38

    3. Dimensin de Assouad-Nagata de grupos numerables 45

    3.1. Grupos localmente finitos y dimension de Assouad-Nagata . . . . . 483.2. Dimensin de Assouad-Nagata del grupo discreto de Heisenberg . . 563.3. Grupos nilpotentes y dimensin de Assouad-Nagata . . . . . . . . . 583.4. Dimensin de Assouad-Nagata de espacios tipo rboles . . . . . . . 62

    3.4.1. Funciones coloreantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4.2. Algunas propiedades de los espacios tipo-rbol . . . . . . . . 643.4.3. Demostracin del teorema de dimensin para espacios tipo-

    rbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5. Grupos con conos ultramtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    4. Clasificacin a gran escala de grupos numerables 75

    4.1. Clasificacin de los grupos localmente finitos . . . . . . . . . . . . . 794.2. Clasificacin de los grupos numerables abelianos . . . . . . . . . . . 84

    4.2.1. Mtricas invariantes en espacios homogneos . . . . . . . . . 844.2.2. Un resultado de seleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2.3. Cuasi-centralizadores y grupos-FC . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.4. Propiedades a gran escala de las operaciones de grupo . . . . 934.2.5. Dos teoremas de factorizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.6. Grupos localmente finitos-por-abelianos . . . . . . . . . . . . 984.2.7. Demostracin del teorema principal . . . . . . . . . . . . . . 1014.2.8. Embebimientos en grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . 1034.2.9. Embebimientos cuasi-isomtricos en grupos abelianos . . . . 1054.2.10. Grupos no-distorsionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.11. Grupos equivalentes a grupos abelianos . . . . . . . . . . . . 112

    4

  • Agradecimientos

    A los pocos meses de empezar mis estudios de doctorado tuve la sensacin deque no iba a poder escribir nunca una tesis. Estoy seguro de que esa sensacinse hubiera convertido en realidad sin la ayuda de mucha gente a la que estoyprofundamente agradecido.

    Gracias a mi familia, a mis padres y a mi hermana. Siempre me apoyaron (y meapoyan) incondicionalmente y siempre me animaron y ayudaron a superar todoslos obstculos por difciles que fueran. S que siempre puedo contar con ellos.

    Gracias a mis directores de tesis, Jurek Dydak y Pepe Sanjurjo.

    Thanks to Jurek Dydak because one day he accepted to be the advisor of astudent that lived far away. Because his hospitality in Knoxville was very bigand because he guided all my mathematical steps wisely. Thanks to him I havereached goals that I never thought I could reach. For all his help during theseyears: Muchas gracias, Jurek!

    Gracias a Pepe Sanjurjo por su infinita paciencia. Por todos sus consejos estosaos, matemticos y no matemticos, que tienen para m un valor incalculable.

    Gracias al profesor Jos M. Montesinos porque me present a Jurek y me animpara que hiciera la tesis con l. Gracias por transmitir la belleza de las matemticasy estar dispuesto a escucharme en todo momento.

    Gracias a mis abuelas. Una por prestarme su casa dnde resolv varios pro-blemas matemticos, otra por cocinar cada domingo el bizcocho que inspira lasmejores matemticas.

    Gracias a mis amigos Ana, Carlos, Jorge, Ivn, Luca, Miguel, Rubn y Samer,entre otras cosas, por regalarme la mejor insignia de Sheriff del mundo e interesarse

    i

  • por mis investigaciones, que ellos llaman topologa mamaria. En particular graciasa Luca por sacarme una semana de Knoxville y llevarme a un motel de NuevaYork srdido y divertido.

    Thanks to Kolya for sharing his elegant and beautiful mathematics with me.Every advice he gave me improved exponentially my results.

    Thanks to Atish for helping me during my stays in Knoxville and for all thefun, mathematical and non mathemaical, that he shared with me.

    Gracias a Raquel y Laura por convertir todo experiencia difcil en algo divertidoy alegre.

    Gracias a Lucia Furokawa por su inmensa hospitalidad en Knoxville.Gracias a Manuel Alonso Morn y Jess P. Moreno por las fantticas charlas

    coarse que tuvieron conmigo. Fueron de mucho estmulo e inspiracin.Gracias a lvaro Martnez por incitarme a acabar la tesis de una vez por todas

    y escuchar mis locuras sobre rboles con troncos.Gracias a Francisco Romero por todas sus orientaciones sobre si existe vida

    despus de una tesis. Y gracias tambin por aguantar con paciencia todas mispeticiones econmicas sobre el proyecto.

    Finalmente gracias a Koto, a quien va dedicada esta tesis. No hay espacio enesta memoria para enumerar todo lo que me ha ayudado estos aos. No dud enmontarse en un avin y recorrer miles de kilmetros cuando yo se lo ped y siempreescuch estoicamente mis avances y progresos matemticos aunque probablementele sonasen a chino.

    ii

  • Introduccin

    Desde un punto de vista topolgico, y hasta cierto punto geomtrico, un grupofinitamente generado y con la mtrica de la palabra puede parecer un objeto ca-rente de inters. Despus de todo tal mtrica es una mtrica discreta. Sin embargoGromov en [41] introdujo una serie de tcnicas para estudiar tales espacios. Asun toplgo clsico o un gemetra clsico estara interesado en el comportamientode los espacios a pequea escala, esto es, en las proximidades de un punto. Porotro lado un toplogo (o gemetra) asinttico estara interesado en las propie-dades del espacio a gran escala, es decir, cuando nos alejamos del mismo. Lasfunciones que reflejaran este fenmeno seran las equivalencias a gran escala y lascuasi-isometras. Estas ltimas pueden considerarse la versin a gran escala de lasaplicaciones bi-Lipschitz.

    Desde el trabajo de Gromov se han ido introduciendo y estudiando numero-sos invariantes cuasi-isomtricos y a gran escala. Uno de los objetivos de la teorageomtrica de grupos sera recuperar propiedades algebraicas de un grupo a partirde sus propiedades geomtricas a gran escala. No slo esto, como consecuencia dellema de Svarc-Milnor, el grupo fundamental de una variedad compacta Riemma-niana es cuasi-isomtrico a la cubierta universal de tal variedad. Con lo que elestudio de las propiedades de los grupos invariantes por cuasi-isometras resultasumamente importante.

    Surgieron as conceptos como crecimiento, conos asintticos, dimensin asint-tica...Por ejemplo relacionado con el tipo de crecimiento de un grupo tendramosel famoso teorema de Gromov que muestra la equivalencia entre grupos de creci-miento polinomial y grupos virtualmente nilpotentes. Para los conos asintticos se

    iii

  • pueden ver, por ejemplo, los trabajos de Drutu [33], y su estudio sobre los conosasintticos de los grupos hiperblicos.

    Desde el punto de vista de la teora de la dimensin, la dimensin asinttica hasido el invariante ms estudiado. Su estudio es particularmente relevante despusde los importantes trabajos de Yu en [72] que relacionaban la dimensin asintticacon la conjetura de Novikov. A partir de este resultado han ido apareciendo nu-merosos trabajos que analizaban la dimensin asinttica de grupos concretos (ver[13] para una revisin del tema) o que relacionaban la dimensin asinttica conotros invariantes a gran escala como la corona de Higson (por ejemplo [16]) o elcrecimiento [59].

    Puesto que en los grupos finitamente generados con mtrica de la palabraes equivalente hablar de espacios equivalentes a gran escala y espacios cuasi-isomtricos resulta natural pensar en un invariante similar a la dimensin asin-ttica pero de tipo lineal. Tal invariante fue introducido por Gromov en [41] conel nombre de dimensin asinttica de tipo lineal o por Roe en [63] bajo el nombrede dimensin asinttica con la propiedad de Higson. Pronto se vio [52] que taldimensin no era otra cosa que la versin a gran escala de la dimensin de Nagata(llamada en este trabajo dimensin de Assouad-Nagata).

    La dimensin de Assouad-Nagata fue introducida por Assouad [1] a partir de lostrabajos de Nagata. Tal dimensin se relaciona con una generalizacin de Nagatade los espacios ultramtricos.

    La dimensin de Assouad-Nagata es un invariante natural para aplicacionesbi-Lipschitz. Como ya hemos dicho su versin a gran escala es la dimensin asin-ttica con la propiedad de Higson (como se ver en este trabajo). Por otro ladosu versin a pequea escala fue introducida por Buyalo en sus estudios sobre gru-pos hiperblicos [23]. En tales trabajos se relacionaba la dimensin asinttica deun grupo hiperblico con la dimensin de Assouad-Nagata a pequea escala de lafrontera del mismo.

    Nuestro trabajo se ha centrado principalmente en la versin a gran escala dela dimensin de Assouad-Nagata y sus relaciones con la teora geomtrica de gru-pos. No obstante, tambin hemos estudiado la dimensin de Assouad-Nagata en

    iv

  • espacios mtricos ms generales pues tiene fuertes conexiones con los espacios ul-tramtricos y las aplicaciones bi-Lipschitz [52].

    Adems no slo hemos trabajado con grupos finitamente generados con mtricade la palabra, sino que hemos estudiado el marco ms amplio de grupos numerablescon mtricas propias invariantes por la izquierda. Tales grupos y mtricas surgende forma natural cuando se ven como subgrupos, no necesariamente finitamentegenerados, de grupos finitamente generados con mtrica de la palabra. En estecaso, la mtrica que heredan es una mtrica propia e invariante por la izquierdapero no una mtrica de la palabra.

    Este estudio ha sido fructfero en los ltimos aos como lo demuestran, a modode ejemplo, los trabajos de Shalom [68], Dranishnikov y Smith [29] y Sauer [67].En todos ellos se estudiaba invariantes a gran escala de grupos numerables nofinitamente generados, como la dimensin asinttica o la dimensin cohomolgicaracional.

    A continuacin pasamos a describir los principales problemas o temas de in-vestigacin abordados y los resultados obtenidos. Cada problema se correspondercon un captulo del libro y cada punto a abordar con una seccin de tal captulo.En la introduccin de cada captulo se encontrar informacin ms detallada sobreestos problemas:

    -Problema 1: Estudiar las propiedades geomtricas generales de ladimensin de Assouad-Nagata.

    Dentro de esta lnea de investigacin estara el importante trabajo [52] don-de Lang y Schlienmaier demostraron, entre otros resultados, que la dimensin deAssouad-Nagata es un invariante por cuasi-simetras, que todo espacio de dimen-sin de Assouad-Nagata finita admite un embebimiento cuasi-simtrico en un pro-ducto finito de R-rboles y finalmente se introdujo la nocin de extensor Lipschitz yse estudiaron las relaciones de este concepto con la dimensin de Assouad-Nagata.

    Nuestros resultados para este primer problema son los siguientes.

    1. Hemos relacionado las dimensiones de capacidad y la dimensin asintticacon la propiedad de Higson con la dimensin de Assouad-Nagata global.Esto se consigue mediante la construccin de dos funtores (microscpico y

    v

  • macroscpico) en la categora Lipshchitz. Este resultado apareci en [20]

    2. Hemos estudiado los espacios con dimensin de Assouad-Nagata igual a ce-ro. Esto nos ha permitido relacionar la dimensin de Assouad-Nagata conlos espacios ultramtricos. A saber, todo espacio de dimensin de Assouad-Nagata cero es equivalente bi-Lipschitz a un espacio ultramtrico. De hechoesta propiedad caracteriza los espacios de dimensin de Assouad-Nagata ce-ro. Tambin construimos un espacio universal para espacios ultramtricosseparables. Hemos relacionado los espacios ultramtricos con la dimensinuniforme. Conseguimos adems, una caracterizacin interesante de los espa-cios de dimensin de Assouad-Nagata nula en trminos de propiedades deextensin Lipschitz. Finalmente demostramos que existen una cantidad nonumerable de espacios ultramtricos no equivalentes a gran escala. Todosestos resultados se recogen en [21]

    3. Demostramos que un espacio tiene dimensin de Assouad-Nagata menor oigual que n si y solo si la esfera Sn es un extensor Lipschitz. Esto puede servisto como la versin mtrica del famoso teorema que dice que un espaciotopolgico tiene dimensin topolgica menor o igual que n si y solo si laesfera Sn es un extensor absoluto del mismo. Este resultado es uno de losms importantes de este trabajo. Aparece recogido en [20]

    - Problema 2: Estudiar la relacin de la dimensin asinttica de Assouad-

    Nagata con otros invariantes a gran escala.

