43/VECTORES EN EL ESPACIO 131

Vectores en el Espacio

H e m o s v i s t o q u e c u a l q u i e r p u n t o e n u n p l a n o s e p u e d e r e p r e s e n t a r c o m o u n p a r o r d e n a d o d e n ú m e r o s r e a l e s . A n á l o g a m e n t e , c u a l q u i e r p u n t o e n e l e s p a c i o s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r u n a terna ordenada d e n ú m e r o s r e a l e s

R 3 e s tá c o m p u e s t o d e v e c t o r e s d e l a f o r m a ( 1 ) . P a r a r e p r e s e n t a r u n p u n t o e n e l e s p a c i o e m p e z a m o s p o r e s c o g e r u n p u n t o e n I R 3 . L l a m a m o s a e s t e p u n t o e l ori­gen, d e n o t a d o 0 . L u e g o d i b u j a m o s t r e s e j e s m u t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s q u e l l a m a m o s e l eje x, e l eje . y y e l eje z. E s t o s e j e s s e p u e d e n s e l e c c i o n a r d e v a r i a s m a n e r a s , p e r o l a se lecc ión m á s c o m ú n e s c o n l o s e j e s x e y d i b u j a d o s h o r i z o n -t a l m e n t e c o n e l e j e z v e r t i c a l . E n c a d a e j e e s c o g e m o s u n a d i r ecc ión p o s i t i v a y m e d i m o s l a d i s t a n c i a a l o l a r g o d e e s e e j e c o m o e l n ú m e r o d e u n i d a d e s e n e s t a d i r ecc ión p o s i t i v a m e d i d a s d e s d e e l o r i g e n .

L o s d o s s i s t e m a s bás i cos d e r e p r e s e n t a r e s t o s e j e s s e v e n e n l a F i g u r a 4 . 2 8 . S i l o s e j e s s o n u b i c a d o s c o m o e n l a F i g u r a 4 . 2 8 » , e n t o n c e s s e d i c e q u e e l s i s t e m a e s d e mano derecha; s i s e c o l o c a n c o m o e n l a F i g u r a 4.28¿?, s e d i c e q u e e s d e mano izquierda. E n l a s f i g u r a s l a s f l e c h a s i n d i c a n l a s d i r e c c i o n e s p o s i t i v a s d e l o s e j e s . L a j u s t i f i cac ión d e e s t o s t é r m i n o s e s l a q u e s i g u e : E n u n s i s t e m a d e m a n o d e r e c h a , s i p o n e m o s l a m a n o d e r e c h a d e f o r m a q u e e l d e d o índ ice a p u n ­t e e n l a d i r ecc ión p o s i t i v a d e l e j e x, m i e n t r a s q u e e l d e d o m e d i o a p u n t e e n l a d i ­r ecc ión p o s i t i v a d e l e j e y, e n t o n c e s e l p u l g a r a p u n t a e n l a d i r ecc ión p o s i t i v a d e l e j e z. E s t e c o n c e p t o s e i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 2 9 . P a r a u n s i s t e m a d e m a n o i z ­q u i e r d a l a m i s m a r e g l a s e a p l i c a p a r a l a m a n o i z q u i e r d a . E n l o q u e r e s t a d e e s t e t e x t o s e g u i r e m o s l a p r á c t i c a c o m ú n y d i b u j a r e m o s l o s e j e s c o o r d e n a d o s u s a n ­d o u n s i s t e m a d e m a n o d e r e c h a .

(a, b, c) ( 1 )

F i g u r a 4 . 2 8

X

Figura 4 . 2 9

V

S i a ú n así s e t i e n e n p r o b l e m a s p a r a v i s u a l i z a r l a l oca l i zac ión d e e s t o s e j e s , p r u e b e e l s i g u i e n t e e n f o q u e . M i r e m o s c u a l q u i e r r i n c ó n d e l p i s o d e l a h a b i t a -

132 4/VECTORES EN R 2 Y R : i

c ión e n d o n d e e s t a m o s . L l a m e m o s a l r i n c ó n e l o r i g e n . E n t o n c e s e l e j e x e s tá e n d o n d e s e i n t e r s e c a n e l p i s o y l a p a r e d a l a i z q u i e r d a ; e l e j e y e n l a i n t e r secc ión d e l p i s o y l a p a r e d a l a d e r e c h a ; y e l e j e z e s l a i n t e r secc ión d e l a s d o s p a r e d e s . E s t o s e i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 3 0 .

L o s t r e s e j e s e n n u e s t r o s i s t e m a d e t e r m i n a n t r e s planos coordenados q u e s o n l l a m a d o s e l p l a n o xy, e l yz y e l xz. E l p l a n o xy c o n t i e n e a l o s e j e s x e y y e s s i m p l e m e n t e e l p l a n o c o n e l c u a l h e m o s e s t a d o t r a t a n d o e n l a m a y o r p a r t e d e e s t e l i b r o . L o s p l a n o s xz e yz s e p u e d e n p e n s a r d e m a n e r a a n á l o g a .

H a b i e n d o c o n s t r u i d o n u e s t r a e s t r u c t u r a d e e j e s y p l a n o s c o o r d e n a d o s , p o ­d e m o s d e s c r i b i r c u a l q u i e r p u n t o P e n R 3 e n f o r m a ú n i c a :

( 2 )

d o n d e l a p r i m e r a c o o r d e n a d a x e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o yz a P ( m e d i d a e n l a d i r ecc ión p o s i t i v a d e l e j e x y a l o l a r g o d e u n a l i n e a p a r a l e l a a l e j e x), l a s e g u n ­d a c o o r d e n a d a y e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xz a P ( m e d i d a e n l a d i r ecc ión p o s i t i ­v a d e l e j e y y a l o l a r g o d e u n a l ínea p a r a l e l a a l e j e y) y l a t e r c e r a c o o r d e n a d a z e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xy a P ( m e d i d a e n l a d i r ecc ión p o s i t i v a d e l e j e z y a l o l a r g o d e u n a l ínea p a r a l e l a a l e j e z). As í , p o r e j e m p l o , c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o xy t i e n e c o o r d e n a d a z = 0; c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o xz t i e n e c o o r d e n a ­d a y = 0 y c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o yz t i e n e c o o r d e n a d a x = 0 . A l g u n o s p u n ­t o s r e p r e s e n t a t i v o s s e d i b u j a n e n l a F i g u r a 4 . 3 1 .

4 3 VECTORES EN EL ESPACIO 133

E n e s t e s i s t e m a l o s t r e s p l a n o s c o o r d e n a d o s d i v i d e n I R 1 e n o c h o ociantes a l i g u a l q u e e n I R 2 l o s d o s e j e s c o o r d e n a d o s d i v i d e n e l p l a n o e n c u a t r o c u a d r a n ­t e s . E l p r i m e r o c t a n t e e s s i e m p r e a q u é l e n e l q u e l a s t r e s c o o r d e n a d a s s o n p o s i ­t i v a s .

E l s i s t e m a c o o r d e n a d o así e s c o g i d o e s f r e c u e n t e m e n t e l l a m a d o e l sistema coordenado rectangular o e l sistema coordenado cartesiano. U n a v e z q u e n o s f a m i l i a r i c e m o s c o n l a f o r m a d e d e s c r i b i r u n p u n t o e n e s t e s i s t e m a , p o d r e m o s g e n e r a l i z a r v a r i o s c o n c e p t o s d e l p l a n o .

TEOREMA 1 S e a n P= (x¡, y¡, z>) y Q = (x2, y2, z2) d o s p u n t o s e n e l e s p a c i o . E n t o n c e s l a d i s ­t a n c i a PQ e n t r e P y Q es tá d a d a p o r

PQ = V ( J C , - x2)2 + ( y , - y 2 ) 2 + ( z , - z 2 ) 2 ( 3 )

Demostración L o s d o s p u n t o s e s t án d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 2 . D e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s , c o m o l o s s e g m e n t o s PR y RQ s o n p e r p e n d i c u l a r e s , e l t r i á n g u l o PQR e s u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o y

PR2 = PS2 + SR2

Figura 4 . 3 2 />(.*„ y u 2 t ) S ( .Y„ >•;._-,)

-A

P e r o , u s a n d o n u e v a m e n t e e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s , »

PQ2 = PR2+RQ2

A s í , c o m b i n a n d o ( 4 ) y ( 5 ) o b t e n e m o s

PQ2 = PS2 + SR2 + RQ2

C o m o l a s c o o r d e n a d a s x y z d e P y S s o n i g u a l e s .

P S 2 = ( y 2 - y , ) 2

A n á l o g a m e n t e , R S 2 = ( x 2 - x , ) 2

y R 0 2 = ( z 2 - z , ) 2

Así , u s a n d o ( 7 ) , ( 8 ) y ( 9 ) e n ( 6 ) t e n e m o s

PQ2 = ( x 2 - x , ) 2 + ( y 2 - y , ) 2 + ( z 2 - z , ) 2

l o q u e c o m p l e t a l a d e m o s t r a c i ó n .

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )

134 4/VECTORES EN R 2 Y R : l

EJEMPLO 1 C a l c u l e l a d i s t a n c i a e n t r e l o s p u n t o s ( 3 , - 1 , 6 ) y ( - 2 , 3 , 5 ) .

Solución P Q = V [ 3 - ( - 2 ) ] 2 + ( - 1 - 3 ) 2 + ( 6 - 5 ) 2 = V 4 2

E n l a s S e c c i o n e s 4 . 1 y 4 . 2 d i s c u t i m o s p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s d e l o s v e c t o ­r e s e n e l p l a n o . D e b i d o a q u e l o s s i s t e m a s c o o r d e n a d o s e n R 2 y R 3 s o n m u y s i ­m i l a r e s , n o e s s o r p r e n d e n t e q u e l o s v e c t o r e s e n I R 2 y R 3 , t e n g a n e s t r u c t u r a s m u y s i m i l a r e s . D i s c u t i r e m o s a h o r a e l c o n c e p t o d e u n v e c t o r e n e l e s p a c i o . E l d e s a r r o l l o d e e s t e t e m a segu i rá e s t r e c h a m e n t e e l d e s a r r o l l o d e l a s ú l t i m a s d o s s e c c i o n e s y p o r t a n t o s e o m i t i r á n a l g u n o s d e t a l l e s .

