1

Univerza v Ljubljani – FS & FKKT

Varnost v strojništvu

doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• boris.jerman@fs.uni-lj.si, (Tema/Subject: VDPN - ...)

Prosojnice izdelane po viru: Stropnik Jože, Šterk Peter, Juhart Karli: Statika: učbenik za mehaniko

Uvod

Mehanika kot veja fizike spada med naravoslovne vede. Proučuje spreminjanje stanja (oblika in hitrost) snovi. Snov je lahko trdnina ali tekočina (kapljevine in plini).

Zgodovina. Z mehaniko kot vedo so se začeli ukvarjati stari Grki kot sta Aristotel (348-322 p.n.š.) in Arhimed (287-212 p.n.š.). Arhimed je prvi omenil statiko, obdelal pa je tudi vzgon. Pripisujejo mu tudi iznajdbo škripčevja, vijaka itd.

Italijanski fizik Galileo Galilei (1564-1642) je med drugim raziskoval napake pri nekaterih konstrukcijah

2

Uvod

Robert Hook (1635-1703) je zapisal povezavo med silo in deformacijo v proporcionalnem področju (Hookov zakon).

Angleški fizik Sir Isac Nevton (1643-1727) je prispeval največ k razvoju klasične mehanike. Prvi je zapisal osnovne zakone mehanike. Ti zakoni veljajo brez omejitve za telesa, večja od mikrodelcev in za hitrosti, dovolj manjše od svetlobe.Vpeljal je infinitezimalni račun (limite, diferenciali, integrali, vrste).

Vir: http://sl.wikipedia.org/wiki/Slika:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg

Uvod

Bernoulli (1667-1748) je med drugim razvil princip virtualnega dela.

Euler (1707-1783) se je med drugim ukvarjal z uklonom nosilcev.

Albert Einstein (1879-1955) je vpeljal relativno mehaniko, ki obravnava gibanje teles blizu svetlobni hitrosti (300.000 km/s).

Max Planck (1858-1947) ima največ zaslug za utemeljitev kvantne mehanike, ki pojasnjuje gibanje atomov.

3

Uvod

Mehaniko delimo na:• teoretično ali racionalno (se ukvarja z raziskavami,

utemeljevanjem in nadaljnjim razvijanjem vede);• uporabno ali tehnično (uporablja izsledke teoretične mehanike

za reševanje problemov tehniške prakse.

Tehniško mehaniko glede na karakteristiko teles delimo na:• mehaniko trdnih teles (mehanika delcev, togih teles,

deformabilnih (elastičnih, plastičnih) teles);• mehanika tekočin (mehanika kapljevin – hidromehanika,

mehanika plinov – aeromehanika)

Uvod

Tehniško mehaniko glede na upoštevanje sil in glede na gibanje delimo na:• statiko (ni gibanja, ni dinamičnih sil);• kinematiko (tu se ne upošteva sil, ki so vzrok za nastanek oz.

spremembo gibanja, temveč se proučuje le gibanje samo – npr. gibanje mehanizma);

• kinetiko (problemi, ki vsebujejo sile), ki se nadalje deli na:� statiko (problemi, ki ne upoštevajo časa);� dinamiko (kinetični problemi, ki upoštevajo čas in s tem

tudi pospeške – spremembo hitrosti gibanja in s tem tudi vztrajnostne sile).

Pri Varnosti v strojništvu bomo obravnavali STATIKO, kot

del tehniške mehanike.

Obravnavali bomo tudi TRDNOST gradiv.

4

Uvod

Spreminjanje stanja (oblike in/ali hitrosti) snovi je naravno mehansko dogajanje.

Mehanika mora tako mehansko dogajanje številčno ovrednotiti z ustreznimi analitičnimi in numeričnimi orodji.

Zelo pomembno je, da tako vrednotenje – analiziranje – lahko izvedemo v naprej, preden se obravnavano mehansko dogajanje zgodi. Zaradi tega lahko napovemo obnašanje nekega tehniškega sistema ter v naprej preverimo :• njegovo funkcionalnost;• njegovo zanesljivost;• njegovo (vgrajeno) varnost.

Uvod

Reševanja problema tehniške mehanike poteka na sledeč način:

• opredelitev mehanskega dogajanje (MD), ki bo analizirano in nastopajočih mehanskih veličin (MV);

• poenostavitev MD z vpeljavo veljavnih predpostavk;• popis MD z mehanskimi zakoni (MZ), ki povezujejo MV, ki

pripelje do mehanskega modela (MM) analiziranega MD;• v nadaljevanju se MV predstavi z ustreznimi matematičnimi

predmeti in se MZ zapiše s pomočjo matematičnih enačb, kar pripelje do matematičnega modela MD;

• na koncu je potrebno poiskati rešitev matematičnega sistema, ki ga predstavlja matematični model MD. Tak sistem je lahko enostavnejši ali pa tako zapleten, da je potrebno za reševanje uporabiti posebne metode.

5

Elementi mehanike

Osnovni elementi v mehaniki so:• prostor;• čas;• masa;• sila.Te elemente intuitivno dobro poznamo, težje pa jih je natančno opredeliti.

PROSTORPoznati je potrebno medsebojno lego teles v prostoru. Za popis lege v mehaniki uporabimo koordinatni sistem. Največkrat zadošča uporaba kartezijskega koordinatnega sistema, v katerem se lego posamezne točke poda s tremi koordinatami.

Narisati lego točke v desnoročnem koordinatnem sistemu.

Elementi mehanike

ČASZa opis nekega dogodka je poleg lege potrebno podati tudi čas, v katerem se je dogodek dogodil. Čas je veličina, ki je lahko samo pozitivna. Pri statiki čas ni pomemben.

MASAMasa telesa je odvisna od njegove prostornine in gostote snovi. Pri statiki je masa pomembna kot obtežba nosilnih elementov.

SILASila je mehanska veličina, s katero popišemo medsebojno delovanje dveh teles. Poznamo sile na mestu dotika ter sile na daljavo (gravitacijska sila, magnetna sila).

6

Elementi mehanike

V Newtonovi mehaniki so prostor, čas in masa absolutne veličine, ki niso odvisne od drugih veličin kar z veliko natančnostjo velja za vse tehniške mehanske probleme.

(V Einsteinovi teoriji o relativnosti je čas odvisen od lege telesa, masa telesa pa od njegove hitrosti.)

Sila ni odvisna od prvih treh elementov mehanike. Od sile, ki deluje na neko telo je odvisen pospešek tega telesa, ki predstavlja časovno spremembo hitrosti.

Celotna osnovna mehanika temelji na treh Newtonovih zakonih.

Newtonovi zakoni

Newtonovi zakoni so temelj klasične mehanike. Zakoni so eksperimentalno potrjeni.

1. Newtonov zakon ali Zakon o vztrajnostiMasna točka miruje oz. se giblje enakomerno in premočrtno, če nanjo ne deluje nobena sila oz. je rezultanta vseh nanjo delujočih sil enaka nič.

2. Newtonov zakon ali Osnovni zakon mehanikeČe je rezultanta sil, ki delujejo na masno točko različna od nič, se masna točka giblje s pospeškom, ki je premo sorazmeren z rezultanto in ima smer rezultante.

�� = � ∙ ��

7

Newtonovi zakoni

3. Newtonov zakon ali Zakon o akciji in reakcijiČe prvo telo deluje na drugo z neko silo, potem tudi drugo telo deluje na prvo z enako veliko, a nasprotno usmerjeno silo. Prva sila je akcija, druga pa reakcija. Predstavljata ravnotežni par sil.

Newtonovi zakoni

Iz teh zakonov lahko izpeljemo tri principe:Princip o ravnotežnem paru sil

Princip o paralelogramu sil

Princip o prenosnosti sile po njeni smernic

8

Newtonovi zakoni

Iz teh zakonov lahko izpeljemo tri principe:Princip o ravnotežnem paru sil pravi, da sta dve sili, ki sta enakih velikosti in nasprotno usmerjeni in ležita na isti premici (smernici sile), v statičnem ravnotežju. Vpliv takšnih dveh sil je ničen.

Newtonovi zakoni

Iz teh zakonov lahko izpeljemo tri principe:Princip o paralelogramu sil govori o sestavljanju dveh sil v

nadomestno silo. Dve sili, ki delujeta na točko, lahko nadomestimo z eno samo silo, imenovano rezultanta, ki je enaka diagonali paralelograma, katerega stranici tvorita prvotni sili.

9

Newtonovi zakoni

Iz teh zakonov lahko izpeljemo tri principe:Princip o prenosnosti sile po njeni smernici pravi, da se pogojiravnotežja ali gibanja na togem telesu ne spremenijo, če silo, ki deluje na telo v neki točki, prestavimo v drugo točko, ki leži na isti premici kot prvotna sila.

