Università degli studi di Trento · PDF fileUniversità degli studi di Trento DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE, AMBIENTALE E MECCANICA Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente

Università degli studi di Trento

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE, AMBIENTALE EMECCANICA

Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio

DISPENSE DEL

CORSO DI

IDROLOGIA

Realizzata da:DAL MOLIN MARCO

Anno Accademico 2012 - 2013

Indice

1 L’acqua nel sottosuolo 71.1 Le stratificazioni del suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Classificazione del suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Quantificazione dell’acqua nel suolo . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Tessitura dei suoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 La legge di Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6 Legge di Darcy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 L’equazione di Richards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Equazioni di Richards su versante piano . . . . . . . . . . . . 26

1.8.1 Ipotesi 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.8.2 Ipotesi 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.9 L’effetto del bedrock e dei macropori . . . . . . . . . . . . . . 331.10 Equazione delle falde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Il deflusso superficiale 37

3 L’evapotraspirazione 423.1 Alcune definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Il fenomeno reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Fattori che determinano l’evapotraspirazione . . . . . . . . . . 473.4 Evaporazione dai suoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 La traspirazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 Metodi alternativi per il calcolo dell’evapotraspirazione . . . . 54

3.6.1 Equazione di Penman - Monteith . . . . . . . . . . . . 553.6.2 Equazione di Priestley - Taylor . . . . . . . . . . . . . 573.6.3 Utilizzare i bilanci di energia e massa . . . . . . . . . . 58

4 La neve 594.1 Fenomenologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Proprietà del manto nevoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Metamorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2

INDICE 3

4.4 Bilancio energetico della neve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Equazioni di massa e di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6 Generazione del deflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Elenco delle figure

1.1 Stratificazione del suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Suddivisione del suolo in orizzonti . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Classificazione mineralogica delle rocce . . . . . . . . . . . . . 81.4 Esempio di carta dei suoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Le varie fasi presenti nel suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Classificazione del suolo in base alla granulometria . . . . . . . 121.7 L’apparecchiatura sperimentale di Darcy . . . . . . . . . . . . 131.8 Conducibilità e permeabilità al variare del tipo di terreno . . . 141.9 Bilancio di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.10 Curva di ritenzione idrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.11 Curve di ritenzione idrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.12 Espressioni parametriche delle curve di ritenzione idrica . . . . 191.13 Curve di ritenzione idrica al variare del parametro n . . . . . . 201.14 Curve di van Genuchten al variare del tipo di suolo . . . . . . 201.15 Relazione tra conducibilità e saturazione . . . . . . . . . . . . 211.16 Relazione tra conducibilità e contenuto d’acqua . . . . . . . . 221.17 Espressioni parametriche della conducibitlità idraulica . . . . . 221.18 Confronto conducibilità idraulica e curva di ritenzione idrica . 231.19 La scala di versante piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.20 Condizioni idrostatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.21 Soluzione dell’equazione di Richards . . . . . . . . . . . . . . . 281.22 Rappresentazione grafica delle soluzioni impulsive . . . . . . . 291.23 Andamento della pressione con la profondità . . . . . . . . . . 301.24 Andamento del contenuto d’acqua con la profondità . . . . . . 311.25 Versante a forma di libro oggetto di analisi . . . . . . . . . . . 321.26 Risultato della simulazione sul versante a forma di libro . . . . 321.27 Bacino sperimentale di Panola (USA) . . . . . . . . . . . . . . 331.28 Evoluzione della falda nel bacino di Panola a seguito della

precipitazione descritta nel testo . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.29 Differenza tra un modello che sfrutta le equazioni di Richards

senza conteggiare la presenza di macropori e la misura reale . 35

4

ELENCO DELLE FIGURE 5

1.30 Curva di ritenzione idrica nel caso di falde . . . . . . . . . . . 36

2.1 Dipendenza dell’infiltrazione dal tipo di suolo . . . . . . . . . 372.2 Rappresentazione del deflusso in relazione alla precipitazione . 392.3 Tendenza di un suolo a saturare . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4 Differenza di infiltrazione tra processo Dunniano (destra) e

Hortoniano (sinistra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 Diagramma di Dunne e Leopold . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 Diagramma di stato dell’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Relazione tra il coefficiente x e θ . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Andamento di rv rispetto ai vari parametri . . . . . . . . . . . 513.4 Acqua utilizzabile dalle piante in funzione della tipologia di

suolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Andamento della traspirazione nell’arco della giornata . . . . . 533.6 Correlazione tra traspirazione e LAI . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1 Tappe del processo di formazione della neve . . . . . . . . . . 604.2 Varie tipologie di cristallo di neve . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Correlazione tra la forma del cristallo di neve e le condizioni

termodinamiche della sua formazione . . . . . . . . . . . . . . 614.4 Dimensioni tipiche di un fiocco di neve . . . . . . . . . . . . . 624.5 Evoluzione dello strato nevoso nell’arco dell’anno . . . . . . . 624.6 Fenomeni di trasporto dei cristalli di neve ad opera del vento . 634.7 Le varie componenti del manto nevoso . . . . . . . . . . . . . 644.8 Classificazione della neve in base alla densità . . . . . . . . . . 654.9 Andamento termico nel manto nevoso . . . . . . . . . . . . . . 674.10 Bilancio energetico di una superficie nevosa . . . . . . . . . . . 684.11 Bilancio radiativo del manto nevoso . . . . . . . . . . . . . . . 694.12 Bilanci energetici del manto nevoso presso il passo del Tonale . 714.13 Volume di controllo considerato per i bilanci . . . . . . . . . . 714.14 Diagramma di stato dell’acqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.15 Effetto delle forze capillari sul potenziale chimico dell’acqua . 76

Introduzione

La presente dispensa copre la seconda parte del corso di Idrologia - 6 CFUtenuto dal professor Rigon Riccardo. Si ringrazia quanti hanno contribuitoalla revisione dei contenuti.

Le immagini utilizzate sono tratte dalle slides del professor Rigon nelrispetto dei diritti Creative Commons.

Si rimanda alle slides per una bibliografia completa dei contenuti.

6

Capitolo 1

L’acqua nel sottosuolo

1.1 Le stratificazioni del suolo

Il suolo è una risorsa non rinnovabile che interagisce con la superficie. Essoè la parte superficiale del terreno ed è composto da materia organica edinorganica, risultato di lunghissimi processi evolutivi: la formazione del suolo,infatti, richiede da centinaia a decine di migliaia di anni.

Figura 1.1: Stratificazione del suolo

Come si vede dalla Figura 1.1, al di sotto del suolo vi è sempre unostrato di materiale non consolidato chiamato regolite da cui si forma il suolo(pedogenesi). Per substrato si intende la porzione di roccia consolidata da cuiil suolo deriva e che, quindi, ha caratteristiche chimico-fisiche molto simili alsuolo. Col passare del tempo, il profilo del suolo diventa sempre più profondo

7

8 CAPITOLO 1. L’ACQUA NEL SOTTOSUOLO

e differenziato: ciò a causa dell’azione combinata di erosione e deposito adopera, principalmente, dell’acqua.

Per weathering si intende l’insieme degli agenti chimici, fisici e biologiciche agiscono sul suolo.

Per profilo si intende la sezione verticale del suolo che mette in luce laeventuale sequenza degli orizzonti. Gli orizzonti (Figura 1.2) sono porzionidel suolo di spessore variabile che risultano uniformi per colore, tessitura,struttura, pH, carbonati...

Figura 1.2: Suddivisione del suolo in orizzonti

Le rocce si possono classificare in base alla loro mineralogia (Figura 1.3).Gli elementi maggiormente presenti sono Carbonio e Silicio. Vista la strettacorrelazione substrato roccioso-suolo essi sono anche gli elementi prevalentinel suolo.

Figura 1.3: Classificazione mineralogica delle rocce

1.2. CLASSIFICAZIONE DEL SUOLO 9

1.2 Classificazione del suolo

Una prima classificazione del suolo può essere fatta in base al suo colore.

• Suoli chiari: poca presenza di materia organica

• Suoli scuri: ricchezza di materia organica

• Suoli bruni: presenza di complessi argilla-humus formati dalla compo-nente organica del suolo

• Suoli arrossati: presenza di ossidi di ferro in forma anidra

• Suoli giallastri: presenza di ossidi di ferro in forma idrata

• Suoli verdi o blu: condizioni asfittiche a causa della presenza di acqua

• Colori screziati: condizioni di oscillazione della falda

In caso di rocce particolarmente colorate, il suolo può prenderne il colore.Esistono, ovviamente, altri metodi di classificazione dei suoli che si basa-

no sull’analisi dei fattori di formazione dei suoli, dei processi agenti e degliorizzonti con le proprietà dei materiali presenti.

Secondo l’Unione Europea il suolo è qualsiasi materiale nei primi duemetri di terreno con esclusione di esseri viventi, ghiacci perenni, specchid’acqua più profondi di due metri.

Per conoscere la tipologia dei suoli in una data area si può utilizzare unacarta dei suoli (Figura 1.4)

Figura 1.4: Esempio di carta dei suoli


1.3 Quantificazione dell’acqua nel suoloIl suolo contiene una parte solida ed humus. Tutto il resto è porosità: laporosità può essere riempita da aria, acqua e sostanza vivente.

Nel suolo vi è presenza di acqua: se essa riempie tutta la porosità il suoloè saturo. La superficie della falda prende il nome di water table.

Il moto dell’acqua avviene nei pori del terreno e nelle fessure delle rocce.La Figura 1.5 mostra le varie fasi presenti nel suolo.

Figura 1.5: Le varie fasi presenti nel suolo

Occorre ora elencare una serie di indici che verranno poi utilizzati nellesuccessive formule.

Ms =Mag +Mi +Mlw +Msp (1.1)

Mtw =Mi +Mlw +Mv (1.2)

L’equazione (1.2) rappresenta la massa totale dell’acqua nel suolo nelletre fasi (ghiaccio, liquida e vapore).

Si possono scrivere analoghe relazioni relative ai volumi

Vs = Vag + Vi + Vlw + Vsp (1.3)

Vtw = Vi + Vlw + Vv (1.4)

Si definisce densità del suolo la quantità

ρsp :=Msp

Vsp(1.5)

1.4. TESSITURA DEI SUOLI 11

Prende invece il nome di densità apparente la quantità

ρb :=Msp

Vs(1.6)

Il contenuto volumetrico adimensionale di acqua in forma condensata vale

θcw =Vlw + ViVs

(1.7)

Il contenuto volumetrico adimensionale di acqua in forma liquida, invece,è

θw =VlwVs

(1.8)

Il contenuto volumetrico adimensionale di ghiaccio vale

θi =ViVs

(1.9)

La porosità del suolo vale

ϕs =Vag + Vi + Vlw

Vag + Vi + Vlw + Vsp(1.10)

Mentre la porosità effettiva (tolto il ghiaccio) vale

ϕse =Vag + Vlw

Vag + Vi + Vlw + Vsp= ϕs − θi (1.11)

La saturazione del suolo è

Ss =θlwϕse

(1.12)

Detta θr l’acqua adsorbita dal suolo, la saturazione effettiva vale

Se =θlw − θrϕse − θr

(1.13)

1.4 Tessitura dei suoliSi può classificare il suolo in base alla dimensione dei grani (Figura 1.6)

Le sabbie hanno dimensioni tra i 2 mm e i 0.05 mm e i granelli sonovisibili ad occhio nudo senza l’ausilio di microscopio. Possono avere formaarrotondata o angolare.


Figura 1.6: Classificazione del suolo in base alla granulometria

I limi hanno dimensioni tra i 0.05 mm ed i 0.002 mm. Per vedere i singoligranelli occorre utilizzare il microscopio.

Le argille, infine, hanno dimensioni inferiori ai 0.002 mm. Alcune argillehanno la capacità di assorbire acqua e di variare il proprio volume. Si parlain questo caso di argille espandibili.

Le argille sono molto importanti per il moto di filtazione dell’acqua inquanto la dimensione dei pori dipende dalla dimensione dei grani più piccoli.

Da questa descrizione si vede che il suolo ed i fenomeni che avvengono alsuo interno sono molto complessi e poco uniformi.

1.5 La legge di Darcy

L’esperimento di Darcy (Figura 1.7) risale al 1856. In esso Darcy fece passarein tubi di differenti dimensioni dell’acqua misurando portata e differenzadi pressione (ovvero differenza di carico idraulico). Si notò che la portataè direttamente proporzionale all’area del tubo ed alla differenza di caricoidraulico ed inversamente proporzionale alla lunghezza del tubo.

1.5. LA LEGGE DI DARCY 13

Figura 1.7: L’apparecchiatura sperimentale di Darcy

Jv =Q

A= K

h2 − h1l

= K∂h

∂z(1.14)

L’equazione (1.14) prende il nome di legge di Darcy. h è il carico idraulicoe vale

h = z +p

γw(1.15)

Nell’equazione (1.15) si è trascurato il termine cinetico in quanto la sua de-rivata rispetto alla variabile z è da considerarsi nulla (si ritiene il moto avelocità costante).

