Embed Size (px)
Citation preview
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -
ĐỖ THỊ HƯỜNG
VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIANHILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -
ĐỖ THỊ HƯỜNG
VỀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA
CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIANHILBERT
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60460102
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - 2014
Mục lục
1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trongkhông gian Banach 51.1 Toán tử tích phân Volterra và ứng dụng cho các PTVP tuyến tính
trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần
nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương trình vi
phân tuyến tính có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính có nhiễu trong không gian Banach . . . . . . . . 111.2.2 Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa . . . . . . . . 151.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được . . . . . . . . . . 20
2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân trong khônggian Hilbert 232.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với dạng tamgiác trên trong tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh
và tôpô đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Khái niệm tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên . . . . . . . 322.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam
giác trên trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 342.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Hilbert . . . . 372.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert . . . . 37
1
2.3.2 Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn địnhnghiệm của một lớp các PTVP trong không gian Hilbert . 40
2.4 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2
Mở Đầu
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiêm của các phương trình vi phân(PTVP) trong không gian Hilbert có ý nghĩa hết sức quan trọng trong lý thuyếtđịnh tính các phương trình vi phân và trong các bài toán ứng dụng (xem [3]).Trong thời gian gần đây, lý thuyết PTVP trong không gian Banach nói chungvà PTVP trong không gian Hilbert được phát triển khá mạnh mẽ vì nó đáp ứngđược nhiều đòi hỏi đặt ra trong các mô hình ứng dụng . Đặc biệt là các bài toánmô tả bằng toán học các hiện tượng chuyển động của vật thể, quá trình sinhtrưởng và phát triển của các loài sinh vật (xem[6]). Trong bản luận văn này,tôi sẽ trình bày lại một cách hệ thống một số kết quả liên quan tới sự tồn tạinghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và tính chất nghiệm củachúng . Phương pháp nghiên cứu cơ bản của tôi là sử dụng tính chất của toántử Volterra kết hợp với việc sử dụng chuẩn Bielecki trong không gian Hilbert đểnghiên cứu sự tồn tai duy nhất nghiệm của các PTVP ở dạng phương trình toántử trong không gian hàm . Để nghiên cứu tính chất nghiệm của PTVP trongkhông gian Hilbert, tôi đã sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất của Lyapunovcho các PTVP dạng tam giác trên trong không gian Hilbert . Trong phần cuốicủa luận văn, tôi đã trình bày lại phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứutính ổn định của các PTVP phi tuyến và một số ví dụ ứng dụng .
Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương: chương một trình bày dáng điệutiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không gian Banach, chươnghai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong khônggian Hilbert và một số ví dụ áp dụng.
Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. ĐặngĐình Châu. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đãdành nhiều công sức và thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việchoàn thành bản luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban lãnh đạo và các thầy côtrong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội về
3
các kiến thức và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tậptại trường. Đồng thời, tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học đã tạo những điềukiện thuận lợi trong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn.
Tôi muốn gửi lời cám ơn tới các thầy và các bạn trong seminar Phương trìnhvi phân về những sự động viên và những ý kiến trao đổi quí báu đối với bảnthân tôi trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa vữngchắc về tinh thần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập để tôi cóthể hoàn thành xong bản luận văn này .
Mặc dù, tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Đỗ Thị Hường
4
Chương 1
Dáng điệu tiệm cận nghiệm củaphương trình vi phân trong khônggian Banach
1.1 Toán tử tích phân Volterra và ứng dụng cho các PTVP
tuyến tính trong không gian Banach
Giả sử (X, ||.||) là một không gian Banach. Xét PTVP
dx
dt= f(t, x)
x(t0) = x0
(1.1)
trong đó t ∈ [a; b], x : [a, b] → X là hàm (trừu tượng) phải tìm, hàm f : [a, b]×X →
X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz tức là tồn tại L : [a, b] → R+ khả tích địaphương sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ L(t)||x− y|| (1.2)
Để chứng minh định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm của (1.1) sau đây chúngta sẽ trình bày khái niệm toán tử tích phân Volterra và chuẩn Bielecki
Định nghĩa 1.1. Toán tử Volterra
Toán tử tích phân Volterra là toán tử V : C([a, b],X) → C([a, b],X) xác định bởi
V (x)(t) =
t∫
a
f(t, s, x(s))ds
Trong đó x ∈ C([a, b],X) là hàm trừu tượng cần tìm, V(x) là toán tử tích phân
Volterra
5
Kí hiệu C([a, b],X) là tập hợp tất cả các hàm liên tục từ [a; b] vào X.Kí hiệu chuẩn Bielecki
||x(t)||B,p = supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds||x(t)||, p > 0
Ta dễ dàng thấy rằng nếu x = x(t), t ∈ [a; b] là nghiệm của (1.1) thì
x(t) = x0 +
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ (1.3)
Kí hiệu V [x(t)] = x0 +t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ
Khi đó , ta có toán tử tích phân Volterra V : C([a, b],X) → C([a, b],X)
Bổ đề 1.1. Trong không gian C([a, b],X) toán tử Volterra V : C([a, b],X) →
C([a, b],X) thỏa mãn điều kiện sau
||V [x(t)]− V [y(t)]|| ≤1
p||x(t)− y(t)||
trong đó t ∈ [a; b], p > 1
Chứng minh. Ta có
||V [x(t)]− V [y(t)]|| = ||x0 +
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ − (x0 +
t∫
t0
f(τ, y(τ))dτ)||
= ||
t∫
t0
[f(τ, x(τ))− f(τ, y(τ))]dτ ||
Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có
||V [x(t)]− V [y(t)]|| ≤
t∫
t0
L(τ)||x(τ)− y(τ)||dτ
6
Do đó
||V (x)− V (y)||B,p = supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds||V (x)(t)− V (y)(t)||
= supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds||
t∫
a
[f(t, s, x(s))− f(t, s, y(s))]ds||
≤ supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
||f(t, s, x(s))− f(t, s, y(s)||ds
≤ supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
L(s)||x(s)− y(s)||ds
= supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
L(s)ep
s∫
a
L(u)du[e−p
s∫
a
L(u)du||x(s)− y(s)||]ds
≤ ||x− y||B,p supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
L(s)ep
s∫
a
L(u)duds
≤1
p||x− y||B,p
Giả sử G là một miền mở trong X và f : [a, b] × G → X, (t0, x0) ∈ G0 là hàmliên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2).
Xét hình hộp Q = (t, x)/t0 − α ≤ t ≤ t0 + α, ||x− x0|| ≤ β, trong đó α, β đủnhỏ để [t0 − α; t0 + α] ⊂ [a; b], G0 ⊂ G.
Xét tương ứng V : C([t0 − α; t0 + α], G0) → C([t0 − α; t0 + α], G0).
Đặt V [x(t)] =t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ .
Bổ đề 1.2. a) Tương ứng V là một ánh xạ từ ([t0−α; t0+α], G0) vào ([t0−α; t0+
α], G0).
b) ||V [x(t)]− V [y(t)]|| ≤1
p||x(t)− y(t)||
7
Chứng minh.
||V [x(t)]− V [x0]|| = ||x0 +
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ − x0||
= ||
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ ||
Sử dụng điều kiện Lipchitz (1.2) ta có
||V [x(t)]− V [x0]|| ≤
t∫
t0
L(τ)||x(τ)||dτ
Chọn α =1
L0với sup
a≤t≤b
|L(t)| ≤ L0 < +∞
Do đó
||V (x)− V (y)||B,p = supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds||V (x)(t)− V (y)(t)||
= supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds||
t∫
a
[f(t, s, x(s))− f(t, s, y(s))]ds||
≤ supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
||f(t, s, x(s))− f(t, s, y(s)||ds
≤ supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
L(s)||x(s)− y(s)||ds
= supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
L(s)ep
s∫
a
L(u)du[e−p
s∫
a
L(u)du||x(s)− y(s)||]ds
≤ ||x− y||B,p supa≤t≤b
e−p∫
t
aL(s)ds
t∫
a
L(s)ep
s∫
a
L(u)duds
≤1
p||x− y||B,p
Nguyên lí ánh xạ co: Giả sử A : X → X hoặc A : S → S trong đó S =
x/||x− x0|| ≤ β thỏa mãn
||Ax−Ay|| ≤ L||x− y||
8
với 0 < L < 1. Khi đó, phương trình x = Ax có nghiệm duy nhất
x(t) = x0 +
t∫
t0
Ax(τ)dτ
Định lý 1.1. (Định lí về sự tồn tại duy nhất nghiệm)
Giả sử f : [a, b]×X → X là hàm liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2). Khi
đó, phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Xét phương trình
x(t) = x0 +
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ
Đặt x(t) = V [x(t)]. Khi đó V : C([a, b],X) → C([a, b],X). Áp dụng bổ đề 1.2 tađược
||V [x(t)]− V [y(t)]|| ≤1
p||x(t)− y(t)||
t∫
a
L(s)ep
s∫
a
L(u)duds =
1
p
t∫
a
d(ep
s∫
a
L(u)du)
=1
pep
s∫
a
L(u)du
∣∣∣∣∣
s=t
s=a
=1
pep
t∫
a
L(u)du−
1
p<
1
pep
t∫
a
L(u)du
Do đó, khi lấy p > 1 thì V là ánh xạ co theo chuẩn Bielecki với hệ số co1
p. Vậy
theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình vi phân (1.1) có nghiệm duy nhất.
Xét phương trình vi phân
x(t) = f(t, x)
x(t0) = x0(1.4)
Định lý 1.2. Xét f : [a, b]×G → X liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2)
||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ L(t)||x− y||
trong đó L(t) : [a, b] → R+ khả tích địa phương mà supa≤t≤b
|L(t)| ≤ L0 < +∞, G là
một miền mở trong X. Khi đó , phương trình vi phân (1.4) có nghiệm duy nhất.
9
Chứng minh. Xét
V : C([t0 − h, t0 + h], G0) → C([t0 − h, t0 + h], G0)
với h > 0 đủ nhỏ, (t0, x0) ∈ G0, G0 ⊂ G. Đặt V [x(t)] = x0 +t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ . Khi đó,
ta có:
||V [x(t)]− x0|| = ||
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ ||
≤
t∫
t0
||f(τ, x(τ))||dτ ≤ |L(t)|||x(t)||.(t− t0)
≤ supa≤t≤b
|L(t)|||x(t)||.(t− t0) ≤ L0||x(t)||.(t− t0)
≤ L0(||x0||+ β).(t− t0)
Chọn h =
minα,β
L0(||x0||+ β)
⇒ V [x(t)] ∈ G0. Khi đó, áp dụng bổ đề 1.2 ta
được V [x(t)] là một ánh xạ co, theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trình vi phân(1.4) có nghiệm duy nhất.
1.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính thuần nhất
Trong X xét phương trìnhx = A(t)x (1.5)
với t ∈ R+, x : R+ → X là hàm cần tìm, A(t) : R+ → L(X) là toán tử bị chặn. Taxét bài toán Cauchy
x(t) = A(t)x(t)
x(t0) = x0
hay
x(t) = x0 +
t∫
t0
A(τ)x(τ)dτ
Hệ quả 1.1. Giả sử A(t)x : [0;T ] −→ X là đo được mạnh và khả tích Bochner.
Khi đó, nghiệm của (1.5) là tồn tại duy nhất.
Chứng minh. Do giả thiết A(t)x : [0;T ] −→ X là đo được mạnh nên tồn tại K0 > 0
sao choT∫
0
||A(τ)||dτ ≤ K0 < +∞
10
Khi đó, áp dụng định lí (1.1) ta có điều cần chứng minh.
1.1.2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của PTVP tuyến tính không thuần nhất
Trong X xét phương trình
x(t) = A(t)x+ f(t)
x(t0) = x0(1.6)
với t ∈ R+, x : R+ → X là hàm cần tìm, A(t) : R+ → L(X) là toán tử bị chặn vàf(t) : R+ → X là hàm đo được mạnh và khả tích Bochner.
Lấy T > 0, trên đoạn [0;T ] xét trên C([0, T ],X) phương trình
x(t) = x0 +
t∫
t0
A(τ)x(τ)dτ +
t∫
t0
f(τ)dτ (1.7)
Kí hiệu g(t) = x0 +t∫
t0
f(τ)dτ .
