Trigonometrija i koordinatni sustavi malo staroga, …bruckler/repetitorij.pdfTrigonometrija i koordinatni sustavi | malo staroga, malo novoga Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Brojke i kutovi Malo trigonometrije Kako se snaci u ravnini i prostoru? Osnove sferne trigonometrije Dodatak

Trigonometrija i koordinatni sustavi — malostaroga, malo novoga

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Veljaca 2012.


Malo povijesti

Sto znaci znamenka 2 u brojci 127,3?

Dekadski zapis broja je zapis brojau obliku zbroja potencija broja 10, pomnozenih s pripadnim znamenkamakoje su iz skupa {0, 1, 2, . . . , 9}. Primjerice,

127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.

Koliko sati je 5 h 25 min 30 s? To je

5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.

Babilonska drzava postojala je u prvoj polovici drugog tisucljeca pr. Kr.Babilonci su dan podijelili na 24 sata, svaki sat na 60 minuta i svakuminutu u 60 sekundi. Njihov brojevni sustav bio je temeljen na bazi 60, ane na bazi 10. Zapis broja u seksagezimalnom sustavu je njegov zapis kaozbroja potencija broja 60, pomnozenih s pripadnim znamenkama. Koje susmislene znamenke u seksagezimalnom sustavu? Znate li neki primjergdje, osim u mjerenju vremena, danas koristimo seksagezimalni sustav?


Malo povijesti

Sto znaci znamenka 2 u brojci 127,3? Dekadski zapis broja je zapis brojau obliku zbroja potencija broja 10, pomnozenih s pripadnim znamenkamakoje su iz skupa {0, 1, 2, . . . , 9}. Primjerice,

127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.

Koliko sati je 5 h 25 min 30 s?

To je

5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.



Malo povijesti


127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.


5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.

Babilonska drzava postojala je u prvoj polovici drugog tisucljeca pr. Kr.Babilonci su dan podijelili na 24 sata, svaki sat na 60 minuta i svakuminutu u 60 sekundi. Njihov brojevni sustav bio je temeljen na bazi 60, ane na bazi 10.

Zapis broja u seksagezimalnom sustavu je njegov zapis kaozbroja potencija broja 60, pomnozenih s pripadnim znamenkama. Koje susmislene znamenke u seksagezimalnom sustavu? Znate li neki primjergdje, osim u mjerenju vremena, danas koristimo seksagezimalni sustav?


Malo povijesti


127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.


5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.

Babilonska drzava postojala je u prvoj polovici drugog tisucljeca pr. Kr.Babilonci su dan podijelili na 24 sata, svaki sat na 60 minuta i svakuminutu u 60 sekundi. Njihov brojevni sustav bio je temeljen na bazi 60, ane na bazi 10. Zapis broja u seksagezimalnom sustavu je njegov zapis kaozbroja potencija broja 60, pomnozenih s pripadnim znamenkama. Koje susmislene znamenke u seksagezimalnom sustavu?

Znate li neki primjergdje, osim u mjerenju vremena, danas koristimo seksagezimalni sustav?


Malo povijesti


127,3 = 1 · 102 + 2 · 101 + 7 · 100 + 3 · 10−1.


5 +25

60+

30

3600= 5 · 600 + 25 · 60−1 + 30 · 60−2 = 5,425 sati.



Mjerenje kutova

Sto je kut?

Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati

10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?

Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?

Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm?

Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom.

Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta?

Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva?

Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦?

Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Mjerenje kutova

Sto je kut? Kut je geometrijski objekt koji se (pojednostavljeno) mozedefinirati kao dio ravnine omeden dvama polupravcima (zrakama,krakovima) koje imaju zajednicki pocetak (vrh kuta). Kutove mozemo,kao i duljine, mjeriti u razlicitim jedinicama. Jedna od dvije najcescekoristene su stupnjevi (◦). Jedan stupanj je definiran kao 1/360-ti diopunog kuta. Kad mjeru kuta zapisujemo u stupnjevima uobicajeno jekoristiti seksagezimalni zapis, primjerice umjesto 10,27◦ uobicajeno jepisati 10◦16′12′′. Znate li za neke druge jedinice za mjerenje kutova?Koliki je opseg kruga ciji je polumjer jednak 1 cm? 1 m? 1 inch? 1?Kolika je duljina cetvrtine kruznice polumjera 1 dm? Mjera kuta uradijanima je duljina luka kruznice polumjera 1 jedinice kojem odgovaratom kutu sukladan sredisnji kut, podijeljena s jedinicom. Koliki kut, uradijanima, prijede minutna kazaljka analognog sata u 5 minuta? Kutmjere 2π radijana ima koliko stupnjeva? Koliko radijana ima kut od180◦? Bez koristenja kalkulatora na najblizi visekratnik od 10◦ procijenitekut od 1 radijana!


Sinus, kosinus & co. u pravokutnom trokutu

Sinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu nasuprotne katete i hipotenuze.

Kosinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu prilezece katete i hipotenuze.

sinα =a

c, cosα =

b

c,

tgα =a

b, ctgα =

b

a.

Time smo definirali sinus i kosinus za koje kutove? Kako iz te definicijevidimo relacije

cos(90◦ − α) = sinα, sin(90◦ − α) = cosα?

Koji raspon brojeva je moguc za sinus i kosinus kuta u pravokutnomtrokutu? Argumentirajte!



Sinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu nasuprotne katete i hipotenuze.Kosinus (ne-pravog) kuta α u pravokutnom trokutu je broj sinα jednakkvocijentu duljina tom kutu prilezece katete i hipotenuze.

sinα =a

c, cosα =

b

c,

tgα =a

b, ctgα =

b

a.

Time smo definirali sinus i kosinus za koje kutove?

