UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN.Corso di laurea in Matematica

Descartes e la nascita della geometria analitica.

anno accademico 2012/2013

Alessandra Reghelin

Indice

1 Introduzione 11.1 Il contesto matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Geometria e geometria analitica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 La geometria precedente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 La geometria nel 1600. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 René Descartes 52.1 La vita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Gli scritti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Rapporto con la Chiesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 La filosofia di Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Il metodo cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.6 La Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6.1 Operazioni aritmetiche e costruzioni geometriche semplici. . . . . . . . 112.6.2 La costruzione geometrica delle radici di equazioni di secondo grado 132.6.3 Caratterizzazione delle curve mediante la loro equazione: l’associazio-

ne curve-equazioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6.4 Rette normali e rette tangenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.5 Il compasso cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.1 Osservazioni su La Géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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Capitolo 1

Introduzione

Finché l’algebra e la geometria procedettero su sentieri separati, il loroprogresso fu lento e le loro applicazioni limitate. Ma quando questescienze si unirono, trassero l’una dall’altra nuova vitalità e da allorain poi procedettero con passo rapido verso la perfezione.

J. L. Lagrange, Leçons Élémentaires Sur Les Mathématiques, 1795

1.1 Il contesto matematico

Nel XVII secolo la matematica europea ricevette un forte impulso. Sebbene non esistesseancora nessuna organizzazione ufficiale che coordinasse le attività dei matematici di profes-sione, in alcuni stati europei si erano formati spontaneamente alcuni gruppi scientifici, comead esempio l’Accademia dei Lincei in Italia, la Royal Society in Inghilterra e l’AcadémieFrançaise in Francia. Inoltre furono istituite le prime cattedre di Matematica nelle università.Tutto ciò favorì indubbiamente lo sviluppo delle tecniche matematiche. In ogni caso, nelsecondo trentennio del XVII secolo, la Francia divenne il centro indiscusso dell’attivitàmatematica del tempo. La nascita della Geometria analitica (come risoluzione geometricadi problemi algebrici o, viceversa, come risoluzione algebrica di problemi geometrici) haprincipalmente dovuto ai matematici francesi René Descartes (1596-1650) e Pierre DeFermat (1601-1665). Tale periodo fu caratterizzato da un intenso scambio di idee nel campodella matematica: la figura di Marin Mersenne (Oizé, 1588 - Parigi, 1648), frate dell’ordinedei Minimi, svolse addirittura il ruolo di centro di smistamento delle informazioni mate-matiche consentendone quindi una rapida diffusione. Si tratta di una matematica attivache si sviluppa più per una sua logica interna, che per sollecitazioni di forze economiche,sociali o tecnologiche, ma che non tarderà tuttavia ad alimentare poi un vastissimo campodi applicazioni nei settori più svariati. La nascita della geometria analitica o geometriadelle coordinate è dovuta a Descartes e Fermat. Bisogna però sottolineare che l’uso dicoordinate risale comunque alla più remota antichità: per esempio gli architetti egizianiper riportare in più grande scala un disegno su una parete, lo riferivano ad un reticolato amaglie quadrate oppure i primi astronomi determinavano la posizione di una stella sullasfera celeste, mediante due numeri. Qui verranno trattati i contributi che Descartes diedealla nascita e allo sviluppo della geometria delle coordinate.

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1.2 Geometria e geometria analitica.

1.2.1 La geometria precedente.

Prima di iniziare a parlare della geometria è opportuno darne una definizione. Si definiscegeometria quel ramo della matematica che riguarda le proprietà dello spazio. Nella suaforma più elementare si occupa di problemi metrici quali la determinazione delle aree e delledimensioni delle figure bidimensionali, o della superficie totale e del volume dei solidi, maattualmente comprende anche altri campi quali la geometria analitica, quella descrittiva, latopologia e quella non euclidea. L’etimologia del termine geometria fornisce una descrizionedel lavoro dei primi geometri, i quali si occupavano principalmente di problemi quali lamisurazione dell’estensione dei campi da coltivare e la determinazione accurata di angoliretti per gli spigoli degli edifici. Questo tipo di geometria empirica, che fiorì nell’anticoEgitto, presso i Sumeri e i Babilonesi, venne in seguito sistemata e resa sistematica dai Greci.Nel VI secolo a.C. il matematico greco Pitagora pose le basi della geometria scientificaosservando che tutte le leggi arbitrarie della geometria empirica erano conseguenze logichedi un numero limitato di assiomi o postulati. Dall’affermazione secondo cui il percorsopiù breve che unisce due punti distinti è un segmento di retta discende un gran numero diteoremi sulle proprietà di punti, rette, angoli, curve e piani, che tuttora forniscono le nozionifondamentali della geometria classica. Tra questi teoremi si ricorda quello che afferma chela somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è pari alla somma di due angoliretti, e il celebre teorema di Pitagora, secondo il quale in un triangolo rettangolo la sommadel quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.La teoria dimostrativa dei Greci, che si occupa principalmente di poligoni e cerchi, venneesposta dal matematico greco Euclide. I problemi di costruzione, che consistono nel trovareil modo di disegnare una data figura geometrica con l’uso esclusivo di un righello ed uncompasso, furono introdotti per la prima volta dai greci. Esempi di simili problemi sonola costruzione di un segmento doppio ad un altro o della bisettrice di un angolo. Perquanto alcuni di essi siano di difficile soluzione, tre antichi problemi di costruzione hannoimpegnato generazioni e generazioni di matematici: la duplicazione del cubo, la quadraturadel cerchio e la trisezione di un angolo. La Geometria analitica è il ramo della geometriain cui rette, curve e figure geometriche vengono rappresentate con espressioni algebriche enumeriche per mezzo di un sistema di assi e di coordinate. Dato un qualsiasi punto delpiano, è possibile individuarne in modo univoco la posizione rispetto ad una coppia diassi ortogonali, specificandone la distanza di ciascuno di essi. Tali distanze prendono ilnome del punto; in particolare viene detta ascissa la distanza dall’asse verticale, o assedelle y, e ordinata la distanza da quella orizzontale, asse x. Se vogliamo esaminare, anchesuperficialmente, l’origine della Geometria analitica, ossia di quel ramo della matematicache è la fusione tra la geometria e l’analisi algebrica, dobbiamo distinguere tra loro lanascita del concetto di coordinate e quella degli sviluppi che tale concetto elementare hareso possibili attraverso i secoli. L’uso delle coordinate risale alla più remota antichità. Gliarchitetti egiziani, per riportare in più grande scala un disegno su una parete, lo riferivanoad un reticolato a maglie quadrate. Gli agrimensori egizi, dopo le periodiche inondazionidel Nilo, ricostruivano sul terreno i limiti dei poderi usando mappe di tipo catastale. I primiastronomi determinavano la posizione di una stella sulla sfera celeste, mediante due numeri

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(ascensione retta e declinazione); inoltre, l’astronomo greco Ipparco (Nicea, 190 a.C. – Rodi,120 a.C.) introdusse coordinate geografiche per determinare la posizione di un punto sullasuperficie terrestre. I romani, fondando una città , usavano segnare sul posto due solchi traloro perpendicolari, ai quali riferivano la posizione futura di case, piazze, strade. Lo stessometodo era tenuto nella preparazione dei piani di guerra. Inoltre furono i Romani ad usareper primi le ascisse curvilinee con l’uso delle pietre militari. I geometri greci ricavaronosempre le equazioni dalle curve, attraverso lo studio delle loro proprietà, e mai le curvedalle equazioni. Le equazioni stesse non avevano il significato algebrico astratto che noioggi attribuiamo loro, ma erano sempre trasposizioni simboliche o verbali di relazioni fraelementi della curva geometrica. Qualcosa di più vicino al concetto di coordinate nellamoderna accezione si trova in un disegno d’ignoto del X o XI secolo d.C. che studia letraiettorie dei pianeti riportandone latitudine e longitudine rispettivamente come ordinatae ascissa.

1.2.2 La geometria nel 1600.

Descartes e Fermat fondarono la geometria analitica contemporaneamente, ma separatamen-te, spinti entrambi, anche se per motivazioni diverse, da un desiderio di ritorno al passato,all’età d’oro della geometria, ai problemi classici dei matematici greci. Descartes prendele mosse dalla constatazione della gran diversità dei procedimenti in uso nelle ricerchescientifiche. Ebbene, egli pensa che per porre fine a questo stato caotico non vi è che unmezzo: scoprire un fondamento assoluto, superiore a qualsiasi dubbio, da cui siano derivabilitutte le verità della scienza. La geometria analitica riuscirebbe, per l’appunto, a risolvere ilproblema ora accennato, per lo meno nell’ambito della matematica. La geometria analitica,chiamata anche geometria cartesiana, è lo studio della geometria attraverso il sistemadi coordinate oggi dette cartesiane, ma già studiate nel Medio Evo da Nicola d’Oresme(Fleury-sur-Orne, 1323 – Lisieux, 11 luglio 1382).Ogni punto del piano cartesiano o dello spazio è determinato dalle sue coordinate su duepiani: ascisse (x) e ordinate (y), che determinano un vettore rispettivamente del tipo(x, y) oppure (x, y, z). Gli enti geometrici come rette, curve, poligoni sono definiti tramiteequazioni, disequazioni o insiemi di queste, detti sistemi. Le proprietà di questi oggetti,come le condizioni di incidenza, parallelismo e perpendicolarità, vengono anch’esse tradottein equazioni e quindi studiate con gli strumenti dell’algebra e dell’analisi matematica.I temi più importanti della geometria analitica sono:

• lo spazio vettoriale,

• la definizione di piano,

• i problemi sulla distanza,

• il prodotto scalare per ottenere la proiezione fra due vettori,

• il prodotto vettoriale per ricavare un vettore perpendicolare a due vettori conosciuti e

• i problemi di intersezione.

Molti di questi problemi comprendono l’algebra lineare.

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Capitolo 2

René Descartes

2.1 La vita

Figura 2.1: René Descartes (1596 - 1650), matematico e filosofo francese

René Descartes, meglio conosciuto come Descartes, nacque a La Haye il 31 marzo 1596in una famiglia di piccola nobiltà potendo così ricevere un’educazione completa entrandoa 8 anni nel collegio gesuita di La Fleche nell’Anjou. Studiò il latino, ma lesse anche leopere di Copernico e Galilei che non erano ancora state messe all’indice. Nel 1612 frequentòl’Università di Poitiers, studiò Giurisprudenza e si laureò nel 1616. Contemporaneamentericevette una eredità che gli consentirà di vivere di rendita. Nel 1618 intraprese la carrieramilitare, partecipando alla Guerra dei Trent’anni, ma i periodi di servizio furono sempreintervallati da lunghi periodi di studio e viaggi in Europa. L’inverso 1619-1620 lo trascorsea Ulma ed è qui che nella notte del 10 Novembre 1619 fece un sogno durante il quale gli sipresentò il metodo della matematica grazie al quale intuisce una nuova concezione dellarealtà e un modo per pervenire alla verità, compresa la matematica stessa. Ci vorranno18 anni prima che Descartes riesca a pubblicare, nel 1637, un piccolo libro in francese daltitolo “Discours De La Mêthode Pour Bien Conduire Sa Raison Et Chercher La VéritéDans Le Sciences”. Trascorse la sua vita fino al 1628 a Parigi dove, nel 1633, si impressionòdal processo e dalla condanna di Galilei e sprofondò nell’angoscia; pensò anche di dare allefiamme tutti i suoi manoscritti. Poiché il suo metodo era in contrasto con la tradizionearistotelica, decise quindi di trasferirsi dal 1629 al 1649 in Olanda dove c’era maggiorelibertà di pensiero. In questo paese trascorse i vent’anni successivi e scrisse tutte le sue opere

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più famose. Nel 1649 fu invitato a Stoccolma dalla regina Cristina di Svezia, col compito diistruirla. L’11 febbraio 1650, dopo breve malattia, morì di polmonite a Stoccolma.

2.2 Gli scritti.

La prima opera, le Regulae Ad Directionem Ingenii, fu scritta nel 1628, ma pubblicatapostuma. La successiva opera importante è Le Monde del 1634, che contiene una teoriacosmologica dei vortici, intesa a spiegare come i pianeti sono mantenuti in moto sulle loroorbite intorno al Sole. Descartes non la pubblicò per timore di essere perseguitato dallaChiesa. Nel 1637 pubblicò il Discours De La Mêthode Pour Bien Conduire Sa RaisonEt Chercher La Vérité Dans Le Sciences. Questo libro, un classico della letteratura edella filosofia, contiene tre famose appendic, intitolate La Géométrie, La Dioptrique e LesMétéores. La Géométrie, che è l’unico libro di argomento matematico scritto da Descartes,contiene le sue idee sulla geometria delle coordinate e sull’algebra; egli comunicò tuttavia innumerose lettere molte altre idee sulla matematica. Il Discours gli procurò immediatamenteuna grande fama e, con il passare del tempo, sia lui che il suo pubblico furono sempre piùimpressionati da quest’opera. Nel 1644 pubblicò i Principia Philosophiae, che sono dedicatialla fisica e in particolare alle leggi del moto e alla teoria dei vortici. Essi contengono delmateriale tratto da Le Monde, che egli riteneva di avere ora reso più accettabile per laChiesa. Nel 1650 pubblicò Musicae Compendium.

2.3 Rapporto con la Chiesa.

Le idee scientifiche di Descartes dominarono il XVII secolo. I suoi insegnamenti e i suoiscritti diventarono popolari anche fra i non-scienziati, perché erano presentati chiaramente ein maniera attraente. Soltanto la Chiesa lo respinse. In effetti Descartes era devoto e felicedi avere (così almeno riteneva) dimostrato l’esistenza di Dio. Egli aveva però insegnatoche la Bibbia non è la fonte della conoscenza scientifica, che la ragione da sola bastavaper dimostrare l’esistenza di Dio e che l’uomo dovrebbe accettare soltanto ciò che è ingrado di capire. La Chiesa reagì a questi insegnamenti inserendo le sue opere nell’indice deilibri proibiti poco dopo la sua morte e vietando un’orazione funebre in occasione della suasepoltura.

2.4 La filosofia di Descartes

La finalità della filosofia di Descartes è la ricerca della verità attraverso la filosofia, intesacome strumento di miglioramento della vita dell’uomo. Su questa via egli intende ricostruireil sapere, fondare la scienza. Descartes ritiene che criterio basilare della verità sia l’evidenza,ciò che appare semplicemente e indiscutibilmente certo, mediante l’intuito. Il problema nascedall’individuazione dell’evidenza, che si traduce nella ricerca di ciò che può essere soggettoal dubbio. Pertanto, poichè la realtà tangibile può essere ingannevole, in quanto soggettaalla percezione sensibile e al contempo la matematica e la geometria (che esulano dal mondosensibile) si rivelano fasulle nel momento in cui si ammette che un’entità superiore facciaapparire come reale ciò che non lo è, l’unica certezza che rimane all’uomo è che perlomeno

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dubitando, egli ha la certezza di esistere. A partire da ciò Descartes cerca di individuarei principi fondamentali che possono essere conosciuti con certezza. Per individuare taliprincipi si serve del metodo noto come “scetticismo metodologico”: rifiutare come falsa ogniidea che può essere revocata in dubbio. Egli ritiene che i pensieri di cui possiamo esserecerti sono evidenze primarie della ragione. Come assiomi nel campo della filosofia sceglie iseguenti quattro:

• il cogito ergo sum;

• ciascun fenomeno deve avere una causa;

• un effetto non può essere maggiore della sua causa;

• la mente ha innate in sé le idee di perfezione, di spazio, di tempo e di moto.

Evidente è l’idea chiara e distinta che si manifesta all’intuito nella sua semplicità ecertezza, senza bisogno di dimostrazione. Ne sono esempi i teoremi di geometria euclidea,che sono dedotti in base alla loro stessa evidenza, ma allo stesso tempo verificabili in modoanalitico mediante vari passaggi.

Descartes prese le mosse dalla constatazione della gran diversità dei procedimenti in usonelle ricerche scientifiche. Sulle discipline matematiche osserva come esse non costituiscanoun sistema logicamente coerente, e come le loro dimostrazioni appaiono “superficiali” e iloro risultati scoperti in modo casuale. Egli rileva anche l’eccessiva frammentazione deidiversi settori disciplinari. Allo stesso tempo è attratto dalla matematica perché con le suedimostrazioni basate su assiomi arriva a delle certezze. Inoltre sosteneva che la matematicanon era una disciplina contemplativa, ma una scienza costruttiva e utile. Comunquenon aveva una grande stima per la matematica pura e definiva coloro che coltivavano lamatematica di per sè stessa come “ricercatori pigri dedito a un vano gioco dello spirito”.Inoltre riteneva che la logica era sterile in quanto “serve a comunicare quanto già si conosce”e quindi non era in grado di fornire le verità fondamentali mentre la filosofia forniva soltantoi “mezzi per discorrere con un’apparenza di verità su tutti gli argomenti”. Quindi era propriola matematica quella che “spiega tutte le scienze che sono legate alla forma, la misura el’ordine”. Cioè il metodo per stabilire la verità in tutti i campi è il metodo della matematica.La matematica lo attraeva perché le dimostrazioni basate sui suoi assiomi erano impeccabilie perché l’autorità non vi contava nulla. La matematica forniva il metodo per conseguiredelle certezze e per dimostrarle effettivamente. La matematica è lo “strumento di conoscenzapiù potente di qualunque altro che ci sia stato trasmesso dall’agente umano, in quanto èla fonte di tutti gli altri”. Inoltre secondo la visione che Descartes aveva di Dio, “l’ideadi perfezione che abbiamo in mente può essere ottenuta soltanto da un essere perfetto equindi Dio esiste. Poiché è impossibile che Dio voglia ingannarci, possiamo essere certi chegli assiomi della matematica e le deduzioni che ne deriviamo sono verità. Dio ha quindistabilito la natura in accordo con le leggi matematiche”. Descartes riteneva di avere delleidee matematiche chiare e distinte, come quella di triangolo. Queste idee esistono, sonoeterne e immutabili. Esse non dipendono dal fatto che le pensiamo o no. La matematica haperciò un’ esistenza esterna oggettiva. Egli è quindi convinto che le conoscenze matematicheabbiano un grado di certezza e evidenza superiori a quello conseguito dalla filosofia e dallealtre scienze e merita di essere assunta come modello di rinnovamento di tutto il sapere,

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rimuovendone i difetti.Egli osserva come le scienze matematiche abbiano un elemento che le accomuna: ciascunadi esse studia i rapporti di quantità o proporzionalità intercorrenti tra gli oggetti che visono compresi. Con il suo metodo si proponeva di trovare un fondamento assoluto a tuttoil sapere mediante due argomentazioni: una negativa, cioè la critica al tipo di istruzionericevuta, fondata sul principio di autorità e sulla persuasività della tradizione. Egli infattirifiuta la matematica dei Greci perché “artificiosa e incapace di farci scoprire nuove verità”e critica le indagini geometriche degli antichi perché erano svolte con procedimenti diversi,facendo uso di artifici variabili da un caso all’altro, non di rado oscuri e ambigui. Se daun lato siamo in grado di seguire passo passo le argomentazioni controllandole l’indubbiacoerenza, dall’altro non riusciamo a capire perché in un caso si fa ricorso a un tipo didimostrazione e in un altro caso a un altro tipo. Restiamo quindi disarmati di fronte a unqualsiasi problema nuovo, dovendo procedere per tentativi. La seconda argomentazioneè positiva, ovvero è la proposta di un nuovo metodo per farci cogliere con chiarezza ogniverità, compresa la matematica.

2.5 Il metodo cartesiano

Il metodo si fonda su quattro regole che vengono isolate nelle Regulae Ad DirectionemIngenii opera scritta nel 1628 e pubblicata più tardi.

• Regola dell’evidenza: l’indicazione del criterio di verità; devono essere accolte soloquelle idee che si presentano alla nostra mente come chiare e distinte. Chiarezza diun’idea significa che essa è colta dalla mente in forma esaustiva e compiuta senzache nessuno dei suoi aspetti resti nell’oscurità. Distinzione significa che l’idea è bendelimitata rispetto alle altre.

• Regola dell’analisi: suggerisce di dividere ogni asserzione complessa in tante partifino a giungere agli elementi ultimi che la costituiscono.

• Regola della sintesi: necessità di disporre i principi in ordine che proceda da unaminore a una maggiore complessità per scoprire in quale maniera si colleghino traloro.

• Regola dell’enumerazione: fare rassegne complete dei passi del proprio ragiona-mento e ripercorrerle con movimento continuo sino a essere sicuri di abbracciarletutte in un unico sguardo senza omettere nulla.

Queste, seppur non con questi nomi precisi, sono le regole che seguiamo nel momento in cuisiamo di fronte ad una dimostrazione matematica. Descartes riteneva veramente importanteil suo metodo e come vedremo, lo applicò anche alla geometria.

2.6 La GéométrieTutti i problemi di geometria si possono facilmente ridurre a terminitali che poi, per costruirli, vi sia bisogno soltanto di conoscere lalunghezza di alcune linee rette.

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R. Descartes, La Géométrie, libro I, 1637

Il principale contributo dato da Descartes alla matematica fu l’elaborazione dei fondamentidella geometria analitica, esposti poi nel trattato La Géométrie del 1637, che costituisceun’appendice al Discours De La Mêthode Pour Bien Conduire Sa Raison Et Chercher LaVérité Dans Le Sciences (Discorso Sul Metodo Per Ragionare Bene E Per Cercare La VeritàDelle Scienze). E’ da notare che il Discours è concepito come introduzione metodologicaai tre testi di argomento fisico–matematico insieme ai quali è stato pubblicato, testi il cuicontenuto non poteva essere scoperto senza adottare il metodo proposto nel discorso.La Géométrie è il primo testo che un lettore moderno può leggere senza una preparazionespecifica, cioé non vi sono eccessive difficoltà nel decifrare il linguaggio simbolico cartesiano.Le differenze con la scrittura moderna sono poche e trascurabili rispetto alle differenze chesi trovano con gli autori che precedono Descartes. Per queste ragioni “linguistiche” vi èanche chi ha parlato per Descartes di “rivoluzione simbolica”; infatti a Descartes va anche ilmerito di aver introdotto nuove notazioni algebriche simili a quelle in uso ancora oggi cioèdi aver sviluppato il formalismo algebrico. Descartes usava le prime lettere dell’alfabeto perindicare i parametri e le ultime per indicare le incognite, utilizzava i simboli ‘+’ e ‘-’ e unaparticolare notazione esponenziale per le incognite (potenza e radice quadrata). C’è peròuna importante differenza concettuale: mentre noi concepiamo i parametri e le incognitecome numeri, Descartes li concepiva come segmenti. Egli però rompeva con la tradizionegreca in questo aspetto: infatti invece di considerare, per esempio x2 e x3 rispettivamentecome un’area e un volume, li interpretava anche essi come segmenti. Inoltre La Géométrieè ben lontana dalla geometria analitica in uso oggi: infatti, ad esempio, Descartes non fa unuso sistematico di coordinate ortogonali, ma spesso utilizza coordinate oblique. Inoltre nonfa uso di ascisse negative e non è presente nessuna curva tracciata direttamente a partiredalla sua equazione.La La Géométrie è composta di tre libri:

I. I problemi che si possono costruire solo con cerchi e linee rette,

II. Sulla natura delle linee curve,

III. La costruzione dei problemi solidi o più che solidi.

Nel I libro, Descartes, dopo aver posto le basi del metodo delle coordinate e aver datoun’interpretazione delle operazioni algebriche in termini di segmenti, fornisce dettagliateistruzioni sul modo di risolvere equazioni di secondo grado per via geometrica, dandoun’interpretazione in tal senso anche per la loro soluzione. Come avevamo detto, enuncia ilproblema di Pappo che nessuno nell’antichità era stato in grado di risolvere compiutamentee ne inizia la soluzione. Un esempio banale di risoluzione di un’equazione di secondo gradoè il Problema di Pitagora.

Il II libro è forse quello che contiene i risultati più importanti e più vicini alla concezionemoderna della geometria analitica. Descartes espone la scoperta che le equazioni indeter-minate in due incognite corrispondono a luoghi geometrici. Distingue con cura le “curvegeometriche”, che possono essere rappresentate da equazioni algebriche, come le coniche, lacissoide e la concoide, dalle “curve meccaniche”, come la spirale e la quadratrice che non

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possono rappresentarsi con tale tipo di equazioni e che oggi sono dette trascendenti. Trovala soluzione al problema di Pappo con 4 rette arrivando a scrivere l’equazione generaledi una conica passante per l’origine e specificando le condizioni cui devono soddisfare icoefficienti affinché la conica sia una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole; inoltreanalizza il caso più semplice del problema di Pappo con 5 rette. Fra i risultati più importantiottenuti da Descartes e contenuti nel II libro dell’opera, merita una particolare menzionela determinazione generale della normale ad una qualsiasi curva algebrica piana in un suogenerico punto e la conseguente determinazione della tangente. Per trovare la normalead una curva algebrica in un determinato punto P di una curva algebrica, Descartes dicedi prendere un punto variabile P’ sulla curva stessa e di determinare l’equazione dellacirconferenza avente per centro la coordinata sull’asse delle ascisse del punto e passante peri punti P e P’. Ora, annullando il discriminante dell’equazione che determina l’intersezionedella circonferenza con la curva, si trova il centro della circonferenza per il quale P’ coincidecon P. Trovato il centro, si trovano poi agevolmente la normale e la tangente alla curva nelpunto considerato.Il II libro potrebbe concludersi con questa trattazione che mostra il procedimento generaledi Descartes per la costruzione di tutti i problemi: intersezione di una circonferenza e unaretta per i problemi piani, di una circonferenza e una parabola per i problemi che nel suolinguaggio sono detti solidi, di una circonferenza e di una curva di grado maggiore e cosìdi seguito. L’autore invece, in omaggio all’orientamento preminentemente utilitaristico etecnico del suo sapere, preferisce terminare il libro con la trattazione sugli ovali, ossia sulleforme che devono assumere i corpi trasparenti, per essere utili al miglioramento della vista.

Il III libro tratta della soluzione delle equazioni di grado superiore al secondo mediante inter-sezioni di curve. Descartes, partendo dal presupposto che bisogna sapere se l’equazione siariducibile o meno, insegna come passare da un grado superiore a uno inferiore dell’equazionequando sia nota una radice e che possono darsi tante radici positive quante sono le variazionidi segno nel primo membro, tante negative quante volte i segni ‘+’ e ‘–’ si susseguono (regoladei segni di Cartesio). Dà pure alcune regole che riguardano l’eliminazione nell’equazione delsecondo termine o la reintroduzione di un termine mancante. Posto ciò, affronta i problemile cui soluzioni dipendono da equazioni di terzo grado e oltre; per questo, prima si soffermasulla soluzione delle equazioni di terzo grado e subito dopo su quelle di quarto grado, cherisolve riducendone il grado, o altrimenti applicando il metodo dei coefficienti indeterminatiche gli consente di ridurre equazioni di quarto grado ad un prodotto di equazioni di secondogrado. A causa di un’affrettata generalizzazione, Descartes fu indotto a pensare di aver

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trovato erroneamente la soluzione di equazioni superiori al quarto.

Concentriamo ora la nostra attenzione su come Descartes applicava il suo metodoalla geometria. Descartes criticava la geometria degli antichi perché ogni dimostrazionerichiedeva sempre nuovi e ingegnosi ragionamenti: era un’arte confusa e oscura. Criticavainoltre l’algebra del suo tempo perché era troppo soggetta a regole, a formule e inoltre eraconfusa ed oscura per i simboli inadeguati e perché sottomessa alla geometria:..ne risultavaun’arte piena di confusione calcolata per mettere in imbarazzo invece che una scienza attaa migliorare la mente. Egli si propose di prendere il meglio da entrambe e quindi il suoscopo diventava duplice: egli faceva uso dell’algebra nella geometria per la risoluzionedi problemi di luoghi geometrici e allo stesso tempo si proponeva di tradurre le cinqueoperazioni algebriche (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e estrazione dellaradica quadrata) nel linguaggio della geometria.

2.6.1 Operazioni aritmetiche e costruzioni geometriche semplici.

Egli mostrava che le cinque operazioni aritmetiche corrispondono a semplici costruzionieffettuate con riga e compasso giustificando così l’introduzione di termini aritmetici nellageometria. Esaminiamo come viene ottenuto il prodotto di due segmenti BD e BC. Siadata una linea AB rappresentante il segmento unità.

Disposti BA e BD su una stessa semiretta e BC su una semiretta qualsiasi di origineB, si traccia CA e poi DE parallela a CA. La figura mostra come la linea BE sia quellarichiesta. Infatti, applicando il teorema di Talete si ha AB : BD = BC : BE. Da questaproporzione deduciamo che AB ⋅BE = BD ⋅BC. Ma se assumiamo AB come unità deisegmenti sarà lecito porre AB ⋅BE = BE. Ed ecco dunque come si può costruire il segmentoprodotto di due segmenti. Si applica un procedimento analogo per la divisione. BC è infattiil risultato della divisione di BE per BD.L’estrazione di radice quadrata è altrettanto semplice. Se GH è il segmento per il quale sideve ottenere la radice, si tratta di scegliere ancora una volta il segmento unitario FG etracciare la seguente figura.

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A questo punto basta ricordare che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusaè media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa cioè

FG ∶ GI = GI ∶ GH,

da cui si ricava la radice di GH. Tuttavia, ovverva Descartes, “sovente non c’è necessitàdi tracciare in questo modo tali linee sulla carta, ed è sufficiente indicarle tramite lettere,ciascuna con una sola lettera”. Così, per esempio, nella soluzione di un dato problemapossiamo incontrare una espressione come

√a2 + b2 senza che sia necessario esibire la figura

di un triangolo rettangolo di cateti a e b.In queste poche pagine iniziali si evidenzia un modo radicalmente nuovo di fare matematica:l’algebra acquisisce una netta posizione di predominio. Quindi possiamo dire che Descartes,anche se criticava l’algebra del suo tempo, ne vedeva però anche in generale la sua potenzarispetto ai metodi geometrici per risolvere i problemi: essa rende infatti meccanici i ragio-namenti e rende minimo il lavoro necessario per risolvere i problemi. Si propone quindi didare ad essa una struttura perfettamente razionale che faccia uso solo di verità chiare edevidenti. Per attuare la propria riforma della geometria ha bisogno di una unità di misura,di un fondamento assoluto. Introduce l’uso sistematico degli assi coordinati che permettonodi rappresentare i punti con coppie o terne di numeri e le relazioni geometriche fra punti conrelazioni algebriche. Così i problemi geometrici possono venire tradotti in problemi algebricie risolte con le regole, in un certo senso automatiche, dell’algebra. Questa traduzionepresenta due notevoli vantaggi: rende pressoché uniforme la trattazione di tutte le questionigeometriche; fa scomparire le differenze inessenziali tra figura e figura permettendo cosìdi raggiungere risultati di ampia generalità. In tal modo la geometria diviene una scienzaessenzialmente analitica in cui ogni problema ben fondato, se di grado non superiore alquarto, diviene automaticamente risolubile.La geometria analitica traducendo in termini algebrici le nozioni di punto, retta, piano e lerelazioni intercorrenti fra essi, è in grado di rendere chiara e uniforme la trattazione di tuttii problemi geometrici e rappresenta una tappa nuova rispetto ai greci (che non avevanosaputo indicare una via per risolvere tali problemi, limitandosi a risolverli caso per caso,con accorgimenti ingegnosi ma di portata circoscritta). La molla che spinge Descartes ad“inventare” la geometria analitica è la stessa che lo ha spinto alla fondazione della nuovametafisica, si tratta cioè di superare la frammentazione del sapere scientifico degli antichie allo stesso tempo ostacolare una analoga tendenza alla perdita di unità presente nellafilosofia moderna.E’ importante ricordare che la geometria cartesiana aveva come intento una costruzionegeometrica: “tutti i problemi di geometria si possono facilmente ridurre a tali termini, chein seguito per costruirli basta conoscere la lunghezza di alcune rette e non il ricondurrela geometria all’algebra”. L’algebra, avendo un linguaggio autonomo, diventa idonea ariprodurre la geometria e viceversa; quest’ultima diventa uno strumento di chiarificazioneintuitiva dei procedimenti dell’algebra. In sintesi Descartes riordina la simbologia algebricae abbandona l’immediata interpretazione geometrica dei procedimenti algebrici.Il metodo generale che consentiva l’applicazione dell’algebra alla geometria si fondava sull’i-dea di associare delle equazioni algebriche alle curve e alle superfici e prende appunto il nomedi geometria analitica o geometria delle coordinate. Il procedimento è così sintetizzabile: siparte da un problema geometrico, lo si traduce in un linguaggio di un’equazione algebrica

12

e infine, dopo aver semplificato l’equazione quanto più possibile, si risolve tale equazionegeometricamente. Nell’affrontare un dato problema Descartes diceva di seguire questi passi:

1. dare dei nomi a tutte le linee che sembrano necessarie per la costruzione del problema,sia a quelle ignote che a quelle note,

2. guardare in che modo tali linee sono in rapporto tra loro fino a che non si sia trovatoun modo di esprimere una medesima quantità in due maniere diverse: quello che sichiama un’equazione in una incognita,

3. il grado di questa equazione algebrica finale determina i mezzi geometrici con cui sipoteva eseguire la costruzione geometrica richiesta: per equazioni di secondo gradobastano rette e cerchi, per quelle di terzo e quarto grado erano adatte le sezioniconiche.

2.6.2 La costruzione geometrica delle radici di equazioni di secondogrado

Nel I libro, Descartes fornisce dettagliate istruzioni sul modo di costruire geometricamentele soluzioni delle equazioni di secondo grado. Infatti una volta che nella risoluzione di unproblema si è giunti ad un’equazione, poi si può ancora dare alla soluzione un’interpretazionegeometrica.Per l’equazione z2 = az + b2, per esempio, dall’algebra si sa che

z =a

2±

¿ÁÁÀ[(

a

2)2

+ b2].

Descartes procedeva con il dare la costruzione per z nel modo seguente:

tracciava un segmento LM di lunghezza b e da L innalzava un segmento NL uguale ad a2 e

perpendicolare a LM. Con centro in N costruiva un cerchio di raggio a2 e tracciava la retta

passante per M e N e intersecante il cerchio nei punti O e P. Si notava quindi il triangolorettangolo LMN dove MN, per il Teorema di Pitagora, è uguale a

MN =√

(LN2 +LM2) =

¿ÁÁÀ[(

a

2)2

+ b2]

13

. La soluzione z cercata è allora la lunghezza OM. La dimostrazione del fatto che OMè la lunghezza cercata non è data da Descartes, ma è immediata per il fatto che OM =

ON +MN = a2 +

√

[(a2)2+ b2].(Descartes trascurava la radice PM dell’equazione perché

era “falsa” cioè negativa).Costruzioni simili venivano fatte per le equazioni z2 = az − b2 e z2 + az = b2 le sole altre disecondo grado con radici positive.

Per l’equazione z2 = az−b2 sapendo che le soluzioni erano z = a2±

√

[(a2)2− b2] e trascurando

la radice negativa, procedeva invece in questo modo:

tracciava un segmento LM di lunghezza b e da L innalzava un segmento NL uguale ada2 e perpendicolare a LM. Con centro in N costruiva un cerchio di raggio a

2 . Costruivapoi il rettangolo LMON e indicava con Q e R le intersezioni della retta per M e O con lacirconferenza. Tracciava inoltre i raggi NQ e NR: si notava quindi il triangolo rettangolo

NOR dove OR per il Teorema di Pitagora è uguale a OR =√

(NR2 −NO2) =

√

[(a2)2− b2].

Si nota che z = MR = MO + OR = a2 +

√

[(a2)2− b2] era il segmento cercato ovvero

rappresentava geometricamente la soluzione.

2.6.3 Caratterizzazione delle curve mediante la loro equazione: l’asso-ciazione curve-equazioni.

Fin qui potremo dire che Descartes si preoccupava della risoluzione dei problemi geometricideterminati, ovvero quelli che portano ad un’unica soluzione. Nel II libro viene inveceesposta la risoluzione dei problemi geometrici indeterminati, cioè problemi in cui ci sonomolte lunghezze diverse che possono servire da soluzione. Ed è in questo libro che vi sono irisultati più vicini alla concezione moderna della geometria analitica: qui compare, e soltantodi passaggio, la scoperta che le equazioni indeterminate in due incognite corrispondono aluoghi geometrici. Con il suo metodo per la risoluzione dei problemi geometrici Descartesaffronta il problema di Pappo arrivando ad un’equazione in due incognite.

Il problema di Pappo si può cosi formulare:

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“Date tre, quattro o più linee rette in un piano, trovare la posizione dei punti (luogo) da cui sipossono costruire un ugual numero di segmenti, uno per ciascuna retta data, che formino unangolo noto con ciascuna delle rette date e tali che il rettangolo formato da due dei segmenticosì costruiti stia in un rapporto dato con il quadrato del terzo segmento costruito se lerette sono tre; invece se vi sono quattro rette, che stia in un rapporto dato con il rettangoloformato dagli altri due. Oppure, se le rette sono cinque o sei, che il parallelepipedo costruitocon tre di esse stia in un rapporto dato con il parallelepipedo costruito con le altre. In talmodo il problema può estendersi a un qualsiasi numero di linee”.

Pappo aveva risolto il problema nel caso delle tre rette:

“Date tre rette complanari e un punto P appartenente al piano, si considerino le distanzedi P dalle tre rette; trovare il luogo dei punti tali che il prodotto di due delle distanze siauguale”.

Pappo aveva dichiarato che, quando ci sono 3 o 4 rette, il luogo è una sezione conica. Noi,questo problema, lo risolviamo in questo modo. Siano (x, y) le coordinate di un puntogenerico C e sia d(C, ri) = ∣aix + biy + ci∣ la distanza di C dalla retta i-esima, dove ai, bi, cisono i parametri della retta ri normalizzati in modo che a2i + (bi)

2 = 1. Il luogo cercato haequazione

n

∏i=1

(aix + biy + ci) =2n

∏i=n+1

(aix + biy + ci).

Descartes, identificando la curva con la sua equazione, può dare la soluzione generale. Eglisi interessò in particolare del problema di Pappo nel caso di quattro rette.

Le rette date sono AG, GH, EF e AD. Consideriamo un punto C (che è quello che vogliamodeterminare) e le quattro rette CB, CD, CF, CH condotte da C alle quattro rette date inmodo che anche gli angoli CBA,CDA,CFE,CHG siano dati e tali che il prodotto di una

15

parte di queste linee sia uguale al prodotto delle rimanenti o che l’uno (di questi prodotti)stia all’altro in un rapporto dato cioè CB ⋅CF = k ⋅CD ⋅CH dove k è una costante assegnata(non è restrittivo supporre k = 1). In altre parole si richiede di trovare il luogo dei punti Ctali che

CB ⋅CF = CD ⋅CH. (2.1)

Dopo aver esposto il problema Descartes inizia a risolverlo. Qui il matematico espone lasua visione delle coordinate su un piano; infatti questo problema è solitamente indicatocome quello dove vengono introdotte le “coordinate cartesiane”.

“Innanzi tutto suppongo il problema come già risolto e per liberarmi dalla confusione ditutte queste linee, considero una delle rette date e una di quelle che bisogna trovare, peresempio AB e CB, come le principali, e a queste cerco di riferire tutte le altre. Il segmentoAB sia chiamato x e BC y e siano poi prolungate tutte le altre linee date fin quando nonintersechino queste due”.

In sostanza Descartes inizia con l’osservare che la posizione del punto C è individuataquando conosciamo AB = x e BC = y. Chiama quindi AB con x e CB con y e prolungatutte le altre finché non le interseca.Le quantità (positive) x ed y sono sufficienti, perché la retta AB ed il punto A sono dati el’angolo ABC (ed il suo complementare) è dato.

Assegnate queste quantità, possiamo conoscere ognuna delle linee (segmenti) rimanenti CF,CD, CH. Vediamo il calcolo per CF. Gli angoli del triangolo CSE e gli angoli del triangoloCSF sono noti, e quindi sono noti anche i rapporti tra i lati. Il segmento AE è dato.

Si ha quindiBE ∶ BS = z ∶ d;

16

da cuiBS =

d

zBE =

d

z(k + x);

InoltreCS = CB +BS = y +BS = y +

d

z(k + x) =

zy + dk + dx

z.

AnalogamenteCS ∶ CF = z ∶ e

da cuiCF = CS

e

z=ezy + dek + dex

z2=de

z2x +

e

zy +

dek

z2.

Descartes osserva sbrigativamente che ogni distanza è data da una espressione della forma

±Ax ±By ±C1

ove i segni possono variare in tutti i modi possibili, compatibilmente con il fatto che vi siasempre almeno una quantità positiva.La soluzione del problema di Pappo è una ‘avventura algebrica’ che segna definitivamentel’inizio della modernità2.Descartes ha la pazienza di osservare che

CB = y; CD =czy + bcx

z2;

CF =ezy + dek + dex

z2; CH =

gzy + fgl − fgx

z2;

di modo che si ha (supponendo semplicemente che sia CB ⋅CF = CD ⋅CH)

y2 =(cfglz − dekz2)y − (dez2 + cfgz − bcgz)xy + bcfglx − bcfgx2

ez3 − cgz2. (2.2)

Da cui, effettuando alcune opportune sostituzioni, abbiamo che l’equazione iniziale (2.1)diventa

y2 = ay − bxy + cx − dx2. (2.3)

dove a, b, c e d sono numeri reali dipendenti dalle quantità date. Questa equazione rappre-senta una generica conica passante per l’origine (il tipo di conica è definito dai valori deicoefficienti a, b, c, d ∈ R). Descartes osserva inoltre che, scegliendo un qualsiasi valore di x, siottiene un’equazione di secondo grado in y che può essere risolta rispetto ad y e che quindiy può essere costruita geometricamente come aveva spiegato nel libro I. Se, quindi, si hannoinfiniti valori di x, si hanno infiniti valori di y che sono le coordinate di infiniti punti C il

1Naturalmente, come osserva Descartes, a seconda della posizione di C si può anche avere zy−dk−dxz

oppure −zy+dk+dxz

. Osservazioni simili si possono ripetere anche per i calcoli successivi.2In realtà la soluzione nel caso delle quattro rette che io presento in modo unitario è suddivisa tra il

primo ed il secondo libro. Nel primo libro viene indicato come si procede in generale per calcolare tutte ledistanze nel caso generale; nel secondo si esamina in particolare il caso del problema per quattro rette.

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cui luogo è la curva descritta dall’equazione precedente. Ciò che Descartes ha fatto è statodi scegliere una retta come retta base con origine nel punto A. I valori di x sono perciòlunghezze lungo questa linea e i valori di y sono lunghezze che partono da questa retta basee formano con essa un angolo prefissato. Questo sistema di coordinate è quello che noichiamiamo un sistema di coordinate oblique. La x e la y di Descartes stanno soltanto perdei numeri positivi e perciò le sue equazioni rappresentano soltanto la posizione di curvacontenuta in quello che noi chiameremmo il primo quadrante. Egli assume semplicementeche il luogo giaccia primariamente nel primo quadrante e si riferisce soltanto di passaggio aciò che potrebbe accadere altrove. Egli assume anche inconsciamente che per ogni numeroreale esista una lunghezza corrispondente.Questa è una prova che Descartes effettua un salto qualitativo: considera problemi indeter-minati dove le due coordinate x e y sono legate da una sola equazione. I punti che risolvonoil problema sono infiniti e descrivono una curva.Descartes specificò poi le condizioni cui dovevano soddisfare i coefficienti a, b, c, d ∈ R perchéla conica fosse una retta, una parabola, un’ellisse o un’iperbole. Sapeva inoltre che conuna opportuna scelta degli assi e dell’origine si poteva ottenere la forma di equazione piùsemplice, ma non formulò nessuna delle forme canoniche che conosciamo (cosa che in seguitofarà Fermat).Descartes utilizzava un sistema di coordinate oblique, quindi non sempre ortogonali, e solocon ascisse e ordinate positive, per cui tracciava solo le porzioni delle curve che giacevano inquello che noi chiamiamo primo quadrante. Delle coordinate negative sapeva solo che eranoorientate in senso inverso rispetto a quelle positive ma non fece mai uso di tali coordinate.Egli era così poco interessato a tracciare curve che non comprese a pieno il significato dellecoordinate negative. In Descartes non c’è alcuna formula per la distanza o per l’angoloformato da due rette; non c’è il grafico di alcuna curva nuova tracciata direttamente apartire dalla sua equazione. Si potrebbe dire quindi che La Géométrie, pur essendo dedicatainteramente alla interazione tra algebra e geometria, è ben lontana dalla geometria analiticain uso oggi.Sempre nel secondo libro è presente una classificazione delle curve in base al grado e questorappresenta un passo avanti rispetto ai Greci che non avevano ammesso come legittimecostruzioni che facevano uso di curve diverse da rette o circonferenze. Nella prima classeDescartes raggruppò le curve di primo e di secondo grado in x e y e più in generale iproblemi che portavano a equazioni di secondo grado e che potevano perciò essere costruiticon riga e compasso; nella seconda classe riunì quelli che portavano a equazioni di terzoe quarto grado, le cui radici potevano venire costruite per mezzo di sezioni coniche. Ingenerale la costruzione delle radici di un’equazione di grado 2n o 2n-1 era un problemadella classe n. Il motivo per cui raggruppa insieme le curve di terzo e quarto grado, equelle di quinto e sesto, sta nel fatto che egli credeva che le curve di grado superiore diciascuna classe potessero essere ricondotte a quelle di grado inferiore, così come le equazionidi quarto grado possono essere risolte con l’aiuto di equazioni di terzo grado. Questa suaconvinzione era naturalmente sbagliata.

Descartes sottopose ad esame critico le distinzioni fatte dai greci tra curve piane, solidee lineari. C’era la convinzione che fossero legittime soltanto le curve costruibili con riga ecompasso. I matematici greci dividevano le curve in tre categorie:

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• i luoghi piani, formati da tutte le rette e da tutti i cerchi;

• i luoghi solidi, formati da tutte le sezioni solide;

• i luoghi lineari, che comprendevano indistintamente tutte le altre curve.

Il fatto stesso che Apollonio, il più grande studioso di geometria dell’antichità (Perga,262 a.C. – Murtina, 190 a.C.), non sia giunto a sviluppare una geometria analitica, eraprobabilmente dovuto più ad una povertà di curve che non ad una povertà di pensiero.Descartes invece con il suo metodo di associare ad ogni curva un’equazione algebrica, ampliòil campo di oggetti matematici concepibili dal nostro pensiero, considerando come curveammissibili anche la concoide e la cissoide (cioè riconobbe a queste un posto di pieno dirittonell’ambito della geometria). Per lui erano “curve geometriche” quelle che potevano essereespresse da un’unica equazione algebrica; le altre, da lui chiamate “curve meccaniche” (adesempio la quadratrice, la spirale, la logaritmica, la cicloide...), le esclude dal campo dellageometria in quanto le immaginiamo descritte da due movimenti separati che non hannotra loro alcun rapporto che si possa misurare esattamente. Grazie a Descartes viene quindieliminata la costruibilità come criterio di esistenza per le curve: si esce dal mondo chiusodegli antichi Greci e si offre il metodo di associare alle curve delle equazioni, un metodogenerale che si applica a tutte le curve.

2.6.4 Rette normali e rette tangenti.

Nella matematica classica, a differenza di altri problemi, il problema delle tangenti ave-va ricevuto solo una moderata attenzione. Ciò era dovuto al fatto di non riuscire maia staccarsi dal problema particolare (o meglio dalla figura particolare) per dare metodigenerali per classi di figure. In questo periodo però si cerca di sviluppare metodi generalivalidi per ampie classi di figure. Questa tendenza diventa esplicita ne La Géométrie diDescartes, dove questo problema (che assunse subito un posto di rilievo) veniva risolto nelcaso di curve algebriche, cioè esprimibili come zeri di un polinomio. Per trovare la normale(infatti Descartes più che cercare le tangenti cerca le normali) ad una curva algebrica in undeterminato punto C, Descartes procede in questo modo.“Sia CE la curva e per il punto C occorra tracciare una retta che formi con essa angoli retti.Suppongo tutto già compiuto e assumo CP come linea cercata, linea che prolungo fino a Pdove incontra la retta GA, che suppongo essere quella a cui debbono riferirsi tutti i puntidella linea CE. Così ponendo MA o CB = y, CM o BA = x, otterrò una certa equazioneche esprime la relazione che sussiste tra x e y. [...]”Con un linguaggio e un formalismo per noi familiare, Descartes proseguiva spiegando chese si poneva per il cerchio incognito PC=s e PA=v, osservando che il triangolo PMC erarettangolo, si aveva s2 = x2 +v2 −2vy+y2, da cui si poteva ricavare la x (o equivalentementela y) e sostituirla nell’equazione della curva data. Poi, “dopo aver trovato [tale equazione]invece di servircene per conoscere le quantità x o y [...] che sono già date poiché il puntoC [nel quale dobbiamo determinare la normale alla curva] è dato, dobbiamo usarla pertrovare v o s che determinano il punto P richiesto [centro del cerchio cercato]. A tal finebisogna considerare che se questo punto P è come lo desideriamo il cerchio di cui sarà il

19

centro e che passerà per C vi toccherà la curva CE senza intersecarla”. In sostanza usala tecnica di considerare un cerchio di centro variabile su uno degli assi e di imporre lacondizione algebrica che il cerchio abbia due intersezioni coincidenti con la curva nel puntodi tangenza. Vediamo ora il modo di procedere. Sia P (y, x) = 0 l’equazione della curvain esame. Esistendo diversi cerchi tangenti alla curva nel punto e volendone trovare unosolo, Descartes impone una particolare condizione e cioè che il centro appartenga all’assey. Fissato il punto A come origine del riferimento e l’asse delle ascisse, note l’equazionedella curva e le coordinate del punto C di tangenza, si tratta di determinare il punto Pappartenente all’asse delle ordinate in modo che la circonferenza di centro P sia tangente inC alla curva. Individuare il cerchio tangente significa trovare quel cerchio che ha riunite inC le due intersezioni con la curva, o, come si dice, ha una intersezione doppia.

Sia C(y0, x0),AP = v e CP = s. Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangoloPMC ho che l’equazione del cerchio è

(y − v)2 + x2 = s2.

Osserviamo che questa equazione mette in relazione s e v con le coordinate (y, x) del puntoC.

Per trovare le intersezioni tra cerchio e curva bisogna risolvere il sistema

{(y − v)2 + x2 = s2

P (x, y) = 0

che, dopo aver eliminato la x, si riduce ad una equazione nella sola y del tipo Q(y) = 0. Sel’equazione deve avere una radice doppia in y = y0 deve poter essere riscritta nella forma

Q(y) = (y − y0)2⋅R(y)

con R(y) polinomio incognito di grado inferiore di due unità rispetto a Q(y). Se il polinomioQ(y) ha grado n, l’identità scritta precedentemente dà luogo a n + 1 equazioni ricavate

20

dall’uguaglianza degli n + 1 coefficienti del polinomio a primo membro con i rispettivicoefficienti del polinomio a secondo membro.In queste n + 1 equazioni sono presenti n + 1 incognite: v, s e gli n − 1 coefficienti delpolinomio R(y).Quindi è necessario risolvere un sistema non lineare di n+ 1 equazioni in n+ 1 incognite checomporta dei calcoli abbastanza laboriosi e che costringe, per ricavare l’unica incognita cheinteressa (l’ordinata v del punto P), a calcolare anche un numero rilevante di incognite nonnecessarie al fine della risoluzione del problema.È significativo notare come questo procedimento ci si riduca, in pratica, al caso di deter-minare la tangente ad una circonferenza. Osserviamo inoltre che lo stesso ragionamentocontinua a valere se i due assi vengono permutati.

Esempio.Vediamo di calcolare la tangente all’iperbole di equazione xy = 1 applicando il metodo diDescartes. Questi, per giungere alla tesi, costruisce una circonferenza tangente all’iperbole.Consideriamo, dunque, oltre all’iperbole un cerchio di centro v e raggio s.

Figura 2.2:

Otteniamo il seguente sistema:

{xy = 1(x − v)2 + y2 = s2

eliminando la y dal sistema e moltiplicando per x2 si ha:

x2(x2 − 2vx + v2) + 1 − s2x2 = 0

Quest’ultima equazione, per quanto detto prima, deve avere una radice doppia per x = x0,e dunque deve risultare:

x2(x2 − 2vx + v2) + 1 − s2x2 = (x − x0)2(ax2 + bx + c).

Sviluppando, ora, ambo i membri e raccogliendo i termini con la stessa potenza si ottiene:

x4 − 2vx3 + (v2 − s2)x2 + 1 = ax4 + (b − 2x0a)x3+ (c + ax20 − 2bx0)x

2+ (bx20 − 2cx0)x + cx

20

21

e dunque:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a = 12ax0 − b = 2vc + ax20 − 2bx0 = v2 − s2

bx0 − 2c = 0cx20 = 1

e da quest’ultima equazione si ha:

c =1

x20= y20

e dunque a ritroso segue:

b =2y20x0

.

Inserendo tale valore nella seconda equazione e ricordando che a = 1, si trova:

v = x0 − y30.

Osserviamo ora che l’unico dato incognito è il valore di s, ma ai nostri fini questo calcolo èirrilevante. Ora, riprendendo la figura 2.2, definiamo OA = v, OB = x0, BP0 = y0 e pertantosi ottiene AB = x0 − v = y30 . Di conseguenza i triangoli ABP0 e P0BC sono simili, e dunqueè possibile implementare l’equazione del secondo Teorema di Euclide, ottenendo:

BC ∶ BP0 = BP0 ∶ AB

dalla quale si giunge ad avere:

BC =BP 2

0

AB=y20y30

=1

y0= x0.

Esercizio: trovare la normale alla curva y = x3 in P = (1,1) con il metodo di Descartes.Soluzione schematica:

{y = x3

(x − v)2 + y2 = s2 ⇔ x2 − 2xv + v2 + y2 = s2

Da cui ho:R(x) = x6 + x2 − 2xv + v2 − s2 = 0.

22

Poiché devo avere una doppia radice in x = 1 devo scrivere

Q(x) = (x − 1)2R(x)

= (x − 1)2(x4 + ax3 + bx2 + cx + d)

= (x2 − 2x + 1)(x4 + ax3 + bx2 + cx + d)

= x6 + (a − 2)x5 + . . .

≡ x6 + x2 − 2xv + v2 − s2.

(2.4)

Eguaglio i coefficienti delle potenze omologhe ed ottengo 6 equazioni da cui ricavo v = 4.

Esercizio: trovare la normale alla curva y = 1x in P = (2, 12) con il metodo di Descartes.

Soluzione:v =

15

8.

2.6.5 Il compasso cartesiano

Interessante è l’invenzione di Descartes di una macchina ideale capace di realizzare dellecurve meccaniche definite da polinomi di grado alto quanto si vuole: il compasso cartesiano.Si tratta di un processo iterativo che, passo dopo passo, costruisce attraverso un movimentomeccanico una curva algebrica la cui equazione ha un grado che aumenta di quattro unitàalla volta.

Potremo considerare YZ fisso. Quando YX coincide con YZ e quindi quando il compasso èchiuso, i punti B, C, D, E, F, G, H coincidono con A. Poi, man mano che lo si apre e siposiziona il regolo BC perpendicolare a YX, BC spinge CD verso Z e in maniera simile CDspinge DE e così via e in questo modo il punto D descrive la curva che si vede tratteggiatae così anche F e H ecc... Si potrebbe dare la dimostrazione di tale procedimento iterativo.La curva iniziale è una circonferenza. Prendiamo un punto P0 variabile su una circonferenzadi centro O e raggio 1. Fissiamo una retta r passante per il centro della circonferenza.

23

Per ogni punto P0 consideriamo la semiretta OP0, la retta P0A1 perpendicolare a OP0 e laretta A1P1 perpendicolare a r. Il luogo dei punti P1 descrive una curva la cui equazione,scegliendo come origine il centro della circonferenza, come asse delle x la retta r e come unitàil raggio della circonferenza, si determina immediatamente: sia x = OA1 e y = A1P1. Per ilTeorema di Pitagora si ha x2 + y2 = OP1

2 ma, per il Teorema di Euclide OP1 ⋅OP0 = OA12

ed, essendo OP0 = 1, si ricava OP1 = x2 e quindi l’equazione della curva è di quarto grado

x2 + y2 = x4.

Iteriamo ora il procedimento.

Per ogni punto P1 di coordinate (a, b) della curva ottenuta, costruiamo la retta OP1, la suaperpendicolare P1A2 e la perpendicolare a r, A2P2. Il luogo descritto da P2 è una nuovacurva la cui equazione si calcola a partire dall’equazione precedente. Sia ora x = OA2 ey = A2P2 ed essendo simili i triangoli OP1A1 e OP2A2 si ha che bx = ay ovvero

bx − ay = 0.

Consideriamo ora il triangolo rettangolo P1A2P2, risulta P1A22 = by per il Teorema di

Euclide e d’altra parte, guardando al triangolo rettangolo OP1A2, P1A22 = x(x − a).

Otteniamo quindiax + by = x2

24

e ricaviamo dalle due equazioni a e b in funzione di x e y:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a = x3

x2+y2

b = x2yx2+y2

Sostituiamo questi valori nell’equazione della curva a2 + b2 = a4. Troviamo così l’equazionedel secondo luogo cioè (x2 + y2)3 = x8 che è di grado 8.In generale le equazioni dei vari luoghi sonox2 + y2 = x4, (x2 + y2)3 = x8, (x2 + y2)5 = x12, (x2 + y2)7 = x16....Ognuna di queste equazioni rappresenta una curva che si può ottenere con uno strumentomeccanico (se pure ideale): il compasso cartesiano!

2.7 Conclusioni

La geometria cartesiana palesò subito i suoi vantaggi, non solo perché consentì uno studiopiù sistematico delle coniche, ma anche perché forniva una chiara definizione delle curvedi ordine superiore. Mentre è possibile agevolmente rappresentarsi in modo intuitivo lecurve corrispondenti a equazioni di secondo grado; per le curve di grado superiore ci sidoveva affidare a metodi più complessi che sfuggono alla nostra capacità di immaginazionee rendono i matematici restii a trattarli come enti geometrici. Con ciò si allargava il campodella geometria e si lasciava il posto a una trattazione organica e unitaria.Riassumiamo i suoi contributi più importanti:

• Introduce cambiamenti significativi nella notazione: Descartes scrive formule mate-matiche leggibili senza sforzo alcuno anche oggi. Usa un simbolo per l’uguaglianza,diverso dall’=, ma non più la scritta latina aequalis; con le prime lettere indicacostanti, con le ultime incognite come è anche oggi. Usa il simbolo di potenza e diradice quadrata. Per lui, come per noi, a2 è un numero e non un’area.

• Usa un sistema di coordinate che noi chiamiamo oblique, quindi non sempre ortogonali,e solo con ascisse e ordinate positive, per cui traccia solo le porzioni delle curve chegiacciono nel primo quadrante. Però sceglie gli assi di riferimento in modo chel’equazione sia il più semplice possibile.

• Associa alle equazioni indeterminate delle curve nel piano ampliando così il concettodi curve ammissibili, sia accettando curve in precedenza rifiutate, sia introducendonealcune completamente nuove.

• Trasforma problemi geometrici in intersezioni di curve quali rette, coniche e altreancora, ma non risolve problemi di intersezione col calcolo algebrico, bensì mediantela costruzione geometrica delle curve.

• Classifica le curve in base al grado dell’equazione, cioè modifica la classificazione deigreci in piane, lineari, solide.

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Nell’esposizione della geometria analitica di Descartes si nota quanto è lontana lamentalità del suo autore dalle considerazioni pratiche che oggi spesso intervengono nell’usodelle coordinate. Egli non stabilì un sistema di coordinate allo scopo di localizzare dei puntinè concepiva le coordinate come coppie di numeri. Era una teoria priva di utilità pratica,come erano state le Coniche di Apollonio. L’uso di coordinate oblique era quasi identicoin entrambi i casi: ciò confermava che la moderna geometria analitica aveva le sue origininell’antichità.

2.7.1 Osservazioni su La Géométrie

La Géométrie non è un libro facile da leggere3. Molte delle oscurità sono volute; infattiDescartes vantava che pochi matematici in Europa avrebbero capito la sua opera. Egliindicava le costruzioni e le dimostrazioni, lasciando ai lettori il compito di completarnei dettagli. Uno dei motivi della propria oscurità è ad esempio il desiderio di non privarei suoi lettori del piacere di ritrovare da soli i risultati. Diceva che non si soffermava a“spiegare minuziosamente” tutte le questioni, solo per lasciare ai posteri la soddisfazione di“apprenderle da sè”. Diceva anche: “Non ho omesso nulla inavvertitamente, ma ho previstoche certe persone che si vantano di conoscere ogni cosa non si sarebbero lasciata sfuggirel’opportunità di dire che io non avevo scritto nulla che essi già non conoscessero qualora mifossi reso sufficientemente intellegibile da permettere loro di capirmi”.

3anche la lingua usata, il francese ne ha impedito l’iniziale diffusione, avvenuta solo dopo il 1649, quandol’opera viene tradotta in latino.

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