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FILTROS ACTIVOS

Definición:

Un filtro eléctrico es un cuadripolo capaz de atenuar determinadasfrecuencias del espectro de la señal de entrada y permitir el paso de lasdemás.

Se denomina espectro de una señal a su descomposición en una escala deamplitudes respecto de la frecuencia, y se hace por medio de las series deFourier o con el analizador de espectro. Obsérvese que mientras elosciloscopio es un instrumento que analiza la señal en relación con eltiempo, el analizador lo hace por medio de las series de Fourier o con elanalizador de espectro. Obsérvese que mientras el osciloscopio es uninstrumento que analiza la señal en relación con el tiempo, el analizador lohace con relación a la frecuencia.

En el presente capítulo estudiaremos los filtros activos cuando la señal quese aplica a la entrada es senoidal.

VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LOS FILTROS ACTIVOS

En comparación con los pasivos, los filtros activos poseen una serie deventajas:

a.Permiten eliminar las inductancias que, en bajas frecuencias, sonvoluminosas, pesadas y caras.

b.Facilitan el diseño de filtros complejos mediante la asociación deetapas simples.

c.Proporcionan una gran amplificación de la señal de entrada(ganancia), lo que es importante al trabajar con señales de niveles muybajos.

d. Permiten mucha flexibilidad en los proyectos.

Por otro lado, tienen una serie de inconvenientes:

a. Exigen una fuente de alimentación.

b.Su respuesta de frecuencia está limitada por la capacidad de los AOutilizados.

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c.Es imposible su aplicación en sistemas de media y alta potencia (porejemplo, en los filtros que emplean los conversores e inversoresconstruidos con tiristores que se utilizan en la industria).

A pesar de estas limitaciones, los filtros activos prestan cada vez un mayorservicio en el campo de la electrónica, especialmente en las áreas deinstrumentación y telecomunicaciones.Dentro de la primera esinteresante destacar la electromedicina o bioelectrónica, cuyos equiposhacen gran uso de ellos, principalmente cuando operan en bajasfrecuencias.

CLASIFICACION:

Los filtros pueden clasificarse atendiendo a tres aspectos:

---

a la función que llevan a cabo,a la tecnología empleada,a la función matemática utilizada para conseguir la curvade respuesta.

Al primer grupo pertenecen los cuatro tipos siguientes:

I FUNCION QUE LLEVAN A CABO

a. Filtro pasa bajo (PB) Sólo permite el paso de las frecuencias inferiores a una determinadafc (denominada de corte). Las frecuencias superiores resultan atenuadas.

Filtro pasa alto (PA) Deja pasar las frecuencias que se hallan por encima de unadeterminada fc (de corte) atenuando las inferiores.

Filtro pasa banda (PBANDA) Permite el paso de las frecuencias situadas dentro de una bandadelimitada por una frecuencia de corte inferior (fc1) y otra superior (fc2).Las frecuencias que estén fuera de esta banda son atenuadas.

Filtro de rechazo de banda (RB) Permite el paso de las frecuencias inferiores o superiores a dosfrecuencias determinadas, que se denominan de corte inferior (fc1) ysuperior (fc2), respectivamente.Son atenuadas las frecuenciascomprendidas en la banda que delimitan fc1 y fc2.

d.

c.

b.

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Dentro del segundo grupo los filtros se clasifican atendiendo a latecnología empleada:

II TECNOLOGIA EMPLEADA

a: Filtros pasivos:

Están construidos exclusivamente con elementos pasivos comoresistencias, condensadores y bobinas. Estos filtros son inviables en bajasfrecuencias al exigir inductancias muy grandes.

b. Filtros activos:

Constan de elementos pasivos asociados a otros activos (válvulas,transistores o amplificadores operacionales).

La primera generación de estos filtros utilizaba las válvulas, por loque tenían un consumo de potencia muy alto, ruidos, baja ganancia, etc..

La segunda empleaba transistores como elementos activos y,aunque tenía más ventajas que la anterior, no tenía unas característicasenteramente satisfactorias.

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La tercera generación, objeto de nuestro estudio, utiliza losamplificadores operacionales. La alta resistencia de entrada y la bajaresistencia de salida de los AOP’s, además de otras características,permiten la realización de filtros con cualidades óptimas.

c. Filtros digitales:

Estos filtros llevan componentes digitales. La señal analógica esconvertida en digital mediante un sistema de conversión A/D. La señalbinaria resultante se trata en el filtro digital y a continuación sereconvierte en analógica en un conversor D/A. Estos filtros son útiles paraprocesar simultáneamente muchos canales de transmisión.

III FUNCIONES MATEMATICAS

Para finalizar, el tercer grupo de la clasificación hacía referencia a lafunción matemática (o aproximación) utilizada para proyectar el filtro. Unestudio detallado de este tema escapa a nuestras intenciones, ya queexige un tratamiento matemático complejo y de interés puramente teórico.

Los tipos más comunes de aproximaciones son los siguientes:

---

Butterworth.Chebyshev.Cauer.

Cada uno tiene una función matemática específica que permiteaproximar su curva de respuesta a la ideal de cada tipo de filtro. En lassecciones siguientes se estudiarán los dos primeros, por ser los mássencillos y los más utilizados en la práctica.La función de Cauer,denominada también elíptica, es la de mayor exactitud, pero sucomplejidad impide abordarla con detalle.

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FILTRO PASA BAJO BÁSICO (PB)Primer Orden

Es aquel que deja pasar una señal bajo ciertas frecuencias límites.

Rf

AV= 1+(Rf / R1)

R1

+V

R

Vi

-V

C VO

Vi

R

VO

C

PasivoEcuaciones 1VOjWC = 1VI

1+ jWC

VO1 =V I 1 + jWRC

Activo

Angulo V⟨ O ⟩ = −tg −1WRC VI

MagnitudVO1 =VI1 + ( jWRC ) 2

siVO1 =VI2

(- 3db) se produce la frecuencia

de corte

1

2= 1

1 + ( jWRC ) 2

/()2

1W = RC

f = 12πRC Ecuación de Diseño

Procedimiento de Diseño1. Defina una frecuencia de corte fO2. Defina C; elija el valor adecuado, comprendido entre 100 pf y 0,1 µf3. Calcule R 6

FILTROS BUTTERWORTH PASA BAJOS

En diversas aplicaciones de los filtros pasa bajos se necesita que laganancia de lazo cerrado se aproxime lo más posible a 1 dentro de labanda de paso. Para este tipo de aplicación, lo mejor es el filtroButterworth. A este tipo de filtro también se le conoce como filtromáximamente plano o plano-plano. Todos los filtros utilizados en estasección serán del tipo Butterworth. A continuación se muestra en la figurala respuesta a la frecuencia ideal (línea continua) y la respuesta a lafrecuencia real (línea punteada), de tres tipos de filtros Butterworth.Conforme las atenuaciones se van volviendo más pronunciadas, podemosobservar que se acerca más al filtro ideal.

Para obtener un filtro de -40 db/dec se podrían acoplar dos filtros activossimilares, sin embargo este no es el diseño más económico, ya que paraello se necesitan dos amplificadores operacionales.A continuación veremos como construir un filtro Butterworth de -40 db/dec(2° Orden), con un Amplificador Operacional.

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Para obtener un filtro de -60 db/dec se podrían acoplar tres filtros activossimilares, sin embargo este no es el diseño más económico, ya que paraello se necesitan tres amplificadores operacionales. Se podría construir conun filtro de -40 db/dec, conectado en cascada con un filtro de -20 db/dec.

Los filtros Butterworth no se diseñan para mantener un ángulo de faseconstante en la frecuencia de corte. El filtro pasa bajo básico de – 20db/dec, tiene un ángulo de fase de -45° en la frecuencia de corte. El filtroButterworth de -40 db/dec, tiene un ángulo de fase de -90° en lafrecuencia de corte y el filtro de -60 db/dec, tiene un ángulo de fase de -135° en la frecuencia de corte, es decir cada aumento de -20 db/dec en lapendiente, aumenta la fase en -45°.

FILTROS PASA BAJOS DE SEGUNDO ORDENButterworthPendiente: -40 db/dec

C1=2C2

VO

R1=R

+V

V R2=R

VI

C2

-V

RF= 2R

VO

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Ecuaciones

VI − V V − VO V − VO

=+ 1R1R2

jwc1

1 jwc 2

VO = V × R2 + 1 jwc 2

Desarrollando encontramos la relación H ( s ) =VO

VI

H (s) = VO

=VI

S

2

1 R 1 R 2 C 1C 2

C R + C 2 R11+ S 2 2+ R 1 R 2 C 1C 2R 1 R 2 C 1C 2

Esta ecuación puede ser comparada con la siguiente ecuación normalizadade segundo orden:

H (s) = K 2S 2 + 2ξwn S + wn

wn = 1

R1 R2 C1C 2

donde ξ = factor de amortiguación y wn = frecuencia natural

Por comparación, tenemos que:

para diseño ξ = 0,707 y además se deben cumplir las siguientesrelaciones:

C1 = 2C2 y R1 = R2 = R

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Por lo que la ecuación de diseño, queda como sigue:

fn = 1

2πRC 2 2 Ecuación de Diseño

Procedimiento de Diseño

1. Defina una frecuencia de corte

2.3.4.5.

fn

Defina C1; elija el valor adecuado, comprendido entre 100 pf y 0,1 µfDefina C1 = 2C2

Calcule RCalcule RF = 2R

Ej. Dado una f n = 10 KHz y si elegimos C1 = 1,1nf, podemos calcular C2 =2,2nf y de la ecuación anterior despejamos el valor de R, quedando éstecomo sigue R1 = R2 = R = 10 KΩ y RF = 20 KΩ

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FILTRO BUTTERWORTH PASA BAJOS -60db/dec

El filtro pasa bajos de la figura, se construye mediante un filtro de pasabajos de -40 db/dec conectado en cascada con otro de -20 db/dec, paraobtener así una atenuación total de -60 db/dec. La ganancia del lazocerrado total, es la ganancia del primer filtro multiplicado por la gananciadel segundo filtro.

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FILTROS BUTTERWORTH PASA ALTOS

Los filtros pasa altos son circuitos que atenúan todas las señales cuyafrecuencia está por debajo de una frecuencia de corte específica, f, y pasatodas aquellas señales cuya frecuencia es superior a la frecuencia de corte.Es decir, el filtro pasa altos funciona en forma contraria al filtro pasa bajos.La figura muestra a continuación una gráfica de la magnitud de laganancia de lazo cerrado en función de w para tres tipos de filtrosButterworth. El ángulo de fase de un circuito de +20 db/dec es 45° para lafrecuencia w.

FILTRO PASA ALTOS (PA)Primer Orden

Pasivo Activo

C

Vi VO

C

Vi R

RF=R

+V

AV= 1

-VR

VO

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EcuacionesVOR = iVI

1+ jwc

VOjwrc =VI 1 + jwcAngulo V⟨ O ⟩ = 90 − tg −1 wrc VI

Magnitud

VOwrc =VI1 + ( jwrc ) 2

1

2= wrc

1 + ( wrc) 2

/()2

siVO1 =VI2

( - 3db) se produce la frecuencia de

corte

1W = RC

1f = 2πRC

Ecuación de Diseño

Procedimiento de Diseño

1. Defina una frecuencia de corte fO2. Defina C; elija un valor adecuado para C comprendido entre 100 pf y 0,1 µf3. Calcule R

Ej. Diseñar un filtro pasa altos de primer orden cuya frecuencia de corte esde 1 KHzSi C = 16 KpfR = 10 KΩ

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RF=R=10KΩ

+V

16 Kpf AV= 1

-VC

Vi R = 10 KΩ VO

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FILTROS BUTTERWORTH PASA ALTOS DE SEGUNDO ORDENPendiente: +40 db/dec

R1

VO

C1

V

+V

VI

C2

R2

-V

RF=R2

VO

EcuacionesVI − V V − VO V − VO

=+ 11R1

jwc1jwc 2

VO = V × R2

R2 + 1jwc 2

Desarrollando encontramos la relación H ( s ) =VO

VI

VH (s) = O = VI

S

2

KS 2

C R + C 2 R11+ S 1 1+ R 1 R 2 C 1C 2R 1 R 2 C 1C 2

Esta ecuación puede ser comparada con la siguiente ecuación normalizadade segundo orden:

KS 2

H (s) = 22S + 2ξwn S + wn

donde ξ = factor de amortiguación y wn = frecuencia natural

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Por comparación, tenemos que: wn = 1

R1 R2 C1C 2

Para diseño ξ = 0,707 y además se deben cumplir las siguientesrelaciones:

C1 = C2 = C y R1 = 2R2

Por lo que la ecuación de diseño, queda como sigue:

1fn = 2πR1C 2

Procedimiento de Diseño

Ecuación de Diseño

4. Defina una frecuencia de corte fO5. Defina C; elija el valor adecuado, comprendido entre 100 pf y 0,1 µf6. Calcule R1 Y R2.

Ej. Diseñar un filtro activo pasa altos de segundo orden a una frecuenciade operación de 10 KHzSea R1 = 10 KΩ ∴ R2 = 20 KΩ y C1 = C2 = C = 1,1 Kpf

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FILTROS BUTTERWORTH PASA ALTOS DE +60 db/dec

Al igual que en el filtro pasa bajos de -60 db/dec, este filtro se obtieneconectando en cascada un filtro de +40 db/dec con otro de +20 db/dec.

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FILTROS PASA BANDA

Los filtros pasa banda son selectores de frecuencia. Permiten a uno elegiro pasar sólo una determinada banda de frecuencias de entre todas lasfrecuencias que puede haber en un circuito. En la siguiente figura se puedeapreciar la respuesta de frecuencia normalizada de este filtro. Este tipo defiltros tiene una ganancia máxima en la frecuencia de resonancia fr. Dadoque se trata de un filtro “normalizado”, se trabajará con ganancia unitariaa fr y las frecuencias de corte estarán ubicadas 0,707 del valor máximo.

DEFINICIONES

Ancho de Banda: Al rango de frecuencias comprendidas entre fl y fh se leconoce como ancho de banda, Bw o

Bw = fh – fl

El ancho de banda no se encuentra centrado justamente en la frecuenciade resonancia. (Por ello se utilizará el nombre de “frecuencia resonante” yno el de “frecuencia central”, para referirse a la fr.Si se conocen los valores de fl y de fh, la frecuencia resonante se puedecalcular mediante la siguiente expresión:

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fr = fh × fl

Si se conoce la frecuencia resonante fr y el ancho de banda Bw, mediantela siguiente ecuación se calculan las frecuencias de corte:

fl = 2BwB + f r2 − w

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fh = fl + Bw

Factor de Calidad: El factor de calidad, Q, se define como la relaciónentre la frecuencia resonante y el ancho de banda, es decir:

fr

Bw

Q es la medida de la selectividad del filtro pasa banda. Un valor elevado deQ indica que el filtro selecciona una banda de frecuencias más reducidas(más selectivo).

Q=

CIRCUITO DE UN FILTRO PASA BANDA. (De banda angosta)

C1

+v

R1

VI

R2 = 2R1

C2

-v

R3

VO

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AnálisisCircuito equivalente

V

R1i1

i3

i2

C2

C1i2

VI VO VO R2

Tierra VirtualTierra Virtual

ECUACIONES

V − VOVI − VV += 11R1

SC 2SC1

Vi2 = O

R2

(1)

(2)

Desarrollando

1VOR1C1

=VI1 11 1 S2 + S+ + R2 C1 C 2 R1 R2 C1C 2

−S

Donde fr = 1

2π R1 R2 C1C 2

R1 = R2Q y R2 = 2QR

VO

= −2Q 2

VI

Normalizando para diseño y C1 = C 2 = C

la ganancia del circuito, que es la relación

fr = 12πRC

A medida que Q aumente, la ganancia aumentará en forma cuadrática.

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El circuito normalizado para diseño es:

C

+v

R1=R/2Q

VI

R2 = 2Q∗R

C-v

VO

R3=2Q∗R

Ej. Diseñar un filtro pasa banda activo para una frecuencia resonante (fr)de 1 KHz con Q = 1Sea R = 10 KΩ 1 C = C1 = C 2 == 16 Kpf 2π 10 310 4

10 4

y R1 == 5 KΩ 2Q

y R2 = 10 4 ∗ 2Q = 20 KΩ

FILTRO DE BANDA ANCHA BÁSICO

Configuración en cascada

Cuando se conecta en serie la salida de un circuito con la entrada de unsegundo circuito, se dice que las etapas de ganancia están en cascada. Enla figura que se muestra a continuación, en la primera etapa está un filtropasa bajos de 3000 Hz. Su salida se conecta con la entrada de un filtropasa altos de 300 Hz. Este par de filtros activos conectados en cascad,forman así un filtro pasa banda.

CIRCUITO DEL FILTRO DE BANDA ANCHAEn general, para construir un filtro pasa banda ( Q ≤ 0,5 ) se conecta encascada un filtro pasa bajos un filtro pasa altos. Es importante que lasfrecuencias no se traslapen, y que ambas tengan la misma ganancia enbanda de paso. Además, la frecuencia de corte del filtro pasa bajos debeser 10 veces o más la frecuencia de corte del pasa altos.El filtro de banda ancha obtenido mediante los filtros pasa bajos y pasaaltos conectados en cascada tienen las siguientes características:

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1. La frecuencia de corte inferior, fl, esta determinada sólo por el filtropasa altos2. La frecuencia de corte superior, fh, está definida exclusivamente por elfiltro pasa bajos.3. La ganancia tendrá su máximo valor, en la frecuencia resonante, fr, y suvalor será el mismo que la ganancia de banda de paso de cualquiera de losfiltros anteriores.

0,01 µf

+V

7,5KΩ 7,5KΩ

-V

0,005 µf

0,05 µf

7,5KΩ

0,05 µf

VI

VO

15KΩ

PASA BAJOS (f= 3000Hz) PASA ALTOS (f=300Hz)

RESPUESTA EN FRECUENCIA DEL CIRCUITO PASA BANDA

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FILTROS SUPRESORES DE BANDA o FILTROS NOTCH

El nombre de filtro de rechazo de banda o supresor de banda o filtro demuesca, se debe a la forma característica de su curva de respuesta a lafrecuencia, la cual se muestra a continuación.

FIGURA El filtro de muesca transmite las frecuenciasde la banda de paso y elimina frecuencias indeseadas, presentes en la banda de paso

Las frecuencias indeseables se atenúan en la banda de rechazo, BW. Lasfrecuencias deseadas sí se transmiten y son las que se encuentran dentrode las bandas que están a ambos lados de la muesca.Por lo general la ganancia de la banda de paso de los filtros supresores esde 1 o 0 db.Las ecuaciones correspondientes a Q, BW, fl, fh y fr son idénticas a la delfiltro pasa banda correspondiente.

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TEORÍA DE UN FILTRO SUPRESOR DE BANDA

Como se muestra en la figura, los filtros supresores se construyenrestando la salida de un filtro pasa banda a la señal original.

Para las frecuencias que están en la banda de paso del filtro supresor, lasalida de la sección del filtro pasa banda se aproxima a cero. Por lo tanto,la entrada Ei se transmite a través de la resistencia de entrada sumadora,R1, con lo que VO adquiere un valor igual a -Ei. Por lo tanto, VO = - Ei,tanto en la banda de paso superior como en la inferior del filtro

PARA QUE SIRVE UN FILTRO SUPRESOR

En las aplicaciones en las que se necesita amplificar señales de bajo nivel,existe la posibilidad de que haya una o varias señales de ruidoindeseables. Por ejemplo, las frecuencias de 50,60 o 400 Hz de las líneasde suministro eléctrico; el rizado de 100 Hz que producen los rectificadoresde onda completa, o incluso, frecuencias más altas que generan lasfuentes de alimentación reguladas conmutadas o los osciladores de reloj.Si ambas señales y un componente de ruido de la misma frecuencia sepasan por el filtro supresor, únicamente saldrá del filtro las señalesdeseadas. La frecuencia de ruido se suprime con la muesca.

A continuación un ejemplo de cómo construir un filtro supresor paraeliminar un zumbido de 120 Hz.

Se elige una Banda de rechazo de 12 Hz. La ganancia del filtro supresor enla banda de paso es de uno ( 0 db), por lo que las señales deseadas setransmiten sin atenuaciones. Mediante la siguiente ecuación, calculamos el

valor de Q: f r 120Q=== 10 BW 12

Un valor de Q tan elevado como el anterior indica que:

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1. Los filtros supresores y pasa banda empleado tienen bandas angostas y curvas de respuestas a la frecuencia muy pronunciadas.2. El ancho de banda básicamente se concentra alrededor de la frecuencia resonante. Es decir, este filtro transmitirá las frecuencias que vayan de 0 a (120-6)=114 Hz y todas las frecuencias que sean mayores a (120+6)=126 Hz. El filtro detendrá todas las frecuencias comprendidas entre 114 y 126 Hz.

PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR UN FILTRO SUPRESOR

1. Construya un filtro pasa banda que tenga la misma frecuencia resonante, ancho de banda, y en consecuencia el Q del filtro supresor.2. Conecte el sumador inversor, como indica la figura a continuación, eligiendo resistencias iguales para R. Por lo general R = 10KΩ. R3. Calcule Rr de la siguiente manera Rr = 2Q 2 − 1

CIRCUITO PROPUESTO

Para el diseño del filtro pasa banda f0.1591 BW = rBW = QRC

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La ganancia tiene un valor máximo de uno cuando la frecuencia es fr,

siempre y cuando la resistencia de realimentación 2R sea el doble del valorde la resistencia de entrada R.La frecuencia resonante fr se determina mediante la resistencia Rr de Racuerdo con la siguiente ecuación: Rr = 2Q 2 − 1Si se dispone de los valores de los componentes del circuito, la frecuenciaresonante se calcula mediante la siguiente ecuación: 0.1125R fr =× 1+ RCRr

Solución:

Elija C = 0,33 µf

Calcule R= 0.15910.1591 == 40.2 KΩ BW C(12)(0.33 × 10 −6 )

La resistencia de realimentación de paso será 2R = 80.4 KΩ

Y Rr = 40.2 KΩ40.2kΩR === 201Ω 1992Q 2 − 1 2(10) 2 − 1

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OTRAS MALLAS PARA LA CONSTRUCCION DE FILTROS SUPRESORES

FILTRO PASIVO NOTCH

R R

VIC

R/2

2C

C VO

Donde

1fr = 2πRC

ecuación de diseño

FILTRO ACTIVO NOTCH

El Amplificador Operacional está conectado básicamente como seguidor devoltaje (ganancia unitaria)La pendiente del filtro dependerá directamente del Q del circuito.Q en este caso esta dado por: RC1 yQ= 2 = 1fr = 2 R1 C 22πR1C1

Ej. Diseñar un filtro Notch para f =50 Hz con Q = 5

Dado C1 = 0,1 µf se calcula R1 =

Valor comercial R1 = 33 KΩ C∴ C 2 = 1 = 0,02µfy Q

1 = 31.830Ω2πf r C1

R2 = 2 R1Q = 330 KΩ

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2C1

0,1 µf0,2 µf

R1/2 15 KΩ

0,1 µf

C1 C1+V

33 KΩ 33 KΩ -V

330 KΩ 330 KΩVI

VO

R1 R1

R2

0,02 µfR2

C2

TABLA RESUMEN

ORDEN DEL FILTRO

123456

PENDIENTEPASA BAJOS

- 6 db/dec- 12 db/dec- 18 db/dec- 24 db/dec- 30 db/dec- 36 db/dec

PENDIENTEPASA BANDA oSUPRESOR DE BANDA

±6 db/dec

±12 db/dec

±18 db/dec

PENDIENTEPASA ALTOS

+6 db/dec+12 db/dec+18 db/dec+24 db/dec+30 db/dec+36 db/dec