UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Rodrigo Alexandre Siqueira

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA

Rodrigo Alexandre Siqueira

Analise Matematica do Problema de Navier-Stokes

para Fluidos Quanticos Compressıveis Barotropicos

Curitiba

2013

Rodrigo Alexandre Siqueira

Analise Matematica do Problema de Navier-Stokes

para Fluidos Quanticos Compressıveis Barotropicos

Dissertacao apresentada ao Curso de Pos-

Graduacao em Matematica Aplicada, Area

de Concentracao em Equacoes Diferenciais

Parciais, Departamento de Matematica, Setor

de Ciencias Exatas, Universidade Federal do

Parana, como requisito parcial a obtencao do

grau de Mestre em Matematica Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Pedro Danizete Damazio

Curitiba

2013

“Ao nao saber que era impossıvel, ele foi

la e fez!”

i

Dedico

A minha mae Judite e a minha esposa

Elaine que sempre me incentivam e me

dao forcas para que eu nunca desista

dos meus objetivos.

ii

Agradecimentos

Agradeco primeiramente a Deus, por varios motivos, mas principalmente por ele ter

me amado primeiro e sempre ter cuidado de mim nos momentos que eu menos merecia.

Ao Professor Pedro que, sem medir esforcos, esclareceu muitas duvidas e possibilitou

a realizacao deste trabalho, pela orientacao, apoio, incentivo, confianca e, principalmente,

pela amizade demonstrada ao longo desta trajetoria.

Ao professor Jose Renato pelas conversas, incentivo, conselhos, apoio e amizade que

tornou essa trajetoria mais suave.

A todos os professores da UFPR que, de maneira direta ou indireta, colaboraram para

a realizacao deste trabalho.

Aos colegas da pos-graduacao pela amizade, companheirismo e contribuicao no desen-

volvimento desta dissertacao.

A Capes pelo auxilio financeiro.

iii

Resumo

No presente trabalho estudaremos a existencia de solucao fraca global

do Problema de Navier-Stokes para fluidos quanticos baratropicos

compressıveis e viscosos. Analisaremos o problema de Navier-Stokes,

sempre considerando o toro Td = Ω com d ≤ 3 onde a medida de Ω e

finita. Para garantirmos a existencia de solucao fraca global, usamos o

metodo de Faedo-Galerkin.

Palavras-chave: Equacao de Navier-Stokes quantica, fluidos com-

pressıveis, Solucao fraca, Global no tempo.

iv

Abstract

In this work we study the existence of global weak solution of the

Navier-Stokes problem for viscous compressible barotropic quantum

fluids. We will analyze the problem of Navier-Stokes, always considering

the torus Td = Ω with d ≤ 3 where the measurement of Ω is finite. To

ensure the existence of global weak solution, we use the Faedo-Galerkin

method.

Key-words: Navier-Stokes quantum compressible fluids, weak solution,

Global in time.

v

Sumario

Notacao 1

1 Resultados Preliminares 3

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Mecanica Bohmiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Topicos de Analise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Os Espacos Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 O Espaco Vetorial das Distribuicoes Escalares . . . . . . . . . . . . 18

1.3.4 Os Espacos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.5 A Integral de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.6 Os Espacos Lp(0, T ;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.7 Distribuicoes Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.8 O Teorema de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.9 Resultados Relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.10 Identidades Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Novo Problema Quantico 37

2.1 Problema de Euler Quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Problema de Euler Quantico Penalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Existencia de Solucao Fraca Global do Problema de Euler Quantico

Penalizado 40

3.1 Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 O Problema Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Passagem ao Limite (k → +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Existencia Global de Solucao Fraca do Problema de Euler Quantico 76

4.1 Existencia Global de Solucao Fraca do Problema de Navier-Stokes Quantico 78

vi

Referencias Bibliograficas 79

vii

Notacao

O produto escalar de vetores a = [a1 a2 ... an]T , b = [b1 b2 ... bn]T e denotado por;

a · b =n∑i=1

ai.bi;

o produto escalar de matrizes A = Ai,jni,j=1, B = Bi,jni,j=1 e denotado por;

A : B =n∑

i,j=1

Ai,j.Bi,j;

o produto da matriz A = Ai,jni,j=1 com o vetor b = [b1 b2 ... bn]T e denotado por;

[Ab]i =n∑j=1

Ai,jbj para i = 1, ..., n.

A transposta de uma matriz A = Ai,jni,j=1 e AT = Aj,ini,j=1 .

O traco da matriz A = Ai,jni,j=1 e tr(A) =n∑i=1

Ai,i.

O sımbolo a⊗ b denota o produto tensorial dos vetores a e b,

a⊗ b = ai · bjni,j=1 = abT .

O gradiente de uma funcao escalar g : Ω −→ IR e um vetor

∇g(x) =

[∂g(x)

∂x1

∂g(x)

∂x2

...∂g(x)

∂xn

]Tonde x = (x1, x2, ..., xn)T ∈ Ω. O gradiente de uma funcao vetorial

g(x) = [g1(x) g2(x) ... gn(x)]T onde gi : Ω −→ IR, e uma funcao matricial,

∇g(x) =

∂gi(x)

∂xj

ni,j=1

.

O divergente de uma funcao vetorial g(x) = [g1(x) g2(x) ... gn(x)]T onde gi : Ω −→ IR,

e uma funcao escalar,

div g(x) =n∑i=1

∂gi(x)

∂xi.

1

2

O divergente de uma funcao matricial B = Bijni,j=1 onde Bij : Ω −→ IR, e uma

funcao vetorial

[divB(x)]i =n∑j

∂Bij(x)

∂xj, i = 1, ..., n.

O sımbolo ∆ denota o Operador Laplaciano

∆ = div∇

e por fim denotaremos D(u) = 12

(∇u + (∇u)T

).

No decorrer desta dissertacao serao introduzidas outras notacoes.

Capıtulo 1

Resultados Preliminares

1.1 Introducao

No artigo [19], Louis de Broglie propos que a dualidade de onda-partıcula seria uma pro-

priedade geral dos objetos microscopicos. Broglie sugeriu que partıculas microscopicas,

alem de se comportarem como partıculas materiais (com posicao e momento definidos a

cada instante), tambem apresentavam caracterısticas proprias de fenomenos ondulatorios.

Haveria assim um novo tipo de onda em coexistencia com o ponto material, a onda atuaria

como um tipo de onda-piloto guiando a partıcula.

David Bohm [8], [9] redescobriu a hipotese de Broglie e desenvolveu sobre ela uma nova

teoria fısica. A formulacao da mecanica quantica de Bohm representa a distribuicao de

probabilidade de uma unica partıcula como um fluido classico (no sentido de um conjunto

de partıculas) que se move tanto sobre efeito de um campo classico externo como de um

campo quantico, conhecido como potencial de Bohm, e dado por

Vqu = − ~2

4m

[∆ρ

ρ− 1

2

(∇ρρ

)2]

= − ~2

2m

∆√ρ

√ρ,

onde, ρ e a densidade de probabilidade quantica, ~ e m e a constante de Planck e a massa

da partıcula, com as equacoes de movimento, e dado por

ρt + div (ρ∇S/m) = 0,

St +(∇S)2

2m+ Vqu + V = 0,

sendo V o campo classico e ∇S/m a velocidade quantica.

Baseando-se nos trabalhos de Bohm, Harvey [27] introduz a teoria de fluidos quanticos

ρt + div(ρv) = 0,

mvt +m(v · ∇)v = −∇(Vqu + V ),

onde v = ∇S/m.

3

4

A teoria de fluidos quanticos foi inicialmente idealizada para descrever trajetorias de

partıculas na Mecanica Quantica Bohmiana [26], [24]; atualmente tambem esta sendo

usada para descrever superfluidos [22] e semicondutores quanticos [11].

Neste trabalho, pretendemos fazer um estudo detalhado sobre solucoes fracas para o

modelo de Navier-Stokes Quantico, baseado no artigo “Global weak solutions to com-

pressible Navier-Stokes equations for quantum fluids” do autor Ansgar Jungel (ver [1]),

o qual fornece um resultado de existencia global de solucao fraca para o problema de

Navier-Stokes para fluidos quanticos baratropicos compressıveis e viscosos, no caso parti-

cular em que a constante de viscosidade ν e menor do que a constante de Planck ε. Mais

especificamente, nosso objeto de estudo sera o seguinte:

Problema de Navier-Stokes Quantico:

Determinar u : Ω× [0, T ] −→ IRd; p : Ω× [0, T ] −→ IR tais que :

nt + div(nu) = 0 (1.1)

(nu)t + div(nu⊗ u) +∇p(n)− 2ε2n∇(

∆√n√n

)− nf = 2νdiv(nD(u)) (1.2)

n(., 0) = n0, (nu)(., 0) = n0u0, 0 < α ≤ n0 ≤ β. (1.3)

Considera-se a regiao de escoamento Ω = Td, o toro d-dimensional (d ≤ 3) onde a

medida de Ω e finita, onde u(x, t) ∈ IRd e a velocidade do fluido no ponto x ∈ Ω e no

instante t ∈ [0, T ] , ν > 0 e o coeficiente de viscosidade (o qual estamos considerando

constante) e ε > 0 e a constante de Plank; a funcao n : Ω× [0, T ] −→ IR e a densidade do

fluido, a funcao p(n) = nγ, com γ ≥ 1, e a pressao e f : Ω×[0, T ] −→ IRd descreve as forcas

externas resultantes, por exemplo, de um campo eletrico, onde f ∈ L∞(0, T ;L∞(Ω)).

Nossa ideia principal para resolver o problema quantico de Navier-Stokes, e utilizar a

velocidade eficaz assim definida

w = u + ν∇(log n), (1.4)

com o intuito de se obter um novo problema quantico, o qual e denominado:

Problema de Euler Quantico:

Determinar w : Ω× [0, T ] −→ IRd, p : Ω× [0, T ] −→ IR tais que :

nt + div(nw) = ν∆n (1.5)

(nw)t + div(nw⊗w) +∇p(n)− 2ε20n∇

(∆√n√n

)− nf = ν∆(nw) (1.6)

n(., 0) = n0, (nw)(., 0) = n0w0, 0 < α ≤ n0 ≤ β. (1.7)

onde w0 = u0 + ν∇(log n0) e ε20 = ε2 − ν2 . Esta nova formulacao permite a obtencao de

melhores estimativas uniformes para a densidade.

5

Para resolver o Problema de Euler Quantico sera definido o Problema de Euler Quantico

Penalizado, ou seja, sera adicionado o termo δ(∆w−w) do lado direito da equacao (1.6)

com 0 < δ ≤ 1, obtendo-se assim, o seguinte problema:

Problema de Euler Quantico Penalizado:

Determinar wδ : Ω× [0, T ] −→ IRd, pδ : Ω× [0, T ] −→ IR tais que :

(nδ)t + div(nδwδ) = ν∆nδ (1.8)

(nδwδ)t + div(nδwδ ⊗wδ) +∇p(nδ)− 2ε20nδ∇

(∆√nδ√nδ

)− nδf = ν∆(nδwδ)

−δ(∆wδ −wδ) (1.9)

nδ(., 0) = n0, (nδwδ)(., 0) = n0w0, 0 < α ≤ n0 ≤ β. (1.10)

Mostraremos existencia de uma famılia nao enumeravel de solucoes fracas globais

no tempo, para este novo problema, logo em seguida passaremos o limite em δ → 0 e

mostraremos que a solucao de (1.8)-(1.10) converge para a solucao do Problema de Euler

Quantico.

Portanto, se (n,u) e uma solucao do sistema (1.1)-(1.3), entao (n,w) = (n,u +

ν∇log n) e uma solucao do sistema (1.5)-(1.7) com ε20 = ε2 − ν2 ; por outro lado, se

(n,w) e uma solucao do sistema (1.5)-(1.7), entao (n,u) = (n,w − ν∇log n) e uma

solucao do sistema (1.1)-(1.3) com ε2 = ε20 + ν2 , de modo que os dois problemas sao

equivalentes.

6

1.2 Mecanica Bohmiana

Uma pequena introducao a Mecanica Quantica

A publicacao das leis de Newton em 1687 provocou uma revolucao no metodo cientıfico

e se constitui numa proposta para explicar de maneira unificada diversos fenomenos na-

turais ate entao conhecidos, principalmente atraves dos trabalhos de Galileu e Kepler.

Newton enunciou tres leis com base em alguns conceitos cuja definicao aprimorou os con-

ceitos de momento, massa, forca e aceleracao, entre outros, conseguindo unificar, dentro

de uma so estrutura teorica, inumeros fenomenos aparentemente distintos. De maneira ge-

ral, a reacao da comunidade cientıfica foi de aceitacao dentro de um clima de admiracao

e de pasmo. A genialidade humana havia conseguido o que era altamente desejado: a

unificacao dos conhecimentos.

Seguiu-se um longo perıodo de tranquilidade no mundo cientıfico; a essencia da fısica

newtoniana era irresistıvel. Foi desdobrada em diversas formulacoes, como a de Lan-

grange, Hamilton, Hamilton-Jacobi e outras, culminando no alicercamento da Mecanica

e do Eletromagnetismo. Era consenso que a metodologia newtoniana acrescida de alguns

conceitos suplementares, inerentes ao objeto de estudo, era suficiente para a compreensao

e predicao de fenomenos naturais.

Entretanto, entre o final do seculo XIX e o inıcio do seculo XX, alguns resultados

experimentais comecaram a minar o universo sereno da fısica classica. O desenvolvimento

tecnologico dos processos experimentais permitiu medidas cada vez mais sofisticadas e,

ja em 1890, foram detectados fenomenos que estavam em conflito direto com os conceitos

fısicos da epoca. Eram fenomenos que, alem da impossibilidade de serem compreendidos

e explicados, eram inconsistentes com as tentativas de entender os conceitos classicos.

Foi necessario estabelecer hipoteses “ad hoc”, aparentemente absurdas, para ao menos,

estabelecer relacoes empıricas que reproduzissem de maneira satisfatoria alguns resultados

experimentais.

Foi assim que teve inıcio a teoria quantica. Em 1900, Max Planck, ao elaborar as leis

empıricas da radiacao do corpo negro, viu-se forcado a introduzir o “quantum universal

de acao”. Esta revolucionaria discretizacao da energia foi reforcada pelas consideracoes de

Einstein em 1905, sobre o efeito foto-eletrico e sobre o calor especıfico em solidos. Estes

trabalhos estabeleceram de maneira indiscutıvel que a radiacao eletromagnetica, alem das

caracterısticas de onda, tambem apresentava caracterısticas proprias de partıculas.

Em 1913, dois anos apos a descoberta do nucleo atomico por Rutherford, Niels Bohr

elaborou sua famosa teoria sobre o espectro de atomo de hidrogenio estabelecendo as

bases para a explicacao das propriedades especıficas do atomo quımico. Seu modelo

planetario postulava a existencia de orbitas eletronicas estaveis em torno de um nucleo

7

eletricamente positivo, em franca contradicao com as predicoes das equacoes classicas

de Maxwell. O sucesso do modelo de Bohr fez com que os desenvolvimentos teoricos

que se seguiram estivessem imbuıdos de uma forte componente pragmatica. “A Teoria

Quantica Antiga”adotava uma metodologia para o estudo de sistemas dinamicos que se

dividia em tres etapas: primeiro aplicava-se a Mecanica Classica para a determinacao

dos movimentos possıveis do sistema; segundo, impunham-se certas condicoes quanticas

para a selecao dos movimentos permitidos, e finalmente, a terceira etapa, efetuava-se o

tratamento dos processos radiativos, como transicoes entre os movimentos permitidos,

sujeitos a formula desenvolvida por Bohr. Este esquema, pelo qual se introduz na Fısica

Classica conceitos, postulados e hipoteses em franca contradicao com a mesma, permitiu

prever diversos fenomenos ate entao totalmente inexplicaveis, principalmente na area da

espectroscopia otica.

Em 1925, Heisenberg apresenta uma nova teoria totalmente quantica, comumente de-

signada por Mecanica Quantica Matricial. Nesta sua formulacao, a nocao de orbitas

eletronicas e abandonada e a cada grandeza fısica e associada uma matriz que obedece

a uma algebra nao comutativa. Alguns meses apos, Schrodinger elabora a Mecanica

Quantica Ondulatoria. Com base nas ideias de Broglie e mediante consideracoes qualita-

tivas e quantitativas, descobre uma equacao para a propagacao de uma funcao de onda

que representa o estado quantico. Pouco tempo depois, ele demonstra que sua teoria e

identica a de Heisenberg, apesar de cada uma delas se basear em pressupostos distintos.

Outras formulacoes se seguiram, como a de Dirac, de Schwinger e de Feynmann. Todas

elas confirmavam, de maneira espetacular, os resultados experimentais que se multipli-

cavam. Posteriormente, o desenvolvimento da Eletrodinamica Quantica permitiu prever,

com precisao ate entao inimaginavel, praticamente todos os fenomenos naturais, com

excecao daqueles que envolvem forcas gravitacionais. Este sucesso de natureza eminente-

mente epistemologica imbuiu a comunidade cientıfica de uma postura positivista em que

o sucesso da fısica se espelhava na sua capacidade de prever e manipular experimentos

cada vez mais espetaculares.

Neste ponto, e importante ressaltar que a Teoria Quantica (em todas as formulacoes)

abandona a nocao classica de trajetoria e de sistema e nao se preocupa em estabelecer,

de forma objetiva, um paradigma para a constituicao da materia em correspondencia

com a concepcao de particulas e/ou campo da fısica classica; a Mecanica Quantica (MQ)

se assemelha a um conjunto de regras para o calculo de resultados provaveis de certos

processos denominados “medidas”.

Esta atitude prevaleceu no perıodo que segue os anos 40 ate os anos 80. Era uma

postura pragmatica. Os experimentos se efetuavam sobre aplicacoes intrinsecamente

quanticas como, por exemplo, nas interacoes de fotons, nucleos atomicos e partıculas

elementares, na teoria de lasers, nas propriedades da materia (superfuidez, supercondu-

8

tividade, semicondutores), etc. Para estas aplicacoes, a tecnica experimental empregada

estava longe do domınio quantico, pois a unica caracterıstica da teoria quantica da medida

que se manifestava nos experimentos era a interpretacao probabilıstica do quadrado das

amplitudes da funcao de onda.

A partir dos anos 80, os desenvolvimentos tecnologicos foram enormes e tornou-se

possıvel efetuar experimentos que entre os anos 20 e 30 apenas podiam ser imaginados

pelos pais fundadores da MQ. Nesta epoca, Bohr, Von Neumann e outros, tentavam esta-

belecer as bases ontologicas da Teoria Quantica, sem a possibilidade tecnologica de efetuar

certos experimentos tiveram que se contentar com “Gedankenexperiment”(experimento

mental) e analisando o processo de medida de uma propriedade fısica de um sistema, con-

cluıram pela necessidade de introduzir o conceito, um tanto quanto dubio, do “colapso de

onda”. Segundo este conceito, o processo de observacao interfere no estado do sistema.

Antes da medicao, a propriedade a ser medida tem um carater intrinsicamente estatıstico,

conforme a interpretacao de Bohr. Ao efetuar a medida, a funcao de onda do sistema

de alguma forma “colapsa”e passa a ser um dos possıveis auto-estados que o sistema,

anteriormente a medicao, apenas tinha como potencialmente possıvel. Desta forma, o

observador deixa de ser alheio ao processo fısico e passa a ser um integrante necessario

do mesmo. Esta maneira de interpretar o processo de medida deu margem a inumeras

discussoes e gerou vasta literatura sobre o assunto. Um desdobramento interessante e o

Paradoxo do gato apresentado por Schrodinger que resulta da extensao do conceito de

medida quantica ao mundo macroscopico.

Em 1935, Einsten, Podolski e Rosen (EPR), utilizando de forma engenhosa os conceitos

da MQ juntamente com proposicoes sobre localidade, realidade e de completeza teorica,

demonstraram que, em certas ocasioes, os estados quanticos ou demonstram a propriedade

de nao-localidade, ou nao sao descricoes completas da realidade fısica. Uma vez que a

nao localidade implica na possibilidade da transmissao de sinais com velocidade maior do

que a da luz, preferiram manter a conclusao da incompleteza.

9

Teoria de De Broglie-Bohm

Em 1923, Louis de Broglie propos que a dualidade de onda-partıcula seria uma pro-

priedade geral dos objetos microscopicos, em analogia a radiacao eletromagnetica que

apos os trabalhos de Planck, Einstein e outros, apresentavam alem das caracterısticas

ondulatorias, tambem propriedades inerentes a partıculas. Broglie sugeriu que partıculas

microscopicas como eletrons e protons, alem de se comportarem como partıculas materiais,

com posicao e momento definido a cada instante, tambem apresentavam caracterısticas

proprias de fenomenos ondulatorios. Haveria assim um novo tipo de onda em coexistencia

com o ponto material; no caso nao relativıstico de Broglie, o mesmo sugere que a funcao

de onda ψ que satisfaz a equacao de Schrodinger, estaria associada a um conjunto de

partıculas identicas com posicoes que se distribuem no espaco de acordo com |ψ|2. A

funcao ψ, alem de determinar as probabilidades das posicoes possıveis, tambem influen-

ciaria as trajetorias exercendo uma forca. A funcao de onda atuaria desta forma, como

um tipo de onda-piloto, guiando as partıculas para regioes do espaco em que ψ e mais

intenso.

Esta proposta foi apresentada por Broglie no famoso Congresso de Solvay, em 1927,

aplicando sua onda-piloto para computar as orbitas estacionarias dos eletrons no atomo

de hidrogenio. Esta proposta encontrou forte oposicao pela maioria dos fısicos presentes,

por acharem que seu metodo teria poucas vantagens e tambem pelo fato do conceito de

trajetoria ter perdido seu significado na Teoria Quantica. Uma excecao as crıticas foi

Einstein que manifestou apoio a de Broglie em pesquisar na direcao de incluir de maneira

objetiva o conceito de partıcula na MQ, embora nao endossasse o modelo especıfico por

ele apresentado. Outro fator que ofuscou o trabalho de de Broglie neste congresso foi a

comunicacao feita por Heisenberg da sua descoberta do Princıpio da Incerteza.

