Embed Size (px)
Citation preview
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
VALENTINA BARIĆ
RJEŠAVANJE PROBLEMA ČEKANJA NA PRIMJERU KARLOVAČKE BANKE U SLUNJU
DIPLOMSKI RAD
Rijeka 2014
SVEUČILIŠTE U RIJECI EKONOMSKI FAKULTET
RJEŠAVANJE PROBLEMA ČEKANJA NA PRIMJERU KARLOVAČKE BANKE U SLUNJU
DIPLOMSKI RAD
Predmet: Teorija odlučivanja Mentor: dr. sc. Alemka Šegota Student: Valentina Barić
Studijski smjer: Marketing JMBAG: 0081088609
Rijeka, rujan 2014.
SADRŽAJ:
1. UVOD .................................................................................................................................... 1
1.1. Problem i predmet istraživanja ............................................................................................ 2
1.2. Radna hipoteza .................................................................................................................... 2
1.3. Svrha, ciljevi i znanstvene metode istraživanja .................................................................. 2
1.4. Struktura rada ...................................................................................................................... 2
2. TEORIJA REDOVA ČEKANJA ........................................................................................... 4
2.1. Pojam reda čekanja .............................................................................................................. 7
2.2. Disciplina reda čekanja ....................................................................................................... 8
2.3. Klasifikacija redova čekanja ............................................................................................... 8
2.3.1. Jednokanalni sustav s čekanjem i neograničenom duljinom reda čekanja ..................... 13
2.3.2. Jednokanalni sustav s čekanjem i ograničenom duljinom reda čekanja ........................ 14
2.3.3. Višekanalni sustav s čekanjem i neograničenom duljinom reda čekanja ....................... 16
2.3.4. Višekanalni sustav s čekanjem i ograničenom duljinom reda čekanja .......................... 17
3. MODELI REDOVA ČEKANJA ......................................................................................... 19
3.1. Osnovni elementi modela redova čekanja ......................................................................... 19
3.2. Stohastički procesi ............................................................................................................. 21
3.3. Vrste stohastičkih modela ................................................................................................. 22
3.3.1. Markovljevi procesi ........................................................................................................ 22
3.3.2. Poisson-ova raspodjela ................................................................................................... 24
3.3.3. Nepoissonovi redovi čekanja ......................................................................................... 31
3.3.4. Model rađanja i umiranja ............................................................................................... 31
4. MODEL TROŠKOVA ČEKANJA ...................................................................................... 32
4.1. Svojstva redova čekanja .................................................................................................... 32
4.2. Upravljanje rizicima poslovanja........................................................................................34
4.3. Optimizacija troškova redova čekanja .............................................................................. 35
5. PRIMJENA TEORIJE REDOVA ČEKANJA NA PRIMJERU KARLOVAČKE BANKE
D.D............................................................................................................................................37
5.1. Podaci o Karlovačkoj banci d.d. ........................................................................................ 39
5.2. Primjena modela višekanalnog sustava posluživanja ........................................................ 40
5.3. Primjena modela jednokalnalnog sustava posluživanja .................................................... 41
5.4. Ispitivanje sustava na primjeru poslovnice Karlovačke banke d.d. u Slunju .................... 41
6. ZAKLJUČAK ...................................................................................................................... 49
LITERATURA ......................................................................................................................... 52
POPIS SLIKA .......................................................................................................................... 54
POPIS TABLICA ..................................................................................................................... 55
POPIS GRAFOVA ................................................................................................................... 56
1
1. UVOD
Problem redova čekanja pojavljuje se u slučajevima kada neke jedinice kojima je potrebna
usluga, moraju čekati prije nego što budu uslužene. Drugi slučaj je kada mjesto koje pruža
usluge mora čekati određene jedinice koje treba uslužiti. Zbog slučaja dolaska jedinica po
uslugu i slučajnog vremena trajanja pojedinih usluga koje se obavljaju nastaju redovi čekanja.
Redovi čekanja nastaju zbog sljedećih razloga:
- zahtjevi za obavljanjem pojedinih usluga su preveliki, pa uslužna mjesta s obzirom na
svoje kapacitete nisu u stanju udovoljiti na vrijeme svojim zahtjevima,
- zahtjevi za davanjem pojedinih usluga su toliko mali da postojeći kapaciteti uslužnih
mjesta ostaju neiskorišteni, pa to uzrokuje gubitke uslužnih mjesta.
Teorija redova čekanja (masovnog opsluživanja) jedna je od metoda operacijskih istraživanja
koja proučava procese opsluživanja slučajno pristiglih jedinica ili zahtjeva za nekom uslugom
koristeći se pritom matematičkim modelima pomoću kojih se ustanovljava međuzavisnost
između dolazaka jedinica, njihovog čekanja na uslugu, opsluživanja te na kraju izlaska
jedinica iz sustava, s ciljem da se postigne optimalno funkcioniranje promatranog sustava.
Riješiti problem reda čekanja znači odrediti optimalan broj uslužnih mjesta za koji će vrijeme
čekanja u redu ili troškovi (gubici) prouzrokovani čekanjem biti minimalni. Slijedi da se
rješavanjem problema reda čekanja neće moći u potpunosti eliminirati čekanje već samo
gubici zbog čekanja svesti na minimum.
Optimalno rješenje reda čekanja ne znači da neće više biti čekanja jer da bi se eliminiralo
čekanje od strane jedinica kapacitet uslužnih mjesta bi trebao biti veći od broja korisnika
usluge, ali tada bi se pojavilo „čekanje“ uslužnog mjesta tj. povećala bi se neiskorištenost
uslužnog mjesta što je neracionalno.
2
1.1. Problem i predmet istraživanja
Problem istraživanja ovog diplomskog rada je istraživanje teorije redova čekanja i
pronalazak optimalnog rješenja kako bi se optimalno iskoristili kapaciteti.
Predmet istraživanja je analiza teorije redova čekanja, definirati i analizirati teoriju
reda čekanja, te sve dobivene informacije dokazati na primjeru Karlovačke banke.
1.2. Radna hipoteza
Radna hipoteza: primjenom teorije reda čekanja u Karlovačkoj banci d.d., poslovnica u
Slunju, kako uspješno isplanirati kapacitete, smanjiti rizik neizvjesnosti.
1.3. Svrha, ciljevi i znanstvene metode istraživanja
Svrha ovog istraživanja je utvrditi situaciju u poslovanju poslovnice Karlovačke banke
d.d. u Slunju. Cilj je istražiti i odrediti parametre rada promatranog procesa.
Znanstvene metode koje se koriste za izradu ovog diplomskog rada su: metode analize i
sinteze, generalizacije i specijalizacije, metode indukcije i dedukcije, kompilacije i
komparacije.
1.4. Struktura rada
Prvi dio ovog diplomskog rada sačinjava Uvod koji sadrži problem i predmet istraživanja,
radne hipoteze, treći dio uvodnog poglavlja odnosi se na svrhu, ciljeve i znanstvene
metode istraživanja.
3
Drugi dio diplomskog rada, Teorije redova čekanja, objašnjava pojam, strukturu i
klasifikaciju redova čekanja (Jednokanalni sustav čekanja s čekanjem i neograničenom
duljinom reda čekanja, jednokanalni sustav s čekanjem i ograničenom duljinom reda
čekanja, višekanalni sustav s čekanjem i ograničenom duljinom reda čekanja, ostali
sustavi masovnog posluživanja).
Treći dio, Modeli redova čekanja, analizira osnovne elemente modele redova čekanja.
Objašnjavaju se modeli pomoću kojih se rješavaju problemi redova čekanja.
Model troškova čekanja naziv je četvrtog poglavlja i u njemu su iskazana svojstva redova
čekanja te uloga eksponencijalne raspodjele kod redova čekanja.
U petom dijelu, Primjena teorije redova čekanja na primjeru Karlovačke banke d.d.,
nalaze se podatci o banci i provodi se analiza se problematika redova čekanja u poslovnici
u Slunju.
Šesti dio diplomskog rada čini zaključak. Objašnjavaju se dobiveni rezultati, sveukupan
dojam te eventualne preporuke.
4
2. TEORIJA REDOVA ČEKANJA
Teorija redova čekanja je jedna od metoda operacijskih istraživanja koja proučava procese
opsluživanja slučajno pristiglih jedinica ili zahtjeva za nekom uslugom koristeći se pritom
matematičkim modelima pomoću kojih se ustanovljava međuzavisnost između dolazaka
jedinica, njihovog čekanja na uslugu, opsluživanja i na kraju odlazaka iz sustava, s ciljem da
se postigne optimalno funkcioniranje promatranog sustava.
Nastanak reda čekanja je posljedica nesklada između kapaciteta uslužnih mjesta i zahtjevima
korisnika usluge.
Osnovni cilj proučavanja reda čekanja:
- njegovo unapređenje, u smislu da se nađu oni zahvati koji će funkcioniranje sustava
učiniti boljim, ekonomičnijim, tj. optimalnim s obzirom na neki postavljeni cilj;
- jedan od prvih zadataka je odrediti parametre rada promatranog procesa i utvrditi
minimalan broj uslužnih mjesta s kojima se može ostvariti tražena kvaliteta usluge.
Tok dolazaka i odlazaka jedinice u/iz sustava opsluživanja je stohastički proces. Razdioba
vremena između dva uzastopna dolaska jedinica u sustavu je najčešće eksponencijalna
razdioba s parametrom λ. Vrijeme trajanja opsluživanja također se najčešće odvija prema
eksponencijalnoj razdiobi s parametrom µ
5
Tablica 1: Povijesni pregled teorije redova čekanja
Godina Utjecajna osoba Doprinos utjecajne osobe
1909. Agner Krarup
Erlang (1878.-
1929)
Danski matematičar, statističar i inženjer. Smatra se da je prvi
čovjek koji je u svom radu objasnio polja prometnog
inženjerstva kao i teoriju redova čekanja.
„The Theoriy of Probabilities and Telephone Conversations“
1918. Tore Olaus
Engset (1865.-
1943.)
Norveški matematičar i inženjer koji je radio na područjima
telefonskog prometa i teorije redova čekanja. Neki od njegovih
radova su se pojavili i prije radova od Erlanga ali su objavljeni
kasnije pa se stoga Erlang smatra prvim koji je objasnio teoriju
redova čekanja. 1918. godine konačno objavljuje svoj rad pod
nazivom „On the Calculation of Switches in an Automatic
Telephone System“.
1927. Edward Charles
Dixon Molina
(1877.-1964.)
Američki inženjer poznat po svom doprinusu u inženjeringu
telefonskog prometa.
„Application to the Theory of Probability to Telephone
Trunking“
1930. Felix Pollaczek
(1892.-1981.)
Austrijsko – francuski inženjer i matematičar poznat po
brojnim doprinosima u teoriji brojeva, matematičkim
analizama, matematičkoj fizici te teoriji vjerojatnosti. Najviše
je poznat po Pollaczek-Khinchine formuli u teoriji redova
čekanja 1930. godine.