    As por ejemplo los trabajos de Nowak [59] relacionan la dimensin asintticade Assouad -Nagata con el crecimiento o las funciones de Folner. O los trabajosde Dranishnikov [30] relacionan tal dimensin con la corona de Higson lineal.

    Nuestros resultados en este contexto han sido los siguientes.

    1. El primer resultado obtenido se enmarcara dentro de otro problema ms ge-neral, a saber: Relacionar las propiedades topolgicas del cono asinttico deun espacio con las propiedades a gran escala del espacio. El cono asintticode un espacio mtrico puede ser visto como la imagen de dicho espacio cuan-do lo vemos desde el infinito. Nosotros nos hemos centrado en la dimensin

    vi

  • topolgica. En particular hemos obtenido el importante resultado que afirmaque la dimensin topolgica del cono asinttico de un espacio est acotadapor la dimensin asinttica de Assouad-Nagata del espacio. As, desde estepunto de vista, la dimensin de Assouad-Nagata sera ms interesante quela dimensin asinttica ya que esta ltima no guarda relacin alguna conla dimensin topolgica del cono. Adems hemos estudiado que en generalesta cota no es una igualdad. Incluso si imponemos la condicin sumamenterestrictiva de que el cono asinttico sea un espacio ultramtrico, la dimen-sin asinttica de Assouad-Nagata puede ser cualquiera, incluso infinito. Losresultados de este trabajo aparecen en [36] y en [46]

    2. Relacionamos la dimensin asinttica con la dimensin asinttica de Assouad-Nagata. En particular, para todo espacio mtrico de dimensin asintticafinita podemos construir una mtrica equivalente tal que la dimensin asin-ttica y la de Assouad-Nagata coincidan. Tal mtrica ha mostrado tener in-teresantes propiedades. Es una mtrica hiperblica con frontera unipuntual,sus conos asintticos son ultramtricos y sobre todo satisface una propiedadde Nagata que caracteriza los espacios topolgicos metrizables de dimensinfinita. sta ltimo resultado resuelve el problema 1400 de [4]. Los resultadosde este apartado han aparecido en [20], [46] y la solucin al problema 1400en [48]

    - Problema 3: Relacionar la dimensin de Assouad-Nagata y la dimen-

    sin asinttica en el mbito de la teora geomtrica de grupos.

    En concreto se abordan tres subproblemas:- Para que grupos finitamente generados la dimensin de Assouad-Nagata

    coincide con la dimensin asinttica?- Existen mtricas propias invariantes por la izquierda en un grupo numerable

    tal que la dimensin de Assouad-Nagata no coincida con la dimensin asinttica?- Determinar mtodos para calcular la dimensin de Assouad-Nagata de fami-

    lias de grupos concretosCon respecto a la primera pregunta se sabe que ambas dimensiones son iguales

    para los grupos abelianos finitamente generados, los grupos hiperblicos [64] y los

    vii

  • grupos finitamente presentados de dimensin asinttica igual a 1. No fue hasta lostrabajos de Nowak [59] cuando se encontraron ejemplos de grupos finitamente ge-nerados de dimensin asinttica finita pero dimensin de Assouad-Nagata infinita.Todos ellos tienen la forma de producto wreath.

    Cabe sealar tambin que en lo relativo a la tercera pregunta existen numerososmtodos para calcular la dimensin asinttica de una gran familia de grupos comolos grupos policclicos, las amalgamaciones, las extensiones HNN (ver [13] para unarevisin sobre el tema).

    Nuestros resultados son los siguientes.

    1. Demostramos que para el grupo de Heisenberg la dimensin asinttica yla dimensin de Assouad-Nagata coinciden. Esto resuelve una pregunta deRoe [63]. El grupo de Heisenberg es el nico grupo nilpotente (salvo cuasi-isometras) no abeliano de dimensin igual a 3. La pregunta ms general paralos grupos nilpotentes contina an abierta. Este resultado apareci en [36]

    2. Encontramos grupos localmente finitos de dimensin de Assouad-Nagata ar-bitraria. Adems demostramos que todo grupo localmente finito admite unmtrica propia invariante por la izquierda de dimensin de Assouad-Nagatapositiva. Recordamos que los grupos localmente finitos tienen dimensin asin-ttica nula. Como corolario encontramos grupos abelianos (no finitamentegenerados) tales que su dimensin de Assouad-Nagata y su dimensin asin-ttica difieren cualquier n prefijado. Esto resuelve un problema planteado en[18] y parcialmente un problema de [59]. Los resultados aparecieron en [46]

    3. Probamos que todo grupo de centro no localmente finito admite una mtricapropia invariante por la izquierda de dimensin de Assouad-Nagata infinita.En particular el grupo Z admite tal mtrica. Recordamos que este grupocon la mtrica de la palabra tiene dimensin asinttica y de Assouad-Nagataiguales a 1 y es el grupo finitamente generado no finito ms sencillo, con loque cabe esperar que tal resultado sea generalizable a todos los grupos nume-rables. Como corolario directo obtenemos que todos los grupos nilpotentesno localmente finitos poseen una mtrica propia invariante por la izquierda

    viii

  • de dimensin de Assouad-Nagata infinita. Todos estos resultados resolvierondos problemas de A.N. Dranishnikov de [28]. Este resultado apareci en [47].

    4. Damos una frmula que calcula la dimensin de Assouad-Nagata de los es-pacios tipo-rboles a partir de la dimensin de Assouad-Nagata de sus com-ponentes. Los espacios tipo-rboles tienen especial relevancia en el estudiode los conos asintticos de los grupos relativamente hiperblicos. Ademscomo consecuencia de nuestro resultado obtenemos una frmula que permitecalcular la dimensin de Assouad-Nagata del producto libre de grupos fini-tamente generados. Este resultado es de suma importancia (apareci comoproblema en [19]) y permite aumentar considerablemente nuestro catlogode grupos finitamente generados con dimensin de Assouad-Nagata finita.Este resultado se encuentra en [17]

    5. Damos ejemplos de grupos finitamente generados con dimensin de Assouad-Nagata infinita tal que todos sus conos asintticos son ultramtricos y portanto de dimensin cero. Este resultado apareci en [46]

    Problema 4: Clasificar salvo equivalencias a gran escala los grupos nu-

    merables

    Este problema es central para la teora geomtrica de grupos. Hasta ahora pocosprogresos se han realizado en esta lnea (ver por ejemplo [42] para una revisin).Nosotros nos hemos centrado en los grupos localmente finitos y los grupos abelianosnumerables no finitamente generados.

    Nuestros resultados son los siguientes:

    1. Clasificamos los grupos localmente finitos salvo equivalencias a gran escalabiyectivas. Para tal clasificacin definimos el concepto de nmero de p-Sylowasociado a un grupo numerable. Esta definicin coincide con la usual enel caso de grupos finitos. Como consecuencia demostramos que los gruposlocalmente finitos son universales para los espacios mtricos de dimensinasinttica cero y geometra acotada, y as para los espacios ultramtricos degeometra acotada. Los resultados de este trabajo aparecieron en [21].

    ix

  • 2. Clasificamos salvo equivalencias a gran escala los grupos abelianos numera-bles, no necesariamente finitamente generados. La clasificacin de los gruposabelianos finitamente generados es bien conocida y sencilla, mientras que laclasificacin de los grupos numerables abelianos ha sido considerablementems difcil. Por ejemplo Smith en [69] se preguntaba por la estructura deQ y Dranishnikov y Smith en [29] calculaban la dimensin asinttica de losgrupos abelianos. Adems de tal clasificacin estudiamos las condiciones al-gebraicas que hacen que un grupo admita un embebimiento a gran escala enun grupo abeliano o que un grupo sea equivalente a gran escala a un grupoabeliano. El resultado principal de este punto apareci inicialmente en [45] yposteriormente se complet con el trabajo [5]. Consideramos que es otro delos resultados ms importantes de esta memoria.

    Finalmente mencionamos que en [26], Dranishnikov consigui encontrar equi-valentes a gran escala de conceptos topolgicos clsicos. As, conceptos tales como:homotopa, espacio compacto, dimensin topolgica, cohomologa de Cech, polie-dros, ANR, variedad...tienen un anlogo a gran escala que se comporta de formamuy similar (aunque no exactamente igual) como se demostr en [26]. Resultaraas natural preguntarse si se pueden aplicar las ideas de [65] y [38] para el estudiode los sistemas dinmicos pero desde un punto de vista a gran escala.

    x

  • Preliminares

    Damos en este captulo los conceptos bsicos. Proporcionamos demostracionesde algunos resultados que (aunque sencillos) no se encuentran en la literaturadebido a nuestro enfoque integrador del tema.

    0.1. Definiciones bsicas

    En este trabajo se considerarn espacios mtricos (X, d) con mtricas propias ode geometra acotada. Se dice que un espacio mtrico es propio si las bolas cerradasson compactas. Una aplicacin entre espacios mtricos f : (X, dX) (Y, dY ) sedice mtricamente propia si las preimagenes de compactos son compactos. Tambindiremos que un espacio es de geometra acotada si es propio y para todo r y todo existe una constante C(r, ) > 0 tal el cardinal de toda -red maximal en cualquierbola de radio r est acotado por C(r, ).

    La siguientes definiciones son clave para el concepto de dimensin.

    Definicin 0.1.1. Sea X un espacio mtrico, y sea A un subespacio de X, y Sun nmero positivo.

    Se dice que A es S-acotado si para cada par de puntos x, x A tenemos quedX(x, x

    ) S.Una S-cadena en A es una sucesin finita de puntos x1, . . . , xk en A tal que

    para todo i < k el conjunto {xi, xi+1} es S-acotado.Se dice que A es S-conexo si cada par de puntos x, x A puede ser conectado

    en A por una S-cadena.

    Se dice que A es conexo a gran escala si es S-conexo para algn S > 0.

    xi

  • Obsrvese que cualquier subconjunto A de X es la unin de sus S-componentesconexas, es decir, los subconjuntos S-conexos maximales de A. Si B y B son dosS-componentes conexas del conjunto A entonces B y B son S-disjuntas. Se diceque dos subconjuntos B,B X son S-disjuntos si dX(x, y) > S para todo par depuntos x e y tales que x B e y B.

    Sea (X, d) un espacio mtrico y n N un nmero entero (incluido el 0). Decimosque un recubrimiento de X de la forma U =

    ni=0 Ui es un (s,M)-recubrimiento n-

    dimensional con s R+ y M R+{} si las s-componentes conexas de cada Uiestn M -acotadas. En estas condiciones definimos la funcin Dn : R+ R+{}como:

    Dn(s) = inf{M | existe un (s,M)-recubrimiento n-dimensional de X}

    Claramente la funcin Dn es no decreciente.A cualquier funcin no decreciente fn : R+ R+ {} que cumpla fn(x)

    Dn(x) para todo x R+ diremos que es una funcin de control n-dimensional.Estaremos interesados en el caso de funciones de control n-dimensional que solotomen valores reales finitos i.e. f : R+ R+.

    Proposicin 0.1.2. Sea (X, d) un espacio mtrico. Se cumple:

    1. Si fn una funcin de control n-dimensional entonces fn tambin es unafuncin de control n+ 1-dimensional.

    2. Existe una funcin de control n-dimensional fn que est acotada si y solo siel espacio mtrico X est acotado.

    3. Si existe una funcin de control n-dimensional fn tal que fn(s) = 0 paraalgn s > 0 entonces el espacio mtrico X es discreto. Recprocamente si elespacio mtrico X es -discreto para algn entonces existe una funcin decontrol 0-dimensional f 0 tal que f 0(s) = 0 para algn s > 0.

