Funkcije vec realnih spremenljivkOsnovne definicijeLimita in zveznost funkcije vec spremenljivkParcialni odvodi funkcije vec spremenljivkGradient in odvod funkcije vec spremenljivk v dani smeriParcialni odvodi visjih redovLokalna linearizacija in totalni diferencial fukcijeVerizno praviloJacobijeva matrika in posplositev veriznega pravilaLokalni ekstremi funkcij vec spremenljivkGlobalni ekstremi funkcij vec spremenljivkVezani ekstremi

Definicija

V prostoru n-teric Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn); xi ∈ R, i = 1, . . . , n}definiramo skalarni produkt

< (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) > :=n∑

i=1

xi yi

in razdaljo

d(x, y) = ‖x− y‖ =√< x− y, x− y > =

√√√√ n∑i=1

(xi − yi )2.

Definicija

Naj bo a ∈ Rn in ε > 0. Mnozico

Kε(a) = {x ∈ Rn; d(x, a) < ε}

imenujemo ε-okolica tocke a.

Opomba

Ce je n = 1, je Kε(a) = (a− ε, a + ε).Ce je n = 2, je Kε(a1, a2) odprt krog s srediscem v (a1, a2) inpolmerom ε.Ce je n = 3, je Kε(a1, a2, a3) odprta krogla s srediscem v(a1, a2, a3) in polmerom ε.

Definicija

Tocka a je notranja tocka mnozice A ⊂ Rn, ce obstaja okolicaKε(a), ki je vsa vsebovana v A. Mnozico vseh notranjih tockmenujemo notranjost mnozice A.

Tocka a je zunanja tocka mnozice A ⊂ Rn, ce obstaja okolicaKε(a), ki je vsa vsebovana v Rn\A.

Tocka a je robna tocka mnozice A ⊂ Rn, ce vsaka okolica Kε(a)seka A in Rn\A. Mnozico vseh robnih tock imenujemo robmnozice A.

Mnozica A ⊂ Rn je odprta, ce je vsaka njena tocka notranja tocka.

Mnozica A ⊂ Rn je zaprta, ce vsebuje vse svoje robne tocke.

Mnozica A ⊂ Rn je omejena, ce obstaja tak R > 0, da jeA ⊂ KR(0).

Definicija

Zaporedje tock (Tk)k∈N ∈ Rn konvergira k tocki T0

limk→∞

Tk = T0,

ce je limk→∞ ‖Tk − T0‖ = 0.

TrditevZaporedje tock (Tk(xk , yk))k∈N ∈ R2 konvergira k tocki T0(x0, y0),natanko tedaj ko limk→∞ xk = x0 in limk→∞ yk = y0.

Definicija

Predpis f , ki vsaki tocki x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn priredinatanko doloceno realno stevilo f (x), imenujemo funkcija nspremenljivk.

Ce imamo podan samo predpis f (x) = f (x1, x2, . . . , xn), imenujemomnozico vseh tock v Rn za katere lahko izracunamo vrednostnaravno definicijsko obmocje funkcije f in ga oznacimo z D(f ).

Graf funkcije f : D(f ) ⊂ Rn −→ R je mnozica

G (f ) = {(x1, x2, . . . , xn, f (x1, x2, . . . , xn)); (x1, x2, . . . , xn) ∈ D(f )}

Mnozico tock za katero je vrednost funkcije konstantna, f (x) = C ,imenujemo nivojnica ali nivojska krivulja.

zHx,yL= 4 - x2 - y2

-2-1

01

2 -2-1

01

20.00.51.01.52.0

zHx,yL=x2+y2

-2 0 2-2

02

024

6

8

zHx,yL=1

x2 + y2

-2 0 2-2

02

0246

8

zHx,yL=x2-y2

-1.0-0.5

0.00.5

1.0

-1.0-0.5

0.00.5

1.0

-1.0-0.50.00.5

1.0

Limita in zveznost funkcije vec spremenljivk

Definicija

Stevilo λ je limita funkcije f : D ⊂ Rn −→ R v tockia = (a1, . . . , an), ce za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da velja:

ce je 0 < ‖x− a‖ < δ, potem je |f (x)− λ| < ε.

