CHAPITRE 4 LA VAR MONTE CARLO ...................................................................... 2

I. PRINCIPE .................................................................................................................. 2

A. Quel modèle utiliser ? ........................................................................................ 2

B. Algorithme de simulation .................................................................................. 3

II. EXEMPLE D’APPLICATION ............................................................................................ 4

A. Travail préliminaire ........................................................................................... 4

B. Simulation des trajectoires ................................................................................ 6

Algorithme ..................................................................................................... 6

Résultat obtenu .............................................................................................. 7

Chapitre 4 La VaR Monte Carlo

I. Principe

Nous avons défini précédemment la Value-at-Risk comme la perte potentielle maximale sur un titre ou un portefeuille, sur un horizon de temps avec un degré de confiance. La méthode de calcul de la VaR Monte Carlo est utilisée en général quand le portefeuille contient des produits dérivés. Le principe de cette méthode consiste à simuler un grand nombre 𝑁 de trajectoires possibles d’un actif financier donné. Pour obtenir la Value-at-Risk pour un niveau de confiance de (100 − 𝛼)% , il suffit ensuite de sélectionner le 𝛼% ∗ 𝑁 pire scénario, i.e. la 𝛼% ∗ 𝑁 ième plus mauvaise valeur. Pour prévoir les différentes trajectoires possibles d’un actif financier donné, on suit en général les trois étapes suivantes:

1. Choisir un modèle susceptible de décrire l’évolution de l’actif d’une manière assez fiable,

2. Déterminer les paramètres de ce modèle,

3. Simuler le nombre de trajectoires voulu du processus choisi avec les paramètres déterminés précédemment.

A. Quel modèle utiliser ?

Dès qu’il s’agit d’actions, d’indices actions ou de matières premières, le processus utilisé est le mouvement brownien géométrique. Soit 𝑆 𝑡 le cours de l’actif à la date 𝑡, l’évolution du cours de l’actif est donnée par le modèle suivant ::

𝑆 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑆 𝑡 𝑒𝑥𝑝 𝜇 −𝜎2

2 ∆𝑡 + 𝜎𝜀 ∆𝑡

où

𝜇 moyenne empirique de la distribution de l’actif

𝜎 écart-type empirique de la distribution de l’actif

𝜀 suit une loi normale 𝒩 0,1

B. Algorithme de simulation

Supposons qu’on veuille déterminer la VaR 95% sur une durée de 5 jours d’un portefeuille 𝑃 donné. L’algorithme est le suivant:

1. Valoriser le portefeuille à la date t=0, 𝑃0

2. Générer une trajectoire des différents actifs composants le portefeuille à la date 𝑡 = 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠,

3. Réévaluer le portefeuille à la date 𝑡 = 5 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠, 𝑃5. On obtient ainsi :

𝛥𝑃 = 𝑃5 − 𝑃0.

4. Répéter les étapes 2 et 3 autant de fois que souhaité.

Si on réalise par exemple 10 000 simulations, la VaR à 95% est la 500ème plus faible valeur de 𝛥𝑃.

II. Exemple d’application

A. Travail préliminaire

On considère un portefeuille consisté de :

50% DOW JONES

50% S&P 500 La première étape consiste à télécharger les cours de ces indices sur Yahoo finance par exemple. Dans notre exemple, on télécharge donc les cours journaliers du DOW JONES et du S&P500 du 31 décembre 1969 au 1er janvier 2006. La Value-at-Risk étant calculée à partir de la distribution des rendements, on transforme ces données afin d’obtenir les rendements quotidiens de ces 2 indices du 1er janvier 1970 au 1er janvier 2006. Soit 𝑃𝑡 le cours de l’indice à la date 𝑡, le rendement quotidien de cet indice à la date 𝑡 est défini par :

𝑅𝑡 =𝑃𝑡

𝑃𝑡−1

− 1

On obtient ainsi 2 distributions de rendements :

𝑅𝑡1

𝑡 la distribution des rendements quotidiens du DOW JONES

𝑅𝑡2

𝑡 la distribution des rendements quotidiens du S&P 500

Afin d’obtenir les paramètres de la distribution du portefeuille nous avons besoin de calculer :

Le coefficient de corrélation linéaire entre les distributions 𝑅𝑡1

𝑡 et 𝑅𝑡

2 𝑡

La moyenne et l’écart-type empiriques de chacune des distributions Soient :

