Université dOttawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2014-06-05 09:09 1 ANOVA à critères multiples Définition et

Université d’Ottawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées© Antoine Morin et Scott Findlay23-04-11 04:40

1

ANOVA à critères multiplesANOVA à critères multiples

Définition et utilisation

Types d’ANOVA

Plan factoriel et hiérarchique

Modèle général d'une ANOVA à critères multiples

Test d’hypothèses et comparaisons multiples:


2

QuestionsQuestions

• Quel est le principe fondamental de l’ANOVA?• Quand utilise-t-on les comparaisons multiples?• Est-il possible de trouver des différences

significatives entre deux groupes mais que l'ANOVA ne détecte aucune différence? Pourquoi?

• Est-il possible que l’ANOVA détecte des différences entre les groupes mais que ces différences ne soit pas détectées par comparaisons multiples? Pourquoi?


3

Qu’est-ce qu'une ANOVA à critères Qu’est-ce qu'une ANOVA à critères multiples?multiples?

• C'est l'extension d'une ANOVA à un critère de classification. On regarde l'effet de plusieurs facteurs (au lieu de un) indépendants.

• Ex: une ANOVA à deux critères de classification permet de déterminer l'effet de l'addition d'azote (facteur 1) et de phosphore (facteur 2) sur la récolte de maïs.

• Contrairement à l'ANOVA à un critère de classification, on doit tester plusieurs H0

Phosphore

Azote Témoin Bas Élevé

Témoin 2.8 3.0 3.3

Bas 3.6 3.8 4.0

Élevé 4.4 4.5 4.5

Les valeurs représentent des moyennes

N = 5 champs, en tonnes/hectare.


4

Les avantages de l'ANOVA à plusieurs Les avantages de l'ANOVA à plusieurs critères de classificationcritères de classificationI: l'ajustement de I: l'ajustement de ee

• Une seule expérience est nécessaire afin de déterminer l'effet de plusieurs facteurs et ce, sans augmenter e

• Ex: avec un désign à un seul critère, on aurait besoin de trois expériences pour déterminer l'effet de l'azote; une pour chaque concentration de phosphore.

• La probabilité d'accepter H0 pour toutes les expériences est (.95)3 = .86, alors la probabilité de rejeter au moins une H0 qui est vraie est e = .14.

Phosphore


Témoin 2.8 3.0 3.3

Bas 3.6 3.8 4.0

Élevé 4.4 4.5 4.5

Expérience 1

Expérience 2

Expérience 3


5

Les avantages de l'ANOVA à plusieurs Les avantages de l'ANOVA à plusieurs critères de classification critères de classification II: test des interactionsII: test des interactions

• Une seule expérience est nécessaire afin de déterminer si l'effet d'un facteur dépend d'un autre facteur

• Ex: l'ANOVA à un seul critère permet de déterminer l'effet de l'azote pour une certaine concentration de phosphore mais on ne peut déterminer si cet effet varie selon les différentes concentrations de phosphore

Phosphore


Témoin 2.8 3.0 3.3

Bas 3.6 3.8 4.0

Élevé 4.4 4.5 4.5

Expérience 1

Expérience 2

Expérience 3


6

ANOVA à critères multiples de type I : effet de la ANOVA à critères multiples de type I : effet de la température et du pH sur la croissance des température et du pH sur la croissance des truitestruites

• Le pH et la température sont réglés par l'expérimentateur.

• La variable dépendante est le taux de croissance (), les facteurs sont la température et le pH.

• Comme les facteurs sont contrôlés, on peut estimer l'effet de l'accroissement d'une unité de température ou de pH sur

• et prédire pour d'autrestruites

Température (ºC)

16 20 24 280.00

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

Ta

ux

de

cro

iss

anc

e

(cm

/jou

r)pH = 6.5pH = 4.5


7

ANOVA à critères multiples type II: variation ANOVA à critères multiples type II: variation de la taille des de la taille des Norops townsendiNorops townsendi de de l'archipel de Cocosl'archipel de Cocos

• La variable dépendante est la distance entre les narines, les facteurs sont l'île (aléatoire) et l'altitude (aléatoire).

