VARIATIONS SUR UNE PETITE FOLIE SPIRALANTE ARABINE

D.B. IUFM Versailles Antony VdB 71

VARIATIONS SUR UNE PETITE FOLIE SPIRALANTE ARABINE

FSA_Lignes_Next

◊ Ce chapitre fait suite à la seconde partie de [FSA_Lignes]. Nous continuons de travailler avec le

logiciel de géométrie dynamique GeoNext dans sa version 1.51 minimum. Une première partie nous

fait tracer une couronne de carrés. Cette partie est transférable en classe de Cm, à condition de fournir

un mode opératoire. Dans une seconde partie, l'on essaye de propager vers l'intérieur cette première

couronne. Ce faisant on exploite un dispositif propre au logiciel puis on bascule dans Photoshop: ce

travail est donc plutôt l'apanage de l'enseignant qui souhaite reproduire le motif FSA, soit pour

l'ajouter à sa collection de coloriages, soit pour maîtriser le logiciel GeoNext en vue de produire

d'autres figures géométriques pour sa classe.

Mise en place du dessin géométrique

◊ Démarrage classique : lancez le logiciel, créez une nouvelle feuille, faites apparaître les axes et

centrez-les à peu près sur votre écran. Puis créez un point à l'intersection des axes des abscisses

et des ordonnées. Renommez immédiatement ce point en O. Créez maintenant un second point

libre que vous nommerez R (comme rayon si vous voulez). Enregistrez de suite votre travail en

tant que feuille de dessin Géonext. Tracez maintenant un premier cercle de centre O et passant

par R : toute la figure s'inscrira dans ce cercle.

◊ Nous avons besoin de répartir 12 carrés en couronnes, ce qui passe par la pose de 12 points


égalements répartis sur le cercle que nous venons de tracer. Nous commençons par poser les sommets

d'un hexagone en utilisant la construction bien classique de la rosace : cercle centré en R et passant par

O. Puis demandez au logiciel de rechercher les

intersections des deux cercles ainsi tracés, d'où deux

points nommés C et D normalement. Enfin masquez le

cercle de service de centre R. Notez que depuis la

version 1.51 du logiciel, les éléments cachés sont

figurés dans un rose du plus bel effet tant que l'outil

Cacher est actif.

◊ Nous tenons déjà 3 points. Pour gagner les trois autres

sommets de l'hexagone convoquez la commande

[Points/Point(symétrie centrale)]. Par exemple, cliquez sur le

point O puis sur le point C : son symétrique par rapport

au centre O s'affiche. recommencez avec les couples de

points (dans cet ordre) O puis R et O puis D.

◊ Les six points manquant (pour faire 12) vont être

obtenus grâce à des bissectrices bien choisies. Menu [Droites/Bissectrice]. Attention à cliquer dans le bon

ordre les trois points définissant le secteur angulaire dont on veut voir tracée la bissectrice intérieure.

Ici : R puis O puis C. Recommencez

avec (dans l'ordre) D, O, R, puis E, O, D.

Vous obtenez trois demi-droites issues

du centre O. Commandez les

intersections de ces demi-droites avec

le cercle principal. Géonext calcule en

fait les intersections des droites

supportant ces demi-droites avec le

cercle et offre donc 6 autres points. Ne

reste plus qu'à cacher bissectrices et

cercle de centre O car nous n'en avons

plus besoin pour le moment.

◊ Nous voilà avec 12 sommets, les plus

externes pourrait-on dire, de nos carrés.

Comment gagner d'autres points ? C'est

ici que l'on réinvestit le travail du

chapitre précédent : les carrés du motif

FSA s'agencent sur des infrastructures

elles-même carrées ! Tel est le cas des

points M, R, L et F en reprenant les noms

affichés ci-contre … et aussi C, J, E et K.

Et ainsi de suite. Donc :

◊ Menu [Droites/Segment] – oui ça fait un

peu bizarre mais bon … Puis clic sur le

point M puis sur le point R. Gardez cet

outil actif pour engendrer de proche en

proche les 11 autres segments possibles.

Tournez toujours dans le même sens de

proche en proche. Le résultat cherché est vite obtenu. Notez au milieu de votre travail, c'est-à-dire


quand vous venez de tirer le segment [FL] comme l'on devine bien les

grands carrés !