De Broglie abandonou estes trabalhos e apenas voltou a pesquisar nesta area 25 anos

depois, quando, em 1952, Bohm redescobriu esta hipotese e desenvolveu sobre ela uma

nova teoria fısica.

A respeito da interpretacao da funcao de onda pela Mecanica Quantica convencional,

que lhe atribuiu uma natureza exclusivamente estatıstica, evidencia que ela contem al-

gumas informacoes sobre as diversas probabilidades. Nenhum fato experimental exclui a

possibilidade de que a funcao de onda tenha outras propriedades.

Na Teoria de De Broglie-Bohm (TdBB), a funcao de onda passa a ter um significado

fısico de importancia primaria. A probabilidade e o significado estatıstico apenas entram

como uma propriedade secundaria. Outro elemento que passa a ter importancia primaria

e o conceito de partıcula, concebido no sentido classico como percorrendo uma trajetoria

contınua no espaco e no tempo. Com estes conceitos, os postulados basicos da teoria

10

casual, ou melhor, da TdBB sao as seguintes:

(i) Um sistema fısico individual e formado por uma onda que se propaga no espaco e

no tempo juntamente com uma partıcula pontual que se move continuamente sob a

influencia desta onda;

(ii) A onda e descrita matematicamente pela funcao ψ(x, t), a qual e uma solucao da

equacao de onda de Schrodinger;

(iii) A velocidade da partıcula e obtida pela solucao v(x, t) da equacao

v(x, t) =1

m∇S(x, t) (1.11)

onde S e a fase de ψ. A velocidade inicial v(·, 0) = v0 e a unica informacao adicional

introduzida na teoria e que nao esta contida em ψ(x, t) (S determina a velocidade

inicial). A variacao de v0 e que gera um conjunto de movimentos possıveis para a

mesma onda;

(iv) A probabilidade de que uma partıcula do conjunto esteja localizada entre os pontos

x e x+ dx no instante t e dada por

R2(x, t)dx, (1.12)

onde R2 = |ψ|2. Este postulado seleciona entre todos os movimentos possıveis,

implıcitos pela equacao (1.11), todos aqueles compatıveis com a distribuicao inicial

R2(x, 0) = R20(x). Este postulado e introduzido para assegurar que haja compatibi-

lidade com os resultados da MQ.

Para melhor visualizar como o conceito de partıcula entra na MQ, escrevemos a funcao

de onda explicitando a fase e a amplitude:

ψ = R exp

(i

~S

), (1.13)

onde R = R(x, t) e S = S(x, t) sao as funcoes da amplitude e da fase, respectivamente.

Sao funcoes reais do espaco e do tempo e ~ = h/2π. A funcao de onda e uma solucao da

equacao de Schrodinger

i~∂ψ

∂t= − ~2

2m∆ψ + V (x)ψ, (1.14)

onde m e a massa inercial e V = V (x, t) e a energia potencial devido a um campo potencial

classico.

A introducao da equacao de onda (1.14) sob a forma de postulado e equivalente a

introducao das leis de Newton na Mecanica Classica.

11

Substituindo (1.13) em (1.14) e separando a parte imaginaria e real obtemos as se-

guintes equacoes para os campos R e S. A parte real fornece

∂S

∂t= −(∇S)2

2m+ V (x)− ~2

2m

∆R

R, (1.15)

e a parte imaginaria pode ser colocada na forma

∂R2

∂t+ div

(R2∇Sm

)= 0. (1.16)

As equacoes (1.15) e (1.16) sao um par de equacoes diferencias parciais nas quais os

campos R e S determinam um ao outro. A funcao de onda ψ e determinada a menos

de uma constante. No caso de ψ normalizada, R e determinado de maneira unica mas

S e definida a menos de uma constante aditiva. A fim de que a teoria baseada nas

equacoes (1.15) e (1.16) seja matematicamente equivalente a teoria baseada na equacao

de Schrodinger (1.14), e necessario traduzir as condicoes impostas sobre ψ, que conferem

significado fısico a (1.14) em condicoes para R e S.

Para que (1.14) tenha uma solucao unica para todo t e necessario especificar a funcao

de onda inicial ψ0(x) = ψ(x, 0) para todo x. De maneira equivalente e, portanto, necessario

especificar as funcoes reais independentes

R0(x) = R(x, 0), S0(x) = S(x, 0). (1.17)

Estas funcoes sao unicas (a menos de uma constante multiplicativa e outra aditiva

respectivamente), visto que todas as ψ0, que apenas diferem por estas constantes, sao

fisicamente equivalentes. Nos pontos em que ψ0 = 0, S0 e indefinido, e as exigencias da

continuidade e de que ψ e ∇ψ sejam finitos, tambem sao estendidos as funcoes R e S e

suas derivadas. Na pratica, o procedimento e mais simples: ao inves de se estabelecer as

condicoes para R e S, resolve-se o problema diretamente para ψ e assume-se que R → 0

no infinito.

E oportuno destacar neste ponto algumas analogias com a Mecanica Classica; por

exemplo, definindo

Q(x) = − ~2

2m

∆R

R, (1.18)

como sendo um potencial quantico, podemos reescrever a equacao (1.15) como

∂S

∂t= −(∇S)2

2m+ V (x) +Q(x), (1.19)

que e a equacao de Hamilton-Jacobi modificada. O potencial quantico apresenta carac-

terısticas nao locais.

Uma explicacao espetacular da teoria que acabamos de apresentar e o estudo da in-

terferencia de partıculas quando impingem sobre um painel com duas fendas.

12

A TdBB, contrariamente a MQ convencional, permite a visualizacao de eventos indi-

viduais como partes de sequencias de processos conectados causalmente e que se realizam

no espaco e no tempo.

O paradoxo EPR que conclui pela nao localidade na MQ foi comprovado pela veri-

ficacao experimental do Teorema de Bell. A MQ convencional nao apresenta nenhuma

contribuicao para elucidar este aspecto que, aparentemente, esta em contradicao com a

Teoria da Relatividade. A TdBB, atraves do potencial quantico Q, tem a nao localidade

embutida em seu formalismo e a analise do Paradoxo EPR, mostra de maneira clara a

sequencia causal do processo: o spin dos eletrons 1 e 2 apenas se manifesta a proporcao

que o eletron interage com o campo magnetico do aparelho de Stern-Gerlach. O eletron

2 nao interage com nenhum campo magnetico e o seu spin e consequencia do potencial

quantico que correlaciona os dois eletrons.

Em resumo, a TdBB admite a nao localidade. Talvez seja este o fato que mais tem

provocado a resistencia da comunidade cientıfica em aceitar a mesma. Entretanto, cons-

tatamos que a visao positivista proposta por Bohr, isto e, a MQ convencional, apesar

de se aferrar ao principio da localidade, incorre em conclusoes bem mais perturbadoras

do que a nao-localidade. Alem do mais, a TdBB, sendo uma teoria causal baseada em

paradigmas classicos, e a unica teoria disponıvel para o estudo de fenomenos que a MQ

convencional simplesmente ignora, como por exemplo, experimentos que envolvem tempo

de tunelamento de partıculas.

Tambem e importante ressaltar que a TdBB evidencia sem nenhuma dubiedade o

limite para a transicao classica. A MQ convencional adota de maneira generica como

sendo quando h → 0 o que nao e satisfatorio em muitos casos. Na TDBB, o limite que

fica bem determinado quando Q→ 0.

Para mais detalhes ver: [5] , [24], [10].

1.3 Preliminares

Esta secao foi pensada com o intuito de apresentar o maior numero de conceitos e

resultados, para que se possa ter uma melhor compreensao dos conteudos abordados no

restante da dissertacao.

Com o intuito de nao sobrecarregar a notacao, usaremos aqui e no decorrer da dis-

sertacao a letra C para representar diversas constantes.

1.3.1 Topicos de Analise Funcional

Nesta secao faremos um resumo de conceitos e resultados de Analise funcional, uteis

para os capıtulos seguintes.

13

Definicao 1.3.1 Seja N um espaco vetorial normado. Denotaremos por N ∗ o dual to-

pologico de N , isto e, N ∗ e o conjunto dos funcionais lineares e contınuos (com respeito

a topologia da norma)

f : N −→ IR.

Se a dimensao de N for finita, tem-se que N ≈ N ∗, ou seja, existe um isomorfismo

isometrico entre os dois espacos. Ver [6].

Seja N um espaco normado, com norma ‖ · ‖. Em N ∗ define-se a norma

‖f‖N ∗def= sup | 〈f, ξ〉 |; ξ ∈ N , ‖ξ‖ = 1 ,

com a qual N ∗ e um espaco de Banach (ainda que N nao o seja).

Definicao 1.3.2 (Convergencia Forte) Dizemos que ξn converge fortemente para ξ em

N , ou, simplesmente, ξn converge para ξ em N , e denotamos

ξn → ξ em N

se

‖ξn − ξ‖N → 0, quando n −→ +∞.

Definicao 1.3.3 (Convergencia Fraca) Dizemos que ξn converge fracamente para ξ

em N , e denotamos

ξn ξ em N

se, para todo f ∈ N ∗

〈f, ξn〉 → 〈f, ξ〉 , quando n −→ +∞.

Definicao 1.3.4 (Convergencia Fraca*) Dizemos que fn converge fraco estrela para f

em N ∗, e denotamos por

fn∗ f em N ∗

se, para todo ξ ∈ N tem-se que

〈fn, ξ〉 −→ 〈f, ξ〉 , quando n −→ +∞.

E possıvel definir uma topologia em N chamada de Topologia Fraca que induz a con-

vergencia fraca enunciada acima. Tambem pode-se definir uma topologia em N ∗ chamada

Topologia Fraca* que induz a convergencia fraca*. Para mais detalhes a respeito desta to-

pologia consulte [23]. As principais relacoes entre estas convergencias ficam determinadas

pela seguinte proposicao.

Proposicao 1.3.1 Sejam (ξn)n∈N uma sequencia de elementos de N , (fn)n∈N uma sequencia

de elementos de N ∗, ξ ∈ N , e f ∈ N ∗. Tem-se:

14

(i) Se ξn → ξ em N entao ξn ξ em N ;

(ii) Se ξn ξ em N , entao ‖ξn‖ e limitada e ‖ξ‖ ≤ lim infn→∞

‖ξn‖;

(iii) Se ξn ξ em N e fn → f em N ∗ entao 〈fn, ξn〉 → 〈f, ξ〉 ;

(iv) Se fn∗ f em N ∗ e ξn → ξ em N , entao 〈fn, ξn〉 → 〈f, ξ〉 ;

(v) Se N e um espaco de Hilbert entao ξn → ξ em N se, e somente se, ξn ξ em N e

‖ξn‖ → ‖ξ‖.

Demonstracao: Ver [6].

Definicao 1.3.5 Um espaco metrico e separavel quando possui um subconjunto enumeravel

denso nesse espaco.

Proposicao 1.3.2 H e Hilbert separavel se, e somente se, ele possui uma base ortonormal

enumeravel.


Pode-se mostrar que se H e um espaco vetorial de Hilbert separavel e F um subespaco

fechado de H, entao F e um espaco de Hilbert separavel.

Proposicao 1.3.3 Seja N um espaco normado separavel e fn uma sequencia limitada

em N ∗. Entao existe uma subsequencia fnk que converge na topologia fraca*, ou seja,

fnk∗ f em N ∗.


Definicao 1.3.6 Dizemos que N e reflexivo se ele e isomorfo a N ∗∗ e o isomorfismo

sendo dado pela aplicacao canonica ˆ: N → N ∗∗,que a cada ξ ∈ N associa ξ ∈ N ∗∗ por

ξ(f)def= f(ξ), f ∈ N ∗∗.

Proposicao 1.3.4 Se um espaco de Banach B e reflexivo, entao toda sequencia limitada

em B possui subsequencia fracamente convergente em B, e a reciproca e verdadeira.


Proposicao 1.3.5 Todo espaco de Hilbert e reflexivo.

15


Tambem pode-se mostrar que se A e um espaco vetorial reflexivo e se F ⊂ A e um

subespaco vetorial fechado, entao F e reflexivo.

Proposicao 1.3.6 (Representacao de Riesz) Sejam H um espaco de Hilbert e H∗ seu

dual. A aplicacao γ : H → H∗, γ(ξ) = fξ, para todo ξ ∈ H, dada por

γ(ξ)(η) = fξ(η) = 〈ξ, η〉 , ∀η ∈ H

e uma isometria linear e sobrejetora em H∗.


Da Proposicao 1.3.6 segue que cada elemento de H∗ e identificado com um unico

ξ ∈ H, via fξ, e de tal modo que ‖fξ‖ = ‖ξ‖.

Definicao 1.3.7 Sejam N1 e N2 espacos vetoriais normados, e T : N1 → N2 um opera-

dor linear. Dizemos que T e contınuo, e limitado, se

∃C > 0 de modo que ‖Tξ‖N2 ≤ C‖ξ‖N1 , ∀ξ ∈ N1.

Definicao 1.3.8 Um operador linear T : N1 → N2 e compacto, se a imagem T(A) de

todo subconjunto limitado A ⊂ N1 e pre-compacto ( se seu fecho e um conjunto compacto)

em N2.

Seja A um subespaco vetorial de F considerando que (A, ‖ · ‖A) e (F , ‖ · ‖F). Dizemos

que a inclusao A ⊂ F e uma imersao contınua se a aplicacao inclusao I : A → F definida

por Ix = x for contınua, ou seja, ‖Ix‖F ≤ C‖x‖A, ∀x ∈ A. Denotamos este fato por

A → F ;

se, alem disso, a aplicacao de inclusao for compacta, dizemos que a imersao A → F e

compacta. Denotaremos a imersao compacta de um espaco vetorial normado A em um

espaco vetorial normado F por

A c→ F .

Em particular, se (xn)n∈N e uma sequencia de Cauchy em A, entao (xn)n∈N tambem

e uma sequencia de Cauchy em F ; logo, se xn → x em A, entao xn → x em F . Tendo

a imersao A → F compacta isto equivale a dizer que sequencias limitadas de (A, ‖ · ‖A)

possuem subsequencias convergentes em (F , ‖ · ‖F).

16

1.3.2 Os Espacos Lp(Ω)

Definicao 1.3.9 Seja Ω ⊆ IRn um conjunto aberto. Representa-se por Lp(Ω), 1 ≤ p <

+∞, o espaco vetorial constituıdo pelas funcoes f : Ω −→ IR mensuraveis, cuja potencia

p, |f |p, e integravel a Lebesque, isto e:

Lp(Ω) = f : Ω −→ IR; f e mensuravel e

∫Ω

|f(x)|p dx < +∞, 1 ≤ p < +∞

A fim de lidar com estes espacos usando as ferramentas da analise funcional, gos-

tarıamos que eles fossem espacos vetoriais normados. Todavia, o que ocorre e que a

“candidata natural” a definir uma norma em Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞, que e a funcao

‖ · ‖Lp(Ω) : Lp(Ω) −→ IR dado por:

‖f‖Lp(Ω) =

[∫Ω

|f(x)|pdx] 1p

e apenas uma semi-norma, uma vez que ‖f‖Lp(Ω) = 0 se, e somente se, f = 0 quase sempre

em Ω.

Para contornar essa “deficiencia”, define-se em Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞, uma relacao ∼dada por:

f ∼ g ⇐⇒ f = g quase sempre em Ω.

Pode-se provar que a relacao ∼ e uma relacao de equivalencia. Assim, faz sentindo

considerar o quociente de Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞, por ∼.

A colecao das classes de equivalencia obtida por Lp(Ω)/∼ forma um espaco vetorial,

com norma definida por

‖f‖Lp(Ω) =

[∫Ω

|h(x)|pdx] 1p

onde h e um representante qualquer da classe de equivalencia f.Os espacos vetoriais normados assim definidos sao denotados por Lp(Ω). Eles exercem

um papel fundamental no estudo moderno das Equacoes Diferenciais. Por conveniencia,

escreve-se f ∈ Lp(Ω) e ‖f‖p para denotar os elementos e a norma em Lp(Ω), onde f e um

representante qualquer da classe de equivalencia em questao.

Pode-se provar que os espacos Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞, sao todos espacos de Banach.

Alem disso, o unico dos Lp(Ω) que e um espaco de Hilbert ocorre quando p = 2, cujo

produto interno e definido por:

(f, g)L2(Ω) =

∫Ω

f(x)g(x)dx.

Deseja-se definir o espaco L∞(Ω); para isto e preciso generalizar a ideia de supremo.

Definicao 1.3.10 Uma funcao mensuravel f : Ω→ IR e dita essencialmente limitada se

existe C > 0 tal que |f(x)| ≤ C quase sempre (q.s.) em x ∈ Ω. A colecao das classes de

equivalencia de funcoes definidas em Ω e essencialmente limitadas e denotada por L∞(Ω).

17

Define-se uma norma em L∞(Ω) por

‖f‖∞def= sup ess

x∈Ω|f(x)| = infC > 0; |f(x)| ≤ C q.s. em Ω.

E possıvel mostrar que, com a norma acima, L∞(Ω) e um espaco de Banach.

Uma desigualdade bastante utilizada quando se estuda os espacos Lp(Ω) e a desigual-

dade de Holder

Lema 1.3.1 (Desigualdade de Holder) Sejam f ∈ Lp(Ω) e g ∈ Lq(Ω), com 1 ≤ p <

+∞, e q o expoente conjugado de p, isto e, 1p

+ 1q

= 1. Entao

fg ∈ L1(Ω) e ‖fg‖L1(Ω) =

∫Ω

|f(x)g(x)|dx ≤ ‖f‖p‖g‖q


Lema 1.3.2 (Desigualdade de Holder Generalizada) Sejam p1, p2, ..., pk numeros

reais maiores que ou iguais a 1 e tais que 1p1

+ 1p2

+ ... + 1pk

= 1. Se ui ∈ Lpi(Ω), para

i = 1, 2, ..., k, entao u1.u2.....uk ∈ L1(Ω) e

‖u1 · u2 · · · · · uk‖L1(Ω) =

∫Ω

|u1 · u2 · · · ·k|dx ≤k∏i=1

‖ui‖Lpi (Ω).


Lema 1.3.3 (Desigualdade de Minkowsky) Se f, g ∈ Lp(Ω), com 1 ≤ p ≤ +∞,

entao

‖f + g‖Lp(Ω) ≤ ‖f‖Lp(Ω) + ‖g‖Lp(Ω).


Lema 1.3.4 (Lema de Fatou) Seja a sequencia (fn) de funcoes mensuraveis tal que

fn : Ω −→ [0,∞]. Entao∫Ω

lim infn→∞

fn(x) dx ≤ lim infn→∞

∫Ω

fn(x) dx.

Em particular se fn → f q.t.p em Ω,∫Ω

f(x) dx ≤ lim infn→∞

∫Ω

fn(x) dx.


Na tabela abaixo, apresenta-se um resumo das principais propriedades dos espacos

Lp(Ω). Aqui esta sendo considerado p 6= 1, p 6= 2, e q e tal que 1p

+ 1q

= 1.

18

Banach Hilbert Reflexivo Separavel Espaco Dual

Lp(Ω) sim nao sim sim Lq(Ω)

L1(Ω) sim nao nao sim L∞(Ω)

L2(Ω) sim sim sim sim L2(Ω)

L∞(Ω) sim nao nao nao contem L1(Ω)

Ver [6].

1.3.3 O Espaco Vetorial das Distribuicoes Escalares

Para um tratamento moderno das equacoes diferenciais parciais e essencial o conceito

de distribuicao. Estabelecer os principais fatos relativos a este conceito e o objetivo desta

secao.

Para uma melhor compreensao dessa dissertacao e aconselhavel que o leitor tenha um

conhecimento previo sobre a Integral de Lebesgue. Para maior infomacao, ver [20].

Definicao 1.3.11 Dado uma funcao contınua ϕ : Ω → IR, onde Ω e um aberto do IRn,

denomina-se suporte de ϕ, e denota-se por supp(ϕ), ao fecho em Ω do conjunto dos pontos

x ∈ Ω tais que ϕ(x) 6= 0 ou seja,

supp(ϕ) = x ∈ Ω;ϕ(x) 6= 0.

Denotaremos por x = (x1, ..., xn)T os pontos do IRn. Por um multi-ındice entendemos

uma n-upla de numeros inteiros nao-negativos α = (α1, ..., αn) e escreveremos |α| =

α1 + · · ·+ αn; representamos por

Dα =∂|α|

∂xα11 · · · ∂xαnn

,

o operador derivacao parcial de ordem α. No caso em que α = (0, 0, ..., 0), Dα denota o

operador identidade.

Como estamos interessados em trabalhar com funcoes cujo suporte seja um compacto

contido em Ω e, alem disto, possuindo derivadas contınuas de todas as ordens, conside-

raremos o espaco C∞0 (Ω) das funcoes infinitamente diferenciaveis com suporte compacto

em Ω.

Definicao 1.3.12 Dizemos que uma funcao u : Ω → IR e localmente integravel em Ω, e

denotamos por u ∈ L1loc(Ω), quando u e integravel a Lebesgue sobre todo compacto K do

IRn contido em Ω.

Definicao 1.3.13 Seja (ϕν)ν∈N uma sequencia de funcoes de C∞0 (Ω) e ϕ em C∞0 (Ω).

Dizemos que (ϕν)ν∈N converge para ϕ em C∞0 (Ω), e denotamos

ϕν → ϕ em C∞0 (Ω)

19

quando:

(i) Existe um conjunto compacto K ⊂ Ω do IRn tal que

supp(ϕ) ⊂ K e supp(ϕν) ⊂ K, ∀ν ∈ N;

(ii) Dαϕν −→ Dαϕ uniformemente em K, para todo multi-ındice α.