1931. Andrey
Kolmogorov
(1903.-1987.)
Ruski matematičar od ključnog začaja u 20.stoljeću. njegov rad
obogatio je područja teorije vjerojatnosti, topologije,
intuističke logike, turbulencije, klasične mehanike, teorije
algoritamskih informacija te računalne kompleksnoti.
„About the Analytical Methods of Probability Theory“
1932. Alexander
Khinchin (1894.-
1959.)
Ruski matematičar i jedan od najznačajnijih ljudi u Sovjetskoj
školi teorije vjerojatnosti. Poznat po Khinchinovoj konstanti
(1934.) – teorija brojeva, te je također izdao nekoliko radova u
području statističke fizike, informacijske teorije, teorije redova
čekanja te matematičkim analizama.
6
Nastavak sa prethodne stranice
Godina Utjecajna osoba Doprinos utjecajne osobe
1936. Conrad „Conny“
Palm (1907.-
1951.)
Švedski inženjer i statističar poznat po svom doprinosu
inženjeringu tele-prometa i teoriji redova čekanja. Palmov rad
se iskoristio u multinacionalnoj tele kompaniji Ericsson.
1951. David George
Kendall (1918.-
2007.)
Engleski statističar i matematičar poznat po svom radu u
području vjerojatnosti, analize statističkog oblika, teorije
redova čekanja. Poznat je također i po definiranju Kendallove
notacije u teoriji redova čekanja. Prvi koji je u svom radu
„Some Problems in the Theory of Queues“ koristio termin
sistem redova čekanja.
1958. Philip McCord
Morse (1903.-
1985.)
Američki fizičar, administrator i pionir operacijskih
istraživanja u 2. Svjetskom ratu. Smatra se da je on otac
operacijskih istraživanja u Sjedinjenim Američkim Državama.
Knjiga „Queues, Inventory and Maintenance“ izdana 1958.
godine se smatra prvom knjigom o redovima čekanja.
1962. Lajos Takacs
(1924.)
Mađarski matematičar poznat po svojim doprinosima u teoriji
vjerojatnosti te posebno u teoriji redova čekanja. 1962. godine
je napisao jedan od ranijih tekstova o redovima čekanja te
efektivno primjenio kombinatoričke metode u teoriji redova
čekanja.
1966. John Frnk Charles
Kingman (1939.)
Britanski matematičar koji je poznat po uvođenju algebre
redova čekanja. Radio je jedno vrijeme sa Kendallom.
1980. Steve Lavenburg
& Martin Reiser
Steve Lavenburg i Martin Reiser su razvili algoritam analize
prosječne vrijednosti (eng. Mean Value) za mreže redova
čekanja.
Izvor: Povijesni pregled teorije redova čekanja, (2014.), [Online] Available at:
http://www.timetoast.com/timelines/povijesni-pregled-teorije-redova-cekanja
7
2.1. Pojam reda čekanja
Problem redova čekanja pojavljuje se u slučajevima kada neke jedinice kojima je potrebna
usluga, moraju čekati prije nego što budu uslužene. Drugi slučaj je kada mjesto koje pruža
usluge mora čekati određene jedinice koje treba uslužiti. Redovi čekanja nastaju zbog
slučajnog dolaska jedinica po uslugu te slučajnog vremena trajanja pojedinih usluga koje se
obavljaju. Redovi čekanja nastaju zbog sljedećih razloga:
• zahtjevi za obavljanjem pojedinih usluga su preveliki, pa uslužna mjesta s obzirom na
svoje kapacitete nisu u stanju udovoljiti na vrijeme svim zahtjevima;
• zahtjevi za davanjem pojedinih usluga su toliko mali da postojeći kapaciteti uslužnih
mjesta ostaju neiskorišteni, pa to uzrokuje gubitke uslužnih mjesta.
Te pojave imaju međusobno suprotne tendencije na ukupne troškove sustava. na primjer, ako
u alatnici na izdavanju radi malo izdavača, troškovi izdavača biti će niski dok će troškovi
mehaničara koji dolaze po alat biti visoki jer moraju dugo čekati na uslugu. Drugi primjer je
ako ima puno izdavača alata, troškovi izdavanja (plaće izdavača) biti će veliki, dok će gubitci
mehaničara zbog čekanja na alat biti minimalni. Rješenje ovog problema je u pronalaženju
optimalnog broja davatelja usluga, kako bi ukupni troškovi bili minimalni.
Slika 1: Struktura modela čekanja
Izvor: Klebečko, E. (2012), Redovi čekanja i njihove primjene, [Online] Available at:
http://www.dmi.uns.ac.rs/site/dmi/download/master/primenjena_matematika/ElviraKlebec
ko.pdf
8
2.2. Disciplina reda čekanja
Disciplina reda je način na koji se uzimaju kupci iz reda čekanja. Kod discipline redova
čekanja polazi se od pretpostavke da kupci ne odustaju od reda čekanja u redu. Postoje četiri
različite discipline čekanja:
1. FIFO (first in – first out) – ovo je najčešće korištena disciplina redova čekanja, a
polazi od toga da kupac koj je prvi došao biva i prvi uslužen.
2. LIFO (last in – first out) – kupac koji je zadnji došao prvi se uslužuje. Ova disciplina
se koristi u nekim politikama zalihe materijala.
3. prioritetno raspoređivanje – kupci imaju različite prioritete prema kojima se odlučuje
prema kojem redu će biti usluženi.
4. slučajno odabiranje – kupci se slučajno odabiru, što svakom kupcu daje jednake šanse
da bude sljedeći uslužen.
Kupci dolaze u red čekanja prema nekoj distribuciji dolazaka. Ti dolasci mogu biti u
konstantnim intervalima, slučajnim vremenima ili neki drugi. Prosječni broj dolazaka kupaca
u redu čekanja označavamo s λ. Distribucijom vremena usluživanja opisano je vrijeme
trajanja pojedinih usluga. Prosječni broj usluživanja koje može obaviti svaki kanal u
određenom vremenu označava se s µ.
2.3. Klasifikacija redova čekanja
Redove čekanja s obzirom na njihove karakteristike možemo klasificirati s obzirom na:
v izvjesnost procesa – s obzirom na izvjesnost procesa redove čekanja možemo
podijeliti na determinističke i stohastičke. Rješavanje determinističkih problema
redova čekanja vrlo je jednostavno, pa se oni rješavaju običnim postupcima, dok su
uglavnom stohastički problemi predmet bavljenja teorije redova čekanja.
v kompleksnosti – s obzirom na kompleksnost redove čekanja dijelimo na jednostavne i
kompleksne. Kod jednostavnih problema redova čekanja možemo prihvatiti
9
Poissonovu distribuciju kao distribuciju dolazaka i negativnu eksponencijalnu
distribuciju vremena usluživanja. Kompleksni problemi se rješavaju pomoću drugih
tehnika, npr. tehnikama simulacije.
v Dužinu – redove čekanja s obzirom na dužinu možemo podijeliti na beskonačne i
konačne redove čekanja.
v Oblik – s obzirom na oblik razlikujemo kompaktne i raspršene redove čekanja. Primjer
kompaktnog reda čekanja su studenti koji čekaju u redu za kupovinu bonova, a
raspršenoga studenti koji čekaju ručak u studentskom restoranu.
v Topologiju – redove čekanja prema topologiji dijelimo na četiri osnovne strukture
sustava redova čekanja:
• jednokanalna jednofazna
• višekanalna jednofazna
• jednokanalna višefazna
• višekanalna višefazna
Sustavi masovnog posluživanja
Efikasnost sustava masovnog posluživanja može se ocijeniti pomoću vremena koje korisnik
usluge provede u redu čekanja. Najvažniji činitelj koji utječe na vrijeme čekanja i
posluživanje jedinice je kapacitet sustava masovnog posluživanja, a određen je brojem
uslužnih mjesta i intenzitetom posluživanja.
Sustavi u kojima se analiziraju vremena provedena u čekanju nazivaju se sustavi redova
čekanja ili sustavi masovnog posluživanja (Cerjaković, 2008).
Osnovne elemente ovih sustava predstavljaju podnosioci zahtjeva za uslugom (korisnici
usluga) i oni koji daju usluge (davaoci usluga).
10
Osnovna struktura sustava za masovno posluživanje sastoji se od dolazaka klijenata (korisnika
određene usluge), reda čekanja na uslugu, usluga – posluživanje, i odlazak klijenta iz sustava
(Cerjaković, 2008).
Predmet proučavanja teorije masovnog posluživanja jest povezanost svojstava dolazaka,
čekanja na uslugu, posluživanja određenog ponašanja korisnika i odlaska iz sustava za
masovno posluživanje (Jugović, 2008).
U sustavu masovnog posluživanja potrebno je utvrditi (Cerjaković, 2008):
1) proces dolaska – posljedica neovisnih, identično raspodijeljenih vremena između dolazaka
ulaznih jedinica pri čemu je dolazak pojedinačan, tako da se proces dolaska može opisati
funkcijom raspodjele A(x). najvažnija veličina procesa dolaska je srednja vrijednost
dolazaka po jedinici vremena (aritmetička sredina statističke raspodjele), koja se naziva i
intenzitet toka dolazne jedinice i najčešće se obilježava s λ;
2) proces posluživanja – može se opisati na osnovi funkcije raspodjele B(x). recipročna
vrijednost srednjeg vremena posluge naziva se intenzitet posluživanja i najčešće se
obilježava sa µ, odnosno prosječnim brojem korisnika koji mogu biti posluženi u jedinici
vremena jednog kanala;
3) broj poslužnih kanala – stranice posluživanja, kako bi se savladali radni proces i povećale
efikasnost, posjeduju nekoliko paralelno radnih i identičnih kanala posluge,
4) strategija posluživanja – razlikuju se dvije discipline čekanja i to neprekidna i prekidna
disciplina čekanja. Kod prve, svako početno posluživanje ulazne jedinice se obavlja do
kraja bez prekida i tek nakon toga se odabire ulazna jedinica;
5) prostor čekanja – neke stanice posluživanja posjeduju relativno mali broj mjesta za
jedinice koje čekaju u redu. Uzimajući u obzir broj kanala posluživanja može se odrediti
gornja granica jedinica koje se istovremeno mogu nalaziti unutar stanice posluge, i
11
6) populacija ulaznih jedinica – ukoliko je broj potencijalnih ulaznih jedinica u sustav
posluživanja mali, onda se mora ugraditi broj ulaznih jedinica koje se trenutno nalaze ili
su već obrađene u stanici posluživanja, pa se na osnovu toga ne mogu više uzeti u obzir
kao potencijalne nove ulazne jedinice, na proces dolaska u model.
