МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

“НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ НИЖЕГОРОДСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО”

На правах рукописи

Дубков Александр Александрович

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИНДУЦИРОВАННЫХ

ШУМАМИ РАЗЛИЧНОЙ ПРИРОДЫ ЭФФЕКТОВ

В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

01.04.03 - Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Нижний Новгород 2016

Содержание

Содержание 2

Введение 5

Глава 1. Функциональный метод вывода уравнений для вероятност-

ных характеристик нелинейных динамических систем, подвержен-

ных воздействию негауссовых шумов 21

§ 1.1. Формулы размыкания функциональных средних для некоторых ви-

дов случайных процессов 22

§ 1.2. Вывод общего уравнения Колмогорова для вероятностных характе-

ристик нелинейной динамической системы, описываемой уравнением Ланже-

вена с негауссовым белым шумом 29

§ 1.3. Вывод уравнений для вероятностных и временных характеристик

нелинейной динамической системы, находящейся под одновременным воздей-

ствием гауссова белого и марковского дихотомического шумов 33

Глава 2. Исследование физических систем с негауссовыми случай-

ными воздействиями, обладающими специфическими свойствами

39

§ 2.1. Гипотеза статистической обратимости и анализ термодинамической

корректности ланжевеновских уравнений 40

§ 2.2. Нелинейное броуновское движение: проблема получения стохастиче-

ского уравнения Ланжевена для частицы, взаимодействующей с негауссовым

термостатом 51

§ 2.3. Структура полиспектров масштабно-инвариантных полей: приложе-

ние к турбулентности 58

Глава 3. Исследование статистических характеристик нелинейных

динамических систем в установившихся режимах 66

2

§ 3.1. Стационарные вероятностные характеристики гармонического ос-

циллятора с предельно быстрыми флуктуациями частоты 66

§ 3.2. Корреляционные характеристики равновесного броуновского дви-

жения в потенциальных полях 76

§ 3.3. Спектр броуновской диффузии в бистабильном кусочно-линейном

потенциале 95

§ 3.4. Вероятностные распределения передемпфированного броуновского

движения в случайно переключающихся потенциалах 104

§ 3.5. Спектр диффузии в системе с одним случайно переключающимся

устойчивым состоянием. Проявление эффекта резонансной активации 115

Глава 4. Анализ нелинейных флуктуационных явлений с конструк-

тивной ролью шума 125

§ 4.1. Повышение шумом устойчивости метастабильного состояния в си-

стеме со случайно переключающимся потенциальным барьером 125

§ 4.2. Эффект повышения шумом устойчивости метастабильного состоя-

ния в двумерном потенциале с радиальной симметрией 139

§ 4.3. Возможные подходы к анализу нелинейного режима стохастическо-

го резонанса 143

§ 4.4. Ускорение броуновской диффузии в быстро флуктуирующем пери-

одическом потенциале 151

§ 4.5. Особенности диффузии частиц в случайно переключающемся пери-

одическом потенциале 158

Глава 5. Исследование стационарных характеристик нелинейных

динамических систем со скачкообразными изменениями состояния

177

§ 5.1. Установившиеся вероятностные распределения для полетов Леви в

моностабильных потенциалах 178

§ 5.2. Время корреляции установившихся полетов Леви в потенциальных

3

ямах большой крутизны 185

§ 5.3. Эволюция вероятностных характеристик модели Ферхюльста с ано-

мальными флуктуациями параметра насыщения

191

Заключение 203

Список литературы 206

4

Введение

Актуальность исследуемой проблемы

Проблема статистического анализа нелинейных динамических систем, на-

ходящихся в существенно неравновесных состояниях, охватывает различные

разделы статистической физики и радиофизики и в настоящее время привле-

кает большое внимание в связи с ее важностью не только в широком круге

физических проблем [98]-[164], но и в целом ряде задач химии [207]-[8] и био-

логии [309]-[12]. Примерами подобных неравновесных состояний нелинейных

динамических систем могут служить: движение солитонов в длинных джо-

зефсоновских контактах, нестабильные и метастабильные состояния, возни-

кающие при фазовых и бифуркационных переходах, броуновские моторы,

нуклеация, критические явления и др.

В общем случае под неравновесной понимается нелинейная динамическая

система, обладающая рядом устойчивых и (или) квазиустойчивых состояний

и находящаяся под воздействием внутренних (тепловых) шумов и внешних

флуктуаций (а также, в ряде случаев, нестационарных детерминированных

воздействий) как аддитивного, так и мультипликативного характера. Нерав-

новесность стационарного состояния системы может быть обусловлена осо-

бенностями ее внутренней динамики. С другой стороны известно, что при

наличии внешних воздействий динамическая система выходит из установив-

шегося режима, поскольку в ней возникают различные дополнительные по-

токи (массы, заряда, тепла), и ее поведение резко меняется. Появляются ка-

чественно новые характеристики ее усредненного и флуктуационного поведе-

ния. Возникают новые метастабильные режимы функционирования системы,

зависящие от внешних воздействий, индуцированные шумом переходы из од-

ного состояния в другое, различные виды неравновесных неустойчивостей,

явления переходной бимодальности и мультимодальности и т.д.

5

За последние тридцать пять лет был обнаружен и досконально изучен ряд

нелинейных флуктуационных явлений в подобных системах, где шум весьма

неожиданно начинает играть конструктивную роль. Среди них следует упо-

мянуть такие эффекты как стохастический резонанс - усиление шумом откли-

ка нелинейной пороговой системы на входной гармонический сигнал, нашед-

ший огромное количество практических применений в различных областях

[268], задержка шумом распада метастабильных состояний [246]-[245], резо-

нансная активация - минимизация времени преодоления броуновской части-

цей потенциального барьера при изменении частоты его модуляции [237, 226],

рэтчет - создание однонаправленного потока частиц вдоль асимметричной

периодической структуры за счет ее модуляции внешним полем, лежащий в

основе действия так называемых молекулярных моторов [230].

Проблема статистического анализа нелинейных динамических систем, на-

ходящихся в существенно неравновесных состояниях, является достаточно

сложной в силу неразрывной связи и взаимовлияния флуктуаций, диссипа-

ции и нелинейности. Ее решение затруднено также невозможностью примене-

ния существующих флуктуационно-диссипационных соотношений и теорем,

базирующихся на равновесном распределении Гиббса и микроскопической об-

ратимости уравнений движения во времени. Тем не менее, в большинстве слу-

чаев рассматриваемая проблема, включая различные частные случаи и кон-

кретные радиофизические приложения, сводится к задаче о статистических

характеристиках движения броуновской частицы (представляющей изобра-

жающую точку динамической системы в фазовом пространстве) в заданном

потенциальном профиле при наличии тех или иных детерминированных или

случайных воздействий.

Не меньшее внимание с начала нынешнего столетия уделяется обнару-

женной в целом ряде экспериментов аномальной диффузии, отличающейся

от обычного броуновского движения более быстрым, либо более медленным

6

разбеганием облака броуновских частиц, и наблюдаемая в различных физи-

ческих и химических системах [66]. Медленная диффузия, называемая суб-

диффузией, наблюдается в веществах со сложной геометрией - мутных кри-

сталлах и стеклах, аморфных полупроводниках, в то время как ускоренная

диффузия или супердиффузия встречается в хаотической динамике и турбу-

лентности. Явление аномальной диффузии можно описать с помощью аппа-

рата дробного дифференцирования [21] и уравнения Фоккера-Планка в дроб-

ных производных. Дробное уравнение Фоккера-Планка получают различны-

ми методами: из модели непрерывных случайных блужданий, из фрактально-

го обобщения уравнения Колмогорова-Феллера, из дихотомической модели со

специальным вероятностным распределением времен между переключения-

ми, из дробного разложения в ряд Тейлора в окрестности точки, из концепции

случайного времени и т.д.

Особое внимание в последних публикациях в данной области стало уде-

ляться одной из форм аномальной диффузии - так называемым полетам Леви

[353], характеризуемым наличием в реализации наряду с обычной диффузией

экстремально больших скачков. Подобный вид супердиффузии наблюдается

во многих физических системах, таких как лазерное охлаждение, диффузия

потоков в пористых средах и плазме, молекулярные столкновения, движе-

ние отдельного иона в одномерной оптической решетке. Для описания дан-

ного явления применим обычный марковский аппарат уравнений Фоккера-

Планка. Это позволяет последовательно вывести уравнение Фоккера-Планка

с дробной пространственной производной непосредственно из ланжевенов-

ского уравнения движения с источником в форме устойчивого процесса Леви

[81]. На данный момент хорошо изучен вопрос о стационарных вероятностных

распределениях и конфайнменте аномальной диффузии в форме полетов Ле-

ви [355]-[356] но наибольшее внимание уделяется временным характеристикам

полетов Леви, таким как среднее время первого достижения границ, среднее

7

время прихода, время пребывания в заданной области, обсуждаются вопро-

сы о новом законе для времени распада метастабильного состояния системы

в случае полетов Леви, аналогичному известному экспоненциальному зако-

ну Крамерса для обычной диффузии. Однако, аналитические результаты в

данном направлении получить уже гораздо сложнее и поэтому большинство

публикаций содержит лишь результаты численного моделирования.

Цель диссертационной работы

Целью работы является разработка новых методов статистического ана-

лиза неравновесных нелинейных динамических систем и получение на их

основе точных результатов для вероятностных, временных и спектральных

характеристик протекающих в них флуктуационных процессов, а также вы-

явление особенностей поведения и роли как нелинейностей самих систем, так

и параметров внешних воздействий негауссовой природы.

Основные задачи диссертации

1. Развитие функционального аппарата анализа стохастических систем

и его применение к отысканию вероятностных и временных характе-

ристик нелинейных динамических систем, возмущаемых негауссовыми

шумами.

2. Установление особенностей спектров высшего порядка негауссовых слу-

чайных процессов, обладающих свойством временной симметрии, а так-

же масштабно-инвариантных случайных полей на примере развитой

изотропной турбулентности.

3. Разработка новых подходов к исследованию нелинейного броуновско-

го движения, связанного с взаимодействием подсистемы с негауссовым

8

тепловым резервуаром.

4. Детальный анализ особенностей нелинейных флуктуационных явлений

с конструктивной ролью шума: задержка распада метастабильного со-

стояния, нелинейный режим стохастического резонанса, ускорение диф-

фузии частиц в периодических структурах.

5. Получение новых точных результатов для установившихся вероятност-

ных и временных характеристик аномальной диффузии в форме поле-

тов Леви в различных потенциалах.

Научная новизна

Научная новизна результатов, представленных в диссертационной рабо-

те, заключается в разработке и развитии математических методов статисти-

ческого анализа и получении на их основе новых строгих результатов для

вероятностных, временных и спектральных характеристик нелинейных ди-

намических систем.

Основная часть представленных в диссертации результатов получена лич-

но автором. В большинстве совместных работ автором выполнены все ана-

литические расчеты. Постановка задач, разработка подходов, объяснение и

интерпретация результатов были осуществлены либо лично автором, либо

совместно с соавторами научных работ, опубликованных соискателем.

Теоретическая и практическая значимость

Предлагаемые в диссертационной работе методы являются развитием об-

щей теории неравновесных нелинейных динамических систем. Полученное

общее интегро-дифференциальное уравнение Колмогорова наряду с новыми

методами анализа спектрально-корреляционных характеристик систем, нахо-

9

дящихся в стационарных состояниях, вносит существенный вклад в теорию

марковских случайных процессов.

Полученные результаты позволяют глубже понять взаимовлияние флук-

туаций, диссипации и нелинейности в неравновесных динамических систе-

мах. Так, предложенное термодинамически корректное нелинейное уравнение

Ланжевена с мультипликативным шумом для движения частицы, взаимодей-

ствующей с негауссовым термостатом, может служить отправной точкой для

дальнейших исследований нелинейного броуновского движения.

Разработанные подходы могут найти применение для предсказания по-

ведения сложных динамических систем. Метод определения степенных по-

казателей спектров высшего порядка масштабно-инвариантных случайных

процессов и полей позволяет объяснить экспериментальные данные для бис-

пектра поля скоростей турбулентности и предсказать поведение его высших

корреляционных характеристик. Задача о времени жизни метастабильных

состояний входит в круг важнейших проблем статистической физики, и по-

этому полученные результаты по его увеличению за счет шума могут найти,

в принципе, применение в экспериментах по анализу флуктуаций тока, со-

путствующих движению носителей заряда в полупроводниках. Обнаружен-

ный эффект ускорения диффузии путем стохастической модуляции поля с

заданным пространственным периодом может представлять интерес для со-

временных диффузионных технологий изготовления материалов твердотель-

ной электроники.

Методы исследования

Применяемые в диссертации методы исследования основаны на строгом

математическом аппарате теории марковских случайных процессов и функ-

циональном подходе к анализу стохастических систем.

10

Основные научные положения и результаты, выносимые

на защиту

1. Получение общего интегро-дифференциального уравнения Колмогоро-

ва для плотности вероятности марковского процесса непосредственное

из стохастического уравнения Ланжевена с негауссовым белым шумом.

2. Вывод строгого операторного соотношения для нелинейной диссипации

в задаче о взаимодействии частицы с негауссовым термостатом.

3. Установление степенной зависимости спектров высшего порядка поля

скоростей развитой однородной изотропной турбулентности и ее срав-

нение с экспериментальными данными.

4. Точные результаты для установившихся вероятностных распределений

и спектров броуновского движения в случайно переключающихся по-

тенциалах. Обнаружение нового проявления эффекта резонансной ак-

тивации.

5. Получение точных уравнений для отыскания среднего времени пребы-

вания броуновских частиц в метастабильном состоянии с флуктуиру-

ющим потенциальным барьером. Анализ условий, при которых возни-

кает эффект задержки шумом распада метастабильного состояния для

кусочно-линейного потенциального профиля.

6. Получение точной квадратурной формулы для эффективного коэффи-

циента диффузии броуновских частиц, движущихся в быстро флукту-

ирующем периодическом потенциальном поле. Установление эффекта

ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной диффузии

также и при модуляции периодического потенциала марковским дихо-

томическим шумом.

11

7. Получение строгих соотношений для стационарного вероятностного рас-

пределения и времени корреляции координаты частицы при аномаль-

ной диффузии в форме полетов Леви в симметричном степенном по-

тенциале с одним устойчивым состоянием.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения.

Она изложена на 221 странице и содержит 57 иллюстраций. Список литера-

туры содержит 200 наименований.

Логика изложения материала в диссертационной работе построена следу-

ющим образом. Математический аппарат и результаты, полученные в первой

главе, являются основой для решения задач, рассматриваемых в последую-

щих главах. Так, формула размыкания функциональных средних для негаус-

сова белого шума из § 1.1 применяется во второй главе при исследовании зада-

чи о взаимодействии частицы с негауссовым термостатом (см. § 2.2). Уравне-

ния для вероятностных характеристик из § 1.2 используются в третьей главе

для анализа стационарных характеристик броуновского движения в фикси-

рованных и флуктуирующих потенциальных полях. На базе уравнений для

времен первого достижения, выведенных в § 1.3, в четвертой главе изучают-

ся эффекты повышения шумом устойчивости метастабильного состояния си-

стемы (§ 4.1) и ускорения диффузии частиц вдоль периодической структуры

(§ 4.5). Наконец, на основе дробного уравнения Фоккера-Планка, являющего-

ся частным случаем полученного в § 1.2 общего интегро-дифференциального

уравнения Колмогорова, в пятой главе исследуются вероятностные и времен-

ные характеристики супердиффузии в форме полетов Леви (§ 5.1, § 5.2).

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфор-

мулирована ее цель и задачи, показана научная новизна, теоретическая и

практическая значимость полученных результатов, приводятся положения,

12

выносимые на защиту, описана структура и приведено краткое содержание

диссертации. Введение содержит сведения о достоверности и апробации ре-

зультатов.

В первой главе развивается функциональный аппарат анализа вероят-

ностных и временных характеристик нелинейных динамических систем, ко-

торый применяется в дальнейшем для анализа конкретных систем с одним

или несколькими источниками шума.

В § 1.1 исходя из того, что приращение обобщенного винеровского процес-

са обладает свойствами случайной величины с безгранично делимым распре-

делением, получено замкнутое интегральное представление его характери-

стической функции и найдена новая формула размыкания корреляции про-

изводной обобщенного винеровского процесса (негауссова белого шума) с про-

извольным функционалом от нее.

Этот результат далее применяется в § 1.2 для вывода общего интегро-

дифференциального уравнения Колмогорова непосредственно из стохасти-

ческого уравнения Ланжевена с негауссовым белым шумом. Показано, что

в случае гауссова шума данное уравнение принимает вид обычного уравне-

ния Фоккера-Планка, для аддитивного воздействия превращается в известное

уравнение Колмогорова-Феллера для чисто разрывных марковских процес-

сов, а для негауссова белого шума с устойчивым вероятностным распреде-

лением переходит в уравнение Фоккера-Планка с дробной пространственной

производной, используемое для описания супердиффузии броуновских ча-

стиц в форме полетов Леви.

В § 1.3 функциональным методом получена замкнутая система уравне-

ний для вероятностных характеристик и времен первого достижения границ

фазовой переменной нелинейной динамической системы, находящейся под од-

новременным воздействием гауссова белого шума и марковского дихотоми-

ческого шума.

13

Во второй главе рассматриваются специальные классы обратимых во

времени случайных процессов и масштабно-инвариантных случайных полей

и их физические приложения. При этом основное внимание сосредоточено на

исследовании особенностей их спектров высшего порядка.

В § 2.1 анализируются особенности спектров высшего порядка случайных

процессов, обладающих свойством статистической обратимости во времени.

В контексте этого рассматривается проблема построения термодинамически

корректных уравнений Ланжевена, описывающих стохастическую динамику

подсистемы, взаимодействующей с термостатом. Отмечается, что в случае

моделирования воздействия теплового резервуара гауссовым шумом с конеч-

ным временем корреляции (уравнения Кубо-Мори) возникают определенные

проблемы с моделирование движения подсистемы.

В § 2.2 предложена процедура построения уравнения ланжевеновского ти-

па для частицы, движущейся в потенциальном поле и взаимодействующей с

негауссовым тепловым резервуаром. Получено точное операторное соотноше-

ние, связывающее нелинейное трение со статистическими характеристиками

негауссова мультипликативного белого шума, моделирующего негауссов тер-

мостат.

В § 2.3 проведено исследование структуры пространственных спектров

высшего порядка (полиспектров) масштабно-инвариантных скалярных слу-

чайных полей. Базируясь на Колмогоровской гипотезе о масштабной инвари-

антности поля скоростей развитой однородной изотропной турбулентности в

диапазоне больших волновых чисел, показано, что полиспектры поля скоро-

стей и давления несжимаемой жидкости зависят от обобщенного волнового

числа по степенному закону, и найдены соответствующие показатели степен-

ных зависимостей. Указан простой критерий экспериментальной проверки

гипотезы масштабной инвариантности скалярного поля.

Третья глава посвящена исследованию вероятностных, временных и спек-

14

тральных характеристик броуновского движения в фиксированных и слу-

чайно переключающихся потенциалах. Предложены новые методы точного

расчета этих характеристик.

В § 3.1 получены уравнения для моментных и вероятностных характери-

стик гармонического осциллятора с флуктуациями частоты в форме негауссо-

ва белого шума. Для белого гауссова шума на основе системы уравнений для

совместных моментов восстановлена приближенная форма установившихся

вероятностных распределений координаты и скорости в пределе малого тре-

ния. Обнаружено, что эти плотности вероятности не существуют при нулевой

диссипации, поскольку не могут быть нормализованы.

В § 3.2 предложен новый метод строгого отыскания времени корреляции

стационарного броуновского движения в произвольных потенциалах и отме-

чены особенности поведения корреляционной функции координаты частицы

в негладких потенциальных профилях.

В § 3.3 найдено точное выражение для спектра равновесной броуновской

диффузии в симметричном двухъямном кусочно-линейном потенциале, спра-

ведливое для любых значений высоты потенциального барьера, разделяюще-

го устойчивые состояния системы, и интенсивности гауссова белого шума.

Показано, что с увеличением высоты потенциального барьера происходит

экспоненциально быстрое сужение спектра. В отсутствии барьера получен-

ный результат стыкуется с известным выражением для спектра диффузии в

прямоугольной потенциальной яме.

В § 3.4 на основе общих уравнений первой главы для вероятностного рас-

пределения фазовой переменной нелинейной динамической системы, возму-

щаемой одновременно гауссовым белым шумом и марковским дихотомиче-

ским шумом, проанализированы стационарные вероятностные характеристи-

ки броуновского движения в бистабильной системе с флуктуирующим барье-

ром и в прямоугольной потенциальной яме с переключающимся по направ-

15

лению постоянным полем.

В § 3.5 получено точное выражение для спектра установившихся флуктуа-

ций координаты броуновской частицы, движущейся в случайно переключаю-

щемся кусочно-линейном моностабильном потенциальном профиле. Обнару-

жена немонотонная зависимость спектральной плотности на нулевой частоте

от среднего темпа переключений с характерным минимумом, что является

манифестацией эффекта резонансной активации. Установлен также типич-

но нелинейный эффект, заключающийся в сужении спектра флуктуаций с

увеличением ширины спектра модулирующего дихотомического шума.

В четвертой главе рассматривается целый ряд нелинейных флуктуа-

ционных явлений, где шум играет конструктивную роль. Проанализирован

эффект задержки шумом распада метастабильного состояния, нелинейный

режим стохастического резонанса, возможность ускорения диффузии и сор-

тировки частиц в периодической структуре с помощью ее модуляции внеш-

ним полем.

В § 4.1 получены общие уравнения для отыскания среднего времени жиз-

ни броуновских частиц в метастабильном состоянии со случайно переклю-

чающимся потенциальным барьером, которые точно решены для кусочно-

линейного потенциального профиля. Аналитически найдено условие, при ко-

тором возникает явление повышения устойчивости системы шумом.

Аналогичное явление исследуется в § 4.2 для двумерного потенциала, об-

ладающего радиальной симметрией, где найдено среднее время жизни ме-

тастабильного состояния. Показано, что в отличие от одномерного случая в

такой системе задержка распада состояния может наблюдаться лишь при пер-

воначальном расположении частиц на склоне кратера потенциального профи-

ля выше его дна.

В § 4.3 предложено модифицированное двухуровневое приближение для

аналитического исследования нелинейного режима явления стохастического

16

резонанса, основанное на операторном методе описания случайных процес-

сов. Проведено сравнение результатов для коэффициента усиления входного

синусоидального сигнала по мощности с результатами, даваемыми методом

обрывания по кумулянтам и прямым численным моделированием уравнения

движения системы.

В § 4.4 выводится точная квадратурная формула для эффективного коэф-

фициента диффузии броуновских частиц в быстро флуктуирующем периоди-

ческом потенциальном поле. Показано, что при любой форме потенциала на-

блюдается явление ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной

диффузии. Доказана эквивалентность задачи о вычислении коэффициента

диффузии с отысканием среднего времени первого достижения.

В качестве обобщения предыдущей задачи в § 4.5 получена система урав-

нений для определения эффективного коэффициента диффузии броуновских

частиц в случайно переключающемся между двумя конфигурациями симмет-

ричном периодическом потенциале. Найдены условия ускорения диффузии

по сравнению со случаем свободной диффузии и показано, что этот эффект

имеет место лишь в определенной области на плоскости параметров переклю-

чающего шума.

В пятой главе получены новые точные результаты для вероятностных

и временных характеристик ускоренной диффузии в форме полетов Леви

в удерживающих потенциалах, а также задача о динамике изолированной

популяции с флуктуирующим объемом жизненных ресурсов, распределенном

по устойчивому закону Леви.

В § 5.1 выведены точные соотношения для стационарного вероятностно-

го распределения координаты частицы при аномальной диффузии в форме

полетов Леви в симметричном степенном потенциале произвольной степени

с одним устойчивым состоянием. Показано, что все эти распределения име-

ют ранее обнаруженную бимодальную форму в отличие от унимодального

17

распределения Больцмана для броуновской диффузии.

В § 5.2 получено точное аналитическое выражение для времени корреля-

ции установившейся супердиффузии в форме полетов Леви в симметричном

потенциале четвертой степени с одним устойчивым состоянием. Показано,

что время корреляции имеет степенную зависимость от интенсивности шума

и уменьшается с ростом крутизны потенциальной ямы.

В § 5.3 на основе известного точного решения стохастического уравнения

Ферхюльста для плотности популяции с флуктуирующим объемом жизнен-

ных ресурсов определена эволюция плотности вероятности для возмущения

в форме белого шума Леви с односторонним вероятностным распределением.

Обнаружены явление переходной бимодальности и немонотонной релакса-

ции средней значения плотности популяции для белого шума с устойчивым

распределением Леви-Смирнова. Обнаружено, что для исходной нелинейной

системы корреляционная функция плотности популяции в установившемся

состоянии может иметь простую экспоненциальную зависимость, где время

корреляции не зависит от параметров шума.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулиро-

ваны основные результаты.

Достоверность полученных результатов

Обоснованность научных положений и выводов, полученных в диссер-

тации, обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата.

Достоверность большинства результатов работы следует из получаемых точ-

ных соотношений в рамках рассматриваемых моделей и их стыковки с ранее

известными результатами, а в случае приближенных расчетов подтвержда-

ется результатами численного моделирования.

18

Апробация результатов и публикации

Основные результаты диссертации были представлены в форме пригла-

шенных, устных и стендовых докладов на 26-ти международных научных

конференциях: 16th (Prague, Czech Republic, 2003), 17th (Salamanca, Spain,

2005), 18th (Tokyo, Japan, 2007), 20th (Pisa, Italy, 2009), 23rd (Xi’an, China,

2015) International Conferences on Noise and Fluctuations; 16th (Zakopane, Poland,

2003), 19th (Krakow, Poland, 2006), 24th (Zakopane, Poland, 2011), 27th (Zakopane,

Poland, 2014) Marian Smoluchowski Symposium on Statistical Physics; International

Workshop “Noise in Condensed Matter and Complex Systems” (Citta del Mare,

Terrasini, Sicily, 2004); International Workshop “Stochastic Resonance: New Horizons

in Physics and Engineerin” (Dresden, Germany, 2004); ESF-STOCHDYN Conference

(Erice, Italy, 2005); International Seminar and Workshop “Constructive Role of

Noise in Complex Systems” (Dresden, Germany, 2006); International Workshop

“Ecological Complex Systems: Stochastic Dynamics and Patterns” (Citta del Mare,

Terrasini, Sicily, 2007); 5th (Lyon, France, 2008), 6th (Kolkata, India, 2012),

7th (Barcelona, Spain, 2015) International Conferences “Unsolved Problems on

Noise”; International Workshop “Stochastic Resonance” (Perugia, Italy, 2008);

XXIII Sitges Conference on Statistical Mechanics: Understanding and Managing

Randomness in Physics, Chemistry and Biology (Sitges, Barcelona, Spain, 2012);

4th Conference “Statistical Physics: Modern Trends and Applications” (Lviv,

Ukraine, 2012); 25th International Conference on Statistical Physics (Seoul, Korea,

2013); Conference “Large Deviations and Rare Events in Physics and Biology”

(Rome, Italy, 2013); International Conference on Statistical Physics (Rhodes,

Greece, 2014); International Workshop “Anomalous diffusion: wild and bad?” (Bad

Wildbad, Germany, 2015) и опубликованы в Трудах [27]-[32].

Результаты работы опубликованы в реферируемых научных журналах,

таких как “Изв.вузов. Радиофизика” [33], “Письма в ЖТФ” [34], “Изв.вузов.

Прикладная нелинейная динамика” [35], “Physica A” [36, 37, 42], “Acta Phys.

19

Pol. B” [38, 39, 46, 47, 55, 56], “Phys. Rev. E” [40, 43, 59], “Eur. Phys. J. B” [41, 45,

48], “Fluct. Noise Lett.” [44, 57], “Int. J. Bifurc. Chaos” [49], “J. Stat. Mech.: Theor.

Exper.” [50, 51, 61, 62], “Chem. Phys.” [52], “Вестник ННГУ” [53], “Int. J. Mod.

Phys. B” [54], “Eur. Phys. J. Special Topics” [58], “Europhys. Lett.” [60] (всего 30

статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных

научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и

кандидата наук).

Материалы диссертации вошли в две коллективные монографии [63, 64].

20

1 ГЛАВА

Функциональный метод вывода уравнений

для вероятностных характеристик нелинейных

динамических систем, подверженных воздействию

негауссовых шумов

[44, 49]

Для адекватного моделирования стохастической динамики реальных фи-

зических, химических и биологических систем необходимо иметь в виду, что

случайные воздействия могут иметь самую различную природу. В большин-

стве случаев удается ограничиться гауссовыми белыми или цветными шума-

ми, но часто эти случайные силы должны рассматриваться как принципи-

ально негауссовские, например, в сенсорных и биологических системах [65].

Более того, отличие реальной статистики флуктуаций от гауссова закона,

связанное с нарушением центральной предельной теоремы, приводит к экс-

периментально наблюдаемому явлению аномальной диффузии [66].

В первой главе демонстрируется изящный математический аппарат, поз-

воляющий получить необходимые для дальнейшего анализа замкнутые урав-

нения (или системы уравнений) для вероятностных характеристик нелиней-

ной динамической системы непосредственно из стохастических уравнений ее

движения (уравнений Ланжевена). При этом не требуется обращаться к мар-

ковской теории и вычислять кинетические коэффициенты, задавая все выс-

шие корреляционные функции случайных воздействий. Более того, данный

способ остается едва ли не единственным приемом вывода уравнений Кол-

могорова в той ситуации, когда кинетические коэффициенты не существуют

(полеты Леви), или система подвержена воздействию нескольких источников

шума различной природы.

21

Основная идея функционального подхода состоит в том, что фазовые пе-

ременные той или иной нелинейной динамической системы зависят от всей

предыстории воздействий, и, следовательно, являются их функционалами. В

то же время, это не обычные динамические функционалы (как, например,

функционал действия в механике или функционалы в вариационном исчис-

лении), ибо возмущения имеют случайный характер.

§ 1.1. Формулы размыкания функциональных средних

для некоторых видов случайных процессов

1. Воспользуемся тем, что экспериментально измеряемые статистические

характеристики случайных процессов представляются в форме различных

средних значений. Как показывает анализ, для получения из стохастического

уравнения движения нелинейной динамической системы точных или прибли-

женных уравнений для этих средних достаточно уметь “размыкать” корреля-

ционное среднее вида ⟨ξ (t1)Rt [ξ (τ)]⟩, где Rt [ξ] - функционал произвольного

негауссова случайного процесса ξ (τ), определенного на временном интервале

τ ∈ (0, t). Различные формулы “размыкания” указанного среднего были най-

дены ранее в работах [67, 68]. Для дальнейшего нам понадобится следующее

операторное представление, полученное В.И. Кляцкиным (см. [67]),

⟨ξ (t)Rt [ξ + v]⟩ =Φt [u]

iu (t)

∣∣∣∣∣u= δ

iδv

⟨Rt [ξ + v]⟩ . (1.1)

Здесь: v (t) – произвольная детерминированная функция, δ/δv(t) - оператор

вариационного дифференцирования, Φt [u] = ln Θt [u], а Θt [u] - характери-

стический функционал случайного процесса ξ (t)

Θt [u] =

⟨exp

i

∫ t

0

ξ (τ)u (τ) dτ

⟩. (1.2)

Из формулы (1.1) легко получить корреляционную формулу для гауссова

случайного процесса ξ (t) c нулевым средним значением и корреляционной

22

функцией K (t, τ) = ⟨ξ (t) ξ (τ)⟩. Подставляя характеристический функцио-

нал гауссова шума в соотношение (1.1), приходим к

⟨ξ (t)Rt [ξ]⟩ =

∫ t

0

K (t, τ)

⟨δRt [ξ]

δξ (τ)

⟩dτ. (1.3)

Формула (1.3) исторически была самой первой формулой “размыкания” функ-

циональных корреляционных средних и получила название формулы Фуруцу-

Новикова, хотя она и является частным случаем более общего соотношения

для гауссова векторного поля, выведенного независимо K. Furutsu [69] и Е.А.

Новиковым [70]. В свете вышеизложенного, формулу (1.1) можно рассматри-

вать как обобщение формулы Фуруцу-Новикова (1.3) на случай произволь-

ного случайного процесса ξ (t).

Для гауссова процесса с корреляционной функцией K (t, τ) = 2Dδ (t− τ),

называемого белым шумом и являющегося общепринятой моделью теплового

шума физических систем, формула (1.3) еще более упрощается. После подста-

новки в (1.3) и учета симметрии корреляционной функции: K (−τ) = K (τ),

приходим к

⟨ξ (t)Rt [ξ]⟩ = D

⟨δRt [ξ]

δξ (t)

⟩. (1.4)

2. В конце 1970-х – начале 1980-х годов появляется большое количество

публикаций, в которых в качестве случайного воздействия фигурирует мар-

ковский дихотомический шум (см., например, монографию [71] и обзор [214]).

Оказалось, что для этого процесса, так же как и для гауссова белого шума, в

ряде случаев удается получить точные аналитические результаты. Причем,

в отличие от белого шума, дихотомический шум обладает конечным време-

нем корреляции. Под марковским дихотомическим шумом или случайным

телеграфным сигналом (см. Рис. 1.1) понимают случайный процесс, который

принимает с равной вероятностью два противоположных по знаку значения

±a, меняя их скачком в случайные моменты времени.

23

Рисунок 1.1. Типичная реализация дихотомического шума.

При этом предполагается, что случайное число перескоков на временном ин-

тервале (t, t+ T ) подчиняется статистике Пуассона, т.е. вероятность наличия

n скачков в промежутке (t, t+ T ) зависит лишь от его длительности и равна

Pn (t, t+ T ) =(νT )n

n!e−νT . (1.5)

Параметр ν называют средней частотой скачков или средним темпом пере-

ключений. Это следует из того, что согласно (1.5)

⟨n⟩ =∞∑n=1

nPn (t, t+ T ) = νT,

и, следовательно, ν = ⟨n⟩ /T . Описанный дихотомический шум обладает

функцией корреляции вида

K (τ) = a2 e−2ν|τ |, (1.6)

и, как следствие, конечным временем корреляции τ = 1/ (2ν). Если зафикси-

ровать значение дихотомического шума в момент времени t, то его значение

в момент t+T определяется числом перескоков (переключений) на интервале

(t, t+ T ). Для пуассоновского закона (1.5) число переключений, случившихся

на заданном интервале, статистически не зависит от числа переключений на

другом, не перекрывающимся с данным интервале времени. Это означает, что

дихотомический шум со статистикой переключений (1.5) является процессом

без последействия, т.е. марковским.

В работе [73] (см. также [212]) впервые была получена следующая простая

формула дифференцирования функционального среднего для марковского

24

дихотомического шума

d

dt⟨η (t)Rt [η]⟩ = −2ν ⟨η (t)Rt [η]⟩ +

⟨η (t) Rt [η]

⟩. (1.7)

На практике она оказалась гораздо удобнее функциональной формулы, по-

лученной позже в [210] и подобной формуле Фуруцу-Новикова (1.3),

⟨η (t)Rt [η]⟩ =

∫ t

0

a2 e−2ν(t−τ)

⟨δRt [η (u) 1 (τ − u)]

δη (τ)

⟩dτ, (1.8)

где 1 (τ) – единичная функция Хевисайда. Функционал Rt [η (u) 1 (τ − u)],

стоящий в интеграле, зависит от значений η (u) лишь на интервале (0, τ), где

τ < t; в отличие от функционала Rt [η (u)], который определяется поведением

реализации η (u) на всем интервале (0, t). Случайный процесс η (u) как бы

обрывается в момент времени τ .

3. Выведем необходимую для дальнейших расчетов новую формулу “раз-

мыкания” функционального среднего для негауссова белого шума, являющу-

юся обобщением формулы (1.4). Как известно, обычный винеровский процесс

w (t) обладает стационарными и независимыми приращениями, а его произ-

водная по времени ξ (t) = w (t) является белым гауссовым шумом. Иначе го-

воря, средний квадрат приращения w (t+ T )−w (t) зависит только от длины

промежутка T , а приращения на неперекрывающихся временных интервалах

статистически независимы. Рассмотрим негауссов случайный процесс с нуле-

вым средним значением и со стационарными и независимыми приращениями,

называемый обобщенным винеровским процессом (процессом Леви L(t)) [98].

Записывая приращение LT ≡ L (T ) − L (0) в виде

LT =n∑

k=1

[L (k∆t) − L ((k − 1) ∆t)] , (1.9)

где ∆t = T/n, видим, что случайную величину LT можно представить в виде

суммы произвольного числа независимых и одинаково распределенных слу-

чайных величин. Следовательно, ее вероятностное распределение попадает в

25

класс безгранично делимых распределений [77], и логарифм характеристиче-

ской функции случайной величины LT можно выразить в форме интеграла

Леви-Хинчина

ϕT (u) ≡ ln θT (u) = ln⟨eiuLT

⟩=

∫ +∞

−∞

eiuz − 1 − iuz

z2MT dz , (1.10)

где: MTdz – каноническая мера, принимающая положительные значения

на ограниченных интервалах, и интегралы

M+T (z) =

∫ +∞

z

MT dyy2

, M−T (−z) =

∫ −z

−∞

MT dyy2

сходятся для любых положительных z и T . Вводя неотрицательную плот-

ность ρT (z) канонической меры: MTdz = ρT (z)dz, определенную в обоб-

щенном смысле, можно переписать уравнение (1.10) в виде

ϕT (u) =

∫ +∞

−∞

eiuz − 1 − iuz

z2ρT (z) dz. (1.11)

Для двух соседних временных интервалов длительностями T и S имеем

θT+S (u) =⟨eiuLT+S

⟩=⟨eiu(LT+LS)

⟩=⟨eiuLT

⟩ ⟨eiuLS

⟩= θT (u) θS (u)

или

ϕT+S (u) = ϕT (u) + ϕS (u) . (1.12)

В силу произвольности параметра u из уравнений (1.11), (1.12) находим

ρT+S (z) = ρT (z) + ρS (z) , ∀z. (1.13)

Единственным дифференцируемым решением разностного уравнения Гаме-

ля (1.13) по параметру T является линейное

ρT (z) = Tρ (z) . (1.14)

Подставляя соотношение (1.14) в уравнение (1.11), приходим к (см. [98])

ϕT (u) = T

∫ +∞

−∞

eiuz − 1 − iuz

z2ρ (z) dz. (1.15)

26

Ядро ρ (z) в соотношении (1.15) представляет неотрицательную функцию,

пропорциональную, как будет ясно из дальнейшего анализа, плотности веро-

ятности величины скачков обобщенного винеровского процесса.

4. В силу отмеченных свойств обобщенного винеровского процесса его

производная ξ (t) = L (t) является стационарным случайным процессом, ана-

логичным белому гауссову шуму в смысле постоянства всех его спектров. В

случае непрерывного винеровского процесса w(t) функция ρ (z) вырождается

в дельта-функцию ρ(z) = 2D δ(z), где 2D – интенсивность белого гауссова

шума ξ(t). Другой распространенной физической моделью является пуассо-

новский импульсный шум

ξ(t) =∑i

ai δ (t− ti) , (1.16)

где: точечный процесс ti, i = 1, 2, . . . представляет собой пуассоновский

поток событий со средним темпом λ, а случайные амплитуды ai статистиче-

ски независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности Wa(z).

В данной случае функция ρ(z) в формуле (1.15) для логарифма характери-

стической функции его интеграла такова: ρ(z) = λz2Wa(z). Наконец, для

симметричного α-устойчивого шума Леви ξ(t), который вызывает аномаль-

ную диффузию в форме полетов Леви [353], ρ(z) = q |z|1−α (0 < α < 2).

Вычислим характеристический функционал негауссова дельта-коррелированного

шума ξ(t). По определению интеграла Стилтьеса имеем

Θt [u] =

⟨exp

i

∫ t

0

ξ (τ)u (τ) dτ

⟩=

⟨exp

i

∫ t

0

u (τ) dL (τ)

⟩=

⟨exp

i limδτ→0

n∑k=1

u (ϑk) [L (τk) − L (τk−1)]

⟩(1.17)

= limδτ→0

⟨n∏

k=1

exp iu (ϑk) [L (τk) − L (τk−1)]

⟩= lim

δτ→0

n∏k=1

θ∆τk (u (ϑk)) ,

где: ϑk – некоторая внутренняя точка интервала (τk−1, τk) , δτ = maxk

∆τk,

∆τk = τk − τk−1 (τ0 = 0, τn = t) и θ∆τk – характеристическая функция при-

27

ращений. При выводе соотношения (1.17) учитывалась статистическая неза-

висимость приращений обобщенного винеровского процесса L (t). Далее из

соотношений (1.15) и (1.17) находим

Θt [u] = limδτ→0

n∏k=1

exp

∆τk

∫ +∞

−∞

eiu(ϑk)z − 1 − iu (ϑk) z

z2ρ (z) dz

= exp

limδτ→0

n∑k=1

∆τk

∫ +∞

−∞

eiu(ϑk)z − 1 − iu (ϑk) z

z2ρ (z) dz

= exp

∫ t

0

dτ

∫ +∞

−∞

eiu(τ)z − 1 − iu (τ) z

z2ρ (z) dz

. (1.18)

Полученный результат (1.18) позволяет вывести необходимую для даль-

нейших расчетов формулу размыкания среднего от стохастических функци-

оналов негауссова белого шума. Из соотношения (1.18) легко получить сле-

дующее выражение для вариационного оператора в (1.1)

Φt [u]

iu (t)=

∫ +∞

−∞

eiu(t)z − 1 − iu (t) z

iu (t) z2ρ (z) dz =

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2dz

∫ z

0

[eiu(t)y − 1]dy.

Подставляя это выражение в (1.1), приходим к

⟨ξ (t)Rt [ξ + v]⟩ =

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2dz

∫ z

0

[exp

y

δ

δv (t)

− 1

]⟨Rt [ξ + v]⟩ dy.

Внося оператор функционального дифференцирования под знак среднего и

полагая затем v = 0, находим окончательно

⟨ξ (t)Rt [ξ]⟩ =

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2dz

∫ z

0

[⟨exp

y

δ

δξ (t)

Rt [ξ]

⟩− ⟨Rt [ξ]⟩

]dy.

(1.19)

Заметим, что при ρ(z) = 2Dδ(z) можно ограничиться лишь линейным по

y членом разложения во внутреннем интеграле в (1.19), и формула “размы-

кания” превращается в формулу Фуруцу-Новикова (1.4) для гауссова белого

шума. Для пуассоновского белого шума (1.16) соотношение (1.19) переходит

в

⟨ξ (t)Rt [ξ]⟩ = λ

⟨∫ a

0

[⟨exp

y

δ

δξ (t)

Rt [ξ]

⟩− ⟨Rt [ξ]⟩

]dy

⟩a

, (1.20)

28

где внешнее усреднение ведется по случайным амплитудам импульсов. Нако-

нец, для шума с симметричным устойчивым распределением Леви из (1.19)

имеем

⟨ξ (t)Rt [ξ]⟩ = 2q

∫ +∞

0

dz

z1+α

∫ z

0

⟨sinh

y

δ

δξ (t)

Rt [ξ]

⟩dy. (1.21)

Как будет показано в следующем параграфе, функциональное соотношение

(1.21) позволяет получить уравнение Фоккера-Планка в дробных производ-

ных, описывающее аномальную диффузию в форме полетов Леви, непосред-

ственно из уравнения Ланжевена с источником в форме α-устойчивого белого

шума.

§ 1.2. Вывод общего уравнения Колмогорова для

вероятностных характеристик нелинейной динамической

системы, описываемой уравнением Ланжевена

с негауссовым белым шумом

1. Применим функциональный подход к выводу замкнутого уравнения

для плотности вероятности фазовой переменной нелинейной динамической

системы с негауссовым белым шумом ξ(t)

x = f (x, t) + g (x, t) ξ (t) . (1.22)

Возможность получения такого уравнения вытекает из марковости случайно-

го процесса x(t). Дифференцируя по времени известное представление плот-

ности вероятности случайного процесса x(t) в форме среднего

P (x, t) = ⟨δ (x− x(t))⟩ (1.23)

и принимая во внимание уравнения (1.22) и (1.23), приходим к

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] − ∂

∂xg (x, t) ⟨ξ (t) δ (x− x (t))⟩ . (1.24)

29

Для вычисления среднего в (1.24) воспользуемся полученной в предыдущем

параграфе формулой “размыкания” для негауссова белого шума (1.19), счи-

тая x(t) функционалом случайного воздействия ξ(t). Определим сначала ре-

зультат действия вариационного оператора δ/δξ(t) на функционал Rt [ξ] =

δ (x− x(t)) случайного процесса ξ (t). Применяя правила вариационного диф-

ференцирования сложного функционала, находим

δ

δξ (t)δ (x− x (t)) = − ∂

∂xδ (x− x (t))

δx (t)

δξ (t). (1.25)

Для вычисления вариационной производной δx(t)/δξ(t) перепишем стохасти-

ческое уравнение (1.22) в эквивалентной интегральной форме

x (t) = x (0) +

∫ t

0

f (x (τ) , τ) dτ +

∫ t

0

g (x (τ) , τ) ξ (τ) dτ. (1.26)

Применяя оператор вариационного дифференцирования δ/δξ (θ) к интеграль-

ному уравнению (1.26) с учетом принципа причинности

δx (t)

δξ (θ)= 0 (θ > t) ,

означающего зависимость функционала x (t) лишь от предыстории процесса

ξ (t), и правил вариационного дифференцирования, приходим к

δx (t)

δξ (θ)=

∫ t

θ

f ′x (x (τ) , τ)δx (τ)

δξ (θ)dτ+

∫ t

θ

g′x (x (τ) , τ)δx (τ)

δξ (θ)ξ (τ) dτ+g (x (θ) , θ) .

Устремляя в данном соотношении θ → t− 0, получаем

δx (t)

δξ (t)= g (x (t) , t) . (1.27)

Подставляя (1.27) в уравнение (1.25), находим

δ

δξ (t)δ (x− x (t)) = − ∂

∂xg (x, t) δ (x− x (t)) , (1.28)

что свидетельствует об эквивалентности оператора вариационного диффе-

ренцирования δ/δξ (t) в применении к функционалу δ (x− x (t)) взятию част-

ной производной. Полагая в формуле “размыкания” (1.19) Rt [ξ] = δ (x− x(t))

30

и учитывая соотношения (1.23), (1.28), имеем

⟨ξ (t) δ (x− x (t))⟩ =

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2dz

∫ z

0

[exp

−y ∂

∂xg (x, t)

− 1

]P (x, t) dy.

(1.29)

Подставляя соотношение (1.29) в (1.24), внося оператор под знак интеграла и

выполняя интегрирование по y, получаем замкнутое уравнение Колмогорова

для плотности вероятности фазовой переменной нелинейной динамической

системы (1.22)

∂P

∂t= −∂ (fP )

∂x+

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2

[exp

−z ∂

∂xg (x, t)

− 1 + z

∂

∂xg (x, t)

]P (x, t) dz.

(1.30)

Интегро-дифференциальное уравнение (1.30) можно записать в эквивалент-

ной дифференциальной форме, используя определение экспоненциального

оператора,

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] +

∞∑n=2

(−1)nAn

n!

[∂

∂xg (x, t)

]nP, (1.31)

если несобственные интегралы

An =

∫ +∞

−∞zn−2ρ (z) dz (n ≥ 2)

сходятся. Для пуассоновского белого шума (1.16) с нулевым средним значе-

нием уравнение (1.31) принимает вид

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] + λ

∞∑n=2

(−1)n ⟨an⟩n!

[∂

∂xg (x, t)

]nP (1.32)

и совпадает с полученным ранее в [79]. Заметим также, что уравнение Колмо-

горова (1.31) можно представить также и в стандартной форме марковской

теории [267]∂P

∂t=

∞∑n=1

(−1)n

n!

∂n

∂xn[Kn (x, t)P ] , (1.33)

где Kn (x, t) – кинетические коэффициенты.

31

2. Проанализируем частные случаи уравнения Колмогорова (1.30), соот-

ветствующие различным негауссовым шумовым источникам ξ(t) в ланжеве-

новском уравнении (1.22).

(а) Для гаусова белого шума с ядром ρ (z) = 2Dδ (z) получаем хорошо

известное уравнение Фоккера-Планка

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] +D

∂

∂xg (x, t)

∂

∂xg (x, t)P. (1.34)

(б) В случае аддитивного белого шума (g (x, t) = 1) экспоненциальный

дифференциальный оператор в уравнении (1.30) сводится к оператору сдвига,

в результате чего приходим к

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] +

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2

[P (x− z, t) − P (x, t) + z

∂P (x, t)

∂x

]dz.

(1.35)

Уравнение (1.35) напоминает уравнение Колмогорова-Феллера для чисто раз-

рывных марковских процессов [267]

∂P

∂t= ν

∫ +∞

−∞Q (x− z)P (z, t) dz − νP (x, t) , (1.36)

где: Q (x) – плотность вероятности величины случайного скачка, ν – средняя

частота скачков. Полагая в (1.35) f (x, t) = 0 и сопоставляя его с уравнени-

ем (1.36) устанавливаем формулу связи ядра ρ(z) с функцией Q(z)

ρ (z) = νz2Q (z) , (1.37)

подтверждающую вышеуказанный смысл функции ρ(z), задающей статисти-

ку негауссова шумового источника.

