Embed Size (px)
Citation preview
learn.quipper.com
ENGLISH
LUYỆN THI THPT - QG
Tiệm cận
ANH VĂN TOÁN HỌC HÓA HỌC VẬT LÝ
Tiệm cận | learn.quipper.com 2
Tiệm cận
a. TIỆM CẬN
I. Định nghĩa
II. Cách tìm tiệm cận:
M ụ c t i ê u b à i h ọ c
N ộ i d u n g b à i h ọ c
1
• Biết được khái niệm, phân dạng tiệm cận.
• Tìm được tiệm cận của một số hàm số.
Cho đồ thị (C) của hàm số y f(x)= .
• Điểm M ( )x,f(x) thuộc (C) được gọi là tiến ra vô cùng trên (C) khi x → ±∞ hay f(x)→±∞ .
• Đường thẳng (D) được gọi là tiệm cận của đồ thị (C) nếu ( )d M,(D) 0→ khi M tiến ra vô cùng trên (C)
(trong đó ( )d M,(D) là khoảng cách từ M tới (D)).
+ Tiệm cận (D) được gọi là tiệm cận ngang khi (D) vuông góc với trục tung.
+ Tiệm cận (D) được gọi là tiệm cận đứng khi (D) vuông góc với trục hoành.
+ Tiệm cận (D) được gọi là tiệm cận xiên khi (D) không vuông góc với cả hai trục tọa độ.
1. Tiệm cận ngang:
xlim f(x) b y b→±∞
= ⇔ = là tiệm cận ngang.
2. Tiệm cận đứng:
x alim f(x) x a→
= ±∞⇔ = là tiệm cận đứng.
Nếu x alim f(x)→ +
= ∞ thì x a= là tiệm cận đứng bên phải.
Nếu x alim f(x)→ −
= ∞ thì x a= là tiệm cận đứng bên trái.
Tiệm cận | learn.quipper.com 3
3.Tiệm cận xiên:
Công thức 1:
Nếu f(x) ax b (x)= + + ε (với xlim (x) 0→±∞
ε = ) thì đường thẳng y ax b= + là tiệm cận xiên.
Công thức 2:
Nếu x
f(x)a limx→±∞
= và ( )x
b lim f(x) ax→±∞
= − thì đường thẳng y ax b= + là tiệm cận xiên.
Chú ý:
Nếu y f(x)= có tập xác định là R thì hàm số không có tiệm cận đứng .
Không thể tồn tại cùng lúc tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (có thể xảy ra tiệm cận ngang khi x→+∞ và có tiệm
cận xiên khi x →−∞ hoặc ngược lại).
Ví dụ 1: Tìm tiện cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:2x 1yx 3+
=−
Giải:
Tập xác định: x 3≠
Ta có: x x x
1x 2
2x 1 xlim y lim lim 23x 3 x 1x
→∞ →∞ →∞
++
= = =− −
Nên y 2= là tiệm cận ngang.
Ta có: x 3 x 3
2x 1lim y lim
x 3→ + → +
+= = +∞
−;
x 3 x 3
2x 1lim y lim
x 3→ − → −
+= = −∞
−
Nên x 3= là tiệm cận đứng.
Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: 4yx 2
=−
Giải:
Tập xác định: x 2≠ .
Ta có: x x
4lim y lim 0
x 2→∞ →∞= =
−
Nên y 0= là tiệm cận ngang.
Ta có: x 2 x 2
4lim y lim
x 2→ + → += = +∞
−;
x 2 x 2
4lim y lim
x 2→ − → −= = −∞
−
Nên 2x = là tiệm cận đứng.
Ví dụ 3: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: 2
2
3x 2x 1yx 3x 2
− +=
− +
Giải:
Tập xác định: x 1≠ và x 2≠ .
Tiệm cận | learn.quipper.com 4
Ta có:
22 2
2x x x 22
2 1x 3
3x 2x 1 x xlim y lim lim 33 2x 3x 2 x 1x x
→∞ →∞ →∞
− +− +
= = =− + − +
Nên y 3= là tiệm cận ngang.
Ta có: 2
x 1 x 1
3x 2x 1lim y lim
(x 1)(x 2)→ + → +
− += = −∞
− − và
2
x 1 x 1
3x 2x 1lim y lim
(x 1)(x 2)→ − → −
− += = +∞
− −
Nên x 1= là tiệm cận đứng.