Slika 2: Tipovi sistema sa redovima čekanja
Izvor: Sistemi masovnog opsluživanja – simulacija redova čekanja, Fakultet tehničkih nauka
Novi Sad
12
Slika 3: Sustav masovnog posluživanja
Izvor: Cerjaković, E., Povišenje kapaciteta proizvodno transportnih segmenata sistema
primjenom simulacione studije, Mašinski fakultet Tuzla, 2008, str.35
Objašnjenje simbola u grafičkom prikazu:
1. T1, T2, T3, itd. – vrijeme dolaska ulaznih jedinaca 1, 2, 3, itd.;
2. S1, S2, S3, itd. – duljina vremena posluživanja ulaznih jedinica 1,
2, 3, itd.;
3. θ1, θ2, θ3, itd. – vrijeme izlaska iz sustava posluživanja ulaznih
jedinica 1, 2, 3, itd. ;
13
4. W1, W2, W3, itd. – duljina vremena čekanja pojedinih ulaznih
jedinica u redu za poslugu;
5. U(t) – vremenska rezerva u sustavu u odnosu na vrijeme t;
6. N(t) – broj, prema vremenu t, prisutnih klijenata u sustavu;
7. α(t) – kumulirani broj svih dolazaka od 0 do t; i
8. δ(t) – kumulirani broj svih izlazaka od 0 do t.
Slika 3 predstavlja grafičku simulaciju rada sustava posluživanja. Kako bi se procesi tijekom
rada ponavljali korišteni su podaci dobiveni na osnovi mjerenja. Isti prikazuju pojave
odstupanja koji su najčešće određeni slučajnim događajima.
Analize poslužnih sustava se inače vrše samo pri točno određenom radu, pri čemu se ide od
pretpostavke neovisnosti promjena veličina u ovisnosti od vremena. Mnogi se stvarni sustavi
posluživanja u radu odlikuju kroz (približnu) neovisnost promjena (osciliranja) veličina u
ovisnosti od vremena (Cerjaković, 2008).
2.3.1. Jednokanalni sustav s čekanjem i neograničenom duljinom reda čekanja
Oznaka M/M/1/¥ predstavlja sustav s čekanjem s jednim kanalom i beskonačnim brojem
jedinica u redu čekanja. U navedenom sustavu vrijeme između dva dolaska jedinica i vrijeme
posluživanja ponašaju se prema eksponencijalnoj razdiobi (Zenzerović, 2005).
Pokazatelj reda čekanja tipa M/M/1/¥ izračunavaju se na slijedeći način (Zenzerović, 2005,
str. 10) :
ml
r = ; 1<r
( ) n
nP rrml
ml
×-=÷÷ø
öççè
æ×÷÷ø
öççè
æ-= 11 , ,...2,1,0=n
1-×= nn PP r , ,...2,1=n
14
rml
-=-= 110P
( ) rr
lmml
-=
-=
1
22
QL
r=-= Qusl LLL
( ) lmr
lmml
l -=
-== Q
Q
LW
lmml -=+==
11QW
LW
m1
=-= Qusl WWW .
2.3.2. Jednokanalni sustav s čekanjem i ograničenom duljinom reda čekanja
Oznaka M/M/1/m predstavlja sustav s čekanjem s jednim kanalom i konačnim brojem
jedinica u redu čekanja (m je oznaka za broj mjesta u redu čekanja). U navedenom sustavu
vrijeme međudolazaka i vrijeme posluživanja jedinica ponašaju se prema eksponencijalnoj
razdiobi (Zenzerović, 2005, str. 11).
Intenzitet toka dolazaka sa n jedinica (korisnika) u sustavu je:
1,
1,...,1,0
0 +=
-=
îíì
=mmn
mn
za
zan
ll
Pokazatelji reda čekanja tipa M/M/1/m izračunavaju se na slijedeći način (Zenzerović,
2005, str. 11):
ml
r =
2
112
01
1)...1(
+-+
-
-=++++=
m
m
pP
rrrr za ( )¥Î ,0r \{ }1
15
2
10 +=
mP za 1=r
0PP n
n ×= r za 1,...,2,1 += mn
( )
1
1
2
1
1
11
=
¹
ïï
î
ïï
í
ì
+
--
=
+
r
rrrr
za
za
m
P
m
n
n
0
1
1 PPP m
motk ×== ++ r
2
1
1
11
+
+
-
-=-==
m
m
otkRusl PQPrr
( )2
1
1
11
+
+
-
-=-=×=
m
m
otkuslA PPQrr
lll
( )1
0
2
132 ...21...21 ++ +++×=×++×+×= m
mQ mPPmPPL rrr ili
( )( )( )rr
rrr
--
-+-=
+ 11
112
2
m
m
Q
mmL za ( )¥Î ,0r \{ }1
Za 1=r , budući da je 2
10 +=
mP dobiva se da je
( ) ( )2
1
2
1
2
10
+×
+=
+×=
mm
m
mmPLQ
( )2
2
00
10
1110
+
+
-
-=-×+×=
m
m
usl PPLrrr
2
2
1 +
+
-
-+=+=
m
m
QuslQ LLLLrrr
mmmlm
PPPL
W m
Q
Q ×++×+×== ...21
21
lmL
PWW uslQ =×+=1
Qusl WWW -= .
16
2.3.3. Višekanalni sustav s čekanjem i neograničenom duljinom reda čekanja
Oznaka M/M/S/¥ predstavlja sustav sa S kanala i beskonačnim brojem jedinica u redu
čekanja. U navedenom sustavu vrijeme između dva uzastopna dolaska jedinica i vrijeme
posluživanja jedinica ponašaju se prema eksponencijalnoj razdiobi (Zenzerović, 2005, str.
13).
Intenzitet posluživanja u sustavu sa S kanala i n jedinica u sustavu je:
,...2,1
,...,1,0
++=
=
îíì
=SSn
Sn
za
za
S
nn m
mm
Koeficijent iskorištenja sustava je:
ml
rS
s = <1
Pokazatelji reda čekanja M/M/S/¥ izračunavaju se na slijedeći način (Zenzerović, 2005,
str. 13):
( )
11
0
0/1!!
--
=úû
ùêë
é
-+= å
S
n
Sn
SSnP
rrr
ili
( )
112
0!!
...!2
1
-+
úû
ùêë
é
-+++++=
rrrr
rSSS
PSS
Sn
Sn
za
za
PSS
Pn
P
Sn
n
n
n
³
££
ïï
î
ïï
í
ì
×
×
=
-
1
!
!
0
0
r
r
Prema rekurzivnim formulama:
Sn
Sn
za
za
PS
Pn
P
n
n
n
³
££
ïï
î
ïï
í
ì
×
×
=
-
- 1
1
1
r
r
17
( )( ) 0
13
/1!P
SSPSnP
Sn
n ×-
==³ å¥
= rru
( ) ( ) 02
1
!1P
SSL
S
Q ×--
=+
rr
r+= QLL
Qusl LLL -== r14
( ) ( ) 02
1
!1P
SS
LW
SQ
Q ×--×
==+
rlr
l
lmL
WW Q =+=1
Qusl WWW -= .
2.3.4. Višekanalni sustav s čekanjem i ograničenom duljinom reda čekanja
Kod ovog tipa reda čekanja sa S kanala, n jedinica u sustavu i m mjesta u redu
čekanja ( )mS £ za intenzitet toka dolazaka i intenzitet posluživanja vrijede ove relacije
(Zenzerović, 2005, str. 15):
,...1,
1,...,1,0
0 +=
-=
îíì
=mmn
mn
za
zan
ll
,...2,1
,...,1,0
++=
=
îíì
=SSn
Sn
za
za
S
nn m
mm
Pokazatelji za ovaj tip reda čekanja izračunavaju se prema ovim formulama (Zenzerović,
2005, str. 15):
ml
rS
S =
( )1
0
1
0/1
//
!!
-
=
+
úû
ùêë
é
--
×+= åS
n
mSn
S
SS
SnP
rrrrr
ili
18
( )1
13
0/1
//
!!...
21
-+
úû
ùêë
é
-×+++++=
S
S
SSP
mSS
rrrrrr
r za Sr >1
Ako je Sr <1, vjerojatnost 0P izračunava se na slijedeći način (Zenzerović, 2005, str. 15):
( )1
0
1
0
/1
!!
-
=
+
÷÷ø
öççè
æ
--
×+= åS
n
mSn
S
S
SnP
rrrr
A za Sr =1
1
0
0!!
-
=÷÷ø
öççè
æ×+= å
S
n
Sn
Sm
nP
rr
ïïï
î
ïïï
í
ì
ñ
£á×
£×
=-
mnza
mnSzaPSS
SnzaPn
P n
Sn
n
n
0!
1!
1
0
0
r
r
0!
PSS
PPm
mS
mSotk ××
==+
+
r
Rotkusl QPP =-=1
uslA PQ ×= l
( ) ( ) ( )( )2
1
0
1
/1
//11
! S
SmSmP
SSL
mmS
Qr
rrr-
×+×+-××
×=
++
usl
uslAusl P
PQL ×=
×== r
ml
m
uslQ LLL +=
lQ
Q
LW =
uslQ PWL
W ×+==ml1
.!
11
0 ÷÷ø
öççè
æ×
×-=-=
+
PSS
WWWm
mS
Qusl
rm
19
3. MODELI REDOVA ČEKANJA
Redovi (repovi) čekanja ili problemi čekanja nastupaju uvijek kada jedinice koje treba uslužiti
ili mjesta koja vrše tu uslugu „čekaju“, znači kada se stvaraju vremena čekanja. Problemi
čekanja nastaju vrlo često u dnevnom životu. Mnoge osobe čekaju da ih se usluži ili da one
nekog usluže (Barković, 2002.)
Adekvatno (efikasno) rješavanje tog sustava može poboljšati kvalitetu življenja i povećati
produktivnost. Teorija redova čekanja ne bavi se pojedinačnim slučajevima, nego masovnim
pojavama. Redovi čekanja nastaju kada jedinice dolaze u nekom vremenskom intervalu na
neko ili na neka mjesta usluge (blagajne, konobari, lokalni vlakovi, mehaničar, strojevi) u
opsegu koji je povremeno ili stalno veći nego što je u tom vremenskom intervalu na
raspolaganju kapacitet usluge. To znači da kod uskih grla na mjestima usluge (u određenom
periodu) nastaju prilazni redovi čekanja. U obrnutoj situaciji, kada su mjesta usluge slobodna i
čekaju na jedinice koje će trebati uslužiti (redovi kod taksija koji čekaju na goste), nastaju
redovi u odlasku.
3.1. Osnovni elementi modela redova čekanja
Najvažniji elementi u teoriji redova su jedinica (npr. kupac) i vršilac usluge (poslužitelj). U
modelima redova međusobno djelovanje jedinice i poslužitelja zanimljivo je samo ukoliko se
tiče vremena u okviru kojeg treba izvršiti uslugu. Stoga, s pozicije novopridošlih jedinica,
zainteresirani smo za vremenske intervale koji razdvajaju uzastopne dolaske kupaca. Isto
tako, u vršenju usluga to je vrijeme potrebno da se obavi usluga po jedinici. U modelu redova
čekanja dolazak novih kupaca i vrijeme dano je u obliku distribucije vjerojatnosti koje se
odnose na dolazak novih kupaca i vrijeme potrebno za obavljanje usluge. Ove distribucije
mogu predstavljati slučajeve kada jedinice dolaze i kada su uslužene pojedinačno (npr. u
bankama ili supermarketima) ili jedinice mogu biti uslužene u grupi.