    Demostracin. 1) es trivial de la definicin.2) Claramente si X est acotado por M la funcin fn(s) = M es una funcin de

    control n-dimensional para todo n entero no negativo, basta tomar para cualquier s

    xii

  • el (s,M)- recubrimiento definido por U =n

    i=0 Ui con Ui = X. Supongamos que fn

    est acotada por una constante real positiva M > 0. Razonemos por reduccin alabsurdo. Si X no est acotado existe una sucesin {xi}iN tal que d(xi, xj) > M ipara todo i, j N con i > j. Sea s = sup{d(xj1 , xj2) | j1, j2 n + 2}. Comofn es una funcin de control n-dimensional existe un (s, fn(s))-recubrimiento n-dimensional U =

    ni=0 Ui. Por el principio del palomar existe un i y dos elementos

    j1 < j2 n + 2 tales que xj1 , xj2 Ui. Adems d(xj1 , xj2) s con lo que estarnen la misma componente s-conexa de Ui pero d(xj1 , xj2) > M j2 lo que contradiceel hecho de que fn est acotada por M .

    3) Si X es -discreto i.e. d(x, y) para todo x 6= y, entonces la funcin

    f 0(s) =

    si s 0 si s < es una funcin de control 0-dimensional para todo s R+. En efecto, si s < tomando el recubrimiento definido por U = U0 con U0 = X se tiene que las s-componentes conexas de X son unipuntuales y as ser un (s, 0) -recubrimiento0-dimensional. Recprocamente suponemos que fn es una funcin de control n-dimensional tal que fn(s) = 0 para algn s > 0 pero X no es discreto. Como X noes discreto existir una sucesin {xi}iN de trminos distintos tal que lmi xi = xpara algn x X. Sea 0 < s0 < s y sea U =

    ni=0 Ui un (s0, fn(s0) = 0)-

    recubrimiento n-dimensional. Como la sucesin converge a x y es de trminosdistintos existir xj 6= x en la bola B(x, s0) tal que x y xj estn en el mismoUi. Pero 0 < d(x, xj) < s0 lo que contradice que fn es una funcin de controln-dimensional.

    Lema 0.1.3. Si fn es una funcin de control n-dimensional de un espacio mtrico(X, d) entonces para todo s R+ existe un (s,M)-recubrimiento abierto con M =fn(3 s) + 2 s.

    Demostracin. Sea fn una funcin de control n-dimensional de un espacio mtrico(X, d). Y sea s R+. Tenemos que existe un (3 s, fn(3 s))-recubrimiento de laforma V =

    ni=0 Vi. Para un subconjunto V de X y un r > 0 definimos el conjunto

    xiii

  • N(V, r) como N(V, r) = {x | d(x, V ) < r}, este conjunto claramente es abierto.As construimos el recubrimiento abierto U =

    ni=0 Ui con Ui = N(Vi, s). Ahora

    es claro que si x, y Ui satisfacen d(x, y) s entonces existen x, y Vi, cond(x, x) < s y d(y, y) < s tales que d(x, y) 3 s, y por tanto las s-componentesconexas de cada Ui estarn fn(3 s) + 2 s-acotadas.

    Definicin 0.1.4. Sea (X, d) un espacio mtrico. Los tipos de dimensin msimportantes para nosotros son los siguientes:

    a. Diremos que tiene dimensin de Assouad-Nagata menor o igual que n (no-tacin: dimANX n) si existe un C 0 tal que la funcin Dn(s) = C s esuna funcin de control n-dimensional.

    b. Diremos que X tiene dimensin asinttica de tipo lineal (o dimensin asint-tica con la propiedad de Higson) menor o igual que n (notacin: asdimANX n) si existe una C 0, un s0 R+ y una funcin n-dimensional de controlDn tal que Dn(s) = C s para todo s s0.

    c. Diremos que X tiene dimensin de capacidad menor o igual que n (notacin:cdimANX n) si existe una C 0 y un s0 > 0 y una funcin de controln-dimensional Dn tal que Dn(s) = C s para todo s s0

    d. Se dice que X tiene dimensin asinttica menor o igual que n (notacin:asdimX n) si existe una funcin de control n-dimensional Dn que slotoma valores reales finitos.

    e. Se dice que X tiene dimensin uniforme menor o igual que n (notacin:dimuX n) si existe una funcin de control n-dimensional Dn que slotoma valores finitos tal que Dn(0) = 0.

    Observaciones 0.1.5. 1. La dimensin asinttica con la propiedad de Higson sellamar tambin en este trabajo dimensin asinttica de Assouad-Nagata, deah su notacin. En la seccin 1.1 veremos el motivo de este nombre.

    2. Llamaremos T a una familia cualquiera de funciones de la forma f : R+ R+de alguno los tipos anteriores a)-e).

    xiv

  • 3. As, en el primer caso T sern todas las funciones lineales sin trmino inde-pendiente, en el segundo caso todas las funciones asintticamente lineales,en el tercer caso las funciones lineales a pequea escala...

    4. De este modo diremos genricamente que el espacio X tiene dimensin tipoT menor o igual que n (notacin dimT(X)) para referirnos a alguno de loscasos anteriores.

    5. Diremos que (X, d) tiene dimensin de tipo T igual a n si dimT(X) n perono ocurre que dimT(X) n 1.

    6. Resulta evidente que si A X entonces dimTA dimTX.

    Lema 0.1.6. Sea (X, d) un espacio mtrico. Se tiene las siguientes desigualdades:

    asdimX asdimANX dimANX

    asdimX dimuX dimANX

    cdimX dimANX

    Ejemplo 0.1.7. Sea (Z, d) con d la mtrica usual. Tenemos que dimANZ = asdimZ =1 y cdimZ = 0.

    Demostracin. Sea s > 0. Claramente U = U0 U1 es un (s, 2 s)-recubrimientocon :

    U0 =iZ

    [2 i (bsc+ 1), (2 i+ 1) (bsc+ 1)]

    U1 =iZ

    [(2 i+ 1) (bsc+ 1), 2 i (bsc+ 1)]

    As dimANZ 1. Por otro lado no puede ser asdimZ 0 ya que el espacio es1-conexo, as del lema 0.1.6 obtenemos la primera parte. Por otro lado el espacioes 1-discreto, con lo que del tercer apartado de la proposicin 0.1.2 deducimoscdimZ = 0.

    xv

  • Sean (X, dX) e (Y, dY ) dos espacios mtricos y sea f : (X, dX) (Y, dY )una funcin. Asociada a tal funcin existen otras dos funciones no decrecientes+ : R+ R+{} y : R+ R+ llamadas funciones dilatacin y contraccinrespectivamente y definidas de la forma.

    +(M) = sup{dY (f(x), f(y)) | dX(x, y) M}

    (M) = inf{dY (f(x), f(y)) | dX(x, y) M}

    Obsrvese que se tiene trivialmente las desigualdades:

    (dX(x, y)) dY (f(x), f(y)) +(dX(x, y)) para todo x, y X. (0.1.1)

    Para una funcin no decreciente : R+ R+ definiremos su inversa 1 : R+ R+ {} como:

    1(s) =

    sup{M | (M) s} si s (0)0 si s < (0). Es claro que tal inversa tambin es no decreciente.

    Proposicin 0.1.8. Sea f : (X, dX) (Y, dY ) una funcin entre espacios m-tricos y sean 1 : R+ R+ y 2 : R+ R+ dos funciones no decrecientes quesatisfacen:

    2(dX(x, y)) dY (f(x), f(y)) 1(dX(x, y)) para todo x, y X. (0.1.2)

    Si DnY es un funcin de control n-dimensional de (Y, dY ) entonces la funcin DnXdefinida por DnX =

    12 DnY 1 es una funcin de control n-dimensional de

    (X, dX).

    Demostracin. Fijemos s > 0 un nmero real positivo. Como DnY es una funcinn-dimensional de control existe un recubrimiento U = {U0, ...,Un} en Y tal que lascomponentes 1(s)-conexas de cada Ui estn DnY (1(s))-acotadas. Tomamos ahorael recubrimiento V = {V0, ...,Vn} en X definido por Vi = f1(Ui). Ntese que sidos puntos x, y X satisfacen dX(x, y) < s entonces dY (f(x), f(y)) < 1(s). As,

    xvi

  • dado una s-cadena {x0, x1, ..., xm} en X tenemos que {f(x0), f(x1), ..., f(xm)} esuna 1(s)-cadena. Por tanto 2(d(x0, xm)) dY (f(x0), f(xm)) DnY (1(s)) lo queimplica d(x0, xm) 12 (DnY (1(s))) y DnX = 12 DnY 1 es una funcin de controln-dimensional.

    Definicin 0.1.9. Supongamos que tenemos una funcin f : X Y entre es-pacios mtricos. Dependiendo de las propiedades + y tendremos la siguientesdefiniciones:

    a. Decimos que f es Lipschitz si existe una constante C > 0 tal que +(s) C ssi adems (s) sC se dice que f es un embebimiento bi-Lipshchitz o unaaplicacin bi-Lipshchitz.

    b. Decimos que f es asintticamente Lipschitz si existen una contante C > 0 yun s0 R+ tales que +(s) C s para todo s s0 si adems y (x) xC

    para todo s s0 se dice que f es un embebimiento cuasi-isomtrico oinmersin cuasi-isomtrica.

    c. Decimos que f es Lipschitz a pequea escala si existe una constante C > 0y un s0 R+ tal que +(s) C s para todo s s0 si adems (x) xCpara todo s s0 se dice que f es una aplicacin embebimiento bi-Lipschitza pequea escala.

    d. Decimos que f es una aplicacin a gran escala bornolgica si + solo tomavalores reales finitos i.e. + : R+ R+, si adems lmx (x) = sedice que f es un embebimiento a gran escala o inmersin a gran escala.

    e. Se dice que f es una aplicacin uniforme si + slo toma valores reales finitos,+(0) = 0, si adems, lmx (x) = y (s) > 0 para todo s > 0decimos que f es un embebimiento bi-uniforme o inmersin bi-uniforme.

    Observaciones 0.1.10. 1. No es difcil comprobar que la propiedad b) es equi-valente a la existencia de dos constantes C > 0 y L > 0 tales que +(s) C s+ L y adems (s) sC L en el caso del embebimiento.

    xvii

  • 2. Obsrvese que slo las condiciones a), c) y e) implican continuidad y en elcaso de los embebimientos slo tales condiciones implican que la funcin fsea inyectiva.

    La siguiente caracterizacin de aplicaciones a gran escala es una consecuenciadirecta de su definicin.

    Lema 0.1.11. Una funcin f : (X, dX) (Y, dY ) entre espacios mtricos es unaaplicacin a gran escala si y solo si para todo real positivo existe un nmero realpositivo tal que para todo par de puntos x, y X que cumplan dX(x, y) sesatisface dY (f(x), f(y))

    Proposicin 0.1.12. Sea (X, d) e (Y, dY ) espacios mtricos y una funcin f :(X, dX) (Y, dY ) que es un embebimiento del tipo a)-e) de la definicin 0.1.9.Entonces existe una funcin g : (f(X), dY ) (X, dX) que es un embebimientodel mismo tipo a)-e) y una constante C > 0 tal que dY (f(g(y)), y) < C para todoy f(X) y dX(g(f(x)), x) < C para todo x X.

    Demostracin. La demostracin es directa a partir de las definiciones.

    El siguiente corolario es trivial a partir de la proposicin 0.1.8 y la proposicin0.1.12.

    Corolario 0.1.13. Sea (X, dX) e (Y, dY ) espacios mtricos y sea una funcinf : (X, dX) (Y, dY ). Se tiene que:

    a. Si f es una aplicacin bi-Lipschitz entonces dimAN(X) = dimAN(f(X)).

    b. Si f es un embebimiento cuasi-isomtrico entonces asdimAN(X) = asdimAN(f(X)).

    c. Si f es una aplicacin bi-Lipschitz a pequea escala entonces cdimAN(X) =cdimAN(f(X)).

    d. Si f es un embebimiento a gran escala entonces asdim(X) = asdim(f(X)).

    e. Si f es un embebimiento bi-uniforme entonces dimu(X) = dimu(f(X)).

    xviii

  • Definicin 0.1.14. Se dice que una funcin entre espacios mtricos f : X Yes una equivalencia a gran escala (resp. cuasi-isometra) si f es un embebimientoa gran escala (resp. embebimiento cuasi-isomtrico) y existe un L > 0 tal quepara todo y Y dY (y, f(X)) L. Si existe una equivalencia a gran escala (resp.cuasi-isometra) entre dos espacios mtricos X e Y diremos que ambos espaciosson equivalentes a gran escala (resp. cuasi-isomtricos).

