Vettori

Dott. Daniele GregoriCorso di Fisica LAFacoltà di IngegneriaAerospaziale e MeccanicaUniversità di Forlì

Le grandezze fisiche

Lo scopo della fisica è quello di ricavare le leggi che legano le varie grandezze fisiche.Le grandezze fisiche sono le quantità che si possono misurare.Durante il corso incontreremo due diversi tipi di grandezze fisiche: quelle scalari definite univocamente da un solo numero con unità di misura e quelle vettoriali definite da direzione, verso e modulo con la sua unità di misura.Grandezze scalari sono la massa, l’energia, l’entropia,…Grandezze vettoriali sono la forza, il momento angolare,l’impulso,…

Vettori nel piano

i

j

iPP ejyixV ˆˆ

V

θ

ρ

O

P ≡ (ρ,θ) ≡ (xP,yP)

x

y

yP

xP

Coordinate cartesiane

Coordinate polari

i e j sono i versori ovvero i vettori unitari diretti lungo gli assi x e y

P

P

PP

x

y

yx

arctan

22

sin

cos

P

P

y

x

Rappresenta il modulo del vettoree si indica anche con la lettera delvettore senza la freccia: VUnità immaginaria

Vettori nello spazio

cos

sinsin

cossin

P

P

P

z

y

x

P

P

P

PPP

x

y

z

zyx

arctan

arccos

222

V

VVzyxVVkzjyixV PPPPPP

ˆˆˆˆ 222

Con:0<φ<2π 0<θ<π

Coordinate cartesiane

Coordinate polari

z

O

P≡(ρ,θ,φ)≡(xP,yP,zP)

y

x

zP

yP

xP

φ

θ

ρ

k

i

j

V

modulo versore

Somma di vettori nel piano

Abbiamo 2 vettori V e W di cui sono noti i moduli (o ampiezze) e l’angolo θ che formano. Calcolare il vettore somma (modulo e angolo che forma con uno i due vettori).

V

θ

WO

V

WO

π-θS

φ

Somma di vettori nel piano

cos2222 abbac

sinsinsin

cba

Per rispondere ai due quesiti precedenti si usano il teorema di Carnot e il teorema dei seni:

Teorema di Carnot:

Teorema dei seni:

a b

c

Somma di vettori nel piano

cos2)cos(2 22222 VWWVVWWVS

V

WO

π-θS

φ

Tornando al nostro problema:

sinarcsinsinsinS

WSW

NOTA: non usiamo più la frecciaperchè stiamo considerando i moduli dei vettori

coscos

sinsinNota:

Somma e differenza di vettori con le componenti cartesiane

jyixV

jyixV

ˆˆ

ˆˆ

222

111

jyyixxVVD

jyyixxVVS

ˆ)(ˆ)(

ˆˆ

212121

212121

Consideriamo due vettori nel piano di cui sono note le componenti cartesiane.

V1

V2

-V2

S

D

jiWVD

jiWVS

jiW

jiV

ˆˆ5

ˆ7ˆ

ˆ3ˆ2

ˆ4ˆ3

Esempio:

x

y

Somma e differenza di vettori con le componenti cartesiane

kzjyixV

kzjyixV

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2222

1111

kzzjyyixxVVD

kzzjyyixxVVS

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

ˆ)(ˆ)(ˆ)(

21212121

21212121

Consideriamo due vettori nello spazio di cui sono note le componenti cartesiane

Ricaviamo la somma e la differenza come:

Esercizio: ricavare la somma e la differenza tra

kjiVzjiV ˆ3ˆ2ˆ5ˆ2ˆ7ˆ3 21

Prodotto scalare

cos2121 VVVV

)()()( 21212121 zzyyxxVV

Il prodotto scalare associa a due vettori un numero reale

V1

θ

V2O

Se sono date le componenti cartesiane si calcola come

Notiamo che il prodotto scalare vale zerose i due vettori sono ortogonali ovvero secos θ =0 .

Esercizio: Stabilire quali dei seguenti vettori sono ortogonali fra loro:

kiVkjiVzjiV ˆ9ˆ6ˆ3ˆ2ˆ5ˆ2ˆ7ˆ3 321

Nota: è facile verificare che

0ˆˆ

0ˆˆˆˆ

1ˆˆˆˆˆˆ

kj

kiji

kkjjii

Prodotto vettore

sinˆ2121 WVVVVW

1V 2V

W

x

y

θ

Dati due vettori complanari, si può definire il prodotto vettore (o prodotto esterno)come il vettore

ortogonale al piano e il cui verso è pari al verso di avanzamento di una viteper portare il primo vettore sul secondo descrivendo l’angolo minore possibile (angolo θ).

Versore

Vale la proprietà antisimmetrica:

1221 VVVV

Nota: il prodotto esterno vale zero quando i due vettori sonoallineati (θ=0°, θ=180°)

Vettori paralleli Vettori

antiparalleli

Il prodotto vettore in componenti cartesiane

212121212121

222

11121ˆˆˆ

ˆˆˆ

xyyxkxzzxjyzzyi

zyx

zyx

kji

VVW

kzjyixV

kzjyixV

ˆˆˆ

ˆˆˆ

2222

1111

Date le componenti cartesiane dei vettori:

Il prodotto esterno si calcola come:

kjiVzjiV ˆ3ˆ2ˆ5ˆ2ˆ7ˆ3 21

Esercizio: calcolare il prodotto dei due vettori e verificare che risulta ortogonaleai due vettori e determinarne il versore

Nota: è facile verificare che

ikj

jki

kji

kkjjii

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

0ˆˆˆˆˆˆ

Svolgimento

3,2,5ˆ3ˆ2ˆ5

2,7,3ˆ2ˆ7ˆ3

2

1

kjiV

zjiV

41,19,17ˆ41ˆ19ˆ17

325

273

ˆˆˆ

21

kji

kji

VVW

08213351)2()41(7)19(3171 VW

012338853)41()2()19(5172 VW

Dati i due vettori:

Il prodotto vettore risulta:

Verifichiamo che è ortogonale ai primi due vettori:

Svolgimento

Ricaviamo il versore W

kjiW

WW ˆ41ˆ19ˆ17

2311

1ˆ

Per prima cosa determiniamo il modulo

41,19,17 W

del vettore

2311)41()19(17 222 WW

Quindi il versore risulta essere

Derivata di vettori

ktzjtyitxtW ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

Dato un vettore consideriamo le sue componenti, in un sistema di riferimento dato, dipendenti da un parametro.

Possiamo definire la derivata delle componenti rispetto a quel parametro:

ktzdt

djty

dt

ditx

dt

dtW

dt

d ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

Esempio, sia dato il vettore

3232 ,,ˆˆˆ)( ctbtatkctjbtiattS

Calcolare le derivate prima e seconda

Svolgimento

Possiamo calcolare la derivata rispetto al parametro t:

kctjbtiatVtSdt

d ˆ3ˆ2ˆ)()( 2

E allo stesso modo procedere per calcolare la derivata seconda:

kctjbtatVdt

dtS

dt

d ˆ6ˆ2)()()(2

2

Altro esempio, consideriamo il seguente vettore spostamento (deve avere ledimensioni di una lunghezza):

kctjbtiatS ˆ5ˆ2ˆ6)( 32

3

2

/1

/2

5.0

smc

smb

macon :

Svolgimento

1) Quanto vale il modulo della velocità per t=2s ?2) Quanto vale il modulo dell’accelerazione per t=2s ?3) Scrivere i versori4) Che angolo formano velocità e accelerazione ?Per prima cosa ricaviamo le componenti di velocità e accelerazione:

kctjbtatVdt

dtS

dt

d

kctjbttVtSdt

d

ˆ30ˆ4)()()(

ˆ15ˆ4)()(

2

2

2

Ora sostituendo a t il valore 2 s e alle costanti b,c i loro valori otteniamo

2/)ˆ60ˆ8()2(/)ˆ60ˆ16()2( smkjasmkjV

Svolgimento

2222 )/(38566016)2( smV Il modulo quadro della velocità al tempo t=2s vale:

Il modulo quadro dell’accelerazione a t=2s vale:22222 )/(3664608)2( sma

I versori sono:

kja

kjV

ˆ60ˆ83664

1)2(ˆ

ˆ60ˆ163856

1)2(ˆ

Per ricavare l’angolo fra accelerazione e velocità al tempo t=2s possiamo considerare il prodotto scalare e il prodotto vettore fra i due versori che ci forniscono rispettivamente cos θ e sin θ.

radaV 128050.0cos991812.0

36643856

6060816ˆˆ

Abbiamo ambiguità sul segno giustoTuttavia l’angolo è trovato.

Svolgimento

Anche se l’angolo è stato trovato, ricaviamo il seno dal prodotto vettore:

radrad

ii

kji

Va

26964.3,128050.0127701.0sin

ˆ127701,014128384

)6016608(ˆ

60160

6080

ˆˆˆ

36643856

1ˆˆ

121

rad128.0

In questo caso possiamo dare l’angolo che formano i due vettori in modulo, per tanto è:

Verificare se calcolavo avrei ottenuto la prima soluzione col segno cambiato.

aV ˆˆ

Integrali

Come nel caso precedente possiamo definire l’integrale delle componenti diun vettore

ktzjtyitxtw ˆ)(ˆ)(ˆ)()(

kdttzCjdttyCidttxCCdttwtW ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( 321

Costante adittiva che possiamo ricavare dalle condizioni iniziali

Esercizio *

t

dttavtv0

)()0()(

Un punto si muove su una traiettoria rettilinea, con accelerazione costante a=2m/s2, partendo da fermo. Calcolare:1) Qual è la velocità del punto dopo 5s2) Qual è la velocità media nell’intervallo di tempo da 0s a 5s

* L’esercizio è tratto da: C. Mencuccini, V. Silvestrini “Fisica I”

Il punto parte da fermo quindi v(0)=0

NOTA: Il moto è unidimensionale e in questo caso nonè necessario mettere la freccia sopra ai vettori.

Nel nostro caso a(t) è una costante e l’espressione precedente diventa:

smvsmttv /10)5(/2)( Per calcolare la velocità media ricordo che il valore medio di una funzione in un intervallo(a,b) è dato da:

b

a

dxxfab

f )(1

Svolgimento

Il calcolo del valore medio è:

smtdttv

o/5

5

025

5

12

5

1 525

0

5

0

Domanda: se il punto fosse partito con velocità iniziale pari a 1m/s quale sarebbeil valore medio della velocità nell’intervallo tra 2s e 5s ?

Domanda: sapendo inoltre che il punto partiva nella posizione s(0)=0m a cheDistanza dall’origine si trova per t=4s?

t t

msmtdttdttvsts0 0

2 16)4(2)()0()(