UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFacultad de IngenieraDepartamento de Ingeniera Industrial Departamento de Ingeniera IndustrialProbabilidad y Estadstica I Sesiones # 9 y 10Variables Aleatorias Valor Esperado, FGM, VarianzaDistribuciones Discretas de Mayor Aplicacin:1Distribuciones Discretas de Mayor Aplicacin:Bernoulli, Geomtrica, Binomial y PoissonMario Castillo (Coordinador General del Curso)Valor Esperado de una Variable AleatoriaEjemplo: Caso V.A. X, nmero de bolas rojasCul es el nmero de bolas rojas esperado?{ } 3 , 2 , 1 , 0 ) ( = X R301

309

3015

305(.) g3 2 10x30 30 30 302 . 1 ) (2 . 13036 301* 3309* 23015* 1305* 0 ) (= = =+ + + =X EX E2Valor Esperado de Una Variable AleatoriaDefinicin- Caso discretoSea X una V.A. discreta con rango R(X).El valor esperado de la V.A. X se define por:e=) ( ). ( ) (x Rixi x ix g x X E- Caso continuoSea X una V.A. continua con rango R(X)El valor esperado de la V.A. X se define por:De las definiciones anteriores se infiere queE(K) = Ke ) ( x Rix}=) () ( ) (X Rxdx x f x X E3Valor Esperado Ejemplo Caso DiscretoDistribucin Geomtrica{ }p ppppp n p p p n X Ep p n g n X R Xnnnnnx1)] 1 ( 1 [ ) 1 ( ) 1 ( ) () 1 ( ) ( ; ,... ,..., 2 , 1 ) ( con 2 211111= = = = = = = ==pX Ep p p1) ()] 1 ( 1 [= 4Valor Esperado Ejemplo Caso Continuo212E(X)222= =} }dx x dxxx2, x 0 ,2) ( s s = xxxf Para la VA X con fdp

34683 21 2 22030 0= = =} }x5Valor Esperado de una Funcin de la V.A. XSea X una V.A. y u(.) una funcin real. Entonces, Y= u(X) es, a suturno, una V.A.Se puede demostrar que}== = continuo Caso ) ( ) ( )) ( ( ) () ( x Rdx x f x u x u E Y EPropiedades del Valor EsperadoDe la definicin anterior se obtiene que:E(kX) = kE(X)= ) ( ) ( ) (i x ix g x u Y E6Varianza de una Variable Aleatoria( ) ( )XX E X E X VARxxvar22== =Sea X una V.A. discreta o continua. La varianza y la desviacin estndar de la V.A. X se definen por:De acuerdo con la definicin, la varianza la podemos calcular a travs de la expresin:Var(X) = para X V.A. discreta yVar(X) = para X V.A. continua. La varianza de X tambin se puede expresar como:Var(X) = E(X2) [E(X)]2=nix i i Xx x g12) ( * ) ( }) (2) ( * ) (X Rx Xdx x x f 7Ejemplo: VE y Varianza de una VA XCondicin del MercadoRetornoAccin 1 Accin 2 Accin 3Bueno (1/3) 15 16 1Promedio (1/3) 9 10 10Malo (1/3) 3 4 19 Malo (1/3) 3 4 19Media 9 10 10Varianza 24 24 54Desviacin 4.9 4.9 7.35Var(R1) =[(15 9)2 + (9 9)2+ (3 9)2]/3= 24Desv(R ) = 248Desv(R1) = 24Ejemplo Caso Continuo( )34x E que puesto,2 34 ) ) (( ) (222= |.|

\| = =}dxxxx E X Var la varianza de X estar dada por: 2, x 0 ,2) ( s s = xx fxPara el ejemplo ya presentado en el que la VA X tiene f.d.p. 16 8 19163821 9163821 3 2 322 3 420232020( (((