S e a n P y Q d o s p u n t o s d i s t i n t o s e n R 3 . E n t o n c e s e l segmento de recta dirigi­do PQ e s e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e v a d e P a Q. D o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i ­d o s s o n equivalentes s i t i e n e n l a m i s m a m a g n i t u d y d i r e c c i ó n . U n vector e n R 3

e s e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i d o s e q u i v a l e n t e s a u n s e g ­m e n t o d e r e c t a d i r i g i d o d a d o y c u a l q u i e r s e g m e n t o d e r e c t a d i r i g i d o PQ e n e s e c o n j u n t o e s l l a m a d o u n representante d e l v e c t o r .

H a s t a a q u í , l a s d e f i n i c i o n e s s o n i d é n t i c a s . P o r c o n v e n i e n c i a e l e g i m o s P c o m o e l o r i g e n d e f o r m a q u e e l v e c t o r v = O Q s e p u e d a d e s c r i b i r p o r l a s c o o r ­d e n a d a s (x, y, z) d e l p u n t o Q. E n t o n c e s l a m a g n i t u d d e v = |v| = V * 2 + y2 + z2

( T e o r e m a 1 ) .

EJEMPLO 2 S e a v = ( l , 3 , - 2 ) . E n c u e n t r e |v|.

Solución |V | = V 1 2 + 3 2 + ( - 2 ) = N / 1 4 .

S e a n u = (x¡, y¡, z , ) y v = ( x 2 , y2, z 2 ) d o s v e c t o r e s y s e a a u n n ú m e r o r e a l ( e s ­c a l a r ) . E n t o n c e s d e f i n i m o s

u + v = (x, + x 2 , y, + y 2 , z , f Z2) y au = (ax , , a y , , a z , ) au = (ax , , a y , , a z , )

E s t a e s l a m i s m a de f in ic ión d e s u m a d e v e c t o r e s y m u l t i p l i c a c i ó n p o r u n e s c a l a r q u e t e n í a m o s a n t e s y s e i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 3 3 .

Figura 4.33

( a ) ( c )

4.3/VECTORES EN EL ESPACIO 135

Figura 4.33 (continuación)

U n vector unitario u e s u n v e c t o r d e m a g n i t u d 1 . S i v e s c u a l q u i e r v e c t o r d i s ­t i n t o d e c e r o , e n t o n c e s u = v/|v| e s u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t i e n e l a m i s m a d i r e c ­c i ó n q u e v.

E J E M P L O 3 E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t e n g a l a m i s m a d i r ecc ión q u e v = (2, 4, - 3 ) .

Solución C o m o | v | = V 2 2 + 4 2 + ( - 3 ) 2 = 7 2 9 , t e n e m o s q u e u = ( 2 / 7 2 9 , 4 / 7 2 9 , - 3 / 7 2 9 ) .

A h o r a p o d e m o s d e f i n i r f o r m a l m e n t e l a d i r ecc ión d e u n v e c t o r e n I R 3 . N o p o d e m o s d e f i n i r l a c o m o e l á n g u l o 9 q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x p u e s , p o r e j e m p l o , s i O < 0 < 7 r / 2 , e n t o n c e s e x i s t e u n número infinito d e v e c t o r e s q u e f o r m a n e l á n g u l o 9 c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x y t o d o s e l l o s f o r m a n u n c o n o ( F i g u r a 4.34).

Figura 4.34

D E F I N I C I Ó N 1 L a dirección d e u n v e c t o r v d i s t i n t o d e c e r o e n I R 3 , s e d e f i n e c o m o l a d i r e c c i ó n * d e l v e c t o r u n i t a r i o u = v/|v|.

Observación. P o d r í a m o s h a b e r d e f i n i d o l a d i r ecc ión d e u n v e c t o r v d e U2 d e e s t a f o r m a . S i u = v/|v|, e n t o n c e s u = ( e o s 9, s e n 9) d o n d e 6 e s l a d i r ecc ión d e v.

D e f i n i r e m o s l a d i r ecc ión d e u n v e c t o r e n t é r m i n o s d e c i e r t o s á n g u l o s . S e a v e l v e c t o r OP d e s c r i t o e n l a F i g u r a 4.35. D e f i n i m o s a c o m o e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x, /8 e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e y y y e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e z- L o s á n g u l o s a, ¡3 y y s e c o n o c e n c o m o l o s ángulos directores d e l v e c t o r v. E n t o n c e s , d e l a F i g u r a 4.35,

* H a s t a aquí s o l a m e n t e t e n e m o s u n a i d e a i n t u i t i v a d e l a "dirección" d e u n v e c t o r u n i t a r i o , d e f o r m a q u e e s t a definición n o e s matemáticamente p r e c i s a . C o m o v e r e m o s b r e v e m e n t e , s i n e m b a r g o , l a dirección d e u n v e c t o r u n i t a r i o s e d e t e r m i n a p o r l o s ángulos q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l o s e j e s c o o r d e n a d o s .

136 4/VECTORES EN U- Y R '

Figura 4.35

S i v e s u n i t a r i o e n t o n c e s |v| = 1 y

e o s a = x 0 e o s |3 = y 0 e o s y = z 0 ( 1 1 )

P o r de f in i c ión , c a d a u n o d e e s t o s t r e s á n g u l o s es tá e n e l i n t e r v a l o [ 0 , ir]. L o s c o s e n o s d e e s t o s t r e s á n g u l o s s o n l l a m a d o s l o s cosenos directores d e l v e c t o r v. N o t e m o s , d e l a s E c u a c i o n e s ( 1 0 ) , q u e

2 2n , 2 * 0 + y 0 + Z o x l + y l + Z J e o s a + e o s fi + e o s y = r -75 = —5 5 ; = i

|v|2 X f . + V o + Z 2 ,

( 1 2 )

S i a , /3 y y s o n t r e s n ú m e r o s c u a l e s q u i e r a e n t r e 0 y ir q u e s a t i s f a c e n l a c o n d i ­c i ó n ( 1 2 ) , e n t o n c e s d e t e r m i n a n u n v e c t o r ú n i c o d a d o p o r u = ( c o s a , e o s / 3 , e o s 7 ) .

Observación. S i v = (a, b, c) y |v| f 1 , e n t o n c e s l o s n ú m e r o s a, b y c s e c o n o c e n c o m o l o s números directores d e l v e c t o r v.

E J E M P L O 4 E n c u e n t r e l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r v = ( 4 , - 1 , 6 ) .

Solución L a d i r ecc ión d e v e s v/|v| = v / V 5 3 = ( 4 / V 5 3 , - 1 / V 5 3 , 6 / V 5 3 ) . E n t o n c e s c o s a = 4 / 7 5 3 ^ 0 . 5 4 9 4 , e o s 0 = - 1 / 7 5 3 = - 0 . 1 3 7 4 , y e o s 7 = 6 / 7 5 3 = 0 . 8 2 4 2 . D e a q u í , u s a n d o u n a t a b l a d e c o s e n o s o u n a c a l c u l a d o r a d e b o l s i l l o o b ­t e n e m o s a = 56 .7° = 0 . 9 8 9 r a d , 0 = 9 7 . 9 ° = 1 . 7 1 r a d , y 7 = 34 .5° = 0 . 6 0 2 r a d . E l v e c t o r , j u n t o c o n s u s á n g u l o s a, /3 y 7 , a p a r e c e e n l a F i g u r a 4 . 3 6 .

E J E M P L O 5 E n c u e n t r e u n v e c t o r v d e m a g n i t u d 7 y c u y o s c o s e n o s d i r e c t o r e s s e a n l/Tó, 1 / 7 3 , y 1 / 7 2 .

4 ) VECTORES EN EL ESPACIO 137

Solución S e a u = ( l / V ó , 1 / V 3 , 1 / V 2 ) . E n t o n c e s u e s u n v e c t o r u n i t a r i o p u e s |u| = 1 . As í , l a d i r ecc ión d e v e s t á d a d o p o r u y v = |v| u = 7 u = (7/Vó, 7 / V 3 , 7 / V 2 ) .

Nota. P o d e m o s r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a p o r q u e ( 1 / n / 6 ) 2 + ( 1 / v

/ 3 ) 2 + ( I / v

/ 2 ) 2 = 1 .

E s i n t e r e s a n t e n o t a r q u e s i v, u n v e c t o r e n I R 2 , s e e s c r i b e v = ( e o s 0)\ + ( s e n d o n d e 6 e s l a d i r ecc ión d e v, e n t o n c e s e o s 6 y s e n 6 s o n l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e v. A q u í a = 6 y d e f i n i m o s 0 c o m o e l á n g u l o q u e v f o r m a c o n e l e j e

y. ( F i g u r a 4 . 3 7 } . E n t o n c e s (3 = (ir/2)-a y así e o s (5 = e o s ( 7 r / 2 - a ) = s e n a y v s e p u e d e e s c r i b i r e n f o r m a d e c o s e n o s d i r e c t o r e s :

v = c o s a i + cos£¡ j

Figura 4.37 y

r 1 * 0

E n l a Secc ión 4 . 1 v i m o s q u e c u a l q u i e r v e c t o r e n e l p l a n o s e p u e d e e s c r i b i r e n t é r m i n o s d e l o s v e c t o r e s bá s i cos i y j . P a r a e x t e n d e r e s t a i d e a a d e f i n i m o s

i = ( 1 , 0 , 0 ) j = ( 0 , 1 , 0 ) k = ( 0 , 0 , 1 ) ( 1 3 )

A q u í , i, j y k s o n v e c t o r e s u n i t a r i o s . E l v e c t o r i e s tá s o b r e e l e j e x, j e n e l e j e y y k e n e l e j e z (es tán d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 8 ) . S i v = ( x , y, z) e s u n v e c t o r c u a l q u i e r a e n R - \ e n t o n c e s

v = ( x , y , z ) = ( x , 0 , 0 ) + ( 0 , y , 0 ) + ( 0 , 0 , z ) = x i + y j + z k ( 1 4 )

E s t o e s : Cualquier vector v en U* se puede escribir de forma única en términos de los vectores i, j y k.