◊ La figure à droite dit tout, ou presque !

Pour gagner d'autres sommets de nos 12

carrés externes, il suffit de marquer des

intersections convenablement choisies de

nos grands segments. Donc : réactivez l'outil

[Points/Intersection] puis faites apparaître les

points voulus. Pas de réelle difficulté ici.

◊ Quand vous tenez ces 24 points, vous

tenez – presque – les 12 manquants !

Observez bien la figure ci-dessous :

La copie d'écran montre la phase précise où

deux segments sont proposés au logiciel afin

qu'il repère leur intersection ; ici [NX] et [AaP].

Si Ab désigne le point d'intersection à venir,

alors, clairement le quadrilatère MNAaAb est

un carré du motif. {Pour des problèmes de

désignation, je mets en petite casse la second lettre

du nom attribué par GeoNext ; on pourrait renommer

ces points avec des primes, des secondes ou des

tierces, mais le jeu n'en vaut pas la chandelle !} Donc, faites apparaître les deux segments

cités puis leur intersection.

◊ Pour propager ce point, nous faisons

apparaître un cercle puis ses nombreuses

intersections avec des rayons bien choisis. Le

lecteur aura vite mis en place la stratégie ad

hoc : tracer un cercle de centre O et passant

par le point Ab ; masquer tous les segments

déjà tracés pour y voir clair ; réactivez les

segments [OH] et [OJ], créer les segments

manquants [OC], [OR] et [OD] ; enfin marquer


?

leurs intersections avec le cercle précité. Bingo ! Comme précédemment, on obtient beaucoup plus de

points car GéoNext recherche une fois de plus l'intersection de droites – et non de segments –

avec le petit cercle. Masquez de suite tous les traits issus de cette phase de travail.

◊ Maintenant, observez bien votre figure ! Avez-vous tous

les points nécessaires ? Ne vous manque-t-il pas, par

hasard le point Ac, symétrique de Ab ? Engendrez-le

en activant la commande [Points/Point(symétrie

centrale)]. Ouf ! Nous tenons nos douze carrés,

il suffit juste de les faire apparaître.

◊ Après avoir activé l'outil [Polygone],

cliquez sur le point M, puis le point N puis le

point Ab puis le point Aa, enfin sur M à

nouveau. Recommencez avec les points N, C, P,

A puis les points P, H, Q, Ac … De proche en proche,

vous finissez par obtenir votre guirlande de 12 carrés.

◊ A l'issue de ce travail, il ne vous reste plus qu'à masquer les noms des points de servitudes et les

petites croix. Première technique : activez l'outil [Cacher] via le menu [Propriétés spéciales/Cacher] et cliquer

de proche en proche sur les objets à masquer. Mais attention ! Bien souvent le même pixel d'écran

renvoie à plusieurs objets et le logiciel ne pouvant choisir pour vous dispense un menu local comme la


dernière copie d'écran de la page précédente.

Il est donc plus facile de faire apparaître la

boite de propriétés des objets et de

sélectionner par paquets les points qui

doivent se trouver masqués : les dispositifs

classiques de sélection multiple sont en effet

disponibles dans GéoNext. A l'issue de cette

opération, seul le point R doit rester visible.

◊ Jouez avec ce point R : tirez, déplacez, et la

suite de carrés suit !

◊ Ah ! si l'on pouvait cumuler des copies de

cette couronne en les raccrochant de façon

appropriée ! Viens une 1ère

idée, profitant

d'une fonctionnalité du logiciel : En effet, il

est possible d'enregistrer une copie d'écran

de son travail ; on génère ainsi un fichier au

format png que l'on peut ensuite réinjecter

dans son travail. Et voilà donc :

Une fausse bonne idée

◊ Après avoir masqué le

point R, lancez le menu

[Fichier/Exporter/PNG] ; Servez

le premier panneau qui

s'ouvre :

Puis le suivant :

◊ Une image, comprenant l'ensemble des pixels

nécessaires à l'affichage de la portion visible de la feuille,

est ainsi enregistrée, au format png. Il va s'agir d'alléger

cette image. Un logiciel de retouche d'images est

maintenant nécessaire. Je choisis d'exposer avec le

logiciel Photoshop Eléments, mais on pourrait aussi bien

travailler avec PaintShop Pro ou The Gimp …

◊ Par sécurité, enregistrez votre production sous

GéoNext. Puis lancez le logiciel de retouche. Dans ce

logiciel, ouvrez l'image tout-juste exportée.