+ =((

+ =. \}}}x x xdxx xxxdxxx990.222 ) (186496441621 1816984 21 02 3 4=((

+ =(((

+ =X Varx x xFuncin Generatriz de Momentosi)Si X es una VA discreta con FP g x (.),se define la funcin generatriz de momentos (FGM) de X por :+x(t)= E (etX)==1 ii xtx) x ( g ei,donde R(X) = {x1, x2, ..., xi, ...}ii)SiXesunaVAcontinuaconFDPfx(.),sedefinelafuncingeneratrizde momentos (FGM) de X por :+x(t)= E (etX)dx ) x ( f e R(X)xtx}= , siempre que dicha integral exista.Propiedad FundamentalSea X una VA con FGM +x (.). Entonces, 10+x(n) (0) = E(X n) (Momento de orden n de X).Es decir, si conocemos la FGM de una VA X, podemos obtenerlos momentos de orden n de X para cualquier n.Enparticular,losmomentosdeordenn=1yn=2,apartirdeloscuales sepuedencalcular la media y la varianza de la VA X.Funcin Generatriz de Momentos - EjemplosEjemplo 1: (Distribucin de Bernoulli - X VA discreta, finita)Sea Xb una VA de rango R(X) = {0,1} y con FP gXb(x ; p) =x - 1 xp) - (1 p ,xe{0,1,};p,0 = x e x fxEX entonces su FGM de la VA XE est dada por :dx e dx e e tt x x txXE= = +} } ) ; (0) (0tt= X PAhora podemos contestar las preguntas que nos faltaba responder:( ) ( ) ( ) ( ) 10 9 8 8 = + = + = = > X P X P X P X P18En cierta ciudad se quiere analizar el experimento aleatorio que consiste en observarcmo se comportan los nacimientos de bebs con respecto al tiempo, en el sentido dever el nacimiento de un beb como un evento puntual (el instante en que nace el beb)que tiene lugar a lo largo de tiempo. El nacimiento de un beb en la ciudad lo podemosinterpretar como una llegada del proceso que tiene lugar en el tiempo.El tiempo lo podemos representar a travs de la recta real y las llegadas como puntosde dicha recta, as:El Proceso de Poissonde dicha recta, as:Respecto a dicho proceso (experimento aleatorio) podemos definir la VA XPpara unintervalo de tiempo de longitud t por:19intervalo de tiempo de longitud t por:XP(t) = "nmero de nacimientos (llegadas) en el intervalo de tiempo de longitud t"Consideremos un EA en el cual cierto "evento puntual" (nacimiento de un beb, llegada deun avin a un aeropuerto, un imperfecto en la produccin de una tira plstica) tiene lugar enun continuo (tiempo, volumen, longitud) de manera aleatoria.Suponemos que dicho experimento tiene las siguientes caractersticas:i) El continuo, que representamos por la variable real "t", puede ser dividido enpartes que llamaremos At suficientemente pequeas como para que a lo sumoEl Proceso de Poisson - Descripcin y Supuestos del Modelopartes que llamaremos At suficientemente pequeas como para que a lo sumouno de los sucesos puntuales tenga lugar en dicho intervalo de tiempo.ii) Para dos intervalos disyuntos (A t)1y (A t)2el hecho de que haya una llegadaen (At)1, es independiente de que haya o no una llegada del proceso en (At)2.iii) La probabilidad de que el suceso puntual (llegada) tenga lugar en un intervaloA t depende nicamente de la longitud del intervalo y de una constante quecaracteriza el proceso, i.e.,P (haya una llegada en el intervalo At) = . AtNtese, por tanto, que dicha probabilidad no depende de la ubicacin del intervalo t en elcontinuo t. En ese sentido, podemos decir que las llegadas estn uniformemente20continuo t. En ese sentido, podemos decir que las llegadas estn uniformementedistribuidas en el tiempo.Sea t un intervalo de tiempo dado, arbitrario pero fijo. Queremos examinar la VA XPdefinida por,XP(t) = "nmero de llegadas en el intervalo de tiempo t",y deducir su distribucin,= P (XP= n; , t)= P (haya exactamente n llegadas del proceso en el intervalode tiempo t).El Proceso de Poisson - Deduccin y Caracterizacin de la Distribucin) t , ; n ( gPXde tiempo t).Dividamos el intervalo de magnitud t en N intervalos de magnitud t/N, de tal manera quet/N sea tan pequeo como sea necesario para que se cumplan los supuestos delmodelo.El evento B "que haya exactamente n llegadas del proceso en el intervalo detiempo t" es equivalente al evento "obtener exactamente n xitos en los N21tiempo t" es equivalente al evento "obtener exactamente n xitos en los Nexperimentos independientes de Bernoulli que consisten en observar si ha habido o nouna llegada del proceso en el intervalo de tiempo de longitud t/N".La probabilidad de obtener xito (que haya una llegada) en cada uno de estos experimentos deBernoulli es p = (t/N) (supuesto iii).Es decir, tenemos N experimentos independientes de Bernoulli de parmetro p = (t/N).La probabilidad del evento B est dada por:P(B) = P( haya exactamente n llegadas del proceso en el intervalo de tiempo t)El Proceso de Poisson - Deduccin y Caracterizacin de la Distribucin= P( obtener exactamente n xitos en los N experimentos independientesde Bernoulli de parmetro p = (t/N))= P(XB= n; N, .(t /N)) (*)Para poder obtener un modelo completamente general que represente a cualquier tipo de procesoque cumple con los supuestos i, ii y iii antes descritos, se debe tomar el lmite de la expresin (*)cuando N tiende a infinito, es decir, cuando los intervalos t/N son tan pequeos como se quiera.n N nNt1NtnN|.|

