Vienintelis sprendinys Sprendiniu˛ n˙era Be galo daug ...olgas/SM/2P_SM6.pdf · sprendimas endini Ð A 21 0 63 6x 1 x 2 = 9 2x 1 x 2 = 3 Gra Graf fi inis prendimas s nis sprendimas

Tiesiniu lygciu sistemu sprendimas

Olga Štikoniene

Diferencialiniu lygciu ir skaiciavimo matematikos katedra, MIF VU

2013-02-11

Skaitiniai metodai (MIF VU) Tiesiniu lygciu sistemu sprendimas 1 / 75

TLS sprendimas

Antrasis Niutono desnis – judejimo lygtisAntrasis Antrasis Newton’Newton’oo dėsnisdėsnis –– judėjimo lygtisjudėjimo lygtis

Masių-spyruokliųspyruoklių

sistema

Kirchhofo taisyklės

El kt

Pirmoji Kirchhofo taisyklė: kad į mazgą sutekančių srovių stiprių algebrinė suma lygi

Elektros grandinės

nuliui: 0.kk

I Antroji Kirchhofo taisyklė: bet kokio uždaro kontūro šakomis tekančių srovių stiprių ir varžų sandaugų algebrinė suma lygi tame kontūre esančių šaltinių g yg ų ųelektrovarų algebrinei sumai: .k k j

k jI R

Masiu-spyruokliusistema

Kirchhofo taisykles

ε

R1 R2

R5

R3 R4

I

I1 I2

I3 I4

I5

1 Bet kuriame grandines mazge sroviualgebrine suma lygi nuliui:

∑k Ik = 0.

2 Bet kuriame elektrines grandineskonture itampu algebrine suma lyginuliui:

∑k εk = 0.

Rezistorius: εk = IkRk (Omo desnis:stiprio ir varžos sandauga).


TLS sprendimas

Taikymai

Žaliavos Žal. norma, gaminant 1 batu pora Žal. sanaudostipai Batai Basutes Aulinukai 1 dienaiS1 5 3 4 2700S2 2 1 1 900S3 3 2 2 1600

Tegul kasdien gaminama x1 poru batu, x2 poru basuciu ir x3 poruaulinuku.

5x1 + 3x2 + 4x3 = 2700

2x1 + x2 + x3 = 900

3x1 + 2x2 + 2x3 = 1600.

Atsakymas: x1 = 200, x2 = 300, x3 = 200.Skaitiniai metodai (MIF VU) Tiesiniu lygciu sistemu sprendimas 3 / 75

TLS sprendimas

Tiesine lygciu sistema

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

· · · · · ·an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn,

Lygciu sistema patogu užrašyti matriciniu pavidalu

Ax = b arba

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

x1x2· · ·xn

=

b1b2· · ·bn

.


TLS sprendimas

Matricu atskiri atvejai (žymejimai)

istrižainine matrica

D =

d11 0 0 00 d22 0 00 0 d33 00 0 0 d44

apatine trikampe matrica

L =

a11 0 0 0a21 a22 0 0a31 a32 a33 0a41 a42 a43 a44

vienetine matricaAI = IA = A

I =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

viršutine trikampematrica

U =

a11 a12 a13 a140 a22 a23 a240 0 a33 a340 0 0 a44


TLS sprendimas

Juostines matricos

Matrica A yra juostine, jei ∃ r ∈ N : r < n, toks, kad aij = 0, kai|i− j| > r, i, j = 1, . . . , n.T.y. išskyrus juostas plocio 2r + 1 prie pagrindines istrižaines, visikiti elementai yra nuliniai.

Triistrižaine matrica– trys nenulines istrižaines.

r = 1 :

• •• • •• • •• • •• • •• •

r = 2 :

• • •• • • •• • • • •• • • • •• • • •• • •


TLS sprendimas

Juostines matricos

Juostines matricos – išskyrus juostas prie pagrindines istrižaines visikiti elementai yra nuliniai.

Triistrižaine matrica– trys nenulines istrižaines.

T =

a11 a12 0 0a21 a22 a23 00 a32 a33 a340 0 a43 a44

.


Gauso metodas

Tiesiniu lygciu sistemu sprendimas - mažos matricos

Kai lygciu sistemoje nedaug galima lengvai išspresti:Grafinis sprendimas;Kramerio metodas;Kintamuju eliminavimas.GraGraffiinisnis sprendimassprendimas1 2 2 12 3 2 3

pertvarkome 3 3

x x x xx x x x

Vienintelis sprendinys1 2 2 13 3x x x x

x1 + x2 = 3

2x1 – x2 = 3

Vienintelis sprendinys

|A| =∣∣∣∣ 1 1

2 −1

∣∣∣∣ = −3;

GraGraffiinisnis sprendimassprendimasSprendinių nėra A

2 1det 0

2 1

2x1 – x2 = – 1

2x1 – x2 = 3

Sprendiniu nera

|A| =∣∣∣∣ 2 −1

2 −1

∣∣∣∣ = 0;

GraGraffiinisnis sprendimassprendimasBe galo daug sprendinių A

2 1det 0

6 3

6x1 – 3x2 = 92x1 – x2 = 3

Be galo daug sprendiniu

|A| =∣∣∣∣ 2 −1

6 −3

∣∣∣∣ = 0.


Gauso metodas

Blogai salygotas uždavinysGraGraffiinisnis sprendimassprendimasBlogai sąlygotas uždavinys 2 1

det 0,12,1 1

A

2x1 – x2 = 31 2

2 1 32,1x1 – x2 = 3

det A =

∣∣∣∣ 2 −12, 1 −1

∣∣∣∣ = 0, 1.

Analize{a11x1 + a12x2 = b1a21x1 + a22x2 = b2

⇒

{x2 = −a11

a12x1 + b1

a12

x2 = −a21a22

x1 + b2a22

.

Krypciu koeficientai beveik lygus a11a12

≈ a21a22

.Kas atsitinka, kai TLS determinantas yra mažas?

det A =

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ ≈ 0

det A = 0 - tiesiškai priklausoma sistema.Dalyba iš mažo skaiciaus : didele apvalinimo paklaida.Reikšminiu skaitmenu praradimas.


Gauso metodas

Grafinis sprendimas: 3 lygtys

3x− 2y− z = −3−2x + 3y− z = 2x + y− z = 5.

MATLAB:» xx=-10:1:10; yy=-10:1:10; [x,y]=meshgrid(xx,yy);» z1=3*x-2*y+3; z2=-2*x+3*y-2; z3=x+y-5;» surf(x,y,z1); hold on; surf(x,y,z2); surf(x,y,z3);

GraGraffiinisnis sprendimassprendimas: : 3 lygtys3 lygtys» xx=-10:1:10; yy=-10:1:10; [x,y]=meshgrid(xx,yy);» z1=3*x-2*y+3; z2=-2*x+3*y-2; z3=x+y-5;

f( 1) h ld f( 2) f( 3)» surf(x,y,z1); hold on; surf(x,y,z2); surf(x,y,z3);


Gauso metodas

Tiesiniu lygciu sistemu (TLS) sprendimas

Sistemos Ax = b vienintelis sprendinys egzistuoja, jei det A 6= 0.Kramerio taisykle:

xi =det Ai

det A.

Pavyzdys: kompiuteriui, atliekanciam109 operaciju/sec. (t.y. 1 gigaflops), reikalinga:

n = 15 12 valandu,n = 20 3240 metu,n = 100 10143 metai,

1010 operaciju/sec.,reikalinga:

n = 10 10−5 sec.,n = 20 1 3

4 min.,n = 30 4 · 104 metai,

skaiciuojant determinantus pagal apibrežima (arba skleidžiant eilute).

AlternatyvaTiesioginiai sprendimo metodai;Iteraciniai metodai.


Gauso metodas


TLS Ax = b sprendimo metodu apžvalga

Tiesioginiai metodai

(< 104 nežinomuju)Tikslus sprendinysgaunamas per baigtinižingsniu skaiciu.

Gauso;Skaidos;Choleckio;Perkelties.

Iteraciniai metodai

(< 107 nežinomuju)Randamas apytikslissprendinys bet kokiu norimutikslumu.

Jakobio;Zeidelio;Relaksacijos;Mišrusis;

Variaciniai metodai(> 107 nežinomuju).


Gauso metodas


TLS Ax = b sprendimo metodu apžvalgaPasirinkimas tarp tiesioginiu ir iteraciniu metodu gali priklausyti nuokeliu faktoriu:

teorinis metodo efektyvumas,matricos tipas,atminties laikymo reikalavimai,kompiuteriu architektura.


Gauso metodas

TLS Ax = b tiesioginiai sprendimo metodai

(< 104 nežinomuju)Tikslus sprendinys gaunamas per baigtini žingsniu skaiciu.

Tiesioginiai metodai

Gauso metodas.Skaidos metodai Axi = bi, i = 1, . . . ,m.

Choleckio metodas - taikomas, kai matrica A simetrine ir teigiamaiapibrežta.

Perkelties algoritmas - sprendžia TLS su triistrižaine matrica.


Gauso metodas

Gauso metodas

Nuoseklus nežinomuju šalinimas;Sistemos matricos pertvarkymas i viršutine trikampe matrica

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

→ U =

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · ann

.

Sprendinys randamas iš pertvarkytosios sistemos.

Pirmoji lygtis yra pagrindine lygtis,a11 yra pagrindinis elementas (iš jo dalijama visa lygtis) ir t.t. (aii)Paprastas Gauso metodas: aii 6= 0.


Gauso metodas

Gauso metodo esme

Tiesioginis metodas (nera iteraciju).

Tiesiogine eiga:1 Elementu po pagrindine istrižaine nuoseklus šalinimas

stulpeliuose;2 Suvedimas i viršutine trikampe matrica.

Atbuline eiga:

Gaunamas sprendinys x = (x1, x2, · · · , xn).

Ekvivalentieji pertvarkiai:

Lygtis dauginama iš skaiciaus, nelygaus nuliui;Dvi lygtys keiciamos vietomis;Lygtis, padauginta iš skaiciaus, pridedama prie kitos lygties.


Gauso metodas

Gauso metodo algoritmas

1 Tiesiogine eigaSu visais j : j = 1, . . . , n− 1su visais k : k = j + 1, . . . , n

j-aji lygtis dauginama iš akj/ajj

ir atimama iš k-osios lygtiesGauname viršutine trikampe matrica.

2 Atbuline eiga

1) apskaiciuojame xn:

xn = b(n−1)n /a(n−1)

nn

2) istatome xn i (n− 1)-aji lygti ir randame xn−1;3) analogiškai kartojame 2) ir apskaiciuojame

xn−2, xn−3, . . . x1.


Gauso metodas

Pavyzdys - Gauso metodas

Pažymekime lkj =akjajj

.1 0 2 3−1 2 2 −3

0 1 1 46 2 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣1−1

21

l21 = −1l31 = 0l41 = 6

1 0 2 30 2 4 00 1 1 40 2 −10 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

(2 lygtis)− l21(1 lygtis)(3 lygtis)− l31(1 lygtis)(4 lygtis)− l41(1 lygtis)


Gauso metodas

Pavyzdys - kintamuju šalinimas

1 0 2 3

0 2 4 00 1 1 40 2 −10 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

l32 = 1/2l42 = 1

1 0 2 30 2 4 00 0 −1 40 0 −14 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

(3 lygtis)− l32(2 lygtis)(4 lygtis)− l42(2 lygtis)


Gauso metodas

Pavyzdys - kintamuju šalinimas ir atbuline eiga

1 0 2 3

0 2 4 00 0 −1 40 0 −14 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

l43 = 14

1 0 2 30 2 4 00 0 −1 40 0 0 −70

∣∣∣∣∣∣∣∣102

−33

(4 lygtis)− l43(3 lygtis)

x4 =−33−70

=3370

, x3 =4x4 − 2 = − 435

,

x2 = −2x3 =835

, x1 =1− 2x3 − 3x4 = −1370

.