◊ Retenez bien la démarche qui va suivre, car elle est très

fréquente avec Photoshop.

1/ A l'aide de la baguette magique, cliquez dans la zone

blanche, à l'extérieur de la couronne de carrés, pas trop loin. Toute une zone se voit sélectionnée :

entourée de petits pointillés qui clignotent, on parle de fourmis.

2/ Inversez la zone sélectionnée en déclenchant le menu [Sélection/Intervertir]. La couronne est maintenant

enchâssée dans les fourmis ; d'un peu trop près ! Donc :

3/ Activez le menu [Sélection/Modifier/Dilater] ; servez la valeur 2 (sous-entendu

pixels) dans le champ Dilater de du panneau qui s'ouvre. Validez.


4/ Enregistrez le résultat de ce travail d'élagage de votre image.

◊ Vous allez maintenant pouvoir injecter cette image comme image de fond d'écran GéoNext ; c'est là

que réside toute l'astuce ! Qui ne marche pas si bien que cela comme on va le voir, mais bien après ...

◊ Commencez par démasquer le point

R, et déplacez-le légèrement à la souris

pour rétrécir la figure.

◊ Lancez ensuite le menu [Feuille de

dessin/Propriétés de la feuille de dessin]. Ce

menu a déjà été rencontré au chapitre

précédent. Activez l'onglet [Arrière plan].

Cliquez sur le bouton [Charger une

image]. Un panneau [Ouvrir] vous permet

de désigner le fichier png que vous

avez modifié sous Photoshop. Repérez

bien la taille, juste à gauche de la

fenêtre d'aperçu1 : 15.2 de large et

autant de haut. Il s'agit de centrer

l'image chargée par rapport au repère,

ou si vous préférez au point O : Servez

la valeur moitié et rendue négative soit

–7.95 dans le champ x= et dans le

champ y=. Puis cliquez sur le bouton

[Remplacer]. L'image voulue apparaît en

toile de fond de la fenêtre de dessin,

comme sur l'illustration ci-dessus. Ne

vous reste plus qu'à fermer la boîte de

propriétés de la feuille.

◊ Vous pouvez essayer de disposer le

point R harmonieusement, et partant la

couronne de carrés, comme sur l'exemple

ci-contre. Mais ceci vous éloignerait du

projet initial.

◊ Donc, essayez de placer le point R de

telle sorte que la couronne se raccroche

correctement au fond gelé. Comme sur

cet extrait :

◊ Vous devinez certainement la suite : masquer le point R,

exporter le résultat sous un nouveau nom de fichier

graphique, donc png – réaliser en fait une copie d'écran ;

recadrer l'image obtenue avec le logiciel Photoshop ; puis

1 qui, ici, ne laisse rien apercevoir ! Mais cela ne signifie pas un bug du logiciel pour autant.


fixer le fond de la feuille de dessin à cette

nouvelle image, pour pouvoir à nouveau

placer le point R et faire semblant

d'installer une troisième couronne.

◊ Le système risque d'être coûteux et il

vaut mieux prévoir d'être assez patient.

Mais c'est surtout au niveau de la précision

que le bât risque de blesser. Observez bien

l'image ci-contre. La quatrième couronne

n'est pas vraiment bien installée, elle ne se

raccorde pas tout-à-fait à la troisième ; et

on aura beau faire, on ne pourra pas y

arriver, car on finit par cumuler des petites

erreurs qui deviennent irrécupérables.

◊ Certes, il existe des subterfuges pour

gagner en précision ; mais la démarche va

vite devenir pénible, à exposer d'une part,

à pratiquer d'autre part, devenant par la

même à coup sur non transférable auprès

d'élèves même en CM 2.

◊ Il faut donc reprendre son travail sous GéoNext : commencez par éliminer le fond d'écran ; menu

[Feuille de dessin/Propriétés de la feuille de dessin] puis bouton [Effacer] sous l'onglet [Arrière plan].

Où l'on construit une deuxième couronne de carrés

Car finalement, le travail n'est peut-être

pas si énorme que cela.

◊ Commencez par ressusciter certains

objets : points, segments puis par tracer

des rayons. La figure ci-contre à gauche

me semble assez explicative de se que

vous avez à faire !

◊ Des intersections nouvelles sont tout à

fait évidentes: [NQ] et [OP] ou [PS] et [OQ],

etc. Marquez les. Avec les sommets des

carrés déjà tracés les plus proches du point

O vous tenez les ¾ des points utiles à la

définition des carrés de la seconde

couronne. Alors, courage !

◊ Marquez maintenant l'intersection du

segment [AbAe] que vous avez demasqué

et du rayon [OP]. Le chapitre précédent a

montré que le point ainsi obtenu Ba est un

des sommets de carrés de la seconde

couronne. Vous devinez la suite !

◊ Tracez le cercle de centre O et passant

par le point Ba. Puis demandez au logiciel

de marquer les intersections de ce cercle

avec l'ensemble des rayons apparents.

◊ Ne reste plus qu'à réafficher certains


sommets des carrés de la couronne externe pour pouvoir tracer les carrés désirés à l'aide de l'outil

[Polygone] maintenant bien connu.

◊ Notez sur l'illustration ci-dessus, comment on a modifié le remplissage des premiers carrés, pour que

l'application de l'outil [Polygone] soit plus nette. A l'issue de ce travail, enregistrez la figure puis activez

encore une fois l'outil [Cacher] : cachez le point O et tous les sommets des carrés, sauf le point R.

◊ Je vais maintenant exposer deux méthodes différentes. La première est pour les gens pressés.

◊ Vous allez pouvoir reprendre maintenant

la même démarche qu'en fin du paragraphe

précédent, cette fois-ci sans encombre. 1/

Jouez sur le point R pour obtenir la plus

grande image possible sur votre écran. 2/

Masquez tous les points. 3/ Exportez au

format png votre feuille de dessin et 4/

ébarbez l'inutile dans Photoshop. 5/

Installez alors en arrière-plan de la feuille

de dessin cette figure.

◊ Puis faites réapparaître les points R et O .

Tirez un peu sur R pour distinguer le fond

et la couronne de carrés. Posez un point

libre (il s'appellera Al) sur un sommet

externe de la figure. Vous pouvez alors

générer le milieu du segment [OAl], d'où un

point, noté Am sur la figure ci-contre.

◊ Amenez maintenant doucement à la

souris le point R au dessus du point Am. La

figure doit parfaitement s'imbriquer dans la

couronne de l'image de fond. La

justification de ce bon accrochage ne viendra qu'au chapitre [FSA_Hom]. Ici merci de faire confiance.

◊ Vous trouvez, page suivante, le résultat de ce travail : 4 couronnes parfaitement arrangées les unes


5

4

3

2 1

dans les autres, résultat obtenu avec la seconde méthode, que j'expose maintenant. Suivez simplement

les numéros sur la figure

ci-dessous.

◊ Commencez par faire réapparaître le

point R et le cercle de centre O et rayon

OR : vous trouvez ces deux objets tout

en haut de la liste des objets dans la

boite de propriétés. Puis affichez les

axes :clic sur le bouton correspondant

dans le ruban sous la feuille de dessin.

◊ En manipulant le point R, placez la

figure en appui sur les axes et la plus

grande possible. A titre indicatif, sur

mon écran LCD de 17 pouces j'obtiens

un rayon de 8. Quand vous êtes satisfait,

masquez axes, cercle et point R pour

exporter comme déjà indiqué ci-dessus.

Fin de l'étape 1. Dans Photoshop ou

équivalent, recadrez l'image comme

vous savez le faire ; fin de l'étape 2.

◊ Etape 3 : les axes réapparaissent ainsi

que le cercle et le point R. Manipulez ce

point pour que la figure rétrécisse de

moitié, tout en restant bien calée sur les

axes. Etape 4 : chargez en arrière plan

l'image préparée à l'étape 2. Notez bien

largeur et hauteur pour en déduire les offsets x= et y= , leurs valeurs moitiés, précédés d'un signe – comme

d'habitude. Clic sur le bouton [Remplacer] puis le bouton [Fermer]. Finalisez éventuellement la position du


motif sur l'image de fond. Puis enregistrez la feuille GéoNext par sécurité. Pour achever l'étape 5, il ne

vous reste plus qu'à masquer une dernière fois, axes, cercle et point R avant d'exporter au format png

l'image. Vous pouvez quitter le logiciel GéoNext.

Où l'on engendre finalement 8 couronnes de carrés

◊ Le travail se fait sous Photoshop.

Ouvrez le fichier png obtenu à la fin du

travail du paragraphe précédent.

◊ Commencez par recadrer votre image.

Rappel : clic avec la baguette magique à

l'extérieur du motif puis inversion de la

sélection ; dilatation de 2 pixels de la

sélection avant recadrage.

◊ Vous devez disposer de la fenêtre des

calques. Au besoin affichez-la via le

menu [Fenetres]. Repérez le bouton [Plus]

tout en haut à droite de cette palette. Un clic gauche sur ce bouton permet le déploiement d'un menu,

dans lequel vous trouvez l'article [Dupliquez le calque]. Un panneau est dispensé ;

ne touchez à rien et validez. La palette des claques change comme sur

l'exemple ci-contre.

◊ Invoquez alors le menu [Edition/Redimensionner/Echelle]. Notez l'apparition d'une

barre d'outil spécifique :

Fixez les champs L et H à 50% puis validez en cliquant sur le bouton .

Vous pouvez suivre en direct l'effet de réduction quand vous tapez les pourcentages. Notez que c'est

tout le calque qui est réduit. C'est pour cela qu'une partie du motif en Arrière-plan reste masqué. Vous

allez corriger cela en faisant appel une fois de plus à la baguette magique.

◊ Cliquez sur un pixel blanc à l'extérieur proche du motif réduit : des fourmis

apparaissent pour délimiter la zone des pixels blancs contigus. Ne vous reste

plus qu'à appuyer sur la touche [Suppr] pour éliminer ces pixels indésirables.

Puis faites disparaître les fourmis en lançant le menu [Sélection/Déselectionner].

◊ Vous tenez enfin un motif FSA viable – à 8 étages, s'il vous plait ! Mais ce

motif est distribué en deux calques et encore peu propice au coloriage du fait

des remplissages verdâtres des carrés.

◊ Régler le premier problème n'est pas difficile : menu [Calque/Aplatir l'image]. Régler le second problème

va demander un peu plus de patience : Car le plus simple est

encore de faire appel à l'outil [Pot de peinture] et de verser du blanc

à l'intérieur de tous les carrés. Reste que les bords de carrés sont

bleus ! {Par coquetterie, j'ai laissée la couronne interne en vert.}

◊ Voici donc une démarche qui tient plus de la débrouille que

d'autre chose ! Commencez par modifier le mode d'affichage :

menu [Image/Mode/Niveaux de gris]. Validez le message d'alerte du

logiciel. Le joli bleu disparaît au profit d'un gris d'ailleurs non

uniforme : augmenter le zoom jusqu'à une valeur de 400% et

afficher une portion du motif plutôt vers le centre, pour voir …

◊ Vous allez remplacer ces gris par un vrai noir. Pour cela

déclenchez le menu [Accentuation/Régler Luminosité Contraste …/Niveaux].


Dans le panneau [Niveaux], poussezle curseur le plus à droite et observez l'effet sur l'image en arrière-

plan : les pixels gris deviennent bien noir. Clic sur le bouton [OK] pour refermer le panneau de réglage.

◊ L'image vous semblera peut-être empâtée, mais au moins est-elle fonctionnelle pour ce qui nous

préoccupe, savoir permettre à nos élèves de réaliser des coloriages intéressants.

◊ Mais au fait ne manque-t-il pas quelque chose ? Mais si bien sur : les couleurs ! Alors avant de clore

cette phase de travail, n'oubliez point de re-fixer le mode à Couleurs RVB.

◊ Enregistrez ce travail terminé, plutôt au format jpg.

◊ Vérifiez l'absence de trous dans les frontières noires : choisissez une couleur bien franche – un bleu

pur par exemple- et injectez cette couleur avec le pot de peinture dans les carrés les plus petits, e

proche en proche. Si la peinture fuit, c'est qu'il y un trou. Repérez-le et corrigez.

◊ Si vous n'avez pas de correction à effectuer, quitter PhotoShop. Sinon, basculer de nouveau en blanc

toutes lez zones bleuies puis enregistrez une dernière fois.

Adaptations au logiciel PhotoFiltre 6.2

Ce logiciel – gratuit, je le rappelle- ne gère pas les filtres. Ceci entraîne

quelques adaptations tactiques. Je suppose que nous partons d'une image

issue par export de GéoNext. J'appelle Couronne5.png cette image. Cette

image a été recadrée au plus juste en profitant du menu [Image/Recadrage

automatique].

◊ Commencez par enregistrer sous cette image. Je vous propose le nom

de fichier Couronne5réduit.png. Appliquez un facteur de réduction de 50% à

cette image de la façon suivante : lancer le menu [Image/Taille de l'image] ;

Servez dans les champs Largeur et Hauteur du cadre Nouvelle taille la valeur

moitié des tailles initiales, en arrondissant par défaut (par exemple 403

pour 807 comme ci-contre). Ne vous occupez pas de la résolution. Clic


sur le bouton [Ok] pour refermer le panneau.

◊ Malheureusement, le cadre est trop resserré autour de cette image. Pour lui donner de l'air, invoquez

le menu [Image/Taille de la zone de travail] et servez dans les champs Largeur et Hauteur du cadre Nouvelle taille la

valeur 410. Puis validez.

◊ Pour finir cette partie du travail, vous devez disposer côte à côte des deux images Couronne5.png et

Couronne5réduit.png. Dans la fenêtre de l'image Couronne5réduit.png, cliquez avec la baguette magique sur un

pixel blanc proche du motif mais à l'extérieur. Puis inverser la sélection grâce au menu [Sélection/Inverse].

◊ Copiez la sélection. Tout se joue maintenant :

Dans la fenêtre Couronne5.png collez la sélection : par défaut, l'image est collée pile poil au centre de la

fenêtre activée, ce qui nous arrange diablement ici. Notez bien ceci : tant que les fourmis sont visibles,

vous pouvez agir sur le fragment inséré, par exemple le déplacer. Mais dès que vous cliquez en dehors

ou dès que vous sélectionnez un outil, vous désactivez les fourmis, et votre collage devient définitif.

◊ Ici, c'est ce que nous voulons ! Fermez la fenêtre de l'image Couronne5réduit.png, puisque vous n'en

avez plus besoin. Vous allez maintenant modifier les couleurs de remplissage. Et vous allez découvrir

ici une fonctionnalité du logiciel bien commode…

◊ Activez le menu [Réglage/Remplacer une couleur…]. Dans le panneau qui apparaît, profitez de la pipette à

gauche du champ [Couleur 1] pour désigner le vert le plus foncé. Valider

en cliquant sur le bouton [OK]. Même punition même motif pour

transformer le vert léger en blanc pur. Ne vous reste plus qu'à

remplacer la couleur bleue par du noir.

◊ C'est le menu

[Réglage/Bichromie…] qui vous

apporte la solution : gardez

les couleurs par défaut

(Noir et Blanc) et réglez le curseur pour que les frontières

soient sans trou mais non empâtées. Une valeur aux

alentours de 200 me semble convenir.

Pas mal finalement ce petit logiciel !


VARIATIONS SUR UNE PETITE FOLIE SPIRALANTE ARABINE ..................................... 71

FSA_LIGNES_NEXT ................................................................................................... 71

MISE EN PLACE DU DESSIN GÉOMÉTRIQUE ............................................................................ 71

UNE FAUSSE BONNE IDÉE ................................................................................................. 75

OÙ L'ON CONSTRUIT UNE DEUXIÈME COURONNE DE CARRÉS ..................................................... 77

OÙ L'ON ENGENDRE FINALEMENT 8 COURONNES DE CARRÉS ..................................................... 80

ADAPTATIONS AU LOGICIEL PHOTOFILTRE 6.2 ...................................................................... 81

Sommaire

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VARIATIONS SUR UNE PETITE FOLIE SPIRALANTE ARABINE