La costante K si chiama conducibilità idraulica ed ha le dimensioni diuna velocità. Essa, se il suolo non è isotropo (e non lo è mai), dipende dallaposizione e dalla direzione. Si tratta quindi di un tensore ma per comoditàviene trattata come uno scalare. La conducibilità dipende non solo dal mezzoin cui vi è il moto ma anche dalle proprietà del fluido.

Come si vede dalla legge di Poiseuille

q =γ(2Rh)

2

8µ∇(h) a (1.16)

che tratta il moto laminare dell’acqua in un tubo circolare di raggio a, entranoin gioco sia le proprietà del fluido che del tubo (che nel parallelo rappresentala porosità del terreno).

Le proprietà del fluido sono


• viscosità cinematica ν(m2

s

)• densità del fluido ρ

(kgm3

)• viscosità dinamica µ

(kgms

)Le proprietà del terreno sono

• dimensione dei grani d (m)

• fattore di forma N

Si può esprimere la conducibilità idraulica come il prodotto delle variecaratteristiche del terreno e del fluido

K = gNd2ν−1 =k

ν(1.17)

k prende il nome di permeabilità idraulica ed è esclusivamente una pro-prietà del terreno.

La Figura 1.8 mostra la conducibilità e la permeabilità al variare del tipodi suolo.

Figura 1.8: Conducibilità e permeabilità al variare del tipo di terreno

La conducibilità idraulica resta comunque un fenomeno molto eterogeneoe spesso deve essere studiato su larghe scale, anche a livello regionale. Essadipende anche dalla temperatura del fluido: piccole variazioni di temperaturapossono causare variazioni di ordini di grandezza della conducibilità idraulica.

1.5. LA LEGGE DI DARCY 15

Per studiare il moto dell’acqua si deve quindi uniformare l’area di studioconsiderando valori medi. La conducibilità idraulica dipende inoltre dalledimensioni del volume di controllo. La velocità del moto viene consideratacostante in quanto tutta la forza generata dal carico idraulico viene dissipata.

A seconda della scala su cui si è interessati a misurare la permeabilitàidraulica cambiano i metodi utilizzati: per piccole distanze si possono pre-levare dei campioni; al crescere della scala si possono fare misure indirettecome analisi radar, onde sonore, onde sismiche e test di pompaggio.

É possibile studiare analiticamente il fenomeno introducendo un bilanciodi massa (figura 1.9)

Figura 1.9: Bilancio di massa

In un bilancio di massa, la variazione della quantità di materia (acqua inquesto caso) nel volume di controllo è uguale a tutta quella che entra menoquella che esce dalla superficie del volume di controllo sommata algebrica-mente a quella parte della quantità che si trasforma in altre cose (ad esempioevapora).

Per eseguire il bilancio di massa si prende un volume di controllo maggioredella scala di Darcy (la scala di Darcy ha un ordine di grandezza di 10 cm).In questo modo si può considerare il mezzo come un continuo. Per l’acqua ilbilancio di massa può ridursi ad un bilancio di volume in quanto la densitàdell’acqua può considerarsi costante.

Si può scrivere il bilancio

Jv∆z∆y =

(Jv +

∂Jv∂x

∆x

)∆z∆y (1.18)


Se si trascurano i cambiamenti di fase e si considera ρ costante il bilanciodi massa si può scrivere come

dMlw

dt=d(ρwVlw)

dt= ρw

dVlwdt

(1.19)

É possibile scrivere il bilancio volumetrico in termini di contenuto d’acquaadimensionale (1.8), considerando costante il volume del suolo.

dVlwdt

=VsVs

dVlwdt

= Vsdθwdt

(1.20)

Estendendo il bilancio in figura 1.9 a tutte le facce del cubo di controllo,il flusso complessivo vale(

∂Jv∂x

+∂Jv∂y

+∂Jv∂x

)∆x∆y∆z (1.21)

Vale l’uguaglianza ∆x∆y∆z = Vs ed eguagliando con il bilancio volume-trico (1.20) si ottiene l’equazione di Richards

∂θw∂t

= div(Jv) (1.22)

Esiste però un problema in questa dimostrazione: per farla si è assuntoche il suolo non fosse saturo ma, in realtà, per la legge di Darcy, il suolo deveessere saturo e quindi ∂θw

∂t= 0

Occorre quindi introdurre la legge di Darcy-Buckingham

1.6 Legge di Darcy-Buckingham

Nella legge di Darcy-Buckingham si suppone che la conducibilità idraulicavari con il contenuto d’acqua del terreno. Vale quindi la legge

Jv = K(θ)∇h (1.23)

Dove h = z + ψ è il carico idraulico ed è dato dalla somma di campogravitazionale e forze capillari o di pressione.

I suoli insaturi sono un miscuglio di solido, aria e liquido. La fase liquidaè soggetta a forze di risalita capillare. All’interno del tubo capillare vi sonodelle pressioni negative: si stanno quindi applicando delle tensioni all’acqua.Se vi è acqua con pressione negativa vi è anche l’effetto di avere un suolo

1.6. LEGGE DI DARCY-BUCKINGHAM 17

maggiormente compatto perché l’acqua crea delle forze attrattive sui grani.Vale la legge di Coulomb

pw = −2T cos θ

r(1.24)

Nei suoli insaturi, quindi, il termine ψ risulta essere negativo. La pressionedell’acqua, se dovuta alle forze capillari, non può però essere inferiore allatensione di vapore. Nella realtà, da misure sperimentali, si trovano pressionimolto inferiori: vuol dire che entrano in gioco forze diverse da quelle capillari.

A seconda dei livelli di saturazione si possono avere diverse configurazioninel suolo.

• S = 1 suolo completamente saturo

• S ∈ [0.8; 1] fase liquida continua, fase gassosa discontinua

• S ∈ [0.1; 0.8] entrambe le fasi sono continue

• S < 0.1 fase gassosa continua, fase liquida discontinua

É comunque impossibile avere saturazione nulla in quanto permane sem-pre una saturazione residua, ovvero dell’acqua impossibile da rimuovere per-ché adsorbita al terreno.

L’equazione (1.22) presenta dunque variabili: θw e ψ. Prende il nome dicurva di ritenzione idrica (figura 1.10) la relazione tra suzione (ψ) e contenutod’acqua (θw).

Figura 1.10: Curva di ritenzione idrica


In realtà, però, si vede che non esiste un rapporto biunivoco tra le duevariabili (Figura 1.11). Nella fase di drenaggio, infatti, il contenuto di acquanel suolo risulta essere maggiore. Ciò accade perché il drenaggio è un feno-meno selettivo (prima si svuotano i pori grandi e poi quelli piccoli) mentrel’infiltrazione no. Hanno luogo fenomeni di isteresi.

Figura 1.11: Curve di ritenzione idrica

Occorre però fare la forte ipotesi, per una semplicità matematica, che larelazione sia biunivoca. Si può scrivere l’equazione

∂θ

∂t=∂θ

∂ψ

∂ψ

∂t= C(ψ)

∂ψ

∂t(1.25)

dove il termine C(ψ) prende il nome di capacità idraulica del suolo ed èproporzionale alla distribuzione dei pori. La derivata della curva di ritenzioneè una distribuzione di probabilità.

Si fa l’ipotesi che i pori siano drenati selettivamente (prima quelli grandie poi quelli piccoli). Se f(r) è una funzione che dipende dal raggio dei porie che ne indica la distribuzione, si può scrivere la relazione

θw = ϕs

∫ r

0

f(r)dr (1.26)

Vale la relazioneψ = −2γ

r(1.27)

dove ψ è il potenziale di suzione e γ è l’energia per unità di superficie.Grirando l’equazione (1.27) e facendo un cambio di variabile nell’equazione


(1.26), si ottiene

θw = ϕ

∫ − 2γψ

0

f(r(ψ))

ψ2dψ (1.28)

Considerando che l’integrale è l’operazione inversa della derivata, si puòscrivere la relazione

∂θw∂ψ

= C(ψ) = ϕf(r(ψ)) (1.29)

f(r(ψ)) può essere scritta da una formula parametrica.Nella storia sono state scritte diverse formule parametriche delle curve di

ritenzione idrica (Figura 1.12)

Figura 1.12: Espressioni parametriche delle curve di ritenzione idrica

Quella più usata è quella di van Genuchten che è una legge di potenzache dipende da cinque parametri

Se =θ − θrϕ− θr

=

(1

1 + (αψ)n

)m

(1.30)

I parametri sono α, il cui inverso è legato all’altezza della frangia capillare,θr, ψ, n ed m.

La Figura 1.13 mostra come variano le curve di van Genuchten al variaredel parametro n. Il flesso dipende da 1

α.

La Figura 1.14 mostra come cambia la curva di van Genuchten al variaredel suolo.

Per poter disegnare le curve di van Genuchten si parte da dei puntisperimentali per poi andarli ad interpolare.

La conducibilità idraulica K varia al variare del contenuto d’acqua. Essaè massima a saturazione e decresce al calare del contenuto d’acqua (Figura1.15).


Figura 1.13: Curve di ritenzione idrica al variare del parametro n

Figura 1.14: Curve di van Genuchten al variare del tipo di suolo

Detta Ks la conducibilità a saturazione vale la formula parametrica

K(Se) = KsSνe

(f(Se)

f(1)

)2

(1.31)

dove ν è un esponente di connettività tra i pori valutato da Mualem per


Figura 1.15: Relazione tra conducibilità e saturazione

i diversi tipi di suolo e

f(Se) =

∫ Se

0

1

ψ(x)dx (1.32)

Dall’equazione (1.30) si può ricavare

ψ =1

α

(S− 1m

e − 1) 1n

(1.33)

Sostituendo l’equazione (1.33) nella (1.32) si ottiene

f(Se) = α

∫ Se

0

1(x−

1m − 1

) 1n

dx (1.34)

Facendo nell’equazione (1.34) il cambio di variabile x = ym l’integrale diventa

f(Se) = αm

∫ S1me

0

ym−1+ 1n

(1− y)1n

dy (1.35)

Tale equazione si può risolvere numericamente. Nel caso particolare m =1− 1

nla soluzione può essere ricavata algebricamente e risulta essere

f(Se) = −α(1− s

1me

)m+ α (1.36)

Sostituendo infine l’equazione (1.36) nella (1.31) si ottiene

K(Se) = KsSνe

(1−

(1− S

1me

)m)2

(1.37)


Oppure, esprimendo tutto in funzione del potenziale di suzione,

K(ψ) =Ks

(1− (αψ)mn (1 + (αψ)n)

−m)2(1 + (αψ)n)

mν (1.38)

La Figura 1.16 illustra la relazione tra conducibilità idraulica e contenutod’acqua al variare del parametro m

Figura 1.16: Relazione tra conducibilità e contenuto d’acqua

Come per le curve di ritenzione idrica, anche per determinare la condu-cibilità idraulica esistono varie formule parametriche (Figura 1.17).

Figura 1.17: Espressioni parametriche della conducibitlità idraulica

La Figura 1.18 mostra il confronto tra a conducibilità idraulica e conte-nuto d’acqua a pari suzione. Si vede che per ψ = 1 kPa il suolo è ancorasaturo mentre la conducibilità idraulica è già calata. Per ψ = 5 kPa la con-ducibilità si è dimezzata mentre il contenuto d’acqua è ancora prossimo alla

1.7. L’EQUAZIONE DI RICHARDS 23

Figura 1.18: Confronto conducibilità idraulica e curva di ritenzione idrica

saturazione. Per ψ = 20 kPa, infine, la conducibilità è calata di un ordinedi grandezza mentre, solo ora, il contenuto d’acqua comincia a calare.

1.7 L’equazione di RichardsSi parte da tre equazioni

C(ψ)∂ψ

∂t= ∇ · (K(θw)∇(z + ψ)) (1.39)

K(θw) = Ks

√Se

((1− (1− Se)

1m

)m)2

(1.40)

Se = (1 + (αψ)m)−n (1.41)

L’equazione (1.39) rappresenta il bilancio di massa, l’equazione (1.40)rappresenta la parametrizzazione di Mualem e l’equazione (1.41) la parame-trizzazione di van Genuchten. Per prima cosa si può sviluppare la divergenzanell’equazione (1.39)

C(ψ)∂ψ

∂t= ∇K(θw) · ∇(z + ψ) +K(θw)(∇2(z + ψ)) (1.42)


e dividere tutto per C(ψ)

∂ψ

∂t=

1

C(ψ)∇K(θw)·∇(z)+

1

C(ψ)∇K(θw)·∇(ψ)+

K(θw)

C(ψ)(∇2(z+ψ)) (1.43)

Il primo addendo dell’equazione (1.43) può essere visto come un terminegravitativo in quanto legato al gradiente della conducibilità idraulica, il se-condo come un termine avvettivo mentre nel terzo addendo si può eliminarela z in quanto ∂2z

∂z2= 0.