• Même si la taille est différente entre les îles ou l'altitude, on ne peut déterminer quel facteur est responsable de cette variabilité...

• … alors il est impossible de prédire la taille pour une autre île ou une autre altitude. Ile

Cocos Isla ManuelitaDis

tan

ce e

ntr

e le

s n

arin

es (

mm

)

35

40

45

50

55

60

MerMi-altitudePic le plus élevé


8

ANOVA à critères multiples Type III: ANOVA à critères multiples Type III: Variation géographique et des sexes chez Variation géographique et des sexes chez l'ours noirl'ours noir

• La variable dépendante est la taille, les facteurs sont le sexe (fixe) et la localité (aléatoire).

• Même si la masse varie entre les sites, on ne peut dire quel facteur est responsable de cette variabilité.

• Alors, on ne peut prédire la taille des ours de chaque sexe pour d'autres localités...

• …mais on peut prédire (peut-être) la différence entre les sexes.

Ma

ss

e (k

g)

120

160

200

240

280

RidingMountain

Kluane Algonquin

mâlesfemelles


9

Les facteurs fixes versus les facteurs Les facteurs fixes versus les facteurs aléatoires pour l'ANOVAaléatoires pour l'ANOVA

Facteur fixe Facteuraléatoire

Manipulation parl’expérimentateur?

Oui Non

Estimation de l’effet destraitements?

Oui Non

Prédiction? Oui Non Calcul de l’ANOVA à un

critère de classificationIdentique

Calcul de l’ANOVA àplusieurs critères declassification

Différent (très!)


10

Types d'ANOVA à plusieurs critères de Types d'ANOVA à plusieurs critères de classification I: plan factorielclassification I: plan factoriel

• Les niveaux de chacun des facteurs sont communs à tous les niveaux de tous les autres facteurs.

• Ex: effet de l'âge (facteur 1) et du sexe (facteur 2) sur la taille des lézards.

Sexe

Age Femelle Mâle

Juvénile

Adulte

Observation


11

Type II: plan hiérarchiqueType II: plan hiérarchique

• Un des facteurs est aléatoire, les autres peuvent être de type I ou II.

• Ex: effet de l'île (A, B) sur la taille des lézards. On a deux sites (aléatoire) pour chaque île.

Île

A B

Site 1 Site 2 Site 1 Site 2

Observation


12

Île

A B


Types d'ANOVA III: plan équilibré Types d'ANOVA III: plan équilibré versus plan non-équilibréversus plan non-équilibré

Observation ÉquilibréNon-équilibré

Île

A B


Île

A B



13

Types d'ANOVA IV: plan avec Types d'ANOVA IV: plan avec réplication versus sans réplicationréplication versus sans réplication

Mesures de température Sans réplicationAvec réplication

Season

Prof.(m)

Print. Été Automne

1

2

5

10

Saison

Prof.(m)

Print. Été Automne

1

2

5

10


14

Le choix d'un design/typeLe choix d'un design/type

• Type I, II ou III• Plan factoriel vs hiérarchique• Plan équilibré vs non-équilibré• Plan avec réplication vs sans réplication• Note: les calculs sont différents selon le plan

choisi, assurez vous de choisir le bon!


15

Modèle général d’une ANOVA Modèle général d’une ANOVA à critères multiplesà critères multiples

• Le modèle général d'une ANOVA à deux critères de classification:

• L ’ANOVA ajuste le modèle ci-dessus (par les moindres carrés) afin d'estimer i, j et ()ij

• H01: tous les i = 0

H02: tous les j = 0

H03: (ij = 0

• pour les effets aléatoires, remplacer i, j par Ai, Bj

• Pour une ANOVA à trois facteurs, le modèle est:

ijk i j

ij ijk

Y

( )ijkl i j

k ij ik

jk ijk ijkl

Y

( ) ( )

( ) ( )