(в) Для негауссова аддитивного белого шума с симметричным устойчивым

распределением Леви (ρ (x) = q |x|1−α , α ∈ (0, 2)) основное уравнение (1.30)

принимает вид уравнения Фоккера-Планка в дробных производных [66]

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] +Q

∂αP

∂ |x|α, (1.38)

32

описывающего аномальную диффузию в форме симметричных полетов Ле-

ви [353]. Входящий в (1.38) оператор дробного дифференцирования Риса яв-

ляется интегральным оператором со степенным ядром

Q∂αP

∂ |x|α≡ q

∫ +∞

−∞

P (z, t) − P (x, t)

|x− z|α+1 dz, (1.39)

где

Q =πq

Γ (α + 1) sin (πα/2). (1.40)

Заметим, что уравнение (1.38) было впервые выведено непосредственно из

уравнения Ланжевена (1.22) с аддитивным шумом другим методом в рабо-

те [81].

(г) Наконец, для мультипликативного источника с g (x, t) = x оператор в

уравнении (1.30) преобразуется в оператор изменения масштаба, и уравнение

Колмогорова принимает вид

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] +

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2

[P(e−zx, t

)− P (x, t) + z

∂

∂xP (x, t)

]dz.

(1.41)

§ 1.3. Вывод уравнений для вероятностных и временных

характеристик нелинейной динамической системы,

находящейся под одновременным воздействием гауссова

белого и марковского дихотомического шумов

1. Рассмотрим уравнение Ланжевена с двумя случайными источниками

x = f (x, t) + g (x, t) ξ (t) + h (x, t) η (t) , (1.42)

где: ξ (t) - гауссов белый шум с нулевым средним значением и корреляцион-

ной функцией ⟨ξ (t) ξ (t+ τ)⟩ = 2Dδ (τ), η (t) - статистически независящий от

ξ (t) марковский дихотомический шум, принимающий с равной вероятностью

33

значения ±1 со средней частотой переключений ν, f (x, t), g (x, t) и h (x, t)

- произвольные функции. Очевидно, что совокупность x(t), η(t) является

марковской, и поэтому можно записать замкнутое уравнение для совместной

плотности вероятности P2 (x, y, t) случайных процессов x(t) и η(t). Для выво-

да этого уравнения будем, как и в § 1.2, исходить из представления плотности

вероятности в форме среднего

P2 (x, y, t) = ⟨δ (x− x(t)) δ (y − η(t))⟩ (1.43)

и применять формулы “размыкания” функциональных средних.

После дифференцирования соотношения (1.43) по t, получаем

∂P2

∂t= − ∂

∂x⟨x (t) δ (x− x (t)) δ (y − η(t))⟩ +

⟨δ(x− x(t))

∂

∂tδ(y − η(t))

⟩.

(1.44)

Подставляя x(t) из исходного уравнения системы (1.42) и принимая во вни-

мание соотношение (1.43), можно переписать уравнение (1.44) в виде

∂P2

∂t= − ∂

∂x[f(x, t) + y h(x, t)]P2 −

∂

∂xg(x, t) ⟨ξ (t) δ (x− x (t)) δ (y − η(t))⟩

+

⟨δ(x− x(t))

∂

∂tδ(y − η(t))

⟩. (1.45)

Для размыкания среднего в (1.45) применим формулу Фуруцу-Новикова (1.4)

для гауссова белого шума ξ (t). Заменяя в (1.4) функционал Rt [ξ] на произве-

дение дельта-функций δ (x− x (t)) δ (y − η (t)) и принимая во внимание, что,

согласно уравнению (1.42), δx (t) /δξ (t) = g (x(t), t) (см. (1.27)), получаем

⟨ξ (t) δ (x− x (t)) δ (y − η (t))⟩ = −D ∂

∂xg (x, t)P2. (1.46)

Преобразуем последнее слагаемое в правой части уравнения (1.45). Используя

оператор сдвига и учитывая, что для дихотомического шума, принимающего

значения ±1: η2k (t) = 1, η2k+1 (t) = η (t) (k = 1, 2, . . .), находим

∂

∂tδ (y − η(t)) =

∂

∂texp

(−η(t)

d

dy

)δ (y) = −η (t) sinh

(d

dy

)δ(y). (1.47)

34

Подставляя соотношения (1.46) и (1.47) в уравнение (1.45), приходим к

∂P2

∂t= − ∂

∂x[f(x, t) + y h(x, t)]P2 +D

∂

∂xg(x, t)

∂

∂xg (x, t)P2

−⟨η (t) δ(x− x(t)) sinh

(d

dy

)δ(y)

⟩. (1.48)

Для выражения функционального среднего в уравнении (1.48) через сов-

местную плотность вероятности перепишем формулу дифференцирования

(1.7) для марковского дихотомического шума η (t) в следующей эквивалент-

ной форме

⟨η (t)Rt [η]⟩ = −2ν ⟨η (t)Rt [η]⟩ . (1.49)

В результате, для функционального среднего в уравнении (1.48) получаем⟨η (t) δ(x− x(t)) sinh

(d

dy

)δ(y)

⟩= −2ν

⟨δ(x− x(t)) sinh

(η (t)

d

dy

)δ(y)

⟩(1.50)

= −ν ⟨δ(x− x(t)) [δ(y + η(t)) − δ(y − η(t))]⟩ .

Подставляя (1.50) в (1.48) и учитывая соотношение (1.43), получаем окон-

чательно следующее интегро-дифференциальное уравнение Колмогорова в

прямом времени для совместной плотности вероятности

∂P2

∂t= − ∂

∂x[f (x, t) + y h (x, t)]P2 +D

[∂

∂xg (x, t)

]2P2

+ ν

[∫ ∞

−∞δ (y + z)P2(x, z, t) dz − P2(x, y, t)

]. (1.51)

2. Выведем из уравнения Колмогорова (1.51) для совместной плотности

вероятности необходимое нам для дальнейшего уравнение для плотности ве-

роятности P (x, t) случайного процесса x(t), описываемого уравнением (1.42).

Учитывая формулу связи плотностей вероятности

P (x, t) =

∫ ∞

−∞P2 (x, y, t) dy

35

и проводя интегрирование обеих частей уравнения (1.51) по y в неограничен-

ных пределах, приходим к

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)P ] − ∂

∂x[h (x, t)Q] +D

[∂

∂xg (x, t)

]2P, (1.52)

где введена вспомогательная функция

Q (x, t) =

∫ ∞

−∞yP2 (x, y, t) dy = ⟨η (t) δ (x (t) − x)⟩ .

Умножая теперь обе части уравнения (1.51) на y, проводя аналогичное ин-

тегрирование и учитывая, что y2 = 1, получаем еще одно уравнение для

функций P (x, t) и Q (x, t)

∂Q

∂t= − ∂

∂x[f (x, t)Q] − ∂

∂x[h (x, t)P ] +D

[∂

∂xg (x, t)

]2Q− 2νQ. (1.53)

Искомая замкнутая система уравнений (1.52)-(1.53) может применяться

как для анализа переходной динамики нелинейной системы (1.42) так и для

исследования ее статистических свойств в установившемся режиме. Заметим,

что система уравнений (1.52)-(1.53) при воздействии лишь одного марковско-

го дихотомического шума g(x, t) = 0 была получена функциональным ме-

тодом в работе [213]. Другой метод вывода этой системы был предложен в

[83, 84], а В.И. Кляцкиным [210] на основе формулы “размыкания” корреля-

ций (1.8) было получено одно замкнутое интегро-дифференциальное уравне-

ние для плотности вероятности P (x, t).

3. С помощью уравнения Колмогорова (1.51) можно получить также и

уравнения для временных характеристик случайного процесса x(t). Опре-

деляя из правой части уравнения (1.51) сопряженный кинетический опера-

тор, можно реконструировать уравнение Колмогорова в обратном времени

для условной плотности вероятности W (x, y, t |x0, y0, t0 ) марковского вектор-

процесса x (t) , η (t)

−∂W∂t0

= [f (x0, t0) + y0h (x0, t0)]∂W

∂x0+D

[g (x0, t0)

∂

∂x0

]2W

+ ν [W (x, y, t |x0,−y0, t0 ) −W (x, y, t |x0, y0, t0 )] . (1.54)

36

Предположим далее, что функции f(x, t), g(x, t) и h(x, t) в уравнении (1.42)

не зависят явно от времени t. В этом случае условная плотность вероятности

совокупности зависит только от разности времен τ = t−t0, и уравнение (1.54)

можно переписать как

∂W

∂τ= [f (x0) + y0h (x0)]

∂W

∂x0+D

[g (x0)

∂

∂x0

]2W

+ ν [W (x, y, τ |x0,−y0, 0) −W (x, y, τ |x0, y0, 0)] . (1.55)

Введем в рассмотрение случайное время первого достижения границ θ

случайным процессом x(t). Вероятность Pr θ > τ ≡ Px0,y0 (τ) того, что слу-

чайный процесс x (t) остается между поглощающими границами x = L1 и

x = L2 во временном промежутке (0, τ), может быть вычислена как

Px0,y0 (τ) =

∫ L2

L1

dx

∫ ∞

−∞W (x, y, τ |x0, y0, 0)dy. (1.56)

Интегрируя обе части уравнения (1.55) по x и y в соответствии с соотноше-

нием (1.56), находим

∂Px0,y0 (τ)

∂τ= [f (x0) + y0h (x0)]

∂Px0,y0 (τ)

∂x0+D

[g (x0)

∂

∂x0

]2Px0,y0 (τ)

+ ν [Px0,−y0 (τ) − Px0,y0 (τ)] . (1.57)

Для отыскания плотности вероятности времени первого достижения необхо-

димо продифференцировать вероятность Pr θ < τ по τ , т.е.

wx0,y0 (τ) =∂ Pr θ < τ

∂τ=∂ [1 − Pr θ > τ]

∂τ= −∂Px0,y0 (τ)

∂τ.

В результате для wx0,y0 (τ) получаем то же самое уравнение (1.57)

∂wx0,y0 (τ)

∂τ= [f (x0) + y0h (x0)]

∂wx0,y0 (τ)

∂x0+D

[g (x0)

∂

∂x0

]2wx0,y0 (τ)

+ ν [wx0,−y0 (τ) − wx0,y0 (τ)] . (1.58)

Для среднего времени первого достижения

ϑ (x0, y0) =

∫ ∞

0

τwx0,y0 (τ) dτ

37

из (1.58) имеем следующее дифференциальное уравнение

D

[g (x0)

∂

∂x0

]2ϑ+ [f (x0) + y0h (x0)]

∂ϑ

∂x0+ ν [ϑ(x0,−y0) − ϑ(x0, y0)] = −1.

(1.59)

Поскольку y0 = ±1, уравнение (1.59) эквивалентно следующей системе урав-

нений для времен T+ (x0) ≡ ϑ(x0,+1) и T− (x0) ≡ ϑ(x0,−1)

D

[g(x0)

d

dx0

]2T+ + [f (x0) + h (x0)]

dT+dx0

+ ν (T− − T+) = −1,

D

[g(x0)

d

dx0

]2T− + [f (x0) − h (x0)]

dT−dx0

+ ν (T+ − T−) = −1. (1.60)

Уравнения (1.60) подобны хорошо известным уравнениям для времен пер-

вого достижения, выведенным в работе [236]. Однако, в указанной статье

использовалась интерпретация Ито стохастического уравнения (1.42) и, в ре-

зультате, были получены отличные от (1.60) уравнения. Заметим, что в слу-

чае аддитивного гауссова белого шума g (x) = 1 уравнения совпадают.

38

2 ГЛАВА

Исследование физических систем с негауссовыми

случайными воздействиями, обладающими

специфическими свойствами

[50, 52]

Концепция временной симметрии находит широкое применение в физи-

ке [86]-[88], теории динамических систем [89], обработке временных рядов

[90, 91], экономике [92, 93] и в настоящее время даже в компьютерных на-

уках [94]. Так, например, обратимый марковский процесс имеет прямое от-

ношение к броуновскому движению в большом классе систем со случайным

окружением [95]. Показателем временной симметрии системы в равновесном

стационарном состоянии является так называемое уравнение детального ба-

ланса. С физической точки зрения, временная обратимость в неравновесных

стационарных состояниях, в принципе, возможна, но маловероятна [87]. Как

показано в [86], уравнение детального баланса может обеспечить базис для

единого описания как систем, находящихся в тепловом равновесии, так и для

некоторых более общих стационарных состояний, далеких от теплового рав-

новесия.

В данной работе показано, что предположение о временной симметрии фа-

зовой переменной некоторых нелинейных динамических систем позволяет по-

лучать адекватные физические результаты. Приводится определение стати-

стической временной обратимости и его важные следствия. Обсуждается ряд

проблем, связанных с построением термодинамически корректных ланжеве-

новских уравнений. Основываясь на свойстве временной симметрии, найдено

стационарное вероятностное распределение координаты классического осцил-

лятора с флуктуирующей частотой.

39

§ 2.1. Гипотеза статистической обратимости и анализ

термодинамической корректности ланжевеновских

уравнений

1. Согласно определению, стационарный случайный процесс x(t) называ-

ют обратимым во времени, если

x(t)d= x(t0 − t) , (2.1)

где t0 – произвольный момент времени (поскольку стационарный процесс ин-

вариантен к временному сдвигу), а символ d означает равенство вероятност-

ных распределений соответствующего порядка указанных процессов (или их

вероятностных функционалов). Если описывать случайный процесс x(t) на

языке бесконечной последовательности его кумулянтных (обобщенных кор-

реляционных [267, 278]) функций κn (0, τ2, . . . , τn), то из определения (2.1)

мгновенно следует, что

κn (0, τ2, . . . , τn) = κn (0,−τ2, . . . ,−τn) , n = 2, 3, . . . (2.2)

О наличии временной симметрии у случайного процесса можно судить по

форме поверхности в n-мерном пространстве, соответствующей кумулянт-

ной функции κn (0, τ2, . . . , τn). В общем случае в силу симметрии кумулянт-

ной функции по всем аргументам ее поверхность уровня – изоковарианта

κn (0, τ2, . . . , τn) = const. представляет собой поверхность вращения вокруг

оси τ2 = τ3 = . . . = τn. Для обратимого же во времени случайного процесса

любая его изоковарианта, как следует из (2.2), должна быть симметрична

еще и относительно плоскости τ2 + τ3 + . . .+ τn = 0, проходящей через начало

координат и перпендикулярной этой оси симметрии. В частности, у линий

равного уровня кумулянтной функции третьего порядка κ3 (0, τ2, τ3) = const.

должна наблюдаться зеркальная симметрия относительно прямых τ3 = τ2 и

40

τ3 = −τ2. Подобную симметрию имеет изоковарианта на Рис. 2.1a, а изоко-

варианта на Рис. 2.1b соответствует статистически необратимому процессу.

t2

t3

a) b)

t3

t2

Рисунок 2.1. Изоковарианты кумулянтной функции третьего порядка.

Из равенств (2.2) легко доказать, что многомерные Фурье-образы куму-

лянтных функций (полиспектры)

Sn (ω2, . . . , ωn)

=1

(2π)n−1

∫· · ·∫ +∞

−∞κn (0, τ2, . . . , τn) exp

−i

n∑k=2

ωkτk

dτ2 · · · dτn

являются чисто действительными, т.е.

Sn (ω2, . . . , ωn) = S∗n (ω2, . . . , ωn) , n = 2, 3, . . . (2.3)

Таким образом, мнимая часть полиспектров ответственна за временную необ-

ратимость соответствующего случайного процесса. Это обстоятельство, т.е.

наличие мнимой части у полиспектров было предложено в [90] в качестве кри-

терия необратимости при обработке временных рядов. Для гауссова процесса

x(t) все κn (0, τ2, . . . , τn) = 0 при n ≥ 3, и поэтому в силу четности корреля-

ционной функции K [τ ] = κ2 (0, τ): K [τ ] = K [−τ ] соотношения (2.2) всегда

имеют место. Таким образом, гауссов стационарный случайный процесс все-

гда обратим во времени. Очевидно, что свойством временной симметрии об-

ладает и любой негауссов процесс, полученный нелинейным безынерционным

преобразованием y(t) = f(x(t)) гауссова стационарного шума x(t).

41

Как известно, марковский процесс x(t) полностью описывается своей плот-

ностью вероятностей переходов P (x, t|x0, t0), которая в стационарном случае

зависит лишь от разности времен τ = t− t0. В соответствии с (2.1), подобный

случайный процесс обладает свойством временной симметрии при выполне-

нии равенства

P (x, τ |x0, 0) = P (x,−τ |x0, 0) ,

которое эквивалентно следующему

P (x, τ |x0, 0) =Pst (x)

Pst (x0)P (x0, τ |x, 0) (τ > 0) , (2.4)

где Pst (x) – установившееся распределение марковского процесса. Воспользу-

емся тем, что плотность вероятностей переходов P (x, τ |x0, 0) удовлетворяет

прямому уравнению Колмогорова [267, 278]

∂P (x, τ |x0, 0)

∂τ= L (x)P (x, τ |x0, 0) (2.5)

с кинетическим оператором L (x), и запишем обратное уравнение Колмого-

рова для плотности вероятностей переходов, стоящей в правой части (2.4),

∂P (x0, τ |x, 0)

∂τ= L+ (x)P (x0, τ |x, 0) , (2.6)

где L+ (x) – сопряженный кинетический оператор. Домножая обе части урав-

нения (2.6) на отношение Pst (x) /Pst (x0) и учитывая (2.4), придем к

∂P (x, τ |x0, 0)

∂τ= Pst (x) L+ (x)

1

Pst (x)P (x, τ |x0, 0) . (2.7)

Сопоставление уравнений (2.5) и (2.7) убеждает в равенстве входящих в них

операторов, а именно

L+ (x) ≡ 1

Pst (x)L (x)Pst (x) . (2.8)

Тождество (2.8) является необходимым и достаточным условием времен-

ной симметрии стационарного марковского процесса (см., например, [98]). Его

42

можно записать на языке не зависящих от времени кинетических коэффици-

ентов Kn (x), если воспользоваться известными представлениями операторов

L (x) и L+ (x),

L (x) =∞∑n=1

(−1)n

n!

∂n

∂xnKn (x) , L+ (x) =

∞∑n=1

Kn (x)

n!

∂n

∂xn.

В результате, с учетом следующего из (2.5) уравнения для установившейся

плотности вероятности марковского процесса

L (x)Pst (x) = 0 (2.9)

из (2.8) получаем бесконечную цепочку равенств (n = 1, 2, . . .)

∞∑m=1

(−1)n+m

m!

dm

dxm[Kn+m (x)Pst (x)] + [(−1)n − 1]Kn (x)Pst (x) = 0. (2.10)

Для описываемого уравнением Фоккера-Планка непрерывного марковско-

го процесса отличны от нуля только первые два кинетических коэффициента

K1 (x) и K2 (x), и из совокупности соотношений (2.10) нетривиальным явля-

ется лишь условие с n = 1

1

2

d

dx[K2 (x)Pst (x)] −K1 (x)Pst (x) = 0 .

Однако, оно является очевидным следствием уравнения (2.9) и означает от-

сутствие потока вероятности в установившемся состоянии. Таким образом,

мы приходим к заключению, что любой непрерывный марковский процесс

обладает свойством временной симметрии.

2. Одним из наиболее плодотворных подходов в современной статисти-

ческой физике является тот, в котором рассмотрение даже сложной термо-

динамически неравновесной системы сводится путем отбрасывания динами-

чески несущественных переменных к исследованию эквивалентной открытой

подсистемы с малым числом степеней свободы. Отброшенные степени свобо-

ды считают внешним окружением (термостатом), оказывающим случайное

43

воздействие на выделенную подсистему. В результате, с помощью введения

случайных сил поведение динамической подсистемы можно описать на языке

стохастических дифференциальных уравнений: микроскопических или мак-

роскопических (феноменологических). В то же время, построение модельного

стохастического уравнения типа уравнения Ланжевена для макропеременных

должно быть проведено термодинамически корректно. Не должны нарушать-

ся основные принципы статистической физики: закон Гиббса для равновес-

ного статистического ансамбля и обратимость во времени микроскопических

уравнений движения. Следствием этих фундаментальных первопринципов

являются так называемые флуктуационно-диссипационные соотношения и

флуктуационные теоремы [99]–[107], связывающие флуктуационные и дисси-

пативные характеристики подсистемы. Именно справедливость этих соотно-

шений и служит критерием оценки правильности построения феноменологи-

ческой модели явления.

Продемонстрируем сказанное на примере стохастического уравнения Лан-

жевена для координаты x(t) броуновской частицы массы m, движущейся в

одномерном потенциальном профиле U (x) и взаимодействующей с термоста-

том температуры T ,

mx+ γx+ U ′ (x) = ξ (t) . (2.11)

Здесь случайная сила (тепловой источник) ξ (t) является гауссовым белым

шумом с нулевым средним значением и интенсивностью 2D, “согласованной”

с параметром диссипации γ соотношением Эйнштейна-Сазерленда [108]

D = kBTγ, (2.12)

где kB – постоянная Больцмана. Уравнению Ланжевена (2.11) соответствует

следующее уравнение для совместной плотности вероятности P (x, v, t) коор-

динаты и скорости v = x броуновской частицы

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+U ′ (x)

m

∂P

∂v+γ

m

∂

∂v

(vP +

kT

m

∂P

∂v

). (2.13)

44

Нетрудно проверить, что установившимся решением уравнения (2.13) явля-

ется равновесное распределение Гиббса

Pst (x, v) = c0 exp

−H0 (x, v)

kT

, (2.14)

где H0 (x, v) = U (x) + mv2/2 – гамильтониан рассматриваемой подсистемы,

а c0 – постоянная нормировки. Соотношение (2.14) свидетельствует о термо-

динамической корректности стохастической модели (2.11).

Рассмотрим далее неравновесную ситуацию, добавив в правую часть сто-

хастического уравнения (2.11) детерминированную силу F (t),

mx+ γx+ U ′ (x) = ξ (t) + F (t) . (2.15)

В результате, в уравнении Фоккера-Планка (2.13) появится дополнительное

слагаемое, связанное с наличием стороннего поля,

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+U ′ (x)

m

∂P

∂v+γ

m

∂

∂v

(vP +

kT

m

∂P

∂v

)− F (t)

m

∂P

∂v. (2.16)

Будем считать внешнюю силу F (t) достаточно малой и воспользуемся теори-

ей линейного отклика [109]–[111], которая была успешно применена к иссле-

дованию явления стохастического резонанса [273] (см. также обзор [268]), а

именно к вычислению коэффициента усиления и выходного отношения сиг-

нал/шум. Согласно теории линейного отклика приближенное решение урав-

нения (2.16) в установившемся режиме можно искать в виде

P (x, v, t) = Pst (x, v) + PF (x, v, t) , (2.17)

где PF (x, v, t) – линейная по F (t) поправка к стационарному решению. Под-

ставляя (2.17) в уравнение (2.16) и пренебрегая слагаемыми высшего порядка

по F (t), придем с учетом равенства (2.14) к

∂PF

∂t= −v ∂PF

∂x+U ′ (x)

m

∂PF

∂v+γ

m

∂

∂v

(vPF +

kT

m

∂PF

∂v

)+vF (t)

kTPst (x, v) .

(2.18)

45

Вынужденное решение параболического уравнения (2.18) можно выра-

зить через функцию Грина, совпадающую с плотностью вероятностей перехо-

дов Pst (x, v, t|x0, v0, 0) невозмущенной системы (F (t) = 0) в установившемся

режиме,

PF (x, v, t) (2.19)

=1

kT

∫ t

−∞F (τ) dτ

∫∫ +∞

−∞v0 Pst (x, v, t− τ |x0, v0, 0)Pst (x0, v0) dx0 dv0 .

Согласно (2.14) и (2.17) средняя скорость броуновской частицы в стационар-

ном неравновесном состоянии дается соотношением

⟨v (t)⟩ =

∫∫ +∞

−∞v PF (x, v, t) dx dv

или в соответствии с (2.19)

⟨v (t)⟩ =

∫ t

−∞h (t− τ)F (τ) dτ , (2.20)

где функция линейного отклика h (t) связана с корреляционной функцией

равновесных флуктуаций скорости частицы K0v (t) = ⟨v (0) v (t)⟩st простым

соотношением

h (t) =1

kTK0

v (t) (t > 0) . (2.21)

Формула (2.21) представляет собой одну из форм линейной флуктуационно-

диссипационной теоремы (ФДТ) и служит дополнительным аргументом в

пользу термодинамической корректности стохастической модели (2.11).

Большинство аналитических результатов получено для упрощенной мо-

дели, в которой диффузия броуновской частицы происходит в сильно вязкой

среде с большим коэффициентом трения γ. В этой ситуации можно прене-

бречь инерционным слагаемым mx в (2.15) и придти к следующему уравне-

нию первого порядка для координаты частицы x (t)

γx = −U ′ (x) + ξ (t) + F (t) . (2.22)

46

Выясним, при каких условиях остается справедливой ФДТ (2.21) для урав-

нения (2.22).

Запишем вытекающее из (2.22) уравнение Фоккера-Планка для плотности

вероятности P (x, t) марковского процесса x (t)

∂P

∂t=

1

γ

∂

∂x[U ′ (x)P ] +

kT

γ

∂2P

∂x2− F (t)

γ

∂P

∂x. (2.23)

Стационарным решением (2.23) для невозмущенной системы (F (t) = 0) яв-

ляется распределение Больцмана

Pst (x) = c0 exp

−U (x)

kT

, (2.24)

что согласуется с (2.14). Применяя аналогичным образом теорию линейного

отклика к уравнению (2.23) и учитывая (2.24), нетрудно найти линейную по

F (t) поправку к его решению в установившемся режиме

PF (x, t) =1

kTγ

∫ t

−∞F (τ) dτ

∫ +∞

−∞U ′ (x0)Pst (x, t− τ | x0, 0)Pst (x0) dx0 .

(2.25)

С учетом соотношения (2.25) для среднего значения координаты броуновской

частицы получаем следующий результат

⟨x (t)⟩ = ⟨x⟩st +

∫ t

−∞g (t− τ)F (τ) dτ , (2.26)

где ⟨x⟩st – установившееся среднее значение координаты в невозмущенном

состоянии (F (t) = 0), а функция линейного отклика g (t) дается соотноше-

нием

g (t) =1

kTγ⟨U ′ (x (0))x (t)⟩st (t > 0) . (2.27)

Дифференцируя уравнение (2.26) по t, приходим к формуле (2.20), где в со-

ответствии с (2.27),

h (t) =1

kTγ

d

dt⟨U ′ (x (0))x (t)⟩st (t > 0) . (2.28)

47

С другой стороны, заменяя в исходном невозмущенном уравнении (2.23)

P (x, t) на установившуюся плотность вероятностей переходов Pst (x, t|x0, 0),

домножая обе его части на xx0Pst (x0) и интегрируя по x и x0 в бесконечных

пределах, находим

d

dtK0

x (t) = −1

γ⟨x (0)U ′ (x (t))⟩st , (2.29)

где K0x (t) = ⟨x (0)x (t)⟩st – функция корреляции флуктуаций координаты

броуновской частицы в равновесном состоянии. Дифференцируя соотноше-

ние (2.29) по t и учитывая очевидную связь корреляционных функций коор-

динаты и скорости частицы

K0v (t) = − d2

dt2K0

x (t) ,

получаем

K0v (t) =

1

γ

d

dt⟨x (0)U ′ (x (t))⟩st . (2.30)

Сопоставление соотношений (2.28) и (2.30) показывает, что при равенстве

средних ⟨U ′ (x (0)) x (t)⟩st и ⟨x (0)U ′ (x (t))⟩st ФДТ (2.21) остается справед-

ливой. А это имеет место лишь при статистической обратимости во времени

стационарного случайного процесса x (t). Поскольку, как уже отмечалось вы-

ше, любой марковский диффузионный процесс обладает свойством времен-

ной симметрии, то в данной ситуации мы не имеем проблем с переходом от

уравнения (2.15) к упрощенной стохастической модели (2.22).

3. Однако, все становится не столь очевидным при замене теплового ис-

точника ξ (t) в уравнении (2.11) негауссовым белым шумом, либо “цветным”

гауссовым шумом. При этом, конечно, и само ланжевеновское уравнение долж-

но быть изменено. Для гауссова аддитивного теплового источника с нулевым

средним значением и функцией корреляции Kξ (τ) = ⟨ξ (t) ξ (t+ τ)⟩ стоха-

стическое уравнение (2.11) с U (x) = 0 переходит в обобщенное уравнение

48

Ланжевена в форме Кубо-Мори [114, 115] для скорости частицы

mv +

∫ t

0

γ (t− τ) v (τ) dτ = ξ (t) , (2.31)

где нелокальная диссипация γ (τ) и функция корреляции теплового шума

Kξ (τ) связаны флуктуационно–диссипационным соотношением (ФДС)

Kξ (τ) = kTγ (τ) , (2.32)

являющимся обобщением (2.12).

Покажем, что для некоторых корреляционных функций Kξ (τ) в обобщен-

ном ланжевеновском уравнении (2.31) возникают проблемы со сходимостью

к равновесию в асимптотике. Применяя к (2.31) преобразование Лапласа,

имеем

v (s) =mv0 + ξ (s)

ms+ γ (s), (2.33)

где: v0 – начальная скорость частицы, v (s), γ (s) и ξ (s) – изображения по Ла-

пласу соответственно скорости v (t), функции диссипации γ (t) и шумового

источника ξ (t). После усреднения обеих частей уравнения (2.33) и примене-

ния предельных (Тауберовых) теорем легко найти асимптотическое значение

средней скорости броуновской частицы

⟨v⟩st = lims→0

mv0s

ms+ γ (s). (2.34)

Для вычисления предела (2.34) разложим функцию γ (s) в степенной ряд по

s, предполагая, что это разложение существует. Тогда в соответствии с (2.32)

получаем

γ (s) =2Sξ (0)

kBT− s

kBT

∫ ∞

0

τKξ (τ) dτ +s2

2kBT

∫ ∞

0

τ 2Kξ (τ) dτ . . . , (2.35)

где Sξ (ω) – спектральная плотность мощности шумового источника ξ (t). Для

теплового резервуара с Sξ (0) = 0 уравнение (2.34) дает ожидаемый результат

⟨v⟩st = 0. Однако, в случае Sξ (0) = 0 из (2.34) и (2.35) приходим к

⟨v⟩st = v0

(1 − 1

mkBT

∫ ∞

0

τKξ (τ) dτ

)−1

. (2.36)

49

Как следует из (2.36), броуновская частица в равновесии имеет ненулевую

среднюю скорость! Более того, ⟨v⟩st зависит от начальной скорости v0 и мо-

жет достигать, в принципе, бесконечности. Таким образом, мы имеем очевид-

ные проблемы с выполнением ФДТ (2.21). Очевидно, ситуацию можно спасти,

полагая вероятностное распределение начальной скорости частицы равновес-

ным. На это обстоятельство впервые было обращено внимание в [116] (см.

также последующую дискуссию в [117, 118]). Следует также отметить, что во

многих работах [116]-[126] исследовалась возможность проявления аномаль-

ной (и, в частности, баллистической) диффузии в системе (2.31) с нулевым

статическим трением γ (0).

Если интеграл в (2.36) расходится, мы имеем дело с так называемым

супер-омическим тепловым резервуаром, когда γ (s) ∼ sα−1 (1 < α < 2)

при s → 0, и в результате корреляционная функция случайной силы ξ(t)

спадает по степенному закону: Kξ (τ) ∼ τ−α при τ → ∞. В этом случае со-

отношение (2.34) дает ⟨v⟩st = 0, и ФДТ (2.21) выполняется, но приходим к

супердиффузии.

Для того, чтобы продемонстрировать это, нам понадобится формула свя-

зи спектральной плотности флуктуаций стационарного случайного процесса

v(t) с его изображением по Лапласу v (s)

Sv−⟨v⟩ (ω) = 2 limε→0

ε⟨|v (ε− iω)|2

⟩, (2.37)

установленная Р.Л. Стратоновичем [127]. Подставляя (2.32) и (2.33) в (2.37),

находим спектр флуктуаций скорости, а по нему и спектральную плотность

флуктуаций координаты частицы в равновесном состоянии

S0x−⟨x⟩ (ω) =

4k2BT2Sξ (ω)

ω2S2ξ (ω) + [2kBTmω −Gξ (ω)]2

, (2.38)

где

Gξ (ω) = 2

∫ ∞

0

Kξ (τ) sinωτdτ. (2.39)

50

Поскольку Sξ (ω) ∼ ωα−1 при ω → 0, из (2.38) и (2.39) находим закон расхо-

димости спектра флуктуаций координаты при ω → 0: S0x−⟨x⟩ (ω) ∼ ω−(α+1).

Такое поведение соответствует быстрой диффузии: ⟨[x(t) − ⟨x⟩]2⟩ ∼ tα при

t→ ∞ с 1 < α < 2.

§ 2.2. Нелинейное броуновское движение: проблема

получения стохастического уравнения Ланжевена для

частицы, взаимодействующей с негауссовым

термостатом

Гауссов термостат во многих случаях является хорошей, но, тем не менее,

идеализированной физической ситуацией. Даже в простом случае броунов-

ской частицы, взаимодействующей с молекулами раствора, случайные столк-

новения могут быть описаны скорее с помощью пуассоновской, нежели гауссо-

вой статистики. В случае частых и небольших изменений при столкновениях

(предел слабых столкновений) центральная предельная теорема гарантирует

гауссову статистику. С другой стороны, нечастые и сильные столкновения

требуют описания на языке основного кинетического уравнения с помощью

линеаризованного уравнения Больцмана с ядром столкновений. Два указан-

ных типичных случая относятся к ситуации с газом в Рэлеевском пределе,

т.е. тяжелой частицы, испытывающей столкновения с тепловым резервуаром

легких частиц, что дает аргументы в пользу предела слабых столкновений

и предела Лоренца для легкой частицы, сталкивающейся с термостатом тя-

желых частиц (предел сильных столкновений), см. раздел 5 в работе [128]

и обзор по “линейному газу” [129]. Подобная ситуация с нелинейным негаус-

совым белым шумом вездесуща для сценариев химических реакций, т.е. для

теории темпов мономолекулярных реакций [128].

В соответствии с нелинейными флуктуационно-диссипационными теоре-

51

мами [98, 100, 101], наличие нелинейного резистора в электрической цепи

внутренне подразумевает существование корреляций высших порядков в рав-

новесных флуктуациях тока. Относительно малое число носителей заряда в

полупроводниковых тонких пленках может обеспечить негауссовость дробо-

вого шума, т.е. центральная предельная теорема неприменима к такой ситу-

ации. Наконец, молекулярные колебания в твердых телах в общем случае не

являются гармоническими, и гауссово приближение для такого термостата

неоправданно при высоких температурах.

Некоторые первые шаги к решению проблемы негауссовых тепловых флук-

туаций в нелинейных системах путем введения в уравнения Ланжевена вме-

сте с нелинейным трением мультипликативного белого гауссова шума были

предприняты в работах [111, 207, 130, 131] в рамках теории марковских про-

цессов. К другим случаям относится описание электрических цепей с конден-

сатором и нелинейным диодом с помощью уравнения Ланжевена в линейно-

квадратичном приближении [132] (см. также [161]). Несмотря на все преды-

дущие работы, расширение феноменологического метода Ланжевена на сто-

хастические нелинейные динамические системы, содержащие негауссовы теп-

ловые шумы, представляет собой еще частично нерешенную проблему.

В этом параграфе предпринята попытка решения одной из проблем нели-

нейного броуновского движения [134], а именно предлагается процедура по-

строения корректного с термодинамической точки зрения последовательно-

го ланжевеновского описания [135] поведения броуновской частицы, взаимо-

действующей с негауссовым тепловым резервуаром. На основе равновесного

распределения Гиббса и условия “детального баланса” [111] выводится общее

интегро-дифференциальное операторное соотношение, содержащее нелиней-

ное трение и зависящую от скорости интенсивность шума. Точные результа-

ты совпадают в часто применяемом случае линейной диссипации с известным

результатом для аддитивного белого гауссового источника шума.

52

1. Рассмотрим броуновскую частицу, движущуюся в потенциале U (x) и

взаимодействующую с тепловым резервуаром температуры T . Предположим,

что стохастическая динамика системы описывается следующим уравнением

Ланжевена, интерпретируемым в смысле Стратоновича,

mv = −F (v) − dU (x)

dx+ Ψ (v) ξ (t) . (2.40)

Здесь: x(t) и v(t) = x(t) соответственно координата и скорость частицы, m –

масса частицы, F (v) – пока неизвестная нелинейная функция диссипации (в

случае аддитивного шума: Ψ(v) = const. – сила трения) и Ψ(v) ξ(t) – мульти-

пликативная случайная сила, которая может быть представлена негауссовым

белым шумом ξ(t) с зависящей от скорости интенсивностью Ψ2(v). Негауссов

белый шум ξ(t) интерпретируется как производная обобщенного винеровско-

го процесса L(t) (процесса Леви), рассмотренного в § 1.1 первой главы, т.е.

ξ(t) = L(t).

В соответствии с общими флуктуационно-диссипационными соотношени-

ями [98], следует ожидать определенной связи нелинейного трения F (v) и

функции Ψ(v) при заданной статистике шума ξ(t), близкой по духу соотноше-

нию Эйнштейна-Сазерленда (2.12) между коэффициентом линейного демп-

фирования и интенсивностью аддитивного гауссова шума. Наш дальнейший

анализ базируется на двух основных принципах статистической механики:

во-первых, результирующее совместное равновесное вероятностное распреде-

ление координаты и скорости частицы должно иметь форму распределения

Гиббса, т.е.

Pst(x, v) = Z0 e−H0(x,v)/kBT , (2.41)

где Z0 – постоянная нормировки и kB – постоянная Больцмана. Подставляя в

(2.41) гамильтониан H0(x, v) = mv2/2 +U(x) системы (2.40), приходим к хо-

рошо известному стационарному вероятностному распределению Максвелла-

53

Больцмана

Pst(x, v) = Z0 e−mv2/2kBT−U(x)/kBT . (2.42)

Вторым принципом является условие “детального баланса” [111], которое бе-

рет свое начало в микроскопической обратимости. Согласно этому принципу,

а также четности (+1) переменной x и нечетности (−1) скорости v при обра-

щении времени, справедливо следующее соотношение для совместной двумо-

ментной плотности вероятности с τ > 0

Pst(x, v, τ ;x0, v0) = Pst(x,−v,−τ ; x0,−v0) = Pst(x0,−v0, τ ;x,−v). (2.43)

Для получения замкнутого уравнения для совместной плотности вероят-

ности P (x, v, t) применим функциональный метод, изложенный в § 1.2 пер-

вой главы. Для этого перепишем (2.40) в форме следующей системы уравне-

ний

x = v,

v = −F (v)

m− U ′ (x)

m+

Ψ (v)

mξ (t) . (2.44)

Используя выражение для P (x, v, t) в форме статистического среднего, т.е.

P (x, v, t) = ⟨δ (x− x (t)) δ (v − v (t))⟩ (2.45)

и принимая во внимание (2.44), приходим к

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+

1

m

∂

∂v[F (v)P ] +

1

mU ′ (x)

∂P

∂v−

1

m

∂

∂vΨ (v) ⟨ξ (t) δ (x− x (t)) δ (v − v (t))⟩ . (2.46)

Для размыкания среднего в (2.46) применим формулу (1.19). Поскольку

x (t) и v (t) – функционалы случайного процесса ξ (t) и, кроме того, согласно

(2.44),δx (t)

δξ (t)= 0,

δv (t)

δξ (t)=

Ψ (v)

m,

54

получаем

δ

δξ (t)δ (x− x (t)) δ (v − v (t)) = − 1

m

∂

∂vΨ (v) δ (x− x (t)) δ (v − v (t)) .

(2.47)

Подставляя Rt [ξ] = δ (x− x (t)) δ (v − v (t)) в (1.19) и принимая во внимание

соотношения (2.45) и (2.47), находим

⟨ξ (t) δ (x− x (t)) δ (v − v (t))⟩ =

∫ +∞

−∞

ρ (z)

z2dz

×∫ z

0

[exp

− y

m

∂

∂vΨ (v)

− 1

]P (x, v, t) dy. (2.48)

Подставляя (2.48) в (2.46) и выполняя интегрирование по y, приходим к сле-

дующему интегро-дифференциальному уравнению Колмогорова для плотно-

сти вероятности P (x, v, t):

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+

1

m

∂

∂v[F (v)P ] +

1

mU ′ (x)

∂P

∂v(2.49)

+

∫ +∞

−∞

ρ(z)

z2

[exp

− z

m

∂

∂vΨ (v)

− 1 +

z

m

∂

∂vΨ (v)

]P (x, v, t) dz.

Используя прямое и обратное уравнения Колмогорова можно записать

условие “детального баланса” (2.43) в форме эквивалентности двух операто-

ров: кинетического L(x, v) и сопряженного ему L+(x, v) [98, 136]

1

Pst (x, v)L (x, v)Pst (x, v) = L+ (x,−v) . (2.50)

Операторное соотношение (2.50) понимается в смысле применения к произ-

вольной дифференцируемой функции g(x, v). Подставляя далее в (2.50) рав-

новесное распределение Максвелла-Больцмана из (2.42), кинетический опе-

ратор L(x, v) из (2.49) и принимая во внимание нечетность функции дисси-

пации F (v) и четность функции Ψ(v), стоящей при шуме, приходим после

55

несложных преобразований к

d

dv

[F (v) e−mv2/2kBT

]+ 2F (v) e−mv2/2kBT

d

dv+

m

∫ +∞

−∞

ρ(z)

z2

[exp

− z

m

d

dvΨ (v)

+z

m

d

dvΨ (v)

]e−mv2/2kBTdz =

m

∫ +∞

−∞

ρ(z)

z2e−mv2/2kBT

[exp

− z

mΨ (v)

d

dv

+z

mΨ (v)

d

dv

]dz. (2.51)

Формула (2.51) это эквивалентность двух интегро-дифференциальных опе-

раторов. Когда все интегралы

Bn =

∫ +∞

−∞znρ (z) dz (2.52)

сходятся, уравнение (2.51) может быть записано в более компактной диффе-

ренциальной форме

d

dv

[F (v) e−mv2/2kBT

]+ 2F (v) e−mv2/2kBT

d

dv+ (2.53)

∞∑n=2

(−1)nBn−2

mn−1 n!

[d

dvΨ (v)

]ne−mv2/2kBT − e−mv2/2kBT

[Ψ (v)

d

dv

]n= 0.

Соотношения (2.51) и (2.53) и есть главный результат нашего исследования.

2. Проанализируем сначала операторное соотношение (2.50) для мульти-

пликативного гауссова белого шума. Подставляя ρ(z) = 2Dδ(z) в (2.52) и

(2.53), получаем

d

dv

[F (v) e−mv2/2kBT

]+ 2F (v) e−mv2/2kBT

d

dv+

D

m

[d

dvΨ (v)

]2e−mv2/2kBT − e−mv2/2kBT

[Ψ (v)

d

dv

]2= 0. (2.54)

После ряда преобразований (2.54) можно записать в виде[F (v) e−mv2/2kBT +

D

mΨ (v)

(Ψ (v) e−mv2/2kBT

)′]′+

2

[F (v) e−mv2/2kBT +

D

mΨ (v)

(Ψ (v) e−mv2/2kBT

)′] d

dv= 0. (2.55)

56

Из (2.55) можно извлечь единственное фундаментальное соотношение между

нелинейным трением F (v) и зависящей от скорости интенсивностью шума

Ψ2(v)

F (v) =Dv

kBTΨ2 (v) − D

2m

[Ψ2 (v)

]′. (2.56)

Для аддитивного шумового источника (Ψ(v) = 1) из (2.56) получаем хо-

рошо известный результат для линейного трения

F (v) = γv (2.57)

с коэффициентом диссипации γ, удовлетворяющим соотношению Эйнштейна-

Сазерленда (2.12).

В общем случае можно легко решить линейное дифференциальное урав-

нение первого порядка (2.56) для отыскания мультипликативной функции

Ψ(v) в уравнении (2.40) при заданном нелинейном трении F (v). Это решение

с учетом (2.12) таково

Ψ2 (v) =2m

Demv2/kBT

∫ +∞

v

F (u) e−mu2/kBTdu. (2.58)

Например, для кулоновского трения F (v) = µ sgn(v) [137] из (2.58) нахо-

дим

Ψ2 (v) =µm

D

√π

κeκv

2

erfc(√

κ |v|), (2.59)

где: κ = m/(kBT ) и erfc (z) – дополнительная функция ошибок. Зависящая от

скорости амплитуда шума Ψ(v), даваемая соотношением (2.59), представлена

на Рис. 2.2 для различных значений безразмерного параметра κ.

-4 -2 2

0.5

1

1.5

2

0

Y(v)

v

57

Рисунок 2.2. Случай кулоновского трения: зависимость амплитуды муль-

типликативного теплового шума Ψ(v) от скорости частицы v для параметра

µm/D = 1 и различных значений параметра κ = m/(kBT ): κ = 0.5 (верхняя

кривая), κ = 1 (средняя кривая), κ = 5 (нижняя кривая).

3. Для негауссова теплового шума, такого как белый дробовой шум (1.16),

соотношение (2.53) дает

d

dv

[F (v) e−mv2/2kBT

]+ 2F (v) e−mv2/2kBT

d

dv+ (2.60)

ν∞∑n=2

(−1)n ⟨an⟩mn−1 n!

[d

dvΨ (v)

]ne−mv2/2kBT − e−mv2/2kBT

[Ψ (v)

d

dv

]n= 0.

Операторное соотношение (2.60) имеет сложную структуру, и его не удает-

ся легко разрешить. Такая же ситуация возникает даже для аддитивного

(Ψ(v) = 1) негауссова белого шума. Таким образом, проблема получения

правильной мультипликативной структуры шума остается открытой.

§ 2.3. Структура полиспектров масштабно-инвариантных

полей: приложение к турбулентности

Проблема турбулентности притягивает внимание физиков более семи де-

сятилетий. В то же время, как причины трансформации ламинарного потока

жидкости в турбулентный по-прежнему неуловимы, так остаются безуспеш-

ными и любые попытки получения спектров турбулентности из уравнения

Навье-Стокса. Сначала было много попыток получить сокращенное описа-

ние динамики Навье-Стокса, включающее только энергетический спектр или

конечное число статистических характеристик (приближение прямого взаи-

модействия [138, 139], процедуры замыкания [140]). В последнее время стали

широко применяться в турбулентности “теоретико-полевые методы”: функци-

ональный и диаграммный (см., например, [141]), метод ренормгруппы [142].

Как правило, в этих статистических методах теории турбулентности в урав-

нение Навье-Стокса вводятся фиктивные случайные силы и/или случайные

58

начальные условия, а затем выполняется расчет спектра и структурной функ-

ции поля скоростей при множестве дополнительных необоснованных предпо-

ложений. При этом Колмогоровский степенной закон для спектра полностью

развитой турбулентности остается одним из основных аналитических резуль-

татов. Он был получен из соображений размерности более семидесяти лет

назад [143].

В данном параграфе предлагается новая техника исследования глобаль-

ной вероятностной структуры случайных полей. Этот статистический метод

основан на предположении, что случайные поля обладают свойством мас-

штабной инвариантности, что позволяет выявить структуру их простран-

ственных спектров высшего порядка (полиспектров). В частности, можно

показать, что спектры высшего порядка имеют степенную зависимость от

комбинированного волнового числа. Как известно, в отличие от обычного

спектра, полиспектры негауссовых случайных полей несут информацию о

фазах пространственных гармоник. В приложении к турбулентности, гипо-

теза масштабной инвариантности позволяет определить параметры степен-

ной зависимости спектров высшего порядка поля скоростей и давления из

известного закона скейлинга (см., например, [141]). Сопоставление получен-

ных результатов с экспериментальными данными по измерению одномерного

пространственного спектра третьего порядка (биспектра) может служить до-

полнительным аргументом в поддержку гипотезы Колмогорова.

1. Согласно определению, масштабно-инвариантным скалярным случай-

ным полем называется однородное поле u(r, t), статистически эквивалентное

случайному полю λ−pu(λr, t), т.е. (см. (2.1))

u(r, t)d= λ−pu(λr, t), (2.61)

где: λ – произвольный положительный параметр, p – показатель скейлин-

га. Векторные поля обладают похожим свойством, если скейлинговое соот-

ношение (2.61) имеет место для каждой из их проекций. Реальные случай-

59

ные поля являются, в строгом смысле, негауссовыми, и поэтому характери-

зуются не только обычным пространственным спектром, но также спектрами

высших порядков (полиспектрами), определенными как многомерное Фурье-

преобразование ⟨u(r, t), u(r + ρ1, t), . . . , u(r + ρn−1, t)⟩ - высших корреляцион-

ных (кумулянтных) функций однородного поля u(r, t) (записанных для удоб-

ства в форме кумулянтной скобки [144]),

Sn(k1, . . . , kn−1; t) =1

(2π)3n−3

∫ +∞

−∞⟨u(r, t), u(r + ρ1, t), . . . , u(r + ρn−1, t)⟩

× exp

−i

n−1∑j=1

kjρj

dρ1 · · · dρn−1 . (2.62)

В отличие от обычного спектра физический смысл спектров высших поряд-

ков не столь очевиден, однако, можно дать наглядную интерпретацию про-

стейшим из них: пространственному биспектру (n = 3) и пространственному

триспектру (n = 4). Биспектр отражает наличие квадратичной связи по фа-

зе между пространственными гармониками поля, а триспектр обнаруживает

присутствие длинноволновой амплитудной модуляции. Статистическая экви-

валентность полей в (2.61) подразумевает равенство всех их спектров выс-

ших порядков, также как и обычного спектра. Предположение о масштабной

инвариантности случайного поля позволяет предсказать структуру этих пол-

испектров, а затем проверить обоснованность этой гипотезы в эксперименте.

Нетрудно получить из скейлингового соотношения (2.61) формулу экви-

валентности пространственных гармоник

U(k, t) =1

8π3

∫ +∞

−∞u(r, t)e−ikrdr (2.63)

скалярного поля u(r, t)

U(k, t)d= Λp+3U(Λk, t), Λ = 1/λ. (2.64)

Следует заметить, что эквивалентность (2.64) может существовать в опре-

деленной ограниченной области волновых чисел k (как это имеет место для

60

однородной изотропной турбулентности) при отсутствии масштабной инва-

риантности (2.61).