Ta có: 2
x 2 x 2
3x 2x 1lim y lim
(x 1)(x 2)→ + → +
− += = +∞
− − và
2
x 2 x 2
3x 2x 1lim y lim
(x 1)(x 2)→ − → −
− += = −∞
− −
Nên x 2= là tiệm cận đứng.
Ví dụ 4: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: 2
2x 3yx 4x 4
+=
− +
Giải:
Tập xác định: x 2≠ .
Ta có:
22
2x x x 22
2 3x
2x 3 x xlim y lim lim 04 4x 4x 4 x 1x x
→∞ →∞ →∞
++
= = =− + − +
Nên y 0= là tiệm cận ngang.
Ta có: 2x 2 x 2
2x 3lim y lim
(x 2)→ →
+= = +∞
−
Nên x 2= là tiệm cận đứng.
Ví dụ 5: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau: sinxy
x=
Giải:
Tập xác định: x 0≠ .
Ta có: x 0 x 0
sin xlim y lim 1
x→ →= =
Nên đồ thị không có tiệm cận đứng.
Ta có: x x
sin xlim y lim 0
x→∞ →∞= = (vì sinx 1≤ )
Nên y 0= là tiệm cận ngang.
Tiệm cận | learn.quipper.com 5
Ví dụ 6: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số sau:2
2x 1y
x x 4
+=
− +Giải:
Tập xác định: D R= .
Vì hàm số xác định với mọi x nên đồ thị không có tiệm cận đứng.
Ta có:
22
2x x x 22
2 1x
2x 1 x xlim y lim lim 01 4x x 4 x 1x x
→∞ →∞ →∞
++
= = =− + − +
Nên y 0= là tiệm cận ngang.
Ví dụ 7: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:22x 3x 1
yx 1+ +
=−Giải:
Tập xác định: x 1≠
Ta có: 2
x 1 x 1
2x 3x 1lim y lim
x 1→ + → +
+ += = +∞
−;
2
x 1 x 1
2x 3x 1lim y lim
x 1→ − → −
+ += = −∞
−
Nên x 1= là tiệm cận đứng.
Ta có: 22x 3x 1 6
y 2x 5x 1 x 1+ +
= = + +− −
Với x
6lim 0
x 1→∞=
− nên y 2x 5= + là phương trình của tiệm cận xiên.
Vì đồ thị có tiệm cận xiên nên không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 8: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 24x 2x 1
y2x 1+ +
=−
Giải:
Tập xác định: 1x2
≠ .
Ta có: 2
1 1x x
2 2
4x 2x 1lim y lim
2x 1→ + → +
+ += = +∞
−;
2
1 1x x
2 2
4x 2x 1lim y lim
2x 1→ − → −
+ += = −∞
−
Nên 1x2
= là tiệm cận đứng.
Ta có: 24x 2x 1 3
y 2x 22x 1 2x 1+ +
= = + +− −
Với x
3lim 0
2x 1→∞=
− nên y 2x 2= + là phương trình của tiệm cận xiên.
Vì đồ thị có tiệm cận xiên nên không có tiệm cận ngang.
2
Tiệm cận | learn.quipper.com 6
Ví dụ 9: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 3 2
2
x x 1y
x 1
+ +=
−
Giải:
Tập xác định: x 1≠ ± .
Ta có: 3 2
2x 1 x 1
x x 1lim y lim
x 1→ + → +
+ += = +∞
−;
3 2
2x 1 x 1
x x 1lim y lim
x 1→ − → −
+ += = −∞
−
3 2 3 2
2 21 1 1 1
1 1lim lim ; lim lim1 1x x x x
x x x xy yx x+ + − −→− →− →− →−
+ + + += = −∞ = = +∞
− −
Nên x 1= , 1x = − là tiệm cận đứng.
Ta có: 3 2
2 2
x x 1 x 2y x 1
x 1 x 1
+ + += = + +
− −
Với
22
2x x 22
1 2x
x 2 x xlim lim 01x 1 x 1x
→∞ →∞
++
= =− −
Nên y x 1= + là phương trình của tiệm cận xiên.
Vì đồ thị có tiệm cận xiên nên không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 10: Tìm tham số m để đồ thị của hàm số 2x 2x m
yx 1− +
=+
có tiệm cận. Tìm các tiệm cận.
Giải:
Tập xác định: x 1≠ − .
Ta có: 2x 2x m m 3
y x 3x 1 x 1− + +
= = − ++ +
Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì m 3 0+ ≠ nên m 3 0+ ≠m 3 0+ ≠m 3= −
(vì khi m 3= − thì y x 3= − là hàm đa thức nên không có tiệm cận).
2
x 1 x 1
x 2x mlim y lim
x 1→− →−
− += = ±∞
+
(khi x 1→ − thì 2x 2x m m 3 0− + → + ≠ )
Nên x 1= − là tiệm cận đứng.
2x 2x m m 3y x 3
x 1 x 1− + +
= = − ++ +
với x
m 3lim 0
x 1→∞
+=
+
Nên y x 3= − là tiệm cận xiên.
Vì có tiệm cận xiên nên không có tiệm cận ngang.
Tiệm cận | learn.quipper.com 7
Ví dụ 11: Tìm và biện luận theo tham số m về tiệm cận của đồ thị hàm số 2
x 1y
x 2x m
−=
− +Giải:
Xét phương trình: 2x 2x m 0− + = (*)
' 1 m∆ = −
+ Với m 1= : 2 2 2
x 1 x 1 x 1 1y
x 1x 2x m x 2x 1 (x 1)
− − −= = = =
−− + − + − với x 1≠
x 1 x 1
1lim y lim
x 1→ + → += = +∞
− ; x 1 x 1
1lim y lim
x 1→ − → −= = −∞
−
Nên có tiệm cận đứng là x 1= .
x x
1lim y lim 0
x 1→∞ →∞= =
−
Nên có tiệm cận ngang là y 0= .
Suy ra không có tiệm cận xiên.
+ Với m 1> : ' 1 m 0∆ = − < nên (*) vô nghiệm
Do đó đồ thị không có tiệm cận đứng.
2x x
x 1lim y lim 0
x 2x m→∞ →∞
−= =
− +
Nên có tiệm cận ngang là y 0= .
Suy ra không có tiệm cận xiên.
+ Với m 1< : ' 1 m 0∆ = − > nên (*) có 2 nghiệm phân biệt là
1 2x 1 1 m ; x 1 1 m= − − = + −
Vì hai nghiệm vừa nêu đều khác 1, nên ta có:
1 1
2x x x x
x 1lim y lim
x 2x m→ →
−= = ±∞
− +
2 22x x x x
x 1lim y lim
x 2x m→ →
−= = ±∞
− +
Do đó đồ thị có 2 tiệm cận đứng có phương trình là:
x 1 1 m ; x 1 1 m= − − = + −
Đồ thị tiếp tục nhận y 0= làm tiệm cận ngang.
Vì trong các trường hợp nêu trên đồ thị luôn có tiệm cận ngang nên không có tiệm cận xiên.
III. Tìm tiệm cận của các hàm số có dạng căn thức:
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau:2y x 4x 5= + +
Giải:
Tập xác định: D = R. Với tập xác định là R nên hàm số không có tiệm cận đứng.
3
Tiệm cận | learn.quipper.com 8
Tìm tiệm cận xiên:
2 2
x x x
4 5| x | 1
y x 4x 5 x xa lim lim limx x x→∞ →∞ →∞
+ ++ +
= = =
+ Xét x → +∞ : x x=
2
2x x
4 5x 1
4 5x xa lim lim 1 1x x x→∞ →∞
+ += = + + =
( )2
2x x x
4x 5b lim(y ax) lim x 4x 5 x lim
x 4x 5 x→∞ →∞ →∞
+= − = + + − =
+ + +
x
2
5x 4
xlim 24 5
x 1 1x x
→∞
+= =
+ + +
Do đó y x 2= + là tiện cận xiên khi x → +∞
+ Xét x → −∞ : x x= −
2
2x x
4 5x 1
4 5x xa lim lim 1 1x x x→−∞ →−∞
− + += = − + + = −
( )2
2x x x
4x 5b lim (y ax) lim x 4x 5 x lim
x 4x 5 x→−∞ →−∞ →−∞
+= − = + + + =
+ + −
x
2
5x 4
xlim 24 5
x 1 1x x
→∞
+= = −
− + + +
Do đó y x 2= − − là tiệm cận xiên khi x → −∞
Vì đồ thị có tiệm cận xiên nên không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 2y x x 4= − +Giải:
Tập xác định: D = R
Với tập xác định là R nên hàm số không có tiệm cận đứng.
+ Xét x → +∞ :
( )2
2x x x
4lim y lim x x 4 lim 0
x x 4→+∞ →+∞ →+∞
−= − + = =
+ +
Tiệm cận | learn.quipper.com 9
Nên y 0= là tiệm cận ngang. Do đó không có tiệm cận xiên.
+ Xét x → −∞ : 2x x= −
22
x x x
4x 1 1
xy x x 4a lim lim lim 2
x x x→−∞ →−∞ →−∞
+ +− +
= = = =
( ) ( )2 2
x x xb lim (y ax) lim x x 4 2x lim x 4 x
→−∞ →−∞ →−∞= − = − + − = − + +
2x
4lim 0
x 4 x→−∞= − =
+ −
Do đó y 2x= là tiệm cận xiên khi x → −∞ , lúc đó không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 3 3y x x= −Giải:
Tập xác định: x R∈
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Tìm tiệm cận xiên:
3 3 332x x x
y 1 x 1a lim lim x x lim 1 1 1
x x x x→∞ →∞ →∞= = − − = =
( )3 3
x xb lim(y ax) lim x x x
→∞ →∞= − = − −
( )3 3
2 2x x3 33 3 22 3 3
2 2
(x x) x xlim lim 0
1 1x x x x x x x 1 1 1x x
→∞ →∞
− − −= == =
− + − + − + − +
Do đó: y x= là tiệm cận xiên. Suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 4: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: x 2x
xy −=
Giải:
Hàm số có miền xác định thỏa x 2 0 x(x 2) 0 (x 0)x−
≥ ⇔ − ≥ ≠
x 0 hay x 2⇔ < ≥
Tìm tiệm cận đứng:
Ta có:
x 0 x 0
x 2lim y lim xx→ − → −
−=
( )2
x 0
x x 2lim
x→ −
−= − (vì x 0< thì
2x x= − )
( )
x 0lim x x 2 0→
= − − =
: do đó hàm số không có tiệm cận đứng.
Tiệm cận | learn.quipper.com 10
Tìm tiệm cận xiên:
x x x
y x 2 2a lim lim lim 1 1x x x→±∞ →±∞ →∞
−= = = − =
( )x x x
x 2 x 2b lim y ax lim x x lim x 1x x→±∞ →±∞ →±∞
− −= − = − = −
x x
x 2 1 2xlim x lim 1x 2 x 21 1
x x
→±∞ →±∞
−− − = = = −
− −+ +
Vậy y x 1= − là tiệm cận xiên.
Suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.
Ví dụ 5: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 2y 2x 1 x= + +
Giải:
Tập xác định: D = R. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Tìm tiệm cận xiên
Ta có: ( ) 2 2
x x x
1| x | 1
f x 1 x xa lim lim 2 lim 2x x x→∞ →∞ →∞
++
= = + = +
+ Với x → +∞ : x x=
2x
1a lim 2 1 3x→+∞
= + + =
( ) ( )2
x xb lim f(x) ax lim x 1 x
→+∞ →+∞= − = + −
2x
1lim 0x 1 x→+∞
= =+ +
Do đó y 3x= là tiệm cận xiên (khi x → +∞ )
+ Với x → −∞ : x x= −
2x x
f(x) 1a lim lim 2 1 1x x→−∞ →−∞
= = − + =
( ) ( )2
x xb lim f(x) ax lim x x 1
→−∞ →−∞= − = + +
2x
1lim 0x x 1→−∞
−= =
− +
Nên y x= là tiệm cận xiên (khi x → −∞ )
Vì hàm số có tiệm cận xiên ở cả 2 phía x → ±∞ nên không có tiệm cận ngang.
Tiệm cận | learn.quipper.com 11
Ví dụ 1: Tìm tham số m để tiệm cận xiên của hàm số 2x 2mx 3y
x m+ +
=+
đi qua điểm A (-1; 0).
Giải:
Ta có:
23 my x mx m−
= + ++
Với 2
x
3 mlim 0x m→±∞
−=
+ nên đồ thị có tiệm cận xiên là y x m= +
(với điều kiện 23 m 0 m 3− ≠ ⇔ ≠ ± )
Để tiệm cận xiên đi qua A(-1; 0) thì:
0 1 m m 1= − + ⇔ =
So với điều kiện m 3≠ ± , ta nhận m 1= .
Ví dụ 2: Xác định hàm số ax bycx d
+=
+ (với c 0≠ ) biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 7) và giao điểm của hai
tiệm cận đứng và ngang là điểm I (-2; 3).
Giải:
x
ax b alim
cx d c→∞
+=
+ nên
ayc
= là tiệm cân ngang.
dx
c
ax blim
cx d→−
+= ∞
+nên
dx
c= − là tiệm cận đứng.
Vì giao điểm hai tiệm cận là I(−2, 3) nên ta có:
d 2ca 3c
==
(*)
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(−1, 7) nên ta có:
a b7c d− +=− +
7c 7d a b⇒− + = − +
7c 14c 3c b⇒− + = − + (vì (*))
b 10c⇒ =
Do đó ta được:3cx 10c 3x 10ycx 2c x 2
+ += =+ +
(vì c 0≠ )
Vậy: 3x 10y
x 2+
=+ là hàm số cần tìm.
b. TIỆM CẬN VÀ TÍNH CHẤT
0 1 m m 1= − + ⇔ =
4
Tiệm cận | learn.quipper.com 12
Ví dụ 3: Tìm a, b, c để hàm số 2ax bx cyx 2+ +
=−
đạt cực trị bằng 1 tại x 1= và có tiệm cận xiên vuông góc với
đường thẳng (d): x 2y 1 0+ + = .
Giải:
Ta có: 2ax bx c c 4a 2b
y ax (b 2a)x 2 x 2+ + + +
= = + + +− −
Nên y ax+b+2a= là tiệm cận xiên.
(d): 1 1y x2 2
= − − có hệ số góc bằng 12
− .
Nên tiệm cận xiên vuông góc với (d) thì: 1a 1 a 22
− = − ⇔ =
Lúc đó: 22x bx cyx 2+ +
=−
với x 2≠
Đạo hàm: ( )
2
22x 8x 2b cy '
x 2− − −
=−
Hàm số có cực trị bằng 1 tại x 1= nên ta có:
( )( )
y 1 1 2 b c 16 2b c 0y 1 0
= + + = −⇔
− − − =′ =
b 3c 0
b c 32b c 6
= − ⇔ =
+ = −⇔
− − =
Khi ấy: ( )
2
22x 8x 6y '
x 2− +
=−
y’ đổi dấu tại x 1= và x 3= nên y có cực trị tại x 1= .
Vậy a 2; b 3; c 0= = − = là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số 2x mx 1y
x 1+ −
=−
. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với các trục tọa độ một tam
giác có diện tích bằng 8 đơn vị.
Giải:
Ta có: my x 1 m
x 1= + + +
−
Nên tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình là: y x 1 m= + + (T)
(với điều kiện m 0≠ )
Tiệm cận xiên cắt trục hoành tại: A(x 1 m; y 0)= − =
Với OA 1 m 1 m= − − = +
Tiệm cận xiên cắt trục tung tại điểm B(x 0; y 1 m)= = + với OB 1 m= +Tam giác vuông AOB có diện tích là:
Tiệm cận | learn.quipper.com 13
( )21 1S OA.OB 1 m2 2
= = +
Theo đề bài, ta có: ( )2S 8 1 m 16 m 1 4= ⇔ + = ⇔ + = ± m 3m 5=
⇔ = −
Vậy m 3; m 5= = − là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho đồ thị (C) của hàm số 3x 2y
x 1+
=−
. Gọi M là điểm di động trên (C). Chứng minh tích các khoảng cách
từ M tới các tiệm cận của (C) không phụ thuộc vào M.
Giải:
Ta có: x
3x 2lim 3
x 1→∞
+=
− nên y 3 y 3 0= ⇔ − = là tiệm cận ngang.
x 1
3x 2lim
x 1→
+= ±∞
− nên x 1 x 1 0= ⇔ − = là tiệm cận đứng.
Điểm M thuộc đồ thị (C) nên ta đặt 3a 2M a;a 1+
− .
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: 1
3a 2 5d 3
a 1 a 1+
= − =− −
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: 2d a 1= −
Do đó: 1 2
5d .d . a 1 5
a 1= − =
−
Vậy tích số các khoảng cách từ M tới các tiệm cận không phụ thuộc vào M.