20
Premda je način dolazaka i odlazaka jedinica glavni predmet u analiziranju modela redova,
drugi faktori također igraju značajnu ulogu u razvoju modela. Prvi faktor je način odabiranja
jedinica iz reda čekanja za početak usluge. Ovo se odnosi na disciplinu usluge. Najopćenijtije
discipline su FCFS (prvi došao, prvi uslužen), LCFS (zadnji došao, prvi uslužen) i pravilo
SIRO (uslužen po slučajnom redoslijedu) koje se mogu pojaviti u svakodnevnim situacijama
(Barković, 2002).
Drugi faktor bavi se planom pristupačnosti i izvršenjem usluge. Pristupačnost podrazumijeva
jedno ili više mjesta usluge, pa je moguće da istovremeno bude usluženo toliko jedinica
koliko ima uslužnih mjesta. U tom slučaju svi poslužitelji nude istu uslugu; kaže se da
uslužno mjesto ima paralelni servis. S druge strane se na mjestu usluge mogu zbiti serije
stanica kroz koje jedinice moraju proći prije završetka usluge (sekvencijalna proizvodnja na
strojevima). Te situacije su poznate kao repovi u serijama ili repovi tandemi. Najveći broj
usluga obavlja se u kombinaciji serijskog i paralelnog procesa u organizaciji koju možemo
zvati mreža repova (Barković, 2002).
Treći faktor uključuje prihvatljive veličine redova. U određenim situacijama samo je
ograničenom broju kupaca omogućena usluga, najčešće zbog ograničenog prostora. Jednom,
kad se red popuni, nove jedinice neće ući u red (Barković, 2002).
Četvrti faktor bavi se prirodom izvora iz kojih dolaze jedinice. Izvori dolazaka mogu imati
konačan broj jedinica, ili, teorijski, neograničeno mnogo kupaca (Barković, 2002).
Osnovni elementi modela redova ovise o sljedećim čimbenicima:
1. distribucija dolazaka,
2. distribucija vremena usluge,
3. planu usluživanja (serijski, paralelno, mreža),
4. disciplina usluge (FCFS, LCFS, SIRO),
5. dužina reda (konačan ili beskonačan),
6. izvori pozivanja,
7. ljudsko ponašanje (varanje, zaobilaženje, …).
21
3.2. Stohastički procesi
Slučajni (stohastički) procesi predstavljaju matematičke modele procesa čija je evolucija
opisana zakonom vjerojatnošću. Teorija slučajnih procesa svoju primjenu nalazi u
raznovrsnim disciplinama kao što su financijska matematika, telekomuikacije, teorija
pouzdanosti, računarskim disciplinama i u mnogim drugim.
Ako se želi predstaviti stvarnosti čim moguće točnije, model treba imitirati slučajnu prirodu
varijabli. Stohastički model je onaj koji prepoznaje slučajnu prirodu ulaznih komponenti.
Model koji ne sadrži slučajnu komponentu je po prirodi deterministički.
Izlaz je u determinističkom modelu određen čim su definirani ulazi i odnosi među njima.
Suprotno tome, stohastičkom modelu izlaz je po prirodi slučajan – isto kao i ulazi koji su
slučajne varijable. Izlaz je samo snimka ili procjena karakteristika modela za dani skup ulaza.
Da bi se mogla koristiti statistička teorija kao pomoć pri proučavanju implikacija skupa ulaza,
potrebno je nekoliko nezavisnih obrada za svaki skup ulaza.
Deterministički model je samo specijalni (pojednostavljen) slučaj stohastičkog modela. O
korištenju stohastičkog ili determinističkog modela ovisi o tome da li smo zainteresirani za
rezultate jednog jedinog „scenarija“ ili za distribuciju rezultata mogućih „scenarija“. Ako se
stohastički model ispituje korištenjem „Monte Carlo“ simulacije, to tada daje zbirku
odgovarajuće velikog broja različitih determinističkih modela, svaki od kojih se smatra
jednako vjerojatnim.
Ako je stohastički model dovoljno prilagodljiv, moguće je izvesti željene rezultate analitičkim
metodama. Ako je to moguće, tome se često daje prednost, a također je često i brže nego
Monte Carlo simulacija; dobiju se precizni rezultati i lako se mogu analizirati posljedice
promjena u pretpostavkama. Mnogi praktični problemi su međutim prekomplicirani za lako
korištenje analitičkih metoda, i Monte Carlo simulacije je izuzetno dobra metoda za
rješavanje kompliciranih problema.
22
3.3. Vrste stohastičkih modela
Prema vrijednostima koje može poprimati (Bilić, 2010):
1. stohastički procesi s diskretnim stanjima (stohastički lanac), i
2. stohastički procesi s kontinuiranim stanjima.
Markovljevi procesi su oni procesi čije buduće stanje ovisi o trenutačnom stanju, a ne o
prethodnim stanjima. Diskretni Markovljev proces naziva se Markovljev lanac. Proces
rađanja i umiranja (birth-death process) je Markovljev lanac kod kojeg je prijelaz moguć
samo u susjedna stanja (tj. prethodno i sljedeće stanje) (Basch, 2003).
Poisson-ov proces je onaj u kojem vremena između dolazaka imaju eksponencijalnu razdiobu.
Drugi naziv je Poisson-ov tok (stream) (Basch, 2003).
3.3.1. Markovljevi procesi
Slučajno pomicanje je jednostavni primjer Markovljevog lanca. Ako je poznat položaj čestice
u trenutku tn, tada njezin budući položaj ne ovisi o načinu na koji je čestica stigla u točku i to
se naziva odsustvo pamćenja ili Markovljevo svojstvo (Markovljevi lanci, 2009).
Lanci Markova predstavljaju korisne alate u statističkom modeliranju u praktično svim
poljima matematike i imaju veliku primjenu u opisivanju ponašanja sistema. Oni igraju
glavnu ulogu u teoriji redova čekanja.
Imati svojstvo Markova znači da pored danog trenutnog stanja, buduće stanje sistema ne
zavisi od prošlih stanja. Drugim riječima, to znači da opis sadašnjosti u potpunosti sadrži
informaciju koja može utjecati na buduće stanje procesa.
Za stohatičke procese ( ){ }1, ÎttX kažemo da je proces Markova ako za svaki događaj iz
skupa A i za svaki vremenski trenutak nt < 1+nt važi
( ){ AtXP n Î+1 | ( ) }nt ttxtX £= , = ( ){ AtXP n Î+1 | ( ) }n
tn xtX = .
23
Prema tome, vjerojatnost da će proces preći iz stanja n
tx u kojem se nalazi u trenutku nt , u
neko drugo stanje iz skupa A, u trenutku 1+nt , ne zavisi od načina na koji je proces dospio u
stanje n
tx iz stanja 0
tx u kojem se proces nalazio u početnom trenutku 0t .
Lanci Markova su posebna vrsta procesa Markova, gdje se proces može nalaziti samo u
konačnom broju stanja. Razmotrit ćemo dva slučaja: slučaj kad je proces ( ){ }1, ÎttX sa
diskretnim vremenom i slučaj sa neprekidnim vremenom koji može uzimati samo konačno
mnogo različitih vrijednosti.
Pomoću blok dijagrama Markovljevi modeli opisuju stanja u kojima se, tijekom vremena,
sustav može naći. Ako su događaji koji uzrokuju promjene stanja kontinuirani, model postaje
modelom diskretnog stanja i kontinuiranog vremena, a naziva se Markovljevim procesom. U
većihi tehničkih sustava ne mogu se predvidjeti promjene stanja, jer su parametri sličnog
karaktera. Odabirom Markovljeva modela omogućeno je slobodno kreiranje svih mogućih
stanja sustava. stanje sustava je određeno brojem kompnenti sustava i brojem stanja (Bilić,
2010).
Kako bi se opisao Markovljev model nekog sustava, potrebno je (Bilić, 2010):
1. poznavati sva stanja u kojima se sustav može naći,
2. odrediti početno stanja sustava,
3. dijagramom stanja opisati moguće prijelaze sustava iz jednog stanja u drugo, i
4. definirati učestalosti prijelaza iz jednog stanja u drugo.
Sustavna dinamika je metodologija istraživanja, modeliranja, simuliranja i optimiranja
složenih dinamičkih sustava s uzročno povratnim vezama i krugovima povratnog djelovanja.
Sustavna je dinamika danas priznata kao interdisciplinarna znanost, čija je metodologija
primjenjiva za simuliranje najsloženijih sustava, u pravilu, nelinearnih modela (Bilić, 2010).
24
3.3.2. Poisson-ova raspodjela
Poissonov proces predstavlja stohastički proces u kojem se događaji događaju neprekidno i
nezavisno jedan od drugog. Poissonov proces je neprekidan slučaj lanaca Markova. Ima
primjenu u modeliranju tzv. Rijetkih događaja, odnosno, događaju koji su takvi da se u
kratkim vremenskim intervalima može dogoditi najviše jedan takav događaj. U realne
događaje koji se mogu opisivati Poissonovim procesom pripadaju broj telefonskih poziva u
centrali, broj dolazaka klijenata u samoposlugu, broj zahtjeva koje korisnik uputi nekom
sistemu..(Klebečko, 2012).
Poisson-ova distribucija je granični oblik binomne distribucije. Poisson-ovu raspodjelu opisao
je Siméon Denis Poisson početkom 19. stoljeća.
Obilježja Poisson-ove distribucije (Kruh-Vuk, 2010):
1 parametar koji opisuje Poisson-ovu distribuciju je aritmetička sredina µ,
2 aritmetička sredina i varijanca imaju jednake vrijednosti,
3 unimodalna je krivulja, zaokrenuta u desno kada je vrijednost aritmetičke sredine mala, i
4 kako raste aritmetička sredina, asimetrija se smanjuje i na kraju određuje normalnu
raspodjelu.
25
Slika 4: Krivulja Poisson-ove distribucije
Izvor: The Poisson Distribution, [Online] Available at:
http://www.mun.ca/biology/scarr/4241smc_Poisson_distributions.html
Poisson-ova distribucija se primjenjuje na događaje za koje vrijedi slijedeći uvjeti (Kruh-Vuk,
2010):
1. događaji se mogu brojati ne negativnim cijelim brojevima,
2. događaji su međusobno nezavisni, tako da nastup jednog događaja ne utječe na
nastupe niti jednog od slijedećih događaja,
3. prosječan broj nastupa događaja u vremenskom periodu (ili na danoj površini ili u
danom volumenu) je poznat i konstantan, i
4. moguće je odrediti broj nastupa događaja, ali je besmisleno pitati koliko puta događaj
nije nastupio.
Slučajne varijable X ima Poisson-ovu distribuciju s parametrom λ>0, ako prima vrijednosti iz
skupa { },...2,1,0 s vjerojatnostima { }!i
eixPpi
i
ll-=== .
Tada pišemo X ~ ( )lP .
26
Slika 5: Distribucija Poisson-ove slučajne varijable s parametrom 3 za skup realizacija
{ }15,...2,1,0
Izvor: Vjerojatnost [Online] Available at:
http://www.mathos.unios.hr/pim/Materijali/vjerojatnost.pdf, 2014, str 86
Provjerimo je li na ovaj način dobro definirana distribucija, tj. je li å¥
=
=1
1i
ip .
Vrijedi: 1!! 10
=== -¥
=
-¥
=
-
åå lll ll
l
eei
ei
e
i
i
i
i
.
27
Kada je izračunata vjerojatnost stabilnog stanja np da će broj jedinca u sustavu biti n,
možemo jednostavno računati i ostale parametre. Ti parametri poslužit će u analizi modela
redova kao preporuka za konstrukciju sustava. Najpoznatiji od tih parametara su očekivane
vrijednosti jedinica koje čekaju, očekivano vrijeme čekanja, očekivana iskorištenost sustava
(Barković, 2002).
Koristit ćemo ove oznake (Barković, 2002, 408-410 str):
sL - očekivani broj jedinica u sustavu,
qL - očekivani broj jedinica u redu,
sW - očekivano vrijeme čekanju u sustavu,
qW - očekivano vrijeme čekanja u redu.
Pretpostavimo sustav sa S paralelnih usluga. Iz definicije np računamo
å¥
=
=0n
ns npL
( )å¥
+=
-=1Sn
nq pSnL
Postoji stroga veza između sL i sW (također između qL i qW ) tako da se parametri
automatski izračunavaju jedan iz drugog. Neka je effl efektivna prosječna stopa dolazaka
(nezavisna od broja jedinica u sustavu n); tada je
seffs WL l=
qeffq WL l=
Vrijednost effl se računa iz nl zavisnog stanja i vjerojatnosti np
å¥
=
=0n
nnef pll
Između sW i qW postoji relacija (očekivano vrijeme čekanja u sustavu) =
= (očekivano vrijeme čekanja u redu) + (očekivano vrijeme usluge).
28
Ako je µ stopa usluge po poslužitelju, tada je očekivano vrijeme usluge 1/µ , tako da vrijedi
m/1+= qs WW
Pomnožimo obje strane s efl , pa dobijemo
ml /efqs LL +=
Očekivano iskorištenje sustava je definirano kao funkcija prosječnog broja zaposlenih
poslužitelja. Budući da razlika sL i qL mora biti jednaka očekivanom broju zaposlenih
poslužitelja, računamo
(očekivani broj zaposlenih poslužitelja) = ml /*
efqs LLS =-=
Postotak iskorištenja sustava sa S paralelnih uslužnih mjesta (kanala) računa se prema
postotak iskorištenja = 100*
×S
S
I na kraju, sumirajmo rezultate parametara za poznati np na ovaj način
qsqefqsq
n ef
s
snsn LLSWLWWL
WnpLp -=®=®-=®=®=® å¥
=
*
0
1l
ml.
29
Primjer 1
Pretpostavimo da neki kafić u toku jednog sata posjeti prosječno 15 ljudi. Slučajna varijabla
koja broji posjetitelje kafića tijekom jednog sata je Poisson-ova slučajna varijabla s
parametrom λ=15, tj. X ~ ( )15P . Ona poprima vrijednost iz skupa ( ) { },...1,0=XR s pripadnim
vjerojatnostima
,!
15 15-= ei
pi
i ( )XRiÎ .
Na temelju navedenih informacija možemo npr. odrediti sljedeće vjerojatnosti:
a) vjerojatnost da je kafić u toku jednog sata posjetilo točno 20 ljudi:
{ } 0418103.0!20
1520 15
20
=== -eXP ;
b) vjerojatnost da je kafić u toku jednog sta posjetilo manje od 15 ljudi:
{ } { } 465654.0!
151415 15
14
0
==£=á -
=å e
iPXP
i
i
;
c) vjerojatnost da je kafić u toku jednog sata posjetilo više od 10 ljudi:
{ } { } 881536.0!
15110110 15
10
0
=-=£-=ñ -
=å e
iXPXP
i
i
.
Primjer 2
Pretpostavimo red s jednim uslužnim mjestom (kanalom) kod kojeg su prosječne stope
dolazaka i usluge 3=nl i 8=nm po satu za sve 0³n (Barković, 2002, str 410-411).
Računamo:
n
np ÷÷ø
öççè
æ=
ml
,
n
p ÷ø
öçè
æ=8
30 , ( )np 375.00 = , ,...2,1,0=n
30
Gdje se 0p izračunava iz jednadžbe å¥
=
=0
1n
np , što daje
1...375.0375.0 0
2
00 =+++ ppp ili ( ) 1...375.0375.01 2
0 =+++p
Formulom za sumu geometrijskog reda dobivamo
1375.01
10 =÷
ø
öçè
æ-
×p
Što daje 625.00 =p . Možemo također koristiti formulu 0375.0 pp n
n = za daljnja računanja
parametara.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 ≥8
np 0.625 0.234 0.088 0.033 0.012 0.005 0.002 0.001 0
Primjećujemo da je 3== lln dolazaka u satu za sve n ≥ 0 .
Prosječna stopa dolazaka se računa kao ( ) 3...3 210 =+++= pppefl dolaska u satu. Slijedi:
=sL å¥
=0n
nnp = 0·0.625 + 1·0.234 + 2·0.008 + 3·0.033 + 4·0.012 + 5·0.005+ 6·0.002 + 7·0.001
= 0.6 jedinica
Iz formule sefs WL l= , dobivamo vrijeme čekanja u sustavu:
2.03
6.0===
ef
s
s
LW
l sata.
Iz ovog računamo očekivano vrijeme čekanja u redu:
075.08
12.0
1=-=-=
mSq WW sati.
Očekivani broj jedinica u redu se izračunava iz
225.0075.03 =×== qefq WL l jedinica.
31
Konačno, budući da sustav ima samo jedno mjesto usluge 1=S , postotak iskorištenosti
računamo iz
%5.371001
225.06.0100
1100
*
=×-
=×-
=× qs LL
S
S.
3.3.3. Nepoissonovi redovi čekanja
Stvarne situacije mogu biti vrlo složene, što onemogućava njihovo proučavanje. Relativno je
jednostavna analiza redova čije se distribucije dolaska i vremena davanja usluga ponašaju po
Poissonovoj i eksponencijalnoj distribuciji, bilo da se to radi primjenom formula za svaki
pojedini slučaj ili da se koriste gotovi programski paketi za rješavanje repova (Barković,
2002.)
Većina redova čiji se dolasci ili odlasci ne ponašaju u skladu s navedenim distribucijama,
zbog svoje kompleksnosti, zahtijevaju poseban pristup. U tom je segmentu značajna primjena
simulacija koje na relativno jednostavan način ponavljaju (simuliraju) proces koji se odvija u
redovima.
3.3.4. Model rađanja i umiranja
Najbolji i najjasniji primjer modela rađanja može biti rodilište, dok primjer modela umiranja
može biti prodavaonica iz koje se povlače artikli kojima je istekao rok trajanja (Bauk, 2010).
Eksponencijalna raspodjela se koristi da opiše vremenske intervale između nastupanja, dok se
Poisson-ova koristi pri određivanju broja događaja.
Ako je vrijeme između dolazaka (odlazaka) korisnika u (iz) sustava raspoređeno po
eksponencijalnom zakonu, sa srednjom vrijednošću 1/λ, tada je broj dolazaka (odlazaka)
korisnika u (iz) sustava u skladu sa Poisson-ovim zakonima vjerojatnosti, sa srednjom
vrijednošću λt. Vrijedi i obrnuto (Bauk, 2010).
32
4. MODEL TROŠKOVA ČEKANJA
Da bi se eliminiralo čekanje, koje se javlja u sustavu opsluživanja, bilo bi potrebno ili
postaviti velik broj kanala (da jedinice uopće ne čekaju) ili samo onoliki broj kanala koji će
stalno biti zaposlen (da kanali ne budu neiskorišteni). Naravno, da ova krajnja rješenja nisu
racionalna, jer svako eliminiranje čekanja jednog sudionika dovodi do maksimalnog čekanja
drugog sudionika u sustavu čekanja. Ako se za kriterij optimizacije prihvate troškovi onda je
optimalan broj kanala onaj za koji zbroj navedenih troškova preračunat za odabranu
vremensku jedinicu poprima minimalnu vrijednost.
Bit teorije (analize) redova čekanja je u tome da se klijentima koji čekaju, u razumnim
vremenskim razdobljima pruže usluge. Za razliku od drugih metoda kvantitativne
optimizacije, teorija redova čekanja nije optimizacijska tehnika. Teorija redova čekanja
određuje mjere izvršenja sustava. Mjere izvršenja uslužnog sustava, obično se koriste
prilikom njegovog (re)dizajniranja (Bauk, 2010).
Vremena između dolazaka klijenata, kao i vremena njegovog posluživanja, mogu biti
deterministička ili probabilistička. Ukoliko su probabilistička, što je češći slučaj, treba
poznavati osnove probabilističke teorije, ili teorije vjerojatnosti. Dvije nezaobilazne
raspodjele vjerojatnosti u ovom kontekstu su eksponencijalna i Poisson-ova raspodjela (Bauk,
2010).
4.1. Svojstva redova čekanja
Redovi čekanja se ne mogu eliminirati bez dodatnih ulaganja u sustav sa svojstvom čekanja.
U ovom slučaju se traži ravnoteža između vremena čekanja i troškova pružanja usluge na
određeni (zahtjevni, željeni) način. Veličine sa kojima se pri tome najčešće računa su:
prosječna dužina (veličina) reda, prosječno vrijeme čekanja u redu i prosječno vrijeme
posluživanja.
Pošto je troškove funkcioniranja uslužnog sustava, a posebno troškove čekanju u redu, teško
egzaktno odrediti, oni se obično određuju aproksimativno, eksperimentalnim putem. Na
slijedećoj slici prikazan je troškovni model reda čekanja. Prikazano je kako troškovi pružanja
33
usluge rastu, kako troškovi čekanju u redu opadaju. Ukupni troškovi se određuju kao zbir ovih
dvaju troškova i najniži su kod optimalnog nivoa usluge. Troškovi čekanja klijenta u redu,
mogu se smanjiti povećanjem broja servera (koji pružaju uslugu), ali to ima za posljedicu
manju efikasnost zaposlenih i povećanje troškova poslovanja (Cerjaković, 2008).
