MÓDULO 4MATRIZES DETERMINANTES

NÚMEROS COMPLEXOS

Inês Chiarelli DiasAirton Clementino

"Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo,torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Sea educação sozinha não transformar a sociedade, sem elatampouco a sociedade muda." Paulo Freire

..\..\Downloads\Acreditar na Vida.

pps

Matrizes Qual o seu significado imediato? Uma tabela de dupla entrada

contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes)

Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.

Ex: As notas finais dos alunos de uma série, podem formar uma matriz cujas colunas correspondem às matérias lecionadas naquela série e cujas linhas representam os alunos. Na interseção de uma linha com uma coluna figura a nota daquele aluno naquela matéria.

MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS

Operações entre duas matrizesO polígono EFGH é uma translação do polígono

ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?

Represente em uma matriz A(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono ABCD, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna .

• Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.

Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B

Matriz de compensação

553863

456237 456237

a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual a porcentagem de audiência prevista para cada programa? b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual rede terá maior audiência? Quantos por cento a mais? c) Qual das combinações de dois programas, um de A e outro de B, permite a maior diferença entre as audiências das duas redes no horário? E qual combinação permite a menor diferença entre as audiências?

MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES

Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz.

Obter a matriz A assim definida: A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j

Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com jSe o elemento cij= 1, devemos unir i com j

Em uma prova com 20 questões, cada questão respondida corretamente ganha-se 2 pontos, cada questão não respondida perde-se 1 ponto, e cada questão respondida erradamente perde-se 2 ponto,Camila acertou 12, errou 6 e as outras deixou em branco.Pedro acertou 13, errou 7 e as outras em branco.

ACERTOS ERROS BRANCO

CAMILA

PEDRO

RESULTADO PONTOS

ACERTOS

ERROS

EM BRANCO

Calcule quantos pontos cada um fez e coloque o resultado em uma matriz E2x1.

Uma empresa, que possui duas confeitarias, chamadas A e B fabrica 3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quais são feitos de farinha, açúcar, leite e manteiga e ovos. Em cada semana, as vendas dessas duas confeitarias são estimadas conforme a matriz de venda semanal abaixo:

Confeitaria Bolo tipo1 Bolo tipo2 Bolo tipo3A 50 unidades 30 unidades 25 unidadesB 29 unidades 20 unidades 40 unidades

Para a fabricação desses bolos, o material é usado de acordo com a matriz n seguinte:

Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos

Tipo1 500g 200g 500ml 150g 4

Tipo2 400g 100g 300ml 250g 5

Tipo3 450g 150g 600ml 0 6

A direção da empresa, a fim de atender à demanda, quer saber a quantidade de cada uma das cinco matérias primas que deve alocar às suas duas confeitarias. A resposta deve ser uma matriz P, do tipo 2x5, onde as linhas representam as duas confeitarias e as colunas correspondem aos cinco materiais usados.

Matriz Transposta: Dada uma matriz A=(aij)mxn, chama-se transposta de A a matriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todo i e todo j.

Matriz Simétrica: Chama-se matriz simétrica toda matriz quadrada A, de ordem n, tal que At = A

Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem

n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular

Qual é a inversa da matriz A = ?

Qual é a inversa da matriz A = ?

DETERMINANTES

A teoria dos determinantes teve origem em meados do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares de equações.

Determinante de uma matriz ordem 1O determinante da matriz de ordem , é

o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

Determinante de matriz de ordem 2

Determinante de matriz de terceira ordemO determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

Calcular o determinante

3125

Menor Complementar:Consideremos uma matriz M de ordem

n≥2;Seja aij um elemento de M. Definimos

menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.

Seja M= calculemos D11 e D32

, então D11=

, então D32=

Complemento algébrico do elemento aij - Cofator

Consideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij

Seja M = calculemos A11, A12, A13

A11= (-1) 1+1 =

A12= (-1)1+2 =

A13= (-1)1+3 =

Teorema Fundamental (de Laplace)

O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Calcule o determinante da matriz abaixo

3 4 2 1 5 0 -1 -2 0 0 4 0 -1 0 3 3

Trabalho

Propriedades dos determinantes

Matriz de Vandermonde (ou das potências)

São as matrizes de ordem n ≥2,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.

O determinante V(a1,a2,a3,...,an) é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos, com a condição de que, nas diferenças, o minuendo tenha índice maior que o subtraendo.

(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)=

8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920

=

Calcule os determinantes abaixo:

Resolva a equação: 1 1 1 1 1 2 x -5 1 4 x2 25 1 8 x3 -125

= 0

Processo de Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada M

Teorema: Se M é uma matriz quadrada de ordem n e determinante M ≠0, então a inversa de M é:

M’ = matriz dos cofatores

=

Qual a condição sobre a para que a matriz

M= Seja inversível?

Sistemas Lineares

Vamos resolver: 2x - 3y = 11 x + 2y = 2Para um sistema linear qualquer,

podemos associar uma matriz denominada completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes.

• Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos aij da matriz em que i > j.

2 -3 11 1 2 2

Essa é a matriz completa

2 -3 11 L1

1 2 2 L2

2 -3 11L1-2L2 0 -7 7

Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz,m gerando uma nova linha 2

A matriz do sistema foi escalonada,.Na nova equação da linha2 da matriz temos:0x – 7y = 7 ou y = - 1 Substituindo esse valor em uma das equações iniciais, obtém-se x = 4

Vamos escalonar?

x + y + z = 3 2x – y – 2z = 2 x + 2z = 4

S= {(2, 0, 1)}

No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles.

No método do escalonamento o aluno vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.

Escalonamento x CramerApesar de a regra de Cramer ser uma regra geral para a

resolução de sistemas lineares, na prática ela requer uma quantidade de operações (adições, subtrações, multiplicações e divisões) muito superior ao método do escalonamento, além do fato de ela só servir para resolver sistemas possíveis e determinados. Vejamos o que ocorre com um sistema de vinte equações e vinte incógnitas:

Pelo método do escalonamento serão necessárias até 16.000 operações

Pela regra de Cramer serão necessárias até 1.021.818.843.434.190.000.000 operações.

Muitos dos problemas práticos envolvem uma quantidade muito grande de operações, e mesmo utilizando programas de computadores, é nítida a vantagem do método do escalonamento, pois se deseja o máximo de eficiência e, portanto, o menor tempo de processamento.

Resolver o sistema abaixo: x – 3y = -6 2x + y + z = 1 -x + 2y – 2z = 6

S={(0, 2, -1)}

Por Cramer o sistema será apenas identificado como possível e indeterminado, mas não ajudaria na resolução. x + y + z = 3 2x – y + 3z = 4 -x -4y = -5

S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}

• O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outra situações , que não envolvam resolução de sistemas lineares , por ex. em cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano.

Conhecendo as coordenadas dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, é possível calcularmos sua área por intermédio da composição e/ou de composição de polígonos auxiliares.

..\área de triângulo.ggb

Área(ABC)= área(ADEF) – área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)

Área(DEFC)= (xB - xC).(yA - yC)

Área(BFC) = [(xB - xC).(yB - yC)]/2

Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2

Área(ADC) = [(xA - xC).(yA - yC)]/2

Área do triângulo ABC= (xB - xC).(yA - yC)-{[(xB - xC).(yB - yC)]/2 +

[(xB - xA).(yA- yB)]/2 + [(xA - xC).(yA - yC)]/2}

Área do ABC = [xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2

• Por determinante

½

xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2

Vamos determinar a área do polígono?

De outra maneira, em uma extensão de regra de Sarrus, o cálculo da área de um polígono de n lados, representado no plano cartesiano, pode ser feito como segue, sendo xi e yi as coordenadas de cada vértice do polígono com n vértices.A=

1/2

• Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus.• Metade do resultado final da soma, em

módulo, é igual à área do polígono de n lados.• O ponto inicial pode ser qualquer um

dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.

Calcule a área do pentágono COISA representado abaixo

Qual a área do polígono?

Discussão de um Sistema Linear

Se b= 5/6 S= {(5,-5)} Sist. possível e determinado – S.P.D.

Sistema impossível – S.I.

1) Vamos discutir o sistema

Em função dos parâmetros a e b

2)Encontre o valor de a para que o sistema

Seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema,isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.

+

Sistemas Lineares homogêneos

Se num sistema linear todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado sistema linear homogêneo.

Como os sistemas homogêneos são sempre possíveis, são os únicos que podem ser classificados apenas a partir do cálculo do determinante.Como não há chance de o sistema homogêneo ser SI, se o determinante for nulo, o sistema homogêneo será SPI

D=0 SPI

Vamos determinar uma solução geral

Fazendo y = k, S={(3k/2,k) , k ϵ R}

D≠ 0 o sistema é homogêneo, então a única solução é a trivial, ou seja S= {(0, 0, 0)}

Verifique se o sist. linear homogêneo

é determinado ou indeterminado

Calcule o valor de a para os quais o sistema

Admita outras soluções além de x = y = z = 0

a= 1 , a = -1

Verifique se o sistema

zty

tzx

tyx

zyx

Admite soluções próprias

Aplicações

O latão é uma liga metálica composta basicamente de cobre e zinco. Em geral a porcentagem de zinco na liga varia de 20% a 35%, dependendo das características que se quer dar ao latão. Uma empresa possui em estoque dois grandes lotes de latão, sendo um lote de 4 toneladas de latão com 23% de zinco na sua composição e um lote de 5 toneladas de latão com 33% de zinco.

Essa empresa foi consultada sobre a probabilidade de fazer uma entrega de certa quantidade de latão, de modo que no total a porcentagem de zinco fosse de 25%

a) Para cada tonelada com 25% de zinco, quantos quilos de cada tipo de latão que a empresa tinha em estoque seria necessários?

b) Qual é a quantidade máxima que ela poderia obter de latão com25% de zinco, com base em seus estoques atuais?

Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida, Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lápis tivesse custado 1 real a mais ele teria pago em média R$7,75 por cada item comprado. Determine a quantidade de caneta que Joaquim comprou.

Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual o preço da pizza?

Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha de caju,R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00.

Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço da soma das outras duas

a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.

b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades em gramas, de cada ingrediente por lata.

Roberto gosta de fazer caminhada em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto médico e uma banca de revistas. Fazendo o mesmo caminho diariamente, Roberto constatou que , da lanchonete à banca de revistas, passando pelo posto médico, caminhou 1000 passos.

Do posto médico à lanchonete passando pela banca caminhou 800 passos e da banca ao posto passando pela lanchonete, caminhou 700 passos. Considerando que cada um dos passos de Roberto mede 80cm, qual é o comprimento da pista.

Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00, em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$ 50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$ 240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual o valor do meu cheque?

João contou os coelhos, os patos e os bois que havia em sua fazenda, obtendo um total de 340 animais. A seguir, verificou que o nº de coelhos era o triplo do de patos e que o número de bois excedia em 20 unidades o total de coelhos e patos. Determine o número de patos que havia na fazenda.

Em uma mesa de lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e um pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Quanto deve totalizar o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta nessa lanchonete?

Um estudante em férias observou que durante d dias:

Choveu 7 vezes de manhã ou de tarde;

Houve 5 manhãs sem chuva;Houve 6 tardes sem chuvaCalcule d

Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?

NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos.

No século XVIII são mais usados na medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais.

• No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano.

• Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática

http://matmagias.blogspot.com/2009/06/ainda-proposito-dos-numeros-complexos.html

• Introdução Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576),

em seu livro “A Grande Arte”, mostrou o método para resolver equações do terceiro grau que é hoje chamada de Fórmula de Cardano. Bombelli (1526-1572), discípulo de Cardano, em sua “Álgebra”, aplicou a fórmula de Cardano à equação x3 -15x -4 = 0 obtendo

+X =

• Embora não se sentisse completamente a vontade em relação às raízes quadradas de números negativos (diziam que eram inúteis e sofísticas), Bombelli operava livremente com elas, aplicando-lhes as regras usuais da Álgebra.

Bombelli mostrou que:

= ... (vamos desenvolver)

Portanto x = 2 + + 2 - = 4 . Bombelli trabalhava Sistematicamente com a quantidade

,que hoje chamamos de unidade

imaginária e representamos por i.

Apenas no séc. XIX, quando Gauss(1787-1855), o grande matemático da época e um dos maiores de todos os tempos, divulga a representação geométrica dos números complexos e a sensação de desconforto desaparece (Mat. do E.M. vol3-SBM)

Os números complexos constituem um conjunto C, onde estão definidas operações de adição e de multiplicação com as propriedades (comutativas, associativas, distributiva , *)

•*Existem e são únicos os números 0 e 1 satisfazendo às condições a+0=a, a.1=a•*A todo real a corresponde um único número real (-a), e se a≠0 um único nº real 1/a, tais que:•a+(-a)=0 e a.(1/a) =1

Além disso, os números reais estão incluídos em C e:

a) Existem um nº complexo i com i2 = -1b) Todo número complexo pode ser

escrito de uma maneira única na forma a + bi, onde a e b são reais (a é chamado parte real e b é chamado parte imaginária do complexo a+bi). Usa-se a notação Re(a+bi)= a e

Im(a +bi)=b

Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = x + yi é representado pelo ponto P(x, y) . O ponto P é chamado de imagem do complexo z.

O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de Argand-Gauss (Argand 1768-1822, matemático francês).

Os números representados no eixo x são da forma (x, 0)= x + 0i = x, isto é, são números reais, por esse motivo, o eixo dos x é chamado de eixo real.

Os complexos representados no eixo y são da forma (0, y) = 0 + yi = yi, esses complexos são chamados de números imaginários puros.

• Módulos e Conjugados• Dado um nº Complexo z = a +bi, e z≠0,

temos z.(1/z) = 1. Convém definir o conjugado de um nº complexo =a - bi

• Geometricamente o conjugado é representado pelo simétrico de z relativamente ao eixo

=(a,-b)

z=(a,b)

• Chama-se módulo de z (|z|) ao número real não negativo |z|= .

• Geometricamente |z| mede a distancia de O a z

= =(a+bi)(a-bi) = = |z|

z=(a, b)

• Corolário: Se um polinômio de coeficientes reais

admite uma raiz complexa a +bi, a e b reais, então ele admite também a raiz a – bi.

P(a + bi) = 0 = 0 + 0i, então, pelo teorema P(a –bi) = 0 – 0i = 0

Vamos fazer exercícios?

• Lista de classe nº 1• Lista para casa nº 1

FORMA TRIGONOMÉTRICA

z= a+ bi z=(a,b)

b= r sen Ѳ

Ѳ

a= r cos Ѳ

|z| = r

z= a+bi = r cosѲ + r senѲ i

= r (cosѲ + i senѲ)

Encontrar a forma trigonométrica

• z = 3 +3i

|z|= = 3

cosѲ= Ѳ= π/4 +2kπ, k ϵ Z argumento

z= 3 (cos(

• 1 + i =• - 8

Multiplicação de ComplexosSendo

Na figura P é afixo do número complexo z. Determine o complexo

Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles e está inscrito em uma circunferência de raio 3.

Qual a área do triângulo ABC ?

2

Re(z)

Im(z)

• No plano de Argand-Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z.z = 10, são vértices de um polígono regular.

a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual é a área desse polígono?

RadiciaçãoDado um número complexo z, chama-se raíz enésima de z, e denota-se , a um número complexo , tal que =

Exs: 1 é um valor de pois 13 = 1 - é um valor de pois =1

- é um valor de pois = 1

SEGUNDA FÓRMULA DE MOIVRETeorema:Dado o número complexo z = ƿ (cosѲ + i senѲ)

e o número natural n (n ≥ 2), então existem n raízes enésimas de z que são da forma:

em R+ e K ϵ Z

Interpretação geométrica da multiplicação de complexos

Quando multiplicamos um complexo z por , o vetor que representa z sofre uma rotação de um ângulo em torno da origem.Como tem módulo =1, z.[ ] tem o mesmo módulo que z.

O argumento de z. [ ] é o argumento de z aumentado de Ѳ . Logo o vetor que representa z.[ ] é o resultado da rotação do vetor que representa z de um ângulo Ѳ em torno da origem.

• ABCD é um quadrado. Se A(1; 2) e B(2; 5), determine as coordenadas de C e D.

A B

CD

C’D’

O vetor AD é obtido por uma rotação de + 90°. Portanto (D – A) = (B – A) [cos90° + i sen 90°].D – ( 1 + 2i) = ( 1 + 3i). i e D = 1 + 2i + i + 3i2 = -2 + 3i = (-2; 3).Vetor AD = vetor BC. Daí D - A = C – B,C = B + D – A = ( -1; 6)A é o ponto médio de DD’.Logo D’= (4; 1) e C’= ( 5, 4)

ABCD é um quadrado. Dados A= (1, 2) , e B= (3, 5), determine as coordenadas C e D.

Dois vértices consecutivos de um octógono regular convexo são (1, 2) e ( 3, -2). Determine o centro do octógono

• No plano de Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z. z = 10 são vértices de um polígono regular.

a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual a área desse polígono?