Definendo la velocità di avvezione della pressione come

u(ψ) := −∇K(ψ)

C(ψ)(1.44)

l’equazione (1.43) può essere riscritta come

∂ψ

∂t+ u(ψ) · ∇ψ =

1

C(ψ)∇K(θw) · ∇(z) +

K(θw)

C(ψ)∇2ψ (1.45)

Definendo, infine, la derivata totale come

Dψ

Dt:=

∂ψ

∂t+ u(ψ) · ∇ψ (1.46)

e la diffusività idraulica come

D(ψ) :=K(ψ)

C(ψ)(1.47)

l’equazione (1.45) può essere riscritta come

Dψ

Dt=

1

C(ψ)∇K(θw) · ∇(z) +D(ψ)∇2ψ (1.48)

Ricapitolando, il secondo termine dell’equazione di Richards (1.43) puòessere visto come la somma di tre membri

• Termine gravitativo, legato al gradiente della conducibilità idraulicaverso il basso

• Termine avvettivo con trasporto di ψ nella direzione del gradiente dellaconducibilità idraulica

• Termine diffusivo

1.7. L’EQUAZIONE DI RICHARDS 25

L’equazione di Richards

∂ψ

∂t=

∂

∂x

(K(θw)

∂(z + ψ)

∂x

)(1.49)

è un’equazione differenziale alle derivate parziali, e descrive il campo di pres-sioni all’interno del bacino. Tale equazione può essere riscritta tramite laparametrizzazione di van Genuchten-Mualem.

Ai fini della risoluzione di tale equazione è necessario determinare:

• condizioni iniziali, ovvero i valori di pressione al tempo t0

• condizioni al contorno, ovvero i valori di pressioni sul bordo del dominio,per tutti i tempi

• i parametri che governano il fenomeno (Ks θr ϕs m n)

A questo punto si tenta la risoluzione analitica, che fornisce il valore dipressione per ogni punto del dominio e per ogni tempo; tuttavia questa nonè sempre possibile e si deve perciò ricorrere a metodi numerici.

Si affronta innanzitutto il problema di come determinare i parametri:dagli anni ’90 molti studiosi si sono concentrati nell’esplicitare la correlazionestatistica tra la granulometria del suolo e i parametri; tra i vari tentativi siriporta quello di Coelho, che ha tabulato la percentuale di argilla nel terreno,ricavabile da una analisi granulometrica, con la densità apparente (da cui èimmediato il calcolo della porosità) e la conducibilità idraulica, 2 dei cinqueparametri dell’equazione; ricordando che la conducibilità idraulica dipendedalla distribuzione dei pori, cosa che nella tessitura del suolo non è tenuta inconsiderazione, si intuisce facilmente quanto il metodo sia approssimato.

Bouma ha classificato i vari tipi di funzioni pedo-idrogeologiche, ovverole relazioni tra alcune grandezze qualitative del terreno, di più rapida edeconomica acquisizione rispetto alla tessitura, e i 5 parametri dell’equazionedi Richards; quelle più semplici sono quelle che partono dalla conoscenzadella concentrazione di almeno tre classi della tessitura;in alternativa, altreproprietà utili ai fini della stima dei parametri solo la densità apparente e lapercentuale di sostanza organica.

Infine, una maggiore precisione è stata raggiunta dalle funzioni di Nemesche tengono conto della stratificazione orizzontale del suolo. Tra i softwareche implementano queste funzioni si ricorda SOILPAR.

Trovata la strada per fissare i parametri si discute degli altri problemipreliminari sopra enunciati:

• la geometria del dominio è derivata dall’analisi del bacino tramite unGIS


• le B.C. possono essere di due tipi

– di Dirichlet, ovvero una condizione sul valore di pressione

– di Neumann, cioè una condizione sul gradiente verticale dellapressione, più frequentemente del tipo ∂ψ

∂z= 1 o ∂ψ

∂z= 0 che

stanno ad indicare rispettivamente di fondo infinitamente dre-nante(percolazione lungo la verticale) e fondo impermeabile (runoff)

• le C.I., nello specifico il valore di pressione per ogni cella al tempoiniziale, possono essere facilmente fissate assumendo la pressione comeidrostatica, una volta nota la superficie della falda sull’intero dominio.

1.8 Equazioni di Richards su versante piano

Si immagini il versante come un piano inclinato (Figura 1.19). Occorreriproiettare le equazioni di Richards.

Figura 1.19: La scala di versante piano

Il risultato che si ottiene, con riferimento agli assi in Figura 1.19 è

C(ψ)∂ψ

∂t=

∂

∂z

(Kz

(∂ψ

∂z− cos θζ

))+∂

∂y

(Ky

∂ψ

∂y

)+∂

∂x

(Kx

(∂ψ

∂z− sin θζ

))(1.50)

1.8. EQUAZIONI DI RICHARDS SU VERSANTE PIANO 27

1.8.1 Ipotesi 1D

Si può fare l’ipotesi che la conducibilità idraulica sia isotropa (Kx ≈ Ky ≈Kz) e di essere in condizioni di saturazione in modo da minimizzare levariazioni.

L’equazione (1.50) può essere suddivisa in due parti. La prima parte(equazione (1.51)) che contiene la variazione temporale e quella lungo l’assez rappresenta l’infiltrazione in verticale e la seconda parte (equazione (1.52))che contiene la variazione lungo gli assi x e y relativa ai moti laterali.

C(ψ)∂ψ

∂t=

∂

∂z

(Kz

(∂ψ

∂z− cos θζ

))(1.51)

∂

∂y

(Ky

∂ψ

∂y

)+

∂

∂x

(Kx

(∂ψ

∂z− sin θζ

))(1.52)

Le equazioni sopra scritte rappresentano il fenomeno puntualmente ma siè interessati ad uno studio macroscopico del problema. Si definiscono quindidei tempi scala

Ts =H2

D0

(1.53)

Tl =L2

D0

(1.54)

Essendo l’estensione del suolo in lunghezza (L) molto maggiore della suaprofondità, risulta la relazione Ts ≪ Tl che sono, rispettivamente i tempiscala dell’acqua in direzione verticale e dell’acqua in direzione orizzontale.La diffusività D0 si ricava sempre dalle equazioni di Richards e si consideracostante.

Si può quindi capire che per i primi istanti si considera solo il primo pezzo(equazione (1.51)) dell’equazione di Richards (1.50), ovvero si considera soloun moto in direzione verticale. Il secondo termine (equazione (1.52)) entrain gioco solo per tempi lunghi e può essere scritto con la sigla Sr

La soluzione dell’equazione di Richards (1.50) può essere approssimatacome

ψ ≈ (z′ + dh) cos2 θζ + ψs (1.55)

dove z è la profondità, dh è la profondità della falda e θζ è la pendenzadel terreno. Si può quindi dividere la soluzione in due parti: la prima chemostra il deflusso laterale, ovvero la risposta lenta e la seconda (ψs) cherappresenta la risposta transiente dovuta all’infiltrazione e deriva dalla primaparte dell’equazione di Richards (1.50), ovvero l’equazione (1.51). Si trattaquindi di una teoria perturbativa.


Si considerino le condizioni iniziali derivanti dalla Figura 1.20 ovverola pressione sul pelo libero della falda è nulla e cresce idrostaticamente.L’andamento idrostatico vale anche sopra il pelo libero della falda, ovveronell’insaturo.

Figura 1.20: Condizioni idrostatiche

La seconda parte dell’equazione (1.55) rappresenta quindi lo scostamentodella soluzione dall’andamento idrostatico, come si vede dalla Figura 1.21

Figura 1.21: Soluzione dell’equazione di Richards

Si supponga di considerare C(ψ) e K secondo dei valori medi e costanti.Si può quindi scrivere l’equazione

∂ψ

∂t= D0 cos

2 θ∂2ψ

∂z2(1.56)

dove D0 è la diffusività idraulica.


L’equazione (1.56) è un’equazione lineare e quindi si possono generaretutte le soluzioni note dell’equazione a partire dalle condizioni al contorno.La condizione al contorno varia nel tempo ma la variabilità temporale lasi può sempilificare calcolando la soluzione solo per un impulso istantaneo,ovvero considerando la precipitazione istantanea.

La soluzione ha quindi la forma

ψ(t, z) = ψ0(z) +

∫ t

0

f(t− τ, z)J(τ)dτ (1.57)

dove ψ0(z) rappresenta la condizione iniziale, f(t − τ, z) rappresenta la so-luzione impulsiva e J(τ) la variazione di pressione in superficie dovuta allaprecipitazione.

Nota quindi la soluzione impulsiva, sono note tutte le soluzioni dell’equa-zione di Richards per tutti i tempi. Il processo può essere anche rappresentatografficamente (Figura 1.22)

Figura 1.22: Rappresentazione grafica delle soluzioni impulsive

I tre grafici rappresentano, da sinistra verso destra, la distribuzione ini-ziale idrostatica, la pioggia in input (tre impulsi) e la funzione di risposta,ovvero la soluzione all’equazione di Richards monodimensionale per un im-pulso istantaneo. Per ogni impulso si conosce la soluzione analitica e puòessere del tipo in equazione (1.59).

ψs =rpKz

(R

(t

Td

))se 0 < t < tp (1.58)

ψs =rpKz

(R

(t

Td

)− T

(t− tpTd

))se t > tp (1.59)

Con R(

tTd

):=

√t

πTde−

Tdt − erfc

(√Tdt

)


Per risolvere le equazioni di Richards monodimensionali si possono usarevari metodi tra cui

• Separazione delle variabili

• Trasformate di Fourier

• Trasformate di Laplace

• Metodi geometrici

La Figura 1.23 mostra una soluzione delle equazioni di Richards in unadimensione.

Figura 1.23: Andamento della pressione con la profondità

Le linee rette rappresentano le soluzioni idrostatiche. Nel corso del temposi possono riottenere delle soluzioni rette nel caso in cui si alza la falda. Nelmezzo ci sono delle situazioni non idrostatiche dovute all’infiltrazione verti-cale. La soluzione idrostatica limite è quella con la falda in superficie. Se cisono pressioni più alte della falda in superficie vuol dire che ho ruscellamento.

Si può tracciare un grafico analogo per quanto riguarda il contenutod’acqua (Figura 1.24).

Con le curve di ritenzione idrica ci si può ricondurre dalla pressione alcontenuto d’acqua. Si vede che il contenuto dell’acqua nel suolo sembra unflusso a pistone che si propaga verso il basso. Il fronte di bagnamento simuove quindi parallelo a sè stesso.


Figura 1.24: Andamento del contenuto d’acqua con la profondità

1.8.2 Ipotesi 3D

Se si ha la falda profonda un metro c’è quasi un ordine di grandezza tra iK in superficie e quelli in profondità. Si è quindi ai limiti dell’applicabilitàdella teoria appena descritta in quanto è difficile determinare i valori medida utilizzare. Non si può più assumere Kx ≈ Kz in quanto Kz varia con laprofondità mentre in x vi è un andamento costante.

Per trovare una soluzione corretta occorre quindi utilizzare un solutoredelle equazioni di Richards 3D.

Si supponga di avere un versante a forma di libro (Figura 1.25)Come condizioni iniziali si sceglie una condizione idrostatica ovunque con

una falda, per esempio, posta a 2 metri. Si prende un transetto ortogonale allefrecce in figura (ovvero lungo l’asse x) e si misurano le pressioni. La soluzionedella simulazione è in Figura 1.26: in ascissa ho la distanza normalizzata davalle (0) verso monte (1) ed in ordinata la pressione.

Le soluzioni, col passare del tempo, si spostano verso l’alto. La soluzioneiniziale è di tipo idrostatica. Man mano che si accumula dell’acqua la solu-


Figura 1.25: Versante a forma di libro oggetto di analisi

Figura 1.26: Risultato della simulazione sul versante a forma di libro

zione è sempre parallela a sé stessa: ciò signifiva che lungo il versante il motolaterale non ha influenza.

Dalla quindicesima ora in poi si hanno due problemi verso la piega dellibro: si ha una condizione al contorno interna ovvero nella metà del librol’acqua, che giunge dai due versanti, si accumula e forma una falda che risalee contemporaneamente si innesca un moto laterale; nei punti a valle si ha

1.9. L’EFFETTO DEL BEDROCK E DEI MACROPORI 33

accumulo di acqua.Come già illustrato, prima l’acqua si muove verticalmente e poi in oriz-

zontale. In questo caso però la spiegazione è diversa. Occorre analizzarecome varia col tempo nella profondità la conducibilità idraulica (che dipendedal contenuto d’acqua). Quando piove, in prossimità del substrato rocciosoaumenta il contenuto d’acqua e quindi la conducibilità idraulica, nella simu-lazione, cresce di tre ordini di grandezza. Lo stesso accade anche al variaredel tempo (perché continua a piovere).

Essendo la conducibilità idraulica verticale molto più piccola di quellaorizzontale, la condizione Ts ≪ Tl non è più valida ed, anzi, Ts > Tl. Nonvalgono, quindi, le semplificazioni fatte nel ragionamento monodimensionalema l’effetto è lo stesso.

1.9 L’effetto del bedrock e dei macropori

Un esempio di tale effetto è dato dal bacino di Panola in Georgia in Figura1.27.

Figura 1.27: Bacino sperimentale di Panola (USA)

Nel bacino è stata misurata sia la topografia superficiale che quella del be-drock. Si può notare che quest’ultimo è molto più irregolare della superficie.Ciò può avere delle conseguenze nelle direzioni di drenaggio che, dipendendodalla morfologia, risultano diverse tra bedrock e superficie.


In questo caso il bedrock presenta anche delle conche: in esse possonoesserci degli accumuli d’acqua che, se si guarda la superficie, non ci sono.

Come conducibilità idraulica si può considerare il substrato roccioso im-permeabile, essendoci diversi ordini di grandezza tra la sua conducibilitàidraulica e quella del suolo (che può essere una sabbia limosa).

Si suppone di far avvenire una precipitazione costante di 6.5 mmora

per unadurata totale di 9 ore.

L’acqua comincia ad infiltrarsi con moto prevalentemente ortogonale allasuperficie ma, in questo caso, lo spessore del suolo non è più costante. Inalcuni punti comincia, quindi, a formarsi una falda: ciò accade in quei puntidove il suolo è meno spesso. Dove si forma la falda ha luogo un moto lateraledell’acqua. In Figura 1.28 si vede la distribuzione temporale della falda.

Figura 1.28: Evoluzione della falda nel bacino di Panola a seguito dellaprecipitazione descritta nel testo

Fino alla nona ora la falda è discontinua e il moto laterale avviene sololocalmente. Alla nona ora la falda è praticamente continua e la portata èmassima perché a contribuire è quasi tutto il versante. Alla nona ora poifinisce la precipitazione (che non è stata scelta a caso ma sincronizzata conla struttura morfologica del bacino). La portata comincia a decrescere ma,a partire dalla diciottesima ora fino alla ventiduesima, ricomincia a crescere:ho un picco secondario di portata dovuto alla tracimazione delle depressioniche si erano riempite.

Questi fenomeni potrebbero avere una minore rilevanza su un grandeversante mentre si notano fortemente sul versante di Panola che ha dimensioniridotte (circa 300 m2). Fenomeni locali, come ad esempio il franamento, sonoresi ancora più irregolari dall’irregolarità del bedrock.

Un’altra fonte di complicazione delle equazioni di Richards è data dallapresenza dei macropori che alterano la filtrazione dell’acqua. Se si calcola

1.10. EQUAZIONE DELLE FALDE 35

la portata lungo il fianco di una trincea si vede che essa varia a seconda delsottosettore considerato.

I macropori possono anche avere dimensioni notevoli in quanto risultatodell’opera di escavazione della componente biotica del suolo (radici, anima-letti..). Essi costituiscono un flusso preferenziale per l’acqua che comunquesi muove di moto laminare. Si è però fuori da ogni possibile analisi statisti-ca e non possono venire trattati con le equazioni di Richards utilizzate perdescrivere il flusso di matrice di micropori.

I macropori si attivano quando l’acqua raggiunge un certo livello: neiprimi istanti di precipitazione vi sono quindi gli stessi fenomeni con o senza imacropori. Al momento dell’attivazione dei macropori si ha quindi un saltodella portata che aumenta.

Figura 1.29: Differenza tra un modello che sfrutta le equazioni di Richardssenza conteggiare la presenza di macropori e la misura reale

Il diagramma in Figura 1.29 mostra la discrepanza tra la simulazioneeffettuata tramite le equazioni di Richards non tenendo conto della presenzadei macropori (in rosso) e la portata realmente misurata. Occorre quindicorreggere la risoluzione con più equazioni di Richards diverse.

1.10 Equazione delle falde

Quando il suolo è saturo non vale più l’ipotesi di rigidità. Occorre quindiscrivere un sistema accoppiato che descrive il movimento del suolo (ovverola sua variazione di porosità) ed il moto dell’acqua.


Si può lavorare comunque in continuità con le equazioni di Richards.In Figura 1.30 si vede sulla sinistra la curva di ritenzione idrica: per vanGenuchten la curva dovrebbe avere asintoto orizzontale. Si può assumere che,invece, il contenuto d’acqua continui a crescere linearmente con la pressionecon una variazione chiamata specific storage.

L’equazione che descrive il fenomeno del moto nelle falde nel modo piùgenerale possibile è

Sx∂ψ

∂t= ∇ ·

−→∇ψ (1.60)

Figura 1.30: Curva di ritenzione idrica nel caso di falde

Capitolo 2

Il deflusso superficiale

L’acqua che cade sulla superficie e che, per diverse ragioni, non riesce adinfiltrarsi, è soggetta al deflusso superficiale. Si tratta di un moto molto piùveloce del moto nel suolo.

Per capirne l’entità si dovrebbe conoscere quanta acqua precipita e quan-ta, tramite la risoluzione delle equazioni di Richards, se ne infiltra e ricavare,per differenza, il ruscellamento. Si tratta però di una soluzione computazio-nalmente molto onerosa e, inoltre, permane la forte incertezza sulla previsionequantitativa delle precipitazioni.

Lo scopo è prevedere le portate che escono da una certa sezione di con-trollo e vanno a finire in un fiume.

L’infiltrazione dipende dal tipo di suolo come si vede in Figura 2.1.

Figura 2.1: Dipendenza dell’infiltrazione dal tipo di suolo

In particolare, le caratteristiche che influenzano l’infiltrazione sono

37

38 CAPITOLO 2. IL DEFLUSSO SUPERFICIALE

• Caratteristiche del suolo

– Tessitura

– Struttura

– Profondità

– Stratificazione

– Variabilità spaziale

– Radici

– Profondità della falda

– Presenza di drenaggi (macropori)

• Condizioni della superficie

– Uso del suolo

– Copertura vegetale

– Scabrezza

– Fessurazione

– Impermeabilizzazione

– Idrofobicità (pellicola sottile idroreppellente formata dalle piante)

• Condizioni del flusso

– Carico idraulico

– Viscosità

– Chimica

– Temperatura del suolo e dell’acqua

– Intrappolamento dell’aria

Si può quantificare l’infiltrazione riportando in un grafico (Figura 2.2) inascisse la conducibilità idraulica (espressa in metri al secondo) ed in ordinatel’intensità di precipitazione.

Se l’intensità di precipitazione è maggiore della capacità di infiltrazionel’acqua ruscella: il fenomeno prende il nome di superamento della capacità diinfiltrazione. Viceversa, l’acqua si infiltra: si è nella parte verde del grafico.

Se tutto si infiltra esistono delle teorie semplici secondo cui, avendo pen-denze e aree contribuenti, si può capire dove c’è saturazione e dove no. Vi èsaturazione solo quanto tutti i pori del suolo sono riempiti da acqua.

39

Figura 2.2: Rappresentazione del deflusso in relazione alla precipitazione

Figura 2.3: Tendenza di un suolo a saturare

Per capirlo si utilizza il grafico in Figura 2.3, dove ∇ζ rappresenta lapendenza, rp l’acqua precipitata, AT l’area contribuente, b il contorno drenatoe TK la trasmissività idraulica.

Si può quindi calcolare l’indice topografico

T = logA

b|∇ζ|(2.1)

Se la precipitazione è minore della capacità d’infiltrazione si può comun-que avere deflusso superficiale nel caso di terreno saturo. Questo tipo di de-

40 CAPITOLO 2. IL DEFLUSSO SUPERFICIALE

flusso superficiale prende il nome di saturation excess o deflusso superficialedi tipo Dunniano (da Tom Dunne) e può essere studiato su basi topografiche.

Se, invece, la precipitazione è più intensa della capacità di infiltrazionel’acqua si accumula in superficie. Il ruscellamento non è dovuto al fatto chetutti i pori sono pieni ma perché la velocità con cui il suolo può coglierel’acqua è minore della velocità con cui l’acqua vuene fornita sulla superficie.Il ruscellamento prende il nome di Hortoniano.

Il fenomeno Dunniano richiede parecchio tempo perché bisogna avere ilterreno saturo: basta un po’ di sole per avere una zona insatura in superficie.Il fenomeno Hortoniano, invece, è veloce e le sue conseguenze (piene, frane..)dipendono dall’intensità del singolo evento.

Nel primo caso la saturazione parte dal basso mentre nel secondo avvienein alto, vicino alla superficie come il Figura 2.4.

Figura 2.4: Differenza di infiltrazione tra processo Dunniano (destra) eHortoniano (sinistra)

Si può quindi scrivere l’equazione del deflusso superficiale come

Jsup = uhbdh (2.2)

dove uh è la velocità dell’acqua superficiale, b è la larghezza e dh è l’altezzadello strato di acqua che si genera in superficie.

Vi è un’altra componente, costituita dal deflusso nel primo strato di suoloe vale:

Jsub = bD∗Ks|−→∇ζ| (2.3)

Entrambi i fenomeni (dunniano e hortoniano) sono non stazionari. Si puòimmaginare il suolo come un serbatoio che si riempie e si svuota in continuo(fill and spill).

Quando si fa il bilancio bisogna considerare sia il moto in superficie chequello nel sottosuolo, che può essere anche un moto multifalda, ovvero sipossono avere più falde su più orizzonti.

Si possono riassumere i fenomeni con il diagramma di Dunne e Leopold(Figura 2.5) dove in ascissa si passa da una situazione arida (a sinistra) ad

41

Figura 2.5: Diagramma di Dunne e Leopold

una umida (a destra), mentre in ordinata, dal basso verso l’alto, vi sono variecaratteristiche riguardanti le proprietà dei suoli.

Se un suolo è molto profondo il deflusso è di tipo dunniano, se invece èdi pochi centimetri è di tipo hortoniano.

Si può affermare che vi è una correlazione biunivoca tra ruscellamentoe morfologia: se da una parte il tipo di suolo determina il tipo di deflusso,dall’altra il deflusso, tramite l’erosione, modifica il territorio: ciò complicaulteriormente lo studio del fenomeno.

Capitolo 3

L’evapotraspirazione

L’evaporazione è il processo di passaggio di acqua da fase liquida a fase gasso-sa. La traspirazione è lo stesso processo che, però, avviene tramite esseri vi-venti ed ha lo scopo di mantenerne l’equilibrio termico. L’evapotraspirazioneracchiude i due fenomeni e comprende flussi di

• Energia

• Vapore

• Acqua

• Entropia

L’acqua è formata da molecole che hanno una velocità media di oscillazio-ne legata alla temperatura. Nella fase liquida le molecole sono legate tra loroda legami polari ad idrogeno e la presenza di una superficie fa si che le mo-lecole permangano all’interno del liquido. Le molecole hanno quindi bisognodi una certa energia per evadere dalla superficie: alcune molecole, grazie aduna temperatura superiore, possiedono tale energia e possono quindi passarein forma di vapore ed andare a saturare l’aria.

Quando la pressione parziale del vapore è pari a quella di saturazione ilprocesso di evaporazione-condensazione è all’equilibrio.

Si consideri un recipiente con dell’acqua che evapora. L’equazione dienergia del sistema è

dU(S, V,M) = T ()dS − p()dV + µ()dM (3.1)

La variazione di energia interna è pari alla somma dello scambio di calore,del lavoro fatto dal sistema e della variazione di sostanza. I termini T , pe µ (potenziale chimico) sono delle variabili dipendenti, ovvero funzioni divolume, massa ed entropia.

42

43

Si può assumere che l’energia interna, la temperatura ed il volume nonvarino. Il bilancio di energia, quindi, resta

TdS + µ(p, T )dM = 0 (3.2)

Per continuare lo studio del fenomeno, occorre fare l’ipotesi di equilibriotermodinamico locale: si può dividere il sistema in cubetti e considerare che,per ciascun cubetto, sussista l’equilibrio. L’equazione (3.2) può quindi essereriscritta per ogni cubetto.

La massa può essere espressa come integrale volumetrico della densità

Mw =

∫V (−→x )

ρ(−→x )d−→x (3.3)

L’equazione di conservazione della massa di acqua afferma

∂ρ(−→x )∂t

= ∇ · J(−→x ) (3.4)

Considerando le equazioni (3.3) ed (3.4), l’equazione (3.2) diventa

T∂S(p, T,−→x )

∂t=

∫V

µ(p, T,−→x )∇ · J(−→x )d−→x (3.5)

Il flusso di massa è quantificato dalle relazioni di reciprocità di Osanger

J(−→x ) = L()−→∇µ() (3.6)

Si tratta di una legge di flusso lineare che afferma che il flusso di massa èproporzionale al gradiente di una delle forze generalizzate, in questo caso ilpotenziale chimico. L() prende il nome di coefficiente di Osanger.

Il potenziale chimico del vapore può essere scritto come

µ(ev, T,−→x ) ∼ µref (T ) +RvT log

ev(−→x )e0

(3.7)

Dove Rv è la costante dei gas ideali riferita al vapore, ev(−→x ) è la pressioneparziale del vapore ed e0 è la pressione parziale del vapore alla temperaturadi riferimento.

Tenuto conto delle relazioni di Osanger (3.6), l’equazione (3.5) diventa

T∂S(p, T,−→x )

∂t=

∫V

L()−→∇µ(p, T,−→x ) ·

−→∇µ(p, T,−→x )d−→x (3.8)

in cui compare il gradiente al quadrato del potenziale chimico. Essendoil secondo termine positivo (in quanto vi è un quadrato ed il coefficiente

44 CAPITOLO 3. L’EVAPOTRASPIRAZIONE

di Osanger che è positivo), allora l’entropia aumenta al passare del tempo.Tutta la dinamica del moto è causata dall’aumento dell’entropia (secondoprincipio della termodinamica).

Si può poi fare l’ipotesi che il potenziale chimico sia funzione della den-sità, ovvero µ() = µ(ρ(−→x )). L’equazione di conservazione della massa (3.4)diventa

∂ρ(−→x )∂t

= ∇ ·(D()

−→∇ρ(−→x )

)(3.9)

Dove D() := L() ∂µ∂ρ()

è un coefficiente di diffusione.L’equazione di flusso può, quindi, essere scritta come

J(−→x ) = L()−→∇µ() = L()RvT

e0ev(

−→x )−→∇ev(−→x ) (3.10)

che rappresenta il flusso dell’acqua durante l’evapotraspirazione.Si può quindi concludere che l’evaporazione è una manifestazione del se-

condo principio della termodinamica in cui l’entropia del sistema cresce. Nelmomento in cui vi è un liquido a contatto con un gas, il liquido entra incompresenza con il gas sotto forma di vapore.

Il diagramma di fase dell’acqua (Figura 3.1) afferma che, ad una coppiadi pressione e temperatura l’acqua può esistere in una determinata fase.

Figura 3.1: Diagramma di stato dell’acqua

Le curve che separano le zone in cui è diviso il diagramma di stato del-l’acqua, possono essere espresse con la legge di Clausius-Clapeyron. La curvainteressante nello studio dell’evaporazione è quella in rosso nella Figura 3.1.

La separazione delle fasi è legata al potenziale chimico che dipende dapressione, temperatura e fase. La fase stabile è quella con potenziale chimico

3.1. ALCUNE DEFINIZIONI 45

minore. Tale condizione equivale ad affermare che l’entropia è massima.Lungo la curva rossa, il potenziale chimico della fase liquida e quello dellafase gassosa sono uguali.

Preso un punto all’interno dell’area della fase liquida, a causa della naturamolecolare del sistema vi è anche vapore in equilibrio: la tensione di vapore,ad una determinata temperatura, è data dalla curva rossa.

L’espressione analitica della curva rossa è data dalla legge di Clausius-Clapeyron e vale

e∗(T ) = e∗0e

(λRv

(1T0

− 1T

))(3.11)

dove e∗0 = 611 Pa e T0 = 273.15 K e λ è l’entalpia di vaporizzazione.

3.1 Alcune definizioni

Occorre ora dare alcune definizioni che risulteranno utili nel proseguio dellatrattazione.

Si definisce rapporto di mescolamento il rapporto tra la massa del vaporee quella dell’aria

ω =Mv

Ma

=ρvρa

(3.12)

Si definisce umidità specifica il rapporto tra la massa del vapore e la massacomplessiva dell’aria

q =Mv

Ma +Mv

=ρv

ρa + ρv≈ ω (3.13)

Essendo la massa dell’aria molto più grande di quella del vapore si puòapprossimare l’umidità specifica con il rapporto di mescolamento.

Vale poi la legge dei gas perfetti

pV = nRT (3.14)

Dove la costante dei gas vale Rd = 287 JKkg

per l’aria secca e Rv = 461 JKkg

per il vapore. Per ogni componente dell’aria vale la legge dei gas ideali. Inparticolare

e = nRvρvT (3.15)

pd = nRdρdT (3.16)

e secondo la legge di Daltonp = pd + e (3.17)


É utile esprimere il rapporto tra la costante dei gas per l’aria secca equella per il vapore come

ϵ :=Rd

Rv

≈ 0.622 (3.18)

Si può quindi riscrivere il rapporto di mescolamento (3.12) come

ω :=ρvρd

= ϵe

p− e≈ ϵ

e

p(3.19)

Si definisce umidità relativa la quantità

f := 100e

e∗(T )≈ 100

q

q∗(T )(3.20)

dove con e∗(T ) si intende la pressione parziale del vapore a saturazione.

3.2 Il fenomeno realeIl fenomeno reale di evaporazione, però, a differenza delle considerazioni fino-ra fatte, non avviene né a temperatura costante né a pressione costante. Perdescrivere l’evaporazione si utilizza, quindi, la legge di Dalton che affermache l’evaporazione è proporzionale alla differenza tra la pressione parziale delvapore a saturazione (definita dalla legge di Clausius-Calapeyron (3.11)) e lapressione parziale presente nel momento considerato dall’analisi.

Ev ∝ e∗(Ts)− e (3.21)

Si ha evaporazione quando il termine al secondo membro è positivo men-tre, in caso contrario, si ha condensazione. La differenza può essere positivaanche ad aria satura: la temperatura del suolo in una giornata assolata è mol-to superiore a quella dell’aria ed il termine e∗(Ts) si riferisce alla temperaturadel suolo da cui evapora (o condensa) l’acqua.

Introducendo opportuni coefficienti, la legge di Dalton (equazione (3.21))diviene un’uguaglianza

Ev = Keu(e∗(Ts)− e) (3.22)

dove Ke è una conducibilità evaporativa ed u è il modulo della componentedella velocità del vento parallela al suolo.

Se si moltiplica per ρvλ il flusso di massa si trasforma in un flusso dienergia.

Ev = Kleu(e∗(Ts)− e(Ta)) (3.23)

3.3. FATTORI CHE DETERMINANO L’EVAPOTRASPIRAZIONE 47

dove Kle = ρvλKe.Le costanti presenti nella legge di Dalton ((3.22) e (3.23)) dipendono dalla

modalità di trasferimento dell’energia (conduzione e convezione). Il vento hamoto laminare vicino alla superficie: in questo caso c’è poco trasferimentoverticale di energia. Oltre una certa distanza dalla superficie, si inserisco-no delle instabilità ed il moto diventa turbolento: la turbolenza accentua iprocessi di trasferimento di energia nella verticale.

In un moto turbolento il profilo di velocità è di tipo logaritmico. Taleprofilo si estende a partire da una certa quota perché il logaritmo di zero nonè definito.

La costante Ke può essere espressa come

Ke :=ϵ

pρwa

k2

ln(zm−zd)z0

(3.24)

dove k = 0.41 è la costante di von Karman, zm è la quota di riferimento,zd è la quota di spostamento nullo (ovvero la quota di partenza del profilologaritmico) e z0 è la scabrezza equivalente delle superfici. Se ho alberi alti10 m la scabrezza vale 1 m (quote displacement).

3.3 Fattori che determinano l’evapotraspirazio-ne

Affinchè avvenga l’evaporazione occorre che vi sia

• Energia

• Presenza di acqua da evaporare

• Un gradiente di tensione di vapore

• Vento

Il bilancio di energia vale

Rn = λET +H +G+ Ps (3.25)

dove Rn è l’apporto radiativo netto, λET rappresenta l’evapotraspirazione,H il flusso di calore, G il calore verso l’interno della Terra e Ps lo stoccaggiodi energia nelle piante.

Manca il termine di stoccaggio: si tratta di un bilancio stazionario, ovverotutto quello che entra deve uscire dal volume di controllo.


La temperatura definisce la pressione parziale di saturazione attraversola legge di Clausius-Clapeyron.

Il contenuto di vapore è implicato nella legge di Dalton (3.22).Il vento, rimescolando l’aria, asporta il vapore dagli strati inferiori favo-

rendo l’evapotraspirazione.Per quanto riguarda la disponibilità d’acqua non basta solamente che essa

sia disponibile ma deve avere certe condizioni. Se l’acqua è salata l’evapo-razione è minore a causa delle forze osmotiche. Occorre inoltre tenere contodella profondità a cui si trova l’acqua: corpi idrici più profondi, a causa dellaloro inerzia termica, tendono ad evaporare di più. L’evaporazione dipendepoi dalla superficie evaporante: corpi idrici superficiali estesi in regioni aridehanno massima evaporazione.

L’evaporazione dipende anche da fattori secondari come: esposizione,pendenza, copertura del suolo, quota, morfologia..

L’evaporazione dalle acque superficiali dipende solo dall’atmosfera; si par-la in questo caso di evaporazione potenziale. L’evaporazione può, quindi,essere scritta come

ET = ρvω′q = −ρvk2|u|(qm − q0)

ln2(zm−zdz0

) = −ρv1

r(qm − q0) (3.26)

dove con r si può indicare la resistenza all’evapotraspirazione che vale

r−1 :=k2|u|

ln2(zm−zdz0

) (3.27)

Il secondo membro (ρvω′q) dell’equazione (3.26) rappresenta il trasportoturbolento di umidità sulla verticale. In particolare, ω′ rappresenta la flut-tuazione della velocità dell’aria nella direzione verticale mentre q l’umiditàspecifica dovuta alla turbolenza.

3.4 Evaporazione dai suoliL’evaporazione dai suoli dipende dalla loro tessitura perché ad essa è legata lepressioni dell’acqua interstiziale. Anche il colore del suolo influisce: un suoloscuro ha temperature più elevate e quindi l’acqua evapora più facilmente.Anche la vegetazione ha la sua grossa influenza.

Una volta evaporata l’acqua presente nel primissimo strato di suolo (chepuò essere trattato alla stregua di acqua in superficie), l’evaporazione dellarestante quantità di acqua è legata alla suzione. La pressione di vapore sopra

3.4. EVAPORAZIONE DAI SUOLI 49

il menisco che si genera in caso di risalita capillare è minore di quella sullasuperficie libera a causa dell’equilibrio idrostatico dell’atmosfera (paradossodi Gamow). Minore pressione di vapore implica minore flusso evaporativo.

Per quantificare l’apporto di questo fenomeno sull’evapotraspirazione sipuò modificare l’equazione (3.26) tenendo conto anche della resistenza offertadai suoli (rs) creando uno schema di resistenze in serie.

ET = ρ1

ra + rs(q∗(TL)− qa) (3.28)

rs è funzione della tessitura del suolo, della sua temperatura e della suzio-ne. L’evapotraspirazione che si ottiene prende il nome di evapotraspirazioneattuale (AET ) a differenza dell’evapotraspirazione potenziale (PET ). Percorrelare i due termini si usa la relazione

AET = xPET = xλρ1

ra(q∗0 − q) (3.29)

dove il coefficiente di proporzionalità x è una funzione cubica (x(θ) = 0.082θ+9.137θ2−9.815θ3), interpolata su dati sperimentali, del contenuto volumetricod’acqua. La relazione tra il coefficiente x e il contenuto d’acqua θ è espressain Figura 3.2.

Figura 3.2: Relazione tra il coefficiente x e θ

A saturazione l’evaporazione attuale coincide con quella potenziale. Inrealtà le curve non partono da zero ma da θr, ovvero dal contenuto d’acquaresiduo.


3.5 La traspirazione

La traspirazione è l’evaporazione che avviene da piante ed animali. Dell’ac-qua assorbita da una pianta il 95% serve per la traspirazione e solo il 5% perfissare materia organica.

Anche per la traspirazione si usa la legge di Dalton. Occorre distingueretra l’acqua che evapora direttamente dalle foglie e quella che evapora dopoessere passata attraverso la piante (radici-fusto-stomi). Quest’ultima dipendedal tipo di pianta, dallo stato vegetativo, dalla disposizione delle piante nelterritorio, dalla concentrazione di CO2 nell’atmosfera e dalla disponibilitàd’acqua ed energia.

Per passare dalle radici alle foglie l’acqua, nelle piante, è spinta da unadifferenza di pressione tra radici e chioma. Tale risalita è causata dalle forzecapillari (che da sole non spiegherebbero una risalita così grande) e da forzeosmotiche.

Le forze osmotiche sono forze che si generano a causa di differenze disaturazione tra due soluzioni. Se si prende un tubo pieno di acqua con solutie lo si immerge in una bacinella di acqua priva di soluti, il livello dell’acquanel tubo sale.

La traspirazione della pianta è regolata dall’apertura dello stoma ed èproporzionale alla differenza di pressione tra interno ed esterno della foglia

Tr = Cvu(e∗(Tv)− e) (3.30)

La costante Cv è una conduttività di traspirazione fogliare e la sua formaè, in assoluta analogia con l’evaporazione dai suoli,

Cv =1

ra + rv(3.31)

con1

ra=

ϵ

paρv

k2

log2(zm−zdz0

) (3.32)

ed rv è la resistenza della vegetazione e può venire espresso con la relazione

rv =rvmin

LAI + (fS fee fT fM)(3.33)

dove con LAI si intende l’area di superficie fogliare proiettata al suolo, fSdipende dalla radiazione solare, fee dipende dal contenuto del vapore, fTdipende dalla temperatura dell’aria e fM dipende dal contenuto idrico delterreno.

3.5. LA TRASPIRAZIONE 51

Il valore del logaritmo presente nella formulazione di ra può essere assunto,in condizioni standard, pari a 9.

La Figura 3.3 mostra gli andamenti della resistenza a seguito di questifattori: in alto a sinistra la dipendenza dal contenuto di vapore nell’atmo-sfera, in alto a destra la dipendenza dalla temperatura, in basso a sinistra ladipendenza dalla radiazione solare ed, infine, in basso a destra la dipendenzadal contenuto d’acqua nel suolo. In quest’ultimo grafico sono segnati dueparametri: θWD detto punto di avvizzimento (punto in cui nella pianta ladomanda di traspirazione è maggiore della quantità d’acqua estratta dalleradici) e θFC che si chiama capacità di campo (quantità d’acqua talmentegrande che le piante non sono in grado di assorbirla).

Figura 3.3: Andamento di rv rispetto ai vari parametri

Ogni parte di territorio può essere composta da acqua superficiale, suo-lo e vegetazione. L’evapotraspirazione totale è la somma di tutte questecomponenti. Il flusso d’acqua all’interno delle piante è dato dalla formula

−→Jp = −Kp

−→∇(z + ψ +Π) (3.34)

dove con Kp si intende una conducibilità evaporativa nella pianta. Il cari-co idraulico è datto dalla somma di quota geometrica, pressione capillare epressione osmotica. Kp è più grande nel tronco e cala all’assottigliarsi deirami.

L’acqua presente nel suolo può essere divisa, in base alla tipologia di suolo,in acqua gravitazionale, ovvero quella che filtra per effetto della gravità.


La restante quantità d’acqua che permane è dovuta all’equilibrio tra forzecapillari e forze di gravità; quest’acqua viene estratta dalla pianta. Questecaratteristiche si collegano al concetto di capacità di campo, come illustratodal grafico in Figura 3.4.

Figura 3.4: Acqua utilizzabile dalle piante in funzione della tipologia di suolo

Più estese sono le radici, a parità di contenuto d’acqua nel suolo, maggioracqua riesce ad estrarre la pianta. Inoltre conta la dimensione delle radici inquanto sono le microradici (peli radicali) a raccogliere l’acqua.

Il grafico in Figura 3.5 illustra l’andamento della traspirazione nell’arcodella giornata. In primo luogo occorre osservare che essa è sempre inferioreall’evaporazione da una superficie libera. Essa, inoltre dipende dall’aperturadegli stomi. Se viene a mancare l’acqua alle radici, la pianta chiude gli stomie l’esito si vede nelle curve 2 (stomi parzialmente chiusi), 3 (stomi chiusi) e4 (assenza di acqua per la pianta).

Nei casi reali è difficilissimo separare evaporazione da traspirazione. Que-sto perché i vari tipi di resistenze non sono facili da quantificare. La traspira-zione, inoltre, varia anche molto da punto a punto in un versante per effettodella diversa umidità del suolo e delle condizioni atmosferiche. Si può cor-relare il rapporto tra evaporazione e traspirazione al Leaf Area Index, comemostrato in Figura 3.6. Tale metodo sarebbe comodo in quanto basterebbeutilizzare immagini satellitari ma in realtà, da misure a terra, si vede che idati sono abbastanza dispersi.

Il peso della traspirazione rispetto all’evaporazione aumenta con il conte-nuto d’acqua nel suolo. Si può arrivare fino ad un rapporto 80% traspirazionee 20% evaporazione.

Occorre infine tenere conto che la disponibilità di acqua non è l’unicolimite alla crescita delle piante e, di conseguenza, alla traspirazione. Bisognaconsiderare anche i nutrienti.

3.5. LA TRASPIRAZIONE 53

Figura 3.5: Andamento della traspirazione nell’arco della giornata

Figura 3.6: Correlazione tra traspirazione e LAI

Semplificando, si può ricondurre la traspirazione attuale a quella poten-ziale mediante la formula

AET = β(θ)ET (3.35)

dove β è un coefficiente che dipende dal contenuto d’acqua ed, in particolare,è nullo al di sotto del punto di avvizzimento, vale uno al di sopra di un θcritico detto capacità di campo, mentre per valori intermedi varia linearmente


secondo la formulaβ(θ) =

θ − θwpθcr − θwp

(3.36)

A saturazione, infine, si nota un calo della capacità traspirativa.Ragionando a scala di bacino, in primo luogo si valutano quali aree sono

sature e quali non lo sono, usando, ad esempio, l’indice topografico. Nellearee sature l’evapotraspirazione è potenziale. Occorre poi valutare la coper-tura del suolo, dividendolo in acqua superficiale, suolo nudo, alberi, erba edurbanizzato. Per ciascuna tipologia di copertura del suolo si può dividere insaturo e non saturo. Si possono quantificare gli apporti secondo le equazioni

ET = Esuolo + Tveg + Eveg (3.37)

Tveg = Tcanopy + Tsottobosco (3.38)

Esuolo = Esuololibero + Esuolosottovegetazionealta (3.39)

Nel conteggio globale occorre anche tenere conto delle componenti avvet-tive, ovvero dei flussi di vapore entranti nel volume di controllo non legatiall’evapotraspirazione dell’area in esame.

3.6 Metodi alternativi per il calcolo dell’evapo-traspirazione

I flussi considerati sono contemporaneamente flussi di energia, massa e quan-tità di moto. Nella legge di Dalton, tenendo conto del vento, si consideranosolo flussi di quantità di moto.

Per il bilancio di energia si considera la relazione

Rn = λET +H +G+ PS (3.40)

Si tratta già di una semplificazione perché, essendo un bilancio stazio-nario, si intende che nel volume di controllo non vi è variazione nel tempodella quantità di energia stoccata. Tutta l’energia proveniente dal sole, quin-di, viene dissipata in varie forme: non si tiene quindi conto della variabilitàgiornaliera.

Vi è poi il bilancio di massa

dS

dt= P − ET −R−RG −RS (3.41)

dove, invece, si tiene conto della variazione nel tempo della quantitàd’acqua stoccata.

3.6. METODI ALTERNATIVI PER IL CALCOLO DELL’EVAPOTRASPIRAZIONE55

C’é infine la legge di Dalton. A partire da queste tre equazioni è possibilecreare delle soluzioni semplificate per studiare il fenomeno evaporativo. Esi-stono poi un’infinità di equazioni empiriche che si basano su interpolazionistatistiche di dati misurati sul campo.

3.6.1 Equazione di Penman - Monteith

Per prima cosa occorre sviluppare in serie di Taylor il contenuto di umiditàa saturazione che dipende solo dalla temperatura. Si fa uno sviluppo infunzione della temperatura dell’aria.

q∗(Ts) = q∗(Ta) +

(dq∗

dT

)T=Ta

(Ts − Ta) +O((Ts − Ta)2) (3.42)

Inserendo poi tale sviluppo nella legge di Dalton, si ottiene

ET = ρ1

ra + rg(q∗(Ta) +

(dq∗

dT

)T=Ta

(Ts − Ta)− qa) (3.43)

La derivata di q∗ rispetto alla temperatura si può ricavare dalla legge diClausius Clapeyron, in particolare

dq∗

dT=ϵ

p∆ =

ϵ

p

de∗

dT=ϵ

p

25083

(T + 273.3)2e

17.3TT+273.3 (3.44)

Occorre poi eliminare il termine che esprime la differenza tra la tempera-tura del suolo e quella dell’atmosfera. Per farlo si usa la formula di trasportodel calore sensibile

H = ρcp1

ra(Ts − Ta) (3.45)

H può anche essere determinato dal bilancio di energia

H = Rn −G− λET (3.46)

Si definiscono ora la costante psicrometrica

γ ≡ pcpϵλ

(3.47)

ed il deficit di umidità

δqa ≡ q∗(Ta)− qa (3.48)


Applicando le equazioni (3.44) (3.45) (3.46) (3.47) (3.48) nell’equazioni(3.43) si ottiene

ET = ρ1

ra + rg

(δqa +

∆

γ

1

λρra(Rn −G− λET )

)(3.49)

Raccogliendo ET e portandolo al primo membro ottengo l’equazione diPenman - Monteith

λET =

∆γ(Rn −G) + ρλ

raδqa

1 + ∆γ+ rg

ra

(3.50)

L’equazione (3.50) può essere divisa in due termini

λET =

∆γ(Rn −G)

1 + ∆γ+ rg

ra

+

ρλraδqa

1 + ∆γ+ rg

ra

(3.51)

Il primo addendo dipende dalla disponibilità di energia mentre il secondodal deficit di saturazione. Tutti i vari termini si possono determinare, infatti

• ∆ è la derivata della legge di Clausius Clapeyron ed è nota se è notala temperatura dell’aria

• γ è nota dalle proprietà dell’acqua e se è nota la pressione atmosferica

• δqa è nota se sono note la temperatura e l’umidità dell’aria

• ra è la resistenza aerodinamica ed è nota se sono note la velocità delvento e le scabrezze equivalente delle superfici

• rg è la resistenza all’evaporazione indotta dai suoli ed è stimabile se siconosce il contenuto idrico del suolo

• rv è la resistenza alla traspirazione opposta dalla vegetazione. Essa èfunzione, in prima approssimazione, del contenuto idrico del suolo odi più complesse formulazioni legate alla fisiologia delle piante e delladensità dell’apparato foliare

• Rn è la radiazione netta sulla superficie e per determinarla richiedecalcoli astronomici, la valutazione dell’ombreggiamento e dell’angolo divista, la stima dell’attenuazione della radiazione extra-atmosferica daparte dell’atmosfera.

• G è il flusso di calore verso il centro della Terra ed è proporzionale adRn e spesso viene posto uguale a 0 su scala giornaliera.

3.6. METODI ALTERNATIVI PER IL CALCOLO DELL’EVAPOTRASPIRAZIONE57

Questa equazione è stata utilizzata dalla FAO e viene utilizzata nellecolture agrarie.

Se si azzerano le resistenze si ottiene una stima dell’evapotraspirazionepotenziale

λPET =

∆γ(Rn −G)

1 + ∆γ

+

ρλraδqa

1 + ∆γ

(3.52)

Si può quindi calcolare β, ovvero il rapporto tra evapotraspirazione at-tuale e potenziale

β =λE

λEp=

1 + ∆γ

1 + ∆γ+ rg

ra

(3.53)

Un altro indice da definire è detto Bowen ratio, ovvero il rapporto tracalore sensibile e calore latente

B = γTs − Taes − ea

(3.54)

In molte occasioni tale rapporto tende ad essere costante e quindi si puòsemplificare il calcolo dell’evapotraspirazione.

L’equazione di Penman - Monteith è stata semplificata dalla FAO nellaforma

ET = c

(∆

∆+ γRn +

γ

∆+ γWf (qs − q)

)(3.55)

doveWf = 0.27

(1 +

u2100

)(3.56)

con u velocità del vento a due metri. La quantità c presente nell’equazione(3.55) di solito è pari ad 1.

3.6.2 Equazione di Priestley - Taylor

Se si eliminano dall’equazione di Penman - Monteith i termini che dipendo-no dalla domanda di umidità specifica, si ottiene l’equazione di Priestley -Taylor.

λET = α

∆γ(Rn −G)

1 + ∆γ

(3.57)

Si sostiene che sia il termine energetico a determinare l’evapotraspira-zione. Il coefficiente α varia tra 1.2 ed 1.3 e può essere utilizzato comecoefficiente di calibrazione per far coincidere dati misurati e dati modellati.


3.6.3 Utilizzare i bilanci di energia e massa

Si può, infine, calcolare l’evapotraspirazione da bilanci di massa e di energia.Dal bilancio di energia, infatti, si ottiene

λET = Rn −H −G− PS (3.58)

mentre da quello di massa si ottiene

ET =dS

dt− P −R +RS +RG (3.59)

Utilizzando questi bilanci occorre misurare i termini a secondo membro esi possono avere errori anche del 15%. É particolarmente difficile da utilizzareper bacini di grandi dimensioni e per piccoli tempi.

Capitolo 4

La neve

La neve è fondamentale da un punto di vista idrologico, in quanto moltissimepiene (56%) sono causate dallo sciogliemento della neve. Una tale rilevanzasi sente specialmente nei bacini artici ed alpini.

4.1 FenomenologiaÉ importante quantificare la superficie coperta da neve, la quantità d’acquapresente nel manto nevoso (ovvero la densità della neve), stabilire i tempi diaccumulo e scioglimento.

Le condizioni necessarie, ma non sufficienti alla formazione della nevesono:

• Temperatura minore di zero gradi centigradi

• Vapore sovrasaturo

• Presenza di nuclei di condensazione

Lo zero termico, inoltre, deve trovarsi in prossimità della superficie.Il fenomeno, come per la formazione delle gocce d’acqua, fa fatica a partire

perché l’energia necessaria per formare una supreficie è maggiore di quellacontenuta nel volume del cristallo nel momento in cui si sta formando.

La prima osservazione dei fiocchi di neve con classificazione avvenne nel1681 ad opera di Donato Rossetti.

Come si vede in Figura 4.1 si parte da piccoli cristalli esagonali che poisi accrescono in quanto, in prossimità delle cuspidi, il potenziale chimicofavorisce l’aggregazione di altre molecole allo stato soldo.

Affinché le precipitazioni nevose avvengano, devono crearsi certe combi-nazioni sinottiche che correlano aria umida e fredda: negli Stati Uniti, per

59

60 CAPITOLO 4. LA NEVE

Figura 4.1: Tappe del processo di formazione della neve

esempio, deve esserci una correlazione tra aria fredda provveniente dal Nordcon aria umida provveniente dal Golfo del Messico.

Per semplificare la situazione di può dividere la fenomenologia in tre fasce,a seconda della temperatura al suolo.

