Velike uktuacije na nancijskim tr zi stimamatematika.hr/files/5013/9192/7850/kostanjcar.pdf · 1 Ekonomski rast = Akumulacija kapitala + Inovacije 2 Investiranje u dionice 1 donose

MotivacijaProblem

ModelValidacijaZakljucak

Velike fluktuacije na financijskim trzistima

Zvonko Kostanjcar, Sveuciliste u Zagrebu, FER

svibanj 2011.

Zvonko Kostanjcar, Sveuciliste u Zagrebu, FER HRVATSKO MATEMATICKO DRUSTVO, svibanj, 2011.

MotivacijaProblem


Investicije i investitoriVelike fluktuacijeGeometrijsko Brownovo gibanje

Zarada na dionicama = zarada bez truda? Koji je smisaosvega toga?

1 Ekonomski rast = Akumulacija kapitala + Inovacije2 Investiranje u dionice

1 donose dividendu2 zarada na razlici u cijeni

3 Dinamika cijene - dominiraju veliki skokovi4 Koji su izvori tih fluktuacija

1 fundamentalni faktori: izvjestaji, makroekonomski faktori,ostale vijesti

2 postoji li jos nesto?


MotivacijaProblem



0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.150

5

10

15

20

25

30

35

40

Prinos

PD

F

1980 1985 1990 1995 2000 2005 20100.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

4

Nik

kei

Vrijeme1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Dne

vni p

rinos

i

Vrijeme

rt =pt−pt−∆t

pt−∆t≈ ln pt

pt−∆t

1x4

e−x2


MotivacijaProblem



Primjer (Black-Scholes-Mertonov model, Nobelova nagrada 1997.)

a Model cijene dionice:

dS(t) = αS(t)dt + σS(t)dW (t)

b BSM parcijalna diferencijalna jednadzba:

∂c(t,x)∂t + rx ∂c(t,x)

∂x + 12σ

2x2 ∂2c(t,x)∂x2 = rc(t, x), ∀t ∈ [0,T ) ,

c(T , x) = (x − K )+.


MotivacijaProblem


Burza = Rulet ?

1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Vrijeme

Log

zara

da −

Log

cije

na

(a) Logaritam S&P 500 indeksa ilogaritam odgovarajucih zarada

1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 20200

5

10

15

20

25

30

35

40

45

X: 1929Y: 32.56

X: 2000Y: 44.2

X: 2009Y: 13.32

X: 1966Y: 24.06

VrijemeC

ijena

/ Z

arad

a

(b) P/E za S&P 500


MotivacijaProblem


Burza = Rulet ?

Kako funkcioniraju trzista kapitala?1 Koja je uloga primarnih trzista?

1 kompanije preko njih dolaze do kapitala2 Koja je uloga sekundarnih trzista?

1 likvidnost2 diverzifikacija rizika3 kontroler

3 Sto kada bi svi investitori znali ”pravu” vrijednost kompanije,imali sve informacije?

1 ponasali bi se jednako2 nema zarade od trgovine dionicama

4 Sto kada u tom ”idealnom” slucaju, neki investitor povlacikrivi potez?

1 stvara priliku za zaradu od trgovanja ostalim, ”idealnim”investitorima

2 ostali svojim djelovanjem kompenziraju djelovanje ”loseg”investitora


MotivacijaProblem


Burza = Rulet ?

Idealno ponasanje — samo u ocekivanju1 U stvarnom svijetu investitori

1 imaju razlicite strategije ulaganja2 ne ponasaju se uvijek racionalno3 ne posjeduju sve informacije

2 Unatoc tome, u prosjeku dobro procjenjuju ”realnu” vrijednostkompanija

3 Umjesto razlicitih deterministickih investitora imamo jednakestohasticke investitore

4 Ponasanje investitora u ocekivanju1 dobro procjenjuju ”realnu” vrijednost kompanije2 koriste prilike za zaradu na trzistu


MotivacijaProblem


Burza = Rulet ?

Optimalna strategija Prilika za dobitKriva strategija

Ulaz: Stopa rasta kompanije

Trader Trader

Trader Trader

Trader Trader Trader

Izlaz: Promjena cijene dionice

Trader

Burza

Zbog osobnih preferencijaZbog interakcija

Interakcije

Zbog krivih ili nepotpunih informacija


MotivacijaProblem


Definicija igreZadatakEnergija financijskog trzistaRavnotezna vjerojatnosna mjera igreDefinicija modela

a Trziste se sastoji od:1 jedne kompanije s M izdanih dionica2 jedne banke3 N investitora (agenata)

b Svi agenti znaju cijenu dionice u trenutku t = 0 i neka onaiznosi p0

c Svaki agent u trenutku t = 4t moze kupiti ili prodati0, . . . ,M dionica,ωi ∈ −M, . . . , 0, . . . ,M , i ∈ 1, . . . ,N

d Razlika ponude i potraznje odreduje prinos, r = 1λ

∑Ni=1 ωi

N ,prema tome p4t = p0er ≈ p0(1 + r)

Cijena p4t je slucajna varijabla i ovisi o potezima svih agenata.


MotivacijaProblem



a Skup elementarnih dogadaja je Ω = −M, . . . ,MN

b Strategija investitora i je slucajna varijabla δi s vrijednostimau skupu −M, . . . ,M

c Prinos je slucajna varijabla rN : Ω→ R, rN = 1λ

∑Ni=1 ωi

N

d Pretpostavka1: Na temelju svih raspolozivih informacijainvestitori procjenjuju ocekivanu stopu rasta kompanije uintervalnoj formi (a− ε, a + ε)

e Pretpostavka2 (STRAH): Investitori minimiziraju rizik,E (δi ) = λ(a− ε)

f Pretpostavka3 (POHLEPA): Investitori minimizirajumogucu propustenu dobit, E (δi ) = λ(a + ε)

ZADATAK: Odrediti (Ω, σ(Ω), µ) i (R,BR, µr )


MotivacijaProblem



Model (Funkcija gubitka)

Funkcija gubitka i-tog agenta je:

a L1(ωi ) = c1 (ωi − λ(a− ε))2 + c2, i ∈ 1, . . . ,N,

b L2(ω1, . . . , ωN) = c3

(1N

∑Nj=1 ωj − λ(a + ε)

)2+ c4.

Model (Energija financijskog trzista)

Energija financijskog trzista je slucajna varijabla UN : Ω→ R,

UN(ω1, . . . , ωN) =N∑i=1

ln L1(ωi ) + ln L2(ω1, . . . , ωN).


MotivacijaProblem



Teorem (Varijacijski princip [Ruelle])

Za energiju U, translacijski invarijantna vjerojatnosna mjera µ kojazadovoljava P(U) = max

µ[h(µ) + Eµ(U)] je ravnotezna

vjerojatnosna mjera.

Model (Ravnotezno stanje trzista)

Ravnotezno stanje trzista odredeno je sa

µN(ω1, . . . , ωN) =exp (−UN)

ZN,

gdje je ZN =∑ω1,...,ωN∈ΩN

exp (−UN) odgovarajuca particijskafunkcija.


MotivacijaProblem



Model (Ravnotezna mjera prinosa)

Kada broj agenata i broj dionica kompanije teze prema beskonacnotada ravnotezna mjera prinosa rN konvergira prema,

rN =1

λ

∑Ni=1 ωi

ND−→ C

1

(x − (a + ε))2 + σ2

1

(x − (a− ε))2 + σ2.

−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15

10−3

10−2

10−1

100

101

Prinos

Fun

kcija

gus

toće

vje

roja

tnos

ti


MotivacijaProblem



a Parametri a i σ su priblizno vremenski nepromjenjivi

b Nesigurnost ε = |y − 0| prirodno je modelirati syt−yt−4t

yt−4t= −αy 2

t−4t , gdje je α konstanta koja definira brzinu

povratka u ekvilibrij.

Definicija (Predlozeni model)

Prinos dionica je slucajni proces rt , t ∈ T sa svojstvima:

a r0 = a, y0 = 0,

b yt = yt−4t − αy 3t−4t + 1

α(rt−4t − a),

c f (xt | yt) = C (yt)1

1+ (xt−a)2

y2t + σ2

2

+((xt−a)2−y2

t )2

2σ2y2t +σ4

.


MotivacijaProblem


Funkcija gustoce vjerojatnostiAutokorelacijska funkcija

−0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

Prinos

Fun

kcija

gus

toće

vje

roja

tnos

ti

(a) Funkcije gustoce vjerojatnosti

10−1

100

101

102

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

x (jedinica standardne devijacije)

Fun

kcija

dis

trib

ucije

, P(|

Rt|>

x)

(b) Rep distribucije

Proveden je dodatno Mann–Whitney–Wilcoxon (MWW) test.Vrijednost statistike za dvije vremenske serije U = 1.76, agranica za 95% sigurnost iznosi 1.96.Koristeci regresiju u log-log kordinatama P(|Rit | > x) ∼ x−ζri sζr1 ≈ 3.05± 0.06 i ζr2 ≈ 3.01± 0.03.


MotivacijaProblem


Funkcija gustoce vjerojatnostiAutokorelacijska funkcija

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Uzorci

Aut

okor

elac

ijska

funk

cija

(a) Autokorelacijska funkcijaprinosa

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

UzorciA

utok

orel

acijs

ka fu

nkci

ja

(b) Autokorelacijska funkcijaapsolutnih prinosa


MotivacijaProblem


Mozda je ovako nekako:1 Velike fluktuacije nastaju iz same strukture trzista

1 generira ih sukob straha i pohlepe2 investitore ne pokrece stanje, vec kolicina zarade

2 Vijesti mogu, ali i ne moraju biti pokretaci velikih fluktuacija

3 Kod velikih nesigurnosti na trzistu — male fluktuacije postajumanje vjerojatne


Documents

Velike uktuacije na nancijskim tr zi stimamatematika.hr/files/5013/9192/7850/kostanjcar.pdf · 1 Ekonomski rast = Akumulacija kapitala + Inovacije 2 Investiranje u dionice 1 donose