Representamos por D(Ω), o espaco C∞0 (Ω) munido da convergencia definida acima e

o denominamos espaco das funcoes testes sobre Ω.

Por distribuicao escalar sobre Ω entendemos uma aplicacao linear contınua sobre D(Ω),

isto e, toda aplicacao T : D(Ω)→ IR satisfazendo:

(i) T (αϕ+ βψ) = αT (ϕ) + βT (ψ), para todo α, β ∈ IR e ϕ, ψ ∈ D(Ω);

(ii) T e contınua, ou seja, se ϕν → ϕ em D(Ω), entao Tϕν → Tϕ em IR.

Um resultado importante e o que assegura que a imersao D(Ω) → Lp(Ω) e densa, para

1 ≤ p <∞. (Ver [7]).

Definicao 1.3.14 Definimos D′(Ω) como sendo o espaco vetorial das distribuicoes esca-

lares sobre Ω, com a seguinte nocao de convergencia: Dizemos que a sequencia (Tν)ν∈N em

D′(Ω) converge para T em D′(Ω) quando, para todo ϕ ∈ D(Ω), a sequencia (〈Tν , ϕ〉)ν∈Nconvergir para 〈T, ϕ〉 em IR. Com esta nocao de convergencia, D′(Ω) passa a ser um

espaco vetorial topologico.

Simbolicamente temos D′(Ω) = T : D(Ω)→ IR linear e continua .

Exemplo 1.1 Seja u ∈ L1loc(Ω). Entao, o funcional linear Tu : D(Ω)→ IR definido por

〈Tu, ϕ〉 =

∫Ω

u(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω)

e uma distribuicao escalar sobre Ω.

De fato, seja dada uma sequencia (ϕν)ν∈N de funcoes teste sobre Ω convergindo em

D(Ω) para uma funcao teste ϕ. Isto significa que existe K ⊂ Ω compacto do IRn tal que:

supp(ϕν), supp(ϕ) ⊂ K e Dαϕν −→ Dαϕ uniformemente em K, ∀α ∈ Nn.

Entao:

| 〈Tu, ϕν〉 − 〈Tu, ϕ〉 | = | 〈Tu, ϕν − ϕ〉 | =∣∣∣∣∫

Ω

u(x)(ϕν − ϕ)(x)dx

∣∣∣∣≤∫K

|u(x)(ϕν − ϕ)(x)|dx ≤ supx∈K|ϕν(x)− ϕ(x)|

∫K

|u(x)|dx −→ 0.

A distribuicao Tu, definida no exemplo anterior, e dita gerada pela funcao localmente

integravel u.

20

Proposicao 1.3.7 (Lema de Du Bois Reymond) Seja u ∈ L1loc(Ω). Entao Tu = 0 se,

e somente se, u = 0 quase sempre em Ω.


Do Lema de Du Bois Reymond segue que para cada u ∈ L1loc(Ω) tem-se Tu univoca-

mente determinada por u sobre Ω, no seguinte sentido: se u, v ∈ L1loc(Ω) entao Tu = Tv

se, e somente se, u = v quase sempre em Ω. De fato,

Tu = Tv ⇐⇒ 〈Tu, ϕ〉 = 〈Tv, ϕ〉 , ∀ϕ ∈ D(Ω)

⇐⇒∫

Ω

u(x)ϕ(x)dx =

∫Ω

v(x)ϕ(x)dx

⇐⇒∫

Ω

(u− v)(x)ϕ(x)dx = 0, ∀ϕ ∈ D(Ω)

⇐⇒ u− v = 0 quase sempre em Ω.

Por essa razao, identificamos u a distribuicao por ela definida, nos referindo a u

como uma distribuicao de L1loc(Ω). Desta forma, podemos ver o espaco das funcoes lo-

calmente integraveis em Ω como uma parte do espaco das distribuicoes D′(Ω), ou seja,

L1loc(Ω) ⊂ D′(Ω).

Cabe ressaltar que existem distribuicoes nao definidas por funcoes de L1loc(Ω). O exem-

plo classico e a distribuicao Delta de Dirac (ver [28]).

Pode ser mostrado que toda funcao localmente integravel identifica-se a distribuicao

por ela definida; entretanto, nem toda distribuicao e definida por uma funcao localmente

integravel (ver [28]).

Com a convergencia definida em D′(Ω), este passa a ser um espaco vetorial topologico.

E tem-se a seguinte cadeia de imersoes

D(Ω) → Lp(Ω) → D′(Ω), 1 ≤ p <∞.

Definicao 1.3.15 Seja u ∈ L1loc(Ω), dizemos (segundo Sobolev) que u possui derivada

fraca, quando existe uma funcao g ∈ L1loc(Ω) tal que∫

Ω

u(x)ϕ′(x)dx = −∫

Ω

g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω).

A funcao g e denominada derivada fraca de u.

Notemos que a nocao de derivada fraca, segundo Sobolev, serve apenas para as funcoes

que sao localmente integraveis. Todavia, vimos anteriormente que existem distribuicoes

que nao sao geradas por funcoes localmente integraveis e, portanto, para essas distri-

buicoes, tal nocao de derivada nao pode ser utilizada. Baseando-se nessa dificuldade

Schwartz formulou o seguinte conceito de derivada distribucional.

21

Definicao 1.3.16 Seja T uma distribuicao sobre Ω e α um multi-ındice. A derivada

distribucional de ordem α de T e o funcional definido sobre D(Ω), dado por

〈DαT, ϕ〉 = (−1)|α| 〈T,Dαϕ〉 , ∀ϕ ∈ D(Ω).

Proposicao 1.3.8 Sejam T ∈ D′(Ω) e DαT a derivada distribucional de ordem α de T.

Entao DαT ∈ D′(Ω) onde α e um multi-ındice.


Segue da proposicao acima que cada distribuicao T sobre Ω possui derivada distribu-

cional de todas as ordens. Devido a esse fato, as distribuicoes, as vezes, sao chamadas de

Funcoes Generalizadas.

Proposicao 1.3.9 O operador derivacao Dα : D′(Ω) → D′(Ω) e linear e contınuo no

sentido da convergencia definida em D′(Ω).


Um resultado que vale a pena mencionar e que a derivada de uma funcao de L1loc(Ω)

nao e, em geral, uma funcao de L1loc(Ω).

1.3.4 Os Espacos de Sobolev

Como vimos na secao anterior, toda u ∈ Lp(Ω) possui derivadas distribucionais de

todas as ordens. Entretanto, as derivadas de u nem sempre sao tambem funcoes em Lp(Ω).

Este fato levou Sobolev, em 1936, a idealizar uma nova classe de espacos funcionais, os

quais sao de fundamental importancia no estudo das equacoes diferenciais parciais. Estes

espacos sao, em sua homenagem, chamados de Espacos de Sobolev.

Definicao 1.3.17 Sejam Ω um aberto do IRn, 1 ≤ p ≤ ∞ e m ∈ N. O espaco de Sobolev

de ordem m sobre Ω, denotado por Wm,p(Ω), e o espaco funcional das (classes de) funcoes

em Lp(Ω) cujas derivadas distribucionais de ordem α pertencem a Lp(Ω), para todo multi-

ındice α, com |α| ≤ m. Simbolicamente escrevemos:

Wm,p(Ω) = u ∈ Lp(Ω); Dαu ∈ Lp(Ω), ∀α tal que |α| ≤ m.

Pode-se mostrar quando 1 ≤ p <∞, que

‖u‖Wm,p(Ω) =

∑|α|≤m

‖Dαu‖pLp(Ω)

1p

,

22

define uma norma em Wm,p(Ω); para p =∞, tem-se que

‖u‖Wm,∞(Ω) =∑|α|≤m

‖Dαu‖L∞(Ω)

e uma norma em Wm,∞(Ω).

Pode-se provar que os espacos Wm,p(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, equipados com as respectivas

normas sao espacos de Banach. Alem disso, Wm,p(Ω) e reflexivo quando 1 < p < ∞, e

separavel quando 1 ≤ p <∞. Ver [7].

Apenas no caso particular em que p = 2, o espaco Wm,2(Ω) e um espaco de Hilbert, o

qual denotaremos por Hm(Ω). Simbolicamente escrevemos

Hm(Ω) = u ∈ L2(Ω); Dαu ∈ L2(Ω), ∀α tal que |α| ≤ m.

Um produto interno de Hm(Ω) e a respectiva norma induzida sao dados respectivamente,

por:

((u, v))Hm(Ω) =∑|α|≤m

(Dαu,Dαv)L2(Ω) e ‖u‖Hm(Ω) =

∑|α|≤m

‖Dαu‖2L2(Ω)

12.

Para que tenhamos uma ideia melhor desses espacos, descrevemos alguns casos parti-

culares. Em dimensao n = 1 e m = 1, temos

H1(a, b) = u ∈ L2(a, b); u′ ∈ L2(a, b);

neste caso

‖u‖2H1(a,b) =

∫ b

a

|u(t)|2dt+

∫ b

a

|u′(t)|2dt,

((u, v))H1(a,b) =

∫ b

a

u(t)v(t)dt+

∫ b

a

u′(t)v′(t)dt.

Em dimensao n ≥ 2, temos

H1(Ω) =

u ∈ L2(Ω);

∂u

∂xi∈ L2(Ω), i = 1, ..., n

com norma e produto escalar

‖u‖2H1(Ω) =

∫Ω

|u(x)|2dx+n∑i=1

∫Ω

∣∣∣∣ ∂u∂xi (x)

∣∣∣∣2 dx.((u, v))H1(Ω) =

∫Ω

u(x)v(x)dx+n∑i=1

∫Ω

∂u

∂xi(x)

∂v

∂xi(x)dx.

Quando m = 0, temos que W 0,p = Lp(Ω).

23

Apresentaremos a seguir, os espacos Wm,p0 (Ω) e W−m,p(Ω), os quais sao de grande

valia no tratamento moderno de Equacoes Diferenciais Parciais.

Um fato importante e que o espaco das funcoes testes D(Ω) e denso em Lp(Ω) (1 ≤p <∞,) mas nao e verdade que D(Ω) seja sempre denso em Wm,p para 1 ≤ m <∞ (Ver

[7]). Motivado por este fato, definimos:

Definicao 1.3.18

Wm,p0 (Ω)

def= D(Ω)

Wm,p

.

No caso p = 2 denotaremos esta aderencia por Hm0 (Ω)

def= D(Ω)

Hm

= Wm,20 (Ω).

Sejam p e q expoentes conjugados, e 1 ≤ m < ∞ um numero inteiro. Representa-se

por W−m,q(Ω) o dual topologico de Wm,p0 (Ω). O dual topologico de Hm

0 (Ω) representa-se

por H−m(Ω).

Tambem, pode-se caracterizar os espacos W−m,q(Ω), da seguinte forma:

Teorema 1.3.1 Seja T uma distribuicao sobre Ω. Entao T ∈ W−m,q(Ω) se, e somente

se, existem funcoes gα ∈ Lq(Ω), |α| ≤ m, tais que

T =∑|α|≤m

Dαgα.

Demonstracao: Ver [7] .

Quando estudamos os espacos de Sobolev uma desigualdade faz-se de grande im-

portancia, a desigualdade de Poincare, pois dela obtem-se propriedades significantes para

os espacos Hm0 (Ω).

Proposicao 1.3.10 (Desigualdade de Poincare) Seja Ω um aberto do IRn, limitado

em alguma direcao. Se u ∈ H10 (Ω), entao

‖u‖L2(Ω) ≤ C‖∇u‖L2(Ω),

onde a constante C depende apenas de Ω.


Observacao 1.3.1 Seja Ω um aberto do IRn, limitado em alguma direcao. No espaco

funcional H10 (Ω) podemos definir a seguinte norma

‖u‖H10 (Ω) =

(∫Ω

|∇u(x)|2dx) 1

2

.

24

Pode-se provar que as normas ‖u‖H10 (Ω) e ‖u‖H1(Ω) sao equivalentes em H1

0 (Ω), e podemos

definir o seguinte produto interno,

((u, v))H10 (Ω) =

∫Ω

∇u · ∇vdx

o qual induz a norma definida em H10 (Ω).

Observacao 1.3.2 Neste trabalho estamos considerando Ω = Td, o toro d-dimencional

(d ≤ 3) onde a medida de Ω e finita, e ∂Ω e o conjunto vazio. Neste caso, e possıvel

demostrar que Hm(Ω) ≈ Hm0 (Ω) e assim temos que a norma ‖ · ‖H1(Ω) e equivalente a

‖∇(·)‖L2(Ω) e a norma ‖ · ‖H2(Ω) e equivalente a norma ‖∆(·)‖L2(Ω).

Proposicao 1.3.11 (Lema de Imersao) Sejam Ω ⊂ IRn, com Ω limitado, p e q tais

que 1 ≤ p < q ≤ +∞. Entao:

Lq(Ω) → Lp(Ω).


Proposicao 1.3.12 Seja Ω um aberto limitado em IRN com fronteira lipschitziana. Entao

W 1,p(Ω) → Lp∗(Ω) com

1/p∗ = 1/p− 1/N se p < N,

p∗ ∈ [1,∞) se p = N,

p∗ = +∞ se p > N,

W 1,p(Ω)c→ Lq(Ω) com

1 ≤ q < Np

N−p se p < N,

q ∈ [1,∞) se p = N ;

W 1,p(Ω)c→ C0(Ω) se p > N.

Generalizando o resultado acima, temos

Wm,p(Ω) → W n,q(Ω) com

1/q = 1/p− (m− n)/N se (m− n)p < N,

q ∈ [1,∞) se (m− n)p = N,

q = +∞ se (m− n)p > N ;

e se N ≥ 2, entao

Wm+1,p(Ω)c→ Wm,q(Ω) com

1 ≤ q < Np

N−p se p < N,

q ∈ [1,∞) se p = N,

e se p > N temos

Wm+1,p(Ω)c→ Cm(Ω).

Sejam mp > N e K o maior inteiro tal que 0 ≤ K < m−N/p, entao

Wm,p c→ Ck(Ω).

25


Proposicao 1.3.13 Seja Ω um aberto limitado em IRN . Sejam k > 0 e q <∞ tal que

q >p∗

p∗ − 1, onde p∗ =

Np

N − kpse kp < N,

q > 1 para kp = N, ou q ≥ 1 se kp > N.

Entao Lq(Ω)c→ W−k,p′(Ω), 1/p+ 1/p = 1.


1.3.5 A Integral de Bochner

Fixamos um espaco de Banach B, cuja norma representaremos por ‖ · ‖ e T um numero

real positivo.

Definicao 1.3.19 (Funcao simples). Uma funcao vetorial ϕ : (0, T )→ B e dita simples

quando existem E1, ..., Ek ⊂ (0, T ), dois a dois disjuntos (com k finito) e mensuraveis tais

que existem constantes ϕj ∈ B, com j = 1, 2, ..., k, satisfazendo

(0, T ) =k⋃i=1

Ei e ϕ |Ei = ϕi

Toda funcao simples possui uma representacao canonica

ϕ(t) =k∑j=1

χEj(t)ϕj,

onde χEj : (0, T )→ IR e a funcao caracterıstica associada ao conjunto Ej.

Dada uma funcao simples ϕ na sua representacao canonica, definimos a integral de ϕ,

que denotamos por

∫ T

0

ϕ(t)dt, como sendo o vetor de B dado por

∫ T

0

ϕ(t)dt =k∑i=1

m(Ei)ϕi.

Definicao 1.3.20 Dizemos que uma funcao vetorial u : (0, T ) → B e integravel a Bo-

chner, e abreviamos B − integravel, quando existir uma sequencia (ϕν)ν∈IN de funcoes

simples tal que:

(i) ϕν → u em B, quase sempre em (0, T );

(ii) limk,m→∞

∫ T

0

‖ϕk(t)− ϕm(t)‖dt = 0.

26

Neste caso, chamamos de integral de Bochner de u, e denotamos por

∫ T

0

u(t)dt, ao

vetor de B dado por ∫ T

0

u(t)dt = limν→∞

∫ T

0

ϕν(t)dt,

onde o limite e considerado na norma de B.

Identificando duas funcoes que coincidem quase sempre, denotamos por B1(0, T ;B)

a colecao de todas as (classes de) funcoes vetoriais u : (0, T ) → B para as quais a

integral de Bochner esta bem definida. Note que, quando B = IR entao B1(0, T ; IR) e o

espaco L1(0, T ). Assim, a integral de Bochner generaliza, num certo sentido, a integral de

Lebesgue.

Proposicao 1.3.14 Se u ∈ B1(0, T ;B) entao∥∥∥∥∫ T

0

u(t)dt

∥∥∥∥ ≤ ∫ T

0

‖u(t)‖dt.

Demonstracao : Ver [21].

Proposicao 1.3.15 Se u : (0, T )→ B e B − integravel entao para cada f ∈ B∗ temos⟨f,

∫ T

0

u(t)dt

⟩B∗,B

=

∫ T

0

〈f, u(t)〉B∗,B dt.


Definicao 1.3.21 Uma funcao vetorial u : (0, T ) → X e dita fracamente mensuravel

(abrevia-se w-mensuravel) quando a funcao numerica t 7→ 〈f, u(t)〉 e mensuravel a Lebes-

gue em (0, T ), para todo f ∈ X∗.

Definicao 1.3.22 Dizemos que u e fortemente mensuravel (abrevia-se s-mensuravel)

quando u for limite quase sempre de uma seguencia (ϕν)ν∈IN de funcoes simples.

Em particular, temos que toda funcao s-mensuravel e w-mensuravel. Alem disso,

quando u for fortemente mensuravel entao a aplicacao t 7→ ‖u(t)‖X e mensuravel a Le-

besgue.

Proposicao 1.3.16 (S. Bochner) Uma funcao u : (0, T ) → B e B − integravel se, e

somente se, e s-mensuravel e a funcao numerica t 7→ ‖u(t)‖B e integravel a Lebesgue.


27

1.3.6 Os Espacos Lp(0, T ;X)

Conside X um espaco de Banach, cuja norma e dada por ‖ · ‖. Os espacos Lp(0, T ), com

1 ≤ p ≤ ∞, sao definidos como sendo o conjunto das (classes de) funcoes ϕ : (0, T )→ IR

mensuraveis no sentido de Lebesgue e tais que sao Banach com as normas

‖f‖Lp(0,T ) =

[∫ T

0

|f(t)|p dt]1/p

, se 1 ≤ p <∞;

‖f‖L∞(0,T ) = sup esst∈(0,T )

|ϕ(t)|, se p =∞.

Poderıamos tambem representa-lo como Lp(0, T ; IR), onde a presenca do corpo IR dos

numeros reais indicaria se tratar de um espaco vetorial de funcoes reais de variavel real.

Isto motiva a seguinte definicao para os espacos Lp(0, T ;X).

Definicao 1.3.23 Denotaremos por Lp(0, T ;X), com 1 ≤ p < ∞, o espaco vetorial das

(classes de) funcoes vetoriais ϕ : (0, T ) → X, definidas em quase todo ponto em (0, T )

com valores em X, fortemente mensuraveis, e tais que a funcao t 7−→ ‖ϕ(t)‖X esta em

Lp(0, T ).

E em Lp(0, T ;X) definimos as normas

‖ϕ‖Lp(0,T ;X) =

[∫ T

0

‖ϕ(t)‖pX dt

]1/p

, se 1 ≤ p <∞;

‖ϕ‖L∞(0,T ;X) = sup esst∈(0,T )

‖ϕ(t)‖X , se p =∞.

Pode-se provar que Lp(0, T ;X), e um espaco de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞. Apenas no caso

em que p = 2 e H e um espaco de Hilbert, o espaco L2(0, T ;H) e um espaco de Hilbert,

cujo produto interno e dado por

(u, v)L2(0,T ;H) =

∫ T

0

(u(s), v(s))H ds.

Sendo p e q conjugados, ou seja, 1/p+1/q = 1, uma aplicacao simples da Desigualdade

de Holder implica que se u ∈ Lp(0, T ;X), e v ∈ Lq(0, T ;X∗) entao a funcao numerica t 7−→〈v(t), u(t)〉X∗,X esta em L1(0, T ). Um dos resultados fundamentais da teoria dos espacos

Lp(0, T ;X), de demonstracao bastante sofisticada, e aquele que estabelece a identificacao

do espaco dual,

[Lp(0, T ;X)]∗ = Lq(0, T ;X∗).

No caso em que p = 1, essa identificacao fica[L1(0, T ;X)

]∗= L∞(0, T ;X∗).

28

A dualidade entre esse espacos e dada na forma integral por

〈v, u〉Lq(0,T ;X∗),Lp(0,T ;X) =

∫ T

0

〈v(t), u(t)〉X∗,X dt.

Com esta identificacao, os espacos Lp(0, T ;X) herdam as propriedades basicas do

espaco de Banach X. Por exemplo, se X e reflexivo entao Lp(0, T ;X) sera reflexivo, para

1 < p <∞. Se X for separavel entao Lp(0, T ;X) tambem sera separavel, para 1 ≤ p <∞.

Proposicao 1.3.17 Se θ ∈ Lp(0, T ) e ψ ∈ X, onde X e um espaco funcional sobre Ω,

entao ξ(t, x) = θ(t)ψ(x) ∈ Lp(0, T ;X).


Lema 1.3.5 Sejam Ω um aberto limitado de IRn, fn, n = 1, 2, ... e f, funcoes Lp(Ω),

1 ≤ p ≤ ∞. Se

fn −→ f em Lp(Ω),

entao existe uma subsequencia (fnm), tal que

fnm −→ f q.t.p. em Ω.


Lema 1.3.6 (Lema de Lions) Sejam Ω um aberto limitado de IRn×IR, (gν) uma sequencia

de funcoes de Lq(Ω) e g ∈ Lq(Ω), tais que

‖gν‖Lq(Ω) ≤ C, gν −→ g q.t.p. em Ω.

Entao

gν g em Lq(Ω).


Proposicao 1.3.18 (Lema de Imersao) Sejam X e Y espacos de Banach, e suponha-

mos que X → Y. Se 1 ≤ s ≤ r ≤ ∞ entao:

Lr(0, T ;X) → Ls(0, T ;Y ).


Lema 1.3.7 Se f ∈ Lq(0, T ;B) e ∂f/∂t ∈ Lq(0, T ;B), para 1 ≤ q ≤ ∞, entao existe

f ∗ ∈ C([0, T ];B) tal que f = f ∗ q.t.p. em [0, T ].

29


Lema 1.3.8 (Lema de Aubin-Lions) Sejam B0c→ B → B1 espacos de Banach. Entao,

temos as seguintes imersoes compactas:

(i) Lq(0, T ;B0) ∩φ : ∂φ

∂t∈ L1(0, T ;B1)

c→ Lq(0, T ;B) se 1 ≤ q ≤ ∞,

(ii) L∞(0, T ;B0) ∩φ : ∂φ

∂t∈ Lr(0, T ;B1)

c→ C(0, T ;B) se 1 < r ≤ ∞.


1.3.7 Distribuicoes Vetoriais

Seja B um espaco de Banach. Por C0([0, T ];B), com 0 < T <∞, o espaco de Banach das

funcoes contınuas u : [0, T ]→ B, munido da norma da convergencia uniforme:

‖u‖C0([0,T ];B) = maxt∈[0,T ]

‖u(t)‖B.

Por C0w([0, T ];B), denotaremos o espaco das funcoes u : [0, T ]→ B fracamente contınuas,

isto e, a aplicacao t 7→ 〈f, u(t)〉B∗,B e contınua em [0, T ], para todo f em B∗. Note

que, quando B = H e um espaco de Hilbert, segue da Proposicao da Representacao

de Riesz 1.3.6 que a continuidade fraca de u e equivalente a continuidade da aplicacao

t 7→ (u(t), v)H, onde v ∈ H.Seja H um espaco de Hilbert. Denotaremos por D(0, T ;H) o espaco vetorial das

funcoes u : (0, T )→ H que sao infinitamente diferenciaveis, e cujo suporte e um compacto

da reta IR contido em (0, T ).

Definicao 1.3.24 Uma distribuicao vetorial sobre (0, T ) com valores em X, e uma funcao

u : D(0, T ) → X linear e contınua no sentido de distribuicao. O conjunto de tais trans-

formacoes lineares e chamado Espaco das Distribuicoes Vetoriais sobre (0, T ) com valores

em X, e e denotado por D′(0, T ;X). Dados S ∈ D′(0, T ;X) e ϕ ∈ D(0, T ), representare-

mos o valor de S em ϕ por S(ϕ) = 〈S, ϕ〉 .

E possıvel mostrar, como no caso das distribuicoes escalares que se u ∈ Lp(0, T ;X)

entao, a distribuicao Tu ∈ D′(0, T ;X) e univocamente determinada (por u ∈ Lp(0, T ;X)).

Desta forma, podemos identificar u com a distribuicao Tu por ela definida. Neste sentido,

tem-se Lp(0, T ;X) ⊂ D′(0, T ;X).

30

1.3.8 O Teorema de Caratheodory

Denotaremos por D um subconjunto aberto de IRn+1 cujos elementos sao denotados por

(x, t), x ∈ IRn e t ∈ IR. Sejam f : D → IRn uma funcao, e y : I ⊆ IR → IRn uma funcao

absolutamente contınua, tal que (y(t), t) ∈ D, ∀t ∈ I. Dizemos que y, e uma solucao para

o problema

y′ = f(y, t), (1.20)

se y(t) satisfaz (1.20) q.t.p. em D. Se (y0, t0) ∈ D, associado a (1.20) temos o problema

de valor inicial y′ = f(y, t)

y(t0) = y0.(1.21)

Definicao 1.3.25 Dizemos que f : D → IRn esta nas condicoes de Caratheodory sobre

D quando:

(i) f(y, t) e mensuravel em t para cada y fixo;

(ii) f(y, t) e contınua em y para cada t fixo;

(iii) Para cada compacto K em D, existe uma funcao real mK(t) integravel tal que

|f(y, t)| ≤ mK(t), ∀(y, t) ∈ K.

Sejam a, b > 0, e consideremos o retangulo

R =

(x, t) ∈ IRn+1; |x− x0| ≤ b, |t− t0| ≤ a.

Proposicao 1.3.19 (Caratheodory) Seja f : R → IRn satisfazendo as Condicoes de

Caratheodory sobre R. Entao sobre algum intervalo |t− t0| ≤ β, (β > 0), existe uma

solucao y(t) do problema de valor inicial (1.21).


1.3.9 Resultados Relevantes

Nesta secao e feita uma lista de resultados avulsos que usam-se nos capıtulos posteriores.

Definicao 1.3.26 Sejam H um espaco de Hilbert real e (·, ·) : H×H −→ IR seu produto

interno. Uma sequencia (un)n∈N de vetores de H, e denominada Base de Hilbert de H, se

sao verificadas as seguintes condicoes:

31

(i)‖un‖ = 1, ∀n ∈ N, (um, un) = 0, ∀m,n ∈ N, m 6= n;

(ii) Se F e o subespaco de H gerado por (ui)i∈N, entao F = H, ou seja, as combinacoes

lineares finitas dos (un) sao densas em H.

Proposicao 1.3.20 Tem-se que existem uma base de Hilbert (an)n∈N de L2(Ω) e uma

sequencia (λn)n∈N de numeros reais tal que λn > 0 ∀n tais que

an ∈ H10 (Ω) ∩ C∞(Ω),

−∆an = λnan em Ω,

ou seja, para todo n ∈ N, λn e an sao autovalor e autovetor, respectivamente, do operador

−∆ (com as condicoes de contorno de Dirichlet).


Observacao 1.3.3 Considerando o Teorema acima, tem-se que a sequencia(an/√λn)

e uma base de Hilbert de H10 (Ω), considerando-se o produto escalar ((·, ·))H1

0 (Ω), e a

sequencia (an/√λn + 1) e uma base de Hilbert de H1

0 (Ω), considerando-se o produto es-

calar ((·, ·))H1(Ω).

Lema 1.3.9 (Desigualdade de Young) Sejam 1 < p, q <∞ tais que 1p+ 1q

= 1. Entao,

para todos a, b ∈ IR, com a, b > 0 tem-se que

a · b ≤ ap

p+bq

q.


Lema 1.3.10 (Desigualdade de Young (com ε)) Sejam 1 < p, q < ∞ tais que 1p

+1q

= 1 e ε > 0, entao, para todos a, b ∈ IR, com a, b > 0 tem-se que

a · b ≤ εap + C(ε)bq,

onde C(ε) = (εp)−q/p/q.


32

Lema 1.3.11 (Gagliardo-Nirenberg) Sejam Ω ⊂ IRd com d ≥ 1 um conjunto aberto

e limitado e ∂Ω ∈ C0,1, m ∈ N, 1 ≤ p, q, r ≤ ∞, tal que Wm,p(Ω) → Lr(Ω) → Lq(Ω).

Entao existe uma constante C > 0 tal que ∀u ∈ Wm,p(Ω) ∩ Lq(Ω),

‖Dαu‖Lr(Ω) ≤ C‖u‖θWm,p(Ω).‖u‖1−θLq(Ω),

onde 0 ≤ |α| ≤ m−1, θ = |α|/m, e |α|−d/r = θ(m−d/p)−(1−θ)d/p. Se m−|α|−d/p /∈N0, entao temos que θ ∈ [|α|/m, 1].


Lema 1.3.12 (Desigualdade de Gronwall) Sejam ϕ ∈ L∞(0, T ), com ϕ(t) ≥ 0 q.t.p.

em [0, T ] e F ∈ L1(0, T ), F (t) ≥ 0 q.t.p. em [0, T ] tais que

ϕ(t) ≤ C +

∫ t

0

F (s)ϕ(s) ds,

para quase todo t ∈ [0, T ]. Entao

ϕ(t) ≤ C exp

(∫ t

0

F (s)

)ds,

para quase todo t ∈ [0, T ].


Lema 1.3.13 (Desigualdade de Gronwall Generalizada) Sejam ϕ e ψ funcoes

contınuas nao-negativas em [0, T ], a(t) uma funcao absolutamente contınua com a(t) ≥0 e F (t) ≥ 0 integravel em [0, T ], tais que

ϕ(t) +

∫ t

0

ψ(s) ds ≤ a(t) +

∫ t

0

F (s)ϕ(s) ds, ∀ 0 ≤ t ≤ T.

Entao

ϕ(t) +

∫ t

0

ψ(s) ds ≤ a(t).

(1 +

∫ t

0

F (s) ds

)exp

(∫ t

0

F (s) ds

),

para todo t ∈ [0, T ].


33

1.3.10 Identidades Elementares

A seguir, serao enunciadas e demonstradas algumas identidades que serao de grande

utilidade no proximo capıtulo.

Lema 1.3.14 Sejam as funcoes a : Ω→ IRd e n : Ω→ IR, onde Ω e um aberto do IRd e

a, n suficientemente regulares. Entao

(i) n∇(log n) = ∇n

(ii) ∆∇n = ∇∆n

(iii) ∇div(a) = div([∇a]T )

(iv) n∇(

1

n

)= − 1

n∇n

Demonstracao:

(i)

n∇(log n) = n

[1

n

∂n

∂x1

, ...,1

n

∂n

∂xd

]T=

[∂n

∂x1

, ...,∂n

∂xd

]T= ∇n.

(ii)

∆∇n = ∆

([∂n

∂x1

, ...,∂n

∂xd

]T)

=

[∆

(∂n

∂x1

), ...,∆

(∂n

∂xd

)]T=

[∂(∆n)

∂x1

, ...,∂(∆n)

∂xd

]T= ∇∆n.

(iii)

∇div(a) =

[∂

∂x1

div(a), ...,∂

∂xddiv(a)

]T=

[div

(∂a

∂x1

), ..., div

(∂a

∂xd

)]T= div

([∇a]T

).

34

(iv)

n∇(

1

n

)= n

[− 1

n2

∂n

∂x1

, ...,− 1

n2

∂n

∂xd

]T= − 1

n∇n.

Lema 1.3.15 Sejam as funcoes n : Ω→ IR, a,b : Ω→ IRd e B : Ω→Md×d(IR), onde Ω

e um aberto contido em IRd e n, a,b,B suficientemente regulares. Entao

(i) div(a⊗ b) = div(b)a +∇a · b.

(ii) div(na) = ndiv(a) + a · ∇n.

(iii) div(nB) = ndiv(B) + B · ∇n.

Demonstracao:

(i)

div(a⊗ b) = div(aibjdi,j

)=

[d∑j=1

∂(a1bj)

∂xj, ...,

d∑j=1

∂(adbj)

∂xj

]T

=

[d∑j=1

a1∂bj∂xj

+d∑j=1

bj∂a1

∂xj, ...,

d∑j=1

ad∂bj∂xj

+d∑j=1

bj∂ad∂xj

]T

=

[d∑j=1

a1∂bj∂xj

, ...,d∑j=1

ad∂bj∂xj

]T+

[d∑j=1

bj∂a1

∂xj, ...,

d∑j=1

bj∂ad∂xj

]T= div(b)a +∇a · b.

As demonstracoes dos casos (ii) e (iii) sao analogas.

Teorema 1.3.2 Sejam as funcoes n : Ω→ IR e a : Ω→ IRd, onde Ω e um aberto do IRd

e n, a suficientemente regulares. Entao

(i)

div(n∇log n⊗∇log n) = ∆(n∇log n)− div(n∇2log n)

= ∆(n∇log n)− 2n∇(

∆√n√n

)

(ii)

div(n∇log n+ na⊗∇log n) = ∆(na)− 2div(nD(a)) +∇div(na).

35

Demonstracao:

(i) Como ∇(n∇log n) = ∇n⊗∇log n+ n∇2log n, tem-se que

div(n∇log n⊗∇long n) = div(∇n⊗∇log n)

= div(∇(n∇log n)− n∇2log n)

= div(∇(n∇log n))− div(n∇2log n)

= ∆(n∇log n)− div(n∇2log n).

Para provar a segunda igualdade basta mostrar que

div(n∇2log n) = 2n∇(

∆√n√n

).

De fato,

div(n∇2log n) = div(n∇(∇log n))

= div

(n∇

(1

n∇n))

= div

[n

(∇(

1

n

)⊗∇n+

1

n∇2n

)]= div

(n∇

(1

n

)⊗∇n

)+ div(∇2n)

= div

(− 1

n∇n⊗∇n

)+ div(∇(∇n))

= div

(− 1

n∇(√n√n)⊗∇(

√n√n)

)+ div(∇(∇(

√n√n)))

= div

[− 1

n

(4n∇√n⊗∇

√n)]

+ 2div(∇√n⊗∇

√n+√n∇2√n)

= −4ν2div(∇√n⊗∇

√n) + 2div(∇

√n⊗∇

√n) + 2div(

√n∇2√n)

= −2div(∇√n⊗∇

√n) + 2div(

√n∇2√n)

= −2∆√n∇√n− 2∇2

√n.∇√n+ 2

√n∆∇

√n+ 2∇2

√n.∇√n

= 2√n∆∇

√n− 2∆

√n∇√n

= 2√n∆∇

√n− 2∆

√n∇√n

= 2n

(∇(∆

√n)√n−∆

√n∇√n

n

)= 2n∇

(∆√n√n

).

(ii)

ν∆(na)− 2νdiv(nD(a)) + ν∇div(na)

= νdiv(∇(na))− 2νdiv(n

2∇a +

n

2∇aT

)+ ν∇div(na)

36

= νdiv(∇n⊗ a + n∇a)− νdiv(n∇a)− νdiv(n∇aT ) + ν∇div(na)

= νdiv(∇n⊗ a)− νdiv(n∇aT ) + ν∇div(na)

= νdiv(∇n⊗ a)− νdiv(n∇aT ) + νdiv([∇(na)]T )

= νdiv(∇n⊗ a)− νdiv(n∇aT ) + νdiv((∇n⊗ a)T ) + νdiv(n∇aT )

= νdiv(∇n⊗ a)− νdiv(n∇aT ) + νdiv(a⊗∇n) + νdiv(n∇aT )

= νdiv(∇n⊗ a) + νdiv(a⊗∇n)

= νdiv(∇n⊗ a + a⊗∇n)

= νdiv(n∇log n⊗ a + na⊗∇log n).

Capıtulo 2

Novo Problema Quantico

Neste capıtulo sera mostrada a equivalencia do Problema Navier-Stokes Quantico (1.1)-

(1.3) com o Problema de Euler Quantico (1.5)-(1.7). Nossa ideia principal e utilizar

a equacao da velocidade eficaz (1.4) pois, por meio dessa equacao, obtemos a seguinte

relacao,

u = w − ν∇log n,

a qual, sera empregada em (1.1)-(1.3). Tambem sera definido o Problema de Euler

Quantico Penalizado, para o qual mostraremos nos proximos capıtulos a existencia de

uma famılia nao enumeravel de solucoes fracas globais no tempo.

2.1 Problema de Euler Quantico

Inicialmente considere a equacao (1.1)

nt + div(nu) = 0.

Fazendo u = w − ν∇log n, obtemos que;

nt + div(nu) = nt + div(n(w − ν∇log n))

= nt + div(nw − νn∇log n)

= nt + div(nw)− νdiv(n∇log n)

= nt + div(nw)− νdiv(∇n)

e a equacao (1.1) fica reescrita na forma

nt + div(nw) = νn.

Considere a equacao (1.2)

(nu)t + div(nu⊗ u) +∇p(n)− 2ε2n∇(

∆√n√n

)− nf = 2νdiv(nD(u)).

37

38

Substituindo u = w − ν∇log n, em (1.2), obtem-se

(nw − νn∇log n)t + div(n(w − ν∇log n)⊗ (w − ν∇log n)) +∇p(n)

−2ε2n∇(

∆√n√n

)− nf = 2νdiv(nD(w − ν∇log n))

(nw)t − ν(n∇log n)t + div(nw ⊗w)− νdiv(nw ⊗∇log n+ n∇log n⊗w)

+ν2div(n∇log n⊗∇log n) +∇p(n)− 2ε2n∇(

∆√n√n

)− nf

= 2νdiv(nD(w))− 2ν2div(nD(∇log n)).

Pela equacao (1.5), tem-se que −ν(∇n)t = ν∇(div(nw))− ν2∇(∆n), logo:

(nw)t − ν2∇(∆n) + ν∇div(nw) + div(nw ⊗w)− ν∆(nw) + 2νdiv(nD(w))

−ν∇div(nw) + ν2∆(n∇log n)− 2ν2n∇(

∆√n

n

)+∇p(n)

−2ε2n∇(

∆√n√n

)− nf = 2νdiv(nD(w))− 2ν2div(nD(∇log n))

(nw)t + div(nw ⊗w) +∇p(n)− 2ε2n∇(

∆√n√n

)− nf = ν2∇(∆n)

−ν∇div(nw) + ν∆(nw)− 2νdiv(nD(w)) + ν∇div(nw)− ν2∆(∇n)+

2ν2n∇(

∆√n√n

)+ 2νdiv(nD(w))− ν2div(n∇2log n)−∇2div(n(∇2log n)T )

(nw)t + div(nw ⊗w) +∇p(n)− 2ε2n∇(

∆√n√n

)+ ν2div(n∇2log n)− nf

= ν∆(nw) + ν2∇(∆n)− ν2∆(∇n) + 2ν2n∇(

∆√n√n

)− ν2div(n(∇2log n)T ).

Pelo Teorema 1.3.2, tem-se que

ν2div(n∇2log n) = 2ν2n∇(

∆√n√n

)logo,

(nw)t + div(nw ⊗w) +∇p(n)− 2(ε2 − ν2)n∇(

∆√n√n

)− nf = ν∆(nw)

+ν2∇(∆n)− ν2∆(∇n) + 2ν2n∇(

∆√n√n

)− ν2div(n(∇2log n)T ) .

Usando o Lema 1.3.14 juntamente com a identidade a baixo

39

(∇2log n)T = ∇2log n =⇒ div((∇2log n)T ) = div(∇2log n)

obtemos a equacao desejada

(nw)t + div(nw ⊗w) +∇p(n)− 2ε20n∇

(∆√n√n

)− nf = ν∆(nw)

onde ε20 = ε2 − ν2 > 0, ja que ε > ν.

Assim encontramos o Problema de Euler Quantico:

Determinar w : Ω× [0, T ] −→ IRd, p : Ω× [0, T ] −→ IR tais que :

nt + div(nw) = ν∆n

(nw)t + div(nw⊗w) +∇p(n)− 2ε20n∇

(∆√n√n

)− nf = ν∆(nw)

n(., 0) = n0, (nw)(., 0) = n0w0, 0 < α ≤ n0 ≤ β.

2.2 Problema de Euler Quantico Penalizado

Uma das prıncipais dificuldades de lidar com o Problema de Euler Quantico e, ate o

momento, a impossibilidade de se obter estimativas uniformes para a velocidade w e,

portanto, nao e possıvel mostrar a existencia de solucao fraca global por meio do metodo

Faedo-Galerkin. Para contornar esta dificuldade e utilizado o metodo de Penalizacao no

problema, ou seja, sera definido um novo problema, que consiste em agregar o termo

−δ(∆w−w), com 0 < δ ≤ 1, ao lado direito da equacao (1.6). Com esse novo termo na

equacao e possıvel obter uma estimativa uniforme H1 na velocidade w para todo 0 < δ ≤ 1

com δ fixo. Obtemos, entao, o seguinte problema

Problema de Euler Quantico Penalizado:

Determinar wδ : Ω× [0, T ] −→ IRd, pδ : Ω× [0, T ] −→ IR tais que :

(nδ)t + div(nδwδ) = ν∆nδ

(nδwδ)t + div(nδwδ ⊗wδ) +∇p(nδ)− 2ε20nδ∇

(∆√nδ√nδ

)− nδf = ν∆(nδwδ)

−δ(∆wδ −wδ)

nδ(., 0) = n0, (nδwδ)(., 0) = n0w0, com 0 < α ≤ n0 ≤ β e 0 < δ ≤ 1.

Para este novo problema utilizaremos o metodo Faedo-Galerkin para mostrar a existencia

de solucao fraca global para cada δ fixo, e assim, teremos a existencia de uma famılia nao

enumeravel de solucoes.

Capıtulo 3

Existencia de Solucao Fraca Global

do Problema de Euler Quantico

Penalizado

Teorema 3.0.1 (Existencia de Solucao Fraca Global) . Sejam w0 ∈ H2(Ω), n0 ∈H3(Ω), com Ω = Td, o toro d-dimencional (d ≤ 3) onde a medida de Ω e finita, 0 < α ≤n0 ≤ β, f ∈ L∞(0, T ;L∞(Ω)), p(n) = nγ, onde γ > 3 se d = 3 e γ > 1 se d < 3, ε > ν.

