Upload
lequynh
View
232
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA
PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALUI KAEDAH
TRANSFORMASI
SHARIFAH KARTINI BINTI SAID HUSAIN
FSAS 2000 3
PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALUI KAEDAH
TRANSFORMASI
SHARIFAH KARTINI BINTI SAID IillSAIN
MASTER SAINS UNIVERSm PlITRA MALAYSIA
2000
PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALUI KAEDAH
TRANSFORMASI
Oleh
SHARIFAH KARTINI DINTI SAID IIDSAIN
Tesls Yang Dikemukakan Sebagal Memenuhl Keperluan Untuk IJazah Master Sains
di FakulU Sains dan Pengajlan Alam Sekltar Universiti Putra Malaysia
September 2000
DEDlKASI
Teristimewa buat
Ibuku, Tuan Nong binti Syed Abdullah
abang-abang, kakak-kakak
dan anak -anak saudara
dan dihadiahkan kepada
Syed Ahmad Thani bin Tuan Hadi
dan Sharifah Maisara
ii
Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan \Ultuk ijazah Master Sains.
PENGANGGARAN KEKARDINALAN BAGI SET PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN KONGRUEN MELALll KAEDAH
TRANSFORMASI
Oleh
SHARIFAH KARTINI BINTI SAID HUSAIN
SEPTEMBER 2000
Pengerusi: Dr. Hj. Ismail bin AbduUah
Fakulti: Sains dan Pengajlan Alam Sekltar
Penganggaran kekardinalan bagi set penyelesaian bagi persamaan kongruen
modulo suatu kuasa perdana p yang diselrutukan dengan suatu poJinomial lruartik
berbentuk
daJam Zp[x,y] ditentukan dengan menggunakan kaedah transfonnasi
.Kaedah ini digwtakan apabila berlalru beberapa kes atau keadaan polino�
iaitu:
1. Polinomial atau sepasang polinomial tak linear.
2. Polinomial atau sepasang polinomial berdatjah tinggi, biasanya lebih
darlpada 3.
3. Wujud pertindihan tembereng pada gambarajah petunjuk bagi sepasang
polinonrlal yang diselrutukwL
ill
Kaedah ini meliputi satu algoritma yang melibatkan penurunan polinomial
daripada dua pembolehubah kepada satu pembolehubah sahaja. Seterusnya
daripada polinomial barn yang diperolehi kita kembali kepada pemaharnan
poligon Newton untuk mendapatkan pensifar sepunya bagi polinomial-polinomial
tersebut. Kemudian faktor penentu 0 bagi anggaran di atas diperolehi
Maldumat ini kemudiannya digunakan untuk memperolehi anggaran kekardinalan
di atas.
iv
Abstract of thesis presented to the Senate ofUniversiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science.
ON THE ESTIMATE CARDINALI1Y OF TIlE SET OF SOLUTIONS TO CONGRUENCE EQUATION BY TRANSFORMATION METIIOD.
By
SHARIFAH KARTINI BINTI SAID HUSAIN
SEPTEMBER 2000
Chairman: Dr. Hj. Ismail bin AbduUah
Faculty: Science and Environmental Studies
The estimation of the cardinality of the set of solutions to congruence equation
modulo a prime power p which is associated with the quartic polynomial of the
fonn
/(x,y)= ax4 + bx1y+ cxZyZ +dxyl +ey4 + mx+ �+k
in Zp[x,y] is detennined by means oftransfonnation method.
This method is utilized in certain cases or in any polynomial circumstances, that is:
1. Polynomial or a pair of non-linear polynomials.
2. Polynomial or a pair of high degree polynomials, nonnaUy exceeding 3.
3. The existence of intersection of coinciding segments in the indicator diagram
of a pair of associated polynomials.
v
This method covers an algorithm, which involves polynomial reduction from two
variables to a single variable. Consequently, from the new polynomial obtained,
we return to Newton polygon in order to set common zeros for the polynomials
stated. Then, the estimation of determinant factor 8 is obtained. This
information is later used to obtain the estimate of this cardinality.
PENGHARGAAN
Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Penyayang!
Kesyukuran yang tidak tedUngga dirafakkan ke hadrat Dahi kerana
memberi peluang masa, usia dan ilmu untuk menyiapkan tesis ini.
Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi
Jawatankuasa Penyeliaan iaitu Dr. Hj. Ismail bin Abdullah alas segala
kesabaran, bantuan, dorongan dan bimbingan beliau selama dua tahun
yang amat bennakna.
Ribuan terima kasih juga disampaikan kepada Timbalan Naib
Canselor (Akademik), Profesor Dr. Kamel Ariffm bin Mohd. Alan dan
kepada Dr. Mohamad Rushdan bin Md. Said kerana dorongan dan
nmjukajar yang telah mereka curahkan.
Penghargaan yang sungguh berarti buat mereka sebagai pendidik
yang sentiasa bersedia mencurahkan ilmu kepada insan-insan yang
dahagakan pengetahuan. Saya abadikan jasa baik mereka dalam ungkapan
<Ii bawah:
Dia tempat berdiri tiang negara dari keringat titisan ilmunya mencurah menjadi benih dalam diri boo.
vii
Akhir sekali saya ingin mengucapkan ribuan terima kasih kepada
keJuarga, terutama suami yang memahami, dan rakan-rakan yang tidak
jemu memberi galakan dan semangat sebingga penulisan ini dapat
disempwnakan.
viii
Saya mengesahkan bahawa Lembaga Pemeriksa telah mengadakan peperiksaan akhir pada 30 September 2000 bagi Sharifah Kartini binti Said Husain mengenai tesis Master Sains yang bertajuk "Penganggaran Ke1cardinalan Bagi Set Penyelesaian Sistem Persamaan Kongruen melalui K.aedah Transfonnasi" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia (ljazah Lanjutan) 1980 dan Peraturan-Peraturan Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah Lanjutan) 1981. Lembaga Pemeriksa memperakukan bahawa calon ini dianugerahkan ijazah tersebut. Abli-ahli Lembaga Pemeriksa ca10n adalah seperti berikut:
IU. HARUN BIN BUDIN, Ph.D, Profesor Madya, Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar, Universiti Putta Malaysia. (Pengerusi)
HJ. ISMAIL BIN ABDlJ:aAH, Ph.D, Pensyarah, Fakulti Sains Komputer dan Teknologi Maklwnat, Universiti Putta Malaysia. (pemeriksa)
KAMEL ARIFF1N BIN MOlID. ATAN, Ph.D, Profesor, F akulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar, Universiti Putra Malaysia. (Pemeriksa)
MOHAMAD RUSlIDAN BIN MD. SAID, Ph.D, Pensyarah, Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar, Universiti Putra Malaysia. (pemeriksa)
G ALI MOlIA YIDIN, Ph.D, ffimbalan Dekan Pusat Pengajian Siswazah,
Universiti Putra Malaysia.
Tarikh: 0 4 0 [C 2000
ix
Tesis ini telah diserahkan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi syarat keperluan untuk ijazah Master Sains.
. �L� KAMIS AW ANG, Ph.D, Profesor Madya, Dekan Pusat Pengajian Siswazah, Universiti Putra Malaysia.
Tarikh: 1 1 JAN ZOOl
x
PENGAKUAN
Saya dengan ini mengakui bahawa tesis ini adalah berdasarkan kerja saya yang asli kecuali petikan yang telah dinyatakan sumbemya. Saya juga mengakui bahawa ia tidak pernah dihantar kepada mana-mana institusi di UPM atau di tempat lain.
SHARIFAH BINTI SAID lIDSAIN
Tarikh: 25 Mei 2000
xi
KANDUNGAN
MUKASURAT
DEDIKASI ii iii ABSTRAK
ABSTRACT PENGHARGAAN LEMBARAN PENGESAHAN PENYATAAN KEASLIAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH
v vii ix xi xiv xv xix SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
BAB
I PENGENALAN 1 Tatatanda dan Takrifan 1 Latar Belakang 4 Ringkasan Keputusan 12
II POLINOMIAL, MEDAN p-ADIC DAN POLIGON NEWfON 21 PolinonUal 21
Gelanggang Polinomial 21 Pensifar Polinornial 26 Pembezalayan 30
Medan p-adic 31 Poligon Newton 37
III POLllIEDRON NEWfON, GAMBARAJAH PETUNJUK DAN PERSILANGAN GAMBARAJAH PETUNJUK 45 Polihedron Newton 45
Nonnal kepada Poliliedron Newton 55 Uqjuran Polihedron Newton 57
Gambarajah Petunjuk 59 Persilangan Gambarajah Petunjuk 66 Jenis Persilangan Gambarajah Pettmjuk 67
Persilangan Mudah 67
xii
IV
V
Persilangan Pada Bucu 70 Persilangan Tembereng Selati 73 PersiJangan Sepenuh 76
PERINGKAT p-ADIC BAGI PENSIFAR SEPUNYA 79 Pensifar Sepunya 79 Peringkat p-adic bagi Pensifar Suatu Polinomial 81 Pensifar Sepunya dan Persilangan Gambarajah Petunjuk 84
mANSFORMASI 94 Pengenalan 94 Transfonnasi 96
I.angkah-langkah Transformasi 1 13
VI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN
KONGRUEN 147 Hasil Tambah Eksponen 147 Penganggaran bagi NVx,f"pa) 151 Penganggaran bagi Hasil Tambah Eksponen Berganda 155
VII KESIMPULAN DAN CADANGAN 161 Penemuan Utama 161 Kesimpulan 164 Cadangan 165
BmLIOGRAFI 167
LAMPIRAN 170
VITA 206
xiii
Jadual
1.
SENARAI JADUAL
Jumlah permukaan tertinggi yang terbentuk daripada sesuatu polinomial.
XlV
MukaSurat
51
SENARAI RAJAH
Rajah Mub Surat
1. Poligon Newton bagi
f(x)= 2X2 - 7x- 30 dengan p == 2. 39
2. Poligon Newton bagi
f{x) = 2x3 - x2 - X - 36 dengan p == 2. 40
3. Poligon Newton bagi
f{x) = X4 - 4/3r - 26/3x2 + 12x - 9 dengan p == 3. 40
4. Gambarajah Newton bagi
f{x,y)= 2x2 + 3.l)' - yZ + 8 dengan P == 2. 46
5. Gambarajah Newton bagi
f{x,y) = 9x2 + 2.l)' + 9.l)'2 + 27 deogan p == 3. 46
6. Gatnbarajah Newton bagi f{x,y)= lOOx3 + 45x2y + 20.l)'2 + 75y3 + 125 dengan p == 5. 47
7. Polihedron Newton bagi f(x,y) = 12+5x+7.l)' dengan p==3. 48
8. Polihedron Newton bagi f(x,y)= 4x2 + 4.l)'2 + y2 - 9 dengan p = 3. 49
9. Polihedron Newton bagi.
f(x,y) = 9x2 +.l)' + 3y2 + 27 dengan p = 3. 49
10. Polihedron Newton bagi
/(x,y) = l00x3 + 45x2y + 20.l)'2 + 75yl + 125 dengan p == 5. SO
11. Polihedron Newton bagi
f(x, y) = 2X2 + 6.l)' + 12y2 + 6 dengan P = 2. 50
12. Unjuran Lf yang bersekutu dengan Nf bagi
f(x,y)= 12+ 5x + 7.l)' dengan p = 2 58
xv
13. UJ\juran Lf yang bersekutu dengan Nf bagi
/(x, y ) =:: 4x2 + 4xi'-+ y2 - 9 dengan p = 3. 58
14. Unjuran Lf yang bersekutu dengan N f bagi
/(x,y)= l00x3 + 45x2y+ 2009'2 + 75yl +125 dengan p = 5. 59
15. Gambarajah petunjuk yan) bersekutu dengan polinomial /(x,y = 12+ Sx+ 7xy dengan p = 3. 62
16. Gambarajah petunjuk yang bersekutu dengan polinomial /(x,y) = 4x2 + 4xy2 + y2 - 9 dengan p = 3. 62
17. Gambarajab petlu\juk yang bersekutu dengan polinomial /(x,y) = 9x2 + xy + 3y2 + 27 dengan p=3. 63
18. Gambarajah petunjuk yang bersekutu dengan polinomial /(x,y)= l00x1 + 45x2y+ 20xy2 + 75y3 + 125 dengan p = 5. 63
19. Gambarajah petunjuk yang bersekutu dengan polinomial /(x,y) = 2x2 + 6xy+ 12y2 + 6 dengan p= 2 64
20. Gambarajah petunjuk bagi /(x,y)= 4x +3y +l dan g(x,y)= x+14y+6 dengan p =3. 68
21. Gambarajah petunjuk bagi /(x,y) = 3x2 + 4xy + 5 dan
g(x,y)= 2x2 +3y2 +3 dengan P = 3. 69
