Iskazni račun

1. Definisati konjukciju dva iskaza.

Konjukcija iskaza p i iskaza q je složen iskaz p q,

za koji je (p q) = 1

def

(p) = (q) = 1.

3. Definisati isključnu i uključnu disjunkciju.

koja je razlika izmedju ove dvije dis-

junkcije?

Disjunkcija (inkluzivna) iskaza p i iskaza q je

složen iskaz p q za koji je (p q) = 1

def

(p) =

1 ili (q) = 1. (ekskluzivna): (p q) = 1

def

ili

(p) = 1 ili (q) = 1.

Kod inkluzivne mogu oba iskaza biti 1(tačna)

istovremeno, rezultat je 1; a kod ekskluzivne

može samo biti ili jedan ili drugi iskaz tačan da bi

rezultat bio 1.

5. Definisati implikaciju iskaza.

Implikacja iskaza p i iskaza q je složen iskaz p q

za koji je (p q) = 0

def

(p) = 1 i (q) = 0.

7. Neki čovjek svako jutro kad se probudi izgovori rečenicu: ”Ako je danas nedjelja, sutra je subota.” Da li je ova osoba

”glupa”? Obrazložiti!

Kojim god danom ovo covjek izgovori iskaz je

tačan osim kad to uradi u nedjelju. ako ovo kaže u

srijedu

nije nedjelja-->0, sutra nije subota-->0 pa je

konacno 1. Ako kaže u petak znači nije nedjelja--

>0, sutra je subota-->1 pa je opet konačno 1.

(budali je svaki dan Bajram XD)

8. Definisati ekvivalenciju iskaza.

Ekvivalencija iskaza p i iskaza q je složen iskaz

p q za koji je (p q) = 1

def

(p) = (q).

Skupovi, relacije i preslikavanja 11. Definisati uniju, presjek i razliku skupova.

Def: Unija skupa A i skupa B je skup A B, koji

sadrži sve elemente skupa A i sve elemente skupa

B i samo njih. Dakle A B = {x| x A x B}.

Def: Presjek skupa A i skupa B je skup A B, koji

sadrži elemente skupa A koji istovremeno

pripadaju i skuu B. Dakle A B = {x| x A

x B}.

Def: Razlika skupova A i B je skup A\B koji

sadrži elemnte skupa A koji ne pripadaju skupu B,

tj A\B = {x| x A x B}.

12. Definisati razliku dva skupa i komplement skupa. Kakva je veza izmedju

ovih skupova?

Def: Razlika skupova A i B je skup A\B koji

sadrži elemente skupa A koji ne pripadaju skupu

B, tj A\B = {x| x A x B}.

Def: Ako je A S tada skup S\A nazivamo

komplement skupa A u odnosu na skup S i

označavamo sa AC

= CS(A)

def

{x S|x A}.

13. Ako je uredjeni par elemenata a i b skup {{a}, {a, b}}, kako definišemo uredjenu trojku elemenata x, y i z?

Def: Skup (a,b,c) naziva se uređena trojka u kojoj

je a – prva komponenta, b – druga komponenta i c

– treća komponenta; definiše se pomoću:

(a,b,c) = ((a,b), c) ((a,b), c) = {{(a,b)},

{(a,b),c}}

14. Navesti osobine binarnih relacija

(naziv i matematički zapis).

-refleksivnost: ( a D ): a a

-simetričnost: ( a,b D ): a b b a

-antisimetričnost: ( a,b D ): (a b b a) a=b

-tranzitivnost: ( a,b,c D ): (a b b c) a c

15. Šta je klasa ekvivalencije? Dokazati stav o klasama ekvivalencije.

Posljedica uvođenja relacije ekvivalencije na

nekom skupu A je podjela skupa A pomoću

relacije ~. Da bismo to uočili, prvo ćemo u skupu

A posmatrati skup indeksiran proizvoljnim

elementom x iz A

,

Kao skup svih elemenata skupa A koji su u relaciji

sa elementom x. Jasno je da skup C(x) sadrži

element x. Skup C(x) se naziva klasa

ekvivalencije elemenata x.

Stav: Ako su C(x) i C(y) dvije klase ekvivalencije

u skupu A, tada je C(x) = C(y) ili C(x) C(y) =

.

Dokaz: Dakle, tvrdimo da ako klase C(x) i C(y)

imaju neprazan presjek, tada se one poklapaju. Iz

C(x) C(y) = slijedi da postoji z C(x)

C(y) , tj. z C(x) z C(y). U tom slučaju iz x

C(x) x~z z~y x~y, dakle x C(y).

Time smo pokazali da je C(x) C(y). Zbog

simetrije problema važi i obrnuto, tj. C(y) C(x),

onda dakle zaključujemo da je C(x) = C(y).

17. Definisati gornje ograničenje skupa i supremum skupa. Koja je razlika izmedju supremuma skupa i maksimalnog elementa skupa?

Def: Neka je u skupu A definisana relacija poretka

p. Element a A naziva se majornata (gornje

ograničenje skupa A1 A, ako je ( x A1): x < a.

Ako pri tome element a pripada skupu A1, tada je

a maksimalni element skupa A1.

Def: Neka je skup A uređen. Supremum (ili gornja

međa) skupa A1 A je minimum skupa majornata

skupa A1. Značava se sup A1.

Supremum ne pripada skupu :S aaa max element

pripada.

18. Definisati donje ograničenje skupa i infimum skupa. Koja je razlika izmedju infi- muma skupa i minimalnog elementa skupa?

Def: Neka je u skupu A definisana relacija poretka

p. Element b A naziva se minoranta (donje

ograničenje) skupa A1 A, ako je ( x A1): b < x.

Ako b A1, tada je b minimalni element skupa A1.

Def: Infimum (ili donja međa) skupa A1 A je

maksimum skupa minoranata skupa A1 i označava

se inf A1.

21. Definisati bijektivno preslikavanje uz objašnjenje svih pojmova koji se javljaju u toj definiciji.

Def: Za preslikavanje f: X Y kažemo da je

bijekcija skupa X i skupa Y ili obostrano-

jednoznačno preslikavanje skupova ako je f

istovremeno injekcija i surjekcija.

Def: Neka je f: X Y. Ako je f(x) = y tj. ako je

svaki y Y slika bar jednog x X, kažemo da je

preslikavanje f surjekcija ili preslikavanje „na“.

Def: Preslikavanje f: X Y naziva se injekcija ako

i samo ako se različiti elementi skupa X

preslikavaju u različite elemente skupa Y, naziva

se još preslikavanje „1-1“.

22. Definisati kompoziciju dva preslikavanja. Neka su zadata

preslikavanja f: R R i

g: R R, definisana sa f(x) = 3x + 2 i g(x) =

x(x − 1), formirati preslikavanja f ° g i g ° f.

Def: Kompozicija ili superpozicija preslikavanja

f: X Y i preslikavanja g: X Y je preslikavanje

h = g ° f: X Z, definisano pomoću ( x X): h(x)

= g(f(x)), tj. (g°f)(x) g(f(x)). Preslikavanje h se

zove složeno preslikavanje ili složena funkcija.

(

23. Za preslikavanje f: R R, definisano sa

, formirati preslikavanja f -1

i

REALNI, kompleksni

24. Navesti aksiome skupa realnih brojeva

za operaciju sabiranja.

U skupu definisana je i zatvorena

operacija sabiranja, tj. bilo kom paru elemenata odgovara

jedinstven element ;

*

25. Navesti aksiome skupa realnih brojeva za operaciju množenja.

U skupu definisana je i zatvorena

operacija množenja, tj. bilo kom paru

odgovara jedinstven

element

26. Navesti aksiome skupa realnih brojeva koje se odnose na relaciju uredjenja.

Relacija ≤ ima sljedeća svojstva:

29. Iskazati stav koji govori o rješivosti jednačine a + x = b u skupu realnih brojeva, a

zatim ga i dokazati. (Obavezno zapisati iskaze aksioma koji se koriste u dokazu!)

