Embed Size (px)
DESCRIPTION
Osnovni pojmovi vezani za linearnu i vektorsku algebru.
Citation preview
Amar Bapic
Uvod u linearnu algebru. Algebra vektora
Tuzla, 2013.
Sadržaj1 Uvod u linearnu algebru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Matrice. Operacije s vrstama i kolonama matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Linearna kombinacija kolona(vrsta). Transponovana matrica. Specijalne matrice . . . . . . . . . . . . 31.3 Determinanta. Osobine determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Bazisni minor. Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Operacije s matricama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Sabiranje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2 Množenje matrica skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.3 Množenje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Sistemi linearnih algebarskih jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1 Analiza saglasnosti sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Rješavanje odredenih kvadratnih sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Matricna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Cramer-ov metod (Metod determinanti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Gauss-ov metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Rješavanje neodredenog nekvadratnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Algebra vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1 Operacije s vektorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1 Jednakost vektora. Sabiranje vektora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Množenje vektora skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Linearna nezavisnost i zavisnost vektora. Uslov kolinearnosti i komplanarnosti vektora. . . . . . . . . 193.3 Skalarni proizvod vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Vektorski proizvod vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5 Mješoviti proizvod vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1
Amar Bapic
1. Uvod u linearnu algebru
1.1. Matrice. Operacije s vrstama i kolonama matriceDefinicija 1.1 : Neka su m i n prirodni brojevi. Skup A realnih ili kompleksnih brojeva koje zapisujemo u obliku pra-vougaone sheme
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
am1 am2 . . . amn
m×n
nazivamo matricom.
Za matricu A kažemo da ima m vrsta i n kolona, tj. kažemo da je matrica A formata (tipa) m × n.Matrice, osim posebnih, obilježavamo velikim štampanim slovima A, B,C, . . .Umjesto prethodnoh zapisa, matricu A krace možemo zapisati kao:
A = [ai j]m×n = (ai j)m×n
gdje su ai j ∈ R (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n) elementi matrice. Indeks i oznacava broj vrste, a indeks j broj kolonedate matrice.Skup svih matrica formata m × n ciji su elementi realni brojevi oznacavamo sa Rm×n.
Definicija 1.2 : Svaka vrsta matrice A tipa m × n je matrica tipa 1 × n ili matrica vrste (vektor vrsta) matrice A. Brojn se naziva dužinom matrice i on nam pokazuje koliko vektor vrsta ima elemenata.
Bi =[ai1 ai2 . . . ain
]1×n
, i = 1, 2, . . . ,m
Definicija 1.3 : Svaka kolona matrice A tipa m × n je matrica tipa m × 1 ili matrica kolone (vektor kolona) matriceA. Broj m se naziva visinom matrice i on nam pokazuje koliko vektor vrsta ima elemenata.
A j =
a1 j
a2 j...
am j
m×1
, j = 1, 2, . . . , n
Za dvije kolone (vrste) iste visine (dužine) kažemo da su JEDNAKE ako i samo ako su im odgovarajuci elementijednaki, tj. ako su
Ai =
a1i
a2i...
ami
m×1
A j =
a1 j
a2 j...
am j
m×1
, (i, j = 1, 2, . . . n)
date dvije kolone visine m, tada je:
Ai = A j ⇐⇒ aki = ak j, ∀k = 1, 2, . . .m
Analogno ovome, ako su
Bi =[ai1 ai2 . . . ain
]1×n
B j =[a j1 a j2 . . . a jn
]1×n
(i, j = 1, 2, . . . ,m)
1
Amar Bapic
date dvije vrste dužine m, tada je:Bi = B j ⇐⇒ aik = a jk, ∀k = 1, 2, . . . , n
Ako su matrice Ai, A j, Ak matrice kolone iste visine m, tada za relaciju jednakosti važe sljedece osobine:
1. refleksivnost: Ai = Ai (i = 1, 2, . . .m)
2. simetricnost: Ai = A j ⇒ A j = Ai (i, j = 1, 2, . . .m)
3. tranzitivnost: Ai = A j ∧ A j = Ak ⇒ Ai = Ak, (i, j, k = 1, 2, . . .m)
Dakle, relacija jednakosti izmedu dvije kolone iste visine je relacija ekvivalencije, ovo vrijedi i za jednakost dvijuvrsta iste dužine.
Pod ZBIROM dvaju kolona (vrsta) iste visine (dužine) podrazumjevamo kolonu (vrstu) ciji su elementi jednaki zbiruodgovarajucih elemenata datih kolona (vrsta), tj. ako su Ai i A j dvije kolone iste visine, onda je :
Ai + A j =
a1i + a1 j
a2i + a2 j...
ami + am j
m×1
Analogno ovome je zbir dviju vrsta iste dužine jednak:
Bi + B j =[ai1 + a j1 ai2 + a j2 . . . ain + a jn
]1×n
Oznacimo sa Km×1 skup svih kolona reda m × 1. Za operaciju sabiranja na skupu Km×1 vrijede sljedece osobine:
1. zatvorenost:(∀Ai, A j ∈ Km×1) Ai + A j = Cm×1 ∈ Km×1
2. asocijativnost:(∀Ai, A j, Ak ∈ Km×1) (Ai + A j) + Ak = Ai + (A j + Ak)
3. postojanje neutralnog elementa:
(∃Om×1 ∈ Km×1)(∀Ai ∈ Km×1) Ai + Om×1 = Om×1 + Ai = Ai
4. postojanje inverznog elementa:
(∀Ai ∈ Km×1)(∃(−Ai) ∈ Km×1) Ai + (−Ai) = (−Ai) + Ai = Om×1
5. komutativnost:(∀Ai, A j ∈ Km×1) Ai + A j = A j + Ai
Dakle, možemo zakljuciti da uredeni par (Km×1,+) ima strukturu ABEL-ove GRUPE.
