Vi Módulo4 u2

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D.R. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Eugenio Garza Sada 2501 Sur, Col. Tecnolgico, Monterrey, N.L. Mxico. 2011

Fsica I

Fsica I Mdulo IV. Energa mecnica

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Fsica I

Unidad 2 Energa mecnica y su conservacin Introduccin Al igual que en la unidad anterior te invitamos a que reflexiones en las siguientes cuestiones.

1. Con todo lo que has aprendido en este curso, podras decirnos, de dnde surge la fuerza?

2. En qu variable fsica se transforma el trabajo aplicado sobre un objeto? En la unidad anterior aprendimos que una fuerza que acta a lo largo de cierta distancia produce trabajo, pero falta una pieza final de ese rompecabezas.

La respuesta est en la energa mecnica que es una entidad fsica que tiene mucha relacin con el trabajo como lo podremos constatar en esta unidad.

Competencias La competencia que desarrollars en esta unidad es la siguiente:

Reconocer el comportamiento de las energas potencial y cintica mediante el anlisis de las variables que determinan su valor.

Calcular los valores numricos de las energas potencial y cintica mediante la aplicacin de sus respectivas ecuaciones.

Interpretar la Ley de la conservacin de la energa en trminos de las transformaciones que experimentan el trabajo y las energas potencia y cintica.

Revisa a continuacin los temas que componen esta unidad:

Tema Ttulo

Tema 1 Energa potencial y cintica

Tema 2 Ley de la conservacin de la energa

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Fsica I

Tema 1 Energa potencial y cintica Energa potencial El concepto de energa potencial abarca tambin la energa potencial gravitacional y la energa elstica (es la energa que vemos en los resortes), sin embargo en esta unidad usaremos el termino de energa potencial al hablar de la energa potencial gravitacional, ya que no se cubrir en este curso el estudio de la energa elstica. La energa potencial es una cantidad escalar que tienen todos los cuerpos debido a la posicin que ocupan en el espacio, es decir, debido a la altura que tienen con respecto a una referencia. Energa potencial en forma de ecuacin:

mghU

U = Energa potencial (Joules ) m = Masa (kg) g = Gravedad de 9.8m/s2, (en todos los casos al calcular la energa potencial la gravedad ser

positiva). h = Altura (m) Durante la unidad pasada, utilizamos diferentes unidades, los Joules para el trabajo, los watts para la potencia, en esta unidad tambin utilizaremos unidades. En cuanto a las unidades de la energa potencial, el producto masa por gravedad nos da como resultado unidades en Newton que al multiplicarse por la altura en metros nos da Newton metro que son los Joules. Un cuerpo ya sea en reposo o en movimiento con velocidad constante o con aceleracin puede tener energa potencial siempre y cuando se encuentre a cierta altura con respecto a una referencia. Por ejemplo una piedra que es arroja verticalmente hacia arriba, por el hecho de ir ganando altura, va ganando energa potencial a pesar de que tiene un movimiento expuesta a la aceleracin de la gravedad. En el mismo caso, se encuentra un bloque de concreto elevado con velocidad constante por medio de una gra, conforme va ganado altura, tambin estar ganando energa potencial. En el caso de una caja que cae desde una azotea, mientras se encuentre a cierta altura por encima del piso tendr energa potencial.

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En resumen, todos los objetos que se encuentren a cierta altura tendrn energa potencial, independientemente de que se encuentren en reposo o en movimiento. Nos resulta extrao pensar que un objeto en reposo a cierta altura pudiera tener energa, pero si dejamos caer dicho objeto, al chocar contra el piso, es capaz de desarrollar un trabajo.

Madera

Clavo

U = mgh

De hecho para poder producir energa potencial es necesario aplicarle un trabajo al objeto para llevarlo hasta cierta altura, ese trabajo se almacena como energa potencial. La energa potencial es directamente proporcional a la masa y a la altura a la cual se encuentra, es decir el valor de la energa potencial ser mayor en forma proporcional mientras ms grande sea la masa y la altura. Por ejemplo si tenemos una masa a cierta altura y por alguna circunstancia la altura se duplica, entonces lo mismo le sucede a la energa potencial que tambin se duplica. Por otra parte si esa misma masa en lugar de subir desciende quedando a la mitad de la altura que tena originalmente, su energa potencial disminuye a la mitad. En cuanto a la masa podemos decir lo mismo, si la masa se duplica la energa potencial se duplica y si acaso la masa disminuye cuatro veces, la energa potencial disminuye tambin cuatro veces. Al combinar ambos factores tenemos que si la masa disminuye a la mitad pero la altura se duplica, entonces la energa potencial no sufre ninguna modificacin.

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Ejemplo 1

Una masa m se encuentra a cierta altura, qu suceder con su energa potencial si por alguna circunstancia la masa disminuye a una cuarta parte de su valor original, mientras que la altura aumenta ocho veces?

Solucin: En este tipo de ejercicios lo que hacemos es definir las condiciones iniciales, despus definir las condiciones finales de la masa y comparar ambos valores.

Condiciones iniciales

Condiciones finales

Comparacin


m = Masa para poder comparar fcilmente la suponemos de 1Kg. g = Gravedad, para poder comparar fcilmente inventamos un valor de 1m/s2

siempre y cuando sea el mismo valor que el usado en las condiciones finales. h = Altura, nuevamente para comparar con facilidad le asignamos un valor de 1m.

Entonces las condiciones iniciales son:

mghU = )1)(/1)(1( 2 msmkgU = JU 1

Condiciones finales

De la misma forma definimos las condiciones finales: m = la masa disminuyo a la cuarta parte, es decir ya no es de 1kg, sino de 1/4kg. g = la gravedad se mantiene en un valor constante de 1m/s2.

h = la altura aument 8 veces, entonces ya no es de 1m, sino de 8m.

Comparacin Tomando los valores anteriores tenemos que:

mghU = )8)(/1)(4

1( 2 msmkgU = JU

4

8 por lo tanto: JU 2

Es decir que al disminuir la masa a la cuarta parte y aumentar la altura 8 veces, la energa potencial se duplica.

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Fsica I

Ejemplo 2

Un objeto que pesa 35 Nt se encuentra en la azotea de un edificio de 27m de altura determina:

a. la energa potencial en el sitio ms alto b. la energa potencial despus de descender 12m c. la energa potencial antes de chocar contra el piso

a mghU , en este caso tenemos la gravedad y tenemos la altura, pero no tenemos la

masa, pero la podemos obtener a travs del peso del objeto:

mgw despejando para la masa: g

wm = kg

sm

Ntm 57.3

/8.9

352 ,

por lo tanto

JmsmkgU 945)27)(/8.9)(57.3( 2

b Al descender 12 metros, entonces la masa ya no se encuentra a 27 metros por encima del piso, sino que tiene 12 metros menos de altura, es decir 27m-12m= 15m, por lo tanto su energa potencial es menos a la que tena originalmente:

JmsmkgU 525)15)(/8.9)(57.3( 2

c Cuando la masa se encuentra en el sitio ms bajo, justo antes de chocar contra el piso, la altura se considera de 0m por lo tanto:

JmsmkgU 0)0)(/8.9)(57.3( 2

Ejemplo 3

Una maceta con masa de 2kg se encuentra en la azotea de un edificio de 54m de altura y se deja caer desde el reposo desde este lugar determina

a. la energa potencial en el sitio ms alto b. La energa potencial despus de 1.8s de iniciada la cada.

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a Este inciso no tiene ms esfuerzo que colocar los valores en la ecuacin: mghU , lo

cual nos dara un valor de energa potencial de:

JmsmkgU 4.058,1)54)(/8.9)(2( 2

b En este inciso primero es necesario saber cuntos metros descendi la maceta, para calcular la altura con respecto al piso en la que se encuentra. Para encontrar los metros descendidos usamos la ecuacin de la cada libre:

2

0 2/1 gttvh

Sabiendo que la velocidad inicial es cero, podemos cancelar ese trmino:

22/1 gth = mssmh 87.15)8.1)(/8.9(2/1 22

El signo negativo denota que descendi 15.87m, entonces si antes estaba a 54m y bajo 15.87m, significa que se encuentra a: 38.13m por encima del piso. Ahora si podemos obtener su energa potencial en ese sitio:

JmsmkgU 34.747)13.38)(/8.9)(2( 2

Ejemplo 4

Una esfera con masa de 500g es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 45 m/s, despus de 2.89s, calcula

a. la altura alcanzada por la esfera en ese tiempo b. la energa potencial en ese lugar

A Para encontrar la altura de la esfera usamos:

2

0 2/1 gttvh

La velocidad inicial es de 45m/s positiva porque va hacia arriba y la gravedad es negativa por ser las ecuaciones de la cinemtica. Sustituyendo valores, tenemos:

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22 )89.2)(/8.9(2/1)89.2)(/45( ssmssmh

)92.40(05.130 mmh

h= 89.07m

Es decir la esfera ha subido 89.07m.

B Despus de tener la altura a la cual se encuentra la esfera obtenemos la energa potencial, pero la masa debe de estar en kilogramos, se divide entre mil, y m=0.500Kg, por lo tanto:

JmsmkgU 44.436)07.89)(/8.9)(500.0( 2

Ejemplo 5

Una pelota de 0.4kg es lanzada hacia arriba con una velocidad de 62 m/seg. Determina

a. la altura mxima alcanzada b. la energa potencial en el sitio ms alto

A Para obtener la altura mxima usamos la ecuacin de la cinemtica:

ghVV 2202

Despejando para la altura:

g

VVh

2

2

0

2 ,

La velocidad en el sitio ms alto es cero, por lo tanto:

msm

smsm

sm

smsmh 12.196

/6.19

)/844,3(/0

)/8.9(2

)/62()/0(2

2222

2

22

B Sabiendo que la altura mxima es de 196.12, entonces:

JmsmkgU 8.768)12.196)(/8.9)(4.0( 2

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Energa cintica Cuando un objeto se mueve con cierta velocidad nos es fcil entender que tiene energa, cuando atrapamos una pelota de bisbol nos queda claro que tiene energa la cual debemos de quitarle para detenerla. Un automvil cuando se encuentra en movimiento y choca contra algo, los destrozos que se producen nos dan una idea de la cantidad de energa que tena antes de chocar. Una bala que viaja con cierta velocidad y se impacta contra un trozo de madera, a veces tiene tanta energa como para perforarlo y otras simplemente se queda incrustada en el bloque. Todos los casos anteriores son ejemplo de un tipo de energa que est determinada por el movimiento de la masa, es un tipo de energa mecnica a la cual se le conoce como energa cintica. Recordemos que el trmino cintica se refiere al movimiento. En forma de ecuacin la energa cintica se calcula de la siguiente manera:

22/1 mVK Donde: K = Energa cintica (Joules) m = masa (kg) V = Velocidad (m/s) Al igual que el trabajo y la energa potencial, la energa cintica es una cantidad escalar, es decir solamente tiene magnitud. La energa cintica es directamente proporcional a la masa y tambin directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del objeto. Es decir manteniendo la velocidad constante, si se duplica la masa se duplica la energa cintica y si la masa disminuye a la mitad, tambin la energa cintica disminuye a la mitad. En cuanto a la velocidad hay que tener en cuenta que est elevada al cuadrado, es decir si se duplica la velocidad, la energa se hace 4 veces mayor, por otra parte, si la masa disminuye a la mitad la energa se hace cuatro veces menor.

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Ejemplo 6

Un objeto de masa m se mueve con una velocidad v, si por alguna circunstancia la masa del objeto disminuye a la mitad al mismo tiempo que su velocidad se duplica, qu sucede con el valor de su energa cintica?

Solucin: Igual que en el ejemplo 1 primero definiremos las condiciones iniciales y finalmente las condiciones finales.


Condiciones finales

Comparacin


Supondremos una masa de 1kg y una velocidad de 1m/s, entonces

22/1 mVK

Sustituyendo

JsmkgK2

1)/1)(1(2/1 2

Condiciones finales

Ahora la masa no es de 1kg, sino de 1/2kg, y la velocidad no es de 1m/s sino de 2m/s.

22/1 mVK

Sustituyendo

Js

mkgK 1)4)(

4

1()2)(

2

1(

2

1 2

La energa cintica aumento al doble.

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Ejemplo 7

Un automvil que pesa 10,000 Nt parte del reposo y se acelera uniformemente a razn de 2m/s2. Despus de 8 segundos determina la energa cintica del vehculo.

1 Para calcular la energa cintica es necesario conocer la velocidad del automvil despus de 8 segundos de iniciado el recorrido, usamos la primera ecuacin del movimiento aclarado:

atVV 0

2 Sustituyendo valores:

smssmsmV /16)8)(/2(/0 2 3 Conocemos el peso del automvil por lo tanto su masa es:

kgsm

Nt

g

wm 4.020,1

/8.9

000,102

4 La energa cintica es:

22/1 mVK 5 Sustituyendo valores:

JsmkgK 2.611,130)/16)(4.020,1(2/1 2

Ejemplo 8

Un camin de 3,000 kg parte del reposo y se acelera uniformemente a lo largo de una pista, a razn de 1.5m/s2. Determina la energa cintica despus de que el auto recorre 95 m.

Nuevamente para encontrar la energa cintica es necesario conocer la velocidad del camin al final de los 95m, para lograrlo usamos la tercera ecuacin de la cinemtica:

adVV 2202

Sustituimos

smmsmsomV /88.16)95)(/5.1(2)/( 22

Resolvemos

JsmkgK 6.401,427)/88.16)(000,3(2/1 2

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Tema 2 Ley de la Conservacin de la Energa La ley de la conservacin de la energa estipula que: la energa no se crea ni se destruye, nicamente cambia de forma. Es decir, que en un momento dado los Joules de energa cintica que tiene un objeto se pueden transformar en Joules de energa potencial y viceversa. Tambin el trabajo se puede transformar en energa cintica o potencial, y cualquiera de ellas a su vez se pueden transformarse en trabajo. Para comprender la Ley de la conservacin de la Energa, analizaremos la cada de un objeto desde cierta altura h. Al caer el objeto, los Joules que pierde de energa potencial son los Joules que gana en energa cintica, de tal manera que la energa total que tena al principio se conserva en todo momento. Este es un principio elemental de la Ley de la conservacin de la energa. Cul sera la energa total de un objeto que se encuentra en el sitio ms alto, en estado de reposo y sin velocidad, tomando en cuenta que la energa potencial que tiene es de 100J? Significa que la energa total del objeto depende de la energa potencial y esta es de 100J. Si el objeto llegara a caer la energa total seguira siendo de 100J.

Entonces en dnde entra la energa cintica en este anlisis?

La diferencia es que la energa se est transformando de potencial a cintica, es decir si en un momento dado la energa potencial es de 60J, es decir disminuyo 40J, significa que esa cantidad es lo que tenemos en forma de energa cintica, debido a que la suma de cintica y de la potencial nos debe de dar la misma cantidad que tenamos inicialmente, es decir:

KUET

Energa total es igual a la energa potencial ms la energa cintica. La ecuacin anterior no est completa falta considerar algo ms Supongamos que una caja se encuentra en el piso y es levantada hasta la superficie de una mesa por medio de una fuerza que es aplicada a lo largo de cierta distancia vertical, supongamos que el trabajo aplicado por la fuerza a la caja fue de 50J.

En qu crees que se transform ese trabajo?

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Si la caja se encuentra en reposo descansando sobre una mesa, se transform ntegramente en energa potencial, es decir los 50J de trabajo aplicado sobre la caja se transformaron en 50J de energa potencial. Por lo cual ahora podemos considerar que:

WKUET

Lo cual nos indica que la energa total es igual a la suma de la energa potencial, la energa cintica y el trabajo aplicado sobre el objeto.

V1= 0 h1

V2 h2

V3 h3

En la figura podemos ver que al caer el objeto pierde energa potencial pero al mismo tiempo gana velocidad es decir gana Joules de energa cintica, de manera que la energa total del sistema se mantiene constante. Ejemplo 1

Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba de tal manera que su energa cintica en el sitio ms bajo es de 20J, despreciando el efecto de friccin contra el aire, qu valor tiene la energa potencial en el sitio ms alto?

En este tipo de ejercicios se evala la energa total en dos lugares, en el sitio ms bajo y en el sitio ms alto, as tenemos que en el sitio ms bajo, en el lugar en donde la piedra fue lanzada: no tiene altura

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por lo tanto no tiene energa potencial, solamente tiene la velocidad necesaria para subir, es decir tiene energa cintica Por lo tanto en el sitio ms bajo se utiliza la frmula:

JKET 20

En el sitio ms alto cuando la velocidad del objeto es cero tenemos que la energa total est dada por la energa potencial, energa de altura, por lo tanto:

JUET 20

Por lo tanto la energa potencial en el sitio ms alto es de 20J. Ejemplo 2

Un objeto con masa de 7kg se encuentra el al azotea de un edificio de 55m, y se deja caer libremente, determina

a. la energa potencial, la energa cintica y la energa total en el sitio ms alto b. la energa potencial, la energa cintica y la energa total cuando el objeto ha

descendido 22m c. la energa potencial, la energa cintica y la energa total justo antes de chocar contra el

piso

A En el sitio ms alto:

JmsmkgmghU 773,3)55)(/8.9)(7( 2

JsmkgmVK 0)/0)(7(2/12/1 22

no hay energa cintica porque no hay velocidad

JJJWKUET 773,300773,3

La energa cintica es cero y no ha actuado ninguna fuerza a lo largo de cierta distancia por lo tanto el trabajo tambin es cero y la energa total depende de la energa potencial.

B Al descender 22m tenemos que ahora la distancia entre el piso y el objeto es de 33m, por lo tanto:

JmsmkgmghU 8.263,2)33)(/8.9)(7( 2

Como la energa total se conserva, entonces aqu tambin:

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JET 773,3

Entonces la disminucin en la energa potencial se debe a su transformacin en energa cintica.

KUET por lo tanto UETK

Sustituyendo:

JJK 8.263,2773,3

JK 2.509,1

C En el sitio ms bajo:

JomsmkgmghU 0))(/8.9)(7( 2

De acuerdo a la ley de la conservacin de la energa

JET 773,3

En el sito ms bajo toda la energa potencial se transform en energa cintica:

JJJJWKUET 773,30773,30

Por lo tanto

JK 773,3

Ejemplo 3

Con qu velocidad debe lanzarse hacia arriba un objeto de 2kg para logre ascender hasta una altura mxima de 70m?

En la parte ms baja la nica energa que tenemos es la energa cintica y en la parte ms alta toda esa energa cintica se transform en energa potencial. En la relacin anterior podemos calcular la energa potencial a los 69m, esa cantidad es igual a la energa cintica en la parte ms baja y si conocemos la energa cintica podremos despejar la velocidad con la que fue lanzado el objeto.

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Entonces en la parte ms alta:

JmsmkgmghU 372,1)69)(/8.9)(2( 2

Por lo tanto la energa cintica en la parte inferior es de 1,372J , despejando la velocidad en la ecuacin de la energa cintica:

22/1 mVK El dos pasa multiplicando

22 mVK

la masa pasa dividiendo: 22

Vm

K

Sacamos raz cuadrada en ambos lados de la ecuacin y nos queda:

m

KV

2

Sustituyendo

kg

JV

2

)372,1(2

smV /04.37

Teorema trabajo energa Una aplicacin de la Ley de la Conservacin de la Energa es el teorema trabajo energa, que nos dice que la variacin en la energa cintica de un objeto es igual al trabajo aplicado sobre ese objeto, si dicho trabajo es a favor del movimiento, la energa cintica del objeto se incrementa, por otra parte si el trabajo es producido por una fuerza en direccin contraria al movimiento, tendremos que la energa cintica del objeto disminuye. Por ejemplo una caja se desliza sobre una superficie sin friccin y su velocidad es tal que su energa cintica inicial es de 30J si se aplica una fuerza sobre la caja a lo largo de cierta distancia de manera que su velocidad se incrementa y ahora su nueva energa cintica es de 100J, entonces podemos asegurar que el trabajo desarrollado por la fuerza es de 70J, debido a que precisamente la energa cintica aument 70J y como se dijo anteriormente, el aumento est dado por el trabajo de la fuerza.

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Por otra parte si una caja que se mueve sobre una superficie con friccin e inicialmente tiene una energa cintica de 60J, si la caja se detiene completamente, Cunto trabajo realiza la friccin para frenar la caja?, para conocer ese valor usamos el teorema de trabajo energa, si inicialmente la energa cintica era de 60J y al final se frena completamente es decir hasta tener una energa cintica de 0J entonces la variacin lo da el trabajo de friccin, por lo tanto el trabajo realizado por la misma es de -60J, con valor negativo porque siempre va en contra del movimiento. Todo lo anterior se puede resumir con la siguiente relacin:

)( 12 KKW

Donde: W = Trabajo efectuado (J)

2K = Energa cintica final (J)

1K = Energa cintica inicial (J)

Ejemplo 4

A una caja de 3kg que se mueve sobre una superficie horizontal sin friccin con una velocidad inicial de 2m/s y se la aplica una fuerza en la misma direccin del movimiento a lo largo de una distancia de 5m hasta lograr una velocidad de 6m/s, encuentra

a. qu tanto trabajo realizo la fuerza? b. qu valor tiene la fuerza?

A La diferencia entre la energa cintica inicial y la final es igual al trabajo desarrollado por la fuerza, por lo tanto calculamos dichas energas:

2

1 )/2)(3(2/1 smkgK = 6J

2

2 )/6)(3(2/1 smkgK = 54J

)( 12 KKW

Por lo tanto

JJW 654 = 48J

B El trabajo efectuado por la fuerza fue de 48J, ahora bien ese trabajo tambin puede ser

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Fsica I

calculado por medio de la ecuacin de trabajo:

FdCosW

de esta ecuacin ya conocemos el valor del trabajo, de la distancia y el ngulo entre la fuerza y el movimiento es de cero grados por lo tanto el Cos 0=1

Entonces despejamos la fuerza:

d

WF

Sustituyendo:

m

JF

5

48 F=9.6Nt

Ejemplo 5

Una caja de 4kg tiene una velocidad de 10m/s antes de empezar a moverse sobre una superficie horizontal con friccin, si la caja se detiene despus de avanzar 8m, encuentra

a. El trabajo desarrollado por la friccin para detener la caja b. El valor de la fuerza de friccin.

A El trabajo desarrollado por la friccin es igual al cambio en la energa cintica:

2

1 )/10)(4(2/1 smkgK = 200J

2

2 )/0)(4(2/1 smkgK = 0J

)( 12 KKW

Por lo tanto

JJWFk 2000 = -200J

B De forma similar al ejemplo anterior, el trabajo efectuado por la fuerza de friccin fue de -200J, ahora bien ese trabajo tambin puede ser calculado por medio de la ecuacin de trabajo:

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Fsica I

dCosFW KFk

Nuevamente en esta ecuacin ya conocemos el valor del trabajo, de la distancia y el ngulo entre la fuerza y el movimiento que es de 180 grados por lo tanto

el Cos180= -1

Entonces despejamos la fuerza:

)180(cos d

WFK

Sustituyendo

)1)(8(

200

m

JFK FK=25Nt

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Cierre de la unidad En la presente unidad aprendimos lo siguiente:

Que la energa cintica y la energa potencial tienen una relacin muye estrecha a travs de la ley de la conservacin de la energa, en donde se transforman logrando mantener la energa total del objeto en un valor constante.

La Ley de la Conservacin de la Energa se puede usar para conocer las variable cinemticas que analizamos en el tema del movimiento en el eje vertical

Tambin aprendimos que una fuerza aplicada a favor o en contra del movimiento de un objeto es capaz de modificar la velocidad del mismo logrando un incremento o una disminucin de la energa cintica.

Adems aprendimos que una fuerza aplicada para elevar un objeto produce una energa potencial en dicho objeto.

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Conclusin del mdulo

Hemos llegado al final del mdulo y tambin de este curso. Para finalizar este curso es importante que reconozcas que la Fsica pertenece a las Ciencias Naturales las cuales se encargan de explicar todos los fenmenos naturales que ocurren en nuestro alrededor. En este mdulo concretaste la idea central de la Fsica, la cual se encarga de estudiar los diferentes tipos de energa que se producen en la naturaleza y qu no importa hacia donde est enfocada, sta siempre estar en constante transformacin.

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