Kako iz te definicijevidimo relacije






sinα =a

c, cosα =

b

c,

tgα =a

b, ctgα =

b

a.







sinα =a

c, cosα =

b

c,

tgα =a

b, ctgα =

b

a.





Definicija trigonometrijskih funkcija

Sinus je nula ako je xvisekratnik pravog kuta:

sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.

Koji je predznak od sin 1? cos 1? Za koje x je sin x = 0,1, za koje jecos x = −0,6, a za koje je sin x = cos x?




sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.





sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.

Koji je predznak od sin 1? cos 1?

Za koje x je sin x = 0,1, za koje jecos x = −0,6, a za koje je sin x = cos x?




sin 0◦=sin 180◦=0.

Nadalje,

sin 90◦=1, sin 270◦=−1.

sin 45◦=sin 135◦=√

22 ≈0,707,

sin 225◦=sin 315◦=−√

22 ≈−0,707.

sin 30◦=sin 150◦= 12 , sin 210◦=sin 330◦=− 1

2 ,

sin 60◦=sin 120◦=√

32 ≈0,866, sin 240◦=sin 300◦=−

√2

2 ≈−0,866.



Svojstva trigonometrijskih funkcija

Apscise tocaka na jedinicnoj kruznici su brojevi izmedu −1 i 1, a istotako i ordinate. Stoga su za svaki broj x brojevi sin x i cos x izmedu−1 i 1;

Za x = 0 nalazimo se u tocki (cos 0, sin 0) = (1, 0), tj. cos 0 = 1 isin 0 = 0;

Opcenito, sin x je nula kad god broju x odgovara jedna od tocaka(−1, 0) i (1, 0), a to se desava kad god je x visekratnik od π:nultocke funkcije sinus su svi brojevi kπ, k ∈ Z; kosinus je nula kadgod broju x odgovara jedna od tocaka (0, 1) i (0,−1), a to sedesava kad god je x neparni visekratnik pravog kuta: nultockefunkcije kosinus su svi brojevi (2k + 1)π2 , k ∈ Z;

Primjenom Pitagorina poucka na trokut odreden ishodistem, tockom(cos x , 0) i tockom (cos x , sin x) (dakle, pravokutni trokut skatetama duljina cos x i sin x te hipotenuzom duljine 1) dobivamoosnovnu formulu koja povezuje sinus i kosinus:

cos2 x + sin2 x = 1;























O tangensu i kotangensu

tg x =sin x

cos x, ctg x =

1

tg x=

cos x

sin x.

Argumentirajte zasto tangens i kotangens mogu poprimiti proizvoljnovelike ili male (negativne) vrijednosti iako sinus i kosinus imaju vrijednostiizmedu −1 i 1!

U nazivniku tangensa imamo nulu (tj. tangens nijedefiniran) ako je x neparni visekratnik pravog kuta:

tg 90◦, tg 270◦ nisu definirani.

U brojniku tangensa imamo nulu (tj. tangens je nula) ako je x parnivisekratnik pravog kuta:

tg 0◦ = tg 180◦ = 0.

Sinus i kosinus su jednaki kad je tocka koja odgovara kutu x na jedinicnojkruznici i na simetrali prvog i treceg kvadranta, dakle kad jex = 45◦ = π/4 ili x = 225◦ = 5π/4: tg 45◦ = tg 225◦ = 1. Slicno:tg 135◦ = tg 315◦ = −1.


O tangensu i kotangensu

tg x =sin x

cos x, ctg x =

1

tg x=

cos x

sin x.

Argumentirajte zasto tangens i kotangens mogu poprimiti proizvoljnovelike ili male (negativne) vrijednosti iako sinus i kosinus imaju vrijednostiizmedu −1 i 1! U nazivniku tangensa imamo nulu (tj. tangens nijedefiniran) ako je x neparni visekratnik pravog kuta:

tg 90◦, tg 270◦ nisu definirani.

U brojniku tangensa imamo nulu (tj. tangens je nula) ako je x parnivisekratnik pravog kuta:

tg 0◦ = tg 180◦ = 0.

Sinus i kosinus su jednaki kad je tocka koja odgovara kutu x na jedinicnojkruznici i na simetrali prvog i treceg kvadranta, dakle kad jex = 45◦ = π/4 ili x = 225◦ = 5π/4: tg 45◦ = tg 225◦ = 1. Slicno:tg 135◦ = tg 315◦ = −1.


Koordinatni sustavi u ravnini

Sto je koordinatni sustav?

Koliko koordinata treba za opis tocaka uravnini? Zasto? Jedna vrsta koordinatnih sustava u ravnini odredena je sdva brojevna pravca (koordinatne osi) koji se sijeku u tocki koja za obapravca predstavlja broj 0. Koordinate tocke T ravnine se u tom slucajuodreduju tako da kroz nju povucemo paralele s koordinatnim osima iocitamo u kojim

”brojevima” te paralele sijeku prvu os (os apscisa, obicno

se crta horizontalno) i drugu (os ordinata). Ako su ti brojevi x odnosno ypisemo T = (x , y).Gdje se u Kartezijevom, odnosno opcem ortogonalnom, odnosnokosokutnom koordinatnom sustavu u ravnini nalaze tocke s koordinatama(0, 0), (−π, 0), (0,

√2)? Skicirajte (a) Kartezijev koordinanti sustav u

ravnini, (b) koordinatni sustav u ravnini s medusobno okomitim osima, alijedinicom duljine na horizontalnoj osi (osi apscisa) dvostruko duljom odone na vertikalnoj osi (osi ordinata) i (c) koordinatni sustav u ravnini sosima ciji pozitivni dijelovi zatvaraju kut π/6, a jedinica duljine na osiordinata je 1,5 puta dulja od one na osi apscisa.



