Uvijeti korištenja prezentacije:

Autorica: Sonja Banić, prof.

Ovu prezentaciju dozvoljeno je koristiti za rad s učenicima. U tu svrhu dozvoljeno ju je i izmijeniti prema svojim potrebama.

Nije dozvoljeno koristiti i prikazivati ovu prezentaciju na predavanjima, u člancima, knjigama ili objavljivati na CD-u ili internetu. Za te i slične namjene potrebno je tražiti i dobiti pristanak autorice.

RAZMJERNE ( PROPORCIONALNE)

VELIČINE

RAZMJERNE ( PROPORCIONALNE)

VELIČINE

UPRAVNO RAZMJERNE VELIČINEOBRNUTO RAZMJERNE VELIČINE

Sonja Banić, prof.

Primjer 1:Cijena jabuka je 10 kuna za kilogram. Koliko treba platiti za 2kg, 3kg, 4 kg, 5kg, 10kg jabuka?

Količina (kg) x

Iznos (kn) y Ako se povećavakoličina jabuka, povećava se i iznos koji za njih treba platiti.

Pri tome omjer (količnik) između iznosa i količine ostaje stalan.

1

2

3

4

5

10

10 10

10

10

10

10

10

20

30

40

50

100

Omjer

y : x

Prikažimo rezultate iz tablice u koordinatnom sustavu:

Količina (kg) x

Iznos (kn) y

1 10

2 20

2 30

4 40

5 50

10 100

Prikažimo rezultate iz tablice u koordinatnom sustavu:

Dobili smo pravac

Sjetimo se da je omjer veličina y : x bio stalan.

10100

10...

2

20

1

10

x

y

Taj omjer nazivamo koeficjent proporcionalnosti i označavamo s k.

kx

y

y = k ∙ x

Upravno razmjerne (proporcionalne) veličine

Za dvije promjenjive, međusobno zavisne veličine x i y kažemo da su upravno razmjerne (proporcionalne) s

koeficjentom proporcionalnosti k ako vrijedi:

y = k ∙ xZa upravno razmjerne veličine vrijedi:

Ako se jedna veličina poveća n puta i druga se veličina poveća n puta.

Ako se jedna veličina smanji i druga seveličina isto smanji.

Primjer 2: Berači u voćnjaku beru jabuke. Jedanom beraču potrebno je 12 dana da završi berbu. Koliko je dana potrebno za berbu ako rade 2,3,4,8,12 berača?

Ako se poveća broj berača, smanji se broj dana potrebnih da završe berbu.

12

Broj berača x Broj dana y

1

2

3

4

8

12

12

12

12

12

12

12

Pri tome umnožak broja berača i broja dana ostaje stalan.

6

4

3

1.5

1

Umnožak

x ∙ y

Prikažimo rezultate iz tablice u koordinatnom sustavu:

Broj berača x Broj dana y

1 12

2 6

3 4

4 3

8 1.5

12 1

Prikažimo rezultate iz tablice u koordinatnom sustavu:

Sjetimo se da je umnožak veličina x ∙ y bio stalan.

x∙y=1∙12=2∙6=…=12 ∙1=12

Za obrnuto razmjerne veličine vrijedi:

x ∙ y = k

x

ky1

Obrnuto razmjerne (proporcionalne) veličine

Za dvije promjenjive, međusobno zavisne veličine x i y kažemo da su obrnuto razmjerne (proporcionalne) s

koeficjentom proporcionalnosti k ako vrijedi:

x ∙ y = kZa obrnuto razmjerne veličine vrijedi:

Ako se jedna veličina poveća n puta druga se veličina smanji n puta.

Ako se jedna veličina smanji druga se veličina poveća.

Usporedimo upravno i obrnuto razmjerne veličine

Upravno razmjerne veličine

Obrnuto razmjerne veličine

Ako se jedna veličina poveća i druga se

poveća.

Omjer veličina

y : x je stalan

Vrijedi: y = k ∙ x

Ako se jedna veličina poveća druga se

smanji.

Vrijedi:x

ky1

Umnožak veličina

x ∙ y je stalan

Rješavanje zadataka

Važno je odrediti jesu li veličine u zadatku upravno ili obrnuto razmjerne

Zadatak 1: Automobil za 100 km vožnje potroši 7,8 litara benzina. Koliko će benzina potrošiti za 350 km?

Ako automobil vozi više kilometara, potroši više

benzina.

Ako se jedna veličina poveća i druga se poveća.

Veličine u ovom zadatku su upravno razmjerne.

Zadatak 1: Automobil za 100 km vožnje potroši 7,8 litara benzina. Koliko će benzina potrošiti za 350 km?

Zadatak možemo riješiti tako da izjednačimo omjere:

Pomnožimo: “vanjski s vanjskim,

unutarnji s unutarnjim”

100 ∙ x = 7.8 ∙ 350 x = 2730 : 100

x = 27.3

Automobil će za 350 km potrošiti 27.3 litre benzina.

Zadatak je riješen tek kada napišemo odgovor

riječima!

100 km : 7.8 lit = 350 km : x lit

Kod upravno razmjernih veličina njihov omjer je stalan.

Zadatak 2: Ako daktilografkinja radi 6 sati na dan, pretipkat će jedan rukopis za 12 dana. Koliko bi sati na dan trebala raditi da rukopis pretipka za 8 dana?

Jesu li veličine u ovom zadatku upravno ili obrnuto razmjerne?

Ako daktilografkinja radi više sati na dan, trebat će joj manje dana da završi posao.

Veličine u ovom zadatku su obrnuto razmjerne.

Ako se jedna veličina poveća druga se smanji.

Zadatak 2: Ako daktilografkinja radi 6 sati na dan, pretipkat će jedan rukopis za 12 dana. Koliko bi sati na dan trebala raditi da rukopis pretipka za 8 dana?

Kod obrnuto razmjernih veličina njihov umnožak je stalan.

6 sati ∙ 12 dana = x sati ∙ 8 dana

6 ∙ 12 = x ∙ 8 x ∙ 8 = 6 ∙ 12

x ∙ 8 = 72 x = 9

Zadatak je riješen tek kada napišemo odgovor

riječima!

Daktilografkinja treba raditi 9 sati na dan da bi rukopis pretipkala za 8 dana.

Zadatake možemo riješavati i pomoću “pravila trojnog”

Napišemo podatke iz uvjetne rečenice:

Napišemo podatke iz upitne rečenice:

Provjerimo jesu li veličine u zadatku upravno ili obrnuto razmjerne.

Ako su veličine upravno razmjerne, povučemo strjelice u istom smjeru.

Ako su veličine obrnuto razmjerne, povučemo strjelice u suprotnom smjeru.

U smjeru strjelica napišemo razmjer.

a b

x c

x : a = b : c

Zadatak 1: Automobil za 100 km vožnje potroši 7,8 litara benzina. Koliko će benzina potrošiti za 350 km?

x : 7.8 = 350 : 100

Automobil će za 350 km potrošiti 27.3 litre benzina.

Uvjetna rečenica: 100 km 7.8 lit Upitna rečenica: 350 km x lit

Jer su veličine upravno razmjerne strjelice vučemo u istom smjeru

U smjeru strjelica napišemo razmjer:

Zadatak je riješen tek kada napišemo odgovor

riječima!

100 ∙ x = 7.8 ∙ 350 x = 2730 : 100

x = 27.3

Zadatak 2: Ako daktilografkinja radi 6 sati na dan, pretipkat će jedan rukopis za 12 dana. Koliko bi sati na dan trebala raditi da rukopis pretipka za 8 dana?

Uvjetna rečenica: 6 sati 12 dana

Upitna rečenica: x sati 8 dana

Jer su veličine obrnuto razmjerne strjelice vučemo u suprotnom smjeru

U smjeru strjelica napišemo razmjer: x : 6 = 12 : 8

8 ∙ x = 6 ∙ 12 x = 72 : 8

x = 9

Zadatak je riješen tek kada napišemo odgovor

riječima!

Daktilografkinja treba raditi 9 sati na dan da bi rukopis pretipkala za 8 dana.