Vektorski prostor

Pojam vektorskog prostora cemo motivirati primjerom prostora radijvektora u ravnini.

E2 skup svih tocaka u ravnini

O ishodiste ravnine

Svakoj tocki A ∈ E2 mozemo pridruziti radijvektor ~OA s pocetkom u tocki O i

zavrsetkom u tocki A.

V 2(O) ={~OA | A ∈ E2

}skup svih radijvektora u ravnini E2 (1)

Nulvektor ~OO ima pocetak i zavrsetak u tocki O ∈ E2.

Nulvektor oznacavamo sa ~0.

Radijvektore mozemo opisati sljedecim svojstvima.

Definicija

Smjer radijvektora ~OA 6= ~0 je pravac OA.

Definicija

Kazemo da su radijvektori ~OA i ~OB kolinearni ako tocke O, A i B leze na istom

pravcu.

Nulvector je po definiciji kolinearan sa svakim radijvektorom ~OA.

Definicija

Neka su ~OA i ~OB nekolinearni vektori razliciti od ~0. Ako se A i B nalaze na razlicitim

stranama od tocke O na pravcu OAB, onda kazemo da su ~OA i ~OB suprotno

orijentirani. U protivnom kazemo da ~OA i ~OB imaju istu orijentaciju.

Modul radijvektora ~OA je duljina duzine OA.

~0 je jedini radijvektor ciji modul iznosi 0.

Definicija

Neka je ~a 6= ~0. Suprotni radijvektor, u oznaci −~a, je radijvektor koji ima isti modul i

smjer kao ~a, a suprotnu orijentaciju u odnosu na ~a.

ZBRAJANJE RADIJVEKTORA

Nekolinearne vektore zbrajamo prema zakonu paralelograma.

Ako su vektori kolinearni, onda ih zbrajamo prema sljedecim pravilima.

Neka su ~a = ~OA i ~b = ~OB kolinearni vektor razliciti od ~0.

(1) ~a i ~b su jednako orijetirani.

~a + ~b = ~c, |~c| = |~a|+ |~b| (2)

~c je kolinearan s ~a i ~b i jednako orijentiran kao ~a i ~b.

(2) ~a i ~b imaju suprotnu orijentaciju i |~a| > |~b|.

~a + ~b = ~c, |~c| = |~a| − |~b| (3)

~c je kolinearan s ~a i ~b, a orijentiran jednako kao ~a.

(3) ~a i ~b imaju suprotnu orijentaciju i |~a| < |~b|.

~a + ~b = ~c, |~c| = |~b| − |~a| (4)

~c je kolinearan s ~a i ~b, a orijentiran jednako kao ~b.

Za nulvektor definiramo

~a +~0 = ~0 + ~a = ~a ∀~a ∈ V 2(O). (5)

Za suprotni vektor vrijedi

~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0 ∀~a 6= ~0. (6)

Propozicija

Binarna operacija +: V 2(O)× V 2(O)→ V 2(O) ima sljedeca svojstva:

1 ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c za sve ~a, ~b, ~b ∈ V 2(O),

2 ~a +~0 = ~0 + ~a = ~a za svaki ~a ∈ V 2(O),

3 za svaki ~a 6= ~0 vrijedi ~a + (−~a) = −~a + ~a = ~0,

4 ~a + ~b = ~b + ~a za svaki ~a, ~b ∈ V 2(O).

Napomena: krace pisemo ~a + (−~b) = ~a− ~b.

(V 2(O),+) Abelova grupa (7)

MNOZENJE RADIJVEKTORA SKALARIMA

Radijvektor ~a mozemo mnoziti skalarom α ∈ R i dobiti novi radijvektor α~a.

Radijvektor α~a, ~a 6= ~0 ima sljedeca svojstva:

1 |α~a| = |α| |~a|,

2 α~a ima isti smjer kao ~a,

3 α~a ima istu orijentaciju kao ~a ako je α > 0,

4 α~a ima sprotnu orijentaciju obzirom na ~a ako je α < 0.

Za α = 0 vrijedi 0~a = ~0 za svaki ~a ∈ V 2(O).

Za nulvektor definiramo α~0 = ~0 za svaki α ∈ R.

Vanjsko ili hibridno mnozenje

· : R× V 2(O)→ V 2(O) (8)

Propozicija

Vanjsko mnozenje ima sljedeca svojstva:

1 (αβ)~a = α(β~a) ∀α, β ∈ R i ~a ∈ V 2(O),

2 (α+ β)~a = α~a + β~a ∀α, β ∈ R i ~a ∈ V 2(O),

3 α(~a + ~b) = α~a + α~b ∀α ∈ R i sve ~a, ~b ∈ V 2(O),

4 1~a = ~a ∀~a ∈ V 2(O).

Iz definicije zbrajanje i mnozenja slijedi

(−1)~a = −~a, (α− β)~a = α~a− β~a, α(~a− ~b) = α~a− α~b. (9)

(V 2(O),+, ·) vektorski prostor nad poljem R (10)

Definicija [Abelova grupa]

Neprazni skup G s binarnom operacijom +: G × G → G nazivamo Abelova grupa ako

vrijedi

1 a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ G ,

2 postoji element 0 ∈ G t.d. a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ G ,

3 ∀a ∈ G postoji suprotni element −a ∈ G t.d. a + (−a) = −a + a = 0,

4 a + b = b + a ∀a, b ∈ G .

0 neutralni element,

−a suprotni element elementa a

Definicija [Polje]

Neprazan skup F s binarnim operacijama +: F × F → F i · : F × F → F nazivamo

polje ako vrijedi:

1 (F ,+) je Abelova grupa

2 (ab)c = a(bc) ∀a, b, c ∈ F ,

3 (a + b)c = ac + bc ∀a, b, c ∈ F ,

4 postoji element 1 ∈ F t.d. 1a = a1 = a ∀a ∈ F ,

5 ∀a 6= 0 postoji inverz a−1 ∈ F t.d. aa−1 = a−1a = 1,

6 ab = ba ∀a, b ∈ F .

1 ∈ F jedinica u prstenu F

a−1 multiplikativni inverz elementa a

Definicija [Vektorski prostor]

Neka je (V ,+) Abelova grupa i neka je F polje. Kazemo da je V vektorski prostor

nad F ako je definirano vanjsko mnozenje · : F × V → V koje ima sljedeca svojstva:

1 (αβ)v = α(βv) ∀α, β ∈ F i v ∈ V ,

2 1v = v ∀a ∈ V ,

3 (α+ β)v = αv + βv ∀α, βF i v ∈ V ,

4 α(u + v) = αu + αv ∀α ∈ F i u, v ∈ V .

F = R ⇒ V je realni vektorski prostor

F = C ⇒ V je kompleksni vektorski prostor

Oznaka za nulvektor 0 ∈ V .

Primijetimo 0 6= 0 ∈ F

(V ,F , ·) vektorski prostor nad F

Propozicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Tada vrijedi:

1 0v = 0 ∀v ∈ V ,

2 α0 = 0 ∀α ∈ F ,

3 (−α)v = −(αv) ∀α ∈ F i v ∈ V .

Linearna zavisnost i nezavisnost

Definicija [Linearna kombinacija]

Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Linearna kombinacija vektora

v1, v2, . . . , vn ∈ V je vektor

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn (11)

za neke α1, α2, . . . , αn ∈ F .

Definicija [Linearna nezavisnost]

Kazemo da je skup vektora S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V linearno nezavisan ako

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0. (12)

U protivnom kazemo da je S linearno zavisan.

S je linearno nezavisan ⇒ 0 se moze napisati kao linearna kombinacija

vektora iz S samo na trivijalni nacin t.d. α1 = α2 = . . . αn = 0.

S je linearno zavisan ⇒ 0 se moze napisati na vise nacina kao linearna

kombinacija vektora iz S.

Primijetimo:

v 6= 0 ⇒ {v} je linearno nezavisan, (13)

v = 0 ⇒ {0} je linearno zavisan. (14)

Odavde slijedi da je svaki skup vektora {0, v1, v2, . . . , vn} je linearno zavisan.

Bitno svojstvo linnearne nezavisnosti skupa S = {v1, v2, . . . , vn}:nijedan vektor vk ∈ S se ne moze napisati kao linarna kombinacij prostalih vektora iz

S .

Propozicija

Skup vektora S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V , n ≥ 2, je linearno zavisan ako i samo ako se

barem jedan od vektora iz S moze napisati kao linearna kombinacija preostalih vektora.

BAZA I DIMENZIJA VEKTORSKOG PROSTORA

Definicija

Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Kazemo da je S ⊂ V skup izvodnica za V

ako za svaki v ∈ V postoje vektori v1, v2, . . . , vn ∈ V t.d.

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn (15)

za neke α1, α2, . . . , αn ∈ F .

S je skup generatora za prostor V .

S razapinje prostor V i pisemo [S] = V .

Definicija [Baza prostora]

Baza prostora V je niz vektora (v1, v2, . . . , vn) takav da

1 B razapinje prostor V ,

2 B je linearno nezavisan skup.

Baza prostora V = {0} je prazan skup.

Ako promjenimo redoslijed vektora u B, onda dobivamo drugu bazu.

Definicija

Prostor V je konacnodimenzionalan ako ima bazu s konacno mnogo vektora. U

protivnom kazemo da je V beskonacnodimenzionalan.

Teorem (bez dokaza)

Ako je V konacnodimenzionalni prostor, onda svaka baza od V ima jednaki broj

vektora.

Definicija [Dimenzija prostora]

Dimenzija konacnodimenzionalnog prostora V , dimF (V ), je broj elemenata u bilo

kojoj bazi od V . Dimenzija prostora {0} je nula.

Teorem

Neka je V k.d.v.p. Niz B = (v1, v2, . . . , vn) ⊂ V je baza od V ako i samo ako se svaki

vektor v ∈ V moze napisati kao jedinstvena linearna kombinacija vektora iz B.

Definicija

Reprezentacija vektora v ∈ V obzirom na bazu B = (v1, v2, . . . , vn) je uredena n–torka

[v ]B = (α1, α2, . . . , αn) gdje je v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn. (16)

PRISJETIMO SE

Baza prostora V je linearno nezavisni niz vektora koji razapinje V .

Svaki v ∈ V se moze na jedinstven nacin napisati kao linearna kombinacija

vektora iz baze.

Svaka baza prostora V ima jednaki broj elemenata.

Dimenzija prostora V je broj elemenata bilo koje baze od V .

Potprostori

Definicija [Potprostor]

Podskup U ⊂ V prostora V je potporostor ako je U vektorski prostor obzirom na iste

operacije zbrajanje i mnozenja definirane na V .

Propozicija

Neprazan podskup S ⊂ V je potprostor od V ako i samo ako vrijedi

1 a, b ∈ S ⇒ a + b ∈ S ,

2 λ ∈ F ⇒ λa ∈ S .

Teorem (bez dokaza)

Neka je V k.d.v.p nad poljem F i neka je U ⊂ V potprostor od V . Tada je

dimF (U) ≤ dimF (V ). (17)

PRESJEK I SUMA POTPROSTORA

Neka su L i M potprostori prostora V . Kako od L i M mozemo konstruirati nove

potprostore od V ?

Osnovne operacije sa skupovima: L ∩M i L ∪M.

Propozicija

Neka su L i M potprostori od V . Tada je L ∩M potprostor od V .

Definicija [Suma potprostora]

Neka su M1,M2, . . . ,Mn potprostori prostora V . Suma potprostora je skup

M + 1 + M2 + · · ·+ Mn ={v1 + v2 + · · ·+ vn | vi ∈ Mi

}. (18)

Propozicija

Suma potprostora M1 + M2 + · · ·+ Mn je potprostor od V.

Definicija [Direktna suma]

Neka je V vektorski prostor. Kazemo da je V direktna suma potprostora L,M ⊂ V

ako je

V = L + M i L ∩M = {0}. (19)

Pisemo V = L⊕M.

L, M direktni sumandi prostora V

M direktni komplement prostora L

Propozicija

Neka su L i M potprostori prostora V . Onda je V = L⊕M ako i samo ako se svaki

v ∈ V moze na jedinstveni nacin napisati kao

v = a + b, a ∈ L, b ∈ M. (20)

Propozicija

Ako je V = L⊕M direktna suma, onda je

dimV = dimL + dimM. (21)

Generalizacija na slucaj V = L + M gdje je L ∩M 6= {0}:

dimV = dimL + dimM − dim(L ∩M). (22)

Definicija

Prostor V je direktna suma potprostora W1,W2, . . . ,Wn ako je

1 V = W1 + W2 + · · ·+ Wn,

2

(W1 + · · ·+ Wi−1 + Wi+1 + · · ·+ Wn) ∩Wi = {0} ∀i = 1, 2, . . . , n. (23)

Primjedbe:

Uvjet (W1 + · · ·+ Wi−1 + Wi+1 + · · ·+ Wn) ∩Wi = {0} znaci da se vektori iz

Wi ne mogu napisati kao linearne kombinacije vektora iz preostalih potprostora.

Uvjet W1 ∩W2 ∩ . . . ∩Wn = {0} nije dovoljan za direktnu sumu.

Propozicija (bez dokaza)

Ako je V = W1 + W2 + · · ·+ Wn direktna suma potprostora, onda je

dimV = dimW1 + dimW2 + · · ·+ dimWn. (24)