Zapis Podatka i Brojevni Sustavi

BROJEVNI SUSTAVI

POLOŽAJNI BROJEVNI SUSTAVI

BROJEVNI SUSTAV=način zapisivanja brojeva i njihovo tumačenje

Položajni brojevni sustav je sustav kod kojeg položaj znamenke u zapisu određuje njezinu vrijednost

Svaki je brojevni sustav određen vlastitim skupom znamenaka, a ukupni broj različitih znamenaka se naziva OSNOVOM ili BAZOM tog brojevnog sustava

DEKADSKI BROJEVNI SUSTAVI Baza dekadskog brojevnog sustava je 10, a za zapis se rabe

znamenke od 0 do 9 Svaka znamenka u nizu ima jedinstvenu težinsku vrijednost Težinska vrijednost se dobiva tako da se osnova brojevnog

sustava (10) potencira sa eksponentom čija vrijednost ovisi o položaju znamenke u nizu)

Koristi se odjelni zarez (tzv. decimalni zarez) Eksponenti težinskih vrijednosti lijevo od odjelnog zareza su

pozitivni, a desno od njega su negativni Eksponent 1. znamenke lijevo od zareza je uvijek 0 Sa n znamenaka dekadskog brojevnog sustava moguće je

prikazati 10n različitih dekadskih brojeva (npr. Sa 2 znamenke može se prikazati 100 različitih dekadskih brojeva)

Primjer:

67421,35 = 6*104 + 7*103 + 4* 102 +2*101+ 1*100+3*10-1+5*10-2

= 60 000 + 7 000 + 400 + 20 + 1 + 0,3 + 0,05

BINARNI BROJEVI

Binarni brojevi imaju samo 2 znamenke, pa se može reći da binarni broj sa n znamenaka ima 2n mogućih vrijednosti

Baza binarnog brojevnog sustava je 2, a za zapis se rabe brojevi 0 i 1

Binarni se broj na težinske vrijednosti rastavlja isto kao i dekadski broj

Primjer:

11010010 = 1*27 + 1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20

= 128 + 64 + 16 + 2 = 210

Izačunom izraza dobije se dekadska protuvrijednost binarnog broja

KORISTEĆI NAČELO RASTAVLJANJA BROJA NA TEŽINSKE VRIJEDNOSTI MOGUĆE JE SVAKI BROJ IZ BILO KOJEG BROJEVNOG SUSTAVA PRETVORITI U NJEGOVU DEKADSKU PROTUVRIJEDNOST (pri tome treba voditi računa o bazi brojevnog sustava)

Pretvaranje dekadskog broja u binarni

? Broj 21010 pretvori u binarni broj

210:2=105 i ostatak 0105:2=52 i ostatak 152:2=26 i ostatak 026:2=13 i ostatak 013:2=6 i ostatak 16:2=3 i ostatak 03:2=1 i ostatak 11:2=0 i ostatak 1

Smjer čitanja rezultata

VJEŽBA 1

Pretvorite slijedeće binarne brojeve u dekadske:

110101112

21510

101110112

18710

101110012

18510

111010012

23310

VJEŽBA 2

Pretvorite slijedeće dekadske brojeve u binarne:

110011012

20510

101101012

18110

100010002

13610

111011112

23910

OKTALNI I HEKSADEKADSKI BROJEVNI SUSTAVI

Uporaba ovih brojevnih sustava pri radu s računalom je samo pomoć čovjeku i računalo te sustave ne “razumije”

Za skraćeno zapisivanje binarnih brojeva najčešće se rabe OKTALNI i HEKSADEKADSKI brojevni sustavi

OKTALNI BROJEVNI SUSTAV

Baza oktalnog brojevnog sustava je 8, a za zapis se rabe znamenke 0,1,2,3,4,5,6 i 7

Svaka oktalna znamenka se može prikazati sa 3 binarne znamenke, pa je iz tog razloga jednostavno binarni broj pretvoriti u oktalni

PRETVORBA BINARNOG BROJA U OKTALNI

Grupirati binarne znamenke u skupine po 3 počevši od odjeljnog zareza. Ako broj znamenaka nije višekratnik broja 3, krajnje lijeva skupina binarnih znamenaka nadopunjuje se potrebnim brojem 0. Potom je potrebno svaku od skupina znamenaka zamjeniti odgovarajućom oktalnom znamenkom

Oktalni broj

Binarni ekvivalent

0 000

1 001

2 010

3 011

4 100

5 101

6 110

7 111

PRIMJER:

Pretvorite binarni broj 110100102 u oktalni.