Sprendinys

X =

33/70−4/35

8/35−13/70


Gauso metodas

Gauso metodo skaiciavimo apimtis

Svarbi, kai matricos yra dideles.Computational work estimate: one floating-point operation (flop) is onemultiplication (or division) and possibly addition (or subtraction) as iny = a× x + b, where a, x, b and y are computer representations of realscalars.

Tiesiogine eiga O(23 n3) aritmetiniu veiksmu;

Atbuline eiga O(12 n2) aritmetiniu veiksmu.


Gauso metodas

Gauso metodo skaiciavimo apimtis

Išorinis ciklas Vidinis ciklas +/− ∗/÷j k veiksmai veiksmai1 2, n (n− 1)n (n− 1)(n + 1)2 3, n (n− 2)(n− 1) (n− 2)n...

......

...j j + 1, n (n− j)(n− j + 1) (n− j)(n− j + 2)...

......

...n− 1 n, n 1 · 2 1 · 3

Tiesiogines eigos bendroji skaiciavimo apimtis = 2n3/3 + O(n2)aritmetiniu operaciju.Atbulines eigos bendroji skaiciavimo apimtis = n2 + O(n)aritmetiniu operaciju.


Gauso metodas

Skaiciavimo operaciju apimtis

Slankaus kablelio operaciju skaicius Gauso metodui

n Ties. Atbul. Bendras 2n3

3 %eiga eiga veiksmu sk. Ties. eiga

10 705 100 805 667 87, 58%100 671550 104 681550 666667 98, 53%

1000 6, 67 · 108 106 6, 68 · 108 6, 68 · 108 99, 85%

Augant n sparciai dideja skaiciavimo laikas.Daugiausiai veiksmu reikalauja tiesiogine eiga.Metodo efektyvumas labiausiai priklauso nuo tiesiogines eigos.


Gauso metodas

Apvalinimo paklaidos

Didele dalis skaiciavimu su 13 n3 operaciju.

Svarbu – paklaida dideja.Didelems sistemoms (virš 100 lygciu), apvalinimo paklaida galibuti pakankamai didele.Blogai salygoti uždaviniai – maži koeficientu pokyciai lemiadidelius sprendiniu pokycius.Apvalinimo paklaidu analize ypac svarbi blogai salygotiemsuždaviniams.


Gauso metodas

Determinantas

Skaiciuojamas naudojant Gauso metoda:

A =

a11 a12 a13 · · · a1n

a21 a22 a23 · · · a2n

a31 a32 a33 · · · a3n

· · · · · · · · · · · · · · ·an1 an2 an3 · · · ann

→ U =

a11 a12 a13 · · · a1n

0 a22 a23 · · · a2n

0 0 a33 · · · a3n

· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ann

.

det A = det U = a11a22 · · · ann.


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas

Gauso metodo galimi sunkumai

Dalyba iš nulio.Apvalinimo paklaidos.Blogai salygoti uždaviniai.

Pagrindinio elemento parinkimas nereikalingas, jei

Išpildyta pagrindines istrižaines vyravimo salyga

|aii| >n∑

j=1,j 6=i

|aji|, i = 1, . . . , n.

Matrica A yra simetrine ir teigiamai apibrežta

AT = A, ∀x 6= 0 (Ax, x) = xTAx > 0.


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimo budai

Pagrindinio elemento parinkimas1 iš stulpelio elementu:

Pagrindinis elementas parenkamas iš stulpelio elementu. Šios dvilygtis sukeiciamos vietomis.

2 iš eilutes elementu:Pagrindinis elementas parenkamas iš pertvarkomos eiluteselementu. Sukeiciamos vietomis matricos A stulpeliai irisimenama naujoji nežinomuju tvarka.

3 pagal lygties koeficientu moduliu suma:Kiekvienoje lygtyje randamas didžiausiai koeficientas, iš jopadalijama atitinkama lygtis. Lygtys sukeiciamos vietomis,pernumeruojami nežinomieji.


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementu

Pertvarkant k-aja eilute, randama kita lygtis, kurioje koeficientas prie xk

yra didžiausias;pažymekime šios lygties numeri m;šiuo atveju pagrindinis elementas yra

|amk| = maxk6i6n

|aik|.

Šios dvi lygtys sukeiciamos vietomis, ir m-osios lygties koeficientasprie xk tampa pagrindiniu elementu – iš jo dalijami eilutes elementai.


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementu - pavyzdys I

x1 +2x3 + 3x4 = 1−x1 +2x2 +2x3 − 3x4 = −1

x2 +x3 + 4x4 = 26x1 +2x2 +2x3 + 4x4 = 1.

1 0 2 3−1 2 2 −3

0 1 1 46 2 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣1−1

21


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementu - pavyzdys II

Keiciamos 1 ir 4 eilutes6 2 2 4−1 2 2 −3

0 1 1 41 0 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣1−1

21

f21 = −1/6f31 = 0f41 = 1/6

6 2 2 4

0 7/3 7/3 −7/30 1 1 40 −1/3 5/3 7/3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1

−5/62

5/6

(2 lygtis)− (1 lygtis) · f21(3 lygtis)− (1 lygtis) · f31(4 lygtis)− (1 lygtis) · f41


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementu - pavyzdys III

6 2 2 40 7/3 7/3 −7/30 1 1 40 −1/3 5/3 7/3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1

−5/62

5/6

keitimu nera

f32 = 3/7f42 = 1/7

6 2 2 40 7/3 7/3 −7/30 0 0 50 0 2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣1

−5/633/14

5/7

(3 lygtis)− (2 lygtis) · f32(4 lygtis)− (2 lygtis) · f42


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas iš stulpelio elementu - pavyzdys IV

6 2 2 4

0 7/3 7/3 −7/30 0 2 20 0 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣1

−5/65/7

33/14

keiciamos 3 ir 4 eilutesf43 = 0

x4 =3370

, x3 = (57− 2x4)

12

= − 435

,

x2 = (−56

+73

x4 −73

x3)37

=835

,

x1 = (1− 4x4 − 2x3 − 2x2)16

= −1370

.

Sprendinys

X =

− 13

70835− 4

353370


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas iš eilutes elementu

Pertvarkant k-aja eilute, didžiausias jos koeficientas (pažymekime jonumeri m) yra

|akm| = maxk6j6n

|akj|.

Radus pagrindini elementa, pernumeruojami abu nežinomieji xk ir xm;isimenama naujoji nežinomuju tvarka.


Gauso metodas

Pagrindinio elemento parinkimas pagal lygties koeficientu moduliu suma

1 Kiekvienoje lygtyje randamas didžiausiai koeficientas ir iš jopadalijama atitinkama lygtis:

|aimi | = maxk6j6n

|aij|, k 6 i 6 j, a′ij =

aij

aimi

, k 6 i, j 6 n.

2 Lygtys sukeiciamos vietomis taip, kad k-aja lygtimi taptu ta(pažymekime jos numeri m), kurios koeficientu moduliu suma yramažiausia:

mink6i6n

n∑j=k

|a′ij| =n∑

j=k

|a′mj|.

3 Nežinomieji pernumeruojami taip, kad nežinomasis sudidžiausiuoju koeficientu butu xk.


Gauso metodas

Pavyzdys (R. Ciegio, V. Budos vadov. 68 p. )

1 Kiekviena lygtis dalijama iš atitinkamo didžiausiojo koeficiento:Σ|aij| 100 100 10, 2 20 1

0, 05 0, 2 0, 5

∣∣∣∣∣∣∣101

⇒ 1 1 0, 01

0, 01 1 0, 050, 1 0, 4 1

∣∣∣∣∣∣0, 01

02

2, 011.06

1.5

2 Antra lygtis (mažiaus. koef. moduliu suma) sukeiciama su pirmajavietomis: x1 x2 x3 0, 01 1 0, 05

1 1 0, 010, 1 0, 4 1

∣∣∣∣∣∣0

0, 012

1 - pagrindinis elementas.


Gauso metodas

3 Pernumeruojami nežinomieji ir atliekamas Gauso metodotiesiogines eigos žingsnis:

x2 x1 x3 x2 x1 x3

1 0, 01 0, 051 1 0, 01

0, 4 0, 1 1

∣∣∣∣∣∣0

0, 012

⇒

1 0, 01 0, 050 0, 99 −0, 040 0, 096 0, 98

∣∣∣∣∣∣∣0

0, 012

4 Analogiškai nustatomas kitas pagrinsinis elementas:

x2 x1 x3 Σ|aij| 1 0, 01 0, 050 1 −0, 04040 0, 98 1

∣∣∣∣∣∣0

0, 01012, 0408

1, 04041, 098


Gauso metodas

5

x2 x1 x3 x2 x1 x3 1 0, 01 0, 050 1 −0, 04040 0 1, 0040

∣∣∣∣∣∣0

0, 01012.0398

⇒ 1 0, 01 0, 05

0 1 −0, 04040 0 1

∣∣∣∣∣∣0

0, 01012.0317

⇒ x ≈

0, 092−0, 103

2, 032

Tikslumas 0,001.


Triistrižaines sistemos


Triistrižaine matrica– trys nenulines istrižaines.Juostiniu matricu atskiras atvejisSaugojama 3× n elementu vietoje n× n.

b1 c1a2 b2 c2

. . . . . . . . .ai bi ci

. . . . . . . . .an−1 bn−1 cn−1

an bn

x1x2...xi...

xn−1xn

=

d1d2...di...

dn−1dn

.



Perkelties metodasPerkelties metodasPerkelties metodas1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 3 2

b x c x da x b x c x d

1 1i i i i i i ia x b x c x d

dd

1 2 1 1 1 1

1

n n n n n n n

n n n n n

a x b x c x da x b x d

1 11 1

1 1

2 2 2 1

1 11 2

1 1

2 2 2 1

; , ;

;

c dC D

b bc d a D

C D

c dx x

b bc d a D

x x

pažymėkime

2 22 1 2 2

2 32 1 2 2 1 2

1

1 2

; ,

, 2, 3, , 1;kk

k k k

C Dx xa C b a C b

cC k n

a C b

a C b a C b

1

1

1 , 2, 3, , .

k k k

k k kk

k k k

a C bd a D

D k na C b

1

,, 1, , 2,1.

n n

k k k k

x Dx C x D k n



Perkelties metodo algoritmas

Thomas algorithm, tridiagonal matrix algorithm (angl.)

1 Tiesiogine eiga

C1 = − c1

b1, D1 =

d1

b1;

Ck = − ck

akCk−1 + bk, k = 2, 3 . . . , n− 1;

Dk =dk − akDk−1

akCk−1 + bk, k = 2, 3 . . . , n.

2 Atbuline eiga

xn = Dn;

xk = Ckxk+1 + Dk, k = n− 1, n− 2 . . . , 1.



Perkelties metodo pakankama konvergavimo salyga

Pagrindines istrižaines vyravimo salygaJei

1

|bi| > |ai|+ |ci|, i = 1, · · · , n

2 ir bent su vienu i galioja griežta nelygybe,tai dalyba iš nulio ar labai mažo skaiciaus perkelties metodo eigojenegalima.



Pavyzdys

Perkelties metodu išspresime sistema2x1 −x2 = 1−x1 +2x2 −x3 = 0

−x2 +2x3 = 1.

Sprendimas:

1 Tiesiogine eiga C1 = −−12 = 1

2 , D1 = 12 ;

C2 = − −1− 1

2 + 2=

23, D2 =

0 + 12

32

=13

;

D3 =1 + 1

3

− 23 + 2

= 1.

2 Atbuline eiga x3 = 1, x2 = C2x3 + D2 = 1, x1 = C1x2 + D1 = 1.



Perkelties metodo skaiciavimo apimtis

C1 = − c1

b1, D1 =

d1

b1;

Ck = − ck

akCk−1 + bk, k = 2, 3 . . . , n− 1;

Dk =dk − akDk−1

akCk−1 + bk, k = 2, 3 . . . , n.

Tiesiogine eiga

Daugybu / Dalybu:2+4(n−2)+3 = 4n−3;Sudeciu / Atimciu2(n− 2) + 2 = 2n− 2.

xn = Dn;

xk = Ckxk+1 + Dk, k = n− 1, n− 2 . . . , 1.

Atbuline eigaDaugybu n− 1;Sudeciu n− 1

Pirmojo etapo bendroji skaiciavimoapimtis = 6n− 5.Antrojo etapo bendroji skaiciavimoapimtis = 2n− 2.

Iš visoproporcinga 8n,kai n� 1.



Perkelties metodas: Skaiciavimo apimtis

Gauso metodas:O(2

3 n3) aritmetiniu operaciju;Perkelties metodas:O(8n) aritmetiniu operaciju.

Perkelties metodas 112 n2 kartu greiciau nei Gauso metodas sprendžia

triistrižaines lygciu sistemos.


Skaidos metodai

Gauso metodas - analize

Gauso metodas – veiksmai su matricomis A1 - sistemos matrica popirmojo kintamojo eliminavimo:

A(1) =

a11 a12 a13 . . . a1n

0 a122 a1

23 . . . a12n

0 a132 a1

33 . . . a13n

. . . . . . . . . . . . . . .0 a1

n2 a1n3 . . . a1

nn

, b(1) = {b1, b12, . . . , b1

n}>.

Ivedame matrica L1

L1 =

1 0 0 . . . 0−l21 1 0 . . . 0−l31 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .−ln1 0 0 . . . 1

.

Akivaizdu, kadA(1) = L1A,b(1) = L1b.


Skaidos metodai

Analogiškai po antro GM žingsnio A(2)x = b(2), cia A(2) = L2A(1),b2 = L2b(1),

A(2) =

a11 a12 a13 . . . a1n

0 a122 a1

23 . . . a12n

0 0 a233 . . . a2

3n. . . . . . . . . . . . . . .0 0 a2

n3 . . . a2nn

, L2 =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 −l32 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 −ln2 0 . . . 1

,

b(2) ={

b1, b12, b2

3, . . . , b2n}>

.


Skaidos metodai

Po n− 1 žingsnio gausime A(n−1)x = b(n−1),A(n−1) = Ln−1 · A(n−2),b(n−1) = Ln−1b(n−2),

A(n−1)=

a11 a12 a13 . . . a1n0 a1

22 a123 . . . a1

2n0 0 a2

33 . . . a23n

. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . a(n−1)nn

, Ln−1 =

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 00 0 . . . −ln,n − 1 1

,

b(n−1) = {b1, b12, b2

3, . . . , bn−1n }>. Gauname

A(n−1) = Ln−1 . . .L2L1A, b(n−1) = Ln−1 . . .L2L1b,

Iš ciaA = L−1

1 L−12 . . .L−1

n−1 · A(n−1).


Skaidos metodai

A = L−11 L−1

2 . . .L−1n−1 · A

(n−1).

Cia

L−11 =

1 0 0 . . . 0

l21 1 0 . . . 0l31 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .ln1 0 0 . . . 1

, L−12 =

1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 00 l32 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 ln2 0 . . . 1

,

L−1n−1 =

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 00 0 . . . ln,n−1 1

.


Skaidos metodai

Pažymekime U = A(n−1) ir L = L−11 L−1

2 . . .L−1n−1, cia

L =

1 0 0 . . . 0

l21 1 0 . . . 0l31 l32 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .ln1 ln2 ln3 . . . 1

,

Tada A = LU.Tiesiogine Gauso metodo eiga yra vienas iš budu gauti matricos A LUskaidini.


Skaidos metodai

TeoremaJei visi matricos A pagrindiniai minorai nelygus nuliui, tai ∃! apatinetrikampe matrica L(lii = 1∀i) ir viršutine trikampe matrica U tokie, kadA = LU.


Skaidos metodai

Skaidos metodas

Kitas tiesiniu lygciu sistemu Ax = b sprendimo metodas.LU dekompozicija – matrica A išskaidome i sandauga.Egzistuoja tokios matricos L (apatine trikampe) ir U (viršutinetrikampe), kad

A = LU⇒

Ax = b ⇔ LUx = b

Ld = b, Ux = dPranašumas: viena karta apskaiciavus L ir U, galima spresti sistemassu skirtingais b1, · · · ,bm nekartojant matricos A išskaidymo.


Skaidos metodai

Skaidos metodo žingsniai

1 Išskaidome A i L ir U sandauga;2 Žinant b randame d iš Ld = b;3 Sprendžiant Ux = d apskaiciuojame x

(Gauso metodo atbuline eiga).

Ld = b⇔

l11 0 0 0l21 l22 0 0...

......

...ln1 ln2 · · · lnn

d1d2...

dn

=

b1b2...

bn

Ux = d⇔

u11 u12 · · · u1n

0 u22 · · · u2n...

......

...0 0 · · · unn

x1x2...

xn

=

d1d2...

dn

Skaidos metodo žingsniai

Ax = b

U L

Ld = b

d

Ux = d

x

1) Skaidimas

2) Tiesioginis keitimas

3) Atbulinis keitimas


Skaidos metodai

Skaidos metodaspagristas Gauso metodu;spartesnis (daug kartu sprendžiant sistemas su ta pacia matricaA).

Skaidos metodo dekompozicija (nera vienintele)Doolittle dekompozicija lii = 1;Crout dekompozicija uii = 1;Cholesky dekompozicija (simetrinems matricoms) lii = uii.


Skaidos metodai

LU metodo algoritmas:

1)IšskaidymasLU metodo algoritmas (išskaidymas)LU metodo algoritmas (išskaidymas)

( by matrix)

Staring the first row of , for 1 1

[ ] [ ][ ], 1, 2, ......, ;i i

A L U N NU u a i N

g ,

then the first column of , for

Then alternatively determine the 2nd row o

1, 1,

,1 ,1 1,1

, , , , ;

, / 2, ......, ;i i

j jL l a u j N

f ,UThen alternatively determine the 2nd row o

f for

and 2nd column of2, 2, 2,1 1,

,2, 3, ......, ;

;i i i

Uu a l u i N

L

th

and 2nd column of for then ,2 ,2 ,1 1,2 2,2

1

;( ) / , 3, ......, ;j j j

n

Ll a l u u j N

thand n row of for , , , ,1

, , ..., ;n i n i n k k ik

U u a l u i n N

1n thand n column of

f til f [ ]

, , , , ,1

, / ,

1

j n j n j k k n n nk

th

L l a l u u

j N N U

for ..........until row of [ ].1, ..., ; thj n N N U


Skaidos metodai

LU metodo algoritmas: 2)-3)

2) Tiesiogine eiga (keitimas)

di = bi −i−1∑j=1

lijdj i = 1, . . . , n

Gauname viršutine trikampe matrica.3) Atbuline eiga (kaip ir Gauso metode):

xn = dn/ann

xi =di −

∑nj=i+1 uijxj

uii, i = n− 1, . . . , 2, 1.


Skaidos metodai

Doolittle dekompozicijaDoolittle LU Doolittle LU dekompozicijadekompozicija

11 12 13 14 11 12 13 14

21 22 23 24 21 22 23 24

0 0 011 0 0 0

a a a a u u u ua a a a l u u u 21 22 23 24 21 22 23 24

31 32 33 34 31 32 33 34

41 42 43 44 41 42 43 44

11

1

0 0 00 0 0

0 0 0

a a a a l u u uA

a a a a l l u ua a a a l l l u

41 42 43 44 41 42 43 441 0 0 0a a a a l l l u

u u u u 11 12 13 14

21 11 21 12 22 21 13 23 21 14 24

31 11 31 12 32 22 31 13 32 23 33 31 14 32 24 34

u u u ul u l u u l u u l u u

Al u l u l u l u l u u l u l u u

31 11 31 12 32 22 31 13 32 23 33 31 14 32 24 34

41 11 41 12 42 22 41 13 42 23 43 33 41 14 42 24 43 34 44

l u l u l u l u l u u l u l u ul u l u l u l u l u l u l u l u l u u

11 11 12 12 13 13 14 141 eilutė : ; ; ; u a u a u a u a

21 21 11 31 31 11 41 41 111 stulpelis: / ; / ; /l a u l a u l a u


Skaidos metodai

Doolittle dekompozicijaDoolittle LU Doolittle LU dekompozicijadekompozicijap jp j

2414212313212212211121

14131211

uululuululululul

uuluuluululuuuu

A

44344324421441334323421341224212411141

34243214313323321331223212311131

uulululululululululuululuululululul

2 eilutė : ; ;l u u a l u u a l u u a 21 12 22 22 21 13 23 23 21 14 24 24

22 22 21 12

2 eilutė : ; ; l u u a l u u a l u u a

u a l ul

23 23 21 13

24 24 21 14

u a l uu a l u

31 12 32 22 32 41 12 42 22 42

32 31 12 42 41 12

2 stulpelis: ; l u l u a l u l u aa l u a l u

32 31 12 42 41 1232 42

22 22

a l u a l ul l

u u


Skaidos metodai

Doolittle dekompozicijaDoolittle LUDoolittle LU dekompozicijadekompozicijaDoolittle LU Doolittle LU dekompozicijadekompozicija

2414212313212212211121

14131211

uululuululululul

uuluuluululuuuu

A

44344324421441334323421341224212411141

34243214313323321331223212311131

uulululululululululuululuululululul

31 31eilutė : ; 13 32 23 33 33 14 32 24 34 34

33 33 31 13 32 23

3 l u l u u a l u l u u au a l u l u

33 33 31 13 32 23

34 34 31 14 32 24u a l u l u

3 stulpelis: ( )43 43 41 13 42 23l a l u l u

4 eilutė: 44 44 41 14 42 24 43 34u a l u l u l u


Skaidos metodai

Skaidos metodas

1 LU dekompozicija (skaidimas) Ax = LUx = b2 Tiesioginis keitimas Ld = b3 Atbulinis keitimas Ux = d

Tiesioginis keitimas yra spartesnis nei kintamuju šalinimas (Gausometodas)Gauso metodas:Tiesiogines eigos etapas turi kartotis sprendžiant sistemos suskirtingais bi.LU dekompozicija:išskaidymas A = LU nepriklauso nuo bi!


Skaidos metodai

Pavyzdys

Jau išsprestas Gauso metodu (18-20 skaidres). Pakartosime jotiesiogines eigos etapa, kad gauti matricos U ir L. Pažymekimelkj =

akjajj

. 1 0 2 3−1 2 2 −3

0 1 1 46 2 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣1−1

21

l21 = −1l31 = 0l41 = 6

1 0 2 30 2 4 00 1 1 40 2 −10 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

(2 lygtis)− l21(1 lygtis)(3 lygtis)− l31(1 lygtis)(4 lygtis)− l41(1 lygtis)


Skaidos metodai

1 0 2 3

0 2 4 00 1 1 40 2 −10 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

l32 = 1/2l42 = 1

1 0 2 30 2 4 00 0 −1 40 0 −14 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

(3 lygtis)− l32(2 lygtis)(4 lygtis)− l42(2 lygtis)


Skaidos metodai

Pavyzdys - kintamuju šalinimas ir atbuline eiga

1 0 2 3

0 2 4 00 0 −1 40 0 −14 −14

∣∣∣∣∣∣∣∣102−5

l43 = 14

Viršutine trikampe matrica U:

U =

1 0 2 3

0 2 4 00 0 −1 40 0 0 −70

∣∣∣∣∣∣∣∣102

−33

(4 lygtis)− l43(3 lygtis)

Matricos L elementai yratiesiogines Gauso metodoeigos daugikliai:

L =

1 0 0 0−1 1 0 0

0 1/2 1 06 1 14 1


Skaidos metodai

LU metodas - pavyzdys

Tada

Ld =

1 0 0 0−1 1 0 0

0 1/2 1 06 1 14 1

d1d2d3d4

=

1−1

21

d1 = 1,

d2 = −1 + d1 = −1 + 1 = 0,

d3 = 2− 0, 5 ∗ d2 = 2,

d4 = 1− 6d1 + d2 − 14d3 = −33.

d =

102

−33


Skaidos metodai

LU metodas - pavyzdys

Ux =

1 0 2 3

0 2 4 00 0 −1 40 0 0 −70

x1x2x3x4

=

102

−33

x4 =−33−70

=3370

,

x3 = 4x4 − 2 = − 435

,

x2 = −2x3 =835

,

x1 = 1− 2x3 − 3x4 = −1370

.

Sprendinys

x =

33/70−4/35

8/35−13/70


Skaidos metodai

Skaidos metodas su pagrindinio elemento parinkimu

Elementariu perstatymu matrica P (angl. Permutation matrix) -vienetines matricos I eiluciu sukeitimas vietomis;Rodo, kokios eilutes duotos matricos A buvo perstatyti;Perstatytos matricos PA išskaidymas;

PA = LU

TLS sprendimasLUx = Pb.


Skaidos metodai

Skaidos metodas su pagrindinio elemento parinkimu -pavyzdys

MATLAB sprendimas:

A=[1 2 6; 4 8 -1; -2 3 5] det(A) [L,U,P]=lu(A)

A = det(A) = 175

1 2 6

4 8 -1

-2 3 5

L = U =

1.0000 0 0 4.0000 8.0000 -1.0000

-0.5000 1.0000 0 0 7.0000 4.5000

0.2500 0 1.0000 0 0 6.2500

P =

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1


Skaidos metodai

Choleckio metodas

Jei matrica A yra simetrine ir teigiamai apibrežta patogu naudotiCholeckio dekompozicija

A = LLT = UTU

Kai matrica A yra simetrine ir teigiamai apibrežta (visos tikrinesreikšmes teigiamos) pagrindinio elemento parinkimas nereikalingas.

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

=

u11 0 · · · 0u12 u22 · · · 0· · · · · · · · · · · ·u1n u2n · · · unn

u11 u12 · · · u1n0 u22 · · · u2n· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · unn


Skaidos metodai

Matricos L elementus apskaiciuojame iš matricu lygybes LLT = A,prilygindami LLT ir A atitinkamus elementus.Gauname lygciu sistema

l211 = a11, ⇒ l11 =√

a11,

lk1l11 = ak1, ⇒ lk1 = ak1/l11, k = 2, . . . , n,

l221 + l222 = a22, ⇒ l22 =√

a22 − l221,

lk1l21 + lk2l22 = ak2, ⇒ lk2 = (ak2 − lk1l21)/l22, k = 3, . . . , n,

. . .

j−1∑i=1

l2ij + l2jj = ajj, ⇒ ljj =

√√√√ajj −j−1∑i=1

l2ij,

j−1∑i=1

lkilji + lkjljj = akj, ⇒ lkj =akj −

∑j−1i=1 lkilji

ljj, k = j + 1, . . . , n.


Skaidos metodai

Choleckio metodasCholeCholecckkioio metodasmetodasCholeCholecckkioio metodasmetodas

211 11 12 11 13 11 14

2 211 12 12 22 13 12 23 22 14 12 24 22

2 2 2

u u u u u u uu u u u u u u u u u u u

A

2 2 211 13 13 12 23 22 13 23 33 14 13 24 23 34 33

2 2 2 211 14 14 12 24 22 14 13 24 23 34 33 14 24 34 44

u u u u u u u u u u u u u u uu u u u u u u u u u u u u u u u

11 11 12 12 11 13 13 11 14 14 111 stulpelis/eilutė: ; / ; / ; /u a u a a u a a u a a

2 22 stulpelis/eilutė: ; ;u u a u u u u a u u u u a 12 22 22 13 12 23 22 23 14 12 24 22 24

222 22 12 23 23 13 12 22 24 24 14 12 22

2 stulpelis/eilutė: ; ;

; ( ) / ; ( ) /

u u a u u u u a u u u u a

u a u u a u u u u a u u u

2 2 213 23 33 33 13 14 23 24 33 34 34

2 233 33 13 23 34 34 14 13 24 23 33

3 stulpelis/eilutė: ;

; ( ) /

u u u a u u u u u u a

u a u u u a u u u u u

33 33 13 23 34 34 14 13 24 23 33

2 2 2 2 2 2 214 24 34 44 44 44 44 14 24 344 eilutė: u u u u a u a u u u


Skaidos metodai

Choleckio metodo rekurentines formules

A = UTU

uii =

√√√√aii −i−1∑k=1

u2ki;

uij =aij −

∑i−1k=1 ukiukj

uii, j = i + 1, . . . , n.


Skaidos metodai

Choleckio metodas - pavyzdysCholeCholecckkioio metodo pavyzdysmetodo pavyzdysp y yp y y

211 11 12 11 13 11 14

2 211 12 12 22 13 12 23 22 14 12 24 22

2 2 2

9 6 12 36 5 9 2

12 9 21 0

u u u u u u uu u u u u u u u u u u u

Au u u u u u u u u u u u u u u

11 13 13 12 23 22 13 23 33 14 13 24 23 34 33

211 14 14 12 24 22 14 13 24 23 34 33 14

12 9 21 03 2 0 6

u u u u u u u u u u u u u u uu u u u u u u u u u u u u

2 2 224 34 44u u u

1 t l li / il tė 9 3 6 3 2 12 3 4 3 3 1/ / /11 12 13 141 stulpelis/eilutė: 9 3 6 3 2 12 3 4 3 3 1u ; u / ; u / ; u /

2 212 22 13 12 23 22 14 12 24 222 stulpelis/eilutė: 5; 9; 2u u u u u u u u u u

2 2 2

12 22 13 12 23 22 14 12 24 22

222 23 24

2 stulpelis/eilutė: 5; 9; 2

5 ( 2) 1; ( 9 4( 2)) / 1 1; (2 ( 1)( 2)) / 1 0

u u u u u u u u u u

u u u

2 2 213 23 33 13 14 23 24 33 34

2 233 34

3 stulpelis/eilutė : 21; 0

21 (4) ( 1) 2; (0 ( 1)(4) (0)( 1)) / 2 2

u u u u u u u u u

u u

2 2 2 2 2 2 214 24 34 44 444 eilutė: 6 6 ( 1) (0) (2) 1u u u u u


Skaidos metodai

Skaiciavimo apimciu palyginimas (m lygciu sistemuatvejis)

Skaidos metodo skaiciavimo apimtisGauso metodas (m lygciu sistemu): O(2

3 mn3) aritmetiniu veiksmu.Skaidos metodas O(2

3 n3 + 2mn2) aritmetiniu veiksmu.

Jei m = n skaidos metodas - O(83 n3) aritmetiniu veiksmu (tik 4 kartus

daugiau nei sprendžiant viena sistema).

Choleckio metodo skaiciavimo apimtis

Saugomi tik matricos U koeficientai (sutaupoma atmintis, nes Ayra simetrine).Skaidimas O(1

3 n3) aritmetiniu veiksmu.Sistemu sprendimas O(2n2) aritmetiniu veiksmu.

Panašai kaip ir skaidos metodas.Skaitiniai metodai (MIF VU) Tiesiniu lygciu sistemu sprendimas 72 / 75

Skaidos metodai

Išretintos matricos

Dažnai reikia spresti labai dideles TLS Ax = b (n = 105 yra mažasšiame kontekste!), kur beveik visi elementai lygus nuliui. Tokia matricavadinama išretinta (angl. sparse matrix).

A sparse matrix is a matrix that allows special techniques to takeadvantage of the large number of zero elements. (Wilkinson) (1969)

Reikalinga, kad:1 matricos L ir U paveldetu kiek imanoma didesni išretinima,2 skaiciavimo apimtis turi priklausyti nuo nenuliniu elementu

skaiciaus, o ne nuo matricos elementu skaiciaus (n2).Irankis – eiluciu ir/arba stulpeliu sukeitimas siekiant sumažinti matricuL ir U užpildymus.TLS Ax = b efektyvus sprendimas turetu išnaudoti išretinta struktura.


Skaidos metodai

Išretintos matricos – taikymai

Sparse matrices arise in ...computational fluid dynamics, finite-element methods, statistics,time/frequency domain circuit simulation, dynamic and static modelingof chemical processes, cryptography, magneto-hydrodynamics,electrical power systems, differential equations, quantum mechanics,structural mechanics (buildings, ships, aircraft, human body parts...),heat transfer, MRI reconstructions, vibroacoustics, linear andnon-linear optimization, financial portfolios, semiconductor processsimulation, economic modeling, oil reservoir modeling, astrophysics,crack propagation, Google page rank, 3D computer vision, cell phonetower placement, tomography, multibody simulation, model reduction,nano-technology, acoustic radiation, density functional theory,quadratic assignment, elastic properties of crystals, natural languageprocessing, DNA electrophoresis, ...


Skaidos metodai

Juostines matricos

Matrica A yra juostine, jei ∃ r ∈ N : r < n, toks, kad aij = 0, kai|i− j| > r, i, j = 1, . . . , n.T.y. išskyrus juostas plocio 2r + 1 prie pagrindines istrižaines, visikiti elementai yra nuliniai.Šiuo atveju A = LU reiškia, kad lij = uij = 0, kai |i− j| > r.⇒ LU faktorizacija irgi turi išretinta struktura.

r = 1 :

• •• • •• • •• • •• • •• •

r = 2 :

• • •• • • •• • • • •• • • • •• • • •• • •


Documents

Vienintelis sprendinys Sprendiniu˛ n˙era Be galo daug ...olgas/SM/2P_SM6.pdf · sprendimas endini Ð A 21 0 63 6x 1 x 2 = 9 2x 1 x 2 = 3 Gra Graf fi inis prendimas s nis sprendimas