Analogno ovome imamo za vrste da je uredeni par (V1×n,+) takoder Abel-ova grupa.
2
Amar Bapic
Kolona (vrsta) se MNOŽI REALNIM BROJEM α na taj nacin da se svaki element kolone (vrste) pomnoži timbrojem, odnosno:
Ai =
a1i
a2i...
ami
m×1
⇒ α · Ai = α ·
a1i
a2i...
ami
m×1
=
αa1i
αa2i...
αami
m×1
Bi =[ai1 ai2 . . . ain
]1×n⇒ αBi =
[αai1 αai2 . . . αain
]1×n
Za operaciju množenja kolona (vrsta) nekim skalarom α vrijede sljedece osobine:
• lijeva distributivnost: α(Ai + A j) = αAi + αA j
• desna distributivnost: (α + β)Ai = αAi + βAi
• komutativnost: αAi = Ai · α
• asocijativnost: (α · β) · Ai = α · (β · Ai) = β · (α · Ai)
1.2. Linearna kombinacija kolona(vrsta). Transponovana matrica. Specijalne matrice
Definicija 1.4 : Za kolonu A′ visine m kažemo da je linearna kombinacija kolona A1, A2, . . . , Ak ∈ Km×1 visina m,ako postoje brojevi α1, α2, . . . , αk ∈ R tako da je
A′ = α1A1 + α2A2 + . . . + αkAk =
k∑i=1
αiAi, αi ∈ R
Definicija 1.5 : Za sistem od k kolona kažemo da je linearno nezavisan, ako iz uslova:
α1A1 + α2A2 + . . . + αkAk = Om×1 (1)
slijedi da je:
α1 = α2 = . . . = αk = 0
U protivnom, ako je bar jedan od skalara
α1 = α2 = . . . = αk , 0,
a vrijedi (1), tada za sistem kolona A1, A2, . . . , Ak kažemo da je linearno zavisan.Isto važi i za vrste.
Definicija 1.6 : Transponovana matrica matrice A = (ai j)m×n je matrica AT = (a ji)n×m za koju vrijedi da je ai j = a ji.
A =
A1A2...
Am
⇒ AT =[A1 A2 . . . Am ←
]
B =[B1 B2 . . . Bn
]⇒ BT =
B1B2...
Bn
Vrijedi: (AT )T = A
3
Amar Bapic
Specijalne matrice:
• Kvadratna matrica:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
an1 an2 . . . ann
n×n
• Nul-matrica:
On×n =
0 0 . . . 00 0 . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . 0
n×n
• Dijagonalna matrica:
Dn×n =
a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . ann
n×n
• Skalarna matrica:
S n×n =
a 0 . . . 00 a . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . a
n×n
• Jedinicna matrica:
En = In =
1 0 . . . 00 1 . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . 1
n×n
• Gornja trougaona:
AGT =
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n...
... . . ....
0 0 . . . ann
n×n
• Donja trougaona:
ADT =
a11 0 . . . 0a12 a22 . . . 0...
... . . ....
a1n a2n . . . ann
n×n
4
Amar Bapic
1.3. Determinanta. Osobine determinantiDefinicija 1.7 : Determinanta je funkcija definirana na skupu kvadratnih matrica. Neka je A = [ai j]n×n kvadratnamatrica reda n, determinanta od A, u oznacij detA, je:
detA =n∑p
(−1)i(p) a1 p1a2 p2 . . . an pn,
gdje se sumira po svih n! permutacija skupa {1, 2, . . . , n},a i(p) je parnost permutacije.
Determinantu od A pišemo na sljedeci nacin:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n×n
Racunanje determinanti:
• n = 1 : A = (a11)1×1 =⇒ detA = |a11|1×1 = a11
• n = 2 : A =[a11 a12a21 a22
]=⇒ detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21
• n = 3 : A = (ai j)3×3 =⇒ detA =a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32
=
= a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 − a31 · a22 · a13 − a32 · a23 · a11 − a33 · a21 · a12
• n = 3 : A = (ai j)3×3
detA =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
= a11 ·
∣∣∣∣∣∣a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣∣ − a12 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a23a31 a33
∣∣∣∣∣∣ + a13 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣∣Definicija 1.8 : Minor Mi j proizvoljnog elementa ai j determinante A je determinanta reda n-1 matrice, koja je dobi-jena iz matrice A brisanjem i-te vrste i j-te kolone.
Definicija 1.9 : Kofaktorom elementa ai j nazivamo determinantu
Ai j = (−1)i+ j · Mi j
Laplaceov razvoj determinante A po I vrsti:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n×n
= a11A11 + a12A12 + . . . + a1nA1n =
n∑k=1
a1kA1k
Uopceno,Laplaceov razvoj po i-toj vrsti:
detA =n∑
k=1
aikAik =
n∑k=1
(−1)i+kaik Mik
Laplaceov razvoj po j-toj koloni:
detA =n∑
k=1
ak jAk j =
n∑k=1
(−1)k+ jak jMk j
5
Amar Bapic
OSOBINE DETERMINANTI:Neka je zadana kvadratna matrica A = (ai j)n×n ∈ R, tada vrijede sljedece osobine:
• detA = detAT
• Ako u matrici A dvije susjedne kolone (vrste) zamjene mjesta determinanta ce promjeniti znak.
• Determinanta nece promjeniti vrijednost ako ma kojoj koloni (vrsti) dodamo linearnu kombinaciju preostalihkolona (vrsta).
• Ako matrica A ima dvije jednake kolone (vrste), tada vrijedi da je detA = 0.
• Ako je jedna kolona (vrsta) matrice A linearna kombinacija preostalih kolona (vrsta) matrice A, tada je detA = 0.
Vrijednosti determinanti specijalnih matrica:
• Dijagonalna matrica:
detDn×n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11 · a22 · . . . · ann =
n∏i=1
aii
• Skalarna matrica:
detS n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 0 . . . 00 a . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = an
• Jedinicna matrica:
detIn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 . . . 00 1 . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1
• Gornja trougaona:
detAGT =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n...
... . . ....
0 0 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =n∏
i=1
aii
• Donja trougaona:
detADT =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 . . . 0a12 a22 . . . 0...
... . . ....
a1n a2n . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =n∏
i=1
aii
• Matrica kod koje je vrijednost jedne kolone (vrste) nula:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n...
... . . ....
0 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
6
Amar Bapic
1.4. Bazisni minor. Rang matricePosmatrajmo matricu A = (ai j)m×n. Ako iz matrice A izdvojimo r (r ≤ m) vrsta, koje su numerisane redom i1, i2, . . . , irpri cemu je 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ir ≤ m i s (s ≤ n) kolona, koje su numerisane redom k1, k2, . . . , ks pri cemu je1 ≤ k1 ≤ k2 ≤ . . . ≤ ks ≤ n, tada elementi koji se nalaze u presjecima ovako izdvojenih vrsta i kolona obrazuju matricutipa r × s, tj. matricu
A =
ai1k1 ai1k2 . . . ai1ks
ai2k1 ai2k2 . . . ai2ks
...... . . .
...airk1 airk2 . . . airks
r×s
Matricu A = (aiukt )r×s, (u = 1, 2, ..., r; t = 1, 2, ..., s) nazivamo submatricom matrice A. Ako je r = s, onda jesubmatrica kvadratna reda r × r, tj.
A = (aiukt )r×r, 1 ≤ r ≤ min{m, n}
Determinantu matrice Ar×r nazivamo minorom matrice A reda r.
Definicija 1.10 : Bazisni minor matrice Am×n je minor reda r, 1 ≤ r ≤ min{m, n}, koji je razlicit od nule, a svi minorireda r + 1, ukoliko postoje, su nula.
Definicija 1.11 : Rang matrice A (rangA) je red bazisnog minora.
Ako je rangA = r, onda je maksimalan broj linearno nezavisnih kolona (vrsta) u matrici A upravo r. Vrijedi iobratno.
Elementarne transformacije matrica:Pod elementarnim transformacijama matrice A = (ai j)m×n ∈ R
m×n podrazumjevamo sljedece operacije:
1. Množenje kolona (vrsta) brojem razlicitim od nula
2. Zamjena mjesta dvaju kolona (vrsta)
3. Dodavanje jednoj koloni (vrsti) neke druge kolone (vrste)
Pri elementarnim transformacijama se ne mijenja rang matrice!
Definicija 1.12 : Neka su A, B ∈ Rm×n. Za matricu A i B kažemo da su ekvivalentne, pišemo A ∼ B, ako je elementar-nim transformacijama moguce transformisati matricu A u matricu B i obrnuto matricu B u A.
Teorem 1.1 : Ekvivalentne matrice imaju isti rang, tj.
A ∼ B =⇒ rangA = rangB
Svaku matricu A ranga r možemo svesti na oblik:
A ∼[
Ir 00 0
], rangA = r
Ovo je tzv. Kronikerova forma.
Rang matrice možemo posmatrati i na osnovu sljedece forme:
A ∼
b11 b12 . . . b1r
0 b22 . . . b2r...
... . . ....
0 0 . . . brr
0
0 0
=⇒ rangA = r, A ∈ Rm,n, bii , 0 (i = 1, 2, ..., r)
7
Amar Bapic
1.5. Operacije s matricama
1.5.1. Sabiranje matrica
Definicija 1.13 : Zbir matrica A = (ai j)m×n i B = (bi j)m×n je matrica C = (ai j + bi j)m×n. Sumu matrica oznacavamo saA + B = C.
Sabiranje je u skupu matrica zatvorena operacija i ono u skupu matrica ima sljedece osobine:
1. (∀A, B,C ∈ Rm×n) (A + B) +C = A + (B +C) asoci jativnost2. (∃Om×n ∈ R
m×n)(∀A ∈ Rm×n) A + Om×n = Om×n + A = A neutralni element3. (∀A ∈ Rm×n)(∃(−A) ∈ Rm×n) A + (−A) = (−A) + A = Om×n inverzni element4. (∀A, B ∈ Rm×n) A + B = B + A komutativnost
Pošto važe ove osobine, možemo reci da je (Rm×n,+) Abelova grupa.
1.5.2. Množenje matrica skalarom
Definicija 1.14 : Matricu A = (ai j)m×n množimo skalarom α ∈ R na taj nacin da se pomnoži svaki element matrice Atim skalarom, tj.
αA = (αai j)m×n, (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n)
OSOBINE:
1. (∀α ∈ R)(∀A, B ∈ Rm×n) α(A + B) = αA + αB distributivnost2. (∀α, β ∈ R)(∀A ∈ Rm×n) (α + β) · A = αA + βA distributivnost3. (∀α ∈ R)(∀A ∈ Rm×n) αA = A · α komutativnost4. (∀α, β ∈ R)(∀A ∈ Rm×n) (α · β) · A = α · (β · A) = β · (α · A) asoci jativnost
1.5.3. Množenje matrica
Proizvod matrica A i B se definiše samo ako matrica A ima onoliko kolona koliko B vrsta, tj. Am×n i Bn×p. Ukoliko jezadovoljen ovaj uslov proizvod se definiše na sljedeci nacin.
Definicija 1.15 : Neka je matrica A reda m× n i matrica B reda n× p. Proizvod matrica A i B je matica C reda m× pciji su elmenti:
ci j = ai1 b1 j + ai2 b2 j + ... + ain bn j =
n∑k=1
aik bk j , (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., p)
Dakle, imamo da je:
Cm×p = Am×n · Bn×p =
A1A2...
Am
·[B1 B2 . . . Bp
] de f=
A1B1 A1B2 . . . A1Bp
A2B1 A2B2 . . . A2Bp...
... . . ....
AmB1 AmB2 . . . AmBp
m×p
=
=
∑n
k=1 a1k bk1
∑nk=1 a1k bk2 . . .
∑nk=1 a1k bkp∑n
k=1 a2k bk1
∑nk=1 a2k bk2 . . .
∑nk=1 a2k bkp
...... . . .
...∑nk=1 amk bk1
∑nk=1 amk bk2 . . .
∑nk=1 amk bkp
m×p
=
n∑k=1
aik bk j = (ci j)m×p
U opštem slucaju za proizvod matrica ne vrijedi komutativnost, jer je A reda m× n, a B reda n× p pa je A · B matricareda m × p, dok je za B · A proizvod nedefinisan. Dakle,
Am×n · Bn×p , Bn×p · Am×n
8
Amar Bapic
OSOBINE:
• Za matrice Am×n, Bn×p,Cp×q vrijedi asoci jativnost:
A · (B ·C) = (A · B) ·C
• Ako su A, B ∈ Rm×n, C ∈ Rn×p, D ∈ Rp×m i α ∈ R, tada je:
i)(A + B)C = AC + BC desna distributivnostD(A + B) = DA + DB li jeva distributivnost
ii) (αA)C = A(αC)
iii) (A ·C)T = CT · AT
1.6. Inverzna matricaPosmatrajmo matricu A = (ai j)n×n, (i, j = 1, 2, ..., n).
Definicija 1.16 : Ukoliko je detA , 0, tada za matricu A kažemo da je regularna, a ukoliko je detA = 0, onda je onasingularna.
Definicija 1.17 : Ako su A i X kvadratne matrice istog reda, tada za matricu X kažemo da je inverzna matrica matriceA ako je ispunjen uslov:
A · X = X · A = I,
gdje je I jedinicna matrica istog reda kao i matrice A i X. Najcešca oznaka za inverznu matricu je A−1(x).
Neka je A = (ai j)n×n regularna matrica, tj. neka je detA , 0. Te neka je zadana adjungovana matrica matrice A, tj.matrica ad jA.
ad jAde f=
A11 A12 . . . A1n
A21 A22 . . . A2n...
... . . ....
An1 An2 . . . Ann
T
n×n
, Ai j − ko f aktor elementa ai j
Posmatrajmo proizvod matrice A i ad jA, tj.
A · ad jA =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
an1 an2 . . . ann
n×n
A11 A12 . . . A1n
A21 A22 . . . A2n...
... . . ....
An1 An2 . . . Ann
T
n×n
=
detA 0 . . . o
0 detA . . . 0...
... . . ....
0 0 . . . detA
n×n
= detA · In
Isti rezultat cemo dobiti kada bismo posmatrali proizvod ad jA · A.Dakle, imamo da je:
A · ad jA = detA · In | ·1
detAA · ad jA ·
1detA︸ ︷︷ ︸ = In
A · X = In (2)
ad jA · A = detA · In | ·1
detAad jA ·
1detA︸ ︷︷ ︸ ·A = In
X · A = In (3)
9
Amar Bapic
Iz (2) i (3) zakljucujemo da je X inverzna matrica matrice A, štoviše formula za racunanje inverzne matrice je
X = A−1 =1
detA· ad jA
OSOBINE:
Neka su A i B regularne kvadratne matrice istog reda.
> (AB)−1 = B−1A−1
> (A−1)−1 = A
> (A−1)T = (AT )−1
> det(A−1) = (detA)−1
Teorem 1.2 : Svaka regularna matricaA ∈ Rn×n je invertibilna, tj. ima tacno jednu inverznu matricu A−1.
10
Amar Bapic
2. Sistemi linearnih algebarskih jednacinaRazmatrat cemo sisteme od m linearnih jednacina sa n nepoznatih, gdje su m, n ∈ N.
Definicija 2.1 : Pod linearnom jednacinom od n nepoznatih x1, x2, ..., xn podrazumjevamo jednacine oblika:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b1, (4)
gdje su ai (i=1,2,...,n) proizvoljni realni brojevi koje zovemo koeficijentima jednacine (4), b1 se naziva slobodnimclanom jednacine (4).
Dakle, sistem od m linearnih jednacina sa n nepoznatih je sistem oblika:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... (5)am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
gdje su ai j (i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n) koeficijenti sistema (5),bi (i = 1, 2, ...,m) slobodni clanovi, a x j ( j = 1, 2, ..., n) nepoznate.
Za uredenu n-torku (c1, c2, ..., cn) kažemo da je rješenje sistema (5) ako pri zamjeni x1 = c1, x2 = x2, ..., xn = xn
sistem (5) prelazi u jednakost medu brojevima.
Navest cemo elementarne transformacije sistema koji ce nam biti od velike koristi prilikom rješavanja sistema:
• Zamjena mjesta dviju jednacina
• Množenje ma koje jednacine sistema brojem razlicitim od nula
• Dodavanje neke jednacine, koja je prethodno pomnožena nekim brojem razlicitim od nula, nekoj drugoj jednacini
11
Amar Bapic
2.1. Analiza saglasnosti sistemaNeka je dat sistem (5), AX = B, gdje je A = (ai j)m×n matrica koeficijenata sistema, X = (x j)n×1 matrica nepoznatih iB = (bi)m×1 matrica slobodnih clanova, gdje su i = 1, 2, ...,m i j = 1, 2, ..., n.
Definicija 2.2 : Za sistem kažemo da je saglasan ako ima rješenje. Razlikujemo dva slucaja:
i) ukoliko ima tacno jedno rješenje, sistem je odreden
ii) ukoliko ima beskonacno mnogo rješenja, sistem je neodreden.
U suprotnom kažemo da je sistem nesaglasan.
Za ispitivanje saglasnosti koristit cemo se tzv. KRONECKER - CAPELLI-evim stavom koji glasi:(Kronecker-Capelli):Sistem (5) je saglasan ako i samo ako je rang sistema (5) jednak rangu proširenematrice istog sistema, tj.
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
am1 am2 . . . amn
(A/B) =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
am1 am2 . . . amn
b1b2...
bm
rangA = rang(A/B) = r, 1 6 r 6 min{m, n} =⇒ sistem je saglasan
Ukoliko je sistem saglasan razlikujemo sljedece slucajeve:
1. m = n =⇒ sistem (5) je kvadratni sistem!
i) r = n =⇒ sistem (5) ima tacno jedno rješenje
ii) r < n =⇒ sistem (5) ima beskonacno mnogo rješenja
2. n < m
i) r = n =⇒ sistem (5) ima tacno jedno rješenje
ii) r < n =⇒ sistem (5) ima beskonacno mnogo rješenja
3. m < n =⇒ sistem (5) ima beskonacno mnogo rješenja
Ako je rangA , rang(A/B), tada za sistem (5) kažemo da je nesaglasan, tj. nema rješenja.
12
Amar Bapic
2.2. Rješavanje odredenih kvadratnih sistema
2.2.1. Matricna metoda
Definicija 2.3 : Matricnom jednacinom nazivamo jednacine oblika
AX = B (6)YA = B (7)
gdje su A i B date kvadratne matrice n-tog reda, a X i Y tražene kvadratne matrice istog reda n.
Pod rješenjem matricne jednacine (6), ondnosno (7), podrazumjevamo svaku matricu odgovarajuceg reda koja zadovo-ljava (6), odnosno (7).
Ukoliko je detA , 0, tj. ako je A regularna matrica, tada (6)i (7) imaju jedinstvena rješenja dobijena na sljedecinacin:
AX = B | · A−1 sa lijeva YA = B | · A−1 sa desnaA−1 · A︸ ︷︷ ︸ ·X = A−1 · B Y · A · A−1︸ ︷︷ ︸ = B · A−1
X = A−1 · B Y = B · A−1
Kako se svaki sistem od n linearnih jednacina sa n, tj. sistem
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... (8)an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
može napisati u obliku matricne jednacine (6), tj.
AX = B (9)
gdje su A, X i B sljedece matrice:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
an1 an2 . . . ann
, X =x1x2...
xn
, B =b1b2...
bn
to ako je, matrica A sistema (8) regularna, tada je rješenje sistema (8) odnosno matricne jednacine (9) dato sa
X = A−1B
jedinstveno rješenje.
13
Amar Bapic
2.2.2. Cramer-ov metod (Metod determinanti)
Sistem od n linearnih jednacina sa n, tj. sistem
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
... (10)an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
ima jedinstveno rješenje ako je determinanta D = detA tog sistema razlicita od nule, tj.
D = detA , 0
Rješenje je u tom slucaju
xi =Di
Dgdje je D determinanta sistema, a Di su determinante iz matrice dobijene zamjenom i − te kolone, kolonom slobodnihclanova.
Ukoliko je D = 0 imamo dva slucaja:
i) Di = 0 (i = 1, 2, ..., n) =⇒ sistem (10) ima beskonacno mnogo rješenja
ii) (∃i ∈ {1, 2, ..., n}) Di , 0 =⇒ sistem (10) nema rješenja
2.2.3. Gauss-ov metod
Kvadratni sistem od n jednacina sa n nepoznatih rješavamo Gauss-ovom metodom tako da uz pomoc elementarnihtransformacija sistema, sitem svedemo na oblik:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
an−1,n−1xn−1 + an−1,nxn = bn−1
annxn = bn
Odavde možemo zakljuciti da je xn =bn
ann, uvrštavanjem xn u prethodnu jednacinu dobit cemo xn−1, itd. uvrštava-
njem x2 u prvu jednacinu dobit cemo x1.
14
Amar Bapic
2.3. Rješavanje neodredenog nekvadratnog sistemaOvaj sistem se rješava tako da sistem oblika AX = B, A = (ai j)m×n, X = (x j)n×1, B = (bi)m×1 svede na kvadratni.Neka je rangA = rang(A/B) = r < n =⇒ saglasan.
(5)−→ AX = B −→ (A/B) =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
am1 am2 . . . amn
b1b2...
bm
∼
a11 . . . a1r a1,r+1 . . . a1n
a21 . . . a2r a2,r+1 . . . a2n... . . .
...... . . .
...ar1 . . . arr ar,r+1 . . . arn
ar+1,1 . . . ar+1,r ar+1,r+1 . . . ar+1,n... . . .
...... . . .
...am1 . . . amr am,r+1 . . . amn
b1b2...
br
br+1...
bm
(∗)∼1
a11 . . . a1r
a21 . . . a2r... . . .
...ar1 . . . arr
b1 −∑n
k=r+1 a1k
b2 −∑n
k=r+1 a2k...
br −∑n
k=r+1 ark
−→
a11x1 + a12x2 + . . . + a1r xr = b1 −
n∑k=r+1
a1k xk
a21x1 + a22x2 + . . . + a2r xr = b2 −
n∑k=r+1
a2k xk
... (11)
ar1x1 + ar2x2 + . . . + arr xr = br −
n∑k=r+1
ark xk
Za sistem (11) vrijedi:
i) nepoznate xr+1, xr+2, ..., xn (ukupno n − r) su u (11) slobodne varijable iz R
ii) (11) je kvadratni sistem reda r × r i
rang
a11 a12 . . . a1r
a21 a22 . . . a2r...
... . . ....
ar1 ar2 . . . arr
= r
iii) (11) je kvadratni sistem cija je matrica regularna, tj.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... . . ....
an1 an2 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , 0
1Uocimo bazisni minor reda r, zaboravimo na vrste reda r + 1, r + 2, ...,m, prebacimo sve kolone reda r + 1, r + 2, ..., n na lijevu stranu
15
Amar Bapic
3. Algebra vektora
Definicija 3.1 : Skup PQ svih tacaka prave koje se nalaze izmedu tacaka P i Q(P , Q) ukljucujuci i njih naziva se duž. Tacke P i Q se nazivaju krajevima duži, a rastojanje izmedu njih zovese dužina duži i oznacava se sa d(P,Q) ili |PQ|
Definicija 3.2 : Duž kod koje su krajnje tacke uredene, tj. duž kod koje je jedna tacka pocetka, a druga krajnja, nazivase vektor ili orijentisana duž.
Vektor kod koga je P pocetak, a Q kraj predstavljamo kao na slici ispod i obilježavamo sa ~PQ. Rastojanje izmedu P iQ zovemo intenzitetom vektora ili normom i obilježavamo sa | ~PQ|. Vektore obilježavamo još sa
~a, ~b, ..., ~A, ~B, ..., ~AB, ~PQ, ...
P
Q
P
Q
Slika 1: Vektor ~PQ
Za vektor ~PQ kažemo da je orijentisan (ima smjer) od P ka Q, a za pravu odredenu tackama P i Q kažemo da jenosac vektora.
Vektor karakterišu sljedeci elementi:
• INTENZITET (NORMA) vektora - rastojanje izmedu pocetne i krajnje tacke vektora i obilježava se sa | ~PQ|, |~p|, |~P|, ...
• PRAVAC vektora - prava-nosac kojoj pripada orijentisani odsjecak
• SMJER vektora - orijentacija odsjecka od njegove pocetne tacke
• POCETNA TACKA vektora
VRSTE VEKTORA:
• Vektori vezani za tacku - vektori ciji se poceci ne mogu odvojiti od tacke za koju su "vezani", npr. sila kojadjeluje na nekruto tijelo.
• Vektori vezani za pravu (nosac) - vektori koji se ne mogu odvojiti od svog nosaca za koji su "vezani", npr. silakoja djeluje na kruto tijelo .
• Slobodni vektori - vektori koji nisu vezani niti za svoju pocetnu tacku niti za svoj nosac, npr. vektor translacije.
• Nula-vektor - vektor ciji se kraj i pocetak poklapaju, obilježavamo ga sa ~0.
Definicija 3.3 : Dva vektora, vezana za tacku, su JEDNAKA ako i samo ako imaju jednaka sva cetiri elementa kojaih karakterišu. Dva vektora, vezana za nosac, su JEDNAKA ako i samo ako su im jednaki intenziteti, nosaci im sepoklapaju i imaju iste smjerove.
Definicija 3.4 : Za vektore ~a, ~b ∈ V kažemo da su kolinearni ako i samo ako ~a i ~b imaju isti pravac, tj. ~a ‖ ~b
Definicija 3.5 : Za vektore ~a, ~b, ~c ∈ V kažemo da su komplanarni ako i samo ako leže u istoj ravni.
16
Amar Bapic
A BC
~q ~p
Slika 2: Kolinearni vektori
π
~b~a
~c
Slika 3: Komplanarni vektori
3.1. Operacije s vektorima
3.1.1. Jednakost vektora. Sabiranje vektora.
Definicija 3.6 : Za dva vektora ~PQ i ~P1Q1 kažemo da su jednaka i pišemo ~PQ = ~P1Q1 ako postoji translacijaprostora koja tacku P prevodi u P1, a tacku Q u tacku Q1. Dakle, jednaki vektori su kolinearni i imaju isti smjer ijednake intenzitete.
P
Q
P1
Q1
Slika 4: Jednaki vektori
Vektore možemo SABIRATI na dva nacina:
1. Pravilo trougla:
Vektori ~a i ~b su ulancani (nadovezani) ako se kraj prvog vektora podudara sa pocetkom drugog vektora. Zbir dvaulancana vektora ~a i ~b je vektor ~c koji spaja pocetnu tacku prvog s krajnjom tackom drugog vektora. Ukoliko ~a i~b nisu nadovezani, translacijom jednog vektora "namjestimo" da ~a i ~b budu ulancani te ih saberemo prema gorenavedenom postupku.
17
Amar Bapic
~a
~b
~c = ~a + ~b
Slika 5: Pravilo trougla
2. Pravilo paralelograma:
Zbir dva vektora ~a i ~b dovedenih na zajednicki pocetak O je vektor dijagonale ~OC paralelograma �OABC kons-truisanog nad vektorima ~a i ~b.
~a
~b
~a
O
~b
~OC = ~a + ~c
Slika 6: Pravilo paralelograma
Za sabiranje dva vektora vrijede sljedece osobine:
1. Asoci jativnost: (∀~a, ~b, ~c ∈ V) ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c2. Netralni element: (∀~a ∈ V)(∃~0 ∈ V) ~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a3. Inverzni element: (∀~a ∈ V)(∃(−~a) ∈ V) ~a + (−~a) = (−~a) + ~a = ~04. Komutativnost: (∀~a, ~b ∈ V) ~a + ~b = ~b + ~a
Možemo zakljuciti da je (V,+) Abelova grupa.
3.1.2. Množenje vektora skalarom
Proizvod ma kojeg λ ∈ R, kojeg zovemo skalar, i vektora ~a je vektor λ~a koji ima isti pravac kao i vektor ~a, intenzitet
|λ~a|de f= |λ| · |~a|, smjer vektora ~a za λ > 0, suprotan smjer vektora ~a za λ < 0.
18
Amar Bapic
A~a BB1
λ~a (λ < 0)
λ~a (λ > 0)
Slika 7: Množenje vektora skalarom
Množenje vektora skalarom ima sljedece osobine:
1. (∀~a, ~b ∈ V)(∀λ ∈ R) λ(~a + (~b) = λ~a + λ~b2. (∀~a ∈ V)(∀λ, µ ∈ R) (λ + µ) · ~a = λ~a + µ~a3. (∀~a ∈ V)(∀λ, µ ∈ R) (λ · µ) · ~a = λ · (µ~a) = µ · (λ~a)4. (∀~a ∈ V) 1 · ~a = ~a, (−1) · ~a = −~a
3.2. Linearna nezavisnost i zavisnost vektora. Uslov kolinearnosti i komplanarnosti vektora.Definicija 3.7 : Neka je αi ∈ R i ~ai ∈ V, i ∈ {1, 2, ..., n}. Linearnom kombinacijom vektora ~a1, ~a2, ..., ~an nazivamo zbir
α1~a1 + α2~a2 + ... + αn~an =
n∑i=1
αi~ai
Definicija 3.8 Za vektore ~a1, ~a2, ..., ~an ∈ V kažemo da su linearno nezavisni ako i samo ako
α1~a1 + α2~a2 + ... + αn~an = ~0⇐⇒ α1 = α2 = ... = αn = 0
Definicija 3.9 Za vektore ~a1, ~a2, ..., ~an ∈ V kažemo da su linearno zavisni ako i samo ako nisu linearno nezavisni, tj.
α1~a1 + α2~a2 + ... + αn~an = ~0 ∧ (∃αk , 0, k ∈ {1, 2, ..., n})
Teorem 3.1 : Vektori ~a i ~b,~a, ~b , 0, su linearno zavisni vektori ako i samo ako su kolinearni!
DOKAZ:"=⇒"Neka su ~a, ~b linearno zavisni.
α~a + β~b = ~0 ∧ (α , 0 ∨ β , 0)
Neka je
β , 0 ⇔ β~b = (−α)~a | : β , 0
⇔ ~b =−α
β
k
· ~a
⇔ ~b = k · ~a
=⇒ vektori su kolinearni, tj. ~a ‖ ~b
19
Amar Bapic
"⇐="Neka su ~a, ~b kolinearni vektori, tj. ~a i ~b imaju isti pravac.Imamo:
~b = ±|~b||~a|
p
· ~a
⇐⇒ p~a − ~b = ~0⇐⇒ p~a + (−1)︸︷︷︸
,0
·~b = ~0
=⇒ ~a, ~b su linearno zavisni.
♠
Teorem 3.2 : Nenulti vektori ~a, ~b, ~c ∈ V su KOMPLANARNI ako i samo ako su linearno zavisni. Tada se jedan vektormože prikazati kao linearna kombinacija preostala dva vektora. (npr. ~c = α~a + β~b).
3.3. Skalarni proizvod vektora
Definicija 3.10 : Uglom izmedu vektora ~a i ~b, ciji je zajednicki pocetak tacka O, je ugao θ za koji treba rotirati okotacke O jedan od njih tako da bi im se smjerovi i pravci poklopili. Za ugao kažemo da je pozitivan ako vektor ~a rotiramou smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu do poklapanja sa ~b.
Definicija 3.11 : SKALARNI PROIZVOD dva vektora ~a i ~b je skalar (broj) koji obilježavamo sa ~a · ~b i definišemoovako:
~a · ~bde f= |~a||~b| · cos ](~a, ~b)
Dakle, skalarnom proizvodu dva vektora je skalar koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusa ugla kojegoni zaklapaju.
Osobine skalarnog proizvoda: (∀~a, ~b, ~c ∈ V3)(∀α ∈ R)1. ~a · ~b = ~b · ~a
2. ~a · ~a = |~a|2
3. ~a · ~b = 0⇐⇒ ~a ⊥ ~b - uvjet okomitosti dva vektora
4. (~a + ~b) · ~c = ~a~c + ~b~c
5. α(~a · ~b) = (α~a) · ~b = ~a · (α~b)
6. Za jedinicne vektore~i, ~j,~k vrijedi:
· ~i ~j ~k~i 1 0 0~j 0 1 0~k 0 0 1
20
Amar Bapic
Neka je ~a = a1~i + a2~j + a3~k, ~b = b1~i + b2~j + b3~kTada je:
~a · ~b = (a1~i + a2~j + a3~k)(b1~i + b2~j + b3~k) =
= a1b1 (~i ·~i)︸︷︷︸1
+a1b2 (~i · ~j)︸︷︷︸0
+a1b3 (~i · ~k)︸︷︷︸0
+a2b1 (~j ·~i)︸︷︷︸0
+a2b2 (~j · ~j)︸︷︷︸1
+a2b3 (~j · ~k)︸︷︷︸0
+
+a3b1 (~k ·~i)︸︷︷︸0
+a3b2 (~k · ~j)︸︷︷︸0
+a3b3 (~k · ~k)︸︷︷︸1
= a1b1 + a2b2 + a3b3
3.4. Vektorski proizvod vektora
Neka je {~i, ~j,~k} ortonomirana baza u V3, a ~a, ~b proizvoljni vektori iz V3.
Definicija 3.12 : Vektorski proizvod dva vektora ~a i ~b, obilježavamo sa [~a, ~b] ili cešce sa ~a × ~b, je vektor:
1. ciji je intenzitet |~a × ~b| = |~a||~b| · sin θ, gdje je θ ugao izmedu vektora ~a i ~b.
2. koji je ortogonalan na svaki od vektora ~a i ~b.
3. ima takav smjer da vektori ~a, ~b, ~a × ~b cine trojku vektora iste orijentacije kao bazis {~i, ~j,~k}
A B~j
C~i
D
~k
E
F
~b
G~a
H
~a × ~b
I J~i
K~j
L
~kM N
~a
O
~b
P
~a × ~b
Slika 8: Smjer vektora u odnosu na bazis {~i, ~j,~k}
Osobine vektorskog proizvoda:
• Intenzitet vektorskog proizvoda brojno je jednak površini paralelograma konstruisanog nad vektorima ~a i ~b.
• ~a × ~b = 0⇐⇒ ~a ‖ ~b, ~a, ~b , o
• ~a × ~b = −~b × ~a
• (α~a) × (β~b) = αβ(~a × ~b)
• (~a + ~b) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c
• α(~a × ~b) = (α~a) × ~b = ~a × (α~b)
• Za jedinicne vektore~i, ~j,~k vrijedi:
× ~i ~j ~k~i 0 ~k −~j~j −~k 0 ~i~k ~j −~i 0
21
Amar Bapic
Ako su a1, a2, a3 i b1, b2, b3 redom koordinate vektora ~a i ~b redom u ortonomiranoj bazi {~i, ~j,~k}. tada je:
~a × ~b = (a1~i + a2~j + a3~k) × (b1~i + b2~j + b3~k) =
= a1b1 (~i ×~i)︸︷︷︸0
+a1b2 (~i × ~j)︸︷︷︸~k
+a1b3 (~i × ~k)︸︷︷︸−~j
+a2b1 (~j ×~i)︸︷︷︸−~k
+a2b2 (~j × ~j)︸ ︷︷ ︸0
+a2b3 (~j × ~k)︸ ︷︷ ︸~i
+
+a3b1 (~k ×~i)︸︷︷︸~j
+a3b2 (~k × ~j)︸ ︷︷ ︸−~i
+a3b3 (~k × ~k)︸ ︷︷ ︸0
=
= a1b2 · ~k + a1b3 · (−~j) + a2b1 · (−~k) + a2b3 ·~i + a3b1 · ~j + a3b2 · (−~i) =
= (a2b3 − b2a3)~i − (a1b3 − b1a3)~j + (a1b2 − b1a2)~k =
=
∣∣∣∣∣∣a2 a3b2 b3
∣∣∣∣∣∣~i −∣∣∣∣∣∣a1 a3b1 b3
∣∣∣∣∣∣ ~j +∣∣∣∣∣∣a1 a2b1 b2
∣∣∣∣∣∣~k =∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ka1 a2 a3b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣3.5. Mješoviti proizvod vektora
Definicija 3.13 : Neka su ~a, ~b, ~c proizvoljni vektori iz V3 koji su dovedeni na zajednicki pocetak.Mješoviti proizvod vektora ~a, ~b, ~c je broj koji obilježavamo sa 〈~a~b~c〉, a koji je jednak skalarnom proizvodu vektora ~a×~bi ~c, tj.
〈~a~b~c〉 = (~a × ~b, ~c) = (~a × ~b) · ~c
OSOBINE:
• Apsolutna vrijednost mješovitog proizvoda tri nekomplanarna vektora ~a, ~b, ~c jednaka je zapremini paralelopipedakonstruisanog nad tim vektorima, tj.
VP = |(~a × ~b) · ~c|
• Tri vektora ~a, ~b, ~c su komplanarna ako i samo ako je njihov mješoviti proizvod jednak nuli, tj.
(~a × ~b) · ~c = 0⇐⇒ ~a, ~b, ~c ∈ π
• Za bilo koja tri vektora ~a, ~b, ~c vrijedi:
(~a × ~b) · ~c = (~b × ~c) · ~a = (~c × ~a) · ~b
• Ako su a1, a2, a3; b1, b2, b3 i c1, c2, c3 redom koordinate vektora ~a, ~b, ~c redom u bazi veci, ~j,~k, tada vrijedi sljedecarelacija:
(~a × ~b) · ~c =
∣∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣
22
Amar Bapic
Literatura1. Dedagic, F. (1997). Uvod u višu matematiku. Tuzla: Filozofski fakultet Tuzla
2. Mitrinovic, D.S., Mihailovic, D., Vasic, P.M. (1990). Linearna algebra. Polinomi. Analiticka geometrija. Be-ograd: Gradevinska knjiga
23