S e a n P=(au b u c , ) y Q = (a2, b2, c2). E n t o n c e s , c o m o e n l a Sección 4 . 1 , e l v e c t o r v = PQ s e p u e d e e s c r i b i r

138 4/VECTORES EN R- Y

\ = (a2-ai)i + (b2-bl)j + (c2-cx)k

Figura 4.38

( 0 . 0 , l )

j

( 0 . í . o )

( 1 , 0 , 0 )

(15)

L o s v e c t o r e s v y PQ e s t án d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4.39.

Figura 4.39 , Q ( u 2 . h 2 , c 2 )

v = ( o j - <J ,)Í + ( h 2 - />,J J + ( c 2 "

E n c u e n t r e u n v e c t o r e n e l e s p a c i o q u e s e p u e d a r e p r e s e n t a r p o r e l s e g m e n t o d e r e c t a d i r i g i d o d e (2, — 1 , 4) a (5, 1, —3).

E J E M P L O 6

Solución v = (5 - 2)i + [1 - ( - l ) ] j + ( - 3 - 4)k = 3i + 2j - 7k

L a de f in i c ión d e p r o d u c t o e s c a l a r e n U3 e s , d e s d e l u e g o , l a de f in i c ión q u e d i m o s e n l a Secc ión 2.2. N o t e m o s q u e i - i = l , j - j = l , k * k = l , i - j = 0, j»k = 0 , e i « k = 0 .

T E O R E M A 2 S i ip d e n o t a e l m e n o r á n g u l o p o s i t i v o e n t r e d o s v e c t o r e s u y v d i s t i n t o s d e c e r o , t e n e m o s q u e

Demostración L a d e m o s t r a c i ó n e s c a s i i dén t i ca a l a d e m o s t r a c i ó n d e l T e o r e m a 4.2.1 y s e d e j a c o m o e j e r c i c i o ( P r o b l e m a 62).

E J E M P L O 7 C a l c u l e e l c o s e n o d e l á n g u l o e n t r e u = 3i — j + 2k y v = 4i + 3j — k.

4.3/VECTORES EN EL ESPACIO 139

Solución u • v = 7, |u| = V l 4 , y |v| = V 2 6 , d e m o d o q u e e o s <p = 7/V(l4)(26) = 7/V364« 0.3669 y <p « 6 8 . 5 ° = 1.2 r a d .

D E F I N I C I O N 2 D o s v e c t o r e s u y v d i s t i n t o s d e c e r o s o n :

i. Paralelos, s i e l á n g u l o e n t r e e l l o s e s c e r o ó r, i i . Ortogonales ( o perpendiculares), s i e l á n g u l o e n t r e e l l o s e s 7 r/2 .

T E O R E M A 3 i. S i u ^ O , e n t o n c e s u y v s o n p a r a l e l o s s i y só lo s i v = c v u p a r a a l g u n a c o n s ­t a n t e a^O.

i i . S i u y v s o n d i s t i n t o s d e c e r o , e n t o n c e s u y v s o n o r t o g o n a l e s s i y só lo s i u«v = 0 .

Demostración N u e v a m e n t e , l a d e m o s t r a c i ó n e s fácil y s e d e j a c o m o e j e r c i c i o ( P r o b l e m a 63).

E J E M P L O 8

Solución

M u e s t r e q u e l o s v e c t o r e s u = i + 3j - 4 k y v = — 2i - 6j + 8 k s o n p a r a l e l o s .

u«v= - 5 2 , | u | = V 2 6 , y |v| = V104 = 2V26. As í , u • v/|u| |v| = -52/ (V26-2V26) = — 1 , d e m a n e r a q u e e o s 6 = — 1 , 0= i r y u y v s o n p a r a l e l o s ( p e r o d e d i r e c ­

c i o n e s o p u e s t a s ) . O t r a f o r m a d e v e r e s t o e s n o t a n d o q u e v = — 2u y , p o r e l T e o r e m a 3, u y v s o n p a r a l e l o s ( F i g u r a 4 . 4 0 ) .

Figura 4.40 ( - 2 . - 6 . 8 )

(1 .3 , - 4 )

E J E M P L O 9

Figura 4.41

E n c u e n t r e u n n ú m e r o a t a l q u e u = 8¡ - 2j + 4 k y v = 2i + 3j + « k s e a n o r t o g o n a l e s

140 4/VECTORES EN R-' Y R : '

Solución D e b e m o s m o s t r a r q u e 0 = u«v = 10 + 4a d e d o n d e a = — §. L o s v e c t o r e s u y v e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 .41 .

V o l v a m o s a h o r a a l a de f in ic ión d e l a p r o y e c c i ó n d e u n v e c t o r s o b r e o t r o .

P r i m e r o e s t a b l e c e r e m o s u n t e o r e m a a n á l o g o a l T e o r e m a 4.2.4 ( y q u e t i e n e i dén t i ca d e m o s t r a c i ó n ) .

T E O R E M A 4 S e a v u n v e c t o r d i s t i n t o d e c e r o . E n t o n c e s p a r a c u a l q u i e r o t r o v e c t o r u,

u • v w = u - - r r r v

M

e s o r t o g o n a l a v.

D E F I N I C I O N 3 S e a n u y v d o s v e c t o r e s d i s t i n t o s d e c e r o . E n t o n c e s l a proyección de u sobre v, d e n o t a d a p r o y v u , s e d e f i n e c o m o

L a componente d e u e n l a d i r ecc ión v e s t á d a d a p o r (u • v)/|v|.

E J E M P L O 10 S e a n u = 2i + 3j + k y v = i + 2 j - 6 k . E n c u e n t r e p r o y v u .

Solución A q u í (u • v)/|v|2 = 2/41 y p r o y v u = i M + a r J - í f k . L a c o m p o n e n t e d e u e n l a d i ­r ecc ión v e s (u • v)/|v| = 2 / V 4 1 .

N o t e m o s q u e , c o m o e n e l c a s o d e l p l a n o , p r o y v u e s u n v e c t o r q u e t i e n e l a m i s m a d i r ecc ión q u e v s i u « v > 0 y d i r ecc ión o p u e s t a q u e v s i u « v < 0 .

P R O B L E M A S 4.3 E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 9 d i b u j e e l p u n t o d a d o e n U\

1 . ( 1 , 4 , 2 ) 2 . ( 3 , - 2 , 1 ) 3 . ( - 1 , 5 , 7 ) 4 . ( 8 , - 2 , 3 ) 5 . ( - 2 , 1 , - 2 ) 6 . ( 1 , - 2 , 1 ) 7 . ( - 2 , - 8 , 0 ) 8 . ( 0 , 4 , 7 ) 9 . ( 1 , 3 , 0 )

E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 0 a l 13 e n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e l o s d o s p u n t o s .

1 0 . ( 8 , 1 . 6 ) ; ( 8 , 1 , 4 ) 1 2 . ( 3 , - 4 , 7 ) ; ( 3 , - 4 , 9 )

1 1 . ( 3 , - 4 , 3 ) ; ( 3 , 2 , 5 ) 1 3 . ( - 2 , 1 , 3 ) ; ( 4 , 1 . 3 )

4 3/VECTORES EN EL ESPACIO 141

14. T r e s p u n t o s P , Q y R s o n colineales s i están e n l a m i s m a r e c t a . M u e s t r e q u e e n R 2 , P , Qy R s o n c o l i n e a l e s s i P R = P Q + Q R ó P Q = P R + R Q ó Q R = Q P + P R . U s e e s t e último h e c h o e n R 3 p a r a m o s t r a r q u e l o s p u n t o s ( - 1 , - 1 , - 1 ) , (5 , 8 , 2) y ( — 3 , — 4 , —2) s o n c o l i n e a l e s .

15. M u e s t r e q u e l o s p u n t o s (3, 0 , 1 ) y ( 0 , - 4 , 0 ) y ( 6 , 4 , 2) s o n c o l i n e a l e s . *16 . S e a n P = (xuyu z¡) y Q = ( x 2 , y 2 , Z2)- M u e s t r e q u e e l p u n t o m e d i o d e P Q e s e l p u n ­

t o R = ((*, + x2)/2Ay] +y2/2.) ( z , + z 2 ) / 2 ) . [Sugerencia: M u e s t r e q u e P , Q y R s o n c o l i n e a l e s y q u e P R = R Q . ]

17. E n c u e n t r e e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o q u e u n e a l o s p u n t o s (2, - 1 , 4 ) y (5, 7 , - 3 ) .

E n l o s P r o b l e m a s d e l 18 a l 31 e n c u e n t r e l a m a g n i t u d y l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c ­t o r d a d o .

1 8 . v = 3 j 1 9 . v = 3 i 2 0 . v = 4 i j 2 1 . v = i + 2 k 2 2 . v = i - j + k 2 3 - v = i + j k 2 4 . v = - i + j + k 2 5 . v = i - j - k 2 6 . v = i + j k 2 7 . v = - ¡ - j + k 2 8 . v = - i - j - k 2 9 . v = 2 i + 5 j - 7 k 3 0 . v = - 3 i - 3 j + 8 k 3 1 . v = - 2 i - 3 j - 4 k 32 . L o s t r e s ángulos d i r e c t o r e s d e c i e r t o v e c t o r u n i t a r i o s o n l o s m i s m o s y están e n t r e 0

y 7 r / 2 . ¿Cuál es e l v e c t o r ? 33 . E n c u e n t r e u n v e c t o r d e m a g n i t u d 12 q u e t e n g a l a m i s m a dirección q u e e l v e c t o r d e l

P r o b l e m a 32. 3 4 . M u e s t r e q u e n o e x i s t e ningún v e c t o r u n i t a r i o c u y o s ángulos d i r e c t o r e s s e a n x / 6 ,

TT/3 y i r / 4 . 35 . S e a n P = ( 2 , 1 , 4) y Q = (3 , — 2 , 8) . E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o e n l a d i r e c ­

ción P Q . 36 . S e a n P = ( — 3 , l , 7 ) y 0 = ( 8 , 1 , 7) . E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o c u y a dirección s e a

l a o p u e s t a a l a d e P Q . 37 . E n e l P r o b l e m a 36 e n c u e n t r e t o d o s l o s p u n t o s R t a l e s q u e P R X P Q .

