1

BLM 1

VEKTRLERN BLEKES VE BLEENLER

1.1 Giri

Fiziin eski yzyllarda btn doa olaylar ile urat son yzyllarda ise sadece

madde ve madde bileenleri inceleyen ve bunlar arasndaki etkilemeleri aklamaya alan

bir bilim dal olarak grmekteyiz. Ksaca fizik evrenin srlarn, maddenin yapsn ve bunlar

arasndaki etkilemeleri aklayan temel doa bilimi olarak alglanr. Deneysel yorumlar ve

sonular oaldka, bir kiinin btn bu alanlarda almas zorlatndan alt blmler

ortaya kt. Doa olaylarn inceleyen birok bilim dallar bulunmaktadr. Botanik bitki

bilimini, zooloji hayvan bilimini, psikoloji ruh bilimini, astronomi gk bilimini, jeoloji

yerbilimini, metroloji hava bilimini inceler. Fizie en yakn bilim dal kimyadr. Kimya

maddenin yapsnda deiiklik meydana getiren devaml olaylar, fizik ise maddenin

yapsnda deiiklik meydana getirmeyen geici olaylar inceler.

phesiz fizik konularn renirken lzumsuz yere vakit kayp etmemek iin bugn

eskimi ya da terk edilmi olan teorileri atlayarak doruca yeni metotlarla ie balamak

dnle bilinir. Ancak eski klasik fizik kaidelerini renmemizde gerektiren birok sebepler

vardr. Klasik bilim dili modern deildir. Modern fiziin dili daha ziyade yksek matematik

kurallardr. Buna gre, modern fizii retmek iin, rencilerin gerekli matematik bilgisini

daha nceden renmi olmalar istenilse de, bunlarn klasik fizik kavramlar ile hi

ilgilenmeden matematik renmi olmalar tasavvur edilemez. Klasik fizik ile ie balamamz

bir sebebi de kavramlarnn bugn de ok faydal ngrler vermesidir. Klasik fizik olduka

basit olmasna ramen birok bilimsel ve teknik problemlerin zmnde yeterli sonulara

gtrmektedir. Baka bir sebepte klasik fizik modern fizikten nce olumutur.

1.2 Fiziksel Byklkler, Standartlar ve Birimler

Fizik, evreni oluturan en knden en byne kadar tm maddeleri ve bunlar

arasndaki etkilemeleri inceleyen bir doa bilimidir.

Fiziksel byklkler, uzunluk, kuvvet, hz, zaman, younluk, diren, scaklk,

aydnlatma, manetik alan iddeti gibi byklklerdir. Bu byklkleri gnlk yaantmzda

kullanrz. rnein Kaba kuvvete bavurmak ilerimizi hzlandrmaz aksine gletirir.

cmlesi gnlk yaantmzda bir anlam tar. Ancak fiziksel olarak anlam yoktur. nk

anlam tamas iin sz konusu fiziksel bykln tam ve kesin olarak tanmlanmas gerekir.

Bir fiziksel bykln tam olarak tanmlayabilmek iin o bykln nasl lleceini bir

kurala balamak ve bykl bir bilim ile ifade etmek gerekir.

2

Bylece bir standart tespit edilmi olur. Standart tespiti tamamen keyfi bir olaydr.

rnein kilogram istediimiz gibi tanmlayabiliriz. nemli olan birimin yararl ve kullanl

olmas ve tanmn herkes tarafndan benimsenmesidir. Fiziksel byklk says o kadar

fazladr ki bunlarn tmn bir btn ierisinde organize etmek mmkn deildir. stelik bir

byklk baka bir byklkten bamsz deildir. Bu nedenle yaplacak i; temel olarak

kabul edeceimiz az sayda temel byklk seip geriye kalanlar bu temel byklklerden

tretmektir. Bu ekilde yalnz temel byklkler iin standart tespit etmek yeterli olacaktr.

imdi u sorular aklmza gelir.

1) Ka tane temel byklk seilmelidir.

2) Hangi byklkler temel byklk olarak seilmelidir.

3) Bu seimi kim yapmaldr. Bir defa en az sayda temel byklk seilmelidir.

Bu seilen temel byklklerden dier byklkler tretilmelidir. nc soru ise

uluslararas anlamalar erevesinde yantlanmaldr. Bu konulardaki almalar 1875 ylnda

kurulan ve halen Pariste bulunan uluslararas arlklar ve lmeler brosu tarafndan

yrtlmektedir.

