Uvijanje

6. UVIJANJE ŠTAPOVA OKRUGLOG PRESJEKA 1

6. UVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA OKRUGLOG PRESJEKA

6.1. Naprezanje i deformacije pri uvijanju

a) Pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja: Analiza naprezanja i deformacija uvijanja ravnih štapova provest će se uz

sljedeće pretpostavke o deformiranju i raspodjeli naprezanja: 1. Pri deformiranju štapa poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na uzdužnu

os štapa. 2. Poprečni presjeci zakreću se kao krute figure, tj. materijalni polumjeri pri

zakretanju ostaju ravni (ne deformiraju se u svojoj ravnini). 3. Normalno naprezanje σx jednako je nuli.

Izvedeni izrazi vrijedit će uz sljedeća ograničenja:

1. Promatrani presjeci dovoljno su udaljeni od mjesta djelovanja koncentriranih spregova (dovoljna udaljenost je oko jedan polumjer presjeka). 2. Štapovi su ravni, konstantnog poprečnog presjeka.

3. Poprečni presjek može biti samo krug ili kružni vijenac.

Navedene pretpostavke u cijelosti su ispunjene pri uvijanju okruglih štapova, slike c) i d):

a) mirujuća (savijanje)

b) rotirajuća osovina (savijanje)

c) puni presjek vratila d) šuplje vratilo

(opterećenje na savijanje i uvijanje)


A B

Mt

O

x

y z

xo ∆x∆x

Mt

Mt = const. duž štapa → bilo koja dva elementa A i B deformirat će se jednako, jer su geometrijski identični i opterećeni na isti način. Štap i svi njegovi dijelovi su rotacijski simetrični oko uzdužne osi x.

Simetrija problema uvijanja prizmatičnog okruglog štapa uvjetuje da kod deformiranja poprečni presjeci ostaju ravni i okomiti na uzdužnu os.

Analiza pretpostavki o deformiranju pri uvijanju štapa pokazana je na slikama.

180o

∆x/2

1

xa)

Mt

∆x/2y

z

2

L

D

Mtb)

c)

d)

x

x

x

180o

x

yz

a) b)x

yz

Prema drugoj pretpostavci o deformiranju, ako se jedan polumjer pri deformiranju iskrivi, iskrivit će se svi polumjeri u svim presjecima na isti način, jer to slijedi iz uvjeta simetrije.

To uvjetuje da polumjeri pri deformiranju ostaju ravni, tj. poprečni presjeci zakreću se kao krute figure oko uzdužne osi x štapa.

b) Geometrijska analiza

O

∆x

αoα

α+d α

xz

y xo

x

Mt

Mt

Kut zakreta α je funkcija položaja presjeka:

rad,)(xαα= .

Relativni kut uvijanja ϑ definiran je izrazom:

rad/mdd ,lim

0 xxx

ααϑ =ΔΔ=

→Δ.


Za infinitezimalno mali element duljine dx kut zakreta dα je:

∫= /xdd ϑα → ∫ ∫=α

αo o

ddx

xxϑα → )( oo xx −+= ϑαα (za ϑ =const.).

Relativni kut uvijanja ϑ ovisi o momentu uvijanja Mt, promjeru štapa d i o materijalu štapa. Ako su sve te veličine konstantne, bit će i parametar ϑ konstantan.

Ako je ishodište koordinatnog sustava na lijevom kraju štapa, bit će:

x⋅+= ϑαα o .

U tom slučaju kut αo predstavlja zakret lijevog kraja štapa, tj. zakret štapa kao krutog tijela i ne utječe na pojavu naprezanja i deformacija. Naprezanja i deformacije u štapu pojavit će se samo ako je jedan kraj nepomičan, a drugi se zakreće za mali kut.

A

dx

d ρMt

Mt

O

A C

C1

B

l

dA

α

x

x

dρRavnina OACB prelazi u zavojnu plohu OAC1B. Iz vratila je isječen diferencijalni element štapa duljine dx i polumjera ρ i ρ+dρ. Na njegovom plaštu ucrtan je pravokutnik DEFG. Kod zakreta desnog kraja za dα, pravokutnik prelazi u romboid DEF1G1.

γ

B

αα+dα

dα ρ

dρ

dx

D

E

G

G1

F1

F

Mt

Kutna deformacija γ kod smicanja elementa je:

xdDG = , xddGG1 ρϑαρ =⋅= → ϑργ ⋅==DGGG1 ,

gdje je ϑ nepoznati parametar. Kutna deformacija je u uzdužnoj osi štapa jednaka nuli i raste linearno prema površini štapa gdje ima maksimalni iznos:

ϑργ ⋅= , → ϑγ ⋅= rmax , za r = d/2.

c) Primjena Hookeova zakona Za slučaj čistog smicanja elementa vrijedi:

ϑργτ GG =⋅= , ϑτ Gr=max .

Posmično je naprezanje u osi štapa jednako nuli i raste linearno prema površini.


d) Primjena uvjeta ravnoteže Za štap u ravnoteži, moment vanjskih sila jednak je momentu unutarnjih sila:

Mtx

zy

O

A

ρ

dA

τ

τmax

τmax

0)(

=⋅+−= ∫∑ ρτA

x AMM dt

Slijedi: pt dd IGAGAGM

AAϑρϑρϑρ ==⋅⋅= ∫∫ 2 ,

odnosno nepoznati parametar je:

rad/mp

t ,GIM=ϑ .

Veličina GIp naziva se torzijska krutost

štapa, N⋅m2.

Konačni izraz za raspodjelu posmičnih naprezanja u poprečnom presjeku štapa glasi:

ρτp

t

IM= → MPa

p

t

p

t ,maxmax WM

IM == ρτ , → 3

max

pp cm,

ρI

W = ,

gdje su: Ip - polarni moment tromosti, m4 Wp - polarni moment otpora poprečnog presjeka štapa, m3.

Za puni kružni presjek:

d

A

4

2dA π= , ploština poprečnog presjeka štapa

32

4dI π=p , polarni moment tromosti presjeka

16

3dW π=p , polarni moment otpora presjeka

Za kružni vijenac je:

d

D

A

Ddk = , omjer unutarnjeg i vanjskog promjera,

( )22

14

kDA −= π ,

( )44

132

kDI −= πp i ( )4

3

116

2kD

DI

W −== πpp .


Konačni izraz za kut zakreta ravnog okruglog štapa je:

Iz xIG

Mx dddp

t== ϑα , integriranjem slijedi: ∫+=l

o xIG

M0

dp

tαα .

Za Mt = const. i GIp = const., kut zakreta (kut uvijanja) štapa duljine l je:

radp

t ,IG

lMo += αα .

e) Osnovne diferencijalne jednadžbe uvijanja štapa Iz ranijeg izraza za deformaciju štapa pri uvijanju, slijedi:

xM

xIG

dd

dd

tp /=α → tt

p dd

dd

dd m

xM

xIG

x−==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

ili u obliku: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

p

t2

dd

dd

IGM

xx2α

.

Ako je GIp = const., vrijedi:

tt

2

p dd

dd m

xM

xIG −==2

α ili u obliku

p

tt

p

2

dd

dd

IGm

xM

IGx−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 1

2α

.

f) Raspodjela naprezanja u okruglom štapu pri uvijanju

Mt

x

τmax

τmax

Posmično naprezanje raste od nule u osi x štapa do maksimalne vrijednosti τmax na površini štapa. U okomitim presjecima, posmična naprezanja su međusobno jednaka, a sve ostale komponente naprezanja jednake su nuli. Čisto smicanje je ekvivalentno istovremenom rastezanju i sabijanju u dva međusobno okomita pravca, a glavna naprezanja činit će kut od 45o s uzdužnom osi x štapa; lijeva slika.

Na desnoj slici su prikazane trajektorije naprezanja pri uvijanju. To su dvije ortogonalne familije krivulje sa svojstvima da se tangenta na jednu familiju krivulja podudara s pravcem glavnog naprezanja σ1, a tangenta na drugu familiju krivulja podudara se s pravcem glavnog naprezanja σ2 u danoj točki.


Mt

Mt

x

45o

τ

σ1= τ

σ2=−τ Mt

Mtσ1

σ2σ2

σ1x

6.2. Dimenzioniranje vratila opterećenih na uvijanje Vratila i drugi štapovi opterećeni na uvijanje mogu se dimenzionirati prema uvjetu čvrstoće i prema uvjetu krutosti. Za laka vratila malog promjera najvažnija je krutost, a za teška vratila čvrstoća.

Način loma štapa opterećenog na uvijanje ovisi o materijalu štapa. Kod štapa od krhkog materijala lom nastupa kad najveće vlačno naprezanje prijeđe vlačnu čvrstoću materijala, pri čemu lom nastaje po presjeku koji čini s osi štapa kut od 45o, slika a). Ako je štap izrađen od rastezljivog (duktilnog) materijala, lom nastupa nakon znatne plastične deformacije kad posmično naprezanje prijeđe smičnu čvrstoću, slika b).

a)

Mt

σ2=−τ

45o

Mt

τ

σ1= τ

b)

Mt

a) Proračun na čvrstoću Potrebno je poznavati dopušteno posmično naprezanje τdop materijala štapa.

Uvjet čvrstoće glasi:

dopp

t

p

t τρτ ≤==WM

IM

maxmax .


Kod zadatka dimenzioniranja vratila mora biti zadovoljen uvjet:

dop

tp τ

MW ≥ .

Za puno vratilo:

316

dop

t

τπMd ≥ .

Za šuplje vratilo vanjski promjer je:

3 4 )1(16

dop

t

τπ kMD

−≥ ,

Ddk = .

Kod zadatka određivanja nosivosti vratila mora biti zadovoljen uvjet:

( ) doppdopt τ⋅≤ WM .

b) Proračun na krutost Potrebno je poznavati dopušteni relativni kut uvijanja ϑdop materijala štapa,

izražen u rad/m.

Za konstrukcijski čelik je min. vrijednost ϑdop=0,25 o/m, odnosno

ϑdop=4,363⋅10−3 rad/m.

Uvjet krutosti vratila glasi:

dopp

t ϑϑ ≤=GIM

max .

Kod zadatka dimenzioniranja vratila mora biti zadovoljen uvjet:

dop

tp ϑG

MI ≥ .

Za puno vratilo:

432

dop

t

ϑπ GMd ≥ .

Za šuplje vratilo vanjski promjer je:

4 4 )1(32

dop

t

ϑπ GkMD

−≥ ,

Ddk = .

Kod zadatka određivanja nosivosti vratila mora biti zadovoljen uvjet:

( ) doppdopt ϑ⋅≤ GIM .

Vrijednost prijelaznog promjera do (ili Do), odnosno prijelaznog momenta

uvijanja Mto, može se odrediti izjednačavanjem vrijednosti za dopušteni moment uvijanja prema proračunu na čvrstoću odnosno proračunu na krutost:

( ) doppdoppot ϑτ ⋅=⋅= GIWM → dopo

dopo

3216ϑπτπ Gdd 43

= ,


odakle slijede vrijednosti za do , odnosno za Mto:

dop

dopo ϑ

τG

d2

= , dopdop

dopto τ

ϑτπ

3

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

GM .

Ako je d > do , odnosno Mt > Mto , proračun se vrši prema čvrstoći, a ako je d <

do , odnosno Mt < Mto , za proračun je mjerodavna krutost štapa.

Npr. ako je materijal vratila konstrukcijski čelik s karakteristikama:

MPadop 90=τ , /m25,0 odop =ϑ i GPa80=G ,

vrijednost je prijelaznog promjera: mo 5157,0=d .

Ako vratilo prenosi snagu P, kW kod brzine vrtnje n, s−1, zakretni moment M koji opterećuje vratilo je:

mN ⋅⋅= ,103

ωPM ,

gdje je kutna brzina rotacije vratila:

rad/s,2 nπω = .

Ako je rotacija vratila zadana brojem okretaja u minuti, tj. n, okr/min, kutna brzina rotacije vratila je:

rad/s,30

nπω = .

Analiza uvijanja štapova neokruglih presjeka mnogo je složenija i provodi se u teoriji elastičnosti. 6.3. Statički neodređeni zadaci štapova opterećenih na uvijanje

Štapovi su ukliješteni na oba kraja i opterećeni na uvijanje momentima oko uzdužne osi, a zadatak je najčešće jedanput statički neodređen: a) nepoznanice su reaktivni momenti MA i MB u osloncima A i B, te je uvjet ravnoteže:

1. 01

=−−= ∑∑=

BA MMMMn

iix ,

b) dopunski uvjet deformacije je zahtjev da kutni zakret štapa na mjestima uklještenja štapa A ili B bude jednak nuli, tj. mora biti:

2. 0=Aα ili 0=Bα .


Primjer 1. Zadano: lbaIGM ,,,, p ; Naći: dijagram. skicirati tBA −MMM ,,

MAA

x

la b B

M

C

MBGIp

M

MA

MB

+

+

−

αC

Mt2

Mt1

α −dijagram

Mt −dijagram

1. Uvjet ravnoteže: 0=−−=∑ BA MMMM x ,

2. Uvjet deformacije:

0=⋅−⋅=p

B

p IGlM

IGaM

Bα .

Slijede reaktivni momenti uklještenja u A i B:

lbMM =A ,

laMM =B .

Kut zakreta presjeka C: lIG

MabIG

aMC

pp

t == 1α .

Primjer 2. … iz Vježbenice!

Documents

Uvijanje