*38 . M u e s t r e q u e e l c o n j u n t o d e p u n t o s q u e s a t i s f a c e n l a condición d e l P r o b l e m a 37 y l a condición | P R | = 1 f o r m a u n círculo.

3 9 . S i u y v están e n R " \ m u e s t r e q u e | u + v | ^ | u | + | v | . 40 . ¿Bajo qué c i r c u n s t a n c i a s l a d e s i g u a l d a d d e l P r o b l e m a 39 s e p u e d e s u s t i t u i r p o r u n a

i g u a l d a d ?

E n l o s P r o b l e m a s d e l 4 1 a l 53 s e a n u = 2 i - 3 j + 4 k , v = - 2 i - 3 j + 5 k , w = i - 7 j + 3 k . y t = 3 i + 4 j + 5 k .

4 1 . C a l c u l e u + v . 42 . C a l c u l e 2 u - 3 v . 4 3 . C a l c u l e t + 3 w - v . 44 . C a l c u l e 2 u - 7 w - i - 5 v . 45 . C a l c u l e 2 v + 7 t - w . 46 . C a l c u l e u • v . 47 . C a l c u l e | w | . 48 . C a l c u l e u - w - w t . 4 9 . C a l c u l e e l ángulo e n t r e u y w . 5 0 . C a l c u l e e l ángulo e n t r e t y w . 5 1 . C a l c u l e p r o y u v . 52 . C a l c u l e p r o y , w . 53 . C a l c u l e p r o y , v . 54 . E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P = (2 , 1 , 3) y l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s

Q = ( — 1 , l , 2 ) y R = ( 6 , 0 , 1 ) . [Sugerencia: V e a e l P r o b l e m a 4 . 2 . 4 2 ] . 55 . E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a d e l p u n t o P = ( l , 0 , 1 ) a l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s

Q = ( 2 , 3 , - 1 ) y R = (6, 1 , - 3 ) . 56 . M u e s t r e q u e l o s p u n t o s P = ( 3 , 5, 6 ) , Q = ( l , 2 , 7) y R = ( 6 , 1 , 0 ) s o n l o s vértices d e

u n triángulo rectángulo.

142 4/VECTORES EN R- Y R ; i

57 . M u e s t r e q u e l o s p u n t o s P = ( 3 , 2 , - l ) , y g = ( 4 , 1 , 6 ) , / ? = ( 7 , - 2 , 3 ) y S = ( 8 , - 3 , 1 0 ) s o n l o s vértices d e u n p a r a l e l o g r a m o .

*58. U n a f i g u r a sólida e n e l e s p a c i o c o n e x a c t a m e n t e c u a t r o vértices, se c o n o c e c o m o u n tetraedro ( F i g u r a 4 . 4 2 ) . P r e p r e s e n t a e l v e c t o r O P . Q e l v e c t o r O Q y así s u c e s i ­v a m e n t e . S e t r a z a u n a r e c t a d e c a d a vértice a l c e n t r o i d e * d e l l a d o o p u e s t o . M u e s ­t r e q u e e s t a s c u a t r o líneas se i n t e r s e c a n e n e l p u n t o f i n a l d e l v e c t o r \ = ( P + Q + R + S ) / 4 .

59 . U n a f u e r z a d e 3 N actúa e n l a dirección d e l v e c t o r c o n c o s e n o s d i r e c t o r e s ( 1/V6 , l / \ / 3 , l / \ / 2 ) - E n c u e n t r e e l t r a b a j o r e a l i z a d o a l m o v e r e l o b j e t o d e l p u n t o ( 1 , 2 , 3 ) a l p u n t o ( 2 , 8 , 1 1 ) , d o n d e l a s d i s t a n c i a s se m i d e n e n m e t r o s . [Sugerencia: E j e m ­p l o 4 . 2 . 1 0 ] .

6 0 . E n c u e n t r e e l t r a b a j o r e a l i z a d o c u a n d o u n a f u e r z a d e 3 N a c t u a n d o e n l a dirección d e l v e c t o r v = i + j — k , m u e v e u n o b j e t o d e s d e ( — 1 , 3 , 4 ) a ( 3 , 7 , — 2 ) . N u e v a m e n t e l a d i s t a n c i a se m i d e e n m e t r o s .

6 1 . D e m u e s t r e q u e l a fórmula ( 1 5 ) es c o r r e c t a . [Sugerencia: S i g a l o s p a s o s q u e l l e v a n a l a fórmula ( 4 . 1 . 1 0 ) ] .

6 2 . D e m u e s t r e e l T e o r e m a 2 . 63 . D e m u e s t r e e l T e o r e m a 3 . 64 . D e m u e s t r e e l T e o r e m a 4 .

*65. S e a P Q R u n triángulo e n R ' . M u e s t r e q u e s i u n a f u e r z a d e TV N m u e v e u n o b j e t o a l r e d e d o r d e l triángulo, e n t o n c e s e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r l a f u e r z a es c e r o .

*66. E n c u e n t r e e l ángulo f o r m a d o e n t r e l a d i a g o n a l d e u n c u b o y l a d i a g o n a l d e u n a d e s u s c a r a s .

^T.T" El Producto Cruz de dos Vectores

H a s t a a q u í e l ú n i c o p r o d u c t o d e v e c t o r e s q u e h e m o s c o n s i d e r a d o e s e l p r o d u c ­t o e s c a l a r o p r o d u c t o p u n t o . D e f i n i m o s a h o r a u n n u e v o p r o d u c t o l l a m a d o producto cruz t ( o producto vectorial) q u e só lo es tá d e f i n i d o e n R \

DEFINICION 1 S e a u = a , Í + b,\ + c , k y v = a , i + b j + c j k . E n t o n c e s e l producto cruz (pro­ducto vectorial) d e u y v, d e n o t a d o u x v , e s u n n u e v o v e c t o r d e f i n i d o p o r

* E l c e n t r o i d e d e u n triángulo e s u n p u n t o e q u i d i s t a n t e d e l o s vértices. + Ñola histórica: E l p r o d u c t o q r u z f u e d e f i n i d o p o r H a m i l t o n e n u n o d e l o s artículos e n q u e

discutía l o s c u a t e r n i o n e s , p u b l i c a d o s e n Philosophical M a g a z i n e e n t r e l o s años 1844 y 1850.

4.4/EL PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES 143

u x v = (blc2- c , b 2 ) ¡ + ( c 1 a 2 - a1c2)\ + (a1b2-bla2)k (1)

Observe que el resultado del producto cruz es un vector mientras el resultado del producto escalar es un escalar.

P a r e c e r í a q u e e l p r o d u c t o c r u z h a s i d o d e f i n i d o d e u n a m a n e r a u n t a n t o a r ­b i t r a r i a . E x i s t e n o b v i a m e n t e v a r i a s m a n e r a s d e d e f i n i r u n p r o d u c t o v e c t o r i a l . ¿ P o r q u é s e e scog ió e s t a de f in i c ión? R e s p o n d e r e m o s a e s t a p r e g u n t a e n e s t a secc ión d e m o s t r a n d o a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o c r u z e i l u s t r a n d o a l g u n o s d e s u s u s o s .

E J E M P L O 1 S e a u = i - j + 2k y v = 2i + 3 j - 4 k . C a l c u l e w = u x v.

Solución U s a n d o l a f ó r m u l a ( 1 ) ,

w = [ ( - l ) ( - 4 ) - (2)(3)]i + [(2)(2) - ( l ) ( - 4 ) ] j + [(1)(3) - (- l)(2)]k

= - 2 i + 8j + 5k

Nota. E n e s t e e j e m p l o u • w = ( i - j + 2k) • ( -2 i + 8j + 5k) = - 2 - 8 + 1 0 = 0. A n á l o g a m e n t e v»w = 0. E s t o e s , u x v e s o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v. C o m o v e r e m o s e n b r e v e , e l p r o d u c t o c r u z d e u y v s i e m p r e e s o r t o g o n a l a u y a v.

A n t e s d e c o n t i n u a r n u e s t r a d i s cus ión d e l o s u s o s d e l p r o d u c t o c r u z o b s e r v e ­m o s q u e h a y u n a f o r m a fácil d e c a l c u l a r u x v c o n e l u s o d e d e t e r m i n a n t e s .

T E O R E M A 1 i j k *

u x v = a , & ,

a 2 b2 c 2

Demostración ¡ J k a , b , c , a 2 b2 c2

o . c , -j

a¡ c , + k

a , b , o . c , -j + k

»2 c2

-j a 2 c 2 a 2 b 2

= (bxc2- clb2)i + (cla2 - aiC2)j + (a¡b2 - bta2)k

l o q u e e s i g u a l a u X v d e a c u e r d o a l a Def in ic ión 1 .

* E s t e n o e s r e a l m e n t e u n d e t e r m i n a n t e p u e s i , j y k n o s o n números. S i n e m b a r g o , u s a n d o n o t a ­ción d e d e t e r m i n a n t e s , e l T e o r e m a 1 n o s a y u d a a r e c o r d a r cómo s e c a l c u l a u n p r o d u c t o c r u z .

144 4/VECTORES EN R- Y R

E J E M P L O 2

Solución

C a l c u l e u x v , d o n d e u = 2i + 4 j - 5 k y v = - 3 i - 2 j + k.

U X v = í j k 2 4 - 5

-3 - 2 1 = (4 - 10)i - (2 - 1 5 ) j + ( -4 + 12)k

= - 6 i + l 3 j + 8k

E l s i g u i e n t e t e o r e m a r e s u m e a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o c r u z .

T E O R E M A 2 S e a n u, v y w v e c t o r e s e n U3 y s e a a u n e s c a l a r . E n t o n c e s :

i. u x O = O x u = 0. i i . u x v = - ( v x u ) ( p r o p i e d a d a n t i c o n m u t a t i v a d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l ) .

iii. ( a u ) x v = a ( u x v ) . iv. u x ( v + w) = ( u x v ) + ( u x w ) ( p r o p i e d a d d i s t r i b u t i v a d e l p r o d u c t o v e c ­

t o r i a l ) . v. (u x v) • w = u • (v x w ) . ( E s t o e s l l a m a d o e l triple producto escalar d e u ,

v y w ) . vi. u • (u x v) = v • (u x v) = 0. ( E s t o e s , u x v e s o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o

a v).

vii. S i u y v s o n p a r a l e l o s e n t o n c e s u X v = 0.

Demostración i. S e a u = fl,i + ¿?| j+c ] k. E n t o n c e s

u x O = a , o , c ,

0 0 0 O i + O j + O k = 0

A n á l o g a m e n t e 0 X u = 0. i i . S e a v = a2\ + bj + c 2 k . E n t o n c e s

i i k ' j k U X V = 1», a2 b2 c2

a2 02 c2 a , o , c ,

- ( v x u )

d e b i d o a q u e a l i n t e r c a m b i a r l o s r e n g l o n e s d e u n d e t e r m i n a n t e s e t i e n e e l e f e c t o d e m u l t i p l i c a r e l d e t e r m i n a n t e p o r — 1 ( P r o p i e d a d 3.2.4).

; a (u X v ) i i k i i k

i i i . ( a u ) X v = aa | a c , = a 0 , £•>

a2 02 c2 "2 0 :

L a s e g u n d a i g u a l d a d s e d e d u c e d e l a P r o p i e d a d 3.2.2. iv. S e a w - o,i + 6,j + c,k. E n t o n c e s

4.4/EL PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES 145

u x ( v + w ) :

i i k

a i a2 + a3 c 2 + c 3

> i k i j k

a , b , + a, bx

a 2 b2 c 2 a3 b 3 c 3

= ( u x v ) + ( u x w )

A q u í h e m o s u s a d o l a P r o p i e d a d 3 . 2 . 3 .

v. ( u x v ) • w = [ ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) i + ( c 1 a 2 - a 1 c 2 ) j + ( a , b 2 - b 1 a 2 ) k ]

• [a3i + b3] + c3k]

= bic2a3 — clb2a3 + cxa2b3 — a1c2b3 + a-íb2c3 — b-ía2c3

P o d e m o s m o s t r a r f á c i lmen te q u e u • (v x w) e s i g u a l a l a m i s m a e x p r e ­s i ó n * .

vi. S a b e m o s q u e u»(u x v) = (u X v)«u ( p u e s e l p r o d u c t o e s c a l a r e s c o n m u t a ­t i v o ; v e a l a p a r t e ( / ' / ' ) d e l T e o r e m a 2 . 2 . 1 ) . P e r o , d e l a s p a r t e s (ii) y ( v ) d e e s t e t e o r e m a , ( u x v ) • u = u • ( v x u ) = u • ( - u x v ) = - u • ( u x v ) . Así , u « ( u X v ) = - U ' ( u x v ) , l o c u a l p u e d e o c u r r i r s o l a m e n t e s i u«(uxv) = 0 . U n cá l cu lo s i m i l a r m u e s t r a q u e v « ( u x v ) = 0 .

vii . S i u y v s o n p a r a l e l o s e n t o n c e s v = a u p a r a a l g ú n e s c a l a r a ( T e o r e ­m a 4 . 3 . 3 ) d e f o r m a q u e

i i k U X V = a, = 0

aax abx a c ,

p u e s u n d e t e r m i n a n t e c o n d o s r e n g l o n e s p r o p o r c i o n a l e s e s c e r o ( P r o p i e ­d a d 3 . 2 . 6 ) .

H e m o s v i s t o q u e u x v e s u n v e c t o r o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v ( p a r t e vi d e l ú l t i m o t e o r e m a ) . P e r o s i e m p r e e x i s t e n a l m e n o s dos v e c t o r e s u n i t a r i o s o r ­t o g o n a l e s a u y v ( F i g u r a 4 . 4 3 ) . S u p o n g a m o s q u e l o s v e c t o r e s n y - n s o n a m b o s o r t o g o n a l e s a u y a v. ¿ C u á l d e e l l o s e s tá e n l a d i r ecc ión d e u x v? L a r e s p u e s t a e s tá d a d a p o r l a regla de la mano derecha. S i l a m a n o d e r e c h a s e p o n e d e f o r m a q u e e l d e d o índ ice a p u n t e e n l a d i r ecc ión d e u y e l d e d o m e d i o

Figura 4.43 -

y

• P a r a u n a interpretación geométrica i n t e r e s a n t e d e l t r i p l e p r o d u c t o e s c a l a r v e a e l P r o b l e m a 37 .

146 4/VECTORES EN K- Y R : '

a p u n t e e n l a d i r ecc ión d e v e n t o n c e s e l d e d o p u l g a r a p u n t a e n l a d i r ecc ión d e u x v ( F i g u r a 4.44).

Figura 4.44

¿ Q u é s u c e d e c u a n d o t o m a m o s e l p r o d u c t o c r u z d e l o s v e c t o r e s b á s i c o s i , j y k ? E s s e n c i l l o v e r i f i c a r l o s i g u i e n t e :

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = k k x i = j j x k = i

j x i = - k i x k = - j k x j = - ¡

(2) (3) ( 4 )

P a r a r e c o r d a r e s t o c o n s i d e r e m o s e l c í r c u l o d e l a F i g u r a 4.45. E l p r o d u c t o c r u z d e d o s v e c t o r e s c o n s e c u t i v o s e n l a d i r e c c i ó n d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j e s p o s i t i v o ; e l p r o d u c t o c r u z d e d o s v e c t o r e s c o n s e c u t i v o s e n l a d i r e c c i ó n

Figura 4.45

c o n t r a r i a a l a d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j e s n e g a t i v o . N o t e m o s q u e l a s f ó r m u ­l a s p r e c e d e n t e s m u e s t r a n q u e e l p r o d u c t o c r u z no es asociativo p u e s , p o r e j e m p l o , i x ( i x j ) = i x k = j m i e n t r a s q u e ( i x i ) x j = 0 x j = 0, d e f o r m a q u e i x ( i x j ) * ( i x i ) x j . E n g e n e r a l ,

U X ( v X w ) 5¿ ( U X v ) X W ( 5 )

E J E M P L O 3 C a l c u l e (3¡ + 4 k ) x ( 2 i - 3 j ) .

4 4/EL PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES 147

Solución E s t e e s u n b u e n e j e m p l o d e l a u t i l i d a d d e l T e o r e m a 2 y l a s f ó r m u l a s ( 2 ) , ( 3 ) y ( 4 ) . T e n e m o s

( 3 1 4 - 4 k ) x ( 2 1 - 3 j ) = ( 3 - 2 ) ( i x i ) 4 - ( 4 - 2 ) ( k x i ) + 3 ( - 3 ) ( i x j )

+ 4 ( - 3 ) ( k x j )

= 0 + 8 j - 9 k + 1 2 i = 1 2 i + 8 j - 9 k

S a b e m o s q u e u X v e s u n v e c t o r o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v . E l s i g u i e n t e r e ­s u l t a d o n o s d a s u m a g n i t u d .

T E O R E M A 3 S i ¡p e s e l á n g u l o e n t r e u y v , e n t o n c e s

Demostración E s fácil m o s t r a r ( c o m p a r a n d o c o m p o n e n t e s ) q u e | u x v | 2 = | u | 2 | v | 2 — ( u • v ) 2

( P r o b l e m a 3 1 ) . E n t o n c e s , c o m o ( u « v ) 2 = | u | 2 | v | 2 c o s V ( d e l T e o r e m a 4 . 3 . 2 ) ,

| u X v | 2 = | u | 2 H 2 - | u | 2 | v | 2 e o s 2 <p = | u | 2 H 2 ( 1 - c o s 2 0)

= | u | 2 | v | 2 s e n 2 <p

y e l t e o r e m a q u e d a d e m o s t r a d o t o m a n d o l a ra íz c u a d r a d a d e a m b o s l a d o s .

E x i s t e u n a i n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a i n t e r e s a n t e d e l T e o r e m a 3 . L o s v e c t o ­r e s u y v e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 4 6 y s e l o s p u e d e i m a g i n a r c o m o l o s d o s

Figura 4.46

x

l a d o s a d y a c e n t e s d e u n p a r a l e l o g r a m o . E n t o n c e s , d e l a g e o m e t r í a e l e m e n t a l , v e m o s q u e

Á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o = | u | | v | s e n <p = | u x v | (7)

148 4/VECTORES EN R 2 Y R 3

E J E M P L O 4

Figura 4.47

E n c u e n t r e e l á r ea d e l p a r a l e l o g r a m o c o n vért ices c o n s e c u t i v o s e n P = ( l , 3, —2), Q = (2, l , 4 ) y / ? = ( - 3 , 1 ,6) .

K ( - 3 , 1,6)

6(2, 1 , 4 )

P ( l , 3, - 2 )

Solución E l p a r a l e l o g r a m o e s t á d i b u j a d o e n l a F i g u r a 4.47. T e n e m o s

A r e a = | P C 5 x " Q R | = | ( i - 2 j + 6k) x ( -5 i + 2k)|

¡ í k | 1 - 2 6

-5 0 2 = | - 4 i - 3 2 j - 10k| = V 1 1 4 0 u n i d a d e s c u a d r a d a s

Figura 4.48

P o d e m o s u s a r l a d i s cus ión a n t e r i o r p a r a d a r u n a i n t e r p r e t a c i ó n g e o m é t r i c a d e l d e t e r m i n a n t e . S e a A u n a m a t r i z d e 2 x 2 y s e a n u y v d o s v e c t o r e s c o n d o s

c o m p o n e n t e s . S e a n u = y v = j . E s t o s v e c t o r e s e s t án d a d o s e n l a F i ­

g u r a 4.48. E l área generada p o r u y v s e d e f i n e c o m o e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o

d a d o e n l a f i g u r a .

P o d e m o s p e n s a r e n u y v c o m o v e c t o r e s d e e n e l p l a n o xy.

« A r

" 2

0 / l o

Á r e a g e n e r a d a p o r u y v = l u x v i i

« i

«1

j k W 2 0 v2 0

= \(uyv2- u2vx)k\ = | u , t ) 2 - u2vx\

• N o t e m o s q u e éste e s e l v a l o r a b s o l u t o d e l d e t

4 4 EL PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES 149

A / a H a i z \ f A t A c * i / a l l " l + a 1 2 U 2 \ A h o r a s e a n A = , u ' = ^ u , y v ' =A\. E n t o n c e s u =

\a2l 0,22' \a2lu¡+a22u2/

y v ' = ( a ^ V l + a i 2 V 2 \ ¿ C u á l e s e l á r e a g e n e r a d a p o r u ' y v ' ? S i g u i e n d o l o s \a2iví + a22v2'

p a s o s a n t e r i o r e s c a l c u l a m o s

Á r e a g e n e r a d a p o r u ' y v ' = | u ' x v ' | = i í k

a l l u 1 + a12u2 a21u1 + a22u2 0

a n t ) , + a12v2 a21v1 + a22v2 0

= | ( a , , u , + a 1 2 u 2 ) ( a 2 1 ü ! + a 2 2 t > 2 ) - (a2lul + a22u2){a^vx + a12v2)\

C o n á l g e b r a e l e m e n t a l p o d e m o s v e r i f i c a r q u e l a ú l t i m a e x p r e s i ó n e s i g u a l a

| ( a n a 2 2 - a 1 2 a 2 1 ) ( u , u 2 - U 2 Ü I ) | = ± d e t A ( á r e a g e n e r a d a p o r u y v ) .

Así ( e n e s t e c o n t e x t o ) : El determinante tiene el efecto de multiplicar el área. E n e l P r o b l e m a 4 1 s e p i d e m o s t r a r q u e , e n c i e r t o s e n t i d o , u n d e t e r m i n a n t e d e 3 x 3 t i e n e e l e f e c t o d e m u l t i p l i c a r e l v o l u m e n .

P R O B L E M A S 4.4 E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 20 e n c u e n t r e e l p r o d u c t o c r u z u x v .

1 . u = i - 2 j ; v = 3 k 2 . u = 3 i - 7 j ; v = i + k 3 . u = i - j ; v = j + k 4 . u - 7 k ; v = j + 2 k 5 . u = - 2 i + 3 j ; v = 7 i + 4 k 6 . u = a i + b j ; v = c\ + d\ 7 . u = a i + b k ; v = ci + dk 8 . u = a j + b k ; v = c i + d k 9 . u = 2 i - 3 j + k ; v = i + 2 j + k 1 0 . u = 3 i - 4 j + 2 k ; v = 6 i - 3 j + 5 k

1 1 . u = - 3 i - 2 j + k ; v = 6 i + 4 j - 2 k 1 2 . u = i + 7 j - 3 k ; v = - i - 7 j + 3 k 1 3 . u = i - 7 j - 3 k ; v = - i + 7 j - 3 k 1 4 . u = 2 i - 3 j + 5 k ; v = 3 i j - k 1 5 . u = 1 0 i + 7 j - 3 k ; v = - 3 i + 4 j - 3 k 1 6 . u = 2 i + 4 j - 6 k ; v = - i - j + 3 k 1 7 . u = 2 i — j + k ; v = 4 i + 2 j + 2 k 1 8 . u = 3 i - j + 8 k ; v = i + j - 4 k 1 9 . u = a i + a j + a k ; \ = bi + b\ + bk 2 0 . 11 = a i + b j + c k ; v = a i + b j — c k 2 1 . E n c u e n t r e d o s v e c t o r e s u n i t a r i o s o r t o g o n a l e s a u = 2 i - 3 j y a v = 4 j + 3 k . 22. E n c u e n t r e d o s v e c t o r e s u n i t a r i o s o r t o g o n a l e s a u = i + j + k y a v = i — j — k . 23 . U t i l i c e e l p r o d u c t o c r u z p a r a e n c o n t r a r e l s e n o d e l ángulo <p e n t r e l o s v e c t o r e s

u = 2 i + j — k y v = — 3 i — 2 j + 4 k . 24 . U t i l i c e e l p r o d u c t o e s c a l a r p a r a c a l c u l a r e l c o s e n o d e l ángulo <p e n t r e l o s v e c t o ­

r e s d e l P r o b l e m a 23 . L u e g o m u e s t r e q u e p a r a l o s v a l o r e s c a l c u l a d o s s e c u m p l e s e n V + e o s 2 se = 1 .

E n l o s P r o b l e m a s d e l 25 a l 30 e n c u e n t r e e l área d e l p a r a l e l o g r a m o c o n l o s vértices a d y a ­c e n t e s d a d o s .

150 4/VECTORES EN R - Y R 3

2 5 . ( 1 , - 2 , 3 ) ; ( 2 , 0 , 1 ) ; ( 0 , 4 , 0 ) 2 7 . ( - 2 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 4 , 2 ) ; ( - 3 , 1 , 5 ) 2 9 . ( a , 0 , 0 ) ; ( 0 , b , 0 ) ; ( 0 , 0 , c )

2 6 . ( - 2 , 1 , 1 ) ; ( 2 , 2 , 3 ) ; ( - 1 , - 2 , 4 ) 2 8 . ( 7 , - 2 , - 3 ) ; ( - 4 , 1 , 6 ) ; ( 5 , - 2 , 3 ) 3 0 . ( a , b , 0 ) ; ( a , O , 6 ) ; ( O , a , b )

3 1 . M u e s t r e q u e | u x v | 2 = |u | 2 | v | 2 - (u«v ) 2 . [Sugerencia: D e s a r r o l l e e n términos d e s u s c o m p o n e n t e s ] .

3 2 . M u e s t r e q u e e l área d e l triángulo P Q R está d a d a p o r A = j | P Q x Q ~ R | . 3 3 . U t i l i c e e l r e s u l t a d o d e l P r o b l e m a 3 2 p a r a c a l c u l a r e l área d e l triángulo c o n vérti­

c e s e n ( 2 , 1 , - 4 ) , ( 1 , 7 , 2 ) y (3, - 2 , 3) . 3 4 . C a l c u l e e l área d e l triángulo c o n vértices e n ( 3 , 1 , 7 ) ( 2 , - 3 , 4 ) y ( 7 , - 2 , 4 ) . 3 5 . C a l c u l e e l área d e l triángulo c o n vértices e n ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) y ( 0 , 0 , 1 ) . D i b u j e

e s t e triángulo. 3 6 . M u e s t r e q u e s i u = ( o , , b , , c , ) , v = ( a 2 , b 2 , c 2 ) y w = ( a 3 , b 3 , c 3 ) , e n t o n c e s

*37 . S e a n u , v y w t r e s v e c t o r e s q u e n o están e n e l m i s m o p l a n o . E n t o n c e s e l l o s f o r m a n l o s l a d o s d e u n paralelepípedo e n e l e s p a c i o ( F i g u r a 4 . 4 9 ) . D e m u e s t r e q u e e l v o l u ­m e n d e l paralelepípedo está d a d o p o r V = | ( u x v ) - w¡.* [Sugerencia: E l área d e l a b a s e e s | u x v | ] .

3 8 . C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s u = 2 i — j + k , v = 3 i + 2 j - 2 k , y w = 3 i + 2 j .

3 9 . C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s i — j , 3 i + 2 k ,

4 0 . C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s P Q , P R , y PS, d o n d e P = ( 2 , 1 , - 1 ) , ( ? = ( - 3 , 1 , 4 ) , P = ( - 1 , 0 , 2 ) y S = ( - 3 , - 1 , 5 ) .

* * 4 1 . E l v o l u m e n g e n e r a d o p o r t r e s v e c t o r e s u , v y w d e O? 3 s e d e f i n e c o m o e l v o l u m e n d e l paralelepípedo c u y o s l a d o s s o n u , v y w ( F i g u r a 4 . 4 9 ) . S e a A u n a m a t r i z d e 3 x 3 y s e a n u , = A u , v , = A \ , y w , = A w . M u e s t r e q u e :

V o l u m e n g e n e r a d o p o r u , , v , y w , = ( ± d e t / 4 ) ( v o l u m e n g e n e r a d o p o r u , v y w )

• E s t o s i g n i f i c a q u e e l v o l u m e n d e l p a r a l e l o g r a m o está d a d o p o r

a i bi c , u • ( v x w ) = a 2 b 2 c 2

a 3 b3 c ,

F i g u r a 4 . 4 9

u

- 7 j + 3 k .

V =

4 5 R E C T A S Y P L A N O S E S E L E S P A C I O 151

E s t o m u e s t r a q u e a l i g u a l q u e e l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e 2 x 2 m u l t i p l i c a e l área, e l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e 3 x 3 m u l t i p l i c a e l v o l u m e n .

, 2 3 I v , 2v / ! > 14 - 1 5 1 , u = l - 1 ) , v = 0 \ 1 0 6 / \ 0 / \4>

= | 0 j y w= ^ 3 j .

a. C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r u, v y w. b . C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r A u , Av y Aw. c . C a l c u l e e l d e t e r m i n a n t e d e A . d . M u e s t r e q u e [ v o l u m e n e n l a p a r t e (b)] = ( ± d e b 4 ) x [ v o l u m e n e n l a p a r t e (a)].

, 5 Rectas y Planos en el Espacio

E n e l p l a n o U2 p o d e m o s e n c o n t r a r l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a d a d o s d o s p u n t o s d e l a r e c t a o u n p u n t o y l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a . E n U3, n u e s t r a i n t u i c i ó n n o s d i c e q u e l a s i d e a s bás i cas s o n l a s m i s m a s . C o m o d o s p u n t o s d e t e r m i n a n u n a r e c t a d e b e r í a m o s d e s e r c a p a c e s d e c a l c u l a r l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a e n e l e s p a ­c i o s i c o n o c e m o s d o s p u n t o s e n e l l a . D e o t r a f o r m a s i c o n o c e m o s u n p u n t o y l a d i r ecc ión d e l a r e c t a d e b e m o s t a m b i é n s e r c a p a c e s d e e n c o n t r a r s u e c u a c i ó n .

E m p e z a m o s c o n d o s p u n t o s P=(x¡, y u zx) y Q=(x2, y2, Z2) e n u n a r e c t a L . U n v e c t o r p a r a l e l o a L e s u n v e c t o r c o n r e p r e s e n t a n t e Pc5. A s í , d e l a F ó r m u ­l a 4 . 3 . 1 5

v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j + ( z 2 - z 1 ) k ( 1 )

e s u n v e c t o r p a r a l e l o a L . A h o r a , s e a R = (x, y, z) o t r o p u n t o e n l a r e c t a . E n ­t o n c e s PR e s p a r a l e l o a PQ, q u e a s u v e z e s p a r a l e l o a v y as í , p o r e l T e o r e m a 4 . 3 . 3

PR=tv (2)

p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. D e l a F i g u r a 4 . 5 0 t e n e m o s ( e n c a d a u n o d e l o s t r e s c a s o s p o s i b l e s )

Figura 4.50

X X X (a) (b) (c)

152 4/VECTORES EN R 2 Y

Y , c o m b i n a n d o ( 2 ) y ( 3 ) o b t e n e m o s

PR=OR-OP=ty

o

OR = OP+1\ ( 4 )

L a E c u a c i ó n ( 4 ) e s l l a m a d a l a ecuación vectorial d e l a r e c t a L . S i R e s t á e n L e n t o n c e s ( 4 ) e s s a t i s f e c h a p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. I n v e r s a m e n t e , s i ( 4 ) e s s a ­t i s f e c h a e n t o n c e s r e g r e s a n d o s o b r e n u e s t r o s p a s o s v e m o s q u e P R e s p a r a l e l a a v l o q u e s i g n i f i c a q u e R e s tá e n L .

S i d e s a r r o l l a m o s e n c o m p o n e n t e s l a E c u a c i ó n ( 4 ) o b t e n e m o s

x i + y i + z k = x 1 i + X 2 J + x 3 k + í ( x 2 - X | ) i + r ( y 2 - y 1 ) + f ( z 2 - Z i ) k

x = xx + t(x2 — xl)

ó y = y i + f ( y 2 - y i )

z = zx + t{z2-zx)

( 5 )

L a s E c u a c i o n e s ( 5 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones paramétricas d e u n a r e c t a . F i n a l m e n t e , r e s o l v i e n d o p a r a t e n ( 5 ) y d e f i n i e n d o x2-xx =a, y2—yx = b, y

z2—Z| = c , e n c o n t r a m o s q u e

x - x t y - y i Z - Z l

a b c (6)

L a s E c u a c i o n e s ( 6 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones simétricas d e l a r e c t a . A q u í a,byc s o n l o s n ú m e r o s d i r e c t o r e s d e l v e c t o r v . D e s d e l u e g o , l a s E c u a c i o n e s ( 6 ) s o n vá l i da s só lo s i o , b y c s o n d i s t i n t a s d e c e r o .

E J E M P L O 1 E n c u e n t r e u n a e c u a c i ó n v e c t o r i a l , l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s y l a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas d e l a r e c t a L q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P = ( 2 , - l , 6 ) y c 9 = ( 3 , 1 , — 2 ) .

S o l u c i ó n P r i m e r o c a l c u l a m o s v = ( 3 - 2 ) i + [ l - ( - l ) ] j + ( - 2 - 6 ) k = i + 2 j - 8 k . E n t o n ­c e s , d e ( 4 ) s i R = (x, y, z) e s tá e n l a l ínea , o b t e n e m o s OR = x i + y j + z k = O P + t v = 2 i - j + 6 k + t ( i + 2 j - 8 k ) ó

x = 2 + í y = - l + 2 í z = 6 - 8 f

F i n a l m e n t e , c o m o a = l , 6 = 2 y c = - 8 e n c o n t r a m o s l a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas

4 5 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 153

x ^ = y ^ l = z - 6

1 2 - 8 1 '

P a r a v e r i f i c a r e s t o v e a m o s q u e ( 2 , - 1 , 6 ) y ( 3 , 1 , - 2 ) e s t á n r e a l m e n t e e n l a r e c t a . T e n e m o s [después d e s u s t i t u i r e s t o s p u n t o s e n ( 7 ) ]

2 - 2 - 1 + 1 6 - 6

- r = — — = °

3 - 2 1 + 1 - 2 - 6

1 ~ 2 " - 8 _ 1

S e p u e d e n e n c o n t r a r o t r o s p u n t o s d e l a r e c t a . S i t = 3 , p o r e j e m p l o , o b t e n e m o s

3 _ x - 2 _ y + l z - 6

1 2

q u e n o s d a e l p u n t o ( 5 , 5 , - 1 8 ) .

E J E M P L O 2 E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , - 2 , 4 ) y e s p a r a l e l a a l v e c t o r v = i + j —k.

S o l u c i ó n U s a m o s l a f ó r m u l a ( 6 ) c o n P=(xl,yl, * , ) = ( 1 , - 2 , 4 ) y v c o m o a r r i b a d e f o r ­m a q u e a= 1 , b= 1 y c= - 1 . E s t o n o s d a

x - l _ y + 2 _ 2 - 4

i " i

¿ Q u é s u c e d e s i u n o d e l o s n ú m e r o s d i r e c t o r e s a , fió c e s c e r o ?

E J E M P L O 3 E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas d e l a r e c t a q u e c o n t i e n e a l o s p u n t o s P = ( 3 , 4 , - 1 ) y Q = ( - 2 , 4 , 6 ) .

S o l u c i ó n A q u í v = — 5 i + 7 k y cr = — 5 , ¿> = 0 y c = 7 . E n t o n c e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n p a r a -m é t r i c a d e l a l ínea e s x = 3 - 5 r , y = 4, y z = — 1 + 7 / . R e s o l v i e n d o p a r a t, e n ­c o n t r a m o s q u e

x - 3 z + l — — = y y = 4

- 5 7 ' y

L a e c u a c i ó n y = 4 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xz y así h e m o s o b t e n i d o u n a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a e n e s e p l a n o .

E J E M P L O 4 E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas d e l a r e c t a ( e n e l p l a n o xy) q u e p a s a p o r l o s p u n t o s ( x , , y¡,0)y ( x : , y2, 0 ) d o n d e x , = É X 2 .

154 4/VECTORES EN R 2 Y R 3

Solución A q u í , v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j y o b t e n e m o s

y 2 - y

P o d e m o s e s c r i b i r e s t o c o m o

y - y i =

A q u í 0 : - > ' 1 ) / ( x ' 2 - X i ) = m, l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a . C u a n d o x = 0 y = yf — [0'i—y)V(X2—xl)]x1 = b, l a i n t e r secc ión d e l a r e c t a c o n e l e j e y. E s t o e s , y = mx+ b, q u e e s l a f o r m a s i m p l i f i c a d a d e u n a r e c t a e n e l p l a n o xy. As í v e m o s q u e l a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o r e a l m e n t e s o n u n a g e ­n e r a l i z a c i ó n d e l a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a e n e l p l a n o .

¿ Q u é s u c e d e s i d o s d e l o s n ú m e r o s d i r e c t o r e s s o n c e r o ?

E J E M P L O 5 E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P= (2, 3, - 2 ) y Q = (2, - 1 , - 2 ) .

Solución A q u í v = — 4 j , d e m a n e r a q u e a = 0, b= —4 y c = 0. U n a r e p r e s e n t a c i ó n p a r a -m é t r i c a d e l a r e c t a e s , p o r l a E c u a c i ó n (5), x-2; y-2— 4t; z= —2. S a b e m o s q u e x = 2 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o yz m i e n t r a s q u e z = — 2 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xy. S u in t e r secc ión e s l a l ínea x=2, z = — 2, q u e e s p a r a l e l a a l e j e y. D e h e c h o , l a e c u a c i ó n y = 3 — 4t d i c e , e s e n c i a l ­m e n t e , q u e y p u e d e t o m a r c u a l q u i e r v a l o r ( m i e n t r a s xy z p e r m a n e c e n f i j a s ) .

Advertencia. L a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s o s imé t r i cas d e u n a r e c t a no s o n ú n i c a s . P a r a v e r e s t o b a s t a e m p e z a r c o n o t r o s d o s p u n t o s d e l a r e c t a .

E J E M P L O 6 E n e l E j e m p l o 1 l a r e c t a c o n t e n í a a l p u n t o (5, 5, —18). E s c o j a m o s P— (5, 5 , - 1 8 ) y (3 = (3, 1, - 2 ) . E n c o n t r a m o s q u e v = - 2 i - 4 j + 16k, así q u e x=5 — 2t, y - 5 — 4t, y z= —18+16?. ( N o t e m o s q u e s i t = §, o b t e n e m o s (x,y, z ) = (2, — 1 , 6).) L a s e c u a c i o n e s s imé t r i cas a h o r a s o n

x - 5 _ y - 5 _ z + 1 8

- 2 ~ - 4 ~ 16

L a e c u a c i ó n d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o s e o b t i e n e e s p e c i f i c a n d o u n p u n t o e n l a r e c t a y u n v e c t o r paralelo a e s t a r e c t a . P o d e m o s d e d u c i r l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o e n e l e s p a c i o e s p e c i f i c a n d o u n p u n t o e n e l p l a n o y u n v e c t o r o r t o g o n a l a c a d a v e c t o r d e l p l a n o . E s t e v e c t o r o r t o g o n a l s e c o n o c e c o m o e l vector normal y s e d e n o t a p o r n ( F i g u r a 4.51).

4 5 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 155

Figura 4.51

D E F I N I C I O N 1 S e a P u n p u n t o e n e l e s p a c i o y s e a n u n v e c t o r d a d o d i s t i n t o d e c e r o . E n t o n c e s e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s p u n t o s Q p a r a l o s c u a l e s PQ • n = 0 f o r m a n u n plano

e n

Notación U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n p l a n o p o r TT.

S e a P=(x0, _ y n , z n ) u n p u n t o f i j o e n u n p l a n o c o n v e c t o r n o r m a l n = a\ + bj + ck. S i Q = (x, y, z ) e s c u a l q u i e r o t r o p u n t o e n e l p l a n o e n t o n c e s PQ = (x-x0)\ + (y-y0)j + (z-z0)k. C o m o PQ±n, t e n e m o s P Q > n = 0 . P e r o e s t o i m p l i c a q u e

a(x-x„) + b(y - y „ ) + c ( z - z o ) = 0 ( 8 )

U n a f o r m a m á s c o m ú n d e e s c r i b i r l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o s e d e r i v a f á c i lmen te d e ( 8 ) :

ax + by + cz = d ( 9 )

d o n d e d = ax0 + by0 + cz0 = OP • n

E J E M P L O 7 E n c u e n t r e e l p l a n o x q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 2 , 5 , I ) y t i e n e p o r v e c t o r n o r m a l a l n = i - 2 j + 3 k .

Figura 4.52

Solución D e ( 8 ) o b t e n e m o s i n m e d i a t a m e n t e ( x - 2 ) - 2 ( y - 5 ) + 3 ( z - 1 ) = 0 ó

x - 2 y + 3 z = - 5 ( 1 0 )

156 4 'VECTORES EN R 2 Y R:<

E s t e p l a n o e s tá d i b u j a d o e n l a F i g u r a 4 . 5 2 .

Observación. E l p l a n o s e d i b u j a f á c i lmen te h a c i e n d o x =y = 0 e n l a E c u a c i ó n ( 1 0 ) p a r a o b t e n e r ( 0 , 0 , - § ) , x = z = 0 p a r a o b t e n e r ( 0 , f, 0 ) ey=z=0 p a r a o b t e n e r ( — 5 , 0 , 0 ) . E s t o s t r e s p u n t o s e s t án e n e l p l a n o .

L o s t r e s p l a n o s c o o r d e n a d o s s e r e p r e s e n t a n c o m o s i g u e :

i. E l plano xy p a s a p o r e l o r i g e n ( 0 , 0 , 0 ) y c u a l q u i e r v e c t o r e n e l e j e z e s n o r m a l a é l . D e t a l e s v e c t o r e s e l m á s s i m p l e e s k. A s í , d e ( 8 ) , o b t e n e m o s 0 ( x - 0 ) + ( ) ( y - 0 ) + 1 ( z - 0 ) = 0 , l o q u e n o s l l e v a a

z = 0 ( 1 1 )

c o m o l a e c u a c i ó n d e l p l a n o xy. ( E s t e r e s u l t a d o n o d e b e r í a s e r m u y s o r p r e n d e n t e ) .

i i . E l plano xz t i e n e l a e c u a c i ó n

y = 0 ( 1 2 )

i i i . E l plano yz t i e n e l a e c u a c i ó n

x=0 ( 1 3 )

T r e s p u n t o s n o c o l i n e a l e s d e t e r m i n a n u n p l a n o p u e s e l l o s d e t e r m i n a n d o s v e c t o r e s n o p a r a l e l o s q u e s e i n t e r s e c a n e n u n p u n t o ( F i g u r a 4 . 5 3 ) .

Figura 4 . 5 3 z

E J E M P L O 8 E n c u e n t r e l a e c u a c i ó n d e l p l a n o q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P = (l, 2, 1 ) , Q = < - 2 , 3 , - 1 ) y / ? ( ! , < ) , 4 ) .

Solución L o s v e c t o r e s P Q = - 3 i + j - 2 k y QR = 3i — 3j + 5k e s t án e n e l p l a n o y p o r t a n ­t o s o n o r t o g o n a l e s a l v e c t o r n o r m a l , d e d o n d e

n=PQxQR - i + 9j + 6k

4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL ESPACIO 157

y o b t e n e m o s

ó

TT: - ( j e - l ) + 9 ( y - 2 ) + 6 ( z - l ) = 0

- x + 9 y + 6 z = 2 3

N o t e m o s q u e s i e s c o g e m o s o t r o p u n t o , d i g a m o s Q, o b t e n e m o s l a e c u a c i ó n — ( x + 2 ) + 9 ( y — 3 ) + 6 ( z + 1 ) = 0 , q u e s e r e d u c e a — x + 9y + 6z = 23. E l p l a n o s e

d i b u j a e n l a F i g u r a 4 . 5 4 .

Figura 4.54 ( - 2 3 , 0 , 0 ¡ N /

/ / X

• ( 0 , 0 . V) / _\_r¿ ,( / ,

( 0 , tf, 0 )

D E F I N I C I Ó N 2 D o s p l a n o s s o n paralelos* s i s u s v e c t o r e s n o r m a l e s s o n p a r a l e l o s ; e s t o e s , s i e l p r o d u c t o c r u z d e s u s v e c t o r e s n o r m a l e s e s c e r o .

D o s p l a n o s p a r a l e l o s s e d i b u j a n e n l a F i g u r a 4 . 5 5 .

Figura 4.55

E J E M P L O 9 L o s p l a n o s 2 x + 3 v ' - z = 3 y 7 r n : - 4 x - 6 v + 2 z = 8 s o n p a r a l e l o s p u e s n , = 2 i + 3 j - k , n 2 = - 4 l - 6 j + 2 k = - 2 n , ( y n , x n 2 = 0 ) .

S i d o s p l a n o s n o s o n p a r a l e l o s e n t o n c e s s e i n t e r s e c a n e n u n a l ínea r e c t a .

E J E M P L O 10 E n c u e n t r e t o d o s l o s p u n t o s d e in te r secc ión d e l o s p l a n o s 2x—y—2 = 3 y x + 2 . y + 3 z = 7 .

S o l u c i ó n C u a n d o l o s p l a n o s s e i n t e r s e c a n t e n e m o s x + 2>> + 3 z = 7 y 2x—y—z = 3 . R e s o l v i e n d o e s t e s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s e n t r e s i n c ó g n i t a s p o r r e d u c c i ó n p o r r e n g l ó n o b t e n e m o s , s u c e s i v a m e n t e ,

• N o t e m o s q u e d o s p l a n o s p a r a l e l o s podrían s e r coincídentes. P o r e j e m p l o , l o s p l a n o s x + y + z = 1 y 2x + 2y + 2z = 2 s o n c o i n c i d e n t e s ( e l m i s m o ) .

158 4/VECTORES EN R 2 Y R'<

/l 2 3 7\ A , j ( - 2 ) / l 2 3 7 \

V2 - 1 - 1 3/ * \0 - 5 - 7 - 1 1 /

2 3 7 > l

A , , ( - 2 ) f 1 0 1 5

1 7 5

l o 1 7 5 l)

Asíy=^-Q)zyx=^- (j)z. F i n a l m e n t e , h a c i e n d o z = t, o b t e n e m o s l a r e p r e — 1 2 s e n t a c i ó n p a r a m é t r i c a d e l a r e c t a d e i n t e r s ecc ión : x = 1f—^t,

y z = t. y = 1 1 lt,

C o n c l u i m o s e s t a secc ión m o s t r a n d o c ó m o s e p u e d e c a l c u l a r l a d i s t a n c i a d e

u n p l a n o a u n p u n t o ( F i g u r a 4.5.6). S i Q e s e l p u n t o , e n t o n c e s l a d i s t a n c i a r e -

Figura 4.56 Q

q u e r i d a e s l a d i s t a n c i a m e d i d a a l o l a r g o d e u n a r e c t a o r t o g o n a l a ir. E s t o e s , l a m í n i m a d i s t a n c i a s e o b t i e n e t r a z a n d o u n a p e r p e n d i c u l a r d e l p u n t o a l p l a n o . E s t o s e h a c e c a l c u l a n d o ( p a r a c u a l q u i e r p u n t o P d e l p l a n o )

I P D - B ! D= Iproy .PC

E J E M P L O 11 E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a ¿ e n t r e e l p l a n o 2x—y + 3 z = 6 y e l p u n t o Q = ( 3 , 5, - 7 ) .

Solución U n p u n t o e n e l p l a n o e s P = ( 3 , 0 , 0 ) y n = 2 i - j + 3 k . E n t o n c e s , P Q = 5 j - 7 k , \PQ • n[ = 26 y |n| = sf\A d e f o r m a q u e D = 26/v/l4.

E J E M P L O 12 E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a d e l p l a n o ax + by + cz = d a l o r i g e n .

Solución S i a ^ O , u n p u n t o d e l p l a n o e s P = (d/a, 0 , 0 ) . ( S i o = 0 p e r o b*0, u n p u n t o e n e l j p l a n o e s ( 0 , d/b, 0 ) l l e g a n d o a l m i s m o r e s u l t a d o ) . E n t o n c e s n = ai + bj + c k y P Q = -(d/a)i d e m o d o q u e \OP-n\ = \d\, |n| = v V + b2 + c2 y