Mednarodni sistem enot (SI)

V mednarodnem sistemu enot je sedem osnovnih enot, s katerimi lahko zajamemo vse fizikalne postopke (SIST ISO 314).

Za potrebe mehanike zadostujejo tri osnovne enote in sicer za dolžino, maso in čas, ki so:• meter (m), • kilogram (kg) in • sekunda (s).

Vse tri enote so medse boj neodvisnodefinirane.

10

Mednarodni sistem enot (SI)

Enota za silo je izpeljana enota.

Imenujemo jo njuton (newton) in označimo z oznako N.

Sila enega njutona je podana s silo, ki deluje na maso 1 kg in povzroča pospešek 1 m/s2:

�� = � ∙ ��

�� = � ∙ ��

� = � ∙ �

1 = 1� ∙�

�2

Desetiške merske enote - predpone

Predpone, ki jih v mehaniki najbolj pogosto uporabljamo:

1000000 = 106 imenujemo mega z znakom M,1000 = 103 imenujemo kilo z znakom k,

0,001 = 10-3 imenujemo mili z znakom m,0,000001 = 10-6 imenujemo mikro z znakom µµµµ.

Predpone pišemo tik pred znakom enote:Primer: kilometer je km in ne: k∙m ali k m ali celo k x m.

Med posameznimi enotami, ki predstavljajo sestavljeno enoto, je presledek!

Tako pomeni:

• mN … milinewton

• m N … meter ∙ newton

11

Statika masne točke(sile imajo skupno prijemališče)

Pogledali si bomo:

Vpliv delovanja sil na masno točko.

Sestavljanje sil v nadomestno silo - rezultanto.

Razstavljanje sile na komponenti.

Odnosi med posameznimi silami, ki delujejo na točko tako, da točka miruje – ravnotežje sil.

Izračun neznanih sil iz pogoja ravnotežja.

Obravnava ravninskih problemov v ravninskem kartezijskem sistemu [x, y].

Statika masne točke

Obravnava ravninskih problemov v ravninskem kartezijskem sistemu [x, y]:

Polarni koordinatni sistem (koordinati r in ϕ) vrisan v kartezijev sistem (x in Y)

12

Sile

Sila je vektor, ki je podan z velikostjo, smernico (smerjo) in usmeritvijo.

Velikokrat je pomembno tudi prijemališče sile.

Ločimo več vrst sil (slika).

Če sila deluje na zelo majhnem območju (teoretično v točki) govorimo o točkovni sili. Primer točkovne sile je pritisk kolesavtomobila na vozišče.

SileČe je sila razporejena vzdolž neke linije, govorimo o linijskiobremenitvi, ki je lahko:

enakomerna linijskaobremenitev (lastna teža vodoravnega nosilca)

linearna linijska obremenitev (tlak vode na jez).

neenakomerna linijskaobremenitev (nosilec, na katerega so neenakomerno naložene vreče s sipkim materialom).

13

Sile

Pri prostorskih problemih je lahko obremenitev še ploskovna in prostorninska.

Podajanje sile

Točkovno silo F lahko v ravnini podamo na več načinov:

• s podajanjem velikosti sile in premice, na kateri sila leži (nosilka oz. smernica sile).

• s komponentama v smereh osi x in y, kjer uporabimo trigonometrične funkcije:

14

PrimeriNa tablo rešiti več primerov:• naskicirajte sile, podane v različnih oblikah (vektorska

oblika, komponentna oblika, …)

Sestavljanje silPri sestavljanju sil s paralelogramskim pravilom gre pravzaprav za vektorsko seštevanje vektorjev sil.

Vzemimo, da imamo sili �1 = (F1x, F1y) in �2 = (F2x, F2y). Njuna vektorska vsota je sila, imenovana rezultanta ��:

�� = �1+ �2

in

pri čemer je:

15

Sestavljanje sil

Iz prej zapisanega sledi, da se sile analitično lahko sešteva po komponentah:

kar je razvidno tudi iz slike:

Sestavljanje silPri sestavljanju sil s paralelogramskim pravilom gre pravzaprav za grafično vektorsko seštevanje vektorjev sil. Iz tega pravila lahko izpeljemo pravilo o poligonu sil.

Vektorska vsota sil �1, in �2 je rezultanta: �� = �1+ �2

Vektorska vsota je komutativna, zato vrstni red risanja vektorjev v poligonu sil ni pomemben.

16

PrimeriNa tablo rešiti več primerov za sestavljanje sil (grafično (paralelogram in poligon sil); analitično)

Razstavljanje silDano silo F, ki deluje na točko A bomo razstavili na dve komponenti. Nastali komponenti morata imeti enak vpliv na točko A, kot prvotna sila F.

Silo v ravnini lahko enolično razstavimo le na dve komponenti.

Dokaz: vzemimo silo F s prijemališčem v točki A (slika a):

Silo razstavimo na sileF1, F2 in F3, ki so na smernicah S1, S2 in S3 tako, da bo izpolnjen pogoj:

17

Razstavljanje silRazstavitev sile F na tri komponente je prikazana na slikah b) in c). Iz rezultatov se vidi, da so sile F1, F2 in F3 drugačne na sliki c) kot na sliki b). Dobi se torej dvolično (večlično) rešitev.

Če pa se silo razstavi na samo dve smernici S1 in S2 (slika 2.19), dobimo enolično rešitev.

Grafično določamo komponenti s trikotnikom sil. Pri razstavljanju imamo naslednje možnosti:

Razstavljanje silČe pa se silo razstavi na samo dve podani smernici S1 in S2

(glej sliko), se dobi enolična rešitev.

18

Razstavljanje silGrafično se komponenti določa s trikotnikom sil. Pri razstavljanju obstajata naslednje možnosti:

• Silo razstavimo na znanih smernicah dveh komponent sil:

Razstavljanje sil

• Silo razstavimo na dve komponenti, katerih velikosti staznani, iščemo pa smernici teh komponent. Nad silo F

narišemo loka dolžin F1 in F2. V presečišču lokov je vrhtrikotnika, ki določa smerni ci sil FI in F2.

19

Razstavljanje sil

• Tretja možnost razstavitve sile je pri znani velikosti in

smeri ene komponente. Druga komponenta je sila, ki zaključi trikotnik:

Poznavanje grafičnega načina reševanja je pomembno tudi pri analitičnem reševanju (boljša predstava in pomoč pri risanju skic, ki so ključ do uspešne analitične rešitve).

Razstavljanje silPri analitičnem razstavljanju sile na dve komponenti se

uporablja kotne funkcije.Največkrat se silo razstavlja na dve pravokotni

komponenti v smereh koordinatnih osi x in y kartezijskegakoordinatnega sistema:

Ti komponenti sta:

20

Razstavljanje silSilo se lahko razstavlja tudi na dve

komponenti v poljubnih smereh S1 in S2:Iz nakazanih trikotnikov sledi:

iz česar se nadalje izrazita komponenti:

S2

PrimeriNa tablo rešiti več primerov za razstavljanje sil.Npr.: �� = 2500

�� = 30°�� = 1500�� = 120°�� = 1000�� = 180°�� = 3000�� = 300°

��� =?��� =?

��� =?��� =?

��� =?��� =?

��� =?��� =?

21

PrimeriRezultati:

��� = 2165, 06��� = 1250,00

��� = −750,00��� = 1299, 04

��� = −1000, 00��� = 0

��� = 1500,00��� = −2598,08

Statika togega telesa/sile nimajo skupnega prijemališča

Če je rezultanta sil s skupnim prijemališčem nična, je masnatočka, na katero delujejo, v statičnem ravnotežju.

Pri telesih večjih izmer poenostavljena predstavitev telesa kotmasne točke ni več dovolj točna. Smernice sil, ki delujejo natako telo, se v splošnem ne sekajo v skupni točki (nimajo skupnega prijemališča).

Za takšen splošen sistem sil je pogoj o nični rezultanti lepotreben pogoj za ravnotežje telesa, ne pa tudi zadosten.

Telo bi se namreč lahko pod vplivom delovanja sil zavrtelo. Vrtenje telesa se pojavi zaradi delovanja momenta sile.

22

Statika togega telesa/sile nimajo skupnega prijemališča

Telesa so na splošno lahkoobremenjena z različnimi sistemiprostorskih sil (slika a)).

Obravnavali bomo predvsemravninske probleme (slika b)).

Pri ugotavljanju ravnotežja v takih primerih potrebujemo tudi spoznanja o momentu sile in momentu dvojice sil (glej nadaljevanje).

Statičen moment sileStatičen moment sile glede na momentno točko (vrtišče) imenujemo produkt ročice in sile (1/3):a) to je lahko vektroski produkt vektorja ročice in vektorja sile:

# = $� x ��

# =%� &� $� $� 0

�� �� 0

= %� ∙ 0 + &� ∙ 0 + ($� ∙ �� − $� ∙ ��)

# = (0, 0, $� ∙ �� − $� ∙ ��)

in#) = $� ∙ �� − $� ∙ ��

Velikost momenta (navora):# = $� x �� = $� ∙ �� ∙ sin-

Če je kot ϕ=90°, je sinϕ=1 in je moment:M = M = r� ∙ F = r ∙ �

23

Statičen moment sileStatičen moment sile glede na momentno točko (vrtišče) imenujemo produkt ročice in sile (2/3):

b) ali skalarni produkt ročice a in velikosti vektorja sile F:#) = � ∙ �

Ročica a je tu definirana kot najkrajša (pravokotna) razdalja med momentno točko O in smernico sile F.

Če momentna točka O leži na smernici sile, je ročica a enaka nič in s tem tudi moment enak nič:

Statičen moment sileStatičen moment sile glede na momentno točko (vrtišče) imenujemo produkt ročice in sile (3/3):

b)-nadaljevanje:V slednjem primeru sta tako dolžina ročice, kot tudi velikost sile nenegativni števili, iz česar je jasno razvidno, da taka enačba ne določa predznaka momenta.

Smer delovanja momenta oz. predznak momenta se določi po dogovoru (glede na matematično izpeljavo v točki a)) na sledeči način:

„-“ … sourno delovanje (v smeri gibanja urinega kazalca);„+“ … protiurno delovanje (v smeri proti gibanju urinega kazalca)

24

Vzvod je linijski nosilni element (npr. drog), ki je v nekivmesni točki (vrtišču) nepomično členkasto podprt in nanj na obeh konceh delujeta v splošnem različni sili (slika a)).

Vzvod

Vzvod je prvi stroj, ki ga je uporabljal človek. Še danes je v široki uporabi. Vzvodno pravilo je opredelil že Arhimed. Znanje njegov rek: "Dajte mi oporno točko in premaknil bom svet."

• Vzvod se lahko prikaže, kot je razvidno s slike b).• Vzvod se ne bo zavrtel okoli vrtišča 0, če bo moment večjega

bremena (#� = �� ∙ �1�) po velikosti enak momentumanjšega bremena (#� = �� ∙ �1�).

• Glede na vrtišče delujeta opisana momenta v nasprotnihsmereh, zaradi česar bo v takem primeru njuna vsota enaka nič (ravnotežje momentov).

Vzvod

25

Vzvodno pravilo:

Vzvod je v statičnem ravnotežju, kadar je moment sil z leve strani vrtišča vzvoda enak momentu sil z desne strani vrtišča.

Matematični zapis za primer na sliki b):

in

Pri dvokrakem vzvodu sta sili na vzvod v obratnem sorazmerjuz dolžinama ročic vzvoda.

Vzvod

( )

Momentno pravilo/Varignonov teorem*:

Statični moment rezultante na poljubno momentno točko je enak

vsoti momentov komponent te rezultanta glede na isto momentno

točko.

To pravilo je prvi dokazal francoski znanstvenik Pierre Varignon*.

Momentno pravilo/Varignonov teorem

* … Pierre Varignon (1654-1722), francoskiznanstvenik; skupaj z Newtonom je dokazalpravilo paralelograma sil v statiki in pravilo o momentu rezultante.

26

Enačbe:Vzemimo silo ��, ki je rezultantakomponent �1 in �2. Statičnimoment sile �� glede na točko O je:

Sili �1 in �2 povzročataglede na točko O moment:

Oba statična momenta sta enaka:

Momentno pravilo/Varignonov teorem

2 = 3 = 4 ∙ 56

Velikost navora ni odvisna od lege momentne točke:

∑28(9) = : ∙ 56 − ; ∙ 5< =

= : ∙ 56 − ; ∙ 56 == (: − ;) ∙ 56 = 4 ∙ 56 = 3

Moment dvojice sil

�� =

Dvojico sil imenujemo dve sili, ki

delujeta na vzporednih smernicah,

imata enaki velikosti, in sta

nasprotno usmerjeni. Rezultanta dvojice sil je enaka nič, sili pa povzročata navor:

�� ==

�� =-���� = −���� = ��