16

Le modèle à deux facteurs: effets du Le modèle à deux facteurs: effets du sexe et de l’âge sur la taille des lézardssexe et de l’âge sur la taille des lézards

ijk i j ij ijkY ( )T

aill

e

Femelles, jeunes

Mâles, jeunes

Femelles, adultes

Mâles, adultes


17


ijkY

Tai

lle

Femelles, adultesFemelles, jeunes

Mâles, jeunesMâles, adultes


18


ijk iY T

aill

e

Femelles, jeunes

Mâles, jeunes

Femelles, adultes

Mâles, adultes


19


ijk i jY T

aill

e

Femelles, jeunes

Mâles, jeunes

Femelles, adultes

Mâles, adultes


20


ijk i j ijY ( )T

aill

e

Femelles, jeunes

Mâles, jeunes

Femelles, adultes

Mâles, adultes


21


ijk i j ij ijkY ( )T

aill

e

Femelles, jeunes

Mâles, jeunes

Femelles, adultes

Mâles, adultes


22

Épreuves d'hypothèses en ANOVA à Épreuves d'hypothèses en ANOVA à critères multiplescritères multiples

• On procède de la même façon qu’avec l'ANOVA à un critère de classification: on répartit la somme des carrés totale en somme des carrés partielles associées à chacun des facteurs et aux interactions.


23

Tableau d'ANOVA à un critère de Tableau d'ANOVA à un critère de classificationclassification

Source devariabilité

Somme des carrés

CarréMoyen

Degrés deliberté

F

Totale

Erreur

n - 1

n - k

SC/dl

SC/dl

Groupes k - 1 SC/dlCMgroupes

CMerreur

i 1

k

ijj 1

n2(Y Y)

i

i ii

k

n Y Y( )

1

2

i 1

k

ij 1

n2(Y Yi)

i

j


24

Source devariabilité

Somme des carrés

Carrémoyen

Degrés de liberté

F

Totale

Erreur

abn- 1

ab(n-1)

A a - 1

b - 1B

(a-1)(b-1)

Y Yijkk

n

j

b

i

a

c h2

111

nb Y Yii

a

b g2

1

na Y Yjj

b

c h2

1

n Y Y Y Yij i jj

b

i

a

c h2

11

Y Yijk ijk

n

j

b

i

a

c h2

111

Interaction

CMA /CMESCA /dl

SCT /dl

SCB /dl

SCI /dl

CMB /CME

CMI /CME


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Épreuves d'hypothèses en ANOVA Épreuves d'hypothèses en ANOVA factorielle à deux critères de factorielle à deux critères de classificationclassification

• H01: l'âge n'a aucun effet sur la taille: tous les i = 0

• H02: le sexe n'a aucun effet sur la taille: tous les j = 0

• H03: Les effet de l'âge et du sexe sont indépendants (pas d'interaction) : ()ij = 0

Sexe

Âge Mâle Femelle

Jeune

Adulteijk i j

ij ijk

Y

( )


26

Résultats possibles d'une ANOVA à Résultats possibles d'une ANOVA à deux critères de classificationdeux critères de classification

• Décision: accepter toutes les H0.

• Inférence: la taille n’est pas influencée par l'âge ou le sexe. T

aill

e

Jeune Adulte

Mâle

Femelle


27


• Décision: rejeter H01, accepter les autres H0.

• Inférence: la taille des lézards dépend de l’âge mais n’est pas influencée par le sexe.

Tai

lle

Jeune Adulte

Mâle

Femelle


28


• Décision: rejeter H02, accepter les autres H0.

• Inférence: la taille des lézards dépend du sexe mais pas de l'âge. T

aill

e

Jeune Adulte

Mâle

Femelle


29

Résultats possibles d’une ANOVA à Résultats possibles d’une ANOVA à deux critères de classificationdeux critères de classification

• Décision: rejeter toutes les H0.

• Inférence: taille des lézards est influencée par l’âge et le sexe, mais l’effet de l’âge varie d’un sexe à l’autre (ou l’effet du sexe varie selon l’âge).

Tai

lle

Jeune Adulte

Mâle

Femelle


30


• Décision: rejeter H03, accepter les autres H0 .

• Inférence: il y a un effet du sexe, mais il dépend de l’âge (ou vice versa) T

aill

e

Jeune Adulte

Mâle

Femelle


31


• Décision: rejeter H02 et H03, accepter H01

• Inférence: il y a un effet du sexe mais ça dépend de l’âge T

aill

e

Jeune Adulte

Mâle

Female


32


• Aucun effet des facteurs• effet du sexe seulement• effet de l’âge seulement• effet du sexe et de l’âge, sans interaction• effet du sexe et de l’interaction, pas d’effet de l’âge• effet de l’âge et de l’interaction, pas d’effet du sexe• effet du sexe, de l’âge et de l’interaction• effet de l’interaction mais pas d’effet du sexe ou de

l’âge


33

Test de signification pour l’ANOVA à Test de signification pour l’ANOVA à deux critères de classification: Plan deux critères de classification: Plan factoriel, modèle Ifactoriel, modèle I

• test CMeffet sur CMerreur

• Comparer les valeurs de F aux valeurs critiques aux degrés de liberté correspondants

Tableau d’ANOVA

Effet SC dl CM F p

Total SCT dlT CMT

Facteur 1

SC1 dlf1 CM1 CM1/CME ?

Facteur2

SC2 dl2 CM2 CM2/ CME ?

1 X 2 SC1X2 dl1X2 CM1X2 CM1X2/ CME ?

Erreur SCE dlE CME


34

Test de signification pour l’ANOVA à Test de signification pour l’ANOVA à deux critères de classification: Plan deux critères de classification: Plan factoriel, modèle II, III factoriel, modèle II, III

• Tester CMinteraction

sur CMerreur

• Si on rejette H0interaction , tester CMeffet sur CMinteraction

Tableau d’ANOVA

Effet SC dl CM F p

Total SCT dlT CMT

Facteur 1

SC1 dl1 CM1 CM1/ CM1X2 ?

Facteur2

SC2 dl2 CM2 CM2/ CM1X2 ?


Erreur SCE dlE CME


35

Test de signification pour l’ANOVA à Test de signification pour l’ANOVA à deux critères de classification: Plan deux critères de classification: Plan factoriel, modèle II, IIIfactoriel, modèle II, III

• Tester CMinteraction

sur CMerreur

• Si H0interaction est acceptée, alors tester soit: (1) CMeffet sur CMinteraction ou (2) combiner CMerreur et CMinteraction afin d’obtenir CME

combiné, et augmenter le nombre de dl.

Tableau d’ANOVA

Effet SC dl CM F p

Total SCT dlT CMT

Facteur 1

SC1 dl1 CM1 CM1/ CME’ ?

Facteur2

SC2 dl2 CM2 CM2/ CME’ ?


Erreur SCE dlE CME


36

Note importanteNote importante

• En présence d’interaction, on peut remettre en question la pertinence de tester l’effet des facteurs principaux

• Cette décision dépend des hypothèses biologiques testées, PAS des résultats statistiques!


37

Exemple: effet du sexe et du site sur la Exemple: effet du sexe et du site sur la taille des esturgeonstaille des esturgeons

Note: Le test de F assume (incorrectement) une ANOVA de type I!

Type III Sum of Squares Df Sum of Sq Mean Sq F Value Pr(F) SEX 1 1745.36 1745.358 17.72204 0.0000405 LOCATION 1 8.78 8.778 0.08913 0.7656296SEX:LOCATION 1 48.69 48.692 0.49441 0.4828844 Residuals 178 17530.36 98.485


38

Comparaisons multiples: plan factorielComparaisons multiples: plan factoriel• En présence

d’interaction, il faut comparer les moyennes entre les niveaux d’un facteur (ex: A) pour chaque niveau de l'autre facteur (ex: B)

• Ex: pour une ANOVA à 2 critères de classification. Chacun des facteurs a trois niveaux, donc 9 comparaisons possibles

Facteur B

FacteurA

Niveau1

Niveau2

Niveau3

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

11X

21X 22X 23X

31X 32X 33X

12X 13X


39

Comparaisons multiples: plan factorielComparaisons multiples: plan factoriel

• S’il n’y a pas d'interaction significative, on compare les moyennes de chaque niveau d’un facteur (A) en regroupant les données de chaque niveau de l’autre facteur (B)

• Ex: comparer les moyennes de B regroupées au facteur A (3 comparaisons possibles).