Sto je koordinatni sustav? Koliko koordinata treba za opis tocaka uravnini? Zasto?

Jedna vrsta koordinatnih sustava u ravnini odredena je sdva brojevna pravca (koordinatne osi) koji se sijeku u tocki koja za obapravca predstavlja broj 0. Koordinate tocke T ravnine se u tom slucajuodreduju tako da kroz nju povucemo paralele s koordinatnim osima iocitamo u kojim







Sto je koordinatni sustav? Koliko koordinata treba za opis tocaka uravnini? Zasto? Jedna vrsta koordinatnih sustava u ravnini odredena je sdva brojevna pravca (koordinatne osi) koji se sijeku u tocki koja za obapravca predstavlja broj 0. Koordinate tocke T ravnine se u tom slucajuodreduju tako da kroz nju povucemo paralele s koordinatnim osima iocitamo u kojim



√2)?

Skicirajte (a) Kartezijev koordinanti sustav uravnini, (b) koordinatni sustav u ravnini s medusobno okomitim osima, alijedinicom duljine na horizontalnoj osi (osi apscisa) dvostruko duljom odone na vertikalnoj osi (osi ordinata) i (c) koordinatni sustav u ravnini sosima ciji pozitivni dijelovi zatvaraju kut π/6, a jedinica duljine na osiordinata je 1,5 puta dulja od one na osi apscisa.



Sto je koordinatni sustav? Koliko koordinata treba za opis tocaka uravnini? Zasto? Jedna vrsta koordinatnih sustava u ravnini odredena je sdva brojevna pravca (koordinatne osi) koji se sijeku u tocki koja za obapravca predstavlja broj 0. Koordinate tocke T ravnine se u tom slucajuodreduju tako da kroz nju povucemo paralele s koordinatnim osima iocitamo u kojim






U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2).

U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela! Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?Polarni koordinatni sustav tocku T ravnine opisuje s dvije koordinate(d , ϕ), gdje je 0 ≤ d < +∞ udaljenost tocke od ishodista O, 0 ≤ ϕ < 2πje polarni kut koji opisuje kut spojnice OT prema polarnoj osi.


U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2). U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela!

Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?Polarni koordinatni sustav tocku T ravnine opisuje s dvije koordinate(d , ϕ), gdje je 0 ≤ d < +∞ udaljenost tocke od ishodista O, 0 ≤ ϕ < 2πje polarni kut koji opisuje kut spojnice OT prema polarnoj osi.


U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2). U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela! Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?

Polarni koordinatni sustav tocku T ravnine opisuje s dvije koordinate(d , ϕ), gdje je 0 ≤ d < +∞ udaljenost tocke od ishodista O, 0 ≤ ϕ < 2πje polarni kut koji opisuje kut spojnice OT prema polarnoj osi.


U sva tri sustava ucrtajte tocke s koordinatama (0, 0), (1, 0), (0, 1),(1, 1), (−2, 1/2). U sva tri koordinatna sustava srafirajte dio ravnine cijeobje koordinate su izmedu 0 i 1 te odredite koordinate sredista togsrafiranog dijela! Sto u kojem od tih sustava predstavljaju jednadzbex = 0, y = 2, x + y = 1?Polarni koordinatni sustav tocku T ravnine opisuje s dvije koordinate(d , ϕ), gdje je 0 ≤ d < +∞ udaljenost tocke od ishodista O, 0 ≤ ϕ < 2πje polarni kut koji opisuje kut spojnice OT prema polarnoj osi.


Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke s koordinatama(d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)? (2, π/3)? (1,−π/3)?(π, 45◦)?

Sto u polarnom koordinantom sustavu predstavlja jednadzbad = 2,5? ϕ = 3π/2? Srafirajte dio ravnine koji u polarnom koordinatnomsustavu ima obje koordinate izmedu 0 i 1!


Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke s koordinatama(d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)? (2, π/3)? (1,−π/3)?(π, 45◦)? Sto u polarnom koordinantom sustavu predstavlja jednadzbad = 2,5? ϕ = 3π/2?

Srafirajte dio ravnine koji u polarnom koordinatnomsustavu ima obje koordinate izmedu 0 i 1!


Gdje se u polarnom koordinatnom sustavu nalaze tocke s koordinatama(d , ϕ) = (0, 0)? (1, 0)? (0, 1)? (−1, 0)? (1, π/2)? (2, π/3)? (1,−π/3)?(π, 45◦)? Sto u polarnom koordinantom sustavu predstavlja jednadzbad = 2,5? ϕ = 3π/2? Srafirajte dio ravnine koji u polarnom koordinatnomsustavu ima obje koordinate izmedu 0 i 1!


Ako polarnu os smatramo pozitivnim dijelom x-osi, veza izmeduKartezijevih koordinata (x , y) i polarnih (d , ϕ) je dana jednadzbama

x = d cosϕ, y = d sinϕ,

odnosnod =

√x2 + y 2, tgϕ =

y

x.

, Koje su polarne koordinate tocke koja u Kartezijevom koordinatnomsustavu ima koordinate (−2, 4)? (1, 0)?

, Koje su Kartezijeve koordinate tocke koja u polarnom koordinatnomsustavu ima koordinate (2, π/4)? (5, π/2)?

, Skicirajte krivulje koje u polarnim koordinatama imaju jednadzbed = 2? ϕ = −π/2?


Ako polarnu os smatramo pozitivnim dijelom x-osi, veza izmeduKartezijevih koordinata (x , y) i polarnih (d , ϕ) je dana jednadzbama

x = d cosϕ, y = d sinϕ,

odnosnod =

√x2 + y 2, tgϕ =

y

x.