22. Gambarajah petmjuk bagi /(x,y)= 3x+ 2y+ 5 dan g(x, y) = 409' + 2 dengan p = 2. 71
xvi
23. Gambarajah petUl\iuk bagi f(x.y)= 3x+2y+5 dan g(x,y)= x+ 4xy+ 2 dengan p = 2. 72
24. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y) = 15x2 + 4xy+ 3 dan
g(x,y) = 2X2 + 3y2 + 4 dengan p = 5. 72
25. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 3x+ y+ 15 dan g(x,y) = 2x+ 3y+ 1 dengan p = 3. 73
26. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 3x+9y2 - l dan
g(x,y)= x+9y+ 3 dengan p = 3. 14
21. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 4x2+ y+8 dan
g(x,y) = 4x2 + 3y - 2 dengan p = 2. 75
28. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 20x3 +9x2y+ 4xy2 + 15y3 + 25 dan g(x,y)= 3x3 + 4x2y + 45xy2 + 4y3 + 50 dengan p= 5. 16
29. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 12+5x+1xy dan
g(x,y) = 9 + 2x2 + 5x2y2 dengan p = 3. 77
30. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 3x+ 2y+ 5 dan g(x,y)= 3x+ 5y+l dengan p = 3. 78
31. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 1+ 2x+ 5y dan g(x,y) = 2+ 5x+ 3y dengan p = 5. 85
32. Gambarajah petunjuk bagi f(x,y)= 3x+ y-15 dan g(x,y) = x+ y-9 dengan p =3. 86
xvii
33. Gambarajah petunjuk bagi /(x,y)= 5x+ 5y- 4 dan
g(x,y)= 3x+ 3y-8 dengan p = 3. 88
34. Gambarajah petwljuk bagi f(x,y)=7x+ 49y z-6 dan g(x,y)= 5x + 7y+ 6 dengan p = 7. 91
35. Gambarajah petwljuk bagi /(x,y)=x+ 2y+ 2 dan g(x,y)=2x+ 4y + 3 dengan p= 2. 92
36. Gambarajah petunjuk bagi /(x,y)= 2+ 4x+ 6y dan
g(x,y)=5+2x+ 3y dengan p = 3. 93
37. Perubahan gambarajah petunjuk bagi g dan h. 98
38. Gambarajah petunjuk bagi F(U,V) dan a(u,v). 104
39. Gambarajah petunjuk bagi F(U,V) dan a(u,v) . 112
40. Gambarajah petunjuk bagi F(U, V) = 3U1 + 2uoU + Fo dan G{u ,v) = 3V1 + 2voV + Go denganp = 2. 117
41. Polihedron Newton bagi /(x,y)= 12xz + 4xy + yZ + 27 dengan p = 3. 120
42. Polihedron Newton bagi g(x,y) == 2xz + 2xy + 9 dengan p = 3. 120
43. Gambarajah petunjuk bagi /(x,y)= 12xz + 4xy + yZ + 27 dan
g(x,y) = 2xz + 2xy + 9 dengan p = 3. 121
44. Gambarajah petunjuk bagi F(U,V)=Ul+ 2�U+ Fo dan
G{U, V) == Vl + 2voV + Go dengan p = 3. 126
xviii
p
a
[a]
(a,b)
x
SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN
Nombor Perdana
Eksponen Nombor Perdana
Gelanggang futeger
Medan Nombor Nisbah
Medan Nombor Nyata
Medan Nombor Kompleks
Gelanggang Integer p-adic
Medan Nombor Nisbah p-adic
Tutupan Aljabar bagi Qp
Pelengkap bagi Qp
Integer Telbesar yang lebih kecil atau sarna dengan a
Pembahagi SepWlya Terbesar bagi a dan b
n-Rangkap Pembolebubah (�, ... ,xn)
Gelanggang atau Medan
Gelanggang Polinomial dengan Pekali dalam F
m-Rangkap Polinomial (It, . .. , 11ft)' m > 1
DaJjab bagi Polinomial I
Matriks Jacobian bagi I
Kuasa Tertinggi bagi p yang membabagi a
xix
VI Kecerunan bagi f
D Pembezalayan
D([) Pembezalayan bagi f
Nf Polihedron Newton bagif
V Bucupada Nf
E Sisi pada Nf
Lf Unjuran sisi bagi Nf
11 Pembezalayan
maks Maksimum
mm Minimum
mod Modulo
eksp Eksponen
lip Penilaian terhadap p
L Hasil Tambah
IT HasilDarab
S{f;q) Hasil Tambah Eksponen
V([;pa) Set { � mod pa : f == Qmod pa }
N([;pa) Kekardinalan bagi V([;pa )
xx
BABI
PENDAHULUAN
Tatatanda dan Takrifan
Lazirnnya, kita tandakan Z sebagai gelanggang integer, Q sebagai medan
nombor nisbah, m.anakala R dan C masing-masing sebagai medan nombor nyata
dan medan nombor kompleks. Dengan p sentiasa menandakan nombor perdana,
Qp pula mewakili medan nombor p-adic dan Z p gelanggang integer p-adic
sementara Op ialah suatu perluasan medan aljabar bagi Qp.
Huruf kecil Roman mewakili Wlsur-Wlsur dalam Z atau Z p ' Huruf Greek
a adalah sentiasa eksponen bagi suatu nombor perdana p. Simbol [ ]
menandakan fungsi integer terbesar. flk.a aE R, maka [a] alcan bennakna
integer terbesar yang lebih kecil atau sarna dengan a. Tatatanda (a,b)
menandakan pembahagi sepunya terbesar bagi a dan b, kecuali pada masa-masa
tertentu yang penggunaannya jelas merujuk kepada pasangan tertib.
Tatatanda � menyatakan n-rangkap pembolehubah (Xi, ... ,XJ , dengan
n � 1 dan F mewakili gelanggang atau medan, F�] bennakna gelanggang
2
polinomial dengan pekaJi dalam F. Datam penyeJidikan ini F akan merujuk sarna
ada kepada Z atau Qp atau peluasan medan bagi Qp'
Andaikan f = L O'i .. • Oi.X.it ••• x: suatu polinomial dalamF�]. Darjah
bagi / ditakrifkan sebagai
cbjb /= ��(�+ ... + i,.). It 000'"
Simbol f bennakna m-rangkap polinomial (It, . . . ,/",), dengan m � 1 di
dalam Fl!l dan J £ iaIah matriks Jacobian [� J. 1,,; i ,,; m, 1 ,,; j ,,; n bagi
poJinomial /. Aodaikan f:::: (I., . .. /.) ialah m-rangkap polinomial linear di
lou J, dengan julat yang sarna bagi i dan j sebagai matriks yang mewakili
polinomial f.
Misalkan p sebarang nombor perdana. Bagi sebarang nombor integer talc
8ifar a, ordp ° menyatakan Jruasa tertinggi bagi p yang membahagi a, iaitu a
yang terbesar sedemikian hingga a:; o{mod p a ).
Ttka x = alb ialah sebarang nombor nisbah, maka ordp x ditakrltkan
sebagai ordp x = ordp a - ordp b (Suatu sifat Logaritma).
3
Kita mentakrif'kan suatu pemetaan yang ditandakan dengan lip pads Q
sebagai berikut :
I x I == p o jikax=O
Boleh diperlihatkan bahawa pemetaan lip seperti yang ditakrifkan di atas adalah
penilaian tak-arkhimedes pada Q (KobHtz 1977).
Suatu jujukan �} yang terdiri dari nombor nisbah disebut sebagai
jujukan Cauchy jika untuk suatu nombor � > 0, terdapat suatu N sedemildan
hingga I al - a; Ip < � untuk i, i > N. Dua jujukan Cauchy {al} dan {bl}
dikatakan setara jika
had I QI - blip == O. I�'"
Kita takrifkan medan Qp sebagai set kelas kesetaraan jujukan Cauchy
daIam Q, iaitu Qp ialah pelengkap bagi Q terlladap peni1aian lip . Kita tandakan
dengan Qp sebagai tutupan bagi Qp dan Op sebagai pelengkap bagi Qp terhadap
Dengan menggunakan takrifan di atas, kita dapat menyatakan takrif bagi
poligon Newton bagi suatu polinomial dengan pekali dalam medan p-adic seperti
yang diberikan oleh Koblitz pada tahun 1977 sebagai berikut :