    Definicin 0.1.15. Se dice que una funcin entre espacios mtricos f : X Yes una equivalencia bi-Lipschitz (resp equivalencia bi-Lipshchitz a pequea escala oequivalencia bi-uniforme) si f es un embebimiento bi-Lipschitz (resp. embebimien-to bi-Lipschitz a pequea escala o embebimiento bi-uniforme) suprayectivo. Si exis-te una equivalencia bi-Lipschitz (resp. bi-Lipschitz a pequea escala o bi-uniforme)entre dos espacios mtricos X e Y diremos que ambos espacios son bi-Lipshchitzequivalentes (resp. bi-Lipschitz equivalentes a pequea escala o bi-uniformementeequivalentes).

    Observaciones 0.1.16. 1. Del corolario 0.1.13 deducimos que las dimensionesanteriormente construidas son invariantes de sus equivalencias correspon-dientes.

    2. Es evidente que toda equivalencia cuasi-isomtrica ser una equivalencia agran escala pero no al revs.

    Lema 0.1.17. Dos espacios mtricos (X, dX) e (Y, dY ) son equivalentes a granescala (resp. cuasi-isomtricos) si existe dos aplicaciones a gran escala (resp. asin-tticamente Lipschitz) f : X Y y g : Y X y una constante C > 0 tal quedX(g(f(x)), x) C para todo x X y dY (f(g(y)), y) C para todo y Y .

    Observaciones 0.1.18. 1. Todo espacio mtrico acotado es cuasi-isomtrico a unespacio unipuntual.

    2. Todo espacio mtrico (X, dX) es cuasi-isomtrico a un espacio mtrico 1-discreto, tomando por ejemplo una 1-red maximal del espacio.

    xix

  • 0.2. Propiedades elementales de las dimensiones

    Dado un recubrimiento U = {Us}sS de un espacio mtrico (X, d) existe unafamilia natural de funciones {fs}sS asociadas a U : fs(x) := dist(x,X \ Us). Parasimplificar llamamos nmero local de Lebesgue LU(x) de U en x al nmero

    sup{fs(x) | s S}

    y llamamos nmero (global) de Lebesque L(U) de U al nmero

    inf{LU(x) | x X}.

    Estaremos interesados en recubrimientos con nmero de Lebesgue positivo. Paraestos la multiplicidad local mU(x) puede definirse como 1 + |T (x)|, donde T (x) ={s S | fs(x) > 0} y la multiplicidad global m(U) se define como

    sup{mU(x) | x X}.

    Del mismo modo definimos la r-multiplicidad local mrU(x) de un recubrimiento Ucomo 1 + |T r(x)|, donde T r(x) = {i S | B(x, r) Us 6= } y la r-multiplicidadglobal m(U) se define como

    sup{mrU(x) | x X}.

    Adems definimos el nmero mesh(U) = sup{diam(Us) | Us U} y diremos queun recubrimiento U est uniformemente acotado si mesh(U) es finito.

    Si la multiplicidad m(U) es finita, entonces U tiene una particin natural de launidad {s}sS asociada:

    s(x) =fs(x)

    tSft(x)

    .

    Tal particin puede ser considerada como una aplicacin baricntrica : X N(U) de X al nervio de U . Consideraremos que el nervio tiene la l1-mtrica. Comocada fs es 1-Lipschitz,

    tS

    ft(x) ser 2m(U)-Lipschitz y cada s ser 2m(U)L(U) -Lipschitz

    (aqu usamos el hecho de que uu+v

    es max(Lip(u),Lip(v))inf(u+v)

    -Lipschitz). Por tanto : X

    xx

  • N(U) es 4m(U)2

    L(U) -Lipschitz. Vase [10] y [24] para ms detalles y mejores estimacionesde las constantes de Lipschitz.

    Sea T una familia de funciones de la forma f : R+ R+ como en la observacin0.1.5 se tiene el siguiente resultado (vase [52] y [31] para la demostracin).

    Proposicin 0.2.1. Sea (X, d) un espacio mtrico y n un nmero entero no ne-gativo. Son equivalentes:

    1. dimT(X, d) n.

    2. Existe una f T tal que para todo r > 0 existe un recubrimiento U de Xcon r-multiplicidad global menor o igual que n+ 1 y uniformemente acotadopor f(r).

    3. Existe una f T tal que para todo r > 0 existe un recubrimiento U de X conmultiplicidad menor o igual que n + 1, nmero de Lebesgue mayor o igualque r y uniformemente acotado por f(r).

    El siguiente resultado puede consultarse en [19]

    Proposicin 0.2.2. Sean (X, dX) e (Y, dY ) espacios mtricos y sea T una familiade funciones de la forma 0.1.5. Consideramos el espacio mtrico (XY, dX +dY ).En esta situacin se tiene:

    dimT(X Y ) dimT(X) + dimT(Y ).

    Ejemplo 0.2.3. Sea T una cualquiera de las familias de funciones de la forma 0.1.5.Se tiene que dimT(Rn) = n. Adems asdim(Zn) = dimAN(Zn) = n.

    0.3. Definicin de conos asintticos

    Sea (X, dX) un espacio mtrico. Dado un ultrafiltro no principal de N yuna sucesin {xn}nN de puntos de X, se define el -lmite de {xn}nN (notacin:lm

    xn = y) como el elemento y de X tal que para todo entorno U(y) de y el

    conjunto FU(y) = {n|xn Uy} pertenece a . Se puede demostrar fcilmente queel -lmite de una sucesin de puntos siempre existe un espacio compacto.

    xxi

  • Sea un ultrafiltro no principal de N. Sea d = {dn}nN una sucesin -divergente de nmeros reales positivos y sea c = {cn}nN otra sucesin cual-quiera de elementos de X. Ahora podemos construir el cono asinttico (notacin:Cone(X, c, d)) de X de la siguiente forma:

    En primer lugar definimos el conjunto de todas las sucesiones {xn}nN de ele-mentos de X tales que la sucesin {dX(xn,cn)

    dn}nN est acotada. En tal conjunto

    tomamos la seudo-mtrica dada por:

    D({xn}nN, {yn}nN) = lm

    dX(xn, yn)

    dn.

    Obsrvese que tal lmite existe siempre por lo comentado anteriormente. Iden-tificando las sucesiones {xn}nN e {yn}nN tales que D({xn}nN, {yn}nN) = 0obtenemos un espacio mtrico que llamaremos cono asinttico, Cone(X, c, d).

    Observaciones 0.3.1. Obsrvese que una aplicacin asintticamente Lipschitz entredos espacios mtricos f : X Y induce una aplicacin Lipschitz entre sus respec-tivos conos asintticos Cone(X, c, d) y Cone(Y, f(c), d) con f(c) = {f(cn)}nN.

    0.4. Algunas propiedades geomtricas de los gru-

    pos

    Definicin 0.4.1. Sea G un grupo finitamente generado y sea S un sistema finitode generadores simtrico i.e. S = S1. Dado un elemento g G, definimos lalongitud l(g) de g segn S como:

    l(g) = min{m | g = g1 g2 ... gm con gi S}.

    Utilizando la convencin l(1G) = 0.En esta situacin definimos la mtrica de la palabra dS asociada a S en G como:

    dS(g1, g2) = l(g11 g2)

    Proposicin 0.4.2. Sea G un grupo finitamente generado. Sean S y L dos sis-temas finitos de generadores de G y sean dS y dL sus respectivas mtricas de lapalabra. La identidad id : (G, dS) (G, dL) es una cuasi-isometra.

    xxii

  • Definicin 0.4.3. Sea G un grupo numerable. Decimos que una mtrica dG en Ges invariante por la izquierda si para todo g, g1, g2 G se tiene que dG(g g1, g g2) =dG(g1, g2).

    Observaciones 0.4.4. De manera anloga se pueden definir las mtricas invariantespor la derecha.

    Proposicin 0.4.5. (Smith [69]) Sean d1 y d2 dos mtricas propias invariantes porla izquierda definidas en un grupo G. La aplicacin identidad id : (G, d1) (G, d2)es una equivalencia a gran escala.

    Decimos que un grupo es localmente finito si todos sus subgrupos finitamentegenerados son finitos.

    Proposicin 0.4.6. [69] Un grupo G con una mtrica propia invariante por laizquierda dG es localmente finito si y solo si asdim(G, dG) = 0.

    El siguiente resultado es fcil de probar a partir de las definiciones.

    Proposicin 0.4.7. Sean H G un subgrupo de un grupo finitamente generadoG. Se cumple que:

    1. Si H tiene ndice finito en G entonces (H, dH) es cuasi-isomtrico a (G, dG)con dH y dG dos mtricas de la palabra.

    2. Si H es finito y normal en G entonces (G/H, dG/H) es cuasi-isomtrico a(G, dG) para dos mtricas de la palabra dG/H y dG.

    Decimos que un grupo satisface una propiedad P virtualmente si contiene unsubgrupo de ndice finito que satisface tal propiedad.

    Corolario 0.4.8. Todo grupo finitamente generado y virtualmente abeliano G escuasi-isomtrico al grupo Zn siendo n el rango libre de torsin de un subgrupoabeliano H de ndice finito en G.

    Recordamos que un grupo nilpotente G es aquel para el que existe una seriecentral superior es decir una serie de subgrupos normales de la forma:

    {1G} = G0 G1 Gn = G

    xxiii

  • tal que Gi+1/Gi Z(G/Gi). Las siguientes propiedades para conos asintticos ygrupos nilpotentes y abelianos son bien conocidas:

    Teorema 0.4.9. 1. Un grupo es virtualmente nilpotente si y solo si sus conosasintticos son localmente compactos.

    2. Un grupo es virtualmente abeliano si y solo si sus conos asintticos son bi-Lipshchitz equivalentes a Rn.

    xxiv

  • Captulo 1

    Propiedades de la dimensin de

    Assouad-Nagata

    La dimensin de Assouad-Nagata surgi a partir de los trabajos de Nagata(ver [1] y [57]) sobre la caracterizacin de la dimensin topolgica en espaciosmetrizables. En [52] se estudiaron importantes propiedades de tal dimensin. Dehecho se vio que la dimensin de Assouad-Nagata es no slo un invariante bi-Lipschitz sino un invariante por cuasi-simetras.

    La clase de espacios mtricos que tienen dimensin de Assouad-Nagata finitaes muy amplia. Incluye los espacios doubling, los rboles mtricos, los espacioshiperblicos geodsicos, los buildings eucldeos y las variedades homogneas deHadamard (ver [52], [63][64])

    Otro resultado importante de [52] relaciona resultados de Assouad [2] con re-sultados de Dranishnikov [27]. As el Teorema 1.3. de [52] dice que todo espaciomtrico de dimensin de Assouad-Nagata menor o igual que n admite un embe-bimiento cuasi-simtrico en el producto de n + 1-rboles mtricos. Tal resultadorefleja la importancia de la dimensin asinttica de Assouad-Nagata ya que permi-te estudiar mejor los embebimientos en el cubo de Hilbert de grupos con dimensinde Assouad-Nagata finita, en particular su constante de compresin (Ver [39])

    Un resultado de [52] que tendr especial relevancia para nosotros es el Teorema1.4.:

    1

  • Teorema 1.0.10. Supongamos que X, Y son espacios mtricos, dimANX n 0 tal que para toda aplicacin Lipschitz f : A Y , ypara todo subconjunto A de X, existe una extensin Lipschitz g : X Y de f talque Lip(g) C Lip(f). En tal caso diremos que Y es un extensor Lipschitz deX. Se dice que un espacio mtrico Y es Lipschitz m-conexo si existe una constanteCm > 0 tal que toda funcin Lipschitz f : Sm Y admite una extensin g :Bm+1 Y a la (m+ 1)-bola unidad Bm+1 de tal forma que Lip(g) Cm Lip(f).