11 | 010 | 010

011 | 010 | 010

3 2 2

Rezultat: 3228

VJEŽBA

Pretvorite slijedeće binarne brojeve u oktalne:

110101112

3278

101110112

2738

101110012

2718

111010012

3518

PRETVORBA OKTALNOG BROJA U BINARNI

Svaku oktalnu znamenku potrebno je zamijeniti sa 3 binarne.

Spajanjem skupina binarnih znamenaka dobiva se prikaz zadanog oktalnog broja u binarnom sustavu

PRIMJER:

Pretvorite oktalni broj 12428 u binarni.

1 2 4 2

001 010 100 010

Rezultat: 0010101000102 = 10101000102

VJEŽBA

Pretvorite slijedeće oktalne brojeve u binarne:

100011012

2158

10001112

1078

11101012

1658

100110112

2338

PRETVORBA OKTALNOG BROJA U DEKADSKI

Oktalni broj se pretvara u dekadski rastavljanjem broja na težinske vrijednosti.

PRIMJER:

Pretvorite oktalni broj 3228 u dekadski.

3228 = 3 * 82 + 2 * 81 + 2 * 80

= 192 + 16 + 2 = 21010

VJEŽBA

Pretvorite slijedeće oktalne brojeve u dekadske:

18110

2658

9510

1378

6910

1058

16010

2408

PRETVORBA DEKADSKOG BROJA U OKTALNI

Pretvara se uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem broja u dekadskom prikazu s osnovom brojevnog sustava (8), uz bilježenje ostatka svakog pojedinačnog dijeljenja

PRIMJER:

Pretvorite dekadski broj 21010 u oktalni.

210 : 8 = 26 i ostatak 2

26 : 8 = 3 i ostatak 2

3 : 8 = 0 i ostatak 3

Rezultat: 3228


VJEŽBA

Pretvorite slijedeće dekadske brojeve u oktalne:

3278

21510

3058

19710

2248

14810

3518

23310

HEKSADEKADSKI BROJEVNI SUSTAV

Baza je 16, pa je zapis brojeva potrebno 16 različitih znakova

Rabe se znamenke 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A16 = 1010

B16 = 1110

C16 = 1210

D16 = 1310

E16 = 1410

F16 = 1510

PRETVORBA BINARNOG BROJA U HEKSADEKADSKI

Svaka se heksadekadska znamenka može prikazati sa 4 binarne znamenke

Pretvorba binarnog broja u heksadekadski:

Grupirati binarne znamenke u skupine po 4 (krajnje lijeva skupina binarnih znamenaka se nadopunjuje potrebnim nulama) i svaku skupinu zamijeniti odgovarajućom heksadekadskom znamenkom

Binarni broj Dekadski ekvivalent

Heksadekadski ekvivalent

0000 0 0

0001 1 1

0010 2 2

0011 3 3

0100 4 4

0101 5 5

0110 6 6

0111 7 7

1000 8 8

1001 9 9

1010 10 A

1011 11 B

1100 12 C

1101 13 D

1110 14 E

1111 15 F

PRIMJER:

Pretvorite binarni broj 110100102 u heksadekadski:

1101 0010

1310= D16 2

Rezultat: D216

PRETVORBA HEKSADEKADSKOG BROJA U BINARNI

Svaku heksadekadsku znamenku treba zamijeniti sa 4 binarne

PRIMJER:

Pretvorite hehsadekadski broj 2A216 u binarni:

2 A 2

0010 1010= 1010 0010

Rezultat: 0010101000102 = 10101000102

PRETVORBA HEKSADEKADSKOG BROJA U DEKADSKI

Heksadekadski broj se pretvara u dekadski rastavljanjem na težinske vrijednosti

PRIMJER:

Pretvorite heksadekadski broj D216 u dekadski:

D216 = 1310210 = 13 * 161 + 2 * 160

= 208 + 2 = 21010

PRETVORBA DEKADSKOG BROJA U HEKSADEKADSKI

Pretvara se uzastopnim cjelobrojnim dijeljenjem broja u dekadskom prikazu s osnovom brojevnog sustava (16), uz bilježenje ostatka svakog pojedinačnog dijeljenja

PRIMJER:

Pretvorite dekadski broj 21010 u heksadekadski

210 : 16 = 13 i ostatak 2

13 : 16 = 0 i ostatak 13

1310 = D16

Rezultat: D216


DOMAĆA ZADAĆAPretvorite slijedeće heksadekadske brojeve u binarne: ADA16, 5F316, 11E16, CA716

Pretvorite slijedeće binarne brojeve u heksadekadske: 11101100012, 1001001112,

101012, 1100010102

Pretvorite slijdeće heksadekadske brojeve u dekadske: 5A16, 89B16, 3FA16, 57816

Pretvorite slijedeće dekadske brojeve u heksadekadske: 35610, 78410, 20010, 19310

BINARNO RAČUNANJE

Zbrajanje binarnih brojeva se provodi po pravilima za zbrajanje dvaju bitova:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0 i 1 dalje

Prijenos (1 dalje) se prenosi u susjedni stupac s lijeve strane:

Rezultat: 1001102

prijenos 1 1 1 1

1 1 0 1 1

+ 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0

Oduzimanje se može svesti na zbrajanje (umanjitelj treba pretvoriti u negativan broj)

Npr: 5 – 3 = 5 + (-3) Negativni se brojevi u binarnom sustavu

predočuju s pomoću dvojnog komplementa Dvojni komplement se dobiva na slijedeći

način:a) umanjenik i umanjitelj treba svesti na jednak broj znamenaka (umanjitelju se s lijeve strane dodaje potreban broj 0)b) svaku “0” umanjitelja treba pretvoriti u “1”, i svaku “1” u “0” dobiveni broj je KOMPLEMENT BROJAc) komplementu pribrojiti “1” dobiveni broj je DVOJNI KOMPLEMENT BROJA

Nakon što se umanjeniku pribroji dvojni komplement umanjitelja, treba odbaciti krajnje lijevu jedinicu da bi rezultat bio ispravan.

Umanjenik 1 1 0 1 1

Umanjitelj 0 1 0 1 1

Komplement 1 0 1 0 0

+ 1

Dvojni komplement 1 0 1 0 1

Rezultat: 100002

Prijenos 1 1 1 1 1Umanjenik 1 1 0 1 1

Dvojni komplement + 1 0 1 0 1RAZLIKA 1 1 0 0 0 0

Množenje binarnih brojeva svodi se također na zbrajanje:

Pomnožimo brojeve 10112 i 1112

1 1 1 1

1 0 1 1 * 1 1 1

1 0 1 1

1 0 1 1

+ 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1

DOMAĆA ZADAĆA

prijenos 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1

+ 1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 0

Umanjenik 1 1 0 0 1 1

Umanjitelj 0 0 1 1 0 1

Komplement 1 1 0 0 1 0

+ 1

Dvojni komplement 1 1 0 0 1 1

Prijenos 1 1 1 1Umanjenik 1 1 0 0 1 1

Dvojni komplement + 1 1 0 0 1 1RAZLIKA 1 1 0 0 1 1 0

prijenos 1 1 1 1

1 1 1 0 0 1

+ 1 0 1 0 0 1

1 1 0 0 0 1 0




+ 1


Prijenos 1 1 1 1 1 1Umanjenik 1 1 1 0 0 1

Dvojni komplement + 1 0 1 1 1RAZLIKA 1 0 1 0 0 0 0

prijenos 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

+ 1 0 0 1 1

1 0 1 0 0 1 0




+ 1



Dvojni komplement + 1 0 1 1 0 1RAZLIKA 1 1 0 1 1 0 0

prijenos 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

+ 1 0 0 0 0 1

1 0 1 1 0 0 0




+ 1



Dvojni komplement + 1 1 1 1 1RAZLIKA 1 0 1 0 1 1 0

BIT i BAJT

Bit (engl. binary digit) je najmanja jedinica podataka koju računalo može prepoznati

Može imati 2 stanja: istina/laž, da/ne, isključeno/uključeno, no najčešće se pod bitom podrazumijeva jedna binarna znamenka koja može biti 0 ili 1.

Bajt (engl. Byte) je 8 binarnih znamenaka Koriste se veće jedinice: KB, MB, GB i TB K je prefiks za kilo i ima vrijednost 1024 (210=1024)

zbog binarne naravi računala.

1 KB = 1.024 bajta

1 MB = 1.024 KB = 1.024 1.024 bajt = 1.048.576 bajta

1 GB = 1.024 MB = 1.024 1.024 1.024 bajta

= 1.073.741.824 bajta

KÔD I KÔDIRANJE

Iz potrebe da računala međusobno komuniciraju i razmjenjuju podatke nastala je potreba za normama za razmjenu podataka između računala i čovjeka te između različite računalne opreme

Trebalo je stvoriti niz znakova ili simbola kojima bi se omogućila jednoznačna razmjena podataka

Uz pomoć pravila se različitim znakovima koje koristimo pripisuju binarni brojevi, tako da svaki takav binarni broj predstavlja jedan znak.

Takav postupak pripisivanja binarnih brojeva znakovima vanjskog svijeta naziva se KÔDIRANJE

• Vanjski svijet:simboli i znakovi

• Računalo:binarni brojevi

1000101

0010010

1101101

0110111

...

A bC

13kôdiranje

KÔDIRANJE

Da bi se riješio problem nekompatibilnosti kôdova trebalo ih je normirati

Normiranje kôda je točno definiran način na koji se slova, brojevi i posebni znakovi pretvaraju u binarni oblik prihvatljiv računalu

Kod računala se za kôdiranje znakova rabi nekoliko kôdnih sustava od kojih je najrasprostranjeniji ASCII kôd.

To je norma koja propisuje pridjeljivanje sedmeroznamenkastog binarnog broja dekadskim znamenkama (omogućuje prikaz ukupno 128 različitih znakova – 27)

A 1000001

B 1000010

C 1000011

? 0111111

3 0110011

& 0101010

Prva 32 binarna broja su namijenjena nadzorno upravljačim znakovima (ne vide se na zaslonu monitora), a ostalih 96 su znakovi koji se mogu vidjeti na zaslonu monitora (slova, brojevi, znakovi interpunkcije itd.)

Postoji i prošireni ASCII kôd koji koristi 8 bitova pa može ukupno prikazati 256 različitih znakova

Kod nas se primjenjuje nekoliko različitih kôdnih normi (za prikaz dodatnih skupova znakova specifičnih za naš jezik): CROSCII, IBM CP 852 (Latin II), Microsoft CP 1250 (Latin 2), ISO 8859-1, ISO 8859-2 i Unicode

UNICODE To je međunarodna norma čiji je krajnji cilj

kôdirati svaki znak svakog postojećeg ljudskog jezika jedinstvenim binarnim brojem

On za kôdiranje svakog znaka rabi 16-bitni binarni broj (moguće je kôdirati ukupno 65.536 znakova)

Bez obzira o kojem je jeziku riječ, isti znak je kôdiran uvijek istim binarnim brojem

Početnih 128 kôdova Unicode kôda sukladno je postojećem ASCII kôdu

Primjeri različitih kodnih normi

PONAVLJANJE I UTVRĐIVANJE GRADIVA

Pretvorite slijedeće brojeve u oktalne:

11010112, 110012, 1000002, 10101012, 112,

100110, 9910, 76210, 6510, 36.29810,

Pretvorite slijedeće brojeve u heksadekadske:

111101102, 100012, 1010001102, 1112, 102,

151210, 4810, 56610, 244410, 75610

PONAVLJANJE I UTVRĐIVANJE GRADIVA

Pretvorite slijedeće brojeve u dekadske:

11010102, 10001012, 11112, 110011002, 1002

7778, 568, 1768, 3548, 20078, 148,

B3216, CAC16, 78D16, 3F16, FAB16,

Pretvorite slijedeće brojeve u binarne:

99910, 24610, 5510, 31810, 404010,

1778, 12348, 76448, 208, 6508,

F1316, AC516, FFE16, 35616, 9B916

Documents

Zapis Podatka i Brojevni Sustavi