• Se T < −X ◦C la precipitazione è totalmente nevosa

• Se T > X ◦C la precipitazione è totalmente piovosa

• Se −X < T < X ◦C la precipitazione è mista

Dove X, a seconda dei casi, può valere 6 o 2 gradi.La quantità di neve può giungere anche a decine (circa 20) metri all’anno

mentre, per quanto riguarda precipitazioni giornaliere, in Italia, si sono mi-surati anche 198 cm. Negli ultimi decenni la quantità di neve media annuaè calata.

La Figura 4.2 mostra le varie forme di cristallo di neve: la forma piùsemplice è quella esagonale; quando più esagoni di sovrappongono si ottienela forma colonnare. Vi è poi il classico cristallo di neve che prende il nomedi forma dentritica.

Come mostrato in Figura 4.3 la forma del cristallo deriva dalle condizio-ni termodinamiche correlate alla sua formazione, ovvero dalla temperatura,dalla pressione e dal grado di sovrasaturazione.

I dentriti si formano ad alti gradi di sovrasaturazione mentre le formesemplici (tipiche del Polo Nord) sono legate a bassa umidità. Dalla forma

4.1. FENOMENOLOGIA 61

Figura 4.2: Varie tipologie di cristallo di neve

Figura 4.3: Correlazione tra la forma del cristallo di neve e le condizionitermodinamiche della sua formazione

del fiocco dipendono anche le proprietà termiche e dielettriche del mantonevoso.

La Figura 4.4 mostra le dimensioni dei cristalli di neve: si va dal decimodi millimetro ai 5 mm

La copertura nevosa viene valutata mediante immagini satelliti.Alle medie latitudini la neve ha un andamento stagionale: durante l’in-

verno vi è accumulo, strettamente correlato alle precipitazioni che hannodistribuzione temporale di Poisson. In tale periodo le temperature sono qua-si sempre negative. All’accumulo segue lo scioglimento diviso in tre fasi: laprima è il riscaldamento necessario in quanto, durante la stagione fredda,la neve ha ceduto calore all’ambiente per irraggiamento nell’infrarosso, poitutta la temperatura si omogeneizza attorno agli zero gradi (stato di matu-razione) e la neve che comincia a sciogliersi resta nel manto, infine avviene


Figura 4.4: Dimensioni tipiche di un fiocco di neve

la fusione vera e propria. Il grafico rappresentante il fenomeno si trova inFigura 4.5.

Figura 4.5: Evoluzione dello strato nevoso nell’arco dell’anno

Nelle zone tropicali, invece, non vi è un avvicendarsi di stagioni calde efredde: la neve cade solo in quota e quello che conta è solo l’umidità e non latemperatura. Non vi è però una stagione di accumulo e una di scioglimento.

La distribuzione della neve può essere guardata a varie scale. A microscalala (10 − 100 m) la distribuzione dipende dai fenomeni turbolenti di piccolascala: ciò ha effetto sia durante la precipitazione che nel trasporto della nevedepositata. A mesoscala (100−10000m) influenza la copertura delle superfici(bosco, prateria...). Vi è poi la macroscala (> 10 km) dove sono i fenomeniatmosferici a larga scala a controllare.

4.1. FENOMENOLOGIA 63

La precipitazione aumenta con la quota perché, in montagna, la tempe-ratura cala e le precipitazioni sono maggiori.

Vi é inoltre dipendenza dalla copertura del suolo. La neve raccolta dalleconifere sublima più facilmente di quella sul terreno. Gli alberi, inoltre,moderano la turbolenza e la neve tende ad accumularsi nelle radure. Inprossimità degli alberi, quindi, vi è meno neve. Fra radure e bosco di puòarrivare anche ad una differenza del 50%.

Una volta caduta al suolo la neve viene trasportata dal vento. Il fenomenoè illustrato in Figura 4.6.

Figura 4.6: Fenomeni di trasporto dei cristalli di neve ad opera del vento

In primo luogo, con un fenomeno che prende il nome di saltation, i granivengono mossi. Vi sono poi veri e propri fenomeni di erosione in prossimitàdelle creste. Nel versante sottovento (a destra) la neve viene accumulata inmodo differenziato a causa delle turbolenze. La neve trasportata dal vento(blowing snow) può sublimare più facilmente, con quantità che, in prima ap-prossimazione, si possono trascurare. Ciò non può avvenire ad alte latitudiniin cui l’umidità dell’aria è poca e quindi le precipitazioni nevose sono scarse.

La velocità di trascinamento, utile a determinare il trasporto di acqua,deriva da una misura a 10 m della velocità del vento corretta con fattoricalibrati in base al luogo. Per avere trasporto occorre una soglia minima divento, che dipende dal tipo di neve.

I metodi di trasporto si possono riassumere in tre tipologie:

• Saltation: vengono messi in moto i grani più superficiali (moto nell’or-dine di qualche centimetro).


• Turbolenza: moto dei grani in atmosfera a centinaia di metri

• Creep: moto di scivolamento a velocità pseudocostante simile a quellodei ghiacciai che scivolano in acqua.

In generale, le leggi di trasporto variano con il cubo della velocità delvento a 10 m dal suolo.

4.2 Proprietà del manto nevoso

Figura 4.7: Le varie componenti del manto nevoso

La neve è un mezzo poroso trifase, costituito da acqua liquida, ghiaccioed aria come riportato in Figura 4.7.

La massa ed il volume della neve sono dati dalla somma delle masse e deivolumi delle varie componenti

M∗ =Mag +Mw +Mi (4.1)

V∗ = Vag + Vw + Vi (4.2)

dove i vari termini sono chiaramente esplicati dalla Figura 4.7Il volume totale di acqua presente nel manto nevoso è dato dalla somma

dei volumi presenti nei tre stati di aggregazione, ovvero

Vtw = Vvap + Vw + Vi (4.3)

La densità del ghiaccio, minore di quella dell’acqua liquida, vale

ρi =Mi

Vi(4.4)

4.2. PROPRIETÀ DEL MANTO NEVOSO 65

Mentre la densità (apparente) della neve vale

ρ∗ =M∗

V∗(4.5)

Con temperature molto basse ed in assenza di vento, la densità dellaneve può valere anche un decimo di quella dell’acqua (100 kg

m3 ). Nel corso deltempo, poi la densità aumenta, fino a giungere, prima della fusione, anche aquella del ghiaccio.

La classificazione della neve in base alla densità è espressa in Figura 4.8.

Figura 4.8: Classificazione della neve in base alla densità

Si introducono poi i contenuti volumetrici adimensionali di acqua e dighiaccio.

θw =Vw

Vag + Vw + Vi(4.6)

θi =Vi

Vag + Vw + Vi(4.7)

La porosità della neve, tenuto conto che il mezzo poroso è il ghiaccio, vale

ϕ∗ =Vag + Vw

Vag + Vw + Vi(4.8)

Si può esprimere la saturazione relativa della neve come

S∗ =θwϕ∗

(4.9)


Per quantificare facilmente la neve si usa il contenuto in acqua equivalente:esso esprime la quantità (altezza per unità di superficie) di acqua che siavrebbe se tutta la neve venisse fusa. Esso vale

h∗ =Vw(A) +

ρiρwVi(A)

A=

(θw + (1 + ϕ∗)

ρiρw

)V∗A

(4.10)

L’albedo (considerato nel campo del visibile) della neve è molto alto:appena caduta al suolo esso vale fino al 90%. Esso, poi, decade esponenzial-mente a causa del deposito di pollini e polveri.

La neve, come qualsiasi altro materiale, ha delle proprietà termiche. Ilflusso di calore all’interno del manto nevoso è descritto dalla legge di Fourier

−→Jh = Kh

−→∇T (4.11)

dove la costante Kh prende il nome di conducibilità termica. Il suo valore èmolto basso: ciò vuol dire che la neve è un buon isolante. Il suo valore, nellaneve fresca, può valere anche 0.03 W

K m. Col degrado del manto nevoso può

crescere anche di 100 volte, fino a giungere a quella del ghiaccio.Esistono delle leggi empiriche che legano la conducibilità termica della

neve con la sua densità, sulla base di una legge quadratica. La neve, quindi,attenua i cambiamenti termici dell’atmosfera. Per esempio un cambio di 1grado di temperatura dell’aria in 15 minuti, cambia la temperatura a 20 cmdi profondità nella neve di soli 0.1 gradi e di 0.01 gradi ad un metro.

La neve ha inoltre un’alta capacità termica: per farne cambiare la tem-peratura occorre fornire molto calore.

Un effetto di queste proprietà è la distribuzione della temperatura nelmanto nevoso (Figura 4.9): in superficie essa dipende dalle oscillazioni (0 →−10 ◦C) giornaliere della temperatura dell’atmosfera. Scendendo, tende adessere isoterma e a temperatura prossima alla fusione.

La presenza di uno strato di neve, quindi, limita fortemente gli scambitermici tra suolo ed atmosfera. Durante l’inverno, con un metro di neve, loscambio è attorno ai 5 W

m2 mentre in estate è dieci volte tanto.

4.3 Metamorfismi

Durante la fase di accumulo, la neve passa attraverso dei cambiamenti dellaforma e del suo stato. Le fasi attraverso cui passa sono:

• Assestamento gravitativo: la neve cade e si compatta per effetto dellagravità

4.3. METAMORFISMI 67

Figura 4.9: Andamento termico nel manto nevoso

• Metamorfismo distruttivo: viene distrutto il cristallo di neve originario

• Metamorfismo costruttivo: compattazione dei grani di neve e sinteriz-zazione

• Metamorfismo di fusione: i grani si fondono diventando acqua liquida

Varie proprietà subiscono modificazioni a causa del metamorfismo come,ad esempio, densità, porosità, albedo, conducibilità termica e coesione.

Il metamorfismo avviene per azione della gravità che aumenta la pressionesui grani cambiandone lo stato termodinamico ed a causa della presenza dicuspidi. La tensione di vapore in prossimità di un capillare è inferiore diquella sulla superficie libera. Lo stesso vale per il ghiaccio: con curvaturapiù alta (punte) essa è maggiore che negli incavi. Un cristallo di neve nonè una struttura termodinamicamente stabile: per effetto del gradiente dellatensione di vapore, si hanno dei flussi che vanno dalle punte verso le concavità,riportando la forma del fiocco a tondeggiante.

Il metamorfismo si può classificare in metamorfismo secco e metamor-fismo bagnato. Il primo comprende le forme di metamorfismo appena ac-cennate, che avvengono, cioè, in assenza di acqua liquida, con temperaturadella neve molto bassa. Con temperatura prossima agli zero gradi si parla dimetamorfismo bagnato.

Il processo di assestamento gravitativo fa aumentare molto velocementela densità arrivando anche all’1% all’ora.


Quando si alza la temperatura comincia la fusione: scompaiono prima igrani più piccoli che vengono inglobati dal quelli più grandi. Il processo difusione può non essere univoco: durante l’avvicendarsi di giorno è notte sihanno dei cicli di congelamento e scongelamento.

La causa del metamorfismo è il bilancio termodinamico di energia.

4.4 Bilancio energetico della neve

La neve emette radiazione nel campo infrarosso, in virtù della sua tempe-ratura. La legge che governa il fenomeno è la legge di Stefan-Boltzman(R = ϵσT 4). Vi è trasmissione anche per conduzione, convezione e avvezione.

Un altro fattore importante è l’energia interna portata dalla precipitazio-ne piovosa, che ha una energia interna decisamente superiore a quella dellaneve.

Il bilancio energetico è descritto in Figura 4.10.

Figura 4.10: Bilancio energetico di una superficie nevosa

Esso può essere espresso come

∆U = Rn lw +Rn sw −H − λsEv +G+ Pe (4.12)

che contiene termini radiativi, convettivi, e latenti (sublimazione). L’entalpiadi sublimazione è la somma di quella di fusione e di quella di evaporazione.Tutti i simboli sono esplicati in Figura 4.10.

Anche le piante scambiano calore radiativo con la neve: lo scioglimentodella neve comincia in prossimità delle piante.

4.4. BILANCIO ENERGETICO DELLA NEVE 69

Per avere informazioni più precise occorre analizzare la firma spettraledella superficie nevosa. Da essa si possono trarre informazioni sulla tipologiadel manto nevoso. Lo spettro della neve, infatti, varia con la dimensione deigrani.

La neve non è un corpo nero: essa è un corpo grigio con ϵ = 0.6− 0.7.Si supponga di essere in assenza di nubi con temperatura dell’aria vicina

agli zero gradi. La componente di radiazione ad onda lunga uscente dalla neveè preponderante e quindi vi è una perdita di energia interna. Se, invece, viè copertura nuvolosa si ha una notevole componente di radiazione infrarossaprovveniente dalle nubi: la neve quindi aumenta la sua energia interna.

Il grafico in Figura 4.11 mostra il bilancio radiativo della neve in funzionedella temperatura e dell’umidità.

