Brojevni sistemi

Brojevni sistemi

Brojevni sistemi Brojevni sistem je skup pravila

formulisanih u cilju izražavanja kvantitativnih svojstava koda brojnih podataka

KodU komunikacijama, kod je skup pravila po

kojima se jedna informacija (slovo, reč...) konvertuje u neki objekat ili akciju, koji ne moraju biti iste prirode.

Primer koda je telegrafski kod, po čijim pravilima se svako slovo engleske abecede reprezentuje kombinacijom kratkih i dugih zvučnih signala iste frekvencije, što je pogodno za transfer putem različitih nosača (žica, radio odašiljač, izvor svetlosti itd).

Svi podaci u računaru su predstavljeni u binarnom brojevnom sistemu. To je pozicioni brojevni sistem sa osnovom dva, odnosno pozicioni brojevni sistem koji poznaje samo dve različite cifre: 0 (nulu) i 1 (jedinicu).

Iz tog razloga, nadalje će akcenat biti stavljen najviše na proučavanje binarnog brojevnog sistema.

Pored njega biće pomenuti i heksadecimalni i oktalni sledeći brojevni sistemi.

Podela brojevnih sistema

Osnovna podela brojevnih sistema: * nepozicioni brojevni sistemi

* pozocioni brojevni sistemi

Podela brojevnih sistemaNepozicioni brojevni sistemi

Simbol koji označava broj (cifra) ima istu vrednost nezavisno od toga gde se nalazi u zapisu broja.

Primer za nepozicioni brojevni sistem su rimski brojevi.

Vrednost zapisa broja računa se tako što se cifre saberu. Jedini izuzetak je kada je manja cifra levo od veće,

onda se ona od te veće oduzima, namesto njih dve u zbir ulazi rezultat tog oduzimanja.

Podela brojevnih sistemaPozicioni brojevni sistemi:

Simbol koji označava broj (cifra) ima različitu vrednost u zavisnosti na kojoj se poziciji nalazi u zapisu broja.

Primer za pozicioni brojevni sistem je dekadni (naš) brojevni sistem, binarni, heksadekadni itd.

Prevođenje brojeva između različitih brojevnih sistema

S obzirom na to da je za poznavanje funkcija računara najbitnije poznavanje binarnog brojevnog sistema, a da se u svakodnevnom životu koristi dekadni BS, akcenat će biti stavljen upravo na prevođenje brojeva između ova dva brojevna sistema.


Osim binarnog, biće obrađena još dva BS, takođe bliska unutrašnjosti računara: heksadecimalni brojevni sistem (osnova: 16) i oktalni brojevni sistem (osnova: 8).

Pokazaće se da su ova dva brojevna sistema srodna binarnom, te da su postupci prevođenja između ova tri brojevna sistema gotovo trivijalni.


Zapis broja u binarnom brojevnom sistemu najjednostavnije je pokazati na primeru.

U nerednoj tabeli su dati zapisi određenih brojeva u dekadnom i binarnom brojevnom sistemu.


Dekadni brojevni sistem Binarni brojevni sistem 0 000 1 001 2 010

3 011 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111


Postoji dva moguća smera prevođenja:

dekadni → binarni i binarni → dekadni.

binarni → dekadni

Primer: jedan sedmocifren binarni broj: X=1101001

binarni → dekadni

Zaključak: zna se koja binarna cifra nosi koliku vrednost (ako je njena težina p, onda ona nosi vrednost 2p). Uzmu se u obzir samo jedinice, i saberu im se pripadajuće vrednosti.

Na sličan način prevodi se i razlomljeni deo binarnog broja.

binarni → dekadni Primer: Trocifreni binarni broj 101

Dekadni u binarni Ova transformacija biće pokazana na konkretnom

primeru (na način na koji se u praksi najčešće izvodi). Konverzija iz binarnog u dekadni zasnivala se na

množenju (binarna cifra se množila stepenom osnove, i onda dodavala na sumu).

Logično je da se suprotna transformacija zasniva na - deljenju.

I u ovom slučaju prevodimo nezavisno ceo deo broja i njegov razlomljeni deo a zatim prevedeni razlomljeni deo dopisujemo do prevedenog celog dela broja.

Dekadni u binarni Primer: Prevedimo broj 44 iz dekadnog u binarni

brojni sistem 44:2 = 22 ostatak: 0 Ostatak 0 biće cifra najmanje

težine binarnog broja. Upisujemo je na poziciju najmanje težine.

22:2 = 11 ostatak: 0 11:2 = 5 ostatak: 1 5:2 = 2 ostatak: 1 2:2 = 1 ostatak: 0 1:2 = 0 ostatak: 1 Postupak se završava kada se u deljenju dođe do

nule (1:2=0, ost. 1) Rezultat: Dekadni broj 44 preveli smo u binarni broj

101100

Dekadni u binarni Postupak prevođenja razlomljenog dela je sličan

prevođenju celog broja, osim što se sada: umesto deljenja, vrši množenje cil jnom osnovom

(dakle množenje sa 2), i umesto da se gleda ostatak pri deljenju, ovde se

gleda da li se, pri množenju dvojkom, pojavila jedinica ispred zareza (u celom delu broja), i ako se pojavila - ona se upisuje u dobijeni binarni broj. Nakon upisivanja jedinice u dobijeni binarni broj, nadalje se množi samo razlomljni deo broja.

Dekadni u binarni Primer: Prevodimo dekadni broj 0,84375 u binarni

broj. 0,84375·2=1,6875 Prilikom množenja dvojkom,

pojavila se jedinica u celobrojnom delu. To je prva cifra prevedenog binarnog broja iza decimalnog zareza, a na mestu gde je dekadni broj, pišemo samo razlomljeni deo a to je 0,6875

0,6875·2=1,375 0,375·2=0,75 0,75·2=1,5 0,5·2=1,0 0,0 Prevođenje prekidamo kada dekani broj postane 0. Dobijeni prevedeni binarni broj je sada: 0,11011

Računske operacije sa binarnim brojevima

Aritmetičke operacije u binarnom sistemu obavljaju na način potpuno identičan onome na koji smo navikli u dekadnom.

U memoriji računara binarni brojevi sa pamte kao označeni i neoznačeni.

Kod označenih brojeva se jedan bit odvaja za predstavljanje znaka broja (0 za pozitivne i 1 za negativne brojeve). Neoznačeni brojevi su pordazumevano pozitivni (jer ne postoji bit koji označava znak broja).

Ovde će biti prikazane 4 osnovne aritmetičke operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) nad dva neoznačena binarna broja i sabiranje označenih binarnih brojeva.

Sabiranje neoznačenih binarnih brojeva

Treba npr. sabrati dekadne brojeve 55 i 11 odnosno odgovarajuće binarne vrednosti:

(55)10 = (110111)2 (11)10 = (001011)2

Sabiramo cifre počev od mesta najmanje težine (prvo sa desne strane).


1 + 1 daju dekadnu vrednost 2 odnosno binarnu vrednost 10. U ovom slučaju za rezultat pišemo cifru 0 i imamo prenos 1 na mesto veće težine:

1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0


Sabiramo sledeću cifru: 1 + 1 + 1 = 3 (dekadno) odnosno 11 (binarno). U ovom slučaju se za rezultat piše binarna cifra 1 i na mesto veće težine se prenosi 1:

1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0Istom logikom sabiranje se vrši do kraja.


"Tablica sabiranja" bi izgledala ovako:


Ukupan rezultat izgleda: 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0

Oduzimanje neoznačenih binarnih brojeva

Od broja 100111 treba oduzeti broj 1011. Da bi bilo jasnije drugi broj dopunjujemo vodećim 0 sa leve strane.

1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1


Oduzimanje započinjemo od mesta najmanje težine.

Kod prve dve cifre jasno je da je 1 - 1 = 0 pa cifru 0 pišemo kao rezultat. Kod treće cifre je 1 - 0 = 1 pa 1 pišemo kao rezultat.

1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0


Ali, kod četvrte cifre od 0 treba oduzeti 1 što nije moguće pa u tom slučaju pozajmljujemo jednu jedinicu sa prvog sledećeg mesta koje nema vrednost 0 (odnosno ima vrednost 1) a to je šesta cifra prvog broja.

Kada sa neke pozicije pozajmimo 1 i prebacimo na prvo sledeće mesto manje težine, na tom mestu se dobija vrednost 2 (odnosno binarno 10).


0 10 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0


Kako još uvek nismo došli do odgovarajućeg mesta (četvrta cifra) od pete cifre (koja trenutno ima vrednost 10, dekadno 2) pozajmimo 1 (na tom mestu ostaje 1) pa na mesto sledeće manje težine dobijamo vrednost 10 (dekadno2).

Sada možemo da od 10 (dekadno 2) oduzmemo 1 pa dobijamo rezultat 1.


0 1 10 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0


Nadalje je postupak jasan pa je ukupan rezultat:

0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0

Množenje neoznačenih binarnih brojeva

Treba pomnožiti binarne brojeve 110111 i 1011.

Množenje binarnih brojeva se izvodi na potpuno isti način kao i množenje dekadnih brojeva pa je:

Množenje neoznačenih binarnih brojeva

110111 x 1011 = 1 1 1 10 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1--------------------------- 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1

Deljenje neoznačenih binarnih brojeva

Radi podsećanja, prvo će biti pokazan primer dekadnog deljenja. Broj 3742 delimo sa 27:

3742 : 27 = Pogleda se prva cifra (cifra najveće težine)

deljenika. Da li je veća od delioca? U našem slučaju nije (3 nije veće od 27).

Ili kako se to drugačije kaže: 27 se ne sadrži u 3 ni jednom, odnosno 0 puta.

U skladu sa ovim mogli bismo u rezultatu da pišemo nulu, što ne menja tačnost, ali se to preskače jer nema mnogo smisla.


Onda se uzima sledeća cifra deljenika (7) zajedno sa prvom, i posmatra se kombinacija (37). Da li je ta kombinacija veća od delioca (da li se delioc bar jednom sadrži u njoj)?

Ako ne, uzećemo i treću cifru. Ali kod nas se sadrži. 27 (delioc) se u 37 ne sadrži više od jednom, pa pišemo 1 kao prvu cifru rezultata...

Onda cifrom rezultata koju smo dobili množimo delioc. 1x27=27.

Rezultat množenja potpisujemo ispod grupe (37). Od grupe (37) oduzmemo potpisani broj (27), zapišemo rezultat.


Pridodamo mu sledeću cifru deljenika (4).


Nadalje isto: koliko se (max.) puta 27 sadrži u 104? Zapišemo u rezultat. Pomnožimo to sa deliocem. Potpišemo, itd.


Kada nema više cifri deljenika (što se ovde desi kada dopišemo dvojku), na rezultat stavljamo zarez, a dole dalje dopisujemo nule (jer deljenik može da se posmatra kao 3742,0000...), i računamo razlomljeni deo.


Naisti način se izvodi i deljenje binarnih brojeva. Podelimo sada binarne brojeve 110111 i 1011:

Pošto su brojevi deljivi ne postoji razlomljeni deo, ali, kada brojevi nisu deljivi stavljamo zarez i dopisujemo 0 pa nastavljamo sa deljenjem i izačunavamo razlomljeni deo broja.

Education

Brojevni sistemi