    En la seccin 1.3.2 daremos uno de los principales resultados de este captulo yde esta memoria. Caracterizamos la dimensin de Assouad-Nagata en trminos deextensiones Lipschitz. As los espacios de dimensin de Assouad-Nagata menor oigual que n sern aquellos para los que la n-esfera Sn es un extensor Lipschitz. Esteresultado sera anlogo al teorema clsico que caracteriza la dimensin topolgicaen trminos de extensiones a esferas [50].

    En la seccin 1.2 estudiamos los espacios de dimension de Assouad-Nagata iguala cero. Tales espacios estn relacionados con los espacios ultramtricos. As los es-pacios de dimensin Assoaud-Nagata cero estarn caracterizados por admitir unembebimiento bi-Lipschitz en un espacio ultramtrico. Estos resultados los exten-demos a la dimensin uniforme. La dimensin uniforme tiene cierto inters ya quepara espacios acotados coincide con la dimensin grande dX de [49]. Determinare-mos as un espacio universal para los espacios mtricos separables de dimensin deAssouad-Nagata nula y para todos los espacios separables de dimensin uniformenula. Esto mejora los trabajos de [31] que encontraron un espacio universal paralos espacios de dimensin asinttica nula y geometra acotada. Como apndice deesta seccin mostraremos una cantidad no numerable de espacios ultramtricosque no son equivalentes a gran escala.

    En la seccin 1.1 introduciremos dos funtores en la categora Lipschitz que re-lacionan las dimensin asinttica de Assouad-Nagata y la dimensin de capacidadcon la dimensin (global) de Assouad-Nagata. S.Buyalo en [23] introdujo la di-

    2

  • mensin de capacidad y demostr muchas propiedades anlogas a los resultadosde U. Lang and T. Schlichenmaier [52] para la dimensin de Assouad-Nagata. Asmuchos resultados de [23] pueden deducirse directamente de [52] usando nuestrosfuntores, a modo de ejemplo veremos alguno de ellos. La dimensin de capacidadjuega un importante papel en el estudio de los espacios hiperblicos visuales. Asen [23] Buyalo demostr que la dimensin asinttica de un espacio visual hiperb-lico X est acotada por 1 ms la dimensin de capacidad de la frontera visual deX. A la luz de nuestros resultados vemos que tal resultado es sobre la dimensinde Assouad-Nagata de la frontera visual.

    1.1. Dimensin microscpica y macroscpica

    Dado un espacio mtrico (X, d) y > 0 consideramos la mtrica max(d, ) enX. Dicha frmula no se leer literalmente salvo en el caso x 6= y. De la mismaforma se considera la mtrica mn(d, ). Un espacio mtrico (X, d) se dice que esdiscreto si (X, d) es -discreto para algn > 0, es decir, d(x, y) > para todosx 6= y.

    Lema 1.1.1. Todo espacio mtrico discreto (X, d) es equivalente bi-Lipschitz alespacio mtrico (X,max(d, )) para todo > 0.

    Demostracin. Sea (X, d) un espacio mtrico -discreto. Basta observar que laidentidad id : (X,max(d, )) (X, d) es 1-Lipschitz y su inversa es (1 +

    )-

    Lipschitz puesto que d(x, y) max(d(x, y), )) (1 + ) d(x, y) para todo x 6=

    y X.

    Corolario 1.1.2. Para todo espacio mtrico (X, d) y , > 0 el espacio (X,max(d, ))es equivalente bi-Lipschitz al espacio (X,max(d, )).

    Demostracin. Supongamos > y obsrvese que max(d, ) = d, con da =max(d, a). De este modo el resultado es consecuencia directa del lema 1.1.1.

    Como la dimensin de Assouad-Nagata es un invariante de la categora Lips-chitz (corolario 0.1.13) obtenemos el siguiente resultado:

    3

  • Corolario 1.1.3. Para todo espacio mtrico (X, d) la dimensin de Assouad-Nagata de (X,max(d, )) es independiente de > 0.

    Dado un espacio mtrico (X, d) se puede omitir sus propiedades microscpicasal considerar el espacio (X,max(d, 1)). As definimos la dimensin asinttica ( di-mensin macroscpica) de Assouad-Nagata de (X, d) como dimAN(X,max(d, 1)).

    Corolario 1.1.4. Si X es un espacio discreto entonces su dimensin asintticade Assouad-Nagata es igual a su dimensin de Assouad-Nagata

    Lema 1.1.5. La dimensin asinttica de Assouad-Nagata de un espacio mtricoX es menor o igual que n 0 si y solo si existe un constante C > 0 tal que para

    un r > 0 suficientemente grande existe un (r, C r)-recubrimiento U =n+1i=1

    Ui de

    X.

    Demostracin. Supongamos que para X existe una constante C > 0 tal que para

    todo r > M , con M > 0, existe un recubrimiento Ur =n+1i=1

    Ui de X tal que cada

    Ui es r-disjunto y el dimetro de los elementos de Ur est acotado por C r. SeadM = max(d,M). Observamos que el recubrimiento Ur, r M , formado por losconjuntos uni-puntuales es r-disjunto en (X, dM). Como los recubrimientos Ur,r > M , tienen las mismas propiedades deseadas en (X, dM) que en (X, d) entoncesdimAN(X, dM) n.

    Si dimAN(X, d1) n, entonces para cada r > 1 existe un recubrimiento Ur =n+1i=1

    Ui de X tal que cada Ui es r-disjunto (en (X, d1)) y el dimetro de los elementos

    de Ur est acotado por C r en (X, d1). Finalmente vemos que Ui es tambin r-disjunto en (X, d) y el dimetro de los elementos de Ur est acotado por (C+1) ren (X, d).

    En vistas de la definicin de la dimensin asinttica con la propiedad de Higson0.1.4 se tiene la siguiente consecuencia directa de 1.1.5.

    Corolario 1.1.6. Si (X, d) es un espacio mtrico, entonces su dimensin asintti-ca de Assouad-Nagata de (X, d) es igual a su dimensin asinttica con la propiedadde Higson.

    4

  • En lo que resta de seccin dualizaremos los resultados anteriores de la categoraa gran escala(macroscpica) a la categora a pequea escala(microscpica).

    Lema 1.1.7. Todo espacio mtrico acotado (X, d) es equivalente bi-Lipschitz a(X,mn(d, )) para todo > 0.

    Demostracin. Supongamos que el espacio mtrico (X, d) es -acotado. Por tantola aplicacin identidad id : (X,mn(d, )) (X, d) ser (1+

    )-Lipschitz y su inver-

    sa ser 1-Lipschitz puesto que mn(d(x, y), ) d(x, y) (1 + ) mn(d(x, y), ))

    para todo x 6= y X.

    Corolario 1.1.8. Para todo espacio mtrico (X, d) y , > 0 el espacio (X,mn(d, ))es equivalente bi-Lipschitz a (X,mn(d, )).

    Demostracin. Supongamos < y por tanto mn(d, ) = d, con da = mn(d, a).Aplicando el lema 1.1.7 obtenemos claramente el resultado.

    Anlogamente como la dimensin de Assouad-Nagata es un invariante en lacategora Lipschitz se tiene el siguiente resultado:

    Corolario 1.1.9. Para todo espacio mtrico (X, d) la dimensin de Assouad-Nagata de (X,mn(d, )) es independiente de > 0.

    Al igual que antes, dado un espacio mtrico (X, d) se pueden descartar suspropiedades macroscpicas al considerar el espacio (X,mn(d, 1)). Se define portanto la dimensin microscpica (de Assouad-Nagata) de un espacio mtrico (X, d)como dimAN(X,mn(d, 1)).

    Corolario 1.1.10. Si X es un espacio mtrico acotado entonces su dimensinmicroscpica (de Assouad-Nagata) es igual a su dimensin de Assouad-Nagata.

    Lema 1.1.11. La dimensin microscpica (de Assouad-Nagata) de un espaciomtrico X es menor o igual que n si y solo si existe una constante C > 0 talque para todo r > 0 suficientemente pequeo existe un (r, C r)- recubrimiento

    U =n+1i=1

    Ui de X.

    5

  • Demostracin. Supongamos que existe una constante C 1 tal que para todo

    r < M , con M > 0, hay un recubrimiento Ur =n+1i=1

    Ui de X tal que cada Uies r-disjunto y el dimetro de los elementos de Ur est acotado por C r. SeadM = mn(d,M). Observamos que el recubrimiento Ur, r M , consistente en elespacio total X tiene dimetro menor o igual que (C + 1) r en (X, dM). Comolos recubrimientos Ur, para r < M , tienen las mismas propiedades deseadas en(X, dM) que en (X, d) entonces dimAN(X, dM) n.

    Si dimAN(X, d1) n, entonces para cada r < 1C existe un recubrimiento Ur =n+1i=1

    Ui de X tal que cada Ui es r-disjunto (en (X, d1)) y el dimetro de los elementos

    de Ur est acotado por C r en (X, d1). Adems vemos que Ui es tambin r-disjuntoen (X, d) y el dimetro de los elementos de Ur est acotado por C r < 1 en(X, d).

    Puesto que la dimensin de Capacidad de Buyalo definida en [23](ver la defi-nicin dada por nosotros en 0.1.4) puede caracterizarse por la condicin del lema1.1.11, obtenemos automticamente el siguiente resultado.

    Corolario 1.1.12. Si (X, d) es un espacio mtrico, entonces su dimensin mi-croscpica (X, d) es igual a su dimension de capacidad.

    Veamos ahora un ejemplo en el que a partir de un resultado para la dimensinde Assouad-Nagata se obtiene de forma automtica resultados para las dimensionesde capacidad y asinttica de Assouad-Nagata.

    En [52] se demostr que si X = A B, entonces:

    dimAN(X) = max(dimAN(A), dimAN(B)).

    Corolario 1.1.13. Consideraremos por D(Y ) o bien la dimensin microscpicade Assouad-Nagata de Y o bien la dimensin asinttica de Assouad-Nagata de Y .Si X = A B, entonces

    D(X) = max(D(A), D(B)).

    Demostracin. Basta aplicar los funtores max(d, 1) mn(d, 1) a las mtricas encuestin.

    6

  • El siguiente teorema nos describe la dimensin de Assouad-Nagata global entrminos de las dimensiones microscpicas y macroscpicas.

    Teorema 1.1.14. Sea (X, d) un espacio mtrico, entonces:

    dimAN(X, d) = max{dimAN(X,max(d, 1)), dimAN(X,min(d, 1))}.

    Demostracin. Denotamos por

    M = max{dimAN(X,max(d, 1)), dimAN(X,min(d, 1))}

    . Del lema 1.1.5 y del 1.1.11 deducimos que M dimAN(X, d). Supongamos queel espacio (X,min(d, 1)) tiene dimensin de Assouad-Nagata menor o igual que Mcon constante asociada C1 > 1, y que el espacio (X,max(d, 1)) tiene dimensin deAssouad-Nagata menor o igual que M con constante asociada C2 > 1. Sea s > 0

    y definamos C = 2C2C1. Si s < 1C1 entonces existe un recubrimiento U =n+1i=1

    Uidel espacio mtrico (X,min(d, 1)) tal que cada Ui es s-disjunto y el dimetro delos elementos de U est acotado por C1 s. Como C1 s < 1, este recubrimientodel espacio (X, d) es tambin s-disjunto y el dimetro de los elementos de U est

    acotado por C1 s. Si s 1C1 entonces existe un recubrimiento U =n+1i=1

    Ui del

    espacio mtrico (X,max(d, 1)) tal que cada Ui es 2C1 s-disjunto y el dimetrode los elementos de U est acotado por C2 2C1 s. Como 2C1 > 1, este ltimorecubrimiento del espacio (X, d) es tambin s-disjunto y su dimetro estar aco-tado por 2C2C1 s. En cualquier caso hemos demostrado que dimANX M conconstante asociada C.

    1.2. Espacios de dimension cero

    1.2.1. Espacios ultramtricos

    Definicin 1.2.1. Un espacio mtrico (X, d) se dice que es ultramtrico si paratodo x, y, z X tenemos d(x, z) max{d(x, y), d(y, z)}.