, Koje su polarne koordinate tocke koja u Kartezijevom koordinatnomsustavu ima koordinate (−2, 4)? (1, 0)?

, Koje su Kartezijeve koordinate tocke koja u polarnom koordinatnomsustavu ima koordinate (2, π/4)? (5, π/2)?

, Skicirajte krivulje koje u polarnim koordinatama imaju jednadzbed = 2? ϕ = −π/2?


Malo zemljopisa

zemljopisna duljina ↔ ϕ odnosno ϕ− 180◦ (ϕ ili φ: azimut);zemljopisna sirina ↔ 90◦ − θ odnosno θ − 90◦ (θ ili ρ: polarna

udaljenost).


Neki prostorni koordinatni sustavi

(a) (b) (c)

Slika: Razliciti koordinatni sustavi u prostoru: Kartezijev, kosokutni, sferni.

Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0?

y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1?

z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3?

Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora?

Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?

φ = 30◦? ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦?

ρ = π?



(a) (b) (c)


Sto u prostornom Kartezijevom ili kosokutnom sustavu predstavljajujednadzbe x = 0? y = 1? z = −3? Gdje se u njima nalaze tocke skoordinatama izmedu 0 i 1? Koje su koordinate sredista tog dijelaprostora? Sto u sfernom sustavu predstavljaju jednadzbe r = 2?φ = 30◦? ρ = π?


Sferni koordinatni sustav

Sferni koordinatni sustav je onaj u kojem se tocka prostora opisuje s trikoordinate (r , φ, ρ), gdje je 0 ≤ r < +∞ udaljenost tocke od ishodista,0 ≤ φ < 2π je polarni kut (azimut), tj. kut otklona od odabrane ravnineΠ, a 0 ≤ ρ ≤ π je kut (polarna udaljenost) koji opisuje otklon radijvektora promatrane tocke od fiksiranog pravca z u Π.Ako odabranu ravninu Π smatramo (x , z)-ravninom, a pravac z uzmemokao z-os, veza izmedu Kartezijevih koordinata (x , y , z) i sfernih (r , φ, ρ)je dana jednadzbama

x = r cosφ sin ρ, y = r sinφ sin ρ, z = r cos ρ,

odnosno

r =√

x2 + y 2 + z2, tgφ =y

x, cos ρ =

z√x2 + y 2 + z2

.


, Koje su sferne koordinate tocke koja u Kartezijevom koordinatnomsustavu ima koordinate (1, 0,−

√3)? (−1,−1, 0)?

, Koje su Kartezijeve koordinate tocke koja u sfernom koordinatnomsustavu ima koordinate (1, 2π/3, π/4)? (1, π, π/2)?

, Kako izgledaju plohe koje u sfernim koordinatama imaju jednadzber = 2? φ = π/3? ρ = 5π/6?


Osnove sferne trigonometrije

Sto je kruznica? Krug?

Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?

O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi?

Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti?

Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!



Sto je kruznica? Krug? Kao i kruznica, sfera je skup tocaka na jednakojudaljenosti (polumjeru) od fiksne tocke (sredista), no za kruznicugledamo samo tocke u jednoj ravnini koja sadrzi srediste, dok su na sferisve tocke prostora cija udaljenost do sredista je jednaka polumjeru.Prostorni ekvivalent kruga je kugla.Ako je s r oznacen polumjer sfere, koliko iznosi njeno oplosje?O = 4r 2π ≈ 12,5r 2.Koji je najkraci put izmedu dvije tocke na sferi? Kao sto su u ravninipravci linije ciji segmenti su najkraci putovi izmedu krajeva tihsegmenata, tako su na sferi pravci velike kruznice: kruznice kojima sesrediste i polumjer podudaraju sa sredistem i polumjerom sfere. Stoga suna sferi trokuti omedeni s tri velike kruznice, a postoje i dvokuti.Skicirajte kako izgleda sferni dvokut i kako izgleda sferni trokut!Kutovi pri vrhovima (unutrasnji kutovi) sfernog dvo- ili trokuta definirajuse kao kutovi izmedu tangenti na velike kruznice koje se sijeku udoticnom vrhu. Mogu li kutovi sfernog dvokuta biti razliciti? Skicirajtesferni dvokut ciji unutrasnji kutovi su π/2!


Uobicajene oznake za unutrasnje kutove sfernih mnogokuta su velikaslova latinske abecede (A, B, C , . . . ). Mora li sferni trokut imati zbrojunutrasnjih kutova jednak 180◦? Ako da, zasto, ako ne, skicirajte neki zakoji to ne vrijedi!

Zbroj unutrasnjih kutova sfernog trokuta uvijek jeizmedu π i 3π:

180◦ ≤ A + B + C ≤ 540◦.

Razlika tog zbroja i punog kuta zove se sfernim ekscesom sfernogtrokuta: E = A + B + C − π = A + B + C − 180◦. Girardov teorem (16.st.) daje formulu za povrsinu sfernog trokuta: P = R2E , gdje je Rpolumjer sfere. Kako su stranice (a, b, c , . . . ) sfernog mnogokutadijelovi velikih kruznica na sferi poznatog polumjera, njihove duljine seopisuju kao iznosi pripadnih sredisnjih kutova. Skicirajte neki sfernitrokut za koji je a = b = c = π/2. Kakvi su kutovi A, B, C vasegtrokuta? Kutovi i duljine stranica sfernog trokuta povezani su sfernimsinusovim i kosinusovim pouckom:

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ,sin a

sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C.


Uobicajene oznake za unutrasnje kutove sfernih mnogokuta su velikaslova latinske abecede (A, B, C , . . . ). Mora li sferni trokut imati zbrojunutrasnjih kutova jednak 180◦? Ako da, zasto, ako ne, skicirajte neki zakoji to ne vrijedi! Zbroj unutrasnjih kutova sfernog trokuta uvijek jeizmedu π i 3π:

180◦ ≤ A + B + C ≤ 540◦.

Razlika tog zbroja i punog kuta zove se sfernim ekscesom sfernogtrokuta: E = A + B + C − π = A + B + C − 180◦. Girardov teorem (16.st.) daje formulu za povrsinu sfernog trokuta: P = R2E , gdje je Rpolumjer sfere. Kako su stranice (a, b, c , . . . ) sfernog mnogokutadijelovi velikih kruznica na sferi poznatog polumjera, njihove duljine seopisuju kao iznosi pripadnih sredisnjih kutova. Skicirajte neki sfernitrokut za koji je a = b = c = π/2. Kakvi su kutovi A, B, C vasegtrokuta?

Kutovi i duljine stranica sfernog trokuta povezani su sfernimsinusovim i kosinusovim pouckom:


sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C.


Uobicajene oznake za unutrasnje kutove sfernih mnogokuta su velikaslova latinske abecede (A, B, C , . . . ). Mora li sferni trokut imati zbrojunutrasnjih kutova jednak 180◦? Ako da, zasto, ako ne, skicirajte neki zakoji to ne vrijedi! Zbroj unutrasnjih kutova sfernog trokuta uvijek jeizmedu π i 3π:

180◦ ≤ A + B + C ≤ 540◦.

Razlika tog zbroja i punog kuta zove se sfernim ekscesom sfernogtrokuta: E = A + B + C − π = A + B + C − 180◦. Girardov teorem (16.st.) daje formulu za povrsinu sfernog trokuta: P = R2E , gdje je Rpolumjer sfere. Kako su stranice (a, b, c , . . . ) sfernog mnogokutadijelovi velikih kruznica na sferi poznatog polumjera, njihove duljine seopisuju kao iznosi pripadnih sredisnjih kutova. Skicirajte neki sfernitrokut za koji je a = b = c = π/2. Kakvi su kutovi A, B, C vasegtrokuta? Kutovi i duljine stranica sfernog trokuta povezani su sfernimsinusovim i kosinusovim pouckom:


sin A=

sin b

sin B=

sin c

sin C.


London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Zagreb je na 16◦ istocne zemljopisne duzine i 45◦48′ sjevernezemljopisne duljine. Skicirajte sferni trokut odreden sjevernim polom, tepozicijama Londona i Zagreba. Sto predstavljaju njegove stranice?Procijenite iznose njegovih unutrasnjih kutova!

Udaljenosti sjevernog pola do Londona odnosno Zagreba jednake sunjihovim polarnim udaljenostima, dakle c = 90◦ − 51◦30′ = 38◦30′

odnosno b = 90◦ − 45◦48′ = 44◦12′. Kolika je udaljenost a Londona doZagreba?

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Kako izracunati A? A je razlika zemljopisnih duzina Londona i Zagreba,tj. A = 16◦ pa slijedi cos a ≈ 0,97824, odnosno a ≈ 11◦58′ ilia ≈ 360◦ − 11◦58′ = 348◦2′. Koja od te dvije mogucnosti je smislena?Koliko je to onda Zagreb udaljen od Londona? a ≈ 11◦58′ ≈ 0,20886radijana, tj. udaljenost je a · R ≈ 1332 km (polumjer Zemlje je priblizno6378 km).


London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Zagreb je na 16◦ istocne zemljopisne duzine i 45◦48′ sjevernezemljopisne duljine. Skicirajte sferni trokut odreden sjevernim polom, tepozicijama Londona i Zagreba. Sto predstavljaju njegove stranice?Procijenite iznose njegovih unutrasnjih kutova!Udaljenosti sjevernog pola do Londona odnosno Zagreba jednake sunjihovim polarnim udaljenostima, dakle c = 90◦ − 51◦30′ = 38◦30′








Kako izracunati A?

A je razlika zemljopisnih duzina Londona i Zagreba,tj. A = 16◦ pa slijedi cos a ≈ 0,97824, odnosno a ≈ 11◦58′ ilia ≈ 360◦ − 11◦58′ = 348◦2′. Koja od te dvije mogucnosti je smislena?Koliko je to onda Zagreb udaljen od Londona? a ≈ 11◦58′ ≈ 0,20886radijana, tj. udaljenost je a · R ≈ 1332 km (polumjer Zemlje je priblizno6378 km).





Kako izracunati A? A je razlika zemljopisnih duzina Londona i Zagreba,tj. A = 16◦ pa slijedi cos a ≈ 0,97824, odnosno a ≈ 11◦58′ ilia ≈ 360◦ − 11◦58′ = 348◦2′. Koja od te dvije mogucnosti je smislena?

Koliko je to onda Zagreb udaljen od Londona? a ≈ 11◦58′ ≈ 0,20886radijana, tj. udaljenost je a · R ≈ 1332 km (polumjer Zemlje je priblizno6378 km).





Kako izracunati A? A je razlika zemljopisnih duzina Londona i Zagreba,tj. A = 16◦ pa slijedi cos a ≈ 0,97824, odnosno a ≈ 11◦58′ ilia ≈ 360◦ − 11◦58′ = 348◦2′. Koja od te dvije mogucnosti je smislena?Koliko je to onda Zagreb udaljen od Londona?

a ≈ 11◦58′ ≈ 0,20886radijana, tj. udaljenost je a · R ≈ 1332 km (polumjer Zemlje je priblizno6378 km).







U kom se smjeru nalazi Meka (Saudijska Arabija, 21,26◦N, 39,49◦E) uodnosu na Jakarta-u (Indonezija, 6,08◦S, 106,45◦E)? Meridijan odredujesmjer sjever-jug. Stoga nas ovdje zanima kut C sfernog trokutaodredenog polom (vrh A), Mekom (vrh B) i Jakarta-om (vrh C ). Kojepodatke sfernog trokuta lako ocitamo iz zemljopisnih podataka?

b, c , A.Prema sinusovom poucku imamo sin a

sin A = sin csin C te je sin C = sin A · sin c

sin a .Dakle, treba nam a, kojeg odredimo kao i u prethodnom zadatku:a = 71,08◦. Stoga jesin C = sin(66,96◦) sin(68,74◦)/ sin(71,08◦) ≈ 0,9066, dakle C ≈ 65,04◦.Drugim rijecima, ako ste musliman koji se u Jakarta-i zeli klanjati premaMeki, trebate se u odnosu na pogled prema sjeveru okrenuti u pozitivnomsmjeru (suprotno kazaljki na satu) za 65,04◦.

Zadatak (Domaca zadaca)

Izracunajte udaljenost Buenos Airesa (Argentina) do Atene (Grcka).Obrazlozite sve korake svog postupka!

Ako avion treba letiti iz Cape Town-a (Juzna afrika) u Peking (Kina)najravnijim mogucim putem, u kom geografskom smjeru treba letiti?


U kom se smjeru nalazi Meka (Saudijska Arabija, 21,26◦N, 39,49◦E) uodnosu na Jakarta-u (Indonezija, 6,08◦S, 106,45◦E)? Meridijan odredujesmjer sjever-jug. Stoga nas ovdje zanima kut C sfernog trokutaodredenog polom (vrh A), Mekom (vrh B) i Jakarta-om (vrh C ). Kojepodatke sfernog trokuta lako ocitamo iz zemljopisnih podataka? b, c , A.Prema sinusovom poucku imamo sin a

sin A = sin csin C te je sin C = sin A · sin c

sin a .Dakle, treba nam a, kojeg odredimo kao i u prethodnom zadatku:a = 71,08◦. Stoga jesin C = sin(66,96◦) sin(68,74◦)/ sin(71,08◦) ≈ 0,9066, dakle C ≈ 65,04◦.Drugim rijecima, ako ste musliman koji se u Jakarta-i zeli klanjati premaMeki, trebate se u odnosu na pogled prema sjeveru okrenuti u pozitivnomsmjeru (suprotno kazaljki na satu) za 65,04◦.

Zadatak (Domaca zadaca)

Izracunajte udaljenost Buenos Airesa (Argentina) do Atene (Grcka).Obrazlozite sve korake svog postupka!

Ako avion treba letiti iz Cape Town-a (Juzna afrika) u Peking (Kina)najravnijim mogucim putem, u kom geografskom smjeru treba letiti?


Jos jedna korisna formula sferne trigonometrije je

tgc

2=

√− cos S cos(S − C )

cos(S − A) cos(S − B),

gdje je S = (A + B + C )/2. Zapisite oblike sinusovog i kosinusovogpoucka te gornje formule za pravokutni sferni trokut (trokut kojem je barjedan unutrasnji kut pravi)!

Za lakse pamcenje formula sfernetrigonometrije za pravokutni sferni trokut korisno je tzv. Neperovo(Napierovo) peterokutno pravilo: Sest elemenata sfernog trokuta (triunutrasnja kuta, tri stranice) kruzno redom kojim se pojavljuju u trokutu(dakle, krene od jednog vrha, zapise stranica do njega, pa sljedeci vrh,itd.). Zatim prekrizite pravi kut i sve njemu nesusjedne velicine (kutove)zamijenite komplementima do pravog kuta (tj. razlikom pravog kuta ikuta kojemu trazimo komplement). Tih pet brojeva sad cine Neperovpeterokut. Koja god tri od tih kutova odaberete, jedan (srednji) je ilisusjedan ili nasuprotan drugim dvama. Neperovo pravilo kaze: sinus togsrednjeg kuta je produkt tangensa dvaju susjednih, odnosno produktkosinusa nasuprotnih. Koristeci to pravilo i svojstva trigonometrijskihfunkcija objasnite formulu cos(B) = tg(a)ctg(c) = cos(b) sin(A) za sfernitrokut kojemu je kut C pravi! .


Jos jedna korisna formula sferne trigonometrije je

tgc

2=

√− cos S cos(S − C )

cos(S − A) cos(S − B),

gdje je S = (A + B + C )/2. Zapisite oblike sinusovog i kosinusovogpoucka te gornje formule za pravokutni sferni trokut (trokut kojem je barjedan unutrasnji kut pravi)! Za lakse pamcenje formula sfernetrigonometrije za pravokutni sferni trokut korisno je tzv. Neperovo(Napierovo) peterokutno pravilo: Sest elemenata sfernog trokuta (triunutrasnja kuta, tri stranice) kruzno redom kojim se pojavljuju u trokutu(dakle, krene od jednog vrha, zapise stranica do njega, pa sljedeci vrh,itd.). Zatim prekrizite pravi kut i sve njemu nesusjedne velicine (kutove)zamijenite komplementima do pravog kuta (tj. razlikom pravog kuta ikuta kojemu trazimo komplement). Tih pet brojeva sad cine Neperovpeterokut. Koja god tri od tih kutova odaberete, jedan (srednji) je ilisusjedan ili nasuprotan drugim dvama. Neperovo pravilo kaze: sinus togsrednjeg kuta je produkt tangensa dvaju susjednih, odnosno produktkosinusa nasuprotnih. Koristeci to pravilo i svojstva trigonometrijskihfunkcija objasnite formulu cos(B) = tg(a)ctg(c) = cos(b) sin(A) za sfernitrokut kojemu je kut C pravi! .


Dodatak: Zemljopisni”izvod” veze sfernog i Kartezijevog

sustava

London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Sydney je na 151◦ istocne zemljopisne duzine i 34◦ juznezemljopisne duljine. Pretpostavite da je Zemlja kugla polumjera 6378km. Kolika je udaljenost Londona do Sydneya?Uzmimo z-os Kartezijevog koordinatnog sustava kroz polove te x-os krozsrediste Zemlje i sjeciste ekvatora s nultim meridijanom (dakle, napozitivnom dijelu x-osi je φ = 0, a na negativnom φ = π; na pozitivnomdijelu z-osi je ρ = 0, a na negativnom ϑ = π). Koliki je ρ na x-osi?y -osi? A φ?

Prvo trazimo Kartezijeve koordinate Londona. One su(3970,4; 0; 4991,5). Koje su pripadne mjerne jedinice? Kako smo dobili tekoordinate? x = r cosα i z = r sinα, gdje je α = 90◦ − ρ = 51,5◦, ar = 6378 km. Koja je dakle veza izmedu Kartezijevih i sfernih koordinataza tocke u (x , z)-ravnini?

x = r sin ρ,

y = 0,

z = r cos ρ.



sustava

London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Sydney je na 151◦ istocne zemljopisne duzine i 34◦ juznezemljopisne duljine. Pretpostavite da je Zemlja kugla polumjera 6378km. Kolika je udaljenost Londona do Sydneya?Uzmimo z-os Kartezijevog koordinatnog sustava kroz polove te x-os krozsrediste Zemlje i sjeciste ekvatora s nultim meridijanom (dakle, napozitivnom dijelu x-osi je φ = 0, a na negativnom φ = π; na pozitivnomdijelu z-osi je ρ = 0, a na negativnom ϑ = π). Koliki je ρ na x-osi?y -osi? A φ?Prvo trazimo Kartezijeve koordinate Londona.

One su(3970,4; 0; 4991,5). Koje su pripadne mjerne jedinice? Kako smo dobili tekoordinate? x = r cosα i z = r sinα, gdje je α = 90◦ − ρ = 51,5◦, ar = 6378 km. Koja je dakle veza izmedu Kartezijevih i sfernih koordinataza tocke u (x , z)-ravnini?

x = r sin ρ,

y = 0,

z = r cos ρ.



sustava

London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Sydney je na 151◦ istocne zemljopisne duzine i 34◦ juznezemljopisne duljine. Pretpostavite da je Zemlja kugla polumjera 6378km. Kolika je udaljenost Londona do Sydneya?Uzmimo z-os Kartezijevog koordinatnog sustava kroz polove te x-os krozsrediste Zemlje i sjeciste ekvatora s nultim meridijanom (dakle, napozitivnom dijelu x-osi je φ = 0, a na negativnom φ = π; na pozitivnomdijelu z-osi je ρ = 0, a na negativnom ϑ = π). Koliki je ρ na x-osi?y -osi? A φ?Prvo trazimo Kartezijeve koordinate Londona. One su(3970,4; 0; 4991,5). Koje su pripadne mjerne jedinice?

Kako smo dobili tekoordinate? x = r cosα i z = r sinα, gdje je α = 90◦ − ρ = 51,5◦, ar = 6378 km. Koja je dakle veza izmedu Kartezijevih i sfernih koordinataza tocke u (x , z)-ravnini?

x = r sin ρ,

y = 0,

z = r cos ρ.



sustava

London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Sydney je na 151◦ istocne zemljopisne duzine i 34◦ juznezemljopisne duljine. Pretpostavite da je Zemlja kugla polumjera 6378km. Kolika je udaljenost Londona do Sydneya?Uzmimo z-os Kartezijevog koordinatnog sustava kroz polove te x-os krozsrediste Zemlje i sjeciste ekvatora s nultim meridijanom (dakle, napozitivnom dijelu x-osi je φ = 0, a na negativnom φ = π; na pozitivnomdijelu z-osi je ρ = 0, a na negativnom ϑ = π). Koliki je ρ na x-osi?y -osi? A φ?Prvo trazimo Kartezijeve koordinate Londona. One su(3970,4; 0; 4991,5). Koje su pripadne mjerne jedinice? Kako smo dobili tekoordinate?

x = r cosα i z = r sinα, gdje je α = 90◦ − ρ = 51,5◦, ar = 6378 km. Koja je dakle veza izmedu Kartezijevih i sfernih koordinataza tocke u (x , z)-ravnini?

x = r sin ρ,

y = 0,

z = r cos ρ.



sustava

London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Sydney je na 151◦ istocne zemljopisne duzine i 34◦ juznezemljopisne duljine. Pretpostavite da je Zemlja kugla polumjera 6378km. Kolika je udaljenost Londona do Sydneya?Uzmimo z-os Kartezijevog koordinatnog sustava kroz polove te x-os krozsrediste Zemlje i sjeciste ekvatora s nultim meridijanom (dakle, napozitivnom dijelu x-osi je φ = 0, a na negativnom φ = π; na pozitivnomdijelu z-osi je ρ = 0, a na negativnom ϑ = π). Koliki je ρ na x-osi?y -osi? A φ?Prvo trazimo Kartezijeve koordinate Londona. One su(3970,4; 0; 4991,5). Koje su pripadne mjerne jedinice? Kako smo dobili tekoordinate? x = r cosα i z = r sinα, gdje je α = 90◦ − ρ = 51,5◦, ar = 6378 km. Koja je dakle veza izmedu Kartezijevih i sfernih koordinataza tocke u (x , z)-ravnini?

x = r sin ρ,

y = 0,

z = r cos ρ.



sustava

London se nalazi na 0◦ zemljopisne duljine i 51◦30′ sjeverne zemljopisnesirine, a Sydney je na 151◦ istocne zemljopisne duzine i 34◦ juznezemljopisne duljine. Pretpostavite da je Zemlja kugla polumjera 6378km. Kolika je udaljenost Londona do Sydneya?Uzmimo z-os Kartezijevog koordinatnog sustava kroz polove te x-os krozsrediste Zemlje i sjeciste ekvatora s nultim meridijanom (dakle, napozitivnom dijelu x-osi je φ = 0, a na negativnom φ = π; na pozitivnomdijelu z-osi je ρ = 0, a na negativnom ϑ = π). Koliki je ρ na x-osi?y -osi? A φ?Prvo trazimo Kartezijeve koordinate Londona. One su(3970,4; 0; 4991,5). Koje su pripadne mjerne jedinice? Kako smo dobili tekoordinate? x = r cosα i z = r sinα, gdje je α = 90◦ − ρ = 51,5◦, ar = 6378 km. Koja je dakle veza izmedu Kartezijevih i sfernih koordinataza tocke u (x , z)-ravnini?

x = r sin ρ,

y = 0,

z = r cos ρ.


A koje su koordinate Sydneya? Da je u (x , z)-ravnini, koordinate bi mubile x ′ = r sin ρ = r sin(90◦ + 34◦) = 5287,6, y ′ = 0 iz ′ = r cos ρ = r cos 124◦ = −3566,53. Koja od njih stvarno odgovaranekoj od Kartezijevih koordinata Sydneya? Zasto?

Ostale dvijekoordinate, tj. x i y , ovise i o azimutu φ. Stoga je izracunata x ′ jednakaudaljenosti projekcije Sydneya na ekvatorijalnu ravninu do sredistaZemlje. Koliki su dakle x i y za Sydney? Kartezijeve koordinate Sydneyasu (−4624,64; 2563,48;−3566,53). Kako smo ih dobili?

x = x ′ cosφ = r cosφ sin ρ,

y = x ′ sinφ = r sinφ sin ρ,

z = z ′ = r cos ρ.


A koje su koordinate Sydneya? Da je u (x , z)-ravnini, koordinate bi mubile x ′ = r sin ρ = r sin(90◦ + 34◦) = 5287,6, y ′ = 0 iz ′ = r cos ρ = r cos 124◦ = −3566,53. Koja od njih stvarno odgovaranekoj od Kartezijevih koordinata Sydneya? Zasto? Ostale dvijekoordinate, tj. x i y , ovise i o azimutu φ. Stoga je izracunata x ′ jednakaudaljenosti projekcije Sydneya na ekvatorijalnu ravninu do sredistaZemlje. Koliki su dakle x i y za Sydney?

Kartezijeve koordinate Sydneyasu (−4624,64; 2563,48;−3566,53). Kako smo ih dobili?



z = z ′ = r cos ρ.


A koje su koordinate Sydneya? Da je u (x , z)-ravnini, koordinate bi mubile x ′ = r sin ρ = r sin(90◦ + 34◦) = 5287,6, y ′ = 0 iz ′ = r cos ρ = r cos 124◦ = −3566,53. Koja od njih stvarno odgovaranekoj od Kartezijevih koordinata Sydneya? Zasto? Ostale dvijekoordinate, tj. x i y , ovise i o azimutu φ. Stoga je izracunata x ′ jednakaudaljenosti projekcije Sydneya na ekvatorijalnu ravninu do sredistaZemlje. Koliki su dakle x i y za Sydney? Kartezijeve koordinate Sydneyasu (−4624,64; 2563,48;−3566,53). Kako smo ih dobili?



z = z ′ = r cos ρ.


A koje su koordinate Sydneya? Da je u (x , z)-ravnini, koordinate bi mubile x ′ = r sin ρ = r sin(90◦ + 34◦) = 5287,6, y ′ = 0 iz ′ = r cos ρ = r cos 124◦ = −3566,53. Koja od njih stvarno odgovaranekoj od Kartezijevih koordinata Sydneya? Zasto? Ostale dvijekoordinate, tj. x i y , ovise i o azimutu φ. Stoga je izracunata x ′ jednakaudaljenosti projekcije Sydneya na ekvatorijalnu ravninu do sredistaZemlje. Koliki su dakle x i y za Sydney? Kartezijeve koordinate Sydneyasu (−4624,64; 2563,48;−3566,53). Kako smo ih dobili?



z = z ′ = r cos ρ.


Kolika je udaljenost Londona do Sydneya? Da se mogu spojitipravocrtno, primjerice tunelom kroz Zemlju, udaljenost im odgovaraudaljenosti tocaka prostora koje u Kartezijevom koordinatnom sustavuimaju koordinate (3970,4; 0; 4991,5) i (−4624,64; 2563,48;−3566,53).Udaljenost tocaka A(xA, yA, zA) i B(xB , yB , zB) u Kartezijevomkoordinatnom sustavu dana je s

d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − za)2.

U nasem slucaju dobijemo”podzemnu” udaljenost Londona do Sydneya

12397 km. Kako iz nje dobiti stvarnu udaljenost na sferi?

d = R sin θ

l

2Rπ=

θ

2π

l = 17003,6 km



d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − za)2.



d = R sin θ

l

2Rπ=

θ

2π

l = 17003,6 km



d(A,B) =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − za)2.



d = R sin θ

l

2Rπ=

θ

2π

l = 17003,6 km

Documents

Trigonometrija i koordinatni sustavi malo staroga, …bruckler/repetitorij.pdfTrigonometrija i koordinatni sustavi | malo staroga, malo novoga Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb