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Università degli Studi di TramoUniversità degli Studi di Tramo
Facoltà di Scienze della ComunicazioneFacoltà di Scienze della Comunicazione
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La Dimensione: tra La Dimensione: tra immaginazione e realtàimmaginazione e realtà
Master Universitario di I livelloMaster Universitario di I livelloComunicazione e Divulgazione ScientificaComunicazione e Divulgazione Scientifica
Direttore del Corso Ch.mo Prof. Franco EufeniDirettore del Corso Ch.mo Prof. Franco Eufeni
Candidata
Dott.ssa Antonietta Esposito
Relatore
Prof. Ferdinando Casolaro
La Dimensione
La Dimensione
Il punto ha dimensione 0
La linea ha dimensione 1
La superficie ha dimensione 2
Il solido ha dimensione 3
La IV Dimensione
“Nessuno è in grado di indicare la quarta dimensione, eppure essa ci circonda.
La quarta dimensione è una direzione diversa da tutte le direzioni dello spazio normale.
Alcuni dicono che la quarta dimensione è costituita dal tempo e, in un certo senso, questo è vero. Altri affermano che la quarta dimensione è una direzione dell' iperspazio affatto diversa dal tempo... e anche questo è vero”.
La IV Dimensione
Rudy Rucker
“E’ stata la totalità delle esperienze derivanti dal mondo a noi circostante a motivare l’estensione delle conoscenze geometriche dalla II alla III dimensione, ma poco o nulla a suggerire lo studio degli spazi a più di tre dimensioni. Ciò tuttavia è irrilevante.
Infatti, se la geometria è debitrice al mondo esterno per il suo sviluppo, ne è anche logicamente indipendente. La geometria è una creazione della mente umana e solo incidentalmente e fortuitamente è un riflesso del mondo delle esperienze fisiche...”
La IV Dimensione
C. R. Wylie Jr
Una sfera fa visita ad un quadrato
Buongiorno signor
Quadrato!!!
Un essere bidimensionale, come un quadrato, non vede la sfera che aleggia lungo la terza dimensione, e sentendone la voce crede di essere ammattito!!!
La sfera non contenta di essere considerata un’aberrazione psicologica, decidere di entrare nel mondo piatto…
Un essere tridimensionale nel mondo piatto esiste solo parzialmente!!
Intersezione di una sfera con un piano
Quando un essere tridimensionale tocca il suolo di lui si vede solo il punto di contatto con il terreno. Via via che la sfera scivola sul piano si vedono apparire figure dal nulla.
Il quadrato conclude che MATTO!!!
La sfera non soddisfatta, afferra il quadrato e lo porta in una misteriosa dimensione: “SOPRA” !
Alla scoperta della III Dimensione
“Immaginiamo che esistano esseri dotati di ragione, bidimensionali, viventi, e moventesi sulla superficie di uno dei nostri corpi solidi e chenon possano percepire alcunché fuori di questa superficie. Se tali esseri costruissero la loro geometria, attribuirebbero naturalmente al loro spazio due sole dimensioni “ (1870)
H. von Helmovitz
Analogia
Platone, VII Libro – La Repubblica
Donna, Soldato, Operaio, Mercante, Professionista, Gentiluomo, Nobile, Gran Circolo (Sacerdote)
Flatlandia
• In Una Dimensione - osserva il Quadrato - un Punto in movimento genera una Linea con due Punti terminali.
Analogia
2,4,8: non è una Progressione Geometrica?
•Allora in Quattro Dimensioni, un Cubo in movimento darà origine, per l’Analogia, a un Organismo più divino con sedici Punti terminali
• In Due dimensioni, una Linea in movimento genera un Quadrato con quattro Punti terminali
• In Tre Dimensioni, un Quadrato in movimento genera - e questo mio occhio l’’ha contemplato - quell'Essere benedetto, un Cubo, con otto Punti terminali
“Oh mio Signore – afferma il Quadrato rivolto alla Sfera – …conducetemi in quella regione benedetta, (Thoughtlandia ) dove io con il Pensiero vedrò l’interno di ogni cosa solida!