Stav: Za svako a,b R, jednačina a + x = b ima

jedinstveno rješenje u R dato sa: b + (– a), koje po dogovoru označavamo b – a.

Dokaz: Ako jednačini a + x = b dodamo element

– a s lijeve i desne strane, tada zbog aksiome

;

imamo: (– a) + (a + x) = (– a) + b; a zbog i

slijedi (– a + a) + x = b + (– a); pa zbog

aksiome * vrijedi x = b + (– a), odnosno x = b – a.

Ako vratimo ovo x u jednačinu imamo a + b – a =

b (zbog S1,2,4) b = b.

30. Iskazati stav koji govori o rješivosti jednačine a · x = b u skupu realnih brojeva, a zatim ga i dokazati. (Obavezno zapisati iskaze aksioma koji se koriste u dokazu!)

Stav: Ako su a (a 0) i b bilo koji realni brojevi,

tada jednačina a · x = b ima jednistveno rjepšenje

u R oblika a-1

b, koje ćemo označiti sa .

Dokaz: budući da je a 0 postoji a-1

0, pa ako a

· x = b pomnožimo sa a-1

, dobijamo: a-1

(a · x) = a-

1b. Zbog

imamo da je (a-1

a) · x = a-1b. Zbog

slijedi x = a

-1b. Zamjenom ovog rjesenja u

jendačinu a · a-1

b. = b, b = b.

31. Dokazati stav: ( a R) a · 0 = 0. Šta je

poruka ovog stava?

Dokaz: Pošto je 0+0 = 0, onda je a (0+0) = a 0,

odakle je zbog (MS) (množenje je distibutivno

prema sabiranju) ( x,y,z R): x(y + z) = xy + xz;

a 0 + a 0 = a 0. Kako je 0 neutralni element, onda

vrijedi da je a 0 + a 0 = a 0 + 0 = a 0, pa zbog

jedinstvenosti neutralnog elementa mora biti a 0 = 0.

Primjetimo da ako a · 0 = 0 nije tačno, već da je

npr. a · 0 = b, gdje je b 0, tada je , pa je

, što nije moguće jer 0 nema inverznog

elementa. Ili drugim riječima: nema smisla dijeliti s nulom, što je poruka ovog stava.

32. Dokazati stav: ( a, b R) (a ≤ b – b

≤ – a). Kako riječima iskazujemo ovaj

stav?

Dokaz: Na osnovu aksiome

važi implikacija

a ≤ b a + (– a) ≤ b + (– a), tj. 0 ≤ b + (– a). Iz istog razloga – b ≤ (– b) + (b + (– a)), tj – b ≤ – a

Riječima: ako nejednakost množimo negativnim brojem, tada ona

Apsolutna vrijednost:

*

* Neka su , tada je

*|a + b| ≤ |a|+|b|

35. Navesti aksiome skupa prirodnih brojeva.

Definicija: Skup prirodnih brojeva N, je podskup

skupa R sa svojstvima 1° 1 je prirodan broj 2° Svaki prirodni broj n ima tačno jednog

sljedbenika n+ = n + 1

3° Uvijek je n+ ≠ 1, tj 1 nije sljedbenik ni jednog

prirodnog broja.

4° Ako je m+ = n+ onda je i m = n , tj ako su

sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.

(Aksioma indukcije) Svaki podskup M skupa N, {i ako važe svojstva 1 i 2} {koji sadrži broj 1 i

sljedbenika svakog svog elementa sadrži sve

prirodne brojeve} tj M = N.

36. Da li jednoj tački kompleksne ravni odgovara jedan kompleksan broj? Odgovor obrazložiti koristeći trigonometrijski oblik

kompleksnog broja. 37. Jednačinu x

2 + 1 = 0 rješiti u skupu

kompleksnih brojeva.

Jednačina x

2 + 1 = 0 ima dva rješenja u skupu C.

Neka je z = (u,v); u,v R. Tada je

z2 + 1 = 0 (u,v) (u,v) + (1, 0) = (0,0) (u

2 –

v2, uv + uv) + (1, 0) = (0,0) (u

2 – v

2, 2uv) =

(0,0) + (–1, 0) (u2 – v

2, 2uv) = (–1, 0)

u2 – v

2 = –1 i 2uv = 0

iz druge j-ne izrazimo da je u=0, pa imamo v2 =

1 v = 1

imamo dva para rješenja (u=0, v=1), (u=0, v=–1).

Dakle rješenja jednačine z2 + 1 = 0 su z1 = (0,1) =

i, z2 = (0,–1) = –i.

38. Navesti formule za izračunavanje modula i argumenta kompleksnog broja z = x+iy.

39. Navesti Moivreovu formulu. Izračunati z

3 ako je z = 1 + i.

40. Kako glasi formula za korjenovanje kompleksnog broja? Objasniti uvedene

oznake.

Ako prijeđemo u trigonometrijske oblike

i iskoristimo Moivre-ovu formula za stepen, iz * dobijamo

odakle je na osnovu jednakosti k.b

Prema tome, ako je

tada je

Matrice i determinante 41. Definisati pojam matrice i njene

osnovne elemente.

Neka su m i n prirodni brojevi. Skup A realnih ili

kompleksnih brojeva aij (i = 1, 2…m; j = 1, 2…n)

koje zapisujemo u obliku pravougaone sheme

Zvaćemo matrica. Za ovu matricu kažemo da ima

m vrsta i n kolona ili da je formata m×n. Brojeve

aij (i = 1, 2…m; j = 1, 2…n) zovemo elementima

matrice. Brojevi aik (k = 1, 2…n) čine i-tu vrstu

matrice A, a brojevi akj (k = 1, 2…m) čine j-tu

kolonu matrice A.

42. Ako je matrica formata m × n, kako glase elementi njene pretposljednje kolone i

druge vrste?

Pretposljednja kolona:

Druga vrsta:

43. Kod kojih matrica možemo govoriti o tragu matrice. Definisati trag matrice.

Kod kvadratnih matrica. Matrica je kvadratna ako

je broj vrsta jednak broju kolona matrice, tj. m =

n. Za elemente kažemo da čine

dijagonalu matrice A. Zbir elemenata kvadratne

matrice koji čine glavnu dijagonalu zove se trag

matrice A i obiljžava se sa trA. Dakle

44. Definisati determinantu matrice. U definiciji determinante se pojavljuje determi- nanta Aik. Kako je nazivamo i da li je ovakva definicija determinante korektna? Obrazloziti!

Definicija: Neka je zadata matrica [Aij]n×n (n>1).

Pod determinantom matrice podrazumjevamo broj

, pri čemu su Aik

jednaki determinanti matrice koju dobijemo kada

od polazne matrice prekrižimo i-tu vrstu i k-tu

kolonu. Aik nazivamo algebarskim kofaktorom

matričnog elementa aik. (oznaka matrice)

Matrica reda 1 se sastoji od samo jednog elementa

i uzimamo po definiciji da je determinata te matric

ejednaka uravo tom elementu. S obzirom da se

determinanta kvadratne matrice reda n definiše

pomoću determinanata kvadratnih matric areda n

– 1, čini nam se da ova definicija nije korektna.

Medjutim, i za determinante Aik možemo kristiti

istu definiciju, budući da ona važi n >1. Time se

detA može predstaviti pomoću determinanti

kvadratnih matrica reda n – 2. Nastavljajući isti

postupak dolazimo do determinante matrica prvog

reda koje odredjujemo neposredno.

45. Iskazati Stav Laplaceov razvoj determinante. U tom stavu se pojavljuju dvije for-

mule, koja je razlika izmedju njih?

Za svaku

kvadratnu matricu reda i svako

važi.

Razlika je što je kod jedne razvoj po vrstama a

kod druge razvoj po kolonama.

46. Za koje determinante navodimo Sarrusovo pravilo i kako to pravilo glasi?

Navodimo ga za determinante 3×3. Glasi:

47. Navesti bar pet osobina determinanti.

1° detA = detA

T, za ma koju kvadratnu matricu A.

2° Ako je i-ta kolona (vrsta) matrice A linearna

kombinacija kolona (vrsta) P i Q, tj. oblika je 1P

+ 2Q, tada je detA = 1 detAP + 2 detAQ gdje su

AP i AQ matrice dobijene iz matrice A zamjenom

i-te kolone (vrste) kolonom (vrstom) P odnosno Q.

3° Ako u matrici promjene mjesta ma koje dvije

kolone (vrste), tad njena determinanta mijenja

znak.

4° Ako matrica A ima dvije jednake kolone (vrste)

tada je detA = 0.

5° Ako je jedna kolona (vrsta) matrice A linearna

kombinacija ostalih kolona (vrsta), tada je detA =

0.

6° Determinanta matrice A se ne mijenja ako ma

kojoj koloni (vrsti) dodamo linearnu kombinaciju

ostalih kolona (vrsta) matrice A.

7° Determinantu množimo brojem tako što joj

proizvoljnu kolonu (vrstu) pomnožimo sa tim

brojem.

8° Ako determinanta ima kolonu (vrstu)

sastavljenu od nula, tada je detA = 0.

49. Definisati minor i bazisni minor matrice formata m × n.

Posmatrajmo matricu A = [aij]m×n. Ako iz matrice

A izdvojimo r (r ≤ m) vrsta koje su numerisane

redom i1, i2, ... K ..., ir i pri čemu je 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ ...

L ... ≤ ir ≤ m i s (s ≤ n) kolona koje su numerisane

sa k1, k2, ... L ..., ks i pri čemu je 1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ ... L

... ≤ ks ≤ n tada elementi koji se nalaze u

presjecima izdvojenih vrsta i kolona obrazuju

matricu tipa r×s, tj. Matricu....

Minor proizvoljnog elementa determinante

matrice je determinanta matrice, koja je

dobijena iz matrice brisanjem vrste i

kolone.

Neka je A=[aij]m×n tada za minor reda r matrice A

kažemo da je bazisni, ako je on različit od nule a

svi minori reda r + 1 ako postoje su nule. Jasno je

da je r ≤ min(m,n) kao i da matrica može imati

više različitih bazisnih minora koji su istog reda.

50. Definisati rang matrice formata m × n. Koje su moguće vrijednosti ranga ovakve matrice?

Definicija: Red bazisnog minora matrice

A=[aij]m×n zovemo rangom matrice A i

obilježavamo sa RgA. Ako su svi elementi matrice

A nule, tada po definiciji smatramo da je RgA = 0.

51. U nalaženju ranga matrice služimo se elementarnim transformacijama. Navesti ih.

1*. Množenje kolona vrsta jednim

brojem različitim od nule;

2*. Dodavanje jednoj koloni vrsti neke druge kolone vrste ;

3*. Zamjena mjesta dviju kolona vrsta ;

Pri elementarnim transformacijama

rang matrice se ne mijenja.

53. Ako na matricu A primjenimo neku elementarnu transformaciju, dobijamo

matricu B. Kako nazivamo takve matrice i koja je veza izmedju njih?

Za dvije matrice A i B istog reda koje se mogu

transformisati jedna u drugu konečnim brojem

elementarnih transformacija, kažemo da su

ekvivalentne i pišemo A B. Ekvivalentne matrice

imaju isti rang. Obrnuto ne važi.

56. Za zadatu matricu A = [aij ]n×m, kako glasi njena transponovana matrica. Koje specijalne matrice imamo vezano za transponovanje matrica?

Kvadratna matrica A=[aij]n×n je simetrična matrica

ako je A = AT, tj. aij = aji (i,j = 1, 2, ...n).

Kvadratna matrica A=[aij]n×n je antisimetrična

ako je A = –AT, tj. aij = –aji (i,j = 1, 2, ...n).

Kvadratna matrica A=[aij]n×n je hermitska matrica

ako je A = AT, tj. aij = aji (i,j = 1, 2, ...n).

Kvadratna matrica A=[aij]n×n je antihermitska ako

je A = –AT, tj. aij = –aji (i,j = 1, 2, ...n).

57. Definisati operaciju sabiranja nad matricama. Navesti osnovne osobine sabiranja

matrica.

Zbir matrica A=[aij] i B=[bij] istog reda m×n, je

matrica C=[cij] reda m×n, gdje je cij = aij + bij (i =

1, 2…m; j = 1, 2…n).

Osobine :

1° A + B = B + A; komutativni zakon u odnosu na

operaciju sabiranja matrica

2° (A + B) + C = A + (B + C); asocijativni zakon

u odnosu na operaciju sabiranja matrica

58. Definisati množenje matrice skalarom.

Navesti osnovne osobine ovog množenja.

Matrica A=[aij]m×n se množi brojem tako što se

svaki njen element pomnoži tim brojem , tj.

A=[ aij], (i = 1, 2…m; j = 1, 2…n).

Osobine:

1° (A + B) = A + B; distributivnost operacije

množenja brojem u odnosu na operaciju sabiranja

matrica

2° ( + )A = A + B; distributivnost u ondsou

na sabiranje brojeva

59. U definiciji kanonskog produkta koje tipove matrica množimo i kako definišemo to množenje? Šta je bitno u tom množenju i šta je rezultat tog množenja? 60. Definisati operaciju množenja nad

matricama i navesti osnovne osobine množenja matrica.

Pod kanonskim proizvodom dviju uređenih n-

torka brojeva (a1, ..., an) i (b1, ..., bn)

podrazumjevamo broj

Proizvod matrica A i B definiše se samo ako

matrica A ima onoliko kolona koliko i matrica B

vrsta. Neka je matrica A reda m×n i B reda n×p,

proizvod ovih matrica je matrica C reda m×p čiji

su elemnti

Znači element cij jednak je kanonskom

proizvodu i-te vrste matrice A i j-te kolone

matrice B, gdje pod kanoničnim proizvodom vrste

ai1 , ..., ain širine n i kolone bi1, ..., bin visine n po

definiciji podrazumjevamo broj tj.

koji

smatramo matricom reda 1.

Osobine:

1° U opštem slučaju AB BA

- ako jeste AB = BA, kažemo da su matrice

komutativne

- ako je AB = – BA

2° Ako su A, B, C matrice redom, reda m×n, n×p i

p×q tada je (AB)C = A(BC)

3° Ako su A, B, C i D matrice redom, reda m×n,

m×n, p×m, n×q i proizvoljan broj tada je:

° C(A + B) = CA + CB; lijevi distributivni

zakon

° (A + B)D = AD + BD; desni distibutivni

zakon

° (AD) = ( A)D = A( D)

4° Za svake matrice A i B za koje postoji prizvod

je (AB)T = A

TB

T

61. Šta znače pojmovi regularna i singularna matrica. Da li su to suprotni pojmovi?

Definicija: Neka je A proizvolja kvadratna

matrica formata m×n. Ako je detA=0 matricu A

nazivamo singularna.

Definicija: Za kvadratnu matricu A kažemo da je

regularna matrica ako je detA 0.

