Upload
luka-patrun
View
255
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
1/41
ELEKTROTEHNIKI FAKULTET OSIJEK
SKRIPTA ZA USMENISIGNALI I SUSTAVI
By: Renda i Hrca
Signali i Sustavi - 1 -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
2/41
1. Definicija i klasifikacija signala.
Signal je fenomen koji nosi neku informaciju. Signal oznaavamo malim slovima!"!#!y, a sa $%&oznaavamo trenutnu vrijednost u trenutku %.Razlikujemo signale kojima je kodomena skup brojeva $%&i kojima je kodomenaskup funkcija .
Grafika predodba signala.
2. Klasifikacija signala na vremenski kontinuirane i vremenski diskretne.
ko je domena neprebrojiv i neprekinut skup tada se radi o "re'en()i)*n%iniran*' signalu, a ako je domena prebrojiv skup trenutaka tada se naziva"re'en()i di()re%nisignal.
!rimjer vremenski diskretnog signala.
3.
Kvantizacija vremenskih signala po vremenu i amplitudi."vantizacija je proces pretvaranja kontinuirani# vrijednosti u diskontinuirane nanain da se vrijednost signala zaokruuje na najblii cijelobrojni iznos. $a taj nainsmo izgubili me%uvrijednosti koje su tu bile prije kvantizacije.Signal s diskretim amplitudama &pitanje '.( ili trenutnim vrijednostima nazivamo)"an%i+irani'.Signal s kontinuiranim amplitudama &pitanje '( nazivamo ne)"an%i+irani'.
!rimjer kvantiziranog diskretnog signala. &ritmetiki niz(
Signali i Sustavi - ' -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
3/41
4. Transformacija domene i kodomene signala.
)ransformacija vremenske osi signala*
+unkcija ,preslikava staru os u novu , ,: - .$ova funkcija je kompozicija
funkcija
"od transformacija moe doi do /inearne )*'0re(i1e i/i (%e+an1a, e)(0an+i1e i/ira(%e+an1ai in"e+i1e.
!oetni signal inearna kompresija ili stezanje
kspanzija ili rastezanje)ransformacija podruja signala*
+unkcija 2preslikava staro podruje u novo , 2* - . $ova funkcija je
kompozicija funkcija
!rijmer transformacije podruja signala
5. emorijsko i prediktivno preslikavanje signala.
!reslikavanje signala moemo podjeliti na vise skupina*
1( "$%&ovisi o cijeloj pro/losti signala $%&. 0emorijsko preslikavanje.
Signali i Sustavi - -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
4/41
'( "$%&ovisi o budunosti signala $%&. !redikcijsko preslikavanje.
( "$%&ovisi o $%&.2visnots trenutni# vrijednosti.
3( "$%&ovisi i o proslosti i budunosti $%&.0emorijsko-predikitvno ilinekazualno preslikavanje.
!. "lementarne operacije me#u signalima kod vremenski kontinuiranih sustava.
Signali i Sustavi - 3 -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
5/41
lementarne operacije su one koje se nemogu dalje razlagati. 4ane elementarneoperacije su zbrajanje i mnoenje. Razlaganje funkcije na elementarne operacije sepostie sa )a5lorovim redom sa konanim brojem lanova.
$. %ealni i apstraktni o&jekti.
Realni objekt* objekt iz stvarnog svijeta sa pridruenim atributima.pstraktni objekt* Skup veliina i relacija me%u njima.pstraktni objekt koji ima iste varijable i iste ulazno 6 izlazne relacije kao nekirealni objekt je model realnog objekta. Realni objekt je tada &jedna( realizacijaapstraktnog objekta.
'. Definicija apstraktnog o&jekta.
$eka je &,y( ure%eni par funkcija na intervalu 7 ,%8. Skup ure%eni# parova je
apstraktni objekt S. Sje tada relacija koja povezuje slobodnu varijablu i zavisnuvarijabluy.
(.
Klasifikacija kontinuiranih sustava.1. 9ezmemorijski 5&t(:f&t, &t((
'. 0emorijski 5&t(:f&t, (
. !rediktivni 5&t(:f&t, (
3. 0emorijsko prediktivni 5&t(:f&t, (
1). *pajanje apstraktnih sustava.
2rijentirani apstraktni objekt ili sustav predstavlja se grafiki u obliku pravokutnika soznaenim ulazima i izlazima*
Spajanjem ti# sustava dobijemo vei sustav, kojem su sustavi od koji# je spojen sadaposustavi.Spajanje se jo/ radi preko pravila koja vrijede za blokovske dijagrame*1. ;zlazi iz blokva se nespajaju me%usobno.'. Svaki ulaz bloka spaja se na izlaz nekog bloka ili je ulaz u spojeni sloeni sustav. Sviulazi pod sustava su angairani.. ;zlaz bloka moe biti izlaz sloenog sustava. $ajmanje jedan izlaz podsustava je izlazis spojenog sustava.
11. "ksplicitni i implicitni sustavi+ spojna lista.
Sustavi bez memorije mogu se podjeliti na dvije grupe, implicitne i eksplicitnesustave.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
6/41
ksplicitni sustav*
3* 4,#4* #;mplicitni sustav*
*
* ,#
12. ,ormulacije i rje-enje jednad&i sustava za eksplicitne i implicitne sustave.
+ormulacija jednadbi jednog eksplicitnog sustava je direktna i provodi se na nainda se napi/u ulazno-izlazne jednadbe za svaki funkcijski blok.
"od implicitnog sustava moemo provesti privremeni prekid povratne petlje inapisati jednadbe eksplicitnog sustava i zatim samo dodati jednadbe povratnepetlje.
13. "kvivalencija i aproksimacija sustava.
>va sustava su ekvivalentna ako su za sve mogue ulazne vrijednosti nji#ovi
ulazno-izlazni odnosi identini.>va sustava su aproksimativno ekvivalentna ako za sve mogue identine ulazeimaju aproksimativno jednake izlaze.
14. /inearnost &ezmemorijskih sustava+ aproksimacija nelinearnog sustava
linearnim.
Sustav s jednim ulazom#i jednim izlazomyje linearan ako vrijedi uvjet*
4 &a ? @ b ? ( : a ?4 & ( @ b? f & (
za sve realne vrijednosti a, 5, , . )aj uvjet je dovoljan i nuan. Sloeni sustav
koji zadovoljava uvjet linearnosti ne mora nuno biti sastavljen od elemenata ilipodsustava koji su linearni.
A analizi sustava vrlo je vaan sluaj aproksimacije nelinearnog sustava linearnim.$elinearna funkcija bloka razvija se u )a5lorov red u okoli/u jedne toke. 2statak)a5lorovog reda predstavlja odstupanje od linearnosti, a iz njega e se odreditidozvoljeni prirast#d iliydpri kojem sustav smatramo linearnim.
Signali i Sustavi - B -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
7/41
15. 0tjecaj povratne veze na linearnost.
!ovratna veza popravlja linearnost unutar raspoloivi# granica izlaza. Cto se moevidjeti iz izraza*
1!. remenski kontinuirani sustavi+ klasifikacija+ model s varija&lama stanja.
Sustav spada u klasu sustava s kontinuiranim vremenom ako je vremenska skalakontinuirana. 4remenski kontinuirane sustave moemo podjeliti na vremenskivarijantne i vremenski invarijantne.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
8/41
9lok s#ema*
9lok s#ema s inegratorom u povratnoj petlji*
1(. *ustav prvog reda+ linearnost+ stanje ravnotee+ sta&ilnost.
Sustav prvog reda sastoji se od jednog integratora i jednog ili vi/e medusobnopovezani# funkcijski# blokova. >ijeli se na eksplicitne, integrator nije u povratnojvezi
+=%
%
d%#4%y%y
D
((&&(&(& D
i na implicitne kod koji# je integrator u povratnoj vezi
+=%
%
d%#y#4%y%y
D
((&(,&&(&(& D
Sustav je linearan ako je funkcija linearna u varijabli #i tj.4, , %( : a$%&?#@ 5$%&?
Stanje ravnotee je stanje sustava u kojem sustav moe ostati neodre%eno dugo akonema pobude. Stanje ravnotee moe biti stabilno &ako se vraa iz bilo kojeg stanjau stanje ravnotee(, nestabilno &ako se nevraa( i polustabilno &ako se iz neki#stanja vraa a iz neki# ne(.
2). ladanje i svojstva sustava prvog reda.
$epobu%eni linearni sustav ima #omogenu jednadbu*
$ju integriramo i dobijemo rje/enje*
Signali i Sustavi - F -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
9/41
2dziv pobu%enog sustava moe se dobiti metodom varijacije parametara rje/enje ne#omogene jednadbe pretpostavi se u obliku rje/enja #omogene
diferencijalne jednadbe. proizvoljan koeficijent u rje/enju pretpostavi se u obliku vremenske funkcije, tj.
21. *ustav drugog reda+ &lok dijagram+ formulacija jednad&i+ klasifikacija
Sustav drugog reda sastoji se od dva elementa memorije &integratora( i jednog ilivi/e funkcijski# blokova. 0oe biti opisan sa dvije diferencijalne jednadbe prvogreda, ili jednom dif. jednadbom drugog reda.A sustavu drugog reda trebamo identificirati dvije varijable stanja i dva poetnauvjeta*
Sustav drugog reda moemo podjeliti na /inearni "re'en()i (%a/an ((%a", /inearan"re'en()i 0r*'1en1i"i na ne/inearan ((%a"drugog reda.
22.
ladanje i svojstva sustava drugog reda.Hesto se jednadba drugog reda nepobu%enog sustava pise u obliku
gdje je I faktor prigu/enja.2visno o velicinama I i JDpostoje*- nadkritino prigu/enje IK JD- kritino prigu/enje I :JD- podkritino prigu/enje I LJD- neprigu/en sluaj I:D
23. snovni nizovi.
- Medinini niz.
- Medinina stepenica &mnoenje nekauzalnog niza sa jedininom stepenicom niz postajekauzalan(.
Signali i Sustavi - N -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
10/41
- Medinina kosina.
- Medinina parabola n-tog stupnja.
- Sinusni niz.
- ksponencijalni niz.
24. Kompleksni eksponencijalni niz+ svojstva sinusnog niza.
ksponencijalni niz ovisno od kompleksnog parametra 7ili moe poprimiti
razliite oblike.
25. snovne operacije na nizovima.
Signali i Sustavi - 1D -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
11/41
- iferencija vi/eg reda.- kumulacija niza.- Azlazni i silazni akumulator.
2$. odel vremenski diskretnog sustava.
9ezmemorijski sustav i memorijski sustav. !osebno vaan memorijski element je elementjedininog ka/njenja.
2'.
odel sustava s ulaznoizlaznim varija&lama
"od vremenski stalnog sustava koeficijanti ai 5su konstante, a kod vremenskipromjenjivi# sustava koeficijenti su funkcije koraka.
2(. %je-avanje jednad&e diferencija
0ogue je rije/iti jednadbu diferencija na nain korak po korak &analitiki( uzpoznavanje poetni# uvjeta na nain da se rije/enje dobiva kao rije/enje #omogene
jednadbe1$)&i partikularnog rije/enja koje ovisi o funkciji pobude.
3). %je-avanje homogene jednad&e diferencija.
$ajopenitije rje/enje #omogene jednadbe je linearna kombinacija od nposebni#linearno nezavisni# rje/enja*
s proizvoljnim konstantama*
Signali i Sustavi - 11 -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
12/41
Rje/enje se moe zapisati u obliku*
31. %je-avanje nehomogene jednad&e diferencija.
2dre%ivanje partikularnog rje/enja*
agrange6ova metoda varijacije parametara*O rje/enje se dobiva u eksplicitnom obliku.O primjena rezultira sloenim sumacijama. 0etoda neodre%enog koeficijenta*O ograniena na pobude oblika polinoma i eksponencijalni# sekvenca.O veliki broj pobuda moe se aproksimirati gore navedenim sekvencijama ili nizovima.O e/e se upotrebljava u analizi sustava.
32. ,rekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava prvog reda.
+rekvencijska karakteristika daje stacionarno stanje sustava u ovisnosti o frekvencijipobudnog signala.
33. ,rekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava drugog reda.
+rekvencijska karakteristikaH$ & daje stacionarno stanje sustava 8 H$$ &U u
ovisnosti o frekvenciji 9pobudnog sinusnog signala.
34. Transfer funkcija i frekvencijska karakteristika linearnih vremenski stalnih
sustava.
+rekvencijska karakteristika se moe odrediti grafiki iz*
praenjem apsolutne vrijednosti PH$$ & i argumentaH$$ & transfer funkcije na
jedininoj krunici+ 8 ravnine z.
35. edinini odziv diferencijskog sustava.
Specijalni tipovi pobuda poput jedinine stepenice i jedininog impulsa daje posebneodzive na takve pobude. !oznavanje ti# odziva omoguava nam odre%ivanje odziva nabilo koju pobudu.
3!. Konvolucija.
2peracija izme%u funkcija ;i naziva se konvolucija i oznaava se sa*
Signali i Sustavi - 1' -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
13/41
"onvolucjsko preslikavanje vrijedi za sve linearne vremenski stalne sustave.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
14/41
43. 7elinearni sustavlgoritam za raunanje drugog korjena iz pozitivnog broja je nelinearan sustav.&:4$#$)&!&.
44. 8ista&il kao primjer nelinearnog sustava prvog reda.
9istabil je jednostavni model s dva ravnotena stanja koja su stabilna.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
15/41
- aperiodian sluaj
4'. p9i linearni sustavi.naliza sustava* odziv poznatog sustava na traenu pobuduSinteza sustava* sustav eljenog odziva na traenu pobudua bi sustav bio linearan mora zadovoljiti uvjet #omogenosti i aditivnosti, a oba ta uvjetanapisana zajedno daju princip superpozicije. 2n je nuan i dovoljan uvjet da je sustav linearan
(&(&(& '1'1 #5F#aF5#a#F +=+
5). *uperpozicijski integral i sumacija.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
16/41
2peracija izme%u ; i naziva se konvolucijom.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
17/41
54. *ta&ilnost sustava.
inearni vremenski promjenjivi sustav je stabilan ako ima ome%en odziv
P 5&t( P 05LT, na bilo koju ome%enu pobudu P u&t( P 0u LT.$uan i dovoljan uvjet je apsolutno integrabilan impulsni odziv sustava. $eka je*
55. ;armonijska po&uda sustava.
Uarmonijska pobuda sustava je korisna za analizu linearnog nepromjenjivog sustava u
frekvencijskoj domeni*
$akon supstitucije % C , 8 i sre%ivanja izlazi*
Uarmonijska pobuda daje #armonijski odziv 6 nema izoblienja ni vi/i# #armonika.4eliinaH&D( je kompleksan broj koji nam pokazuje za svaku frekvenciju J* koliko se promijenila amplituda #armonijskog odziva. kakav je fazni pomak u odnosu na #armonijsku pobudu $%&.A&D( : PH&D(P je frekv. karakteristika amplitude, &J( : argH&D( je frekv.
karakteristika faze. ;zraz zaH&D( predstavlja +ourierov integral ili +ourierov spektarimpulsnog odziva sustava ;$%&.
5!. :o&uda sustava kompleksnom eksponencijalom.
2penito, pobuda kompleksnom eksponencijalom opet daje kompleksnu eksponencijalu*
)o nam govori da je kompleksna eksponencijala svojstvena funkcija konvolucije.;zraz zaH&(( je ujedno izraz za dvostranu aplaceovu transformaciju impulsnogodziva ;.
;zraz za jednostranu aplaceovu transformaciju dobivamo uz kauzalnu pobudu
$%& 8 U $%&
5$. /inearni diferencijalni sustavi < model s ulazno izlaznim varija&lama.
Signali i Sustavi - 1E -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
18/41
>iferencijalni sustavi su oni koji se daju opisati jednom ili vi/e diferencijalni# jednadbi.inearni sustav s jednim ulazom i jednim izlazom moemo opisati sa diferencijalnomjednadbom vi/eg reda*
>esna strana od4$%& 6 funkcija smetnje ili funkcija pobude, openito0,0funkcija
ulaznog signala $%& i njegovi# derivacija do '6tog reda, ' n.ko su koeficijentiV W i V W*
konstantni imamo vremenski stalan linearni sustav. funkcija vremena imamo vremenski promjenjiv linearni sustav. zavisni od ulaznim ili izlaznim varijablama i nji#ovim derivacijama imamo nelinearnisustav.Sustav je openito opisan s vi/e simultani# diferencijalni# jednadbi. Hesto se vi/esimultani# diferencijalni# jednadbi svodi na jednu jednadbu vi/eg reda koja veejednu izlaznu i jednu ulaznu varijablu.Svojstva operatora deriviranja*
>iferencijalna jednadba napisana pomou operatora >*
inearni sustav moemo prikazati i pomou prijenosne jednadbe U&>( na slijedeinain*U&>( : 9&>( X &>( oblik prijenosne jednadbe.
5'. remenski stalni sustavi.
2pe rje/enje uz )jednaki# od ukupno n korjena izgleda ovako*
2pe rje/enje uz korjene vi/estrukosti m1, m',...,mn izgleda ovako*
Rje/enje ne#omogene jednadbe dobiva se dodavanjem tzv. partikularnog rje/enja
na rje/enje #omogene 5 : @ .
Rje/enje #omogene jednadbe obino se naziva komplementarno rje/enje ili slobodni
odziv sustava. 0oe postojati i kada nema pobude za 6! tad se naziva vlastitogibanje ili titranje sustava jer opisuje titranje energije u sustavu bez vanjskog poticaja.4lastito dolazi od injenice da pojedine komponente slobodnog odziva titraju iskljuivo
karakteristinim frekvencijama sustava , koje zavise od strukture parametara sustava, a
ne od pobude. "omplementarno rje/enje prisutno je u opem rje/enju ne#omogenejednadbe.
Signali i Sustavi - 1F -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
19/41
5(. 6mplitude vlastitog titranja sustava.
2pe rje/enje diferencijalne jednadbe za sluaj nejednaki# korjena je*
"onstante odre%uju se iz poetni# uvjeta dani# preko vrijednosti funkcije i njeni#
derivacija u %: D. Azastopnom derivacijom izraza zay$%& u % : D dobiva se sustavlinearni# algebarski# jednadbi.
!artikularno rje/enje oznaimo s $%(.Az konstantnu ili periodiku pobudu nazovimo ga
stacionarno stanje. "omplementarno rje/enje i/ezava s vremenom pa se nazivaprijelazno ili prolazno stanje. !rijelazno stanje sastoji se od titranja vlastitim
frekvencijama sustava. mplitude titranja u prijelaznom stanju odre%ene su razlikom
poetnog stanja V D(W i iznosa partikularnog rje/enja V &D(W u trenutku % : D.
!ostoje tri specijalna sluaja*1. poetni uvjeti su jednaki partikularnom rje/enju u %: D*
)ada #omogeni sustav uz 4an der 0ondeovu determinantu razliitu od nula ima samo
trivijalno rje/enje, : D. !rijelaznog procesa nema, ve stacionarno stanje kree odma#
i ima frekvenciju pobude.'. poetni uvjeti jednaki D*
Sustav je bez poetne energije6miran sustav.. 4$%&: D sustav je nepobu%en.
!). :risilni odziv sustava.
!risilni odziv sustava predstavlja partikularno rje/enje ne#omogene jednadbe. 2penitose moe dobiti agrange6ovom metodom varijacije parametara.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
20/41
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
21/41
'. "askadni spoj podsustava*
Mednadbe koje opisuju sustav*
;mpulsni odziv kaskadnog spoja je*
. !rstenasti spoj podsustava*
>olazimo do transfer funkcije U&s( na slijedei nain*
>rukije zapisano transfer funkcija U&s( glasi*
!3. odel s varija&lama stanja linearnog sustava+ razlaganje sustava i prijelaz u
model s varija&lama stanja direktnom metodom.
0odel s varijablama stanja*4ektorska jednadba*
opisuje vladanje vremenski stalnog linearnog sustava.Gdje je matrica s realnim i konstantim elementima
a 9 je pobudna ili kontrolna matrica s konstantim elementima
Gornja vektorska jednadba je identina skupu linearni# diferencijalni# jednadbi prvogreda. ko je pobuda 8 6rezultirajua jednadba je ne#omogena.;zlazna vektorska jednadba*
Signali i Sustavi - '1 -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
22/41
identina je skupu od rlinearni# algebarski# jednadbi. Razlaganje sustava i prijelaz umodel s varijabalama stanja direktnom metodom*
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
23/41
2pi model sustava s jednim izlazom i jednim ulazom prikazujemo s faznim varijablamau standardnom obliku*
!4. odel s varija&lama stanja linearnog sustava+ razlaganje sustava i prijelaz u
model s varija&lama stanja iterativnom metodom+ &ilinearna i &ikvadratna
sekcija.;terativna metoda vodi na razlaganje sustava na kaskadu podsustava. 9rojnik i nazivnikprijenosne funkcije moemo prikazati kao produkt korjeni# faktora*
Realizacija*
Signali i Sustavi - ' -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
24/41
Sekcija s nulom i jednim polom zove se bilinearna sekcija. 9ilinearna sekcija moe serealizirati jednim integratorom*
!rijelaz u model stanja* obivene jednadbe moemo prikazati matrino*
Signali i Sustavi - '3 -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
25/41
!5. odel s varija&lama stanja linearnog sustava+ razlaganje sustava i prijelaz u
model s varija&lama stanja paralelnom metodom
!aralelnom metodom razlaemo cijeli sustav na paralelne podsustave.!rijenosnu funkciju bez vi/estruki# polova, s istim redom brojnika i nazivnika,moemo rastaviti*
gdje je*
Realizacija*
Svaki sustav prvog reda sa pret#odne slike daje jednadbu*
;zlaz je dan jednadbom*
0atrini opis modela stanja glasi*
ko su polovi vi/estruki, dobivamo slijedeu jed. stanja*
Signali i Sustavi - '= -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
26/41
;zlazna jednadba ima oblik*
!!. Transformacija varija&li stanja.
!retpostavimo da je sustav opisan pomou varijabli stanja *
;sti sustav moemo prikazati i pomou drugi# varijabli stanja .4arijable z su linearna
kombinacija varijabli x:
0atrica ! ne smije biti singularna*
Avrstimo*
$ove matrice sustava imaju oblik*
0atricu P odabiremo tako da matrica A*bude dijagonalna &kanonski oblik(. A tomsluaju P se zove modalna matrica.0odalnu matricu emo nai* !romatrajmo transformaciju vektora=u>:
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
27/41
ko je matrica A dimenzija n \ n, dobiva se karakteristini polinom n6tog stupnja."orjeni karakteristinog polinoma su vlastite vrijednosti matrice A.Rje/enjemjednadbe*
dobivaju se vlastiti vektori.
0odalnu matricu 0 +ormiramo od vlastiti# vektora matrice *
2dredimo produkt AM*
Avr/tavanjem A ?) dobivamo*
;zraz*
0oemo zapisati u obliku*
!$. dziv nepo&u#enog diskretnog sustava.
>inamiko vladanje i svojstva linearnog sustava odre%ujemo rje/avanjem jednadbistanja sustava*
Rje/enje matrine jednadbe uz pobudu ui poetno stanje : x&D( dati e nam
stanje sustava od trenutka : D do bilo kojeg trenutka %.
Rje/enje je #omogenog dijela &bez pobude( je vektor zavisan od vremena &t(, koja
zadovoljava jednadbu*
uz rubni uvjet, odnosno uz poetno stanje
xD : x&D(.$akon razvoja dobijemo*
Svojstva &%&:
!oznavanje &%& i=6 omoguuje odre%ivanje stanja sustava za bilo koji %
&%&6 prijelazna ili fundamentalna matrica, transformira poetno stanje u stanje=&%(.
Signali i Sustavi - 'E -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
28/41
!'. dziv nepo&u#enog sustava i naini odre#ivanja fundamentalne matrice.
+undementalnu matricu moemo odrediti razvojem u red ili klasinom metodom.2dre%ivanje razvojem u red*0atrica se aproksimira sNlanova reda
!otrebniNje te/ko odrediti pa najbolje pustiti raunalu da uzme lanova dok normazadnjeg napade ispod dopu/tene gre/ke*
2dre%ivanje klasinom metodom*&%( sadri vremenske funkcije svi# varijabli stanja.Svaku varijablu stanja moemopretpostaviti u obliku*
dobijemo sustav #omogeni# jednadbi stanja*
daje rje/enje [ D samo ako je determinanta sustava jednaka D.
Slijedi karakteristini polinom varijabli0! koji daje karakteristine korijene ili vlastitefrekvencije sustava.2pe rje/enje za svaku varijablu stanja sadri titranja svim karakteristinimfrekvencijama sustava*
mplitude eksp. odre%uju se iz poetni# uvjeta $6&. &%( na osnovu matrice svi#
rje/enja &%(.
+unkcije &%( su elementi fundamentalne matrice sustava.
!(. dziv po&u#enog diskretnog sustava.
Signali i Sustavi - 'F -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
29/41
$). dziv po&u#enog sustava opisanog s modelom s varija&lama stanja.
;sto kao u pro/lom pitanju.
$1. @mpulsni odziv+ odziv sustava na kauzalnu eksponencijalnu po&udu transfer
matrica.
$2. odel s varija&lama stanja diskretnih sustava.
Signali i Sustavi - 'N -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
30/41
$3. ednad&e stanja diskretnog sustava u Adomeni+ rezolventa sustava+ transfer
matrica.
$4. dziv linearnih vremenski diskretnih sustava Bmodel s varija&lama stanjaC.
$5. dziv sustava na jedinini uzorak.
$!. 0pravljivost i osmotrivost diskretnih sustava.
Sustav je upravljiv ako se iz bilo kojeg poetnog stanja sustav moe prevesti u bilo koje
krajnje stanje diskretnim signalom u konanom broju koraka n.Mednadba stanja*
Radi jednostavnosti pretpostavimo* u&)&je skalar,
konano stanje sustava je x& & 8 6.
ko je sustav upravljiv moe se primjenom signala V&6(, &>(, ..., & C >(W iz bilo
kojeg stanja=&6( prevesti u mirno stanje x& & 8 6.
Signali i Sustavi - D -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
31/41
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
32/41
$(. @nverzna Atransformacija.
Radimo u tri koraka*1. Razvijamo u 0caurentov red oko toke
'. rastavljamo racionalane funkcije na parcijalne razlomke*
."oristimo se integralom po zatvorenoj krivulji radiusa veeg od radiusa apsolutnekonvergencije*
'). *vojstva Atransformacije+ pose&no izvod za pomak unaprijed za nkoraka.
Signali i Sustavi - ' -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
33/41
'1. *vojstva Atransformacije+ pose&no izvod za ka-njenje nkoraka.
'2. *vojstva Atransformacije+ pose&no izvod za konvolucijsku sumaciju kauzalnih
nizova.
'3. *vojstva Atransformacije+ pose&no izvod za multiplikaciju s an
Signali i Sustavi - -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
34/41
'4. *vojstva Atransformacije+ pose&no izvod An=EnFG.
2dnosno multiplikacija s k.
'5. %je-avanje jednad&i diferencija upora&om Atransformacije.
H$+& 6 transfer funkcija vremenski diskretnog sustava.
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
35/41
koji smo dobili +urierovim redom pomnoimo s i integriramo po osnovnomperiodu ).
'$.
:oop9enje ,ourierovog reda.lementarni signali u +ourierovom redu su eksponencijale, koje zadovoljavaju uvjetortogonalnosti.
"oeficijenti mogu se odrediti na temelju minimalne gre/ke aproksimacije.
!ogodna karakterizacija gre/ke je integral ili suma kvadrata gre/ke u danom intervalu.
$a%imo optimalne koeficijente i traenjem minimuma gre/ke*
''. remenski diskretni ,ourierov red i svojstva.
>+) povezujeN uzoraka jednog perioda periodikog signala sN uzoraka periodikogspektra.2ptimalni koeficijenti su*
ine par izraza koji se nazivaju diskretnom +ourierovom transformacijom &>+)(."ako se vidi niz koeficijenata anje tako%er periodian niz tj. s periodomN*
'(. ,urierova transformacija vremenski diskretnih aperiodinih signala.
Signali i Sustavi - = -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
36/41
A sumaciji imamo vrijednosti mnoene sa /irinom D6 :N. Sumacija jepravokutna aproksimacija integrala. "ad $," -Q! D8 )D6! dD8 D6! a suma prelazi uintegral*
)ime smo dobili aperiodiki niz#)kao superpoziciju eksponencijala ili sinusoida.)einska funkcija je spektar*
pa zajedno sa integralom ini par koji se naziva vremenski diskretnom +ourierovomtransformacijom 4>+).
(). ,urierova transformacija vremenski diskretnih periodinih signala.
!retpostavimo da je aperiodiki signal#)dan jednim periodom signala , koji jeperiodian sN.
"adKraste, razmak izme%u sekcija signala se poveava, te zaK-Q replike seudaljavaju u beskonanost.
4remenski >iskretni +ourierov red periodikog niza je*
(1. *vojstva ,ourierove transformacije diskretnih signala
Signali i Sustavi - B -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
37/41
(2. ,urierov spektar signala.
Spektar signala napisan u pravokutnom obliku sa svojim realnim i imaginarnimdijelom*
napisan u polarnom obliku sa svojim amplitudnimi faznim spektrom*
>a bi signal imao +ourierovu transformaciju +unkcija mora biti apsolutno integrabilna teimati konaan broj maksimuma i minimuma, tj. konaan broj diskontinuiteta u konanomintervalu. )ransformacija postoji za praktiki upotrebljive signale. ;ma me%utim signalakao /to su stepenica i sinusoida koje nisu apsolutno integrabilne, ali se mogu predstavititransformacijom, ako dozvolimo upotrebu impulsa u vremenskom i frekvencijskomdomenu.
(3. tipkavanje kontinuiranog signala+ aliasing.
!ostupak uzimanja uzoraka ili tipkanja kontinuiranog signala4 moemo matematikimodelirati kao pridruivanje funkciji4 niza impulsa4], iji intenzitet je proporcionalantrenutnim vrijednostima kontinuiranog signala.
Signali i Sustavi - E -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
38/41
Avjete ekvivalencije kontinuiranog i diskretnog signala dobivenog postupkom
otipkavanja najlak/e je pratiti preko nji#ovi# spektara.(4. &navljanje ili rekonstrukcija kontinuiranog signala iz diskretnog.
>iskretni se signal moe smatrati ekvivalentnim kontinuiranom samo ako je moguerekonstruirati izvorni signal4 iz otipkanog4], odnosno ako se iz spektraF moe dobitioriginalni +. !ostupak rekonstrukcije pretpostavlja izdvajanje osnovne sekcije spektrafiltriranjem. )o e biti mogue nainiti bez pogre/ke samo ako je spektarF ogranien na
, te ako je frekvencija otipkavanja JD K ' , . !eriodini spektarF] moe se dobiti i
iz*
(5. 6ntialiasing filtri.
(!. Diskretizacija kontinuiranog spektra.
Signali i Sustavi - F -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
39/41
>iskretizacija kontinuranog spektra nekog signala*
Signal u vremenu , koji odgovara otipkanom spektru, dan je s
2tipkavanje spektra daje periodino ponavljanu funkciju4 .ko je funkcija4 takva da
je njeno trajanje nee nastupiti preklapanje &aliasing( u vremenu.
- ;zvorni signal moi e se dobiti pomou vremenskog otvora mnoenjem s idealnim
vremenskim otvorom4$%& 8 $%&$%&
F$D& se moe jednoznano dobiti iz svoji# uzoraka F$n9&! interpolacijom
"ontinuirani spektar signala konanog trajanja &4$%& 8 6 +a P%P K %6&jednoznano je
odre%en svojim uzorcimana frekvencijama : n9.
($. Dimenzionalnost signala.
>imenzionalnost signala je vana u teoriji, a ima direktnu primjenu u diskretnoj+ourierovoj transformaciji. 2na pokazuje koliko podataka, dali uzoraka signala iliuzoraka spektra, treba biti da bi ga se predstavilo sa specifinom gre/kom. 9it epotrebno vi/e podataka ako je traena gre/ka manja ili kad signal bilo u vremenskojili frekvencijsokj domeni sporije tei nuli.
2tipkavanje signala ^ ponavljanje spektra s : . &aliasing u +>(
2tipkavanje spektra ^ ponavljanje signala s : . &aliasing u 4>(
Gre/ke se mogu ocijeniti poznavanjem brzine opadanja signala i spektra za %
Signali i Sustavi - N -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
40/41
*dn*(n* D .
Az specificiranu dozvoljenu gre/ku aliasinga u +> i 4> dobivamo i trajanje i
/irinu pojasa signala.
('. Diskretna ,ourierova transformacija D,T.
>)+ se koristi za numeriko odre%ivanje spektra signala. Signal i njegov spektar trebapredstaviti uzorcima odnosno otipkati. "oliko tono postupak predstavlja +ourierovutransformaciju izvornog kontinuiranog signala4 u spektarF! zavisi kako je pokazano
ranije od izabranog i , te brzine opadanja signala i spektra za % i D
.
((. 8rza ,ourierova transformacija ,,T.
9rzom +ourierovom transformacijom &++)( naziva se skupina efikasni# postupaka zaraunanje >+)6a. >irektno raunanje jednog uzorka traiNkompleksni# mnoenja s
iNkompleksi# zbrajanja. 9udue da treba izraunatiN uzoraka
odnosnopri inverznoj transformaciji &;>+)( trebat e mnoenja. ++)
postupci omoguuju raunanje >+)6a uz znantno manji broj mnoenja proporcionalan s
N N. ++) postupci se openito temelje na razlaganju n uzoraka niza u nekoliko grupa
uzoraka. !ri tom se koristi periodinost i simetrija eksponencijale.
1)). "kvivalencija vremenski kontinuiranih i diskretnih signala.
"ao i u sluaju signala vremenski kontinuirani i diskretni sustavi se smatrajuekvivalentnim ako se iz frekvencijske karakteristike diskretnog sustavaHd$D(moe dobiti originalni spektar kontinuiranog sustavaH$D&.!od uvjetom da je pripreslikavanju iz kontinuirane u diskretnu vremensku domenu pravilnim izboromfrekvencije otipkavanja izbjegnuto preklapanje spektra gre/ka u aproksimacijifrekvencijske karakteristike dominantno zavisi od odabrane metode diskretizacijuvremenski kontinuiranog sustava.4remenski invarijantan kontinuirani sustav opisan jednadbama u prostoru stanja*
ima prijenosnu funkciju koja se rauna prema*
+rekvencijska karakteristika se dobije uz supstituciju(81D."ontinuirani sustavse preslikava u diskretni sustav opisan u prostoru stanja sa*
Signali i Sustavi - 3D -
7/23/2019 Pitanja i Odgovori Za Usmeni Iz SiS-a
41/41
pri emu iznos matrica i zavisi od odabrane metode diskretizacije. !rijenosna
funkcija vremenski diskretnog sustava dobije se prema*
+rekvencijska karakteristika se dobije uz supstituciju+8e#0$1D&.