    Un espacio ultramtrico X puede caracterizarse por la siguiente propiedad:

    7

  • Propiedad ultramtrica de los tringulos. Si un tringulo en un espacioultramtrico X tiene los lados tales que a b c, entonces b = c. Resulta fcilde probar que toda bola de radio D en un espacio ultramtrico tiene dimetro Do que dos bolas de radio D en un espacio ultramtrico son o bien D-disjuntas obien son idnticas.

    Proposicin 1.2.2. Sea (X, d) un espacio mtrico. La mtrica d es ultramtricasi y solo si f(d) es una mtrica para toda funcin no decreciente de la formaf : R+ R+.

    Demostracin. Si d es una ultramtrica y a b = c son los lados de un tringuloen (X, d) entonces f(a) f(b) = f(c) son los lados del correspondiente tringuloen (X, f(d)) y por tanto f(d) es una ultramtrica.

    Si d no fuera una ultramtrica entonces existira un tringulo en (X, d) cuyoslados seran de la forma a b < c. Construyamos la funcin

    f(t) =

    t si t b2bcbt+

    bc3b2cb if t b

    En esta situacin los lados del correspondiente tringulo en (X, f(d)) son f(a) f(b) = b < 3b = f(c) lo cual contradice la desigualdad triangular

    Definicin 1.2.3. Se dice que una mtrica es 3n-valorada si lo nicos valores queasume en R+ son de la forma 3n, n Z.

    La desigualdad triangular para una mtrica d implica el siguiente resultado:

    Lema 1.2.4. Cualquier mtrica 3n-valorada es ultramtrica.

    Lema 1.2.5. Todo espacio ultramtrico es 3-bi-Lipschitz equivalente a un espacioultramtrico cuya mtrica es 3n-valorada.

    Demostracin. Dado un espacio ultramtrico (X, d) definimos una nueva mtrica en X como sigue:

    (x, y) = 3n si 3n1 < d(x, y) 3n.

    Obviamente la aplicacin identidad id : (X, d) (X, ) es 1-Lipschitz y su inversaes 3-Lipschitz.

    8

  • Describiremos ahora un espacio ultramtrico (L, ) el cual es universal paratodos los espacios ultramtricos separables cuya mtrica es 3n-valorada. Este es-pacio aparece de forma natural en diferentes reas de las matemticas (ver porejemplo [53]). Fijemos un conjunto numerable S y fijemos un elemento s0 S. Elconjunto L es un subconjunto del conjunto de las sucesiones infinitas x = {xn}nZtales que todos sus elementos xn pertenecen a S. Diremos que una sucesin x per-tenece a L si existe un ndice k Z tal que xn = s0 para todo n < k. La mtrica se define como (x, y) = 3m donde m Z es el mnimo ndice tal que xm 6= ym.No es difcil ver que el espacio L es completo, separable y ultramtrico. Bastaraaplicar el lema 1.2.4.

    Para demostrar que todo espacio ultramtrico separable cuya mtrica sea 3n-valorada admite una inmersin isomtrica en (L, ) utilizaremos la idea de P.S.Urysohn [71] y probaremos que el espacio L es finitamente inyectivo:

    Lema 1.2.6. Sea (X, d) un espacio mtrico finito cuya mtrica d es 3n-valorada.En esta situacin, para cualquier subespacio A X, toda aplicacin isomtricaf : A L admite una extensin isomtrica f : X L.

    Demostracin. Bastar probar el caso en el que X \A est formado por un nicopunto x. En tal caso tenemos que encontrar un punto z L tal que (z, f(a)) =d(x, a) para todo punto a A. Sea Ax = {a A | d(x, a) = d(x,A)} el conjuntode todos los puntos de A ms prximos a x y sea d(x,A) = 3n. Fijemos un puntob Ax y definamos la sucesin z = {zn}nZ como sigue: zm = f(b)m si m < n,zm = s0 si m > n y zn es cualquier elemento del conjunto S distinto de f(c)n paratodo punto c Ax.

    Es fcil de ver que (z, f(c)) = 3n = d(x, c) para todo punto c Ax. Por otrolado para todo punto a A \ Ax tenemos que d(a, x) = d(a, b) = 3m > 3n loque significa que f(a)m 6= f(b)m = zm y por tanto (z, f(a)) = 3m = d(x, a).

    Teorema 1.2.7. Todo espacio mtrico separable (X, d) equipado con una mtricad que sea 3n-valorada admite una inmersin isomtrica en el espacio (L, ).

    Demostracin. Como X es separable ser suficiente con encontrar una inmersinisomtrica de un subespacio denso numerable A de X. Para ello se puede construir

    9

  • tal inmersin por induccin aplicando el lema 1.2.6.

    Corolario 1.2.8. Todo espacio ultramtrico separable admite una inmersin 3-bi-Lipschitz en el espacio (L, ).

    Demostracin. Basta aplicar por un lado Lema 1.2.5 y posteriormente el teorema1.2.7.

    El siguiente teorema nos da una importante propiedad de los espacios ultram-tricos. Decimos que un subconjunto A de un espacio X es un -Lipschitz rectractosi existe una aplicacin -Lipschitz f : X A tal que f | A sea la identidad.

    Teorema 1.2.9. Todo conjunto cerrado A de un espacio ultramtrico X es un-Lipschitz retracto de X para todo > 1. Si el subconjunto A no est acotado laretraccin puede ser mtricamente propia.

    Demostracin. Supongamos que X es un espacio ultramtrico y que A X es unsubespacio cerrado. Dado > 1 elijamos un nmero > 1 tal que 2 < .

    Fijemos un punto base x0 X. Tomemos un buen orden arbitrario k si z, z Ak y z d(x, y). Sin prdida degeneralidad podemos considerar que r(x) r(y).

    Si d(y, r(x)) d(y, r(y)), entonces r(x) Ay y r(x) r(y) contradice laeleccin de r(y) como el mnimo punto del conjunto Ay.

    10

  • En el caso que d(y, r(x)) > d(y, r(y)) denotamos por D la distancia entrer(x) y r(y) y vemos que d(y, r(x)) = d(r(x), r(y)) = D en el tringulo issceles{y, r(x), r(y)}. Como D > d(x, y), obtenemos d(x, r(x)) = d(y, r(x)) = D en eltringulo issceles {x, y, r(x)}.

    d(x, r(y)) dist(x,A) 1 d(x, r(x)) = D

    >D

    > d(x, y)

    Por tanto d(x, r(y)) = d(y, r(y)) en el tringulo issceles {x, y, r(y)}. As elpunto r(x) no pertenecer a Ay puesto que r(x) r(y), lo que implica qued(y, r(x)) = D > dist(y, A). Entonces existe un punto z A con d(y, z) < D

    .

    d(y, z) dist(y, A) d(y, r(y))

    =d(x, r(y))

    D2>D

    > d(x, y)

    Por tanto d(x, z) = d(y, z) en el tringulo issceles {x, y, z}. Como d(x, z) 1 no puede ser eliminada como muestra el siguiente ejemplo.

    Ejemplo 1.2.10. Sea X = {xn}n=1 una sucesin de puntos. Definimos d(x1, xn) =1 + 1

    ny d(xm, xn) = max{1 + 1m , 1 +

    1n} para todo m,n > 1. Entonces d es una

    ultramtrica en X y no existe una retraccin 1-Lipschitz de X en A = {xn}n=2.

    11

  • 1.2.2. Dimensin de Assouad-Nagata y Espacios Ultram-

    tricos

    Los espacios ultramtricos son los mejores ejemplos de espacios mtricos condimensin de Assouad-Nagata cero. De hecho para cualquier nmero positivo Dcualquier componente D-conexa de un espacio ultramtrico est contenida en unabola de radio D y por tanto estar D-acotada. Vamos a caracterizar los espaciosde dimensin de Assouad-Nagata 0 usando ultramtricas.

    El siguiente teorema aparece en [25, Proposicin 15.7].

    Teorema 1.2.11. Si en un espacio mtrico (X, d) su dimensin de Assouad-Nagata es tal que dimAN(X) 0, entonces existe una ultramtrica en X talque la identidad id : (X, d) (X, ) es bi-Lipschitz.

    Teorema 1.2.12. Todo espacio mtrico separable con dimensin de Assouad-Nagata 0 admite una inmersin bi-Lipschitz en el espacio (L, ).

    Demostracin. Basta aplicar el Teorema 1.2.11 y el Teorema 1.2.8.

    Teorema 1.2.13. En la categora Lipschitz las siguientes condiciones son equiva-lentes

    1. dimAN(X) 0;

    2. existe un nmero tal que cada subconjunto de X es un -Lipschitz retractode X;

    3. Existe un nmero tal que cada espacio mtrico es un extensor -Lipschitzpara X;

    4. La 0-esfera unidad S0 es un extensor para X.

    Adems las condiciones (1), (2), y (3) son equivalentes en la categora Lipschitzmtricamente propia.

    Demostracin. (1) = (2) en ambas categoras. El teorema 1.2.11 nos permiteencontrar una ultramtrica en X que sea equivalente bi-Lipschitz a d. Aplicandoel teorema 1.2.9 completamos esta parte de la demostracin.

    12

  • (2) = (3) tambin en ambas categoras. Dado un subespacio cerrado A X y una aplicacin Lipschitz f : A Y con Y un espacio mtrico cualquiera.Fijamos una -Lipschitz retraccin de la forma r : X A. Entonces la composicinf r : X K tiene la constante de Lipschitz acotada por Lip(f).

    (3) = (4) Trivial.(4) = (1) Sea m 1 un nmero tal que cualquier aplicacin -Lipschitz

    de un subconjunto cerrado A X a S0 puede ser extendida a una aplicacinm-Lipschitz de X. Si una de las componentes S-conexas de X no estuviese mS-acotada, existiran dos puntos z0 y z1 con d(z0, z1) > mS y una S-cadena de puntosde la forma z0 = x0, x1, . . . , xk = z1. Pero entonces observamos que la aplicacinf : {z0} {z1} S0 definida por f(z0) = 0 y f(z1) = 1 es 1d(z0,z1) -Lipschitz perocualquier extensin suya a la cadena de puntos sera al menos 1

    S-Lipschitz y por

    tanto no puede ser md(z0,z1)

    -Lipschitz (ya que 1S> m

    d(z0,z1)).

    (3) = (1) en la categora Lipschitz propia. Si una componente S-conexade X no fuera S-acotada, existiran un par de puntos z0 y z1 con d(z0, z1) >S y una S-cadena de puntos de la forma z0 = x0, x1, . . . , xk = z1. Sea A unsubconjunto no acotado S-discreto de X que contiene a los puntos z0 y z1. Enesta situacin la aplicacin identidad idA sera 1-Lipschitz pero cualquier extensinde esta aplicacin a la cadena no sera S-Lipschitz.

    1.2.3. Espacios de Dimension Uniforme nula

    Teorema 1.2.14. Si un espacio mtrico (X, d) tiene dimensin uniforme dimu(X) 0, entonces existe una ultramtrica en X tal que la aplicacin identidad id : (X, d) (X, ) es bi-uniforme

    Demostracin. Supongamos que el espacio X tiene dimensin uniforme igual azero de tipo D i.e. D es una funcin de control 0-dimensional. Consideremos dospuntos x, z X y definimos

    S =1

    2D1(d(x, z)).

    Entonces los puntos x y z pertenecern a diferentes S-componentes conexas de X.

    13

  • Por tanto para cualquier cadena x = x0, x1, . . . , xk1, xk = z tenemos que

    D1(d(x, z)) 2 max0i

  • Demostracin. (1) = (2) El teorema 1.2.14 nos permite encontrar una ultram-trica en X que sea bi-uniformemente equivalente a d. Aplicando a continuacinel teorema 1.2.9 completamos la demostracin

    (2) = (1) Si una S-componente conexa de X no fuera (S)-acotada, exis-tiran un par de puntos z0 y z1 con d(z0, z1) > (S) y una S-cadena de puntosz0 = x0, x1, . . . , xk = z1.

    En la categora uniforme sea A = {z0} {z1}. En la categora uniforme propiaconsideramos un subespacio cerrado A de X que contenga a los puntos z0 and z1 ytal que la distancia de {z0} {z1} al resto de puntos de A es mayor que d(z0, z1).