Entao, para todo T > 0 e para cada δ ∈ (0, 1] fixo, existe um par de funcoes (wδ, nδ) tal

que

√nδ ∈ L∞(0, T ;H1(Ω)) ∩ L2(0, T ;H2(Ω)) e 4

√nδ ∈ L4(0, T ;W 1,4(Ω)),

(√nδ)t ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)) e (nδ)t ∈ L2(0, T ;L3/2(Ω)),

nδ ∈ L2(0, T ;W 2,2γ/(γ+1)(Ω)) ∩ L∞(0, T ;Lγ(Ω)) ∩ L4γ/3+1(0, T ;L3γ/3+1(Ω)),

wδ ∈ L2(0, T ;H1(Ω)) e nδwδ ∈ L2(0, T ;W 1,3/2(Ω)),√nδwδ ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) e

√nδ∇wδ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)),

(nδwδ)t ∈ L4/3(0, T ;H−s(Ω)) onde s >d

2+ 1,

e (nδ,wδ), e Solucao Fraca do Problema de Euler Quantico Penalizado, ou seja, para todo

v ∈ H1(Ω), o par de funcoes (nδ,wδ) e solucao de

(nδ)t + div(nδwδ) = ν∆nδ q.t.p. em Ω× [0, T ],

−∫ T

0

(nδwδ,v)θt(t)dt−∫ T

0

(nδwδ ⊗wδ,∇v)θ(t)dt−∫ T

0

(nγδ , div v)θ(t)dt

+4ε20

∫ T

0

(∆√nδ∇√nδ,v)θ(t)dt+ 2ε2

0

∫ T

0

(√nδ∆√nδ, div v)θ(t)dt

−∫ T

0

(nδf ,v)θ(t)dt = −ν∫ T

0

(∇(nδwδ),∇v)θ(t)dt+ δ

∫ T

0

(∇wδ,∇v)θ(t)dt

40

41

+δ

∫ T

0

(wδ,v)θ(t)dt ∀θ ∈ H10 (0, T ),

nδ(., 0) = n0, (nδwδ)(., 0) = n0w0 q.t.p. em Ω.

A demonstracao deste teorema sera dividida nas proximas cinco secoes deste capıtulo

e sempre considerando δ ∈ (0, 1] fixo.

3.1 Formulacao Variacional

Procedendo formalmente, multiplicamos a equacao (1.9) por v ∈ H1(Ω) e integrando

sobre Ω, obtemos∫Ω

(nδwδ)t.v(x)dx+

∫Ω

div(nδwδ ⊗wδ).v(x)dx+

∫Ω

∇p(nδ).v(x)dx

−2ε20

∫Ω

nδ∇(

∆√nδ√nδ

).v(x)dx−

∫Ω

nδf .v(x)dx =

∫Ω

ν∆(nδwδ).v(x)dx

−δ∫

Ω

∆wδ.v(x)dx+ δ

∫Ω

wδ.v(x)dx .

Vamos analisar termo a termo

(i) ∫Ω

div(nδwδ ⊗wδ).v(x) dx =

∫Ω

(d∑i=1

d∑j=1

∂

∂xj(nδwδj.wδi).vi(x)

)dx

(Fazendo integracao por partes)

=

∫Γ

(d∑i=1

d∑j=1

nδwδj.wδivi(x)

)dΓ

−∫

Ω

(d∑i=1

d∑j=1

nδwδj.wδi∂vi(x)

∂xj

)dx.

Observe que:∫Γ

(d∑i=1

d∑j=1

nδwδj.wivi(x)

)dΓ = 0, ja que Γ = ∂Ω e vazio.

Logo ∫Ω

div(nδwδ ⊗wδ).v(x) dx = −∫

Ω

(d∑i=1

d∑j=1

nδwδj.wδi∂vi(x)

∂xj

)dx

= −∫

Ω

nδwδ ⊗wδ : ∇v(x)dx

= −(nδwδ ⊗wδ,∇v) .

42

(ii) Usando a Formula de Green, obtemos∫Ω

∇p(nδ).v(x) dx =

∫Γ

p(nδ).v(x) dΓ−∫

Ω

p(nδ)div(v(x)) dx

= −∫

Ω

p(nδ)div(v(x)) dx

= −(p(nδ), div v) .

(iii) Usando a Formula de Green, obtemos:

−2ε20

∫Ω

nδ∇(

∆√nδ√nδ

).v(x) dx = −2ε2

0

∫Ω

∇(

∆√nδ√nδ

).(nδv(x)) dx

= −2ε20

∫Γ

(∆√nδ√nδ

).nδv(x) dΓ

+2ε20

∫Ω

(∆√nδ√nδ

)div(nδv(x)) dx

= 2ε20

∫Ω

(∆√nδ√nδ

)div(nδv(x)) dx

(usando o Lema 1.3.15)

= 2ε20

∫Ω

∆√nδ (2∇

√nδ.v(x) +

√nδdiv(v(x))) dx

= 4ε20

∫Ω

∆√nδ∇√nδ.v(x)dx

+2ε20

∫Ω

√nδ∆√nδdiv(v(x))dx

= 4ε20(∆√nδ∇√nδ,v) + 2ε2

0(√nδ∆√nδ, div v).

(iv) Fazendo integracao por partes, obtemos∫Ω

ν∆(nδwδ).v(x) dx = ν

∫Ω

(d∑i=1

d∑j=1

∂2

∂x2j

(nδwδi)vi(x)

)dx

= −ν∫

Ω

(d∑i=1

d∑j=1

∂

∂xj(nδwδi)

∂vi(x)

∂xj

)dx

+ν

∫Γ

(d∑i=1

d∑j=1

∂

∂xj(nδwδi)vi(x)

)dΓ

= −ν∫

Ω

(d∑i=1

d∑j=1

∂

∂xj(nδwδi)

∂vi(x)

∂xj

)dx

= −ν∫

Ω

∇(nδwδ) : ∇v(x) dx

= −ν(∇(nδwδ),∇v).

(v) Fazendo integracao por partes, obtemos

−∫

Ω

δ∆(wδ).v(x) dx = −δ∫

Ω

(d∑i=1

d∑j=1

∂2

∂x2j

(wδi)vi(x)

)dx

43

= δ

∫Ω

(d∑i=1

d∑j=1

∂

∂xj(wδi)

∂vi(x)

∂xj

)dx

−δ∫

Γ

(d∑i=1

d∑j=1

∂

∂xj(wδi)vi(x)

)dΓ

= δ

∫Ω

(d∑i=1

d∑j=1

∂

∂xj(wδi)

∂vi(x)

∂xj

)dx

= δ

∫Ω

∇(wδ) : ∇vi(x) dx

= δ(∇(wδ),∇v).

Assim, obtemos a seguinte equacao

((nδwδ)t,v)− (nδwδ ⊗wδ,∇v)− (nγδ , div v) + 4ε20(∆√nδ∇√nδ,v)

+2ε20(√nδ∆√nδ, div v)− (nδf ,v) = −ν(∇(nδwδ),∇v)

+δ(∇wδ,∇v) + δ(wδ,v) ∀t ∈ [0, T ]. (3.1)

Multiplicando (3.1) por θ(t) ∈ H10 (0, T ), e integrando em [0, T ], obtemos∫ T

0

((nδwδ)t,v)θ(t)dt−∫ T

0


0


+4ε20

∫ T

0


0

∫ T

0


−∫ T

0


0


∫ T

0


+δ

∫ T

0

(wδ,v)θ(t)dt.

Considere o primeiro termo da equacao acima. Fazendo integracao por partes na

variavel t,∫ T

0

((nδwδ)t,v)θ(t)dt = [(nδwδ,v)θ(t)]T0 −∫ T

0

(nδwδ,v)θt(t)dt = −∫ T

0

(nδwδ,v)θt(t)dt.

Finalmente, obtemos a formulacao variacional de (1.9):

−∫ T

0


0


0


+4ε20

∫ T

0


0

∫ T

0


−∫ T

0


0


∫ T

0


+δ

∫ T

0

(wδ,v)θ(t)dt. (3.2)

44

3.2 O Problema Aproximado

Seja vj∞j=1 uma base hilbertiana de L2(Ω) e H1(Ω) em relacao aos produtos internos

(·, ·) e (∇(·),∇(·)) onde vj ∈ H1(Ω) ∩ C∞(Ω) para todo j ∈ N. Seja Vk = [v1, ...,vk] ,

o subespaco de L2(Ω) e H1(Ω) (munidos de seus respectivos produtos internos) gerado

pelos k primeiros vetores de vj∞j=1 .

Definimos, para cada k ∈ N, as aproximacoes semi-Faedo-Galerkin de (wδ, nδ) como

sendo a solucao (wδ,k, nδ,k) ∈ C1([0, T k];H1(Ω))× C1([0, T k];H2(Ω)) do problema:

(nδ,k)t + div(nδ,kwδ,k) = ν∆nδ,k ∀ (x, t) ∈ Ω× [0, T k] (3.3)

((nδ,kwδ,k)t,v)− (nδ,kwδ,k ⊗wδ,k,∇v)− (nγδ,k, div v) + 4ε20(∆√nδ,k∇

√nδ,k,v)

+2ε20(√nδ,k∆

√nδ,k, div v)− (nδ,kf ,v) = −ν(∇(nδ,kwδ,k),∇v) + δ(∇wδ,k,∇v)

+δ(wδ,k,v), ∀ v ∈ Vk (3.4)

nδ,k(., 0) = n0, (nδ,kwδ,k)(., 0) = n0w0, ∀x ∈ Ω. (3.5)

Observamos que a expressao “aproximacoes semi-Faedo-Galerkin”se deve ao fato de

que estarmos fazendo aproximacoes finito-dimensionais para a velocidade wδ e infinito-

dimensionais para a densidade nδ. Alem disso, referir-nos-emos a (3.3) - (3.5) como sendo

o problema aproximado associado ao Problema de Euler Quantico Penalizado.

Agora, sera demonstrado que o sistema (de EDO’s) acima admite uma unica solucao

(wδ,k, nδ,k) definida em [0, T k], com 0 < T k ≤ T para todo δ fixo.

Para tal, definimos

wδ,k : [0, T ] −→ Vk

t 7−→ wδ,k(t)

ou seja,

(wδ,k(t))(x) =k∑j=1

αj(t)vj(x), onde αj ∈ C1[0, T ],

portanto, tem-se que

(wδ,k(t))t(x) =k∑j=1

α′j(t)vj(x).

Para cada wδ,k(t) com k fixo, temos que existe nδ,k ∈ C1([0, T ];C3(Ω)) solucao classica

de

(nδ)t + div(nδwδ,k) = ν∆nδ (3.6)

nδ(·, 0) = n0 em Ω× [0, T ], (3.7)

( para mais detalhes ver [3]).

Tambem pode ser mostrado atraves do Princıpio do Maximo e do Lema de Gronwall

a seguite desigualdade

αk = α exp

(−∫ t

0

‖div wδ,k(x, s)‖L∞(Ω)ds

)≤ nδ,k(x, t)

45

≤ β exp

(−∫ t

0

‖div wδ,k(x, s)‖L∞(Ω)ds

)= βk (x, t) ∈ Ω× [0, T ], (3.8)

(para mais detalhes ver [4]).

Portanto, temos uma sequencia nδ,k para k ∈ N de solucoes classicas de (3.6)-(3.7).

Assim para cada nδ,k (com k fixo) temos o seguinte sistema de EDO’s:

(wδ,k(t))(x) =k∑j=1

αj(t)vj(x) (3.9)

((nδ,kwδ,k)t,vj)− (nδ,kwδ,k ⊗wδ,k,∇vj)− (nγδ,k, div vj) + 4ε20(∆√nδ,k∇

√nδ,k,vj)

+2ε20(√nδ,k∆

√nδ,k, div vj)− (nδ,kf ,vj) = −ν(∇(nδ,kwδ,k),∇vj) + δ(∇wδ,k,∇vj)

+δ(wδ,k,vj), para todo j = 1, ..., k (3.10)

nδ,k(., 0) = n0, (nδ,kwδ,k)(., 0) = n0w0, ∀x ∈ Ω. (3.11)

Para provarmos a existencia de solucao local, mostraremos que o sistema acima esta

nas condicoes do Teorema de Caratheodory 1.3.19.

Substituindo (3.9) em (3.10), temos:

k∑i=1

α′i(t)(nδ,kvi,vj) =k∑l=1

αl(t)

((k∑i=1

αi(t)div(nδ,kvi)

)vl,vj

)

−k∑i=1

αi(t)

(vi ⊗

[k∑l=1

αl(t)vl

],∇vj

)+ (nγδ,k, div vj)− 4ε2

0(∆√nδ,k∇

√nδ,k,vj)

− 2ε20(√nδ,k∆

√nδ,k, div vj) + (nδ,kf ,vj)− ν

k∑i=1

αi(t)(∇(nδ,kvi),∇vj)

−k∑i=1

αi(t)((nδ,k)tvi,vj) + δk∑i=1

αi(t)(∇vi,∇vj)

−k∑i=1

αi(t)(∆nδ,kvi,vj) + δ

k∑i=1

αi(t)(vi,vj), para todo j = 1, ..., k.

Portanto, temos:nδ,k · · · 0

.... . .

...

0 · · · nδ,k

α′1(t)

...

α′k(t)

=

∑k

i=1 αi(t)div(nδ,kvi) · · · 0...

. . ....

0 · · ·∑k

i=1 αi(t)div(nδ,kvi)

α1(t)

...

αk(t)

−

∆nδ,k · · · 0

.... . .

...

0 · · · ∆nδ,k

α1(t)

...

αk(t)

−

(nδ,k)t · · · 0...

. . ....

0 · · · (nδ,k)t

α1(t)

...

αk(t)

46

+

(v1 ⊗

[∑ki=1 αi(t)vi

],∇v1

)· · ·

(vk ⊗

[∑ki=1 αi(t)vi

],∇v1

)...

. . ....(

v1 ⊗[∑k

i=1 αi(t)vi

],∇vk

)· · ·

(vk ⊗

[∑ki=1 αi(t)vi

],∇vk

)α1(t)

...

αk(t)

+

(nγδ,k, div v1)

...

(nγδ,k, div

vvk)

− 4ε20

(∆√nδ,k∇

√nδ,k,v1)

...

(∆√nδ,k∇

√nδ,k,vk)

− 2ε20

(√nδ,k∆

√nδ,k,v1)

...

(√nδ,k∆

√nδ,k,vk)

+

(nδ,kf ,v1)

...

(nδ,kf ,vk)

− ν

(∇(nδ,kv1),∇v1) · · · (∇(nδ,kvk),∇v1)...

. . ....

(∇(nδ,kv1),∇vk) · · · (∇(nδ,kvk),∇vk)

α1(t)

...

αk(t)

+2

δ · · · 0...

. . ....

0 · · · δ

α1(t)

...

αk(t)

.Agora, definimos as seguintes funcoes:

A(t) =

∑k

i=1 αi(t)div(nδ,kvi) · · · 0...

. . ....

0 · · ·∑k

i=1 αi(t)div(nδ,kvi)

−

∆nδ,k · · · 0...

. . ....

0 · · · ∆nδ,k

+

(v1 ⊗

[∑ki=1 αi(t)vi

],∇v1

)· · ·

(vk ⊗

[∑ki=1 αi(t)vi

],∇v1

)...

. . ....(

v1 ⊗[∑k

i=1 αi(t)vi

],∇vk

)· · ·

(vk ⊗

[∑ki=1 αi(t)vi

],∇vk

)

− ν

(∇(nδ,kv1),∇v1) · · · (∇(nδ,kvk),∇v1)

.... . .

...

(∇(nδ,kv1),∇vk) · · · (∇(nδ,kvk),∇vk)

−

(nδ,k)t · · · 0...

. . ....

0 · · · (nδ,k)t

+2

δ · · · 0...

. . ....

0 · · · δ

B(t) =

(nγδ,k, div v1)

...

(nγδ,k, div vk)

− 4ε20

(∆√nδ,k∇

√nδ,k,v1)

...

(∆√nδ,k∇

√nδ,k,vk)

− 2ε20

(√nδ,k∆

√nδ,k,v1)

...

(√nδ,k∆

√nδ,k,vk)

+

(nδ,kf ,v1)

...

(nδ,kf ,vk)

,

47

Inδ,k =

nδ,k · · · 0

.... . .

...

0 · · · nδ,k

, Yk(t) =

α1(t)

...

αk(t)

e Y′k(t) =

α′1(t)

...

α′k(t)

.Entao, temos

Inδ,kY′k(t) = A(t)Yk(t) +B(t),

para cada k fixo.Tem-se, pela desigualdade (3.8), que 0 < αk ≤ nδ,k(x, t) ≤ βk, logo Inδ,ke invertıvel, assim temos

Y′k(t) = A(t)Yk(t) + B(t) = F(Yk, t) (3.12)

Yk(0) =

α1(0)

...

αk(0)

, (3.13)

onde A(t) = I−1nδ,k· A(t) e B(t) = I−1

nδ,k·B(t).

Seja D = Cb × [0, T ], onde Cb =Yk ∈ IRk; |Yk| ≤ b

. Entao

(i) Para Yk fixo, cada entrada de B pode ser escrita como uma funcao gr(nδ,k,v, f , t) onde

r = 1, ..., k; tem-se que gr e constituıda de somas e protutos de funcoes mensuraveis,

portanto gr e mensuravel para todo r = 1, ..., k, ou seja, B e mensuravel. De

forma analoga, tem-se que, todas as entradas de A podem ser escritas como uma

funcao hr,s(nδ,k, α,v, t) onde r, s = 1, ..., k; tem-se que hr,s e constituıda de somas e

produtos de funcoes mensuraveis, portanto A e mensuravel. Assim concluımos que

F e mensuravel em t, para Yk fixo.

(ii) Para t fixado, e possıvel demonstrar que existe C tal que ‖A(t)‖ ≤ C. Dado κ > 0,

exite λ = κC

tal que, para cada Y1k,Y2

k temos que∣∣F(Y1k(t), t)− F(Y2

k(t), t)∣∣ =

∣∣A(t)Y1k(t) + B(t)− A(t)Y2

k(t)− B(t)∣∣

=∣∣A(t)

(Y1k(t)− Y2

k(t))∣∣

≤ ‖A(t)‖∣∣Y1

k(t)− Y2k(t)∣∣

≤ C∣∣Y1

k(t)− Y2k(t)∣∣ .

Entao fazendo ∣∣Y1k(t)− Y2

k(t)∣∣ < λ =

κ

C

segue que ∣∣Y1k(t)− Y2

k(t)∣∣ < λ =⇒

∣∣F(Y1k(t), t)− F(Y2

k(t), t)∣∣ < κ.

Portanto, para t fixo F e contınuo em Yk.

48

(iii) Como Yk varia em Cb, temos que

|F(Yk(t), t)| = |A(t)Yk(t) + B(t)|

≤ ‖A‖b+ ‖B‖

≤ C,

logo, F e absolutamente integravel para todo compacto K ⊂ [0, T ]× Cb.

Desta forma, F(Yk, t) satisfaz as condicoes de Caratheodory sobre D e, portanto,

pelo Teorema de Caratheodory 1.3.19 o sistema (3.12)-(3.13) possui solucao local e, con-

sequentemente, (3.9)-(3.11) tem solucao wδ,k(t) definida em um intervalo [0, T k] onde

0 < T k ≤ T.

3.3 Estimativas a Priori

Lema 3.3.1 Sejam 0 < T k ≤ T e (nδ,k,wδ,k) ∈ C1([0, T k];C3(Ω)) × C1([0, T k];Vk) uma

solucao fraca local no tempo para (3.3)-(3.5). Considere a aplicacao

H : C1([0, T k];C3(Ω)) −→ C1([0, T k];C3(Ω))

nδ,k 7−→ H(nδ,k) =nγδ,kγ − 1

,

onde γ > 3 se d = 3 e γ > 1 se d < 3. Entao,(∫Ω

(nδ,k2|wδ,k|2 +H(nδ,k) + 2ε2

0|∇√nδ,k|2

)dx

)t

+ν

∫Ω

(nδ,k|∇wδ,k|2 +H ′′(nδ,k)|∇nδ,k|2 + ε20nδ,k|∇2log nδ,k|2) dx

+δ

∫Ω

(|∇wδ,k|2 + |wδ,k|2) dx ≤ ν

2

∫Ω

nδ,k|wδ,k|2 dx+1

2ν‖f‖2

L∞(0,Tk;L∞(Ω))‖n0‖L1(Ω).

Demonstracao:

Inicialmente multiplicamos (3.3) por H ′(nδ,k)− |wδ,k|2/2− 220∆√nδ,k/√nδ,k. Pela de-

sigualdade (3.8), notamos que nδ,k(x, t) > 0 ∀x, ∀t. Integrando sobre Ω obtemos:∫Ω

H ′(nδ,k)(nδ,k)t dx−∫

Ω

(nδ,k)t|wδ,k|2

2dx− 2ε2

0

∫Ω

(nδ,k)t∆√nδ,k

√nδ,k

dx

+

∫Ω

div(nδ,kwδ,k)H′(nδ,k) dx−

∫Ω

div(nδ,kwδ,k)|wδ,k|2

2dx

− 2ε20

∫Ω

div(nδ,kwδ,k)∆√nδ,k

√nδ,k

dx− ν∫

Ω

∆nδ,kH′(nδ,k) dx+ ν

∫Ω

∆nδ,k|wδ,k|2

2dx

+2ε20ν

∫Ω

∆nδ,k∆√nδ,k

√nδ,k

dx = 0.

49

Observamos que

H(nδ,k) =nγδ,kγ − 1

=⇒ H ′(nδ,k) = γnγ−1δ,k

γ − 1

∂H(nδ,k)

∂t= γ

nγ−1δ,k

γ − 1(nδ,k)t = H ′(nδ,k).(nδ,k)t,

logo, ∫Ω

H ′(nδ,k)(nδ,k)t dx =

∫Ω

(H(nδ,k))t dx. (3.14)

Considere a identidade

(nδ,k)t√nδ,k

=2√nδ,k

√nδ,k(√nδ,k)t = 2(

√nδ,k)t,

da qual se obtem

−2ε20

∫Ω

(nδ,k)t∆√nδ,k

√nδ,k

dx = −4ε20

∫Ω

(√nδ,k)t∆

√nδ,k dx

e, usando as formulas de Green, segue que

−4ε20

∫Ω

(√nδ,k)t∆

√nδ,k dx = 4ε2

0

∫Ω

∇(√nδ,k)t.∇

√nδ,k dx. (3.15)

Note que

(|∇√nδ,k|2)t = (∇√nδ,k)t.∇√nδ,k +∇√nδ,k.(∇

√nδ,k)t

= 2(∇√nδ,k)t.∇√nδ,k,

e portanto,

−2ε20

∫Ω

(nδ,k)t∆√nδ,k

√nδ,k

dx = 2ε20

∫Ω

∂t|∇√nδ,k|2 dx. (3.16)

Ainda, usando as formulas de Green, obtemos∫Ω

div(nδ,kwδ,k)H′(nδ,k) dx = −

∫Ω

nδ,kwδ,k.∇(H ′(nδ,k)) dx

= −∫

Ω

nδ,kwδ,k.∇

(γnγ−1δ,k

γ − 1

)dx

= −∫

Ω

nδ,kwδ,k.γ(γ − 1)nγ−2δ,k

∇nδ,kγ − 1

dx

= −∫

Ω

nδ,kwδ,k.γnγ−2δ,k ∇nδ,k dx

= −∫

Ω

nδ,kH′′(nδ,k)∇nδ,k.wδ,k dx, (3.17)

50

e tambem

−∫

Ω


2dx =

∫Ω

nδ,kwδ,k∇|wδ,k|2

2dx.

Notemos que

∇|wδ,k|2 = ∇(wδ,k.wδ,k)

= ∇wδ,k.wδ,k + wδ,k.∇wδ,k

= 2wδ,k.∇wδ,k

logo,

−∫

Ω


2dx =

∫Ω

nδ,kwδ,k.∇wδ,k.wδ,k dx (3.18)

−ν∫

Ω

∆nδ,kH′(nδ,k) dx = ν

∫Ω

∇nδ,k.∇H ′(nδ,k) dx

= ν

∫Ω

∇nδ,k.∇

(γnγ−1δ,k

γ − 1

)dx

= ν

∫Ω

∇nδ,kγ(γ − 1)nγ−2δ,k

γ − 1.∇nδ,k dx

= ν

∫Ω

∇nδ,kγnγ−2δ,k .∇nδ,k dx

= ν

∫Ω

H ′′(nδ,k)|∇nδ,k|2 dx; (3.19)

ν

∫Ω

∆nδ,k|wδ,k|2

2dx = −ν

∫Ω

∇nδ,k.∇|wδ,k|2

2dx.

Note que ∇|wδ,k|2 = 2∇wδ,k.wδ,k, logo,

ν

∫Ω

∆nδ,k|wδ,k|2

2dx = −ν

∫Ω

∇nδ,k.∇wδ,k.wδ,k dx. (3.20)

Usando as identidades (3.14) a (3.20), obtemos:

0 =

∫Ω

((H(nδ,k))t −1

2|wδ,k|2(nδ,k)t + 2ε2

0∂t|∇√nδ,k|2 − nδ,kH ′′(nδ,k)∇nδ,k.wδ,k

+nδ,kwδ,k.∇wδ,k.wδ,k − 2ε20

∆√nδ,k

√nδ,k

div(nδ,kwδ,k) + νH ′′(nδ,k)|∇nδ,k|2

−ν∇nδ,k.∇wδ,k.wδ,k + 2νε20

∆√nδ,k

√nδ,k

∆nδ,k) dx. (3.21)

Considere a equacao de momento aproximada (1.9). Seja a solucao fraca aproximada

local no tempo (nδ,k,wδ,k) ∈ C1([0, T k];C3(Ω)) × C1([0, T k];Vk) e a funcao teste wδ,k ∈

51

C1([0, T ];Vk). Substituindo a solucao aproximada em (1.9), multiplicando pela funcao

teste e integrando sobre Ω obtemos:∫Ω

(nδ,kwδ,k)t.wδ,k dx+

∫Ω

div(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k).wδ,k dx+

∫Ω

∇p(nδ,k).wδ,k dx

− 2ε20

∫Ω

nδ,k∇(

∆√nδ,k

√nδ,k

).wδ,k dx−

∫Ω

nδ,kf .wδ,k dx = ν

∫Ω

∆(nδ,kwδ,k).wδ,k dx

− δ

∫Ω

(∆wδ,k −wδ,k).wδ,k dx.

Fazendo integracao por partes e usando as formulas de Green (quando necessarias),

obtemos:

∫Ω

(nδ,kwδ,k)t.wδ,k dx =

∫Ω

(nδ,k)t|wδ,k|2 dx+

∫Ω

nδ,k(wδ,k)t.wδ,k dx

=

∫Ω

(nδ,k)t|wδ,k|2 dx+1

2

∫Ω

nδ,k(|wδ,k|2)t dx

∫Ω

div(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k).wδ,k dx = −∫

Ω

nδ,kwδ,k ⊗wδ,k : ∇wδ,k dx

∫Ω

∇p(nδ,k).wδ,k dx =

∫Ω

γnγ−1δ,k ∇nδ,k.wδ,k dx

−2ε20

∫Ω

nδ,k∇(

∆√nδ,k

√nδ,k

).wδ,k dx = 2ε2

0

∫Ω

∆√nδ,k

√nδ,k

.div(nδ,kwδ,k) dx

ν

∫Ω

∆(nδ,kwδ,k).wδ,k dx = −ν∫

Ω

∇(nδ,kwδ,k).∇wδ,k dx

= −ν∫

Ω

∇nδ,k.∇wδ,k.wδ,k dx− ν∫

Ω

nδ,k|∇wδ,k|2 dx

δ

∫Ω

∆wδ,k.wδ,k dx = −δ∫

Ω

|∇wδ,k|2 dx

e, usando tais igualdades, obtemos

0 =

∫Ω

(|wδ,k|2(nδ,k)t +1

2nδ,k(|wδ,k|)t − nδ,kwδ,k ⊗wδ,k : ∇wδ,k + nγ−1

δ,k ∇nδ,k.wδ,k

+ 2ε20

∆√nδ,k

√nδ,k

div(nδ,kwδ,k)− nδ,kf .wδ,k + ν∇nδ,k.∇wδ,k.wδ,k + νnδ,k|∇wδ,k|2

+ δ|∇wδ,k|2 + δ|wδ,k|2) dx. (3.22)

Observamos que H ′′(nδ,k) = γnγ−2δ,k , e daı, segue que nδ,kH

′′(nδ,k) = γnγ−1δ,k .

52

Alem disso, o termo trilinear pode ser assim reescrito

wδ,k ⊗wδ,k : ∇wδ,k =d∑i=1

d∑j=1

wiδ,k.w

jδ,k.

∂wiδ,k

∂xj

=d∑i=1

d∑j=1

wiδ,k.

∂wiδ,k

∂xj.wj

δ,k

= wδ,k. (∇wδ,k.wδ,k.)

Sendo assim, a equacao (3.22) assume a forma

0 =

∫Ω

(|wδ,k|2(nδ,k)t +1

2nδ,k(|wδ,k|)t − nδ,kwδ,k∇wδ,k.wδ,k + nδ,kH

′′(nδ,k)∇nδ,k.wδ,k

+2ε20

∆√nδ,k

√nδ,k

div(nδ,kwδ,k)− nδ,kf .wδ,k + ν∇nδ,k.∇wδ,k.wδ,k + νnδ,k|∇wδ,k|2

+δ|∇wδ,k|2 + δ|wδ,k|2) dx. (3.23)

Agora, somando (3.21) e (3.23), obtemos

0 =

∫Ω

((nδ,k2|wδ,k|2 +H(nδ,k) + 2ε2

0|∇√nδ,k|2)t − nδ,kf .wδ,k + 2νε2

0

∆√nδ,k

√nδ,k

∆nδ,k

+νH ′′(nδ,k)|∇nδ,k|2 + νnδ,k|∇wδ,k|2 + δ|∇wδ,k|2 + δ|wδ,k|2) dx. (3.24)

Notemos ainda que, usando as formulas de Green, temos∫Ω

∆√nδ,k

√nδ,k

∆nδ,k dx = −∫

Ω

∇(

∆√nδ,k

√nδ,k

).∇nδ,k dx

= −∫

Ω

∇nδ,k.∇(

∆√nδ,k

√nδ,k

)dx

= −∫

Ω

nδ,k∇(log nδ,k).∇(

∆√nδ,k

√nδ,k

)dx.

Pelo Lema 1.3.2, tem-se que

2nδ,k∇(

∆√nδ,k

√nδ,k

)= div(nδ,k∇2log nδ,k)

e, portanto,∫Ω

∆√nδ,k

√nδ,k

∆nδ,k dx = −1

2

∫Ω

∇(log nδ,k).div(nδ,k∇2log nδ,k) dx

=1

2

∫Ω

∇(∇(log nδ,k)) : nδ,k∇2log nδ,k dx

=1

2

∫Ω

nδ,k|∇2log nδ,k|2 dx.

Desta forma, a equacao (3.24) pode ser reescrita como

53

(∫Ω

(nδ,k2|wδ,k|2 +H(nδ,k) + 2ε2

0|∇√nδ,k|2

)dx

)t

+ν

∫Ω


+δ

∫Ω

(|∇wδ,k|2 + |wδ,k|2) dx =

∫Ω

nδ,kf .wδ,k dx.

Finalmente,∫Ω

nδ,kf .wδ,k dx =

∫Ω

√nδ,kf .

√nδ,kwδ,k dx

≤√ν‖√nδ,kwδ,k‖L2(Ω).

1√ν‖√nδ,kf‖L2(Ω)

≤ ν

2‖√nδ,kwδ,k‖2

L2(Ω) +1

2ν‖√nδ,kf‖2

L2(Ω)

=ν

2

∫Ω

nδ,k|wδ,k|2 dx+1

2ν

∫Ω

nδ,k|f |2 dx

≤ ν

2

∫Ω

nδ,k|wδ,k|2 dx+1

2ν‖f‖2

L∞(Ω).‖nδ,k‖L1(Ω)

≤ ν

2

∫Ω

nδ,k|wδ,k|2 dx+1

2ν‖f‖2

L∞(0,Tk;L∞).‖nδ,k‖L∞(0,Tk;L1(Ω)).

Admitindo a conservacao de massa, obtem-se que, ‖nδ,k‖L∞(0,Tk;L1(Ω)) = ‖n0‖L1(Ω), para

0 ≤ t ≤ T k, e daı,∫Ω

nδ,kf .wδ,k dx ≤ν

2

∫Ω

nδ,k|wδ,k|2 dx+1

2ν‖f‖2

L∞(0,Tk;L∞(Ω))‖n0‖L1(Ω).

Lema 3.3.2 Sejam (nδ,k,wδ,k) ∈ C1(0, T k;C3(Ω))×C1(0, T k;Vk) uma solucao fraca local

no tempo para o problema aproximado (3.3)-(3.5), com dado inicial (n0,w0) ∈ H3(Ω) ×H2(Ω), com γ > 3 se d = 3 e γ > 1 se d < 3. Entao existe uma constante C > 0,

independente de k, δ e t, tal que

(i) ‖√nδ,k‖L∞(0,Tk;H1(Ω)) ≤ C (3.25)

(ii) ‖nδ,k‖L∞(0,Tk;Lγ(Ω)) ≤ C (3.26)

(iii) ‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L2(Ω)) + ‖√nδ,k∇wδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)) ≤ C (3.27)

(iv)√δ‖wδ,k‖L2(0,Tk;H1(Ω)) ≤ C (3.28)

(v) ‖√nδ,k∇2(log nδ,k)‖L2(0,Tk;L2(Ω)) ≤ C. (3.29)

Demonstracao:

Pelo Lema 3.3.1 temos a desigualdade(∫Ω

(nδ,k2|wδ,k|2 +H(nδ,k) + 2ε2

0|∇√nδ,k|2

)dx

)t

54

+ν

∫Ω


+δ

∫Ω

(|∇wδ,k|2 + |wδ,k|2) dx ≤ ν

2

∫Ω

nδ,k|wδ,k|2 dx+1

2ν‖f‖2

L∞(0,Tk;L∞(Ω))‖n0‖L1(Ω).

Integrando no tempo [0, t] para todo t < T k, obtemos∫Ω

(nδ,k(t)

2|wδ,k|2 +H(nδ,k(t)) + 2ε2

0|∇√nδ,k(t)|2

)dx

+ν

∫ t

0

∫Ω

(nδ,k|∇wδ,k|2 +H ′′(nδ,k)|∇nδ,k|2 + ε20nδ,k|∇2log nδ,k|2) dxdt

+δ

∫ t

0

∫Ω

(|∇wδ,k|2 + |wδ,k|2) dxdt ≤ ν

2

∫ t

0

∫Ω

nδ,k|wδ,k|2 dxdt

+t

2ν‖f‖2

L∞(0,Tk;L∞(Ω))‖n0‖L1(Ω) +

∫Ω

(n0

2|w0|2 +H(n0) + 2ε2

0|∇√n0|2

)dx.(3.30)

Temos, por hipotese, que

t

2ν‖f‖2

L∞(0,Tk;L∞(Ω))‖n0‖L1(Ω) +

∫Ω

(n0

2|w0|2 +H(n0) + 2ε2

0|∇√n0|2

)dx ≤ tC + C ≤ C .

Os termos do lado esquerdo da desigualdade (3.30) sao positivos, dessa forma temos

1

2

∫Ω

|√nδ,k(t)wδ,k(t)|2 dx+ν

∫ t

0

∫Ω

|√nδ,k∇wδ,k|2 dxdt ≤ν

2

∫ t

0

∫Ω

|√nδ,kwδ,k|2 dxdt+C .

Aplicando o Lema de Gronwall 1.3.12 com

ϕ(t) =1

2‖√nδ,k(t)wδ,k(t)‖L2(Ω), ψ(t) = ν

∫ t

0

‖√nδ,k(s)∇wδ,k(s)‖L2(Ω) ds e F (t) = ν ,

obtemos

1

2‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L2(Ω)) +

∫ t

0

ν‖√nδ,k(s)∇wδ,k(s)‖L2(Ω) ds ≤ C.exp

(∫ t

0

ν dt

)≤ C · exp(νT ) .

Assim, obtemos a estimativa (3.27)

‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L2(Ω)) + ‖√nδ,k∇wδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)) ≤ C.

Utilizando o resultado (3.27) em (3.30), obtemos de imediato as estimativas (3.25),

(3.26), (3.28) e (3.29) .

Lema 3.3.3 Nas condicoes do Lema 3.3.2, existe uma constante C > 0, independente de

k, δ, e t, tal que

‖√nδ,k‖L2(0,Tk;H2(Ω)) + ‖ 4√nδ,k‖L4(0,Tk;W 1,4(Ω)) ≤ C. (3.31)

55

Demonstracao:

A demonstracao segue do Lema 3.3.1, da desigualdade∫Ω

nδ,k|∇2log nδ,k|2dx ≥ kd

∫Ω

|∇2√nδ,k|2dx,

com k2 = 7/8 e k3 = 11/15, ( provada em [2]) e a desigualdade∫Ω

nδ,k|∇2log nδ,k|2dx ≥M

∫Ω

|∇ 4√nδ,k|4dx, M > 0,

(provada em [1]).


k, δ, e t, tal que

(i) ‖nδ,kwδ,k‖L2(0,Tk;W 1,3/2(Ω)) ≤ C (3.32)

(ii) ‖nδ,k‖L2(0,Tk;W 2,r(Ω)) ≤ C (3.33)

(iii) ‖nδ,k‖L4γ/3+1(0,Tk;L4γ/3+1(Ω)) ≤ C (3.34)

onde

r =2γ

γ + 1se d = 3 e r < 2 se d = 2.

Demonstracao:

(i) Pela Proposicao 1.3.12, temos que, H2(Ω) → L∞(Ω). Pelo Lema (3.3.3) tem-se que

‖√nδ,k‖L2(0,Tk;H2(Ω)) ≤ C,

e, portanto,

‖√nδ,k‖L2(0,Tk;L∞(Ω)) ≤ C.

Assim por (3.27), temos que

‖nδ,kwδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)) = ‖√nδ,k√nδ,kwδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω))

≤ ‖√nδ,k‖L2(0,Tk;L∞(Ω)).‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L2(Ω))

≤ C,

logo

‖nδ,kwδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) ≤ C.

Por (3.31) e (3.25), juntamente com a imersao H1(Ω) → L6(Ω), temos que

‖∇√nδ,k‖L2(0,Tk;L6(Ω)) ≤ C e ‖√nδ,k‖L∞(0,Tk;L6(Ω)) ≤ C e tambem com (3.27), temos

que

56

‖∇(nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) = ‖∇nδ,k ⊗wδ,k + nδ,k∇wδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

= ‖∇(√nδ,k√nδ,k)⊗wδ,k +

√nδ,k∇wδ,k

√nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

= ‖2∇√nδ,k ⊗ (√nδ,kwδ,k) +

√nδ,k∇wδ,k

√nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

≤ ‖2∇√nδ,k ⊗ (√nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

+‖√nδ,k∇wδ,k√nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

≤ 2‖∇√nδ,k‖L∞(0,Tk;L6(Ω)).‖√nδ,kwδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω))

+‖√nδ,k∇wδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)).‖√nδ,k‖L∞(0,Tk;L6(Ω))

≤ C.

Logo,

‖∇(nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) ≤ C.

(ii) Pela Proposicao Gagliardo-Nirenberg 1.3.11, com

r =2γ

γ + 1e θ =

1

2

temos,

∫ Tk

0

‖∇√nδ,k‖4L2r(Ω) dt ≤ C

∫ Tk

0

‖√nδ,k‖4(1/2)

W 2,2(Ω).‖√nδ,k‖4(1/2)

L2γ(Ω) dt

= C

∫ Tk

0

‖√nδ,k‖2H2(Ω).‖

√nδ,k‖2

L2γ(Ω) dt

≤ sup esst∈[0,Tk]

(∫Ω

|√nδ,k|2γdx)1/γ ∫ Tk

0

‖√nδ,k‖2H2(Ω) dt

= C‖nδ,k‖L∞(0,Tk;Lγ(Ω)).‖√nδ,k‖2

L2(0,Tk;H2(Ω))

≤ C.

Portanto,

‖∇√nδ,k‖L4(0,Tk;L2r(Ω)) ≤ C.

Seja

∇2nδ,k = ∇(∇(√nδ,k√nδ,k))

= ∇(2√nδ,k∇

√nδ,k)

= 2(√nδ,k∇2√nδ,k +∇√nδ,k ⊗∇

√nδ,k).

57

Portanto, usando o fato de1

r=γ + 1

2γ=

1

2+

1

2γ

1

r=γ + 1

2γ=γ + 1

4γ+γ + 1

4γ=

1

2r+

1

2r,

obtemos

‖∇2nk‖L2(0,Tk;Lr(Ω)) = 2‖√nδ,k∇2√nδ,k +∇√nδ,k ⊗∇√nδ,k‖L2(0,Tk;Lr(Ω))

≤ 2‖√nδ,k∇2√nδ,k‖L2(0,Tk;Lr(Ω)) + ‖∇√nδ,k ⊗∇√nδ,k‖L2(0,Tk;Lr(Ω))

≤ 2‖√nδ,k‖L∞(0,Tk;L2γ(Ω)).‖∇2√nδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω))

+2‖∇√nδ,k‖L4(0,Tk;L2r(Ω)).‖∇√nδ,k‖L4(0,Tk;L2r(Ω))

≤ C‖√nδ,k‖L∞(0,Tk;L2γ(Ω)) + C

= C sup esst∈[0,Tk]

‖nδ,k‖1/2Lγ(Ω) + C ≤ C,

pois

‖nδ,k‖Lγ(Ω) ≤ C q.t.p. [0, T k].

Tambem, temos que

‖nδ,kwδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) ≤ ‖√nδ,k‖L2(0,Tk;L6(Ω)) · ‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,T ;L2(Ω))

≤ C.

Logo,

‖nδ,k‖L2(0,Tk;W 2,r(Ω)) ≤ C.

(iii) Pelo Lema Gagliardo-Nirenberg 1.3.11, temos que: Se m − |α| − d/p /∈ N0 entao θ ∈[|α|/m, 1]. Entao, sejam m = 2, |α| = 0, d = 3 e p = 2. Isso implica que 1/2 /∈ N0 e,

portanto, θ ∈ [0, 1], escolhemos

θ =3

4γ + 3< 1 onde γ > 3 e r =

2(4γ + 3)

3,

e daı, segue que

∫ Tk

0

‖√nδ,k‖rLr(Ω) dt ≤ C

∫ Tk

0

‖√nδ,k‖rθH2(Ω)‖√nδ,k‖r(1−θ)L2γ(Ω) dt,

onde

rθ =2(4γ + 3)

3

3

4γ + 3= 2.

Tem-se que,

58

∫ Tk

0

‖√nδ,k‖rLr(Ω) dt ≤ C sup esst∈[0,Tk]

(∫Ω

|(nδ,k)1/2|2γ dx)(1/2γ)r(1−θ)

.‖√nδ,k‖2L2(0,Tk;H2(Ω)),

e como ‖nδ,k‖Lγ(Ω) ≤ C q.t.p. [0, T k] entao ‖nδ,k‖r(1−θ)/2Lγ(Ω) ≤ C q.t.p. [0, T k], e assim

∫ Tk

0

‖√nδ,k‖rLr(Ω) dt ≤ C‖√nδ,k‖2L2(0,Tk;H2(Ω)) ≤ C,

de onde se conclui que

‖√nδ,k‖Lr(0,Tk;Lr(Ω)) ≤ C.

Observe que

‖√nδ,k‖Lr(0,Tk;Lr(Ω)) =

∫ Tk

0

[(∫Ω

|√nδ,k|r dx)1/r

]rdt

1/r

=

∫ Tk

0

[(∫Ω

|nδ,k|r/2 dx)1/2r

]2r

dt

(1/2r).2

= ‖nδ,k‖2Lr/2(0,Tk;Lr/2(Ω))

≤ C,

e isto implica que

‖nδ,k‖Lr/2(0,Tk;Lr/2(Ω)) ≤ C,

ou seja,

‖nδ,k‖L4γ/3+1(0,Tk;L4γ/3+1(Ω)) ≤ C.


k, δ, t, tal que

(i) ‖(nδ,k)t‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) ≤ C (3.35)

(ii) ‖(nδ,kwδ,k)t‖L4/3(0,Tk;(Hs(Ω))∗) ≤ C (3.36)

onde s > d/2 + 1.

Demonstracao:

59

(i) Pela equacao (3.3), temos que

(nδ,k)t = −div(nδ,kwδ,k) + ν∆nδ,k,

e, portanto,

‖(nδ,k)t‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) = ‖ − div(nδ,kwδ,k) + ν∆nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

≤ ‖div(nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) + ν‖∆nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)).

Note que,

div(nδ,kwδ,k) = tr(∇(nδ,kwδ,k)),

∆nδ,k = tr(∇2nδ,k)

e isto implica que

‖div(nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) = ‖tr(∇(nδ,kwδ,k))‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

≤ ‖∇(nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)),

ν‖∆nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) = ν‖tr(∇2nδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) ≤ ν‖∇2nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)).

Logo,

‖(nδ,k)t‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) ≤ ‖∇(nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) + ν‖∇2nδ,k‖L2(0,Tk;L3/2(Ω))

e, pelas estimativas (3.32) e (3.33) temos

‖(nδ,k)t‖L2(0,Tk;L3/2(Ω)) ≤ C.

(ii) Para cada k fixo, tem-se a equacao abaixo, com igualdade em q.t.p.

(nδ,kwδ,k)t = −div(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k)−∇p(nδ,k) + 2ε20nδ,k∇

(∆√nδ,k

√nδ,k

)+ nδ,kf

+ν∆(nδ,kwδ,k)− δ∆wδ,k + δwδ,k.

Agora, iremos mostrar que o lado direito da equacao acima e limitada uniformemente

em L4/3(0, T k; (Hs(Ω))).

Observacao: Tem-se que o espaco D(Ω) e denso no espaco Wm,q(Ω), para 0 ≤ m <

∞ e 1 ≤ q <∞, onde m, q ∈ N. Entao, todo elemento de Wm,q(Ω), pode ser escrito

como limite de uma sequencia em D(Ω). Usando este fato, as integracoes por partes

abaixo estao bem definidas.

60

1. Temos por (3.27) que,

‖nδ,kwδ,k ⊗wδ,k‖L∞(0,Tk;L1(Ω)) = ‖√nδ,kwδ,k ⊗√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L1(Ω))

≤ ‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L2(Ω)).‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L2(Ω)) ≤ C,

portanto,

‖div(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k)‖L∞(0,Tk;(H2(Ω))∗)

= sup esst∈[0,Tk]

supϕ∈H2(Ω)‖ϕ‖

H2(Ω)=1

|〈div(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k), ϕ〉|

= sup

t∈[0,Tk]

ess


H2(Ω)=1

|〈nδ,kwδ,k ⊗wδ,k,∇ϕ〉|

≤ sup esst∈[0,Tk]


H2(Ω)=1

‖nδ,kwδ,k ⊗wδ,k‖L1(Ω).‖∇ϕ‖L∞(Ω)

≤ C sup esst∈[0,Tk]


H2(Ω)=1

‖nδ,kwδ,k ⊗wδ,k‖L1(Ω).‖∆ϕ‖L2(Ω)

= C sup ess

t∈[0,Tk]

(‖nδ,kwδ,k ⊗wδ,k‖L1(Ω)

)= C‖nδ,kwδ,k ⊗wδ,k‖L∞(0,Tk;L1(Ω))

≤ C.

Logo,

‖div(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k)‖L∞(0,Tk;(H2(Ω))∗) ≤ C

e usando a imersao contınua de Hs(Ω) → H2(Ω) para s > d/2 + 1, temos que

L∞(0, T k; (H2(Ω))∗) → L∞(0, T k; (Hs(Ω))∗)

e, portanto, obtemos

‖div(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k)‖L∞(0,Tk;(Hs(Ω))∗) ≤ C.

2. Inicialmente observe que,

∫Ω

nδ,k∇(

∆√nδ,k

√nδ,k

)· φ dx = −

∫Ω

(∆√nδ,k

√nδ,k

)div(nδ,kφ) dx

61

= −∫

Ω

(∆√nδ,k

√nδ,k

)(nδ,kdiv(φ) +∇nδ,k · φ) dx

= −∫

Ω

∆√nδ,k(√nδ,kdiv(φ) + 2∇√nδ,k · φ) dx.

Agora,

∥∥∥∥nδ,k∇(∆√nδ,k

√nδ,k

)∥∥∥∥4/3

L4/3(0,Tk;(W 1,3(Ω))∗)

=

∫ Tk

0

supϕ∈W1,3(Ω)‖ϕ‖

W1,3(Ω)=1

∣∣∣∣⟨nδ,k∇(∆√nδ,k

√nδ,k

), ϕ

⟩∣∣∣∣

4/3

dt

=

∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

∣∣∣∣⟨∆√nδ,k,

div(nδ,kϕ)√nδ,k

⟩∣∣∣∣

4/3

dt

=

∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

∣∣⟨∆√nδ,k,√nδ,kdiv(ϕ) + 2∇√nδ,k.ϕ⟩∣∣

4/3

dt

≤∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

‖∆√nδ,k‖L2(Ω)(2‖∇√nδ,k.ϕ‖L2(Ω)

+‖√nδ,kdiv(ϕ)‖L2(Ω))

)4/3

dt

≤∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

(‖∆√nδ,k‖L2(Ω)(2‖∇

√nδ,k‖L3(Ω)‖ϕ‖L6(Ω)

+‖√nδ,k‖L6(Ω).‖div(ϕ)‖L3(Ω)))

)4/3

dt.

Como W 1,3(Ω) → L6(Ω), temos ‖ϕ‖L6(Ω) ≤ C‖ϕ‖W 1,3(Ω) e ‖div ϕ‖L3(Ω) ≤C‖ϕ‖W 1,3(Ω) portanto:

∥∥∥∥nδ,k∇(∆√nδ,k

√nδ,k

)∥∥∥∥4/3

L4/3(0,Tk;(W 1,3(Ω))∗)

≤∫ Tk

0

(‖∆√nδ,k‖L2(Ω)(C‖∇

√nδ,k‖L3(Ω) + ‖√nδ,k‖L6(Ω))

)4/3dt.

Como |a+ b|q ≤ 2q(|a|q + |b|q) para todo a, b ∈ IR e q > 0 inteiro,

62

∥∥∥∥nδ,k∇(∆√nδ,k

√nδ,k

)∥∥∥∥4/3

L4/3(0,Tk;(W 1,3(Ω))∗)

≤ C‖∆√nδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)).‖∇√nδ,k‖L4(0,Tk;L3(Ω))

+C‖∆√nδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)).‖√nδ,k‖L4(0,Tk;L6(Ω))

≤ C.

Como Hs(Ω) → W 1,3(Ω) tem-se que L4/3(0, T k; (W 1,3(Ω))∗) →L4/3(0, T k; (Hs(Ω))∗), logo

∥∥∥∥nδ,k∇(∆√nδ,k

√nδ,k

)∥∥∥∥L4/3(0,Tk;((Hs(Ω))∗)

≤ C.

3. Agora,

‖∇(nγδ,k)‖L4/3(0,Tk;(W 1,4(Ω))∗)

=

∫ Tk

0


W1,4(Ω)=1

∣∣⟨∇(nγδ,k), ϕ⟩∣∣

4/3

dt

=

∫ Tk

0


W1,4(Ω)=1

∣∣⟨nγδ,k, div(ϕ)⟩∣∣

4/3

dt

≤∫ Tk

0


W1,4(Ω)=1

(‖nγδ,k‖L4/3(Ω).‖divϕ‖L4(Ω))

4/3

dt

≤ C

∫ Tk

0


W1,4(Ω)=1

(‖nγδ,k‖L4/3(Ω).‖ϕ‖W 1,4(Ω))

4/3

dt

= C

∫ Tk

0

‖nγδ,k‖4/3

L4/3(Ω)dt

= C

∫ Tk

0

[(∫Ω

|nγδ,k|4/3 dx

)3/4]4/3

dt

= C

∫ Tk

0

[(∫Ω

|nδ,k|4γ/3 dx)3/(4γ)

]4γ/3

dt

= C

∫ Tk

0

(‖nδ,k‖L4γ/3(Ω)

)4γ/3dt

= C‖nδ,k‖4γ/3

L4γ/3(0,Tk;L4γ/3(Ω)).

63

Temos por (3.34) e pelo Proposicao 1.3.18, que:

nδ,k ∈ L4γ/3+1(0, T k;L4γ/3+1(Ω)) → L4γ/3(0, T k;L4γ/3(Ω)),

e, entao,

‖∇(nγδ,k)‖L4/3(0,Tk;(W 1,4(Ω))∗) ≤ C‖nδ,k‖L4γ/3(0,Tk;L4γ/3(Ω))

≤ C‖nδ,k‖L4γ/3(0,Tk;L4γ/3(Ω))

≤ C.

Como

L4/3(0, T k; (W 1,4(Ω))∗) → L4/3(0, T ; (Hs(Ω))∗)

isto implica que,

‖∇(nγδ,k)‖L4/3(0,Tk;(Hs(Ω))∗) ≤ C.

4. Temos que,

‖∆(nδ,kwδ,k)‖L4/3(0,Tk;(W 1,3(Ω))∗)

=

∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

|〈∆(nδ,kwδ,k), ϕ〉|

4/3

dt

3/4

=

∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

|〈∇(nδ,kwδ,k),∇ϕ〉|

4/3

dt

3/4

≤

∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

(‖∇(nδ,kwδ,k)‖L3/2(Ω).‖∇ϕ‖L3(Ω))

4/3

dt

3/4

≤

C∫ Tk

0


W1,3(Ω)=1

(‖∇(nδ,kwδ,k)‖L3/2(Ω).‖ϕ‖W 1,3(Ω))

4/3

dt

3/4

= ‖∇(nδ,kwδ,k)‖L4/3(0,Tk;L3/2(Ω))

≤ C (por (3.32) .)

Como

L4/3(0, T k; (W 1,3(Ω))∗) → L4/3(0, T k; (Hs(Ω))∗)

temos que

‖∆(nδ,kwδ,k)‖L4/3(0,Tk;(Hs(Ω))∗) ≤ C.

64

5. Temos que,

δ‖∆wδ,k‖L2(0,Tk;(H1(Ω))∗)

= δ

∫ Tk

0


H1(Ω)=1

|〈∆wδ,k, ϕ〉|

2

dt

1/2

= δ

∫ Tk

0


H1(Ω)=1

|〈∇wδ,k,∇ϕ〉|

2

dt

1/2

≤ δ

∫ Tk

0


H1(Ω)=1

(‖∇wδ,k‖L2(Ω).‖∇ϕ‖L2(Ω))

2

dt

1/2

=√δ(√

δ‖∇wδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω))

)≤√δC ≤ C (por (3.28).)

Como

L2(0, T k; (H1(Ω))∗) → L4/3(0, T k; (Hs(Ω))∗),

temos que

‖δ∆wδ,k‖L4/3(0,Tk;(Hs(Ω))∗) ≤ C.

6. Temos que,

‖nkf‖L2(0,Tk;L2(Ω)) ≤ ‖nδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)).‖f‖L∞(0,Tk;L∞(Ω))

≤ C,

e como Hs(Ω) → L2(Ω) segue que,

L2(0, T k;L2(Ω)) → L4/3(0, T k; (Hs(Ω))∗),

e portanto,

‖nkf‖L4/3(0,Tk;(Hs(Ω))∗) ≤ C.

Pelos resultados obtidos em (1)-(6), concluımos que

‖(nδ,kwδ,k)t‖L4/3(0,Tk;(Hs(Ω))∗) ≤ C.


k, δ, e t, tal que: ∥∥(√nδ,k)t

∥∥L2(0,Tk;(H1(Ω))∗)

≤ C. (3.38)

65

Demonstracao: Considere a equacao (3.3),

(nδ,k)t + div(nδ,kwδ,k) = ν∆nδ,k.

Dividindo a equacao acima por√nδ,k temos

(nδ,k)t√(nδ,k)

= −div(nδ,kwδ,k)√nδ,k

+ν∆nδ,k√nδ,k

e tambem,(nδ,k)t√

(nδ,k)=

(√nδ,k.√nδ,k)t

√nδ,k

=2√nδ,k(√nδ,k)t

√nδ,k

= 2(√nδ,k)t.

Alem disso, temos que

div(nδ,kwδ,k)√nδ,k

=nδ,kdiv(wδ,k) +∇nδ,k.wδ,k√

nδ,k

=√nδ,kdiv(wδ,k) +

∇nδ,k√nδ,k

.wδ,k


∇(√nδ,k√nδ,k)

√nδ,k

.wδ,k


2√nδ,k∇

√nδ,k

√nδ,k

.wδ,k

=√nδ,kdiv(wδ,k) + 2∇√nδ,k.wδ,k.

Tambem,

∆nδ,k√nδ,k

=div(∇nδ,k)√

nδ,k

=2√nδ,k

div(√nδ,k∇

√nδ,k)

=2√nδ,k

(√nδ,kdiv(∇√nδ,k) +∇√nδ,k.∇

√nδ,k)

= 2∆√nδ,k + 2

∇√nδ,k.∇√nδ,k

√nδ,k

= 2∆√nδ,k + 2

∇( 4√nδ,k 4√nδ,k).∇( 4

√nδ,k 4√nδ,k)

4√nδ,k 4√nδ,k

= 2∆√nδ,k + 2

(2 4√nδ,k∇ 4

√nδ,k.2 4

√nδ,k∇ 4

√nδ,k

4√nδ,k 4√nδ,k

)= 2∆

√nδ,k + 8∇ 4

√nδ,k.∇ 4

√nδ,k

= 2∆√nδ,k + 8|∇ 4

√nδ,k|2.

Assim, encontramos a seguinte identidade

(√nδ,k)t = −∇√nδ,k.wδ,k −

1

2

√nδ,kdiv(wδ,k) + ν(∆

√nδ,k + 4|∇ 4

√nδ,k|2).

66

Somando e subtraindo√nδ,kdiv(wδ,k), temos:

(√nδ,k)t = −div(

√nδ,kwδ,k) +

1

2

√nδ,kdiv(wδ,k) + ν(∆

√nδ,k + 4|∇ 4

√nδ,k|2). (3.39)

Entao,

‖div(√nδ,kwδ,k)‖L2(0,Tk;(H1(Ω))∗)

=

∫ Tk

0


H1(Ω)=1

∣∣⟨div(√nδ,kwδ,k), ϕ

⟩∣∣

2

dt

1/2

=

∫ Tk

0


H1(Ω)=1

∣∣⟨√nδ,kwδ,k,∇ϕ⟩∣∣

2

dt

1/2

≤

∫ Tk

0


H1(Ω)=1

(‖√nδ,kwδ,k‖L2(Ω).‖∇ϕ‖L2(Ω))

2

dt

1/2

= ‖√nδ,kwδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω))

≤ C‖√nδ,kwδ,k‖L∞(0,Tk;L2(Ω))

≤ C por (3.27).

Tem-se, por (3.31), que

‖∆√nδ,k‖L2(0,Tk;L2(Ω)) ≤ C e ‖∇ 4√nδ,k‖L4(0,Tk;L4(Ω)) ≤ C.

Usando a Proposicao 1.3.12 tem-se que

L2(0, T k;H2(Ω)) → L2(0, T k; (H1(Ω))∗)

L4(0, T k;L4(Ω)) → L2(0, T k; (H1(Ω))∗)

L2(0, T k;L2(Ω)) → L2(0, T k; (H1(Ω))∗).

Aplicando as limitacoes uniformes acima em (3.39) concluımos que,

∥∥(√nδ,k)t

∥∥L2(0,Tk;(H1(Ω))∗)

≤ C.

Como as estimativas independe de k, δ e de t, segue da Proposicao 1.3.19 que para

todo k ∈ N, wδ,k(t) existe um intervalo [0, T ], com T > 0, onde wδ,k(t) esta definido.

3.4 Passagem ao Limite (k → +∞)

Lema 3.4.1 Todas as limitacoes uniformes obtidas na secao anterior implicam as se-

guintes convergencias (passando a subsequencia, se necessario):

nδ,k −→ nδ em L2(0, T ;L∞(Ω)), (3.40)

67

√nδ,k

√nδ em L2(0, T ;H2(Ω)), (3.41)

√nδ,k −→

√nδ em L2(0, T ;H1(Ω)), (3.42)

wδ,k wδ em L2(0, T ;H1(Ω)), (3.43)

nδ,kwδ,k −→ nδwδ em L2(0, T ;L2(Ω)), (3.44)

nγδ,k nγδ em L4/3(0, T ;L4/3). (3.45)

Demonstracao:

(i) Usando os resultados de regularidade (3.33) e (3.35), vemos que nδ,k ∈ L2(0, T ;W 2,r(Ω))∩φ : ∂φ

∂t∈ L2(0, T ;L3/2(Ω))

com r > 3/2, tem-se que

W 2,p(Ω)c→ L∞(Ω) → L3/2(Ω).

Alem disso, pelo Lema de Aubin-Lions 1.3.8, temos que

L2(0, T ;W 2,r(Ω)) ∩φ :

∂φ

∂t∈ L2(0, T ;L3/2(Ω))

c→ L2(0, T ;L∞(Ω))

e assim, concluımos que existe uma subsequencia de (nδ,k), ainda denotada por (nδ,k)

tal que;

nδ,k −→ nδ em L2(0, T ;L∞(Ω)).

(ii) Considere o resultado de regularidade (3.31). Temos, pela Proposicao 1.3.4, que

existe uma subsequencia de (√nδ,k), ainda denotada por (

√nδ,k) tal que

√nδ,k

√nδ em L2(0, T ;H2(Ω)).

(iii) Considere as seguintes resultados de regularidades (3.31) e (3.38), portanto√nδ,k ∈ L2(0, T ;H2(Ω)) ∩

φ : ∂φ

∂t∈ L2(0, T ;H−1(Ω))

. Uma vez que,

H2(Ω)c→ H1(Ω) → H−1(Ω),

pelo Lema de Aubin-Lions 1.3.8, temos que

L2(0, T ;H2(Ω)) ∩φ :

∂φ

∂t∈ L2(0, T ;H−1(Ω))

c→ L2(0, T ;H1(Ω));

e portanto, existe uma subsequencia de (√nδ,k), ainda denotada por (

√nδ,k), tal que

√nδ,k −→

√nδ em L2(0, T ;H1(Ω)).

(iv) Considere o resultado de regularidade (3.28). Temos pela Proposicao 1.3.4 que existe

uma subsequencia de (wδ,k), ainda denotada por (wδ,k) tal que

wδ,k wδ em L2(0, T ;H1(Ω)).

68

(v) Os resultados de regularidades (3.32) e (3.36), mostram que

nδ,kwδ,k ∈ L2(0, T ;W 1,3/2(Ω)) ∩φ : ∂φ

∂t∈ L2(0, T ; (Hs(Ω))∗)

com s > d/2 + 1.

Temos tambem que

W 1,3/2 c→ L2(Ω) → (Hs(Ω))∗,

e, pelo Lema de Aubin-Lions 1.3.8, tem-se que

L2(0, T ;W 1,3/2(Ω)) ∩φ :

∂φ

∂t∈ L2(0, T ; (Hs(Ω))∗)

c→ L2(0, T ;L2(Ω));

Logo, existe uma subsequencia de (nδ,kwδ,k), ainda denotada por (nδ,kwδ,k) tal que

nδ,k −→ g em L2(0, T ;L2(Ω)).

Atraves das convergencias (3.40) e (3.43), tem-se que

nδ,kwδ,k nδwδ em L1(0, T ;L6(Ω)).

Como nδ,kwδ,k −→ g em L2(0, T ;L2(Ω)), passando a uma subsequencia (se ne-

cessario) e usando a unicidade do limite fraco, concluımos que g = nw, logo,

nδ,kwδ,k −→ nδwδ em L2(0, T ;L2(Ω)).

(vi) Observamos que

‖nγδ,k‖L4/3(0,T ;L4/3(Ω)) =

∫ T

0

[(∫Ω

|nγδ,k|4/3dx

)3/4]4/3

dt

3/4

=

∫ T

0

[(∫Ω

|nδ,k|4γ/3 dx)3/(4γ)

]4γ/3

dt

(3/(4γ)).γ

= ‖nδ,k‖γL4γ/3(0,T ;L4γ/3(Ω))

e como

L4γ/3+1(0, T ;L4γ/3+1(Ω)) → L4γ/3(0, T ;L4γ/3(Ω)),

obtemos

‖nγδ,k‖L4/3(0,T ;L4/3(Ω)) = ‖nδ,k‖γL4γ/3(0,T ;L4γ/3(Ω))

≤ C‖nδ,k‖γL4γ/3+1(0,T ;L4γ/3+1(Ω))

≤ C por (3.34).

Observe que L4/3(0, T ;L4/3(Ω)) e um espaco de Banach reflexivo, portanto existe

uma subsequencia de (nγδ,k), ainda denotada por (nγδ,k) tal que;

nγδ,k h em L4/3(0, T ;L4/3(Ω)).

69

Como,

nδ,k −→ nδ em L2(0, T ;Lq(Ω)) (1 ≤ q ≤ ∞),

portanto, pelo Lema 1.3.5, existe uma subsequencia de (nδ,k), ainda denotada por

(nδ,k) tal que

nδ,k −→ nδ q.t.p em Ω× [0, T ]

isso implica que,

nγδ,k −→ nγδ q.t.p em Ω× [0, T ].

Passando a uma subsequencia, se necessario, e pela unicidade da convergencia fraca,

concluimos que h = nγδ , logo

nγδ,k nγδ em L4/3(0, T ;L4/3(Ω)).

Sejam j ∈ N tal que k > j e considere θ ∈ D(0, T ). Multiplicando (3.4) por θ(t),

integrando em [0, T ], e fazendo integracao por partes em t de forma conveniente, obtemos

−∫ T

0

(nδ,kwδ,k,vj)θt(t)dt−∫ T

0

(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k,∇vj)θ(t)dt−∫ T

0

(nγδ,k, div vj)θ(t)dt

+4ε20

∫ T

0

(∆√nδ,k∇

√nδ,k,vj)θ(t)dt+ 2ε2

0

∫ T

0

(√nδ,k∆

√nδ,k, div vj)θ(t)dt

−∫ T

0

(nδ,kf ,vj)θ(t)dt = −ν∫ T

0

(∇(nδ,kwδ,k),∇vj)θ(t)dt+ δ

∫ T

0

(∇wδ,k,∇vj)θ(t)dt

+δ

∫ T

0

(wδ,k,vj)θ(t)dt ∀ vj ∈ Vk (com j fixo). (3.46)

Passando o limite em (3.46) quando k →∞, segue que

(i)

∫ T

0

((nδ,kwδ,k)t,vj)θ(t)dt −→∫ T

0

((nδwδ)t,vj)θ(t)dt.

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

nδ,kwδ,k · vj(x)θt(t)dxdt−∫ T

0

∫Ω

nδwδ · vj(x)θt(t)dxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(nδ,kwδ,k − nδwδ)vj(x)θt(t)dxdt

∣∣∣∣≤ ‖nδ,kwδ,k − nδwδ‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖vjθt‖L2(0,T ;L2(Ω))

≤ C‖nδ,kwδ,k − nδwδ‖L2(0,T ;L2(Ω)) −→ 0 (por (3.44)).

(ii)

∫ T

0

(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k,∇vj)θ(t)dt −→∫ T

0

(nδwδ ⊗wδ,∇vj)θ(t)dt.

70

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k : ∇vj(x)θ(t))− (nδwδ ⊗wδ : ∇vj(x)θ(t))dxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(nδ,kwδ,k ⊗wδ,k − nδwδ ⊗wδ) : ∇vj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(nδ,kwδ,k − nδwδ)⊗wδ,k : ∇vj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

nδθ(t)∇vj(x) : wδ ⊗ (wδ,k −wδ)dxdt

∣∣∣∣Por (3.32), temos que nδwδ.∇vjθ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)), portanto, o segundo termo da

desigualdade acima converge a zero quando k →∞.

Para o primeiro termo temos:∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(nδ,kwδ,k − nδwδ)⊗wδ,k : ∇vj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣≤ ‖nδ,kwδ,k − nδwδ‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖wδ,k‖L2(0,T ;L6(Ω)).‖∇vjθ‖L∞(0,T ;L(Ω))

≤ C‖nδ,kwδ,k − nδwδ‖L2(0,T ;L2(Ω)) −→ 0 (por 3.44).

(iii)

∫ T

0

(nγδ,k, div vj)θ(t)dt −→∫ T

0

(nγδ , div vj)θ(t)dt.

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

nγδ,kdiv(vj(x))θ(t)dxdt−∫ T

0

∫Ω

nγδdiv(vj(x))θ(t)dxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(nγδ,k − nγδ )div(vj(x))θ(t)dxdt

∣∣∣∣Temos que div(vj)θ ∈ L4(0, T ;L4(Ω)). Como [L4(0, T ;L4(Ω))]

∗= L4/3(0, T ;L4/3(Ω)),

com a convergencia fraca (3.45) o termo a direita da igualdade acima converge a

zero quando k →∞.

(iv)

∫ T

0

(∆√nδ,k∇

√nδ,k,vj)θ(t)dt −→

∫ T

0

(∆√nδ∇√nδ,vj)θ(t)dt.

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

∆√nδ,k∇

√nδ,kvj(x)θ(t)dxdt−

∫ T

0

∫Ω

∆√nδ∇√nδvj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∆√nδ,k∇

√nδ,k −∆

√nδ∇√nδ)vj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇√nδ,k −∇√nδ)∆

√nδ,kvj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣

71

+

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∆√nδ,k −∆

√nδ)∇

√nδvj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣ ;Por (3.25) temos que ∇√nδvjθ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)), portanto o segundo termo da

desigualdade acima converge a zero, devido a convergencia (3.41).

Para o primeiro termo, temos∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇√nδ,k −∇√nδ)∆

√nδ,kvj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣≤ ‖∇√nδ,k −∇

√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖∆

√nδ,k‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖vjθ‖L∞(0,T ;L∞(Ω))

≤ C‖∇√nδ,k −∇√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)) −→ 0 (por (3.42)).

(v)

∫ T

0

(√nδ,k∆

√nδ,k, div vj)θ(t)dt −→

∫ T

0

(√nδ,k∆

√nδ,k, div vj)θ(t)dt.

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

√nδ,k∆

√nδ,kdiv(vj(x))θ(t)dxdt−

∫ T

0

∫Ω

√nδ∆√nδdiv(vj(x))θ(t)dxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(√nδ,k∆

√nδ,k −

√nδ∆√nδ)div(vj(x))θ(t)dxdt

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(√nδ,k −

√nδ)∆

√nδ,kdiv(vj(x))θ(t)dxdt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∆√nδ,k −∆

√nδ)√nδdiv(vj(x))θ(t)dxdt

∣∣∣∣Por (3.25), temos que

√nδdiv(vj)θ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)). Portanto, o segundo termo

da desigualdade acima converge a zero, devido a convergencia (3.41).

Para o primeiro termo, temos∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(√nδ,k −

√nδ)∆

√nδ,kdiv(vj(x))θ(t)dxdt

∣∣∣∣≤ ‖√nδ,k −

√nδ‖L2(0,T ;L∞(Ω)).‖∆

√nδ,k‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖div(vj)θ‖L∞(0,T ;L2(Ω))

≤ C‖√nδ,k −√nδ‖L2(0,T ;L∞(Ω)) −→ 0 (por (3.40)).

(vi)

∫ T

0

(nδ,kf ,vj)θ(t)dt −→∫ T

0

(nδf ,vj)θ(t)dt.

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

nδ,kfvj(x)θ(t)dxdt−∫ T

0

∫Ω

nδfvj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(nδ,k − nδ)fvj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣

72

≤ ‖nδ,k − nδ‖L2(0,T ;L∞(Ω)).‖f‖L∞(0,T ;L∞(Ω))‖vjθ‖L2(0,T ;L1(Ω))

≤ C‖nδ,k − nδ‖L2(0,T :L∞(Ω)) −→ 0 (por (3.40)).

(vii)

∫ T

0

(∇(nδ,kwδ,k),∇vj)θ(t)dt −→∫ T

0

(∇(nδwδ),∇vj)θ(t)dt.

Pela regularidade (3.32), temos que existe uma subsequencia de (nδ,kwδ,k), ainda

denotada por (nδ,kwδ,k), tal que

nδ,kwδ,k nδwδ em L2(0, T ;W 1,3/2(Ω))

e, em particular,

∇(nδ,kwδ,k) ∇(nδwδ) em L2(0, T ;L3/2(Ω)).

Observe que ∇vjθ ∈ L2(0, T ;L3(Ω)). Assim, obtemos que∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

∇(nδ,kwδ,k) : vj(x)θ(t)dxdt−∫ T

0

∫Ω

∇(nδwδ) : vj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇(nδ,kwδ,k)−∇(nδwδ)) : vj(x)θ(t)dxdt

∣∣∣∣ −→ 0.

(viii)

∫ T

0

(∇wδ,k,∇vj)θ(t)dt −→∫ T

0

(∇wδ,∇vj)θ(t)dt.

A demonstracao segue de imediato da convergencia (3.43).

(ix)

∫ T

0

(wδ,k,vj)θ(t)dt −→∫ T

0

(wδ,k,vj)θ(t)dt.

A demonstracao segue de imediato da convergencia (3.43).

Asim, obtemos

−∫ T

0

(nδwδ,vj)θt(t)dt−∫ T

0

(nδwδ ⊗wδ,∇vj)θ(t)dt−∫ T

0

(nγδ , div vj)θ(t)dt

+4ε20

∫ T

0

(∆√nδ∇√nδ,vj)θ(t)dt+ 2ε2

0

∫ T

0

(√nδ∆√nδ, div vj)θ(t)dt

−∫ T

0

(nδf ,vj)θ(t)dt = −ν∫ T

0

(∇(nδwδ),∇vj)θ(t)dt+ δ

∫ T

0

(∇wδ,∇vj)θ(t)dt

+δ

∫ T

0

(wδ,vj)θ(t)dt ∀ vj ∈ Vk ∀ θ ∈ D(0, T ). (3.47)

Sabe-se que o conjunto das combinacoes lineares (finitas) dos vj ∈ Vk e denso em

H1(Ω), e da arbitraridade de θ, e da densidade de D(0, T ) em H10 (0, T ), decorre que

−∫ T

0


0


0


73

+4ε20

∫ T

0


0

∫ T

0


−∫ T

0


0


∫ T

0


+δ

∫ T

0

(wδ,v)θ(t)dt ∀ v ∈ H1(Ω) e ∀ θ ∈ H10 (0, T ). (3.48)

Em seguida, considere a equacao (3.3). Multiplicando tal equacao por φ ∈ D(0, T ;D(Ω)),

integrando sobre Ω× [0, T ], obtemos∫ T

0

∫Ω

(nδ,k)tφ dxdt+

∫ T

0

∫Ω

div(nδ,kwδ,k)φ dxdt = ν

∫ T

0

∫Ω

∆nδ,kφ dxdt.

Vamos mostrar em seguida que, passando o limite termo a termo ( k →∞), na igualdade

acima, obtemos∫ T

0

∫Ω

(nδ)tφ dxdt+

∫ T

0

∫Ω

div(nδwδ)φ dxdt = ν

∫ T

0

∫Ω

∆nδφ dxdt.

De fato,

(i) Por (3.35), temos que existe uma subsequencia de ((nδ,k)t), ainda denotada por

((nδ,k)t), tal que

(nδ,k)t (nδ)t em L2(0, T ;L3/2(Ω)),

e, portanto,∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

((nδ,k)t − (nδ)t)φdxdt

∣∣∣∣ −→ 0 ∀φ ∈ D(0, T ;D(Ω)) → L2(0, T ;L3/2(Ω)).

(ii) Por (3.32), temos que existe uma subsequencia de (nδ,kwδ,k), ainda denotada por

(nδ,kwδ,k), tal que

∇(nδ,kwδ,k) ∇(nδwδ) em L2(0, T ;L3/2(Ω)),

o qual, em particular, implica que

div(nδ,kwδ,k) div(nδwδ) em L2(0, T ;L3/2(Ω))

e, portanto, ∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(div(nδ,kwδ,k)− div(nδwδ))φdxdt

∣∣∣∣ −→ 0

∀φ ∈ D(0, T ;D(Ω)) → L2(0, T ;L3/2(Ω)).

(iii) Como

∆nδ,k = 2√nδ,k∆

√nδ,k + 2∇√nδ,k.∇

√nδ,k,

74

entao, ∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

∆nδ,kφ dxdt−∫ T

0

∫Ω

∆nδφ dxdt

∣∣∣∣≤ 2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

√nδ,k∆

√nδ,kφ dxdt−

∫ T

0

∫Ω

√nδ∆√nδφ dxdt

∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

∇√nδ,k.∇√nδ,kφ dxdt−

∫ T

0

∫Ω

∇√nδ.∇

√nδφ dxdt

∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(√nδ,k∆

√nδ,k −

√nδ∆√nδ,k +

√nδ∆√nδ,k −

√nδ∆√nδ)φ dxdt

∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇√nδ,k.∇√nδ,k −∇

√nδ,k.∇

√nδ

+∇√nδ,k.∇√nδ −∇

√nδ.∇

√nδ)φ dxdt

∣∣∣∣∣≤ 2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(√nδ,k −

√nδ)∆

√nδ,kφ dxdt

∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∆√nδ,k −∆

√nδ)√nδφ dxdt

∣∣∣∣+2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇√nδ,k −∇√nδ)∇

√nδ,kφ dxdt

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇√nδ,k −∇√nδ)∇

√nδφ dxdt

∣∣∣∣ .Efetuando a passagem ao limite em cada termo a direita da desigualdade acima,

obtemos

2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(√nδ,k −

√nδ)∆

√nδ,kφ dxdt

∣∣∣∣≤ 2C‖√nδ,k −

√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖∆

√nδ,k‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖φ‖L∞(0,T ;L∞(Ω))

≤ C‖√nδ,k −√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)) −→ 0 (por (3.42)).

Alem disso, como√nδφ ∈ L2(0, T ;L2(Ω)), pela convergencia (3.41) tem-se que

∆√nδ,k ∆

√nδ em L2(0, T ;L2(Ω))

e, portanto,

2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∆√nδ,k −∆

√n)√nδφ dxdt

∣∣∣∣ −→ 0.

Em seguida, fazemos

2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇√nδ,k −∇√nδ)∇

√nδ,kφ dxdt

∣∣∣∣≤ 2C‖∇√nδ,k −∇

√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖∇

√nδ,k‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖φ‖L∞(0,T ;L∞(Ω))

75

≤ C‖∇√nδ,k −∇√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)) −→ 0 (por (3.42)).

E, finalmente,

2

∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

(∇√nδ,k −∇√nδ)∇

√nδφ dxdt

∣∣∣∣≤ 2C‖∇√nδ,k −∇

√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖∇

√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)).‖φ‖L∞(0,T ;L∞(Ω))

≤ C‖∇√nδ,k −∇√nδ‖L2(0,T ;L2(Ω)) −→ 0 (por (3.42)).

Concluımos entao, que∣∣∣∣∫ T

0

∫Ω

∆nδ,kφ dxdt−∫ T

0

∫Ω

∆nδφ dxdt

∣∣∣∣ −→ 0, ∀φ ∈ D(0, T ;D(Ω)).

Usando a Proposicao de Du Bois Raymond 1.3.7, concluımos que:

(nδ)t + div(nδwδ) = ν∆nδ q.t.p. em [0, T ]× Ω. (3.49)

Como nδ,k(·, 0) = n0 e (nδ,kwδ)(·, 0) = n0w0, para todo k, conclui-se que nδ(·, 0) = n0

e (nδwδ)(·, 0) = n0w0 q.t.p. em Ω (para cada δ fixo).

Capıtulo 4

Existencia Global de Solucao Fraca

do Problema de Euler Quantico

Teorema 4.0.1 (Existencia Global de Solucao Fraca) . Sejam w0 ∈ H2(Ω), n0 ∈H3(Ω), com Ω = Td, o toro d-dimencional (d ≤ 3) onde a medida de Ω e finita, 0 < α ≤n0 ≤ β, f ∈ L∞(0, T ;L∞(Ω)), p(n) = nγ onde γ > 3 se d = 3 e γ > 1 se d < 3, ε > ν.

Entao, para todo T > 0, existe um par de funcoes (n,w) tal que

√n ∈ L∞(0, T ;H1(Ω)) ∩ L2(0, T ;H2(Ω)) e 4

√n ∈ L4(0, T ;W 1,4(Ω)),

(√n)t ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)) e (n)t ∈ L2(0, T ;L3/2(Ω)),

n ∈ L2(0, T ;W 2,2γ/(γ+1)(Ω)) ∩ L∞(0, T ;Lγ(Ω)) ∩ L4γ/3+1(0, T ;L3γ/3+1(Ω)),

nw ∈ L2(0, T ;W 1,3/2(Ω)) e√n∇w ∈ L2(0, T ;L2(Ω))

√nw ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)) e (nw)t ∈ L4/3(0, T ;H−s(Ω)) onde s >

d

2+ 1,

o qual, e Solucao Fraca do Problema de Euler Quantico, ou seja, para todo v ∈ H1(Ω), o

par de funcoes (n,w) e solucao de

(n)t + div(nw) = ν∆n q.t.p. em Ω× [0, T ]

−∫ T

0

(nw,v)θt(t)dt−∫ T

0

(nw ⊗w,∇v)θ(t)dt−∫ T

0

(nγ, div v)θ(t)dt

+4ε20

∫ T

0

(∆√n∇√n,v)θ(t)dt+ 2ε2

0

∫ T

0

(√n∆√n, div v)θ(t)dt

−∫ T

0

(nf ,v)θ(t)dt = −ν∫ T

0

(∇(nw),∇v)θ(t)dt ∀ θ ∈ H10 (0, T ).

n(., 0) = n0, (nw)(., 0) = n0w0, q.t.p. em Ω.

Demonstracao:

A principal ideia para a demonstracao e passar o limite em δ −→ 0 na formulacao

fraca (3.47). Tal procedimento nos permitira concluir que a solucao do Problema de Euler

Quantico Penalizado converge, quando δ → 0, para uma solucao do problema original.

76

77

Como todas as estimativas a Priori encontradas no Capıtulo anterior sao idependentes

de δ, tem-se que o Lema 3.4.1 e valido para δ → 0.

Estamos considerando δ arbitrario tal que 0 < δ ≤ 1, desta forma tome δ = 1/l.

Com isto quando fizermos δ → 0 significa que estamos passando o limite l → ∞ na

sequencia(

1l

)l∈IN . Desta forma, precisamos passar o limite apenas nos ultimos dois termos

na equacao (3.47).

(i) δ

∫ T

0

(∇wδ,∇vj)θ(t)dt −→ 0.

∣∣∣∣δ ∫ T

0

(∇wδ,∇vj)θ(t)dt

∣∣∣∣≤√δ(√

δ‖∇wδ‖L2(0,T ;L2(Ω))

).‖∇vjθ‖L2(0,T ;L2(Ω))

≤√δC −→ 0, quando δ −→ 0.

(ii) δ

∫ T

0

(wδ,vj)θ(t)dt −→ 0.

∣∣∣∣δ ∫ T

0

(wδ,vj)θ(t)dt

∣∣∣∣≤√δ(√

δ‖wδ‖L2(0,T ;L2(Ω))

).‖vjθ‖L2(0,T ;L2(Ω))

≤√δC −→ 0, quando δ −→ 0.

Portanto, quando δ → 0, obtemos∫ T

0

((nw)t,v)θ(t)dt−∫ T

0

(nw ⊗w,∇v)θ(t)dt−∫ T

0

(nγ, div v)θ(t)dt

+4ε20

∫ T

0

(∆√n∇√n,v)θ(t)dt+ 2ε2

0

∫ T

0


−∫ T

0

(nf ,v)θ(t)dt = −ν∫ T

0

(∇(nw),∇v)θ(t)dt, ∀ v ∈ H1(Ω) e ∀ θ ∈ H10 (0, T ).

Para a equacao (3.49), a demonstracao e totalmente analoga aquela feita no Capıtulo

anterior, portanto, quando δ → 0 na equacao (3.49), obtemos:

nt + div(nw) = ν∆n q.t.p. em [0, T ]× Ω.

n(·, 0) = n0, (nw)(·, 0) = n0w0 q.t.p. em Ω.

78

4.1 Existencia Global de Solucao Fraca do Problema

de Navier-Stokes Quantico

Corolario 4.1.1 (Existencia Global de Solucao Fraca) . Sejam u0 ∈ H2(Ω), n0 ∈H3(Ω), com Ω = Td, o toro d-dimencional (d ≤ 3) onde a medida de Ω e finita, 0 < α ≤n0 ≤ β, f ∈ L∞(0, T ;L∞(Ω)), p(n) = nγ, onde γ > 3 se d = 3 e γ > 1 se d < 3, ε > ν.

Entao, para todo T > 0, existe um par de funcoes (n,u) tal que

√n ∈ L∞(0, T ;H1(Ω)) ∩ L2(0, T ;H2(Ω)) e 4

√n ∈ L4(0, T ;W 1,4(Ω)),

(√n)t ∈ L2(0, T ;H−1(Ω)) e (n)t ∈ L2(0, T ;L3/2(Ω)),

n ∈ L2(0, T ;W 2,2γ/(γ+1)(Ω)) ∩ L∞(0, T ;Lγ(Ω)) ∩ L4γ/3+1(0, T ;L3γ/3+1(Ω)),√nu ∈ L∞(0, T ;L2(Ω)), nu ∈ L2(0, T ;W 1,3/2(Ω)) e

√n∇u ∈ L2(0, T ;L2(Ω)),

e (n,u) e Solucao Fraca do Problema de Navier-Stokes Quantico, ou seja, para todo

v ∈ H1(Ω), o par de funcoes (n,u) e solucao de;

(n)t + div(nu) = 0 q.t.p. em Ω× [0, T ]

−∫ T

0

(nu,v)θt(t)dt−∫ T

0

(nu⊗ u,∇v)θ(t)dt−∫ T

0

(nγ, div v)θ(t)dt

+4ε2

∫ T

0

(∆√n∇√n,v)θ(t)dt+ 2ε2

0

∫ T

0


−∫ T

0

(nf ,v)θ(t)dt = −ν((nD(u),∇ v)θ(t)dt, ∀θ ∈ H10 (0, T ).

n(., 0) = n0, (nu)(., 0) = n0u0 q.t.p. em Ω.

Demonstracao:

Considerando a equacao da Velocidade Efetiva aproximada

uk = wk − ν∇ log nk,

podemos obter as seguintes identidades:

nkuk = nkwk − ν∇nk√nkuk =

√nkwk − 2ν∇

√nk

√nk∇uk =

√nk∇wk − ν

√nk∇ (∇ log nk)

assim temos todas as regularidades. Pelo Capıtulo 2 basta substituir w = u + ν∇log nno Teorema 4.0.1.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Rodrigo Alexandre Siqueira