Ur 03 Brojevni Sustavi Logika

Uvod u računarstvoPMF Split Copyright Ani Amižić,

Branko Žitko 1

Uvod u računarstvoUvod u računarstvo (vježba 2)(vježba 2)

• Brojevni sustavi• općenito o brojevnim sustavima• dekadski brojevni sustav• pretvorba iz binarnog u dekadski i obrnuto• pretvorba iz oktalnog u dekadski i obrnuto• pretvorba iz heksadecimalnog u dekadski i obrnuto• pretvorba oktalnog i heksadecimalnog u binarni i obrnuto• zadaci

• Logičke funkcije (operacije)• unarne i binarne logičke operacije• NE, I, uključivo i isključivo ILI• prioriteti logičkih operacija• zadaci


Branko Žitko 2

• Brojevni sustav čini skup pravila formuliranih u cilju kvalitativnog izražavanja

• Vrste: • pozicijski• nepozicijski


Branko Žitko 3

Brojevni sustaviBrojevni sustavi Općenito o brojevnim sustavimaOpćenito o brojevnim sustavima

(B)

( )

( )

-1k

( ) k n-k=0

B

B

B

n

1,2,3,4,5,... - baza brojevnog sustava

može biti bilo koji prirodni broj

- broj u bazi

- broj znamenaka broja

Prikaz broja u bazi i pretvorba u broj u bazi :

=

N

N

B

n

B

B 10

a B

N

N =a

10n-1 n-2 1 0

1 n-2 1 0 ( )

k B

+ +...+ + =

0,1,..,B-1 - znamen

B

k

a

e

B B B

o

a a M

a d N


Branko Žitko 4

NNepozicijskepozicijskii brojevn brojevnii sustav sustavii

• Simboli, koji označavaju brojeve, imaju istu vrijednost na različitim mjestima u zapisu broja

• Npr. rimski sustav 1966=MCMLXVI

M+CM+LX+VI=M+M-C+L+X+V+1

=1000+1000-100+50+10+5+1=1966


Branko Žitko 5

Pozicijski brojevni sustaviPozicijski brojevni sustavi

• Vrijednost znamenke je zavisna ne samo o veličini nego i o mjestu, na kome stoji u okviru nekog broja

• Vrijednost broja X u pozicijskom brojevnom sustavu izražava se u obliku:

gdje su m i n cijeli brojevi, N baza brojevnog sustava, i predstavlja broj različitih znamenki u brojevnom sustavu a Xi su simboli za znamenke broja, za koje vrijedi uvjet

gdje je 0 simbol za najmanju znamenku brojevnog sustava

ni

ii m

X X N

0 iX N


Branko Žitko 6

• Karakteristike pozicijskih brojevnih sustava su:• najveća znamenka (Kmax) brojevnog sustava dobije se

ako se baza umanji za 1 (Kmax = N - 1)• svakoj znamenci u jednom brojevnom sustavu odgovara

jedna znamenka u drugom brojevnom sustavu.


Branko Žitko 7

Brojevni sustaviBrojevni sustavi

brojevni sustavbrojevni sustav bazabaza znamenkeznamenke pretvorbepretvorbe

dekadski 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

binarni 2 0,1

oktalni 8 0,1,2,3,4,5,6,7

heksadecimalni 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F


Branko Žitko 8

Brojevni sustaviBrojevni sustavi dekadskidekadski

nk

( )

-1

( )k

n-1 n-2 1 0k n-1 n-2 1 0

3

B

10=0

-1

k=0

k 2 1 0k

k

= = + +...+ +

n

B=10

B B B B B

10 10 10 1

N =643

N a a a a a

643 a = = × + × + × =600+40+36 4 3

a

=

0,1,..,9

3

0


Branko Žitko 9

BinarniBinarni brojevni sustav brojevni sustav

• Zbrajanje:

• Binarno zbrajanje obavlja se isto kao i decimalno zbrajanje, osim što se prijenos na sljedeće značajno mjesto obavlja nakon postignutog zbroja 2(1+1).

1+1+1=11

1+1+1+1=100


Branko Žitko 10


Branko Žitko 11

• Oduzimanje:

• Binarno oduzimanje obavlja se kao i decimalno oduzimanje, osim što se posuđuje 1 od bita veće težine.


Branko Žitko 12

2 10

1110 14

) 1101 13

0001 1

a


Branko Žitko 13

• Množenje:

• Kod binarnog množenja djelomičan umnožak pomiče se za jedno mjesto udesno po navedenim pravilima, a zatim se umnošci zbroje (primjer 2).

0


Branko Žitko 14

2

8 6 4 3 2 110

11001 1110 101011110 25 14 350

11001

11001)

11001

00000

101011110 2 2 2 2 2 2 350

x x

a

1101001=


Branko Žitko 15

• Dijeljenje:

• Dijeljenje binarnih brojeva obavlja se na isti način kao i dekadskih (primjer 4). Praktično se dijeljenje svodi na množenje i oduzimanje.


Branko Žitko 16

) 11011 :11 1001 27 : 3 9

11

00011

11

00

a


Branko Žitko 17

Oktalni brojevni sustavOktalni brojevni sustav

• Oktalni brojevni sustav ima bazu N=8 pa je skup znamenki sustava:

S = 0,1,2,3,4,5,6,7


Branko Žitko 18

• Zbrajanje u oktalnom brojevnom sustavu obavlja se zbrajanjem znamenki kao i kod dekadskog brojevnog sustava.

• Ukoliko je zbroj veći od8 dijelimo s bazom 8, te rezultat prenosimo za sljedeće zbrajanje znamenki, a ostatak predstavlja znamenku rezultata zbrajanja.


Branko Žitko 19

7+0 = 7

7+7=14;14:8=1 prijenos ostatak 6

1+3=4;4+7=11:8=1 prijenos ostatak 3

1+1 = 2


Branko Žitko 20

• Oduzimanje u oktalnom brojevnom sustavu obavlja se kao i u dekadnom brojevnom sustavu.

• Npr. Prvo oduzimamo 5 - 6. S obzirom da je 5 manja vrijednost dodajemo bazu 8: 5+8=13. Sada oduzimamo 13-6=7 i bilježimo 1 prijenos. Dodajemo ovaj prijenos slijedećoj znamenki 3: 1+3=4. Oduzimamo (3+8)-4=7 i bilježimo jedan prijenos. Dodajemo ovaj prijenos slijedećoj znamenki 5: 1+5=6.

• Oduzimamo (0+8)-6=2 i bilježimo 1 prijenos. Dodajemo 1 iz prijenosa i oduzimamo 1-1=0. Rezultat predstavljaju znamenke koje su rezultati oduzimanja, čitane odozdo prema gore: 267.


Branko Žitko 21

8+5=13;13-6=7 (prijenos 1)

1+3=4;8+3=11;11-4=7 (prijenos 1)

1+5=6;8+0=8;8-6=2 (prijenos 1)

1-1=0


Branko Žitko 22

• Množenje u oktalnom brojevnom sustavu obavlja se množenjem svake znamenke jednog broja sa svim znamenkama drugog broja. Rezultati množenja se potpisuju pomicanjem za jedno mjesto udesno.

• Npr. Množimo 1x325 i rezultat 325 potpisujemo za zbrajanje. Sada množimo znamenku 6 sa svim znamenkama broja 325. Dobijemo 6x5=30. Broj 30 dijelimo s bazom 8 i imamo 6 ostatak i 3 prijenos. Množimo znamenku 6x2=12 i dodamo 3 iz prijenosa 12+3=15. Dijelimo s bazom i dobijemo 15:8=1 prijenos i 7 ostatak. Na kraju množimo 6x3=18 i dodamo prijenos 1 =18+1=19. Dijelimo 19:8=2 prijenos i 3 ostatak. Više nema znamenki za množenje te čitamo rezultat uzimajući zadnji prijenos i sve ostatke odozdo nagore: 2376. Potpišemo pomicanjem za jedno mjesto udesno. Na isti način množimo znamenku 7 s brojem 325. Rezultat 2723 potpišemo i sve zbrojimo.


Branko Žitko 23

8 8

8

8

(325) (167) 1 5 5;1 2 2;1 3 3

(325) 6 5 30 : 8 3 prijenos ostatak 6

6 2 12 3 15 : 8 1 prijenos ostatak 7


(2376) 7 5 35 : 8 4 prijenos ostatak 3

7 2 14 4 18 : 8 2 prijenos ostata

x x x x

x

x

x

x

x

8

8

k 2


(2723)

(61403)

x


Branko Žitko 24


Branko Žitko 25

• Dijeljenje:


Branko Žitko 26

Heksadecimalni brojevni sustavHeksadecimalni brojevni sustav

• Heksadecimalni brojevni sustav ima bazu N = 16, pa je skup znamenki sustava:S =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B C, D, E, F

• Za brojeve > 9 koriste se slova kao simboli sa značenjem:A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15

• Heksadecimalni sustav predstavlja skraćeni oblik pisanja binarnog sustava, pri čemu četiri binarne pozicije predstavljaju jednu heksadecimalnu.

• Ako binarni broj podijelimo u skupine od po četiri znaka, računajući s desna u lijevo, te za svaku od tih skupina brojeva, koje nazivamo tetrade, izračunavamo binarnu vrijednost i napišemo tako dobivene znamenke, dobit ćemo broj napisan u heksadecimalnom brojevnom sustavu.


Branko Žitko 27

• Primjeri zbrajanja:

16

16

16

(1F4C) 3 C=2+12=15=F

+ (2E83) 8 4 12

(4DCF) 14 15 29 :16 1 prijenos ostatak 13=D

1+2+1=4

C

E F


Branko Žitko 28

• Primjeri oduzimanja:

16

16

16

(21A3) 3 16=19;19-F=19-15=4 prijenos

- (1FFF) 16 10 16 26;26 1 26 15 1 10 prijenos

(1 4) 1 16 17;17 1 17 15 1 1 prijenos

2 1 1 0

A F A

A F


Branko Žitko 29

• Primjer množenja:

množi se sukcesivno sa brojevima:

16 16

16

16

16

16

(A9E4F) x(8A7)

(54F278)

(6A2F16)

(4A5429)

(5BDFBD89)

8 :

8 15 120 :16 7 prijenos

8 4 32 7 39 :16 2 prijenos

8 14 112 2 114 :16 7 prijenos

8 9 72 7 79 :16 4 prijenos ostatak 15=F

8 10 80 4 84 :16 5 prijenos ostatak 4

x

x

x

x

x

:

10 15 150 :16 9 prijenos ostatak 6


10 14 140 3 143 :16 8 prijenos ostatak 15=F


10 10 100 6 106 :16 6 prijenos ostatak 10=A

A

x

x

x

x

x

7 :

7 15 105 :16 6 prijenos ostatak 9




7 10 70 4 74 :16 4 prijenos ostatak 10=A

x

x

x

x

x


Branko Žitko 30

• Primjer dijeljenja:

16 16 16(5 8 89) : (8 7) ( 9 4 )

5686

559

4

7

7922

2 8

2296

81 9

81 9

BDF D A A E F

B

DDF

BCD

AB

C

C


Branko Žitko 31

Pretvaranje brojeva iz brojevnog Pretvaranje brojeva iz brojevnog sustava sa jednom osnovicom u sustava sa jednom osnovicom u brojevni sustav s drugom osnovicom brojevni sustav s drugom osnovicom


Branko Žitko 32

Brojevni sustaviBrojevni sustavi dekadski u binarnidekadski u binarni

• Pretvaranje dekadnog broja u binarni broj može se izvršiti na dva načina: • dijeljenjem s 2 ili • pomoću tablica.

• Pretvaranje dijeljenjem sa dva je postupak koji se općenito može primijeniti za pretvaranje dekadskih brojeva, u brojeve bilo kojeg sustava, dijeljenjem sa osnovicom tog sustava.

• Pretvaranje dijeljenjem s dva, vrši se sukcesivnim dijeljenjem s 2. Ostatak dijeljenjem predstavljaju brojke 0 ili 1. Kad se dijeljenjem dođe do operacije 1:2=0 i 1 ostatak, dijeljenje je završeno. Čitanje rezultata vrši se odozdo prema gore. Na ovaj način se vrši pretvaranje cijelih brojeva dekadnog brojevnog sustava u binarni brojevni sustav.


Branko Žitko 33

Brojevni sustaviBrojevni sustavi dekadski u binarnidekadski u binarni

( ) ( )10 2

( (1 2)0)

26 ÷ = 13 ostatak

13 ÷ = 6 ostatak

6 ÷ = 3 ostatak

3 ÷ = 1 ostatak

1 ÷ = 0 ostat

26 N

0

1

0

1

1

26 11

2

2

2

2

2 k

010

a

=


Branko Žitko 34

10 2

10 2

(125) ( )

125 : 2 62 ostatak 1

62 : 2 31 ostatak 0

31: 2 15 ostatak 1

15 : 2 7 ostatak 1

7 : 2 3 ostatak 1

3 : 2 1 ostatak 1

1 : 2 0 ostatak 1

(125) (1111101)


Branko Žitko 35

• Pretvaranje pomoću tablica vrši se korištenjem tablice koja predstavlja vrijednosti mjesta binarnog brojevnog sustava.

• Ako se ta vrijednost može prikazati kao 2n, gdje je n broj iz skupa prirodnih brojeva, onda se uzimanjem prve niže vrijednosti i prikazivanjem te vrijednosti u obliku 2n, a zatim pridruživanjem vrijednosti 1 za vrijednosti 2n koje su upotrebljene za prikaz tog broja odnosno 0, ako vrijednosti 2n nisu upotrebljene prilikom prikazivanja tog broja, može pretvoriti broj iz dekadnog u binarni oblik (Tablica 1).


Branko Žitko 36

10 2

7 7 4 3 210

7 6 5 4 3 2 1 0

10 2

(156) ( )

(156) 128 28 2 16 12 2 2 2 2

1 0 0 1 1 1 0 0

128 64 32 16 8 4 2 1

1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 2

(156) (10011100)


Branko Žitko 37

Brojevni sustaviBrojevni sustavi binarni u dekadskibinarni u dekadski

( )

4k

( ) k kk=0

4

2

2

3 2 1 02

10

( )

( )

B=2

2

2 2 2 2

11010

11010 a a

1101

= , 0,1

= + + +

= 16

0 1 1

n

0 1

+8

2

+

0

0+2+0 =

=5

26


Branko Žitko 38

• Pretvaranje binarnih brojeva u dekadne, može se izvršiti na više načina. Jedan od postupaka je i zbrajanje mjesnih vrijednosti.

2 10

1 0 1 1 0 broj

16 8 4 2 1 mjesne vrijednosti

16 1 8 0 4 1 2 1 0 1 22

(10110) (22)

x x x x x


Branko Žitko 39

• Druga metoda je tzv. cik - cak postupak, koji je univerzalan za pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sustava u dekadski.

• Prava linija u ovom cik - cak postupku odnosno mreži, znači množenje, a kosa zbrajanje (= množenje, = zbrajanje).


Branko Žitko 40

Brojevni sustaviBrojevni sustavi dekadski u oktalnidekadski u oktalni

( ) ( )10 8

(1( 8)0)

26 ÷ = 3 ostatak

3 ÷ = 0 ostatak

8

8

26 N

2

3

26 32

=


Branko Žitko 41

• Pretvaranje dekadnog broja u oktalni broj može se vršiti univerzalnim postupkom, sukcesivnim dijeljenjem s osnovicom sustava. U ovom slučaju, to je broj 8.

10 8

10 8

(1016) ( )

1016 : 8 127 ostatak 0

127 : 8 15 ostatak 7

15 : 8 1 ostatak 7

1 : 8 0 ostatak 1

(1016) (1770)


Branko Žitko 42

Brojevni sustaviBrojevni sustavi oktalni u dekadskioktalni u dekadski

8

8

8

( )

1k

( ) k kk=0

1 0

( )10

( )

= , 0,1,2,...

B=8

8

8 8

,7

= +

=

32

32

24+2

a a

32 3 2

26

2

=

n=


Branko Žitko 43

• Pretvaranje oktalnog broja u dekadski može se vršiti po cik - cak postupku, kao i za binarne brojeve.

8 10

8 10

(2763) ( )

2 8 16;16 7 23;23 8 184;184 6 190;190 8 1520;1520 3 1523

(2763) (1523)

x x x


Branko Žitko 44

Brojevni sustaviBrojevni sustavi dekadski u hexadecimalnidekadski u hexadecimalni

( ) ( )10 16

10 1( ) )6(

26 N

10=26 ÷ = 1 ostatak (

1 ÷ = 0

A)

1

26

16

1 ostatak

=1A

6


Branko Žitko 45

• Pretvaranje dekadnog broja u heksadecimalni vrši se dijeljenjem s osnovicom 16.

10 16

10 16

(508) ( )

508 :16 31 ostatak 12=C

31:16 1 ostatak 15=F

1:16 0 ostatak 1

(508) (1 )FC


Branko Žitko 46

Brojevni sustaviBrojevni sustavi hexadecimalni u dekadskihexadecimalni u dekadski

16

16

16

10

( )

1k

( ) k kk=0

1 0( )

( )

= , 0,1,...,9,A(=10),B(=11),...,F(=15)

= +(

B=16

16

16 1)

n

=2

1A

1A a a

= 16

1A 1 A=

+10

10 6

=26


Branko Žitko 47

• Pretvaranje heksadecimalnog broja u dekadski može se vršiti po istom cik – cak postupku, samo je vrijednost s kojom se množi jednaka osnovici 16.

16 10

16 10

(1 ) ( )

1 16 16;16 15 31;31 16 496;496 12 508

(1 ) (508)

FC

x x

FC


Branko Žitko 48

Brojevni sustavi Brojevni sustavi pretvorba u binarnipretvorba u binarni

Oktalni Hexadecimalni

0=0001=0012=0103=0114=1005=1016=1107=111

0=00001=00012=00103=00114=01005=01016=01107=0111

8=10009=1001A=1010B=1011C=1100D=1101E=1110F=1111

(16) 1A

0001 1010 11010

(8) 32

011 010 11010


Branko Žitko 49

Brojevni sustavi Brojevni sustavi pretvorba iz binarnogpretvorba iz binarnog

(16)

1011 0001 1100

B 1 C

(8)

101 100 011 100

5 4 3 4

Oktalni Hexadecimalni

0=0001=0012=0103=0114=1005=1016=1107=111

0=00001=00012=00103=00114=01005=01016=01107=0111

8=10009=1001A=1010B=1011C=1100D=1101E=1110F=1111


Branko Žitko 50

• Pretvaranje oktalnog zapisa u heksadecimalni zapis nekog broja ne može se izvršiti naposredno, već se vrši preko binarnog broja. Jedna tetrada binarnog broja predstavlja heksadecimalni broj. Isto tako, tri znamenke binarnog broja predstavljaju jednu znamenku u oktalnom brojevnom sustavu. Prema tome, oktalni broj se treba prevesti u binarni, a iz binarnog grupiranjem po četiri znamenke izračuna se heksadecimalna vrijednost.

0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0


Branko Žitko 51

Brojevni sustaviBrojevni sustavi zadacizadaci

Pretvori:

110111(2) u (8),(16),(10)

72(8) u (2),(10),(16)

D8F(16) u (2),(8),(10)

4082(10) u (2),(8),(16)


Branko Žitko 52

Logičke funkcije (operacije)Logičke funkcije (operacije)

•Unarne logičke funkcije (1 operand)

•NE (not)

•Binarne logičke funkcije (2 operanda)

•I (and)

•uključivo ILI (or)

•isključivo ILI (xor)


Branko Žitko 53

Logička funkcija NELogička funkcija NE

A NE(A)

0 1

1 0

A NE(A)

laž istina

istina laž

Primjer:

A:=(2>3)

A je laž

NE(A) je istina


Branko Žitko 54

Logička funkcija ILogička funkcija I

A B I(A,B)

laž laž laž

laž istina laž

istina laž laž

istina istina istina

Primjer:

A:=(2>3) B:=(4<6)

A je laž, B je istina

I(A,B) := A i B := (2>3) i (4<6) := I(laž,istina) = laž

A B I(A,B)

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1


Branko Žitko 55

Logička funkcija uključivo ILILogička funkcija uključivo ILI

A B ILI(A,B)

laž laž laž

laž istina istina

istina laž istina

istina istina istina

Primjer:

A:=(2>3) B:=(4<6)


ILI(A,B) := A ili B := (2>3) ili (4<6) := ILI(laž,istina) = istina

A B ILI(A,B)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


Branko Žitko 56

Logička funkcija isključivo Logička funkcija isključivo ILIILI

A B ILI(A,B)

laž laž laž

laž istina istina

istina laž istina

istina istina laž

Primjer:

A:=(2>3) B:=(4<6)


ILI(A,B) := A ili B := (2>3) ili (4<6) := ILI(laž,istina) = istina

A B ILI(A,B)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0


Branko Žitko 57

Logičke funkcije Logičke funkcije prioriteti operacijaprioriteti operacija

Prioriteti izvršavanja logičkih funkcija:

1. NE

2. I

3. ILI, ILI

NAPOMENA: operacije unutar zagrada se uvijek izvršavaju prve

Primjer: za A := 0, B := 1, C := 1

izračunaj A i ne B ili (C ili B)

=0 i ne 1 ili (1 ili 1)=0 i ne 1 ili 1= 0 i 1 ili 1 = 0 ili 1 = 1


Branko Žitko 58

Logičke funkcije Logičke funkcije zadacizadaci

Zadaci:

Za A := 0, B := 0, C := 1

Izračunaj:

1. A ili ne (A i B) ili ne C

2. (A ili ne A) i B ili ne C

3. (A ili ne A i B) ili ne C

4. ne (A ili ne B) ili ne C

Zadaci:

Za A := 1, B := 0, C := 0

Izračunaj:

1. A i ne B ili C

2. C i ne B ili ne A

3. ne B ili C i ne A

4. ne (C ili A) ili ne B

Documents

Ur 03 Brojevni Sustavi Logika