Slika 6: Model troškova redova čekanja
Izvor: Sistemi masovnog opsluživanja – simulacija redova čekanja, Fakultet tehničkih nauka
Svi redovi čekanja imaju jednaka svojstva: konačnu ili beskonačnu populaciju, pri čemu se
kod populacije misli na prirodu zahtjeva korisnika za uslugom, način pristizanja klijenata
(individualno ili grupno), vrijeme između dolazaka klijenata (determinističko ili
probabilističko), kapacitet reda (konačan ili beskonačan), te određenu disciplinu reda (FCFS –
First Come First Served, eng. – prvi došao prvi poslužen; LCFS – Last Come First Served,
eng. – posljednji došao prvi poslužen; SIRO – Served in Random Order, eng. – usluga po
principu slučaja) (Redovi čekanja, 2010).
34
4.2. Upravljanje rizicima poslovanja
Da bi se riješio problem reda čekanja treba odrediti optimalan broj uslužnih mjesta za koji će
vrijeme čekanja u redu ili gubitci biti minimalni. U potpunosti se ne može riješiti problem
reda čekanja, ali rizik troškova treba svesti na minimum kako bi poduzeće moglo uspješno
poslovati.
Uslijed ne postojanja sustava upravljanja rizicima brojne organizacije u svijetu pretrpjele su
značajne financijske gubitke. Zato je za svaku organizaciju nužno uspostaviti sustav
upravljanja rizicima kao strukturnog elementa sustava upravljanja u cjelini.
U poslovnoj ekonomiji rizik u užem smislu, prema tradicionalnom shvaćanju, je opasnost
gubitka ili štete. U širem smislu rizik opisuje mogućnost drugačijeg ishoda od onog koji se
očekivao, boljeg ili lošijeg. Rizik je mjera mogućeg neugodnog ishoda nekog događaja
(Novak, 2001).
Brojne su podjele i vrste rizika. Temeljnom podjelom rizik poslovanja se može podijeliti na
unutarnji i vanjski. Unutarnji se dijele na strategijske, rizike upravljanja, operativne i
financijske. Vanjski se dalje mogu podijeliti na tržišne, političke i društvene i elementarnih
nepogoda. Rizici se mogu podijeliti i na realni(relativno se lako uočava i prepoznaje kao
realan ili stvaran gubitak) i oportunitetni (trošak propuštene prilike, gubitak koji se ne može
jednostavno uočiti i prepoznati).
Sustav upravljanja rizicima treba promatrati kao podsustav upravljanja organizacije koji
zajedno s drugima čini jednu složenu interakciju, tj. sustav upravljanja organizacije. Sustav
upravljanja rizicima se može definirati kao cjelovit proces obuhvaćanja, mjerenja i nadziranja
relevantnih i potencijalnih rizika te analize s tim u vezi potencijalnih gubitaka.
Rizik nije moguće izbjeći jer nema poduzetničke aktivnosti bez rizika. U rizike treba ulaziti,
ali planski. Rizik treba prihvatiti kao realnost i učiniti sve kako bi se ušlo u fazu upravljanja
rizicima. Interes je to, prije svega, vlasnika kapitala. Sustav upravljanja rizicima treba biti
strukturnim elementom sustava upravljanja organizacije u cjelini. Temelji se na načelima
35
upravljanja rizicima, a podrazumijeva primjenu modeliranog procesa upravljanja rizicima
(Bešker, Drljača, 2010).
Sustav upravljanja rizicima doprinosi održivom uspjehu, što znači poslovnu uspješnost u
kontinuitetu, temeljenu na načelima kvalitete, održivog razvoja, socijalne odgovornosti i
poslovne etike (Bešker, Drljača, 2010).
4.3. Optimizacija troškova redova čekanja
Optimalna varijanta biti će ona koja će gubitke koji nastaju zbog čekanja svesti na minimum.
Ukupni troškovi čekanja jednog sustava opsluživanja sadrže:
1) troškove nastale zbog čekanja jedinica ( )WC i
2) troškove zbog neiskorištenosti uslužnih mjesta ( )pC .
Koristeći teoriju redova čekanja troškovi čekanja izračunavaju se na sljedeći način:
• troškovi čekanja jedinica (korisnika) tLcC QWW ××= ,
• troškovi nezauzetih uslužnih mjesta ( ) tScC pp ×-×= r ,
• ukupni troškovi čekanja ( )( )[ ]r
r
-×+××=
×-×+××=
ScLctC
tSctLcC
pQW
pQW
Gdje je:
C – iznos ukupnih troškova (u novčanim jedinicama)
QL - prosječan broj jedinica (korisnika) u redu čekanja
( )r-S - broj slobodnih (nezauzetih) uslužnih mjesta (kanala)
t – duljina vremenskog perioda za koji se izračunavaju troškovi
Wc - iznos (u novčanim jedinicama) troška u jedinici vremena nastalog zbog čekanja
jedinice u redu
pc - iznos (u novčanim jedinicama) troška u jedinici vremena nastalog zbog „čekanja“ ,
odnosno nezauzetosti kanala.
36
Pomoću teorije redova čekanja moguće je izračunati troškove koji nastaju zbog čekanja i
ukupne troškove sustava opsluživanja koji se mogu koristiti u analizi međusobno
konkurentnih uslužnih mjesta.
Programiranje odvijanja sustava opsluživanja obavlja se utvrđivanjem novih vjerojatnosti
stanja sustava koje zavise od parametara: λ, µ, S i n. Parametri λ i µ ne mogu se mijenjati za
određeni problem, jer su te vrijednosti rezultat toka dolazaka jedinica u sustav i trajanja
usluge na uslužnim mjestima (zavisno od vrste usluge). Vrijednost n je realizacija slučajne
varijable koja se ponaša prema nekim razdiobama i predstavlja broj jedinica u sustavu: 0, 1…;
Znači da se i na tu vrijednost ne može utjecati. Preostala vrijednost je S – broj uslužnih mjesta
(kanala) koji se može mijenjati.
Promjenom broja uslužnih mjesta mogu se na temelju teorije redova čekanja izračunati
vjerojatnosti nP za ,...2,1,0=n i dobiti različiti programi odvijanja sustava čekanja, budući da
se za svaku vrijednost S uz isti λ i µ dobiva po jedan programa.
Programiranjem procesa opsluživanja može se odrediti broj uslužnih mjesta za koji je iznos
ukupnih troškova čekanja minimalan, tj. optimalan broj uslužnih mjesta (kanala).
37
5. PRIMJENA TEORIJE REDOVA ČEKANJA NA PRIMJERU KARLOVAČKE BANKE D.D.
Kada jedinice koje treba poslužiti ili mjesta koja vrše tu uslugu „čekaju“ tada govorimo o
redovima čekanja. Taj problem susrećemo u svakodnevnim situacijama. Kada je riječ o
poslovnim procesima, tada posebnu pozornost treba obratiti da se osigura optimalna razina, tj.
produktivnost je najveća u slučaju da redova čekanja nema.
Jednokanalni i višekanalni sustav čekanja prikazan je u nastavku na primjeru poslovnice
Karlovačke banke d.d. u Slunju. Na temelju sljedećih podataka koji su prikazani u Tablici 2,
provedena je analiza. Poslovnica ima tri šaltera koji nisu uvijek istodobno u funkciji, ponekad
je slučaj da rade sva tri, ponekad dva a postoje i situacije kada radi samo jedan šalter, stoga se
događaju situacije u kojima je prisutan višekanalni a ponekad i jednokanalni sustav čekanja.
Podatci su prikupljeni u trideset radnih dana. Tablica 2 sadrži prosječne dnevne vrijednosti, za
svaki dan izračunato je koliko u jednom satu prosječno ima:
· broj usluženih posjetitelja,
· koliko je trajalo posluživanje (u minutama)
· za koliko minuta pristižu novi klijenti.
Nakon što su izračunate dnevne vrijednosti, u tablici je na temelju tih podataka izračunat
prosjek i te podatci su korišteni daljnjem izračunu višekanalnog i jednokanalnog sustava
čekanja. Dnevno je u prosijeku usluženo 24 klijenata, posluživanje je trajalo 5 minuta a
svakih 9 minuta pristizali su novi klijenti.
38
Tablica 2: Dnevne prosječne vrijednosti poslovnice Karlovačke banke u Slunju
Radni dani broj usluženih
posjetitelja posluživanje
(min) dolazak novih
klijenata
1. 24 5 7
2. 20 7 9
3. 24 5 12
4. 33 4 4
5. 17 5 14
6. 30 6 6
7. 17 6 12
8. 16 7 9
9. 35 9 5
10. 22 5 10
11. 34 5 10
12. 19 4 9
13. 24 7 9
14. 39 4 5
15. 20 6 14
16. 24 5 12
17. 24 8 10
18. 20 6 11
19. 32 4 5
20. 21 5 10
21. 24 6 8
22. 17 8 10
23. 20 5 10
24. 35 3 4
25. 21 5 14
26. 28 4 10
27. 19 4 15
28. 23 5 12
29. 30 3 6
30. 20 4 10
prosječna vrijednost
24,4 5,33 9,4
Izvor: Izradio autor na temelju podataka poslovnice Karlovačke banke u Slunju
39
5.1. Podaci o Karlovačkoj banci d.d.
Povijest Karlovačke banke seže još od 1872. godine kad je osnovana Karlovačka štedionica,
dok je 1954. godine osnovana Karlovačka banka i štedionica Karlovac.
Današnje sjedište Banke je u Karlovcu, I. G. Kovačića 1. Izgrađeno je 1940. godine.
Upisano u sudski registar Trgovačkog suda u Zagrebu - stalna služba u Karlovcu, temeljni
kapital Banke je u cijelosti uplaćen i iznosi 116.894.050,00 kuna, podijeljenih na 2.327.057
dionica od kojih 2.316.233 redovnih dionica od 50,00 kuna svaka, te 10.824 povlaštenih
dionica od 100,00 kuna svaka.
Opći podaci
Predsjednik Uprave je Ivan Vrljić, a član Uprave je Marino Rade. Predsjednik Nadzornog
odbora je dr. Nedjeljko Strikić, zamjenik predsjednika je Bernarda Ivšić, a članovi su Željko
Pavlin, Igor Čičak i Danijel Žamboki.
Poslovnu mrežu trenutno čine šesnaest poslovnica i pet podružnica. Podružnice jesu u
Karlovcu, Zagrebu, Rijeci, Splitu i Kutini. Pet poslovnica je na području grada Karlovca, te u
Dugoj Resi, Draganićima, Žakanju, Netretiću, Ozlju, Jastrebarskom, Slunju, Topuskom,
Korenici, Ogulinu i Sesvetama.
40
5.2. Primjena modela višekanalnog sustava posluživanja
U poslovnici Karlovačke banke rade dva šaltera. Svakih devet minuta pristižu novi korisnici,
usluge posluživanja korisnika iznose u prosjeku pet minuta.
Iz navedenih podataka slijedi:
λ = 9 korisnika/ h
µ = 60/5 = 12 korisnika/satu
S=2
Izračun:
75,012
9===
ml
P
ps = m
l*S
= 12*2
9 = 0,38
112
0)(!!!2
1
-+
úû
ùêë
é
-+++++=
pSS
p
S
pppP
SS
L
0P = [ ] 128,075,01
-++ = 0,4926
QL = 02
1
*)()!1(
PpsS
p s
--
+
= 4926,0*)75,02()!12(
75,02
12
--
+
= 0,133
L= QL + p = 0,133 + 0,75 = 0,883 korisnika
uslL = L - QL = 0,883 - 0,133= 0,75 korisnika
QW = l
QL=
9
133.0 = 0,0148 * 60 = 0.888 min
41
W = m1
+QW = 12
10148.0 + = 0,0981*60= 5,886 min
uslW = 998,4888.0886,5 =-=- QWW min.
U ovom primjeru vidljivo je da je broj korisnika u sustavu veći od broja korisnika u čekanju u
redu. Poslovnica u Slunju ima dva šaltera u funkciji. Pomoću dobivenih informacija izračunat
je očekivan broj jedinica u sustavu a to je 0,883 korisnika, očekivan broj jedinica u redu
iznosi 0,133 korisnika. Očekivano vrijeme čekanja u sustavu je 5,886 minuta. U prosijeku
vrijeme obavljanja usluge u poslovnici Karlovačke banke u Slunju iznosi 5 minuta (4,998).
Da bi se riješio problem reda čekanja treba odrediti optimalan broj uslužnih mjesta za koji će
vrijeme čekanja u redu ili gubitci biti minimalni. U potpunosti se ne može riješiti problem
reda čekanja, ali rizik troškova treba svesti na minimum kako bi poduzeće moglo uspješno
poslovati.
Pokazatelj iskorištenosti p ne smije biti jednak 1 da bi sustav bio stabilan. U ovom primjeru
sustav je stabilan budući da je λ<µ , tj. 9<12. Ako je situacija obrnuta, tj. λ>µ, potrebno je
povećati broj uslužnih kanala kako bi sustav bio stabilan.
5.3. Primjena modela jednokalnalnog sustava posluživanja
U poslovnici su prisutna dva šaltera, nisu uvijek oba u funkciji tako da tijekom dana postoji
period u kojem je jednokanalan sustav posluživanja.
Iz statističkih podataka, vidljivo je da su prosječne stope dolazaka 9=nl i 12=nm po satu.
42
Izračun:
n
np ÷÷ø
öççè
æ=
ml
,
n
p ÷ø
öçè
æ=12
90 , np )75,0(0 = , n=0,1,2,..
Formulom za sumu geometrijskog reda dobivamo
175,01
10 =÷
ø
öçè
æ-
×p
Što znači da je 25,00 =p za daljnja računanja koristimo formulu 075,0 pp n
n ×=
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8
np 0,25 0,1875 0,141 0,105 0,079 0,059 0,044 0,033 0,025
9 10 11 ≥12
0,018 0,014 0,01 0
+×+×+×+×+×+×+×==å¥
=
044,06059,05079,04105,03141,021875,0125,000n
nS npL
01,011014,010018,09025,08033,07 ×+×+×+×+×+
=2,5025 jedinica
Vrijeme čekanja u sustavu: 278,09
5025,2===
ls
S
LW
Vrijeme čekanja u redu: 195,012
1278,0
1=-=-=
msq WW
Očekivani broj jedinica u redu: 755,1195,09 =×== qq WL l
Budući da ispitujemo situaciju u kojoj radi samo jedan šalter S=1, postotak iskorištenosti
računamo putem sljedeće formule:
75,741001
755,15025,2100
1=×
-=×
- qs LL%.
Iz statističkih podataka vidljivo je da su prosječne stope dolazaka 9 i 12 jedinica po satu.
Vrijeme čekanju u sustavu je 0,278 a vrijeme čekanja u redu 0,195. Očekivani broj jedinica u
redu je 1,755. U toj situaciji radi samo jedan šalter, postotak iskorištenosti iznosi 74,75%.
43
5.4. Ispitivanje sustava na primjeru Karlovačke banke d.d. u Slunju
Primjer 1.
Prosječan broj klijenata koji su usluženi tijekom jednog sata iznosi 24. Slučajna varijabla koja
broji posjetitelje banke tijekom jednog sata je Poisson-ova slučajna varijabla s parametrom
24=l , tj. X ~ ( )24P . Ona poprima vrijednost iz skupa ( ) { },...1,0=XR s pripadnim
vjerojatnostima
,!
24 24-= ei
pi
i ( )XRiÎ .
Na temelju tih podataka možemo izračunati sljedeće vjerojatnosti:
a) vjerojatnost da je banka uslužila dvadeset klijenata:
{ } %4,620624,0!20
2420 24
20
==== -eXP ;
b) vjerojatnost da je banka uslužila petnaest klijenata:
{ } %45,10145,0!15
2415 24
15
==== -eXP ;
c) vjerojatnost da je banka uslužila trideset klijenata:
{ } %62,30362,0!30
2430 24
30
==== -eXP ;
d) vjerojatnost da je banka uslužila trideset i četiri klijenta:
{ } %.08,10108,0!34
2434 24
34
==== -eXP
44
Graf 1: Vjerojatnost kod broja usluženih klijenata
6,24
1,45
3,62
1,08
0
1
2
3
4
5
6
7
20 15 30 34
broj klijenata
vje
roja
tno
st
(%)
vjerojatnost
Izvor: Izradio autor
Iz grafičkog prikaza vidimo kako je najveća vjerojatnost 6,24 %, a ona se odnosi na
slučaj u kojem je usluženo dvadeset klijenata.
Nakon toga slijedi vjerojatnost 3,62% da će u banci tijekom jednog sata biti usluženo
trideset klijenata.
Vjerojatnost od 1,45% se odnosi na usluživanje petnaest klijenata u jednom satu.
Najmanja je vjerojatnost 1,08% da će biti 34 klijenta u sistemu.
Iz Tablice 2 vidljivo je da prosječan broj usluženih klijenata tijekom jednog sata iznosi
24,4 odnosno dvadeset i četiri klijenta. Stoga je najveća vjerojatnost da će tijekom jednog
sata biti usluženo dvadeset klijenata.
45
Primjer 2.
Prosječno posluživanje klijenta u banci tijekom jednog sata iznosi 5 minuta. Slučajna
varijabla koja broji posjetitelje banke tijekom jednog sata je Poisson-ova slučajna varijabla s
parametrom 5=l , tj. X ~ ( )5P . Ona poprima vrijednost iz skupa ( ) { },...1,0=XR s pripadnim
vjerojatnostima
,!
5 5-= ei
pi
i ( )XRiÎ .
Na temelju tih podataka možemo izračunati sljedeće vjerojatnosti:
a) vjerojatnost da je posluživanje klijenta trajalo tri minute:
{ } %03,141403,0!3
53 5
3
==== -eXP ;
b) vjerojatnost da je posluživanje klijenta trajalo dvije minute:
{ } %42,80842,0!2
52 5
2
==== -eXP ;
c) vjerojatnost da je posluživanje klijenta trajalo osam minuta:
{ } %52,60652,0!8
58 5
8
==== -eXP ;
d) vjerojatnost da je posluživanje trajalo deset minuta:
{ } %81,10181,0!10
510 5
10
==== -eXP .
46
Graf 2: Vjerojatnost kod posluživanja klijenata
14,08
8,42
6,52
1,81
0
2
4
6
8
10
12
14
16
3 2 8 10
trajanje posluživanja (min)
vje
roja
tno
st
(%)
vjerojatnost kod posluživanja
Izvor: Izradio autor
Graf 2 prikazuje vjerojatnost kod posluživanja, odnosno izračun vrijednosti u slučajevima
kada posluživanje traje dvije, tri, osam i deset minuta.
U ovom prikazu vidimo da je najveća vjerojatnost (14,08%) da će posluživanje trajati tri
minute.
Nakon toga slijedi vjerojatnost 8,42% da će u banci tijekom jednog sata posluživanje
klijenta trajati dvije minute. Najmanja je vjerojatnost 1,81% da će posluživanje klijenta
trajati deset minuta.
Iz Tablice 2 vidljiva je aritmetička sredina tj. prosječna vrijednost trajanja usluge od 5,33
minute. Stoga u ovom primjeru najveću vjerojatnost ima situacija koja je najbliže tom
iznosu a ona označava trajanje pružanje usluge klijentu tri minute.
47
Primjer 3
Klijenti u prosijeku stižu svakih 9 minuta u banku. Slučajna varijabla koja broji posjetitelje
banke tijekom jednog sata je Poisson-ova slučajna varijabla s parametrom λ=9, tj. X ~P(9).
Ona poprima vrijednost iz skupa ( ) { },...1,0=XR s pripadnim vjerojatnostima
,!
9 9-= ei
pi
i ( )XRiÎ .
Na temelju tih podataka možemo izračunati sljedeće vjerojatnosti:
a) vjerojatnost da klijenti dolaze svakih pet minuta:
{ } %07,60607,0!5
95 9
5
==== -eXP ;
b) vjerojatnost da klijenti dolaze svakih sedam minuta:
{ } %71,111171,0!7
97 9
7
==== -eXP ;
c) vjerojatnost da klijenti dolaze svakih jedanaest minuta:
{ } %7,9097,0!11
911 9
11
==== -eXP ;
d) vjerojatnost da klijenti dolaze svakih petnaest minuta:
{ } %.94,10194,0!15
915 15
15
==== -eXP
48
Graf 3: Vjerojatnost dolazaka novih klijenata u poslovnicu
6,07
11,71
9,7
1,94
0
2
4
6
8
10
12
14
5 7 11 15
dolazak novih klijenata (min)
vje
roja
tno
st
(%)
vjerojatnost
Izvor: Izradio autor
Graf 3 prikazuje vjerojatnost dolazaka novih klijenata u poslovnicu Karlovačke banke d.d. U
ovom primjeru zadane su situacije da klijenti stižu za 5, 7, 11 i 15 minuta.
Najveću vjerojatnost ima slučaj u kojem u poslovnicu klijenti dolaze svakih sedam minuta, ta
vjerojatnost iznosi 11,71%.
Vjerojatnost da će u poslovnicu klijenti ući svakih jedanaest minuta iznosi 9,7%, a 6,07% je
vjerojatnost da klijenti dolaze svakih pet minuta.
Od navedenih situacija na posljednjem mjestu se nalazi slučaj u kojem svakih petnaest minuta
stižu novi klijenti u poslovnicu.
Na temelju Tablice 2 vidljivo je da u banku u prosijeku svakih 9,4 minute stižu novi klijenti.
Stoga situacije od sedam minuta ima najbližu vrijednost i s time i najveću vjerojatnost.
49
6. ZAKLJUČAK
Red čekanja je problem koji se pojavljuje u svakodnevnim aktivnostima a u praksi
podrazumijeva situaciju kada određeni broj jedinica (ljudi, predmeti..) koji traže odgovarajuću
uslugu ili obradu moraju čekati tj. provesti izvjesno vrijeme u redu čekanja prije nego su
opsluženi ili kada radno mjesto koje pruža usluge mora čekati jedinice koje treba opslužiti.
Prve sustavne radove o problemima teorije redova čekanja objavio je Danac A. K. Erlang
1909. Teorija redova čekanja (masovnog opsluživanja) jedna je od metoda operacijskih
istraživanja koja proučava procese opsluživanja slučajno pristiglih jedinica ili zahtjeva za
nekom uslugom koristeći se pritom matematičkim modelima s pomoću kojih se ustanovljava
međuzavisnost između dolazaka jedinica, njihovog čekanja na uslugu, opsluživanja te na
kraju izlaska jedinica iz sustava, s ciljem da se postigne optimalno funkcioniranje
promatranog sustava.
Osnovni pojmovi u teoriji redova čekanja su: ulazne jedinice (korisnici usluga, klijenti,
potrošači, stranke), kanali (uslužna mjesta, mjesta koja pružaju uslugu ili obavljaju obradu),
red čekanja (rep, linija, gomilanje). Disciplina reda je način na koji jedinice iz reda čekanja
pristupaju kanalu opsluživanja, a postoje više načina: FIFO (first in – first out, eng. prvi došao
– prvi uslužen), LIFO (last in – first out, eng. zadnji došao – prvi uslužen), PRIOR (prednost
daje nekim jedinicama za opsluživanje), SIRO (uslužen po slučajnom redoslijedu).
Prema broju kanala razlikuju se jednokanalni i višekanalni problemi reda čekanja.
Jednokanalni sustavi imaju jedno mjesto za opsluživanje, a višekanalni nekoliko takvih
mjesta.
Osnovni parametri od kojih se polazi u analizi sustava masovnog opsluživanja jesu: λ –
intenzitet toka dolazaka jedinica (prosječan broj korisnika koji pristižu u jedinici vremena), µ
- intenzitet opsluživanja po kanalu (prosječan broj korisnika koji mogu biti opsluženi u
jedinici vremena), S – broj kanala.
Pomoću teorije redova čekanja, prikazano je posluživanje korisnika Karlovače banke d.d.,
poslovnica u Slunju u jednom mjesecu.
50
Prvi primjer pokazuje primjenu modela višekanalnog sustava, kada su radila dva šaltera,
svakih devet minuta pristižu novi klijenti a prosječno vrijeme usluživanja iznosi pet minuta.
Nakon analize dobivenih informacija, rezultati pokazuju da je očekivano vrijeme čekanja u
sustavu šest (5,886) minuta, a prosječno vrijeme obavljanja usluge pet (4,998) minuta,
očekivan broj jedinica u sustavu a to je 0,883 korisnika, očekivan broj jedinica u redu iznosi
0,133 korisnika. Pokazatelj iskorištenosti p ne smije biti jednak 1 da bi sustav bio stabilan. U
ovom primjeru sustav je stabilan što dokazuje λ<µ , što konkretno u ovom primjeru znači
9<12.
Drugi primjer prikazuje situaciju pri kojoj radi samo jedan šalter. Iz statističkih podataka
vidljivo je da su prosječne stope dolazaka 9 i 12 jedinica po satu. Vrijeme čekanju u sustavu
je 0,278 a vrijeme čekanja u redu 0,195. Očekivani broj jedinica u redu je 1,755. U toj
situaciji radi samo jedan šalter, postotak iskorištenosti iznosi 74,75%.
U situacijama kada je broj usluženih klijenata 15, 20, 30 i 34, najveću vjerojatnost ima slučaj
kada je usluženo 20 klijenata u jednom satu a ta vjerojatnost iznosi 6,24%. Najmanja je
vjerojatnost 1,08% u slučaju da su uslužena 34 klijenta. Trajanje usluge s najvećom
vjerojatnošću, od predloženih 2, 3, 8 i 10 minuta, iznosi tri minute, odnosno 14,08% a
najmanju 10 minuta tj. 1,81%. Kada je riječ o dolasku novih klijenata, tada se iz navedenih
podataka vidi da najveću vjerojatnost ima situacija kada klijenti stižu svakih 7 minuta
(11,71%) a najmanja vjerojatnost da će klijenti stizati svakih 15 minuta (1,94 %).
Riješiti problem čekanja znači odrediti optimalan broj uslužnih mjesta za koji će vrijeme
čekanja u redu ili troškovi (gubici) prouzrokovani čekanjem biti minimalni. Slijedi da se
rješavanjem problema reda čekanja neće moći u potpunosti eliminirati čekanje već samo
gubici zbog čekanja svesti na minimum.
Optimalno rješenje redova čekanja ne znači da redova čekanja više neće biti. Da bi se
eliminiralo čekanje od jedne strane jedinica kapacitet uslužnih mjesta bi trebao biti veći od
broja korisnika usluge, ali tada bi se pojavilo čekanje uslužnog mjesta što znači da bi se
povećala neiskorištenost uslužnih mjesta što je neracionalno.
Nakon provedenog ispitivanja teorije redova čekanja u poslovnici Karlovačke banke u Slunju,
konstatiramo kako se ona nalazi u prihvatljivim uvjetima. Slunj je grad koji broji manje od pet
51
tisuća stanovnika, te se u njemu nalaze još dva poduzeća koja se bave istom djelatnošću, stoga
nema potrebe da poslovnica proširuje kapacitete. Analizirano je razdoblje od mjesec dana, a
da bi situacija bila vjerodostojnija potrebno je promatrati poslovanje u dužem periodu.
Preporuke su dodatna ulaganja u promatranje redova čekanja i troškovne komponente kako bi
se omogućilo još uspješnije isplanirati kapacitete, smanjiti rizik neizvjesnosti i smanjiti rizik
od odlaska klijenata kod konkurenata.
52
LITERATURA
Knjige:
1. Barković, D. (2002.), Operacijska istraživanja, Ekonomski fakultet u Osijeku, Osijek
2. Cervaković, E. (2008.), Povišenje kapaciteta proizvodno transportnih segmenata
sistema primjenom simulacione studije, Mašinski fakultet Tuzla, Tuzla
3. Zenzerović, Z. (2005.), Teorija redova čekanja, Pomorski fakultetu u Rijeci, Rijeka
Internet stranice:
1. Bauk, S. (2010.), Kvantitativne metode optimacije u funkciji naučnog menadžmenta,
[Online] Available at: http://www.scribd.com/doc/55065160/Sanja-Bauk-Udzbenik-
Iz-NM (15.04.2014.)
2. Drljača, M i Bešker, M.,(2010.), Održivi uspjeh i upravljanje rizicima [Online]
Available at:
https://bib.irb.hr/datoteka/520678.9._Odrivi_uspjeh_i_upravljanje_rizicima_poslovanj
a.pdf (10.05.2014.)
3. Golner, D. (2002), Redovi čekanja, [Online] Available at: http://www.darko-
golner.com/download/tekstovi/redovi.pdf (30.04.2014).
4. Investopedia, Definition of „Queuing Theory“, (2014.), [Online] Available at:
http://www.investopedia.com/terms/q/queuing-theory.asp (03.05.2014)
5. Karlovačka banka d.d., (2014.), [Online] Available at: http://www.kaba.hr/
(05.04.2014)
6. KING SAUD UNIVERSITY (2014.), Poisson distribution, [Online] Available at:
http://faculty.ksu.edu.sa/21829/PublishingImages/Forms/Combine.aspx (10.05.2014.)
7. Klebečko, E. (2012), Redovi čekanja i njihove primjene, [Online] Available at:
http://www.dmi.uns.ac.rs/site/dmi/download/master/primenjena_matematika/ElviraKl
ebecko.pdf (05.05.2014)
8. Kruh-Vuk, M. (2010), Analiza vjerojatnosti blokiranja ovisno o prometnom
opterrećenju, [Online] Available at:
http://www.scribd.com/doc/38322859/ANALIZA-VJEROJATNOSTI-
BLOKIRANJA-OVISNO-O-PROMETNOM-OPTERE%C4%86ENJU-0036365596
(12.04.2014.)
53
9. Povijesni pregled teorije redova čekanja, (2014.), [Online] Available at:
http://www.timetoast.com/timelines/povijesni-pregled-teorije-redova-cekanja
(12.04.2014.)
10. Redovi čekanja – pojam, vrste, parametri (2010.), [Online] Available at:
http://www.pfri.uniri.hr/~bdrascic/OI/redovi-cekanja.pdf (12.04.2014)
11. Stohastičko modeliranje (2009.), [Online] Available at:
http://aktuari.math.pmf.unizg.hr/docs/sm.pdf (15.05.2014)
12. Šimunović, LJ. (2012.), Teorija redova/repova (queueing theory), [Online] Available
at: http://e-
student.fpz.hr/Predmeti/O/Osnove_prometnog_inzenjerstva/Materijali/OPI_PREDAV
ANJE_2012.pdf (12.04.2014.)
13. Teorija redova (Teorija masovnog opsluživanja), (2010.), [Online] Available at:
http://www.masinac.org/downloads/operaciona%20istrazivanja/predavanja/predavanje
or04teorijaredova1revised.pdf (18.04.2014.)
54
POPIS SLIKA
Redni broj Naslov slike Stranica
1. Struktura modela čekanja
7
2. Tipovi sistema sa redovima čekanja
11
3. Sustav masovnog opsluživanja
12
4. Krivulja Poisson-ove distribucije
25
5.
Distribucija Pisson-ove slučajne varijable s
parametrom 3 za skup realizacija {0,1,2,...15}
26
6. Model troškova čekanja
33
55
POPIS TABLICA
Redni broj Naslov tablice Stranica
1. Povijesni pregled teorije redova čekanja
5,
6
2. Dnevne prosječne vrijednosti poslovnice Karlovačke
banke u Slunju 38
56
POPIS GRAFOVA
Redni broj Naslov grafa Stranica
1. Vjerojatnost kod broja usluženih klijenata
44
2. Vjerojatnost kod usluge posluživanja klijenata
46
3. Vjerojatnost kod dolazaka novih klijenata u poslovnicu
48
57
IZJAVA
kojom izjavljujem da sam diplomski rad s naslovom RJEŠAVANJE PROBLEMA ČEKANJA NA PRIMJERU KARLOVAČKE BANKE U SLUNJU
izradio/la samostalno pod voditeljstvom prof. dr. sc. Alemke Šegote, a pri izradi diplomskog
rada pomagao mi je i asistent dr.sc. Jelena Jardas Antonić. U radu sam primijenio/la
metodologiju znanstvenoistraživačkog rada i koristio/la literaturu koja je navedena na kraju
diplomskog rada. Tuđe spoznaje, stavove, zaključke, teorije i zakonitosti koje sam izravno ili
parafrazirajući naveo/la u diplomskom radu na uobičajen, standardan način citirao/la sam i
povezao/la s fusnotama s korištenim bibliografskim jedinicama. Rad je pisan u duhu
hrvatskog jezika.
Suglasna sam s objavom diplomskog rada na službenim stranicama Fakulteta.
Studentica
Valentina Barić