Oznaka:λ = lim

x→af (x)

Definicija

Funkcija f : D ⊂ Rn −→ R je v tocki a = (a1, . . . , an) ∈ Dzvezna, ce obstaja limita limx→a f (x) in ce je limx→a = f (a).

Funkcija f je zvezna na obmocju 4 ⊂ D, ce je zvezna v vsakinjegovi tocki.

Opomba

Prav tako kot za funkcije ene spremenjivke tudi za funkcije vecspremenljivk velja, da je vsota, razlika, produkt, kvocient inkompozitum zveznih funkcij tudi zvezna funkcija.

Opomba

V nadaljevanju se bomo zaradi lazjega oznacevanja v vecinidefinicij omejili na funkcije dveh spremenljivk, ki ju bomooznacevali z x in y . Vse definicije in izreke se da enostavnoposplositi za funkcije vec spremenljivk.

Parcialni odvodi funkcije vec spremenljivk

Definicija

Naj bo f definirana na neki okolici tocke (a, b) ∈ R2.

Funkcija f je v tocki (a, b) parcialno odvedljiva po spremenljivkix, ce obstaja limita

limh→0

f (a + h, b)− f (a, b)

h.

Limito imenujemo parcialni odvod funkcije f v tocki (a, b) po xin jo oznacimo z ∂f

∂x (a, b) ali fx(a, b). Torej

∂f

∂x(a, b) ≡ fx(a, b) := lim

h→0

f (a + h, b)− f (a, b)

h.

Definicija

Naj bo f definirana na neki okolici tocke (a, b) ∈ R2.

Funkcija f je v tocki (a, b) parcialno odvedljiva po spremenljivkiy, ce obstaja limita

limk→0

f (a, b + k)− f (a, b)

k.

Limito imenujemo parcialni odvod funkcije f v tocki (a, b) po yin jo oznacimo z ∂f

∂y (a, b) ali fy (a, b). Torej

∂f

∂y(a, b) ≡ fy (a, b) := lim

k→0

f (a, b + k)− f (a, b)

k.

Opomba

Funkcijo parcialno odvajamo po eni od spremenljivk tako, daobravnavamo druge spremenljivke kot bi bile konstante.

Gradient in odvod funkcije vec spremenljivk v dani smeri

Definicija

Ce je f : D ⊂ Rn → R parcialno odvedljiva po vseh spremenljivkah,imenujemo vektor

(grad f )(x) ≡ ∇f := (∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), . . . ,

∂f

∂xn(x))

gradient funkcije f v tocki x = (x1, . . . , xn) ∈ D.

Definicija

Naj bo f : D ⊂ Rn → R, x = (x1, . . . , xn) ∈ D, s = (s1, . . . , sn) in‖s‖ = 1.Ce obstaja limita

(∇sf )(x) := limt→0

f (x + ts)− f (x)

t,

jo imenujemo odvod funkcije f v smeri s.

TrditevNaj bo f : D ⊂ Rn → R zvezno parcialno odvedljiva po vsehspremenljivkah. Potem velja

(∇sf )(x) =< (grad f )(x), s > .

Posledica(∇sf )(x) je najvecji takrat, ko je

s =(grad f )(x)

‖(grad f )(x)‖.

Torej je grad f vektor, ki kaze v smeri najhitrejsega narascanjafunkcije f .

Parcialni odvodi visjih redov

Definicija

Na odprti mnozici D ⊂ R2 definira preslikava (x , y) 7−→ ∂f∂x (x , y)

funkcijo dveh spremenjivk, ki jo imenujemo parcialni odvodfunkcije f po spremenljivki x.Prav tako definira preslikava (x , y) 7−→ ∂f

∂y (x , y) funkcijo dvehspremenjivk, ki jo imenujemo parcialni odvod funkcije f pospremenljivki y.Ce obstajajo, lahko torej definiramo parcialne odvode drugegareda:

∂2f

∂x2:=

∂

∂x

(∂f

∂x

)∂2f

∂y∂x:=

∂

∂y

(∂f

∂x

)∂2f

∂y2:=

∂

∂y

(∂f

∂y

)∂2f

∂x∂y:=

∂

∂x

(∂f

∂y

)

TrditevCe za funkcijo f : D ⊂ R2 → R, kjer je D odprta mnozica,obstajata mesana odvoda ∂2f

∂y∂x , ∂2f∂x∂y in sta zvezni funkciji,

potem sta enaka

∂2f

∂y∂x(x , y) =

∂2f

∂x∂y(x , y).

Opomba

Obstajajo primeri, ko oba mesana odvoda obstajata, a nista enaka.

Opomba

Analogno definiramo tudi odvode visjih redov.

Lokalna linearizacija in totalni diferencial fukcije

IzrekNaj za funkcijo f : D ⊂ R2 → R, kjer je D odprta mnozica,obstajata parcialna odvoda ∂f

∂x in ∂f∂y , ki sta zvezna v tocki (x , y).

Potem obstajata taki funkciji ε1(h, k) in ε2(h, k), ki sta zvezni vtocki (0, 0), da je ε1(0, 0) = ε2(0, 0) = 0, in velja enakost

f (x+h, y+k) = f (x , y)+∂f

∂x(x , y) h+

∂f

∂y(x , y) k+ε1(h, k) h+ε2(h, k) k

za vsako tocko (h, k), ki je dovolj blizu tocke (0, 0).

Zgornjo enakost imenujemo lokalna linearizacija funkcije fokrog tocke (x , y).

Izraz

df =∂f

∂x(x , y) h +

∂f

∂y(x , y) k

imenujemo totalni diferencial funkcije f v tocki (x , y) priprirastku (h, k).

Izrek(Posplositev izreka o lokalni linearizaciji za funkcije vecspremenljivk)Naj za funkcijo f : D ⊂ Rn → R, kjer je D odprta mnozica,obstajajo parcialni odvodi ∂f

∂xi, ki so zvezni v tocki x = (x1, . . . , xn).

Potem obstajajo take funkcije εi (h), h = (h1, . . . , hn), ki so zveznev tocki (0, . . . , 0), da je εi (0) = 0, in velja enakost

f (x + h) = f (x) +n∑

i=1

∂f

∂xi(x) hi +

n∑i=1

εi (h) hi

za vsako tocko h, ki je dovolj blizu tocke 0 = (0, . . . , 0).

Zgornjo enakost imenujemo lokalna linearizacija funkcije fokrog tocke x.

Verizno pravilo

Izrek(Verizno pravilo za funkcijo dveh spremenljivk)Naj za funkcijo f : D ⊂ R2 → R, kjer je D odprta mnozica,obstajata oba parcialna odvoda ∂f

∂x in ∂f∂y in naj bosta zvezni

funkciji. Naj bosta funkciji x = u(t) in y = v(t) odvedljivi naintervalu (α, β) ter (u(t), v(t)) ∈ D za vsak t ∈ (α, β) .

Potem je funkcija g(t) = f (u(t), v(t)) odvedljiva na (α, β) in velja

g ′(t) ≡ dg

dt(t) =

∂f

∂x(u(t), v(t)) u′(t) +

∂f

∂y(u(t), v(t)) v ′(t)

Izrek(Posplositev veriznega pravila za funkcije vec spremenljivk)Naj za funkcijo f : D ⊂ Rn → R, kjer je D odprta mnozica,obstajajo vsi parcialni odvodi ∂f

∂xiin naj bodo zvezne funkcije. Naj

bodo funkcije x1 = u1(t), . . . , xn = un(t) odvedljive na intervalu(α, β) in naj bo (u1(t), u2(t), . . . , un(t)) ∈ D za vsak t ∈ (α, β).

Potem je funkcija g(t) = f (u1(t), . . . , un(t)) odvedljiva na (α, β)in velja

g ′(t) ≡ dg

dt(t) =

n∑i=1

∂f

∂xi(u1(t), . . . , un(t)) u′i (t)

Jacobijeva matrika in posplositev veriznega pravila

Definicija

Naj bo D odprta podmnozica Rn in fj : D ⊂ Rn → R,j = 1, . . . ,m, funkcije n realnih spremenljivk. Potem imenujemofunkcijo

f = (f1, . . . , fm) : D ⊂ Rn → Rm

vektorska funkcija.

Vektorsko funkcijo f = (f1, . . . , fj) lahko lineariziramo okrog tockex, ce lahko okrog tocke x lineariziramo vsako funkcijo fj ,j = 1, . . . ,m. To pomeni, da funkcije fj zadoscajo pogojem izizreka o lokalni linearizaciji.

Definicija

Matriko dimenzije m × n

(Jac f)(x) =

∂f1∂x1

(x) ∂f1∂x2

(x) · · · ∂f1∂xn

(x)

∂f2∂x1

(x) ∂f2∂x2

(x) . . . ∂f2∂xn

(x)

......

. . ....

∂fm∂x1

(x) ∂fm∂x2

(x) · · · ∂fm∂xn

(x)

imenujemo Jacobijeva matrika funkcije f=(f1, . . . , fm) v tocki x.

Trditev(Posplositev veriznega pravila za vektorske funkcije)Naj bo f : A ⊂ Rn → Rm, g : B ⊂ Rm → Rk in f(A) ⊂ B. Celahko funkcijo f lokalno lineariziramo okrog tocke a in funkcijo gokrog tocke b = f (a), potem lahko funkcijo g ◦ f lokalnolineariziramo okrog tocke a in

(Jac (g ◦ f))(a) = (Jac g)(f(a)) (Jac f)(a).

Opomba

Naj bo f = (u, v) : D ⊂ R2 → R2, u = u(x , y) in v = v(x , y).Potem je Jacobijeva matrika funcije f enaka

(Jac f)(x , y) =

∂u∂x (x , y) ∂u

∂y (x , y)

∂v∂x (x , y) ∂v

∂y (x , y)

Lokalni ekstremi funkcij vec spremenljivk

Definicija

Naj bo D odprta podmnozica Rn in f : D ⊂ Rn → R. Funkcija fima v tocki a ∈ D lokalni maksimum ( lokalni minimum), ceobstaja taka okolica Kε(a) tocke a, da za vsak x ∈ Kε(a) velja

f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)) .

Definicija

Tocko a ∈ D za katero velja

(grad f )(a) = 0

imenujemo kriticna ali stacionarna tocka funkcije f .

TrditevNaj bo D odprta podmnozica Rn in f : D ⊂ Rn → R. Ce imafunkcija f ima v tocli a ∈ D lokalni ekstrem in ce je f parcialnoodvedljiva po vseh svojih spremenljivkah, je a kriticna tockafunkcije f .

Opomba

Ce je (grad f )(a) = 0, v tocki a ni nujno lokalni ekstrem:

f (x , y) = y2 − x2 ima v a = (0, 0) sedlo.

Globalni ekstremi funkcij vec spremenljivk

Definicija

Naj bo ∆ zaprta omejena podmnozica Rn in f : ∆ ⊂ Rn → R.Funkcija f ima v tocli a ∈ D globalni maksimum ( globalniminimum), ce velja

f (x) ≤ f (a) (f (x) ≥ f (a)) za vsak x ∈ ∆.

TrditevNaj bo ∆ zaprta omejena podmnozica Rn in f : ∆ ⊂ Rn → Rzvezna na ∆. Potem funkcija f na ∆ doseze svoj globalnimaksimum in svoj globalni minimum.Ce je f tudi parcialno odvedljiva v notranjosti ∆, potem ekstremnevrednosti doseze bodisi v notranjih stacionarne tocke bodisi vrobnih tockah obmocja.

Vezani ekstremi

Trditev(Metoda Lagrangeovih mnoziteljev)Naj bo D odprta podmnozica Rn in funkcije f , g1, . . . gm : D → Rnaj bodo na D zvezno parcialno odvedljive po vseh spremenljivkah.Naj bo a ∈ D taka tocka, da so vektorji (grad gk)(a), k = 1, . . .m,linearno neodvisni. Ce obstaja taka okolica Kε(a), ε > 0, da je

f (a) = max{f (x); x ∈ Kε(a), g1(x) = . . . = gm(x) = 0}

ali

f (a) = min{f (x); x ∈ Kε(a), g1(x) = . . . = gm(x) = 0},

potem obstajajo taki skalarji (Lagrangeovi mnozitelji) λ1, . . . λm,da je

grad(f +m∑

k=1

λkgk)(a) = 0.