OPTI PREGLED I UVOD U TEORIJU SIGNALA I SISTEMA

Teorija, analiza i projektovanje signala i sistema igraju znaajnu ulogu u gotovo svim oblastima elektrotehnike kao i u mnogim drugim inenjerskim i naunim oblastima. Mnogi primeri elektronskih sistema ukljuuju radio i televiziju, telefonske mree, sonar i radar, navigaciju i voenje, laboratorijsku instrumentaciju, upravljanje industrijskim procesima, biomedicinsku instrumentaciju, daljinsko ili satelitsko osmatranje, komunikacionu inteligenciju, vojno i vatrogasno osmatranje, seizmiku analizu, radio astronomiju i tako dalje. Mnogi primeri mehanikih sistema podrazumevaju analizu vibracija, priguenje oscilacija, mikrofone i hidrofone, zvunike, merae ubrzanja i tako dalje. Pod signalima podrazumevamo sve ulaze i izlaze, kao i unutranje funkcije koje ovi sistemi obrauju ili proizvode, kao to su napon, pritisak, pomeraj ili intenzitet. Uglavnom je nezavisna promenljiva ovih funkcija signala vreme, ali ne mora biti. Ponekada je to odstojanje, ugao a vrlo esto, kao to je to na primeru slike, u pitanju dvodimenzioni signal po nezavisnim koordinatama duine. Jednom reju, zbog velikog broja razliitih vrsta i raznolikosti prirode navedenih signala, teko je dati jednu optu definiciju signala. Nekada se, u nekim od udbenika moe nai iskaz da je signal svaki vremenski promenljivi fiziki fenomen ili pojava koja sa sobom nosi informaciju. Ovaj iskaz je delimino taan, jer vrlo esto pod signalima podrazumevamo i funkcije koje za nezavisnu promenljivu nemaju vreme, a ponekada kao signale moemo posmatrati i kompleksne funkcije koje nisu u tesnoj vezi sa fizikim pojavama. Meutim, ono to svakako jeste zajedniko za sve ono to pod irokim pojmom signala podrazumevamo, je informacija.

Sa istom teinom, sa kojom je teko definisati raznoliki pojam signala, jeste teko i definisati pojam sistema. Intuitivno podrazumevamo da su sistemi oni subjekti (tehniki, bioloki ili drutveni) koji obrauju ili proizvode signale. Ovako opta definicija sistema podrazumeva itave klase ureaja, struktura, subjekata (veliki broj drugih imenica se moe upotrebiti umesto rei sistem) kao to su drutveni sistemi: kapitalistiki sistem, socijalistiki sistem, bankarski sistem, parlamentarni sistem, ekonomski sistem, sistem hartija od vrednosti, sistem obrazovanja, sistem pravosua, pa preko tehnikih sistema: televizijski sistem, satelitski sistem, upravljaki sistem, mikrofonski sistem, kamera, nadzorni sistem, sistem za gaenje poara, sistem za prenos elektrine energije i tako dalje, do biolokih sistema kao to su sistem organa za varenje, sistem lezda sa unutranjim luenjem, nervni sistem, ulo vida, ulo sluha, miini sistemi, sistemi za regulaciju temperature kod ptica i tako dalje.

Dakle, mi emo se u ovom kursu baviti signalima i sistemima, mada je oigledno da meu njima ima mnogo zajednikih taaka i preklapanja. Tradicionalno se ovim oblastima u elektrotehnici bave tehnika komunikacija i upravljanja, ali je opet granica izmeu ove dve oblasti vrlo nejasna i fluidna. Dok komunikacioni signali moraju biti generisani od strane nekog sistema, dotle svaki upravljaki sistem ima svoj ulazni i izlazni signal. Otuda je osnovna namera ovog kursa da predstavi osnovne koncepte i matematike alate koji su od koristi za obe navedene oblasti. Kroz sledee pitanje emo izvriti osnovnu karakterizaciju signala i sistema i uvesti terminologiju koja e nam kroz kasnija poglavlja pomoi da se lake razumemo.

Pitanje 1: Osnovne karakteristike i podele signala i sistema Kao prvi primer signala posmatrajmo dijagram prikazan na slici 1.1. On predstavlja izmerene padavine u Hidrometeorolokoj stanici ''Karaorev park'' u Beogradu u periodu od 144 dana. Padavine su merene svakoga dana u ovom periodu i izraene su u milimetrima vodenog stuba. Ovakav dijagram (signal padavina) je od velikog znaaja za veliki broj meteorologa jer im on pomae da izvre vremensku prognozu, inenjera poljoprivrede jer pomou njega je mogue pratiti i predvideti razvoj biljnih kultura, vaan je i za ininjere melioracija jer oni mogu pratiti i predvideti

nivo voda u rekama i kanalima za navodnjavanje i odvodnjavanje i tako dalje. Ako bi posmatrali ovaj dijagram padavina u mnogo duem periodu, mogla bi se uoiti neka periodinost u obliku signala jer jesen i prolee obiluju mnogo veim padavinama nego zima i leto, zatim bi se lako mogle uoiti sune godine za razliku od vlanih godina i tako dalje. Do ovih zakljuaka se moe doi raznoraznim tehnikama kao to su usrednjavanje, filtracija, spektralna analiza i slino.

Slika 1.1: Dijagram padavina u periodu od 144 dana

Posmatrajmo sada signal prikazan na slici 1.2 koji predstavlja prosenu vrednost zarade zaposlenih van privrede u Republici Srbiji u periodu Januar-Decembar 2004. godine (podaci su izmiljeni).

Slika 1.2: Prosene zarada zaposlenih tokom 2004. godine

Ovakvi podaci su zanimljivi za ekonomske strunjake, investitore, bankare i tako dalje, jer govore o ekonomskoj moi zaposlenih, njihovoj kreditnoj sposobnosti, ali istovremeno i stanju privrede, nezaposlenosti i tome slino. Sa ovog dijagrama se raznoraznim operacijama, kao to je na primer metod konanih razlika, moe sraunati da li postoji poveenje industrijske proizvodnje ili moda smanjenje javne potronje.

Trei primer je dijagram koji predstavlja aktivnost sunanih pega na suncu. Na slici 1.3. je prikazana ova aktivnost tokom 18 godina merenja. Interesantno je da ova aktivnost na suncu jeste

periodina promena, ona se dosta jasno prepoznaje sa prikazanog grafika, perioda se lako moe sraunati kao i odstupanja od te periodinosti.

Slika 1.3: Merenja aktivnosti sunanih pega tokom perioda od 18 godina

Sva tri gorenavedena primera signala imaju neto zajedniko. Oni se nazivaju signalima koji su diskretni u vremenu (uobiajena oznaka za njih je DT signali od engleskih rei Discrete-Time Signals) jer su oni definisani samo u diskretnim vremenskim trenucima, kao to su sati, dani, meseci ili godine. Bez obzira na to to je vreme kontinualna funkcija, ovi signali su diskretni ili zbog toga to mi merenja vrimo u fiksnim intervalima vremena (primer je aktivnosti sunanih pega koja se meri jednom godinje mada bi, kada bi za to bilo uslova, mogla da se meri neprekidno) ili zbog toga to je po svojoj prirodi signal diskretan (na primer besmisleno je pitati kolika je prosena mesena zarada zaposlenih bila u etvrtak, dvanaestog novembra u 17 asova i 13 minuta).

Druga, iroka klasa signala su oni signali koji su dostupni i merljivi u svakom vremenskom trenutku. Kako su ovi signali definisani u kontinualnom, neprekidnom intervalu vremena, takvi signali se zovu kontinualni signali (uobiajena oznaka za njih su CT signali od engleskih reci Continuous-Time Signals). Primer takvog signal je struja ( )ti , prikazana na slici 4, koja se pojavljuje u jednoj od grana RLC kola kada se u trenutku 0=t na ovo kolo prikljui izvor elektromotorne sile konstantnog napona . 0V

Slika 1.4: Struja u grani RLC kola

Sledei primer kontinualnog signala je signal ljudskog glasa. Na slici 1.5 je prikazan audio signal koji je izdvojen iz pesme ''White Flag'', pevaice Dido. Ovaj signal je zapravo signal koji pokazuje kako se menja i vazduni pritisak na membranu mikrofona, i otpornost prijemnika u mikrofonu (ukoliko je u pitanju mikrofon sa promenljivom otpornou), kao i naponski signal koji se generie kao izlaz iz mikrofona, i uobiajeno je podvrgnut ogranienju da se mora nalaziti u intervalu [ ]. 1,1

Slika 1.5: Snimljeni ljudski glas

Primetimo da je oblik ovog signala prilino periodian jer se pikovi (izraeni maksimumi) u snimljenom glasu pojavljuju sa regularnim vremenskim intervalom. Ova pojava je logina s obzirom da vokalni trakt koji proizvodi glas u ljudskom grlu generie vibracije koje se periodino ponavljaju. Do slinih zakljuaka moemo doi ukoliko posmatramo EKG (elektrokardiogram) rada zdravog ljudskog srca.

Postoji mnogo zajednikih taaka izmeu kontinualnih i diskretnih signala u vremenu, ali zato postoje i mnoge, esto sutinske razlike meu njima. Zbog toga emo uvek jasno naznaiti o kakvom signalu govorimo, i pre nego to bilo koji matematiki alat za analizu signala primenimo, moramo biti sigurni da je to i opravdano.

Osim podele na kontinualne i signale diskretne u vremenu, postoji podela na deterministike i stohastike ili sluajne signale. Pod determinisitkim signalima podrazumevamo one signale ija se vrednost sa nepogreivom tanou moe predvideti i u dalekoj budunosti. Jedan jednostavan primer deterministikih signala jesu signali koji se analitiki (drugim reima pomou nekog matematikog izraza) definiu. Ako pogledamo signal ( )tx definisanog pomou sledee jednakosti ( ) ( )tetx t 4sin02.0= (1.1) tada je mogue sraunati vrednost ovog signala u bilo kom vremenskom trenutku u budunosti. Sa druge strane, ako pogledamo signal koji je snimljen kao izlazni napon sa mikrofona u potpunoj tiini, videe se da postoji signal male snage, koji oigledno nije posledica nekog zvuka, ve procesa koji postoje svuda oko nas a mi ih ne moemo kontrolisati. Naime termiko kretanje molekula u svakoj materiji, kretanje molekula vazduha koje je zavisno od temperature, kretanje elektrona u svakoj provodnoj sredini su primeri takvih pojava, koji se, esto zbog njihove direktne veze sa temperaturom, nazivaju termikim umovima. Primer takvog termikog uma (napon na izlazu iz mikrofona u potpunoj tiini) je prikazan na slici 1.6. Iako se na njemu primeuju osobine periodinosti, to nije regularna osobina koja se moe predvideti. Vrednost ovog signala u budunosti se ne moe prognozirati ve se samo moe sa nekom verovatnoom izraunati interval u kome se taj signal moe realizovati.

Slika 1.6: Primer termikog uma

Sa druge strane, u kontekstu ovog kursa, pod sistemom emo podrazumevati ureaj, proces ili algoritam koji za neki ulazni signal ( )tx , na svom izlazu generie izlazni signal , kako je to prikazano na slici 1.7.

( )ty

Sistem( )tx ( )ty

Sistem

( )tx1 ( )ty1

( )txm# #

( )tyr Slika 1.7: Predstava sistema sa jednim ili vie ulaza i izlaza

Za sada podrazumevajmo da nezavisna promenljiva t moe biti i kontinualna i diskretna. Mogue je da sistem ima i vie ulaza i vie izlaza, kao to je to prikazano na slici 6. Uobiajeno je da elektrini kontinualni sistemi (iji su ulazni i izlazni signali kontinualne funkcije vremena) u sebi sadre integratore, diferencijatore, mnoae, RLC kola, dok diskretni sistemi (koji operiu sa signalima diskretnim u vremenu) imaju kola za kanjenje, akumulatore umesto integratora, elemente za raunanje konanih razlika umesto diferencijatora i tako dalje.

Po svojoj nameni sistemi mogu biti grubo podeljeni u nekoliko grupa. Analizatori su sistemi koji izdvajaju eljenu informaciju iz signala i prikazuju je korisniku. Sintetizatori, sa druge strane, generiu eljeni izlazni signal na svom izlazu. Transdjuseri ili pretvarai pretvaraju signal iz jedne fizike forme u drugu (kao to su na primer mikrofoni kaji pritisak na membranu mikrofona pretvaraju u naponski signal, ili termo-elementi koji temperaturu pretvaraju u elektrinu otpornost). Komunikacioni kanali kao to su koaksijalni kablovi, mikrotalasni vodovi, fiberoptiki kablovi nose signal sa jedne na drugu lokaciju. Filteri modifikuju signal na odgovarajui nain trudei se da potisnu uiank neeljenih smetnji i umova. Kompenzatori su specijalni filtri koji imaju za zadatak da izmene neeljene osobine nekih drugi sistema.

Posebnu klasu vrlo vanih sistema ine sistemi sa povratnom spregom (u engleskoj terminologiji se koristi re feedback za povratnu spregu) koji se moe koristiti u bilo kom od gorenavedenih tipova sistema. Struktura sistema sa povratnom spregom je prikazana na slici 1.8.

Sistem sapovratnomspregom

( )tx ( )ty

Slika 1.8: Struktura sistema sa povratnom spregom

U sistemima sa povratnom spregom se izlazni signal, ili signal dobijen na osnovu izlaznog, vraa kao dodatni ulazni signal u sistem. Osnovni cilj povratne sprege moe biti da se ceo sistem stabilie, da se povea njegov propusni opseg, da se uskladi eljeno ponaanje, da se kontrolie izlazni signal ili neto slino. Ovo je vrlo moan koncept sa velikim brojem primena u elektronici, teoriji upravljanja i telekomunikacijama.

Pitanje 2: Elementarni kontinualni signali Mnogi od signala sa kojima se inenjeri sreu u svakodnevnoj praksi su po svojoj prirodi kontinualni u vremenu. Primeri takvih signala su napon, struja, snaga, pritisak, protok, zapremina, ugao, pomeraj, ubrzanje i tako dalje. I dok vremenski oblici ovih signala mogu biti vrlo komplikovani, postoje vremenski oblici koje je lako uoiti i matematiki opisati. Vrlo esto se i komplikovani vremenski oblici signala mogu prikazati linearnom kombinacijom elementarnih ili osnovnih kontinualnih vremenskih oblika.

Jedinina odskona funkcija

Ako kaemo da je signal signal kontinualan u vremenu (CT signal) to ne znai da je to kontinualna funkcija, ve da je vreme t neprekidna, kontinualna nezavisna promenljiva. Vaan primer za takvu vrstu signal je jedinina odskona funkcija ili jedinini odskoni signal koji se uobiajeno obeleava kao i definie na sledei nain:

( )tx

( )tu (2.1) ( )

>

U nekim udbenicima se ova funkcija naziva Hevisajdovom funkcijom i oznaava kao ( )th . Primetimo da jedinina odskona funkcija ima diskontinuitet za 0=t i da definicijom (2) ( )0u nije ni definisano. Neki autori ovoj funkciji pridruuju u nuli vrednosti ili ( ) 00 =u ( ) 10 =u ili

, meutim primetimo da ni jedna od ovih definicija ne moe promeniti diskontinuitet u toj taki, a sa druge strane sa aspekta gotovo svih analiza efekat je isti. ( ) 5.00 =u

Jedinina odskona funkcija je vrlo korisna jer se pomou nje moe definisati itav skup drugih signala. Na primer, pravougaona etvrtka ( )tp prikazana na slici 2.2, se jednostavno moe predstaviti razlikom dve jedinine odskone funkcije:

( ) ( ) ( ) 0, >= TTtututp (2.2)

Slika 2.2: CT pravougaona etvrtka

Primetimo da smo u relaciji (2.2) uveli takozvanu zakanjenu jedininu odskonu funkciju ( )Ttu koja ima vrednost 0 dok god je , odnosno 0Tt , odnosno . Tt >

Jedinina impulsna funkija (Dirakov impuls) Sledei vaan elementarni signal jeste jedinini impuls, esto nazivan Dirakovim impulsom. Definie se tako da zadovolji sledea tri uslova:

1. ( ) 0=t za 0t . 2. ( )t nije definisana za 0=t . (2.3)

3. ( )

aproksimacija jedinine odskone funkcije i da u graninom sluaju kada ova dva signala postaju identina. Definiimo sada signal

0( )t~ koji e biti prvi izvod signala ( )tu~ , odnosno

( ) ( )dt

tudt~~ = (2.4)

Oigledno je da sada signal ( )t~ postaje aproksimacija Dirakovog jedininog impulsa i on je prikazan slikom 2.4.

( )tu~

0

1

t

Slika 2.3: Aproksimacija jedinine odskone funkcije

( )t~

0

/1

t Slika 2.4: Aproksimacija jedinine impulsne funkcije (Dirakovog impulsa)

Primetimo da je povrina ispod funkcije ( )t~ uvek jednaka 1, nezavisno od veliine parametra i da je vrednost signala jednaka nuli van intervala t0 . Kako su zadovoljene relacije: ( ) ( )tutu =

~lim

0 (2.5)

( ) ( )tt = ~lim0 (2.6) ( ) ( )

dttudt

~~ = (2.7) u tom smislu moemo pisati da je

( ) ( )dt

tdut = (2.8) Potpuno ekvivalentno relaciji (9) moemo pisati odgovarajuu integralnu relaciju

(2.9) ( ) ( ) = t dtu Dalje, dogovorimo se da jedininu impulsnu funkciju (Dirakov impuls) grafiki predstavljamo na nain koji je prikazan slikom 2.5, pri emu oznaka ''1'' na slici ne predstavlja vrednost signala u

taki ve da je to vrednost povrine koja se nalazi ispod ove funkcije (odnosno integral impulsne funkcije po celom prostoru nezavisne promenljive t).

0=t

( )t

0

1

t Slika 2.5: Grafiki prikaz CT Dirakovog impulsa (CT jedinine impulsne funkcije)

Osobine Dirakovog impulsa

Skalirani Dirakov impuls ( )tK jednostavno moemo posmatrati kao prvi izvod skalirane jedinine odskone funkcije gde vrednost skaliranog impulsa iznosi K koji se u grafikoj predstavi takvog signala oznaava na nain prikazan slikom 2.6.

( )tKu( )tK

0

K

t 0

K

t

0>K 0K 0

Da bi interpretirali proizvod definisan jednainom (2.10), ponovo se posluimo aproksimacijom Dirakovog impulsa

( )ty( )t~ i pomou njega formirajmo aproksimaciju signala ( )ty :

( ) ( ) ( )0~~ tttxty = (2.11) Ovi signali su prikazani na slici 2.8.

( )tx( )0~ tt

t0t +0t0

( )ty~

t0t +0t0

( )

0tx

Slika 2.8: Ilustracija aproksimacije proizvoda ( ) ( ) ( )0~~ tttxty =

Pretpostavimo da je funkcija neprekidna na intervalu ( )tx + 00 ttt i da je interval dovoljno mali da moemo pretpostaviti da je signal

( )tx priblino konstantan u tom intervalu, tako da

moemo pisati sledeu aproksimaciju

( ) ( ) ( )00 ~~ tttxty (2.12) Ova je aproksimacija utoliko tanija ukoliko je manje, a kako u graninom sluaju kada 0 funkcija ( 0 )~ tt konvergira ka funkciji ( )0tt , konano moemo pisati: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000 tttxtttxty == (2.13) To praktino znai da funkcija nije nita drugo nego Dirakov impuls ( )ty ( 0tt ) skaliran vrednou signala u trenutku . Ovi signali su ilustrovani na slici 2.9. ( )tx 0tt = Jednostavna, ali vrlo korisna posledica ovog rezultata jeste sledea relacija:

(2.14) ( ) ( ) ( ) ( )00 txdttttxdtty ==

koja kae da se integracijom signala po celom skupu nezavisne vremenske promenljive t moe dobiti vrednost signala

( )ty( )tx u trenutku 0tt = . Ova osobina se zove osobina pomeranja impulsne

funkcije (ili u engleskoj literaturi shifting property of the unit impulse).

( )tx( )0~ tt

t0t0

( ) ( ) ( )0tttxty =

t0t0

( )0tx

Slika 2.9: Ilustracija proizvoda signala ( ) ( ) ( )0tttxty =

Eksponencijalni signali Sledea klasa vrlo vanih kontinualnih signala jeste klasa kompleksnih eksponencijalnih signala:

( ) tAetx = (2.15) gde u optem sluaju parametri A i mogu biti kompleksni brojevi. Ukoliko su ovi parametri realni brojevi, onda se signal naziva realnom eksponencijalnom funkcijom ili signalom. Ukoliko je realni parametar

( )tx pozitivan (slika 2.10) tada se za signal kae da je

eksponencijalno rastui. Eksponencijalno rastua funkcija se koristi vrlo esto da opie neke prirodne pojave koje su po svojoj prirodi nestabilne. Sa druge strane, ako je realan parametar

( )tx

negativan, tada govorimo o eksponencijalno opadajuem signalu. Ovakva vrsta signala opisuje mnoge stabilne pojave u prirodi, kao to je na primer odziv RC ili RL kola, emisija nuklearnih estica iz radioaktivnog materijala i tako dalje. U graninom sluaju kada je parametar jednak nuli, signal postaje konstantan. ( )tx

( )tx

t0

A

( )0,0 >> A ( )tx

t0

A

( )0,0 >< A

Slika 2.10: Realni eksponencijalni signali za pozitivne i negativne vrednosti parametra

Sinusoidalni signali Drugi specijalan sluaj koji je vrlo interesantan je kada parametar uzme istu imaginarnu vrednost: 0 j= . Tada signal postaje: ( )tx ( ) tjAetx 0= (2.16) gde se podrazumeva da je 0 realan broj. Za signal ( )tx se kae da je kompleksna sinusoida. Ako je A realan broj, primenom Ojlerove formule moemo dalje pisati:

( ) ( ) ( )tjAtAtx 00 sincos += (2.17) Ukoliko je parametar A takoe kompleksan: jeAA = , tada signal ( )tx postaje ( ) ( ) ( ) ( ) +++=== + tAjtAeAeeAtx tjtjj 00 sincos00 (2.18) U bilo kom od ovih sluajeva, jasno je da je signal ( )tx periodian signal, odnosno da za svako t vai relacija:

( ) ( )txTtx =+ (2.19) gde je T odgovarajua konstanta. Najmanja pozitivna (nenulta) konstanta T za koju vai relacija (2.19) se naziva periodom signala . Vrlo se lako dokazuje da je signal periodian i izraunava njegova perioda na osnovu relacije (2.19):

( )tx ( )tx ( ) ( ) ( )txAeAeeAeTtx tjtjTjTtj ====+ + 0000 (2.20) odnosno

(2.21) ,...2,1,0;1 20 === kee jkTj Kako za periodu T traimo najmanju pozitivnu, nenultu vrednost koja zadovoljava poslednju relaciju, jednostavno dolazimo do sledee jednakosti:

0

2=T (2.22)

Realna sinusoida (realni deo koompleksne sinusoide definisane relacijom (2.18)) obino se pie u formi:

( ) ( ) += tAtx 0cos (2.23) i prikazana je na slici 2.11. za razliite vrednosti faze .

( )tA 0cos A

0 T

( ) ( )2/cossin 00 = tAtAA

0 T

( ) ( )2/0;cos 0

gde je frekvencija ili uestanost i ona se izraava u hercima 0f [ ]Hz . Njihova veza se periodom sinusoidalnog signala je:

00

12f

T == (2.26)

Primetimo da u imeniocima izraza (27) stoje apsolutne vrednosti, jer u generalnom sluaju kruna uestonost i frekvencija mogu biti i negativne, dok je po definiciji perioda T pozitivan realni broj.

U generalnom sluaju i parametar A i mogu biti kompleksni brojevi. Ako ih napiemo u formi:

jeAA = (2.27) i

0 jr += (2.28) kompleksni sinusni signal postaje

( ) ( )

( ) ( )[ ]

+++=== ++

tjteA

eeAeeAAert

tjrttjrjt

00 sincos

00

(2.29)

U poreenju sa izrazom (2.17), izraz (2.29) uvodi takozvani priguujui faktor (u engleskom jeziku je to damping factor) koji eksponencijalno raste ako je ili eksponencijalno opada ako je

. Signal koji sadri realni deo signala definisanog preko relacije (2.29) glasi rte 0>r

0

Slika 2.12: Primer rastue i priguene sinusoide

Pitanje 3: Modifikacija nezavisne vremenske promenljive t u kontinualnim signalima

Pomeranje signala u vremenu Mnoge jednostavne ali vane operacija nad signalima se mogu predstaviti jednostavnom modifikacijom vremenske promenljive t u analitikim izrazima za signale. Ve smo videli da signal ( 0 )x t t nije nita drugo nego pomeranje signala ( )x t za vremenski interval . Ukoliko je

to je zapravo kanjenje signala (pomeranje u desno), ukoliko je 0t 0 0t >

0 0t < to je takozvano prednjaenje signala (pomeranje u levo). Na slici 3.1. ilustrovano je prednjaenje i kanjenje signala.

( )0x t t+ ( )0x t t( )x t

0t0t t Slika 3.1: Ilustracija vremenskog pomeranja signala

Inverzija vremena Posmatrajmo modifikovani signal

( ) ( )y t x t= (3.1) Poslednja relacija govori da je, na primer, ( ) ( )1 1y x= , ( ) ( )y x = , i tako dalje za sve vrednosti nezavisne promenljive t. Primer ovakvih signala je prikazan na slici 2.2. Efekat inverzije vremena je najuoljiviji ukoliko se video traka premotava unazad.

( )x t( ) ( )y t x t=

t Slika 3.2: Ilustracija signala sa inverzijom vremena

Skaliranje vremena Dalje, posmatrajmo modifikaciju signala na sledei nain:

( ) ( )2y t x t= (3.2)

Tada je ( ) ( ) ( ) (1 2 , 1/ 2y x y x= )1= i tako dalje, to znai da je u signalu vreme kompresovano i da je signal y zapravo dva puta ubrzani signal x (u engleskoj literaturi se za ovakve sisteme kae compressed-time signals). Primer ovih signala je prikazan na slici 3.3.

( )y t

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x(t)

t

y(t)=x(2t)

t

Slika 3.3: Ilustracija skaliranja (kompresije) vremena

Ukoliko definiemo novi signal na sledei nain: ( )z t ( ) ( )/ 2z t x t= (3.3) Sada e vrednost signala biti jednaka ( )1z ( )0.5x , ( )2z biti jednaka ( )1x i tako dalje. Drugim reima, posmatrani signal z biti 'razvuena' ili usporena verzija signala x. U engleskoj literaturi se za ovakve signale koristi termin stretched-time signals. Primer ovakvih signala dat je na slici 3.4.

x(t)

t

z(t)=x(t/2)

t

Slika 2.4: Primer skaliranja signala (stretched-time signal)

Vrlo esto se u obradi signala istovremeno sreemo sa vie modifikacija nezavisne vremenske promenljive t u istom signalu. Recimo, ukoliko je potrebno da na osnovu zadatog signala ( )x t generiemo signal , jasno je da su tri modifikacije vremenske ose izvrene

uzastopno. Prvo je od na signalu ( ) ( )2 3y t x t=

( )x t izvreno skaliranje vremenske ose i dobijen je signal ( )3x t , zatim je izvrena inverzija vremena koja rezultuje signalom ( )3x t da bi konano bilo izvreno pomeranje u vremenskom domenu to nas dovodi do konanog rezultata (2 3 )x t . Naravno, redosled ovih transformacija nije jednoznaan, meutim, kada god imamo ovakav problem dobro je da se veemo za neko konkretno 0t t= i da pomou njega pratimo regularnost sekvence transformacija. Ovaj problem je ilustrovan na sledeem primeru.

Primer 3.1: Na slici 3.5 je prikazan trapezoidni signal ( )x t . Na osnovu njega skicirati signal . ( ) ( )1 / 2y t x t=

( )x t

t2 1 0 1 2 3

1

Slika: 3.5: Primer trapezoidnog signala

Kao prvi korak emo od signala ( )x t formirati pomoni signal ( ) ( / 2z t x t= )1

. U pitanju je vremensko skaliranje (usporavanje ili razvlaenje signala) sa faktorom 2. Neka nam kontrolna taka bude , i kao uslov ispravnosti rada treba da vodimo rauna da je . Na slici

3.6. prikazan je signal .

0t = ( ) ( )0 0z x= =( ) ( )/ 2z t x t=

( ) ( )/ 2z t x t=

t2 1 0 1 2 3 4

1

Slika 3.6: Signal ( ) ( )/ 2z t x t=

Sada formirajmo novi, pomoni signal ( ) ( ) ( )/ 2q t z t x t= = koji e ukljuiti inverziju vremena. On se jednostavno dobija od signala tako to se izvri prosta refleksija u odnosu na oordinatu (zbog toga se ponekada ova modifikacija inverzija vremena naziva refleksijom). Ovaj signal je prikazan na silici 3.7. Opet nam je kontrolna taka

( )z t( ) ( )0 0q x 1= = .

( ) ( )/ 2q t x t=

t2 1 0 1 2 3 4

1

34 Slika 3.7: Pomoni signal ( ) ( )/ 2q t x t=

Konano, treba izvriti skaliranje u vremenu da bi dobili eljeni signal . Ova

poslednja transformacija se dobija jednostavnim pomeranjem poslednjeg signala , ali da bismo dobili tanu informaciju o tome za koliko treba izvriti pomeranje i u kome pravcu, napiimo signal

na sledei nain:

( ) ( )1 / 2y t x t= ( )q t

( )y t ( ) ( ) ( )( ) ( )1 / 2 2 / 2 2y t x t x t q t= = = . Dakle, konani signal ( )y t se dobija iz signala tako to se on pomera u desno (dakle signal y kasni u odnosu na signal q) za

2 jedinice vremena. Signal je prikazan na slici 3.8. ( )q t

( )y t( ) ( )1 / 2y t x t=

t2 1 0 1 2 3

1

34 4 Slika 3.8: Konani oblik signala ( ) ( )1 / 2y t x t=

I naravno, ponovo moemo proveriti korektnost dobijenog signal vezujui se za neke konkretne vrednosti vremenskih trenutaka: ( ) ( )0 1 0 / 2 1y x= = , ( ) ( )1 1 1/ 2 1y x= = i t.d. Primer 3.2: Zanimljivo je pogledati Dirakov signal u kome je nezavisna vremenska promenljiva skalirana koeficijentom 1/ . Dakle posmatrajmo signal a ( )/t a . Ako se setimo uslova koje treba da zadovolji Dirakov signal ( )t videemo da ih i signal ( )/t a zadovoljava. Naime:

1. Signal ( )/t a = 0)

za svako , 0t 2. Vrednost nije definisano za ( /t a 0t = . 3. Konano, ako je ( ) ( )2 2

1 1

/

//

t t a

t t at a dt a d a = = 1 20t t< <

Dakle, signal pod pretpostavkom da je parametar a pozitivan. ( ) (/t a a t = ) Simetrinost signala Neke vane definicije i osobine signala potiu iz osobina simetrinosti. Iz matematike je poznato da neki signali imaju osobine parnosti ili neparnosti. Za signal koji zadovoljava sledeu jednakost

( ) ( )x t x t= (3.4) kaemo da je paran. Sa druge strane, za signal sa sledeim svojstvom

( ) ( )x t x t= (3.5) kaemo da je neparan. Tipini parni signali su x ( ) ( )0cosx t t= ili ( ) tx t e= , dok su predstavnici neparnih signala ili funkcija ( ) ( )0sinx t t= ili ( ) ( ) 0.5x t u t= . Vanost parnih i neparnih signala potie uglavnom iz injenice da se realni signal (signal koji za svaki trenutak nezavisne vremenske promenljive uzima vrednost iz skupa realnih brojeva) moe napisati kao zbir njegovog parnog i neparnog dela. Parni deo signala se definie na sledei nain:

( ){ } ( ) ( )12

Ev x t x t x t= + (3.6) dok se neparni deo signala sraunava kao:

( ){ } ( ) ( )12

Od x t x t x t= (3.7) Oznake Ev i Od potiu od engleskih rei even i odd, to znai paran, odnosno neparan. Lako se na osnovu relacija (3.6) i (3.7) proverava, da se signal ( )x t zaista moe sraunati kao zbir njegovog parnog i neparnog dela:

( ) ( ){ } ( ){ }x t Ev x t Od x t= + (3.8) Primer 3.3: Sraunajmo parni i neparni deo pravougaone etvrtke ( ) ( ) (p t u t u t T= ) . Po definiciji parnog i neparnog dela signala, moemo pisati:

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

Ev p t p t p t u t u t T u t u t T= + = + (3.9)

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 2

Od p t p t p t u t u t T u t u t T= = + + (3.10)

Na slici 3.9 su prikazani signali ( ) ( ) ( ), ,u t u t T u t i ( )u t T + na osnovu kojih se lako sraunavaju funkcije ( ){ }Ev p t i ( ){ }Od p t .

( )u t

0 t 0 t

( )u t T

T

( )u t

0 t 0 t

( )u t T

T Slika 3.9.: Oblik signala ( ) ( ) ( ), ,u t u t u t T i ( )u t T

Na osnovu ovih signala se vrlo jednostavno sraunavaju signali ( ){ }Ev p t i ( ){ }Od p t . Oni su prikazani na slici 3.10. a njihovi analitiki oblici glase:

( ){ } ( ) ( )( ){ } ( ) ( ) ( )

121 22

Ev p t u t T u t T

Od p t u t T u t u t T

= + = + +

(3.11)

( ){ }Ev p t

0 t 0 t

( ){ }Od p t

T0.5

TT T0.5

0.5 Slika 3.10: Parni i neparni deo signala ( )p t

Pitanje 4: Konvolucija kontinualnih vremenskih funkcija

Fundamentalna operacija nad signalima koja se u teoriji obrade signala koristi jeste konvolucija. Ako nad signalim ( )x t i ( )h t primenimo konvoluciju kao rezultat emo dobiti treu kontinualnu funkciju , pri emu kao oznaku za konvoluciju koristimo simbol '*': ( )y t ( ) ( ) ( )*y t x t h t= (4.1) a izraunava se shodno sledeoj relaciji

( ) ( ) ( )y t x h t d = (4.2) Ukoliko u poslednjoj relaciji izvrimo smenu promenljivih t = dobija se

(4.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*y t x t h d h x t d h t x t = = = to je dokaz da je konvolucija komutativna operacija nad signalima, odnosno

( ) ( ) ( ) ( )* *x t h t h t x t= (4.4) Lako se dokazuje da je ova operacija ima i osobinu asocijativnosti:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

* * *

* * *

x t h t g t x h t d g t x h d g t d

x h g t d d

x h g t d d

x h t g t d x t h t g t

= = = = =

= =

(4.5)

Takoe, lako se dokazuje da je operacija konvolucija distributivna sa operacijom sabiranja signala:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2* * *x t h t h t x t h t x t h t+ = + (4.6) Na osnovu relacije (4.2) se moe zakljuiti, da ako elimo da sraunamo konvoluciju signala ( )x t i

, na algoritam treba da se sastoji u sledea etiri koraka: ( )h t1. korak: Signal ( )h se prvo invertuje i pomeri u vremenu kako bi se dobila forma ( )h t ,

to postaje funkcija od gde je t parametar. 2. korak: Signali ( )x i (h t ) se izmnoe za sva mogue vrednosti varijable a za neko

fiksno t.

3. korak: Proizvod ( ) ( )x h t se integrali po celom skupu vrednosti i tako se dobija vrednost za neko fiksno t. ( )y t

4. korak: Ponove se koraci 1,2 i 3 za razliite vrednosti parametra t iz skupa kako bi se dobila kompletna funkcija .

( , )( )y t

Dakle, teorijski gledano beskonano mnogo neodreenih integrala treba odrediti u cilju jedne jedine konvolucije . Meutim, na sreu, u najeem broju sluajeva, ovaj se problem uglavnom svodi na sraunavanje par odreenih integrala.

( )y tPrimer 4.1: Sraunajmo konvoluciju dve jedinine odskone funkcije

( ) ( ) ( )*y t u t u t= (4.7) Po definiciji moemo pisati:

( ) ( ) ( )y t u u t d = (4.8) Znajui da je za ( ) 0u = 0 < , poslednji izraz postaje ( ) ( ) ( )

0y t u u t d = (4.9)

Dalje, uzimajui u obzir da je za ( ) 1u = 0 > , integral se dalje pojednostavljuje

( ) ( )0

y t u t d = (4.10) Ukoliko izvrimo smenu promenljivih t = , izraz (4.10) postaje ( ) ( )ty t u d = (4.11) Konano, poslednji integral je jednostavno sraunati ukoliko je poznata vrednost vremenske promenljive t:

(4.12) ( ) ( )( ) ( )

0

0 0

0

t t

t t

t y t u d d

t y t u d d t

< = = = = = =

0

Oblik signala je prikazan na slici 4.1. ( )y t( ) ( ) ( )*y t u t u t=

0 t Slika 4.1: Oblik signala ( ) ( ) ( )*y t u t u t=

S obzirom na prirodu jedininog odskonog signala dobijeni rezulat moemo napisati u pojednostavljenoj formi:

( ) ( )y t tu t= (4.13) Primer 4.2: Jedna od vanih osobina konvolucije ( ) ( ) ( )*y t x t h t= je ilustrovana u sledeem primeru. Ako signali ( )x t i zadovoljavaju sledei uslov: ( )h t

( )( )

1

2

0

0

x t za t

h t za t t

t= a> > 0 1a> > 1 a > , parametar a uzima vrednost. Oblici ove 4 vrste eksponencijalnih signala su prikazani na slici 5.4.

" "( )1a >

n

n

( )0 1a< 0 . Specijalno, ukoliko je signal 0j ne

periodian sa periodom N , moemo pisati:

( )0 0 0 0j n N j n j N j ne e e e + = = (5.11) i shodno tome

0 1j Ne = (5.12) Dakle, eksponent mora biti ceo multipl od 0 N 2 , odnosno 0 2N k = (5.13) Zakljuujemo da treba da postoji celobrojno k takvo da je u vanosti relacija

02

kN

= (5.14) Konano, uslov da kompleksna diskretna sinusoida bude periodian signal je da, takozvana normalizovana uestanost ( )0 / 2 bude racionalan broj. Ukoliko ovaj uslov primenimo na signal

prikazan na slici 5.5, dobija se da je (sin 2 / 7n ) ( )0 / 2 1/ 7 /k N = = . Dakle normalizovana uestanost jeste racionalan broj i zbog toga se na slici 5.5 i vidi periodinost sinusoide, sa periodom

. Opti uslov periodinosti govori da u jednoj periodi od N odbiraka ima k ciklusa sinusoide. Ako normalizovana uestanost nije racionalan broj, tada diskretna sinusoida nije periodina, i odbirci diskretne sinusoide se nikada nee ponoviti.

7N = ( )0 / 2 /k N =

Sledea znaajna razlika izmeu kontinualnih i diskretnih sinusoida je ta da se u sluaju diskretnih sinusoida za dve razliite vrednosti krunih uestanosti 0 mogu dobiti identini odbirci

diskretnog signala, to je u kontinualnom sluaju nemogue. Ako, na primer, posmatramo diskretnu sinusoidu sa uestanou 0 i drugu sinusoidu sa uestanou ( )0 2 + , tada je: ( )0 02 2j n 0j n j ne e e e + = = j n

) (5.15)

jer je za celobrojne vrednosti n. Drugim reima, ove dve diskretne sinusoide sa uestanostima i (

2 1j ne =0 0 2 + , se ne mogu razlikovati. Isti zakljuak vai i za realne sinusoide,

naravno pod uslovom da je razlika njihovih uestanosti jednaka celom multiplu od 2 . Kao posledica ove injenice, kada god definiemo diskretnu sinusoidu potrebno je za uestanosti posmatrati samo interval duine 2 , na primer 00 2 < ili 0 < . Ova e injenica biti vrlo vana kada se kasnije budemo bavili diskretnom Furijeovom transformacijom.

U optem sluaju kada su i parametar C i a kompleksni brojevi

jC C e = , 0 ,ja e 0= > (5.16) diskretni signal dobija formu:

[ ] ( )

( ) (0

0 0cos sin

j nn n

n

x n Ca C e

C n j n

)

+= == + + +

(5.17)

Ponovo, po analogiji sa kontinualnim signalima, dobijamo modulisane sinusoide sa anvelopom n , koja moe biti priguena ili opadajua ako je 1 < ili rastua ako je 1 > . Realni deo ovog signala je:

{ } ( )0Re cosn nCa C n = + (5.18) i dva razliita sluaja ovog signala su prikazana na slici 5.6.

n

( )1 >

( )1

n""

1n 2n

[ ]x n

n

""3n 4n

[ ]h n

Slika 7.2: Primer signala ogranienog trajanja

Tada njihova konvolucija postaje:

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

== (7.15)

Uzimajui u obzir da je signal [ ]x k jednak nuli za 1k n< i , poslednja beskonana suma se redukuje na konanu sumu:

2k n>

[ ] [ ] [ ]21

n

k ny n x k h n k

== (7.16)

Uvodei smenu dalje moemo pisati: n k m = (7.17) [ ] [ ] [ ]1

2

n n

m n ny n x n m h m

= =

Uzimajui u obzir ogranieno trajanje signala h, konani rezultat postaje:

[ ] [ ] [ ]( )

( )4 1

3

1 3

min ,

1 3 2max , 2

2 4

0 ;

;

0 ;

n n n

m n n n

n n n

y n x n m h m n n n i n n n

n n n

=

4+

(7.18)

odnosno

(7.19) [ ] [ ] [ ]( )

( )4 1

3

1 3

min ,

1 3 2max , 2

2 4

0 ;

;

0 ;

n n n

m n n n

n n n

y n x n m h m n n n n n

n n n

=

< += + > +

Dakle, i signal [ ]y n je ogranienog trajanja pri emu se poetak njegovog trajanja dobija kao zbir poetaka signala x i h, dok se njegov kraj trajanja dobija kao zbir krajeva istih signala. Osobine konvolucije nad diskretnim signalima u vremenu Postoji nekoliko osibna konvolucije nad diskretnim signalima koje se jednostavno dokazuju. 1. Ako je signal [ ]x n parna i neparna funkcija, tada je i njihova konvolucija [ ]h n [ ]y n neparna funkcija. Dokaimo ovu osobinu, polazei od definicije:

[ ] [ ] [ ]k

y n x k h n k

== (7.20)

Uzimajui u obzir da je signal x paran a signal h neparan i nakon smene promenljivih k n m = , moemo pisati:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k m

y n x k h k n h m x n m y n

= == = = (7.21)

to dokazuje da je signal [ ]y n neparan signal. 2. Ako su signali [ ]x n i [ ]h n oba neparne funkcije, tada je signal [ ]y n parna funkcija. Dokaz ove osobine je analogan prethodnom dokazu:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k m

y n x k h n k x k h k n h m x n m y n

= = == = = = (7.22)

3. Ako je signal [ ]x n periodian tada je i signal [ ]y n periodian. Pretpostavimo da je signal x periodian sa periodom ponavljanja N. Tada moemo pisati:

(7.23) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]k k k

y n N x k h n N k h k x n N k h k x n k y n

= = =+ = + = + = =

to dokazuje navedeno tvrenje. 4. Inverzija konvolucije: [ ] [ ] [ ]*y n x n h n = (7.24) Da bi dokazali ovu osobinu, ponovo podjimo od definicionog izraza:

[ ] [ ] [k

y n x k h n k

=] =

m

(7.25)

Uvedimo smenu i oznake k = [ ] [ ]w k x k= i [ ] [ ]v k h k= . Tada moemo pisati: (7.26) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]* *

m my n x m h n m w m v n m w n v n x n h n

= = = + = = =

ime je tvrenje dokazano. 5. Pomerenja konvolucije:

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2*y n n n x n n h n n = (7.27) Dokaz ovog tvrenje se sprovodi na sledei nain:

(7.28) [ ] [ ] [1 2 1 2k

y n n n x k h n n n k

= = ]

Ako u poslednji izraz uvedemo smenu 1k m n= i oznake [ ] [ ]1x n n w n = i [ ] [ ]2h n n v n = moemo pisati:

(7.29) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2 1 2

1 2* *

m

m

y n n n x m n h n n m

w m v n m w n v n x n n h n n

=

=

=

= = =

6. Ako sa oznaimo sumu svih odbiraka signala xA [ ]x k : [ ]x

kA x k

== (7.30)

i slino tome definiemo i hA yA , tada vai jednakost

y x hA A A= (7.31) Ovu jednakost emo dokazati korienjem dvostrukih suma:

[ ] [ ] [ ]yn n k

A y n x k y n k

= = == = (7.32)

Ukoliko sume zamene mesta i lan [ ]x k izae ispred sume po n jer ne zavisi od n, dobiemo: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]y x

k n k n nA x k h n k x k h n k A h n k

= = = = == = = (7.33)

Konano, ako u preostaloj sumi izvrimo smenu n k m = dobiemo izraz (7.33) 7. Ukoliko definiemo takozvani centar gravitacije ili vreme kanjenja signala [ ]x n kao /x nxD A Ax= (7.31) gde je suma svih lanov nxA [ ]nx n , i slino tome definiemo i , tada vai relacija hD yD y xD D Dh= + (7.32) Dokaz relacije (7.32) se sprovodi sledeim postupkom:

[ ][ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]

/ n n k n ky ny yx h x h

n

n k n k

x h

k n k n nx h x nh nx nh

x h x h x h

ny n n x k h n k n k k x k h n kD A A

A A A Ay n

k x k h n k n k x k h n k

A A

kx k h n k x k n k h n kA A A A A A

A A A A A A

= = = = =

=

= = = =

= = = =

+ = = = =

+ =

+ += =

x hD D= + = +

(7.33)

ime je dokaz zavren. Primer 7.4: Sraunati konvoluciju signala [ ]x n i [ ]h n prikazanih na slici 7.3.

n[ ]x n

0 2

1

n

[ ]h n

0 2

1

Slika 7.3: Diskretni signali

U ovakvom sluaju signala, iji analitiki oblik nije jednostavno napisati, konvoluciju treba sraunavati direktno po definicionom obrascu za svaki odbirak ponaosob. Za poetak emo se podsetiti primera 7.3 u kome je dokazano da iz ogranienosti signala sa leve i desne strane sledi i ogranienost njihove konvolucije. Drugim reima, za primere signala prikazane na slici 7.3. jasno je da e njihova konvolucija imati vrednosti razliite od nule za 2 6n :

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

2 2 1 1 0 2 2 4 0.25 0 0 0.25

1 1 1 0 0 1 2 3 0.5 0.5 0

0 1 1 0 0 2 2 0.5 1 0 1.5

1 1 1 2 0 1 2 1 0.25 1 0.25 1.5

2 2

k

k

k

k

k

y h k x k h x h x h x

y h k x k h x h x h x

y h k x k h x h x h x

y h k x k h x h x h x

y h k x k

=

=

=

=

=

= = + + = + + = = = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1 3 0 2 2 0 0.25 0.5 0.5 1.25

3 3 1 4 0 3 2 1 0.25 0.5 0.5 1.25

4 4 1 5 0 4 2 2 0 0.5 0.25 0.75

5 5 1 6 0 5 2 3 0 0 0.25 0.25

6 6 1 7

k

k

k

k

h x h x h x

y h k x k h x h x h x

y h k x k h x h x h x

y h k x k h x h x h x

y h k x k h x

=

=

=

=

= + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + + = + + == = + [ ] [ ] [ ] [ ]0 6 2 4 0 0 0.25 0.25h x h x+ = + + =

1

(7.34)

Grafik ovog signala je prikazan na slici 7.4.

n

[ ]y n

0 2

1.5

62

Slika 7.4: Dobijena konvolucija signala x i h

Pitanje 8: Pregled i osobine kontinualnih sistema

Kao to smo ve rekli, sistem je ureaj, proces ili algoritam iji je zadatak da obrauje ili generie signale. Mi emo se u okviru ovog kursa uglavnom baviti sistemima sa jednim ulazom i jednim izlazom. Sistemi se mogu podeliti u veliki broj kategorija zavisno od njihovih osobina. Postoje tri kljune osobine po kojima se sistemi dele u razliite grupe. Jedna od njih je ve pomenuta a odnosi se na prirodu signala koje sistem koristi kao svoje ulaze ili koje generie i shodno tome se sistemi dele na kontinualne i diskretne. Druga vana osobina je linearnost, pa se sistemi dele na linearne i nelinearne i konano trea osobina je stacionarnost (nepromenljivost) u vremenu pa se po toj osobini sistemi dele na stacionarne i nestacionarne ili na vremenski nepromenljive ili promenljive. U okviru ovog pitanja, baviemo se kontinualnim sistemima uopte. U okviru linearnih sistema postoje neke specifine osobine koje mogu biti zanimljive, pa emo otuda izvriti kratki prikaz takvih sistema.

Sistemi sa memorijom

Za sistem kaemo da ima memoriju ukoliko odziv sistema ( )y t u trenutku zavisi ne samo od ulaznog signala u tom istom trenku

0t t=( )0x t ve i od vrednosti uzlaznog signala u nekim

drugim vremenskim trenucima. Dakle, da bismo sraunali izlaz sistema sa memorijom ( )0y t u trenutku , potrebno nam je poznavanje ulaznog signala 0t t= ( )x t u prolosti ( ) ili u budunosti . U suprotnom, ako je za izraunavanje izlaza

0t t ) ( )0y t dovoljno poznavati ( )0x t

kaemo da je sistem bez memorije.

Jednostavan primer sistema bez memorije jeste primena Omovog zakona za izraunavanje napona na krajevima otpornika kroz koji protie neka poznata struja i:

( ) ( )0v t Ri t= 0 (8.1) Sa druge strane, ukoliko elimo da sraunamo vrednost napona na krajevima kondenzatora kapacitivnosti C, potrebno je da sraunamo integral

( ) ( )00 1 tv t i t dtC = (8.2) Drugim reima, ako kao sistem posmatramo kondenzator iji je ulaz struja a izlaz napon na njegovim krajevima, onda je taj sistem sa memorijom, jer nam je za izraunavanje napona u trenutku potrebno poznavanje struje 0t t= ( )i t za 0t t . Kauzalni sistemi

Za sistem se kae da je kauzalan ukoliko njegov izlaz ( )y t u trenutku zavisi samo od ulaza

0t t=( )x t za . Drugim reima odziv sistema u sadanjem trenutku ne moe zavisiti od

vrednosti ulaznog signala u budunosti. Prosto reeno, kauzalan sistem nije 'vidovit' i on ne moe da reaguje pre nego to se na njegovom ulazu pojavi neki signal. Meutim, bez obzira to nam se ini da jedino kauzalni sistemi imaju smisla i da su svi sistemi u prirodi kauzalni, ipak u teorijskim razmatranjima se esto pojavljuje potreba za analizom ili uvoenjem sistema koji nemaju ovu osobinu.

0t t

Lako se moe proveriti da su otpornik i kondenzator u prethodnom primeru kauzalni sistemi. Meutim, primeri sistema definisani sledeim jednainama (8.3) i (8.4) definiu nekauzalne sisteme.

(8.3) ( ) ( )0 10 ty t x t dt+= i

( ) ( )0y t x t0= (8.4) Na kraju primetimo da su sistemi bez memorije sigurno kauzalni, dok obrnuto ne vai (kauzalni sistemi ne moraju biti bez memorije). Linearni sistemi Linearnost je najpoeljnija osobina koju sistem moe da ima. Da bi jedan sistem bio linearan mora da zadovolji dva svojstva:

1. Aditivnost. Aditivnost znai da ako sistem na ulazni signal ( )1x t generie odziv ( )1y t , i ako na ulaz ( )2x t generie odziv ( )2y t , tada e na pobudu ( ) ( )( )1 2x t x t+ odgovoriti signalom . ( ) ( )( )1 2y t y t+

2. Homogenost. Za sistem kaemo da ispunjava svojstvo homogenosti ako za neku pobudu ( )x t odgovori signalom , tada za pobudu ( )y t ( )ax t treba da generie na izlazu signal

. ( )ay tOva dva uslova mogu da budu preformulisana u jedan jedini uslov koji se zove svojstvo superpozicije, i ono glasi ovako: Ako je sistem na pobudu ( )1x t odgovorio odzivom ( )1y t a na pobudu ( )2x t odgovorio odzivom ( )2y t , tada sistem na pobudu ( ) ( )( )1 2ax t bx t+ treba da odgovori signalom ( ) (( 1 2ay t by t+ )) , gde su a i b bilo koje realne ili kompleksne konstante. Princip superpozicije se moe generalizovati na proizvoljan broj sabiraka u ulaznom i izlaznom signalu. Naime, da bi sistem bio linearan, odnosno zadovoljavao princip superpozicije, tada on za ulazni signal

( ) ( )k kk

x t a x= t (8.5) treba da generie odziv

(8.6) ( ) ( )k kk

y t a y t=gde je sa oznaen pojedinani odgovor sistema na ulazni signal ( )ky t ( )kx t . Opet se jednostavno pokazuje da su otpornik i kondenzator linearni sistemi, dok su sistemi opisani relacijama (8.7) i (8.8) nelinearni:

( ) ( )( )siny t x t= (8.7) ili

( ) ( )2y t x t= (8.8) Zanimljivo je da je sistem opisan relacijom

( ) ( )3y t x t 4= + (8.9)

nelinearan iako je relacija (8.9) linearna funkcija ulaznog signala. Njegova nelinearnost se lako dokazuje jer niti je zadovoljen princip homogenosti niti aditivnosti. Recim za ( )1 1x t = , ( )1 7y t = a za , ( )2 2x t = ( )2 10y t = , pa iz uslova ( ) ( )2 12x t x t= ne sledi ( ) (2 12y t y t= ) . Uzrok ove nelinearnosti je postojanje konstantnog lana 4 u izrazu (8.9) tako da sistem generie odziv ( )y t =4 ak i kada na ulazu nema signala . Za ovakve sisteme se kae da su inkrementalno linearni.

Ovaj naziv potie otuda to ako bismo u odnosu na pravi odziv sistema posmatrali njegov

inkrement , on bi zaista pokazivao osobine homogenosti i aditivnosti.

( ) 0x t =( )y t

( ) ( ) ( )4 3y t y t x t= =

Stacionarni (vremenski nepromenljivi) sistemi Sledea vrlo vana osobina sistema jeste vremenska invarijantnost (ili stacionarnost). Za sistem kaemo da je invarijantan ukoliko za pobudu ( )0x t t generie odziv , pri emu je ( 0y t t )( )y t odziv sistema za ulazni signal ( )x t . Drugim reima vremenski pomeraj u ulaznom signalu e

uticati na vremenski pomeraj u izlazu sistema ali ne i na njegov oblik.

Primer kondenzatora koji se puni strujom ( )i t je primer stacionarnog sistema. Zamislimo da se kondenzator punio nekom strujom ( )i t , tada je napon na njegovim krajevima jednak: ( ) ( )1 tv t i d

C = (8.10)

Ukoliko umesto struje ( )i t , kondenzator punimo zakanjenom strujom ( )0i t t , tada e napon na krajevima kondenzatora biti:

( ) ( ) ( ) ( )01 01 1t t tv t i t d i d v t tC C

= = = 0 (8.11) to predstavlja dokaz stacionarnosti sistema.

Primer vremenski varijantnih (nestacionarnih sistema) dat je relacijama (8.12) i (8.13):

( ) ( ) ( )0siny t x t t= + (8.12) i

( ) ( )y t x t= (8.13) Recimo, za sistem opisan relacijom (8.12) se lako pokazuje da je nestacionaran, jer ako na ulaz dovedemo signal ( )0x t t odgovarajui odziv e biti ( ) ( ) ( )1 0 siny t x t t t= + (8.14) to je razliito od

( ) ( ) ( )( )0 0 0siny t t x t t t t = + 0 (8.15) pa je samim tim sistem nestacionaran.

Stabilnost sistema Mogue je definisati razliite vrste stabilnosti sistema, meutim matematiki najjednostavniji, i u ovom trenutku najprihvatljiviji pristup jeste stabilnost tipa ogranien ulaz-

ogranien izlaz (u engleskoj literaturi se ova definicija stabilnosti zove BIBO Bounded Input-Bounded Output stability). Za sistem kaemo da je BIBO stabilan ako iz pretpostavke da je ulazni signal ogranien, sledi da e i izlazni signal takoe biti ogranien po svojoj vrednosti. Matematiki zapisano ovaj iskaz izgleda ovako:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2t x t B B t y t B 2 (8.16) Na osnovu ove definicije zakljuujemo da je otpornik BIBO stabilan sistem jer:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2i t B B RB v t Ri t B RB = = = 1 (8.17) Meutim, za kondenzator se ne moe rei da je BIBO stabilan. To se lako i dokazuje. Pretpostavimo da je struja punjenja kondenzatora konstantna ( ) 1i t B= za i jednaka nuli za

, odnosno

0t 0t < ( ) ( )1i t B u t= , gde je ( )u t jedinina odskona funkcija. Tada je napon na njegovim

krajevima

( ) ( ) ( ) ( )111 1t t Bv t i d B u d r tC C C = = = (8.18) gde je sa jedinina usponska funkcija koja linearno raste sa vremenom i oigledno ne postoji ( )r t

2B tako da je ( )1 2B r t BC za svako t.

Invertibilni sistemi

Za sistem se kae da je invertibilan ukoliko se na osnovu izlaza ( )y t jednoznano moe odrediti njegov ulazni signal ( )x t . Drugim reima, sistem je invertibilan ako i samo ako razliiti ulazni signali generiu razliite izlazne signale. Tada moemo da generiemo takozvani inverzni sistem koji za pobudu ( )y t generie odziv ( )x t (slika 8.1)

( )x t ( )x t( )y tSistem

Inverznisistem

Slika 8.1: Ilustracija invertibilnog sistema i njegovog inverznog sistema

I otpornik i kondenzator su invertibilni sistemi. Takoe, invertibilni sistemi su i sistemi definisani relacijama (4.19) i (4.20):

( ) ( )3y t x t= (8.19) i

( ) ( )2 1y t x t 3= + + (8.20) jer se znajui funkciju ( )y t jednoznano moe odrediti pobuda ( )x t . Meutim, sistemi definisani relacijama (8.21) i (8.22) nisu invertibilni:

( ) ( )2y t x t= (8.21) i

( ) ( )( )siny t x t= (8.22) Sve navedene osobine kontinualnih sistema mogu biti znaajne za pojedine oblasti primene i analize, meutim dve najvanije osobine koje treba da zauzmu centralno mesto u analizi koja e biti sprovedena u okviru ovog kursa su linearnost i stacionarnost. Otuda e posebna panja biti posveena ovim dvema osobinama.

Pitanje 9: Linearni stacionarni kontinualni sistemi Ovakvi sistemi se uobiajeno u engleskoj literaturi oznaavaju kao LTI (Linear Time Invariant Systems) sistemima. Linearni stacionarni kontinualni sistemi se mogu predstavljati ili karakterisati na vie razliitih naina, a jedan od njih je korienjem impulsne, Dirakove funkcije. Otuda se ponovo podsetimo aproksimacije Dirakove funkcije koja je ve ranije uvedena:

( ) ( ) ( )1t u t u t = (9.1) Dalje, primetimo da se proizvoljni kontinualni signal ( )x t moe dovoljno dobro aproksimirati stepenastom funkcijom ( )x t , pri emu je aproksimacija utoliko bolja ukoliko je interval krai. Ova aproksimacija je prikazana na slici 9.1.

( )x t

( )x t

" "t0

Slika 9.1: Aproksimacija signala ( )x t signalom ( )x t Uzimajui uobzir definiciju signala ( )t relacijom (9.1), lako moemo predstaviti signal ( )x t na sledei nain:

( ) ( ) ( )k

x t x k t k=

= (9.2) Sada posmatrajmo granini proces kada tei ka nuli a primenjen na relaciju (9.2) ( ) ( ) ( )

0 0lim lim

kx t x k t k == (9.3)

Jasno je da izraz na levoj strani tei kontinualnom signalu ( )x t , meutim, na desnoj strani se nalaze granini proces pred beskonanom sumom, i kako tei nuli ta beskonana suma se pretvara u integral, tako da konano moemo napisati:

( ) ( ) ( )x t x t d = (9.4)

Ovakva je relacija ve dobijena u okviru razmatranja osobina Dirakovog impulsa i nazvana je osobinom izdvajanja signala (ili osobina pomeranja impulsne funkcije).

Sada pretpostavimo da ukoliko na ulaz sistema dovedemo kontinualnu impulsnu funkciju ( )t da se na izlazu sistema pojavi signal ( )h t koji emo zvati impulsni odziv sistema, i da nam je

ta funkcija poznata (slika 9.2).

( )t ( )h tL T Isistem

Slika 9.2: Definicija impulsnog odziva sistema ( )h t Sada moemo sa da oznaimo odziv sistema ukoliko je na njegov ulaz dovedena

aproksimacija jedinine impulsne funkcije

( )h t( )t . Kako je posmatrani sistem vremenski invarijantan,

za pobudu ( )t k odziv sistema e biti ( )h t k . Na osnovu relacije (9.22), mi smo signal ( )x t predstavili kao beskonanu sumu signala ( )t k , pa e odziv sistema na pobudu ( )x t ,

signal biti odgovarajua suma signala ( )y t ( )h t k jer je na sistem linearan a to znai da zadovoljava i svojstvo homogenosti i aditivnosti:

( ) ( ) ( )k

y t x k h t k

== (9.5)

Ako sada na poslednju jednakost primenimo granini proces:

( ) ( ) ( )0 0

lim limk

y t x k h t k

== (9.6)

na levoj strani emo imati odziv sistema ( )y t a na desnoj strani e se pojaviti integral umesto sume, pri emu e signal ( )h biti zamenjen signalom ( )h , lan k e biti zamenjen sa a samo

sa d : ( ) ( ) ( )y t x h t d = (9.7) Poslednji rezultat je izuzetno vaan, jer on kae da se odziv LTI sistema na bilo koju pobudnu (ulaznu funkciju) ( )x t moe izraunati kao konvolucija tog signala i signala koji predstavlja jedinini impulsni odziv sistema. Drugim reima:

( )h t

( ) ( ) ( )*y t x t h t= (9.8) Ovaj rezultat znai i to da je za opis sistema, analizu njegovog ponaanja i sraunavanje odziva dovoljno poznavati njegov impulsni odziv. Na osnovu osobine komutativnosti konvolucije, umesto relacije (9.7) moe se napisati i:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*y t h t x t h x t d = = (9.9) Primer 9.1: Impulsni odziv jednog sistema je

( ) ( )ath t e u t= (9.10)

Na osnovu njega sraunajmo ta e biti jedinini odskoni odziv ( )s t (pod jedininim odskonim odzivom se smatra izlaz sistema ako je njegov ulazni signal jedinina odskona funkcija ( )u t ). Na osnovu rezultata (9.9) moemo pisati:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* *s t h t u t u t h t u h t d = = = (9.11) Uzimajui u obzir osobine jedinine odskone funkcije poslednji integral postaje:

( ) ( )0

s t h t d = (9.12) Nakon smene integracione promenljive t = , dalje moemo pisati ( ) ( )ts t h d = (9.13) S obzirom na oblik definisane funkcije ( )h relacijom (9.10), odskoni odziv sistema postaje

( )0

0

0 ; 0 0 ; 00 ; 01 1; 0 ; 0 ; 0

t att a a

t tts t ee d t e t t

a a

Pitanje 10: Osobine kontinualnih LTI sistema

Kako je objanjeno u prethodnom pitanju, linearan stacionaran kontinualni sistem je u potpunosti definisan kroz njegov jedinini impulsni odziv. Meutim, zanimljivo je videti kako se osobine kauzalnosti, stabilnosti i invertibilnosti odslikavaju na ovaj odziv.

Sistem sa memorijom

Kako izlaz sistema bez memorije moe zavisiti samo od trenutnog ulaznog signala ( )y t( )x t , tada u sluaju linearnog i vremenski invarijantnog sistema, veza izmeu ulaznog i izlaznog

signala mora biti

( ) ( )y t Kx t= (10.1) gde se parametar K naziva pojaanjem sistema. U tom sluaju impulsni odziv takvog sistema bez memorije glasi

( ) ( )h t K t= (10.2) Shodno tome moemo zakljuiti da kadgod je impulsni odziv nekog sistema razliit od nule za , u pitanju je sistem sa memorijom.

( )0h t0 0t

Kauzalni sistem Kao to smo ve rekli, osobina kauzalnog sistema je da on ne moe da da odgovor na ulazni signal dok god se taj signal ne pojavi na njegovom ulazu. Dakle, odziv na dogaaj na ulazu koji se pojavio u trenutku , za kauzalni sistem, mora biti jednak nuli za svako . Shodno tome, impulsni odziv kauzalnog sistema mora biti takav da je

0t t= 0t t ( ) btpy t Ae= (11.6) lako proveravamo da ( )py t mora da zadovolji sledei uslov:

( ) ( ) ( ) 1p bt bt btpdy t ay t x t Abe aAe e bA aAdt + = + = + = (11.7) odnosno

1Aa b

= (11.8) Otuda partikularno reenje glasi:

( ) 1 ,btpy t e ta b 0= > (11.9) Da bismo dobili signal ( )hy t homogene diferencijalne jednaine ( ) ( ) 0h hd y t ay tdt + = (11.10) pretpostavimo reenje u obliku:

( ) sthy t Ke= (11.11) odakle smenom u (1.10) dobijamo uslov

0st stsKe aKe+ = (11.12) odnosno

s a= (11.13) Tako da homogeno reenje postaje

( ) athy t Ke= (11.14) uz jo uvek neodreenu vrednost parametra K. Kombinujui partikularno i homogeno reenje za

, dobijamo oblik izlaznog signala 0t > ( ) 1 ;bt aty t e Ke t

a b 0= + > (1.15)

Da bismo odredili vrednost konstante K, potrebno je da znamo vrednost (takozvani poetni uslov). Smenom u (11.15) dalje moemo pisati

( )0 Iy =Y

( ) 10 Iy a b K Y= + = (11.16) odnosno

1IK Y a b= (11.17)

pa nae konano reenje za postaje 0t > ( ) ( )1 ;at bt atIy t Y e e e ta b = + > 0 (11.18)

Za poznato nam je da je ulazni signal jednak nuli 0t < ( ) 0x t = , pa reenje poetne diferencijalne jednaine mora biti jednako reenju homogene diferencijalne jednaine, odnosno

( ) ( ) ;athy t y t Ke t 0= = ( ) ( ) ( )1at bt atIy t Y e e e u ta b = + (11.21) pri emu je i uslov za trenutak ispotovan voenjem rauna o poetnom uslovu. 0t = Primetimo da je za a razlomak u (1.21) nedefinisan, jer dolazi do deljenja sa nulom. Da bismo primenom L'Hopital-ovo pravilo uvedimo oznaku

b=

( ) bt atf b e e = (11.22) i

( )g b a b= (11.23) Kako je

( ) ( )' ; 'btf b te g b 1= = a

(11.24)

u graninom procesu kada b , dobija se ( )( )

( )( )''

atf a f a teg a g b

= = (11.25)

odnosno za sluaj , odziv naeg sistema glasi a b= ( ) ( )at atIy t Y e te u t = + (11.26) Primetimo takoe da je u sluaju nultog poetnog stanja sistema ( )0IY = odziv sistema jednak ( ) ( ) ( )1 bt atzsy t e e u ta b = (11.27) Ovakav odziv se zove odziv iz nultog stanja ili odziv relaksiranog sistema. U suprotnom, da je postojao samo poetni uslov a da je uzlazni signal jednak nuli iY ( ) 0x t = , tada bi odziv sistem bio ( ) atzi Iy t Y e= (11.28) Ova vrsta odziva se naziva odziv na poetne uslove. Oigledno je da se ukupni odziv sistema moe napisati kao zbir odziva relaksiranog sistema i odziva na poetne uslove:

( ) ( ) ( )zs ziy t y t y t= + (11.29) Ne treba poistoveivati ove dve vrste odziva sa partikularnim i homogenim reenjem diferencijalne jednaine, jer oni u optem sluaju nisu jednaki. Meutim, ralaniti odziv sistema na odzive ( )zsy t i je vrlo korisno, i tu emo injenicu esto koristiti. ( )ziy t

Ovde je potrebno jo dodati jedan komentar. Logino je da oekujemo da sistem koji je opisan linearnim diferencijalnim jednainama bude linearan. Meutim, to nije tano uvek tano. Naime, ako pretpostavimo da je ulaz u signal ( ) 0x t = , tada e odziv sistema biti koji u optem sluaju nije nula. To automatski znai da nee biti zadovoljen uslov homogenosti (k puta vei ulaz nee generisati k puta vei izlaz), pa sistem nije linearan. Meutim, takav sistem e biti inkrementalno linearan. Ukoliko je odziv

( )ziy t

( )ziy t jednak nuli (a to se deava ako je poetni uslov sistema jednak nuli), tada e i princip homogenosti biti zadovoljen pa e sistem biti linearan.

Primer 11.2: Posmatrajmo sledeu diferencijalnu jednainu

( ) ( ) ( )dy t ay t x tdt

+ = (11.30) u kojoj je poetni uslov

( )0 Iy Y 0= = (11.31) Za takav sistem sa nultim poetni uslovom se kae da je relaksiran. Dalje, pretpostavimo da je

( ) ( )x t u t= (11.32) U tom sluaju, reenje jednaine postaje jedinini odskoni odziv:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 aty t s t e u ta = = (11.33) Shodno vezi izmeu jedininog odskonog i jedininog impulsnog odziva, na osnovu relacije (11.33) lako sraunavamo jedinini impulsni odziv:

( ) ( ) ( )atds th t e u tdt

= = (11.34) Upravo reena diferencijalna jednaina zapravo opisuje jednostavno RC kolo prikazano na slici 11.1.

( )x t C

R

( )i t

++

( )y t

Slika11.1: RC elektrino kolo

Primenom Kirhofovog zakona moemo pisati:

( ) ( ) ( )1 tRi t i d x tC

+ = (11.35) Kako je

( ) ( )1 ty t i dC

= (11.36) i

( ) ( )dy ti t Cdt

= (11.37) diferencijalna jednaina koja opisuje ovo kolo postaje:

( ) ( ) ( )dy tRC y t xdt

+ = t (11.38) Uvodei vremensku konstantu RC = i uvodei smenu 1/a = , diferencijalnu jednainu moemo prepisati u formi

( ) ( ) ( )dy t ay t ax tdt

+ = (11.39)

to je ekvivalentno jednaini (11.30) s tom razlikom da se umesto ulaznog signala ( )x t pojavljuje signal . Dakle, impulsni odziv ovog sistema glasi ( )ax t ( ) ( ) ( )/1at th t ae u t e u t = = (11.40) Prednost ovog pristupa je da sada, kada smo odredili jedinini impulsni odziv sistema, za bilo koji oblik ulaznog napona ( )x t , moemo jednostavno sraunati izlazni napon primenom konvolucije

( )y t

( ) ( ) ( )*y t h t x t= (11.41)

Blok dijagrami Predstava sistema pomou blok dijagrama je vrlo koristan alat, ne samo u smislu jednostavnijeg razumevanja strukture sistema, ve je to alat koji u velikoj meri pomae prilikom projektovanja razliitih vrsta sistema za obradu signala ili upravljanje. Vrlo esto se ova tehnika naziva analognim modeliranjem, jer je njena osnovna namena da se princip funkcionisanja sisema prikae korienjem tri elementarna bloka a to su: sabira dva signal, mnoa signala konstantnim pojaanjem i integrator signala. ematska oznaka za ove blokove je data na slici 11.2.

( )x t

( )y t

( ) ( ) ( )z t x t y t= ++

+( )x t

K( )Kx t ( )x t ( )x d

( )y t ( )y t

Slika 11.2: ematska oznaka za elementarne blokove u blok dijagramima sistema

Usvajanjem ovakvih oznaka, mi moemo ne samo predstaviti sisteme razliitih struktura, ve ih moemo i realizovati jednostavnih elektronskim sklopovima. U kojoj meri e neko od naih praktinih reenja biti ekonomino i izvodljivo ne zavisi samo od strukture sistema koji elimo da realizujemo, ve i od poznavanja tehnike blokovskih dijagrama. Sledei primer ilustruje navedenu injenicu.

Primer 11.3: Posmatrajmo jednostavan sistem koji je opisan diferencijalnom jednainom

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2y t y t y t x t x t + = + 4 (11.42) gde je radi jednostavnijeg pisanja usvojena oznaka ( ) ( ) ( ) ( )2 2/ , /y t d y t dt y t dy t dt= = . Ukoliko elimo da nacrtamo ovaj sistem u blokovskoj formi, ili da ga realizujemo pomou elementarnih elektronskih komponenti, moemo postupiti na dva naina.

Direktna realizacija: U elji da se oslobodimo izvoda u relaciji (11.42) integralimo celu jednainu dva puta. Dobijenu jednainu moemo zapisati u formi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22y t y t y t x t x t + = + 4 (11.43) gde je radi jednostavnijeg pisanja za viestruki i-ti integral signala ( )y t uvedena oznaka ( )iy t i analogno tome za signal ( )x t . Ako poslednju relaciju napiemo u formi ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 22y t y t y t x t x t= + + 4 (11.44) blokovska reprezentacija direktno sledi (zbog toga se i zove direktna realizacija) i prikazana je slikom 11.3.

( )x t ( )y t

( )1y t

( )2y t

( )1x t

( )2x t

2

14

++ + +

Slika 11.3: Direktna realizacija sistema

Primetimo da nam je za direktnu realizaciju sistema potrebno etiri integratora, dva pojaavaa, jedan invertor i jedan sabira. A pogledajmo sada drugi pristup u blokovskoj predstavi, odnosno realizaciji, koji se naziva kanonina realizacija.

Kanonina realizacija : Ako ponovo krenemo od relacije (11.42) ali je prepiemo na sledei nain:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 12 4 2

2 4

t

t

y t y t y t x t x t y x y x dt

y x y x d d

= + + = + + 4 = + + +

(11.45)

Poslednja relacija govori o tome da se signal ( )y t moe dobiti kao izlaz iz integratora kome je na ulaz doveden zbir tri signala , ( )2y t ( )x t i izlaz iz integratora koji na ulazu ima zbir dva signala

i ( )y t ( )4x t . Odgovarajua blokovska realizacija je prikazana na slici 11.4.

4( )y t

21

( )x t+

+++

+

Slika 11.4: Kanonina blok reprezentacija sistema

Primetimo da reprezentacije na slikama 11.3 i 11.4 predstavljaju iste sisteme, meutim za realizaciju sistema prikazanog slikom 11.4. potrebna su nam dva integratora, dva pojaavaa, jedan invertor i dva sabiraa. Oigledno, sa stanovita integratora (a kasnije e biti objanjeno zato su integratori najvaniji elementi u ovakvoj blokovskoj predstavi) kanonina realizacija ima drastinu prednost u odnosu na direktnu.

Pitanje 12: Pregled i osobine diskretnih sistema

Sve osobine koje smo naveli kao osnovne karakteristike kontinualnih sistema imaju odgovarajuu interpretaciju u domenu diskretnih sistema. Ove osobine imaju znaajne posledice po ponaanje sistema i zbog toga e biti data njihova odgovarajua matematika interpretacija.

Sistemi sa memorijom

Za diskretni sistem kaemo da ima memoriju ukoliko njegov odziv [ ]y n u nekom trenutku ne zavisi samo od ulazan u tom istom trenutku 0n n= [ ]0x n ve i od vrednosti ulaznog signala u

nekim drugim vremenskim trenucima. Ti drugi vremenski trenuci mogu pripadati, generalno govorei, i prolosti i budunosti. U protivnom, ukoliko nam je za sraunavanje odziva u trenutku

dovoljno da znamo vrednost ulaznog signala u tom istom trenutku 0n n= [ ]0x n , za sistem kaemo da je bez memorije.

Trivijalan primer sistema bez memorije je sistem opisan sledeom relacijom:

[ ] [ ]20y n x n= 0 (12.1) dok je primer, takozvanog, akumulatora:

(12.2) [ ] [ ]00 nn

y n x n=

= tipian primer sistema sa memorijom.

Kauzalnost sistema

Diskretni sistem je kauzalan ukoliko njegov odziv [ ]y n u proizvoljnom trenutku 0n n= zavisi od vrednosti [ ]x n za . Drugim reima, ako odziv sistema u sadanjem trenutku zavisi od ulaza sistema u sadanjem i prolim trenucima, a ne od ulaza u budunosti, sistem je kauzalan. Dakle, realan sistem mora biti kauzalan, jer ga drugaije nije mogue realizovati.

0n n

Istini za volju, u obradi signala se esto pojavljuje potreba za nekauzalnim sistemima, meutim oni se mogu primeniti iskljuivo u takozvanom off-line postupku, kada su svi odbirci signala ve zabeleeni, i kada se nad njima naknadno vri obrada. Jedan od takvih filtara je takozvano centrirano prozorsko usrednjavanje definisano sledeom relacijom:

(12.3) [ ] [ ]00

2

02

n

n ny n x n

+

= =

Linearni diskretni sistemi Analogno kao kod kontinualnih signala, za diskretni sistem kaemo da je linearan ukoliko zadovoljava dva svojstva: aditivnost i homogenost.

Sistem zadovoljava uslov aditivnosti ukoliko na pobudu [ ] [ ]1 2x n x n+ generie odziv [ ] [ ]1 2y n y n+ , gde su [ ]1y n i [ ]2y n pojedinani odzivi na pobude [ ]1x n i [ ]2x n , respektivno. Sa

druge strane, za sistem kaemo da zadovoljava uslov homogenosti ukoliko za pobudu [ ]ax n generie odziv [ ]ay n , gde je sa [ ]y n obeleen odziv sistema za pobudu [ ]x n . Svojstva aditivnosti i homogenosti su istovremeno sadrana u principu superpozicije koji kae da sistem zadovoljava ovaj princip ukoliko za pobudu [ ] [ ]1 1 2 2a x n a x n+ generie odziv

[ ] [ ]1 1 2 2a y n a y n+ gde su [ ]1y n i [ ]2y n pojedinani odzivi na pobude [ ]1x n i [ ]2x n , respektivno.

Vremenski invarijantni sistemi Vremenski invarijantni diskretni sistemi podrazumevaju da se pomeraj u ulaznom signalu direktno preslikava u pomeraj u odzivu sistema. Drugim reima, ako je odziv sistema na pobudu [ ]x n bio [ ]y n , tada e odziv na pobudu [ ]0x n n biti [ ]0y n n . Ako je ovo tvrenje tano za bilo

koji ulazni signal i bilo koji pomeraj, sistem je vremenski invarijantan.

Stabilnost diskretnih sistema Za diskretni sistem kaemo da je stabilan u smislu ogranien ulaz- ogranien izlaz (BIBO stabilnost) ukoliko za proizvoljni pobudni signal koji zadovoljava uslov

[ ] 1x n B (12.4) dobijamo odziv [ ]y n ogranien po svojoj amplitudi, odnosno [ ] 2y n B (12.5) za konane konstante 1B i 2B .

Primer BIBO stabilnog sistema je takozvano jedinno kanjenje:

[ ] [ ]1y n x n= (12.6) Jednostavno se dokazuje da je ovakav sistem BIBO stabilan:

[ ] [ ] 11y n x n B= (12.7) dok je primer nestabilnog sistema takozvani sabira (ili akumulator)

(12.8) [ ] [ ]nk

y n x k=

= Ako pretpostavimo da smo na ulaz sabiraa doveli jedininu odskonu funkciju koja je ograniena, na izlazu dobijamo

(12.9) [ ] [ ] [ ]nk

y n u k r n=

= =gde je sa [ ]r n oznaena jedinina diskretna usponska funkcija i koja tei beskonanosti kako promenljiva n raste.

Invertibilni sistemi Kao i za sluaj kontinualnih sistema, za diskretni sistem kaemo da je invertibilan ukoliko njegov ulazni signal [ ]x n jednoznano moe biti odreen na osnovu njegovog izlaza [ ]y n . Drugim reima, sistem je invertibilan ukoliko razliiti ulazi generiu razliite izlaze. Dakle, ako je sistem invertibilan moe se odrediti njegov inverzni sistem koji za ulaz [ ]y n generie odziv [ ]x n , kako je to prikazano na slici 12.1.

[ ]x n [ ]x n[ ]y nSistem

Inverznisistem

Slika 12.1: Primer sistema i njegove inverzije

Primer invertibilnog sistema je diskretni sabira ili akumulator. Njegov inverzni sistem je opisan sledeom relacijom:

[ ] [ ] [ ]1x n y n y n= (12.10)

Pitanje 13: Diskretni linearni vremenski invarijantni (LTI) sistemi Sve napred navedene osobine diskretnih sistema su vane, meutim posebnu panju zahtevaju osobine linearnosti i vremenske invarijantnosti. Zbog toga e sistemima koji imaju ova dva svojstva biti posveeno vie prostora i kao i u sluaju kontinualnih sistema bie koriena oznaka LTI (Linear Time Invariant) sistem. Jedan od fundamentalnih naina da se ovakav sistem opie jeste njegov impulsni odziv, jer e se kasnije pokazati da odziv sistema na bilo koju pobudu moe da se srauna kao konvolucija impulsnog odziva i te pobude.

Da bismo doli do ovog rezultata poimo od proizvoljnog pobudnog signala [ ]x n . Uzmimo za primer signal

[ ] ( ) [ ] [ ]( )2 1x n n u n u n= + + 3 (13.1) prikazan slikom 13.1.

[ ]x n

1 21

32

4

n Slika 13.1: Primer pobudnog signala

Ukoliko se tako dogovorimo, signal [ ]x n se moe napisati i u obliku zbir jedinnih impulsa: [ ] ( ) [2

12

k]x n k n

=k= + (13.2)

Zapravo, bilo koji pobudni signal se moe napisati u formi zbira jedininih impulsnih signala:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 1 1 0 1 1 2 2x n x n x n x n x n x n = + + + + + + + +" " (13.3) ili u kompaktnijoj formi:

[ ] [ ] [ ]k

x n x k n=

k= (13.4) Pretpostavimo sada da smo na ulaz LTI diskretnog sistema doveli kao pobudu jedininu impulsnu funkciju [ ] [ ]x n = n . Takoe pretpostavimo da se na izlazu sistema pojavio odziv [ ]h n . Ovaj emo signal zvati jedinini impulsni odziv sistema.

[ ]n [ ]h nL T Isistem

Slika 13.2: Definicija jedininog impulsnog odziva sistema

Kako je na sistem vremenski invarijantan, to znai da e on za pomerenu pobudu [ ] [ ]x n n= k generisati pomerni odziv [ ]h n k . Istovremeno, na je sistem linearan pa onda vai i princip superpozicije, to znai da za pobudu

[ ] [ ]kk

x n a n k= (13.5) sistem treba da generie odziv

[ ] [ ]kk

y n a h n k= (13.6) Tako e na sistem sa impulsnim odzivom [ ]h n za pobudu definisanu signalom (13.2) generisati odziv

[ ] ( ) [21

2k

y n k h n k=

]= + (13.7)

Do rezultata smo doli primenom principa superpozicije, a da konvoluciju nismo ni pomenuli. Do oekivanog rezultata emo doi ukoliko u relaciji (13.6) izvrimo smenu [ ]ka x k= , ime dobijamo relaciju (13.4) i direktno odatle dolazimo do vrlo vanog rezultata da je odziv sistema na bilo koju pobudu jednak konvoluciji impulsnog odziva i pobude:

(13.8) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*k

y n x k h n k x n h n

== =

Kako je konvolucija komutativna operacija, poslednji izraz se moe po potrebi napisati i u sledeoj formi

(13.9) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*k

y n h k x n k h n x n

== =

Primer 13.1: Sraunajmo odziv sistema iji je impulsni odziv

[ ] [ ] [ ]h n u n u n N= (13.10) na pobudu

[ ] [ ] [ ]1x n n n = (13.11) Ovi signali su prikazani na slici 13.3.

[ ]x n1

n

1

10

[ ]h n1

n0

"

1N

Slika 13.3: Pobuda i impulsni odziv sistema

Do reenja se jednostavno moe doi na dva naina. Prvi je principom superpozicije. Naime, ako je pobuda sistema predstavljena algebarskim zbirom dva imulsna signala

[ ] [ ] [ ]1x n n n = (13.12) onda je odziv sistema jednak zbiru dva pomerena impulsna odziva:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )1 1y n h n h n u n u n N u n u n N= = 1 (13.13) Poslednji izraz se moe napisati u formi:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]1 1y n u n u n u n N u n N n n N = = (13.14) Do potpuno identinog rezultata se moglo doi primenom konvolucije:

(13.15)

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1

0 1

11 1

1 1

N n

k k k n Nn n n N n n

m n N m m m m

y n h k x n k x n k x m

m m m m m m

u n u n u n N u n N n n N

= = = +

= + = = = =

= = =

= = += + =

1N

Ovaj rezultat je prikazan na slici 13.4.

[ ]y n1

n

1

N0

Slika 13.4: Odziv sistema

Primer 13.2: Sraunajmo odskoni odziv diskretnog LTI sistema iji je impulsni odziv dat:

[ ] [ ]nh n a u n= (13.16) Polazei od injenice da je odziv linearnog stacionarnog diskretnog sistema na bilo koju pobudu jednak diskretnoj konvoluciji te pobude i impulsnog odziva, moemo pisati:

(13.17) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]*k

s n u n h n u k h n k

== =

Uzimajui u obzir osobine jedinine odskone funkcije poslednja suma se moe pojednostaviti:

[ ] [ ]0k

s n h n k

== (13.18)

ili nakon smene promenljivih n k m = (13.19) [ ] [ ]n

ms n h n

==

Poslednja relacija definie vezu izmeu jedininog odskonog i jedininog impulsnog odziva diskretnih sistema. Dakle, umesto integrala kod kontinualnih sistema, kod diskretnih sistema se odskoni odziv definie preko sume odbiraka impulsnog odziva, i obrnuto, umesto izvoda kod kontinualnih sistema, impulsni odziv se moe sraunati kao konana jednokorana razlika odskonog odziva:

[ ] [ ] [ ]1h n s n s n= (13.20) U naem sluaju gde je impulsni odziv definisan relacijom (13.6), odskoni odziv postaje:

[ ] [ ] [ ] [ ]10

0 ; 01

; 0 1

nn nm n

mm m

m

nas n h m a u m u n

a n a

+

= ==

Na ovom mestu moemo definisati impulsne odzive nekih esto korienih a jednostavnih diskretnih sistema.

Jedinino kanjenje Rad sistema koji se naziva jedininim kanjenjem je opisan sledeom relacijom:

[ ] [ ]1y n x n= (13.22) Samim tim je impulsni odziv jedininog kanjenja:

[ ] [ ]1h n n= (13.23) Jedinino prednjaenje Potpuno analogno sa jedininim kanjenjem, relacija koja definie rad ovog diskretnog sistema je

[ ] [ ]1y n x n= + (13.24) sa odgovarajuim impulsnim odzivov

[ ] [ ]1h n n= + (13.25) Primetimo da je sistem jedininog prednjaenja nekauzalan.

Akumulator ili sabira

Rad akumulatora ili sabiraa je sadran u sledeoj vezi izmeu ulaznog signala [ ]x n i njegovog izlaza [ ]y n : (13.26) [ ] [ ]n

ky n x k

==

Ukoliko umesto signala [ ]x k upotrebimo diskretni impuls, odziv sistema postaje impulsni odziv: (13.27) [ ] [ ] [ ]n

kh n k u n

== =

dakle, jedinina odskona funkcija.

Pitanje 14: Osobine diskretnih linearnih vremenski invarijantnih (LTI) sistema

Po analogiji sa kontinualnim sistemima, cilj nam je da se kroz ovo pitanje analiziraju svojstva impulsnih odziva koji zadovoljavaju ili ne zadovoljavaju osobine kao to su kauzalnost, posedovanje memorije, stabilnost i invertibilnost.

Sistemi sa memorijom Linearni, vremenski invarijantan diskretni sistem bez memorije je definisan relacijom

[ ] [ ]y n Kx n= (14.1) pa je samim tim njegov impulsni odziv

[ ] [ ]h n K n= (14.2) Zakljuujemo da ako impulsni odziv nekog sistema zadovoljava uslov da je [ ]0 0h n za neko

, da je u pitanju sistem sa memorijom. 0 0n

Kauzalni sistem Kauzalnost podrazumeva da sistem ne moe da generie odgovor, odnosno odziv, pre nego to se pobuda pojavi na njegovom ulazu. Dakle, impulsni odziv [ ]h n nekog kauzalnog sistema mora da zadovolji uslov:

[ ] 0h n za n 0= < (14.3) U sluaju kauzalnih sistema, konvolucija kojom se sraunava odziv sistema [ ]y n na proizvoljnu pobudu [ ]x n moe da se napie u pojednostavljenoj formi: (4.4) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

0*

n

k k ly n h n x n h k x n k h k x n k x l h n l

= = == = = =

Iz poslednje jednakosti se jednoznano vidi da na vrednost odziva [ ]y n utiu iskljuivo odbirci signala [ ]x l za . l n

Kaskadna veza Pod kaskadnom vezom dva diskretna signala podrazumevamo takvu vezu u kojoj je izlaz prvog sistema istovremeno ulaz drugog, kako je to prikazano na slici 14.1.

[ ]x n [ ]w n [ ]y n[ ]1h n [ ]2h n

Slika 14.1: Kaskadna veza dva linearna diskretna sistema

Na osnovu slike 14.1. odziv [ ]y n moemo napisati u sledeoj formi: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 1* * *y n w n h n x n h n h n = = 2 (14.5)

U kretne konvolucije, poslednji zimajui u obzir osobine komutativnosti i asocijativnost operacije disizraz se moe napisati i u sledeoj formi:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1* * * *y n x n h n h n x n h n h n = = (14.6) 2 2 1 to znai da u kaskadnoj vezi LTI sistemi mogu menjati svoja mesta. D

kaskadna veza dva LTI sistema moe ekvivalentno predstaviti jednim LTI sistemom koji ima rugi zakljuak je da se

impulsni odziv jednak konvoluciji impulsnih odziva poetnih sistema u kaskadi. Ove dve ekvivalentne strukture su prikazane na slici 14.2.

[ ]x n [ ]y n[ ]1h n[ ]2h n [ ]x n [ ]y n[ ] [ ]1 2*h n h n

Slika 14.2: Strukture ekvivalentne kaskadnoj vezi sa slike 5.6

istema se podrazumeva veza dva sistema koji imaju

u se njihovi odzivi sabiraju i formiraju zajedniki izlaz, kako je to

Paralelna veza dva LTI sistema Pod paralelnom vezom dva LTI szajedniki ulazni signal i pri emprikazano na slici 14.3.

[ ]1h n[ ]2h n

[ ]x n [ ]y n++

Slika 14.3: Paralelna veza dva LTI sistema

Na osnovu slike 14.3, moemo izraunati odziv sistema

[ ]y n na sledei nain: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 2* *y n x n h n x n= + n h (14.7)

zimajui u obzir osobinu distributivnosti operacije konvolucije ni nain:

U ad sabiranjem, poslednji izraz se moe napisati na slede

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2*y n x n h n h n = + to nam govori da se paralelna veza dva LTI sistema ekvivalen

iji je impulsni odziv jednak zbiru impulsnih odziva sistem

(14.8)

tno moe predstaviti kao jedan LTI sistem a u paraleltnim granama (slika 14.4).

[ ] [ ] [ ]1 2h n h n h n= +[ ]x n [ ]y n

Slika 14.4: Sistem ekvivalentan paralelnoj vezi dva LTI sistema

Stabilnost sistema se vrlo jednostavno moe proveriti pomou

. Pretpostavimo da je ulazni signal

BIBO stabilnost diskretnog LTI sistemimpulsnog odziva

a [ ]h n [ ]x n takav da zadovoljava sledei

uslov:

( ) [ ] 1n x n B (14.9) Tada se apsolutna vrednost odziva [ ]y n moe napisati u sledeoj formi:

[ ] [ ] [ ]y n x k h n k= (14.10) k=

Znajui da je apsolutna vrednost zbira uvek manja ili jednaka od zbira apsolutnih vrednosti o sledeu nejednakost:

sabiraka, dobijam

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1k k k= = =

Uslov da na sistem bude BIBO stab

y n x k h n k x k h n k B h n k

= (14.11) ilan jeste da beskonana suma u izrazu (14.11) bude

ena, odnosno

ograni

( ) [ ]k=

G h k G

(14.12) lutna vrednost odziva ograniena: U tom sluaju je i apso

[ ] 1y n B G B2 = (14.13) em bude BIBO stabilan jeste da njegov e zadovoljena relacija (14.12).

Drugim reima, potreban i dovoljan uslov da LTI sistimpulsni odziv bude apsolutno sumabilan, odnosno da bud

Primer 5.3: Impulsni odziv jednog diskretnog LTI sistema glasi:

[ ] [ ]nh n a u n= (14.14) a je ovaj sistem BIBO stabilan. Lako moemo proveriti pod kojim uslovima, odnosno za kakvo

Ako, shodno relaciji (14.12) sraunamo sumu

[ ] [ ]0

lim1kk k k

h k a u k aa= = =

= = = 1k

k ak

Oigledno je da poslednja granina vrednost postoji, samo pod uslovom da je

(14.15) 1a < i tada ona

nosi iz

[ ] 1 ; 11k

h k aa=

=

Pod tom pretpostavk puls, na njegovom om, ako na ulaz originalnog sistema dovedemo diskretni imizlazu e se pojaviti impulsni odziv [ ]h n a na izlazu iznverznog sistema, iji je impulsni odziv oznaen sa [ ]Ih n e se pojaviti ponovo retni impuls. Tada moemo pisati:

disk

=

= = (14.17) Drugim reima, da bi LTI diskretni sistem bio invertibilan, potrebno je da postoji signal

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]* I Ik

h n h n h k h n k n

[ ]Ih n koji

itanje 15: Diferencne jednaine i njihova primena

Uloga diferencnih jednaina u domenu diskretnih sistema je potpuno analogna ulozi

k kk k

n k= =

zadovoljava relaciju (14.17) i to e biti impulsni odziv njegovog inverznog sistema. Postupak za nalaenje impulsnog odziva inverznog sistema, ako on postoji, moe biti vrlo sloen, meutim i ukoliko on postoji i mi ga izraunamo, vrlo esto taj inverzni sistem nema neke od nama vanih osobina kao to su kauzalnost i stabilnost.

P

diferencijalnih jednaina u prostoru kontinualnih sistema. Opta forma linearne diferencne jednaine N-tog reda sa konstantnim koeficijentima jeste

[ ]N Ma y n k b x[ ]0 0

= (15.1) je diferencijalne jednaine se uvek moe napisati u obliku: Opte reen

[ ] [ ] [ ]p hy n y n y n= + (15.2) de je sa [ ]py n oznaeno partikularno reenje koje zadovoljava jednainu (15.1), a sa [ ]hy n je g

oznaeno homogeno reenje koje zadovoljava diferencnu jednainu

[ ] 0N a y n k0

kk=

= (15.3) emu se egzaktna forma homogenog reenja dobija na osnovu dodatnih popri etnih uslova signala

[ ]y n .

rimer 15.1: Posmatrajmo diferencnu jednainu prvog reda P

[ ] [ ] [ ]1y n ay n x n = (15.4) de jeg [ ]x n kauzalni signal

[ ] [ ]nx n b u n= (15.5) onovo emo reenje diferencne jednaine traiti posebnP o za 0n i za 0n < . Pretpostavimo da je

partikularno reenje [ ]py n za 0n u obliku: [ ] npy n Ab= (15.6)

menom u relaciju (15.4) dobijamo: n

S1n nAb aAb b = (15.7)

odnosno

bAb Aa b Ab a

= = (15.8) akle, partikularno reenje za nenegativno n glasi: D

[ ] 1nby n + ; 0p nb a= (15.9) ogeno reenje Hom [ ]hy n treba da zadovolji relaciju:

[ ] [ ]1 0h hy n ay n = (15.10) svojmo ovo reenje u obliku: U

[ ] nhy n Kc= (15.11) de posle zamene u (15.10) dobijamo:

n

g

n 1 0 0Kc aKc Kc aK c a = = = (15.12) akle, homogeno reenje glasi: D

[ ] nhy n Ka= (15.13) ombinujui partikularno i homogeno reenje za nenegaK tivno n, dobijamo

[ ] 1 ; 0n nby n Ka n+b a

= + (15.14)

o odredili nepoznatu konstantu K potreban nam je jedan poDa bism etni uslov, recimo [ ]1y Yi = . Tada moemo pisati:

[ ] [ ] [ ]0 1 1 0 1I by ay y aY b a = = + = + K (15.15) dnosno o

; 0iaK aY n

b a= (15.16)

onano reenje za nenegativno n postaje K1 1

1 , 0n n

n [ ] iy n Y a= b a nb a+ +

+ + (15.17)

a originalna diferencna jednaina postaje homogena j [ ] 0x n = . Dakle, za 0n < Z er je 0n , ili kompleksna sinusoida ( ) 0j tx t Ae = (17.3) gde je A kompleksni broj. Oba ova signala su periodina sa periodom 02 /T = . Vrlo esto se u literaturi sree i takozvani harmonini signal definisan sledeom relacijom:

( ) 0jk tkx t e = (17.4) gde je k element skupa celih brojeva, i ovaj signal ima periodu

0

2Tk= ako je k razliito od nule

(u sluaju k=0 signal ( )kx t je konstantan, takozvani DC signal i svaka realna vrednost T zadovoljava relaciju (17.1)). Kako smo u prethodnom pitanju zakljuili, svi eksponencijalni signali, realni ili kompleksni, su sopstvene funkcije LTI sistema. To znai da je i harmonini signal (17.16) takoe sopstvena funkcija.

Posmatrajmo sada harmonini ili trigonometrijski red

( ) 0jk tkk

x t a e

== (17.5)

sa kompleksnim koeficijentima . Komponente ovog reda koje se dobijaju za se nazivaju osnovnim ili fundamentalnim komponentama reda, dok se sabirci za

ka 1k = 2k nazivaju harmoninim

komponentama ili viim harmonicima. Poto je perioda osnovne komponente 10

2T = ceo multipl

periode k-tog harmonika 0

2kT k

= , zakljuujemo da je trigonometrijski red (17.6) periodian sa

periodom . Osnovna ideja od koje je krenuo Fourier je bila da se svaki periodian signal moe predstaviti harmoninim ili trigonometrijskim redom u formi koja je identina ili slina relaciji (17.5). P.L. Dirichlet je kasnije ovu pretpostavku i dokazao za sve osim za ogranien broj, takozvanih devijantnih sluajeva. Otuda se reprezentacija periodinog signala kakva je data relacijom (17.17) naziva Fourier-ovim redom, a uslovi pod kojima jednakost u ovoj relaciji vai se nazivaju Dirichlet-ovim uslovima.

1T

Primer 17.1: Poimo od vrlo jednostavne realne sinusoide

( ) ( )0cosx t t= (17.6) Imajui u vidu Euler-ovu predstavu kompleksnih brojeva, ova realna sinusoida se moe napisati preko kompleksnih sinusoida u formi

( ) ( 012 j t j tx t e e = + )0 (17.7) Oigledno je forma (17.7) zapravo Fourier-ov red pri emu je

1 112

0 1k

a a

a za k

= ==

(17.8)

Slino tome, ukoliko posmatramo realni sinusni signal

( ) ( )0sinx t t= (17.9) opet moemo doi do Fourier-ovog reda na sledei nain:

( ) ( )0 012 j t j t jk tkkx t e e a ej 0 =

= = (17.10) gde je