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Universidade Estadual de Campinas

Trabalho de MA311

UUUtttiiillliiizzzaaaçççãããooo dddooo

SSSoooffftttwwwaaarrreee MMMaaaxxxiiimmmaaa

Nomes:

Cristina Marioni Torres RA: 042708 Filipe Ricardo Polizel RA:043583 Letícia Andréa Bocchi Silva RA:048060 Luís Fernando L. Sato RA:044865 Natália do Carmo Carvalho RA:045786 Thiago de Moraes Sfredo RA:046708 Tiago Bonatto de Lima RA:046769

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Índice 1) Introdução .......................................................................................................................... 3

1.1) Histórico e modo de obtenção..................................................................................... 3 1.2) Conceitos básicos do Maxima..................................................................................... 4

2) Solução de equações diferenciais....................................................................................... 7 2.1)Definição de equação diferencial ................................................................................. 7 2.2) Solução de equações diferenciais de primeira ordem ................................................. 8 2.2.1) Equações lineares .............................................................................................. 8 2.2.2) Equações separáveis.......................................................................................... 9 2.2.3) Equações exatas ................................................................................................ 9 2.3) Solução de equações diferenciais de segunda ordem:............................................... 10 2.3.1) Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes .................................... 11 2.3.2) Raízes Complexas da Equação Característica................................................. 11 2.3.3) Raízes Repetidas ............................................................................................. 12 2.4) Equações Não-Homogêneas;..................................................................................... 12 2.4.1) Método dos Coeficientes Indeterminados ....................................................... 12 2.4.2) Variação dos Parâmetros................................................................................. 13 2.5) Resolvendo sistema de EDOs: .................................................................................. 14

3) Apresentação de Campo de Direções e Trajetórias.......................................................... 14 4) Solução de equações diferenciais por transformada de Laplace ...................................... 18

4.1) Definição da transformada de Laplace...................................................................... 18 4.2) Resolvendo equações diferenciais com transformada de Laplace. ........................... 19

5) Séries ................................................................................................................................ 21 5.1) Função sum( ):........................................................................................................... 21 5.2) Função taylor( ): ........................................................................................................ 22 5.3) Função diff( ): ........................................................................................................... 23 5.4) Função solve_rec( ): .................................................................................................. 24 5.5)Resolvendo um EDO por séries: ................................................................................ 25

6) Osciladores amortecidos: ................................................................................................. 27 7) Função Degrau ou Função de Heaviside.......................................................................... 30

7.1) Definição: .................................................................................................................. 30 8) Bibliografia ...................................................................................................................... 32

8.1)Sites: ........................................................................................................................... 32 8.2) Livros: ....................................................................................................................... 33

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1) Introdução

1.1) Histórico e modo de obtenção

O Maxima é um software livre para cálculos matemáticos, semelhante ao MatLab e ao Mathematica. Trata-se de um sistema de álgebra computacional para manipulação de expressões simbólicas e numéricas, incluindo a diferenciação, integração, série de Taylor, transformações de La Place, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, polinomiais, e séries, listas, vetores, matrizes. O Maxima produz resultados precisos usando seu sistema especial de “floating” e pode trabalhar com funções e dados em duas ou três dimensões.

O código fonte do Maxima pode ser compilado em muitos sistemas, incluindo Windows, Linux, e MacOS X. O código fonte para todos os sistemas e pré-compilado binário para Windows e Linux, e está disponível no GNU General Public License. O download do sotware pode ser feito pelo link http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=4933 .

Maxima é derivado do sistema Macsyma, o sistema legendário da álgebra do computador desenvolvido nos anos de 1968 a 1982 no Instituto de Tecnologia de Massachusetts como parte do Projeto MAC. MIT remanejou uma cópia do código fonte do Macsyma para o Departamento de Energia em 1982; aquela versão é agora conhecida como Macsyma DOE. Uma cópia do Macsyma DOE (Departamento de Energia) foi mantida pelo Professor William F. Schelter da Universidade do Texas de 1982 até sua morte em 2001. Em 1998, Schelter obteve permissão do Departamento de Energia para liberar o código fonte do Macsyma DOE sob a Licença Pública GNU, e em 2000 ele iniciou o projeto Maxima no SourceForge para manter e desenvolver o Macsyma DOE, agora chamado Maxima.

Maxima é o único sistema baseado nesse esforço ainda publicamente disponível e com uma comunidade de usuário ativa, graças a sua natureza aberta da fonte. Macsyma era revolucionário em seu dia, e muitos sistemas mais atrasados, tais como o Bordo e o Mathematica, foram inspirados por ele.

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1.2) Conceitos básicos do Maxima

Inicie o Maxima com o comando "maxima". Maxima mostrará a informação de versão e uma linha de comando. Termine cada comando noMaxima com um ponto e vírgula. Termine uma sessão com o comando "quit();".

Aqui está um exemplo de sessão:

[wfs@chromium]$ máxima Maxima 5.9.1 http://maxima.sourceforge.net Using Lisp CMU Common Lisp 19a Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. This is a development version of Maxima. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1) factor(10!); 8 4 2 (%o1) 2 3 5 7 (%i2) expand ((x + y)^6); 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 (%o2) y + 6 x y + 15 x y + 20 x y + 15 x y + 6 x y + x (%i3) factor (x^6 - 1); 2 2 (%o3) (x - 1) (x + 1) (x - x + 1) (x + x + 1) (%i4) quit(); [wfs@chromium]$

Maxima pode procurar as páginas info. Use o comando describe para mostrar todos os comandos e variáveis contendo uma dada seqüência de caracteres, e opcionalmente sua documentação. O ponto de interrogação ? é uma abreviatura para describe:

(%i1) ? integ 0: (maxima.info)Introduction to Elliptic Functions and Integrals. 1: Definitions for Elliptic Integrals. 2: Integration. 3: Introduction to Integration. 4: Definitions for Integration. 5: askinteger :Definitions for Simplification. 6: integerp :Definitions for Miscellaneous Options. 7: integrate :Definitions for Integration. 8: integrate_use_rootsof :Definitions for Integration. 9: integration_constant_counter :Definitions for Integration. Enter space-separated numbers, `all' or `none': 6 5 Info from file /usr/local/info/maxima.info:

5

- Function: integerp (<expr>) Returns `true' if <expr> is an integer, otherwise `false'. - Function: askinteger (expr, integer) - Function: askinteger (expr) - Function: askinteger (expr, even) - Function: askinteger (expr, odd) `askinteger (expr, integer)' attempts to determine from the `assume' database whether `expr' is an integer. `askinteger' will ask the user if it cannot tell otherwise, and attempt to install the information in the database if possible. `askinteger (expr)' is equivalent to `askinteger (expr, integer)'. `askinteger (expr, even)' and `askinteger (expr, odd)' likewise attempt to determine if `expr' is an even integer or odd integer, respectively. (%o1) false

Para usar um resultado em cálculos posteriores, você pode atribuir esse valor a uma variável ou referir-se a esse mesmo valor através de seu rótulo gerado automaticamente. Adicionalmente, % refere-se ao mais recente resultado calculado:

(%i1) u: expand ((x + y)^6); 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 (%o1) y + 6 x y + 15 x y + 20 x y + 15 x y + 6 x y + x (%i2) diff (u, x); 5 4 2 3 3 2 4 5 (%o2) 6 y + 30 x y + 60 x y + 60 x y + 30 x y + 6 x (%i3) factor (%o2); 5 (%o3) 6 (y + x)

Maxima tem conhecimento sobre números complexos e constantes numéricas:

(%i1) cos(%pi); (%o1) - 1 (%i2) exp(%i*%pi); (%o2) - 1

Maxima pode fazer cálculos diferenciais e integrais:

6

(%i1) u: expand ((x + y)^6); 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 (%o1) y + 6 x y + 15 x y + 20 x y + 15 x y + 6 x y + x (%i2) diff (%, x); 5 4 2 3 3 2 4 5 (%o2) 6 y + 30 x y + 60 x y + 60 x y + 30 x y + 6 x (%i3) integrate (1/(1 + x^3), x); 2 x - 1 2 atan(-------) log(x - x + 1) sqrt(3) log(x + 1) (%o3) - --------------- + ------------- + ---------- 6 sqrt(3) 3

Maxima pode resolver sistemas lineares e equações cúbicas:

(%i1) linsolve ([3*x + 4*y = 7, 2*x + a*y = 13], [x, y]); 7 a - 52 25 (%o1) [x = --------, y = -------] 3 a - 8 3 a - 8 (%i2) solve (x^3 - 3*x^2 + 5*x = 15, x); (%o2) [x = - sqrt(5) %i, x = sqrt(5) %i, x = 3]

Maxima pode resolver sistemas de equações não lineares. Note que se você não quer um resultado impresso, você pode encerrar seu comando com $ em lugar de encerrar com ;.

(%i1) eq_1: x^2 + 3*x*y + y^2 = 0$ (%i2) eq_2: 3*x + y = 1$ (%i3) solve ([eq_1, eq_2]); 3 sqrt(5) + 7 sqrt(5) + 3 (%o3) [[y = - -------------, x = -----------], 2 2 3 sqrt(5) - 7 sqrt(5) - 3 [y = -------------, x = - -----------]] 2 2

Maxima pode gerar gráficos de uma ou mais funções:

7

(%i1) eq_1: x^2 + 3*x*y + y^2 = 0$ (%i2) eq_2: 3*x + y = 1$ (%i3) solve ([eq_1, eq_2]); 3 sqrt(5) + 7 sqrt(5) + 3 (%o3) [[y = - -------------, x = -----------], 2 2 3 sqrt(5) - 7 sqrt(5) - 3 [y = -------------, x = - -----------]] 2 2 (%i4) kill(labels); (%o0) done (%i1) plot2d (sin(x)/x, [x, -20, 20]); (%o1) (%i2) plot2d ([atan(x), erf(x), tanh(x)], [x, -5, 5]); (%o2) (%i3) plot3d (sin(sqrt(x^2 + y^2))/sqrt(x^2 + y^2), [x, -12, 12], [y, -12, 12]); (%o3)

*Nota:

Para a função Degrau Unitário Maxima não é capaz de desenhar os gráficos nem calcular sua transformada de La Place, apesar de estar inclusa em sua biblioteca.A Função Degrau Unitário é implementada como unit_step[x].

2) Solução de equações diferenciais

2.1)Definição de equação diferencial

Uma equação diferencial é qualquer equação na qual esteja presente a derivada de

alguma variável. Um exemplo simples é:

tteydtdy 22 −=+

Note que dtdy

também pode ser escrito como y′ . A variável y é chamada de

variável dependente e t é a variável independente. Equações diferenciais são divididas em várias classificações, sendo a mais básica a

ordem. A ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de maior grau encontrada nela. No exemplo acima, a única derivada é de primeiro grau, portanto, trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem.

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2.2) Solução de equações diferenciais de primeira ordem

Não existe um método universal para resolver equações de primeira ordem. Portanto, estas equações foram divididas em várias subclasses com métodos de solução diferentes. As mais importantes subclasses são equações lineares, equações separáveis e equações exatas.

2.2.1) Equações lineares

Equações lineares são normalmente encontradas na forma

)()( tgyypdtdy =+

e representam uma relação linear entre a variável dependente e a independente.

Para resolver uma equação linear de primeira ordem no Maxima usa-se o comando ode2(equação, variável dependente, variável independente). Exemplo 1:

tteydtdy 22 −=+

in: ode2('diff(y,t) + 2*y = t*exp(-2*t),y,t);

out: tect

y 22

2−

���

����

�+=

O Maxima retorna a solução geral da equação diferencial, por isso o uso da

constante c . Isto possibilita desenhar o campo vetorial e trajetorial da equação (assumindo arbitrariamente valores para a constante). O valor da constante depende das condições iniciais do problema (exemplo logo a seguir).

Observe que o comando para solução, tanto de equações de primeira ordem quanto para segunda, é o mesmo no Maxima. Este comando examina a equação e aplica vários métodos de solução até encontrar a solução geral. Para descobrir qual método foi utilizado pelo Maxima na resolução da equação, existe o comando method. Para a equação resolvida acima, method retorna linear, o que quer dizer que o maxima obteve a solução geral da equação diferencial tratando-a como uma equação linear.

Aplicando as condições iniciais t = 1 e y = 0 para a equação resolvida no exemplo acima, podemos determinar o valor da constante c através da função ic1. Esta função deve ser usada da seguinte forma ic1(solução, valor inicial de t, valor inicial de y)

9

Exemplo 2: in: ic1( y=(t^2/2+%c)*%e^(-2*t) , y=0, t=1);

out: 2

)1( 22 tety

−−=

Esta é a solução do problema de valor inicial apresentado.

2.2.2) Equações separáveis

Equações separáveis são geralmente da forma

0)()( =+dxdy

yNxM

ou seja, a função N que multiplica a derivada depende apenas da variável dependente e o termo M depende apenas da variável independente. Estas equações podem ser resolvidas por integração direta, pois podem ser escritas na forma dyyNdxxM )()( −= , e a solução pode ser encontrada integrando-se ambos os lados da equação. Exemplo 3:

122

+=

xx

dxdy

in: ode2( 'diff(y,x) = 2*x/(1+2*y), y, x)

out: cxyy +=+22

22

Para esta equação a função method retorna separable. Aplicando as condições iniciais x = 2 e y = 0 nesta solução geral, encontramos a

seguinte solução particular: in: ic1((y^2+y)/2=x^2/2+%c, x=2, y=0);

out: 2

42

22 −=+ xyy

2.2.3) Equações exatas

A definição de uma equação exata de primeira ordem é, para uma

equação 0),(),( =+dxdy

yxNyxM , tem-se que:

10

),(),( yxNyxM xy =

Cumprida esta condição, a solução geral da equação é dada pela função F, sendo

),(),( yxMyxFx = e ),(),( yxNyxFy =

Nem sempre uma equação diferencial encontra-se na forma exata. Para transformá-

la em uma equação exata, pode se multiplicar a equação por um determinado fator integrante u, que depende apenas de uma das variáveis. Comumente, utiliza-se u(x).

A equação transformada é então

0),()(),()( =+dxdy

yxNxuyxMxu e uN

NM

dxdu xy −

=

Exemplo da solução de uma equação exata com o uso de fator integrante:

03)( 22 =++��

���

�+ xyydxdy

xxy

In: ode2( (3*x*y + y^2) + (x^2 + x*y)*'diff(y,x) = 0; , y, x)

Out: cyxyx =+

22 322

Neste exemplo a função method retorna exact. Para avaliar se o Maxima usou um fator integrante para transformar a equação

diferencial acima em uma equação exata, use-se a função intfactor. Neste caso a função intfactor retorna x , ou seja, houve a necessidade de

multiplicar a equação diferencial por xxu =)( . A equação exata resolvida pelo Maxima então foi

03)( 2232 =++��

���

�+ yxxydxdy

xyx .

2.3) Solução de equações diferenciais de segunda ordem:

Como já visto anteriormente, equações de segunda ordem são aquelas em que o maior grau de suas derivadas é 2. Nesta seção veremos os diversos métodos de resolução destas equações, aplicados a cada tipo de equação.

Podemos ainda definir uma equação diferencial de segunda ordem pela forma:

���

����

���

���

�=���

����

�

dxdy

ytfdt

yd,,

2

2

Onde f é alguma função dada.

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2.3.1) Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes

Esse tipo de equação é dado na forma:

ay’’+ by’+cy = 0, onde a, b e c são constantes.

O método de resolução de tais equações é bem simples, basta realizarmos a troca de

variável rtey = , aplicando as derivadas a cada fator e dividindo toda a equação por rte , chegaremos a uma equação do segundo grau.

Seja r1 e r2 as raízes dessa equação, então teremos como solução geral do problema:

trtr ececy 2121 +=

Note que as constantes c1 e c2 podem ser encontradas dado um problema de valor

inicial. Exemplo 4:

03'5'' =+− yyy In: ode2('diff(y,x,2)-5*'diff(y,x)+6*y, y, x); Out: tt ececy 2

23

1 +=

Neste caso a função method retorna constcoeff.

2.3.2) Raízes Complexas da Equação Característica

Este é um caso particular de equação homogênea com coeficientes constantes. Onde obtemos raízes complexas da equação de segundo grau, ou seja, 04 <− acb .

As raízes da equação de segundo grau, neste caso, são dadas por

µλ ir +=1 e µλ ir −=2 , onde 1−=i .

Neste problema, s solução para a equação diferencial se apresenta na forma:

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tsenectecy tt µµ λλ −+= 21 cos Exemplo 5:

05''' =++ yyy

In: ode2('diff(y,x,2)+'diff(y,x)+5*y, y, x);

Out: 2

19cos

219 2

22

1

xec

xsenecy

xx−−

+=

Neste caso a função method retorna constcoeff.

2.3.3) Raízes Repetidas

Este é mais um caso particular de equação homogênea com coeficientes constantes. Onde as raízes r1 e r2 da equação de segundo grau obtida da equação diferencial são iguais.

Neste problema, a solução geral para a equação diferencial se apresenta na forma:

trtrtr exccxececy 121

22

11 )( +=+=

Exemplo 6:

0'2'' =++ yyy

In: ode2('diff(y,x,2)+2*'diff(y,x)+y, y, x); Out: xxx exccxececy −−− +=+= )( 2121

Neste caso a função method retorna constcoeff.

2.4) Equações Não-Homogêneas;

2.4.1) Método dos Coeficientes Indeterminados

Equações não-homogêneas são da forma

)()(')('' tgytqytpy =++ , onde p, q e g são funções contínuas no intervalo considerado.

Toda equação não-homogênea tem uma equação homogênea associada, que é da

forma:

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0)(')('' =++ ytqytpy

A solução geral de uma equação não-homogênea pode ser escrita na forma:

)()()()( 2211 tYtyctycty ++== φ ,

onde y1 e y2 formam um conjunto de soluções da equação homogênea associada e Y é uma solução específica da solução da equação original (não-homogênea).

O Maxima não utiliza este método, por sua falta de generalidade.

2.4.2) Variação dos Parâmetros

Este é um método mais geral para a solução de equações diferenciais não-homogêneas, já que não são necessárias hipóteses detalhadas sobre a forma da solução.

A idéia básica do método da variação dos parâmetros é substituir as constantes c1 e c2 por funções u1(t) e u2(t), respectivamente, determinando essas funções de forma que a expressão resultante para a solução geral seja:

tsentuttuy 2)(2cos)( 21 +=

Do método da variação de parâmetros, conclui-se que uma solução particular da

equação particular é:

�� +−= dttyyW

tgtytydt

tyyWtgty

tytY))(,(

)()()(

))(,()()(

)()(21

12

21

21 ,

onde W(y1,y2) é o Wronskiano aplicado às funções y1(t) e y2(t).

Temos ainda que a solução geral para é:

)()()( 2211 tYtyctycy ++= Exemplo 7:

xetyyy 224'4'' −−=++ In: ode2('diff(y,x,2)+4*'diff(y,x)+4*y-(x^(-2))*exp(-2*x), y, x); Out: )1)(log()( 22

12 +−+= −− xeecxcy xx

Podemos notar que

14

)1)(log()( 2 +−= − xexY x , xexy 21 )( −= , xxexy 2

2 )( −= .

Neste caso a função method retorna variationofparameters.

2.5) Resolvendo sistema de EDOs:

O software Maxima possui um comando que facilita muito a resolução de um sistema de equações diferenciais. Esse comando é o “desolve”. Ele calcula o sistema utilizando a transformada de La Place. É um método parecido a resolução de um sistema linear comum, mas utiliza a transformada de La Place para transformar um sistema de EDOs em um de equações algébricas e depois faz a inversa da transformada de La Place para encontrar o resultado final. Inserindo as equações do sistema: input: eq1: 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x) input: eq2: 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x) Colocando algumas condições iniciais. Input: atvalue('diff(g(x),x),x=0,a) Input: atvalue(f(x),x=0,1) Resolvendo o sistema: Input: desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]) Output: [f(x) = a %e - a + 1, g(x) = cos(x) + a %e - a + g(0) - 1]

3) Apresentação de Campo de Direções e Trajetórias

Campo de Direções é uma ferramenta importante para a avaliação de equações diferenciais, pois dão uma noção dos valores que as soluções dessas equações tendem. Eles são compostos por vetores tangentes às soluções nos pontos do plano xy.

Para desenhar campos de direções no Maxima, devemos primeiramente carregar a biblioteca “plotdf” utilizando o comando “load(plotdf);”.

A função que desenha os campos de direções é “plotdf”, para utilizá-la, passamos como argumento a função

dxdyyxf =),(

*Note que tal função só desenha campos de direções para equações diferenciais

ordinárias de primeira ordem.

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Exemplo 1: Traçar o campo de direções para a equação diferencial

0135' =++− xxyy

*Note que temos 135' −+== xxyy dxdy

plotdf(5*x*y + 3*x –1);

Agora veremos alguns dos argumentos da função “plotdf”:

Argumento Parâmetros Valor Padrão Papel xradius 1 (real) 0 Magnitude do eixo x. yradius 1 (real) 0 Magnitude do eixo y. xcenter 1 (real) 0 Centro do eixo x. ycenter 1 (real) 0 Centro do eixo y. tinitial 1 (real) 0 Valor inicial do parâmetro “t” . nsteps 1 (inteiro) 100 Número de passos p/ traçar a trajetória.

tracjetory_at 2 (real, real) vazio Ponto em que é traçado a trajetória. tstep 1 (real) 0,01 Valor adicionado a “t” a cada passo.

Exemplo 2: Traçar o campo de direção de

yxy 5.02' −+=

mostrando a trajetória de uma possível solução.

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*Note que traçamos a solução para o ponto (1, 1), além de definir a magnitude dos

eixos x e y, o número de passos e o incremento de t. Exemplo 3: Para o exemplo anterior, mostrar várias soluções.

Para mostrarmos diversas soluções no Maxima, devemos traçar o campo de direções; clicando em “Config” podemos ver o campo “Trajectory at”, ao inserirmos os valores da coordenada do ponto desejado mostramos soluções adicionais, como mostrado abaixo:

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*As soluções traçadas acima correspondem aos pontos (-5,-5), (-2,-2), (0,0), (1,1), (2,2), (3,3) e (4,4). Exemplo 4: A aceleração )'(v de um corpo em queda satisfaz a seguinte equação:

vv 2.08.9' −= ,

onde v é a velocidade do corpo.Desenhe o campo de direções para o problema dado, e estime a velocidade limite de queda. Primeiramente, desenhemos o campo de direções:

plotdf(9.8 –0.2*y);

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Olhando as soluções traçadas no campo de direções acima, notamos que para um tempo muito longo, todas tendem a um número próximo de 50. Disto podemos estimar que a velocidade limite de queda é aproximadamente 50.

Analisando o caso v(0) = 49, notamos que a velocidade não se altera com o tempo, ou seja, v’(t) = 0 para qualquer t, disso podemos concluir que a velocidade limite é de 49.

4) Solução de equações diferenciais por transformada de Laplace

4.1) Definição da transformada de Laplace. Seja uma função f(t) definida no intervalo ],0[ ∞ . A Transformada de Laplace de

)(tf em s é:

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quando a integral imprópria existe. )(tf é a transformada inversa de Laplace de )(sF , o que quer dizer que

)()}({ sFtfL = logo, )()}(}{1{ tfsFL =− ;

Para resolver uma equação diferencial por La Place usamos o seguinte comando na linha de comando do Maxima:”laplace(g[t], t, s)”, )(tg em que é a função a ser aplicada a transformada.

Já o comando para calcular a transformada inversa de La Place é: ilt(f[s], s, t). *Nota: Na versão que utilizamos do Maxima (0.6.6, win32) as funções de Transformada de La Place já vinha pré-instaladas e não foi necessário carregar nenhum pacote adicional. Exemplo1: Encontre a transformada de La Place de: (a) 3)( ttf = (b) )sin()( attf = (c) )cos()( attf = Solução: (a)usando o comando: Input: laplace(t^3, s, t) Output: t 2 (b) Input: laplace(sin(a*t), t, s) Output: a/(s^2+a^2) (c) Input: laplace(cos(a*t), t, s) Output: s/(s^2+a^2)

Exemplo 2: Encontre a inversa da transformada de La Place de 16²4+s

Vamos usar o comando ilt para calcular a inversa: Input: ilt(4/(s^2 + 16), s, t) Output: t 2

4.2) Resolvendo equações diferenciais com transformada de Laplace.

Transformada de La Place pode ser usada para resolver diversas equações diferenciais. Normalmente, quando usamos La Place para resolver uma equação diferencial

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de uma função )(ty , calculamos a transformada de La Place para cada termo da equação diferencial, depois resolvemos algebricamente a equação para a transformada de La Place de )}({),( tyLty , e finalmente determinamos )(ty calculando a transformada inversa de La Place de )}({ tyL . Muito confuso? Então observe o exemplo abaixo:

Exemplo 3: Resolva a seguinte equação diferencial com valores iniciais pelo método das transformadas de La Place:

1)0(",0)0(,)(5)('2)('' ===++ yyttytyty

Usando o comando “ode” para resolver a equação diferencial: Input: ode: 'diff(y(t), t, 2) + 5*'diff(y(t), t) + 4*y(t) = t; Output: 'diff(y(t),t,2)+5*('diff(y(t),t,1))+4*y(t)=t

Inserindo as condições iniciais:

Input: atvalue(y(t), t=0, 0); Output: 0 Input: atvalue('diff(y(t), t), t= 0, 0); Output: 0

Calculando a transformada de La Place:

Input: lap_ode:laplace(ode,t,s); Output:s^2*laplace(y(t),t,s)+5*s*laplace(y(t),t,s)+4*laplace(y(t),t,s)=1/s^2

A equação diferencial original era uma equação diferencial, agora é uma equação algébrica com a variável “laplace(y(t), t, s)”. Para resolver basta usar o comando solve:

Input: sol: solve(%, 'laplace(y(t), t, s)); Output: [laplace(y(t),t,s)=1/(s^4+5*s^3+4*s^2)]

*Note que você tem que escrever a desconhecida com um apóstrofo. Sem o apóstrofo, Maxima tentará avaliar a expressão “laplace(y(t), t, s)”.

Veja que a resposta é uma lista com a solução linear.

Agora, podemos aplicar a transformação inversa de La Place para que a equação. algébrica com dependência em s , volte a ser dependente de t . Para selecionar um item da lista basta usar o comando map:

Input: map( lambda( [eq], ilt(eq, s, t)), sol) Output: [y(t)=%e^(-t)/3-%e^(-4*t)/48+t/4-5/16]

21

Isso é novamente uma lista de uma equação. Note que a inversa da transformação de La Place foi aplicada a ambos os lados da equação:

• Sobre o lado esquerdo, a aplicação da inversa da transformação de La Place na transformada de La Place de )(ty retorna )(ty ;

• Sobre o lado direito, a aplicação da inversa da transformação de La Place retorna a solução da equação diferencial dada.

5) Séries

Expansões em séries têm uma vasta aplicabilidade inserida no cálculo, visto que determinadas funções e suas propriedades – continuidade, regras de derivação, integração dentre outras operações – podem ser estudadas a fundo neste contexto. Temos ainda uma outra abordagem neste sentido, a Teoria dos Números – números primos, irracionais, transcendentes, as constantes e e π etc, esses tópicos também permitem um estudo com base em séries. Não podemos deixar de citar é claro, uma funcionalidade bastante útil das séries, mais especificamente, séries de potências, estas podem ser usadas como um método alternativo para resolução de equações diferenciais.

O Maxima disponibiliza várias funções para o trato com expressões em séries, em especial a série de Taylor. Vejamos algumas delas pertinentes ao nosso estudo:

5.1) Função sum( ):

- Dado uma determinada expansão em série, converte esta em somatório. Sintaxe:

sum (expressão, variável, início, fim) Exemplo 1:

22

5.2) Função taylor( ): -Apresenta uma expansão em séries de Taylor para uma dada função. Sintaxe 2: taylor (f(x), variável, início, fim) Exemplo 3:

23

5.3) Função diff( ): -Diferencia não só expressões comuns como também expansões em série. Sintaxe: diff (expressão, variável, ordem da derivada) Exemplo 4: Dada a expressão “%o44”:

suas derivadas de segunda, terceira e quarta ordem são:

24

Embora o Maxima não nos forneça uma forma direta para calcular equações diferencias através das séries, temos uma função que nos fornece a solução da relação de recorrência.

5.4) Função solve_rec( ): -Resolve a relação de recorrência no processo de resolução de uma equação diferencial por meio de séries de potências. *Nota: para a utilização desta ferramenta é necessário carregá-la previamente com o auxílio da função “load”:

Temos: Sintaxe: solve_rec (relação de recorrência, a[n]) Exemplo 5:

25

5.5)Resolvendo um EDO por séries:

O método que utilizamos para resolver as EDOs por séries via um software é bastante distinto do método analítico aprendido durante as aulas.

Iniciamos dizendo que queremos usar uma função genérica )(ty expandida usando série de Taylor. sery: taylor(y(t), t,0,10)

Colocamos as condições iniciais. Input: atvalue(y(t), t=0, 2) Output: 2

continuando... Input: atvalue('diff(y(t), t), t=0, 2) Output: 2 Colocando EDO a ser resolvida input: eq: 4*'diff(sery, t, 2) + 4*'diff(sery, t) + 37*sery = 0 output: 82+4*(at('diff(y(t),t,2),t=0))+(4*(at('diff(y(t),t,2),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,3),t=0))+74)*t+((37*(at('diff(y(t),t,2),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,3),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,4),t=0)))*t^2)/2+((37*(at('diff(y(t),t,3),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,4),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,5),t=0)))*t^3)/6+((37*(at('diff(y(t),t,4),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,5),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,6),t=0)))*t^4)/24+((37*(at('diff(y(t),t,5),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,6),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,7),t=0)))*t^5)/120+((37*(at('diff(y(t),t,6),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,7),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,8),t=0)))*t^6)/720+((37*(at('diff(y(t),t,7),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,8),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,9),t=0)))*t^7)/5040+((37*(at('diff(y(t),t,8),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,9),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,10),t=0)))*t^8)/40320+((37*(at('diff(

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y(t),t,9),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,10),t=0)))*t^9)/362880+(37*(at('diff(y(t),t,10),t=0))*t^10)/3628800+...=0 igualamos em zero cada coeficiente, já que sabemos que duas séries de potência são iguais somente se ambos tiverem coeficientes iguais. input: diff_eq1: 82 + 4*(at('diff(y(t),t,2),t=0))=0 input: diff_eq2: (4*(at('diff(y(t),t,2),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,3),t=0))+74)=0 input: diff_eq3: (37*(at('diff(y(t),t,2),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,3),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,4),t=0)))/2=0 input: diff_eq4: (37*(at('diff(y(t),t,3),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,4),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,5),t=0)))/6=0 input: diff_eq5:(37*(at('diff(y(t),t,4),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,5),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,6),t=0)))/24=0 input: diff_eq6:(37*(at('diff(y(t),t,5),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,6),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,7),t=0)))/120=0 input: diff_eq7:(37*(at('diff(y(t),t,6),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,7),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,8),t=0)))/720=0 input: diff_eq8:(37*(at('diff(y(t),t,7),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,8),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,9),t=0)))/5040=0 input: diff_eq9:(37*(at('diff(y(t),t,8),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,9),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,10),t=0)))/40320=0 input: diff_eq10:(37*(at('diff(y(t),t,9),t=0))+4*(at('diff(y(t),t,10),t=0)))/ 362880=0 input: diff_eq11:37*(at('diff(y(t),t,10),t=0))/ 3628800=0

transformando em sistema as equações já inseridas. ode_system: [diff_eq1, diff_eq2, diff_eq3, diff_eq4, diff_eq5, diff_eq6, diff_eq7, diff_eq8, diff_eq9, diff_eq10, diff_eq11]

Resolvendo cada equação do sistema e substituindo na equação abaixo.

*Nota: inicialmente usaríamos apenas um comando solve com 12 parâmetros que incluiriam as equações diferenciais, mas a versão do Maxima está com problemas nesse aspecto e apenas devolve uma lista vazia.

27

Input: solve(diff_eq1,[y(t)]) Input: solve(diff_eq2,[y(t)]) Input: solve(diff_eq3,[y(t)]) Input: solve(diff_eq4,[y(t)]) Input: solve(diff_eq5,[y(t)]) Input: solve(diff_eq6,[y(t)]) Input: solve(diff_eq7,[y(t)]) Input: solve(diff_eq8,[y(t)]) Input: solve(diff_eq9,[y(t)]) Input: solve(diff_eq10,[y(t)]) Input: solve(diff_eq11,[y(t)]) e substituindo os 11 valores de y(t) na EDO principal, temos a solução em série aproximada da equação: y(t) = 2 + 2x + 41*x^2/4 + x^3/3 + 1501*x^4/192 – 1649*x^5/960 – 48941*x^6/23040 + 54977*x^7/80640 + 1371001*x^8/5160960 – 5439299*x^9/46448640 – 28969841*x^10/1857945600

6) Osciladores amortecidos:

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Figura 1.00 – Oscilador Harmônico Amortecido

A figura 1.00 mostra o sistema de suspensão de um automóvel. Dentro da mola temos um amortecedor, isto é, um cilindro cheio de óleo, que produz uma força oposta ao movimento, diretamente proporcional à velocidade:

avFv −= ,

onde a é uma constante.

Temos a equação de aceleração do sistema dada por:

ymk

y −=..

(1.0)

A equação de movimento obtém-se subtraindomFv

no lado direito da equação (1.0).

Desse modo, obtemos a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido:

y'’ + by’ + w²y = 0 (1.1)

onde ma

b = .

Trata-se de uma equação linear, de segunda ordem, que pode ser resolvida analiticamente, no Maxima da seguinte forma:

Usando o comando ode2 do Maxima. (%i1) eq2: ’diff(y,t,2) + b*’diff(y,t) + wˆ2*y = 0$ (%i2) ode2(eq2, y, t);

A expressão )2)(2( bwbw +− é positivo, negativo, ou zero?

Para casos em particular, ou seja, se conhecermos as constantes de amortecimento (b) de um sistema podemos resolvê-lo dessa forma com o programa Maxima.

Obtém-se 3 tipos de soluções, segundo (2w−b) seja nula, positiva ou negativa. O lado direito da figura 1.00 mostra os três tipos de soluções.

� Quando b < 2w, dizemos que o amortecimento é fraco, e a solução é uma

função que oscila, mas com amplitude que decresce rapidamente. � O caso b = 2w é designado de amortecimento crítico e conduz a uma solução

que se aproxima decresce rapidamente para y = 0 (com algumas condições iniciais, y pode chegar a mudar de sinal antes de se aproximar para zero).

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�

�

�

−=

−−=

xy

bxxx

ω

ω.

.

� Finalmente, b > 2w corresponde ao caso de sobre-amortecimento (amortecimento forte), em que y decresce lentamente para zero.

Um oscilador real tem sempre um termo de amortecimento devido ao atrito com o ar. O que acontece é que o amortecimento pode ser muito fraco, o que faz com que a amplitude das oscilações diminuía lentamente. Assim, a equação 1.1 é mais realista do que a equação 1.2 abaixo, que nada mais é do que a equação 1.0 evidenciando as constantes de forma positiva.

yy 2..

ω−= (1.2) onde

mk=ω (1.3)

O respectivo sistema autônomo de primeira ordem é:

(1.4)

A Figura 1.10 mostra a evolução do sistema, no espaço de fase (x, y) e no domínio do tempo:

Figura 1.10 - Evolução do Oscilador Harmônico com amortecimento Fraco.

No caso do uso de amortecedores em automóvel, para que o carro não oscile cada vez que passe sobre um obstáculo, os amortecedores são desenhados de forma a produzirem amortecimento crítico ou ligeiramente forte.

Devido ao uso continuo e com o passar do tempo ocorre um processo de desgaste, o óleo do amortecedor começa a perder pressão e quando o sistema entra no regime de amortecimento fraco, o carro oscila quando empurramos a parte posterior do veículo para baixo, característica que nos indica que precisamos substituir os amortecedores.

30

�

≥<

=;0,1;0,0

)(tse

tsetu c

7) Função Degrau ou Função de Heaviside

7.1) Definição: A função degrau, ou função de Heaviside, é uma função descontínua, que também é

conhecida como função degrau unitário, pode ser definida por

O software Maxima não é indicado para trabalhar com função degrau porque aprensenta falhas.Apesar da função Degrau Unitário estar contida em sua biblioteca, não é possível traçar o gráfico da função, nem calcular sua tranformada de Laplace; Sendo assim, usaremos o software Mathematica, que tem um layout parecido com o Máxima, para fazermos os gráficos e calcular transformadas de La Place.

A função degrau unitário no software Mathematica é implementada como UnitStep[x]. O gráfico da função degrau é feito abaixo.

Sua transformada de La Place é

31

L{ cu (t)}= 0, >−

ss

e cs

,

Demonstração:

0,)()}({0

>===−∞ −∞ −

�� ss

edtedttuetuL

cs

c

stc

stc

-Exemplos de uso do software para resolução de problemas com função degrau: Exemplo 1: Esboce o gráfico da função f (t-π).uc(t) onde f(t) = t² .

Exemplo 2: Resolva a equação y’’- 2y’+ y = uπ(t)-u2π(t)

32

8) Bibliografia 8.1)Sites: http://maxima.sourceforge.net/

33

http://pt.wikipedia.org/wiki/Maxima http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima.html http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/pt/maxima_1.html#SEC1 http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=4933 http://www.math.utexas.edu/pipermail/maxima/2004/007034.html

8.2) Livros: Classical dynamics of particles and systems (Thornton & Marion, 2004). Jaime E. Villate - Introdução aos Sistemas Dinâmicos – Fac. de Engenharia, Universidade do Porto,2006; Willian E. Boyce e Richard C. DiPrima - "Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno”, LTC (7ª edição, 2002); George F. Simmons - "Cálculo com Geometria Analítica”, tradução - Seiji , Rodney e Sílvio , MacGraw-Hill Ltda (1ª edição,1988).