Analogia
E una volta colà, vorremo arrestare il corso della nostra ascesa?In quella beata regione a Quattro Dimensioni, indugeremo forse sulla soglia della Quinta, e non vi entreremo? “
Una rappresentazione dello spazio a quattro
dimensioni
PuntoDimensioni: 0Vertici: 1
traslazione
t01
SegmentoDimensioni: 1Vertici: 2Spigoli: 1
Da 0-Dim a 1-Dim
SegmentoDimensioni: 1Vertici: 2Spigoli: 1
traslazione
t12
Quadrato:Dimensioni: 1Vertici: 4Spigoli: 4Facce: 1
Da 1-Dim a 2-Dim
Quadrato:Dimensioni: 1Vertici: 4Spigoli: 4Facce: 1
CuboDimensioni: 3Vertici: 8Spigoli: 12Facce: 6 Cubi: 1
traslazione
t23
Da 2-Dim a 3-Dim
traslazione
IpercuboDimensioni: 4Vertici: 16Spigoli: 32Facce: 24Cubi: 8Ipercubi: 1
t34
Da 3-Dim a 4-Dim
CuboDimensioni: 1Vertici: 8Spigoli: 12Facce: 6Cubi: 1
Proiezionetridimensionale dell’ipercubo
Ipercubo
pk: numero vertici (0-dim) del k-cubo
sk: numero spigoli (1-dim) del k-cubo
fk: numero facce (2-dim) del k-cubo
ck: numero cubi (3-dim) del k-cubo
Generalizzazione
Con un po’ di pazienza…
… e con un po’ di intuito
Dim.k-cubo pk sk fk ck
0 1 0 0 01 2 1 0 02 4 4 1 03 8 12 6 14 16 32 24 8… … … … …
2k sk 2 sk –1 pk 1 fk 2 fk –1 sk 1 ck 2 ck –1 fk 1
Generalizzazione
' dimikChiamiamo E l elemento i di un k cubo
Allora la nostra congettura diventa: Eki 2 Ek 1
i Ek 1i 1
k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 02 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 03 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 04 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 05 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 06 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 07 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 08 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 09 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 010 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1… … … … … … … … … … … …
Inizializzazione: Ek0 2k E0
0 1 ; E0i 0 per i 0
puntosegmento
quadratocubo
ipercubosupercubo
fantacuboextracubo
specialcuboelefancubo
kilocubo
Generalizzazione
Chiamiamo Eki l' elemento i dim di un k cubo
Calcoliamo: k Ek0 Ek
1 Ek2 Ek
10 1 i Eki
i0
10
k \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 4 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 13 8 12 6 1 0 0 0 0 0 0 0 14 16 32 24 8 1 0 0 0 0 0 0 15 32 80 80 40 10 1 0 0 0 0 0 16 64 192 240 160 60 12 1 0 0 0 0 17 128 448 672 560 280 84 14 1 0 0 0 18 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1 0 0 19 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1 0 110 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1 1… … … … … … … … … … … … …
k
k è uguale a 1, per ogni k
Teorema
Il teorema può essere generalizzato.
Chiamiamo Eki l' elemento i dim di un k cubo
Allora vale la formula:
Caso particolare: k=3
1 i Eki
i0
k
1
E30 E3
1 E32 E3
3 8 12 6 11
Ossia: p3 s3 f3 11
Vertici – spigoli + facce = 2
(formula di Euler per i poliedri)
p3 s3 f3 2
Teorema
Rappresentare uno spazio a quattro
dimensioni
Rappresentiamo l’Ipercubo
Utilizzando l’ANALOGIA vi sono 2 Modalità.
Il Cubo
Un cubo, schematizzato da un fil di ferro, visto da vicino appare come un quadrato piccolo contenuto in quadrato più grande.
Ipercubo
L’ipercubo può essere rappresentato disegnando due cubi concentrici con tutti i vertici uniti da linee.
L’idea è che il cubo più piccolo si trovi più lontano, lungo la quarta dimensione
Thomas Banchoff
Ipercubo
Pierelli 1974
Sviluppo di un cubo
Esistono 11 modi per sviluppare un cubo!
Sviluppo di un ipercubo
Sviluppo di un ipercubo
S. Dalì - Corpus Hypercubicus
Muoversi in uno spazio a quattro dimensioni
Come si percepirebbe il mondo tridimensionale muovendosi
nell’iperspazio?
Allo stesso modo di come noi esseri 3D possiamo vedere tutti e quattro i lati di un quadrato e tutti i particolari del suo interno, allo stesso modo un essere 4D riuscirebbe a vedere con un solo colpo d’occhio ogni centimetro del nostro corpo, interno ed esterno
Destra o Sinistra?
Il profilo di una mano disegnata su una lastra di vetro può essere sia destra che sinistra. Basta effettuare una rotazione nello spazio 3D!
Nello sapzio 3D ogni figura piana può essere trasformata nella sua speculare mediante una Rotazione.
Analogamente mediante una rotazione nello spazio 4D è possibile trasformare una figura solida nella sua immagine speculare.
Cubo di Necker
Figura ambigua che dà origine a un'inversione di profondità permettendo due prospettive orientate in direzioni diverse.
Ecco un esempio di rotazione 4D
Il tempo come IV dimensione
Spazio - Tempo
• Introdotto da Einsteinl’Universo piatto (modello euclideo) è un Universo vuoto e privo di materia, in quanto la presenza di materia introduce una curvatura nello spazio.
• Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky
l'insieme dei punti-eventi (x, y, z, t) definisce un continuo a quattro dimensioni che rappresenta uno spazio geometrico .
Spazio – Tempo di Minkovsky
• per t = 0 (ovvero t = costante), si ha l'iperpiano , che è lo spazio geometrico euclideo tridimensionale, in cui valgono le leggi della cinematica classica;
• se invece è costante una delle coordinate x, y, z, si hanno iperpiani di che caratterizzano modelli cinematici relativistici su , che è l'analogo del piano euclideo
Conclusioni
la geometria non si può astrarre dall’evoluzione fisica!!