Xét phương trình
x(t) = g(t) +
t∫
t0
A(τ)x(τ)dτ (1.8)
Hệ quả 1.2. Nghiệm của (1.8) tồn tại duy nhất trên đoạn [a, b]
Chứng minh. Đặt
V [x(t)] = g(t) +
t∫
t0
A(τ)x(τ)dτ
Khi đó, V [x(t)] là ánh xạ co, do đó theo nguyên lí ánh xạ co thì phương trìnhx(t) = V [x(t)] có nghiệm duy nhất
1.2 Phương trình tiến hóa và tính chất nghiệm của phương
trình vi phân tuyến tính có nhiễu
1.2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cónhiễu trong không gian Banach
Xét phương trìnhx(t) = A(t)x+ f(t, x) (1.9)
với A(t) là toán tử tuyến tính liên tục và liên tục theo t và f(t, x) : [a, b]×X → X
là hàm thỏa mãn điều kiện Lipchitz (1.2)
11
Hệ quả 1.3. Phương trình vi phân (1.9) luôn có nghiệm duy nhất
Chứng minh. Đặt F (t, x) = A(t)x+ f(t, x). Ta có:
||F (t, x)− F (t, y)|| = ||A(t)x+ f(t, x)−A(t)y − f(t, y)||
= ||[A(t)(x− y)] + [f(t, x)− f(t, y)]||
≤ ||A(t) + L(t)||.||x− y||
≤ (||A(t)||+ ||L(t)||).||x− y||
Do A(t) là hàm đo được mạnh và khả tích địa phương, L(t) là hàm khả tíchđịa phương nên theo định lí tồn tại duy nhất nghiệm thì phương trình (1.9) cónghiệm duy nhất.
Sau đây, chúng ta sẽ chỉ rõ công thức nghiệm và một vài đánh giá nghiệmtrên khoảng vô hạn của phương trình vi phân sau trong không gian Banach X :
dx
dt= A(t)x+ f(t), t ∈ R
+ (1.10)
Giả sử hàm x(t), A(t) ∈ L(X) nhận giá trị trong X với X là đo được mạnh và khảtích Bochner trên tập con hữu hạn của R+.
Nghiệm của phương trình tích phân
x(t) = x0 +
t∫
t0
A(τ)x(τ)dτ +
t∫
t0
f(τ)dτ (1.11)
với x0 = x(t0) là nghiệm của (1.10).Nếu f(t) liên tục và A(t) là liên tục mạnh thì nghiệm của (1.11) là khả vi liên
tục tại mọi t ∈ I và thỏa mãn (1.10) với mọi t ∈ I.Xét phương trình vi phân tổng quát
x(t) = g(t) +
t∫
t0
A(τ)x(τ)dτ (1.12)
với g(t) = x0 +t∫
t0
f(τ)dτ , ta sẽ chỉ ra rằng (1.12) có một nghiệm liên tục trên
đoạn hữu hạn [a; b] bất kì nằm trong I.Đặt C(X; [a; b]) là không gian Banach các hàm liên tục trên [a; b] nhận giá trị
trong X và chuẩn|||x||| = max
t∈[a;b]||x(t)||
12
Bổ đề 1.3. Kí hiệu V (t, s) =∞∑
n=0
Vn(t, s)
1. x(t) = V (t, s) là nghiệm của phương trình
x(t) = g(t) +
t∫
s
A(τ)x(τ)dτ
2. Nếu supt0≤t1≤τ1
||A(t)|| ≤ M0 thì ta có:
||Vn|| ≤Mn
0 (t− t0)n
n!
3. Nếut1∫
t0
||A(t)||dt ≤ M1 thì ta có:
||Vn|| ≤Mn
1
n!
Chứng minh. 1. Giả sử τ1 > t0 và s ∈ [t0, τ1], ta xét toán tử V : [s, τ1] → X xácđịnh bởi:
V [x(t)] = g(t) +
t∫
s
A(τ)x(τ)dτ
với s ∈ [t0, τ1], τ1 ∈ [t0,+∞).Ta lập dãy xấp xỉ Vn(t)∞0 như sau:
V0(t) = g(t)
V1(t)x =
t∫
s
A(τ)V0(τ)xdτ
..........
Vn(t)x =
t∫
s
A(τ)Vn−1(τ)xdτ
Xét chuỗi∞∑
n=0
Vn(t). Kí hiệu M0 = sups<t<τ1<+∞
||A(t)|| < +∞.
Ta có:
||Vn(t)x|| ≤[M0(t− s)]n
n!
≤[M0τ1]
n
n!
13
Theo tiêu chuẩn Dalambert chuỗi∞∑
n=0
[M0τ1]n
n!hội tụ.
Vậy∞∑
n=0
Vn(t) hội tụ tuyệt đối. Kí hiệu V (t) =∞∑
n=0
Vn(t).
Khi đó, ta có:
x(t) = V (t)x =
∞∑
n=0
Vn(t) = g(t) +
∞∑
n=1
Vn(t)
Giả sử V : C([s, τ1],X) → C([s, τ1],X) là toán tử được xác định bởi
V [x(t)] = g(t) +
t∫
s
A(τ)x(τ)dτ
2. Xét S(n)(t)x =n∑
k=0
Vk(t)x.
Ta có:
Vn(t)x =
t∫
s
A(τ)Vn−1(τ)xdτ
=
t∫
s
A(τ)[g(τ) +
τ∫
s
A(t1)Vn−2(t1)dt1]xdτ
=
t∫
s
A(τ)g(τ)dτ +
τ∫
s
A(τ)dτ
τ∫
s
A(t1)Vn−2(t1)x.dt1
=
t∫
s
A(τ)g(τ)dτ +
τ∫
s
τ∫
s
A(τ)A(t1)Vn−2(t1)x.dt1dτ
Khi đó, ta có: S(n)(t)x− S(n−1)(t)x = Vn(t) và
Vn(t) =
t∫
s
Vn−1(τ)dτ
=
t∫
s
t1∫
s
.....
tn−2∫
s
tn−1∫
s
A(τ)A(t1).....A(tn−1)dτ.dt1....dtn
Do đó
||Vn(t)|| ≤t∫
s
t1∫
s
.....tn−2∫
s
tn−1∫
s
||A(τ)||.||A(t1)||.....||A(tn−2)||.||A(tn−1)||dτ.dt1....dtn
Mà supt0≤t1≤τ1
||A(t)|| ≤ M0 nên ta có:
||Vn|| ≤Mn
0 (t− t0)n
n!
14
3. Ta cót1∫t0||A(t)||dt ≤ M1 nên theo cách chứng minh phần 2 ta có:
||Vn|| ≤1
n!
t∫
s
||A(τ)||dτ
n
≤Mn
1
n!
1.2.2 Họ toán tử tiến hóa và phương trình tiến hóa
Xét toán tử
U(t, s) = I +
t∫
t0
A(t1)dt1
+
∞∑
n=2
t∫
t0
tn∫
t0
......
t2∫
t0
A(tn)A(tn−1)....A(t1)dt1...dtn
= I +
t∫
s
A(τ)U(τ, s)dτ
=
∞∑
n=0
Un(t, s)
(1.13)
Ta có ||U(t, s)|| ≤ 1+t∫
s
||A(τ)||.||U(τ, s)||dτ . Sử dụng bổ đề Gronwall - Belman ta
được||U(t, s)|| ≤ e
∫t
s||A(τ )||dτ
Ta có thể dễ dàng kiểm tra toán tử U(t) được định nghĩa ở trên là liên tụctrong L(X) khả vi hầu khắp nơi , thỏa mãn phương trình
dU
dt= A(t)U
U(t0) = I(1.14)
Ta xét phương trình tổng quát
dZ
dt= A(t)Z − ZB(t) (1.15)
Có thể viết bởi dạngdZ
dt= U(t)Z (1.16)
15
trong đó U(t) : Z → AtZ − BrZ = A(t)Z − ZB(t) là toán tử tuyến tính. Khi đó,phương trình (1.15) có duy nhất một nghiệm khả vi liên tục Z(t) mà thỏa mãnđiều kiện Z(t0) = Z0 , được biểu diễn bởi công thức
Z(t) =
∞∑
k=0
Zk(t) (1.17)
với Zn(t) =t∫
t0
U(t)Zn−1(τ)dτ =t∫
t0
A(τ)Zn−1(τ)− Zn−1(τ)B(τ)dτ và Z(t) là hàm
vector liên tục theo chuẩn toán tử.Từ đẳng thức (1.15) cho A = 0 , ta có phương trình
dZ
dt= −ZB(t) (1.18)
Trong trường hợp đặc biệt, ta có phương trình
dV
dt= −V B(t) (1.19)
Ta xem nghiệm của (1.18) thỏa mãn điều kiện V (t0) = I. Dễ dàng kiểm trarằng U−1(t) tồn tại và V (t) = U−1(t).
Giả sử Z1(t) = V (t)U(t) và Z2(t) = U(t)V (t). Khi đó
dZ1(t)
dt=
dV
dtU + V
dU
dt= −V AU + V AU = 0 ⇒ Z1(t) ≡ Z1(t0) = I
Mặt khác, Z2(t) thỏa mãn hệ
dZ2(t)
dt=
dU
dtV + U
dV
dt= AZ2 − Z2A
Z2(t0) = I
có nghiệm duy nhất thỏa mãn Z2(t) ≡ I
Ta xét bài toán Cauchy của phương trình vi phân không thuần nhất
dx
dt= A(t)x+ f(t)
x(t0) = x0
(1.20)
Ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán Cauchy, sự tồn tại và tính duy nhất của nódưới dạng x = U(t)y, trong đó U(t) là hàm toán tử (1.13).Xét hệ phương trình
dy
dt= U−1(t)x+ f(t)
y(t0) = x0
(1.21)
16
Tích phân từ t0 đến t, ta được
y = x0 +
t∫
t0
U−1(τ)f(τ)dτ
Do đó
x(t) = U(t)x0 +
t∫
t0
U(t)U−1(τ)f(τ)dτ (1.22)
Đặt U(t, τ) = U(t)U−1(τ). Toán tử U(t, τ) được gọi là toán tử tiến hóa.Từ đẳng thức
dU(t, τ)
dt=
dU(t)
dtU−1(τ) = A(t)U(t)U−1(τ) = A(t)U(t, τ)
Toán tử này thỏa mãn phương trình sau:
X
dt= A(t)X
X(τ) = I(1.23)
Việc xây dựng toán tử U(t) không phụ thuộc vào việc chọn giá trị t0. Ta kí hiệuU(t) = U(t, 0) là toán tử Cauchy. Khi đó, sử dụng toán tử tiến hóa nghiệm của
bài toán Cauchy cho phương trình thuần nhấtdx
dt= A(t)x, x(τ) = xτ có thể viết
dưới dạngx(t) = U(t, τ)xτ
và nghiệm của phương trình không thuần nhất là
x(t) = U(t, t0)x0 +
t∫
t0
U(t)U(t, τ)f(τ)dτ (1.24)
Trong tài liệu [5] đã chứng minh định lí sau đây về các tính chất cơ bản củahọ toán tử
Định lý 1.3. 1. U(t, t) = I
2. U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ)
3. U(t, τ) = [U(τ, t)]−1
4. ||U(t, τ)|| ≤ exp[t∫
τ
||A(τ)||dτ ], (τ ≤ t)
17
Tương ứng với phương trình (1.23) và (1.24), ta có thể xét phương trình toántử
U(t, τ) = I +
t∫
τ
A(θ)U(θ, τ)dθ (1.25)
Khi đó, U(t, τ) có thể viết dưới dạng
U(t, τ) = I +
t∫
τ
[dF (θ)]U(θ, τ)
với F (t) =∫A(t)dt
U(t, τ) = I +
t∫
τ
[S1(θ)dF (θ)S2(θ)]U(θ, τ) (1.26)
Ở đó Sk(θ)(k = 1, 2) là các hàm toán tử liên tục. F (θ) bị chặn.Nghiệm của phương trình (1.26) có thể viết dưới dạng
U(t, τ) =
t∫
τ
exp[S1(θ)dF (θ)S2(θ)] (1.27)
Khi đó , nghiệm của (1.25) được viết dưới dạng
U(t, τ) =
t∫
τ
expA(θ)dθ
Giả sử UB(t, τ) là toán tử tiến hóa của phương trình
dx
dt= B(t)x
với B(t) ∈ L(X) là đo được mạnh và khả tích Bochner Đặt
U(t, τ)X = UA(t, τ).X.UB(τ, t) (1.28)
Đạo hàm hai vế theo t, ta được
(d/dt)U(t, τ)X = A(t)UA(t, τ).X.UB(τ, t)− UA(t, τ).X.UB(τ, t)B(t)
= A(t)U(t, τ)X − U(t, τ)XB(t)
Từ đó ta có U(τ, τ)X = X và (1.28) là nghiệm toán tử của phương trình (1.18).Do đó, nghiệm của phương trình
dX/dt = A(t)X −XB(t) + F (t) (1.29)
18
có thể viết dưới dạng
X(t) = U(t, t0)X(t0) +
t∫
t0
U(t, τ)F (τ)dτ
= UA(t, t0)X(t0)UB(t0, t) +
t∫
t0
UA(t, τ)F (τ)UB(τ, t)dτ
(1.30)
Trong trường hợp riêng, kết hợp phương trình (1.14) và (1.19) ta được
X(t) = X(t0)UA(t0, t) +
t∫
t0
F (τ)UA(τ, t)dτ (1.31)
1.2.3 Ví dụ
Trong phần này, ta sẽ xét một số ví dụ về phương trình vi phân thuần nhất vàkhông thuần nhất. Giả sử X là không gian hữu hạn chiều X = Cn. Gọi e1, ..., enlà cơ sở trực chuẩn và đặt xk =< x, ek > (k = 1, 2, ..., n) theo thứ tự là vectorx ∈ Cn và ajk =< Aek, ej > là ma trận của toán tử A trong cơ sở này.
Phương trình (1.10) tương đương với hệ phương trình
dxjdt
=
n∑
k=1
ajk(t)xk, (j = 1, 2, ..., n) (1.32)
Toán tử tiến hóa U(t, τ) được cho bởi ma trận ||ujk(t, τ)|| thỏa mãn hệ phươngtrình
dujkdt
=n∑
s=1
ajs(t)usk, (j = 1, 2, ..., n)
ujk(τ, τ) = δjk
Nghiệm tổng quát của (1.17) là:
xj(t) =
n∑
k=1
ujk(t, τ)xk(τ)
Nghiệm của hệ phương trình không thuần nhất
dxjdt
=
n∑
k=1
ajk(t)xk + fj(t), (j = 1, 2, ..., n) (1.33)
được cho bởi công thức
xj(t) =
n∑
k=1
ujk(t, t0)xk(t0) +
n∑
k=1
t∫
t0
ujk(t, τ)fk(τ)dτ
19
1.2.4 Các phương trình so sánh tích phân được
Giả sử trên nửa khoảng [0;∞) , xét hai phương trình
dx
dt= Ak(t)x (k = 1, 2) (1.34)
Ta nói 2 phương trình này có thể so sánh tích phân được nếu :
|||A2 − A1||| =
∞∫
0
||A2(t)−A1(t)||dt < ∞
Ta có A2(t) = A1(t) + [A2(t)−A1(t)] .Ký hiệu B(t) = A2(t)−A1(t).Xét phương trình
x(t) = A(t)x (1.35)
vày(t) = A(t)x+B(t)x (1.36)
Trong đó t ∈ R+, x : R+ → X, A(t), B(t) ∈ L(X) thỏa mãn điều kiện đo đượcmạnh và khả tích theo Bochner.Kí hiệu U(t, t0) : X → X là toán tử được xác định bởi :
U(t, t0)x0 = x0 +
t∫
t0
A(τ)U(τ, t0)x0dτ
Kí hiệu W (t, t0) : X → X là toán tử được xác định bởi
W (t, t0)x0 = x0 +
t∫
t0
[A(τ) +B(τ)]W (τ, t0)x0dτ (1.37)
Nghiệm của (1.35) là x(t) = U(t, t0)x0 và nghiệm của (1.36) là y(t) = W (t, t0)y0.Khi đó, ta sẽ chỉ ra rằng
W (t, s) = U(t, s) +
t∫
s
U(t, τ)B(τ)W (τ, s)xdτ
20
Trước tiên, ta sẽ xây dựng toán tử tích phân Volterra.Với s ∈ R+, ta xét dãy dãy Vn(t) như sau:
V0(t) = U(t, s)
V1(t)x =
t∫
s
U(t, τ)B(τ)V0(τ)xdτ
V2(t)x =
t∫
s
U(t, τ)B(τ)V1(τ)xdτ
.............
Vn(t)x =
t∫
s
U(t, τ)B(τ)Vn−1(τ)xdτ
Bổ đề 1.4. Chuỗi∞∑
n=0
Vn(t) hội tụ tuyệt đối trên [s; t0] trong đó t0 ∈ R+
Chứng minh. Lấy τ ∈ R+. Kí hiệu ∆τ0 =(t; s)/t, s ∈ R+; 0 ≤ s ≤ t ≤ τ0
.
Xét phương trình (1.35). Từ tính chất của họ toán tử tiến hóa, ta suy ra(U(t, s))t≥s là bị chặn mũ, tức là tồn tại Mi0 và ωi0 sao cho
||U(t, s)|| ≤ Mi0 .eωi0
(t−s)
với t ≥ s; (t, s) ∈ ∆τ0. Do đó, (W (t, s))t≥s là cũng bị chặn mũ, tức là tồn tại Mi1
và ωi1 sao cho||W (t, s)|| ≤ Mi1 .e
ωi1(t−s)
Từ giả thiết B(t) ∈ L(X), ∀t ∈ R+, ta có thể suy ra
|||B(t)|| − ||B(t0)||| ≤ |||B(t)|| − B(t0)||| → 0
Mặt khác, B(t) : R+ → R nên sup[0,τ0]
||B(t)|| ≤ b0 < +∞.
Xét dãy Vn, ta thấy ||Vn|| ≤ M0. Khi đó
||V1(t)|| ≤ M20 .b0(t− s)
||V2(t)|| ≤ M30 .b
20(t− s)2
2!
............
||Vn(t)|| ≤ Mn+10 .bn0
(t− s)n
n!
Theo tiêu chuẩn Dalambert, chuỗi∞∑
n=0
Mn0
bn0 (t− s)n
n!hội tụ.
21
Kí hiệu W (t, s) =∞∑
n=0
Vn(t; s)
Bổ đề 1.5. Phương trình
W (t, t0)y0 = U(t, t0)y0 +
t∫
t0
U(t, τ)B(τ)W (τ, t0)y0dτ
có nghiệm duy nhất là y(t) = W (t, t0)y0
Chứng minh: Tính duy nhất nghiệm được suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.1 và 1.3
Nhận xét 1.1. W (t; s) : X → X với (t; s) ∈ ∆τ0 là họ các toán tử bị chặn mũthỏa mãn các điều kiện của định lí 1.3
22
Chương 2
Dáng điệu tiệm cận nghiệm phươngtrình vi phân trong không gianHilbert
2.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert
2.1.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm
Cho H là không gian Hilbert tách được với cơ sở trực chuẩn là en∞1 . Khi
đó, với mỗi x ∈ H, ta có
x =
∞∑
j=0
ejxj = (x1; x2; .....; xn; ....)
Trong H ta xét PTVPdx
dt= f(t, x) (2.1)
Trong đó, f : [a; b]×H → H với t ∈ [a; b], x ∈ H.Như vậy, trong cơ sở trực chuẩn này thì PTVP (2.1) có thể viết được dưới
dạng hệ vô hạn các PTVP như sau
dx1dt
= f1(t, x1, x2, ....)
dx2dt
= f2(t, x1, x2, ....)
...........dxndt
= fn(t, x1, x2, ....)
...............
(2.2)
23
Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của (2.1) là nghiệmtheo nghĩa cổ điển như sau:
Định nghĩa 2.1. Hàm trừu tượng x = x(t) với x : [a; b] → H xác định trên [a; b],
khả vi liên tục theo t ∈ [a; b] được gọi là nghiệm của (2.1) nếudx
dt= f(t, x), ∀t ∈
[a; b]
Xét bài toán Cauchy
x(t) = f(t, x)
x(t0) = x0(2.3)
Tương ứng với phương trình (2.3), ta xét phương trình dạng tích phân
x(t) = x0 +
t∫
t0
f(τ, x(τ))dτ (2.4)
Nhận xét 2.1. Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra được rằng
nghiệm của (2.4) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
Ta cóf = (f1, f2, ....) ; x(t) = (x1(t), x2(t), ....) (2.5)
Do đó, (2.4) có thể viết được dưới dạng tọa độ
xk(t) = x0k +
t∫
t0
fk(τ, x1(τ), x2(τ), ...); k = 1, 2, ...
Tương tự như đối với PTVP trong không gian Banach, ta có các định lí sau:
Định lý 2.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại lân cận đóng của (t0, x0) sao cho trong lân cận đó hàm f(t, x) liên
tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz ||f(t, x2)− f(t, x1)|| ≤ M.||x2 − x1|| với
M là hằng số dương hữu hạn. Khi đó, tồn tại lân cận của x0 mà trong lân cận
đó (2.3) có duy nhất nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện x(t0) = x0
Nhận xét: Định lí trên chỉ ra rằng nghiệm x(t) chỉ tồn tại và duy nhất trên|t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ η với ε, η đủ nhỏ. Định lí sau đây sẽ chỉ ra sự tồn tạinghiệm trên toàn đoạn [a, b]
Định lý 2.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn cục)
Giả sử tồn tại miền [a, b]×H mà trên đó hàm f(t, x) liên tục theo t và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz. Khi đó, với mọi (t0, x0) ∈ [a, b] × H thì bài toán Cauchy có
nghiệm duy nhất x = x(t, t0, x0) xác định trên [a, b].
24
Định lý 2.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)
Giả sử với ||x|| < ∞, t ≤ t0, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện ||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chấtr∫
r0
dr
L(r)→ ∞ khi r → ∞. Khi đó,
mọi nghiệm của PTVP (2.3) có thể kéo dài được trên khoảng thời gian vô hạn
t0 ≤ t < ∞
Chứng minh. Vì
||x(t2)− x(t1)
t2 − t1|| ≥ |
||x(t2)|| − ||x(t1)||
t2 − t1|
⇒ ||dx
dt|| ≥ |
d||x||
dt|
Mặt khác từdx(t)
dt= f(t, x(t)) và ||f(t, x)|| ≤ L(||x||), ta suy ra
L(||x||) ≥ |d||x||
dt|
Lấy tích phân dọc đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x(t0) đến điểm x theochiều tăng của t ta được
t∫
t0
dr ≥
t∫
t0
d||x||
dt.
1
L(||x||)dr
⇒ t− t0 ≥
||x||∫
||x0||
dr
L(r)
Với r = x(t). Dor∫
r0
dr
L(r)→ ∞ khi r → ∞ nên nếu ||x|| → ∞ thì t → ∞. Do đó,
nghiệm có thể thác triển ra vô hạn.
Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm về tính ổn định nghiệm củaphương trình vi phân.
2.1.2 Một số khái niệm ổn định nghiệm
Giả sử H là không gian Hilbert tách được và
D = (t, x) ∈ (a, b)×H : |t− t0| ≤ T ; ||x− x0|| ≤ r
Xét phương trình vi phândx
dt= f(t, x) (2.6)
25
trong đó, t ∈ R+, x ∈ H, f : D → H là một hàm liên tục thỏa mãn f(t, 0) = 0 vàthỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 sao cho
∃L > 0, ∀(t, x1), (t, x2) ∈ D : ||f(t, x1)− f(t, x2)|| ≤ L||x1 − x2||
Kí hiệu G = x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < ∞ ; x(t) = x(t, t0, x0) là nghiệm của(2.6) ; x(t0) = x0, x0 ∈ G
Định nghĩa 2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi
là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu ∀ε > 0, t0 ∈ R+∃δ = δ(t0, ε) > 0, ∀x0 ∈
G, ||x0|| ≤ δ → ||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0
Định nghĩa 2.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi
là ổn định đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu
∀ε > 0, t0 ∈ R+, ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x0 ∈ G, ||x0|| ≤ δ → ||x(t, t0), x0|| < ε, ∀t ≥ t0
Định nghĩa 2.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi
là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu:
(i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và ||x0|| < ∆ thì
limt→∞
||x(t, t0, x0)|| = 0
Định nghĩa 2.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi
là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu:
(i) nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vào t0) sao cho với mọi x0 ∈ G và
||x0|| < ∆ thì
limt→∞
||x(t, t0, x0)|| = 0
Định nghĩa 2.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.6) được gọi
là ổn định mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) = x(t, t0, x0) của (2.6) ở
trong miền nào đó t0 ≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < M thỏa mãn bất đẳng thức
||x(t)|| ≤ N ||x0||e−α(t−t0), (t ≥ t0)
trong đó N,α là các hằng số dương nào đó không phụ thuộc vào sự lựa chọn
nghiệm.
Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm về tính ổn định bên trái,tính ổn định về bên phải và tính song ổn định nghiệm tầm thường của phương
26
trình vi phân:Xét phương trình
dx
dt= A(t)x (2.7)
với A(t) đo được mạnh và khả tích Bochner t ≥ 0.Phương trình (2.7) được gọi là ổn định (nói riêng là ổn định bên phải) nếu
mọi nghiệm của nó bị chặn trên nửa khoảng [0;∞).
Bổ đề 2.1. Điều kiện cần và đủ để phương trình (2.7) ổn định là toán tử Cauchy
của nó bị chặn đều
supt≥0
||U(t)|| < ∞
Chú ý 2.1. Điều kiện cần và đủ đối với sự ổn định bên phải là tồn tại hằng sốq > 0 sao cho với nghiệm x(t) bất kì của (2.7) thỏa mãn
||x(t)|| ≤ q||x(0)|| (2.8)
Giá trị nhỏ nhất của hằng số đó là q0 thỏa mãn đẳng thức q0 = supt≥0
||U(t)||
Chú ý 2.2. Tính ổn định bên phải của (2.7) tương đương với tính ổn định bênphải của phương trình toán tử
dX
dt= A(t)X
Ta thấy rằng , việc chọn [0;∞) không ảnh hưởng đến định nghĩa tính ổnđịnh của phương trình. Ta có thể thay thế bằng nửa khoảng [t0;∞) và q0 =
supt≥0
||U(t, t0)||. Hằng số q0 phụ thuộc vào việc chọn t0.
Phương trình (2.7) được gọi là ổn định bên phải đều nếu tồn tại hằng sốN > 0 sao cho nghiệm x(t) bất kì thỏa mãn
||x(t)|| ≤ N ||x(s)|| (2.9)
trong đó N = supt≥s≥0
||U(t, s)|| < ∞
Chú ý 2.3. Giả sử A(t) = A là toán tử hằng. Trong trường hợp U(t, s) = eA(t−s)
thì nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình ổn định đều nếu
supt≥0
||eAt|| < ∞
Ta nói phương trình (2.7) ổn định bên trái nếu tồn tại hằng số q′ > 0 sao chonghiệm x(t) bất kì của phương trình thỏa mãn
||x(0)|| ≤ q′||x(t)||, ∀t ≥ 0
27
Tính ổn định bên trái rõ ràng tương đương với tính giới nội đều của toán tửU−1(t)
q′ = supt≥0
||U−1(t)|| < ∞
Ta chú ý rằng nghiệm của phương trình liên hợpdX
dt= −A(t)X được biểu
diễn dưới dạng X(t) = X(0)U−1(t), tính ổn định bên trái của (2.7) tương đươngvới tính ổn định bên phải của phương trình liên hợp của nó.
Ta nói tính ổn định bên trái đều của nghiệm nếu ||x(s)|| ≤ N ||x(t)||, ∀0 ≤ s ≤ t
và N không phụ thuộc vào s, t. Rõ ràng, tính ổn định bên trái đều tương đươngvới điều kiện
supt≥s≥0
||U(t, s)|| < ∞ (2.10)
Ta nói phương trình (2.7) là song ổn định trên nửa khoảng [0;∞) nếu nó ổn địnhbên trái và ổn định bên phải. Do đó, (2.7) song ổn định khi và chỉ khi
sup0≤t<∞
||U±1(t)|| < ∞
hoặc tương đương với điều kiện nếu và chỉ nếu
sup0≤s,t<∞
||U(t, s)|| < ∞ (2.11)
Vậy nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình song ổn định là ổn định bêntrái đều và ổn định bên phải đều.
Mặt khác, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình là ổn định nếu tồntại hằng số q > 0 sao cho x(t) bất kì thỏa mãn
||x(t)|| ≤ q||x(s)||, (0 ≤ s, t < ∞)
Bổ đề 2.2. Nếu toán tử A(t) thỏa mãn điều kiện phản tự liên hợp A(t) = −A∗(t)
tức là< A(t)x, y >= − < x,A(t)y >
thì nghiệm U(t, τ) của phương trình (2.7) là song ổn định
Chứng minh. Ta có: ||x(t)|| =√
< x(t), x(t) >. Ta cần chứng minh tồn tại ε saocho
1− ε ≤ ||x(t)|| ≤ 1 + ε
Thật vậy:Đặt v(t) = ||x(t)||2 =< x(t), x(t) >. Khi đó:
v(t) =< x(t), x(t) > + < x(t), x(t) >
=< A(t)x(t), x(t) > + < x(t), A(t)x(t) >= 0
28
Do đó v(t) = c = const . Chọn v(0) = c0 = 1. Vậy v(t) = ||x(t)||2 = 1 và
q||x(0)|| ≤ ||x(t)|| ≤ q′||x(0)||
Theo điều kiện (2.9) và (2.10) thì nghiệm x(t) ≡ 0 là song ổn định
2.2 Tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân với
dạng tam giác trên trong tôpô yếu
2.2.1 Không gian L(H) và các khái niệm tôpô yếu, tôpô mạnh và tôpô đều
Cho H là không gian Hilbert thực tách được (ta cũng coi H là không gianHilbert phức tương ứng). Kí hiệu L(H) là không gian của các toán tử tuyến tínhgiới nội trên H.
Giả sử B(t) ∈ L(H). Khi đó, ta có các khái niệm sau:
1. B(t) hội tụ đều tới B(t0) nếu |||B(t)|| − ||B(t0)||| → 0, t → t0 nghĩa là
∀ε > 0, ∃δ > 0, |t− t0| < δ ⇒ | supx∈H
||B(t)||x− supx∈H
||B(t0)||x| ≤ ε, ∀x ∈ H
2. Bx(t) hội tụ mạnh tới Bx(t0) nếu |||Bx(t)|| − ||Bx(t0)||| → 0, t → t0 nghĩa là
∀ε > 0, ∃δ > 0, |t− t0| < δ ⇒ | supx∈H
||Bx(t)|| − ||Bx(t0)||| ≤ ε, ∀x ∈ H
3. B(t) hội tụ yếu tới B(t0) nếu || < B(t)x − B(t0)x; x′ > || → 0, t → t0, ∀x ∈
H, x′ ∈ H ′
Ta viết x′
(x) thay cho < x, x′ > và kí hiệu σ(H,H ′) là một tôpô trên H và σ(H ′, H)
là một tôpô yếu trên H ′. Không gian L(H) là không gian Banach với chuẩn
||T || = sup ||Tx|| : ||x|| ≤ 1 , T ∈ L(H)
Trên L(H), ta xét hai tôpô như sau: ta viết Ls(H) nếu L(H) là tôpô mạnh hộitụ với chuẩn (H, ||.||) và Lσ(H) nếu L(H) là tôpô yếu hội tụ với chuẩn (H, σ(H,H ′))
Bổ đề 2.3. Dãy (Tα)α ∈ A ⊂ Ls(H) hội tụ tới T ∈ Ls(H) nếu và chỉ nếu
1. ||Tα − T || → 0 (hội tụ đều)
2. ||Tαx− Tx|| → 0, ∀x ∈ H ( hội tụ mạnh )
3. | < Tαx− Tx, x′ > | → 0, ∀x ∈ H, x′ ∈ H ′ ( hội tụ yếu )
29
Mệnh đề 2.1. Cho K ∈ L(H). Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:(a) K giới nội đối với tôpô yếu.(b) K giới nội đối với tôpô mạnh.(c) K giới nội đối với tôpô đều, nghĩa là ||T || ≤ c, ∀T ∈ K.
2.2.2 Khái niệm tính chính quy
Cho H là không gian Hilbert thực tách được (ta cũng coi H là không gian
Hilbert phức tương ứng). Đặt A : R+0 → L(H). Ta giả sử lim sup
t→+∞
1
tlog+||A(t)|| = 0
là đúng, trong đó log+x = max 0, logx. Xét bài toán
v(t) = A(t)v(t)
v(0) = v0(2.12)
với v0 ∈ H. Với giả sử trên, ta dễ dàng chỉ ra (2.12) có nghiệm duy nhất x(t) vànghiệm này là nghiệm toàn cục theo thời gian dương. Số mũ Lyapunov λ : H →
R ∪ +∞ của phương trình (2.12) được xác định bởi:
λ(v0) = lim supt→+∞
1
tlog||v(t)|| (2.13)
với quy ước log0 = −∞. Ta cố định một dãy tăng các không gian con H1 ⊂ H2 ⊂
....., dimHn = n với mỗi n ∈ N bao đóng hợp các không gian con đó chính là H.Do Hn là không gian vector hữu hạn chiều nên với mỗi n ∈ N, hàm λ hạn chếtrên Hn \ 0 có thể viết dưới dạng
−∞ ≤ λ1,n < ........... < λpn,n, pn ≤ n (2.14)
Hơn nữa, với mỗi i = 1, ..., pn tập
Ei,n = v ∈ Hn : λ(v) ≤ λi,n (2.15)
là không gian con tuyến tính của Hn. Ta cũng coi các giá trị
λ′
1,n ≤ ...... ≤ λ′
n,n (2.16)
của số mũ Lyapunov λ trên Hn \ 0 đếm được với phép nhân, điều này nhậnđược bằng cách cho tương ứng với mỗi giá trị λi,n với một số dimEi,n−dimEi−1,n
với E0,n = 0.Xét bài toán
w = −A(t)∗w
w(0) = w0
(2.17)
30
với w0 ∈ H, ở đây ta thay −A(t)∗ thay cho A(t). Số mũ Lyapunov µ : H →
R ∪ −∞ của phương trình (2.17) được xác định bởi:
µ(w0) = lim supt→+∞
1
tlog||w(t)|| (2.18)
Với mỗi n ∈ N, hàm µ hạn chế trên Hn \ 0 có thể viết dưới dạng
−∞ ≤ µqn,n < ........... < µ1,n, qn ≤ n (2.19)
Hơn nữa, với mỗi i = 1, ..., qn tập
Fi,n = w ∈ Hn : µ(w) ≤ µi,n (2.20)
là không gian con tuyến tính của Hn. Ta cũng coi các giá trị
µ′
1,n ≥ ...... ≥ µ′
n,n (2.21)
của số mũ Lyapunov µ trên Hn \ 0 đếm được với phép nhân, điều này nhậnđược bằng cách cho tương ứng với mỗi giá trị µi,n với một số dimFi,n−dimFi+1,n
với Fn+1,n = 0.Ta luôn giả sử rằng số mũ Lyapunov λ và µ là đếm được trong các giá trị
λ′
i,n : n ∈ N, i = 1, ..., n
và
µ′
i,n : n ∈ N, i = 1, ..., n
(2.22)
và không có giá trị nào khác. Ta kí hiệu tương ứng bởi λ′
i và µ′
i đối với mỗi i ∈ N.Giá trị của λ và µ trên H \ 0là đếm được đối với phép nhân.
Ta nhắc lại, với 2 cơ sở v1, ...., vn và w1, ...., wn của Hn được gọi là đối ngẫunếu < vi, wj >= δij với mọi i, j.
Định nghĩa 2.7. Hệ số chính quy của λ và µ được xác định bởi
γ(λ, µ) = sup γn(λ, µ) : n ∈ N
ở đó
γn(λ, µ) = minmax λ(xi) + µ(yi) : 1 ≤ i ≤ n (2.23)
với giá trị nhỏ nhất nhận được trên tất cả các cơ sở đối ngẫu v1, ...., vn và w1, ...., wn
của Hn
Nhận xét 2.2. Vì Hn là không gian vector hữu hạn chiều nên γn(λ, µ) ≥ 0 vớimọi n ∈ H do đó γ(λ, µ) ≥ 0
Định nghĩa 2.8. Ta nói phương trình (2.12) là chính quy Lyapunov nếu γ(λ, µ) =
0
31
Nhận xét 2.3. Ta thấy(i) γ(λ, µ) = 0 ⇔ γn(λ, µ) = 0.(ii) Khái niệm trong định nghĩa 1.2 trong không gian hữu hạn chiều cũng chínhlà khái niệm được giới thiệu bởi Lyapunov. Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho
−∞ ≤ λ′
1 ≤ λ′
2 ≤ ....... < −δ và µ′
1 ≥ µ′
2 ≥ ..... > δ (2.24)
Tính chính quy Lyapunov của (2.12) cũng chỉ ra rằng
λ′
i + µ′
i = 0, ∀i ∈ N (2.25)
2.2.3 Sự rút gọn về phương trình dạng tam giác trên
Giả sử H là không gian Hilbert tách được. Trước tiên, ta thực hiện phép rútgọn một hàm bất kì A(t) tới một hàm có dạng tam giác trên như sau: cố địnhmột cơ sở trực chuẩn của H bởi các vector u1, u2, .... sao cho Hn = span u1, ...., un
với mỗi n. Ta có thể chỉ ra rằng, sự rút gọn một hàm sinh của A(t) tới một hàmcó dạng tam giác trên A(t) với mỗi t ≥ 0, tương ứng bằng cách cố định cơ sởu1, u2, .... của H như sau:
< A(t)ui, uj >= 0, với mỗit ≥ 0, i < j
Chú ý rằng, cơ sở này là phụ thuộc vào t. Sự rút gọn về dạng tam giác trên rấtquan trọng, ta có thể nghiên cứu không gian vô hạn chiều thông qua không gianhữu hạn chiều.
Định lý 2.4. Đối với hàm liên tục A : R+0 → L(H), tồn tại các hàm liện tục
B : R+0 → L(H) và U : R+
0 → L(H) sao cho:
1. B(t) là hàm dạng tam giác trên ( nghĩa là < B(t)ui, uj >= 0, i < j) và
||B(t) Hn|| ≤ 2n||A(t)|| với mỗi t ≥ 0 và n ∈ N.
là khả tích Fréchet, U(0) = Id và với mỗi t ≥ 0, U(t) là toán tử đơn vị .
2. Bài toán (2.12) tương đương với
x′
= B(t)x, x(0) = v0 (2.26)
trong đó nghiệm v(t) của (2.12) và x(t) của (2.26) thỏa mãn v(t) = U(t)x(t) Hơn
nữa, ta có
lim supt→+∞
1
tlog+||B(t) Hn|| = 0, n ∈ N (2.27)
Chứng minh. Ta xây dựng toán tử U(t) bằng cách sử dụng phương pháp trựcgiao hoá Gram - Schmidt cho các vector v1(t), v2(t), ..., ở đó vi(t) là nghiệm của
32
(2.12) với v0 = ui, i ≥ 1 với u1, u2, ... là cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó, ta nhậnđược các hàm u1(t), u2(t), .... sao cho: < ui(t), uj(t) >= δij với mỗi i, j
Mỗi hàm uk(t) là một tổ hợp tuyến tính của v1(t), ...., vk(t). Cho t ≥ 0, ta địnhnghĩa toán tử tuyến tính U(t) : H → H sao cho U(t)ui = ui(t) với mỗi i. Rõ ràng,U(t) là toán tử đơn vị và t 7→ U(t) là khả vi Fréchet với
U′
(t)ui = u′
i(t), ∀i
Ta thấy x(t) = U(t)−1v(t) là nghiệm của (2.26) với B(t) có dạng tam giác trên.Rõ ràng, B(t) là hàm liên tục.
Với mỗi i, j ∈ N và t ≥ 0, kí hiệu
bij(t) =< B(t)ui, uj >; aij =< A(t)ui(t), uj(t) >
Vì U(t) là toán tử đơn vị, các vector u1(t) = U(t)u1, u2(t) = U(t)u2, ... là mộtcơ sở trực chuẩn của H do đó
||A(t)|| ≥ ||A(t)ui(t)|| = ||
∞∑
j=1
< A(t)ui(t), uj(t) > uj(t)||
= (
∞∑
j=1
aji(t)2)
1
2 , ∀i, j
Khi đó, ta có |bij(t)| ≤ 2||A(t)|| với mọi i, j. Đặt v =n∑
i=1
αiui ∈ Hn với (n∑
i=1
α2i )
1
2 ,
ta nhận được:
||B(t)v||2 = ||
n∑
i=1
n∑
j=1
αi < B(t)ui, uj > uj||2 (2.28)
=
n∑
j=1
(
n∑
j=1
αibij(t))2 ≤
n∑
j=1
(
n∑
i=j
α2i
n∑
i=j
(t)2)
=
n∑
j=1
n∑
i=j
bij(t)2 ≤ 4n2||A(t)||2
Do đó, ||B(t) Hn|| ≤ 2n||A(t)|| và tính chất (2.27) được chứng minh. Khẳng địnhcuối cùng của định lí nhận được do U(t) là khả nghịch với mỗi t và v(0) = x(0) = v0
do đó U(0) = Id
Ưu điểm của việc xét phương trình dạng tam giác trên đó là ta có thể xéttrên không gian hữu hạn chiều Hn = span u1, ..., un cho bởi
y′
n = Bn(t)yn, Bn(t) = B(t) Hn
yn(0) = v0 Hn
(2.29)
33
Ta có thể tìm được nghiệm của (2.26) dưới dạng y(t) = limn→∞
yn(t). Tính chất
(2.27) chỉ ra rằng nghiệm của bài toán (2.29) là duy nhất và là nghiệm toàn cục.Như vậy, từ bài toán (2.12) trong không gian vô hạn chiều, ta có thể đưa về bàitoán trong không gian hữu hạn chiều.
2.2.4 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân dạng tam giác trêntrong không gian Hilbert
Xét phương trìnhx = A(t)x (2.30)
trong đó x ∈ H ; t ≥ t0;A ∈ C(R+,L(H)).Giả sử J = nm : nm ∈ N, m = (1, 2, ...) là dãy con đơn điệu tăng của N.Kí hiệu Hm = x : x = Pmx, x ∈ H, m ∈ J. Kí hiệu Pm : H → Hm xác định bởi
Pmx =
m∑
k=1
xkek, (m ∈ J)
Kí hiệu Bm : H → H xác định bởi
Bm(t)x = A(t)x− PmA(t)Pmx,m ∈ J, t ∈ R+ (2.31)
Cùng với phương trình (2.30), ta xét phương trình
dPmx
dt= PmA(t)Pmx (2.32)
Kí hiệu (Um(t, s))t≥s≥t0 là họ toán tử tiến hóa tương ứng với (2.32).Khi đó (Um(t, s)) xác định bởi:
Um(t, s)x = x+
t∫
s
A(τ)Um(τ, s)xdτ
Từ (2.31) ta có A(t) = PmA(t)Pm +Bm(t), m ∈ J .Kí hiệu U(t, s) : H → H được xác định bởi:
U(t, s)x = x+
t∫
s
A(τ)U(τ, s)xdτ
Khi đó , ta có
U(t, s)x = Um(t, s)x+
t∫
s
Um(t, τ)Bm(τ)U(τ, s)xdτ
34
Bổ đề 2.4. Giả sử tồn tại m ∈ J sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn
1. Tồn tại M2 sao cho ||Um(t, t0)|| ≤ M2, ∀t ≥ t0 .
2. Nếu∞∫
t0
||Bm(t)||dt < +∞ thì U(t, t0) bị chặn đều tức là tồn tại M3 > 0 sao
cho
Khi đó
||U(t, t0)|| ≤ M3, ∀t ≥ t0
Chứng minh. Ta có:
||U(t, t0)x0|| ≤ ||Um(t, t0)x0||+
t∫
t0
||Um(t, τ)||.||Bm(τ)||.||Um(τ, t0)x0||dτ
≤ M2||x0||+M∗2
t∫
t0
||Bm(τ)||.||Um(τ, t0)x0||dτ
Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman , ta có
||U(t, t0)x0|| ≤ M2||x0||.eM∗
2
t∫
t0
||Bm(τ )||dτ
≤ M3||x0||
Do x0 ∈ H bất kì nên bổ đề được chứng minh
Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết điều kiện sau :
A(t) ∈ L(H), A(t)Pmx = PmAPmx, ∀m ∈ J ; ∀t ∈ R+
Khi đó, với t ∈ [t0; +∞) ta có D(A(t)Pm) = Hm và A(t)Pm : Pm → Hm
Bổ đề 2.5. Giả sử x0 ∈ H . Khi đó x(t) = U(t, t0)Pmx0 đồng thời là nghiệm của
các bài toán Cauchy sau đây
dPmx
dt= A(t)Pmx
x(t0) = Pmx0
và
dx(t)
dt= A(t)x
x(t0) = x∗0
trong đó x∗0 ∈ PmH tức là x∗0 = (x1, ..., xm, 0, 0, ...)
35
Chứng minh. Ta có
x(t) = x(t, t0, Pmx∗0), x
∗0 = Pmx0 ∈ Hm
x(t) = Um(t, t0)x∗0 +
t∫
t0
Um(t, τ)Bm(τ)U(τ, t0)x∗0dτ
Đặt
V0(t) = Um(t, t0)x∗0 ∈ Hm
V1(t) =
t∫
t0
Um(t, τ)Bm(τ)V0(τ)x∗0dτ
.............
Vn(t) =
t∫
t0
Um(t, τ)Bm(τ)Vn−1(τ)x∗0dτ
Do đó Vn(t) = (V0(t), 0, ...., 0, ...) và
x(t) =
∞∑
n=0
Vn(t)x∗0 = V0(t) = Um(t, t0)x
∗0
Định lý 2.5. Giả sử
A(t)Pmx = PmA(t)Pmx, ∀t ∈ [t0,+∞), ∀m ∈ J
Khi đó, nếu tồn tại M4 > 0 sao cho
||Um(t, t0)|| ≤ M4, ∀m ∈ J, ∀t ≥ t0
thì tồn tại M5 > 0 sao cho
||U(t, t0)|| ≤ M5, ∀t ≥ t0
Chứng minh. Với bất kỳ m ∈ J và x′ ∈ Hm , ta có
| < U(t, t0)x, x′ > | = | < Um(t, t0)x, x
′ > | ≤ ||Um(t, t0)||2| < x, x′ > |,
Từ giả thiết của định lý, ta suy ra
| < U(t, t0)x, x′ > | ≤ M2
4
36
Như vậy U(t, t0) bị chặn trong mọi tô pô yếu nên nó sẽ bị chặn trong tô pô mạnhvà ta có điều phải chứng minh. Như vậy, U(t, t0) ∈ L(H) là bị chặn theo tôpôyếu nên sẽ bị chặn theo tôpô đều tức là
||U(t, t0)|| ≤ M5
Xét K = U(t, t0) \ U(t, t0) : Hm → Hm, m ∈ J.Với m ∈ J thì Um(t, t0) = U(t, t0)Pm. Mà ||Um(t, t0)|| ≤ M4, ∀t ≥ t0. Do đó, với
x′ ∈ Hm ta có
| < U(t, t0)x, x′ > | = | < Um(t, t0)x, x
′ > |
≤ ||Um(t, t0)||2| < x, x′ > |, ∀m ∈ J, x′ ∈ Hm
Như vậy, U(t, t0) ∈ L(H) là bị chặn theo tôpô yếu nên sẽ bị chặn theo tôpô đềutức là
||U(t, t0)|| ≤ M5
Bổ đề 2.6. Phương trình (2.30) thỏa mãn điều kiện Pm(t)A(t)Pm(t) = A(t)Pm(t)
có nghiệm x(t) ≡ 0 ổn định khi và chỉ khi nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình
Pmx(t) = A(t)Pmx(t), ∀m ∈ J (2.33)
là ổn định.
Hệ quả 2.1. Nếu tồn tại m0 ∈ J sao cho nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của
phương trình
Pm0x(t) = A(t)Pm0
x(t) (2.34)
không ổn định thì nghiệm tầm thường của phương trình (2.30) thỏa mãn điều
kiện Pn(t)A(t)Pn(t) = A(t)Pn(t) là không ổn định
2.3 Phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu dáng điệu
tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trong không
gian Hilbert
2.3.1 Khái niệm hàm Lyapunov trong không gian Hilbert
Xét phương trìnhdx
dt= f(t, x) (2.35)
37
Định nghĩa 2.9. Ta gọi phiếm hàm V : R+ × H → R+ gọi là phiếm hàm
Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai
Đạo hàm phải trên của V dọc theo nghiệm của (2.35) , kí hiệu là V.
lim đượcxác định bởi
V (t, x) = limh→0+
1
hV [t+ h, x+ hf(t, x)]− V (t, x)
Kí hiệu CIP là họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương
Định lý 2.6. (Định lí ổn định)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+×H → R+ và hàm a(.) ∈ CIP
thỏa mãn điều kiện :
(i) V (t, 0) = 0
(ii) a(||x||) ≤ V (t, x)
(iii) V (t, x) ≤ 0
Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (2.35) là ổn định.
Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, x) thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) ta sẽchứng minh nghiệm tầm thường x ≡ 0 của (2.35) là ổn định .Cho ε > 0 đủ bé, ta xác định mặt cầu Sε = x : x ∈ H, ||x|| = ε
Từ (i) suy ra 0 < a(ε) ≤ V (t, x), t ∈ R+, x ∈ Sε
Vì V (t, x) liên tục và V (t, 0) = 0 nên với t0 cố định và a(ε) > 0 tồn tại sốδ(t0, ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ(t0, ε) thì V (t0, x) < a(ε). Lấy x(t, t0, x0) là nghiệmcủa (2.35)sao cho x0 < δ, ta sẽ chỉ ra x(t, t0, x0) < ε, ∀t ≤ t0.
Thật vậy, giả sử ngược lại , tồn tại t1 > t0 sao cho nghiệm x(t, t0, x0) với||x0|| < δ thỏa mãn ||x(t1)|| = ε .Từ (iii), ta có: V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)). Từ đó, suy ra:
a(ε) ≤ V (t1, x(t1)) ≤ V (t0, x(t0)) < a(ε)
Điều này mâu thuẫn với giả thiết, do đó điều giả sử là sai. Như vậy, nếu ||x|| < δ
thì x(t, t0, x0) < ε, ∀t ≥ t0 tức nghiệm tầm thường x ≡ 0 ổn định.
Định lý 2.7. (Định lí ổn định đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+×H → R+ và hàm a(.), b(.) ∈
CIP thỏa mãn điều kiện :
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||)
(ii) V (t, x) ≤ 0
Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (2.35) là ổn định đều.
38
Chứng minh. Xét mặt cầu Sε = x : x ∈ H, ||x|| = ε
Theo (i), ta có a(ε) ≤ V (t, x), ∀x ∈ Sε.Đồng thời, do V (t, x) ≤ b(||x||) và b(||x||) ∈ CIP nên với a(ε) > 0 ta chọn được sốδ(ε) > 0 sao cho nếu ||x|| < δ thì b(||x||) < a(ε). Do đó, b(δ) < a(ε).
Lấy một nghiệm x(t, t0, x0) tùy ý của (2.35) với ||x0|| < δ(ε) thì với t0 cố địnhbất kì và từ giả thiết V (t, x) ≤ 0, ta có
a(||x||) ≤ V (t, x(t)) ≤ V (t0, x0) ≤ b(||x0||) ≤ b(δ) < a(ε), ∀t ≤ t0
Như vậy, với ||x0|| < δ(ε) thì ||x(t, t0, x0)|| < ε, ∀t ≥ t0. Do đó, nghiệm tầm thườngx ≡ 0 là ổn định đều.
Định lý 2.8. (Định lí ổn định tiệm cận đều)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R+ × H → R+ và hàm
a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện :
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||)
(ii) V (t, x) ≤ −c(||x||)
Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (2.35) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Áp dụng định lí trên ta thấy nghiệm x ≡ 0 là ổn định đều. Ta sẽchứng minh nó là ổn định tiệm cận đều. Thật vậy:Do nghiệm x ≡ 0 ổn định đều nên
∃δ0 > 0, ∀t0 ∈ R+, ||x|| ≤ δ0, x(t, t0, x0) < M < +∞, ∀t ≥ t0
Mặt khác, ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0, t0 ∈ R+, ||x|| ≤ δ(ε) ta có x(t, t0, x0) < ε, ∀t ≥ t0 .Bây giờ, ta cần chứng minh lim
t→+∞||x(t, t0, x0)|| = 0.
Giả sử ngược lại, tồn tại nghiệm x(t, t0, x0), t0 ∈ R+, ||x0|| ≤ δ0 mà limt→+∞
||x(t, t0, x0)|| 6=
0.Khi đó, tồn tại dãy tk với tk ≥ t0, lim
k→+∞tk = +∞ sao cho δ(ε) ≤ ||x(tk)|| < M .
Kết hợp với điều kiện V (t, x) ≤ −c(||x||), ta suy ra tồn tại γ = inf limδ(ε)
c(r) > 0 sao
choV (tk, x(tk)) < −γ
Do δ(ε) ≤ ||x(tk)|| < M nênt∫
t0
V.
lim(τ, x(τ))dτ ≤t∫
t0
γdτ .
Vậy V (t, x) ≤ V (t0, x0) − γ(t − t0) → −∞ khi t → +∞, mâu thuẫn với giả thiết(i). Điều này chứng tỏ điều giả sử là sai. Do đó, nghiệm tầm thường của (2.35)ổn định tiệm cận đều.
39
2.3.2 Sử dụng định lí Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm củamột lớp các PTVP trong không gian Hilbert
Trong không gian Hilbert tách được H, ta xét cơ sở trực chuẩn đếm đượcei
∞1 . Khi đó, với mọi x ∈ H ta đều viết được dưới dạng x = (x1, x2, ..., xn, ...)
với
x =
∞∑
i=1
xiei
Giả sử Pm : H → H là phép chiếu được xác định bởi
Pm(x) =
∞∑
i=1
xiei = (x1, x2, ..., xm, 0, 0, ...)
Đặt Hm = Pm(H), J = nm : nm ∈ N, m = (1, 2, ...) là dãy tăng thực sự trong N.Xét PTVP
dx
dt= f(t, x), t ≥ 0
với f : R+ ×H → H là toán tử thỏa mãn các điều kiện đảm bảo sự tồn tại duynhất nghiệm của bài toán Cauchy và thỏa mãn điều kiện
f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx), ∀m ∈ J, ∀x ∈ H (*)
Định nghĩa 2.10. Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của PTVP (2.35) và thỏa mãn
điều kiện (*) được gọi là ổn định từng phần theo tập J hay J - ổn định nếu với
bất kì m ∈ J, ε > 0 ta tìm được δ(ε,m) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ H, ||Pmx0|| < δ,
thì
||x(t, t0, Pmx0)|| < ε, ∀t > t0
Bổ đề 2.7. Trong không gian Hilbert hàm liên tục W(x) là xác định dương khi
và chỉ khi
W (x) : x ∈ H, ||x|| > 0 ≥ α > 0;W (0) = 0
Nếu H là không gian Hilbert hữu hạn chiều ta có tính chất sau:
Bổ đề 2.8. Giả sử H0 ⊂ Rn, khi đó nếu hàm W : H0 → R+ là một hàm liên tục
xác định dương thì limn→∞
W (ξn) = 0 ⇔ limn→∞
||ξn|| = 0, trong đó ξn là dãy phần tử
bất kì của H0
Chứng minh. Điều kiện đủ của bổ đề được suy ra trực tiếp từ tính liên tục củaW(x)Ta chứng minh điều kiện cần bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử ngược lại, ta có limn→∞
W (ξn) = 0 nhưng limn→∞
||ξn|| 6= 0, trong đó ξn là
40
dãy phần tử bất kì của H0. Theo định nghĩa giới hạn , tồn tại ε0 > 0 và dãyξnk ⊂ ξn
∞1 sao cho || ξnk || > ε0 khi nk → ∞.
Như vậy, theo định nghĩa của hàm liên tục xác định dương ta có
inf W (ξnk) : nk ∈ R ≥ inf W (ξ), ξ ∈ H0 : ||ξ|| ≥ ε0 > 0
Mặt khác, từ giả thiết ta có limnk→∞
W (ξnk) = 0, do đó ta có:
0 = inf W (ξnk) : nk ∈ R ≥ inf W (ξ), ξ ∈ H0 : ||ξ|| ≥ ε0 > 0
Điều này mâu thuẫn, chứng tỏ điều giả sử là sai. Vậy bổ đề được chứngminh.
Nhận xét: Kết quả của bổ đề không còn đúng nếu H0 ⊂ H với H là khônggian Hilbert vô hạn chiều.
Ví dụ 2.1. Trong H = l2, ta xét hàm W (x) =∞∑
n=1
x2nn
với x = (x1, x2, ..., xn, ...)
Chọn dãy ξn =
0, 0, ..., 0︸ ︷︷ ︸
n−1
, 1, 0, ...
Ta thấy, limn→∞
W (ξn) = 0 nhưng ||ξn|| = 1, ∀n ∈ N
Sau đây, ta sẽ đưa ra một phương pháp dùng hàm Lyapunov để nghiên cứutính ổn định nghiệm của một lớp các PTVP trong không gian Hilbert vô hạnchiều .Giả sử H0 là miền mở chứa điểm không của H. Lấy Z0 = R+ × PmH0. Xét
W = W (x) ∈ C(PmH0), V = V (t, x) ∈ Ctx(Z0)
là các hàm vô hướng xác định, liên tục lần lượt trên PmH0 và Z0
Định nghĩa 2.11. 1. Hàm V = V (t, x) được gọi là có dấu không đổi nếu
V (t, x) ≥ 0 hoặc V (t, x) ≤ 0 với (t, x) ∈ Z0.
2. Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z0 nếu tồn tại hàm W (x) ∈
C(PmH0) sao cho V (t, x) ≥ W (x) > 0 với ||x|| 6= 0 và V (t, 0) = W (0) = 0 .
3. Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn vô cùng bé khi x → 0 trong Z0 nếu
với t0 > 0 nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0 trên [t0,+∞) khi
||x|| → 0.
41
4. Hàm V = V (t, x) được gọi là có đạo hàm dọc theo nghiệm của của PTVPdx
dt= f(t, x) và thỏa mãn f(t, 0) = 0 và f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx), ∀m ∈ J nếu
tồn tại giới hạn
V (t, x) = limh→0+
1
hV [t+ h, x+ hf(t, Pm(x))]− V (t, x)
Ta kí hiệu V (t, x) ∈ C(1,1)(t,x)
Định lý 2.9. Nếu đối với mỗi m ∈ J, tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(1,1)(t,x)
xác
định dương và có đạo hàm V (t, x) có dấu không đổi âm, khi đó nghiệm tầm thường
x ≡ 0 của PTVPdx
dt= f(t, x) và thỏa mãn f(t, 0) = 0 và f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx)
là J- ổn định
Chứng minh. Ta cần chứng minh , nếu m ∈ J bất kì, ∀ε > 0, ∃δ(ε,m) > 0 sao cho∀ξ ∈ H0, ||Pmξ|| < δ thì ||x(t, t0, Pmξ)|| < ε, ∀t > t0.Theo giả thiết, tồn tại W(x) liên tục xác định dương sao cho
V (t, x) ≥ W (x) > 0, ||x|| 6= 0, V (t, 0) = W (0) = 0
Trong H0, xét mặt cầu Sε = x ∈ H0, ||Pmx|| = ε.Vì PmH0∩Sε là tập compact, do đó theo định lí Weierstrass, tồn tại x∗ ∈ PmH0∩Sε
mà cận dưới của W (x) đạt tại x∗ tức là
inf limx∈PmH0∩Sε
W (x) = W (x∗) = α > 0
Giả sử tồn tại t0 ∈ (a,∞) tùy ý. Hàm V (t0, x) liên tục theo x và do V (t0, 0) = 0
nên tồn tại một lân cận ||x|| < δ < ǫ sao cho 0 ≤ V (t0, x) < α với ||x|| < δ Xétnghiệm khác không tùy ý x = x(t) với điều kiện ban đầu x(t0) = Pmx0 thỏa mãn||Pmx0|| < δ.Do x(t, t0, Pmx0) = Pmx(t, t0, Pmx0), ta cần chứng minh
||Pmx(t, t0, Pmx0)|| < ε, ∀t > t0(∗)
Rõ ràng, khi t = t0 thì ||Pmx(t0)|| < δ < ε .Giả sử, (*) không thỏa mãn với mọi t ∈ [t0,+∞) và giả thiết t1 là giá trị nhỏ nhấtsao cho ||Pmx(t1, t0, Pmx0)|| = ε tức là ||Pmx(t1, t0, Pmx0)|| < ε với t0 ≥ t < t1 và||Pmx(t1)|| = ε.Kí hiệu v(t) = V (t, x(t)). Theo giả thiết của định lí, ta có v(t) = V (t, x(t)) ≤ 0
nên hàm v(t) không tăng dọc theo nghiệm x(t). Do đó, ta có
α > V (t0, x(t0)) ≥ V (t1, x(t1)) ≥ W (x(t1))α
Điều này là vô lí, như vậy nghiệm tầm thường là J - ổn định
42
Định lý 2.10. Giả sử mỗi m ∈ J, tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(1,1)(t,x)
có giới
hạn trên vô cùng bé khi x → 0 và có đạo hàm V (t, x) là hàm xác định âm, khi
đó nghiệm tầm thường x = 0 của PTVPdx
dt= f(t, x) và thỏa mãn f(t, 0) = 0,
f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx) là J- ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Vì V (t, x) là hàm xác định âm nên nó có dấu không đổi âm, do đótheo định lí trên nghiệm tầm thường là J - ổn định. ta còn phải chứng minh vớimỗi m ∈ J, ∃∆ > 0 sao cho nếu ξ ∈ H mà ||Pmξ|| < ∆ thì
limt→∞
||x(t, t0, Pmξ)|| = 0
Xét x(t) = x(t, t0, Pmξ), ta có: x(t, t0, Pmξ) = Pmx(t, t0, Pmξ).Xét hàm số
v(t) = V (t, Pmx(t)) = V (t, x(t))
Vì theo giả thiết v(t) =dV
dt< 0 nên v(t) là hàm đơn điệu giảm và bị chặn dưới,
nên nó có giới hạn hữu hạn
limt→∞
v(t) = inftv(t) = α ≥ 0
Ta sẽ chứng minh α = 0. Thật vậy: Giả sử α > 0, khi đó tồn tại β > 0 sao cho||x(t, t0, Pmξ)|| ≥ β khi t0 ≤ t < ∞. Vì nếu không xảy ra , tức là tìm được dãyt1, t2, ..., tk, ... → +∞ sao cho
limk→+∞
x(tk) = 0
Do đó, vì tồn tại giới hạn vô cùng bé bậc cao của V(t, x) khi x → 0 ta có
limk→+∞
v(tk) = limk→+∞
V (tk, Pmx(tk)) = 0
Điều này mâu thuẫn với α > 0.Như vậy, với α > 0 và do tính J - ổn định của nghiệm tầm thường ta có thể
giả thiết ||x(t, t0, Pmξ)|| ≤ h < H.Theo giả thiết , tồn tại W(x) liên tục , xác định dương thỏa mãn V (t, x) ≤ −W (x)
Đặt γ = infβ≤||x||≤h
W (x) > 0. Khi đó, ta có:
v(t) = v(t0) +
t∫
t0
V (τ, x(τ, Pmξ))dτ ≤ v(t0)−
t∫
t0
W (x(τ, Pmξ))dτ
Do đó, v(t) ≤ v(t0)−t∫
t0
γdτ = v(t0)−γ(t−t0). Khi t đủ lớn thì v(t) = V (t, Pmx(t)) <
0, trái với tính xác định dương của V(t, x). Vậy α = limt→+∞
V (t, Pmx(t)) = 0.
43
Ta tiếp tục chứng minh limt→+∞
||Pmx(t)|| = 0. Thật vậy:
Giả sử ε > 0 bé tùy ý và l = infε≤||Pmx||≤h
W (x) > 0.
Vì limt→+∞
V (t, Pmx(t)) = 0 nên tồn tại T > t0 sao cho V (T, Pmx(T )) < l. Vì
V (t, Pmx(t)) là hàm đơn điệu giảm nên ta có V (t, Pmx(t)) < l với t ≥ T . Dođó, với t > T thì
||Pmx(t)|| < ε
Thật vậy:Giả sử tồn tại t1 > T mà Pmx(t1) ≥ ε thì ta có
l > V (t1, Pmx(t1)) ≤ W (Pmx(t1)) ≥ l
Điều này là vô lí. Vậy limt→+∞
||Pmx(t)|| = 0
Định lý 2.11. Giả sử mỗi m ∈ J, tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C(1,1)(t,x)
có giới
hạn trên vô cùng bé khi x → 0 và có đạo hàm V (t, x) là hàm có dấu xác định.
Khi đó , nếu đối với số t0 > 0 nào đó trong lân cận S0 ⊂ Pm0H0 của điểm 0 tìm
được điểm (x0, t0) sao cho V (t0, x0).V (t0, x0) > 0 thì nghiệm tầm thường x ≡ 0
của PTVPdx
dt= f(t, x)
và thỏa mãn f(t, 0) = 0 và f(t, Pmx) = Pmf(t, Pmx) là J- không ổn định .
Chứng minh. Giả sử V (t, x) ≥ W (x) > 0 với (t, x) ∈ Z0, W(x) là hàm liên tục vàmang dấu dương.Theo giat thiết V (t, x) có giới hạn trên vô cùng bé khi x → 0 nên V (t, x) bị chặntrong hình trụ hẹp tức là
|V (t, x)| < M, t0 < t < ∞, ||x|| < ∆
x nằm trong lân cận S0 ⊂ Pm0H0 của điểm 0.
Giả sử δ > 0 nhỏ tùy ý. Nhờ giả thiết của định lí, tồn tại (x0, t0) với x0 ∈ S0 saocho
V (x0, t0) = α > 0
Đặt x(t) = x(t, t0, x0). Do x0 ∈ Pm0x0 nên ta có Pm0
x(t) = x(t). Xét
V (t, x(t)) ≥ V (t0, x0) = α > 0
Từ đó, suy ra tồn tại t1 > t0 sao cho ||x(t1)|| > ∆. Thật vậy:Giả sử ||x|| ≤ ∆ với t ≥ t0. Khi đó, nghiệm x(t) thác triển vô hạn bên phải.
44
Vì hàm V(t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 nên tồn tại β > 0 saocho
0 < β ≤ ||x(t)|| ≤ ∆, t0 ≤ t < ∞
Đặt γ = infβ≤||x||≤∆
W (x) > 0.
Do, ||x(t)|| nên ta có V (t, x(t)) ≥ γ, t0 ≤ t < ∞. Khi đó
V (t, x(t)) = V (t0, x(t0)) +
t∫
t0
V (τ, x(τ))dτ ≥ V (t0, x(t0)) + γ(t− t0)
Điều này trái với tính bị chặn của V(t, x) trong miền t0 ≤ t < ∞, ||x(t)|| < ∆. Vìvậy, điều giả sử là sai nghĩa là nghiệm tầm thường là J - không ổn định
Nhận xét: nghiệm tầm thường J- không ổn định thì không ổn định theoLyapunov
2.4 Một số ví dụ áp dụng
Ví dụ 2.2. Xét H = l2 và hệ phương trình
dx1dt
= −x1 + x2dx2dt
= −x1 − x2
..............dx2n−1
dt= −x2n−1 +
x2nn
dx2ndt
= −x2nn2
−x2nn
..............
Tương ứng với H2n = P2nX, ta lấy V2n = V (t, x) =2n∑
k=1
x2k2k−1
. Khi đó, x = 0 của hệ
là J - ổn định tiệm cận. Thật vậy:Ta thấy V(t, x) đạt giới hạn vô cùng bé khi x → 0.
45
d
dt
2n∑
k=1
x2k2k−1
=
n∑
k=1
1
22k−1x2k−1x2k−1 +
1
22kx2kx2k.
= −
n∑
k=1
1
2k[2x22k−1 − 2x2k−1.
x2kk
+x22kk2
+x22kk
]
= −
n∑
k=1
1
2k[x22k−1 +
x22kk
+ (x2k−1 −x2k
k)2]
Rõ ràng V (t, x) là hàm xác định âm. Vậy nghiệm tầm thường x ≡ 0 của hệ làJ - ổn định tiệm cận.
Ví dụ 2.3. Xét H = l2 và hệ
dx1dt
= −x1 + x2dx2dt
= −x1 − x2
..............dx2n−1
dt= −
x2n−1
n+ x2n
dx2ndt
= −x2n−1
n2−
x2nn
..............
Xét hàm V (t, x) =n∑
k=1
(x22k−1
k2+ x22k). Tương tự ví dụ trên ta thấy, nghiệm tầm
thường là J - ổn định tiệm cận nhưng nó không ổn định theo Lyapunov. Thậtvậy:Với ε =
1
2e
π
2 , chọn dãy δn =2
n, n ∈ N. Khi đó, với (0, ...,
1
n︸ ︷︷ ︸
2ns
0, 0, ...) thì ||x0n|| ≤ δn.
Mặt khác, x(t, 0, x0n) = (0, 0, ..., et
nsint
n,1
ne
t
n cost
n, 0, ...) nên với tn =
nπ
2thì
||x(nπ
2, 0, x0n)|| = e
−π
2 > ε0
Như vậy, nghiệm tầm thường không ổn định theo Lyapunov
Ví dụ 2.4. Mô hình Lotka-Volterra có chậm.Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra.Dạng khái quát của mô hình thú - mồi thường được mô tả bởi hệ phương trìnhsau đây
xt = f(xt)− l(xt, yt),
yt = g(yt) + el(xt, yt).(2.36)
46
với t ≥ 0, với điều kiện ban đầu
x(t) = ϕ1(t)
y(t) = ϕ2(t)
với t ∈ [−h, 0] ở đây, dấu (+) hoặc (−) trước hàm l(x, y) biểu thị kết quả tươngtác giữa hai loài thú hoặc mồi (đối với loài thú ta lấy dấu (+) và đối với loàimồi ta lấy dấu (−)), ta thường chọn l(x, y) = α
xy
K.
• Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0],R2) là không gian Banach các hàm liêntục trên [−h, 0] và nhận giá trị trong R2. Với ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ đượcđịnh nghĩa là:
||ϕ|| = sup−h≤θ≤0
|ϕ(θ)|.
• Giả sử t0 ∈ R, A > 0 và u ∈ C ([t0 − h, t0 + A] ,Rn) ta xác định hàm:
ut ∈ C, ut(θ) = u(t+ θ), −h ≤ θ ≤ 0.
Trong đó u =< x, y >. Giả sử f, g : R → R là liên tục thỏa mãn điều kiệnLipchitz, l : R2 → R2 liên tục thỏa mãn điều kiện Lipchitz
Định nghĩa 2.12. Hàm ut được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (2.36)
trên [t0 − h, t0 + A] nếu xt ∈ C([−h,A],Rn), (t, x(t)) ∈ Ω và ut thỏa mãn phương
trình (2.36) với t ∈ [t0, t0 + A].
Định nghĩa 2.13. Cho t0 ∈ R, ϕ ∈ C, hàm u(t0, ϕ) được gọi là nghiệm của
phương trình vi phân (2.36) với giá trị ban đầu ϕ tại t = t0, nếu tồn tại số A > 0
sao cho u(t0, ϕ) là một nghiệm của (2.36) trên [t0 − h, t0 + A] và ut0(t0, ϕ) = ϕ.
Bổ đề 2.9. Giả sử f là hàm liên tục và nghiệm x(t) của phương trình (2.36) đi
qua (t0, ϕ), ϕ ∈ C sẽ tương đương với phương trình tích phân
x(t) =t∫
0
[f(xs)− h(xs, ys)]ds,
y(t) =t∫
0
[g(ys) + eh(xs, ys)]ds
(2.37)
với t ≥ 0, với điều kiện ban đầu
x(t) = ϕ1(t)
y(t) = ϕ2(t)
với t ∈ [−h, 0]
47
Bằng phương pháp tương tự như trong phần 1.1.2 , chúng ta có thể chứngminh được hệ phương trình vi phân hàm trên là có nghiệm duy nhất nhờ nguyênlí điểm bất động với chuẩn Bielecki.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu tính ổn định tiệm cận củaphương trình dạng Lotka-Volterra có chậm.Xét mô hình cạnh tranh Lotka-Volterra có chậm cho bởi hệ sau:
x(t) = x(t) [b1 − a11x(t− τ11)− a12y(t− τ12)]
y(t) = y(t) [b2 − a21x(t− τ21)− a22y(t− τ22)](2.38)
với điều kiện ban đầu
x(t) = Φ1(0) + Φ1(t) ≥ 0 t ∈ [τ, 0],Φ1(0) > 0,
y(t) = Φ2(0) + Φ2(t) ≥ 0 t ∈ [τ, 0],Φ2(0) > 0,
τ = max τij .
(2.39)
trong đó x(t), y(t) là mật độ của hai loài tại thời điểm t, các bi và aij là nhữnghằng số dương, τij không âm.
Nếu tất cả các thời gian chậm τij đều bằng không thì hệ (2.38) sẽ trở về trườnghợp đơn giản
x(t) = x(t) [b1 − a11x(t)− a12y(t)]
y(t) = y(t) [b2 − a21x(t)− a22y(t)](2.40)
Nếua11a21
>b1b2
>a12a22
, (2.41)
thì trong tất cả nghiệm Z(t) = (x(t), y(t)) của (2.40) sẽ có điểm cân bằng Z∗ =
(x∗, y∗) khi t → +∞, trong đó
x∗ =b1a22 − b2a12a11a22 − a21a12
, y∗ =b2a11 − b1a21a11a22 − a21a12
. (2.42)
Tính ổn định tiệm cận địa phương Ta thấy từ điều kiện (2.41), hệ (2.38) cóđiểm cân bằng Z∗ = (x∗, y∗), với x∗, y∗ được xác định như trong (2.42).Đặt
u(t) = x(t)− x∗, v(t) = y(t)− y∗
Khi đó (u(t), v(t)) thỏa mãn hệ phương trình
u(t) = (u(t) + x∗) [−a11u(t− τ11)− a12v(t− τ12)]
v(t) = (v(t) + y∗) [−a21u(t− τ21)− a22v(t− τ22)](2.43)
48
Ta thấy (2.43) là biến thiên của (2.38) với điểm cân bằng Z∗ = (x∗, y∗) một hệphương trình tuyến tính
u(t) = −a11x∗u(t− τ11)− a12x
∗v(t− τ12)
v(t) = −a21y∗u(t− τ21)− a22y
∗v(t− τ22)(2.44)
Đặt
p11 = a11(2a11τ11 + a12τ12 + a12τ11), p12 = a12(2a12τ12 + a11τ11 + a11τ12)
p21 = a21(2a21τ21 + a22τ22 + a22τ21), p22 = a22(2a22τ22 + a21τ21 + a21τ22)
q1 = a11a21(τ11 + τ21) +1
2a11a22(τ11 + τ22) +
1
2a12a21(τ12 + τ21)
q2 = a12a22(τ12 + τ22) +1
2a11a22(τ11 + τ22) +
1
2a12a21(τ12 + τ21)
α =a222 + a221
a11a22 + a12a21, β =
a211 + a212a11a22 + a12a21
, γ =2(a12y
∗α + a21x∗β)
a11x∗ + a22y∗,
∆ = a11a22 − a21a12, r1 =2(x∗ + y∗α)∆
x∗(a11x∗ + a22y∗), r2 =
2(y∗ + x∗β)∆
y∗(a11x∗ + a22y∗).
Định lý 2.12. Với giả thiết (2.41). Nếu các biến chậm τij thỏa mãn
αp11 + βp21 + γq1 < r1
αp12 + βp22 + γq2 < r2(2.45)
thì điểm cân bằng Z∗ = (x∗, y∗) của hệ (2.43) là ổn định tiệm cận địa phương.
Chứng minh. Hệ phương trình (2.44) có thể viết dưới dạng sau
(u(t)x∗ − a11
∫ t
t−τ11u(s)ds− a12
∫ t
t−τ12v(s)ds
)′
= −a11u(t)− a12v(t)(v(t)y∗ − a21
∫ t
t−τ21u(s)ds− a22
∫ t
t−τ22v(s)ds
)′
= −a21u(t)− a22v(t).
(2.46)
Đặt
A(t) =u(t)
x∗− a11
∫ t
t−τ11
u(s)ds− a12
∫ t
t−τ12
v(s)ds
B(t) =v(t)
y∗− a21
∫ t
t−τ21
u(s)ds− a22
∫ t
t−τ22
v(s)ds
Chúng ta sẽ chứng minh định lý bằng việc sử dụng phiếm hàm Lyapunov:
W (t) = αW1(Z)(t) + βW2(Z)(t) + γW3(Z)(t). (2.47)
trong đó
W1(t) = W11(Z)(t) +W12(Z)(t)
W2(t) = W21(Z)(t) +W22(Z)(t)
W3(t) = W31(Z)(t) +W32(Z)(t)
49
với các Wij(Z)(t) được xác định như trong phần dưới đây: Đầu tiên ta xét hàmvô hướng W11(Z)(t), trong đó Z(t) = (u(t), v(t)).
W11(Z)(t) = A2(t) (2.48)
Đạo hàm dọc theo nghiệm của (2.46): dW11(Z)(t)/dt được cho bởi
dW11(Z)(t)
dt= −2(a11u+ a12v)A(t) = −
2a11x∗
u2 −2a12x∗
uv + 2(a11u+ a12v)
×
(
a11
∫ t
t−τ11
u(s)ds+ a12
∫ t
t−τ12
v(s)ds
)
Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ 12(a
2 + b2), ta có
2a211u(t)
∫ t
t−τ11
u(s)ds = 2a211
∫ t
t−τ11
u(t)u(s)ds ≤ a211
[
u2(t)τ11 +
∫ t
t−τ11
u2(t)ds
]
Làm tương tự như vậy, ta thu được
dW11(Z)(t)
dt≤ −
2a11x∗
u2 −2a12x∗
uv + a11τ11(a11u2 + a12v
2) + a12τ12(a11u2 + a12v
2)
+a11(a11 + a12)
∫ t
t−τ11
u2(s)ds+ a12(a11 + a12)
∫ t
t−τ12
v2(s)ds. (2.49)
Tiếp theo ta đặt
W12(Z)(t) = (a11 + a12)
[
a11
∫ t
t−τ11
∫ t
s
u2(l)dlds+ a12
∫ t
t−τ12
∫ t
s
v2(l)dlds
]
khi đódW12(Z)(t)
dt= a11(a11 + a22)
[
τ11u2(t)−
∫ t
t−τ11
u2(s)ds
]
+a12(a11 + a22)
[
τ12v2(t)−
∫ t
t−τ12
v2(s)ds
]
. (2.50)
Như định nghĩa W1(t) = W11(Z)(t) +W12(Z)(t). Do đó, từ (2.48) và (2.53) ta có
dW1(t)
dt≤ −
(2a11x∗
− p11
)
u2 −2a12x∗
uv + p12v2. (2.51)
Tiếp theo, đặtW21(Z)(t) = B2(t), (2.52)
Làm tương tự như trên ta có:
dW21(Z)(t)
dt≤ −
2a22y∗
v2 −2a21y∗
uv + a21τ21(a21u2 + a22v
2) + a22τ22(a21u2 + a22v
2)
50
+a21(a21 + a22)
∫ t
t−τ21
u2(s)ds+ a22(a21 + a22)
∫ t
t−τ22
v2(s)ds. (2.53)
W22(Z)(t) = (a22 + a21)
[
a22
∫ t
t−τ22
∫ t
s
v2(l)dlds+ a21
∫ t
t−τ21
∫ t
s
u2(l)dlds
]
(2.54)
VàdW2(t)
dt≤ −
(2a22y∗
− p22
)
v2 −2a21y∗
uv + p21u2. (2.55)
Và cuối cùng ta lấyW31(Z)(t) = −A(t)B(t), (2.56)
Khi đó
dW31(Z)(t)
dt=
a21x∗
u2 +a12y∗
v2 +
(a22x∗
+a11y∗
)
uv
− (a11u+ a12v)
(
a21
∫ t
t−τ21
u(s)ds+ a22
∫ t
t−τ22
v(s)ds
)
− (a21u+ a22v)
(
a11
∫ t
t−τ11
u(s)ds+ a12
∫ t
t−τ12
v(s)ds
)
≤a21x∗
u2 +a12y∗
v2 +
(a22x∗
+a11y∗
)
uv
+1
2
[(a11u
2 + a12v2)(a21τ21 + a22τ22)
]
+1
2
[
(a11 + a12)
(
a21
∫ t
t−τ21
u2(s)ds+ a22
∫ t
t−τ22
v2(s)ds
)]
+1
2
[(a21u
2 + a22v2)(a11τ11 + a12τ12)
]
+1
2
[
(a21 + a22)
(
a11
∫ t
t−τ11
u2(s)ds+ a12
∫ t
t−τ12
v2(s)ds
)]
với
W32(Z)(t) =1
2(a11 + a12)
(
a21
∫ t
t−τ21
∫ t
s
u2(l)dlds+ a22
∫ t
t−τ22
∫ t
s
v2(l)dlds
)
+1
2(a21 + a22)
(
a11
∫ t
t−τ11
∫ t
s
u2(l)dlds+ a12
∫ t
t−τ12
∫ t
s
v2(l)dlds
)
Từ W3(t) = W31(Z)(t) +W32(Z)(t), tương tự như phần trước ta suy ra
dW3(t)
dt≤(a21x∗
+ q1
)
u2 +
(a12y∗
+ q2
)
v2 +
(a22x∗
+a11y∗
)
uv. (2.57)
51
Từ các biểu thức của W1(t),W2(t),W3(t) và W (t), ta có:
W (t) = αA2(t)+βB2(t)−γA(t)B(t)+αW12(Z)(t)+βW22(Z)(t)+γW32(Z)(t) (2.58)
Dễ thấy
γ2 − 4αβ =
−4∆
(a12a21 + a11a22)[(a
222 + a221)y
∗ + (a211 + a212)x∗] + 2(a222 + a221)(a
211 + a212)x
∗y∗
(a11x∗ + a22y∗)2(a11a22 + a12a21)2
< 0
Do đó, ta cóαA2(t) + βB2(t)− γA(t)B(t) > 0.
Khi đó, ta có W (t) > 0.Từ (2.51), kết hợp với (2.53), (2.57) và (2.58) ta có:
dW (t)
dt≤ −η1u
2 − η2v2, (2.59)
trong đó
η1 = r1 − αp11 − βp21 − γq1
η2 = r2 − αp12 − βp22 − γq2
Từ bất đẳng thức (2.44) ta thấy rằng η1 > 0, η2 > 0. Đặt η = min η1, η2, khi đótừ (2.44) ta suy ra
W (t) + η
∫ t
T
[u2(s) + v2(s)]ds ≤ W (T ) với t ≥ T. (2.60)
và u2(t) + v2(t) ∈ L1[T,∞). Dễ thấy rằng từ (2.43) và tính bị chặn của Z(t), ta cóthể suy ra
limt→∞
[u2(t) + v2(t)
]= 0
do đó nghiệm tầm thường của hệ (2.43) là ổn định tiệm cận địa phương.
Ví dụ 2.5. Xét phương trình
dx
dt= A(t)x+ f(t, xt), t ≥ 0
x(t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ 0(2.61)
trong đó A(t) ∈ L(H) thỏa mãn điều kiện A(t) = −A∗(t), ∀t ∈ R+ và f : R+×H →
H liên tục mạnh thỏa mãn điều kiện Lipchitz
||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ α(t)||x− y||
52
Mệnh đề 2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.61) là ổn định
đều
Chứng minh. Kí hiệu (U(t, s))t≥s là họ toán tử tiến hóa sinh bởi A(t) được xácđịnh bởi
U(t, s)x = x+
t∫
s
A(τ)U(τ, s)xdτ
Khi đó, áp dụng bổ đề Gronwall - Belman ta có
supt≥s≥0
||U(t, s)|| ≤ M (2.62)
Mặt khác, nghiệm của phương trình (2.61) được xác định bởi
x(t) = U(t, 0)ϕ(0) +t∫
0
U(t, τ)f(t, xτ )dτ, t ≥ 0
x(t) = ϕ(t), −h ≤ t ≤ 0
(2.63)
Chú ý rằng, nếu kí hiệu C = C(R+, H) thì x(t) ∈ C, khi đó áp dụng nguyênlí ánh xạ co với chuẩn Bielecki trên không gian B = C([0, T ], C) chúng ta có thểchỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có chậm (2.61).
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình (2.61)
là ổn định đều. Thật vậy:Ta có
||x(t)||C ≤ ||U(t, 0)||.||ϕ(0)||+
t∫
0
||U(t, τ)||.||f(τ, xτ)||dτ
≤ M.||ϕ(0)||+M
t∫
0
α(t)||xτ ||dτ
≤ M.||ϕ(0)||+M
t∫
0
α(t)||xτ ||Cdτ
Áp dụng bổ đề Gronwall - Belman, ta có
||x(t)||C ≤ M ||ϕ(0)||.eM∫
t
0α(τ )dτ
Như vậy:||x(t)|| ≤ M ||ϕ(0)||.eM
∫t
0α(τ )dτ ≤ M∗||ϕ(0)||
53
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một cách chi tiết về dáng điệu tiệm cận nghiệm củaphương trình vi phân trong không gian Hilbert. Nội dung chính của luận vănbao gồm:
1 Trình bày về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trongkhông gian Banach.
2 Trình bày về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân trongkhông gian Hilbert Đóng góp chính trong luận văn là chỉ ra có thể nghiêncứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong một không gianvô hạn chiều thông qua việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phươngtrình vi phân trong không gian hữu hạn chiều bằng phương pháp rút gọnhệ về phương trình dạng tam giác trên.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết
ổn định, NXB Giáo dục (2000).
[2] G. Belickii , Equivalence and normal forms of smooth mappings, RussianMath . Surveys 33 (1978), 107 - 177
[3] C. Chicone and Yu. Latushkin , Evolution Semigroups in Dynamics Sys-
tems and Differential Equations, Mathematical Surveys and Monographs70 Surveys, Amer. Math. Soc., 1999.
[4] E.Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equa-
tions, McGraw - Hill, 1955.
[5] Ju. Dalecki and M. Krein , Stability of Solutions of Differential Equation
on Banach Space, Translation of Mathematical Monographs 43, Amer.Math. Soc., 1974.
[6] Luis Barreira - Claudia Valls , Stability of Nonautonomous differential
Equation , Springer - Verlag Berlin Heidelgerg 2008.
[7] A. Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion , Taylorand Francis, 1922.
[8] J. Massera and J.Schaffer, Linear Differential Equations and Function
Spaces , Pure and Applied Mathematics 21, Academic Press, 1966.
Tài liệu tham khảo 56
[9] G. Sell and Y. You, Dynamics of Evolutionary Equations , AppliedMathematical Sciences 143, Springer, 2002.