    Observamos ahora que cualquier retraccin de X a A restringida a la cadenallevara algunos puntos que estuvieran a distancia menor o igual que S a dospuntos a distancia mayor que d(z0, z1) > (S). Por tanto tal retraccin no podraser -uniforme.

    1.2.4. Ejemplos de espacios ultramtricos no equivalentes a

    gran escala

    En esta seccin construiremos una cantidad no numerable de espacios ultram-tricos no equivalentes a gran escala. Todos ellos tendrn geometra acotada.

    Definicin 1.2.17. Un espacio mtrico es de geometra acotada si existe un n-mero r > 0 y una funcin c : R+ R+ tal que la r-capacidad (el mximo cardinalde un subconjunto r-discreto) de toda -bola no supera c().

    Definicin 1.2.18. Sean (X, x0) e (Y, y0) espacios mtricos con puntos destacados.Definimos la wedge mtrico X Y como el wedge topolgico de estos espacios conla mtrica siguiente:

    d(z, z)

    dX(z, z

    ) si z, z X

    dY (z, z) si z, z Y

    max{dX(z, x0), dY (z, y0)} si z X \ {x0} y z Y \ {y0}

    Del mismo modo se puede definir el wedge mtrico en una familia arbitraria deespacios mtricos puntuales (cf.[14, Ejemplo 2] o [15, Teorema 2.2]).

    15

  • El lema siguiente es fcil de demostrar.

    Lema 1.2.19. El wedge mtrico de una familia de espacios puntuales ultramtricoses un espacio puntual ultramtrico.

    Si X es un espacio ultramtrico acotado de dimetro menor que M , entonces elcono (notacin: Cone(X,M)) se obtiene a partir de X al aadirle un vrtice extrav y declarar que d(v, x) = M para todo x X. Es claro que Cone(X,M) es unespacio ultramtrico puntual con el vrtice v como punto base.

    Nuestros ejemplos se obtendrn al realizar el wedge de conos sobre espaciosultramtricos bsicos, esto es, copias de 0-esqueletos de complejos simpliciales concierto reescalamiento.

    Dado un conjunto de enteros mayor que 1, construiremos una lista Xi, i 1,de espacios que llamaremos islas por medio de las siguientes condiciones:

    1. El cardinal ni de Xi pertenece .

    2. Existe un entero mi ni tal que d(x, y) = mi para todo x 6= y Xi. Esclaro que mi = diam(Xi).

    3. Para cada m n y n el conjunto de islas Xi tal que m = diam(Xi) yn = |Xi| es infinito

    El wedge X de todos los Cone(Xi, ki), donde ki =ji

    mj (pngase mj = 0

    para j 0), ser llamado el -archipilago. ki ser la separacin de la isla Xi enel -archipilago.

    Proposicin 1.2.20. Si 1 6= 2, entonces el 1-archipilago no es equivalente agran escala al 2-archipielago.

    Demostracin. Sea X1 un 1-archipilago y X2 un 2-archipilago. Supongamosque f : X1 X2 y g : X2 X1 son equivalentes a gran escala tales que lasaplicaciones g f y f g son C-prximas a la identidad y que no mueven lospuntos base. Asumamos que el conjunto 1 \2 es no vaco y fijemos un nmero nen l.

    16

  • Existen tres parmetros asociados a una isla en un archipilago: el tamao, eldimetro y la separacin. Por simplicidad, decimos que una (n,N, S)-isla contienen puntos, es de dimetro N y separacin S. Ntese que n N S.

    La idea de la demostracin es como sigue. Como el espacio X1 contiene muchasislas de n-puntos, vamos a elegir una (n,N, S)-isla P X tal que f(P ) sea tambinuna isla de n-puntos en X2. Como el archipilago X2 no tiene islas de n-puntos,obtendremos una contradiccin. Primero elegimos el tamao N de la isla P de talmodo que N sea lo suficientemente grande para que la aplicacin f sea inyectivaen P y la aplicacin g sea inyectiva en f(P ). Entonces elegimos la separacin S dela isla P que sea tambin suficientemente grande para que f(P ) est contenida enalguna islaQ deX2 y g(Q) est contenida en alguna isla deX1(de hecho g(Q) P ).

    Introducimos ahora algunas notaciones que usaremos en el resto de la demostra-cin. Dada una equivalencia a gran escala h : Y Z entre espacios mtricos, deno-tamos por h y h dos funciones reales tales que h(dY (y, y)) dZ(h(y), h(y)) h(dY (y, y

    )) para todo y, y Y . Si uno de los espacios Y , Z no est acotadoentonces el otro tampoco y lmt h(t) = = lmt h(t).

    Sea un entero N > C tal que f (N) > C. Vemos que al ser N > C, cualquier(n,N, S)-isla P X1 es C-discreta y est C-separada del resto de X1. Por tantola aplicacin g f es la identidad en P y la aplicacin f es inyectiva en P .

    Claramente, la imagen f(P ) de cualquier (n,N, S)-isla P X1 es f (N)-acotada en X2 y por tanto est contenida en alguna f (N)-componente Q de X2.Si la isla P est S-separada en X1, entonces su imagen f(P ) est al menos f (S)-lejos del punto base de X2. Elegimos S suficientemente grande para satisfacerf (S) > f (N) y por tanto tal nmero garantiza que la f (N)-componente conexade Q que contiene a f(P ) es una isla. Supongamos que Q es una (k,m, S )-isla conm f (N) y k > n ( f es inyectiva en P ).

    Como f (N) > C, la imagen f(P ) es C-discreta y por tanto m > C. Peroentonces la aplicacin f g es la identidad en Q y la aplicacin g es inyectiva enQ.

    La imagen g(Q) est g(m)-acotada y contiene a P . Eligiendo S mayor queg(f (N)) garantizamos que la isla P tiene una separacin mayor que g(m) del

    17

  • resto de X1, por tanto el conjunto g(Q) est completamente en P . Como g esinyectiva en Q, obtendramos n k. Esto es una contradiccin.

    Un equivalente a gran escala M0 del conjunto de Cantor fue introducido en[31]: Es el conjunto de todos los enteros positivos cuya expresin ternaria contienesolo ceros y doses con la mtrica heredada de R+: M0 = {

    i=0 ai3

    i | ai = 0, 2}.

    Proposicin 1.2.21. [31, Theorem 3.11] El espacio M0 es universal para todoslos espacios mtricos propios de geometra acotada y dimensin asinttica cero

    Como consecuencia obtenemos que:

    Corolario 1.2.22. Hay una cantidad no numerable de subesparcios en R de di-mensin asinttica 0 y que no son equivalentes a gran escala.

    Demostracin. Debido a la proposicin 1.2.21 es suficiente comprobar que cada-archipilago de X es propio y tiene geometra acotada.

    Dado R > 0, toda bola B(x,R) o bien coincida con B(x0, R), donde x0 es elcentro del archipilago X, o bien consiste en x nicamente, o bien es la isla quecontiene a x que tiene como mucho R puntos en tal caso. As, el nmero de puntosde cada bola en B(x,R) est acotado por algn nmero que slo depende de R.Esto demuestra que X es propio y de geometra acotada.

    1.3. Dimensin de Assouad-Nagata y extensiones

    Lipschitz

    1.3.1. Esferas como extensores Lipschitz

    Recordamos que un espacio mtrico E es un extensor Lipschitz de X si existeuna constante C > 0 tal que cada funcin -Lipschitz f : A E, con A unsubconjunto de X, se extiende a una funcin C -Lipschitz f : X E.

    El objetivo de esta seccin es encontrar condiciones necesarias y suficientespara que una esfera Sm sea un extensor Lipschitz de X. Esto se hace comparandola existencia de extensiones Lipschitz en rangos acotados de constantes Lipschitz

    18

  • con la existencia de refinamientos de Lebesgue en rangos acotados de contantes deLebesgue. (ver 1.3.1, 1.3.2, y 1.3.4).

    En analoga con las funciones -Lipschitz introducimos el concepto de recubri-miento r-Lebesque U que ser una simplificacin del hecho r L(U).

    Denotaremos por n el estndar smplice unidad de dimensin n con la l1-mtrica. Obsrvese que la esfera unidad Sn es equivalente bi-Lipschitz a la fronteran+1.

    Proposicin 1.3.1. Supongamos que X es un espacio mtrico y sean m 0,C > 0, y 2 > 1 > 0. Si cualquier funcin -Lipschitz f : A Sm, con A unsubconjunto de X y 1 < < 2, se extiende a una funcin C -Lipschitz de laforma f : X Sm, entonces el nmero t = 1

    4C(m+2)2(m+1)tiene la propiedad de

    que cualquier recubrimiento r-Lebesque finito de la forma U = {U0, . . . , Um+1} deX con 4(m+2)

    2

    2< r < 4(m+2)

    2

    1admitir un refinamiento V tal que V es t r-Lebesque

    y la multiplicidad de V es menor o igual que m+ 1.

    Demostracin. Sea r un nmero tal que 4(m+2)2

    2< r < 4(m+2)

    2

    1y sea U un recu-

    brimiento r-Lebesque. Por tanto 1 < 4(m+2)2

    r< 2. Consideremos la aplicacin

    baricntrica : X N(U) = m+1. Obsrvese que Lip() 4(m+2)2

    r. Exis-

    te por tanto g : X m+1 tal que Lip(g) 4C(m+2)2

    ry g(x) = (x) pa-

    ra todo x X tal que (x) m+1. Consideremos la familia de conjuntosVi = {x X | gi(x) > 0}. Obsrvese que V = {Vi}i=m+1i=0 tiene multiplicidadmenor o igual que m + 1. Tambin observamos que x Vi implica x Ui, ypor tanto V refina U . Dado x X existe un i tal que gi(x) 1m+1 . Y as sid(x, y) < r

    4C(m+2)2(m+1), entonces |gi(x) gi(y)| < 1m+1 y gi(y) > 0. De lo que se

    sigue que la bola en x de radio r4C(m+2)2(m+1)

    est contenida en un elemento de V .Esto demuestra que V es t r-Lebesque, con t = 1

    4C(m+2)2(m+1).

    La idea que hay detrs de la demostracin de la siguiente proposicin se com-prende mejor al pensar en las aplicaciones de X a un (m+1)-smplice m+1 comouna particin de la unidad. Como queremos crear una aplicacin a su fronteraSm = m+1, una herramienta geomtrica ser la proyeccin radial r que se ex-presa de la forma (1 ) r+ , siendo una particin de la unidad que viene

    19

  • de un recubrimiento de X de multiplicidad menor o igual que m+ 1.

    Proposicin 1.3.2. Sea (X, d) un espacio mtrico y sean m 0, t > 0, y r2 >r1 > 0. Existe un s > 0 tal que si cualquier recubrimiento r-Lebesque finito U ={U0, . . . , Um+1} de X, donde r1 < r < r2, admite un refinamiento t r-Lebesque Vque satisface m(V) m + 1, entonces cualquier funcin -Lipschitz f : A Sm,A X, admite una extensin C -Lipschitz f : X Sm siempre y cuando

    112sr2(m+2)

    < < 112sr1(m+2)

    y C = 102s(m+2)3

    t.

    Demostracin. Se sigue de [55] que existe s > 0 tal que dada una funcin -Lipschitz f : A m+1 se puede extender a una funcin s -Lipschitz g : X m+1.

    Supongamos 112sr2(m+2)

    < < 112sr1(m+2)

    y que f : A m+1 es una funcin -Lipschitz. Por lo anterior podemos extender tal funcin a otra funcin s-Lipschitzg : X m+1. Sea : X [0, 1] definida como (x) = (m+ 2) mn{gi(x) | 0 i m + 1}. Obsrvese que Lip() (m + 2)s . Sea : [0, 1] [0, 1] definidacomo (z) = 3z 1 en [1/3, 2/3], (z) = 0 para z 1/3 y (z) = 1 para z 2/3.Obsrvese que Lip() 3.