Воспользуемся другим способом введения спектров высших порядков, эк-

вивалентным в силу (2.63) определению (2.62),⟨U(k1, t), U(k2, t), . . . , U(kn, t)

⟩= Sn(k1, . . . , kn−1; t) δ(k1 + k2 + . . .+ kn).

(2.65)

Подстановка (2.64) в (2.65) и сравнение правых частей полученных соотно-

шений приводит к равенству

Sn(k1, . . . , kn−1; t) = Λn(p+3)−3Sn(Λk1, . . . ,Λkn−1; t). (2.66)

Уравнение (2.66) показывает, что полиспектры масштабного-инвариантного

скалярного поля являются однородными функциями степени [n(p+ 3) − 3].

В отличие от Фурье-преобразований моментных функций спектры высших

порядков не имеют сингулярных особенностей, и их можно дифференциро-

вать в обычном смысле. По теореме Эйлера данные однородные функции

должны удовлетворять следующему дифференциальному уравнению

k1∂Sn

∂k1+ · · · + kn−1

∂Sn

∂kn−1

+ [n (p+ 3) − 3]Sn = 0. (2.67)

Для дальнейшего анализа общее решение уравнения (2.67) удобно запи-

сать в виде произведения некоторой комплекснозначной функции (3n − 4)

безразмерных переменных и степенной функции комбинированного волново-

го числа K =√k21 + · · · + k2n−1 (ki = |ki|)

Sn(k1, . . . , kn−1; t) = Φ

(k1K, . . . ,

kn−1

K; t

)1

K n(p+3)−3. (2.68)

В частных случаях n = 2, n = 3 и n = 4 формула (2.68) дает следующие сте-

пенные зависимости для пространственного спектра, пространственного бис-

пектра B(k, q; t) ≡ S3(k, q; t) и пространственного триспектра Tr(k, q, κ; t) ≡

61

S4(k, q, κ; t) масштабно-инвариантного однородного случайного поля

S(k; t) ∼ 1

k 2p+3,

B(k, q; t) ∼ 1

(k2 + q2)3(p+2)/2, (2.69)

Tr(k, q, κ; t) ∼ 1

(k2 + q2 + κ2)(4p+9)/2.

Поскольку практически невозможно провести анализ всех спектров высших

порядков, можно предложить следующую процедуру экспериментальной про-

верки скейлинга. Как видно из (2.69), существует вполне определенная связь

показателя спектра α = 2p+ 3 с показателем биспектра β = 3 (p+ 2) и пока-

зателем триспектра γ = 4p+ 9 масштабно-инвариантного скалярного поля

β =3(α + 1)

2, γ = 2α + 3 . (2.70)

Экспериментальная проверка этой взаимосвязи дает возможность косвенно

подтвердить или полностью отвергнуть гипотезу масштабной инвариантно-

сти.

2. Как было установлено Колмогоровым из соображений размерности [143],

спектр энергии однородной изотропной турбулентной жидкости в инерцион-

ном интервале имеет обратную степенную зависимость от волнового числа

с показателем 5/3. В силу изотропности турбулентного потока показатель α

трехмерного спектра поля скоростей v (r, t) равен −11/3 для больших волно-

вых чисел. В соответствии с (2.69) это означает, что поле скоростей обладает

скейлинговым свойством на малых масштабах. Такая турбулентность носит

название полностью развитой турбулентности.

Из (2.64) и (2.69) легко найти скейлинговый показатель пространственных

гармоник поля [141] p = 1/3, а затем и показатель спектра n-го порядка

S(v)n (k1, . . . , kn−1) ∼ K− 10n−9

3 . (2.71)

Соотношение эквивалентности (2.64) пространственных гармоник проекций

62

поля скоростей при этом принимает вид

Vi(k, t)d= Λ10/3Vi(Λk, t) , (2.72)

а формула (2.70) показывает, что показатель биспектра β = 7, т.е.

Bv(k, q) =Φ(ϑ1, φ1, ϑ2, φ2, ψ)

(k2 + q2)7/2, (2.73)

где: Φ – безразмерная функция сферических угловых координат ϑ1, φ1 и ϑ2,

φ2 волновых векторов k и q соответственно, ψ = arctan (q/k). В силу вы-

шеупомянутого свойства изотропности полностью развитой турбулентности

можно упростить формулу (2.73) для трехмерного пространственного бис-

пектра Bv(k, q). Неизвестная функция Φ должна зависеть лишь от ψ и угла

θ между волновыми векторами k, q, т.е.

Bv(k, q) =Φ(θ, ψ)

(k2 + q2)7/2. (2.74)

Гипотеза масштабной инвариантности позволяет определить и спектраль-

ные характеристики поля давления p(r, t) однородной гидродинамической

турбулентности в инерционном интервале. Из формулы взаимосвязи поля

давления и поля скоростей несжимаемой жидкости плотности ρ (см., напри-

мер, [145])

p(r, t) = −ρ3∑

i=1

3∑j=1

∂vj(r, t)

∂xi

∂vi(r, t)

∂xj(2.75)

вытекает следующее соотношение для комплексных амплитуд поля давления

P (k, t) = − ρ

k2

3∑i=1

3∑j=1

∫ +∞

−∞qj(ki − qi)Vi(q, t)Vj(k − q, t)dq. (2.76)

Принимая во внимание соотношение эквивалентности (2.72), из (2.76) нахо-

дим

P (k, t)d= Λ11/3P (Λk, t) . (2.77)

63

Сравнение (2.64) и (2.77) свидетельствует, что скейлинговый показатель поля

давления равен p = 2/3, а показатель спектра n-го порядка составляет (11n−

9)/3, так что

S(p)n (k1, . . . , kn−1) ∼ K− 11n−9

3 . (2.78)

В частности, для трехмерного спектра (n = 2) и биспектра (n = 3) акусти-

ческого поля из (2.78) имеем

Sp(k) ∼ k−13/3,

Bp(k, q) ∼ (k2 + q2)−4. (2.79)

Следует заметить, что метод размерностей дает точно такую же зависимость

спектра поля давления от модуля волнового вектора (см. [146]).

3. В работах [147]-[152] были представлены результаты эксперименталь-

ных измерений одномерного биспектра компоненты скорости ветра и скоро-

сти пристенного слоя жидкости в инерционном интервале. Была обнаружена

следующая зависимость данного биспектра

Bv(k1, q1) =εF (ϑ)

(k21 + q21)3/2

, (2.80)

связанного с трехмерным биспектром (2.74) соотношением

Bv(k1, q1) =

∫ +∞

−∞Bv(k, q) dk2 dk3 dq2 dq3 , (2.81)

где интегрирование ведется по одноименным компонентам волновых векто-

ров k и q. В формуле (2.80) ε – средний темп диссипации энергии на единицу

массы от крупных вихрей и F – некоторая безразмерная функция угловой

переменной ϑ = arctan (q1/k1). Впоследствии соотношение (2.80) было по-

лучено в [153, 154] аналитическими методами статистической теории турбу-

лентности, хотя, как показано в [147, 155], знания одномерного биспектра

(2.80) недостаточно для расчета скорости изменения кинетической энергии.

Для этого необходимо найти мнимую часть трехмерного биспектра (2.74), ибо

64

в отличие от обычного спектра, фаза этого биспектра несет информацию о

нелинейных взаимодействий между тремя пространственными гармониками

случайного поля с нулевой векторной суммой: k1 + k2 + k3 = 0. Посредством

этого он регулирует передачу энергии в одну из пространственных мод вслед-

ствие взаимодействия двух других и дает возможность получать более глубо-

кое представление о динамике инерциальных механизмов перераспределения

энергии между вихрями.

Для сравнения наших результатов с экспериментальными данными вы-

полним интегрирование по переменным k2, k3, q2, q3 не в соотношении (2.74),

а непосредственно в дифференциальном уравнении для трехмерного биспек-

тра поля скоростей. Подстановка n = 3 и p = 1/3 в (2.67) дает

k∂Bv(k, q)

∂k+ q

∂Bv(k, q)

∂q+ 7Bv(k, q) = 0 . (2.82)

После интегрирования уравнения (2.82), в соответствии с (2.81), по перемен-

ным k2, k3, q2, q3 приходим к следующему уравнению для трехмерного бис-

пектра Bv(k1, q1)

k1∂Bv(k1, q1)

∂k1+ q1

∂Bv(k1, q1)

∂q1+ 3Bv(k1, q1) = 0 . (2.83)

Его решение записывается в виде

Bv(k1, q1) =G(ϑ)

(k21 + q21)3/2

. (2.84)

Далее из соображений размерности нетрудно выделить параметр ε из функ-

ции G(ϑ) в (2.84) и получить экспериментальный результат (2.80).

65

3 ГЛАВА

Исследование статистических характеристик нелинейных

динамических систем в установившихся режимах

§ 3.1. Стационарные вероятностные характеристики

гармонического осциллятора с предельно быстрыми

флуктуациями частоты

[27, 29, 33, 36, 39, 54, 57, 61]

Широкий класс явлений может быть адекватно описан стохастическими

уравнениями с мультипликативным шумом, которые учитывают зависимость

флуктуаций от состояния системы. Здесь следует упомянуть такие пробле-

мы как распространение волн в случайно-неоднородных средах, флуктуа-

ционные явления в лазерах, прецессию спина во внешнем случайном маг-

нитном поле, задачи химической кинетики и динамики популяций (см., на-

пример, [156]-[161]). Наиболее изученной моделью, на которой тестировались

различные приближенные аналитические методы анализа подобных систем,

является классический осциллятор с флуктуирующей частотой

x+ γx+[Ω2

0 + η (t)]x = ξ (t) , (3.1)

где: x (t) и Ω0 – координата и частота осциллятора, γ – коэффициент за-

тухания. Процессы ξ (t) и η (t) могут быть как детерминированными, так

и случайными. Поведение простейших моментов координаты осциллятора

и моментная неустойчивость наиболее изучены в литературе (см. моногра-

фию [162] и библиографию в ней). При этом нерешенной проблемой остается

отыскание стационарных вероятностных распределений координаты и скоро-

сти осциллятора.

В данном параграфе предлагается решение указанной задачи в пределе

66

малого трения. Сначала получено замкнутое уравнение для совместного ве-

роятностного распределения координаты и скорости осциллятора, а затем с

помощью рекуррентного соотношения между моментами в установившемся

состоянии восстанавливаются искомые стационарные плотности вероятности.

1. Далее проанализируем случай, когда в уравнении (3.1) ξ (t) – гауссов

белый шум с нулевым средним значением и интенсивностью 2D. В качестве

внешнего параметрического воздействия рассмотрим статистически незави-

симый от ξ (t) негауссов белый шум η (t) с нулевым средним значением, яв-

ляющийся производной процесса Леви L(t), т.е. η(t) = L(t). Прежде всего,

запишем уравнение (3.1) в виде следующей системы уравнений для коорди-

наты x (t) и скорости v (t) осциллятора

x = v,

v = −γv −[Ω2

0 + η (t)]x+ ξ (t) . (3.2)

Согласно (3.2), случайный вектор-процесс x (t) , v (t) является марковским,

и для получения замкнутого уравнения для совместной плотности вероятно-

сти P (x, v, t) применим описанный в первой главе функциональный метод.

Используя хорошо известное представление P (x, v, t) в форме среднего

P (x, v, t) = ⟨δ (x− x (t)) δ (v − v (t))⟩ , (3.3)

дифференцируя обе части (3.3) по t и принимая во внимание уравнения (3.2),

приходим к

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+

∂

∂v

(γv + Ω2

0x)P − ∂

∂v⟨ξ (t) δ (x− x (t)) δ (v − v (t))⟩

+ x∂

∂v⟨η (t) δ (x− x (t)) δ (v − v (t))⟩ . (3.4)

Для размыкания средних в (3.4) применим формулу Фуруцу-Новикова (1.4)

для гауссова белого шума ξ (t) и ее обобщение (1.19) на случай негауссова

белого шума η (t). Как координата x (t), так и скорость v (t) являются функ-

ционалами случайных процессов ξ (t) и η (t), и из уравнений (3.2) можно

67

найти вариационные производные

δx (t)

δξ (t)= 0,

δv (t)

δξ (t)= 1,

δx (t)

δη (t)= 0,

δv (t)

δη (t)= −x (t) . (3.5)

В результате из (3.3), (1.4) и (3.5) получаем⟨δ

δξ (t)δ (x− x (t)) δ (v − v (t))

⟩= −∂P

∂v,

δ

δη (t)δ (x− x (t)) δ (v − v (t)) = x

∂

∂vδ (x− x (t)) δ (v − v (t)) . (3.6)

Полагая в (1.19) Rt [η] = δ (x− x (t)) δ (v − v (t)) и принимая во внимание

(3.3) и (3.6), находим

⟨η (t) δ (x− x (t)) δ (v − v (t))⟩ =

∫ ∞

−∞

ρ (z)

z2dz

∫ z

0

(eyx ∂/∂v − 1

)P (x, v, t) dy.

(3.7)

Подставляя (3.6) и (3.7) в (3.4) и выполняя интегрирование по y, приходим к

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+

∂

∂v

(γv + Ω2

0x)P +D

∂2P

∂v2

+

∫ ∞

−∞

ρ (z)

z2

(ezx ∂/∂v − 1 − zx

∂

∂v

)P (x, v, t) dz. (3.8)

Наконец, принимая во внимание в уравнении (3.8) свойство оператора сдвига

ezx ∂/∂vP (x, v, t) = P (x, v + zx, t) ,

окончательно получаем интегро-дифференциальное уравнение Колмогорова

для совместной плотности вероятности

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+

∂

∂v

(γv + Ω2

0x)P +D

∂2P

∂v2

+

∫ ∞

−∞

ρ (z)

z2[P (x, v + zx, t) − P (x, v, t) − zx

∂

∂vP (x, v, t)] dz. (3.9)

В том случае, когда все моменты

Qk =

∫ ∞

−∞zkρ (z) dz, (3.10)

68

имеющие смысл спектральных интенсивностей высших порядков негауссова

белего шума η(t), существуют, уравнение (3.8) можно записать в дифферен-

циальной форме

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+

∂

∂v

(γv + Ω2

0x)P +D

∂2P

∂v2+

∞∑k=2

Qk−2 xk

k!

∂kP

∂vk. (3.11)

2. Очень сложно найти из уравнения Колмогорова (3.9) как совместную

плотность вероятности Pst (x, v), так и вероятностные распределения коорди-

наты Pst (x) и скорости Pst (v) осциллятора даже в стационарном состоянии.

Однако, можно выбрать другой подход, когда все спектральные интенсивно-

сти высших порядков Qk конечны. Домножая обе части уравнения (3.11) на

xmvn и интегрируя по x и v в бесконечных пределах, получаем следующую

систему уравнений для совместных моментов ⟨xmvn⟩ координаты и скорости

осциллятора

d

dt⟨xmvn⟩ = m

⟨xm−1vn+1

⟩− nγ ⟨xmvn⟩ − nΩ2

0

⟨xm+1vn−1

⟩+Dn (n− 1)

⟨xmvn−2

⟩+

n∑k=2

(−1)k Ckn Qk−2

⟨xm+kvn−k

⟩. (3.12)

В соответствии с (3.12), система уравнений для совместных моментов нечет-

ного порядка m+ n = 2N + 1 содержит только моменты нечетного порядка.

В результате, все такие совместные моменты координаты и скорости обраща-

ются в нуль в асимптотике (t→ ∞). Таким образом, для любых негауссовых

сверхбыстрых флуктуаций частоты η(t) стационарные вероятностные рас-

пределения координаты и скорости осциллятора являются симметричными.

Для вычисления моментов четного порядка ограничимся случаем гауссо-

вых флуктуаций частоты осциллятора η(t) интенсивности 2Q. Тогда в си-

лу того, что ρ(z) = 2Qδ(z), из (3.10) следует: Q0 = 2Q и Qk = 0 для

k ≥ 1. Для совместных моментов 2N -го порядка система (3.12) принимает

69

вид (0 ≤ n ≤ 2N)

d

dt

⟨x2N−nvn

⟩= (2N − n)

⟨x2N−n−1vn+1

⟩− nγ

⟨x2N−nvn

⟩(3.13)

−nΩ20

⟨x2N+1−nvn−1

⟩+ n (n− 1)

[D⟨x2N−nvn−2

⟩+Q

⟨x2N+2−nvn−2

⟩].

Полагая в (3.13) N = 1 и n = 0, 1, 2, находим моменты второго порядка в

установившемся состоянии⟨x2⟩

=D

γΩ20 −Q

, ⟨xv⟩ = 0,⟨v2⟩

= Ω20

⟨x2⟩. (3.14)

Из (3.14) получаем хорошо известное условие энергетической устойчивости

гармонического осциллятора с флуктуирующей частотой (см., например, [162])

Q < γ Ω20 . (3.15)

Данная моментная неустойчивость возникает из-за явления параметрическо-

го резонанса, поскольку мультипликативный шум η(t) с однородной спек-

тральной плотностью мощности содержит все “опасные” спектральные ком-

поненты с частотами ω = 2 Ω0/n, n = 1, 2, 3, . . . Как следует из (3.12), условие

энергетической устойчивости (3.15) не зависит от статистики мультиплика-

тивного белого шума η(t).

Для моментов четвертого порядка (N = 2) система уравнений (3.13) в

сочетании с (3.14) в асимптотике (t→ ∞) дает⟨x3v⟩

= 0,

3⟨x2v2

⟩− Ω2

0

⟨x4⟩

= 0,⟨xv3⟩− γ

⟨x2v2

⟩+Q

⟨x4⟩

+D⟨x2⟩

= 0,⟨v4⟩− 3γ

⟨xv3⟩− 3Ω2

0

⟨x2v2

⟩= 0,

−γ⟨v4⟩− Ω2

0

⟨xv3⟩

+ 3Q⟨x2v2

⟩+ 3D

⟨v2⟩

= 0. (3.16)

Далее будем решать сложную систему уравнений (3.16) для случая малого

трения γ ≪ Ω0, пренебрегая членами более высокого порядка по затуханию.

70

Поскольку, в соответствии с условием (3.15), Q≪ Ω30 приходим к

⟨x4⟩

=6D

2γΩ20 − 3Q

⟨x2⟩,

⟨x2v2

⟩=

Ω20

3

⟨x4⟩,⟨

xv3⟩

= −Q2

⟨x4⟩,

⟨v4⟩

= Ω40

⟨x4⟩. (3.17)

Из (3.17) получаем более сильное, чем (3.15), условие устойчивости моментов

четвертого порядка

Q <2

3γ Ω2

0 . (3.18)

В дальнейших расчетах можно пренебречь моментом⟨xv3⟩, имеющим первый

порядок по параметру затухания γ (см. (3.17) и условие (3.18)), по сравнению

с другими совместными моментами четного порядка.

Можно объяснить, почему в случае малого трения все средние, содержа-

щие скорость в нечетной степени, незначительны. Как следует из уравне-

ния (3.1), в пределе нулевой диссипации (γ → 0) координата осциллятора

становится статистически обратимым во времени случайным процессом (см.

(2.1)) в силу временной симметрии гауссовых белых шумов ξ(t) и η(t). Это

означает, что можно заменить x (t) на x (−t) и v (t) на −v (−t) под знаками

средних. Проделывая эту процедуру в среднем⟨xm(t)v2n−1(t)

⟩, немедленно

приходим к⟨xm(t)v2n−1(t)

⟩= −

⟨xm(−t)v2n−1(−t)

⟩= −

⟨xm(t)v2n−1(t)

⟩, т.е.⟨

xm(t)v2n−1(t)⟩

= 0.

Аналогичным образом из (3.13) для установившихся моментов шестого и

восьмого порядков получаем

⟨x6⟩

=10D

2γΩ20 − 4Q

⟨x4⟩,

⟨v6⟩

= Ω60

⟨x6⟩,⟨

x8⟩

=14D

2γΩ20 − 5Q

⟨x6⟩,

⟨v8⟩

= Ω80

⟨x8⟩. (3.19)

Сопоставляя (3.17) и (3.19), можно по индукции придти к следующим об-

щим соотношениям для моментов четного порядка координаты и скорости

71

осциллятора в установившемся состоянии⟨x2n⟩

=2 (2n− 1)D

2γ Ω20 − (n+ 1)Q

⟨x2n−2

⟩,

⟨v2n⟩

= Ω2n0

⟨x2n⟩. (3.20)

Равенства (3.20) имеют смысл лишь в том случае, если

Q <2γ Ω2

0

n+ 1. (3.21)

Когда интенсивность мультипликативного шума достигает верхней границы в

неравенстве (3.21), момент⟨x2n⟩

(как и все четные моменты меньшего поряд-

ка) обращается в бесконечность, что приводит к моментной неустойчивости

линейной параметрической системы (3.1). Таким образом, гармонический ос-

циллятор с флуктуирующей частотой всегда неустойчив по отношению к мо-

ментам высокого порядка. Это означает, что в установившемся режиме плот-

ности вероятности координаты Pst (x) и скорости Pst (v) осциллятора должны

иметь степенные хвосты.

3. Как видно из неравенства (3.21), в стационарном состоянии все момен-

ты четного порядка, начиная с некоторого номера, неограничены. Исходя из

этого, невозможно реконструировать характеристическую функцию коорди-

наты или скорости осциллятора через стандартное разложение по моментам,

а затем, применяя обратное Фурье-преобразование, получить соответствую-

щее вероятностное распределение. Далее продемонстрируем некоторый мате-

матический трюк, как, опираясь на рекуррентное соотношение (3.20) для мо-

ментов четного порядка координаты осциллятора, найти стационарную плот-

ность вероятности Pst (x).

Вводя для удобства два положительных параметра b = 2√D/Q и µ =

2γΩ20/Q, перепишем рекуррентное соотношение в следующем виде⟨

x2n⟩

=b2 (n− 1/2)

µ− (n+ 1)

⟨x2n−2

⟩. (3.22)

Предполагая, что µ > n + 1 и принимая во внимание первое из уравнений

(3.14), из рекуррентного соотношения (3.22) находим момент 2n-го порядка

72

координаты осциллятора

⟨x2n⟩

=b4 (n− 1/2) (n− 3/2)

(µ− n) (µ− n− 1)

⟨x2n−4

⟩= . . .

=b2n−2 (n− 1/2) (n− 3/2) · . . . · (3/2)

(µ− 3) · . . . · (µ− n) (µ− n− 1)

⟨x2⟩

=b2n (n− 1/2) (n− 3/2) · . . . · (3/2) (1/2)

(µ− 2) (µ− 3) · . . . · (µ− n) (µ− n− 1). (3.23)

Используя формулу приведения для гамма-функции Γ (p)

Γ (p+ 1) = pΓ (p)

и связь бета- и гамма-функций

B (p, q) =Γ (p) Γ (q)

Γ (p+ q),

окончательно приходим к

⟨x2n⟩

=b2nΓ (n+ 1/2) Γ (µ− n− 1)

Γ (1/2) Γ (µ− 1)=b2nB (n+ 1/2, µ− n− 1)

B (1/2, µ− 1). (3.24)

Подставляя в числитель соотношения (3.24) одно из представлений бета-

функции в форме несобственного интеграла с бесконечным пределом

B (p, q) =

∫ ∞

0

tp−1dt

(1 + t)p+q ,

получаем

⟨x2n⟩

=b2n

B (1/2, µ− 1)

∫ ∞

0

tn−1/2dt

(1 + t)µ−1/2.

Замена переменной t = x2/b2 под интегралом дает

⟨x2n⟩

=b2µ−2

B (1/2, µ− 1)

∫ ∞

−∞

x2ndx

(b2 + x2)µ−1/2. (3.25)

Учитывая определение момента 2n-го порядка

⟨x2n⟩

=

∫ ∞

−∞x2nPst (x) dx ,

73

из (3.25) находим плотность вероятности координаты осциллятора в устано-

вившемся состоянии

Pst (x) =b2µ−2

B (1/2, µ− 1) (b2 + x2)µ−1/2. (3.26)

Кривые стационарного вероятностного распределения координаты осцил-

лятора для различных значений параметра µ при фиксированном значении

параметра b = 1.4, которому отвечает следующее отношение интенсивностей

белых шумов: D/Q = 0.5, приведены на Рис. 3.1.

-2 -1 1 2

0.1

0.8

1

0.5

0.3

0

m=5

m=2.5

m=1.5

Pst(x)

x

Рисунок 3.1. Плотность вероятности координаты гармонического осцил-

лятора с флуктуирующей частотой в установившемся состоянии для b = 1.4

и различных значениях параметра µ.

Кривая с µ = 1.5 соответствует хорошо известному распределению Коши

Pst (x) =b

π (b2 + x2), (3.27)

которое не имеет конечных моментов за исключением среднего значения. По-

скольку хвосты вероятностного распределения (3.26) ведут себя в соответ-

ствии со степенным законом: Pst(x) ∼ 1/ |x|2µ−1, конфайнмент (конечность

дисперсии) имеет место лишь при условии 2µ − 3 > 1 или µ > 2 (см. кри-

вые с µ = 2.5 и µ = 5 на Рис. 3.1). В то же время, интересно отметить,

что для µ ≤ 1, т.е. когда интенсивность Q флуктуаций частоты осциллятора

достигает определенного порога

Q ≥ 2γΩ20 , (3.28)

74

вероятностное распределение координаты перестает существовать, поскольку

не может быть отнормировано. Интересно отметить, что условие (3.28) совпа-

дает с полученным ранее в [163], где авторами для случая малой диссипации

найдено установившееся вероятностное распределение амплитуды осциллято-

ра в приближении медленно меняющихся амплитуды и фазы с последующим

усреднением уравнения Фоккера-Планка по быстрым осцилляциям.

Как следует из второго соотношения (3.20), плотность вероятности ско-

рости осциллятора в стационарном состоянии имеет подобную (3.26) форму

Pst (v) =(bΩ0)

2µ−2

B (1/2, µ− 1) (b2 Ω20 + v2)

µ−1/2. (3.29)

С помощью преобразования Фурье можно найти из (3.26) характеристи-

ческую функцию координаты осциллятора в установившемся состоянии

Θst (k) =⟨eikx⟩st

=(b |k|)µ−1Kµ−1 (b |k|)

2µ−2 Γ (µ− 1), (3.30)

где Kν(x) – модифицированная функция Бесселя второго рода (функция

Макдональда). Как видно из (3.30), подобную характеристическую функ-

цию нельзя разложить в степенной ряд по k, что косвенно свидетельствует о

расходимости моментов.

Для симметричного устойчивого шума Леви η (t) с функцией ρ (z) =

K |z|1−α (0 < α < 2) уравнение Колмогорова (3.9) принимает вид

∂P

∂t= −v ∂P

∂x+

∂

∂v

(γv + Ω2

0x)P +D

∂2P

∂v2

+ K

∫ ∞

−∞

dz

|z|1+α [P (x, v + zx, t) − P (x, v, t)] , (3.31)

и к нему нельзя применить вышеуказанный метод, поскольку любые моменты

координаты и скорости осциллятора не существуют. Эта проблема требует

своего решения.

75

§ 3.2. Корреляционные характеристики равновесного

броуновского движения в потенциальных полях

1. Необходимость знания свойств функции корреляции (в том числе и вре-

мени корреляции) равновесного броуновского движения, протекающего при

заданной температуре в той или иной потенциальной яме, возникает в раз-

личных задачах теории нелинейного броуновского движения (см., например,

[164]), а также при анализе статистических характеристик шумов, подвер-

женных нелинейному преобразованию (см., например, [165]).

Броуновское движение в фиксированных потенциальных полях представ-

ляет собой марковский процесс, а его вероятностные характеристики опи-

сываются уравнением Фоккера-Планка (УФП). Для расчета функции корре-

ляции необходимо знать нестационарные решения УФП в соответствующем

потенциальном профиле, отыскание которых является чрезвычайно трудной

задачей.

В то же время существует подход, позволяющий находить точные зна-

чения различных временных характеристик броуновского движения в произ-

вольных потенциалах [368] без обращения к нестационарному решению УФП.

На основе этого подхода в данном разделе диссертации находятся точные зна-

чения времени корреляции стационарного равновесного броуновского движе-

ния в потенциальных ямах произвольной формы. Анализируется зависимость

времени корреляции от интенсивности воздействующего шума.

2. Исследуем одномерное броуновское движение частиц в потенциальном

поле U(x) в режиме сильного затухания (большой вязкости), описываемое

уравнением Ланжевена

x = −U ′(x) + ξ(t) , (3.32)

где x(t) – координата броуновской частицы, а ξ(t) – описывающий тепловые

флуктуации белый шум с нулевым средним значением и функцией корреля-

76

ции

⟨ξ(t)ξ(t+ τ)⟩ = 2Dδ(τ) , D = kBT .

Здесь эквивалентная вязкость γ принята для простоты равной единице, T

– температура термостата, kB – постоянная Больцмана. Известно, что плот-

ность вероятности P (x, t) координат диффундирующих частиц описывается

уравнением Фоккера-Планка

∂P (x, t)

∂t= −∂J(x, t)

∂x= D

∂

∂x[φ′(x)P (x, t)] +

∂2P (x, t)

∂x2

, (3.33)

где J(x, t) – поток вероятности и φ(x) = U(x)/D = U(x)/kBT – безразмерный

потенциальный профиль. Напомним также другую форму записи уравнения

(3.33)

∂P (x, t)

∂t= LP (x, t) = − ∂

∂x[K1(x)P (x, t)] +

1

2

∂2

∂x2[K2(x)P (x, t)] , (3.34)

где L – кинетический оператор, а K1(x) и K2(x) – кинетические коэффици-

енты. В нашем случае

K1(x) = −U ′(x) = −Dφ′(x) , K2(x) = 2D .

Установившееся броуновское движение обладает стационарной плотно-

стью вероятности Pst(x) = limt→∞ P (x, t), которая, как следует из уравнения

(3.33), равна

Pst(x) = c0 · e−φ(x) , c−10 =

∫ ∞

−∞e−φ(x)dx . (3.35)

Постоянная нормировки c0 не равна нулю, если потенциальный профиль

φ(x) достаточно быстро возрастает при x → ±∞, что мы и будем полагать

далее выполненным.

В установившемся режиме x(t) является стационарным марковским про-

цессом, обладающим функцией корреляции

K[τ ] = ⟨x(t)x(t+ τ)⟩ =

∫∫ ∞

−∞x0 xP2(x0, x; τ) dx0 dx , (3.36)

77

где P2(x0, x; τ) - двумоментная плотность вероятности.

Задача состоит в вычислении времени корреляции τk установившейся диф-

фузии в заданном потенциальном профиле φ(x).

3. Будем решать поставленную задачу методом, изложенным в [368] при-

менительно к отысканию временных характеристик нестационарного бро-

уновского движения.

Функция корреляции K[τ ] меняется от K[0] =⟨x2⟩

до K[∞] = ⟨x⟩2,

т.е. изменяется на величину дисперсии σ2 =⟨x2⟩− ⟨x⟩2. Определим время

корреляции как

τk =1

σ2

∫ ∞

0

(K[τ ] − ⟨x⟩2

)dτ , (3.37)

т.е. как ширину равновеликого по площади прямоугольника (см. рис. 3.2).

<x >2

<x>2

ττk0

K[τ]

Рисунок 3.2. Время корреляции определяется как ширина прямоуголь-

ника с высотой, равной дисперсии процесса, и площадью, равной площади

под графиком корреляционной функции над ⟨x⟩2.

Заметим, что данное определение времени корреляции оправдано, если функ-

ция корреляции при своем изменении с ростом τ остается выше значения ⟨x⟩2

и достаточно быстро затухает, так что интеграл (3.37) сходится.

С помощью разложения Баррета-Лэмпарда [167] для плотности вероят-

ности переходов нетрудно показать, что корреляционная функция любого

стационарного марковского процесса представима в виде

K[τ ] = ⟨x⟩2 +∞∑n=1

α2n e

−λnτ , (3.38)

78

где αn - некоторые вещественные коэффициенты, а собственные числа λn

сопряженного кинетического оператора L+ являются действительными, про-

стыми и положительными. Отсюда, прежде всего, следует, что корреляци-

онная функция всюду строго положительна и остается выше значения ⟨x⟩2.

Во-вторых, нетрудно показать, что интеграл (3.37) ограничен, т.к. сходятся

ряды, входящие в выражение для времени корреляции

τk =∞∑n=1

α2n

λn

/ ∞∑n=1

α2n

в силу конечности дисперсии и того, что при больших n

α2n

λn∼ α2

n

n2.

Таким образом, определение (3.37) времени корреляции является законным.

Двумоментная плотность вероятности стационарного марковского процес-

са x(t) представима в виде P2(x0, x; τ) = Pst(x0)P (x, τ |x0, 0), где P (x, τ |x0, 0)

- плотность вероятности переходов марковского процесса от значения x0 в

момент времени t к значению x в момент времени t+ τ . Как известно, плот-

ность вероятности переходов марковского процесса удовлетворяет уравнению

(3.33) с начальным условием P (x, 0|x0, 0) = δ(x− x0).

Перейдем к Лаплас-образам корреляционной функции и плотности веро-

ятности переходов (Re p ≥ 0)

K[p] =

∫ ∞

0

K[τ ] e−pτdτ , (3.39)

Y (x, x0, p) =

∫ ∞

0

P (x, τ |x0, 0) e−pτdτ . (3.40)

Нетрудно показать, что Y (x, x0, p) подчиняется дифференциальному уравне-

нию второго порядка в обыкновенных производных

Y ′′ + [φ′(x)Y ]′ − pY

D= − 1

Dδ(x− x0) . (3.41)

79

Согласно (3.36), (3.39) и (3.40) Лаплас-образ функции корреляции может

быть записан в виде

K[p] =

∫ ∞

−∞x0 Pst(x0) dx0

∫ ∞

−∞xY (x, x0, p) dx , (3.42)

а время корреляции (3.37) как

τk = limp→0

p K[p] − ⟨x⟩2

p σ2. (3.43)

Если бы нам была известна функция Y (x, x0, p), являющаяся решением урав-

нения (3.41) с граничными условиями равенства нулю потока вероятности

при x = ±∞

J(±∞, t) = −[φ′(x)P (x, t) +

∂P (x, t)

∂x

]x=±∞

= 0 , (3.44)

то можно было бы без труда определить из (3.42) функцию K[p], время кор-

реляции (3.43) и даже саму функцию корреляции K[τ ] с помощью обратно-

го преобразования Лапласа. Однако для произвольного потенциального про-

филя φ(x) аналитическое решение уравнения (3.41) найти невозможно. Оно

известно лишь для некоторых простейших потенциальных профилей, напри-

мер, кусочно-линейных [168] и кусочно-параболических [250, 170].

Согласно (3.43), для расчета времени корреляции нет необходимости на-

ходить Y (x, x0, p), а достаточно определить значение pK[p] и, следовательно,

pY (x, x0, p) лишь при малых p. Запишем pY (x, x0, p) в форме разложения по

степеням p

pY (x, x0, p) = Z0(x, x0) + pZ1(x, x0) + p2Z2(x, x0) + · · · , (3.45)

предполагая, что оно существует. В соответствии с одной из предельных (тау-

беровых) теорем преобразования Лапласа [171]

limp→0

pY (x, x0, p) = Z0(x, x0) = limτ→∞

P (x, τ |x0, 0) = Pst(x) . (3.46)

80

Подставляя (3.45) в (3.43), получаем с учетом соотношений (3.42) и (3.46)

τk =1

σ2

∫ ∞

−∞x0Pst(x0) dx0

∫ ∞

−∞xZ1(x, x0) dx . (3.47)

4. Из соотношений (3.41) и (3.45) легко вывести цепочку уравнений для

функций Zn(x, x0), которые без труда решаются даже для произвольного по-

тенциального профиля φ(x). Так, для Z1(x, x0) уравнение имеет следующий

видd

dx

(dZ1

dx+ φ′(x)Z1

)=

1

DPst(x) − 1

Dδ(x− x0) .

Решая его с учетом граничных условий (см. (3.44))[φ′(x)Z1(x, x0) +

∂Z1(x, x0)

∂x

]x=±∞

= 0 ,

находим

Z1(x, x0) =e−φ(x)

D

[M(x, x0) − c0

∫ ∞

−∞e−φ(v)M(v, x0)dv

], (3.48)

где

M(x, x0) =

∫ x

−∞eφ(u) [F (u) − 1(u− x0)] du , F (x) =

∫ x

−∞Pst(u) du

и 1 (x) – единичная функция. Подставляя эти выражения в (3.47) и меняя по-

рядок интегрирования, после несложных, но довольно громоздких преобра-

зований получаем следующую точную квадратурную формулу для времени

корреляции броуновского движения в произвольном безразмерном потенци-

альном профиле φ(x)

τk =1

Dσ2

∫ ∞

−∞

[∫ x

−∞(u− ⟨x⟩)Pst(u) du

]2dx

Pst(x), (3.49)

где Pst(x) задается равенством (3.35). Заметим, что обобщение формулы (3.49)

на случай системы (3.32) с мультипликативным шумом ξ(t) было получено

другим методом в [172] (см. (S9.14)).

81

Если потенциал симметричен: φ(−x) = φ(x), то ⟨x⟩ = 0, и формула (3.49)

существенно упрощается

τk =

∫ ∞

0

eφ(u)[∫ ∞

u

x e−φ(x)dx

]2du

/(D

∫ ∞

0

x2e−φ(x)dx

). (3.50)

5. Рассмотрим случай симметричного степенного потенциального профи-

ля U(x) = c|x|α, где c > 0, α > 0. В дальнейших выкладках удобно ис-

пользовать физически наглядные параметры – характерный масштаб L и

характерное время θ

L =

(D

c

)1/α

, θ =L2

D=D(2/α)−1

c2/α. (3.51)

Заметим, что характерный масштаб L имеет и простой геометрический смысл:

при |x| = L стационарная плотность вероятности (3.35) при любых конеч-

ных α уменьшается в e раз от своего максимального значения. С помощью

(3.51) безразмерный потенциальный профиль можно записать в виде φ(x) =

|x|α/Lα, а постоянная нормировки установившегося распределения (3.35) рав-

на

c0 =α

2Γ (1/α)L,

где Γ(x) – гамма-функция.

Из (3.50) находим следующее значение времени корреляции стационарно-

го броуновского движения в степенной потенциальной яме

τk =αR(α)

Γ(3/α)θ , (3.52)

где постоянная

R(α) =

∫ ∞

0

ezα

[∫ ∞

z

ye−yαdy

]2dz . (3.53)

Дисперсия стационарного распределения при этом равна

σ2 =Γ(3/α)

Γ(1/α)L2 . (3.54)

82

6. Обсудим полученный результат прежде всего с позиции зависимости

времени корреляции от интенсивности воздействующего шума D или, что то

же самое, от температуры, поскольку D = kBT . Из формул (3.51), (3.52) сле-

дует, что время корреляции не будет зависеть от интенсивности шума лишь

при α = 2, что соответствует параболическому потенциальному профилю

U(x) ∼ x2 и, как следствие, линейному уравнению Ланжевена (3.32).

Если α > 2, то потенциальная яма считается “жесткой” и тем более жест-

кой, чем больше α. В этом случае согласно (3.51), (3.52) время корреляции

убывает с ростом интенсивности шума: τk ∼ D(2/α)−1. При α ≫ 2 время корре-

ляции обратно пропорционально интенсивности шума, а потенциальная яма

приближается к прямоугольной (прямоугольная форма потенциальной ямы

достигается в пределе α → ∞ при фиксации масштаба L).

Если α < 2, чему соответствует “мягкая” потенциальная яма, время кор-

реляции броуновского движения возрастает с ростом интенсивности шума и

тем сильнее, чем ближе к нулю положительный показатель α.

Таким образом, параболический профиль потенциальной ямы служит гра-

ницей между качественно различными характерными зависимостями време-

ни корреляции от температуры.

Указанные зависимости времени корреляции от D при α = 2 свидетель-

ствуют о негауссовости броуновского движения вследствие нелинейности ис-

ходной динамической системы. Качественно различная зависимость времени

корреляции от интенсивности шума может быть интерпретирована следую-

щим образом. В жестких потенциальных ямах (α > 2) с ростом D стационар-

ное распределение (3.35) уширяется медленнее, т.к. его дисперсия согласно

(3.51), (3.54) растет пропорционально D2/α. В итоге рост D ведет к убыстре-

нию движения броуновских частиц, что и уменьшает их время корреляции.

Напротив, в мягких потенциальных ямах (α < 2) с увеличением D дисперсия

стационарного распределения согласно (3.51), (3.54) растет быстрее линейно-

83

го закона, распределение стационарной плотности вероятности становится

более широким, а броуновские частицы начинают двигаться в такой яме бо-

лее медленно, что и увеличивает время корреляции их движения.

Заметим, что аналогичная ситуация отмечена и для времени релаксации

начального дельта-образного вероятностного распределения P (x, 0) = δ(x) к

равновесному стационарному распределению Pst(x) в симметричных потен-

циальных ямах [278] (§ 15.6).

7. Обсудим конкретные примеры степенного профиля. Начнем с мягкой

потенциальной ямы с V-образным профилем U(x) = c|x|. В этом случае α = 1

и согласно (3.51)-(3.54) R(1) = 5, σ2 = 2L2 = 2D2/c2,

τk =5θ

2=

5D

2c2. (3.55)

Заметим, что этот же результат был получен ранее другим методом в работе

[367].

Для линейной системы, описываемой параболическим потенциальным про-

филем U(x) = cx2, уравнение Ланжевена (3.32) имеет вид

x = −2cx+ ξ(t) .

Из (3.51)-(3.54) при α = 2 следует, что R(2) =√π/8, σ2 = L2/2 = D/ (2c), а

τk =θ

2=

1

2c. (3.56)

Рассмотрим теперь случай жесткой потенциальной ямы – параболической

ямы четвертого порядка U(x) = cx4, которой соответствует нелинейное урав-

нение Ланжевена (3.32)

x = −4cx3 + ξ(t) .

Учитывая, что при α = 4

R(4) =π

16

∫ ∞

0

ez4 [

erfc(z2)]2dz ≃ 0.11 ,

84

где erfc(x) – дополнительный интеграл вероятностей, из (3.51)-(3.54) находим

τk ≃0.44

Γ(3/4)√cD

≃ 0.36 θ , σ2 =π

Γ2(1/4)

√2D

c≃ 0.338L2 . (3.57)

Предельно жесткий потенциальный профиль соответствует прямоуголь-

ной яме: φ(x) = 0 для x ∈ [−L,L] и φ(x) = +∞ для x /∈ [−L,L]. В этом

случае Pst(x) = 1/ (2L) внутри ямы и Pst(x) = 0 вне ее, дисперсия σ2 = L2/3.

Непосредственно из формулы (3.50) нетрудно найти

τk =2θ

5=

2L2

5D. (3.58)

Заметим, что тот же результат можно получить и из (3.51), (3.52), устре-

мив α → ∞. При этом следует принять во внимание, что при α → ∞ :

3 Γ (3/α) /α → 1, R(α) → 2/15, а результат (3.58) фактически справедлив

при α ≫ 1.

Для трапециевидной ямы с потенциальным профилем

U(x) =

0 , |x| < L ,

c (|x| − L) , |x| > L ,

расчет по формуле (3.50) дает

τk =D

5c2· 75 + 75γ + 45γ2 + 25γ3 + 10γ4 + 2γ5

6 + 6γ + 3γ2 + γ3,

где γ = c L/D. Заметим, что в предельных случаях L → 0 (V-образный

профиль) и c → ∞ (прямоугольная яма) данный результат стыкуется соот-

ветственно с выражениями (3.55) и (3.58).

8. Рассмотрим простейшую симметричную прямоугольную бистабильную

потенциальную яму, изображенную на рис. 3.3.

85

0 xL-L

U(x)

0U

L/2-L/2

Рисунок 3.3. Бистабильный потенциальный профиль с прямоугольным

барьером.

На основании (3.50) нетрудно найти время корреляции броуновского движе-

ния в таком бистабильном профиле

τk =θ

80· 135 eβ + 8 e−β + 113

7 + e−β, (3.59)

где β = U0/D – безразмерная высота потенциального барьера.

Если потенциальный барьер мал, так что β ≪ 1, то из (3.59) следует

τk ≃2 θ

5(1 + 0.62β ) . (3.60)

При β → 0 это время корреляции, как и должно быть, переходит в (3.58).

Для высоких потенциальных барьеров β ≫ 1 в выражении для времени

корреляции появляется, как и следовало ожидать, фактор Крамерса eβ

τk ≃ 0.24 θ eβ . (3.61)

При этом τk становится достаточно большим, что связано с редкими перехода-

ми броуновских частиц из одного стабильного состояния потенциальной ямы

в другое. Таким образом, броуновская частица с координатой x(t) доволь-

но медленно переходит, например, из области [−L,−L/2] в область [L/2, L]

на рис. 3.3, в то время как внутри этих ям броуновские частицы движутся

быстрее, с временем корреляции, равным согласно (3.58)

τk =2

5· (L/4)2

D=

L2

40D=

θ

40.

86

При этом температурная зависимость времени корреляции имеет вид

τk ∼1

kBTexp

(U0

kBT

).

Заметим, что дисперсия координаты броуновской частицы в бистабильном

профиле такова ⟨x2⟩

= σ2 =L2

12· 7 + e−β

1 + e−β,

откуда при β ≫ 1 имеем

σ2 =7L2

12.

Рассмотрим теперь бистабильной профиль с треугольным барьером, изоб-

раженный на рис. 3.4.

L0

U0

U(x)

-L x

Рисунок 3.4. Бистабильный потенциальный профиль с треугольным ба-

рьером.

Для такого потенциального профиля из (3.50) находим время корреляции

τk =θ

β2· (β − 1)2 eβ + (−β3 + 3β2 − 4β + 4) − 5 e−β

(β2 − 2β + 2) − 2 e−β, (3.62)

где β – безразмерная высота потенциального барьера.

Для малого потенциального барьера (β ≪ 1) из (3.62) получаем

τk =2 θ

5

(1 +

19

48β

).

Для высокого барьера (β ≫ 1) имеем

τk = θeβ

β2,

87

и множитель Крамерса появляется опять, однако температурная зависимость

времени корреляции является уже иной

τk ∼ kBT exp

(U0

kBT

).

Таким образом, функция корреляции броуновской диффузии в бистабиль-

ных потенциальных ямах с высоким потенциальным барьером имеет два су-

щественно различных временных масштаба, описывающих переходы через

барьер и внутриямное движение и отличающихся примерно в eβ раз.

9. Нетрудно видеть, что знание времени корреляции случайного стаци-

онарного процесса и его дисперсии позволяет получить определенную ин-

формацию о спектральной плотности S(ω) этого процесса. Ограничимся для

простоты случаем ⟨x⟩ = 0. Из известных соотношений Винера-Хинчина

S(ω) =1

π

∫ ∞

0

K[τ ] cosωτ dτ , K[τ ] = 2

∫ ∞

0

S(ω) cosωτ dω (3.63)

легко найти, имея в виду (3.37), значение спектра на нулевой частоте

S(0) =σ2 τkπ

, (3.64)

которое является конечной величиной. Определяя полосу спектра как (по-

добное определение законно, поскольку согласно (3.38) и (3.63) спектральная

плотность имеет один максимум на частоте ω = 0)

Π =1

S(0)

∫ ∞

0

S(ω) dω ,

находим, что

Π =π

2τk. (3.65)

Таким образом, знание τk и σ2 дает информацию о спектре на нулевой частоте

и полосе спектра.

Обращаясь к симметричной степенной яме с потенциалом U(x) = c|x|α,

на основании (3.51), (3.52) и (3.54) находим значения S(0) и Π

S(0) =αR(α)

πΓ(1/α)

(1

c

)4/α

D(4/α)−1 , (3.66)

88

Π =πΓ(3/α)

2αR(α)c2/αD1−2/α . (3.67)

Для мягкой потенциальной ямы (α = 1)

S(0) =5D3

πc4, Π =

πc2

5D.

Спектр в нуле возрастает с ростом интенсивности флуктуаций, а полоса спек-

тра сужается.

Для линейного случая (α = 2)

S(0) =D

4πc2, Π = πc .

Спектр, как и должно быть, пропорционален интенсивности “входного” шума

D, а полоса определяется лишь параметрами системы.

Для жесткого потенциала (α = 4)

S(0) =2R(4)

3π, Π =

πΓ(3/4)

8R(4)

√D .

Спектральная плотность на нулевой частоте не зависит от D, а полоса спек-

тра слабо возрастает с ростом D.

Для прямоугольной потенциальной ямы

S(0) =2

15π· L

4

D, Π =

5π

4· DL2

.

Спектр в нуле уменьшается с ростом D, а полоса спектра возрастает пропор-

ционально D. Варьируя ширину потенциальной ямы 2L, обнаруживаем, что

чем шире яма, тем узкополоснее спектр, и наоборот.

10. Исследуем теперь вопрос о возможности разложения неизвестной нам

функции корреляции K[τ ], определенной формулой (3.36), в ряд Тейлора по

степеням τ (τ ≥ 0)

K[τ ] =⟨x2⟩

+ a1τ + a2τ 2

2!+ a3

τ 3

3!+ · · · . (3.68)

Покажем, прежде всего, что коэффициенты разложения (3.68) выражаются

через средние по установившемуся распределению Pst(x).

89

Запишем решение прямого уравнения Фоккера-Планка (3.34) для плотно-

сти вероятности переходов P (x, τ |x0, 0) в операторной форме

P (x, τ |x0, 0) = eL(x)τP (x, 0|x0, 0) = eL(x)τδ(x− x0) (3.69)

и подставим в уравнение (3.36) для корреляционной функции

K[τ ] =

∫ ∞

−∞x0Pst(x0) dx0

∫ ∞

−∞x eL(x)τδ(x− x0) dx .

Пользуясь определением сопряженного оператора L+ и выполняя интегриро-

вание по x, приходим к следующей операторной формуле для K[τ ] [366]

K[τ ] =⟨x eL

+τx⟩

=∞∑n=0

τn

n!

⟨x(L+)nx⟩, (3.70)

где усреднение ведется по стационарному распределению Pst(x), а оператор

L+ таков

L+ = K1(x)∂

∂x+D

∂2

∂x2. (3.71)

Сравнивая разложения (3.68) и (3.70), заключаем, что

an =⟨x(L+)nx⟩. (3.72)

Из (3.71) и (3.72) для первого коэффициента a1 имеем

a1 = ⟨xK1(x)⟩ . (3.73)

Если воспользоваться уравнениями эволюции моментов марковского процес-

са и учесть их постоянство в стационарном режиме (t → ∞) [278] (§ 10.6,

формула (10.6.3)), то, к примеру, нетрудно получить

d⟨x2⟩

dt= 2 ⟨xK1(x)⟩ + ⟨K2(x)⟩ = 2 ⟨xK1(x)⟩ + 2D = 0, (3.74)

что сразу же приводит к соотношению ⟨xK1(x)⟩ = −D. Таким образом, для

броуновского движения в любой потенциальной яме первый коэффициент

разложения всегда равен −D.

90

Проведем расчет второго коэффициента разложения (3.68), который со-

гласно (3.71) и (3.72) равен

a2 =⟨xL+K1(x)

⟩. (3.75)

Воспользуемся вытекающим из (3.34) уравнением для установившейся плот-

ности вероятности: LPst(x) = 0. Тогда для любой функции f(x) имеем∫ ∞

−∞f(x)LPst(x) dx =

∫ ∞

−∞Pst(x)L+f(x) dx =

⟨L+f(x)

⟩= 0 . (3.76)

Полагая в равенстве (3.76) f(x) = xK1(x) и учитывая, что согласно (3.71)

L+xK1(x) = xL+K1(x) +K21(x) + 2DK ′

1(x) ,

приходим к ⟨xL+K1(x)

⟩= −

⟨K2

1(x)⟩− 2D ⟨K ′

1(x)⟩ . (3.77)

Входящее в соотношение (3.77) среднее ⟨K ′1(x)⟩ можно связать с

⟨K2

1(x)⟩.

Если в интеграле

⟨K ′1(x)⟩ =

∫ ∞

−∞K ′

1(x)Pst(x)dx

выполнить интегрирование по частям и принять во внимание вид стационар-

ного распределения (3.35), то придем к

⟨K ′1(x)⟩ = −

⟨K2

1(x)⟩

D.

Подставляя этот результат в (3.75) и (3.77), находим окончательно

a2 =⟨K2

1(x)⟩. (3.78)

Высшие коэффициенты ряда Тейлора an вычисляются аналогичным об-

разом, однако выражения их через K1(x) довольно сложны. Приведем здесь

лишь формулы для двух последующих коэффициентов a3 и a4

a3 = −D⟨

[K ′1(x)]

2⟩, a4 = D2

⟨[K ′′

1 (x)]2⟩−D

⟨[K ′

1(x)]3⟩. (3.79)

91

Интересно отметить, что при подстановке коэффициентов (3.78) и (3.79) в

исходное разложение (3.68), удается провести частичное суммирование ряда

Тейлора и с учетом K1(x) = −U ′(x) получить

K[τ ] =⟨x2⟩

+D

⟨exp [−U ′′(x)τ ] − 1

U ′′(x)

⟩+ · · · . (3.80)

В линейном случае (U(x) = cx2,⟨x2⟩

= D/(2c)) первые два слагаемых в

(3.80) дают точный результат

K[τ ] =D

2cexp (−2c|τ |) . (3.81)

11. Формулы (3.78) и (3.79) позволяют найти a2, a3 и a4 для любой сте-

пенной потенциальной ямы при конечном α. Полагая U(x) = c|x|α, получаем

a2 =L2

θ2

α2Γ (2 − 1/α) /Γ (1/α) , α > 1/2;

∞, α ≤ 1/2 ,(3.82)

a3 = −L2

θ3

α2(α− 1)2Γ (2 − 3/α) /Γ (1/α) , α > 3/2 ;

∞, α ≤ 3/2 ,(3.83)

a4 =L2

θ4

α2(α− 1)2(3α2 − 11α + 9)Γ (2 − 5/α) /Γ (1/α) , α > 5/2 , α = 2 ;

∞, α ≤ 5/2, α = 2 .

(3.84)

Обратим внимание, что коэффициенты a2, a3 и a4 ограничены не при лю-

бых положительных α. Например, коэффициент a2 обращается в бесконеч-

ность при α ≤ 1/2, а коэффициент a3 - при α ≤ 3/2. Наиболее интересна

в этом смысле ситуация с коэффициентом a4, который равен бесконечности

при любых α ≤ 5/2 за исключением точки аналитичности α = 2, где вторая

производная 1-го кинетического коэффициента тождественно равна нулю, и

соответствующее среднее (3.79), определяющее коэффициент a4, оказывается

ограниченным. Иллюстрирующий сказанное график безразмерного коэффи-

циента a2 в зависимости от α изображен на рис. 3.5.

92

1 2 3 4

1

2

3

4

α0

a (α)2θ

2

L2

Рисунок 3.5. Зависимость коэффициента a2 разложения в ряд Тейло-

ра функции корреляции броуновского движения в степенной потенциальной

яме. Видно, что a2 стремится к бесконечности как при показателе α → ∞,

так и при α → 1/2 + 0.

Выпишем первые четыре коэффициента разложения в ряд Тейлора функ-

ции корреляции броуновского движения для рассмотренных выше конкрет-

ных примеров потенциальных ям. Для мягкой потенциальной ямы (α = 1),⟨x2⟩

= 2L2

a1 = −D, a2 = c2, a3 = −∞ , a4 = +∞ .

Для жесткой потенциальной ямы (α = 4),⟨x2⟩

= π√

2D/c/

Γ2(1/4) =

0.338L2

a1 = −D , a2 =12π

Γ2(1/4)D√

2cD , a3 = −36cD2 , a4 =1872π

√2

Γ2(1/4)c3/2D5/2 .

Для сверхжесткой потенциальной ямы (α ≫ 1),⟨x2⟩≃ L2/3

a1 = −D , a2 =αD2

L2, a3 = − α3D3

L4, a4 =

3α5D4

L6.

Для прямоугольной потенциальной ямы (α → ∞),⟨x2⟩

= L3/3

a1 = −D , a2 → +∞ , a3 → −∞ , a4 → +∞ .

Обратим внимание на случаи мягкой (α = 1) и прямоугольной (α → ∞)

потенциальных ям, для которых высшие коэффициенты разложения an об-

ращаются в бесконечность. Это связано с тем, что функции корреляции бро-

93

уновского движения в таких потенциалах (а они, заметим, являются кусочно-

линейными) неаналитичны, и поэтому не могут быть разложены в ряд Тей-

лора в окрестности точки τ = +0.

12. Обратимся теперь к структуре спектра установившегося броуновско-

го движения в потенциальной яме. Легко определить характер асимптотики

спектра при ω → ∞. Известно (см., например, [176], Приложение I), что раз-

ложению корреляционной функции (3.68) соответствует разложение спектра

S(ω) по степеням 1/ω2n

S(ω) =1

π

∞∑n=1

(−1)na2n−1

ω2n. (3.85)

Поскольку во всех разобранных выше случаях (при постоянном коэффици-

енте диффузии K2(x) = 2D) a1 = −D, то из (3.85) следует, что главная

асимптотика спектра при ω → ∞ имеет вид

S(ω) ≃ D

πω2(3.86)

вне зависимости от формы потенциальной ямы. С другой стороны, из (3.63)

и (3.80) находим

S(ω) =D

π·⟨

1

ω2 + [U ′′(x)]2

⟩+ · · · ,

что дает тот же самый результат.

Этот же результат может быть получен еще проще, непосредственно из

уравнения Ланжевена (3.32). Поскольку при ω → ∞ производная x(t) сколь

угодно велика, то уравнение (3.32) на масштабах, существенно меньших ха-

рактерных времен установления средних и вероятностных характеристик, мо-

жет быть заменено на уравнение винеровского процесса x(t) = ξ(t), из кото-

рого сразу же следует (3.86) с учетом того, что спектр белого шума постоянен

на всех частотах Sξ(ω) = D/π.

13. Заметим в заключение, что все полученные результаты относительно

структуры функции корреляции и структуры спектра, по существу, справед-

94

ливы для любого стационарного марковского процесса с кинетическими ко-

эффициентами K1(x) и 2D. Действительно, по заданному K1(x) всегда мож-

но восстановить потенциальный профиль U(x), положив U(0) = 0. Поэтому,

во-первых, любой диффузионный стационарный марковский процесс с по-

стоянным вторым кинетическим коэффициентом можно считать описанием

броуновского движения в некоторой потенциальной яме. Во-вторых, у любого

стационарного марковского процесса функция корреляции имеет вид

K[τ ] =⟨x2⟩−D|τ | + . . . ,

остается выше ⟨x⟩2 и интегрируема. Следовательно, у любого стационарного

марковского процесса спектр в нуле конечен, а его асимптотика при ω → ∞

определяется формулой (3.86).

§ 3.3. Спектр броуновской диффузии в бистабильном

кусочно-линейном потенциале

1. Спектры флуктуаций являются важным средством характеристики

физических объектов. Так, например, экспериментальные измерения опти-

ческих и нейтронных спектров систем в тепловом равновесии служат одним

из главных источников информации об их микроскопических свойствах. Ис-

следование же спектров макросистем дает возможность наблюдать и анали-

зировать взаимовлияние флуктуаций, релаксации и нелинейностей, лежащее

в основе относительно недавно открытых нелинейно-флуктуационных явле-

ний, таких как стохастический резонанс (см. обзор [268]), резонансная акти-

вация [237, 226], повышение шумом устойчивости системы [246]-[245], рэтчет-

эффект [183, 309] и др.

Исследование спектральных характеристик нелинейных динамических си-

стем берет начало с пионерской работы Кофи и Динса [165], где авторам уда-

лось получить точную формулу для спектра флуктуаций координаты бро-

95

уновской частицы, движущейся в потенциале сухого трения (V-образный

профиль) в среде с большой вязкостью. В работе [185] было найдено вы-

ражение для корреляционной функции равновесных флуктуаций в биста-

бильной системе с прямоугольным барьером (см. Рис. 3.3) в форме разложе-

ния по собственным функциям кинетического оператора уравнения Фоккера-

Планка. Теоретическим и экспериментальным исследованиям спектров ко-

лебаний нелинейных бистабильных осцилляторов, возбуждаемых белым шу-

мом, посвящен цикл работ Дыкмана с соавторами [186]-[190]. Авторам, в част-

ности, удалось различить в спектре пики, отвечающие обычному внутриям-

ному резонансу и переходам между устойчивыми состояниями. Аналоговому

моделированию стохастических систем с малым трением, возмущаемых гаус-

совым шумом с малым временем корреляции, посвящена статья [191]. В ней

экспериментально найдены стационарные спектры флуктуаций для моноста-

бильного и бистабильного потенциальных профилей. Наконец, в работе [192]

рассматривалась модель одномерного броуновского движения в сингулярном

профиле типа потенциала атома водорода. Путем численного моделирования

был обнаружен 1/f–образный участок в спектре флуктуаций.

В этом параграфе, который является логическим продолжением § 3.2, про-

водится точный расчет спектра флуктуаций координаты броуновской части-

цы, движущейся в кусочно-линейном двухямном потенциале. Применяемый

метод, как и в [165], основан на прямом вычислении Лаплас-образа корреля-

ционной функции равновесных флуктуаций.

2. Рассмотрим, как и в § 3.2, передемпфированное броуновское движение

частицы в одномерном потенциале U(x), описываемое уравнением Ланжеве-

на (3.32) для ее координаты. Предполагая потенциал U(x) удерживающим и

обеспечивающим существование в системе установившегося режима, опреде-

лим спектр флуктуаций координаты частицы в стационарном состоянии. Из

соотношений Винера-Хинчина (3.63) вытекает связь спектральной плотности

96

мощности с Лаплас-образом корреляционной функции K [p]

S (ω) =1

π

∫ ∞

0

K[τ ] cosωτ dτ =1

πReK [iω]

. (3.87)

Функция K [p], в свою очередь, связана с Лаплас-образом плотности вероят-

ностей переходов Y (x, x0, p), удовлетворяющей уравнению (см. (3.41)),

Dd2Y

dx2+

d

dx[U ′ (x)Y ] − pY = −δ (x− x0) , (3.88)

соотношением (см. (3.42))

K [p] =

∫ ∞

−∞xdx

∫ ∞

−∞x0Y (x, x0, p)Pst (x0) dx0 . (3.89)

Уравнение (3.88) необходимо решать с граничными условиями[DdY

dx+ U ′ (x)Y

]x=±∞

= 0 , (3.90)

вытекающими из условий (3.44) равенства нулю потока вероятности.

Заметим, что одно из интегрирований в (3.89) можно провести непосред-

ственно в дифференциальном уравнении (3.88). Действительно, домножая

уравнения (3.88) и (3.90) на x0Pst(x0) и интегрируя по x0 в бесконечных пре-

делах, получаем

DG′′ + [U ′(x)G]′ − pG = −xPst(x) , (3.91)

[DG′ + U ′(x)G]x=±∞ = 0 , (3.92)

где введена вспомогательная функция

G(x, p) =

∫ ∞

−∞x0Y (x, x0, p)Pst(x0)dx0 . (3.93)

В результате, согласно (3.89), (3.93),

K [p] =

∫ ∞

−∞xG(x, p)dx . (3.94)

Таким образом, в отличие от корреляционной функции для определения спек-

тральной плотности мощности достаточно решить уравнение в обыкновен-

ных производных (3.91) с граничными условиями (3.92), а затем вычислить

97

интеграл (3.94). В результате для спектра в ряде частных случаев кусочно-

линейных потенциалов удается получить точное выражение.

3. Проведем расчет спектра флуктуаций в установившемся режиме для

симметричного кусочно-линейного двухямного потенциала (см. Рис. 3.4)

U(x) =

U0 (1 − |x| /L) , |x| < L ,

+∞ , |x| > L .(3.95)

В данной ситуации установившееся вероятностное распределение Pst(x), со-

гласно (3.35), также является четной функцией x, и из уравнения (3.91) легко

доказывается нечетность функции G(x, p): G(−x, p) = −G(x, p). Это означа-

ет, что уравнение (3.91) достаточно решить только в области 0 < x < L,

т.е.

DG′′ − U0

LG′ − pG = −xPst(x) , (3.96)

с граничным условием отсутствия потока вероятности на правой отражаю-

щей границе x = L (см. (3.92))

DG′(L, p) − U0

LG(L, p) = 0 (3.97)

и с условием

G(0, p) = 0 , (3.98)

непосредственно следующим из нечетности функции G(x, p).

Решая линейное дифференциальное уравнение (3.96) с учетом формы

установившегося вероятностного распределения

Pst(x) =β eβx/L

2L (eβ − 1), 0 ≤ x ≤ L , (3.99)

где β = U0/D – безразмерная высота потенциального барьера, разделяющего

устойчивые состояния системы, находим

G(x, p) = c1 eλ1x + c2 e

λ2x +Pst(x)

p

(x+

U0

pL

), (3.100)

98

где

λ1,2 =β ±

√β2 + 4pL2/D

2L. (3.101)

Из условий (3.97) и (3.98) получаем систему уравнений для определения неиз-

вестных постоянных c1 и c2

c1λ2e−λ2L + c2λ1e

−λ1L − Pst(0)

p= 0 ,

c1 + c2 +U0 Pst(0)

p2L= 0 . (3.102)

Подставляя соотношение (3.100) в формулу для K [p] (см. (3.94))

K [p] = 2

∫ L

0

xG (x, p) dx

и проводя несложное интегрирование с учетом (3.99), приходим к

K [p] =σ2

p+

2c1λ21

[(λ1L− 1) eλ1L + 1

]+

2c2λ22

[(λ2L− 1) eλ2L + 1

]+

2DLPst(0)

βp2[(β − 1) eβ + 1

],

где σ2 – дисперсия координаты броуновской частицы в установившемся ре-

жиме. Полученное выражение можно существенно упростить, если принять

во внимание первое уравнение системы (3.102),

K [p] =σ2

p− D

p2+

2c1λ21

(1 − eλ1L

)+

2c2λ22

(1 − eλ2L

). (3.103)

Определяя постоянные c1 и в c2 из системы (3.102) и подставляя их в уравне-

ние (3.103), после несложных, но довольно громоздких преобразований при-

ходим к следующему окончательному результату для Лаплас-образа корре-

ляционной функции в стационарном режиме

K [p] =σ2

p− D

p2+

βD

p2 (1 − e−β) (γeµ − µeγ)

eγ − eµ + 4β

[sinh2 (µ/2)

µ− sinh2 (γ/2)

γ

], (3.104)

99

где

γ, µ =β ±

√β2 + 4pL2/D

2. (3.105)

Для определения спектра равновесных флуктуаций координаты броуновской

частицы, движущейся в двухъямном потенциале (3.95), осталось, в соответ-

ствии с (3.87), положить в соотношении (3.104) p = iω и найти его реальную

часть. Точное выражение для спектра мы приводить здесь не будем в силу

его чрезвычайной громоздкости. Заметим лишь, что в частном случае пря-

моугольной ямы без барьера (β = 0) из (3.104) и (3.105) получаем простое

выражение (−µ = λ = L√p/D, σ2 = L2/3)

K [p] =L2

3p+D

p2

(tanhL

√p/D

L√p/D

− 1

),

которое после подстановки p = iω дает следующий результат для спектра

флуктуаций

S (ω) =D

πω2

(1 − 1

L

√D

2ω·

sinhL√

2ω/D + sinL√

2ω/D

coshL√

2ω/D + cosL√

2ω/D

), ω ≥ 0 .

(3.106)

Отметим неаналитичность разложения S (ω) по степеням 1/ω на высоких

частотах

S (ω) ≃ D

πω2

(1 − 1

L

√D

2ω

), ω → ∞ ,

автоматически влекущую за собой столь же неаналитическое поведение кор-

реляционной функции K [τ ] при малых τ , о чем уже упоминалось в § 3.2.

4. Графики спектра флуктуаций координаты броуновской частицы для

различных значений относительной высоты потенциального барьера приве-

дены на Рис. 3.6.

100

-1 -0.5 0.5 1

0.6

1

23

4

S(w)

w0

1.2

Рисунок 3.6. Спектральная плотность флуктуаций координаты броунов-

ской частицы для различных значений относительной высоты потенциаль-

ного барьера: 1 - β = 2, 2 - β = 3, 3 - β = 4, 4 - β = 5 при фиксированной

интенсивности шума D = 1 и L = 1.

Как видно из Рис. 3.6, спектральная плотность имеет максимум на нуле-

вой частоте, что соответствует общим свойствам спектров марковских слу-

чайных процессов. При этом с увеличением высоты потенциального барьера

спектр S(ω) экспоненциально быстро сужается, а его максимальное значе-

ние, наоборот, очень быстро возрастает. Эффект уменьшения полосы спек-

тра можно объяснить тем, что при высоком барьере переходы частицы из

одного устойчивого состояния системы в другое становятся крайне редким

явлением, что приводит к увеличению времени корреляции и, как следствие,

к уменьшению полосы спектра.

Для подтверждения этого вывода выполним дополнительные несложные

расчеты. Определим полосу спектра Π, воспользовавшись формулой ее связи

с временем корреляции (3.65) и найденным в § 3.2 точным выражением (3.62)

для τk. В результате имеем

Π =πD

2L2·

β2[(β2 − 2β + 2

)eβ − 2

](β − 1)2 e2β − (β3 − 3β2 + 4β − 4) eβ − 5

. (3.107)

Согласно (3.107) полоса спектра флуктуаций монотонно уменьшается при из-

менении высоты потенциального барьера от значения 5πD/(4L2)

при β = 0,

что соответствует прямоугольной потенциальной яме (см. (3.58)), до нуля при

101

β → ∞. При фиксированной высоте потенциального барьера и изменении ин-

тенсивности белого шума полоса спектра, начиная с определенных значений

D, наоборот, возрастет с ростом D по линейному закону. В рассматриваемой

бистабильной системе обычно выделяют еще один частотный параметр, опи-

сывающий средний темп перехода броуновских частиц из одного устойчиво-

го состояния в другое. Он определяется как величина, обратная к среднему

времени первого достижения вершины потенциального барьера частицами,

помещенными в начальный момент времени в одну из потенциальных ям.

В соответствии с общей теорией первого достижения границ марковским

случайным процессом [267, 194], в нашем случае необходимо решить уравне-

ние

Dτ ′′ (x0) +U0

Lτ ′ (x0) = −1

с граничными условиями

τ ′ (L) = 0 , τ (0) = 0 ,

а затем положить x0 = L. Здесь τ (x0) – среднее время первого достижения

поглощающей границы x = 0 частицами, помещенными в начальный момент

в точку x0 > 0, при наличии отражающей границы в точке x = L. Выполняя

несложный расчет, придем к

τ (L) =L2

D· e

β − 1 − β

β2. (3.108)

Характерный средний темп переходов частиц через потенциальный барьер,

разделяющий устойчивые состояния системы, определим по аналогии с вре-

менем корреляции как Ω = π/ [2τ(L)], т.е.

Ω =πD

2L2· β2

eβ − 1 − β. (3.109)

Как показывает Рис. 3.7, кривые (3.107) и (3.109) практически совпадают,

имея одинаковую зависимость при больших β.

102

2 4 6

0.5

1

1.5

2

0

P

W

b

Рисунок 3.7. Зависимость полосы спектра флуктуаций координаты бро-

уновской частицы и среднего темпа переходов частиц через потенциальный

барьер от безразмерной высоты потенциального барьера для значений L = 1,

D = 0.5.

Таким образом, при достаточно высоком барьере средний темп переходов

фактически и определяет полосу спектра флуктуаций координаты частицы

в стационарном режиме.

На Рис. 3.8 дополнительно приведена интересная зависимость спектраль-

ной плотности мощности флуктуаций координаты на фиксированной частоте

от интенсивности шума, имеющая ярко выраженный резонансный характер.

0.4 0.8 1.2

0.4

0.8

1.2

0 D

S(0.1)

Рисунок 3.8. Зависимость спектральной плотности на частоте ω = 0.1 от

интенсивности белого шума для значений L = 1, U0 = 2.

103

§ 3.4. Вероятностные распределения

передемпфированного броуновского движения

в случайно переключающихся потенциалах

1. Богатое множество индуцированных шумом эффектов может быть объ-

яснено в рамках феноменологической модели нелинейной динамической си-

стемы с внешним дельта-коррелированным гауссовым случайным воздействи-

ем. В то же время, при описании существенно неравновесных явлений, таких

как резонансная активация [237], [238]-[199], однонаправленный перенос ча-

стиц в потенциале типа рэтчет (молекулярные моторы) [183], [320]-[230], тре-

буется вводить уже дополнительные случайные источники с конечным време-

нем корреляции. В литературе, как правило, изучаются различные времена

переходных процессов, эффективные параметры диффузии таких “многошу-

мовых” систем, хотя несомненно важными статистическими характеристи-

ками являются также установившиеся вероятностные распределения и спек-

тры флуктуаций в стационарном режиме. Точные аналитические результаты

для стационарных плотностей вероятности до сих пор были получены только

для систем с одним случайным воздействием: гауссовым белым (тепловым)

шумом [161], [267], [205]-[209], марковским дихотомическим процессом [158],

[210]-[213] (см. также обзор [214] и библиографию в нем), марковским три-

хотомическим шумом [215] и пуассоновским белым шумом [216]-[218]. Суще-

ствуют также некоторые способы приближенного отыскания установившихся

вероятностных распределений при возбуждении нелинейной системы гауссо-

вым шумом с конечным временем корреляции (см., например, [219]).

В этом параграфе выводятся точные формулы для стационарных плот-

ностей вероятности нелинейных динамических систем с двумя статистически

независимыми воздействиями: гауссовым белым шумом и марковским дихо-

томическим шумом, причем используется описанный в первой главе подход,

104

основанный на корреляционных формулах для стохастических функциона-

лов. Общие результаты применяются к анализу броуновского движения в

прямоугольной яме при наличии переключающегося по направлению внеш-

него постоянного поля и в бистабильной системе с флуктуирующим потенци-

альным барьером.

2. Рассмотрим нелинейную динамическую систему, описываемую стоха-

стическим дифференциальным уравнением первого порядка (1.42), в котором

функции f (x), g (x) и h(x) не зависят явно от времени t

x = f (x) + g (x) ξ (t) + h(x)η (t) . (3.110)

Здесь: ξ (t) – гауссов белый шум с нулевым средним значением и интенсив-

ностью 2D, η (t) – марковский дихотомический шум, переключающийся со

средней частотой ν между двумя равновероятными значениями ±1. Восполь-

зуемся полученной в § 1.3 замкнутой системой уравнений (1.52)-(1.53) для

плотности вероятности P (x, t) фазовой переменной системы (3.110)

∂P

∂t= − ∂

∂x[f (x)P + h (x)Q] +D

[∂

∂xg(x)

]2P,

∂Q

∂t= −2νQ− ∂

∂x[f (x)Q+ h (x)P ] +D

[∂

∂xg(x)

]2Q, (3.111)

где вспомогательная функция

Q (x, t) = ⟨η (t) δ (x (t) − x)⟩ . (3.112)

Предположим, что в системе (3.110) существует установившийся режим, что

подразумевает наличие отражающих границ x = A и x = B (A < B), при-

чем одна или сразу обе из них могут быть расположены на бесконечности.

Учитывая равенство нулю потока вероятности в стационарном состоянии, из

уравнений (3.111) находим в пределе t→ ∞

D g(x)d

dx[g(x)Pst] − f (x)Pst − h (x)Q = 0 ,

D

[d

dxg(x)

]2Q− d

dx[f (x)Q+ h (x)Pst] − 2νQ = 0 , (3.113)

105

где: Pst (x) = limt→∞ P (x, t), Q (x) = limt→∞Q (x, t).

Как видно из (3.113), для однозначного решения системы уравнений необ-

ходимы три условия на функции Pst (x) и Q (x). Двумя из них являются усло-

вие нормировки плотности вероятности Pst (x) и условие на функцию Q (x),

вытекающее из ее определения (3.112) и того, что ⟨η(t)⟩ = 0,∫ B

A

Pst (x) dx = 1 ,

∫ B

A

Q (x) dx = 0 . (3.114)

Третье условие можно получить из второго уравнения системы (3.113). Ин-

тегрируя это уравнение в малой ε-окрестности отражающей границы x = A,

придем к

Dg(x) [g(x)Q∞ (x)]′

A+ε

A−ε− [f (x)Q (x) + h (x)Pst (x)]A+ε

A−ε

−2ν

∫ A+ε

A−ε

Q (x) dx = 0 .

Переходя к пределу ε → 0 и учитывая, что значения Pst (A− ε), Q (A− ε),

Q′ (A− ε) обращаются в нуль, поскольку аргумент A− ε лежит вне области

движения системы, получаем

D g(A) [g(x)Q (x)]′A − f (A)Q (A) − h (A)Pst (A) = 0 . (3.115)

Аналогичный вид имеет условие на правой границе x = B.

Таким образом, система уравнений (3.113) с условиями (3.114) и (3.115)

является базисом для определения установившегося вероятностного распре-

деления Pst (x) нелинейной динамической системы (3.110). Решить систему

(3.113) в общем виде без уточнения конкретного вида функций f(x), g(x) и

h(x) не удается.

3. Проверим стыковку уравнений (3.113)–(3.115) с ранее полученными ре-

зультатами для стационарной плотности вероятности системы (3.110) с одним

шумовым источником дельта-коррелированного или дихотомического типа.

При наличии только одного белошумового воздействия (h(x) = 0) из первого

106

уравнения системы (3.113) сразу находим Pst (x) (см, например, [206])

Pst (x) =c0

|g(x)|exp

[1

D

∫f(x)

g2(x)dx

], (3.116)

где постоянная c0 определяется из условия нормировки (3.114).

В другом частном случае g(x) = 0 система (3.113) существенно упроща-

ется и переходит в

f (x)Pst + h (x)Q = 0 ,

d

dx[f (x)Q] +

d

dx[h (x)Pst] + 2νQ = 0 . (3.117)

Выражая функцию Q(x) из первого уравнения (3.117) и подставляя во вто-

рое, имеемd

dx

[h2(x) − f 2(x)

h(x)Pst

]− 2νf(x)

h(x)Pst = 0 .

Решение данного уравнения таково

Pst (x) =c0 |h(x)|

h2(x) − f 2(x)exp

2ν

∫f(x)

h2(x) − f 2(x)dx

, |f(x)| ≤ |h(x)| .

(3.118)

Формула (3.118) для стационарной плотности вероятности Pst (x) системы

(3.110) с одним дихотомическим случайным источником была впервые полу-

чена в [211] (см. также [213]).

4. Перейдем к анализу некоторых частных случаев нелинейной динамиче-

ской системы (3.110). Рассмотрим диффузию броуновской частицы в вязкой

среде в потенциале U(x) при наличии случайно переключающейся по направ-

лению внешней силы F (t) = aη(t). Уравнение Ланжевена для координаты

броуновской частицы x(t), соответствующее рассматриваемой ситуации, та-

ково

x = −U ′ (x) + aη (t) + ξ (t) . (3.119)

Полагая в (3.113) f (x) = −U ′ (x), g(x) = 1 и h(x) = a, имеем

DP ′st + U ′ (x)Pst − aQ = 0 ,

DQ′′ + [U ′ (x)Q]′ − aP ′

st − 2νQ = 0 . (3.120)

107

Граничное условие (3.115) при этом принимает вид

DQ′ (A) + U ′ (A)Q (A) − aPst (A) = 0 . (3.121)

Из системы (3.120) можно исключить переменную Q(x) и получить однород-

ное линейное дифференциальное уравнение третьего порядка для стационар-

ной плотности вероятности Pst (x)

D2P′′′

st + 2DU ′ (x)P ′′st +

[3DU ′′(x) + U ′2 (x) − a2 − 2νD

]P ′st

+ [DU ′′′(x) + 2U ′ (x)U ′′ (x) − 2νU ′ (x)]Pst = 0 . (3.122)

В качестве примера рассмотрим диффузию в бесконечно глубокой потен-

циальной яме

U(x) =

0, |x| ≤ L

+∞, |x| > L(3.123)

под действием переключающегося в случайные моменты времени внешнего

поля. В этой ситуации, как следует из уравнения (3.119) и Рис. 3.9, броунов-

ское движение частицы происходит в эффективном потенциале U(x) ± ax с

одним переключающимся состоянием равновесия x = ±L.

x-L L0

U(x)+_ ax

Рисунок 3.9. Cлучайно переключающийся моностабильный потенциал.

Полагая U (x) = 0 в дифференциальных уравнениях (3.120) и (3.122), опре-

деляем функции Pst(x) и Q(x)

Pst(x) = c1 + c2 cosh γx+ c3 sinh γx , Q(x) =γD

a(c2 sinh γx+ c3 cosh γx) ,

(3.124)

108

где γ =√a2 + 2νD

/D. Принимая во внимание, что потенциал (3.123) имеет

отражающие границы в точках x = ±L, и подставив найденные решения в

условия нормировки (3.114), придем к

2Lc1 +2c2γ

sinh γL = 1 , c3 = 0 . (3.125)

Второе уравнение для постоянных c1 и c2 можно получить из граничного

условия (3.121), положив в нем A = −L. В результате имеем

µc1 − c2 cosh γL = 0 , (3.126)

где введен безразмерный параметр µ = a2/(2νD). Определяя неизвестные

постоянные из уравнений (3.125) и (3.126) и подставляя их в (3.124), получаем

окончательно

Pst (x) =1

2L· 1 + µ cosh γx/ cosh γL

1 + µ tanh γL/ (γL). (3.127)

Графики установившейся плотности вероятности (3.127) для различных

значений среднего темпа переключений ν приведены на Рис. 3.10.

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

Pst (x)

x

1

23

Рисунок 3.10. Стационарные вероятностные распределения для диффу-

зии в бесконечно глубокой потенциальной яме с переключающимся полем

при различных значениях среднего темпа переключений: ν = 0.01 (кривая

1), ν = 1 (кривая 2), ν = 100 (кривая 3). Остальные параметры таковы:

L = 1, a = 1, D = 0.5.

При медленных переключениях (µ≫ 1) распределение (3.127) является полу-

суммой стационарных распределений для фиксированных потенциалов U (x) =

109

ax и U (x) = −ax (см. (3.116))

Pst (x) ≃a(eax/D + e−ax/D

)4D sinh aL/D

и имеет два максимума вблизи отражающих границ x = ±L (кривая 1). В

этой ситуации броуновские частицы успевают до следующего переключения

скатиться в устойчивое состояние. При увеличении среднего темпа переклю-

чений распределение выравнивается (кривая 2) и при очень частых пере-

ключениях (µ ≪ 1, кривая 3) стремится к равномерному: Pst (x) = 1/ (2L).

Подобное распределение соответствует свободной диффузии частиц в пря-

моугольной потенциальной яме. Как видно из Рис. 3.10 и формулы (3.127),

безразмерный параметр µ, имеющий смысл отношения интенсивности пере-

ключающегося поля a2/

(2ν) к интенсивности белого шума D, и определя-

ет форму стационарной плотности вероятности. Дисперсия координаты бро-

уновской частицы с увеличением среднего темпа ν переключений потенциала

монотонно уменьшается от значения L2+2D2/a2−(2DL/a) coth aL/D до зна-

чения L2/3 в соответствии с соотношением

σ2 =L2/3 + µ

[(γ2L2 + 2

)tanh γL− 2γL

]/ (γ3L

)1 + µ tanh γL/ (γL)

.

5. Определим теперь установившиеся вероятностные характеристики бро-

уновского движения в потенциале U (x), который переключается марковским

дихотомическим шумом η (t) между двумя конфигурациями. Такая диффу-

зия может быть описана уравнением Ланжевена вида

x = − [1 + aη (t)]U ′ (x) + ξ (t) . (3.128)

Подставляя в уравнения (3.113) в соответствии с (3.110) и (3.128) f (x) =

−U ′ (x), g(x) = 1 и h (x) = −aU ′ (x), приходим к системе дифференциальных

уравнений

DP ′st + U ′ (x) (Pst + aQ) = 0 ,

DQ′′ + [U ′ (x) (Q+ aPst)]′ − 2νQ = 0 (3.129)

110

с граничным условием в точке x = A

DQ′ (A) + U ′ (A) [Q (A) + aPst (A)] = 0 . (3.130)

В качестве примера рассмотрим диффузию в симметричном бистабиль-

ном кусочно-линейном потенциале с флуктуирующим треугольным потенци-

альным барьером. Будем полагать, что высота барьера переключается меж-

ду двумя значениями U0±∆U марковским дихотомическим шумом η(t) (см.

Рис. 3.11).

0 L-L

U(x)

U0+DU

0U -DU

x

Рисунок 3.11. Симметричный бистабильный потенциал с флуктуирую-

щим треугольным барьером и отражающими границами в точках x = ±L.

Заметим, что при исследовании этой системы в работе [237] было обнаружено

явление резонансной активации - наличие минимума в зависимости среднего

времени перехода частиц через барьер от частоты переключений. Учитывая,

что потенциальный профиль на Рис. 3.11 задается соотношением (3.95), и

полагая в уравнениях (3.129) a = ∆U/U0, для области 0 < x < L имеем

DP ′st − kPst − bQ = 0 ,

DQ′′ − kQ′ − 2νQ− bP ′st = 0 , (3.131)

где: k = U0/L, b = ∆U/L. Исключая функцию Q (x) из уравнений (3.131),

получаем однородное линейное дифференциальное уравнение третьего по-

рядка для функции Pst(x)

D2P ′′′st − 2kDP ′′

st +(k2 − b2 − 2νD

)P ′st + 2νkPst = 0 . (3.132)

111

Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (3.132), таково

λ (λD − k)2 −(b2 + 2νD

)λ+ 2νk = 0 . (3.133)

Как показывает анализ кубического уравнения (3.133), его корни λ1, λ2 и λ3

являются действительными, причем два из них положительны и один от-

рицателен. Они могут быть найдены из соотношений (приведенный случай

формул Кардано [220])

λi =2k

3D

[1 + r cos

(θ + 2π (i− 1)

3

)], i = 1, 2, 3 ; (3.134)

где

r =

√1 +

3b2 + 6νD

k2, θ = arccos

[9(b2 − νD

)− k2

k2σ3

].

С учетом вытекающей из симметрии потенциала четности установившегося

распределения решение уравнения (3.132) можно записать как

Pst (x) =3∑

i=1

ci eλi|x| . (3.135)

Подставляя (3.135) в первое уравнение (3.129), находим функцию Q (x)

Q (x) =1

b

3∑i=1

(Dλi − k) ci eλi|x| , (3.136)

которая в данной ситуации также оказывается четной функцией x.

Для отыскания неизвестных постоянных c1, c2 и c3 остается подставить

соотношения (3.135) и (3.136) в условия (3.114) и (3.130), положив A = −L,

B = L. В результате придем к следующей алгебраической системе уравнений

3∑i=1

ciλi

(eλiL − 1

)=

1

2,

3∑i=1

ciDλi − k

λi

(eλiL − 1

)= 0 ,

3∑i=1

ci[(Dλi − k)2 − b2

]eλ1L = 0 .

112

Принимая во внимание характеристическое уравнение (3.122), полученную

систему можно преобразовать к более простому виду3∑

i=1

ciλi

(eλiL − 1

)=

1

2,

3∑i=1

ci(eλiL − 1

)=

k

2D,

3∑i=1

ci

(D − k

λi

)= 0 ,

а затем и найти ее решение

c1 =λ1

2D∆0(λ2D − k) (λ3D − k)

(eλ2L − eλ3L

),

c2 =λ2

2D∆0(λ3D − k) (λ1D − k)

(eλ3L − eλ1L

), (3.137)

c3 =λ3

2D∆0(λ1D − k) (λ2D − k)

(eλ1L − eλ2L

),

где

∆0 = 3

(Dλ1 − k) (λ3 − λ2)(eλ2L − 1

) (eλ3L − 1

)s.

Здесь через 3 · · · s обозначена сумма трех слагаемых, получаемых цикли-

ческой перестановкой индексов.

Соотношения (3.135) и (3.137) решают поставленную задачу вычисления

стационарной плотности вероятности бистабильной системы при флуктуаци-

ях высоты потенциального барьера, разделяющего устойчивые состояния.

6. На Рис. 3.12 приведен график установившегося распределения коорди-

наты броуновской частицы при малой относительной величине ∆U/U0 флук-

туаций потенциального барьера, что имеет место в физико-химических си-

стемах [226].

-1 -0.5 0.5 1

Pst (x)

x

0.9

0.6

0.3

1.2

0

Рисунок 3.12. Стационарная плотность вероятности координаты бро-

уновской частицы, движущейся в бистабильном треугольном потенциале с

113

флуктуирующей высотой барьера: ∆U/U0 = 0.1 и параметрами: L = 1,

U0 = 1, D = 0.5.

Типичное распределение имеет два максимума, расположенных вблизи от-

ражающих границ x = ±L – устойчивых состояний бистабильной системы

и практически не зависит от среднего темпа переключений. Этот результат

можно объяснить тем, что местоположение состояний равновесия бистабиль-

ной системы при переключениях не изменяется, поэтому не меняется и сум-

марное время пребывания броуновских частиц вблизи отражающих границ.

Темп переключений сказывается лишь на временах перехода частиц через по-

тенциальный барьер, что и приводит к явлению резонансной активации [237],

но не оказывает никакого влияния на установившиеся вероятностные харак-

теристики системы.

В частном случае U0 = 0 (k = 0), когда потенциальный барьер сменя-

ется потенциальной ямой, т.е. система переключается между бистабильным

и моностабильным состояниями, из характеристического уравнения (3.133)

находим: λ1 = −α, λ2 = 0, λ3 = α, k/λ2 = D (1 + ρ), где α =√b2 + 2νD/D,

ρ = b2/

(2νD). Подставляя выражения для корней в (3.137) и (3.135), после

несложных преобразований имеем

Pst (x) =1

2L· 1 + ρ coshα (|x| − L/2)/ cosh(αL/2)

1 + ρ tanh(αL/2)/ (αL/2). (3.138)

Стационарная неравновесная плотность вероятности (3.138) для двух значе-

ний интенсивности белого шума представлена на Рис. 3.13.

-1 -0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.8

1

0

2

1

Pst (x)

x

114

Рисунок 3.13. Форма стационарного вероятностного распределения для

системы, переключающейся между бистабильным и моностабильным состо-

яниями (U0 = 0), при различных значениях интенсивности белого шума: 1 -

D = 0.2, 2 - D = 0.5. Параметры: L = 1, ∆U = 1, ν = 1.

Как видно из Рис. 3.13 и формулы (3.138), установившееся распределение

имеет три равных по величине максимума в точках x = 0,±L. Это связа-

но с тем, что при не слишком большом темпе переключений большинство

броуновских частиц находится вблизи устойчивых состояний x = ±L в при-

сутствии потенциального барьера и на дне потенциальной ямы x = 0 в его

отсутствии и пребывают там в среднем одинаковое время в силу симмет-

рии переключающего шума. При этом чем медленнее диффузия (кривая 1)

тем большее время броуновские частицы проводят в устойчивых состояниях,

и, следовательно, больше величина максимумов Pst (x) в точках x = 0,±L.

Сопоставляя результат (3.138) с формулой (3.127), легко понять, что дан-

ное распределение можно было бы получить и из соображений симметрии

на базе ранее рассмотренного примера (см. Рис. 3.10). Наконец, как и в слу-

чае моностабильного потенциала, при очень частых переключениях частица

движется в “усредненном” потенциале, т.е. в прямоугольной потенциальной

яме, и установившееся вероятностное распределение при ρ≪ 1, как видно из

(3.138), становится равномерным Pst(x) = 1/(2L) (см. кривую 3 на Рис. 3.10).

§ 3.5. Спектр диффузии в системе с одним случайно

переключающимся устойчивым состоянием.

Проявление эффекта резонансной активации

1. Попытаемся теперь проанализировать особенности спектральных ха-

рактеристик нелинейных динамических систем, рассмотренных в § 3.4. Нач-

нем с передемпфированного броуновского движения частицы в прямоуголь-

115

ной потенциальной яме при наличии случайно переключающегося постоян-

ного внешнего поля (см. Рис. 3.9). Оно может быть описано уравнением Лан-

жевена (3.119) с U (x) = 0 (|x| < L). Полагая, в соответствии с (3.110) и

(3.119), в замкнутой системе дифференциальных уравнений для плотности

вероятности P (x, t) (3.111) f (x) = 0, g(x) = 1 и h(x) = a, придем к

∂P

∂t= −a ∂Q

∂x+D

∂2P

∂x2,

∂Q

∂t= −2νQ− a

∂P

∂x+D

∂2Q

∂x2. (3.139)

Указанным в § 3.4 методом из системы (3.139) можно получить следующие

условия на отражающих границах x± L

(DP ′ − aQ)x=±L = 0, (DQ′ − aP )x=±L = 0. (3.140)

Для отыскания спектров будем использовать метод, похожий на изложенный

в § 3.3 для фиксированного потенциала U(x).

Применяя к уравнениям (3.139) и (3.140) преобразование Лапласа по вре-

мени t и учитывая начальные условия для функций P (x, t) иQ(x, t): P (x, 0) =

δ(x − x0), Q(x, 0) = 0 (см. (3.120)), приходим к системе двух дифференци-

альных уравнений второго порядка

DY ′′ − aZ ′ − pY = −δ(x− x0),

DZ ′′ − aY ′ − (p+ 2ν)Z = 0 (3.141)

с четырьмя граничными условиями

(DY ′ − aZ)x=±L = 0, (DZ ′ − aY )x=±L = 0. (3.142)

Здесь: Y (x, x0, p) и Z(x, x0, p) - соответственно Лаплас-образы плотности ве-

роятностей переходов P (x, t|x0, 0) и вспомогательной функции Q(x, t|x0, 0) =

⟨η (t) δ (x (t) − x) |x(0) = x0⟩. В данной ситуации удобнее сначала найти ре-

шение однородной системы двух линейных дифференциальных уравнений

116

второго порядка (3.141) в областях: −L ≤ x ≤ x0 и x0 ≤ x ≤ L, а затем

определить восемь неизвестных постоянных из граничных условий (3.142) и

условий непрерывности в точке x = x0, являющихся следствием уравнений

(3.141),

Y |x=x0−0 = Y |x=x0+0 , Y ′ |x=x0−0 = Y ′ |x=x0+0 + 1 /D ,

Z |x=x0−0 = Z |x=x0+0 , Z ′ |x=x0−0 = Z ′ |x=x0+0 . (3.143)

В соответствии с общим соотношением для Лаплас-образа корреляционной

функции (3.89), необходимо найти из (3.141)-(3.143) функцию Y (x, x0, p), а

затем вычислить интеграл

H (x0, p) =

∫ L

−L

xY (x, x0, p)dx. (3.144)

Однако, последующего интегрирования можно избежать. Домножая первое

уравнение системы (3.141) на x и проводя интегрирование по x в интервале

(−L,L) с учетом первого из граничных условий (3.142) и соотношения (3.144),

получаем

DY (x, x0, p) |x=Lx=−L − a

∫ L

−L

Z (x, x0, p) dx+ pH (x0, p) = x0 .

Учитывая, что в силу определения функции Q(x, x0, t)∫ L

−L

Q (x, x0, t) dx = 0 ,

а, следовательно, и ∫ L

−L

Z (x, x0, p) dx = 0 ,

окончательно приходим к

H (x0, p) =x0p

− D

pY (x, x0, p) |x=L

x=−L . (3.145)

117

После решения системы (3.141), подстановки в (3.145) и ряда алгебраиче-

ских преобразований приходим к

H (x0, p) =x0p

(3.146)

−(Dρ21 − p

)sinh ρ1L sinh ρ2x0 −

(Dρ22 − p

)sinh ρ2L sinh ρ1x0

p [ρ2 (Dρ21 − p) sinh ρ1L cosh ρ2L− ρ1 (Dρ22 − p) sinh ρ2L cosh ρ1L],

где

ρ1,2 =

√γ2

2+p

D±√γ4

4+pa2

D3, γ =

√2ν (1 + µ)

D, µ =

a2

2νD. (3.147)

Для отыскания Лаплас-образа K [p] корреляционной функции в устано-

вившемся режиме (см. (3.42))

K [p] =

∫ L

−L

x0H (x0, p)Pst (x0) dx0 (3.148)

воспользуемся полученным в § 3.4 выражением (3.127) для установившегося

вероятностного распределения Pst (x) рассматриваемой системы. После под-

становки (3.146) и (3.127) в (3.148) и интегрирования получаем

K [p] =σ2

p− 1

p [1 + µ tanh γL /(γL)]

×(Dρ21 − p

)R (ρ2) tanh ρ1L−

(Dρ22 − p

)R (ρ1) tanh ρ2L

ρ2 (Dρ21 − p) tanh ρ1L− ρ1 (Dρ22 − p) tanh ρ2L, (3.149)

где

R (z) =1

z

(1 − tanh zL

zL

)+γµ tanh zL

z2 − γ2

[2z

(z2 − γ2)L− tanh zL

]+

zµ

z2 − γ2

(1 − z2 + γ2

z2 − γ2· tanh zL

zL

). (3.150)

Для получения точной формулы для спектральной плотности мощности ко-

ординаты броуновской частицы остается положить в уравнении (3.149) p = iω

и найти действительную часть выражения.

2. Эволюция формы спектра при различных значениях среднего темпа

переключений ν показана на Рис. 3.14.

118

-4 -2 2 4

0.02

0.1

1

2

3

4

0

S(w)

w

Рисунок 3.14. Спектральная плотность мощности S (ω) для различных

значений среднего темпа переключений внешнего поля ν: кривая 1 - ν = 0.01,

кривая 2 - ν = 3, кривая 3 - ν = 30. Кривая 4 соответствует диффузии в

прямоугольной потенциальной яме (a = 0). Другие параметры таковы: L = 1,

a = 3, D = 0.5.

Следует отметить, что спектральная плотность мощности броуновской диф-

фузии в этом немарковском случае также имеет максимум на нулевой часто-

те. Как и следовало ожидать, для очень больших значений средней частоты

ν переключений поля график спектральной плотности мощности приближа-

ется к кривой, отвечающей диффузии в прямоугольной потенциальной яме.

Как видно из Рис. 3.14, интересная особенность заключается в том, что спек-

тральная плотность на нулевой частоте S (0) демонстрирует немонотонное

поведение с увеличением среднего темпа переключений ν внешнего поля. А

именно, сначала она уменьшается, достигает минимума при некотором зна-

чении ν, а затем увеличивается, приближаясь к асимптотическому значению

2L4 /(15πD) , найденному ранее в § 3.2 для прямоугольной потенциальной

ямы.

Для проверки этого эффекта найдем аналитическое выражение для S (0) =

K [0] /π (см. первое из соотношений Винера-Хинчина (3.63)). Используя при-

ближенные выражения для параметров ρ1, ρ2 при малых p (см. (3.147))

ρ1 ≃ γ +p

2γD

(1 +

a2

γ2D2

), ρ2 ≃

√2νp

γD,

119

из (3.149)-(3.150) получаем

S (0) =1

60πγ6D3 [1 + µ tanh γL /(γL)]

16νDγ4L4

+5a2

[60 + 27µ+ 4γ2L2 (3µ− 1) +

(4γ2L2 − 27µ− 12

)γL coth γL

−[48 + 3γ2L2 (µ+ 4) − 4γ4L4

] tanh γL

γL

]. (3.151)

Типичная кривая ν-зависимости спектральной плотности мощности на нуле-

вой частоте представлена на Рис. 3.15, где явно виден минимум при ν ≃ 3.

2 4 6 8 10 120.05

0.06

0.07 S(0)

n0

Рисунок 3.15. Немонотонная зависимость спектральной плотности мощ-

ности на нулевой частоте от среднего темпа переключений внешнего поля

для тех же самых значений параметров L, a, D, что и на Рис. 3.14.

Этот минимум может служить “отголоском” эффекта резонансной актива-

ции [237] в нашей системе. Проверим это, используя уравнения для средних

времен первого достижения поглощающих границ, полученные ранее в § 1.3.

Полагая в замкнутой системе дифференциальных уравнений (1.60) для

средних времен первого достижения f(x0) = 0, g(x0) = 1 и h(x0) = a, имеем

DT ′′+ + aT ′

+ + ν (T− − T+) = −1,

DT ′′− − aT ′

− + ν (T+ − T−) = −1. (3.152)

Здесь T+ (x0) и T− (x0) – соответственно средние времена первого достиже-

ния поглощающих границ для положительного η (0) = +1 и отрицательного

120

η (0) = −1 начальных значений дихотомического шума при локализации бро-

уновской частицы в точке x0 в момент t = 0. Будем интересоваться средним

временем первого достижения частицей правой границы x = L, сделав ее по-

глощающей, а левую x = −L оставим отражающей. В этой ситуации решать

уравнения (3.152) необходимо со следующими граничными условиями [267]:

T ′± (−L) = 0, T± (L) = 0. Из решения системы (3.152) получаем следующее

точное соотношение для арифметического среднего времен первого дости-

жения T (x) = [T+ (x) + T− (x)] /2 при начальном положении броуновской

частицы в точке x0 = −L

T (−L) =2L2

D (1 + µ)+

2νµ

γ4D2

[cosh 2γL− 1 − (sinh 2γL− 2γL)2

cosh 2γL+ µ

]. (3.153)

В отсутствии переключений: a = 0 (µ = 0) из (3.153) получаем очевидный

результат для свободной броуновской диффузии в прямоугольной потенци-

альной яме: T (−L) = 2L2/D = (2L)2/(2D).

Поведение среднего времени первого достижения T (−L) от среднего тем-

па переключений ν представлено на Рис. 3.16.

2 4 6 8 10 12

2

3

4

01

T(-L)

n

MFPT

Рисунок 3.16. Явление резонансной активации для среднего времени

первого достижения T (−L). Параметры L, a и D - те же самые, что и на

Рис. 3.14.

Как видно из Рис. 3.16, зависимость T (−L) от среднего темпа переключений

внешнего поля является также немонотонной и имеет характерный мини-

мум. Подобное поведение среднего времени первого достижения броуновской

121

частицей потенциального барьера, обнаруженное в [237] при исследовании

бистабильной системы с флуктуирующим потенциальным барьером, получи-

ло в литературе название явления резонансной активации. Суть его в том,

что при определенном среднем темпе переключений ν высоты барьера собы-

тие преодоления барьера строго коррелирует с флуктуациями потенциала,

и броуновские частицы преодолевают случайно переключающийся барьер за

минимальное время. Несмотря на то, что в рассматриваемой системе потен-

циальный барьер отсутствует, броуновская частица быстрее достигает правой

границы, когда потенциал наклоняется в ее сторону, что случается довольно

редко при медленных переключениях и практически вообще не бывает при

сверхбыстрых переключениях. Таким образом, в данной ситуации немонотон-

ная зависимость как среднего арифметического времен первого достижения,

так и спектральной плотности мощности на нулевой частоте может интер-

претироваться как иное проявление явления резонансной активации.

На Рис. 3.17 приведено поведение ширины спектра флуктуаций коорди-

наты частицы Π от среднего темпа переключений внешнего поля ν,

10 20 30 40

3

5

P

n01

Рисунок 3.17. Зависимость ширины спектра от среднего темпа пере-

ключений поля для тех же самых значений параметров L, a и D, что и на

Рис. 3.14.

указывающее на новый нелинейный эффект: в противоположность линейной

системе ширина спектра фазовой (выходной) переменной нелинейной систе-

мы уменьшается с увеличением среднего темпа переключений потенциала,

122

т.е. ширины спектра аддитивного (входного) марковского дихотомического

шума.

3. Проанализируем теперь спектральные характеристики рассмотренной

в § 3.4 бистабильной системы с двумя отражающими границами в точках

x = ±L и флуктуирующим треугольным барьером (см. Рис. 3.11). Слу-

чайно переключающийся потенциал может быть записан в виде: Φ(x, t) =

U (x) [1 + (∆E/E0) η (t)], где U (x) = E0 (1 − |x| /L) (|x| < L). Как видно из

соотношений (3.143) и (3.144), в нашем случае функции G (x, p) и H (x, p) яв-

ляются нечетными в отличие от стационарной плотности вероятности Pst (x),

которая представляет собой четную функцию. В результате после подстанов-

ки U (x) и V (x) в (3.144) приходим к системе уравнений (x > 0)

G′′ − γ0G′ − γ H ′ − (p/D)G = −xPst (x) /D ,

H ′′ − γ0H′ − γ G′ − [(p+ 2ν) /D]H = 0 , (3.154)

которая должна решаться со следующим условиями на отражающей границе

x = L и в точке x = 0

[G′ − γ0G− γ H]x=L = 0 , [H ′ − γ0H − γ G]x=L = 0 , G (0, p) = H (0, p) = 0 .

(3.155)

где γ0 = E0/ (DL) , γ = ∆E/ (DL). Стационарное вероятностное распределе-

ние в (3.146) описывается сложными выражениями (3.135) и (3.137).

Далее для простоты ограничим наш анализ случаем E0 = 0, когда потен-

циал переключается между двумя конфигурациями: с барьером и ямой. Как

показывают сложные вычисления, спектральная плотность мощности имеет

типичную низкочастотную форму с максимумом на нулевой частоте. Таким

образом, достаточно исследовать два характерных параметра подобного спек-

тра: значение спектральной плотности мощности на нулевой частоте S (0) и

ширину спектра Π =⟨x2⟩/ [2S (0)] .

Типичная немонотонная зависимость ширины спектра от ν представлена

123

на Рис. 3.18.

5 10 15

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.20

P

n

Рисунок 3.18. Зависимость ширины спектральной плотности мощности

от среднего темпа переключений барьера. Параметры таковы: L = 1, ∆E = 3,

D = 0.5.

Рассмотренный немонотонный эффект является косвенным проявлением хо-

рошо известного явления резонансной активации [237]: зависимость среднего

времени преодоления частицей барьера от темпа его флуктуаций ν имеет

минимум в промежуточной области между очень медленными и очень быст-

рыми флуктуациями. В этой области частот ν событие пересечения строго

скоррелировано с флуктуациями потенциала, и броуновские частицы пре-

одолевают случайно переключающийся барьер за минимальное время. По-

скольку подобная немонотонная зависимость должна наблюдаться во време-

ни корреляции τc установившихся флуктуаций, а ширина спектра обратно

пропорциональна ему Π = π/ (2τc), на Рис. 3.18 наблюдается характерный

максимум.

Проведенные вычисления указывают на незначительный минимум в за-

висимости спектральной плотности мощности на нулевой частоте от ν (см.

Рис. 3.15). Данное немонотонное поведение S (0) может интерпретироваться

как новое проявление явления резонансной активации.

124

4 ГЛАВА

Анализ нелинейных флуктуационных явлений

с конструктивной ролью шума

[28], [30]-[32], [34, 35, 37, 38, 40, 41, 43, 45, 47, 56, 63, 64]

Большое количество накопившихся экспериментальных фактов указыва-

ет на то, что имеется достаточно много неравновесных систем, демонстри-

рующих индуцированный шумом порядок. Источники шума могут не просто

не мешать работе нелинейных устройств, а, наоборот, существенно усиливать

чувствительность к слабым воздействиям и индуцировать некоторые режи-

мы, которые при отсутствии шума нереализуемы. Среди этих явлений можно

выделить стохастический резонанс, резонансную активацию, замедление шу-

мом распада метастабильных и нестабильных состояний, рэтчет-эффект и

броуновские моторы, индуцированное шумом образование структур.

§ 4.1. Повышение шумом устойчивости метастабильного

состояния в системе со случайно переключающимся

потенциальным барьером

1. Активационный выход системы из метастабильного состояния лежит в

основе многих физических, химических и биологических проблем. Примера-

ми могут служить рост кристаллов, туннельные диоды, лазеры, квантовые

жидкости, системы со спином, сворачивание белка, и физика полимеров [221]-

[224]. Наиболее интересный и трудный для анализа случай, когда метаста-

бильный потенциал изменяется по случайному закону с характерным масшта-

бом, варьирующимся в широком диапазоне. Так, метастабильные состояния с

флуктуирующими барьерами являются общими как для химических и биоло-

гических моделей [225]-[228], так и для широкого круга физических проблем,

125

таких как неравновесные модели переноса, диссоциация молекул в химиче-

ских системах с сильными связями [229], рэтчет-модели действия молекуляр-

ных моторов [230], шум в микроструктурах и процесс захвата носителей в

полупроводниках [231]-[235]. Выход из метастабильного состояния с флукту-

ирующим или случайно переключающимся барьером изучался в основном с

помощью аппарата средних времен первого достижения (СВПД). Так, в ра-

ботах [236]-[243] были получены точные результаты для СВПД флуктуиру-

ющего барьера, переключающегося между двумя конфигурациями. Однако,

метод средних времен первого достижения требует внесения поглощающей

границы в систему и поэтому не принимает во внимание наличие обратного

потока вероятности через эту границу. Метод времен нелинейной релаксации

лишен этого недостатка [244]. Тем не менее, теория времен нелинейной ре-

лаксации развита недостаточно хорошо и уравнения для времен нелинейной

релаксации неизвестны для изменяющихся во времени потенциалов.

В этом параграфе получены общие уравнения для нелинейного време-

ни релаксации диффузии в потенциалах, случайно переключающихся между

двумя произвольными конфигурациями со стоком. Найдены точные реше-

ния этих уравнений для кусочно-линейного потенциала, переключающегося

между нестабильной и метастабильной конфигурациями, для произвольной

интенсивности белого шума и темпа флуктуаций потенциала. При анализе

точного результата основное внимание было сосредоточено на эффекте по-

вышения шумом устойчивости системы, означающим, что система остается

в метастабильном состоянии дольше, чем в отсутствии аддитивного шума, и

время пребывания системы в метастабильном состоянии достигает максиму-

ма при некоторой интенсивности шума. Это явление, не описываемое законом

Крамерса, наблюдалось и изучалось теоретически и экспериментально в раз-

личных физических системах и в основном через аппарат СВПД в метаста-

бильных состояниях с периодическими или случайными возмущениями [225],

126

[245]-[259]. В этих работах немонотонное поведение среднего времени выхода

из метастабильного состояния наблюдалось: в физических системах, таких

как туннельный диод [246] и джозефсоновский переход [250], где изучалось

влияние тепловых флуктуаций на время жизни сверхпроводящего состояния

и на задержку времени включения отдельного джозефсоновского контакта с

большим затуханием; в химических системах, типа одномерного возвратного

отображения реакции Белоусова-Жаботинского, путем исследования поведе-

ния длины ламинарной области как функции интенсивности шума [259] и в

биологических системах [225], где была продемонстрирована индуцированная

шумом стабилизация передемпфированного движения броуновской частицы

в асимметричном флуктуирующем потенциале.

Анализируя эффект повышения шумом устойчивости системы, мы также

обнаружили явление резонансной активации при исследовании зависимости

среднего времени пребывания в метастабильном состоянии от среднего темпа

переключений.

2. Рассмотрим одномерное передемпфированное броуновское движение в

случайно переключающемся потенциальном профиле, описываемое следую-

щим уравнением Ланжевена

dx

dt= −∂Φ (x, t)

∂x+ ξ (t) ,

Φ (x, t) = U (x) + V (x) η (t) . (4.1)

Здесь x (t) - координата броуновской частицы, ξ(t) - гауссов белый шум с

нулевым средним значением и корреляционной функцией ⟨ξ (t) ξ (t+ τ)⟩ =

2Dδ (τ). Потенциал Φ (x, t) является суперпозицией фиксированного потен-

циала U (x) и случайно переключающегося слагаемого V (x) η (t). Случайный

процесс η (t) представляет собой марковский дихотомический шум, принима-

ющий с равной вероятностью значения ±1 со средним темпом переключений

ν. Применяя следующее представление плотности вероятности в виде сред-

127

него

P (x, t) = ⟨δ (x− x(t))⟩ (4.2)

и вводя вспомогательную функцию Q (x, t)

Q (x, t) = ⟨η (t) δ (x− x(t))⟩, (4.3)

приходим из (4.1) к следующей замкнутой системе уравнений (см. уравнения

(1.52) и (1.53) в § 1.3)

∂P

∂t=

∂

∂x[U ′ (x)P + V ′ (x)Q] +D

∂2P

∂x2,

∂Q

∂t= −2νQ+

∂

∂x[U ′ (x)Q+ V ′ (x)P ] +D

∂2Q

∂x2. (4.4)

Если вначале все броуновские частицы сосредоточены в точке x = x0, то

P (x, 0) = δ (x− x0) , (4.5)

и P (x, t) превращается в плотность вероятностей переходов P (x, t |x0, 0). По-

скольку η (0) - детерминированная величина, начальное условие для функции

Q (x, t) таково (см. (4.3) и (4.5))

Q (x, 0) = P (x, 0) η (0) = ±δ (x− x0) . (4.6)

Рассмотрим далее потенциальные профили U (x) ± V (x) со стенкой при

x→ −∞ и стоком при x→ +∞ (см. Рис. 4.1).

U(x)-V(x)

U(x)+V(x)

Рисунок 4.1. Переключающийся потенциал с метастабильным состояни-

ем.

128

Потенциальный профиль U (x)+V (x) соответствует метастабильному состо-

янию, а U (x)− V (x) – нестабильному. Таким образом, изучается система со

случайно переключающимся метастабильным состоянием.

Нелинейное время релаксации системы, находящейся в интервале (L1, L2),

определяется как [244]

τ (x0) =

∫ ∞

0

dt

∫ L2

L1

P (x, t |x0, 0) dx, (4.7)

где x0 ∈ (L1, L2). Нелинейное время релаксации интерпретируется также как

среднее время жизни броуновских частиц в интервале (L1, L2) или среднее

время пребывания, поскольку, в соответствии с (4.2) и (4.7), оно может быть

представлено в форме условного временного среднего

τ (x0) =

⟨∫ ∞

0

θ (x (t) − L1) θ (L2 − x (t)) dt |x (0) = x0

⟩где θ (x) - единичная функция.

Перепишем определение (4.7) в форме

τ (x0) =

∫ L2

L1

Y (x, x0, 0) dx, (4.8)

где Y (x, x0, s) - Лаплас-образ условной плотности вероятности P (x, t |x0, 0).

После применения преобразования Лапласа к (4.4) с учетом начальных усло-

вий (4.5) и (4.6) получаем следующую замкнутую систему обыкновенных

дифференциальных уравнений

DY ′′ + [U ′ (x)Y + V ′ (x)R]′ − sY = −δ (x− x0) ,

DR′′ + [U ′ (x)R + V ′ (x)Y ]′ − (s+ 2ν)R = ∓δ (x− x0) , (4.9)

где R (x, x0, s) - Лаплас-образ вспомогательной функции Q (x, t), определяе-

мой соотношением (4.3). Применяя метод, предложенный в работе [368], раз-

ложим функции sY (x, x0, s) и sR (x, x0, s) в степенной ряд по s

sY (x, x0, s) = Z0 (x, x0) + sZ1 (x, x0) + · · ·

sR (x, x0, s) = R0 (x, x0) + sR1 (x, x0) + · · · . (4.10)

129

Поскольку все броуновские частицы движутся к стоку в точке x = +∞ (см.

Рис. 4.1), стационарная плотность вероятности равна нулю на всей числовой

оси, т.е.

limt→∞

P (x, t |x0, 0) = lims→0

sY (x, x0, s) = 0.

Следовательно, в выражениях (4.10) Z0 (x, x0) = 0, R0 (x, x0) = 0, и опреде-

ление (4.8) принимает вид

τ (x0) =

∫ L2

L1

Z1 (x, x0) dx. (4.11)

Подставляя выражения (4.10) в (4.9) и приравнивая слагаемые, не содержа-

щие s, получаем следующую систему уравнений для функций Z1 (x, x0) и

R1 (x, x0)

DZ ′′1 + [U ′ (x)Z1 + V ′ (x)R1]

′= −δ (x− x0) ,

DR′′1 + [U ′ (x)R1 + V ′ (x)Z1]

′ − 2νR1 = ∓δ (x− x0) . (4.12)

Из-за наличия стенки при x = −∞ поток вероятности равен нулю в этой

точке, и из (4.4) имеем[D∂P

∂x+ U ′ (x)P + V ′ (x)Q

]x=−∞

= 0,[D∂Q

∂x+ U ′ (x)Q+ V ′ (x)P

]x=−∞

= 0. (4.13)

Выполняя преобразование Лапласа в уравнениях (4.13) и подставляя выраже-

ния (4.10), получаем следующие условия для функций Z1 (x, x0) и R1 (x, x0)

[DZ ′1 + U ′ (x)Z1 + V ′ (x)R1]x=−∞ = 0,

[DR′1 + U ′ (x)R1 + V ′ (x)Z1]x=−∞ = 0. (4.14)

Проводя интегрирование в системе (4.12) от −∞ до x с учетом граничных

условий (4.14), приходим к замкнутой системе интегро-дифференциальных

130

уравнений для функций Z1 (x, x0) и R1 (x, x0)

DZ ′1 + U ′ (x)Z1 + V ′ (x)R1 = −θ (x− x0) ,

DR′1 + U ′ (x)R1 + V ′ (x)Z1 = 2ν

∫ x

−∞R1dy ∓ θ (x− x0) . (4.15)

Эти общие уравнения позволяют вычислять нелинейное время релаксации

для рассматриваемых потенциальных профилей. Можно рассмотреть два вре-

мени τ+ (x0) и τ− (x0), определяемых начальной конфигурацией случайно пе-

реключающегося потенциального профиля Φ(x, 0): U (x) + V (x) или U (x)−

V (x). Нелинейное время релаксации (4.11) равно τ+ (x0), когда выбирается

знак “−” во втором уравнении системы (4.15), и наоборот для τ− (x0).

3. Рассмотрим далее кусочно-линейный потенциальный профиль с V (x) =

ax (x > 0, 0 < a < k) и

U(x) =

+∞, x < 0

0, 0 ≤ x ≤ L

k (L− x) , x > L

, (4.16)

представленный на Рис. 4.2.

L b

U(x)+ax

U(x)-ax

0x

Рисунок 4.2. Переключающийся кусочно-линейный потенциал.

В дальнейшем будем анализировать среднее время пребывания частицы τ− (0)

в интервале (L1 = 0, L2 = b) с b > L, которое конечно в детерминированном

случае. Поместим все броуновские частицы в начало координат, т.е. положим

x0 = 0. Как видно из Рис. 4.2, потенциальный профиль U (x) + ax соответ-

131

ствует метастабильному состоянию, а U (x)− ax - нестабильному. После под-

становки потенциалов (4.16) и V (x) = ax в уравнения (4.15) и выбора знака

“+”, приходим к

DZ ′1 − kθ (x− L)Z1 + aR1 = −1,

DR′1 − kθ (x− L)R1 + aZ1 = 1 + 2ν

∫ x

0

R1 (y) dy. (4.17)

Решение системы дифференциальных уравнений (4.17) необходимо прово-

дить отдельно в областях 0 < x < L и x > L, а затем использовать условия

сшивки в точке x = L

Z1 |L−0 = Z1 |L+0 , R1 |L−0 = R1 |L+0 . (4.18)

Для 0 < x < L решение системы (4.17) таково

Z1 (x) = c1

(cosh γx+

2νD

a2

)+ c2 sinh γx+

1

a− 2νx

γ2D2,

R1 (x) = −γDa

(c1 sinh γx+ c2 cosh γx) − a

γ2D2, (4.19)

где Z1 (x) ≡ Z1 (x, 0), R1 (x) ≡ R1 (x, 0) и

γ =

√a2

D2+

2ν

D. (4.20)

Ограниченные решения уравнений (4.17) в интервале (L,+∞) имеют вид

Z1 (x) = c3eµ(x−L) +

1

k,

R1 (x) =c3 (k − µD)

aeµ(x−L), (4.21)

где

µ =2k

3D

[1 +

√1 + 3

γ2D2

k2cos

(θ + 2π

3

)],

cos θ = −1 + 9

(νD − a2

)/k2

[1 + 3γ2D2/k2]3/2, (4.22)

132

- отрицательный корень следующего кубического уравнения

λ

(λ− k

D

)2

− γ2λ+2νk

D2= 0. (4.23)

Подставляя решения (4.19) и (4.21) в условия сшивки (4.18) и во второе урав-

нение (4.17), после преобразований получаем следующую компактную систе-

му алгебраических уравнений для неизвестных постоянных c1, c2, c3

c1 cosh γL+ c2 sinh γL+ c3

(2νk

µΓ2− 1

)= 0,

c1 sinh γL+ c2 cosh γL+ c3k − µD

Γ= −a

2

Γ3, (4.24)

c1 − c3ka2

µΓ2D=

ah

2νD,

где

Γ = γD,

h =a

k+

2νaL

Γ2− 1. (4.25)

Решение уравнений (4.24) имеет вид

c1 =ah

2νD+

a3k(2νDa sinh γL− hΓ3

)2νΓ3D [a2k +D (2νk − µΓ2) cosh γL+µΓD (µD − k) sinh γL]

,

c2 =A

2νΓ3 [a2k +D (2νk − µΓ2) cosh γL+ µΓD (µD − k) sinh γL],

c3 =µa(2νDa sinh γL− hΓ3

)2νΓ [a2k +D (2νk − µΓ2) cosh γL+µΓD (µD − k) sinh γL]

, (4.26)

где:

A = a

(µΓ2 − 2νk

) (2νDa+ hΓ3 sinh γL

)+[hµΓ4 (k − µD) − 2νa3k

]cosh γL

.

Подставляя соотношения (4.19) и (4.21) функции Z1 (x) в (4.11) и учиты-

вая выражения для постоянных (4.26), приходим окончательно к следующей

133

формуле для времени пребывания

τ− (0) =b

k+νL2

Γ2+

a

2νΓ4

(DΓ

2νa

[Γ2(eµ(b−L) − 1

)+ 2νkL

]+ hΓ2

(2νk − µΓ2

)sinh γL

a2k +D (2νk − µΓ2) cosh γL+ µΓD (µD − k) sinh γL+

D[hµΓ4 (µD − k) + 2νa

(a2k + µΓ2D − 2νkD

)]cosh γL−B

a2k +D (2νk − µΓ2) cosh γL+ µΓD (µD − k) sinh γL

), (4.27)

где:

B = 2νDa(a2k + µΓ2D − 2νkD

)+ hΓ4

[Γ2(eµ(b−L) − 1

)+ 2νkL+ µD (µD − k)

].

Результат (4.27) является точным и был получен без каких-либо предполо-

жений на интенсивность белого шума D и средний темп переключений ν.

4. В силу сложности соотношения (4.27) для среднего времени пребыва-

ния в интервале проанализируем предельные случаи больших и малых ин-

тенсивностей шума. Пользуясь приближенными оценками малых параметров

γ и µ в пределе D → ∞

γ ≃√

2ν

D

(1 +

a2

4νD

), µ ≃ −

√2ν

D

(1 − k

2√

2νD

),

найденными из (4.20) и (4.22), из (4.27) приходим к

τ− (0) =b

k+L2

2D

[1 − bq (1 − q)

ωL

]+ o

(1

D

). (4.28)

Здесь ω = νL/k и q = a/k - безразмерные параметры. Параметр q указыва-

ет на степень крутизны потенциала после точки L (см. Рис. 4.2). При очень

большой интенсивности шума D броуновские частицы “не замечают” тон-

кой структуры потенциального профиля и движутся как в фиксированном

потенциале −kx. В результате нелинейное время релаксации уменьшается с

134

увеличением интенсивности шума и, как следует из (4.28), стремится к зна-

чению b/k.

Явление повышения шумом устойчивости системы следует искать в про-

тивоположном предельном случае очень медленной диффузии (D → 0) [245,

246]. Приближенные выражения для параметров γ, Γ и µ, полученные в этом

пределе, таковы

γ ≃ a

D

(1 +

νD

a2

), Γ ≃ a

(1 +

νD

a2

),

µ ≃ − 2ω

L (1 − q2)

[1 −

2ωD(1 + q2

)kL (1 − q2)2

]. (4.29)

Подставляя (4.29) в (4.27) и сохраняя члены до первого порядка по D, полу-

чаем следующее выражение для нелинейного времени релаксации при малой

интенсивности шума

τ− (0) = τ0 +D

a2f(q, ω, s) + o (D) . (4.30)

Здесь

f(q, ω, s) =3q2 + 4q − 5

2(1 − q2)+ 2ω

3q2 + q − 3

q(1 − q2)− 2ω2

q2

+se−s q3(1 + q2)

(1 + q)(1 − q2)+(1 − e−s

) q(1 − q2 − 2q3)

2(1 − q2)(4.31)

и

τ0 =2L

a+νL2

a2+b− L

k− q(1 − q)

2ν

(1 − e−s

), (4.32)

- среднее время пребывания в отсутствии белого шума (D = 0). В соотноше-

ниях (4.31) и (4.32) введен новый безразмерный параметр

s =2ω (b/L− 1)

1 − q2.

Для очень медленных переключений ν → 0 из (4.32) находим

τ0 (ν → 0) =2L

a+b− L

k + a, (4.33)

135

что отличается от динамического времени

τd = τ0 (ν = 0) =L

a+b− L

k + a. (4.34)

Отличие результатов (4.33) и (4.34) связано с ненулевой вероятностью одного

переключения внутри динамического временного интервала (0, τd) в случае

ν → 0.

Условие наблюдения эффекта повышения шумом устойчивости может быть

выражено неравенством

f (q, ω, s) > 0. (4.35)

Проанализируем структуру области существования явления на плоскости

(q, ω), даваемую соотношениями (4.31) и (4.35). Для очень медленных и очень

быстрых переключений получаем

q >

√19 − 2

3≃ 0, 7863, ω → 0

ω <q(3q2 + q − 3)

1 − q2, ω → ∞. (4.36)

На Рис. 4.3 серым цветом показана область наблюдения явления на плоскости

(q, ω) для b/L = 2, полученная из неравенства (4.35).

0.8 0.9 1q0

1

2

3

4

5

w

Рисунок 4.3. Серым цветом показана область на плоскости параметров

(q, ω), где наблюдается эффект повышения шумом устойчивости системы.

Здесь ω = (νL)/k, q = a/k и b = 2L.

Как видно из Рис. 4.3, эффект имеет место при q ≃ 1, т.е. при очень

малой крутизне k − a = k (1 − q) обратного склона потенциального барье-

ра для метастабильной конфигурации. Для такого потенциального профиля

136

шум даже с малой интенсивностью может вернуть частицы в потенциальную

яму после их перехода через точку L. Затем броуновские частицы долго пре-

бывают в метастабильном состоянии из-за недостаточной энергии активации.

Это означает, что при фиксированной величине среднего темпа переключе-

ний эффект увеличивается, когда q → 1. Для фиксированного параметра q

эффект усиливается, когда ω → 0, поскольку броуновские частицы имеют

достаточно времени для возвращения в потенциальную яму.

На Рис. 4.4 приведены графики нормированного времени τ− (0) /τ0 из

уравнения (4.27) как функции интенсивности шума D для трех значений

безразмерного темпа переключений ω = νL/k: 0.01, 0.05, 0.1.

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0D

11

2

3

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

τ (0)−

τ0

Рисунок 4.4. Зависимость в полулогарифмическом масштабе нормиро-

ванного времени пребывания τ− (0) /τ0 от интенсивности белого шума D для

трех значений безразмерного среднего темпа переключений ω = νL/k: 0.1

(кривая 1), 0.05 (кривая 2), 0.01 (кривая 3). Параметры таковы L = 1, k = 1,

b = 2 и a = 0.995.

Максимальное значение нелинейного времени релаксации и область интен-

сивностей шума, где явление повышения устойчивости наблюдается, увели-

чиваются с уменьшением ω.

На основе точного соотношения (4.27) изучалось также поведение средне-

го времени пребывания τ− (0) как функции среднего темпа переключений ν.

На Рис. 4.5 продемонстрировано это поведение для семи значений интенсив-

ности шума.

137

-8 -6 -4 -2 0 2 4

5

10

15

20

0

w

t_(0)

Рисунок 4.5. Зависимость в полулогарифмическом масштабе среднего

времени пребывания τ− (0) от безразмерного среднего темпа переключений

ω = νL/k для семи значений интенсивности шума. В частности, сверху вниз

на правой стороне рисунка: D = 0.03, 0.05, 0.07, 0.09, 0.15, 0.25, 0.35. Осталь-

ные параметры те же самые, что и на Рис. 4.4.

Для очень медленных переключений (ν → 0) получаем

τ− (0) ≃ τd −D(1 − e−aL/D

)a2 (1 + q)

, (4.37)

т.е. нелинейное время релаксации в фиксированном нестабильном потенциале

U (x)−ax. В то время как для очень быстрых переключений (ν → ∞) имеем

τ− (0) ≃ b

k+L2

2D, (4.38)

т.е. среднее время пребывания для среднего потенциала U (x). Все предель-

ные значения нелинейного времени релаксации, даваемые соотношениями

(4.37) и (4.38), показаны на Рис. 4.5. При промежуточных темпах переклю-

чений время выхода из метастабильного состояния имеет минимум при ω =

0.1, что является характерным признаком явления резонансной активации

[224, 226, 237],[261]-[265].

Кроме того, на Рис. 4.5 можно заметить новое поведение резонансного

типа нелинейного времени релаксации как функции среднего темпа пере-

ключений потенциала. Нелинейное время релаксации имеет максимум меж-

ду пределом медленных флуктуаций потенциала (статический предел) и ми-

нимумом резонансной активации. Этот максимум имеет место при значении

138

темпа флуктуаций барьера порядка обратной величины времени τup (D), тре-

буемого для выхода из фиксированного метастабильного состояния

τup (D) =b− L

k − a− L

a+D(eaL/D − 1

)a2 (1 − q)

. (4.39)

Это говорит о том, что событие повышения устойчивости строго коррелиру-

ет с флуктуациями потенциала, когда броуновская частица “видит” барьер

метастабильного состояния [245, 246].

§ 4.2. Эффект повышения шумом устойчивости

метастабильного состояния в двумерном потенциале

с радиальной симметрией

1. Выход из метастабильного состояния относится к фундаментальным

явлениям статистической физики и имеет множество приложений в физике,

химии и биологии. Среди них - диффузия в твердых телах, химическая ки-

нетика и перенос в сложных системах [359]. Теория времен первого достиже-

ния [267] уже стала полезным инструментом для решения этой проблемы. В

данном разделе исследуются особенности эффекта повышения шумом устой-

чивости в двумерных потенциалах по сравнению с одномерным случаем.

2. Рассмотрим уравнения Ланжевена для передемпфированного броунов-

ского движения в двумерном потенциале U (x, y)

x = −U ′x (x, y) + ξ1 (t) ,

y = −U ′y (x, y) + ξ2 (t) , (4.40)

где x (t) и y (t) - координаты броуновской частицы на плоскости (x, y), ξ1 (t) и

ξ2 (t) - некоррелированные белые гауссовы шумы с нулевыми средними значе-

ниями ⟨ξ1 (t)⟩ = ⟨ξ2 (t)⟩ = 0 и одинаковыми интенсивностями ⟨ξi (t) ξj (t′)⟩ =

2Dδijδ (t− t′) (i, j = 1, 2). Применяя описанный в Главе 1 функциональный

139

метод, нетрудно вывести из системы (4.40) уравнение Фоккера-Планка для

плотности вероятностей переходов P (x, y, t| x0, y0, t0)

∂P

∂t=

∂

∂x[U ′

x (x, y)P ] +∂

∂y

[U ′y (x, y)P

]+D

(∂2P

∂x2+∂2P

∂y2

),

которое может быть переписано в инвариантной форме

∂P

∂t= div (PgradU) +D∆P. (4.41)

Ограничимся далее случаем потенциала с радиальной симметрией U(r)

(r =√x2 + y2). В результате уравнение (4.41) принимает следующий вид в

полярных координатах (r, φ)

∂P

∂t=

1

r

∂

∂r[rU ′ (r)P ] +

D

r

∂

∂r

(r∂P

∂r

)+D

r2∂2P

∂φ2. (4.42)

Решим задачу о среднем времени выхода частицы из круговой области

r < b. Если предположить, что в начальный момент времени все броуновские

частицы были равномерно распределены на окружности радиуса r0 (r0 < b)

с центром в начале координат, то решение уравнения (4.42) не будет зависеть

от полярного угла φ, и задача может быть сведена к одномерному случаю.

Записывая уравнение Фоккера-Планка в обратном времени и применяя стан-

дартную процедуру (см., например, [267]), придем к следующему уравнению

для среднего времени первого достижения T (r0)

D

r0

d

dr0

(r0dT

dr0

)− U ′(r0)

dT

dr0= −1, (4.43)

которое должно решаться с обычным условием на поглощающей границе

T (b) = 0. Точное решение (4.43) удается выразить в квадратурах для произ-

вольного радиально симметричного потенциального профиля U(r)

T (r0) =1

D

∫ b

r0

eU(x)/D dx

x

∫ x

0

y e−U(y)/Ddy . (4.44)

3. Рассмотрим метастабильный потенциальный профиль в форме конусо-

образного кратера (см. Рис. 4.6)

140

Рисунок 4.6. Метастабильный потенциал в форме конусообразного кра-

тера.

U(r) =

hr, 0 ≤ r ≤ a ,

(h+ k) a− kr, r ≥ a .(4.45)

Поместим все броуновские частицы в неустойчивое начальное состояние a <

r0 < b на окружность вне кратера. Подстановка потенциала (4.45) в (4.44)

дает

T (r0, D) =b− r0k

− D

k2lnb

r0+D eka/D

[1

h2(eβ − 1 − β

)+

1

k2

(1 − ka

D

)]×[Ei

(−kbD

)− Ei

(−kr0D

)], (4.46)

где β = ha/D - безразмерная высота потенциального барьера и Ei(x) - инте-

гральная показательная функция. Детальный анализ соотношения (4.46) по-

казывает, что, как и в одномерном случае, при определенных условиях шум

может стабилизировать метастабильное состояние, т.е. среднее время первого

достижения поглощающей границы за потенциальным барьером увеличива-

ется с возрастанием интенсивности шума D. В самом деле, поскольку эффект

повышения шумом устойчивости системы наблюдается при относительно ма-

лых интенсивностях шума, можно пренебречь экспоненциально малыми чле-

141

нами (в пределеD → 0) в сложном соотношении (4.46). В результате получим

T (r0, D) ≃ b− r0k

− D

k2lnb

r0+

D2

kr0 h2exp

(h+ k) a− kr0

D

. (4.47)

Поведение среднего времени первого достижения T (r0, D) при малыхD опре-

деляется знаком аргумента экспоненциальной функции в (4.47). В частности,

если

r0 <

(1 +

h

k

)a , (4.48)

т.е. броуновские частицы находятся в начале выше дна кратера (см. (4.45)),

среднее время выхода из области T (r0, D) → ∞ при D → 0 и не совпадает

с динамическим временем T (r0, 0) = (b− r0) /k. В результате среднее вре-

мя первого достижения имеет сингулярность в точке D = 0 (см. сплошную

линию на Рис. 4.7).

0.1 0.2 0.3 0.4

0.6

1.6

1

2.5

D

t(D)

0.5

Рисунок 4.7. Зависимость безразмерного среднего времени первого до-

стижения τ (D) = T (r0, D) /T (r0, 0) от интенсивности шума D для различ-

ных начальных положений r0 броуновских частиц: r0 = 2 (сплошная линия),

r0 = 3 (пунктирная линия). Параметры таковы: h = 1, k = 0.5, a = 1, b = 5.

В данном случае явление повышения шумом устойчивости наблюдается, по-

скольку относительно слабый шум может забросить часть броуновских ча-

стиц в горловину кратера, и они могут находиться в глубокой потенциаль-

ной яме достаточно продолжительное время. Согласно соотношению (4.47),

для противоположного неравенства (4.48) среднее время первого достиже-

ния уменьшается с ростом интенсивности шума D, и эффект отсутствует

(см. пунктирную линию на Рис. 4.7).

142

Следует подчеркнуть, что для одномерного потенциала с метастабильным

состоянием явление повышения шумом устойчивости наблюдается при про-

извольном начальном положении броуновских частиц (см. Рис. 2 в [245]). От-

сутствие эффекта в двумерном потенциале при начальном положении частиц

ниже дна кратера можно объяснить большим числом возможных направле-

ний диффузии по внешней поверхности кратера.

§ 4.3. Возможные подходы к анализу нелинейного

режима стохастического резонанса

1. Явление стохастического резонанса, открытое в начале 80-х годов про-

шлого столетия, нашло свою теоретическую интерпретацию после десятка

лет (см. обзор [268] и библиографию в нем). За последние 25 лет количество

публикаций по этому индуцированному шумом эффекту росло экспоненци-

ально из-за обширных применений в различных областях науки [269]-[271].

Стохастический резонанс (СР) проявляется как усиление отклика системы

при определенной конечной величине интенсивности шума. В частности, в

зависимости выходного отношения сигнал/шум от интенсивности входного

шума имеется характерный максимум [270]. В присутствии внешнего слабо-

го периодического поля и шума наблюдается статистическая синхронизация

случайных переходов между двумя метастабильными состояниями нелиней-

ной системы. Теоретические и экспериментальные исследования были в ос-

новном сфокусированы на линейном режиме СР (приближении слабого сиг-

нала), когда применялись двухуровневое приближение [272] и теория линей-

ного отклика [273]. Однако для полного описания явления стохастического

резонанса важно исследовать также его нелинейный режим. В некоторых ра-

ботах уже анализировался нелинейный режим СР: экспериментально [270] и

теоретически [274]-[277]. В этом режиме, иногда называемом пределом слабо-

143

го шума, произведение амплитуды периодического сигнала на максимальное

значение выходного сигнала не является существенно меньшим интенсивно-

сти шума, и теория линейного отклика как и теория возмущений уже более

неприменима. Кроме того, в нелинейном режиме СР появляются некоторые

своеобразия поведения [270, 274].

2. Рассмотрим классический случай явления стохастического резонанса

в форме передемпфированного броуновского движения в симметричном би-

стабильном потенциале четвертой степени под действием внешнего гармони-

ческого поля, динамика которого описывается следующим уравнением Лан-

жевенаdx

dt= −x3 + x+ ξ(t) + A sin Ωt, (4.49)

где x(t) - координата броуновской частицы, ξ(t) - гауссов белый шум с нуле-

вым средним значением и интенсивностью 2D, A и Ω - соответственно ампли-

туда и частота внешнего сигнала. Уравнение Фоккера-Планка для плотности

вероятности P (x, t) координаты частицы, соответствующее стохастическому

уравнению (4.49), имеет вид

∂P

∂t=

∂

∂x

[(x3 − x− A sin Ωt

)P]

+D∂2P

∂x2. (4.50)

Воспользуемся общими уравнениями для кумулянтов κn(t) марковского

процесса x(t) (см. [278])

dκndt

=n∑

j=1

Cjn

⟨x[n−j], Kn(x, t)

⟩, (4.51)

где Cjn - биномиальный коэффициент,

⟨x[n−j], Kn(x, t)

⟩- кумулянтная скобка

и Kn(x, t) - кинетические коэффициенты. В случае непрерывного марковско-

го процесса только первые два из кинетических коэффициентов отличны от

нуля, и уравнения (4.51) принимают вид

dκndt

= n⟨x[n−1], K1(x, t)

⟩+n (n− 1)

2

⟨x[n−2], K2(x, t)

⟩. (4.52)

144

Подставляя в (4.52), в соответствии с (4.50), K1(x, t) = x − x3 + A sin Ωt,

K2(x, t) = 2D и размыкая кумулянтные скобки, приходим к следующей бес-

конечной цепочке уравнений для кумулянтов

dκ1dt

= κ1 − κ3 − 3κ2κ1 − κ31 + A sin Ωt ,

dκ2dt

= 2(κ2 − κ4 − 3κ1κ3 − 3κ22 − 3κ21κ2 +D

),

dκ3dt

= 3(κ3 − κ5 − 3κ1κ4 − 9κ2κ3 − 3κ21κ3 − 6κ1κ

22

),

dκ4dt

= 4(κ4 − κ6 − 3κ1κ5 − 12κ2κ4 − 3κ21κ4 − 9κ23

− 18κ1κ2κ3 − 6κ32), (4.53)

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Наша главная задача состоит в исследовании усиления сигнала по мощ-

ности

η =P1

P0, (4.54)

где P1 =(A2

1 +B21

)/2 - мощность первой гармоники среднего значения ко-

ординаты ⟨x(t)⟩

⟨x(t)⟩ =A0

2+

∞∑n=1

An cos (nΩt) +Bn sin (nΩt) (4.55)

и P0 = A2/2 - мощность входного сигнала. Для отыскания первого кумулянта

κ1(t) из системы (4.53) применим схему обрывания по кумулянтам. Оставляя

в (4.53) только первые два кумулянта, приходим к гауссову приближению

dκ1dt

= κ1 − 3κ2κ1 − κ31 + A sin Ωt,

dκ2dt

= 2κ2 − 6κ22 − 6κ21κ2 + 2D . (4.56)

Для решения нелинейной системы (4.56) и вычисления коэффициента уси-

ления (4.54) применялась программа быстрого преобразования Фурье и про-

грамма решения обыкновенных дифференциальных уравнений ODE45 из па-

145

кета Матлаб. На Рис. 4.8 приведена зависимость коэффициента усиления сиг-

нала по мощности от интенсивности шума для различных значений ампли-

туды сигнала, полученная в рамках гауссова приближения.

Рисунок 4.8. Зависимость коэффициента усиления сигнала η от интен-

сивности шума D для различных значений амплитуды сигнала A в гауссовом

приближении (4.56). Частота входного сигнала Ω = 0.1.

Следует отметить немонотонность поведения, характеризуемое наличием мак-

симума, который увеличивается с ростом амплитуды периодического сигна-

ла.

В последовательной схеме обрывания по кумулянтам далее ограничиваем

наш анализ первыми четырьмя кумулянтами, что известно как эксцессное

приближение. В результате из (4.53) получаем

dκ1dt

= κ1 − κ3 − 3κ1κ2 − κ31 + A sin Ωt ,

dκ2dt

= 2κ2 − 2κ4 − 6κ1κ3 − 6κ22 − 6κ21κ2 + 2D ,

dκ3dt

= 3κ3 − 9κ1κ4 − 27κ2κ3 − 9κ21κ3 − 18κ1κ22 ,

dκ4dt

= 4κ4 − 48κ2κ4 − 12κ21κ4 − 36κ23 (4.57)

− 72κ1κ2κ3 − 24κ32 .

Зависимость коэффициента усиления сигнала по мощности от интенсивно-

сти шума для различных значений амплитуды сигнала в рамках эксцессного

приближения (4.57) приведена на Рис. 4.9.

146

Рисунок 4.9. Зависимость коэффициента усиления сигнала по мощности

η от интенсивности шума D для различных значений амплитуды сигнала

A, полученная в рамках эксцессного приближения (4.57). Частота входного

сигнала Ω = 0.1.

3. Рассмотренные выше приближения базировались на аппроксимации ре-

альной плотности вероятности унимодальными распределениями, в то время

как оно в каждый момент времени является бимодальным. Третья схема ап-

проксимации, которую можно назвать модифицированным двухуровневым

приближением, состоит в замене реального вероятностного распределения

P (x, t) следующим дискретным

P (x, t) = p(t) δ(x− a(t)) + q(t) δ(x− b(t)) , (4.58)

состоящим из двух дельта-функций, в соответствии с предложенным в ра-

боте [272], но с изменяющимися во времени положениями двух максимумов.

Таким образом, согласно (4.58) и условию нормировки p(t) + q(t) = 1, коэф-

фициент усиления по мощности (4.54) в этом приближении характеризуется

тремя различными параметрами.

Как показано в [279], любое вероятностное распределение W (x) генериру-

ет последовательность ортонормированных полиномов Pn(x), удовлетворяю-

щих следующему рекуррентному соотношению

xPn (x) = Sn Pn (x) +√Rn+1 Pn+1 (x) +

√Rn Pn−1 (x) , (4.59)

147

где −∞ < Sn < +∞, Rn ≥ 0. Производящая функция параметров Sn и Rn

может быть записана в виде бесконечной цепной дроби

h (z) =

⟨1

ξ − z

⟩=

1

S0 − z − R1

S1−z− R2S2−z−...

, (4.60)

соответствующей плотности вероятности W (x). Для дискретных случайных

величин цепная дробь (4.60) обрывается. Так, для вероятностного распреде-

ления (4.58) из (4.60) находим производящую функцию

h (z, t) =

⟨1

x(t) − z

⟩=

p(t)

a(t) − z+

q(t)

b(t) − z, (4.61)

которая отвечает следующей конечной цепной дроби (ср. с (4.60))

h (z, t) =1

S0(t) − z − R1(t)S1(t)−z

. (4.62)

Сопоставляя (4.61) и (4.62), получаем следующие соотношения для парамет-

ров S0(t), S1(t) и R1(t)

S1 (t) = p(t) b(t) + q(t) a(t) ,

S0 (t) + S1 (t) = a(t) + b(t) , (4.63)

S0 (t)S1 (t) −R1 (t) = a(t) b(t) .

Решая систему (4.63), приходим к

S0 (t) = p(t) a(t) + q(t) b(t) = κ1(t) ,

S1 (t) = p(t) b(t) + q(t) a(t) , (4.64)

R1 (t) = p(t) q(t) [a(t) − b(t)]2 = κ2(t) .

Из уравнения Ланжевена (4.49) и формулы (4.58) для плотности вероятно-

сти можно получить следующую замкнутую систему нелинейных уравнений

для первых двух кумулянтов: среднего значения κ1(t) = ⟨x(t)⟩ и дисперсии

148

κ2(t) и параметра S1(t)

dκ1dt

= κ1 − κ31 − κ2 (2κ1 + S1) + A sin Ωt ,

dκ2dt

= 2κ2(1 − κ2 − κ21 − κ1 S1 − S2

1

)+ 2D ,

dS1

dt= S1 − S3

1 − κ2 (κ1 + 2S1) + A sin Ωt (4.65)

− 2D

κ2(S1 − κ1) .

При решении системы уравнений (4.65) мы контролировали справедливость

неравенства a(t) < b(t) для любых времен внутри интервала наблюдения.

Согласно (4.63), a(t) и b(t) являются корнями следующего квадратного урав-

нения

Y 2 − [κ1(t) + S1(t)]Y + κ1(t)S1(t) − κ2(t) = 0 . (4.66)

На Рис. 4.10 представлена зависимость коэффициента усиления сигнала по

мощности от интенсивности шума в рамках модифицированного двухуровне-

вого приближения.

Рисунок 4.10. Зависимость коэффициента усиления сигнала по мощно-

сти η от интенсивности шума D для различных значений амплитуды сигнала

A в рамках модифицированного двухуровневого приближения (4.65). Часто-

та входного сигнала Ω = 0.1.

Заметим, что величина максимума меньше найденных в рамках двух ранее

рассмотренных схем обрывания. Этот результат, по-видимому, можно объ-

яснить тем, что уравнения (4.65) соответствуют некоторой схеме обрывания

149

по первым трем кумулянтам, что не совсем отвечает симметрии исходного

потенциала (см. уравнение (4.49)).

4. Наконец, поведение коэффициента усиления сигнала по мощности от

интенсивности шума изучалось путем численного интегрирования уравнения

Ланжевена (4.49) и последующего усреднения по 104 реализациям. Результа-

ты численного моделирования показаны на Рис. 4.11.

Рисунок 4.11. Зависимость коэффициента усиления сигнала по мощно-

сти η от интенсивности шума D для различных значений амплитуды сиг-

нала A, полученная прямым численным интегрированием уравнения (4.49).

Частота входного сигнала Ω = 0.1.

В заключение, на Рис. 4.12 выполнено сравнение поведения коэффициента

усиления сигнала по мощности как функции интенсивности шума, найден-

ное в рамках трех различных аппроксимационных схем, т.е. уравнений (4.56),

(4.57) и (4.65), с “точным” результатом, полученным путем численного инте-

грирования исходного уравнения Ланжевена (4.49).

150

Рисунок 4.12. Сравнение гауссова, эксцессного и модифицированного

двухуровневого приближений с численными результатами для коэффициента

усиления сигнала по мощности. Параметры таковы: A = 0.2, Ω = 0.1.

Как видно из Рис. 4.12, результаты гауссовой и эксцессной схем обрывания

находятся в хорошем согласии с “точным” результатом, полученным из сто-

хастического уравнения (4.49).

§ 4.4. Ускорение броуновской диффузии в быстро

флуктуирующем периодическом потенциале

1. Броуновская диффузия в периодическом потенциале служит подходя-

щей моделью для описания флуктуаций джозефсоновского сверхтока через

туннельный переход [280],[281], диффузионного движения атомов в кристал-

лах [282],[283], суперионной проводимости [284]-[286], волн зарядовой плот-

ности [287], химических реакций [288], нейронной активности [289],[290], син-

хронизации колебаний [291], вращения диполей во внешних полях [292], сор-

тировки частиц с помощью электрофореза [293] и т.д. Несмотря на то, что

качественное асимптотическое поведение системы хорошо известно, расчеты

средней скорости, спектральной плотности скоростей и эффективного коэф-

фициента диффузии инерционных частиц проводились лишь путем анало-

гового моделирования или численного решения уравнения Фоккера-Планка

[294]-[297]. Аналитические результаты в режиме сильного затухания были

получены для эффективного коэффициента диффузии в произвольном пе-

риодическом потенциале [298]-[300] и для средней скорости и эффективного

коэффициента диффузии броуновской частицы, движущейся в наклонном

периодическом потенциале [301]-[306].

Исследования броуновской диффузии во флуктуирующих периодических

потенциалах начали проводиться в рамках проблемы молекулярных моторов,

151

т.е. однонаправленного движения броуновских частиц вдоль одномерных пе-

риодических структур [307]-[313]. В статье А.Н. Малахова [314] было впервые

п оказано, что в быстро флуктуирующем периодическом поле процесс диф-

фузии броуновских частиц может ускоряться по сравнению со случаем сво-

бодной диффузии. Однако, точная формула для эффективного коэффициен-

та диффузии была получена автором лишь для пилообразного потенциаль-

ного профиля. Настоящий параграф посвящен выводу точного соотношения

для симметричного периодического потенциала произвольной формы.

2. Рассмотрим, как и в [314], уравнение Ланжевена для координаты бро-

уновской частицы, движущейся во флуктуирующем периодическом поле U (x)

в режиме передемпфирования,

dx

dt= −dU (x)

dxζ (t) + ξ (t) . (4.67)

Здесь ξ (t) и ζ (t) – статистически независимые белые гауссовы шумы с нуле-

выми средними значениями ⟨ξ (t)⟩ = ⟨ζ (t)⟩ = 0 и интенсивностями 2D и 2Dζ

соответственно: ⟨ξ (t) ξ (t+ τ)⟩ = 2Dδ (τ) , ⟨ζ (t) ζ (t+ τ)⟩ = 2Dζδ (τ). Будем

далее считать потенциал U (x) четной функцией периода L, поместив начало

координат в один из его минимумов.

Определим эффективный коэффициент диффузии стандартным образом

как предел

Deff = limt→∞

⟨[x (t) − ⟨x (t)⟩]2

⟩2t

. (4.68)

Нетрудно записать соответствующее (4.67) уравнение Фоккера-Планка для

плотности вероятности P (x, t) координаты броуновской частицы

∂P

∂t= Dζ

∂

∂xU ′ (x)

∂

∂xU ′ (x)P +D

∂2P

∂x2. (4.69)

Поскольку мы интересуемся асимптотическим поведением среднего квадрата

координаты, начальное условие к уравнению (4.69) можно задать произволь-

ным образом. Поместим в момент t = 0 все броуновские частицы в начало

152

координат: P (x, 0) = δ (x). Тогда в силу четности потенциала U (x) диффу-

зия при t > 0 будет идти симметрично в обоих направлениях оси Ox, а поток

вероятности в точке x = 0 и ⟨x (t)⟩ будут оставаться равными нулю. Это

означает, что для вычисления Deff в начало координат можно поместить от-

ражающий экран и рассматривать диффузию только в сторону положитель-

ных x. При этом соотношение (4.68) может быть переписано в эквивалентной

форме

Deff =1

2limt→∞

d

dt

⟨x2 (t)

⟩. (4.70)

Далее удобно ввести в рассмотрение Лаплас-образ плотности вероятности

Y (x, s) =

∫ ∞

0

P (x, t) e−stdt .

В результате уравнение (4.69) примет вид обыкновенного дифференциально-

го уравнения второго порядка для функции Y (x, s)

Dζd

dxU ′ (x)

d

dxU ′ (x)Y +D

d2Y

dx2− sY = 0 (x > 0) , (4.71)

которое необходимо дополнить условием нормировки плотности вероятности∫ ∞

0

Y (x, s) dx =1

s. (4.72)

Линейное однородное уравнение (4.71) с периодическими коэффициентами

по теореме Флоке (см. [315], стр.110) имеет решение вида

Y (x, s) = e−µ(s)xΦ (x, s) , (4.73)

где Φ (x, s) – периодическая функция координаты x с тем же периодом L, а

µ (s) – характеристический показатель решения. В силу того, что при s = 0

уравнение (4.71) имеет чисто периодическое решение, µ (s) → 0 при s → 0.

Заметим также, что согласно (4.73)

Y (L, s) = e−µ(s)LY (0, s) . (4.74)

153

В соответствии с (4.70) и предельными теоремами преобразования Лапла-

са

Deff = lims→0

s2 · x2s2

, (4.75)

где

x2s =

∫ ∞

0

x2Y (x, s) dx =

∫ ∞

0

x2e−µxΦ (x, s) dx =∂2

∂µ2

∫ ∞

0

e−µxΦ (x, s) dx.

(4.76)

Поскольку выражение (4.76) входит под предел (4.75), нам достаточно найти

приближенное значение интеграла при s → 0, т.е. при µ → 0. С учетом

периодичности функции Φ (x, s) имеем∫ ∞

0

e−µxΦ (x, s) dx =∞∑n=0

∫ (n+1)L

nL

e−µxΦ (x, s) dx =

∫ L

0

e−µxΦ (x, s) dx∞∑n=0

e−µnL

=1

1 − e−µL

∫ L

0

e−µxΦ (x, s) dx ≃ 1

µL

∫ L

0

e−µxΦ (x, s) dx.

Подставляя полученный результат в уравнение (4.76) и учитывая (4.72), (4.73),

придем к

x2s ≃2

µ3L

∫ L

0

e−µxΦ (x, s) dx ≃ 2

sµ2. (4.77)

Подстановка (4.77) в (4.75) приводит к новому выражению для эффективного

коэффициента диффузии в форме предела

Deff = lims→0

s

µ2 (s). (4.78)

Как видно из (4.78), задача свелась к вычислению характеристического

показателя решения уравнения (4.71). Его расчет представляет, как прави-

ло, известные трудности, поскольку базируется на условии равенства нулю

бесконечного детерминанта [315]. Однако, в данном случае удается найти по-

казатель µ (s) непосредственно из соотношения (4.74).

В самом деле, переходя к новой переменной

Z (x, s) =

√D +Dζ [U ′ (x)]2 · Y (x, s) , (4.79)

154

перепишем уравнение (4.71) в самосопряженной форме√D +Dζ [U ′ (x)]2

d

dx

√D +Dζ [U ′ (x)]2

dZ

dx− sZ = 0 . (4.80)

Полученное уравнение путем замены независимой переменной

u =

∫ x

0

dy√D +Dζ [U ′ (y)]2

сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами и, как

следствие, легко решается. Ограниченное решение уравнения (4.80) в области

x > 0 имеет вид

Z (x, s) = C0 (s) exp

−√s

∫ x

0

dy√D +Dζ [U ′ (y)]2

, (4.81)

где C0 (s) – некоторая постоянная, определяемая условием нормировки (4.72).

В силу того, что множитель перед Y (x, s) в замене (4.79) является периоди-

ческой функцией, характеристический показатель решения (4.81) совпадает

с µ (s). Из соотношения для Z (x, s), аналогичного (4.74), с учетом (4.81) на-

ходим

µ (s) =

√s

L

∫ L

0

dy√D +Dζ [U ′ (y)]2

.

Подставляя характеристический показатель µ (s) в (4.78), окончательно по-

лучаем точную формулу для эффективного коэффициента диффузии бро-

уновских частиц в произвольном флуктуирующем потенциале U (x)

Deff = D

1

L

∫ L

0

dx√1 +Dζ [U ′ (x)]2 /D

−2

. (4.82)

Как видно из (4.82), при любом потенциальном профиле U (x): Deff > D,

т.е. диффузия частиц ускоряется по сравнению со случаем U (x) = 0. Этот

результат полностью подтверждает предположение, высказанное ранее в ра-

боте [314]. Ускорение диффузии при модуляции потенциала белым гауссовым

155

шумом объясняется следующим. Модулирующий шум изменяет высоту по-

тенциальных барьеров и при смене знака меняет местами потенциальные ба-

рьеры и минимумы потенциала. В результате броуновские частицы большую

часть дистанции движутся вниз по потенциальным склонам и поэтому диф-

фундируют более быстро в сравнении со случаем свободной диффузии. Как

следствие, в отличие от случая фиксированного периодического потенциала

[291], [298]-[300], значение эффективного коэффициента диффузии определя-

ется не высотой потенциального профиля, а его крутизной U ′ (x).

3. Рассмотрим далее конкретные виды потенциала U (x). Для пилообраз-

ного профиля U (x) = 2E |x| /L при |x| ≤ L/2 сразу же приходим к получен-

ному А.Н. Малаховым точному результату

Deff = D +Dζ4E2

L2. (4.83)

Для синусоидального потенциала U (x) = E sin2 (πx/L) формула (4.82)

дает значение

Deff =π2D

(1 + γ2

)4K2(γ/

√1 + γ2)

, (4.84)

где K (k) – полный эллиптический интеграл первого рода (0 < k < 1), а γ =

(πE/L)√Dζ/D. При малых интенсивностях модулирующего шумаDζ (γ ≪ 1)

из соотношения (4.84) имеем

Deff ≃ D +Dζπ2E2

2L2. (4.85)

Формула (4.85) совпадает с приближенным результатом работы [314], полу-

ченным в предположении гауссовости плотности вероятности W (x, t). В про-

тивоположном случае γ ≫ 1 можно воспользоваться асимптотической фор-

мулой для эллиптического интеграла [316]

K (k) ≃ ln4√

1 − k2(k → 1) ,

и найти из (4.84)

Deff ≃ D (πγ)2

4 ln2 γ∼ Dζ

ln2Dζ

. (4.86)

156

Согласно (4.86), эффективный коэффициент диффузии возрастает с ростом

интенсивности модулирующего шумаDζ , но медленнее линейного закона (4.83).

Наконец, для кусочно параболического потенциального профиля

U (x) =

8E (x/L)2 , |x| ≤ L/4

E[1 − 8 (x/L− 1/2)2

], L/4 ≤ x ≤ 3L/4

из точной формулы (4.82) получаем

Deff =Dm2

ln2(m+√

1 +m2), (4.87)

где m = (4E/L)√Dζ/D. Для достаточно малых интенсивностей Dζ (m≪ 1)

формула (4.87) дает

Deff ≃ D +Dζ16E2

3L2, (4.88)

что напоминает результат (4.85). Более того, зависимость (4.87) при больших

интенсивностях Dζ совпадает с законом (4.86) для синусоидального потенци-

ального профиля (см. Рис. 4.13).

0.2 0.4 0.6 0.8

1

2

3

4

5

0

Deff /D

12

3

Dz

Рисунок 4.13. Отношение эффективного коэффициента диффузии к ко-

эффициенту свободной диффузии в зависимости от интенсивности модули-

рующего шума для трех типов симметричных периодических потенциальных

профилей: кривая 1 – пилообразный, кривая 2 – синусоидальный, кривая 3

– кусочно параболический.

157

§ 4.5. Особенности диффузии частиц в случайно

переключающемся периодическом потенциале

1. В предыдущем параграфе было установлено ускорение диффузии бро-

уновских частиц, по сравнению со случаем свободного броуновского движе-

ния, в периодическом потенциале при его модуляции гауссовым белым шу-

мом. В работах [317]-[319] было обнаружено аналогичное явление для бро-

уновского движения в периодическом потенциале, модулируемом внешним

периодическим во времени полем. В исследованиях броуновской диффузии

во флуктуирующих периодических потенциалах (модель мигающего потен-

циала) рассматривалась модель двух состояний, в которой асимметричный

потенциал типа рэтчет случайно переключается между двумя различными

конфигурациями [320]-[322], и, в частности, так называемый мигающий рэт-

чет [323, 324]. Наиболее важным с точки зрения расчетов было определение

среднего значения стационарного потока броуновских частиц, но теоретиче-

ские результаты удалось получить только для простейшего асимметричного

потенциального профиля типа пилообразный рэтчет.

Относительно недавно было установлено, что флуктуации потенциала в

форме случайных сдвигов на половину периода обеспечивают высокую эф-

фективность преобразования броуновским мотором флуктуаций в полезную

работу [325]-[329]. Подобный вид флуктуаций может вызываться внешни-

ми циклическими процессами, генерирующими потенциальный профиль, или

неравновесной химической реакцией, приводящей к конформационному из-

менению частицы или ее пути [330]-[335].

Сортировка броуновских частиц за счет эффекта ускорения диффузии

и рэтчет-эффекта является объектом пристального внимания в последние

годы как с теоретической [317],[336]-[339], так и с экспериментальной точки

зрения [340]-[347]. Так в [347] анализировалось взаимовлияние глобальной

158

пространственно-временной симметрии и локальной динамики, а в [317, 346]

исследовалось ускорение диффузии в симметричных потенциалах.

Мотивированные данными исследованиями и важностью проблемы уско-

рения диффузии примеси в полупроводниках для задач твердотельной мик-

роэлектроники [348, 349], постараемся далее понять, как неравновесные кор-

релированные внешние воздействия влияют на процесс диффузии частиц

вдоль периодической структуры. Будем применять отличный от использо-

ванных ранее в [325] подход. Пользуясь аналогией между непрерывным бро-

уновским движением и моделью “прыжковой” диффузии [302], сведем расчет

эффективного коэффициента диффузии к проблеме отыскания средних вре-

мен первого достижения.

2. Рассмотрим одномерное броуновское движение в среде с большой вяз-

костью в случайно переключающемся потенциале U (x)

dx

dt= −dU (x)

dxη (t) + ξ (t) , (4.89)

где x(t) - координата броуновской частицы в момент времени t, ξ(t) - гауссов

белый шум с нулевым средним значением и интенсивностью 2D, η(t) - мар-

ковский дихотомический шум, принимающий значения ±1 со средним темпом

переключений ν. Таким образом, мы исследуем броуновскую диффузию в пе-

риодическом потенциале, переключающимся между двумя конфигурациями

U (x) и −U (x) (см. Рис. 4.14).U(x)

E

xL-L

-

159

Рисунок 4.14. Переключающийся суперсимметричный периодический

потенциал.

Как видно из Рис. 4.14, в перевернутой конфигурации максимумы потенци-

ала становятся минимумами и наоборот. Предположим далее, что потенциал

U (x) удовлетворяет критерию суперсимметрии [350]

E − U (x) = U

(x− L

2

), (4.90)

где L - пространственный период потенциала (см. Рис. 4.14). В соответствии

с (4.90) уравнение (4.89) можно переписать в виде

dx

dt= − ∂

∂xU

(x+

L

4[η (t) − 1]

)+ ξ (t) , (4.91)

т.е., как и в [325], мы рассматриваем флуктуации потенциала в форме слу-

чайных сдвигов на половину периода L/2.

В подобной ситуации рэтчет-эффект отсутствует: ⟨x⟩ = 0, и, следуя [298],

можно определить эффективный коэффициент диффузии как предел

Deff = limt→∞

⟨x2(t)

⟩2t

. (4.92)

Для фиксированного периодического потенциала (η(t) = 1) в [298] была по-

лучена точная формула для Deff

Deff

D=

[1

L

∫ L

0

eU(x)/Ddx · 1

L

∫ L

0

e−U(x)/Ddx

]−1

. (4.93)

В случае, когда модуляция η(t) представляет собой статистически независи-

мый от ξ(t) дополнительный гауссов белый шум с нулевым средним значени-

ем и интенсивностью 2Dη, расчеты, как показано в предыдущем параграфе,

дают

Deff

D=

1

L

∫ L

0

dx√1 +Dη [U ′ (x)]2 /D

−2

. (4.94)

160

Поместим для удобства все броуновские частицы в начальный момент

времени t = 0 в начало координат. В силу периодичности потенциала диф-

фузионный процесс может быть грубо представлен в виде последовательных

переходов броуновской частицы из минимумов xm = mL потенциала в со-

седние минимумы xm±1. При этом время перехода представляет собой время

выхода частицы, стартующей из точки x = xm, через левую или правую

поглощающие границы x = xm±1, т.е. случайное время первого достижения

этих границ. Итак, рассмотрим, как и в [301], модель “прыжковой” диффузии

x(t) =

n(0,t)∑k=1

qk , (4.95)

где qk - случайная величина k-го скачка со значениями ±L, а n(0, t) - полное

число скачков во временном интервале (0, t). В асимптотике t → ∞ слу-

чайные процессы x (t) и x(t) становятся статистически эквивалентными, т.е.⟨x2 (t)

⟩≃⟨x2(t)

⟩.

Немарковский случайный процесс x (t) обладает марковской динамикой

между переключениями, т.е. состоит из кусков двух марковских процессов

x1 (t) и x2 (t), описываемых ланжевеновскими уравнениями (см. (4.89))

x1 = −U ′ (x1) + ξ (t) , x2 = U ′ (x2) + ξ (t) .

Случайные приращения координаты qi и случайные времена tj между прыж-

ками статистически независимы и описываются одни и теми же плотностями

вероятности W (q) и w (t). При этом вероятностное распределение времен

ожидания tj таково

w (t) =w+ (t) + w− (t)

2, (4.96)

где w+ (t) и w− (t) - вероятностные распределения времени первого достиже-

ния для конфигурации потенциала с η(0) = +1 и для изначально перевер-

нутого профиля (η(0) = −1) соответственно. В силу суперсимметрии потен-

циала U (x) и временной симметрии дихотомического шума η(t) вероятности

161

переходов влево и вправо имеют одинаковые значения, и поэтому вероятност-

ное распределение W (q) имеет вид

W (q) =1

2[δ (q − L) + δ (q + L)] . (4.97)

Вычисляя⟨x2(t)

⟩из уравнений (4.95)-(4.97) и подставляя в (4.92), можно

выразить эффективный коэффициент диффузии через среднее время ожи-

дания прыжка (см., например, [301])

Deff =L2

2τ. (4.98)

В соответствии с (4.96), τ представляет собой среднее арифметическое времен

первого достижения τ+ и τ−, соответствующих вероятностным распределени-

ям w+ (τ) и w− (τ).

Для системы (4.89) можно записать точные уравнения для средних времен

первого достижения при броуновской диффузии в случайно переключающих-

ся потенциалах, вытекающие из обратного уравнения Эйнштейна-Фоккера-

Планка [236],

Dτ ′′+ − U ′ (x) τ ′+ + ν (τ− − τ+) = −1 ,

Dτ ′′− + U ′ (x) τ ′− + ν (τ+ − τ−) = −1 , (4.99)

где τ+(x) и τ−(x) - средние времена первого достижения для начальных зна-

чений η(0) = +1 и η(0) = −1 соответственно при стартовом положении бро-

уновских частиц в точке x. Выберем в качестве начального положения точку

x = 0, но для этого сначала решим систему уравнений (4.99) со следующими

условиями на поглощающих границах x = ±L

τ± (−L) = 0 , τ± (L) = 0 . (4.100)

Затем подстановкой τ = [τ+(0) + τ−(0)] /2 в соотношение (4.98) найдем эф-

фективный коэффициент диффузии

Deff =L2

τ+ (0) + τ− (0). (4.101)

162

Удобно поместить отражающую границу в начало координат, поскольку по-

ток плотности вероятности в точке x = 0 равен нулю в любой момент време-

ни. В результате, систему уравнений (4.99) можно решать в области (0, L) со

следующими граничными условиями (см. [236])

τ ′± (0) = 0 , τ± (L) = 0 , (4.102)

которые эквивалентны условиям (4.100). Вводя две вспомогательные функ-

ции

T (x) =τ+ (x) + τ− (x)

2, θ (x) =

τ+ (x) − τ− (x)

2(4.103)

перепишем систему (4.99) как

R′ + f (x) θ′ = − 1

D,

θ′′ + f (x)R− 2ν

Dθ = 0 , (4.104)

где R (x) = T ′ (x) и f (x) = −U ′ (x) /D. В соответствии с (4.102) и (4.103)

имеем следующие граничные условия для функций R (x) и f (x) к системе

(4.104)

R (0) = θ′ (0) = 0 , T (L) = θ (L) = 0 . (4.105)

После интегрирования обеих частей первого уравнения (4.104) в интервале

(0, x) и учета граничного условия (4.105) для R (0) приходим к

R (x) = − x

D−∫ x

0

f (y) θ′ (y) dy . (4.106)

Подставляя R (x) во второе уравнение системы (4.104), получаем следующее

интегро-дифференциальное уравнение для функции θ (x)

θ′′ − f (x)

∫ x

0

f (y) θ′ (y) dy − 2ν

Dθ =

xf (x)

D. (4.107)

Для отыскания значения T (0) проинтегрируем уравнение (4.106) в интервале

(0, L)

T (L) = − L2

2D−∫ L

0

(L− x) f (x) θ′ (x) dx+ T (0) . (4.108)

163

Используя граничные условия (4.105) и подставляя T (0) в (4.101), находим

окончательно

Deff

D=

[1 +

2D

L

∫ L

0

(1 − x

L

)f (x) θ′ (x) dx

]−1

. (4.109)

Соотношения (4.107) и (4.109) являются, в принципе, решением поставлен-

ной задачи. Знак интегрального слагаемого в (4.109) определяет ускорение

или, наоборот, замедление диффузии по сравнению со случаем, когда бро-

уновские частицы диффундируют свободно, причем знак “+” соответствует

замедлению, а знак “−” ускорению. К сожалению, уравнение (4.107) не удает-

ся решить для произвольного периодического потенциала U (x). Далее попы-

таемся решить уравнения (4.107) и (4.109) для пилообразного периодического

потенциального профиля и получить точную формулу для эффективного ко-

эффициента диффузии Deff .

3. Рассмотрим симметричный пилообразный периодический потенциал

U(x) =

kx, 0 ≤ x ≤ L/2

k (L− x) , L/2 ≤ x ≤ L, (4.110)

где k = 2E/L (см. Рис. 4.15).U(x)

xL-L

- E

Рисунок 4.15. Переключающийся пилообразный периодический потен-

циал.

Будем решать уравнение (4.107) отдельно в областях 0 < x < L/2 и L/2 <

164

x < L с граничными условиями (4.105)

θ′ (0) = 0 , θ (L) = 0 , (4.111)

и условиями непрерывности функций θ′ (x) и θ (x) в точке x = L/2

θ′(L

2− 0

)= θ′

(L

2+ 0

), θ

(L

2− 0

)= θ

(L

2+ 0

). (4.112)

Для отыскания решения в интервале (0, L/2) подставим f (x) = −k/D в

(4.107), что дает

θ′′ − γ2θ = −kx

D2− k2

D2θ (0) , (4.113)

где γ =√k2/D2 + 2ν/D. Общее решение уравнения (4.113), удовлетворяю-

щее первому граничному условию (4.111), таково

θ (x) = c1

(cosh γx+

k2

2νD

)− k

Γ3(D sinh γx− Γx) ,

θ′ (x) = c1Γ

Dsinh γx− k

Γ2(cosh γx−1) , (4.114)

где Γ = γD.

Для решения уравнения (4.107) в области L/2 < x < L перепишем его в

виде

θ′′ + f (x)

∫ L

x

f (y) θ′ (y) dy − 2ν

Dθ =

xf (x)

D+ f (x)

∫ L

0

f (y) θ′ (y) dy .

Подставляя в это уравнение f (x) = k/D для интервала (L/2, L) и принимая

во внимание второе граничное условие (4.111), получаем

θ′′ − γ2θ =kx

D2+k

DA , (4.115)

где введена неизвестная постоянная

A =

∫ L

0

f (x) θ′ (x) dx . (4.116)

165

Общее решение уравнения (4.115) может быть записано как

θ (x) = c2 cosh γ (x− L) + c3 sinh γ (x− L) − kx

Γ2− kD

Γ2A . (4.117)

Если положить x = L в (4.117) и учесть второе граничное условие (4.111), то

можно придти к

c2 =k

Γ2(L+DA) , (4.118)

и, следовательно,

θ (x) = c2 [cosh γ (x− L) − 1] + c3 sinh γ (x− L) +k (L− x)

Γ2,

θ′ (x) =Γ

D[c2 sinh γ (x− L) + c3 cosh γ (x− L)] − k

Γ2. (4.119)

Используя решения (4.114) и (4.119), условия непрерывности (4.112) и

соотношения (4.116), (4.118), легко получить следующую алгебраическую си-

стему уравнений для неизвестных постоянных c1, c2 и c3

c1 sinhα + c2 sinhα− c3 coshα =kD

Γ3(coshα− 2) ,

c1

(coshα +

k2

2νD

)− c2 (coshα− 1) + c3 sinhα =

kD

Γ3sinhα ,

c1

(2 coshα− 1 +

k2

2νD

)+

Γ2

k2c2 =

2νDL

kΓ2+

2kD

Γ3sinhα , (4.120)

где α = γL/2. Подставляя (4.114) и (4.119) в (4.109) и выполняя интегриро-

вание, находим

Deff

D=

1 +

2k

L

[−(c1 +

c32α

− kD

2αΓ3

)(coshα− 1)

+1

2

(c2 − c1 +

2kDα

Γ3

)(sinhα

α− 1

)− c1

Γ2

4νD

]−1

. (4.121)

166

Решение системы (4.120) дает

c1 =4kDµ2 (sinhα− α) sinh2 α/2

Γ3 (1 − 2µ+ 4µ coshα + µ2 cosh 2α),

c2 =2kD [µα (coshα + µ cosh 2α) + (1 − 2µ+ 3µ coshα) sinhα]

Γ3 (1 − 2µ+ 4µ coshα + µ2 cosh 2α),

c3 =e3

Γ3 (1 − 2µ+ 4µ coshα + µ2 cosh 2α), (4.122)

e3 = kD

[7µ− 1 − µ2 + 2

(1 − 4µ+ µ2

)coshα + 3µ cosh 2α

+ 2µα (1 − µ+ 2µ coshα) sinhα

].

где введен новый безразмерный параметр µ = 2νD/k2. Подставляя (4.122) в

(4.121), окончательно получаем

Deff

D=

2α2 (1 + µ)(1 − 2µ+ 4µ coshα + µ2 cosh 2α

)B

, (4.123)

где

B = 2α2µ2 (1 + µ) + 2µ(7 − µ+ 2α2µ2

)sinh2 α

+ 4αµ (1 − 3µ+ 4µ coshα) sinhα + 8(1 − 6µ+ µ2

)sinh2(α/2).

Следует подчеркнуть, что формула (4.123) для эффективного коэффици-

ента диффузии броуновских частиц в переключающемся пилообразном пе-

риодическом потенциале получена без каких-либо предположений на интен-

сивность гауссова белого шума, средний темп переключений и параметры

потенциального профиля.

4. Проанализируем возможность ускорения диффузии в переключающем-

ся пилообразном периодическом потенциале по сравнению со случаем свобод-

ной диффузии.

Прежде всего, введем два новых безразмерных параметра, имеющих про-

зрачный физический смысл,

β =E

D, ω =

νL2

2D. (4.124)

167

Параметр β - отношение высоты потенциального барьера к интенсивности

гауссова белого шума, а параметр ω - отношение времени свободной диффу-

зии на дистанцию L к среднему интервалу времени между переключениями

потенциала. Безразмерные параметры α и µ, введенные в выражении (4.123)

для эффективного коэффициента диффузии, могут быть выражены через β

и ω как

α =√β2 + ω , µ =

ω

β2. (4.125)

Проанализируем предельные случаи очень малых и очень больших зна-

чений параметров β и ω. В случае предельно редких переключений (ω → 0),

в соответствии с (4.125), имеем: α ≃ β, µ→ 0 и соотношение (4.123) дает

Deff

D≃ β2

4 sinh2 (β/2), (4.126)

что совпадает с результатом (4.93) для потенциала (4.110). Поскольку sinhx >

x (x > 0), то Deff < D, т.е., как и следовало ожидать, диффузия замедляется

в фиксированном периодическом потенциале по сравнению со случаем, когда

броуновские частицы диффундируют свободно.

В противоположном случае очень быстрых переключений (ω → ∞) ре-

зультат легко предсказать. В такой ситуации броуновские частицы “видят”

средний потенциал, т.е. [U (x) + (−U (x))] /2 = 0, и в результате мы полу-

чаем диффузию в отсутствии потенциала. В самом деле, полагая в (4.123)

α ≃√ω[1 + β2/ (2ω)

]→ ∞ и µ = ω/β2 → ∞, находим

Deff

D≃ 1 +

β2

ω. (4.127)

Как видно из (4.127), с помощью быстрых переключений потенциала мы все-

гда получаем ускорение диффузии по сравнению со случаем свободной диф-

фузии.

На Рис. 4.16 представлена зависимость нормированного эффективного

коэффициента диффузии Deff/D от безразмерного темпа переключений ω

168

потенциала для различных значений безразмерной высоты потенциального

барьера β, построенная с использованием численных расчетов из точного

аналитического выражения (4.123).

20 40 60 80

0.5

1

1.5

0

Deff /D

w

a

bc

Рисунок 4.16. Зависимость нормированного эффективного коэффици-

ента диффузии от безразмерного среднего темпа переключений потенциала

ω = νL2/(2D) для различных значений безразмерной высоты потенциально-

го барьера: кривая (a) - β = 3, кривая (b) - β = 7, кривая (c) - β = 9.

Как видно из Рис. 4.16, для всех значений β зависимость является немоно-

тонной. При этом темп диффузии в периодическом потенциале становится

больше темпа свободной диффузии в области выше определенного значения

ω. Эта величина уменьшается при увеличении высоты потенциального барье-

ра.

В предельном случае β ≪ 1 из (4.123) находим

Deff

D≃ 1 +

β2

2ω2 cosh 2√ω

[(1 + 2ω) cosh 2

√ω

−(4 cosh

√ω − 3

) (1 + 4

√ω sinh

√ω − 2ω

) ]. (4.128)

Как показывает анализ соотношения (4.128), для относительно низких ба-

рьеров мы получаем ускорение диффузии только при относительно быстрых

переключениях: ω > 9.195.

169

Для очень высоких барьеров (β → ∞) при фиксированном среднем темпе

переключений ν из (4.125) имеем: α ≃ β → ∞, µ→ 0, α2µ→ ω. В результате

из (4.123) находимDeff

D=

2

7ω (4.129)

или, в соответствии с (4.124),

Deff =νL2

7. (4.130)

Мы пришли к интересному результату: диффузия при сверхвысоких потенци-

альных барьерах (или при сверхглубоких потенциальных ямах) происходит

только благодаря переключениям потенциала. Согласно (4.130), эффектив-

ный коэффициент диффузии зависит от среднего темпа переключений и от

пространственного периода потенциала, но не зависит от D. В случае асим-

метричного потенциала с очень высоким барьером с одной стороны этот ме-

ханизм без диффузионных шагов обеспечивает высокую эффективность бро-

уновского мотора, поскольку этот барьер блокирует обратный поток частиц

[325].

Дадим интерпретацию результата (4.130). Диффузия практически отсут-

ствует при крайне редких переключениях (ν → 0), поскольку броуновские

частицы не способны преодолеть столь высокие потенциальные барьеры. Они

могут двигаться в обоих направлениях только за счет переключений. После

первого переключения броуновские частицы быстро падают в ближайшие по-

тенциальные ямы, расположенные в точках x = ±L/2, и затем ожидают сле-

дующего переключения потенциала. В результате из (4.98) (с L/2 вместо L)

получаем: Deff ≃ L2/(8 ⟨τ⟩), где ⟨τ⟩ = 1/ν. Таким образом, чем меньше сред-

ний интервал между переключениями ⟨τ⟩ или чем больше пространственный

период L, тем выше темп диффузии.

Зависимость нормированного коэффициента диффузииDeff/D от безраз-

мерной высоты потенциального барьера β для трех значений безразмерного

170

темпа переключений ω приведена на Рис. 4.17.

5 10 15 20 25

0.2

0.6

1

1.4

Deff /D

b0

a

bc

Рисунок 4.17. Зависимость нормированного эффективного коэффициен-

та диффузии от безразмерной высоты потенциального барьера β = E/D для

различных значений безразмерного среднего темпа переключений потенциа-

ла: кривая (a) - ω = 3.5, кривая (b) - ω = 5, кривая (c) - ω = 7.

Заметим, что все зависимости опять являются немонотонными. Темп диф-

фузии замедляется для малых значений β (см. (4.128)), достигает минимума,

а затем выходит на постоянный уровень, согласно соотношению (4.129). На-

блюдается ускорение диффузии для всех значений β только при ω > 9.195.

Область ускоренной диффузии, полученная из (4.123), показана на плос-

кости (β, ω) на Рис. 4.18 (окрашена).

0 5 10 15 20

10

15

20

3.5

Accelerationw

b

Рисунок 4.18. Закрашенная область на плоскости (β, ω) соответствует

ускорению диффузии по сравнению со случаем свободного броуновского дви-

жения. Здесь: β = E/D и ω = νL2/(2D).

171

Эта область лежит внутри прямоугольника: β > 0, ω > 3.5. Трехмерный

график Deff/D как функции β и ω приведен на Рис. 4.19.

5 10 15 20 5 10 15 200

1

2

3Deff /D

0b w

Рисунок 4.19. Трехмерная зависимость эффективного коэффициента

диффузии от безразмерной высоты потенциальных барьеров β и безразмер-

ного среднего темпа переключений потенциала ω.

Наконец, можно сравнить результат (4.123) со случаем модуляции белым

гауссовым шумом (см. (4.94)). Для выполнения этого необходимо формально

ввести амплитуду a у марковского дихотомического шума η (t) путем замены

β на aβ и перехода к пределу: a → ∞, ν → ∞, a2/ν → 2Dη, поскольку мар-

ковский дихотомический шум в этом пределе становится гауссовым белым

шумом с интенсивностью 2Dη. В результате из (4.123) находим

Deff = D + k2Dη . (4.131)

Соотношение (4.131) совпадает с ранее найденной в [314] формулой, которая

получается подстановкой потенциального профиля (4.110) в (4.94).

Для анализа зависимости эффективного коэффициента диффузии Deff

от коэффициента трения h, соответствующего ситуации, в которой различные

типы частиц движутся в одном и том же потенциале, заменим в соотношениях

(4.123)–(4.125): E на E/h и D на D/h, поскольку в уравнении (4.89) мы

полагали h = 1. На Рис. 4.20 представлены зависимости нормированного

172

эффективного коэффициента диффузии Deff/D от коэффициента трения h

для различных значений безразмерных параметров β и ω.

2 4 6 8

0.8

1.2

Deff /D

h1

12

3

2 4 6 81

2

3Deff /D

h

3

2

1

a)

b)

Рисунок 4.20. (a) Зависимость нормированного коэффициента диффу-

зии от коэффициента трения h для β = 5 и различных значений ω: кривая

1 - ω = 5, кривая 2 - ω = 10, кривая 3 - ω = 20. (b) Зависимость норми-

рованного коэффициента диффузии от коэффициента трения h для ω = 20

и различных значений β: кривая 1 - β = 10, кривая 2 - β = 15, кривая 3 -

β = 20.

Немонотонность зависимости эффективного коэффициента диффузии на Рис.

4.20 доказывает, что можно сортировать различные типы частиц, опираясь

на эффект ускорения диффузии. Поэтому, в соответствии с законом Стокса

для коэффициента трения, частицы малых размеров будут ускоряться силь-

нее, чем крупные частицы, при высоком темпе переключений потенциала. И

наоборот, при относительно редких переключениях потенциального профиля

частицы большого размера ускоряются сильнее, чем частицы малых разме-

ров. Максимум зависимости Deff/D смещается в сторону больших значений

коэффициента трения при уменьшении темпа переключений ω при фиксиро-

ванном значении высоты барьеров (см. Рис. 4.20 a). На Рис. 4.20 b наблю-

дается ускорение диффузии при фиксированном значении параметра ω, а

173

именно ω = 10, и различных значениях параметра β. Максимум зависимости

Deff/D увеличивается с увеличением высоты барьеров. Этот эффект связан

с большим градиентом потенциала для достаточно высоких барьеров.

5. Для случайно переключающегося прямоугольного периодического по-

тенциала, представленного на Рис. 4.21, основное интегро-дифференциальное

уравнение (4.107) содержит дельта-функции.

U(x)

x

E-

LL/2

Рисунок 4.21. Переключающийся прямоугольный периодический потен-

циал.

Для решения столь необычного уравнения можно применить аппроксимацию

дельта-функции прямоугольником с малой шириной ϵ и height 1/ϵ, а затем в

окончательном выражении перейти к пределу ϵ→ 0. В результате из (4.107) и

(4.109) приходим к простой формуле для эффективного коэффициента диф-

фузииDeff

D= 1 − tanh2 (β/2)

cosh (2√ω)

. (4.132)

Как следует из (4.132), диффузия в таком переключающемся потенциале за-

медляется при любых значениях параметров β и ω. Дело в том, что в пря-

моугольном периодическом потенциале частицы могут перемещаться внут-

ри потенциальных ям только за счет теплового источника, сталкиваясь при

этом еще и с необходимостью преодоления потенциальных барьеров. Зави-

симость безразмерного эффективного коэффициента диффузии Deff/D от

174

безразмерной высоты потенциальных барьеров β для различных значений

безразмерного среднего темпа переключений ω приведена на Рис. 4.22.

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

Deff /D

b

w=1

w=0.5

w=0.1

Рисунок 4.22. Зависимость нормированного эффективного коэффици-

ента диффузии от безразмерной высоты потенциальных барьеров β = E/D

для различных значений безразмерного среднего темпа переключений ω =

νL2/(2D).

Поведение Deff/D от ω для различных значений β продемонстрировано на

Рис. 4.23.

0.5 1 1.5 2 2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

Deff /D

w

b=2

b=5

b=1

Рисунок 4.23. Зависимость нормированного эффективного коэффициен-

та диффузии от безразмерного среднего темпа переключений ω = νL2/(2D)

для различных значений безразмерной высоты потенциальных барьеров β =

E/D.

Для крайне редких переключений получаем из (4.132) ожидаемый результат,

совпадающий с формулой для фиксированного прямоугольного потенциала

175

(см. (4.93))Deff

D≃ 1

cosh2 (β/2). (4.133)

При очень быстрых переключениях, как и в случае пилообразного потенци-

ала (см. (4.127)), эффективный коэффициент диффузии практически совпа-

дает с коэффициентом свободной диффузии

Deff

D≃ 1 − 2e−2

√ω tanh2 (β/2) . (4.134)

Для относительно низких потенциальных барьеров из (4.132) находим

Deff

D≃ 1 − β2

4 cosh (2√ω)

. (4.135)

Наконец, для очень высоких потенциальных барьеров Deff зависит от интен-

сивности D белого шума по закону

Deff ≃ 2D

1 + coth2√ω. (4.136)

176

5 ГЛАВА

Исследование стационарных характеристик нелинейных

динамических систем со скачкообразными изменениями

состояния

[46, 48, 49, 51, 53, 55, 58, 59, 60, 62]

Аномальная диффузия в форме полетов Леви представляет собой случай-

ный процесс, характеризуемый наличием экстремально длинных прыжков,

так что траектории движения частицы, в отличие от броуновской диффузии,

не являются более непрерывными. Величина этих прыжков подчиняется ста-

тистике Леви, т.е. описывается устойчивым вероятностным распределением

со степенными хвостами и расходящимся вторым моментом. Это своеобразное

свойство сильно отличает полеты Леви от обычного броуновского движения,

при котором все моменты координаты частицы конечны. Наличие аномаль-

ной диффузии может объясняться отклонением реальной статистики флук-

туаций от гауссова закона, что предусматривается обобщениями централь-

ной предельной теоремы [351, 352]. Неограниченность дисперсии при полетах

Леви создает некоторые проблемы, касающиеся физического смысла этих

процессов. Однако, в последнее время диффузия Леви стала актуальной, ибо

была обнаружена во многих физических, природных и социальных явлениях.

В действительности, статистика Леви наблюдается там, где имеет место или

ожидается проявление масштабной инвариантности (см., например, обзоры

[353]-[354] и библиографию в них). Поскольку полеты Леви относятся к спе-

циальному классу марковских процессов, для их анализа применим мощный

математический аппарат уравнений Фоккера-Планка.

177

§ 5.1. Установившиеся вероятностные распределения для

полетов Леви в моностабильных потенциалах

1. Рассмотрим стохастическое уравнение для координаты x(t) частицы,

движущейся в среде с большой вязкостью в потенциальном поле U (x),

dx

dt= −U ′ (x) + ξα (t) . (5.1)

Здесь в роли “расталкивающего” аддитивного шума ξα (t) выступает не гаус-

сов белый шум как в уравнении Ланжевена, а белый шум с симметричным

устойчивым распределением Леви, также удовлетворяющий условиям цен-

тральной предельной теоремы. Он описывается характеристическим функ-

ционалом вида

Θt [u] = exp

−Q

∫ t

0

|u (τ)|α dτ, (5.2)

который получается из общей формулы (1.18) подстановкой четного степен-

ного ядра ρ(z) = q |z|1−α, где α - показатель Леви (0 < α < 2), и последующим

взятием интеграла по z, а Q и q связаны соотношением (1.40). В § 1.1 функци-

ональным методом было выведено общее уравнение Колмогорова для плотно-

сти вероятности P (x, t) марковского случайного процесса x(t) и, в частности,

уравнение Фоккера-Планка в дробных производных (1.38) для негауссова бе-

лого шума ξα(t). Полагая в (1.38) f(x, t) = −U ′(x), получаем

∂P

∂t=

∂

∂x[U ′(x)P ] +Q

∂αP

∂ |x|α. (5.3)

Входящая в (5.3) дробная пространственная производная Риса является ин-

тегральным оператором со степенным ядром (см. (1.39)), а параметр Q, по

аналогии с обычным уравнением Фоккера-Планка, можно рассматривать в

качестве параметра интенсивности шумового источника.

Попытаемся найти из интегро–дифференциального уравнения (5.3) уста-

новившееся вероятностное распределение Pst (x) координаты частицы в том

178

случае, когда оно существует. Применяя к (5.3) преобразование Фурье, для

характеристической функции

ϑ (k, t) =⟨eikx(t)

⟩=

∫ ∞

−∞eikxP (x, t) dx. (5.4)

с учетом (1.39) после несложных преобразований получаем

∂ϑ

∂t= −ik

∫ ∞

−∞eikxU ′(x)P (x, t) dx−Q |k|α ϑ. (5.5)

В случае гладкого потенциального профиля можно разложить U (x) в ряд

Тейлора в окрестности точки x = 0 и записать уравнение (5.5) в операторной

форме∂ϑ

∂t= −ikU ′

(−i ∂

∂k

)ϑ−Q |k|α ϑ. (5.6)

В установившемся режиме (t→ ∞) для характеристической функции ϑst(k)

из (5.6) получаем

U ′(−i d

dk

)ϑst − iQ |k|α−1 sgn k · ϑst = 0 , (5.7)

где sgn k - знаковая функция. К сожалению, невозможно найти аналитически

решение уравнения (5.7) для произвольного потенциального профиля U (x)

и показателя Леви α.

Рассмотрим, как и в [355], гладкий симметричный потенциальный про-

филь U (x) = γx2m/ (2m) (m = 1, 2, . . .). При этом уравнение (5.7) перейдет в

следующее обыкновенное дифференциальное уравнение (2m− 1)-го порядка

d2m−1ϑstdk2m−1

+ (−1)m+1 β2m−1 |k|α−1 sgn k · ϑst = 0 , (5.8)

где параметр β = 2m−1√Q/γ. Анализ уравнения (5.8), проведенный ранее в

[356], показал, что стационарное вероятностное распределение Pst (x) уже не

является унимодальным распределением Больцмана Pst(x) ∼ exp −U(x)/D,

как в случае обычной броуновской диффузии, а имеет два максимума и сте-

пенные хвосты

Pst (x) ∼ 1

|x|2m+α−1 , |x| → ∞ . (5.9)

179

В работе [356] была также получена оценка времени бифуркации при перехо-

де от унимодального начального распределения к стационарному бимодаль-

ному и даже доказано существование переходного тримодального распреде-

ления в случае m > 2.

Точное решение уравнения (5.8) удается получить лишь для устойчиво-

го шума Коши с α = 1. В силу очевидной симметрии характеристической

функции ϑst (−k) = ϑst (k) легко свести (5.8) к линейному дифференциаль-

ному уравнению с постоянными коэффициентами

d2m−1ϑstdk2m−1

− (−1)m β2m−1ϑst = 0 (k > 0) . (5.10)

При решении соответствующего (5.10) характеристического уравнения

λ2m−1 = (−1)m β2m−1

в силу физических соображений следует отбросить корни с положительной

действительной частью. В результате общее решение уравнения (5.10) можно

записать в виде

ϑst (k) = (5.11)[(m−1)/2]∑

l=0

Al exp

−β |k| sin π (4l + 1)

2 (2m− 1)

cos

(β |k| cos

π (4l + 1)

2 (2m− 1)− φl

),

где [x] означает целую часть x. Неизвестные постоянныеAl и φl определяются

из условий нормировки плотности вероятности и равенства нулю моментов

нечетного порядка координаты частицы

ϑst (0) = 1, ϑ(2j−1)st (+0) = 0 (j = 1, 2, . . . ,m− 1) . (5.12)

Перед применением условий (5.12) удобно переписать соотношение (5.11) в

виде

ϑst (k) = Re

[(m−1)/2]∑

l=0

Al exp

[iβ |k| exp

[iπ (4l + 1)

2 (2m− 1)

]− iφl

] . (5.13)

180

Подставляя (5.13) в (5.12), приходим к системе уравнений

[(m−1)/2]∑l=0

Al cosφl = 1, (5.14)

[(m−1)/2]∑l=0

Al sin

[π (2j − 1) (4l + 1)

2 (2m− 1)− φl

]= 0 (j = 1, 2, . . . ,m− 1) .

Выполняя обратное Фурье-преобразование соотношения (5.11), получаем точ-

ное выражение для стационарной плотности вероятности координаты части-

цы

Pst (x) =β

π

[(m−1)/2]∑l=0

Al

x2 sin[

π(4l+1)2(2m−1) − φl

]+ β2 sin

[π(4l+1)2(2m−1) + φl

]x4 − 2x2β2 cos π(4l+1)

2m−1 + β4. (5.15)

где постоянные Al и φl определяются из системы (5.14).

Рассмотрим сначала некоторые частные случаи точного соотношения (5.15).

Параболический потенциальный профиль U (x) = γx2/2 соответствует ли-

нейной системе (5.1). В этой ситуации из уравнений (5.14) и (5.15) легко

придти к следующему очевидному результату

Pst (x) =β

π (x2 + β2), (5.16)

т.е. в силу линейности системы (5.1) и устойчивости распределения Коши

(5.16) вероятностные характеристики приращений порождающего шума ξα(t)

и марковского процесса x (t) подобны.

Для потенциала четвертой степени (m = 2) из системы (5.14) находим:

A0 = 2/√

3, φ0 = π/6. Подставляя эти параметры в (5.15), приходим к

Pst (x) =β3

π (x4 − x2β2 + β4), (5.17)

что совпадает для β = 1 с результатом, полученным ранее в [355]. Графи-

ки стационарного вероятностного распределения (5.17) для полетов Леви в

симметричном потенциале четвертой степени при различных значениях па-

раметра β приведены на Рис. 5.1.

181

0

Pst(x)

x

b=0.5

b=1.5 -2 -1 1 2

0.6

1

b=1

Рисунок 5.1. Стационарные вероятностные распределения координаты

частицы при супердиффузии в форме полетов Леви в потенциале четвертой

степени U(x) = γx4/4 при различных значениях параметра β: 1 - β = 0.5, 2 -

β = 1, 3 - β = 1.5.

Как видно из Рис. 5.1, в отличие от обычного броуновского движения, ха-

рактеризуемого унимодальной стационарной плотностью вероятности, при

супердиффузии в форме полетов Леви вероятностное распределение стано-

вится бимодальным, несмотря на то, что частица движется в потенциальном

профиле с одним устойчивым состоянием равновесия.

Стационарное распределение на Рис. 5.1 имеет два одинаковых максимума

в точках x = ±β/√

2 со значением (Pst)max = 4/ (3πβ). Поскольку значение

установившейся плотности вероятности в точке минимума Pst (0) = 1/ (πβ),

величина отношения максимального значения к значению в точке минимума

не зависит от β и равна 4/3. Ширина вероятностного распределения возрас-

тает с увеличением параметра β = 3√Q/γ, т.е. с уменьшением крутизны γ

потенциала или с увеличением параметра интенсивности шума Q.

Выполняя аналогичную процедуру, несложно найти стационарные плот-

ности вероятности для m = 3, 4, 5

Pst (x) =β5

π (x2 + β2) (x4 − 2β2x2 cos π/5 + β4),

Pst (x) =β7

π (x4 − 2β2x2 cos π/7 + β4) (x4 + 2β2x2 cos 2π/7 + β4), (5.18)

Pst (x) =β9

π (x2 + β2) (x4 − 2β2x2 cos π/9 + β4) (x4 + 2β2x2 cos 4π/9 + β4).

182

Графики распределений (5.18) для различных значений параметра β пред-

ставлены соответственно на Рис. 5.2, 5.3 и 5.4.Pst(x)

b=0.5

b=1

b=1.5

0.6

1

0-1 2-2 x 1

Рисунок 5.2. Стационарные вероятностные распределения координаты

частицы при супердиффузии в форме полетов Леви в симметричном потен-

циале U(x) = γx6/6 для различных значений параметра β: 1 - β = 0.5, 2 -

β = 1, 3 - β = 1.5.

-2 -1 1 2

0.6

1.2

0

b=0.5

b=1

b=1.5

Pst(x)

x

Рисунок 5.3. Стационарные вероятностные распределения координаты

частицы при супердиффузии в форме полетов Леви в симметричном потен-

циале U(x) = γx8/8 для различных значений параметра β: 1 - β = 0.5, 2 -

β = 1, 3 - β = 1.5.

-2 -1 1 2

0.40.6

11.2

0

Pst(x)

x

b=0.5

b=1

b=1.5

Рисунок 5.4. Стационарные вероятностные распределения координаты

частицы при супердиффузии в форме полетов Леви в симметричном потен-

циале U(x) = γx10/10 для различных значений параметра β: 1 - β = 0.5, 2 -

β = 1, 3 - β = 1.5.

183

Следует заметить, что в соответствии с Рис. 5.2-5.4, данные распределения

остаются бимодальными и имеют ту же самую тенденцию при увеличении

параметра β, однако отношение максимального значения к значению в точке

минимума возрастает с увеличением m. Из уравнений (5.17) и (5.18) видно,

что второй момент координаты частицы конечен для m ≥ 2. Это означает

существование конфайнмента диффузионного движения из-за большой кру-

тизны потенциального профиля [357]. Наличие двух максимумов является

характерной особенностью супердиффузии в форме полетов Леви и объяс-

няется следующим. В силу присутствия фазы полета частица очень быстро

достигает областей вблизи потенциальных “стенок” слева и справа от начала

координат x = 0. Затем частица диффундирует вблизи этой позиции до но-

вого полета в противоположном направлении, позволяющего быстро достичь

другой потенциальной стенки. В результате большее время частица проводит

в некоторых симметричных относительно начала координат x = 0 областях в

отличие от броуновской диффузии в моностабильных потенциальных профи-

лях. Эти симметричные области расположены вблизи максимумов плотности

вероятности. При заданных Q и m максимумы находятся вблизи или в отда-

лении от точки x = 0 в зависимости от крутизны γ потенциального профиля,

что соответствует сильному или слабому конфайнменту супердиффузионного

движения. Конечно, подобный конфайнмент более выражен для потенциалов

с большой крутизной γ и большими значениями m.

На основе уравнений (5.16)-(5.18) и известного поведения хвостов плотно-

сти вероятности (5.9) нетрудно записать общие выражения для установивше-

гося вероятностного распределения в случае потенциала U (x) = γx2m/ (2m)

с нечетным значением m = 2n+ 1

Pst (x) =β4n+1

π (x2 + β2)

n−1∏l=0

1

x4 − 2β2x2 cos [π (4l + 1) / (4n+ 1)] + β4, (5.19)

184

и четным значением m = 2n

Pst (x) =β4n−1

π

n−1∏l=0

1

x4 − 2β2x2 cos [π (4l + 1) / (4n− 1)] + β4. (5.20)

§ 5.2. Время корреляции установившихся полетов Леви в

потенциальных ямах большой крутизны

1.. Проблема выхода системы из метастабильного состояния, впервые ис-

следованная Крамерсом [358], возникает практически во всех научных об-

ластях (см., например, обзор [359] и работу [360]). Для случайных процес-

сов, существенно отличающихся от гауссова, поведение времени Крамерса

будет отличаться от обычного экспоненциального закона. Интересные ре-

зультаты приведены в [361] для индуцированного шумом с α-устойчивым

распределением явления преодоления барьера, наблюдаемого в долговремен-

ных палеоклиматических данных. Другим приложением является выход из

ловушек в оптических и плазменных системах [362]. Главным инструмен-

том анализа проблемы преодоления барьера остается аппарат времен пер-

вого достижения. Но для аномальной диффузии в форме полетов Леви дан-

ная процедура наталкивается на ряд трудностей. Прежде всего, уравнение

Фоккера-Планка в дробных производных, описывающее полеты Леви, яв-

ляется интегро-дифференциальным, и поэтому условия на поглощающих и

отражающих границах отличаются от тех, которые применяются для обыч-

ной диффузии. Кроме этого, полеты Леви характеризуются наличием экс-

тремально длинных прыжков, в результате чего частица может мгновенно

достичь границы с произвольной позиции. В связи с этим, можно упомянуть

ряд ошибочных результатов, полученных в работе [363] (см. также последую-

щую дискуссию [364]), где автор использовал традиционные условия на двух

поглощающих границах. В настоящее время имеется множество результатов

численных исследований различных временных характеристик полетов Ле-

185

ви, однако получение точных аналитических соотношений остается открытой

проблемой (см., например, обзор [353]).

Аналитические вычисления временных характеристик полетов Леви в си-

стемах, характеризуемых различными потенциальными профилями, остается

открытой проблемой в силу определенных сложностей [356, 365]. Так, напри-

мер, теория времен первого достижения требует постановки определенных

граничных условий, которые не столь очевидны для разрывных марковских

процессов с длинными прыжками. Как следствие, большинство результатов

в этой области было получено с помощью численного моделирования (см.,

например, обзоры [66, 353] и библиографию в них). В то же время, начиная с

потенциала четвертой степени наблюдается конфайнмент полетов Леви, ко-

гда дисперсия координаты частицы остается конечной [356]. В результате

можно, в принципе, определить ее корреляционную функцию и спектраль-

ную плотность мощности в установившемся состоянии. Но в отличие от ста-

ционарных вероятностных распределений, являющихся бимодальными [356],

точные аналитические результаты могут быть получены лишь для некоторых

временных характеристик полетов Леви в глубоких потенциальных ямах, та-

ких как U(x) = γx2m/(2m). В этом параграфе применяется метод расчета

времени корреляции стационарных полетов Леви в симметричном потенциа-

ле четвертой степени (m = 2), аналогичный изложенному в § 3.2.

2.. Запишем обратное уравнение Колмогорова для плотности вероятно-

стей переходов P (x, t|x0, t0) произвольного марковского случайного процесса

x(t)

−∂P∂t0

= L+ (x0, t0)P. (5.21)

Для существования установившегося состояния сопряженный кинетический

оператор L+ не должен зависеть от времени. В результате, формальное ре-

шение уравнения (5.21) с начальным условием P (x, t0|x0, t0) = δ (x− x0) за-

висит только от разности времен τ = t−t0 ≥ 0 и записывается в операторной

186

форме как

P (x, τ |x0, 0) = eL+(x0)τδ (x− x0) . (5.22)

В соответствии с определением, корреляционная функцияK[τ ] = ⟨x(t)x(t+ τ)⟩

стационарного случайного процесса x(t) в стационарном состоянии вычисля-

ется как

K [τ ] =

∫ ∞

−∞x0Pst (x0) dx0

∫ ∞

−∞xP (x, τ |x0, 0)dx, (5.23)

где Pst (x) – установившееся вероятностное распределение процесса x(t). Под-

ставляя (5.22) в (5.23), получаем

K [τ ] =⟨x eL

+(x)τx⟩st, (5.24)

где обозначение ⟨. . .⟩st означает усреднение по установившемуся распределе-

нию. Результат (5.24) был получен в работе [366] более сложным способом.

Поскольку корреляционная функцияK [τ ] стационарного случайного про-

цесса x(t) изменяется от K [0] =⟨x2⟩

до K [∞] = ⟨x⟩2, т.е. на величину дис-

персии σ2 =⟨x2⟩− ⟨x⟩2, время корреляции можно определить через ширину

эквивалентного прямоугольника (см. (3.37) и Рис.3.2)

τc =1

σ2

∫ ∞

0

(K [τ ] − ⟨x⟩2

)dτ, (5.25)

если несобственный интеграл сходится. Согласно прямому уравнению Кол-

могорова установившаяся плотность вероятности находится из уравнения

L(x)Pst(x) = 0.

Поэтому для произвольной функции f(x) находим⟨L+ (x) f (x)

⟩st

=

∫ ∞

−∞Pst (x) L+ (x) f (x) dx =

∫ ∞

−∞f (x) L (x)Pst (x) dx = 0.

(5.26)

Подставляя (5.24) в (5.25), представляя ⟨x⟩2st, в соответствии (5.26), в форме

⟨x⟩2st = ⟨x⟩st⟨eL

+(x)τx⟩st, (5.27)

187

и вычисляя интеграл, окончательно приходим к

τc = − 1

σ2

⟨x,

1

L+ (x)x

⟩st

, (5.28)

где ⟨f(x), g(x)⟩ ≡ ⟨f(x) g(x)⟩−⟨f(x)⟩ ⟨g(x)⟩. Как видно из (5.28), нам необхо-

димо найти частное решение следующего интегро–дифференциального урав-

нения

L+ (x)ψ (x) = −x, (5.29)

и затем вычислить время корреляции как [367]

τc =1

σ2⟨x, ψ (x)⟩st . (5.30)

Запишем основной результат (5.28) в более подходящей для дальнейших

расчетов форме. Пользуясь связью между кинетическими операторами L(x)

и L+(x), получаем

τc =1

σ2

∫ ∞

−∞x

1

L (x)(⟨x⟩st − x)Pst (x) dx. (5.31)

Операторная формула (5.31) показывает, что можно найти частное решение

следующего интегро-дифференциального уравнения

L (x)ϕ (x) = (⟨x⟩st − x)Pst (x) , (5.32)

и затем вычислить время корреляции как

τc =1

σ2

∫ ∞

−∞xϕ (x) dx. (5.33)

С помощью первого замечательного предела можно записать соотношение

(5.33) в виде

τc =1

σ2

∫ ∞

−∞ϕ (x) lim

k→0

sin kx

kdx =

1

σ2limk→0

φ (k)

k, (5.34)

где φ(k) = Imϕ(k) и ϕ(k) – Фурье-преобразование функции ϕ(x). Посколь-

ку в силу определения φ(0) = 0, уравнение (5.34) дает

τc =1

σ2φ′ (0) . (5.35)

188

3.. Попытаемся далее найти время корреляции установившихся полетов

Леви в потенциальной яме U(x) большой крутизны. Этот вид аномальной

диффузии описывается следующим уравнением Фоккера-Планка с дробной

производной по координате (см. (5.3))

∂P

∂t=

∂

∂x[U ′ (x)P ] +D

∂αP

∂ |x|α, (5.36)

где: P (x, t) - плотность вероятности координаты частицы иD - интенсивность

α-устойчивого аддитивного шума Леви в соответствующем уравнении Лан-

жевена. Подстановка кинетического оператора из уравнения (5.36) в (5.32)

дает

Ddαϕ

d |x|α+

d

dx[U ′(x)ϕ] = (⟨x⟩st − x)Pst (x) . (5.37)

После Фурье-преобразования по координате в уравнении (5.37) приходим к

ikU ′(−i ddk

)ϕ+D |k|α ϕ = −

(⟨x⟩st + i

d

dk

)ϑst (k) , (5.38)

где ϑst(k) – характеристическая функция x(t) в стационарном состоянии. Для

симметричной потенциальной ямы U (x) = γx2m/ (2m) конфайнмент полетов

Леви наблюдается при m ≥ 2 [356]. Подставляя U(x) в (5.38) и принимая во

внимание, что ⟨x⟩st = 0, получаем

d2m−1ϕ

dk2m−1+ (−1)m+1 D

γ|k|α−1 sgn k · ϕ = i (−1)m

1

kγ

dϑstdk

. (5.39)

В соответствии с формулой (5.35) нам необходима только мнимая часть ре-

шения при k ≥ 0. В результате, вместо решения уравнения (5.39) достаточно

найти решения следующего уравнения

d2m−1φ

dk2m−1+ (−1)m+1 D

γkα−1φ = (−1)m

1

kγ

dϑstdk

. (5.40)

Точное решение уравнения (5.40) может быть получено только для ин-

декса Леви α = 1. Более того, ограничим дальнейшее рассмотрение случаем

189

потенциала четвертой степени (m = 2). Подставляя эти параметры в (5.40),

приходим кd3φ

dk3− β3φ =

1

kγ

dϑstdk

, (5.41)

где: β = 3√D/γ и k ≥ 0. Характеристическая функция ϑst(k) в установив-

шемся состоянии для потенциала четвертой степени была ранее найдена в

работе [355], и имеет вид

ϑst (k) =2√3e−β|k|/2 cos

(β |k|

√3

2− π

6

). (5.42)

Характеристической функции (5.42) отвечает следующая бимодальная ста-

ционарная плотность вероятности координаты частицы

Pst (x) =β3

π (x4 − x2β2 + β4), (5.43)

с дисперсией σ2 = β2. Подставляя (5.42) в (5.41), приходим окончательно к

d3φ

dk3− β3φ = − 2β

kγ√

3e−βk/2 sin

βk√

3

2. (5.44)

Общее решение уравнения (5.44), стремящееся к нулю при k → ∞, таково

φ (k) =1

γ√

3eβk∫ ∞

k

e−3βq/2

(sin

βq√

3

2− 1√

3cos

βq√

3

2

)ln q dq

+ e−βk/2

(c1 sin

βk√

3

2+ c2 cos

βk√

3

2

)(5.45)

− 1

γ√

3e−βk/2

∫ k

0

[sin β

√3

(k

2− q

)+

1√3

cos β√

3

(k

2− q

)]ln q dq .

Определяя неизвестные постоянные c1 и c2 в (5.45) из условий φ (0) = 0 и

φ′′ (0) = 0, вытекающих из нечетности функции φ (k), и подставляя φ′ (0) и

σ2 в формулу (5.35) для времени корреляции, находим окончательно

τc =π

3√

3 γβ2=

π

3√

3 3√γD2

. (5.46)

Формула (5.46) является первым строгим аналитическим результатом,

полученным для временных характеристик полетов Леви, и подтверждает

190

степенную зависимость времени корреляции от интенсивности шума D. Эта

степенная зависимость для различных индексов Леви была ранее уже пред-

сказана численными и приближенными аналитическими методами для сред-

него времени первого достижения свободных и ограниченных полетов Ле-

ви [365, 353, 369, 370], а недавно и для переходной динамики Джозефсонов-

ских переходов в присутствии шума Леви [371]. Как и следовало ожидать,

время корреляции (5.46) уменьшается с увеличением интенсивности шума D

и крутизны потенциальной ямы γ.

В то же время, следует заметить, что корреляционная функция K [τ ] име-

ет неаналитическую зависимость от τ , поскольку не может быть разложена

в степенной ряд по τ . В самом деле, в соответствии с (5.24), первый член ее

разложения по τ в ряд Тейлора обладает бесконечным коэффициентом

K ′ [0+] =⟨xL+ (x)x

⟩st

= −⟨xU ′ (x)⟩st = −γ⟨x4⟩st

= −∞, (5.47)

в отличие от обычного броуновсого движения (α = 2), для которого K ′ [0+] =

−D при любом потенциальном профиле. К сожалению, найти эту неанали-

тическую зависимость корреляционной функции довольно затруднительно.

§ 5.3. Эволюция вероятностных характеристик модели

Ферхюльста с аномальными флуктуациями параметра

насыщения

1. Поведение нелинейных динамических систем в присутствии случайных

воздействий привлекает большое внимание в связи с концепцией индуциро-

ванных шумом переходов и имеет широкий спектр приложений в физике,

химии и биологии [372]. Вызванные шумом переходы обычно ассоциируются

с изменением числа экстремумов в вероятностном распределении переменной

системы и могут зависеть как количественно, так и качественно от статисти-

ки шума.

191

Логистическая модель, предложенная в XIX веке бельгийским математи-

ком Ферхюльстом, служит одним из классических примеров самоорганиза-

ции в естественных и искусственных системах [373]-[12]. Эта модель встреча-

ется в задачах динамики населенности фотонов в одномодовом лазере [375],

самовоспроизведения макромолекул [376], замораживания переохлажденных

жидкостей [377], неравновесной химической кинетики [378]-[381] и автоката-

лиза химических реакций [382], динамики биологических популяций [383]-

[385], распространения вирусных эпидемий [386], роста опухолей [387, 388] и

др.

Вероятностные и моментные характеристики решения стохастического

уравнения Ферхюльста исследовались для гауссовых [372, 389] и пуассонов-

ских [390] флуктуаций темпа роста, а также для случая их полной корреля-

ции с флуктуациями параметра насыщения [382, 383], [388], [391]. Отдельные

точные результаты для уравнения Мальтуса-Ферхюльста-Бернулли с флук-

туациями объема ресурсов в форме марковского дихотомического шума и

периодического возмущения со случайной фазой были получены ранее в ра-

ботах [392, 393]. В частности, была обнаружена немонотонная релаксация

средней численности популяции к стационарному значению.

Далее анализируется модель Ферхюльста с флуктуирующим объемом ре-

сурсов, описывающая эволюцию замкнутой биологической популяции. Воз-

мущение в форме белого шума с односторонним устойчивым распределением

позволяет получить ряд точных результатов для статистических характери-

стик численности популяции таких как плотность вероятности переходов и

корреляционная функция в установившемся состоянии.

2. Для определенности будем далее придерживаться биологической трак-

товки модели Ферхюльста и рассмотрим уравнение для численности популя-

ции x(t) с флуктуирующим объемом ресурсов (емкостью среды)

dx

dt= rx− ξ(t)x2, (5.48)

192

где: r - темп воспроизводства популяции, ξ(t) - негауссов белый шум с одно-

сторонним вероятностным распределением (ξ(t) ≥ 0). Как показано в § 1.1,

подобный шум является производной обобщенного винеровского процесса

(шума Леви) L(t), обладающего безгранично делимым вероятностным рас-

пределением. Это обстоятельство позволяет записать характеристический функ-

ционал произвольного негауссова белого шума ξ(t), принимающего только

неотрицательные значения, в следующем виде (см. (1.18))

Θt [k] =

⟨exp

i

∫ t

0

k (τ) ξ (τ) dτ

⟩= exp

∫ t

0

dτ

∫ ∞

0

eik(τ)z − 1

z2ρ (z) dz

,

(5.49)

где k(t) - произвольная детерминированная функция. В частности, полагая

в (5.49) k(t) = k = const., получаем выражение для характеристической

функции соответствующего шума Леви

ϕL (k, t) =⟨eikL(t)

⟩= exp

t

∫ ∞

0

eikz − 1

z2ρ (z) dz

. (5.50)

Описываемый уравнением (5.48) случайный процесс x (t) является марков-

ским, и поэтому можно воспользоваться результатами § 1.1 для написания

замкнутого уравнения Колмогорова для его плотности вероятности. Для это-

го достаточно положить в (1.30) f(x, t) = rx, g(x, t) = −x2 и учесть соотно-

шение (5.49). В результате получаем

∂P

∂t= −r ∂

∂x(xP ) +

∫ ∞

0

ρ (z)

z2

[exp

(z∂

∂xx2)− 1

]P (x, t) dz. (5.51)

Тем не менее, мы не будем далее решать сложное интегро–дифференциальное

уравнение (5.51), а выберем другой путь.

Не составляет труда найти точное решение стохастического уравнения

(5.48)

x (t) =x0 e

rt

1 + x0∫ t

0 ξ (τ) erτdτ, (5.52)

где x0 = x(0) - начальное значение численности популяции. Вводя далее для

193

удобства новый случайный процесс

η (t) =

∫ t

0

e−r(t−τ)ξ (τ) dτ, (5.53)

с характеристической функцией, равной для неотрицательного случайного

процесса ξ(t), согласно (5.49),

ϑt (k) =⟨eikη(t)

⟩= exp

∫ t

0

dτ

∫ ∞

0

eikze−rτ − 1

z2ρ (z) dz

. (5.54)

После этого решение (5.52) можно записать в виде

x (t) =1

η (t) + e−rt/x0. (5.55)

Наша задача состоит в отыскании плотности вероятности переходов слу-

чайного процесса x(t). Для этого необходимо “обернуть” соотношение (5.54),

т.е. найти вероятностное распределение процесса (5.53). используя обратное

преобразование Фурье, а затем воспользоваться стандартной процедурой пе-

ресчета плотностей вероятности случайных величин при нелинейном преоб-

разовании (5.55).

3. Проанализируем далее поведение плотности вероятности численности

популяции для некоторых частных случаев односторонней функции ρ(z), за-

дающей статистику шума ξ(t). Так, например, функция вида

ρ (z) = νze−µz, z ≥ 0, (5.56)

где ν и µ - некоторые положительные параметры, соответствует процессу Ле-

ви L(t) с безгранично делимым гамма-распределением. Действительно, под-

становка (5.56) в (5.50) и применение обратного преобразования Фурье дает

PL (z, t) =µνtzνt−1e−µz

Γ (νt), z ≥ 0,

где Γ(x) - гамма-функция. Подставляя соотношение (5.56) в (5.54), приходим

к

ϑt (k) = exp

−νr

[Li2

(ik

µ

)− Li2

(ik

µe−rt

)]. (5.57)

194

Здесь Lin(z) - полилогарифм, выражаемый следующим степенным рядом

Lin (z) =∞∑k=1

zk

kn.

Поскольку выражение (5.57) уже содержит специальную функцию, найти в

аналитическом виде вероятностное распределение случайного процесса η(t)

также как и искомое распределение x(t) не представляется возможным.

Перейдем к рассмотрению случайного воздействия ξ(t) с односторонним

устойчивым вероятностным распределением. Как известно [66], весь класс

устойчивых плотностей вероятности Pα,β(x) с характеристическими функци-

ями вида

θα,β (k) = exp

− |k|α exp

(iπβ

2sgn (k)

)(5.58)

может быть представлен множеством точек ромба на плоскости параметров

(α, β) (см. рис. 5.5)

0 0.5 1 1.5 2-1

-0.5

0

0.5

1b

a

Рисунок 5.5. Область параметров (затененная), отвечающая устойчивым

вероятностным законам. Толстая сторона ромба соответствует односторон-

ним устойчивым распределениям [66].

|α− 1| + |β| ≤ 1 .

На рис. 5.5 на отрезке горизонтальной оси β = 0 внутри ромба находятся

все симметричные вероятностные распределения, а точкам толстой стороны

ромба β = −α отвечают односторонние плотности вероятности.

195

Устойчивые плотности вероятности, получаемые из характеристической

функции (5.58) обратным Фурье-преобразованием

Pα,β (x) =1

πRe

∫ ∞

0

exp(−ikx− kαeiπβ/2

)dk

(5.59)

могут быть выражены в аналитическом виде лишь в редких случаях и имеют

медленно спадающие хвосты: Pα,β(x) ∼ 1/ |x|α+1 при |x| → ∞. В результате,

все устойчивые распределения обладают бесконечной дисперсией за исклю-

чением гауссова, которому соответствует точка (2, 0) на рис. 5.5. Более того,

для всех односторонних устойчивых плотностей вероятности среднее значе-

ние также бесконечно. Для случая α = 1/2, β = −1/2 результат интегриро-

вания в (5.59) можно выразить в элементарных функциях

P1/2,−1/2 (x) =1

2√π x3/2

e−1/(4x), x ≥ 0 . (5.60)

Вероятностное распределение (5.60) носит название одностороннего устойчи-

вого распределения Леви-Смирнова.

Если случайное возмущение ξ(t) в уравнении Ферхюльста (5.48) обладает

односторонним устойчивым вероятностным распределением, то в силу свой-

ства устойчивости случайный процесс η(t), полученный линейным интеграль-

ным преобразованием (5.53) случайного процесса ξ(t), обязан иметь ту же са-

мую плотность вероятности, что и ξ(t). Это позволяет существенно упростить

расчеты.

Выбирая в уравнении (5.50) степенную функцию ρ(z)

ρ (z) = qz1−α, z ≥ 0 (0 < α < 1) (5.61)

и вычисляя интеграл, получаем характеристическую функцию вида (5.58) с

β = −α, т.е. приходим к шуму Леви L(t) с односторонним устойчивым ве-

роятностным распределением. Подставляя (5.61) в (5.54), выполняя двойное

интегрирование и учитывая (5.58), имеем

ϑt (k) = θα,−α (k σ (t)) , (5.62)

196

где

σ (t) = σ(1 − e−rαt

)1/α, σ =

[q Γ (1 − α)

rα2

]1/α. (5.63)

Из соотношений (5.59) и (5.62) находим плотность вероятности случайного

процесса η(t)

Pη (y, t) =1

σ (t)Pα,−α

(y

σ (t)

). (5.64)

Используя хорошо известную формулу теории вероятностей, касающуюся

нелинейного преобразования случайных величин, из уравнений (5.55) и (5.64)

получаем искомое нестационарное вероятностное распределение численности

популяции

P (x, t) =1

x2σ (t)Pα,−α

(1

σ (t)

(1

x− e−rt

x0

)). (5.65)

Формула (5.65) описывает эволюцию плотности вероятности от начально-

го состояния с дельта-функцией в точке x = x0 до установившегося в асимп-

тотике (t→ ∞) (см. (5.63) и (5.64))

Pst (x) =1

x2σPα,−α

(1

xσ

). (5.66)

4. Продемонстрируем общие результаты (5.65) и (5.66) на примере белого

шума ξ(t) с односторонним устойчивым распределением Леви-Смирнова (α =

1/2). Из соотношений (5.60), (5.63) и (5.65) находим

P (x, t) =2q(1 − e−rt/2

)r√x (1 − xe−rt/x0)

3/2exp

−

4πq2x(1 − e−rt/2

)2r2 (1 − xe−rt/x0)

. (5.67)

Графики нестационарной плотности вероятности численности популяции (5.67)

представлены на рис. 5.6 для различных времен.

0.5 1 1.5 2

1

2

3

4

0

P(x,t)

x

t=0.1

t=10t=0.4

t=0.737645t=1.5

197

Рисунок 5.6. Эволюция вероятностного распределения численности по-

пуляции. Жирная сплошная линия соответствует переходу от бимодальности

к одномодальности (t = 0.737645), а жирная пунктирная линия - установив-

шейся плотности вероятности (t = 10). Параметры выбирались следующими:

x0 = 0.8, r = 1, q = 0.5.

Жирная пунктирная линия соответствует асимптотическому распределению

(t→ ∞)

Pst (x) =2q

r√xe−4πq2x/r2, x > 0 . (5.68)

Как видно из рис. 5.6, начальное распределение в форме дельта-функции

сразу же превращается в бимодальное при t > 0 (см. кривые для t = 0.1 и

t = 0.4) с двумя максимумами, соответствующими сценариям гибели и вы-

живания биологической популяции. Однако, после некоторого переходного

момента времени tc = 0.737645 (жирная сплошная кривая на рис. 5.6) ве-

роятностное распределение снова становится унимодальным с максимумом в

начале координат (см. кривую с t = 1.5), приближаясь в пределе больших

времен к установившемуся (жирная пунктирная кривая на рис. 5.6). Таким

образом, при выбранной модели флуктуаций количества ресурсов с неограни-

ченным средним значением наиболее вероятным оказывается сценарий уни-

чтожения популяции в отличие от случая флуктуаций темпа воспроизвод-

ства, когда максимум смещен в сторону ненулевых значений x [389, 390].

Время tc индуцированного шумом перехода от бимодальности к унимо-

дальности будем находить из равенства нулю частной производной по x (или

частной логарифмической производной по x) распределения (5.65). В резуль-

тате приходим к

[lnPα,−α (z)]′ = − 2

z + τ0 (t), (5.69)

где

z =1

xσ (t)− τ0 (t) > 0, τ0 (t) =

e−rt

x0σ (t). (5.70)

198

Для устойчивого распределения Леви-Смирнова (5.60) уравнение (5.69) пре-

вращается в следующее квадратное уравнение относительно переменной 1/z

τ0 (t)

z2+

1 − 6τ0 (t)

z+ 2 = 0. (5.71)

Как видно из рис. 5.6, внутри временного интервала (0, tc) плотность вероят-

ности имеет два гладких экстремума (минимум и максимум) в области x > 0,

а при t > tc эти экстремумы исчезают. С другой стороны, уравнение (5.71)

не имеет вещественных корней при отрицательном дискриминанте, т.е. при

36 τ 20 (t) − 20 τ0 (t) + 1 < 0. (5.72)

В соответствии с соотношениями (5.63) и (5.70) τ0 (t) → ∞ при t → 0. В

результате из неравенства (5.72) получаем следующее соотношение для опре-

деления времени перехода tc

τ0 (tc) =1

2. (5.73)

Подставляя (5.63) и (5.70) в (5.73) и полагая α = 1/2, находим окончательно

tc =2

rln

(1 +

r

4q

√2

πx0

). (5.74)

Как следует из точного соотношения (5.74), время переходной бимодально-

сти медленно возрастает с уменьшением всех параметров модели: начального

значения численности популяции x0, интенсивности шума q и темпа воспро-

изводства популяции r.

5. Проанализируем теперь поведение средней численности популяции. Из

общих соотношений (5.65) и (5.70) получаем

⟨x (t)⟩ =1

σ (t)

∫ x0 ert

0

Pα,−α

(1

xσ (t)− τ0 (t)

)dx

x=

∫ ∞

0

Pα,−α (z) dz

σ (t) z + e−rt/x0.

(5.75)

Выполняя в (5.75) интегрирование для распределения Леви-Смирнова (5.60),

приходим к

⟨x (t)⟩ = x0 ert[1 −

√πγ (t) eγ(t) erfc

(√γ (t)

)], (5.76)

199

где

γ (t) =4πq2x0r2

(ert/2 − 1

)2(5.77)

и erfc(x) - дополнительный интеграл ошибок.

Эволюция средней численности популяции, описываемая соотношениями

(5.76)-(5.77), для различных начальных значений численности популяции x0

при фиксированном параметре Мальтуса r = 1 и интенсивности шума q =

0.25 представлена на рис. 5.7.

2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

<x(t)>

0

Рисунок 5.7. Немонотонная релаксация средней численности популяции

к стационарному значению для различных начальных условий при среднем

темпе воспроизводства r = 1 и интенсивности шума q = 0.25.

Во всех случаях наблюдается немонотонная релаксация к стационарному зна-

чению. Подобное интересное поведение было впервые обнаружено в рабо-

те [392] для модели Мальтуса-Ферхюльста-Бернулли при флуктуациях па-

раметра насыщения в форме марковского дихотомического шума и синусои-

дального возмущения со случайной фазой и было подтверждено численным

моделированием.

5.. Как следует из (5.68), стационарная плотность вероятности численно-

сти популяции спадает экспоненциально быстро при x → ∞, что означает

существование моментов любого порядка у случайного процесса x(t). Опре-

деляя из (5.68) характеристическую функцию в установившемся состоянии

θst (k) =

(1 − ikr2

4πq2

)−1/2

200

и разлагая ее логарифм в степенной ряд по аргументу k, нетрудно найти

кумулянты любого порядка стационарного случайного процесса x(t)

κn =(n− 1)!

2

(r2

4πq2

)n

. (5.78)

В частности, из соотношения (5.78) вытекают следующие формулы для уста-

новившихся среднего значения (n = 1) и дисперсии (n = 2) численности

популяции

⟨x⟩ =r2

8πq2, κ2 =

r4

32π2q4. (5.79)

Согласно (5.79) средняя численность популяции также как и дисперсия воз-

растает с увеличением темпа ее воспроизводства (фактора Мальтуса), но

уменьшается с увеличением интенсивности флуктуаций объема ресурсов сре-

ды ее обитания. Из соотношения (5.68) можно также подсчитать вероятность

того, что численность популяции в установившемся режиме не превысит сво-

его среднего значения,

Prob x (t) < ⟨x⟩ = erf

(1√2

)≈ 0.68,

где erf(x) - интеграл ошибок.

Для вычисления корреляционной функции K (τ) = ⟨x(t)x(t+ τ)⟩ числен-

ности биологической популяции в установившемся состоянии воспользуемся

ранее полученным результатом (5.75) для среднего значения. При этом до-

статочно умножить обе части соотношения (5.75) на x0 и усреднить по ста-

ционарному распределению Pst(x0) (5.66), т.е.

K (τ) =

∫ ∞

0

1

σx0Pα,−α

(1

σx0

)dx0

∫ ∞

0

Pα,−α (z) dz

σ (τ) z + e−rτ/x0

или, в соответствии с (5.63),

K (τ) =1

σ2

∫ ∞

0

Pα,−α (y) dy

y

∫ ∞

0

Pα,−α (z) dz

(1 − e−rατ)1/α z + e−rτy. (5.80)

201

Весьма неожиданно, но в случае возмущения негауссовым белым шумом с

устойчивым распределением Леви-Смирнова (5.60) результат двойного инте-

грирования в (5.80) можно выразить в аналитическом виде. Как следствие,

приходим к следующей простой формуле

K (τ) = κ2 e−rτ/2 + ⟨x⟩2 (τ > 0) . (5.81)

Интересно, что для исходной нелинейной динамической системы такой как

модель Ферхюльста (5.48) с мультипликативным шумом корреляционная функ-

ция в стационарном режиме имеет простую экспоненциальную форму (5.81),

причем время корреляции

τcor =2

r(5.82)

вообще не зависит от интенсивности возмущения q.

202

Заключение

В диссертационной работе автором предложен ряд новых методов и на

их основе получено большое количество строгих результатов, совокупность

которых можно квалифицировать как научное достижение в теории нерав-

новесных нелинейных динамических систем, подверженных внешним воздей-

ствиям негауссовой природы. В заключение перечислим основные результа-

ты, полученные при выполнении данной диссертационной работы:

1. Выведена новая формула размыкания корреляции функциональных сред-

них, на основе которой впервые непосредственно из уравнения Ланжеве-

на с негауссовым белым шумом получено общее интегро-дифференциальное

уравнение Колмогорова для плотности вероятности марковского про-

цесса.

2. На основе термодинамически корректного уравнения Ланжевена для

частицы, движущейся в потенциальном поле и взаимодействующей с

негауссовым тепловым резервуаром, впервые получено строгое опера-

торное соотношение, связывающее нелинейную диссипацию со стати-

стическими характеристиками негауссова мультипликативного белого

шума, моделирующего термостат. В случае гауссова шума это слож-

ное уравнение превращается в хорошо известную формулу Эйнштейна-

Сазерленда для параметра линейной диссипации.

3. В рамках гипотезы Колмогорова о масштабной инвариантности на ма-

лых масштабах поля скоростей развитой однородной изотропной турбу-

лентности впервые показано, что спектры высшего порядка поля скоро-

стей и давления несжимаемой жидкости зависят от обобщенного волно-

вого числа по степенному закону, а полученная формула для биспектра

хорошо согласуется с приведенными в литературе экспериментальными

данными для пристеночной турбулентности жидкости.

203

4. Предложен новый метод отыскания времени корреляции стационарного

броуновского движения в произвольных потенциалах и отмечены неко-

торые особенности поведения корреляционной функции при диффузии

частицы в негладких потенциальных профилях.

5. Впервые получены точные уравнения для отыскания установившихся

вероятностных характеристик нелинейной динамической системы, воз-

мущаемой одновременно гауссовым белым и марковским дихотомиче-

ским шумом, и найдены их решения для бистабильной системы с флук-

туирующим потенциальным барьером и для моностабильной системы с

переключающимся по направлению внешним постоянным полем.

6. Впервые найдены точные соотношения для спектров установившихся

флуктуаций координаты броуновской частицы, движущейся в биста-

бильном потенциале и в потенциальном профиле со случайно переклю-

чающимся устойчивым состоянием. Последний результат позволил об-

наружить немонотонную зависимость спектральной плотности мощно-

сти на нулевой частоте от среднего темпа переключений поля, что яв-

ляется манифестацией эффекта резонансной активации.

7. Впервые получены общие уравнения для отыскания среднего времени

пребывания броуновских частиц в метастабильном состоянии с флукту-

ирующим потенциальным барьером, и найдено их точное решение для

кусочно-линейного потенциального профиля. Проанализированы усло-

вия, при которых возникает эффект задержки шумом распада метаста-

бильного состояния.

8. Предложено модифицированное двухуровневое приближение для ис-

следования нелинейного режима стохастического резонанса, которое со-

поставлено с численными результатами и результатами известной схе-

204

мы замыкания по кумулянтам для коэффициента усиления входного

сигнала по мощности.

9. Впервые получена точная квадратурная формула для эффективного

коэффициента диффузии броуновских частиц, движущихся в быстро

флуктуирующем периодическом потенциальном поле, указавшая на эф-

фект ускорения диффузии по сравнению со случаем свободной диффу-

зии. При модуляции периодического потенциала марковским дихотоми-

ческим шумом впервые показано, что ускорение диффузии имеет место

лишь в определенной области на плоскости параметров переключающе-

го шума.

10. Впервые получены точные выражения для стационарного вероятност-

ного распределения координаты частицы при аномальной диффузии

в форме полетов Леви в симметричном степенном потенциале произ-

вольной степени с одним устойчивым состоянием, указывающие на его

бимодальность в отличие от унимодального распределения Больцмана

для броуновской диффузии. Для симметричного потенциала четвертой

степени с одним устойчивым состоянием впервые найдено точное анали-

тическое выражение для времени корреляции супердиффузии в форме

полетов Леви.

11. Впервые исследована эволюция вероятностного распределения плотно-

сти биологической популяции, описываемой уравнением Ферхюльста с

флуктуациями объема жизненных ресурсов в форме белого шума с од-

носторонним устойчивым распределением. Обнаружены явления пере-

ходной бимодальности и немонотонной релаксации средней плотности

популяции к стационарному значению для шума с устойчивым распре-

делением Леви-Смирнова.

205

Список литературы

[1] Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. –М.: Нау-

ка, 1985. - 478 с.

[2] Lindenberg K., West B.J. The Nonequilibrium Statistical Mechanics of Open

and Closed Systems. VCH, New York, 1990.

[3] Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after

Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. V.62. P.251-342.

[4] Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение // УФН. 1994.

Т.164. С.811-844.

[5] van Kampen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. –

Amsterdam: North-Holland, 1981.

[6] Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и

применение в физике, химии и биологии. –М.: Мир, 1987. - 832 с.

[7] Coffey W., Kalmykov Yu.P., Waldron J.T. The Langevin Equation: With

Applications in Physics, Chemistry, and Electrical Engineering. World

Scientific, Singapore, 1996.

[8] Mazo R.M. Brownian Motion: Fluctuations, Dynamics, and Applications.

Clarendon Press, 2002.

[9] Julicher F., Ajdari A., Prost J. Modeling molecular motors // Rev. Mod.

Phys. 1997. V.69. P.1269-1281.

[10] Matis J.H., Kiffe T.R. Stochastic Population Models: A Compartmental

Perspective. –N.Y.: Springer, 2000. - 212 p.

[11] Vicsek T. Fluctuations and Scaling in Biology. –Oxford: Oxford University

Press, 2001.

206

[12] Ecological Modeling / Ed. Wen-Jun Zhang. Nova Science Publishers, New

York, 2012.

[13] Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance //

Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223-287.

[14] Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system

// Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.563-566.

[15] Agudov N.V., Malakhov A.N. Decay of unstable equilibrium and

nonequilibrium states with inverse probability current taken into account

// Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6333-6342.

[16] Agudov N.V., Spagnolo B. Noise-enhanced stability of periodically driven

metastable states // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.035102-1-035102-4 (R).

[17] Doering C.R., Gadoua J.C. Resonant activation over a fluctuating barrier //

Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.2318-2321.

[18] Bier M., Astumian R.D. Matching a diffusive and a kinetic approach for

escape over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.1649-

1652.

[19] Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys.

Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[20] Metzler R., Klafter J. The random walks guide to anomalous diffusion: A

fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. V.339. P.1-77.

[21] Учайкин В.В. Метод дробных производных –Ульяновск: Артишок, 2008.

- 512 с.

[22] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R. Fundamentals of Levy

flight processes // Adv. Chem. Phys. 2006. V.133. P.439-496.

207

[23] Yanovsky V.V., Chechkin A.V., Schertzer D., Tur A.V. Levy anomalous

diffusion and fractional Fokker–Planck equation // Physica A. 2000. V.282.

P.13–34.

[24] Chechkin A., Gonchar V., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L. Stationary

states of non-linear oscillators driven by Levy noise // Chem. Phys. 2002.

V.284. P.233-251.

[25] Chechkin A.V., Klafter J., Gonchar V.Yu., Metzler R., Tanatarov L.V.

Bifurcation, bimodality, and finite variance in confined Levy flights // Phys.

Rev. E 2003. V.67. P.010102(R)-1-010102(R)-4.

[26] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L.V. Levy

flights in a steep potential well // J. Stat. Phys. 2004. V.115. P.1505-1535.

[27] Dubkov A.A., Ganin V.N. Spectral density of noise-driven nonlinear

system switching between two steady states. Proc. 17th Int. Conf. "Noise

and Fluctuations". Charles Univer-sity Conference Center, Prague, Czech

Republic, August 18-22, 2003. Ed. Josef Sikula. Czech Noise Research

Laboratory. Brno University of Technology, pp.37-40 (2003).

[28] Dubkov A.A., Spagnolo B. Diffusion Acceleration in Randomly

Switching Sawtooth Potential. Proc. 18th Int. Conf. "Noise and

Fluctuations Salamanca, Spain, 19-23 September, 2005. Eds. T.Gonzalez,

J.Mateos, and D.Pardo. AIP Conference Proceedings. V.780, Melville, New

York, 2005, pp.25-28.

[29] Dubkov A.A., Ganin V.N. Spectral Characteristics of Overdamped

Brownian Motion in Randomly Switching Bistable Potential. Proc. 19th Int.

Conf. on Noise and Fluctuations, Tokyo, Japan, 9-14 September, 2007. Eds.

M.Tacano, Y.Yamamoto, and M.Nakao. AIP Conference Proceedings. V.922,

Melville, New York, 2007, pp.519-522.

208

[30] Dubkov A.A. Noise Enhanced Stability Phenomenon in 2-D Potential with

Radial Sym-metry. Proc. 19th Int. Conf. on Noise and Fluctuations, Tokyo,

Japan, 9-14 September, 2007. Eds. M.Tacano, Y.Yamamoto, and M.Nakao.

AIP Conference Proceedings. V.922, Melville, New York, 2007, pp.539-542.

[31] Dubkov A.A. Modified two-state approximation for classical stochastic

resonance. Proc. 20th Int. Conf. on Noise and Fluctuations, Pisa, Italy, 14-

19 June, 2009. Eds. M.Macucci and G.Basso. AIP Conference Proceedings.

V.1129, Melville, New York, 2009, pp.45-48.

[32] Spagnolo B., Augello G., Caldara P., Fiasconaro A., La Cognata A., Pizzolato

N., Valenti D., Dubkov A.A., Pankratov A.L. Noise stabilization effects in

models of interdisciplinary physics. Journal of Physics: Conference Series,

2009, V.174, pp.012037-1-012037-13.

[33] Дубков А.А., Малахов А.Н., Саичев А.И. Время корреляции и струк-

тура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского дви-

жения в потенциальных ямах произвольной формы // Изв.вузов. Радио-

физика. 2000. Т.43. С.369–382.

[34] Дубков А.А. Коэффициент диффузии броуновской частицы в быстро

флуктуирующем периодическом потенциале // Письма в ЖТФ. 2003.

Т.29. С.18–23.

[35] Dubkov A.A. Exact calculation of effective diffusion constant in fluctuating

periodic potentials // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003.

Т.11. С.102–107.

[36] Dubkov A.A., Makhov P.N, Spagnolo B. Nonequilibrium steady-state

distributions in randomly switching potentials // Physica A. 2003. V.325.

P.26–32.

209

[37] Agudov N.V., Dubkov A.A., Spagnolo B. Escape from a metastable state

with fluctuating barrier // Physica A. 2003. V.325. P.144–151.

[38] Spagnolo B., Agudov N.V., Dubkov A.A. Noise enhanced stability // Acta

Phys. Pol. B 2004. V.35. P.1419–1436.

[39] Dubkov A.A., Ganin V.N., Spagnolo B. Exact results for spectra of

overdamped Brownian motion in fixed and randomly switching potentials

// Acta Phys. Pol. B 2004. V.35. P.1447–1462.

[40] Dubkov A.A., Agudov N.V., Spagnolo B. Noise enhanced stability in

fluctuating metastable states // Phys. Rev. E 2004. V.69. P.061103-1–061103-

7.

[41] Spagnolo B., Dubkov A.A., Agudov N.V. Enhancement of stability in

randomly switching potential with metastable state // Eur. Phys. J. B 2004.

V.40. P.273–281.

[42] Spagnolo B., Dubkov A.A., Agudov N.V. Escape times in fluctuating

metastable potential and acceleration of diffusion in periodic fluctuating

potentials // Physica A 2004. V.340. P.265–273.

[43] Dubkov A.A., Spagnolo B. Acceleration of diffusion in randomly switching

potential with supersymmetry // Phys. Rev. E 2005. V.72. P.041104-1–

041104-8.

[44] Dubkov A.A., Spagnolo B. Generalized Wiener process and Kolmogorov’s

equation for diffusion induced by non-Gaussian noise source // Fluct. Noise

Lett. 2005. V.5. P.L267–L274.

[45] Spagnolo B., Dubkov A.A. Diffusion in flashing periodic potentials // Eur.

Phys. J. B. 2006. V.50. P.299–303.

210

[46] Dubkov A.A., Spagnolo B. Langevin approach to Levy flights in fixed

potentials: Exact results for stationary probability distributions // Acta

Phys. Pol. B 2007. V.38. P.1745–1758.

[47] Spagnolo B., Dubkov A.A., Pankratov A.L., Pankratova E.V., Fiasconaro

A., Ochab-Marcineke A. Lifetime of metastable states and suppression of

noise in interdisciplinary physical models // Acta Phys. Pol. B 2007. V.38.

P.1925–1950.

[48] Dubkov A.A., Spagnolo B. Verhulst model with Levy white noise excitation

// Eur. Phys. J. B 2008. V.65. P.361–367.

[49] Dubkov A.A., Spagnolo B., Uchaikin V.V. Levy flight superdiffusion: An

introduction // Int. J. Bifurc. Chaos 2008. V.18. P.2649–2672.

[50] Dubkov A.A., Hanggi P., Goychuk I. Non-linear Brownian motion: The

problem of obtaining the thermal Langevin equation for a non-Gaussian bath

// J. Stat. Mech.: Theor. Exper. 2009. V.2009. P.P01034-1–P01034-9.

[51] Dubkov A.A., La Cognata A., Spagnolo B. The problem of analytical

calculation of barrier crossing characteristics for Levy flights // J. Stat.

Mech.: Theor. Exper. 2009. V.2009. P.P01002-1–P01002-12.

[52] Dubkov A.A. Statistical time-reversal symmetry and its physical

applications // Chem. Phys. 2010. V.375. P.364–369.

[53] Дубков А.А. Эволюция вероятностных характеристик модели Ферх-

юльста с флуктуациями количества ресурсов // Вестник ННГУ. 2011. є

5(3). С.201–204.

[54] Spagnolo B., Caldara P., La Cognata A., Valenti D., Fiasconaro A., Dubkov

A.A., Falci G. The bistable potential: An archetype for classical and

211

quantum systems // Int. J. Mod. Phys. B 2012. V.26. P.1241006-1–1241006-

16.

[55] Dubkov A.A. Transient dynamics of Verhulst model with fluctuating

saturation parameter // Acta Phys. Pol. B 2012. V.43. P.935–946.

[56] Spagnolo B., Caldara P., La Cognata A., Augello G., Valenti D., Fiasconaro

A., Dubkov A.A., Falci G. Relaxation phenomena in classical and quantum

systems // Acta Phys. Pol. B 2012. V.43. P.1169–1189.

[57] Dubkov A. Steady-state distributions for harmonic oscillator with very

fast frequency fluctuations // Fluct. Noise Lett. 2012. V.11. P.1242009-1–

1242009-9.

[58] Dubkov A., Spagnolo B. Time characteristics of Levy flights in a steep

potential well // Eur. Phys. J. Special Topics 2013. V.216. P.31–35.

[59] Dubkov A.A., Kharcheva A.A. Transient and stationary characteristics

of the Malthus-Verhulst-Bernoulli model with non-Gaussian fluctuating

parameters // Phys. Rev. E 2014. V.89. P.052146-1–052146-7.

[60] Dubkov A.A., Kharcheva A.A. Features of barrier crossing event for Levy

flights // Europhys. Lett. 2016. V.113. P.30009-p1–30009-p6.

[61] Dubkov A.A., Litovsky I.A. Probabilistic characteristics of noisy Van der

Pol type oscillator with nonlinear damping // J. Stat. Mech.: Theor. Exper.

2016. V.2016. P.054036-1–054036-18.

[62] Kharcheva A.A., Dubkov A.A., Dybiec B., Spagnolo B., Valenti D. Spectral

characteristics of steady-state Levy flights in confinement potential profiles

// J. Stat. Mech.: Theor. Exper. 2016. V.2016. P.054039-1–054039-13.

[63] Дубков А.А. Стохастический резонанс: от теории линейного отклика к

анализу нелинейного режима. В кн. "Динамические явления в сложных

212

системах"/ Под. ред. А.В. Мокшина, С.А. Демина, Р.М. Хуснутдинова,

О.Ю. Панищева. - Казань: Изд-во МОиН РТ. 2011. С.89–102.

[64] Spagnolo B., Valenti D., Spezia S., Curcio L., Pizzolato N., Dubkov A.A.,

Fiasconaro A., Persano Adorno D., Lo Bue P., Peri E., Colazza S. Chapter

12 - Environmental Noise and Nonlinear Relaxation in Biological Systems.

In book "Ecological Modeling". Series: Environmental Science, Engineering

and Technology. Ed. Wen-Jun Zhang. Nowa Science Publishers Inc. 2012.

P.289–323.

[65] Bezrukov S.M., Vodyanoy I. Noise-induced enhancement of signal

transduction across voltage-dependent ion channels // Nature. 1995. V.378.

P.362–364.

[66] Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a

fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. V.39. P.1–77.

[67] Кляцкин В.И. К статистической теории отражения света в случайно-

неоднородной среде // ЖЭТФ. 1973. Т.65. С.54–65.

[68] Дубков А.А., Малахов А.Н. Кумулянтный анализ функционального

нелинейного преобразования негауссовых случайных процессов и полей

// Докл. АН СССР. 1975. Т.222. С.793–796.

[69] Furutsu K. On the statistical theory of electromagnetic waves in a fluctuating

medium (I) // J. Res. Nat. Bur. Standards. Sect. D (Radio Propagation).

1963. V.67. P.303–323.

[70] Новиков Е.А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулент-

ности // ЖЭТФ. 1964. Т.47. С.1919–1926.

[71] Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и

применение в физике, химии и биологии. –М.: Мир, 1987.–400 с.

213

[72] Bena I. Dichotomous Markov noise: Exact results for out-of-equilibrium

systems // Int. J. Mod. Phys. B. 2006. V.20. P.2825–2888.

[73] Shapiro V.E. and Loginov V.M. “Formulae of differentiation” and their use

for solving stochastic equations // Physica A. 1978. V.91. P.563–574.

[74] Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воз-

действиях: Простые средства анализа. –Новосибирск: Наука, 1983.

[75] Кляцкин В.И. Динамические системы с флуктуациями параметров в ви-

де процессов телеграфного типа // Изв.вузов-Радиофизика. 1977. Т.20.

С.562–575.

[76] Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. –М.: Нау-

ка, 1985.

[77] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. –М.:

Мир, 1984.

[78] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler, R. Fundamentals of Levy

flight processes // Adv. Chem. Phys. 2006. V.133. P.439–496.

[79] Hanggi P. Correlation functions and master equations of generalized (non-

Markovian) Langevin equations // Z. Physik B. 1978. V.31. P.407–416.

[80] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотех-

нике. –М.: Сов. радио, 1961.

[81] Yanovsky V.V., Chechkin A.V., Schertzer D., Tur A.V. Levy anomalous

diffusion and fractional Fokker–Planck equation // Physica A. 2000. V.282.

P.13–34.

[82] Sancho J.M. Stochastic processes driven by dichotomous Markov noise: Some

exact dynamical results // J. Math. Phys. 1984. V.25. P.354–359.

214

[83] Kitahara K., Horsthemke W., Lefever R. Colored-noise-induced transitions:

Exact results for external Markovian dichotomous noise // Phys. Lett. A

1979. V.70. P.377–380.

[84] Kitahara K., Horsthemke W., Lefever R., Inaba Y. Phase diagrams of noise-

induced transitions // Prog. Theor. Phys. 1980. V.64. P.1233–1247.

[85] Balakrishnan V., Van den Broeck C., Hanggi P. First-passage times of non-

Markovian processes: The case of a reflecting boundary // Phys. Rev. A 1988.

V.38. P.4213–4222.

[86] Graham R., Haken H. Generalized thermodynamic potential for Markoff

systems in detailed balance and far from thermal equilibrium // Z. Physik.

1971. V.243. P.289–302.

[87] Gaspard P. Time-reversed dynamical entropy and irreversibility in Markovian

random processes // J. Stat. Phys. 2004. V.117. P.599–615.

[88] Chung K.L., Walsh J.B. Markov Processes, Brownian Motion, and Time

Symmetry. 2nd ed. Springer, New York, 2005.

[89] Lamb J.S.W., Roberts J.A.G. Time-reversal symmetry in dynamical systems:

A survey // Physica D 1998. V.112. P.1–39.

[90] Hinich M.J. Testing for Guassianity and linearity of a stationary time series

// J. Time Series Analysis. 1982. V.3. P.169–176.

[91] Diks C., van Houwelingen J.C., Takens F., DeGoede J. Reversibility as a

criterion for discriminating time series // Phys. Lett. A 1995. V.201. P.221–

228.

[92] Ramsey J.B., Rothman P. Time irreversibility and business cycle asymmetry

// J. Money, Credit and Banking. 1996. V.28. P.1–21.

215

[93] Fong W.M. Time reversibility tests of volume-volatility dynamics for stock

returns // Econom. Lett. 2003. V.81. P.39–45.

[94] Morita K. Reversible computing and cellular automata - A survey // Theor.

Comput. Sci. 2008. V.395. P.101–131.

[95] De Masi A., Ferrari P.A., Goldstein S., Wick W.D. An invariance principle

for reversible Markov processes. Applications to random motions in random

environments // J. Stat. Phys. 1989. V.55. P.787–855.

[96] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотех-

нике. –М.: Сов. радио, 1961.

[97] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и

их преобразований. –М.: Сов. радио, 1978.

[98] Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. –М.: Нау-

ка, 1985.

[99] Callen H.B., Welton T.A. Irreversibility and generalized noise // Phys. Rev.

1951. V.83. P.34–40.

[100] Ефремов Г.Ф. Флуктуационо-диссипационная теорема для нелинейных

сред // ЖЭТФ. 1968. Т.55. С.2322–2333.

[101] Gupta M.S. Thermal fluctuations in driven nonlinear resistive systems //

Phys. Rev. A 1978. V.18. P.2725–2731.

[102] Gupta M.S. Thermal noise in nonlinear resistive devices and its circuit

representation // Proc. IEEE 1982. V.70. P.788–804.

[103] Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. К общей теории тепловых флуктуаций в

нелинейных системах // ЖЭТФ. 1977. Т.72. С.238–247.

216

[104] Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Флуктуационно-диссипационные соотно-

шения для неравновесных процессов в открытых системах // ЖЭТФ.

1979. Т.76. С.1071–1088.

[105] Jarzynski C. Nonequilibrium equality for free energy differences // Phys.

Rev. Lett. 1997. V.78. P.2690–2693.

[106] Crooks G.E. Entropy production fluctuation theorem and the

nonequilibrium work relation for free energy differences // Phys. Rev.

E. 1999. V.60. P.2721-2726.

[107] Crooks G.E. Path-ensemble averages in systems driven far from equilibrium

// Phys. Rev. E. 2000. V.61. P.2361-2366.

[108] Hanggi P., Marchesoni F. Introduction: 100 years of Brownian motion //

Chaos. 2005. V.15. P.026101-1–026101-5.

[109] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. Изд. 5-ое.

–М.: Физматлит, 2005.

[110] Kubo R. Statistical-mechanical theory of irreversible processes. I. General

theory and simple applications to magnetic and conduction problems // J.

Phys. Soc. Japan 1957. V.12. P.570–586.

[111] Hanggi P., Thomas H. Stochastic processes: Time-evolution, symmetries

and linear response // Phys. Rep. 1982. V.88. P.207–319.

[112] Jung P., Hanggi P. Amplification of small signals via stochastic resonance

// Phys. Rev. A 1991. V.44. P.8032–8042.

[113] Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance //

Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223–287.

217

[114] Mori H. Transport, collective motion, and Brownian motion // Prog. Theor.

Phys. 1965. V.33. P.423–455.

[115] Kubo R. The fluctuation-dissipation theorem // Rep. Prog. Phys. 1966.

V.29. P.255–284.

[116] Costa I.V.L., Morgado R., Lima M.V.B.T., Oliveira F.A. The Fluctuation-

Dissipation Theorem fails for fast superdiffusion // Europhys. Lett. 2003.

V.63. P.173–179.

[117] Bao Jing-Dong. Comment on “The Fluctuation-Dissipation Theorem fails

for fast superdiffusion” by I. V. L. Costa et al. // Europhys. Lett. 2004. V.67.

P.1050–1051.

[118] Costa I.V.L., Morgado R., Lima M.V.B.T., Oliveira F.A. Reply to the

Comment by J. D. Bao on “The Fluctuation-Dissipation Theorem fails for

fast superdiffusion” // Europhys. Lett. 2004. V.67. P.1052–1053.

[119] Morgado R., Oliveira F.A., Batrouni G.G., Hansen A. Relation between

anomalous and normal diffusion in systems with memory // Phys. Rev. Lett.

2002. V.89. P.100601-1–100601-4.

[120] Bao Jing-Dong, Zhuo Yi-Zhong. Ballistic diffusion induced by a thermal

broadband noise // Phys. Rev. Lett. 2003. V.91. P.138104-1–138104-4.

[121] Bao Jing-Dong. Numerical integration of a non-Markovian Langevin

equation with a thermal band-passing noise // J. Stat. Phys. 2004. V.114.

P.503–513.

[122] Bao Jing-Dong, Zhuo Yi-Zhong. Anomalous dissipation: Strong non-

Markovian effect and its dynamical origin // Phys. Rev. E 2005. V.71.

P.010102(R)-1–010102(R)-4.

218

[123] Bao Jing-Dong, Song Yan-Li, Ji Qing, Zhuo Yi-Zhong. Harmonic velocity

noise: Non-Markovian features of noise-driven systems at long times // Phys.

Rev. E 2005. V.72. P.011113-1–011113-7.

[124] Bao Jing-Dong, Hanggi P., Zhuo Yi-Zhong. Non-Markovian Brownian

dynamics and nonergodicity // Phys. Rev. E 2005. V.72. P.061107-1–061107-

5.

[125] Lutz E. Fractional Langevin equation // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.051106-

1–051106-4.

[126] Siegle P., Goychuk I., Talkner P., Hanggi P. Markovian embedding of non-

Markovian superdiffusion // Phys. Rev. E 2000. V.81. P.011136-1–011136-10.

[127] Стратонович Р.Л. Случайные процессы в динамических ситемах // Под

ред. Ю.Л. Климонтовича, Ю.М. Романовского. –М.: Ижевск, 2009.

[128] Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after

Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. v.62. P.251–342.

[129] Hoare M.R. The linear gas // Adv. Chem. Phys. 1971. V.20. P.135–214.

[130] Hanggi P. Correlation functions and master equations of generalized non-

Markovian Langevin equations // Z. Physik B 1978. V.31. P.407–416.

[131] Hanggi P. Langevin description of Markovian integro-differential master

equations // Z. Physik B 1980. V.36. P.271–282.

[132] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотех-

нике. –М.: Сов. радио, 1961.

[133] Coffey W., Kalmykov Yu.P., Waldron J.T. The Langevin Equation: With

Applications in Physics, Chemistry, and Electrical Engineering. World

Scientific, 1996.

219

[134] Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение // УФН. 1994.

Т.164. С.811–844.

[135] Langevin P. Sur la theorie du mouvement brownien // C.R. Acad. Sci.

(Paris). 1908. V.146. P.530–533.

[136] Hanggi P. Nonlinear fluctuations: The problem of deterministic limit and

reconstruction of stochastic dynamics // Phys. Rev. A 1982. V.25. P.1130–

1136.

[137] Hayakawa H. Langevin equation with Coulomb friction // Physica D 2005.

V.205. P.48–56.

[138] Kraichnan R.H. Dynamics of nonlinear stochastic systems // J. Math. Phys.

1961. V.2. P.124–148.

[139] Leslie D.C. Developments in the Theory of Turbulence. –Oxford: Clarendon

Press, 1973.

[140] Lesieur M. Turbulence in Fluids. 2nd edition. –Dordrecht: Kluwer, 1990.

[141] Frisch U. Turbulence (the legacy of A.N. Kolmogorov). –Cambridge:

Cambridge University Press, 1995.

[142] Eyink G., Goldenfeld N. Analogies between scaling in turbulence, field

theory, and critical phenomena // Phys. Rev. E 1994. V.50. P.4679–4683.

[143] Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой

вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН

СССР 1941. V.30. P.299–304.

[144] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовых случайных процессов

и их преобразований. –М.: Сов. радио, 1978.

220

[145] Monin A.S., Yaglom A.M. Statistical Fluid Mechanics // Ed. J.Lumley.

–Cambridge: MIT Press, 1975. V.2.

[146] Handbook of Turbulence. V.1. Fundamentals and Applications // Ed.

W.Frost and T.H.Moulden. –New York and London: Plenum Press, 1977.

[147] Yeh T.T., Van Atta C.W. Spectral transfer of scalar and velocity fields in

heated-grid turbulence // J. Fluid Mech. 1973. V.58. P.233–261.

[148] Van Atta C.W., Wyngaard J.C. On higher-order spectra of turbulence //

J. Fluid Mech. 1975. V.72. P.673–694.

[149] Lii K.S., Rosenblatt M., Van Atta C.W. Bispectral measurements in

turbulence // J. Fluid Mech. 1976. V.77. P.45–62.

[150] Helland K.N., Van Atta C.W., Stegen G.R. Spectral energy transfer in high

Reynolds number turbulence // J. Fluid Mech. 1977. V.79. P.337–359.

[151] Helland K.N., Lii K.S., Rosenblatt M.// In Appl. Stat. North Holland, 1977.

P.223; In Developments of Statistics. V.2. –New York: Academic Press, 1979.

P.123.

[152] Herring J.R., Metais O. Spectral transfer and bispectra for turbulence with

passive scalars // J. Fluid Mech. 1992. V.235. P.103–121.

[153] Van Atta C.W. Inertial range bispectra in turbulence // Phys. Fluids. 1979.

V.22. P.1440–1442.

[154] Herring J.R. Theoretical calculations of turbulent bispectra // J. Fluid

Mech. 1980. V.97. P.193–204.

[155] Helland K.N., Itsweire E.C., Lii K.S. A program for computation of

bispectra with application to spectral energy transfer in fluid turbulence //

Adv. Eng. Software. 1985. V.7. P.22–27.

221

[156] Schenzle A., Brand H. Multiplicative stochastic processes in statistical

physics // Phys. Rev. A 1979. V.20. P.1628–1647.

[157] van Kampen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. –

Amsterdam: North-Holland, 1981.

[158] Horsthemke W., Lefever R. Noise-Induced Transitions: Theory and

Applications in Physics, Chemistry, and Biology. Springer, New York, 1983.

[159] Risken H. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and

Applications. Springer, Berlin, 1984.

[160] Lindenberg K., West B.J. The Nonequilibrium Statistical Mechanics of

Open and Closed Systems. VCH, New York, 1990.

[161] Coffey W., Kalmykov Yu.P., Waldron J.T. The Langevin Equation: With

Applications in Physics, Chemistry, and Electrical Engineering. World

Scientific, Singapore, 1996.

[162] Gitterman M. The Noisy Oscillator: The First Hundred Years, From

Einstein Until Now. World Scientific, Singapore, 2005.

[163] Медведев С.Ю., Музычук О.В. Статистические характеристики нели-

нейной резонансной системы, параметрически возбуждаемой случайной

силой // Изв. вузов. Радиофизика. 1981. Т.24. С.49–58.

[164] Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение // УФН. 1994.

Т.164. С.811-844.

[165] Caughey T.K., Dienes J.K. Analysis of a nonlinear first-order system with

a white noise input // J. Appl. Phys. 1961. V.32. P.2476-2479.

[166] Malakhov A.N. Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in

arbitrary potential profiles // Chaos. 1997. V.7. P.488-504.

222

[167] Хелстром К.В. Марковские процессы и их применения // В сб. "Теория

связи". М.: Связь, 1972.

[168] Агудов Н.В., Малахов А.Н. Нестационарная диффузия через произ-

вольный кусочно-линейный потенциальный профиль. Точное решение

и временные характеристики // Изв. вузов. Радиофизика. 1993. Т.36.

С.148-166.

[169] Malakhov A.N., Pankratov A.L. Exact solution of the Kramers’ problem for

piece-wise parabolic potential profiles // Physica A. 1996. V.229. P.109-126.

[170] Malakhov A.N., Pankratov A.L. Evolution times of probability distributions

and averages – Exact solutions of the Kramers’ problem // Adv. Chem. Phys.

2002. V.121. P.357-438.

[171] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников

и инженеров. –М.: Наука, 1984.–832с.

[172] Risken Н. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and

Applications. Second Edition. Springer, Berlin, 1989.

[173] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процес-

сов и их преобразований. –М.: Сов. радио, 1978.

[174] Саичев А.И. Об одном методе нахождения временных характеристик

марковских процессов // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т.17. С.864-868.

[175] Медведев С.Ю. Точное разложение корреляционной функции произ-

вольного стационарного марковского процесса // Изв. вузов. Радиофи-

зика. 1977. Т.20. С.1241-1244.

[176] Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. –М.: Наука,

1968.

223

[177] Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance //

Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223-287.

[178] Doering C.R., Gadoua J.C. Resonant activation over a fluctuating barrier

// Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.2318-2321.

[179] Bier M., Astumian R.D. Matching a diffusive and a kinetic approach for

escape over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.1649-

1652.

[180] Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system

// Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.563-566.

[181] Agudov N.V., Malakhov A.N. Decay of unstable equilibrium and

nonequilibrium states with inverse probability current taken into account

// Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6333-6342.

[182] Agudov N.V., Spagnolo B. Noise-enhanced stability of periodically driven

metastable states // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.035102-1-035102-4 (R).

[183] Magnasco M.O. Forced thermal ratchets // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71.

P.1477-1481.

[184] Julicher F., Ajdari A., Prost J. Modeling molecular motors // Rev. Mod.

Phys. 1997. V.69. P.1269-1281.

[185] Morsch M., Risken H., Vollmer H.D. One-dimensional diffusion in soluble

model potentials // Z. Physik B 1979. V.32. P.245-252.

[186] Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Moss F., Soskin S.M.

Spectral density of fluctuations of a double-well Duffing oscillator driven by

white noise // Phys. Rev. A 1988. V.37. P.1303-1313.

224

[187] Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Soskin S.M., Stocks N.G.

Noise-induced narrowing of peaks in the power spectra of underdamped

nonlinear oscillators // Phys. Rev. A 1990. V.42. P.7041-7049.

[188] Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Soskin S.M., Stocks N.G.

Zero frequency spectral peaks of underdamped nonlinear oscillators with

asymmetric potentials // Phys. Rev. A 1991. V.43. P.1701-1708.

[189] Dykman M.I., McClintock P.V.E. Power spectra of noise-driven nonlinear

systems and stochastic resonance // Physica D 1992. V.58. P.10-30.

[190] Dykman M., Lindenberg K. Fluctuations in nonlinear systems driven by

colored noise // In “Contemporary Problems in Statistical Physics”. Ed. G.H.

Weiss / SIAM, Philadelphia, p.41-101 (1994).

[191] Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Pochini M., Santucci S. Analog

simulation of underdamped stochastic systems driven by colored noise:

Spectral densities // Phys. Rev. A 1988. V.37. P.3058-3066.

[192] Ouyang H.F., Huang Z.Q., Ding E.J. 1/f noise and one-dimensional

Brownian motion in a singular potential // Phys. Rev. E 1994. V.50. P.2491-

2495.

[193] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотех-

нике. –М.: Сов.радио, 1961.

[194] Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. –М.: Сов.радио,

1977.

[195] Zurcher U., Doering C.R. Thermally activated escape over fluctuating

barriers // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.3862-3869.

[196] Van den Broeck C. Simple stochastic model for resonant activation // Phys.

Rev. E 1993. V.47. P.4579-4580.

225

[197] Marchi M., Marchesoni F., Gammaitoni L., Menichella-Saetta E., Santucci

S. Resonant activation in a bistable system // Phys. Rev. E 1996. V.54.

P.3479-3487.

[198] Mantegna R.N., Spagnolo B. Numerical simulation of resonant activation

in a fluctuating metastable model system // J. Phys. IV (France) 1998. V.8.

P.247-252.

[199] Mantegna R.N., Spagnolo B. Experimental investigation of resonant

activation // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.3025-3028.

[200] Astumian R.D., Bier M. Fluctuation driven ratchets: Molecular motors //

Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.1766-1769.

[201] Doering C.R., Horsthemke W., Riordan J. Nonequilibrium fluctuation-

induced transport // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.2984-2987.

[202] Reimann P., Elston T.C. Kramers rate for thermal plus dichotomous noise

applied to ratchets // Phys. Rev. Lett. 1996. V.77. P.5328-5331.

[203] Doering C.R. Stochastic ratchets // Physica A 1998. V.254. P.1-6.

[204] Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys.

Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[205] Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –М.:

Сов. радио, 1969.

[206] Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флук-

туирующими параметрами. –М.: Наука, 1975.

[207] van Kampen N.G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. –

Amsterdam: North-Holland, 1981.

226

[208] Risken H. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and

Applications. Springer, Berlin, 1984.

[209] Gardiner C.W. Handbook of Stochastic Methods. Springer, Berlin, 1985.

[210] Кляцкин В.И. Динамические системы с флуктуациями параметров в

виде процессов телеграфного типа // Изв.вузов-Радиофизика. 1977. Т.20.

С.562-575.

[211] Бердников А.А. Воздействие телеграфного сигнала на динамическую

систему первого порядка // Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т.23. С.998-

999.

[212] Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воз-

действиях: Простые средства анализа. –Новосибирск: Наука, 1983.

[213] Sancho J.M. Stochastic processes driven by dichotomous Markov noise:

Some exact dynamical results // J. Math. Phys. 1984. V.25. P.354-359.

[214] Bena I. Dichotomous Markov noise: Exact results for out-of-equilibrium

systems // Int. J. Mod. Phys. B. 2006. V.20. P.2825-2888.

[215] Mankin R., Ainsaar A., Reiter E. Trichotomous noise-induced transitions

// Phys. Rev. E 1999. V.60. P.1374-1380.

[216] Van Den Broeck C. On the relation between white shot noise, Gaussian

white noise, and the dichotomic Markov process // J. Stat. Phys. 1983. V.31.

P.467-483.

[217] Luczka J., Bartussek R., Hanggi P. White-noise-induced transport in

periodic structures // Europhys. Lett. 1995. V.31. P.431-436.

[218] Luczka J., Czernik T., Hanggi P. Symmetric white noise can induce directed

current in ratchets // Phys. Rev. E 1997. V.56. P.3968-3975.

227

[219] Hanggi P., Jung P. Colored noise in dynamical systems // Adv. Chem. Phys.

1995. V.89. P.239-326.

[220] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников

и инженеров. –М.: Наука, 1984.

[221] Leggett A.J. Nucleation of 3He-B from the A phase: A cosmic-ray effect?

// Phys. Rev. Lett. 1984. V.53. P.1096-1099.

[222] Arrayas M., Dykman M.I., Mannella R., McClintock P.V.E., Stein N.D.

Symmetry breaking of fluctuation dynamics by noise color // Phys. Rev.

Lett. 2000. V.84. P.5470-5473.

[223] Muthukumar M. Translocation of a confined polymer through a hole //

Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.3188-3191.

[224] Mantegna R.N., Spagnolo B. Experimental investigation of resonant

activation // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.3025-3028.

[225] Mielke A. Noise induced stability in fluctuating, bistable potentials // Phys.

Rev. Lett. 2000. V.84. P.818-821.

[226] Bier M., Astumian R.D. Matching a diffusive and a kinetic approach for

escape over a fluctuating barrier // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.1649-

1652.

[227] Marchesoni F., Grigolini P. The Kramers model of chemical relaxation in

the presence of a radiation field // Physica A 1983. V.121. P.269-285.

[228] Fonseca T., Gomes J.A.N.F., Grigolini P., Marchesoni F. Classical dynamics

of a coupled double well oscillator in condensed media // J. Chem. Phys.

1983. V.79. P.3320-3327.

228

[229] Maddox J. Surmounting fluctuating barriers // Nature (London) 1992.

V.359. P.771.

[230] Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys.

Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[231] Smelyanskiy V.N., Dykman M.I., Golding B. Time oscillations of escape

rates in periodically driven systems // Phys. Rev. Lett. 1999. V.82. P.3193-

3197.

[232] Lehmann J., Reimann P., Hanggi P. Surmounting oscillating barriers //

Phys. Rev. Lett. 2000. V.84. P.1639-1642.

[233] Maier R.S., Stein D.L. Noise-activated escape from a sloshing potential well

// Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.3942-3945.

[234] Doering C.R., Horsthemke W., Riordan J. Nonequilibrium fluctuation-

induced transport // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.2984-2987.

[235] Kogan S. Random telegraph noise in microstructures // Phys. Rev. Lett.

1998. V.81. P.2986-2989.

[236] Balakrishnan V., Van den Broeck C., Hanggi P. First-passage times of non-

Markovian processes: The case of a reflecting boundary // Phys. Rev. A 1988.

V.38. P.4213-4222.

[237] Doering C.R., Gadoua J.C. Resonant activation over a fluctuating barrier

// Phys. Rev. Lett. 1992. V.69. P.2318-2321.

[238] Zurcher U., Doering C.R. Thermally activated escape over fluctuating

barriers // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.3862-3869.

[239] Van den Broeck C. Simple stochastic model for resonant activation // Phys.

Rev. E 1993. V.47. P.4579-4580.

229

[240] Pechukas P., Hanggi P. Rates of activated processes with fluctuating barriers

// Phys. Rev. Lett. 1994. V.73. P.2772-2775.

[241] Reimann P. Thermally driven escape with fluctuating potentials: A new

type of resonant activation // Phys. Rev. Lett. 1995. V.74. P.4576-4579.

[242] Boguna M., Porra J.M., Masoliver J., Lindenberg K. Properties of resonant

activation phenomena // Phys. Rev. E 1998. V.57. P.3990-4002.

[243] Dybiec B., Gudowska-Nowak E. Influence of the barrier shape on resonant

activation // Phys. Rev. E 2002. V.66. P.026123-1-026123-6.

[244] Agudov N.V., Malakhov A.N. Decay of unstable equilibrium and

nonequilibrium states with inverse probability current taken into account

// Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6333-6342.

[245] Agudov N.V., Spagnolo B. Noise-enhanced stability of periodically driven

metastable states // Phys. Rev. E 2001. V.64. P.035102-1-035102-4(R).

[246] Mantegna R.N., Spagnolo B. Noise enhanced stability in an unstable system

// Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.563-566.

[247] Agudov N.V. Noise delayed decay of unstable states // Phys. Rev. E 1998.

V.57. P.2618-2625.

[248] Hirsch J.E., Huberman B.A., Scalapino D.J. Theory of intermittency //

Phys. Rev. A 1982. V.25. P.519-532.

[249] Dayan I., Gitterman M., Weiss G.H. Stochastic resonance in transient

dynamics // Phys. Rev. A 1992. V.46. P.757-761.

[250] Malakhov A.N., Pankratov A.L. Influence of thermal fluctuations on time

characteristics of a single Josephson element with high damping exact

solution // Physica C 1996. V.269. P.46-54.

230

[251] Apostolico F., Gammaitoni L., Marchesoni F., Santucci S. Resonant

trapping: A failure mechanism in switch transitions // Phys. Rev. E 1997.

V.55. P.36-39.

[252] Wackerbauer R. Noise-induced stabilization of one-dimensional

discontinuous maps // Phys. Rev. E 1998. V.58. P.3036-3044.

[253] Wackerbauer R. When noise decreases deterministic diffusion // Phys. Rev.

E 1999. V.59. P.2872-2879.

[254] Dan D., Mahato M.C., Jayannavar A. M. Mobility and stochastic resonance

in spatially inhomogeneous systems // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.6421-6428.

[255] Mahato M.C., Jayannavar A.M. Two-well system under large amplitude

periodic forcing: Stochastic synchronization, stochastic resonance and

stability // Mod. Phys. Lett. B 1997. V.11. P.815-820.

[256] Mahato M.C., Jayannavar A.M. Some stochastic phenomena in a driven

double-well system // Physica A 1998. V.248. P.138-154.

[257] Yoshimoto M., Kurosawa S., Nagashima H. Effect of noise on chaos in a

one-dimensional map // J. Phys. Soc. Jpn. 1998. V.67. P.1924-1929.

[258] Matsumoto K., Tsuda I. Noise-induced order // J. Stat. Phys. 1983. V.31.

P.87-106.

[259] Yoshimoto M. Noise effects on the one-dimensional return map of the high

flow rate chaos of the Belousov–Zhabotinsky reaction // Phys. Lett. A 2003.

V.312. P.59-64.

[260] Malakhov A.N. Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in

arbitrary potential profiles // Chaos 1997. V.7. P.488-504.

231

[261] Iwaniszewski J. Escape over a fluctuating barrier: Limits of small and large

correlation times // Phys. Rev. E 1996. V.54. P.3173-3184.

[262] Marchi M., Marchesoni F., Gammaitoni L., Menichella-Saetta E., Santucci

S. Resonant activation in a bistable system // Phys. Rev. E 1996. V.54.

P.3479-3487.

[263] Li J.H., Xing D.Y., Dong J.M., Hu B. Resonant activations for a fluctuating

barrier system driven by dichotomous noise and Gaussian white noise //

Phys. Rev. E 1999. V.60. P.1324-1328.

[264] Novotny T., Chvosta P. Resonant activation phenomenon for non-

Markovian potential-fluctuation processes // Phys. Rev. E 2000. V.63.

P.012102-1-012102-4.

[265] Iwaniszewski J., Kaufman I.K., McClintock P.V.E., McKane A.J.

Resonances while surmounting a fluctuating barrier // Phys. Rev. E 2000.

V.61. P.1170-1175.

[266] Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction-rate theory: Fifty years after

Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. V.62. P.251-341.

[267] Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотех-

нике. –М.: Сов.радио, 1961.

[268] Gammaitoni L., Hanggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance //

Rev. Mod. Phys. 1998. V.70. P.223-287.

[269] Mantegna R.N., Spagnolo B. Stochastic resonance in a tunnel diode in the

presence of white or coloured noise // Nuovo Cimento D 1995. V.17. P.873-

881.

232

[270] Mantegna R.N., Spagnolo B., Trapanese M. Linear and nonlinear

experimental regimes of stochastic resonance // Phys. Rev. E 2001. V.63.

P.011101-1-011101-8.

[271] Fiasconaro A., Ochab–Marcinek A., Spagnolo B., Gudowska–Nowak E.

Monitoring noise-resonant effects in cancer growth influenced by external

fluctuations and periodic treatment // Eur. Phys. J. B 2008. V.65. P.435-

442.

[272] McNamara B., Wiesenfeld K. Theory of stochastic resonance // Phys. Rev.

A 1989. V.39. P.4854-4869.

[273] Jung P., Hanggi P. Amplification of small signals via stochastic resonance

// Phys. Rev. A 1991. V.44. P.8032-8042.

[274] Stocks N.G. A theoretical study of the non-linear response of a periodically

driven bistable system // Nuovo Cimento D 1995. V.17. P.925-940.

[275] Casado-Pascual J., Gomez-Ordonez J., Morillo M., Hanggi P. Two-state

theory of nonlinear stochastic resonance // Phys. Rev. Lett. 2003. V.91.

P.210601-1-210601-4.

[276] Casado-Pascual J., Gomez-Ordonez J., Morillo M. Nonlinear stochastic

resonance with subthreshold rectangular pulses // Phys. Rev. E 2004. V.69.

P.067101-1-067101-4.

[277] Casado-Pascual J., Gomez-Ordonez J., Morillo M. Stochastic resonance:

Theory and numerics // Chaos 2005. V.15. P.026115-1-026115-12.

[278] Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов

и их преобразований. –М.: Сов. радио, 1978.

233

[279] Кузовлев Ю.Е., Бочков Г.Н. Операторные методы анализа стохастиче-

ских негауссовых процессов и систем // Изв. вузов. Радиофизика. 1976.

Т.20. P.1505-1515.

[280] Barone A., Paterno G. Physics and applications of the Josephson effect.

John Wiley, 1982. – 544p.

[281] Лихарев К.К. Введение в динамику джозефсоновских переходов. –М.:

Наука, 1985.– 320 с.

[282] Munakata T. Resonance in non-Markovian activation processes. II // Prog.

Theor. Phys. 1986. V.75. P.747-750.

[283] Магомедов М.Н. О роли вакансий в процессе самодиффузии при низких

температурах // Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып.10. С.64-71.

[284] Fulde P., Pietronero L., Schneider W.R., Strassler S. Problem of Brownian

motion in a periodic potential // Phys. Rev. Lett. 1975. V.35, No.26. P.1776-

1779.

[285] Risken H., Vollmer H.D. Correlation functions for the diffusive motion of

particles in a periodic potential // Z. Phys. B 1978. V.31. P.209-216.

[286] Dieterich W., Fulde P., Peschel I. Theoretical models for superionic

conductors // Adv. Phys. 1980. V.29. P.527-605.

[287] Santoro G., Scandolo S., Tosatti E. Charge-density waves and surface

Mott insulators for adlayer structures on semiconductors: Extended Hubbard

modeling // Phys. Rev. B 1999. V.59. P.1891-1901.

[288] Grote R.F., Hynes J.T. Energy diffusion-controlled reactions in solution //

J. Chem. Phys. 1982. V.77, No.7. P.3736-3743.

234

[289] Wiesenfeld K., Pierson D., Pantazelou E., Dames C., Moss F. Stochastic

resonance on a circle // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72, No.14. P.2125-2129.

[290] Kurrer Ch., Schulten K. Noise-induced synchronous neuronal oscillations //

Phys. Rev. E 1995. V.51, No.6. P.6213-6218.

[291] Медведев С.Ю., Саичев А.И. Точное вычисление коэффициента диф-

фузии фазы синхронизованного генератора // Радиотехника и электро-

ника. 1979. Т.24. В.10. С.2058-2061.

[292] Reguera D., Rubı J.M., Perez-Madrid A. Controlling anomalous stresses in

soft field-responsive systems // Phys. Rev. E 2000. V.62, No.4. P.5313-5317.

[293] Nixon G.I., Slater G.W. Entropic trapping and electrophoretic drift of a

polyelectrolyte down a channel with a periodically oscillating width // Phys.

Rev. E 1996. V.53, No.5. P.4969-4980.

[294] Risken H., Vollmer H.D. Brownian motion in periodic potentials; nonlinear

response to an external force // Z. Phys. B. 1979. V.33, No.3. P.297-305.

[295] Risken H. The Fokker-Planck equation. Springer, Berlin, 1984.

[296] Igarashi A., Munakata T. Non-Markovian Brownian motion in a periodic

potential // J. Phys. Soc. Japan. 1988. V.57, No.7. P.2439-2447.

[297] Igarashi A., McClintock P.V.E., Stocks N.G. Velocity spectrum for non-

Markovian Brownian motion in a periodic potential // J. Stat. Phys. 1992.

V.66. P.1059-1070.

[298] Festa R., d’Agliano E.G. Diffusion coefficient for a Brownian particle in a

periodic field of force: I. Large friction limit // Physica A. 1978. V.90, No.2.

P.229-244.

235

[299] Weaver D.L. Effective diffusion coefficient of a Brownian particle in a

periodic potential // Physica A. 1979. V.98. P.359-362.

[300] Guyer R.A. Dynamics of nonlinear systems: The heavy damping limit //

Phys. Rev. B 1980. V.21. P.4484-4499.

[301] Costantini G., Marchesoni F. Threshold diffusion in a tilted washboard

potential // Europhys. Lett. 1999. V.48. P.491-497.

[302] Lindner B., Kostur M., Schimansky-Geier L. Optimal diffusive transport in

a tilted periodic potential // Fluct. and Noise Lett. 2001. V.1. P.R25-R39.

[303] Reimann P., Van den Broeck C., Linke H., Hanggi P., Rubı J.M., Perez-

Madrid A. Giant acceleration of free diffusion by use of tilted periodic

potentials // Phys. Rev. Lett. 2001. V.87. P.010602-1-010602-4.

[304] Reimann P., Van den Broeck C., Linke H., Hanggi P., Rubı J.M., Perez-

Madrid A. Diffusion in tilted periodic potentials: Enhancement, universality,

and scaling // Phys. Rev. E 2002. V.65. P.031104-1-031104-16.

[305] Heinsalu E., Tammelo R., Ord T. Diffusion and current of Brownian

particles in tilted piecewise linear potentials: Amplification and coherence

// Phys. Rev. E 2004. V.69. P.021111-1-021111-7.

[306] Haljas A., Mankin R., Sauga A., Reiter E. Anomalous mobility of Brownian

particles in a tilted symmetric sawtooth potential // Phys. Rev. E 2004. V.70.

P.041107-1-041107-12.

[307] Doering C.R. Randomly rattled ratchets // Nuovo Cim. D 1995. V.17.

P.685-697.

[308] Astumian R.D. Thermodynamics and kinetics of a Brownian motor //

Science. 1997. V.276. P.917-922.

236

[309] Julicher F., Ajdari A., Prost J. Modelling molecular motors // Rev. Mod.

Phys. 1997. V.69. P.1269-1281.

[310] Abad E., Mielke A. Brownian motion in fluctuating periodic potentials //

Ann. Phys. (Leipzig). 1998. V.7. P.9-23.

[311] Reimann P. Brownian motors: Noisy transport far from equilibrium // Phys.

Rep. 2002. V.361. P.57-265.

[312] Reimann P., Hanggi P. Introduction to the physics of Brownian motors //

Appl. Phys. A. 2002. V.75. P.169-178.

[313] Astumian R.D., Hanggi P. Brownian motors // Physics Today. 2002. V.55.

P.33-39.

[314] Малахов А.Н. Эффект ускорения диффузии броуновских частиц вдоль

короткопериодного в пространстве быстрого случайного поля // Письма

в ЖТФ. 1998. Т.24. С.9-15.

[315] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнени-

ям. –М.: Наука, 1976. – 576 с.

[316] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников

и инженеров. –М.: Наука, 1973. – 831 с.

[317] Gang H., Daffertshofer A., Haken H. Diffusion of periodically forced

Brownian particles moving in space-periodic potentials // Phys. Rev. Lett.

1996. V.76. P.4874-4877.

[318] Schreier M., Reimann P., Hanggi P., Pollak E. Giant enhancement of

diffusion and particle selection in rocked periodic potentials // Europhys.

Lett. 1998. V.44. P.416-422.

237

[319] Reguera D., Reimann P., Hanggi P., Rubi J.M. Interplay of frequency-

synchronization with noise: Current resonances, giant diffusion and diffusion-

crests // Europhys. Lett. 2002. V.57. P.644-650.

[320] Astumian R.D., Bier M. Fluctuation driven ratchets: Molecular motors //

Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.1766-1769.

[321] Prost J., Chauwin J.-F., Peliti L., Ajdari A. Asymmetric pumping of

particles // Phys. Rev. Lett. 1994. V.72. P.2652-2655.

[322] Chauwin J.-F., Ajdari A., Prost J. Force-free motion in asymmetric

structures: A mechanism without diffusive steps // Europhys. Lett. 1994.

V.27. P.421-426.

[323] Chauwin J.-F., Ajdari A., Prost J. Current reversal in asymmetric pumping

// Europhys. Lett. 1995. V.32. P.373-378.

[324] Doering C.R. Stochastic ratchets // Physica A 1998. V.254. P.1-6.

[325] Astumian R.D. Adiabatic theory for fluctuation-induced transport on a

periodic potential // J. Phys. Chem. 1996. V.100. P.19075-19081.

[326] Parmeggiani A., Julicher F., Ajdari A., Prost J. Energy transduction of

isothermal ratchets: Generic aspects and specific examples close to and far

from equilibrium // Phys. Rev. E 1999. V.60. P.2127-2140.

[327] Makhnovskii Yu.A., Rozenbaum V.M., Yang D.-Y., Lin S.H., Tsong T.Y.

Flashing ratchet model with high efficiency // Phys. Rev. E 2004. V.69.

P.021102-1-021102-7.

[328] Розенбаум В.М. Механизм возникновения высокой эффективности бро-

уновского мотора с флуктуирующим потенциалом // Письма в ЖЭТФ.

2004. Т.79. С.475-479.

238

[329] Rozenbaum V.M., Korochkova T.Ye., Yang D.-Y., Lin S.H., Tsong T.Y. Two

approaches toward a high-efficiency flashing ratchet // Phys. Rev. E 2005.

V.71. P.041102-1-041102-8.

[330] Tsong T.Y., Astumian R.D. Absorption and conversion of electric field

energy by membrane bound atpases // Bioelectrochem. Bioenerg. 1986. V.15.

P.457-476.

[331] Markin V.S., Tsong T.Y., Astumian R.D., Robertson R.J. Energy

transduction between a concentration gradient and an alternating electric

field // J. Chem. Phys. 1990. V.93. P.5062-5066.

[332] Markin V.S., Tsong T.Y. Frequency and concentration windows for the

electric activation of a membrane active transport system // Biophys. J.

1991. V.59. P.1308-1316.

[333] Markin V.S., Tsong T.Y. Electroconformational coupling for ion transport

in an oscillating electric field: Rectification versus active pumping //

Bioelectrochem. Bioenerg. 1991. V.26. P.251-276.

[334] Chen Y., Tsong T.Y. On the efficiency and reversibility of active ligand

transport induced by alternating rectangular electric pulses // Biophys. J.

1994. V.66. P.2151-2158.

[335] Rozenbaum V.M., Yang D.-Y., Lin S.H., Tsong T.Y. Catalytic wheel as a

Brownian motor // J. Phys. Chem. B 2004. V.108. P.15880-15889.

[336] Bier M., Astumian R.D. Biasing Brownian motion in different directions in

a 3-state fluctuating potential and an application for the separation of small

particles // Phys. Rev. Lett. 1996. V.76. P.4277-4280.

[337] Derenyi I., Astumian R.D. ac separation of particles by biased Brownian

motion in a two-dimensional sieve // Phys. Rev. E 1998. V.58. P.7781-7784.

239

[338] Kettner C., Reimann P., Hanggi P., Muller F. Drift ratchet // Phys. Rev.

E 2000. V.61. P.312-323.

[339] Savel’ev S., Marchesoni F., Nori F. Manipulating small particles in mixtures

far from equilibrium // Phys. Rev. Lett. 2004. V.92. P.160602-1-160602-4.

[340] Rousselet J., Salome L., Ajdari A., Prost J. Directional motion of Brownian

particles induced by a periodic asymmetric potential // Nature (London)

1994. V.370. P.446-447.

[341] Faucheux L.P., Bourdieu L.S., Kaplan P.D., Libchaber A.J. Optical thermal

ratchet // Phys. Rev. Lett. 1995. V.74. P.1504-1507.

[342] Ertas D. Lateral separation of macromolecules and polyelectrolytes in

microlithographic arrays // Phys. Rev. Lett. 1998. V.80. P.1548-1551.

[343] Duke T.A.J., Austin R.H. Microfabricated sieve for the continuous sorting

of macromolecules // Phys. Rev. Lett. 1998. V.80. P.1552-1555.

[344] Chou C-F., Bakajin O., Turner S.W.P., Duke T.A.J., Chan S.S., Cox E.C.,

Craighead H.G., Austin R.H. Sorting by diffusion: An asymmetric obstacle

course for continuous molecular separation // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.

1999. V.96. P.13762-13765.

[345] Gorre-Talini L., Jeanjean S., Silberzan P. Sorting of Brownian particles by

the pulsed application of an asymmetric potential // Phys. Rev. E 1997.

V.56. P.2025-2034.

[346] Alcor D., Croquette V., Jullien L., Lemarchand A. Molecular sorting by

stochastic resonance // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2004. V.101. P.8276-

8280.

[347] Lee S.-H., Grier D.G. One-dimensional optical thermal ratchets // J. Phys.:

Condens. Matt. 2006. V.17. P.S3685-S3695.

240

[348] Zutic I., Fabian J., Das Sarma S. Spin injection through the depletion layer:

A theory of spin-polarized p-n junctions and solar cells. // Phys. Rev. B

2001. V.64. P.121201(R)-1–121201(R)-4.

[349] Sisianu S.T., Sisianu T.S., Railean S.K. Shallow p-n junctions formed in

silicon using pulsed photon annealing. // Semiconductors. 2002. V.36. P.581–

587.

[350] Reimann P. Supersymmetric ratchets. // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86.

P.4992–4995.

[351] Levy P. Theory de l’addition des variables Aleatoires. Gauthier–Villars,

Paris, 1937.

[352] Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм

независимых случайных величин. М.-Л.: ГТТИ, 1949.-264с.

[353] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R. Fundamentals of Levy

flight processes // Adv. Chem. Phys. 2006. V.133. P.439-496.

[354] Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые за-

коны // УФН. 2003. Т.173. С.847-876.

[355] Chechkin A., Gonchar V., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L. Stationary

states of non-linear oscillators driven by Levy noise // Chem. Phys. 2002.

V.284. P.233-251.

[356] Chechkin A.V., Gonchar V.Yu., Klafter J., Metzler R., Tanatarov L.V. Levy

flights in a steep potential well // J. Stat. Phys. 2004. V.115. P.1505-1535.

[357] Chechkin A.V., Klafter J., Gonchar V.Yu., Metzler R., Tanatarov L.V.

Bifurcation, bimodality, and finite variance in confined Levy flights // Phys.

Rev. E 2003. V.67. P.010102(R)-1-010102(R)-4.

241

[358] Kramers H.A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model

of chemical reactions // Physica 1940. V.7. P.284-304.

[359] Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction rate theory: Fifty years after

Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990. V.62. P.251-342.

[360] Fiasconaro A., Spagnolo B., Boccaletti S. Signatures of noise-enhanced

stability in metastable states // Phys. Rev. E. 2005. V.72. P.061110-1-061110-

5.

[361] Ditlevsen P.D. Observation of α-stable noise induced millennial climate

changes from an ice-core record // Geophys. Res. Lett. E 1999. V.26. P.1441-

1444.

[362] Fajans J., Schmidt A. Malmberg-Penning and Minimum-B trap

compatibility: The advantages of higher-order multipole traps // Nucl.

Instrum. and Methods in Phys. Res. A. 2004. V.521. P.318-325.

[363] Gitterman M. Mean first passage time for anomalous diffusion // Phys. Rev.

E. 2000. V.62. P.6065-6070.

[364] Yuste S.B., Lindenberg K. Comment on “Mean first passage time for

anomalous diffusion” // Phys. Rev. E. 2004. V.69. P.033101-1-033101-2.

[365] Chechkin A.V., Sliusarenko O.Yu., Metzler R., Klafter J. Barrier crossing

driven by Levy noise: Universality and the role of noise intensity // Phys.

Rev. E 2007. V.75. P.041101-1-041101-11.

[366] Медведев С.Ю. Точное разложение корреляционной функции произ-

вольного стационарного марковского процесса // Изв. вузов. Радиофи-

зика. 1977. Т.20. С.1241-1244.

[367] Саичев А.И. Об одном методе отыскания временных характеристик

марковских процессов // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т.17. С.864-868.

242

[368] Malakhov A.N. Time scales of overdamped nonlinear Brownian motion in

arbitrary potential profiles // Chaos. 1997. V.7. P.488-504.

[369] Chechkin A., Metzler R., Gonchar V., Klafter J., Tanatarov L. First passage

and arrival time densities for Levy flights and the failure of the method of

images // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V.36. P.L537-L544.

[370] Chechkin A., Gonchar V., Klafter J., Metzler R. Barrier crossing of a Levy

flight // Europhys. Lett. 2005. V.72. P.348-354.

[371] Augello G., Valenti D., Spagnolo B. Non-Gaussian noise effects in the

dynamics of a short overdamped Josephson junction // Eur. Phys. J. B 2010.

V.78. P.225-234.

[372] Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и

применение в физике, химии и биологии. –М.: Мир, 1987. - 832 с.

[373] Eigen M., Schuster P. The Hypercycle: A Principle of Natural Self-

Organization. Berlin - N.Y.: Springer-Verlag, 1979. - 92 p.

[374] Brauer F., Castillo-Chavez C. Mathematical Models in Population Biology

and Epidemiology. 2nd ed. Springer, 2011.

[375] Ogata H. Logistic equations in nonlinear systems // Phys. Rev. A 1983.

V.28. P.2296-2299.

[376] Eigen M. Selforganization of Matter and the Evolution of Biological

Macromolecules // Naturwissenschaften. 1971. V.58. P.465-523.

[377] Das A.K. A stochastic approach to the freezing of supercooled liquids //

Can. J. Phys. 1983. V.61. P.1046-1049.

[378] McNeil K.J., Walls D.F. Nonequilibrium phase transitions in chemical

reactions // J. Stat. Phys. 1974. V.10. P.439-448.

243

[379] Schlogl F. Chemical reaction models for non-equilibrium phase transitions

// Z. Physik. 1972. V.253. P.147-161.

[380] Chaturvedi S., Gardiner C.W., Walls D.F. Exact Fokker-Planck equations

from stochastic master equations // Phys. Lett. A 1976. V.57. P.404-406.

[381] Gardiner C.W., Chaturvedi S. The Poisson representation. I. A new

technique for chemical master equations // J. Stat. Phys. 1977. V.17. P.429-

468.

[382] Leung H.K. Transient properties of a constrained aucatalytic reacting

system perturbed by external white noises // J. Chem. Phys. 1987. V.86.

P.6847-6851.

[383] Morita A. An exact expression for the average value of the population

governed by the stochastic Verhulst equation // J. Chem. Phys. 1982. V.76.

P.4191-4194.

[384] Ciuchi S., de Pasquale F., Spagnolo B. Nonlinear relaxation in the presence

of an absorbing barrier // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.3915-3926.

[385] Matis J.H., Kiffe T.R. Stochastic Population Models: A Compartmental

Perspective. –N.Y.: Springer, 2000. - 212 p.

[386] Acedo L. A second-order phase transition in the complete graph stochastic

epidemic model // Physica A 2006. V.370. P.613-624.

[387] Bao-Quan Ai, Xian-Ju Wang, Guo-Tao Liu, Liang-Gang Liu. Correlated

noise in a logistic growth model // Phys. Rev. E 2003. V.67. P.022903-1-

022903-3.

[388] Wei-Rong Zhong, Yuan-Zhi Shao, Zhen-Hui He. Influence of correlated

noises on growth of a tumor in a modified Verhulst model // Fluct. Noise

Lett. 2006. V.6. P.L349-L358.

244

[389] Музычук О.В. Аналитико-численное построение нестационарных веро-

ятностных распределений для одного класса нелинейных стохастических

систем // Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т.43. С.827-834.

[390] Zyga llo R. Verhulst-type kinetics driven by white shot noise: Exact solution

by direct averaging // Phys. Rev. E 1993. V.47. P.106-117.

[391] Calisto H., Bologna N. Exact probability distribution for the Bernoulli-

Malthus-Verhulst model driven by a multiplicative colored noise // Phys.

Rev. E 2007. V.75. P.050103-1-050103-4.

[392] Zyga llo R. Kinetics of a Verhulst-type system with nonlinearly coupled noise

// Phys. Rev. E 1996. V.54. P.5964-5968.

[393] Zyga llo R. Power-law distribution as a result of asynchronous random

switching between Malthus and Verhulst kinetics // Phys. Rev. E 2008. V.77.

P.021130-1-021130-4.

[394] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. –М.:

Мир, 1984. - 751 с.

245