62. Koje matrice imaju inverznu matricu i kako računamo inverznu matricu (objasniti formulu).

Potreban i dovoljan uslov da postoji inverzna

matrica, matrice A jesde ta je detA 0.

Uočimo, determinantu kvadratne matrice

reda , tj.

A zatim od kofaktora njenih elemenata

formirajmo matricu reda , tj.

matricu

Transponovana matrica, matrice , tj. matrica

zove se adjungovana matrica, matrice i

obilježava sa . Dakle,

,

64. Dokazati: Ako su matrice A i B istog reda, tada vrijedi

(a)

(b)

Budući da je

to je zaista

(b) Kako je

odnosno odakle je

65. Dokazati: Ako su matrice A i B istog reda, tada vrijedi

(a)

(b)

(a)Dokaz:

(b) Dokaz:

SISTEMI j-na

68.Zapisati opsti sistem linearnih jednacina.U

zavisnosti od slobodnih clanova sistema kako

dijelimo ove sisteme?

Ako je tada za

sistem kažemo da je , ako je

bar jedan od brojeva za sistem

kažemo da je sistem.

69. Zapisati opšti sistem linearnih algebarskih jednačina. U zavisnosti od oblika, kako dijelimo ove sisteme? (objasniti)

m jednačina i n nepoznatih:

(a) m = n kvadratni

(b) m n pravougaoni

70. Zapisati opsti sistem linearnih

jednacina.Sta podrazumijevamo pod rjesenjem

ovog sistema.U zavisnosti od rjesenja kako

dijelimo sisteme?

Za uređenu -torku ( brojeva kažemo

da je ako pri zamjeni

sistem prelazi u

jednakosti među brojevima.

prema broju rješenja sistema

- Sistem koji nema rješenje (nemoguć,

nesaglasan)

- Sistem ima rješenje (saglasan)

a. Tačno jedno rješenje

b. beskonačno mnogo rješenja

71. Za koje sisteme kazemo da su

ekvivalentni?Navesti elementarne

transformacije sistema.Ako na neki

system primijenimo neke el.

Transformacije,kakva je veza izmedju

polaznog I novog sistema?

Za dva sistema oblika (2) koji ne moraju

imatis isti broj jednacina kazemo da su

ekvivalentni ako je svako rjesenje jednog

ujedno I rjesenje drugog sistema.

El. Transformacije:

-zamjena mjesta dviju jednacina

-mnozenje ma koje jednacine brojem razl.

od nule

-dodavanje jedne jednacine koja je

prethodno pomnozena brojem razl. od

nule nekoj drugoj jednacini.

Veza izmedju polaznog i novog sistema je

da su ekvivalentni,tj. Imaju isto rjesenje.

76. Iskazati Kronecker-Capellijev stav. (Objasniti sve pojmove o kojima govori ovaj

stav!)

* sistem je

saglasan tj. ima bar jedno rješenje, ako i samo ako je rang sistema jednak

rangu proširene matrice istog sistema.

77. Sta nam govori Kronecker-Capellijev

stav ako ga primijenimo na homogeni

system jednacina.

Svaki homogeni system je saglasan tj. Ima

bar jedno rjesenje…n-torka ciji su svi

elementi nule je rjesenje sistema.

8.Iskazati Cramerov stav.

Sistem od n linearnih jednacina sa n

nepoznatih tj.

Ima jedinstveno rjesenje kada je

determinanta sistema razlicita od nule:

Xi=i

gdje je:

-determinanta matrice

i-det. Matrice koja se dobije iz matrice

sistema zamjenom i-te kolone kolonom slobodnih

clanova

9. .Sta nam govori Cramerov stav ako ga

primijenimo na homogeni system

jednacina.

Ako je system homogeny tada na osnovu

ovog stava trivijalno rjesenje(x1 = 0, x2 =

0… xn = 0) jedinstveno rjesenje tog

homogenog sistema. ≠0 i = 0. Zaista,

biće ≠0; i = 0 za svako i = 1, 2, … n

budući da je i-ta kolona, kolona nula.

83. Ako je rješenje

kvadratnog nehomogenog sistema, a rješenje odgovarajućeg

homogenog sistema, dokazati da je tada i rješenje

nehomogenog sistema!

Ako odgovarajuće zbirove

zamjenimo u i-toj jednačini sistema

dobijamo

84. Ako su i

rješenja kvadratnog nehomogenog sistema, dokazati da je tada

rješenje odgovarajućeg

homogenog sistema!

Zamjenom odgovarajućih vrijednosti u ičtoj

jednačini sistema dobijamo:

87. Definisati pojmove karakteristične jednačine i sopstvenih vrijednosti matrice.

Neka je matrica , tada je

.

Jednacina φn( ) = 0 tj |A-λI|=0 je karakteristicna

jednacina matrice A.

Korijeni karakteristicne jednacine zovu se

sopstvene vrijednosti matrice A.Skup svih

sopstvenih vrijednosti zove se spektar!!

Neka je , tada je

Vektori 1. Definisati linearnu kombinaciju vektora

u vektorskom prostoru i linearnu nezavisnost vektora.

Definicija: Za vektor x vektorskog prostora V

kažemo da je linearna kombinacija vektora e1, e2,

… en, ako postoje takvi skalari 1, 2,… n polja

K, da je

Za vektore e1, e2, … en V kažemo da su linearno

nezavisni, ako iz

1 = 2 = … = n = 0.

3. Dokazati tvrdnju: U konačno dimenzionalnom prostoru svaki vektor ima jedinstvenu

reprezentaciju preko baznih vektora.

Neka su u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru

V zadane dvije baze e1, e2, … en (1) i e’1, e’2, …

e’n (2). Svaki se vektor baze (2), kao vector

prostora V, jenoznačno može predstaviti pomoću

baze (1) . (3)

Matrica naziva se matrica

prelaza sa baze (1) na bazu (2). Dakle veza među

bazama (1) i (2) i matrice prelaza T možemo

izraziti, na osnovu (3), u obliku matrične

jednačine

8. Iskazati i dokazati stav koji govori o vezi kolinearnosti i linearne zavisnosti dva vektora.

Stav: Dva vektora su linaearno zavisna ako i smao

ako su kolinearni, tj. Svaka dva vektora iz V1 su

linearno zavisna.

Dokaz: neka su vektori e1 i e2 linearno zavisni, tj.

neka je , 1 0 ili

Na osnovu definicije množenja

vektora skalarom zaključujemo iz posljednje

relacije das u vektori i kolinerani.

Obrnuto, ako su vektori i kolinerani, tada

uvijek postoji skalar čiji proizvod sa jednim

vektorom daje drugi vektor, tj. ili

što izražava njihovu linearnu

zavisnost.

10. Definisati skalarni produkt vektora i navesti njegove osnovne osobine.

Skalarni produkt dva vektora je skalar

broj koji obilježavamo sa i definišemo

ovako

Dakle skalarni produkt vektora je skalar, koji je

jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa

ugla koji oni zaklapaju.

:

1.

2. = = ;

3.

4. =| | · · ;

5.

6.

11. Iskazati i dokazati stav koji govori o vezi ortogonalnosti vektora i njihovog skalarnog produkta.

. Dva vektora su ortogonalna ako i samo

ako je njihov skalarni produkt nula.

Neka su vektori ortogonalni. Tada

je , pa je prema

skalarni produkt vektora jednak nuli, tj

Obrnuto, neka je . Ako je jedan od

vektora nula vektor to mož-emo smatrati

ortogonalnim prema ma kom drugom vektoru,

pošto je pravac nula vektora nije definisan. Prema

tome su ortogonalni. Analogno zaključ-

ujemo da iz slijedi da su vektori

ortogonalni i ako su oba vektori nula. Ako ni

jedan od vektora nije nula vektor tada je

>0 , pa iz uslova i relacije

slijedi da je odnosno , tj.

vektori su ortogonalni.

13. Izvesti formulu za intenzitet vektora , uz

objašnjenje korištenih osobina.

Skalarni proizvod dvaju

vektora čije su koordinate

u ortonormiranoj bazi, jednak

je zbiru proizvoda njihovih odg-ovarajućih

kordinata, tj. ako je:

tada je (1)

Osobina skalarnog proizvoda = = ;

Iz relacije (1) za y=x dobijamo

odakle je

14. Navesti formulu za izračunavanje ugla izmedju dva vektora.

15. Dati potpunu definiciju vektorskog produkta dva vektora.

dva vektora , koji

obilježavamo sa [ ] ili je vektor:

1. Čiji je intenzitet jednak

| || |sin , gdje je ugao

između vektora i

2. Koji je ortogonalan na svaki

od vektora i

3. Ima takav smjer da vektori

čine trojku vektora

iste orijentacije kao bazis

1. Intenzitet vektorskog produkta

brojno je jednak površini

paralelograma konstruisanog vektora

nad vektorima

2. Vektorski produkt dva vektora je

nula vektor ako su ti vektori

kolinearni ili je bar jedan od njih

nula vektor.

3.

4.

5.

6. .

Ako su koordinate vektora

u ortonormiranoj bazi , tada je

17. Izvesti formulu za računanje vektorskog produkta vektora zadatih sa

i .

Ako su koordinate vektora

u ortonormiranoj bazi , tada je

+ +

18. Objasniti činjenicu da je apsolutna

vrijednost mješovitog produkta tri vektora bro-

jno jednaka zapremini paralelepipeda

konstruisanog nad tim vektorima.

Geometrijska interpretacija:

Apsolutna vrijednost mješovitog produkta

tri nekomplanarna vektora jednaka

je zapremini paralelopipeda konstruisanog nad vektorima . Pri

čemu je u zavisnosti od

toga da li je trojka vektora isto ili

suprotno orijentisana od bazisnih vektora.

Zaista ako nad konstruišemo

paralelopiped (sl.1) tada je ,

gdje je površina osnove

paralelopipedaa ort vektora , pri

čemu vektori čine trojku koja ima

istu orijentaciju kao i bazisni vektori. Dakle

imamo

Kako je a visina

paralelopipeda, tada je ,

odnosno

19. Objasniti vezu komplanarnosti tri vektora i njihovog mješovitog produkta.

Tri vektora su komplanarni ako i samo ako

je . Neka su vektori

komplanarni. Tada je , pa je

.

Obrnuto. Očigledno iz uslova

slijedi da su vektori

komplanarni, jer ako predpostavimo suprotno,

tada bi zapremina paralelopipeda konstruisanog

nad njima bila različita od nule, tj.

što je suprotno predpostavci.

20. za ma koja tri vektora x, y i z važi

, = × ,

Analitička geometrija 21. Vektorski objasniti formulu za izračunavanje rastojanja izmedju dvije tačke.

Neka su A1(x1, y1, z1) i A2(x2, y2, z2) dvije

proizvolje tačke u prostoru kao na slici

Rastojanje između tačaka A1 i A2 jednako je

intenzitetu vektora . Pošto je

+ +

22. Vektorski objasniti formulu za podjelu duži u odredjenoj razmjeri.

Iz slike zaključujemo da ako tačka A dijeli duž

u razmjeri m:n, tada su vektori i

istog smjera i odnos njihovog intenziteta je ,

odnosno važi ili

odakle je , tj.

(*). Kako su coordinate tačke A,

kooordinate vektora i bazi to iz (*)

imamo (isto i za y i z)

23. Vektorski objasniti formulu za izračunavanje površine trougla.

Možemo izraziti površinu torugla A1A2 A3

pomoću koordinata njegovih tjemena A1(x1, y1,

z1), A2(x2, y2, z2) i A3(x3, y3, z3). Zadatak se

rješava primjenom vektora.

Površina trougla A1A2 A3 jednaka je polovini

intenziteta vektora

Budući da je

To je tražena površina torugla

1 3=12 2− 1 2− 1 2− 1 3− 1 3− 13− 1

24. Šta predstavlja jednačina A(x−x0)+B(y

−y0)+C(z −z0) = 0 i šta predstavljaju uvedene oznake. Objasniti!

Predstavlja opštu jednačinu ravni.

M0(x0, y0, z0) bilo koja tačka ravni i n=(A, B, C)

vector normalan na ravan. Joše jdna tačka ravni M

(x, y, z). Vektor M0M i n su normalni pa je njihov

skalarni proizvod jednk nuli.

(M0M, n) = 0 M0M=(x – x0,… )… pomnožiti

32. Kako glase uslovi ortogonalnosti i paralelnosti dvije ravni. Kako te uslove dobijemo iz formule za ugao izmedju dvije ravni?

Ako se ravni i

sijeku tada se

ugao između tih ravni definiše kao

ugao između njihovih karakterističnih

vektora koji su redom

Dakle možemo pisati

, potrebno

je i dovoljno da njihovi karakteristič-ni

vektori budu kolinearni, što je

ekvivelentno uslovu

34. Objasniti prelaz iz kanonskog oblika jednačine prave u parametarski oblik. 35. Objasniti prelaz iz parametarskog oblika jednačine prave u kanonski oblik.

Ako u kanoničnom obliku jednačine prave l

stavimo , gdje je t

parametar (koeficjent proporcionalnosti), tada

imamo:

Ove jednačine nazivamo parametarskim

jendačinama prave l.

39. Navesti uslove ortogonalnosti i paralelnosti dvije prave.

Ako su prave l1 i l2 ortogonalne tada sui njihovi

karakteristični vektori q1 i q2 međusobno

ortogonalni, pa je (q1,q2)=m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0

Ako su prave l1 i l2 paralelne tada su i njihovi

karakteristični vektori q1 i q2 kolinearni, pa je

40. Navesti uslov mimoilaznosti dvije prave. Čime obrazlažemo ovaj uslov?

Ako su prave l1 i l2 čije su jednačine redom

mimoilazne, tada je

41. Izvesti formulu za najkraće rastojanje izmedju dvije mimoilazne prave.

Ako je uslov ispunjen prave su

.

Ako su jednačine pravih redom:

Ako su: i

fiksirane tačke na pravima a

njihovi karakteristični vektori. Tada je najkraće rastojanje između pravih

jednako količniku zapremine

paralelopipeda konstruisanog nad

vektorima i površine njegove

osnove, tj.

Ili u skalarnom obliku

42. Izvesti formulu za rastojanje tačke od

prave.

Ako je zadana prava čija je jednačina

i data tačka van prave .

Da bismo dobili rastojanje neka nam je

fiksirana tačka na pravoj i

početak njenog karakterističnog

vektora dovedimo u tačku .

Tada je, rastojanje , tačke od

prave , jednako količniku površine

paralelograma konstruisanog nad

vektorima intenziteta vektora , tj

****

Uslov paralelnosti prave i ravni

jeste:

tj.

Uslov ortogonalnosti prave i ravni

jeste:

REALNA FUNKCIJA REALNE PROMJENLJIVE Osnovne osobine i granična vrijednost

47. Nabrojati načine zadavanja funkcija i za svaki način dati odgovarajući primjer.

1. Eksplicitni

2. Parametarski

3. Implicitno

4. Tabelarno

5. Grafik funkcije

49. Definisati graf funkcije. Šta je graf

funkcije ?

52. Definisati parnost funkcije i slikom objasniti geometrijski smisao parnosti. Navesti primjer parne funkcije.

Definicija: za skup D R kažemo da je simetričan

skup ako vrijedi ( x D): -x D

Definicija: Funkcija definisana na

simetričnom skupu je na skupu

Df, ako vrijedi

{graf simetričan u odnosu na y-osu}

53. Definisati neparnost funkcije i slikom

objasniti geometrijski smisao neparnosti. Navesti primjer neparne funkcije.

Definicija: Funkcija definisana na

simetričnom skupu je na Df

ako je {graf

simetričan u odnosu na koordinatni početak}

56. Navesti definiciju ograničenosti funkcije sa gornje strane. Navesti negaciju te defini- cije i dati njeno geometrijsko tumačenje.

>slika< Definicija: Neka je . Za f-ju kažemo da

je ograničena s gornje strane ako

( M )( x D): f(x) ≤ M

Definicija: (nije ograničena) ( M )( x D):

f(x) > M

57. Navesti definiciju ograničenosti funkcije sa donje strane. Navesti negaciju

te defini- cije i dati njeno geometrijsko tumačenje. Definicija: Neka je . Za f-ju kažemo da

je ograničena s donje strane ako ( m )( x D):

f(x) m

59. Definisati osobinu periodičnosti funkcije. Kakva je razlika izmedju periode i

osnovne periode funkcije?

Neka je x D x+T D

>slika<

( T )( x D): f(x+T)=f(x) – onda je ovo

periodična funkcija, a T je period funkcije

Neka je f-ja periodična perioda T ( k Z) kT je

period funkcije, a najmanji pozitivni period je

osnovni period.

60. Ako je funkcija periodična, da li ona tada ima samo jednu periodu? Objasniti odgovor!

63. Definisati pojmove rastuće i strogo rastuće funkcije. Kakva je razlika izmedju ovih pojmova?

Definicija: Za f-ju kažemo da je

rastuća ako ( x1, x2 D)(x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2)).

Definicija: Za f-ju kažemo da je

strogo rastuća ako ( x1, x2 D)(x1 < x2 f(x1) <

f(x2)).

* nerastuća = opadajuća

neopadajuća = rastuća

65. Definisati konveksan skup i konveksnu funkciju na takvom skupu. Navesti primjer konveksne i konkavne funkcije.

Definicija: D R, D je konkveksan skup ako ( x,

y D)( [0,1]): x + (1 – )y D

{samo intervali su konveksni}

Definicija: i D konveksan skup,

kažemo da je konkveksna f-ja ako ( x,y

D)( [0,1]): f( x + (1 – )y) ≤ f(x) + (1 –

)f(y) {konkavna }

66. Neka su a, b R i a tačka nagomilavanja domena funkcije f. Definisati i dati negaciju

ovog pojma.

Definicija. Neka je

tačka nagomilavanja

skupa D. Tačka je

funkcije f u tački

ili kada ako za svaku okolinu

V tačke postoji okolina

tačke a, tako da vrijedi

U tom slučaju koristimo oznaku

.

Zapis sa okolinama i sa okolinom.

Neka su i tačka nagomilavanja skupa . Tada

Negacija:

− < ⇒ − ≥ .

67. Dokazati jedinstvenost granične vrijednosti funkcije u tački.

Pitanje jedinstvenosti granične vrijednosti realne

funkcije u zadatoj tački je gotovo očigledno,

budući da se u skupu R, dvije različite tačke

uvijek mogu separisati disjunktnim okolinama.

Naime, ako b,c R i b < c, uzmemo li

, imaćemo dvije -okoline V(b, 0),

V(c, 0) tačaka b,c R redom. Osim toga one su

disjunktne, tj. V(b, 0) V(c, 0)= . Ako

predpostavimo da je i

, tada iz {

, vidi def granične vrijednosti}

slijedi

. S druge strane

to nije moguće jer je V(b, 0) V(c, 0)= . Prema

tome mora biti b = c.

71. Definisati lijevu i desnu graničnu vrijednost funkcije u tački. Navesti njihovu vezu sa postojanjem granične vrijednosti funkcije u toj tački.

Definicija 1. označavamo

sa ili kraće

ta jednost postoji i zovemo je desnom

graničnom vrijednosti funkcije u tački .

Ako je 0, onda se piše

Tj

Po analogiji definira se i lijeva granična

vrijednost

Nije teško

zaključiti da vrijedi

Njihova veza sa graničnom vrijednosti je

ako i samo ako

73. Iskazati teorem i posljedicu o vezi relacije poretka i granične vrijednosti funkcije u tački.

Teorem: Ako je , i b

<c (c < b), tada postoji okolina U(a) tačke a, takva

da je , ( ,

).

Posljedica: Ako je i b > 0 (odnosno

b < 0), tada postoji okolina U(a) tačke a u kojoj

vrijedi f(x) > 0 (odnosno f(x) < 0).

74. Navesti teorem koji govori o operacijama nad limesima funkcija.

Teorem: Neka je i i

b,c R; tada vrijedi:

1°

2°

3°

4°

75. Kako glasi teorem o dvije funkcije i sa kojim teoremom ga dovodimo u vezu?

Teorem: ako postoji okolina U(a), tačke a, takva

da za svako x U(a) važi f(x) ≤ g(x) (x U(a)

f(x) g(x) ) i ako postoje granične vrijednosti

funkcija f i g u tački a, tada je

( )

76. Kako glasi teorem o tri funkcije.

Dokazati:

Neka su

date funkcije i neka je

tačka nagomilavanja skupa D. Ako

postoji okolina tačke a, takva da za

svako i

postoje granične vrijednosti funkcija

u tački tada, ako je

onda je i

Dokaz: sinx je parna f-ja pa je dovoljno

razmotristi samo vrijednosti > 0

<slika>

Uočimo trouglove OAB, OAC i kružni isječak

OAB

f( ) ≤ g( ) ≤ h( )

79. Definisati pojam oscilacije funkcije na skupu. Izračunati oscilaciju funkcije f :[0,

4 ] R, zadate sa f(x) = sin x, na njenom

domenu?

Definicija 2.

na skupu definira se pomoću

Npr:

80. Definisati pojam oscilacije funkcije na skupu i navesti njegovu vezu sa graničnom vrijednosti funkcije u tački.

Funkcija ima konačnu graničnu

vrijednost u tački ako i samo

ako za svako > 0 postoji okolina U(a) tačke a,

tako da vrijedi (f, D U(a) \{a}) < .

81. Definisati neprekidnost funkcije u tački i na skupu.

Definicija 3. Za funkciju kažemo

da je u tački ako

tj., ako je

Funkcija je neprekidna na skupu ako

je neprekidna u svakoj tački toga skupa. U tom slučaju pišemo .

83. Zaokružiti tačna tvrdjenja:

u tački ioznačavati

Dakle, oscilacija funkcije je nenegativna, tj. vrije-di str.266

Funkcija je neprekidna u

tački ako i samo ako je

88. Koje vrste su otklonjivi prekidi? Na primjeru pokazati zašto ovakve prekide nazivamo ”otklonjivim”.

Otklonjivi prekid je prekid prve vrste.

Npr f-ja |sgnx| ima u a = 0 otklonjivi prekid prve

vrste. Dodefinišemo f-ju:

Diferencijabilnost 89. Definisati izvod funkcije u tački,

navesti oznake koje koristimo za izvod funkcije. Kada za funkciju kažemo da je diferencijabilna?

Definicija 1. funkcije

je u tački naziva se

granična vrijednost

ukoliko ona postoji, konačna ili

beskonačna.

f’(x) …

Definicija: Za f-ju y = f(x) kažemo da je

diferencijabilna u tački x (a, b) ako ima

konačnu derivaciju u toj tački.

91. Iskazati i dokazati stav o neophodnim i dovoljnim uslovima diferencijabilnosti funkcije u tački.

Teorem 1. Funkcija je diferencijalna u

tački ako i samo ako

Vrijedi

gdje je –

č ℎ→0

Pretpostavimo da je

diferencijalna u tački dakle postoji

konačna granična vrijednost.

Gdje kad .

92. Iskazati i dokazati stav o vezi

neprekidnosti i diferencijabilnosti funkcije u tački.

Ako je diferencijabilna funkcija

u tački , tada je ona i neprekidna

u istoj tački.

Iz relacije (2) slijedi

Drugim riječima kada je onda je , tj. funkcija

je neprekidna u tački .

94. Šta je lijevi, a šta desni izvod funkcije u tački. Moraju li ova dva izvoda obavezno biti jednaka (obrazložiti primjerom)?

Definicija. Za zadanu funkciju

kažemo da ima u tački

ako postoji

I u tom slučaju, jednostranu derivaciju označavamo ili pak

Analogno se definira i u

tački kao

Najčešći

razlog da funkcija nema derivaciju u

nekoj tački jeste upravo nepoklapanje derivacija u toj tački.

Funkcija može biti nediferencijabilna ,

za slučaj potrebe tj.ako uzmemo da nam

95. Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju zbira dvije funkcije.

96. Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju razlike dvije funkcije.

Teorem 2. Neka su Tada

ako onda je Još

više, vrijedi:

1°

Dokaz: Neka je = f g i h 0 dovoljno

mali broj. Tada je

Budući das u f,g to je desna

strana u poslejdnjoj relaciji konačan broj. Prema tome f g i ’ = f’ g’.

97. Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju proizvoda dvije funkcije.

Teorem 2. Neka su Tada ako onda je Još

više, vrijedi:

2°

Dokaz: Označimo = fg i neka je h kao

što smo već opisali. Tada je

,

odakle je

ℎ +ℎ− ℎ+limℎ→0 +ℎ− ( )ℎ= ′ +

Funkcije f i g su diferencijabilne pa i

neprekidne; odakle smo dobili da je . Još više, budući da je

, slijedi da . Osim toga,

derivacija proizvoda dvije funkcije

određuje se po izvedenoj formuli °

98. Navesti i dokazati pravilo o diferenciranju količnika dvije funkcije.

Teorem 2. Neka su Tada

ako onda je

0. Još više, ∀ ∈( , ) vrijedi:

Dokaz: neka je sada , gdje je

. Najprije, primjetimo da zbog

neprekidnosti i pretpostave ,

funkcija g je različita od nule u dovoljno maloj okolini tačke x, dakle i g(x+h) 0,

gdje je, kao i prije, h 0 dovoljno malo.

Sada je

( ) ( +ℎ)− ( )ℎ1 +ℎ ( ), odakle zbog

neprekidnosti funkcije g, najprije imamo da g(x+h)g(x) g2(x), kada h 0, a zatm

slijedi da je i

’(x)= . Dakle formula za

derivaciju količnika dvije funkcije je

.

99. U izrazu za diferenciranje složene funkcije dodati ispuštene simbole: f(g(x))0 =f(g) · g(x).Kako glasi ovo pravilo za kompoziciju tri funkcije?

Teorem 3. .

Neka su zadate funkcije i takve da je

definirana složena funkcija

Neka, dalje, funkcija ima

konačnu derivaciju u tački , a funkcija g

ima prvu derivaciju u tački . Tada

superpozicija ima derivaciju u tački

i vrijedi

100. Navesti stav o derivaciji inverzne funkcije. Primjeniti ovo pravilo na izračunavanje izvoda funkcije y = ln x.

Teorem 4. .

Neka funkcija ima derivaciju u

tački Neka dalje, postoji inverzna

funkcija , koja je neprekidna u

tački . Ako je tada je funkcija

diferencijabilna i vrijedi

101. Gdje susrećemo oznake y0 i y˙ i kakvo je njihovo značenje? Kako glasi pravilo za nalaženje izvoda parametarski zadate funkcije?

Ako su promjenljive i zadate u funkciji

nekog realnog parametra t. Neka je ; (2)

Gdje su i realne funkcije definirane na

istome podskupu . Ako je

bijekcija, tj. ako postoji funkcija

tada je sistemom (2), parametarski

definirana funkcija

Primjer:

Jasno da možemo iz posljednjih jednačina eliminirati parametar

(kvadriranjem jednačina i sabiranjem

kvadrata) i dobiti

Odnosno, riješavanjemove jednačine po , između ostalog imati analitičke izraze

Primjećujemo da posljednja eksplicitna

funkcija dobijena iz relacije

Ne odgovara prvobitnoj funkciji zadatoj

parametarski. Naime, polazni uslov , ne dozvoljava da je

negativno, jer je

Prema tome ostaje samo funkcija

Primjer:

102. Objasniti kako uspostavljamo vezu izmedju izvoda funkcije i brzine materijalne tačke (fizikalno tumačenje

izvoda).

Neka se materijalna tačka kreće po pravoj tako da

funkcija s = s(t) izražava pređeni put, od nek

početne tačke O(0,0), u funkciji od vremena t.

prema tome, u trenutku t materijalna tačka će se

naći u tački M(t, 0), u trenutku t+ t u tački

N(t+ t, 0). Pređeni put do trenutka t je s(t), a do

t+ t je s(t+ t). Kako odrediti brzinu? Te tačke

kada je ona u tački M(t, 0). Označimo sa

srednju brzinu tačke na putu MN, tad je

. Prirodna definicija trenutne brzine

tačke u momentu M je granična vrijednost srednje

brzine kada N teži prema M (a to će se dogoditi

ako t 0). Dakle brzina v(t) u tački M se definira

kao , tj. prvom

derivaciojm funkcije s(t) po argumentu t.

103. Slikom objasniti geometrijsko tumačenje izvoda. Kako glase jednačine normnale i tangente na krivu u tački?

, prva derivacija konačna

ili ∞ funkcije u tački , predstavlja

koeficijent pravca tangente na krivu u tački . Da bi smo se u to uvjerili,

najprije trebamo definirati tangentu krive.

Opštost se neće umanjiti ako koristimo krivu i ostalr oznake sa slike.

104. Navesti tablicu izvoda elementarnih funkcija.

107. kako definišemo n-ti izvod i n-ti diferencijal funkcije jedne varijable?

Indukcijom možemo uvesti i derivaciju toga reda funkcije ti izvod

funkcije u tački ,kao

( −1) 0′, (*)

Gdje je . Jasno,

Dakle funkcije je prva

derivacija funkcije u svakoj unutrašnjoj tački , za koju postoji

limes *

Definicija 4. Diferencijal reda

funkcije , u oznaci jeste prvi

diferencijal diferencijala

funkcije , odnosno

108. Izvesti pravilo logaritamskog izvoda i primjeniti ga na izvod funkcije y = xln x.

Neke funkcije mogu biti zadate analitičkim

izrazom koji nije pogodan za određivanje

derivacije po definicji, budući da se komplikuje

izračunavanje odgovarajućih limesa. Takav je

primejr funkcije (1) gdje su f i

diferncijabilne funkcije na E = (a,b), na kome je

i f(x) > 0.

S druge strane, ako se logaritmira (1), odna

dobijamo funkciju

. Prema tome

funkcija F(x) je implicitno zadata pomoću

Potražimo dakle

derivaciju funkcije (2) kao superpoziciju dvije

funkcije F i ln. Dakle,

dobijamo izraz na desnoj strain , koji se naziva

logaritamska derivacija funkcije F. očigledno, ako

znamo logaritamsku derivacijuu funkcije F, lako

možemo odrediti i derivaciju te funkcije F. Naime

iz (2) i (3) slijedi

, odakle je

.

109. Iskazati i dokazati Fermatov teorem. 110. Iskazati Fermatov teorem. Primjerom pokazati da obratna tvrdnja ne vrijedi. 112. Iskazati i dokazati Rolleov teorem.

Teorem 8. Neka je funkcija definirana

na i neka ispunjava sljedeće uslove.

( )

( ) postoji derivacija u svakoj

tački

( )

Tada funkcija ima stacionarnu tačku koja

pripada

Dokaz: Najprije, ako je f(x) = const na [a, b], onda

je f(x) = f(a), pa je f’(x) = 0 za svako x (a,b).

Dakle, sve tačke iz ( a, b) su stacionarne , pa ćemo

pretpostaviti da funkcija nije konstantna, tj. postoji

x ( a, b) tako da je (naprimjer) f (x) f (a) f

(b). Prema Weierstrassovom teoremu neprekidna

funkcija na segment [ a, b] dostiže svoju najveću

vrijednost. Dakle, postoji tačka c ( a, b) tako da

je f (c) max f (x), a prema Fermatovom teoremu

ta je tačka stacionarna.

113. Iskazati i dokazati Lagrangeov teorem.

Teorem 9. Ako je funkcija

definirana na i ispunjava sljedeće

uslove:

postoji derivacija u svakoj

tački tada

postoji tako da

vrijedi

. (1)

Dokaz: Funkcija (x) = f(x) + (x), za svaku

vrijednost realnog parametra , je neprekidna na

[a, b] ii ma derivaciju u svakoj tački intervala

(a,b). osim toga, možemo odrediti parameter

tako da vrijedi (a) = (b). Odavdje lako slijedi da

je . Obratno, ako je

onda je (a) = (b), pa funkcija (x) = f(x) + (x)

zadovoljava sve uslove Rolleovog teorema. Prema

tome, postoji stacionarna tačka c (a,b) funkcije

(x). Budući da je ’(c) = f’(c) + = 0, to je f’(c)

= – , što predstavlja (1). Teorem dokazan.

118. Iskazati Cauchyjev teorem i objasniti njegovu vezu sa Lagrangeovim teoremom.

Teorem 13. Ako pri čemu nema

stacionarnih tačaka na onda

postoji tako da vrijedi

119. Navesti prvo L’Hospitaleovo pravilo. Kako ovo pravilo koristimo na izračunavanje

neodredjenih oblika 0 · ?

Teorem 14.

Neka funkcije f i g zadovoljavaju uslove Cauchyevog teorema na i

neka je Ako je

i postoji konačan ili beskonačan.

Tada postoji i Još više, tada

vrijedi

.

120. Navesti drugo L’Hospitaleovo pravilo. Kako ovo pravilo koristimo na izračunavanje

neodredjenih oblika 0 · ?

Teorem 16.

Neka su funkcije diferencijabilne u

intervalu , na kome je i neka je

121. Navesti sve neodredjene oblike u graničnim procesima. Kako rješavamo

oblik −

?

Primjena diferencijalnog računa

9. Navesti Prvo pravilo za ekstreme funkcije i primjeniti ga za funkciju f(x) = xe

x .

Prvo pravilo: Pretpostavimo da je

okolina tačke . Ako je

diferncijabilna na skupu tada je

u tački lokalni ekstremum funkcije

ako funkcija mijenja znak u tački .

Pri tome

(i) Ako je

tada je u tački

lokalni minimum

(ii) Ako je

u tački je lokalni

maksimum.

Primjer:

10. Navesti Drugo pravilo za ekstreme funkcije i primjeniti ga za funkciju f(x) = x

2 ln x.

Drugo pravilo: Neka je definirana u

stacionarnoj tački funkcije . Tada

ako je funkcija u

stacionarnoj tački ima lokalni minimum

(maksimum).

13. Navesti I i II teorem o konveksnosti i dokazati drugi od njih. Odrediti intervale konveksnosti za funkciju

Teorem 20. Neka je Da bi bila

konveksna na potrebo je i dovoljno

da funkcija raste na .

Teorem 21. Naka funkcija ima

drugu derivaciju u svakoj tački .

Da bi bila konveksna konkavna na

, potrebno je i dovoljno da bude

za svako .

Dokaz(21): Dovoljno je primjetiti da je

f’’(x)=(f’(x))’ i primjeniti teorem 20.

Funkcija f, na svome domenu D, može

mijenjati svoju konveksnost i konkavnost

na više interval tog domena.

14. Navesti I i II teorem o prevojnim tačkama. Ispitati prevojne tačke funkcije f(x) = lnx/x

Teorem 22. Neka je , ima

konačnu drugu derivaciju u svim tačkama okoline tačke , osim

možda same tačke . Ako funkcija

mijenja znak pri prolazu argumenta kroz tačku , tada je prevojna

tačka krive

Ako mijenja znak u tački

, onda je funkcija sa jedne strane

tačke rastuća u okolini , sa druge

strane opadajuća. Prema teoremu 20, tačka je prevojna tačka krive

Teorem 23. Neka je

Tada je prevojna tačka krive

Integracija

22. Objasniti zašto ako za neku funkciju znamo jednu primitivnu funkciju, onda znamo

sve njene primitivne funkcije!

Teorem: ako u nekom (konačnom ili

beskonačnom, zatvorenom ili otvorenom, ili, ni

otvorenom ni zatvorenom) razmaku E funkcija

F(x) predstavlja primitivnu funkciju funkcije f(x),

tada je i F(x) + C primitivna funkcija funkcije f(x).

Još više, svaka primitivna funkcija funkcije f(x),

na razmaku E, može se predstaviti u obliku F(x) +

C; C je proizvoljna konstanta.

25. Dokazati pravilo za neodredjeni

integral:

Budući da je F’(x)=f(x), to je

.

26. Dokazati pravilo za neodredjeni

integral:

Budući da je F’(x)=f(x), to je

′ = = ( )+ .

29. Navesti i dokazati teorem o smjeni promjenljive kod neodredjenog integrala.

Teorem: neka je (t),t E, primitivna funkcija

funkcije f(t) i neka je t = (x) diferencijabilna u

svim tačkama x F, gdje su E i F razmaci u R.

tada postoji primitivna funkcija funkcije

f( (x)) ’(x) i pri tome vrijedi

Dokaz: derivacija lijeve i desne starne je ista

funkcija. Zaista derivacija lijeve strane je

. S druge

strane je

što smo i tvrdili.

33. Navesti i dokazati formulu parcijalne integracije za neodredjeni integral.

Predpostavimo das u funkcije u(x) i v(x)

diferencijabilne na istome razmaku E R, ted a

postoji primitivna funkcije funkcije u(x)v’(x). Iz

elementarne jednakosti(u(x)v(x))’= u’(x)v(x) +

u(x)v’(x), direktno slijedi egzistencija primitivne

funkcije i formula

− ′( ) ( ) , odnosno

. Ovim

smo dokazali da vrijedi:

Teorem: neka su u i v diferencijabilne funkcije i

neka postoji primitvna funkcija funkcije uv’. Tada

vrijedi formula .

34. Čime objašnjavamo korištenje pojma

”parcijalna” ili ”djelimična” integracija?

Pomoću , ustvari ne

završavamo integraciju funkcije u(x)v’(x), već

prebacujemo na integraciju funkcije u’(x)v(x), pa

se zato i naziva formula za

djelimičnu ili parcijalnu integraciju funkcije.