    Construimos los conjuntos Ui = {x X | gi(x) > (x)m+2 (x) > 2/3}. Veamosque L(U) r = 1

    12s(m+2)como sigue:

    Caso 1: x X y (x) > 3/4. De este modo, para cada y X con d(x, y) 0, entonces

    Lip(u

    v) M Lip(u) + Lip(v)

    k2.

    3. v(x) = 1 (x) 1/3 si 1((x))1(x) > 0.

    Por tanto Lip(m+1i=0

    ((x)) i(x) ei) (m + 2)(3 Lip() + Lip()) (m +

    2)(3 (m+2)s+ 48s(m+2)3

    t) 51s(m+2)

    3t

    . Tambin, Lip(1((x))1(x) ) 9 4 Lip()

    36(m+2)s, as llegamos a que Lip(m+1i=0

    (gi(x) (x)m+2) 1((x))

    1(x) ) (m+2) (2s+

    36(m+ 2)s) 50(m+ 2)2s 51s(m+2)3

    ty la constante C = 102s(m+2)

    3

    tsatisface

    lo requerido.

    Solo falta demostrar que h(X) m+1 y que h|A = f . Esto ltimo se siguedel hecho (x) = 0 si x A. Por otro lado, resulta evidente que se cumpleh(x) m+1 supuesto que se cumple o bien ((x)) = 0 o bien ((x)) = 1, portanto supongamos 0 < ((x)) < 1. En tal caso i(x) > 0 implica gi(x) (x)m+2 > 0,as que la nica posibilidad para que h(x) no est en m+1 es que gi(x) (x)m+2 > 0para todo i, lo cual no es posible.

    Las proposiciones 1.3.1 y 1.3.3 implican el siguiente corolario:

    Corolario 1.3.3. Si X es un espacio mtrico y m 0, entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

    a. Sm es un extensor Lipschitz de X.

    b. Existe t > 0 tal que cada recubrimiento finito U = {U0, . . . , Um+1} de Xadmite un refinamiento V tal que L(V) tL(U) y la multiplicidad de V esmenor o igual que m+ 1.

    21

  • Proposicin 1.3.4. Supongamos que X es un espacio mtrico, y sean n 0,1 > t > 0, y r2 > r1 > 0. Si cada recubrimiento r-Lebesque U = {U0, . . . , Un+1}de X, con r1 < r < r2, admite un refinamiento 4t r-Lebesque V que satisfacem(V) n + 1, entonces cada recubrimiento s-Lebesque W = {W0, . . . ,Wn+2} deX, con 4r1 < s < 4r2, admite un refinamiento t s-Lebesque V con multiplicidadmenor o igual que n+ 2.

    Demostracin. Supongamos que 4r1 < s < 4r2. En primer lugar demostraremosque todo recubrimiento s/2-Lebesque U = {Ui}i=n+1i=0 de A X consistente enn + 2 elementos admite un refinamiento V tal que L(V) t s y m(V) n + 1.Definimos U i = Ui (X \ A) para i n + 1. Es claro que se tiene L(U ) s/4.De hecho, si x X, entonces B(x, s/4) A es o bien vaco o est contenido enB(y, s/2) para algn y A. Como B(y, s/2)A Ui para algn i n+1 entoncesB(y, s/2) U i y B(x, s/4) U i . As existe un recubrimiento W de X tal que Wes un refinamiento de U , se cumple que L(W) 4t s/4 y m(W) n+ 1. Bastaahora con definir V = W|A para finalizar esta parte de la demostracin.

    Supongamos que W = {W0, . . . ,Wn+2} es un recubrimiento s-Lebesque de X.Sea A la unin de bolas B(x, s/2) tales que B(x, s) no est contenida en Wn+2.Definimos Ui = Wi A para todo i n + 1. Se puede ver que L(U) s/2 alconsiderar U = {Ui}i=n+1i=0 como recubrimiento de A. Es ms, si x A, entoncesexiste y X tal que B(y, s) no est contenida en Wn+2 y x B(y, s/2). Portanto, B(y, s) Wi para algn i n + 1 lo que significa que B(x, s/2) A B(y, s) A Wi A = Ui.

    Refinamos cada Ui en Vi de tal forma que la interseccin de todos los Vi es vacay L(V) t s. Definimos W i = Vi para i n+1 y W n+2 = Wn+2. El recubrimientoW tiene multiplicidad menor o igual n+2. Queremos ver ahora que L(W ) t s.Si B(x, s) Wn+2, no hay nada que probar. De otro modo B(x, s/2) A y existei n+ 1 tal que B(x, t s) Vi en cuyo caso B(x, t s) W i .

    Corolario 1.3.5. Supongamos que X es un espacio mtrico y sea n 0. Si Sn esun extensor Lipschitz de X entonces Sn+1 tambin.

    Demostracin. Por 1.3.3 existe un t > 0 tal que cada recubrimiento U de Xformado por n+2 elementos admite un refinamiento V que satisface L(V) tL(U)

    22

  • y m(V) n + 1. Sea 2 suficientemente grande y 1 suficientemente pequeo.Podemos suponer que t < 1, de este modo utilizando 1.3.4 y 1.3.3 terminamos lademostracin.

    Definicin 1.3.6. Un espacio mtrico E es un extensor Lipschitz a gran escala(respectivamente, extensor Lipschitz a pequea escala)de un espacio mtrico X siexisten constantes C,M > 0 tal que toda funcin -Lipschitz f : A E, con Aun subconjunto de X, se extiende a una funcin C -Lipschitz f : X E paratodo < M (respectivamente, para todo > M).

    Si ahora combinamos 1.3.1, 1.3.2, y 1.3.4 se pueden probar fcilmente las ver-siones a gran/pequea escala del resultado 1.3.3.

    Corolario 1.3.7. Si X es un espacio mtrico y m 0, entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

    a. Sm es un extensor Lipschitz a gran escala (respectivamente, un extensor Lips-chitz a pequea escala ) de X.

    b. Existen constantes t,M > 0 tales que para cada recubrimiento finito r-Lebesque U = {U0, . . . , Um+1} de X, con r > M (respectivamente, r < M),admite un refinamiento t r-Lebesque V de multiplicidad menor o igual quem+ 1.

    Como en 1.3.5 se puede problar la siguiente versin a gran/pequea escala:

    Corolario 1.3.8. Sea X un espacio mtrico y n 0. Si Sn es un extensor Lipschitza gran escala (respectivamente a pequea escala) de X, entonces tambin lo esSn+1.

    1.3.2. Dimension de Assouad-Nagata y extensiones Lips-

    chitz

    Teorema 1.3.9. Sea X un espacio mtrico de dimensin de Assouad-Nagata fi-nita. Y sea n 0. En esta situacin las siguientes condiciones son equivalentes:

    23

  • a. Sn es un extensor Lipschitz de X.

    b. dimAN(X) n.

    Observaciones 1.3.10. La implicacin b.a. puede obtenerse de los resultados de[52].

    Demostracin. La implicacin b. = a. se sigue de 1.3.3 de la siguiente manera.Sea un recubrimiento U de X de nmero de Lebesque L(U) > 0 tomemos unrecubrimiento V tal que mesh (V) < L(U), L(V) > L(U)/C y m(V) m + 1. Esclaro que V es un refinamiento de U y que L(V) > L(U)/C.

    a. = b. Sin prdida de generalidad por el resultado 1.3.5, podemos suponerque dimAN(X) n + 1. Elegimos k > 0 de tal forma que dado una funcin -Lipschitz f : A n+1 se pueda extender a una funcin k -Lipschitz g : X n+1. Sea c > 1 una constante tal que para todo r > 0 existe un recubrimientoU de X de tamao menor o igual que c r y nmero de Lebesgue mayor o igualque r. Para tal recubrimiento tomamos una aplicacin baricntrica f : X N (U)al nervio de U tal que Lip(f) 4(n+2)

    2

    r. Dado un (n + 1)-smplice en N (U)

    tomamos la funcin f |f1() y la extendemos en f1() para obtener g :f1() de nmero Lipschitz menor o igual que k 4(n+2)

    2

    r. Pegando todos

    los g conjuntamente obtenemos g : X N (U).Si v es un vrtice del complejo simplicial, denotamos por st(v) la estrella abierta

    de v. Nuestro objetivo es estimar el tamao y el nmero de Lebesgue de g1(st(v)),con v un vrtice de N (U).

    El tamao de {g1(st(v))} es menor o igual que {f1(st(v))} puesto que paratodo v tenemos la inclusin g1(st(v)) f1(st(v)). Es ms, si x g1(st(v))entonces gv(x) > 0. Por la construccin de g esto implica fv(x) > 0. Y as x f1(st(v)).

    Supongamos que C es un subconjunto de X de dimetro menor que r4k(n+3)3 .

    Tomemos todos los elementos U0, . . . , Um U que intersecan a C y sea vi los corres-pondientes vrtices de N (U). Tenemos que m n + 1 y g(C) est contenido enel smplice [v0, . . . , vm] de N (U). Escogemos un x0 C y, sin prdida de genera-lidad, suponemos que la coordenada baricntrica gv0(x0) de g(x0) correspondiente

    24

  • a v0 es al menos 1n+2 . Suponemos ahora que g(x) no pertenece a st(v0) para algnx C. En ese caso, gv0(x) = 0 y 1n+2 |gv0(x) gv0(x0)| (k

    (n+3)2

    r) d(x, x0)

    (k 4(n+3)2

    r) r

    4k(n+3)3 =1

    n+3, lo que es una contradiccin.

    Si definimos d = r4k(n+3)3 el argumento anterior muestra la existencia de un

    recubrimiento V of X de multiplicidad menor o igual que n + 1, de nmero deLebesque al menos d, y de tamao menor o igual que d 16c k (n + 3)3. Estoimplica que dimAN(X) n.

    Ajustando la demostracin de 1.3.9 se puede deducir fcilmente lo siguiente:

    Teorema 1.3.11. Sea X un espacio mtrico de dimensin microscpica de Assouad-Nagata finita(respectivamente, de dimensin asinttica de Assouad-Nagata finita).Si n 0, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

    a. Sn es un extensor Lipschitz a pequea escala (respectivamente, a gran escala)de X

    b. La dimension microscpica de Assouad Nagata (respectivamente, la asint-tica de Assouad -Nagata) de X es menor o igual que n.

    25

  • 26

  • Captulo 2

    Dimensin de Assouad-Nagata e

    invariantes a gran escala

    En este captulo relacionamos la dimensin de Assouad-Nagata con dos inva-riantes a gran escala: los conos asintticos y la dimensin asinttica.

    Un problema importante en teora geomtrica de grupos es relacionar las pro-piedades de grupos finitamente generados G con propiedades topolgicas de susconos asintticos. Por ejemplo:

    Un grupo finitamente generado es virtualmente abeliano si y solo si sus conosasintticos son isomtricos al espacio Rn [40].

    Un grupo finitamente generado es virtualmente nilpotente si y solo si susconos asintticos son localmente compactos [40] [32] [33].

    Un grupo finitamente generado es hiperblico si y solo si sus conos asintticosson R-rboles [41].

    Un grupo finitamente generado G es relativamente hiperblico con respectoa los subgrupos finitamente generados H1, . . . , Hn si y solo si todo cono asin-ttico de G es rbol-graduado con respecto a los -lmites de las secuenciasde las clases cocientes de los subgrupos Hi [34].

    27

  • As sera de inters detectar una propiedad en un grupo finitamente generadoG que implique que sus conos asintticos son finito dimensionales.

    En [40], Gromov demostr que los conos asintticos de los grupos finitamentegenerados y crecimiento polinomial eran finito-dimensionales, para ello utiliz quesu dimensin de Hausdorff es finita.

    J.Burillo [22] mostr que los conos asintticos de los grupos Baumslag-Solitareran 1-dimensionales y us esto para demostrar que el grupo fundamental de talesconos es no libre y no numerable.

    Recientemente, J.Behrstock y Y.Minsky [9] demostraron lo siguiente:

    Teorema 2.0.12 (Teorema de la Dimension de Behrstock-Minsky). Lamxima dimensin topolgica de un subconjunto localmente compacto del conoasinttico de un grupo mapping class es igual al mximo rango de un subgrupoabeliano.

    El objetivo de la primera parte es relacionar la dimensin asi