INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICAS

Servicio Social

Apuntes sobre:

Demostracion del Teorema de Jacobiacerca de los menores de la matriz adjugada

Fidel Vasquez Rojas

Proyecto de investigacion:IPN-SIP 20130633 (Propiedades espectrales de matrices y operadores de Toeplitz)

Director del proyecto de investigacion:Egor Maximenko

MEXICO, D.F.Febrero 2014

Indice

1. Introduccion 2

2. Determinantes 32.1. Denicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. El determinante como forma polilineal alternante de los renglones . . . . . 5

3. Expansion del determinante por cofactores 93.1. Submatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2. Menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3. Cofactor de una entrada de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4. Teorema de expansion del determinante por cofactores . . . . . . . . . . . 11

4. Matriz adjunta clasica 164.1. Denicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2. Propiedad principal de la matriz adjunta clasica . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. Matriz de menores 205.1. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2. Orden lexicograco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3. Denicion de las matrices de menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6. Expansion de Laplace 236.1. Complemento algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2. Formula de Laplace para el determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7. Matriz adjunta de menores 277.1. Denicion de matriz adjunta de menores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.2. Propiedad principal de la matriz adjunta de menores . . . . . . . . . . . . 28

8. Producto de matrices rectangulares 328.1. Teorema de Binet{Cauchy clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.2. Teorema de Binet{Cauchy para matrices de menores . . . . . . . . . . . . 35

9. Teorema de Jacobi 39

Referencias 41

1

1. Introduccion

El proposito de estos apuntes y ejercicios es demostrar el Teorema de Jacobi sobre losmenores de la matriz adjunta clasica.

Para lograrlo comenzamos mencionando las propiedades basicas del determinante deuna matriz, as como el hecho de que el determinante es una funcion polilineal yalternante de los renglones, que es un tema estandar de algebra lineal pero consideroutil incluirlo; luego pasamos a los temas sobre menores, cofactores, desarrollo deldeterminante por cofactores, matriz adjunta clasica y su propiedad principal donde seincluyen demostraciones, ejemplos y ejercicios que serviran como idea para comprenderlas demostraciones posteriores. Despues de esto estamos listos para comenzar nuestrocamino hacia la demostracion del Teorema de Jacobi, el cual consiste en utilizar matricesdenidas por menores.

Continuando con la estructura del texto, se dene la k-esima matriz de menores deuna matriz (kth compound matrix), luego mencionaremos la formula de la expansionde Laplace para el determinante que es una generalizacion de la expansion por cofactores.Se denira en analoga con la matriz adjunta clasica o matriz de cofactores transpuesta,una matriz de complementos algebraicos transpuesta, ademas tambien demostraremosuna propiedad para esta nueva matriz que se compara con la propiedad principal de lamatriz adjunta clasica. Dejaremos a un lado por un momento las matrices de menores parapasar al Teorema de Binet{Cauchy sobre el determinante del producto de dos matrices,que utilizaremos para luego demostrar el Teorema de Binet{Cauchy para matrices demenores.

En este punto estaremos en condiciones para cumplir nuestro proposito, demostrar elTeorema de Jacobi, nos basaremos en la propiedad principal de la matriz de complementosalgebraicos transpuesta y en el Teorema de Binet{Cauchy para matrices de menores.

2

2. Determinantes

2.1. Denicion y propiedades

Sea F un campo.

Denicion 2.1. Sea A 2 Mn(F) con A = [Ai;j]ni;j=1, se dene el determinante de Amediante la siguiente formula:

det(A) :=X'2Sn

sgn (')nYi=1

Ai;'(i) =X'2Sn

sgn (') A1;'(1) An;'(n); (1)

donde Sn es el conjunto de las permutaciones del conjunto f1; : : : ; ng.Tambien se utilizara la notacion jAj especialmente para matrices escritas en formanexplcita.

Ejemplo 2.2. El determinante de una matriz de orden 3 3 es:

det(A) =

A1;1 A1;2 A1;3A2;1 A2;2 A2;3A3;1 A3;2 A3;3

== A1;1A2;2A3;3 A1;2A2;1A3;3 + A1;2A2;3A3;1 A1;3A2;2A3;1 A1;1A2;3A3;2 + A1;3A2;1A3;2:

Las propiedades que se mencionan a continuacion no se demuestran pero pueden veri-carse facilmente a partir de la denicion del determinante.

Observacion 2.3. Sean A 2Mn(F) y 2 F.1. Determinante de la matriz transpuesta.

det(A>) = det(A):

Por ejemplo, para una matriz de orden 2 2 tenemos: A1;1 A1;2A2;1 A2;2 = A1;1A2;2 A1;2A2;1 = A1;1A2;2 A2;1A1;2 = A1;1 A2;1A1;2 A2;2

:2. Determinante de la matriz indentidad.

det(In) = 1:

3

3. Determinante de una matriz multiplicada por un escalar.

det(A) = n det(A):

4. Determinante de una matriz triangular superior.Sea A 2Mn(F) una matriz triangular superior, es decir, Ai;j = 0 si i > j, entonces

det(A) =nYi=1

Ai;i:

Por ejemplo: A1;1 A1;2 A1;3

0 A2;2 A2;30 0 A3;3

= A1;1A2;2A3;3:La siguiente proposicion nos sera util mas adelante y para la demostracion es sucientela denicion de determinante, por eso la enunciaremos y demostraremos en seguida.

Proposicion 2.4. Sean A 2 Mn(F), ; 2 Sn, y B la matriz que se obtiene de A alpermutar sus las respecto a y al permutar las columnas respecto a , es decir, paracada i; j 2 f1; : : : ; ng Bi;j = A(i);(j). Entonces se cumple

det(B) = sgn() sgn() det(A):

Demostracion. Tenemos por la denicion de determinante que

det(B) =X'2Sn

sgn(')nYi=1

Bi;'(i) =X'2Sn

sgn(')nYi=1

A(i);'(i); (2)

ya que si Bi;j = A(i);(j) entonces Bi;'(i) = A(i);'(i). Hagamos el cambio de variablej = (i) y escribamos (2) en terminos de j para reordenar los productos

det(B) =X'2Sn

sgn(')nY

j=1

Aj;'1(j):

Multipliquemos el sumando de la derecha anterior por sgn() sgn() dos veces para noalterarlo, entonces

det(B) = sgn() sgn()X'2Sn

sgn() sgn(') sgn()nY

j=1

Aj;'1(j): (3)

Notemos que la correspondencia

' 7! ' 1;

4

es una biyeccion de Sn sobre Sn, entonces hagamos el cambio de variable = ' 1y usando el hecho de que sgn(1) = sgn() tenemos

sgn() = sgn( ' 1) = sgn() sgn(') sgn();

escribiendo (3) en terminos de obtenemos nalmente

det(B) = sgn() sgn()X2Sn

sgn()nY

j=1

Aj;(j) = sgn() sgn() det(A):

Ejercicio 2.5 (Determinante de la matriz de permutacion). Sea 2 Sn. Calucule eldeterminante de la matriz que se obtiene de la matriz identidad al permutar sus lassegun , explicitamente de la matriz

A =(i);j

:

2.2. El determinante como forma polilineal alternante de losrenglones

A veces es comodo considerar la funcion determinante como una funcion de n argumentosvectoriales: para a1; : : : ; an 2 Fn, donde ai =

ai;jnj=1

,

Det(a1; : : : ; an) := det

24 a1: : :an

35 = det264 a1;1 : : : a1;n... . . . ...an;1 : : : an;n

375 :Vista de esta manera la funcion determinante cumple con las propiedades que enunciare-mos a continuacion.

Teorema 2.6 (El determinante es una forma n-lineal de los renglones). Para todo ndicek 2 f1; : : : ; ng, todos los vectores a1; : : : ; ak1; b; c; ak+1; : : : ; an 2 Fn y todos los escalares; 2 F se cumple:

Det(a1; : : : ; ak1; b+ c; ak+1; : : : ; an) =

= Det(a1; : : : ; ak1; b; ak+1; : : : ; an) + Det(a1; : : : ; ak1; c; ak+1; : : : ; an):

5

Ejemplo 2.7. Se tiene que 3 34 5 = 3 1 14 5

;al ver a la primera la como un multiplo de [1 1], y 4 32 1

= 4 32 0+ 4 30 1

;considerando la segunda la como suma de [2 0] y [0 1].

Teorema 2.8 (El determinante es una funcion alternante de los renglones). Seana1; : : : ; an 2 Fn y ai = aj para algunos 1 i < j n entonces:

Det(a1; : : : ; an) = 0:

En otras palabras, este teorema indica que el determinante de cualquier matriz con doslas iguales es cero.

Proposicion 2.9 (El determinante es una funcion antisimetrica de los renglones). Seana1; : : : ; an 2 Fn entonces para todo par (i; j) con 1 i < j n se tiene:

Det(a1; : : : ; ai1; ai; ai+1; : : : ; aj1; aj; aj+1; : : : ; an) =

Det(a1; : : : ; ai1; aj; ai+1; : : : ; aj1; ai; aj+1; : : : ; an):

Ejercicio 2.10. Deduzca a partir de los teoremas (2.6) y (2.8) la proposicion (2.9).Sugerencia.Generalize la siguiente idea con vectores: para una matriz de tama~no 2 2 se tiene A1;1 + A2;1 A1;2 + A2;2A2;1 + A1;1 A2;2 + A1;2

= A1;1 A1;2A2;1 A2;2+ A2;1 A2;2A1;1 A1;2

;por la linealidad del determinante. Ademas el determinante es igual a 0 porque la matriztiene sus dos las iguales, entonces A1;1 A1;2A2;1 A2;2

= A2;1 A2;2A1;1 A1;2 :

6

Corolario 2.11. Sean a1; : : : ; an 2 Fn y 2 F. Entonces para cualesquiera j; k 2f1; : : : ; ng se cumple

Det(a1; : : : ; an) = Det(a1; : : : ; aj1; aj + ak; aj+1; : : : ; an):

El corolario anterior permite aplicar la eliminacion de Gauss al calculo de determinantes.Tenemos el siguiente ejemplo para mostrar su uso.

Ejemplo 2.12. Sea

A =

24 1 3 51 4 32 7 3

35 :Calculemos su determinante usando el corolario anterior:sumamos a la la 2 la la 1 y no alteramos el determinante

det(A) =

1 3 50 1 22 7 3

;a la la 3 le sumamos 2 veces la la 1

=

1 3 50 1 20 1 7

;nalmente a la la 3 le restamos la la 2

=

1 3 50 1 20 0 5

;obtenemos el determinante de una matriz triangular superior, entonces

det(A) = 5:

Observacion 2.13. El determinante es una funcion polilineal alternante de las colum-nas, y se cumplen las propiedades anteriores para columnas en vez de renglones. Esto esporque el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta.

7

Ejercicio 2.14.

1. Demuestre que el determinante de una matriz compleja antisimetrica y de ordenimpar, es cero. Como recordatorio, una matriz A es antisimetrica si A> = A.

2. Demuestre que el determinante de una matriz compleja anti-Hermitiana de ordenimpar, es puramente imaginaria. Una matriz es anti-Hermitiana si A> = A.

Ejercicio 2.15. Calcule el determinante de las siguientes matrices usando las propiedadesvistas. 2664

2 1 2 34 5 4 3

2 1 4 41 1 1 1

3775 ;2664

0 x 0 0x 0 x 00 x 0 x0 0 x 0

3775 ;266664

0 x 0 0 0x 0 x 0 00 x 0 x 00 0 x 0 x0 0 0 x 0

377775 ;26664

1 : : : nn+ 1 : : : 2n...

...(n 1)n+ 1 : : : n2

37775 :

8

3. Expansion del determinante por cofactores

3.1. Submatriz

Denicion 3.1. Sean A 2 Mnm(F), p n, q m, I = (i1; : : : ; ip) 2 f1; : : : ; ngp yJ = (j1; : : : ; jq) 2 f1; : : : ;mgq, denotamos por AIJ a la submatriz de A dada por:

AIJ = [Ai;j ]p;q;=1:

A esta matriz le llamaremos submatriz de A correspondiente a las las con ndices en I ycolumnas con ndices en J , o simplemente submatriz (I; J) de A.Si I = (1; : : : ; n) entonces escribiremos simplemente AJ en vez de A

IJ y de manera similar

si se tiene J = (1; : : : ;m) escribiremos AI en lugar de AIJ . Notemos que

AIJ = (AI)J = (AJ)

I :

Si I y J son algunos subconjuntos de ndices (I f1; : : : ; ng,J f1; : : : ;mg), entonceslos convertimos en listas escribiendo sus elementos en orden ascendiente para aplicar ladenicion escrita arriba. As por ejemplo se tendra que

Af3;1gf4;2g = A

(1;3)(2;4):

Ejemplo 3.2. Para una matriz de orden 4 3 las submatrices [(1; 2; 4); (2; 1)] y[(1; 4; 2); (2; 1)] de A son:

A(1;2;4)(2;1) =

24 A1;2 A1;1A2;2 A2;1A4;2 A4;1

35 ;y

A(1;4;2)(2;1) =

24 A1;2 A1;1A4;2 A4;1A2;2 A2;1

35 :Vemos que aunque los conjuntos de ndices de los renglones en ambas submatrices soniguales, las submatrices son distintas pues consideramos tuplas para los ndices.

3.2. Menor

Denicion 3.3. Sea A 2 Mnm(F), 1 i1 < i2 < : : : < ir n, 1 j1 < j2 < : : :