Figura 4.11: Bilancio radiativo del manto nevoso

Uno scioglimento massiccio della neve richiede che gli scambi turbolentidi energia siano intensi. La stabilità atmosferica diminuisce la turbolenza equindi lo scambio. Se ho instabilità, invece, ci sono dei flussi d’aria riscaldatache dal basso si muovono verso l’alto. Per i flussi turbolenti vale la teoria diMonin-Obukhov

ux(z) =u∗

k

(ln

(zv − z0z0m

+Ψ(u∗, L)

))(4.13)

θT (z)− θTs =H

kρvv∗cp

(ln

(zv − z0z0T

+Ψ(u∗, L)

))(4.14)


q(z)− qs =Et

kρvv∗

(ln

(zv − z0z0v

+Ψ(u∗, L)

))(4.15)

Il profilo delle velocità con l’altezza (equazione (4.13)) è sempre di tipologaritmico. Il termine Ψ prende il nome di funzione di Monin-Obukhov etiene conto delle situazioni di instabilità dell’atmosfera. Essa dipende dallavelocità d’attrito (u∗) e dalla lunghezza di mescolamento L. La temperaturapotenziale ed il trasporto di umidità specifica hanno un profilo logaritmicomodificato.

L’atmosfera può quindi essere stabile o instabile. Se è stabile i ventisono soppressi, il mescolamento è bassissimo e la turbolenza è inibita. Se èinstabile si ha tanta turbolenza e quindi tanto trasporto di vapore.

Appena sopra il manto nevoso le condizioni sono molto stabili: sopra leneve, quindi, gli scambi termici dovuti alla turbolenza sono piccoli perchéla temperatura della neve si aggira attorno agli zero gradi mentre quelladell’atmosfera è superiore. Si crea un piccolo strato limite (nell’ordine di10 cm) che impedisce che la turbolenza raggiunga la neve.

La presenza di vegetazione, invece, fa sì che il manto nevoso non siauniforme ma si creano degli avvallamenti in corrispondenza delle piante. Daquesti punti si innesca il fenomeno di scioglimento.

Il grafico in Figura 4.12 mostra l’andamento degli scambi energetici de-rivante da una simulazione fatta presso il passo del Tonale. I grafici sonocorrelati alla velocità del vento.

Calore latente e sensibile variano in controfase e aumentano quando ilvento è alto. Gran parte dello scioglimento dipende dagli scambi in ondacorta (calore provveniente dal sole). Durante la notte la perdita di energiaradiativa non è mai compensata dal guadagno di energia turbolenta.

4.5 Equazioni di massa e di energia

Si prende un volume di controllo comprendente suolo, manto nevoso e piantecome mostrato in Figura 4.13. Le costanti metereologiche, la radiazioneatmosferica e la turbolenza sono parametrizzate.

Si va a valutare il trasporto di energia e di massa nel volume di controllo.Con riferimento all’equazione (4.1), bilancio di massa può essere espresso

dall’equazione∂M∗

∂t+ ρwVc ·

−→∇ ·

−→Jw + ρwVcSw = 0 (4.16)

4.5. EQUAZIONI DI MASSA E DI ENERGIA 71

Figura 4.12: Bilanci energetici del manto nevoso presso il passo del Tonale

Figura 4.13: Volume di controllo considerato per i bilanci

dove il primo addendo rappresenta la variazione di massa per unità di tempo,il secondo il flusso di acqua nel volume di controllo ed il terzo la transizionedi fase ghiaccio-acqua.

Si divide il manto nevoso in strato superficiale e strato profondo. Nellostrato superficiale vale il bilancio

∂M∗

∂t= P − Ev −GP (4.17)


dove P è la precipitazione, Ev la sublimazione e GP la percolazione.All’interno della neve, invece, vale il bilancio

∂Mw +Mi

∂t+ ρwV∗ ·

−→∇ ·

−→Jw + ρwV∗Sw = 0 (4.18)

del tutto analogo a quello in equazione (4.16) ma dove si è esplicitato iltermine M∗ ed il terzo addendo rappresenta la transizione acqua-vapore oghiaccio-vapore.

Risulta più comodo utilizzare l’equazione (4.18) sotto forma di contenu-to volumetrico di acqua e di ghiaccio dividendo le masse per i volumi edesplicitando le densità. Il risultato è

∂θw∂t

+ρiρw

∂θi∂t

+−→∇ ·

−→Jw + Sw = 0 (4.19)

Il flusso di acqua (Jw) si prende proporzionale al gradiente idraulicotrascurando i termini cinetici e vale

Jw(ψ) = −K∗−→∇(p+ z) = −kwρwg

µw

−→∇(p+ z) (4.20)

Il termine kw prende il nome di permeabilità intrinseca ed è una carat-teristica del manto nevoso. Il metamorfismo della neve rende questo termi-ne variabile nel tempo. Esso dipende dalla saturazione relativa S secondol’espressione

kw = ksS3 (4.21)

dove ks, permeabilità a saturazione, dipende dalla dimensione dei granidi neve secondo la relazione statistica ks = 0, 077d2e−7.8 ρs

ρr .Le forze capillari nella neve si possono trascurare in quanto inferiori di

due o tre ordini di grandezza rispetto alla gravità. Nell’equazione (4.20) sipuò quindi trascurare il termine p.

Si può quindi riscrivere l’equazione (4.20) come

Jw(ψ) = −ksS3ρwg

µw

−→∇(z) (4.22)

Il problema resta quindi risolvere le equazioni trovate imponendo le con-dizioni al contorno ed applicando dei metodi numerici.

Si può ora scrivere un bilancio di energia.

∂U∗

∂t= Rn lw +Rn sw −H − λsEv +

−→∇ ·

−→G +

−→∇ ·

−→J + Pe (4.23)


I termini−→∇·

−→G e

−→∇·

−→J rappresentano la conduzione (G) e l’avvezione (J)

di calore verso il terreno, mentre il termine Pe rappresenta il calore fornitodalla pioggia.

Il bilancio in equazione (4.23) vale per il primo strato di neve, quello cioèa contatto con l’atmosfera. Per lo strato interno il bilancio diventa

∂U∗

∂t+−→∇ · (

−→G +

−→J ) + Sen = 0 (4.24)

dove il termine Sen rappresenta i cambiamenti di fase. In questo caso nonentrano in gioco né gli scambi radiativi né quelli turbolenti.

Dalla legge di Fourier si ricava

G = −λT ·−→∇T (4.25)

dove λT prende il nome di conducibilità termica.Si può scrivere l’energia interna come

U∗ = C∗ · (T∗ − Tref ) + ρwLfθw (4.26)

dove il primo addendo dipende dalla temperatura (C∗ è la capacità termica)mentre il secondo dalla quantità di sostanza.

L’espressione dell’energia interna più generale deriva dal primo e secondoprincipio della termodinamica e vale

U∗ = TS − pV +∑

µiMi (4.27)

Ma come si correlano le equazioni (4.26) e (4.27)? Dalla definizionedell’entalpia si ricava

U = H − pV (4.28)

Si vanno poi a valutare le variazioni di energia nel tempo considerando ilvolume costante

∂U

∂t=∂H

∂t− ∂p

∂tV (4.29)

e valendo l’identità di Gibbs-Duhem∑ ∂µi∂t

Mi =∂p

∂tV − S

∂T

∂t(4.30)

Si può assumere che la pressione sia costante nel tempo. L’entalpia puòessere, sperimentalmente, scritta come

H = H(Tref ) +

(∂H

∂T

)T=Tref

(T − Tref ) (4.31)


dove la derivata dell’entalpia rispetto alla temperatura prende il nome dicapacità termica.

Si va ora ad analizzare le varie fasi di evoluzione del manto nevoso nelcorso dell’anno come mostrato in Figura 4.5.

Si comincia con la fase di accumulo in cui la temperatura è minore di zero.In queste condizioni ci dovrebbe essere solo ghiaccio perché il suo potenzialechimico è minore di quello dell’acqua. L’energia interna è quindi uguale soloal termine dipendente dalla temperatura. Il bilancio di energia diventa quindi

C∗∂T∗∂t

= Rn lw +Rn sw −H − λsEv +−→∇ ·

−→G +

−→∇ ·

−→J + Pe (4.32)

per lo strato superficiale e

C∗∂T∗∂t

=−→∇ ·

−→G +

−→∇ ·

−→J (4.33)

per la parte interna del manto.Le due equazioni di conservazione della massa ((4.17) e (4.19)) e le due

di conservazione dell’energia ((4.32) e (4.33)) vanno risolte congiuntamente.Alla stagione dell’accumulo segue poi lo scioglimento. La temperatu-

ra, per una prima fase, permane inferiore agli zero gradi: si è nella fase dimaturazione.

Figura 4.14: Diagramma di stato dell’acqua

Come mostrato in Figura 4.14, il percorso della neve in fase di scioglimen-to è rappresentato dalla freccia arancione. La pressione si mantiene costante


e pari a quella atmosferica mentre la temperatura parte da diversi gradi sottolo zero per arrivare a qualche grado sopra lo zero. Secondo il diagramma distato, quindi, vi è un passaggio da fase solida a fase liquida. Muovendosi sul-la freccia arancione i potenziali chimici di acqua e ghiaccio diventano ugualia T = 0 ◦C. Aumentando ancora la temperatura, il potenziale chimico del-l’acqua diventa minore di quello del ghiaccio: la fase stabile, quindi, è quellaliquida. Si può dimostrare che tale principio equivale alla massimizzazionedell’entropia.

Si può studiare il processo di fusione dal punto di vista energetico. Nonessendoci variazione di temperatura durante la transizione di fase l’equazionepuò essere semplificata come

∂U

∂t=∂H

∂t− ∂p

∂tV ∼=

∂H

∂t=∂H(Tref )

∂t+Cp

∂

∂t(T −Tref ) ∼=

∂H(Tref )

∂t(4.34)

Il termine di entalpia varia perché vi è un cambiamento di fase. Definital’entalpia specifica di fusione come

Lf = hw − hi (4.35)

dove hw è l’entalpia dell’acqua liquida e hi quella del ghiaccio. Si assume,per ipotesi, hi = 0 così si ottiene Lf = hw.

Si ottiene quindi∂H(Tref )

∂t= Lf

∂Mw

∂t(4.36)

Ecco quindi spiegati i termini presenti nell’equazione (4.26). Si è quindi ingrado di esprimere l’energia scambiata per avvezione in funzione dell’entalpiadell’acqua in moto nel processo.

−→J = ρw (Lf + cw(T − Tref )) ·

−→Jw (4.37)

Sinteticamente, quindi, le equazioni da risolvere sono un bilancio di ener-gia (4.38) ed uno di massa (4.39).

∂U∗

∂t+−→∇ · −→G + Sen = 0 (4.38)

∂Θm

∂t+−→∇ ·

−→Jw + Sw = 0 (4.39)

dove con Θm si intendeΘm = θw +

ρiρwθi (4.40)


Figura 4.15: Effetto delle forze capillari sul potenziale chimico dell’acqua

Con riferimento all’equazione (4.42), la quantità di energia necessaria perportare a maturazione il manto nevoso è

∆U∗ = θretρwλfV∗ (4.41)

La fase di maturazione termina quando tutto il manto nevoso si trovaa T = 0 ◦C. Nella fase di fusione si generea acqua. Si tratta di una fasetransitoria in cui coesistono acqua e ghiaccio anche se, secondo il diagrammadi stato, dovrebbe esservi solo acqua. Inizialmente l’acqua viene trattenutacapillarmente nella neve: una stima di tale quantità può essere data dallaformula di Eagleson

θret = −0.0735

(ρ∗ρw

)+ 0.267

(ρ∗ρw

)2

(4.42)

La quantità di acqua contenuta nella neve è, quindi, funzione della densità.Si tratta, circa, del 10% della porosità della neve.

L’energia necessaria per far sciogliere tutta la neve nella fase di fusionevale

∆U∗ = (Vi − Vw ret)ρwλf (4.43)

La presenza contemporanea di acqua e ghiaccio può anche essere spiegatadalle forze capillari: esse fanno sì che si possa avere acqua liquida in equilibriocon il ghiaccio abbassando il potenziale chimico dell’acqua, come mostratoin Figura 4.15. Effetto analogo è causato dalla presenza di soluti.

4.6. GENERAZIONE DEL DEFLUSSO 77

La depressione del punto di congelamento può essere calcolata con unaforma generalizzata della legge di Clausius-Clapeyron.

log

(1 +

∆T

T0

)=vi(pi − piw)− vwpw

hi − hw(4.44)

4.6 Generazione del deflussoIl moto dell’acqua nella neve è abbastanza rapido e si attesta da 2 a 60 cm

min.

La velocità dipende dalla struttura del manto nevoso, dalle sue condizioniprima della generazione del deflusso e dalla quantità di acqua disponibile.

In base alla quantià si può dividere in tre classi

• Capillare: se l’acqua è inferiore all’1%; l’acqua non drena

• Insaturo: se l’acqua è tra l’1% ed il 14%; regime pendulare

• Saturo: se l’acqua è maggiore del 14%; regime funicolare

Si manifestano delle vie preferenziali di deflusso e vi sono successioni difenomeni di scongelamento e congelamento che alterano il fenomeno.

Vi è poi una differenza di flusso se il suolo è congelato o meno: nel primocaso l’acqua, giunta alla base del manto nevoso, scorre sopra il suolo mentrenel secondo si infiltra saturando tutto il suolo. Si forma quindi una faldasuperficiale ma comunque sotto il manto nevoso.

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Università degli studi di Trento · PDF fileUniversità degli studi di Trento DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE, AMBIENTALE E MECCANICA Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente