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Universidad de Managua
Curso de Optimización
Objetivos y Temáticas del Curso
Estudiantes:
Facultad de
Ingeniería
Profesor:
MSc. Julio Rito
Vargas Avilés.
I Cuatrimestre 2018
Año académico:
ORIENTACIONES GENERALES
• SITIOS WEB:
• jrvargas.wordpress.com
• juliovargas.udem.edu.ni
• Libro básico:
• PRÁCTAS DE INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES CON POM-QM.
• Software: POM-QM
Bibliografía
Bibliografía
OBJETIVOS DEL CURSO
Decidir los algoritmos que aplicará a los problemas planteados de
programación lineal, emplearlos en los mismos y analizar
críticamente los resultados para producir informes tendientes a la
toma de decisiones.
Aplicar los conceptos de optimización de redes en la formulación de
modelos, principalmente en la formulación de proyectos.
Aplicar las técnicas fundamentales de modelos de optimización para
la solución de problemas de optimización.
Determinar a través de los modelos de transporte y asignación las
acciones adecuadas que deben ser tomadas por las empresas
,
Analizar los conceptos de análisis de sensibilidad, su aplicación a la
solución de modelos de optimización
..
TEMAS DEL CURSO DE OPTIMIZACIÓN
1. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
- MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER PPL
- REGIÓN FACTIBLE, FUNCIÓN OBJETIVO,
RESTRICCIONES.
2. MÉTODO SIMPLEX PARA RESOLVER PPL
ESTRUCTURA DE LA TABLA DEL SIMPLEX
PROBLEMAS
3. ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD A PPL
- CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES, CAMBIOS EN LAS
VARIABLES, CAMBIOS EN LOS RECURSOS, CAMBIOS EN
LOS COEFICIENTES TECNOLOGICOS, ETC.
4. PROBLEMAS DE TRANSPORTE, TRANSBORDO Y
ASIGNACIÓN.
- MÉTODOS DE SOLUCIÓN
. PROBLEMAS
5. PLANIFICACIÓN CON PERT-CPM
Concepto de Programación Lineal:
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una
función lineal, denominada función objetivo, de tal forma
que las variables de dicha función estén sujetas a una
serie de restricciones que expresamos mediante un
sistema de inecuaciones lineales.
La programación lineal es una técnica matemática que
se utiliza para la solución de diferentes tipos de
problemas. El éxito en su aplicación a problemas reales
y complejos es avalado por una gran cantidad de
instituciones productoras de bienes y servicios en
muchos países del mundo.
La programación lineal consiste básicamente en la
construcción, solución y análisis del modelo lineal de un
problema dado.
Optimización: En matemáticas o programación
matemática la optimización intenta dar respuesta a un
tipo general de problemas donde se desea elegir la mejor
entre un conjunto de soluciones posibles. En su forma
más simple, el problema equivale un sistema de
ecuaciones e inecuaciones lineales.
Optimización: En términos generales, un problema de
optimización consiste en encontrar el valor mínimo o
minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una
cierta función objetiva, de tal forma que satisfagan un
conjunto de condiciones dadas.
Universidad de Managua
Curso de Programación Lineal
Metodologías para la Solución de
Problemas de Programación Lineal.
METODOLOGÍA PARA RESOLVER
PROBLEMAS DE PL
1. Definición del problema
Esto incluye:
1. determinar los objetivos apropiados
2. las restricciones sobre lo que se puede hacer
3. las interrelaciones del área bajo estudio con otras
áreas de la organización
4. los diferentes cursos de acción posibles
5. los límites de tiempo para tomar una decisión, etc.
Este proceso de definir el problema es crucial ya
que afectará en forma significativa la relevancia
de las conclusiones del estudio.
2. Formulación de un modelo matemático
La forma convencional en que PROGRAMACIÓN
LINEAL realiza esto es construyendo un modelo
matemático que represente la esencia del problema.
Un modelo siempre debe ser menos complejo que el
problema real, es una aproximación abstracta de la
realidad con consideraciones y simplificaciones que
hacen más manejable el problema y permiten
evaluar eficientemente las alternativas de
solución.
3. Obtención de una solución a partir del modelo.
Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las
variables dependientes, asociadas a las componentes
controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es
posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la efectividad del
sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y
las restricciones del problema.
La selección del método de solución depende de las
características del modelo. Los procedimientos de solución
pueden ser clasificados en tres tipos: a) analíticos, que utilizan
procesos de deducción matemática; b) numéricos, que son de
carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba
y error; c) simulación, que utiliza métodos que imitan o, emulan al
sistema real, en base a un modelo.
4. Prueba del modelo
Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para
intentar identificar y corregir todas las fallas que se puedan
presentar
5. Validación del modelo
Es importante que todas las expresiones matemáticas sean
consistentes en las dimensiones de las unidades que emplean.
Además, puede obtenerse un mejor conocimiento de la validez
del modelo variando los valores de los parámetros de entrada
y/o de las variables de decisión, y comprobando que los
resultados de modelo se comporten de una manera factible.
6. Análisis de Sensibilidad
Esta fase consiste en determinar los rangos de variación de los
parámetros dentro de los cuales no cambia la solución del
problema.
Es necesario generar información adicional sobre el
comportamiento de la solución debido a cambios en los
parámetros del modelo. Usualmente esto se conoce como
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.
7. Implantación de la solución
El paso final se inicia con el proceso de
“vender" los hallazgos que se hicieron a lo
largo del proceso a los ejecutivos o tomadores
de decisiones.
Fases de un
Estudio PL
FORMULACIÓN DEL
PROBLEMA
CONSTRUCCIÓN DEL
MODELO
NECESIDAD DE
REORGANIZACIÓN
MODELO DEL SISTEMA REAL
SISTEMA DE INTERÉS OBTENCIÓN DE DATOS
TOMA DE DECISIONES
IMPLEMENTACIÓN Y
CONTROL
SOLUCIÓN DEL MODELO
INTERPRETACIÓN DE
RESULTADOS E
IMPLICACIONES
VALIDACIÓN DEL MODELO
ANÁLISIS DE
SENSIBILIDAD
Introducción a la Programación lineal
El problema general es asignar recursoslimitados entre actividadescompetitivas de la mejor manera posible(óptima).
Este problema incluye elegir el nivel deciertas actividades que compiten porrecursos escasos necesarios pararealizarlas
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
El adjetivo lineal significa que todas las funciones
matemáticas del modelo deber ser funciones
lineales. En este caso, las palabra programación
no se refiere a programación en computadoras;
en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la
programación lineal trata la planeación de las
actividades para obtener un resultado óptimo.
• La programación lineal es un método
eficiente para determinar una
decisión óptima entre un gran número
de decisiones posibles
• Es impresionante el número y la
diversidad de problemas en los que
se puede aplicar.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Características de la problemas de
programación lineal
• Proporcionalidad: las variables y la
función objetivo deben ser lineales
• Aditividad: Es necesario que cada
variable sea aditiva respecto a la
variable objetivo
Características de la problemas de
programación lineal
• Divisibilidad: las soluciones no deben
ser necesariamente números enteros
• Optimalidad: La solución óptima
(máximo o mínimo) debe ocurrir en
uno de los vértices del conjunto de
soluciones factibles
MODELO GENERAL DE PL
Los términos clave son recursos y
actividades, en donde m denota el número
de distintos tipos de recursos que se
pueden usar y n denota el número de
actividades bajo consideración.
Z =valor de la medida global de efectividad
Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)
Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en
el nivel de la actividad j
bi =cantidad de recurso i disponible para asignar a las
actividades (para i = 1,2,...,m)
aij =cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la
actividad j
Estructura de un modelo de PL
1. Función objetivo. Consiste en optimizar el objetivoque persigue una situación la cual es una funciónlineal de las diferentes actividades del problema, lafunción objetivo se maximizar o minimiza.
2. Variables de decisión. Son las incógnitas delproblema. La definición de las variables es el puntoclave y básicamente consiste en los niveles de todaslas actividades que pueden llevarse a cabo en elproblema a formular.