Uluslar aras birim sistemi: 1974 ylnda toplanan 14 nc uluslar aras arlklar ve

lmeler genel toplantsnda daha nceki almalar deerlendirerek aada gsterilen yedi

byklk temel byklk olarak kabul edilmitir. Bu yedi byklk ulusal aras birim

sisteminin SI y oluturur.

Byklk Ad Sembol Uzunluk metre m

Ktle kilogram kg

Zaman saniye sn

Elektrik akm amper A

Termodinamik scaklk Kelvin K

Cismin okluu mole mol

Aydnlatma iddeti condela cd

Bu yedi temel byklkten sadece n ayrntl olarak inceleyeceiz. Bunlar uzunluk, ktle

ve zaman birimleridir.

3

1.3 Uzunluk Standard

Uzunluk standard , standart metre denilen ve uluslar aras arlk ve lmeler

brosunda sakl bulunan platin-iridyum dan yaplm bir ubuktur. Scaklk 00 iken ubuun

iki ucundan altn ile izilmi iki keskin izgi arasndaki uzunluk bir metredir. Metre ubuun

ok sayda kopyalar yaplm ve dnyann drt bir yanna datlmtr. ngiliz birim

sisteminde uzunluk birimi yarda dr.

1 yarda = 91,44 cm, 1 kara mili = 1760 yarda = 1609 m

1 yarda = 3 foot = 91,44 cm 1 deniz mili = 1875 m

1 foot = 12 in = 30,48 cm 1mm = 1000

1 in = 2,54 cm 1 0A = 10-10 m , 1m = 10 0A

Baz uzunluklar; En yakn galaksinin uzakl 2. 1022 m

Galaksinin yarap 6. 1018 m

Gnein yarap 7. 108 m

Dnyann ap 6,5.106 m

Kitap sayfasnn kalnl 10-4 m

Protonun yarap 10-15 m

1.4 Ktle Standard

SI birim sisteminin ktle standard uluslar aras arlk ve lmeler brosunda

saklanan ve uluslar aras anlamalarla ktlesi 1 kg olan platin- iridyum alamndan yaplm

bir silindirdir. ngiliz birim sisteminde ktle birimi slu dur.

Baz llm ktleler; Galaksimiz 2. 1041 kg

Gne 2.1030 kg

Ay 7,4.1022 kg

Dnya 6.1024 kg

Bir fil 4,5.103 kg

Bir zm tanesi 3.10-3 kg

Bir toz zerresi 6,7.10-10 kg

Bir proton 1,7.10-27 kg

Bir elektron 9.10-31 kg

4

1.5 Zaman Standard

Ortalama gne gn, dnyann kendi ekseni etrafnda ki dn zaman

standard olarak kabul edilmitir. Bir ortalama gne saniyesi bir ortalama gnn 1 / 86400

olarak tanmlanr.

Baz zaman lmleri; Dnyann ya 1,3 .1017 sn

Ortalama insann mr 2. 109 sn

Bir gne gn 8,6.104 sn

Molekln dnme periyodu 10-12 sn

1.6 Kuvvet

Mekanik, cisimlerin hareketini ve harekete sebep olan kuvvetleri konu alan bir

blmdr. Hareket konusunu iyi anlayabilmek iin diferansiyel ve integral formllerinin

bilinmesi gerekir.

Her hangi bir cismi ittiimiz veya ektiimiz zaman, bu cisme bir kuvvet uygulam

oluruz. Kuvvetler cansz cisimler tarafndan da meydana getirile bilinir. rnein: Gerilmi bir

yay ularnn bal olduu cisimlere, sktrlm gaz iinde bulunduu kabn eperlerine, bir

lokomotif de ektii trene kuvvet uygular. Gnlk hayatmzda en ok farkna vardmz

kuvvet, dnyada bulunan her cisim zerine etkiyen ve cisimlerin arln meydana getiren

yer ekimi kuvvetidir. Kuvvet birimi standart kilogram kuvvettir. 1kg.f = 9,8 Newton.

1.7 Vektrler ve Skalerler

Skaler byklkler bir say ve bir birim ile ifade edilen byklklerdir. Bir sepet

iinde bulunan 38 elma skaler bykle rnektir. Bu ifade istenilen bilgiyi tamamen belirler.