𝜇1la moyenne empirique de la distribution 𝑅𝑡1

𝑡

𝜇2la moyenne empirique de la distribution 𝑅𝑡2

𝑡

𝜎1l’écart-type empirique de la distribution 𝑅𝑡1

𝑡

𝜎2l’écart-type empirique de la distribution 𝑅𝑡2

𝑡

𝑟12 le coefficient de corrélation linéaire entre les distributions 𝑅𝑡1

𝑡 et 𝑅𝑡

2 𝑡

La moyenne et l’écart-type empirique 𝜇𝑃 et 𝜎𝑃 de la distribution des rendements quotidiens du portefeuille sont définis par :

𝜇𝑃 =𝜇1 + 𝜇2

2

𝜎𝑃 = 𝜎1

2 + 𝜎22 + 2𝑟12𝜎1𝜎2

2

Les valeurs numériques obtenues à partir des données sont regroupées dans les deux tableaux ci-dessous : Coefficient de corrélation DJ

SP500 0,962 Paramètres DJ SP500 Portefeuille

Moyenne 0,00031 0,00031 0,0003 Ecart-type 0,01080 0,01078 0,0107

B. Simulation des trajectoires

Nous disposons maintenant de tous les paramètres nécessaires pour simuler le processus 𝑃𝑡 décrivant les rendements du portefeuille défini par :

𝑃𝑡+∆𝑡 = 𝑃𝑡 𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑃 −𝜎𝑃

2

2 ∆𝑡 + 𝜎𝑃𝜀 ∆𝑡

La valeur initiale 𝑃0 n’a pas d’importance, étant donné qu’on travaille directement sur les distributions de rendements. On prend donc 𝑃0 = 1. On cherche la Value-at-Risk à 1 an sur ce portefeuille pour un niveau de confiance de 99%. On considère une distribution de rendements quotidiens, donc on prend ∆𝑡 = 252. En effet, les places boursières sont fermées les week-ends et les jours fériés, donc en comptant 9 jours fériés, on obtient 365 − 2 ∗ 52 − 9 = 252 jours.

Algorithme

On désire effectuer 1000 simulations. La procédure à suivre sur Excel est la suivante :

1) On génère un vecteur 𝜀𝑖 𝑖=1,…,1000 de variables aléatoires suivant une loi

normale 𝒩 0,1

Fonction Excel : LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(ALEA()) sur 1000 cellules

2) Pour chaque valeur de 𝜀𝑖 on calcule le rendement du portefeuille dans 1 an

noté 𝑃𝑖1 𝑎𝑛

𝑃𝑖1 𝑎𝑛 = 𝑒𝑥𝑝 𝜇𝑃 −

𝜎𝑃2

2 252 + 𝜎𝑃𝜀𝑖 252

3) Pour 𝑖 = 1, … ,1000 on calcule la variation du rendement du portefeuille :

∆𝑃𝑖 = 𝑃𝑖1 𝑎𝑛 − 𝑃0 = 𝑃𝑖

1 𝑎𝑛 − 1

4) On obtient la Value-at-Risk sur ce portefeuille pour un niveau de confiance de 99% et un horizon d’1 an en sélectionnant le 10ème plus faible rendement

Fonction Excel : CENTILE(J6:J1005;0,01) où J6:J1005 est la matrice contenant les valeurs ∆𝑃𝑖 i=1,…,1000

Résultat obtenu

𝜺 𝑷𝟎 𝑷𝟏 𝒂𝒏 ∆𝑷 -0,59759551 1 0,96324455 -0,03675545 2,39139098 1 1,59943811 0,59943811 1,09253693 1 1,28311875 0,28311875 -0,42575266 1 0,99174057 -0,00825943 0,57344236 1 1,17495046 0,17495046 0,01545285 1 1,06882462 0,06882462 0,99645162 1 1,26237158 0,26237158 0,56624385 1 1,1735164 0,1735164 -2,30805471 1 0,72062376 -0,27937624 -0,76018576 1 0,93703709 -0,06296291 -0,78826453 1 0,93258391 -0,06741609 -1,72462693 1 0,79560224 -0,20439776 0,17732524 1 1,09858416 0,09858416

… … … … … … … … … … … … … … … …

0,55809103 1 1,17189434 0,17189434 -0,64143479 1 0,95610689 -0,04389311 -0,28724363 1 1,01532138 0,01532138 -0,77208603 1 0,93514717 -0,06485283 0,09976332 1 1,08422273 0,08422273 -1,61466031 1 0,81058474 -0,18941526 0,86881426 1 1,23532943 0,23532943 -1,99185729 1 0,76033723 -0,23966277 -0,3806942 1 0,99935093 -0,00064907 0,53773606 1 1,16785436 0,16785436 -0,42550141 1 0,99178284 -0,00821716

Value-at-Risk(99%,1an) -28,07%