3. Restricciones Estructurales. Diferentesrequisitos que debe cumplir cualquier soluciónpara que pueda llevarse a cabo, dichasrestricciones pueden ser de capacidad, mercado,materia prima, calidad, balance de materiales,etc.
4. Condición técnica. Todas las variables debentomar valores positivos, o en algunos casospuede ser que algunas variables tomen valoresnegativos.
Estructura de un Modelo de pl
Modelo general de PL
n
j
ijij mibxa1
,......,2,1
njx j ,.......,2,10
n
j
jj xc1
Optimizar Z =
Sujeta a:
Conjunto factible: Región del planoCerrada (polígono)
Abierta
x 0y 0
x = 5
x 5
x – y = 0
x – y 0
¿Cuál es la región factible
del sistema
x 0
y 0
x 5
x – y 0
x≤5
x-y≥0
Conjunto factible(gráfica)
Cuando un modelo de programación lineal se
expresa en términos de dos variables puede
resolverse con procedimientos gráficos.
Max z=2x +y
sujeto
2x+y≤480
2x+3y≤600
x≥0
y≥0
• Conceptos clave:
Conjunto factible: Es el conjunto
de puntos que integran la región de
resolución.
Solución factible: Cada punto que
integra la región (plana) que
resuelve el problema.
Solución óptima: Constituye la
solución al problema de
programación lineal.
¿ Cuál es el objetivo de la solución gráfica?
Encontrar (entre todos los puntos
del conjunto factible) el punto o los
puntos que optimicen la función
objetivo.
De clic sobre cada imagen….
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Planteamiento Descarga del WinQsb Uso del WinQsb
Solución óptima
Si la región factible es cerrada la solución óptima está en un vértice del
polígono (cuando es única) o todo un lado del polígono (infinitas
soluciones)
Si la región factible es abierta, puede haber solución única (en un vértice),
infinitas soluciones (todo un lado) o no tener solución
Número de soluciones de un problema de programación lineal
Para un problema de minimización
Solución únicaSolución de arista:infinitas soluciones
No hay mínimo
Para un problema de maximización
Solución únicaSolución de arista:infinitas soluciones No hay máximo
Problema 1: Una fábrica de bombones tiene
almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg..
de almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos
tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg.
de chocolate, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de
frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de
chocolate, 1.5 Kg. de almendras y 1 Kg. de
frutas. Las utilidades de las cajas de tipo A y B
son $3 y $3.50 , respectivamente. ¿Cuántas
cajas de cada tipo debe fabricar para
maximizar sus utilidades?
Un problema de máximos de programación lineal
Problema 1: Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 Kg.. de chocolate, 100 Kg.. de
almendras y 85 Kg.. de frutas. Produce dos tipos de cajas: las de tipo A contienen 3 Kg. de
chocolote, 1 Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas; la de tipo B contiene 2 Kg. de chocolate, 1,5
Kg. de almendras y 1 Kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 13 y 13,50 €,
respectivamente. ¿Cuántas cajas de cada tipo debe fabricar para maximizar sus venta?
Caja tipo A Caja tip B Disponibles
Chocolate 3 2 500
Almendras 1 1.5 100
Frutas 1 1 85
Precio en euros 13 13.50
La siguiente tabla resume los datos del problema
Designando porx = nº de cajas de tipo Ay = nº de cajas de tipo B
Función objetivo z = f (x, y) = 13x + 13.5y que hay que maximizar
Con las restricciones:
3x + 2y 500 (por el chocolate almacenado)x + 1.5y 100 (por la almendra almacenada)x + y 85 (por la fruta almacenada)x 0
y 0
3X1 + 2X2 ≤ 500
X1 + 1.5X2 ≤ 100
• En un primer paso representamos la región factible.
• En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.
R(0, 100/1,5)
Q(55, 30)
P(85, 0)
• Finalmente evaluamos la función objetivo z = 13x + 13,50y en cada vértice, para obtener el máximo
• z(P) = 13.85+13,50. 0 = 1105 €• z(Q) = 13.55+13,50. 30 = 1120 €• z(R) = 13.0+13,50. 100/1,5 = 900 €
Problema 2:
Una compañía fábrica mesas y sillas. La fabricación de una mesa
requiere 10 horas y la de una silla 5 horas. El número total de horas de
trabajo disponibles por periodo es de 3200 horas. Aunque el tiempo
ocioso y las horas extras son opciones aceptables. La compañía desea
que el número total horas de trabajo se aproxime lo más posible a 3200
horas.
Se utiliza una pieza de madera para fabricar una mesa y media pieza
para una silla; durante el periodo se dispone de 300 piezas de madera y
no es posible comprar más, la compañía desea utilizar lo más posible
de esta reserva de madera durante cada periodo.
La compañía fabrica mesas sobre pedidos y se ha comprometido a
proveer 200 mesas durante un periodo dado. Cualquier mesa adicional
que se produjera tendría que mantenerse en inventario, y la empresa
desea minimizar el numero de mesas que mantenga en inventario.
La demanda de sillas es incierta, pero se estima que será entre 200 y
250. la compañía desea fabricar sillas aproximándose lo mas posible a
estas cifras.
Las utilidades por mesas es de $30 y las de silla $15.
Problema 2:
X1: # mesas X2: # sillas
Max Z= 30X1 + 15X2
Sujeto a:
10X1 + 5X2 ≤ 3200
X1 + 0.5X2 ≤ 300
0 ≤ X1 ≤ 200
200 ≤ X2 ≤ 250
Problema2: Un grupo local posee dos emisoras de radio, una de FM y otra de AM. La emisora de FM emite diariamente 12
horas de música rock, 6 horas de música clásica y 5 horas de información general. La emisora de AM emite diariamente
5 horas de música rock, 8 horas de música clásica y 10 horas de información general. Cada día que emite la emisora de
FM le cuesta al grupo 5000 €, y cada día que emite la emisora de AM le cuesta al grupo 4000 €. Sabiendo que tiene
enlatado para emitir 120 horas de música rock, 180 horas de música clásica y 100 horas de información general, ¿cuántos
días deberá emitir con ese material cada una de la emisoras para que el coste sea mínimo, teniendo en cuenta que entre
las dos emisoras han de emitir al menos una semana?
Emisora FM Emisora AM Disponibles
Música rock 12 5 120
Música clásica 6 8 180
Información general 5 10 100
Coste en euros 5000 4000
La siguiente tabla resume los datos del problema
Designando porx = nº de días de AMy = nº de días de FM
Función objetivo z = f (x , y) = 5000x + 4000y que hemos de minimizar
Con las restricciones:
12x + 5y 120 (por la música rock)6x + 8y 180 (por la música clásica)5x + 10y 100 (por la información general)
x + y 7 (emitir al menos una semana)x 0
y 0
Un problema de mínimos de programación lineal
• En un primer paso representamos la región factible.
• En un segundo paso obtenemos los vértices de la región factible.
R(0, 10)
Q(7.37, 6.32)
P(10, 0)
• Finalmente evaluamos la función objetivo z = 5000x + 4000y en cada vértice, para obtener el mínimo.
• z(P) = 5000.10+4000. 0 = 50000 €• z(Q) = 5000.7.37+4000. 6.32 =
62130 €• z(R) = 5000.0+4000. 10 = 40000 €• z(S) = 5000.0+4000. 7 = 28000 €• z(T) = 5000.7+4000. 10 = 35000 €
T(7, 0)
S(0, 7)
Resumen
Optimizar (maximizar o minimizar) z = a x + by sujeta a las siguientes restricciones
a1x + b1y d1
a2x + b2y d2
... ... ...
anx + bny dn
Función objetivo
• Solución posible: cualquier par de valores (x1, y1) que cumpla todas la restricciones. Al conjunto de soluciones posibles de un problema lineal se le llama región factible.
• Solución óptima: un par de valores (x1, y1), si existe, que hace máxima o mínima la función objetivo
Un problema de programación lineal puede:
• Tener solución única• Tener infinitas soluciones• No tener solución
FIN
INVESTIGACION
DE
OPERACIONES I
JRVA