Yne ve dorultuya gerek yoktur. Baka skaler rnekler; scaklk, hacim, ktle ve zaman

aralklardr.

Vektrler ise bir say ve bir birim ile beraber yn ve dorultusu olan

byklklerdir. Bir paracn bulunduu yeri deitirmesi olayna, yer deitirme denir.

Paracn bir A noktasnda B noktasna gittiini dnelim. Bu durumda yer deitirme A

dan B noktasna izilen doru paras ile gsterilir. Hareketin A dan B ye doru olduunu

gstermek iin doru parasnn B ucuna bir ok izilir. ( ekil .1.1.a ) Parack B den C ye

bir yer deitirme gsterebilir.ki yer deitirmenin net sonuu A dan C ye izilen bir yer

deitirmedir.(ekil.1.1.b) Bu yzden AC yer deitirmesine AB ve BC yer deitirmelerin

toplam denir. Dikkat edilecek olursa bu basit bir cebirsel toplam deildir.

5

Yer deitirmeler gibi davranan byklklere vektr ad verilir. Buna gre vektrler,

hem belli bir uzunluu olan hem de belli bir yn gsteren ve belli kurallara gre toplanan

byklklerdir. Vektrel olan dier baz byklkler arasnda kuvvet, hz, ivme, momentum,

elektriksel ve magnetik alan saylabilir.

1.8 Vektrlerin Toplanmas ve karlmas

Ayn ynde ve ayn byklkteki A ve B vektrleri eit vektrlerdir. A = B dr.

Vektrlerin toplanmalar iin konulan kurallar, geometrik yntemlere uygun olarak

tanmlanr. Vektrler paralel kenar, gen ve okgen kurallarna gre toplanr.

Paralelkenar kuralna gre; A vektr ile B vektrn toplamak iin verilen dorultuda

ve belli bir lekte A vektr izilir. B vektr de verilen dorultuda ve lekte izilir.

Sonra A vektrnden B vektrne ve B vektrnden A vektrne birer paralel izilir. A

vektr ile B vektrnn balang noktasndan iki paralelin birletii nokta bir okla

birletirilir.(ekil.1.2.a) R=A + B Bileke kuvvet bu ekilde elde edilir.

gen kuralna gre ise verilen A vektr belli bir lekte ve dorultuda izilir sonra

biti ucuna B vektr eklenir. A vektrnn balang noktas ile B vektrnn biti noktas

birletirilir. Elde edilen bu vektr R = A + B vektrdr ( ekil.1.2 b ) .

C

A

B B

A (a) ( b)

ekil.1.1 Vektrlerin Gsterilmesi

gen Kural Paralel kenar Kural okgen Kural

ekil.1.2 Vektrlerin Toplanmas

A A A

B

B

B

R = A + B

R = A + B

R = A + B + C + D

C

D

(a) (b) ( c)

6

Eer cisme ikiden fazla kuvvet etki ederse en iyi geometrik zm ucuca ekleme yani

okgen metodudur. gen kuralnda olduu gibi verilen dorultu ve leklerde kuvvetler ard

ardna ( ucuca ) eklemek suretiyle ilk vektrn balang noktas ile son vektrn biti

noktasn birletiren doru paras vektrlerin toplamn verir. R = A + B + C + D

(ekil.1.2.c)

Vektrlerin kartlmas ise bir vektrn negatifi, o vektrn topland zaman sonucu

sfr eden vektr olarak tanmlanr. Yani bir A vektrnden bir B vektrn karmak

istiyorsak; B vektrnn negatifini A vektrne eklememiz gerekir. ( ekil.1.3 )

A - B = A + ( - B )

1.9. Vektrlerin arplmas

1.9.1. Bir vektrn bir skaler ile arplmas

Bir A vektr, pozitif bir m skaler ile arplrsa , m.A arpm , A ile ayn ynde ve

m.A byklnde olan bir vektrdr. m negatif ise m.A vektr A ile zt ynldr.

ki vektrn skaler arpm : a ve b gibi iki vektrn skaler arpm ;

a . b = a . b . cos olarak tanmlanr.

ki vektrn skaler arpmnn 4 deiik ekli grlmektedir. ( ekil .1.4 )

= iki vektr arasndaki adr.

Skaler arpm gerei ;

i . i = j . j = k . k = 1 , i . j = j. k = k. i = 0

dir.

k

i

J

A

B -B A-B

A ekil.1.3 Vektrlerin kartlmas

a

b

a

b

a

b

a

b

ekil. 1.4. ki Vektrn Skaler arpmnn Deiik ekillerde Gsterilmesi

a.b = a.b.cos = 0 , a.b = a.b = 90 , a .b = 0 = 180 , a .b = a.b

7

1.9.2. ki vektrn vektrel arpm

a ve b gibi iki vektrn vektrel arpm ( a x b ) bu iki vektrn oluturduu

dzleme dik ve bu iki vektrn byklkleri ile aralarndaki ann sinsnn arpm

byklnde bir vektrdr. c = a x b , c = a. b . sin

c vektrnn ynn bulmak iin sa el kural uygulanr. Sa elimizi baparma iki vektrn

oluturduu dzleme dik olmak artyla dier parmaklar as kadar bklr. Bu ekilde

baparmak c nin ynn gsterir. ( ekil .1. 5 )

Vektrel arpm gerei:

i x i = 0 j x j = 0 k x k = 0 ,

i x j = k j x i = - k k x i = j

i x k = -j j x k = i k x j = - i.

ekil. 1. 5 . ki vektrn vektrel arpm

1.10 Bir Vektrn Bileenleri

Vektrler geometrik olarak toplama ilemi, ok hassas sonular elde etmek

istendiinde ve boyutlu problemlerde yeterli deildir. Bu ksmda vektrlerin toplanmasn

dik koordinat sisteminin eksenleri zerinde izdmlerini alarak aklayacaz. Bu

izdmleri vektrn bileenleri denir. Herhangi bir vektr, bileenleri ile tam olarak

tanmlanabilir.

ekil 1.6 deki gibi xy dzleminde yer alan ve pozitif x ekseniyle herhangi bir as

yapan bir A vektrn gz nne alalm. A vektr, A nn vektr bileenleri ad verilen

dier iki Ax ve Ay vektrnn toplam olarak ifade edilebilinir. Ax bileeni A nn x ekseni

boyunca izdmn, Ay bileeni A nn y ekseni boyunca izdmn gsterir.ekil.1.6

dan A = Ax + Ay olduunu grrz. Bir vektrn bileenleri ( - ) veya ( + ) olabilir.

Bylece A nn dik bileenleri ;

Ax = A . cos Ay = A . sin dir.

Buradan ; A2 = Ax2 + Ay

2 , tan =x

y

A

A

b

a

i j

k

c = a.b

Ax

Ay A

ekil 1.6. Bir Vektrn Bileenleri

8

1.11 Bileke Kuvvet

Bir cisme ayn anda eitli byklkte ve dorultudaki kuvvetlerin etkisinde

kalabilir. Kuvvetler ayn dzlemin iinde ve dorultular kesiiyorsa bu kuvvetlerin yapaca

etkiyi tek bana yapan bir kuvvet bulunabilir. Bu kuvvete bileke kuvvet denir. Eer cisme

birok kuvvet etki ediyorsa bileke kuvveti bulmak iin en iyi yol dik bileenler metodudur.

Dik bileenler metoduyla bileke kuvvetin bulunmas:

Bir cisme birok sayda kuvvetler etki edebilir. ekil.1.7 deki gibi kuvvet etki etmi olsun.

Bu kuvvetlerin xy dzleminde dik bileenlerine ayrldktan sonra;

Rx = xF , Ry = yF yazlr. R2 = 2y

2x RR + tan =

x

y

R

R olur.

F3 F3

F1

F2 F2

F1 F2x

F2y

F3y

F3x R

RX

RY

ekil.1.7 Bileke Kuvvetin Dik Bileenler Metoduyla Bulunmas.

9

ZML PROBLEMLER

1.1. ekildeki kuvvetlerin bilekesini

ve dorultusunu bulunuz.

zm : xx RF = , yy RF =

R2 = Rx2 + Ry

2

cos = 4 / 5 = 0,8 , sin = 3 / 5 = 0,6

cos = 3 / 5 = 0,6 , sin = 4 / 5 = 0,8

xx RF = = 10.cos + 6 8.cos30 7,5.cos

RX = 10.0,8 + 6 8.0,86 7,6.0,6 = 2,62 t

yy RF = = 10. sin + 8.sin30 7,5. sin

RY = 10.0,6 + 8. 0,5 7,5.0,8 = 4t

R2 = (2,62 )2 + ( 4 ) 2 = 22,76 , R = 4,77t

tan = X

Y

R

R = 64,1

62,2

4= , = 570

1.2 . ekildeki kuvvetlerin bilekesinin yatay olabilmesi iin; a ) P kuvveti ne olmaldr? b) Bileke kuvveti bulunuz.

cos 30 = sin 60 = 0,86

sin 30 = cos 60 = 0,5

sin 45 = cos 45 = 0,7

10t

8t

7.5t

6t

3

4 4

4

3 300

10t

8t

7.5t

6t

3

4 4

4

3 300

RY

RX

R

30 60

45

15t

6t

10t P

x

y

10

zm:

a) Bileke kuvvetin yatay olabilmesi iin;

Ry = 0 olmaldr.

olur. 6,40,86

5,5P

510,5P.0,86

015.0,7P.0,8610.0,5

0sin4515P.sin60.sin3010RF

0R

RF

RF

RRR

t

ttyy

y

xx

yy

2y

2x

2

==

=

=+

=+==

=

=

=

+=

b) 015.0,7P.cos60610.cos30RF xX =+==

Rx = 10.0,86 + 6 +-6,4.0,5-10,5 = 0,9 t

Rx = 0,9 t , 2Y

2X

2 RRR += , Ry = 0 , R = Rx R = 0,9 t

1.3. a ) Bileke kuvvetin dey dorultuda

olabilmesi iin P kuvveti ne olmaldr?

b) Bileke kuvvetin iddetini ve dorultusunu

bulunuz.

zm :

a) Bileke kuvvetin dey dorultuda

olabilmesi Fx = 0 olmaldr.

Fx = 8 + 12.cos .-10.cos30 - P.cos60 = 0

P.0,5 = 8 + 12.0,8 10.0,86

P.0,5 = 8+ 9,6 8,6

P = 18 nt

30 60

45

15t

6t

10t P

x

y

30

60

P

x

y

10 n

8 n

12 n

14 n

4

3

30

60

P

x

y

10 n

8 n

12 n

14 n

4

3

11

b) R2 = Rx2 + Ry

2

R2 = Ry2 , R = Ry , Fx = Rx = 0

R = Ry = Fy = 14 + 12.sin + 10.sin30 P.sin60

Ry = R = 14 + 12.0,6 +10.0,5 -18.0,86

R = 14 + 7,2 + 5 15,48 = 10,72 nt (yukar doru )

1.4. 3 Birim uzunluunda bir a vektr, 2 birim uzunluunda bir b vektr ile 30lik a

yapyor. a) barrrr

+= b) b2a3rrrr

= vektrlerinin iddetini ve dorultusunu cosinus ve

sins teoremleri ile bulunuz.

zm :

a) r2 = a2 + b2 2.a.b. cos

r2 = 9 + 4 - 2.3.2 cos1500

r2 = 13 + 12.cos 30

r2 = 23,32 r = 4,83 birim.

21 sin

a

sin

b

150sin

r

==

1sin

b

30sin

r

= ,

1sin

2

5,0

83,4

= , sin1 = 20,0

83,4

1= , =11,50

b ) b2a3rrrr

=

r2 = (3a)2 + (2b)2 -2.a.b.cos30

= 81+16 2.9.4.0,86

= 86,68

r = 5,91 birim

1

0

2

sin

2b

sin30

r= , sin

91,5

5,0.41 = , 1 = 19,7

1.5. ki adam ve bir ocuk byk bir sand ekilde

grld gibi x ekseni dorultusunda itmek istiyorlar.

Adamlar ekilde grlen iddet ve ynde F1 , F2

kuvvetlerini uyguluyor.ocuun uygulayaca

kuvvetin iddet ve dorultusunu bulunuz.

30

60

F1=100 nt

F2= 80 nt

x

3a 2b

-2b rr

1 30

30

2

150 30 30

1

2

birim 3a =r

birim 2b =r

barrrr

+= rr

12

zm: Sand x ekseni dorultusunda hareket etmesi iin kuvvetin bilekesinin x ekseni

dorultusunda olmaldr. Bilekenin y ekseni dorultusunda bileeni yoktur.

Rx = Fx = F1x +F2x = F1 .cos600 + F2 .cos30

0

Rx = 100.0,5 + 80.0,86 = 50 + 68,8 = 118,8 nt

Ry = Fy = F1y F2y = F1 .sin600 F2 .sin30

0

Ry = 100.0,86 80.0,5 = 86 40 = 46 nt

Cisim x ekseni dorultusunda hareket etmesi iin ocuun uygulayaca F3 kuvveti Ry

bileeni ile ayn dorultuda fakat zt ynde ve eit olmaldr.

Yani; F3 = Ry = 46 nt olur.

1.6. Bir araba iki adam tarafndan ekiliyor. Arabaya bal ekme sicimleri arasndaki a 45

dir. A adam 150 nt , B adam 100 nt luk kuvvet uyguladna gre bilee kuvvetin iddetini

ve dorultusunu A adamnn iple yapt ay bulunuz. Problemi

(a) okgen metodu (b) gen metodu ( c) dik bileenler metoduyla znz

zm :

= 45 0 FA = 150 nt FB = 100 nt R = ? = ?

a) cosins teoreminden R yi bulalm .

R2 = FA2 + FB

2 - 2.FA.FB.cos ( 180 45

)

R2 = 22500 + 10000 2.100.150.cos135

R2 = 53500 R = 231,7 nt

sins teoreminden bulunur.

sin

F

sin135

R B= ,

sin

100

7,0

7,231= , 3,0

7,231

70sin == = 18 bulunur.

b )

FB = 100 nt

FA = 150 nt

R

45 180 -

FA = 150 nt

FB = 100 nt R = 231,7 nt

FA = 150 nt

FB = 100 nt

R = 231,7 nt

13

c) RX = FA +FBX = 150 + 100.cos45

= 150 + 70 = 220 nt

RY = FBY = 100.cos45 = 100.0,7 = 70 nt

R2 = RX2 + RY

2 = 4900 + 48400 = 53300

R = 230,8 nt

0,318220

70

R

Rtan

X

Y=== , = 18 olur.

1.7. a) ekildeki kuvvetlerin izimle A + B

toplamn ve A B farkn bulunuz.

b) Vektrlerin toplanmasn ve karlmasn dik

bileenler metoduyla bulunuz.

zm : a ) A + B = izimle A - B = izimle

b) A + B = ? (Hesapla)

RX = BX A = B.cos37 A

= 20.0,8 7 = 9 nt

RY = B.sin30 = 20.0,6 = 12 nt

R2 = Rx2 + Ry

2 = 81 + 144 = 225

R = 15 n

FA = 150 nt

FB = 100 nt

FBX

FBY

45

A

B

37

-B

B

A Bx

By

37

A

B A+B

37

A=7 nt

B=20 nt

37

14

A B = ? (Hesapla)

RX = -A BX = -7-B.cos37

= -7 - 20.0,8 = -23 nt

RY = -B.sin37 = - 20.0,6 = -12 nt

R2 = Rx2 + Ry

2 = ( -23 )2 + ( - 12 )2

R = 25,94 nt

1.8. Bir dik koordinat sisteminin birinci blgesinde x ekseni ile 600 a yapan 2 cm

uzunluunda bir A vektr ile drdnc blgede x ekseni ile 60 0 a yapan 2 cm

uzunluunda bir B vektr vardr. izimle ;

a) A + B toplamn

b) A B farkn bulunuz.

zm: a) A + B

b)

60

60

A+B

A

B

A -B

A-B

600 600

B

A

-A B

B-A

600

600 600

B-A A-B

-B

A Bx

By

37 37

15

1.9. 10 birim uzunluunda bir A vektr, 6 birim uzunluunda bir B vektr ile 300 lik a

yapyor. A B vektrnn iddetini ve dorultusunun A ile yapt ay;

a) Bu ilem iin gen metodunu

b) Dik bileenler metodu ile bulunuz

zm :

a) ekilde grld gibi A vektrn x

ekseni dorultusunda alalm. B

vektrn de x ekseni stnde eksenle

300 a yapacak ekilde izelim.

A B = A + ( - B ) dir. B vektr ile

A vektrn paralelkenara tamamlar ve

kegeni lersek bileke kuvveti

buluruz.

b ) Ax = A = 10 birim, Ay = 0

Bx = B.cos300 = 6.0,86 = 5,16 birim

By = B.sin300 = 6.0,5 = 3 birim

R = A B

Rx = Ax Bx = 10- 5,16 = 4,84 birim

Ry = Ay By = - 3 birim

R2 = Rx2 + Ry

2 = ( 4,84)2 + (-3)2

R = 5,7 birim

62,084,4

3

R

Rtan

x

y=

==

= 31,5 drdnc blge

1.10. F1, F2 kuvvetleri bir cisme etkimektedir.

Bunlarn R bilekesinin iddeti F1 e eit ve F2

ile 900 lik a yapmaktadr. F1 = R = 10 nt

alarak ikinci vektrn iddetini ve dorultusunu

bulunuz.

A

B

-B A-B

300 x

y

F1

F2 R

16

zm :

R = F1 = 10 nt , F2 = ?

F22 = F1

2 + R2 2.F.R.cos900

F22 = F1

2 + R2 = 100 + 100 , F2 = 14,14 nt

tan = 10 / 10 = 1 , = 450

F1 ile F2 arasndaki a ; = 180 45 = 1350 olur.

1.11. Boyu 5 birim olan ve douya ynelmi bir A vektr ve boyu 4 birim olan ve

kuzeybatya ynelmi kuzey ile 450 bir a yapan bir B vektr bulunsun.

a) ( A + B ) ve (B A ) vektrlerini hesaplayabilmek iin vektr grafiklerini iziniz.

b) ( A + B ) ve (B A ) vektrlerinin boylarn bu grafikten yaklak olarak hesaplaynz.

zm : a )

b) A = 5 i , j)i(2

24.B +=

A + B = 2,8j2,2.ij22)i2.2(5 +=+

A + B = A + B = [ 2,22 + 2,82 ]1/2 = 3,6 birim

= tan-1 (2,2 / 2,8 ) = 38,20 olur.

B A = j22)i22(55ij)i(22. ++=+

B A = -7,8 i + 2,8 j

B A = B- A = [ (-7,8 )2 +( 2,8 )2 ]1/2 = 8,3 birim

= tan-1 ( 7,8 / 2,8 ) = 70,10 olur

A -A

A+B B - A B

17

1.12. Boylar 10 birim olan a ve b vektrleri ekilde gsterildii gibi bir koordinat sistemine

yerletirilmitir. ki vektrn toplam r ise

a) r vektrnn x ve y bileenlerini bulunuz.

b) r vektrnn boyunu bulunuz.

c) r vektrnn pozitif x ekseni ile yapt ay bulunuz.

zm : a = b = 10 birim

a = 10 ( cos300 .i + sin300 .j)

b = 10 (cos1350 .i + sin1350 .j )

a) r = a + b = 10 ( cos300 .i + sin300 .j)

+10 (cos1350 .i + sin1350 .j )

r = 1,59.i + 12,1.j

b ) 12,2birim(12,1)(1,59)r 22 =+=

c ) = tan-1 ( 12,1 / 1,59 ) = 82,50

1.13. ekilde gsterilen koordinat sistemine gre i.i = j.j = k.k = 1 ve

i.j = j.k = k.j = 0 olduunu gsteriniz.

zm : i , j ve k birbirine dik olan birim

vektrleridir. Vektrlerin kendileri ile olan

skaler arpmlar ;

i. i = i.i. cos00 = i2 = 1

j . j = j.j.cos00 = j2 = 1

k. k = k.k .cos00 = k2 = 1 olduundan ,

i.i = j.j = k.k = 1 olur.

i . j = i. j. cos900 = 0

i . k = i. k.cos900 = 0

j . k = j.k.cos900 = 0 olduundan ,

i.j = j.k = k.j = 0 olur.

a

b

1050

300

x

y

o

i

j

k

x

y

z

18

1.14. ekilde grlen a ve b vektrleri

arasndaki genin alannn 1/ 2 [ a x b ]

olduunu gsteriniz.

zm : Alan = a.b2

1

a x b = a .b . sin , h = b. sin buna gre ;

a x b = a . h a.h = paralelkenarn alan ,

genin alan ise Alan = a.b2

1 dir.

a

b b.sin

a

b b.sin