-
Upotreba matematike uinformacionim sistemimaUpotreba matematike
uinformacionim sistemima
Studenti: Jovan Popovi 200856Stefan Janiijevi 201069
Profesor:Doc.Dr Ivana Kosti Kovaevi
-
Istorija razvoja raunarskih alata imaina
Tokom vremena razvijan je irok spektar alata i tehnika
odmehanikih alata za raunanje Abacusa, prekomehanikih i
elektromehanikih kalkulatora do prvihelektronskih i savremenih
mikroprocesorskih digitalnihraunara. Abacus je najstariji (4.000
godina p.n.e u Vavilonu)mehaniki alat za raunanje, a koristili su
ga azijski narodi zaaritmetike operacije. Etimoloki re abacus
datira iz 1387,a znai raunanje na peanoj podlozi. Prvi
originaliizraivani su od glinenih, ili kamenih ploica koje
supomerane u pesku, na drvenoj kamenoj, ili metalnoj tabli.Danas se
abacus dizajnira u drvenom okviru sa po 10kuglica nanizanih na 10
redova paralelno postavljenih ica ,a koriste ga trgovci u Kini,
Japanu, Africi, Indiji itd.
Tokom vremena razvijan je irok spektar alata i tehnika
odmehanikih alata za raunanje Abacusa, prekomehanikih i
elektromehanikih kalkulatora do prvihelektronskih i savremenih
mikroprocesorskih digitalnihraunara. Abacus je najstariji (4.000
godina p.n.e u Vavilonu)mehaniki alat za raunanje, a koristili su
ga azijski narodi zaaritmetike operacije. Etimoloki re abacus
datira iz 1387,a znai raunanje na peanoj podlozi. Prvi
originaliizraivani su od glinenih, ili kamenih ploica koje
supomerane u pesku, na drvenoj kamenoj, ili metalnoj tabli.Danas se
abacus dizajnira u drvenom okviru sa po 10kuglica nanizanih na 10
redova paralelno postavljenih ica ,a koriste ga trgovci u Kini,
Japanu, Africi, Indiji itd.
-
Blaise Pascal (16231662),francuski matematiar,fiziar i
religijski filozof, 1642 je konstruisaomehaniki kalkulator, koji
radi sa osmocifrenimbrojevima. Primarno izvanredan
matematiar,Paskal se posebno zalagao u odbrani naunogmetoda. U 18oj
godini ivota konstruisaomehaniki kalkulator nazvan Paskalin, koji
jemogao sabirati i oduzimati. Usavravajui ureajPaskal je ukupno
razvio 15 razliitih varijantimehanikih kalkulatora.
Blaise Pascal (16231662),francuski matematiar,fiziar i
religijski filozof, 1642 je konstruisaomehaniki kalkulator, koji
radi sa osmocifrenimbrojevima. Primarno izvanredan
matematiar,Paskal se posebno zalagao u odbrani naunogmetoda. U 18oj
godini ivota konstruisaomehaniki kalkulator nazvan Paskalin, koji
jemogao sabirati i oduzimati. Usavravajui ureajPaskal je ukupno
razvio 15 razliitih varijantimehanikih kalkulatora.
-
Charles Babbage (17911871), britanski matematiar ipronalaza. Kao
profesor matematike na Univerzitetu uKembridu, dizajnirao je i
izgradio mehanike raunarskemaine na principima prihvaenim u
modernimelektronskim raunarima. U toku 1820ih poeo je
razvojDiferencne maine (Difference Engine) mehanikogureaja koji moe
izvravati jednostavne matematikeoperacije, ali je nije zavrio
(1823), zbog nedostatkafinansijskih sredstava. Poetkom 1830e
Babbage je poeorazvoj svoje Analitike maine koja je dizajnirana da
izvravamnogo kompleksnije proraune. Ovaj ureaj je bionamenjen za
izvoenje bilo kog rauna sa tanou do 20cifara, ali ga pronalaza
nikada nije izgradio.
Charles Babbage (17911871), britanski matematiar ipronalaza. Kao
profesor matematike na Univerzitetu uKembridu, dizajnirao je i
izgradio mehanike raunarskemaine na principima prihvaenim u
modernimelektronskim raunarima. U toku 1820ih poeo je
razvojDiferencne maine (Difference Engine) mehanikogureaja koji moe
izvravati jednostavne matematikeoperacije, ali je nije zavrio
(1823), zbog nedostatkafinansijskih sredstava. Poetkom 1830e
Babbage je poeorazvoj svoje Analitike maine koja je dizajnirana da
izvravamnogo kompleksnije proraune. Ovaj ureaj je bionamenjen za
izvoenje bilo kog rauna sa tanou do 20cifara, ali ga pronalaza
nikada nije izgradio.
-
Augusta Ada King (18151852), Ledi Lovelace,erka Lorda Bajrona,
interpretator i promoterBabbageovih vizionarskih radova
(1823.),poznata je pre svega po opisu njegove Analitikemaine. Danas
se smatra prvim programerom,poto je napisala program, tj.
manipulacijusimbola prema pravilima, za mainu koja nije
bilaizgraena. Prognozirala je iru primenu raunaraod samog raunanja,
na ta su se usmeravali svinjeni savremenici, ukljuujui i samog
Babbage.
Augusta Ada King (18151852), Ledi Lovelace,erka Lorda Bajrona,
interpretator i promoterBabbageovih vizionarskih radova
(1823.),poznata je pre svega po opisu njegove Analitikemaine. Danas
se smatra prvim programerom,poto je napisala program, tj.
manipulacijusimbola prema pravilima, za mainu koja nije
bilaizgraena. Prognozirala je iru primenu raunaraod samog raunanja,
na ta su se usmeravali svinjeni savremenici, ukljuujui i samog
Babbage.
-
Herman Hollerith(18601929), nemakoamerikistatistiar, razvio je
sistem kodovanja podataka nabuenim karticama i mehaniki tabulator
na bazibuenih kartica, da bi bre izvlaio statistikepodatke iz
miliona sirovih podataka. Patent jekorien u SAD 1890. godine za
popisstanovnitva, a program se svodio naprebrojavanje, ime su
izbegnute greke itanja, aobezbeena je praktino neograniena
memorijaza pristup. Prvi popis stanovnitva (1880) u SADradio je 8
godina, a 1890 samo jednu godinu.
Herman Hollerith(18601929), nemakoamerikistatistiar, razvio je
sistem kodovanja podataka nabuenim karticama i mehaniki tabulator
na bazibuenih kartica, da bi bre izvlaio statistikepodatke iz
miliona sirovih podataka. Patent jekorien u SAD 1890. godine za
popisstanovnitva, a program se svodio naprebrojavanje, ime su
izbegnute greke itanja, aobezbeena je praktino neograniena
memorijaza pristup. Prvi popis stanovnitva (1880) u SADradio je 8
godina, a 1890 samo jednu godinu.
-
Alan Turing (19121954), otac savremeneraunarske nauke, definisao
je prvi principemodernih raunara. Formulisao je formalnikoncept
algoritma i raunarstva sa Turingovommainom. Tokom 1942. je razvio
tehnikuTuringismus ili Turingery za razbijanje noveNemake tzv.
Lorenzove ifre, ukljuujuimetod bombe, elektromehanike maine kojaje
otkrila algoritam nemakog ifarskogureaja Enigma.
Alan Turing (19121954), otac savremeneraunarske nauke, definisao
je prvi principemodernih raunara. Formulisao je formalnikoncept
algoritma i raunarstva sa Turingovommainom. Tokom 1942. je razvio
tehnikuTuringismus ili Turingery za razbijanje noveNemake tzv.
Lorenzove ifre, ukljuujuimetod bombe, elektromehanike maine kojaje
otkrila algoritam nemakog ifarskogureaja Enigma.
-
John von Neumann (19031957), roen kaoNeumann Jnos
Lajos,maarskoamerikimatematiar, dao je veliki doprinos u
brojnimoblastima nauke: teoriji skupova,funkcionalnoj analizi,
kvantnoj mehanici,teoriji igara, raunarskoj nauci, numerikojanalizi
i drugim oblastima matematike. Razvioje koncept raunara opte namene
samogunou modifikovanja programa.
John von Neumann (19031957), roen kaoNeumann Jnos
Lajos,maarskoamerikimatematiar, dao je veliki doprinos u
brojnimoblastima nauke: teoriji skupova,funkcionalnoj analizi,
kvantnoj mehanici,teoriji igara, raunarskoj nauci, numerikojanalizi
i drugim oblastima matematike. Razvioje koncept raunara opte namene
samogunou modifikovanja programa.
-
Konrad Zuse (10101995), nemaki inenjer ipionir raunarstva, kao
prvi pokuaj izraderaunara, konstruisao je ureaj
Z1binarni,elektromehaniki kalkulator sa ogranienimprogramiranjem i
instrukcijama na buenojtraci.
Konrad Zuse (10101995), nemaki inenjer ipionir raunarstva, kao
prvi pokuaj izraderaunara, konstruisao je ureaj
Z1binarni,elektromehaniki kalkulator sa ogranienimprogramiranjem i
instrukcijama na buenojtraci.
-
Binarni brojni sistem Postoje dva prihvaena pojma informacije
:1. Informacija je svaka komunikacija skupa podatakakoji imaju
vrednost za primaoca, informie ga ipoveava njegovo znanje. Ova
definicija pravi razlikuod podataka saoptenih putem TV, novina,
raunara idrugih izvora koji primaocu ne donose nova znanja2.
Informacija je svaka komunikacija podataka bezobzira ima li ili
nema vrednost za primaoca. Premaovoj generikoj definiciji
komunikacione teorijeinformacija moe biti u bilo kojoj formi: re,
broj, slika,zvuk, simbol sve to se moe preneti
komunikacionimkanalima.
Postoje dva prihvaena pojma informacije :1. Informacija je svaka
komunikacija skupa podatakakoji imaju vrednost za primaoca,
informie ga ipoveava njegovo znanje. Ova definicija pravi razlikuod
podataka saoptenih putem TV, novina, raunara idrugih izvora koji
primaocu ne donose nova znanja2. Informacija je svaka komunikacija
podataka bezobzira ima li ili nema vrednost za primaoca. Premaovoj
generikoj definiciji komunikacione teorijeinformacija moe biti u
bilo kojoj formi: re, broj, slika,zvuk, simbol sve to se moe
preneti komunikacionimkanalima.
-
Kako raunar generalno transformie sirove ulazne podatkekoji
nemaju vrednost za korisnika u tekuem obliku, uizlazne informacije
koje imaju vrednost za korisnika, ini seda vie odgovara prva
definicija informacija. Meutim, kakoizlazna informacija moe biti
ulaz u drugi raunar, teko jeprimeniti personalna merila o vrednosti
tog izlaza, pa jeobjektivnije i optije primeniti drugu definiciju
informacija.U raunarskom okruenju informacije se zapisuju, prenose
iskladite u digitalnom odnosno binarnom obliku; Raunarne razume
rei, brojeve, slike, muzike note ili slova,tanije, raunar moe
prepoznati samo informacijerazloene do nivoa bita. Bit (Binary
Digit) je najmanji deodigitalne informacije i moe imati vrednost
samo dva stanja 1 i 0.
Kako raunar generalno transformie sirove ulazne podatkekoji
nemaju vrednost za korisnika u tekuem obliku, uizlazne informacije
koje imaju vrednost za korisnika, ini seda vie odgovara prva
definicija informacija. Meutim, kakoizlazna informacija moe biti
ulaz u drugi raunar, teko jeprimeniti personalna merila o vrednosti
tog izlaza, pa jeobjektivnije i optije primeniti drugu definiciju
informacija.U raunarskom okruenju informacije se zapisuju, prenose
iskladite u digitalnom odnosno binarnom obliku; Raunarne razume
rei, brojeve, slike, muzike note ili slova,tanije, raunar moe
prepoznati samo informacijerazloene do nivoa bita. Bit (Binary
Digit) je najmanji deodigitalne informacije i moe imati vrednost
samo dva stanja 1 i 0.
-
Brojni sistem koji predstavlja sve brojeve sa kombinacijom
dvecifre naziva se Binarni brojni sistem. Sa binarnim brojnim
sistemommogu se zapisivati brojevi, tako to se kodiraju svi
brojevikombinovanjem samo dve binarne cifre 1 i 0. Decimalni
brojevi semogu konvertovati u binarne i obrnuto. Da bi se rei,
reenice iparagrafi uinili razumljivim za binarna kola raunara,
programeri sumorali razviti kodove koji predstavljaju svako slovo,
broj i specijalnikarakter kao jedinstven niz bita. Najee korieni
kod uraunarstvu je ASCII (American Standard Code for
InformationInterchange), koji ima 256 jedinstvenih znakova i
predstavlja svakikarakter sa jedinstvenim 8bitnim kodom. Kako ASCII
kod nijemogao predstaviti slova drugih svetskih jezika (npr., Grki,
Hebrejski,Arapski i dr.), razvijen je noviji Unicode kodni sistemi
koji podrava65.000 jedinstvenih karaktera.
Brojni sistem koji predstavlja sve brojeve sa kombinacijom
dvecifre naziva se Binarni brojni sistem. Sa binarnim brojnim
sistemommogu se zapisivati brojevi, tako to se kodiraju svi
brojevikombinovanjem samo dve binarne cifre 1 i 0. Decimalni
brojevi semogu konvertovati u binarne i obrnuto. Da bi se rei,
reenice iparagrafi uinili razumljivim za binarna kola raunara,
programeri sumorali razviti kodove koji predstavljaju svako slovo,
broj i specijalnikarakter kao jedinstven niz bita. Najee korieni
kod uraunarstvu je ASCII (American Standard Code for
InformationInterchange), koji ima 256 jedinstvenih znakova i
predstavlja svakikarakter sa jedinstvenim 8bitnim kodom. Kako ASCII
kod nijemogao predstaviti slova drugih svetskih jezika (npr., Grki,
Hebrejski,Arapski i dr.), razvijen je noviji Unicode kodni sistemi
koji podrava65.000 jedinstvenih karaktera.
-
Raunar koristi Binarni brojni sistem za upisivanjeprograma,
podataka instrukcija na fiziki (vrsti)disk.
Osnovni nedostatak binarnog zapisa brojeva jepredugaak zapis i
preveliko troenje memorijeraunara. Zato se koriste drugi, krai
brojnisistemi. U raunarskim sistemima najee sekoristi
heksadecimalni (hex) brojni sistem koji ima16 cifara:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
Raunar koristi Binarni brojni sistem za upisivanjeprograma,
podataka instrukcija na fiziki (vrsti)disk.
Osnovni nedostatak binarnog zapisa brojeva jepredugaak zapis i
preveliko troenje memorijeraunara. Zato se koriste drugi, krai
brojnisistemi. U raunarskim sistemima najee sekoristi
heksadecimalni (hex) brojni sistem koji ima16 cifara:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
-
Algoritmi Algoritam je set procedura koje se izvravajukorak po
korak u cilju obavljanja nekogzadatka. Prvi algoritam napisao je
persijskimatematiar Al Khowarizmi (oko 850. godine)i sluio je za
reavanje algebarskih problema.Od loeg prevoda imena ovog
matematiarana latinski, nastaje ime za algoritam.
Algoritam je set procedura koje se izvravajukorak po korak u
cilju obavljanja nekogzadatka. Prvi algoritam napisao je
persijskimatematiar Al Khowarizmi (oko 850. godine)i sluio je za
reavanje algebarskih problema.Od loeg prevoda imena ovog
matematiarana latinski, nastaje ime za algoritam.
-
Prvi raunarski algoritam je napisala Ada Bajron1842 godine. U
pitanju je bio algoritam zaraunanje Bernulijevih brojeva na
analitikojmaini alsa Bebida. Ta maina nikada nijeproradila, ali je
njen algoritam ostavio dubok tragu informatici. Sledei znaajan
napredak uformalizaciji uvoenja algoritma u matematiku Ilogiku
uinio je Alan Tjuring, definiui Tjuringovumainu. To je primitivan
automat,ustvari,misaona tvorevina koja poseduje mogunostizvoenja
operacija koje sudovoljne za izvoenjeskoro svih algoritama.
Prvi raunarski algoritam je napisala Ada Bajron1842 godine. U
pitanju je bio algoritam zaraunanje Bernulijevih brojeva na
analitikojmaini alsa Bebida. Ta maina nikada nijeproradila, ali je
njen algoritam ostavio dubok tragu informatici. Sledei znaajan
napredak uformalizaciji uvoenja algoritma u matematiku Ilogiku
uinio je Alan Tjuring, definiui Tjuringovumainu. To je primitivan
automat,ustvari,misaona tvorevina koja poseduje mogunostizvoenja
operacija koje sudovoljne za izvoenjeskoro svih algoritama.
-
Teko je dati preciznu definiciju algoritma i postoje
mnogeekvivalentene definicije, manje ili vie stroge, ali opisno se
moerei: Algoritam je skup jasnodefinisanih pravila koja
opisujureavanje nekog problema, odnosno kojim se ulazne
veliinetransformiu u izlazne. Algoritmi se mogu prestaviti na neki
od sledeih naina:
1. Obinim govornim jezikom2. grafiki -dijagram- blok
algoritamska ema,3. psudo jezicima, odnosno, pseudokodovima
(pseudokod predstavljavetaki jezik koji je veza izmeu svakodnevnog
jezika, (srpski,engleski i td.) i programskih jezika,4. programskim
jezicima,5. Prostovom mainom,6. Tjuringovom mainom,7. rekurzivnim
funkcijama i dr.
Teko je dati preciznu definiciju algoritma i postoje
mnogeekvivalentene definicije, manje ili vie stroge, ali opisno se
moerei: Algoritam je skup jasnodefinisanih pravila koja
opisujureavanje nekog problema, odnosno kojim se ulazne
veliinetransformiu u izlazne. Algoritmi se mogu prestaviti na neki
od sledeih naina:
1. Obinim govornim jezikom2. grafiki -dijagram- blok
algoritamska ema,3. psudo jezicima, odnosno, pseudokodovima
(pseudokod predstavljavetaki jezik koji je veza izmeu svakodnevnog
jezika, (srpski,engleski i td.) i programskih jezika,4. programskim
jezicima,5. Prostovom mainom,6. Tjuringovom mainom,7. rekurzivnim
funkcijama i dr.
-
Teorija Grafova Grafovi su apstraktni matematiki objekti
sastavljeni od taaka (vorova) i
linija meu njima (grana). Uobiajeni nain prestavljanja grafova
je slika uravni.
Graf G se definie na sledei nain: G = (V, E), gde je V konaan,
neprazanskup vorova, a E je skup grana (veza izmeu vorova).
Pomou grafova se na jednostavan nain mogu modelovati
sloeniproblemi kao to je planiranje raunarske mree,
saobraajnica,organizacione strukture, distribucija elektrine
energije, kanalizacija i dr.
Grafovi su apstraktni matematiki objekti sastavljeni od taaka
(vorova) ilinija meu njima (grana). Uobiajeni nain prestavljanja
grafova je slika uravni.
Graf G se definie na sledei nain: G = (V, E), gde je V konaan,
neprazanskup vorova, a E je skup grana (veza izmeu vorova).
Pomou grafova se na jednostavan nain mogu modelovati
sloeniproblemi kao to je planiranje raunarske mree,
saobraajnica,organizacione strukture, distribucija elektrine
energije, kanalizacija i dr.
est vorova, sedam grana
-
Ako se moe smatrati da je grana koja spaja vorove A i B isto to
i grana kojaspaja vorove B i A, onda je graf neusmeren. Ako se pak
smatra da su to dverazliite grane onda je graf usmeren.
Pojam grafa moe biti proiren dodavanjem osobine teine svakoj
grani. Ovakvigrafovi se zovu teinski grafovi .
Teinski graf koji je usmeren zove se mrea. . Grana moe da spaja
vrh sasamim sobom, i tada se naziva petljom.
Graf koji nema petlje niti paralelne grane se naziva prostim
grafom.
Graf je prazan ako nema nijednu granu, a nulti graf nema nijedan
vrh.
Ako se moe smatrati da je grana koja spaja vorove A i B isto to
i grana kojaspaja vorove B i A, onda je graf neusmeren. Ako se pak
smatra da su to dverazliite grane onda je graf usmeren.
Pojam grafa moe biti proiren dodavanjem osobine teine svakoj
grani. Ovakvigrafovi se zovu teinski grafovi .
Teinski graf koji je usmeren zove se mrea. . Grana moe da spaja
vrh sasamim sobom, i tada se naziva petljom.
Graf koji nema petlje niti paralelne grane se naziva prostim
grafom.
Graf je prazan ako nema nijednu granu, a nulti graf nema nijedan
vrh.
-
Graf G '= (V', E ') je podgraf grafa G = (V, E) ako je skup
njegovih vorova(V') podskup skupa vorova grafa G (V), a skup
njegovih grana (E ') jepodskup skupa grana vektora G (E). Ako je
ovim grafovima skup vorovajednak, onda se graf G 'naziva
razapinjujuim grafom, ili skeletom.
-
Kompletan graf je prost graf, kod koga su svakadva vora spojena
granom.
Kompletan graf je prost graf, kod koga su svakadva vora spojena
granom.
Kompletan graf, prost graf i njegov komplement
-
Dva grafa, G1 i G2 su izomorfnaako i samo ako postoji "1-1" i
"na"preslikavanje vrhova i grana, takoda se ouvava susednost
svihvrhova. Izomorfni grafovi su odvelikog znaaja u elektronici,
prikonstruisanju tampanih kola, gdegrane grafa (strujni vodovi)
nesmeju da se seku osim uvorovima. Zato je bitno da sepronae
izomorfan graf eljenomgrafu, ali takav da mu se grane neseku.
Dva grafa, G1 i G2 su izomorfnaako i samo ako postoji "1-1" i
"na"preslikavanje vrhova i grana, takoda se ouvava susednost
svihvrhova. Izomorfni grafovi su odvelikog znaaja u elektronici,
prikonstruisanju tampanih kola, gdegrane grafa (strujni vodovi)
nesmeju da se seku osim uvorovima. Zato je bitno da sepronae
izomorfan graf eljenomgrafu, ali takav da mu se grane neseku.
-
Ne postoji neka univerzalna reprezentacija grafova koja bi reila
sve razliiteprobleme u kojima se oni koriste. Najee korieni naini
su pomou listesusedstva, matrica incidencije i matrica susedstva.
Procedura algoritma koji bi koristio ovakav nain za zapisivanje
grafa bi se svodilana pretraivanje niza grana koje u optem sluaju u
grafu sa velikim brojemvorova i grana moe biti vremenski veoma
zahtevna. Lista susedstva je samemorijskih resursa najekonominija
reprezentacija. Svaka grana grafa ili digrafapredstavlja se sa 2
memorijske jedinice, jedna za poetni vor, a druga za krajnjivor
grane. Matrica incidencije su matrice ije su vrste odreene vorovima
a kolone granamagrafa. Matrice incidencije mogu da se koristite i
kod grafova sa petljama. Matrica susedstva je matrica ije su i
vrste i kolone obeleene vorovima grafa uistom poretku. Kod nje
vrste i kolone predstavljaju poetne i krajnje vorove, a datilan
matrice predstavlja indikaciju da li izmeu odgovarajua dva vora
postojigrana (recimo 0 ako ne postoji, a 1 ako postoji). Matrica
susedstva je najeamatrina interpretacija grafova. Ona moe da se
koristi i za grafove i multigrafove(digrafove).
Ne postoji neka univerzalna reprezentacija grafova koja bi reila
sve razliiteprobleme u kojima se oni koriste. Najee korieni naini
su pomou listesusedstva, matrica incidencije i matrica susedstva.
Procedura algoritma koji bi koristio ovakav nain za zapisivanje
grafa bi se svodilana pretraivanje niza grana koje u optem sluaju u
grafu sa velikim brojemvorova i grana moe biti vremenski veoma
zahtevna. Lista susedstva je samemorijskih resursa najekonominija
reprezentacija. Svaka grana grafa ili digrafapredstavlja se sa 2
memorijske jedinice, jedna za poetni vor, a druga za krajnjivor
grane. Matrica incidencije su matrice ije su vrste odreene vorovima
a kolone granamagrafa. Matrice incidencije mogu da se koristite i
kod grafova sa petljama. Matrica susedstva je matrica ije su i
vrste i kolone obeleene vorovima grafa uistom poretku. Kod nje
vrste i kolone predstavljaju poetne i krajnje vorove, a datilan
matrice predstavlja indikaciju da li izmeu odgovarajua dva vora
postojigrana (recimo 0 ako ne postoji, a 1 ako postoji). Matrica
susedstva je najeamatrina interpretacija grafova. Ona moe da se
koristi i za grafove i multigrafove(digrafove).
-
Zanimljivosti Prvi problem i njegovo reenje izneseni na nain
koji je drugaiji u odnosu
na prethodne i moe se smatrati preteom teorije grafova jeste
radLeonarda Ojllera pod nazivom Sedam mostova Knigsberga,
objavljen1736. vajcarskom matematiaru Leonardu Ojleru su tokom
boravka uKenigsbergu metani postavili problem da pree preko svih 7
mostova (kojispajaju 2 obale reke Pregel meusobno i sa 2 ostrva)
tako da preko svakogpree tano jedanput.
Prvi problem i njegovo reenje izneseni na nain koji je drugaiji
u odnosuna prethodne i moe se smatrati preteom teorije grafova
jeste radLeonarda Ojllera pod nazivom Sedam mostova Knigsberga,
objavljen1736. vajcarskom matematiaru Leonardu Ojleru su tokom
boravka uKenigsbergu metani postavili problem da pree preko svih 7
mostova (kojispajaju 2 obale reke Pregel meusobno i sa 2 ostrva)
tako da preko svakogpree tano jedanput.
-
Gustav Kirhof je 1845. godine objavio neto to je kasnije nazvano
Kirhofovzakon, a odnosilo se na problem rauna napona i struje u
elektrinomkolu.
F. Nauk je 1850. godine, reio Problem 8 dama (92
reenja).Zanimljivo je da uveni Gaus nije naao sva reenja, nego samo
72.Zanimljivo je da problem razmetanja dama u optem sluaju (kada
seumesto obine ahovske ploe 8 x 8 posmatra generalisana ahovska
ploan x n) nije reena.
Na koliko naina je mogue postaviti 8 dama na ahovsku tablu tako
dase meusobno ne napadaju?
Gustav Kirhof je 1845. godine objavio neto to je kasnije nazvano
Kirhofovzakon, a odnosilo se na problem rauna napona i struje u
elektrinomkolu.
F. Nauk je 1850. godine, reio Problem 8 dama (92
reenja).Zanimljivo je da uveni Gaus nije naao sva reenja, nego samo
72.Zanimljivo je da problem razmetanja dama u optem sluaju (kada
seumesto obine ahovske ploe 8 x 8 posmatra generalisana ahovska
ploan x n) nije reena.
Na koliko naina je mogue postaviti 8 dama na ahovsku tablu tako
dase meusobno ne napadaju?
-
Problem 4 boje tvrdi da se svaka geografska karta moe obojiti sa
4 bojetako da svaka drava bude obojena jednom od boja i da susedne
drave nebudu obojene istom bojom. Pod susednim dravama se
podrazumevajudrave koje imaju zajedniku graninu liniju (a ne one
koje imaju jednu ilivie izolovanih zajednikih graninih taaka). Ovaj
problem se odnosi nesamo na stvarne geografske karte, ve na sve
karte koje se mogu zamisliti.Ovaj problem su reili tek 1976. godine
Kenet Apel i Wolfgang Heken, ali sepostavljanje ovog problema
smatra roenjem teorije grafova.
Problem 4 boje tvrdi da se svaka geografska karta moe obojiti sa
4 bojetako da svaka drava bude obojena jednom od boja i da susedne
drave nebudu obojene istom bojom. Pod susednim dravama se
podrazumevajudrave koje imaju zajedniku graninu liniju (a ne one
koje imaju jednu ilivie izolovanih zajednikih graninih taaka). Ovaj
problem se odnosi nesamo na stvarne geografske karte, ve na sve
karte koje se mogu zamisliti.Ovaj problem su reili tek 1976. godine
Kenet Apel i Wolfgang Heken, ali sepostavljanje ovog problema
smatra roenjem teorije grafova.
-
Primena u programima Skoro svi dananji programi
koristematematiku.
Najpoznatiji matematiki program na jeMatlab. Veliku primenu
imaju programi 3Dmodelovanje poput AutoDeska, zatimAutoCad i
slini.
Skoro svi dananji programi koristematematiku.
Najpoznatiji matematiki program na jeMatlab. Veliku primenu
imaju programi 3Dmodelovanje poput AutoDeska, zatimAutoCad i
slini.
-
Literatura ,,Informatika i
raunarstvo,M.Veinovi,G.Grubor,M.Milisavljevi,UniverzitetSingidunum,
2010
,,Diskretna Matematika, Ivana Kosti Kovaevi,Univerzitet
Singidunum, 2011
www.wikipedia.org
http://cs.elfak.ni.ac.rs/nastava/pluginfile.php/1959/mod_resource/content/1/grafovi_1_.pdf
http://mata.fon.rs/uploaded/dms/nastava/DMS_grafovi.pdf
,,Informatika i
raunarstvo,M.Veinovi,G.Grubor,M.Milisavljevi,UniverzitetSingidunum,
2010
,,Diskretna Matematika, Ivana Kosti Kovaevi,Univerzitet
Singidunum, 2011
www.wikipedia.org
http://cs.elfak.ni.ac.rs/nastava/pluginfile.php/1959/mod_resource/content/1/grafovi_1_.pdf
http://mata.fon.rs/uploaded/dms/nastava/DMS_grafovi.pdf
-
KRAJZahvaljujemo na panji!
KRAJZahvaljujemo na panji!