Facteur B

FacteurA

Niveau1

Niveau2

Niveau3

Niveau 1

Niveau 2

Niveau 3

Moyennedes

colonnes

11X

21X

31X

22X

32X

12X

23X

33X

13X

1X 2X 3X


40

AA Aa aa

GENOTYPE

30

40

50

60

SU

RV

IVA

LAA Aa aa

GENOTYPE

30

40

50

60

SU

RV

IVA

L

ANOVA hiérarchique: effets du génotype sur ANOVA hiérarchique: effets du génotype sur la résistance à la déshydratation chez les la résistance à la déshydratation chez les mouches à fruitsmouches à fruits

• 3 génotypes (groupes, facteur fixe).

• 3 chambres par groupe (sous-groupes, facteur aléatoire).

• 5 larves par chambres, la survie (en heures) est la variable dépendante.


41

Test de signification de l'ANOVA à Test de signification de l'ANOVA à deux critères de classification: Modèle deux critères de classification: Modèle II, III, plan hiérarchiqueII, III, plan hiérarchique

• Tester CMsous-

groupes sur CMerreur

• tester CMgroupes

sur CMsous-groupes

• Note: Il n’y a que deux hypothèses à tester pour une ANOVA hiérarchique (versus trois pour le plan factoriel)

Tableau d’ANOVA

Effet SC dl CM F p

Total SCT dlT CMT

Facteur 1(sous-groupes)

SC1 dl1 CM1 CM1/ CME ?

Facteur2 (groupes)

SC2 dl2 CM2 CM2/ CM1 ?

Erreur SCE dlE CME


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Test de signification de l'ANOVA à Test de signification de l'ANOVA à deux critères de classification: Modèle deux critères de classification: Modèle II, III, plan hiérarchiqueII, III, plan hiérarchique

Type III Sum of Squares Df Sum of Sq Mean Sq F Value Pr(F)

GENOTYPE 2 2952.220 1476.110 292.6081 0.0000000CHAMBER %in% GENOTYPE

6 40.655 6.776 1.3432 0.2638893Residuals 36 181.608 5.045


43

Comparaisons multiples: plan Comparaisons multiples: plan hiérarchiquehiérarchique

• Si on accepte H0sous-groupes, on compare les groupes en regroupant les sous-groupes

• Si on rejette H0sous-groupes, attention!

• Ex: si un facteur A (sous-groupes) n’est pas significatif, on compare les données regroupées (sous-groupes), les moyennes des groupes (3 comparaisons possibles).

Facteur B (groupes)

Facteur A(sous-groupes)

Niveau1

Niveau2

Niveau3

1

2

3

Moyenne dugroupe

11X

21X

31X

22X

32X

12X

23X

33X

13X

1X 2X 3X


44

ANOVA sans réplicationANOVA sans réplication

• Chaque cellule n'a qu'une observation, il est impossible de calculer la CM ( CMerreur pour l'ANOVA avec réplication)

• Alors CMinteraction devient CMerreur

• Alors il n’y a aucune façon de tester la présence d’interaction: les inférences statistiques sont basées sur l’hypothèse qu’il n’y a pas d’interaction (ce qui peut ne pas être valide).

Observation

Season

Depth(m)

Spring Summer Fall

1

2

5

10

Documents

Université dOttawa - Bio 4518 - Biostatistiques appliquées © Antoine Morin et Scott Findlay 2014-06-05 09:09 1 ANOVA à critères multiples Définition et