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\|=22( )( )NnNnNnNn nnNn N nNNtNtN n NNntNtNtNtn n N NNtNtnN((((((

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\| exista. lmites estos de uno cada que siempre ,11lim *)! (!lim *!11! )! (!lim 1 limannena= |.|

\| 1 lim: que sabemos clculo Del( )NnNNNnNtNtNNNn NNn NntN|.|

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\ 1 lim1 lim* * ... *) 2 (*) 1 (lim *!1( ) ( )tenttentn n= = *! 1* 1 *!( ).. . 2, 1, 0, n ,!) , ; ( = = tnpxentt n g23Distribucin de POISSON de parmetros , t.Interpretacin de : Nmero de llegadas por unidad de tiempo.Sit = 1, entonces la funcin de probabilidad se expresar por:,... 2 , 1 , 0 ,!) ; ( = =n enn gnxpEjercicios) 1 ( = =se Ejercicio 1Demostrar que la FGM, el valor esperado y la varianza de la VA XPde parmetro (para t = 1) estn dados por:) 1 () ; (= =sePXe s = = )) ( ( ar y )) ( (P PX V X E24EjerciciosEjercicio 2ABC Petroleum va a iniciar la perforacin de varios pozos en un nuevo campo. En el proceso deperforacin de cada pozo, la compaa puede alcanzar dos tipos de formaciones geolgicas que seencuentran a un nivel de profundidad diferente: Mirador o Barco. El nivel de reservas de petrleo decada pozo, depende de la formacin que se alcance en el proceso de perforacin. Si ABC alcanza laformacin Mirador, el nivel de reservas obtenido ser alto con probabilidad 0.2, medio conprobabilidad 0.3 y bajo con probabilidad 0.5. Cuando se alcanza la formacin Barco, se estima que el probabilidad 0.3 y bajo con probabilidad 0.5. Cuando se alcanza la formacin Barco, se estima que elnivel de reservas es alto en el 40% de los casos, medio en el 50% de los casos y bajo en el 10% delos casos.Con base en estudios geolgicos, ABC estima que la probabilidad de que la perforacin llegue hastala formacin Mirador en cualquiera de los pozos es 0.7, mientras que la probabilidad de llegar a laformacin Barco es 0.3. Asumiendo independencia en los resultados del proceso de perforacin decada pozo, responda las siguientes preguntas:a. Calcule la probabilidad de que, en un pozo cualquiera, ABC obtenga un nivel de reservas alto,medio y bajo, respectivamente.b. Cul es la probabilidad de que ABC deba perforar 10 pozos para encontrar el primero con un25b. Cul es la probabilidad de que ABC deba perforar 10 pozos para encontrar el primero con unnivel medio alto de reservas?c. Cul es la probabilidad de que ms de 2 de los primeros 5 pozos perforados presenten un nivelbajo de reservas?d. Si de los primeros 10 pozos perforados 4 presentaron un nivel alto de reservas, cul es laprobabilidad de que el decimoquinto pozo perforado sea el quinto con un nivel alto de reservas?e. Calcule el valor esperado del nmero de pozos con reservas bajas o medias que se perforarnhasta obtener el quinto pozo con reservas altas.EjerciciosEjercicio 3El nmero de llamadas que entran a una central telefnica durante un viernes en la noche sepuede representar por medio de un proceso de Poisson. De acuerdo con los datos del ltimomes, se ha estimado el nmero de llamadas entre las 8 PM y las 9 PM es una variablePoisson con una tasa de 70 llamadas por hora, entre las 9 PM y la 1 AM es una variablePoisson con una tasa de 50 llamadas por hora, mientras que entre la 1 AM y las 3 AM es una Poisson con una tasa de 50 llamadas por hora, mientras que entre la 1 AM y las 3 AM es unavariable Poisson con una tasa de 40 llamadas por hora.a. Cul es la probabilidad de que entre las 8 PM y las 9 PM entren 70 llamadas?b. Cul es la probabilidad de que entre las 9 PM y las 11 PM entren ms de 80 llamadas?c. Cul es el nmero esperado de llamadas que entran entre las 2 AM y las 2:30 AM?d. Cul es la probabilidad de que entre las 8:30 PM y las 9 PM entren 30 llamadas y queentre las 2 AM y las 3 AM entren 60 llamadas?e. Se sabe que entre las 9 PM y las 10 PM entraron 50 llamadas, cul es la probabilidad deque entre las 9 PM y las 11:30 PM entren ms de 120 llamadas?26