Upload
lynhi
View
216
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Ñýäýâ: “Èíòåãðàë òîîëîë” Õàìðàõ õ¿ðýý: ÅÁÑ-èéí XI àíãè Õýðýãöýý øààðäëàãà: Õóâü õ¿íèé õýðýãöýý
Ìàòåìàòèê áà àìüäðàëä ìóðóéãààð õ¿ðýýëýãäñýí ä¿ðñèéí òàëáàé, áèåèéí ýçýëõ¿¿í, ãàäàðãóóãèéí òàëáàé, õ¿íäèéí òºâ, ìîìåíòóóäûã îëîõ øààðäëàãà øèíæëýõ óõààí òåõíèêèéí àñóóäëûã øèéäýõýä àëõàì òóòàìä äàéðàëäàæ áàéãàà ó÷ðààñ èíòåãðàë ãýäýã óõàãäàõóóí ãàð÷ èðñýí.
Áîäèò áàéäëûã ä¿ðñëýí çàãâàð÷ëàõ, òóëãàð÷ áóé àñóóäëûã îíîâ÷òîé øèéäýõ àðãà áàðèë ýçýìøèõ
Ìàòåìàòèêò ºãºãäñºí ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îëîõ áà ÿìàð íýã ôóíêöèéí óëàìæëàë ìýäýãäýæ áàéâàë óã ôóíêöèéí óðâóó ôóíêö îëîõ óðâóó áîäëîãî áàéãàëü òåõíèêèéí ñàëáàðò îëîíòàà õýðýãëýãäýæ áàéíà.
Ìàòåìàòèêèéí õýë, ñýòãýëãýý, àðãûã îþóí óõààí õºãæ¿¿ëýõ áàãàæ áîëãîí õýðýãëýæ òóëãàìäñàí àëèâàà àñóóäëûã îíîâ÷òîé øèéäâýðëýõ
Ìàòåìàòèêò ñóðàëöàõ ÿâöàä òºëºâøäºã ñýòãýõ¿éí åðºíõèé áîëîí òóñãàé áàðèëóóäûã õýðýãëýí øààðäëàãàòàé ìýäýýëýë áîëîâñðóóëæ àøèãëàõ
Ìàòåìàòèêèéí ò¿ãýýìýë áàðèëóóäûã õýðýãëýí øèíæëýõ óõààíû ¿íäýñòýé àæèãëàëò, òóðøèëò õèéæ ìºí ÷àíàð, ç¿é òîãòëûã òàíèí ìýäýõ.
Íèéãìèéí õýðýãöýý: Ìàòåìàòèêèéí áàãà, äóíä áîëîâñðîëûã áàéãàëü íèéãìèéí îëîí
ñàëáàð øèíæëýõ óõààíûã ñóäàëæ ýçýìøèõýä äýâñãýð ñóóðü áîëãîõ Áàéãàëèéí øèíæëýõ óõààí, òåõíèê òåõíîëîãè, íèéãýì, óëñ òºð,
ýäèéí çàñãèéí õºãæëèéí óÿëäàà õîëáîîã òàíèí ìýääýã, àñóóäàëä ø¿¿ìæëýëòòýé õàíäàæ øèéäâýð ãàðãàõàä èäýâõòýé, óõàìñàðòàé, õàðèóöëàãàòàé îðîëöäîã èðãýí òºëºâø¿¿ëýõ
Ìàòåìàòèêèéí òàíèí ìýäýõ¿éí àðãóóäûã íèéãìèéí îðøèí òîãòíîõ, õºãæèí äýâøèõèéí ç¿é òîãòëûã òàíèõ, á¿ðòãýë òîîöîî, øèíæèëãýýã áîëîâñðîíãóé áîëãîõ çýðýãò õýðýãëýõ
Õ¿íèé õºãæëèéã õàíãàõ ¿íäñýí ¿¿ðýã á¿õèé ìàòåìàòèêèéí øèíæëýõ óõààí áîëîí á¿õ íèéòèéí ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûã õºãæ¿¿ëýõ.
1
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Çîðèëãî: Õÿëáàð òîõèîëäîëä ýõ ôóíêöèéã îëîõ ìºí õÿëáàð òîõèîëäîëä èíòåãðàë áîäîõ ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã îëîх, эргэлтийн биеийн эзэлхүүн олохîä èíòåãðàë õýðýãëýæ ñóðàõ. Çîðèëò: 3ÌÀ2:Ê1 Èíòåãðàë óõàãäàõóóíä õ¿ðãýõ áîäëîãî áîäîõ áà ýõ ôóíêö, èíòåãðàë òîîëëûí óõàãäàõóóíûã ñóäëàõ ìýäëýã ýçýìøèõ 3ÌÀ2:Ê2 Ýõ ôóíêö áà òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëòòîé áîëîõ òýäãýýðèéí ¿íäñýí ÷àíàð áà ýõ ôóíêö îëîõ ä¿ðì¿¿äèéã õýðýãëýõ 3ÌÀ2:Ê3 Òîäîðõîé èíòåãðàëûã òîäîðõîéëæ ò¿¿íèé ÷àíàð õîëáîãäîõ òîìú¸î òîäîðõîéëîëò, òåîðåìèéã õýðýãëýæ èíòåãðàë áîäîõ. Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí õýðýãëýý áîëîõ õàâòãàé ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ. Êâàäðàò ôóíêöèéí èíòåãðàëèéí ÷àíàðûã òîäîðõîéëîõ . Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ. Èíòåãðàëûí ìåõàíèê áà ôèçèê äàõ õýðýãëýãýýã òîäîðõîéëîõ 3ÌÀ2:Ê4 Õýðýãëýýíèé áîäëîãî áîäîõ, õîëáîãäîõ òîìú¸î, òîäîðõîéëîëò, õóóëü ä¿ðýì, òåîðåì áîëîí èíòåãðàë òîîëëûí ýëåìåíòèéã õýðýãëýõ Àãóóëãà:
Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààíÝõ ôóíêö áà èíòåãðàëèéí òóõàé îéëãîëò
f ( x ) ôóíêöèéí ýõ ôóíêóèéí òîäîðõîéëîõ Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë íü óëàìæëàëûí
óðâóó ¿éëäýë áîëîõ áà õÿëáàð ôóíêö¿¿äèéí óëàìæëàëûí òîìú¸îíîîñ ìºðäºí ãàðàõ èíòåãðàëèéí ¿íäñýí òîìú¸îã òîäîðõîéëîõ
Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéã áîäîõ àðãà÷ëàë
Èíòåãðàëèéí äîîðõ èëýðõèéëýë íèéëáýð õýëáýðòýé áàéõ
Èíòåãðàëèéí äîîðõ èëýðõèéëýë ÿëãàâàð õýëáýðòýé òîõèîëäëûí ÷àíàð
Èíòåãðàëèéí äîîðõ èëýðõèéëýë òîãòìîë òîîí ¿ðæèãäñýí òîõèîëäëûí ÷àíàð
Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàí îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýõ
Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì õýðýãëýõ
Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí òóõàé ò¿¿íèéã áîäîõ
Ìóðóé øóãàìàí òðàïåö áà ò¿¿íèé òàëáàéã äàðààëëûí õÿçãààð àøèãëàí òîäîðõîéëîõ
Íüþòîí –Ëåéáíèöèéí òîìú¸îã òîìú¸îã òîìú¸îëæ 2
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
õýðýãëýõ Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí õýðýãëýý
Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ ºõ êîíóñ áà áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã îë.
Èíòåãðàëèéí ìåõàíèê áà ôèçèê äýõ õýðýãëýýã òîäîðõîéëîõ
Öàã òºëºâëºëò :
Äýä ñýäýâ¯éëèéí íýð
ËåêöÄàäëàã
àÁèå
äààëòÕÿíàëò
Á¿ãä öàã
Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë
Èíòåãðàëèéí òóõàé îéëãîëò + +
+
1Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí ÷àíàð + + 2
Õóâüñàã÷ ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ + + 2
Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì + + 2
Òîäîðõîé èíòåãðàë Òîäîðõîé èíòåãðàë áîäîõ Íüþòîí –Ëåéáíèöèéí òîìú¸î + +
+2
Òîäîðõîé èíòåãðàëèéí òóñëàìæòàé ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ
+ + 2
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿í îëîõ + + + 1
3
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Èíòåãðàëèéí ìåõàíèê áà ôèçèê äýõ õýðýãëýý + + 1
Íèéò öàã 3 13
Àðãà ç¿é: Ýíý õýñýãò ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ñòàíäàðòàä á¿ðýí äóíä áîëîâñðîëûí àãóóëãûí àëãåáð /3ÌÀ2/ àéí ñóðàëöàõóéí ¿íäñýí ¿éë àæèëëàãààã áàðèìæààëàí ñóðàëöàãñäààð ã¿éöýòã¿¿ëýõ ¿éë àæèëëàãààã òºëºâëºí áè÷ëýý.
- Èíòåãðàëûí òàëààð ìýäëýã ýçýìøèõ òîäîðõîé áà òîäîðõîéã¿é èíòåãàðëûã òîäîðõîéëîõ
- Ìýäëýãò õîëáîãäîõ òîìú¸î, òåîðåì, õóóëü ä¿ðìèéã áîäëîãî áîäîõîä õýðýãëýõ
- Ìýäëýãò õîëáîãäîõ íýð òîìú¸î, áè÷ëýãèéã çºâ õýðýãëýõ - Òóõàéí ìýäëýã, ÷àäâàðûã ïðàêòèê , àìüäðàëûí àñóóäàë
øèéäâýðëýõýä õýðýãëýõ ̺í ìàòåìàòèê áîëîâñðîëûí àðãà ç¿éí ¿íäñýí çàð÷ìóóäûã áàðèìòëàí, ñóðãàëòûí èäýâõòýé àðãóóäûã õýðýãëýí õè÷ýýëèéã çîõèîí áàéãóóëíà. Àðãà ç¿é ¿éë àæèëëàãààíû ÷èãëýëèéã äàðààõ õ¿ñíýãòýýð ¿ç¿¿ëýâ.
Àðãà ¯éë àæèëëàãààíû ÷èãëýëÁàãøèéí Ñóðàëöàã÷èéí
-Òàéëáàðëàí òàíèóëàõ -Æèøýýãýýð çàãâàð÷ëàõ -Õàðèóã ¿éëäëýýð øàëãàõ -Á¿ëãýýð àæèëëàõ -ªºðèéí ¿íýëãýý -
Åðºíõèé áîëîí òóñãàé àðãóóäààð ìýäëýã, ìýäýýëëèéí ãîë ñàíààã ºã÷, ñóðàëöàã÷äûí õàìòûí á¿òýýë÷ ¿éë àæèëëàãààã óäèðäàí äýìæèõ, ìýäëýã á¿òýýõ ¿éëä õºòëºõºä àæëàà ÷èãë¿¿ëýí çºâëºí òóñëàõ
Ñóðàëöàãñäûíýçýìøñýí ìýäëýã, ÷àäâàð õàíäëàãûã
Áàãøèéí æèøýýãýýð¿ç¿¿ëñíèéã ¿ëãýðëýí óðãóóëàí áîäîæ áèå äààí á¿òýýë÷ýýð ñýòãýí áîäîõ ÷àäâàðàà àõèóëàõ
¯éëäëèéã çàãâàð÷ëàí
òîîöîîëæ, ä¿ðýì ÷àíàðûã óõààðàõ, ìýäëýãý õýðýãëýõ, õàìòûí á¿òýýë÷ ¿éë àæèëëàãààíû çºâ õàíäëàãàä ñóðàëöàõ
Øèíý ñàíàà òàìàãëàë
4
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
¿íýëýõ Îíîëûí àñóóäëûã
òàéëáàðëàõ Õè÷ýýëä
õýðýãëýõ õýðýãëýãäýõ¿¿í ìàòåðèàëûã õóâèëáàðòàéãààð ñîíãîí áýëòãýõ
äýâø¿¿ëýõ Áèå äààí õèéñýí
àæèë, ñàíàëàà õàðèëöàí ñîëèëöîæ,
çºâëºí çºâøèëöºæ àñóóäàë øèéäâýðëýõ
Áàãøèéí ºãñºí äààëãàâàð áîëîí áèå äààæ ã¿éöýòãýõ àæëóóäûã öàã òóõàéä íü ã¿éöýòãýõ
¯íýëãýý: ¯íýëãýýã áîëîâñðóóëàõäàà ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ¿íýëãýýíèé ñòàíäàðòûí 3ÌÀ2:Ê1/1-3ÌÀ2:Ê4/4 õ¿ðòýëõ êîäòîé ¿íýëãýýíèé øàëãóóðóóäàä áàðèìæààëàí á¿ëýã ñýäâèéí çîðèëãî, çîðèëòîî øàëãóóð áîëãîæ íàðèéâ÷ëàí òºëºâëºëºº.
¯íýëãýýíèé øàëãóóðÊ1- Õýë õàðèëöàà 3ÌÀ2:Ê1/1-Ôóíêöèéí óëàìæëàë áîëîí äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäýë ýõ ôóíêöèéí íýð òîìú¸î, ¿ã õýëëýã ä¿ðñëýë, òýìäýãëýë áè÷èãëýëèéã óõààð÷ òýäãýýðèéã òºðºëõ õýëýýðýý òîâ÷ òîäîðõîé ºã¿¿ëýí õàðèëöàõ 3ÌÀ2:Ê1/2- ¯ñýãò òýìäýãëýãýýã çºâ õýðýãëýõ, ÷àíàð áà ¿íäñýí òîìú¸î ãýñýí íýð òýìäýãëýãýýíèé óòãà ñàíààã îéëãîõ, õýðýãëýõ 3ÌÀ2:Ê1/3- Èíòåãðàëûã áîäîõ òåîðåì, òîäîðõîéëîëò, òîìú¸î , ÷àíàð ¿ã õýëëýã, ä¿ðñëýë òýìäýãëýë, áè÷èãëýëèéã óõààð÷ ìàòåìàòèê õýëýýð ÿðüæ õàðèëöàõ 3ÌÀ2:Ê1/4- Àìüäðàë àõóéí àñóóëò áîäëîãûí àãóóëãûã èíòåãðàë, ýõ ôóíêöýýð çàãâàð÷ëàõòàé õîëáîãäñîí
5
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Ê2-Ó÷èðëàí òàéëáàðëàõ 3ÌÀ2:Ê2/1- Ýõ ôóíêö áà èíòåãðàëûí ìºí ÷àíàð, õîëáîãäîõ íýð òîìú¸î, ¿ã õýëëýã, ä¿ðñëýë, òýìäýãëýë áè÷èãëýë õýðýãëýí ó÷èðëàí òàéëáàðëàõ 3ÌÀ2:Ê2/2- Ýõ ôóíêö, òîäîðõîé áà òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí ¿éëäëèéí ÷àíàðûí õîëáîãäîõ íýð òîìú¸î, òýìäýãëýë, áè÷èãëýë õýðýãëýæ ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ 3ÌÀ2:Ê2/3- Ýõ ôóíêö áîëîí òîäîðõîé áà òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí õàâñàðñàí ¿éëäýë áîëîí íýð òîìú¸î ÷àíàð, ¿ã õýëëýã, çóðàã òýìäýãëýë áè÷èãëýë õýðýãëýæ ó÷èðëàí ¿íäýñëýõ 3ÌÀ2:Ê2/4- Àìüäðàë àõóéí àñóóëò áîäëîãûí àãóóëãûã èíòåãðàëûí õýëä õºðâ¿¿ëýí ìàòåìàòèê çàãâàðûã ó÷èðëàí òàéëáàðëàõ Ê3- Çàãâàð÷ëàõ 3ÌÀ2:Ê3/1- Àìüäðàë àõóéí àñóóëò áîëîí áîëîãûí ãîë ñàíàà óÿëäàà õîëáîîã àëãåáðèéí òîâ÷ áè÷èãëýë çóðàã òýìäýãëýëýýð çàãâàð÷ëàí ä¿ðñëýõ 3ÌÀ2:Ê3/2- Òîâ÷ áè÷ëýã, çóðàã òýìäýãëýëèéã àëãåáðèéí õýëä õºðâ¿¿ëæ, àñóóäëûí ìàòåìàòèê ä¿ð çóðàã ãàðãàõ 3ÌÀ2:Ê3/3- Àñóóëò áîäëîãûí ºãºãäëèéã èíòåãðàëûí ÷àíàð õýðýãëýí õóâèðãàæ óã áîäëîãûã õÿëáàð õýëáýðò íü øèëæ¿¿ëýõ 3ÌÀ2:Ê3/4-Áîäëîãûí äîòîîä ìºí ÷àíàðûã ìàòåìàòèê àðãààð òîîöîîëæ áîäëîãûã øèéäâýðëýí ¿ð ä¿íã øàëãàæ øèíæëýõ Ê4- Àñóóäàë øèéäâýðëýõ 3ÌÀ2:Ê4/1-Èíòåãðàë áîëîí ò¿¿íèé ¿éëäýëòýé õîëáîîòîé àñóóäàë, áîäëîãûí ºãºãäºë øèéäâýðëýëò áîäëîãûí òàâèëûã á¿ðýí óõààðàõ 3ÌÀ2: Ê4/2- ªìíºõ ìýäëýã òóðøëàãàà àøèãëàí àñóóëò áîäëîãûã øèéäâýðëýõ àðãà òºëºâëºãºº áîëîâñðóóëàõ 3ÌÀ2:Ê4/3- Áîëîâñðóóëñàí àðãà òºëºâëºãººãºº õýðýãæ¿¿ëýõ, õýðýãæ¿¿ëñýí àëõàì á¿ðèéí ä¿íã äîð äîð íü øàëãàæ õýâøèõ2ÌÀ2:Ê4/4- Áîäëîãî áîäñîí àðãà ä¿íãýý ýðãýí øèíæèëæ àñóóäëûã øèéäâýðëýýä ä¿íã øàëãàæ øèíæëýõ Æèøèã äààëãàâàð: 3ÌÀ2:Ýíý õýñýãò äýýðõ øàëãóóðóóäàä íèéö¿¿ëýí ¿íýëãýýíèé æèøèã äààëãàâàð áóþó á¿ëýã ñýäâèéí ÿâöûí áîëîí ýöñèéí ¿íýëãýýíèé ìàòåðèàëûã áîëîâñðóóëæ îðóóëàâ. Ñóðãàëòûí îð÷èí
6
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Ìàòåðèàëëàã ¯éë àæèëëàãààíû îð÷èí
Ñýòãýë ç¿éí îð÷èí
o Á¿ëýã ñýäâèéí õºòºëáºð
o ¯ç¿¿ëýí o Òàðààõ ìàòåðèàë o Ñîðèëãûí
õóâèëáàð o Òåõíèê õýðýãñýë o Ñóðàõ áè÷èã,
ñóðãàëòûí ìàòåðèàë o Òåñò ñîðèëãûí íîìo Ýëñýëòèéí
øàëãàëòûí ìàòåðèàëóóä o Ñîíãîñîí áîäëîãóóä
o Áàãøèéí ÷èãë¿¿ëýã
o Àæèëëàõ äàñãàë
äààëãàâðûí ñàí o Áàãø
ñóðàã÷äûí õàìòûí àæèëëàãàà
o Áàãø ñóðàã÷èéí õàðèëöààíû ñàéí îð÷èí
o Ñóðàõ ñóðãàõ ýðìýëçýë
o Òåõíèêèéí á¿ðýí á¿òýí áàéäàë
o Àíãèéí ýð¿¿ë àõóéí øààðäëàãà
o Áàãøèéí ¿ëãýðòýé
áàéäàë o Íýýëòòýé
õ¿ëýýöòýé áàéäàë
Õºòºëáºðèéí ¿íýëãýý: Õºòºëáºð íü áîëîâñðóóëàõ õýðýãæ¿¿ëýõ ¿íýëýõ õºãæ¿¿ëýõ ãýñýí òàñðàëòã¿é ÿâàãäàõ ¿éë ó÷ðààñ õºòºëáºðºº áîëîâñðóóëæ õýðýãæ¿¿ëñíèé äàðàà ¿íýëæ ñóäàëæ øèíæèõ íü ÷óõàë. ªºðººð õýëáýë õºòºëáºðèéã õýðýãæ¿¿ëýõ ÿâöàä ÿìàð àëäàà ãàð÷ áàéíà öààøèä áîëîâñðóóëàõ õýðýãëýõýä þóã àíõààðàõ çýðãèéã áàéíãà àæèãëàæ ¿íýëýëò ä¿ãíýëò õèéæ áàéõ õýðýãòýé.̺í áàãø çààñàí õè÷ýýëèéíõýý àðãà ç¿é áîëîí á¿ð öààøèëáàë áàãøèéí àñóóõ àñóóëò, òàéëáàð æèøýý íü õ¿¿õäýä îéëãîìæòîé , ýíãèéí ºìíºõ ìýäëýã äýýð òóëãóóðëàñàí áàéõ çýðãèéã õàðãàëçàæ ¿çýæ òîîöîîëñîí áàéõ õýðýãòýé. Ñàéí òºëºâëºí áîëîâñðóóëæ õýðýãëýñýí õýðýãëýãäýõ¿¿í íü õè÷ýýë äýýð ñóðàã÷äûí ¿éë àæèëëàãàíû óäèðäàìæ áîëîõ áà òýäíèé ñîíèðõëûã òàòàõóéöààð áàéõ. Ñóðàã÷äûí òóõàéí õè÷ýýë äýýð ýçýìøñýí ìýäëýã, ÷àäâàðûã àãóóëãûí õ¿ðýýíä çîõèõ øàëãóóðûí äàãóó ìàòåðèàë áîëîâñðóóëàí ¿íýëæ ò¿¿íä ¿íäýñëýí àíàëèç õèéæ ä¿ãíýëò ãàðãàíà.
7
1.ªíººäðèéí õè÷ýýëèéí òóõàé ñýòãýãäëýý äàðààõ çóðãèéí àëü òîõèðîõîîð èëýðõèéëýýðýé. /Áè÷ñýí ¿ãèéí äîîãóóð çóðíà óó./
ãî¸ äóíä çýðýã îíöã¿é
2.ªíººäðèéí õè÷ýýëýýñ ñóðñàí, îéëãîñîí ãîë ç¿éë þó âý? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .. . …. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.Áàãøèä õýëýõ ñàíàë.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ..
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Áàãø ººðèéí áàãøëàõ ¿éë àæèëëàãààíû ÷àíàðûã ¿íýëýõ õóâèëáàð: Áàãøèéí õè÷ýýëèéí ¿ð ä¿íã ¿íýëýõ ãîë õýìæ¿¿ð íü ñóðàã÷äûí ñýòãýë õàíàìæèéí áàéäàë, òýäíèé ¿íýëãýý þì. Èéìýýñ õè÷ýýë á¿ðèéí äàðàà ñóðàã÷äûí ñàíàë ñýòãýãäëèéã ñóäëàõ çîðèëãîòîé äàðààõ ñàíàë àñóóëãûí õóóäñûã áîëîâñðóóëàí òàðààæ íºõºí áè÷¿¿ëýýä ä¿ãíýëò õèéíý. Ýíý íü áàãøèéí õè÷ýýë äýýð ÿâóóëñàí ¿éë àæèëëàãàà áóþó òóõàéí õè÷ýýëèéí ¿ð ä¿í ¿íýëýõ ãîë õýìæ¿¿ð íü ñóðàëöàã÷èéí ñýòãýë õàíàìæ áàéäàãòàé õîëáîîòîé.
Õè÷ýýë á¿ðèéí äàðàà ä¿ãíýëò õèéõ íü ìàø ÷óõàë ó÷ðààñ õè÷ýýëä õýðõýí àíàëèç õèéõ ÿìàð øàëãóóðààð ¿íýëæ áîëîõûã äàðààõ õ¿ñíýãòýýð õàðóóëàâ. Ä¿ãíýëòèéã îíîâ÷òîé õèéõ íü ñóðàã÷äûí òóõàéí õè÷ýýë äýýð ýçýìøñýí ìýäëýã ÷àäâàð îéëãîëòûí áàéäëûã àíçààð÷ ñóðàã÷äûí õýðýãöýý ñîíèðõëûã ìýäýõ íü äàðààãèéí õè÷ýýëèéí àðãà ç¿éã òºëºâëºõºä õýðýãòýé ãýæ ¿çýæ áàéíà.
8
Õ¿¿õäèéí ñýòãýë õàíàìæèéí ñóäàëãàà íü õ¿¿õä¿¿ä õè÷ýýë äýýð þó îéëãîñíîî áè÷èõýýñ ãàäíà áàãøèéí õàðüöàà öààøäûí ¿éë àæèëëàãààíû òàëààð þó áîäîæ ÿâäãèéã àæèãëàæ ìýäýæ áîëíî.
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
ÍÎÌ Ç¯É
1. Ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ñòàíäàðò ÓÁ. 2005 îí 2. Ìàòåìàòèêèéí áîëîâñðîëûí ñòàíäàðòûí çºâëºìæ ÓÁ. 2003 îí 3. Ìàòåìàòèê -11 ñóðàõ áè÷èã 2007 îí 4. Àëãåáð áà àíàëèçûí ýõëýë -10 5. “Ñóðàõ ¿éëèéí áàðèìæààãààð ñóðàëöàõóéã äýìæèõ àðãà
ç¿é ” ǪÂ˪ÌÆ/ìàòåìàòèê/-II 20086. “Àñóóäàë øèéäâýðëýõ çàìààð ìýäýýëëèéã ìýäëýã áîëãîí
õóâèðãàõ àðãà ç¿é” ǪÂ˪ÌÆ/ìýäýýëýë ç¿é /-II 7. Ìàòåìàòèêèéí øàëãàëòàíä áýòãýõýä çîðèóëñàí ãàðûí
àâëàãà
9
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
ÕÈ×ÝÝË - 1Ñýäýâ: Ýõ ôóíêö Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Ôóíêöèéí ýõ ôóíêöèéã îëæ ñóðàõ Çîðèëò:
“Èíòåãðàë” óõàãäàõóóíû õýðýãöýýíèé òóõàé òîâ÷ ìýäýýëýë õèéõ Ôóíêö áîëîí ôóíêöèéí óëàìæëàëûã îëîõ äèôôåðåíöèàë÷ëàõ
¿éëäëèéã ñýðãýýí ñàíàõ Ýõ ôóíêöèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëòòîé áîëîõ Øèíý ìýäëýãèéã áîäëîãî äàñãàëààð áàòàòãàõ
Àãóóëãà: ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà
ªìíºõ àíãèä ¿çñýí Ôóíêöèéí òóõàé åðºíõèé
îéëãîëò áîëîí ò¿¿íèé àíãèëàë Ôóíêöèéí óëàìæëàë îëîõ
ä¿ðì¿¿äèéã õýðýãëýõ
Òîäîðõîé áóñ èíòåãðàëûã òîäîðõîéëîõ
Èíòåãðàë îëîõ ä¿ðýì, ÷àíàð Òîäîðõîé áóñ èíòåãðàë áîäîõ
Àðãà ç¿é: Õè÷ýýëä òàéëáàð ÿðèàíû áîëîí õàðèëöàí ÿðèàíû àðãûã õýðýãëýõ.
Õè÷ýýëèéí ÿâö:Õè÷ýýëè
éí ýëåìåíò
/õóãàöàà/
Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà
A. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò
Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
B. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò
Àíõààðàõ ¿íýëýõ ç¿éë
Ãýðèéí äààëãàâ
àð øàëãàõ/5 ìèí/
-ªìíºõ íü ¿çñýí “óëàìæëàë îëîõ” áîäëîãóóäûã áèå äààëòààð ºãñºí áàéíà. - Ýíý áîäëîãóóäûã áîäîõîä ÿìàð áýðõøýýë áàéñàí áîäîæ ÷àäààã¿é áîäëîãîä òàéëáàð õèéõ - Ñóðàã÷äûí áîäîëò õèéñýí ýñýõèéã åðºíõèéä íü áàãø ñóðàã÷äûí äóíäóóð ÿâæ øàëãàíà. Òýäíèé áèå äààæ äààëãàâàð àëü çýðýã ã¿éöýòãýæ áàéãààä ä¿ãíýëò õèéíý
10
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
-Àëäàà ãàðãàñàí áîäëîãûã ñîíãîæ áîäîëò õèéíý
Áîäîëòûã ñàéí îéëãîõ, áàãøààñ àñóóæ ëàâëàõ
Äààëãàâðûí áèåëýëò
ºìíºõèéã
ñýðãýýí ñàíàõ
/10 ìèí /
Áîäñîí áîäëîãî äýýðýý òóëãóóðëàí óëàìæëàë îëîõ ä¿ðýì ñýðãýýõ
Ä¿ðì¿¿äýý õýðõýí àøèãëàñíàà èëýðõèéëýõ
Óëàìæëàë îëîõ íü øèíý ìýäëýãèéí ãîë òóëãóóð óõàãäàõóóí áîëîõ ó÷èð ãîë÷ëîí àíõààð÷ ñàéí ñýðãýýõ
Äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäëèéí òóõàé ñýðãýýí ñàíàõ
Ôóíêöèéí óëàìæëàë îëîõ ¿éëäëèéã äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäýë ãýäãèéã ñàíàõ
Óëàìæëàëûí ä¿ðýì òóñ á¿ð äýýð õÿëáàð æèøýý ñîíãîõ
y=2 óëàìæëàë îëy=x3−2 x2+1 óëàìæëàë îë
y=1−sinx2+sinx
y=2 xsinx−( x2−4 ) cosx
Ìýäëýã á¿òýýõ/15 ìèí/
A. Áèä ôóíêöèéí óëàìæëàë îëæ äèôôåðåíöèàë÷ëàõ ¿éëäëèéã ã¿éöýòãýæ áàéãàà áîë ýíý ¿éëäëèéí óðâóó ¿éëäýë ãýæ áàéæ áîëîõ óó? Õýðýâ áîëíî ãýæ ¿çâýë òà íàð þó ãýæ ¿çýæ áàéíà âý?
B.Áàéæ áîëîõ òàëòàé B. Ýíý íü (∎ )¿=2 x òýíöýòãýë áèåëýõ ôóíêöèéã ▀ -èéí îðîíë íºõºæ áè÷. Ãýñýí áîäëîãîòîé èæèë óòãàòàé
Ñóðàã÷äûí æèøýýí äýýð òóëãóóðëàí ò¿¿íòýé óÿëäóóëàí òîäîðõîéëîëò ãàðãàõ
Мөн x2 ýíý ôóíêöèéí óëàìæëàë íü 2õ áèø ãýäãèéã õàðàõ
( x2 )¿=2 x ( x2+2 )¿=2 x
( x2−7 )¿=2 x ýíäýýñ ( x2+C )¿=2 x ãýäãèéã òîäîðõîéëîõ
А. x2+C íü 2õ ôóíêöèéí ýõ ôóíêö áîëäîã áîë ýõ ôóíêöèéã þó ãýæ
Æèøýýíèé áè÷èãëýëèéã
ñàéí àíõààðàõ
11
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
òîäîðõîéëæ áîëîõ âý? Ýõ ôóíêöèéã
òîäîðõîéëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ äºõ¿¿ëýõ
( x2+C )¿=2 x òýíöýòãýë áèø áèåëýõ ( x2+C )❑ ôóíêöèéã ºãºãäñºí 2õ ôóíêöèéí ýõ ôóíêö ãýíý. Ñ. F¿ ( x )=f ( x ) òýíöýòãýë áèåëýõ F ( x ) ôóíêöèéã ºãºãäñºí f ( x ) ôóíêöèéí ýõ ôóíêö ãýíý.
Æèøýýã áîäîõîä òàéëáàð õèéõ
f ( x )=x3 ôóíêöèéí¿−∞ ;∞¿ çàâñàð äýýðõ ýõ ôóíêöèéã îë.
¿0 ;∞ ¿ çàâñàð äýýð òîäîðõîéëîãäñîí F ( x )=√x+x+4 ôóíêö ÿìàð ôóíêöèéí ýõ ôóíêö âý?
Ìýäëýãýý
õýðýãëýõ
/15ìèí /
Áîäëîãî äàñãàëäñîíãîëò õèéæ áîäëîãî áîäîõîä òàéëáàð õèéõ
Ýõ ôóíêöèéã îëîõ äàðààõ õýëáýðèéí ôóíêö¿¿äèéã áîäîõ
f ( x )=√x+2 3√x F ( x )=2 x2+ x−1 íü f ( x )=4 x+1 áîëîõûã øàëãà f ( x )=x+sin 2 x f ( x )=sinx+2cosx f ( x )=x4−3 x2+2 x+10
Áîäëîãûí óòãà áîäîõ àðãàä çºâ ñîíãîëò õèéõ Áèå äààí àæèëëàõ ÷àäâàð, èäýâõ
Ãýðèéí äààëãàâàð ºãºõ
БИТПРЕСС Математик-11 Ñóðàх бичгийн ¹1-5 õ¿ðòýëõ áîäëîãóóäèéã áîäîõ
12
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
ÕÈ×ÝÝË – 2
Ñýäýâ: Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëын чанарууд Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Òîäîðõîé áóñ èíòåãðàëûã áîäîæ ñóðàõ Çîðèëò:
Ýõ ôóíêö îëîõ ä¿ðìèéã äàâòàõ Èíòåãðàëûã òîäîðõîéëîõ, áè÷èæ òýìäýãëýæ, óíøèõ Õÿëáàð ôóíêö¿¿äèéí óëàìæëàëûí òîìú¸îíîîñ èíòåãðàëûí ¿íäñýí òîìú¸îã
òîäîðõîéëîõ Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéí ÷àíàð òîäîðõîéëîõ Òîìú¸î áîëîí ÷àíàð õýðýãëýõ
Àãóóëãà: ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà
Ýõ ôóíêö îëîõ Ýõ ôóíêö áîëîõûã áàòëàí
õàðóóëàõ
Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëын чанарууд
Тодорхойгүй интеграл áîäîõîä õóâüñàã÷èéã ñîëüæ îðëóóëàõ àðãà õýðýãëýõ
Àðãà ç¿é: Асуудал дэвшүүлэн шийдвэрлэх àðãà õýðýãëýíý. Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ¯ç¿¿ëýí-2.1, 2.2 2.3 /èíòåãðàëèéí ÷àíàð èëýðõèéëñýí ñëàéäóóä / Ñëàéä-2.4 2.5 2.6 2.7 / Èíòåãðàëèéí ¿íäñýí òîìú¸îã àãóóëñàí ñëàéä / Êîìïüþòåð, ïðîåêòîð Õè÷ýýëèéí ÿâö:Õè÷ýýëè
éí ýëåìåíò
Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà
Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Àíõààðàõ ¿íýëýõ
13
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
/õóãàöàà/
Á. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò
Ñ. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò
ç¿éë
Ãýðèéí äààëãàâ
àð øàëãàõ/10 ìèí/
Äààëãàâàðò ºãñºí
áîäëîãóóäààñ 5 áîäëîãî ñîíãîæ õàìòàð÷ áîäîõ áà ãàðãàñàí àëäààíä ä¿ãíýëò õèéæ ÿðèëöàõ
Äàðààõ áîäëîãóóäûã áîäîõ 1г, 2Д,3В, 3Е,5
Èíòåãðàë áîäîõîä ýõ ôóíêö îëîõ ìýäëýã òóëãóóð áîëæ ºãºõ ó÷ðààñ øèíý ìýäëýãèéã á¿òýýõýä òóñ äºõºì áîëîõ
Ìýäëýã á¿òýýëã
ýõ/15 ìèí/
Èíòåãðàëûí òîäîðõîéëîëòûã øóóä ìýäýýëýë ºãºõ ∫ f ( x )dx
áè÷èãëýëèéã òàéëáàðëàí óíøèæ ºãºõ
Èíòåãðàëûí òîäîðõîéëîëòûã
áè÷èæ òýìäýãëýæ àâàõ /Хуу-117/
Òîäîðõîéëîëòûã ñàéí îéëãîæ òýìäýãëýæ àâàõ, ó÷ðûã îëîõ
Òîìú¸î áà ÷àíàðûã ÿëãàæ õýðýãëýõ
Òîäîðõîéëîëòûã õýðõýí îéëãîñîí ýñýõ
ªìíºõ õè÷ýýëèéí æèøýý áîëîõ( x2 )¿=2 x áàéäàã áîë ýíý õýëáýðèéã èíòåãðàë õýëáýðò ÿàæ øèëæ¿¿ëæ áè÷èõ âý?
∫2 xdx=x2+C ãýäãèéã òîäîðõîéëîëòîîñ ¿íäýñëýí ººðñ人 áè÷èõ
( x )¿=1 ãýäãèéã èíòåãðàëä øèëæ¿¿ëæ áè÷èõ ∫1 dx=¿∫ dx=x+C ¿
Ү ð ä¿í: Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë íü óëàìæëàëûí óðâóó ¿éëäýë þì ãýñýí ä¿ãíýëò õèéõ Èíòåãðàëûí ¿íäñýí
òîìú¸îíóóäûã ñëàéäààð ¿ç¿¿ëæ òàéëáàðëàõ Òîäîðõîéã¿é
èíòåãðàëûí ÷àíàðûã ñëàéäààð ¿ç¿¿ëýõ
Èíòåãðàëûí ¿íäñýí òîìú¸îíóóäûã áè÷èæ òýìäýãëýæ àâàõ
÷àíàðûã òýìäýãëýõ, ó÷ðûã îëîõ
Ýõ ôóíêöèéã èíòåãðàëä øèëæ¿¿ëæ áè÷èõ
Ìýäëýãý Ìýäëýãýý Äàðààõ õýëáýðèéí Òóõàéí
14
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
ý õýðýãëý
õ/15
ìèíóò/
õýðýãëýõ áîäëîãî äàñãàë ñîíãîõ ×àíàð áîëîí ¿íäñýí
òîìú¸îíóóäûã õýðõýí õýðýãëýõ òàëààð çºâëºãºº áîëîí òàéëáàð ºãºõ Ñóðàã÷äûí
áîäîëòîíä õÿíàëò òàâüæ àëäààíä ä¿ãíýëò õèéõ А. ∫7 dx èíòåãðàë áîä ∫7 xdx èíòåãðàë áîä . . . . А. Äàñãàë ¹7 àæèëëàõàä äýìæëýã ¿ç¿¿ëýõ
áîäëîãóóäûã áîäîõ Áîäëîãî áîäîõîä ÷àíàð
áîëîí ¿íäñýí òîìú¸íóóäûã çºâ õýðýãëýõ Б. ∫7 dx=7∫ dx=7 x+c
∫7 xdx=7∫ xdx=5∙ x1+1
1+1+c=7
2x2+c
. . . Б. Äàñãàë¹ 7 áîäîõ
áîäëîãîä ÿìàð ÷àíàð õýðýãëýõ âý ãýäãèéã ñàéí çºâ ñîíãîõ õýðýãòýé
Áèå äààí àæèëëàõ ÷àäâàð èäýâõè
Äààëãàâàð ºãºõ
Á. Äàñãàë 10-ûã áîäîõîä ÷àíàð 4-ûã ÿàæ àøèãëàõ òàëààð òàéëáàð ºãºõ
Äàñãàë¹ 8, 9 10 Áîäëîãûã çºâ áîäîõ
ÕÈ×ÝÝË – 3 Ñýäýâ: Áàòàòãàë õè÷ýýë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí ÷àíàð áà ¿íäñýí òîìú¸îíóóäûã õýðýãëýõ, áîäëîãî ÷àäâàð íýìýãä¿¿ëýõ, áèå äààæ àæèëëàõ èäýâõ ñàéæðóóëàõ Çîðèëò:
Õÿëáàð áîäëîãî áîäîõ Èíòåãðàëûí ÷àíàðûã òîãòîîõ, ашиглаж сурах Орлуулагын аргыг ашиглаж сурах
15
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Èíòåãðàëûí ÿíç á¿ðèéí õýëáýðèéí áîäëîãî áîäîõ Èíòåãðàëûí õÿëáàð òîìú¸îã òîãòîîõ õýðýãëýõ Áîäëîãî áîäîõ ÷àäâàðàà íýìýãä¿¿ëýõ
Àðãà: Äàñãàëûí àðãà, Áèå äààæ àñóóäàë øèéäâýðëýõ
Õýðýãëýãäýõ¿¿í: Ном, Сурах бичиг, Томъёоны дэвтэр
Õè÷ýýëèéí ÿâö:
Õè÷ýýëèéí
ýëåìåíò/
õóãàöàà/
Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà
А. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò
Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Б. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò
Àíõààðàõ ¿íýëýõ
ç¿éë
Á¿òýýë÷ ¿éë
/40 ìèí/
Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò òàâèõ
Ãàðãàñàí àëäààíä
òàéëáàð õèéõ
Ñóðàã÷äûí áîäîõ
èäýâõèéã ºðí¿¿ëýõ
Ñóðàã÷äûã ¿íýëæ
ä¿ãíýõ
Сурах бичгийн № 9-13
Áîäëîãûã èäýâõòýé ¿íýí çºâ áîäîõ
Ãàðãàñàí àëäààíäàà ä¿ãíýëò õèéõ
Áîäëîãî á¿ðèéí óòãûã ñàéí îëîõ.
Äààëãàâàð òóñ á¿ðèéí ÿëãàà, óòãûã ñàéí îëîõ
Äààëãàâàð
Бодоогүй үлдсэн бодлогоо бодох
ÕÈ×ÝÝË-4Ñýäýâ: Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ
16
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: äàâõàð ôóíêöèéí èíòåãðàëûã øèíý õóâüñàã÷ õýðýãëýí áîäîæ ñóðàõ Çîðèëò:
Äàâõàð ôóíêö áà äàâõàð ôóíêöýýñ óëàìæëàë ìýäëýãèéã ñýðãýýõ Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ áà îðëóóëàõ àðãûã
òîäîðõîéëîõ Õóâüñàã÷èéã ñîëüæ èíòåãðàë÷ëàõ àðãûã õýðýãëýæ àñóóäàë
øèéäýõ Àãóóëãà :
ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëûí
÷àíàðûã àñóóäàë øèéäâýðëýõ
Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëèéí ¿íäñýí òîìú¸îíóóäûã õýðýãëýõ
Орлуулагын арга Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ
àðãûã õýðýãëýõ
Ñóäëàãäàõóóí Óð óõààí
Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë áîäîõ õóâüñàã÷èéã ñîëèõ áà îðëóóëàõ àðãà
Äàâõàð ôóíêöèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéëýõ
Èíòåãðàëûí äîîðõ äàâõàð ôóíêöèéã òîìú¸îãîîð ä¿ðñëýõ
ßìàð îðëóóëãà õèéõèéã òîäîðõîéëîõ ºõ îðëóóëãûã îíîâ÷òîé õèéõ
Õè÷ýýëèéí ÿâö: ¯å øàò Áàãøèéí ¿éë
àæèëëàãààÑóðàã÷èéí ¿éë
àæèëëàãààÀíõààðàõ
ç¿éë, ¿íýëãýý
ºìíºõèéã ñýðãýýí ñàíàõ
/10 ìèí/
Äàâõàð ôóíêö ãýæ
ÿìàð ôóíêöèéã õýëýõ ò¿¿íèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéë. Æèøýý ãàðãàõ Äàâõàð ôóíêöèéí
óëàìæëàë ÿìàð ä¿ðìýýð îëîõ âý?
y=f (u ) ,u=g ( x ) ãýñýí õî¸ð ôóíêö ºãºãäñºí óãñàð÷ ãàðàõ y=f ( g ( x )) -ã äàâõàð ôóíêö ãýíý
y= (x−3 )3 íü y=x−3 äýýð y=x3- ã óãñðàõàä ¿¿ññýí.
F (u ( x ) )¿=F¿ (u ( x ) ) ∙u¿ ( x )
Äàâõàð ôóíêöýýñ èíòåðàë àâàõàä õýðýãëýãäýõ ó÷èð ÿìàð ÿìàð ôóíêö¿¿äýýñ á¿òñýíèéã
17
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
f ( x )= (4 x+5 )10-ûí óëàìæëàë îë.f ¿ ( x )=10 ∙ ( 4 x+5 )9 ∙ 4=40 (4 x+5 )9
ñàéí òîãòîîõ
Àñóóäàë äýâø¿¿ë
æ øèéäâýð
ëýõ/5 ìèí/
Æèøýý ñîíãîõ Æèøýýã áîäîæ
òàéëáàð õèéõ А. ∫ x2 sinx3dx=1
3∫ sinx3 ( x3 )¿dx ýíä ÿìàð îðëóóëãà õèéæ áîëìîîð áàéíà âý? èæèë àðãóìåíò áàéíà óó? А. îðëóóëãûã õèéñíèé äàðàà èíòåãðàë ÿìàð õýëáýðò øèëæèõ âý?А. Èíòåãðàëûã ã¿éöýýæ áîäñîíû äàðàà ãàðñàí õàðèóíä áóöàæ îðëóóëãà õèéõ çýðãýýð òàéëáàð õèéõ
∫ x2 sinx3dx èíòåãðàëûã áîä
( x3 )¿=3 x2 ãýäãèéã ñàéí àíõààð÷ èíòåãðàë áè÷âýë ∫ x2 sinx3dx=1
3∫ sinx3 ( x3 )¿ dx
x3 èæèë áàéãàà àæèãëàõ
x3=t îðëóóëãà õèéæ áîëîõûã õàðàõ
∫ x2 sinx3dx=13∫ sintdt=−1
3cost+C=−1
3cos x3+C
Èíòåãðàëûã õÿëáàð ¿íäñýí òîìú¸îãîîð áîäîõ õýëáýðò øèëæ¿¿ëýõ
Ìýäëýã á¿òýýëã
ýõ/10 ìèí/
Òîìú¸îã òîäîðõîéëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ ºìíºõ æèøýýòýé õàðüöóóëàí óÿëäóóëàí õîëáîõ
Æèøýý ñîíãîõ õàìòàð÷ òàéëáàð õèéæ áîäîõ
∫ f ( x )dx=F ( x)+C áîë äóðûí u=u (x ) ôóíêöèéí õóâüä ∫ f (u ( x ) ) ∙ u¿ ( x ) dx=F (u ( x ) )+C áîëíî ãýäãèéã õàðèëöàí ÿðèà òàéëáàð ÿðèà áîëîí àæèãëàëòûí ¿íäñýí äýýð ãàðãàõ
∫ xdx1+x4
èíòåãðàëûã áîäîõ
Îðëóóëãà çºâ õèéæ ò¿¿íèé ýõ ôóíêöèéã îëîõ Èíòåãðàëä øèëæ¿¿ëýí áè÷èõ Áóöààæ îðëóóëñàíàà áóöààæ îðëóóëàõ
Ñóðàã÷äûí áèå
Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò
Ñóðàõ áè÷ãèéí äàñãàë ¹14-èéí à-è
Ñóðàã÷äûí õèéæ
18
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
äààñàí ¿éë
àæèëëàãàà /15
ìèí/
òàâèõ Àëäààíä
òàéëáàð õèéõ
áîäîõ áàéãàà ¿éëäýëä õÿíàëò òàâèõ
Äààëãàâàð
Ñóðàõ áè÷ãèéí äàñãàë¹ 15à-ç
ÕÈ×ÝÝË-5Ñýäýâ: Õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Èíòåãðàëûí ÷àíàð áîëîõ õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðìèéã õýðýãëýõ Çîðèëò:
¯ðæâýðèéí óëàìæëàëûí òîìú¸îíîîñ õýñýã÷ëýí èíòåãàðë÷ëàõ ä¿ðìèéí ñàíààã ãàðãàõ
Äýýðõ ñàíààíààñ ä¿ðìýý òîäîðõîéëîõ Ä¿ðìèéã õýðýãëýõ ÷àäâàð òºëºâø¿¿ëýõ
Àãóóëãà:ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà
¯ðæâýðèéí óëàìæëàë îëîõ ä¿ðýì
Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë áîäîõ
Òîäîðõîéã¿é èíòåãðàë áîäîõ á¿õ àðãóóäààñ òîõèðîõûã íü ñîíãîõ õýðýãëýõ
Àðãà ç¿é: Àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðë¿¿ëýõ, àæèãëàëòààñ ä¿ãíýëòýíä õ¿ðýõ Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ÒªÌ-5.1 ñóðàõ áè÷èã, áîäëîãûí õóðààìæ Õè÷ýýëèéí ÿâö:¯å øàò Áàãøèéí ¿éë
àæèëëàãààÑóðàã÷èéí ¿éë
àæèëëàãààÀíõààðàõ ç¿éë, ¿íýëãýý
ºìíºõèéã ñýðãýýõ/10ìèí/
Õóâüñàã÷ ñîëüæ
èíòåãðàë÷ëàõ àðãààð áîäîãäîõ äàðààõ áîäëîãóóäûã
∫ ( 4 х−7 )8dx ýíä t=4 х−7 ãýñýí îðëóóëãà õèéæ ∫ t 8 1
4dt õÿëáàð
èíòåãðàëä øèëæèíý
Àðãûã îíîâ÷òîé
çºâ
19
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
ñîíãîíî.∫ ( 4 х−7 )8dx
∫ dx(5 x+1 )4
Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò òàâèõ ÿðèëöàõ, òàéëáàðëàõ
∫ dx(5 x+1 )4
ýíä 5 x+1=t
îðëóóëãà õèéæ 15∫ t−4 dt
èíòåãðàëä øèëæèæ −115t 3 +C
èëýðõèéëýëä áóöàæ îðëóóëàãà õèéíý.
õýðýãëýõ
Ñýäýëæ¿¿ëýõ
àñóóäàë øèéäâýðëýõ /5ìèí /
А.∫ ex x2 dx áîä. ßìàð àðãà õýðýãëýõ âý? . .Õýðýâ áîäîõîä áýðõøýýëòýé áàéâàë äàðààõ äàðààëëûí áàðèìòëàíà óó?
Ñóðàã÷äûã õýñýã÷ëýí èíòåãðàë÷ëàõ ä¿ðýì òîäîðõîéëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ, äýìæèõ, òóñëàõ
Б. Èíòåãðàë ÿìàð ÿìàð ôóíêöýýñ òîãòñîí áàéãààã àæèãëàæ òóñ òóñàä íü áè÷èõ Б. u=u (x ) v=v ( x ) íü õ-ýýñ õàìààðñàí òàñðàëòã¿é óëàìæëàëòàé ôóíêö áàéã. Òýãâýë ¿ðæâýðèéí óëàìæëàëûí òîìú¸î áè÷. Б. Òîìú¸îíîîñ u ∙ v¿ èëýðõèéëëèéã îëíî. ∫u ∙ dv=¿¿ . . . . èëýðõèéëýë þóòàé òýíö¿¿ áîëîõûã òîäîðõîéëæ íýðëýõ.
ºìíºõ ¿çñýíýý ñýðãýí ñàíàõ õýðýãëýõ èëýðõèéëýë õóâèðãàõ
Ãàðàõ ¿ð ä¿í: Õýñýã÷ëýí èíòåãàðë÷ëàõ ÷àíàðûã òîäîðõîéëîõ óã òîìú¸îíû ãàðãàëãàà õèéõ.
Ìýäëýã á¿òýýõ/10 ìèí /
Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëò, ñýäâèéã õàìòàð÷ òîäîðõîéëîõ
∫ ex x2 dx æèøýýã
õàìòàð÷ áîäîõ øèíý òîäîðõîéëñîí ä¿ðìýý ÿàæ õýðýãëýæ áàéãààã òàéëáàðëàõ
Õè÷ýýëèéí çîðèëãî, çîðèëò ñýäâýý òîäîðõîéëîõ
ªìíº íü äýâø¿¿ëñýí æèøýý áîäëîãîîð øèíý ìýäëýãýý áàòàòãàõ.
∫ xsinxdx áèå äààæ áîäîõ
20
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
∫ xsinxdx æèøýýã ñîíãîõ
Ñóðàã÷äûí áèå äààñàí
¿éë àæèëëàã
àà /15ìèí/
Ñóðàã÷äûí áîäîëòîíä õÿíàëò òàâèõ
Àëäààíä òàéëáàð
õèéõ
ªãºãäñºí äààëãàâðûã áèå
äààí áîäíî Áîäîëòîíäîî ä¿ãíýëò
õèéí áèå äààñàí ¿éë àæèëëàãààãàà ñàéæðóóëàõ
Äààëãàâàð
Ñóðàõ áè÷ãèéí äààëãàâàð ¹16-19
Дараагийн хичээл сэдвийн шалгалт-1 авна шалгалтын материал хавсаргав.
ÕÈ×ÝÝË-7 Ñýäýâ: Òîäîðõîé èíòåãðàë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Íüþòîí – Ëåéáíèöèéí òîìú¸î àøèãëàí òîäîðõîé èíòåãðàëûã áîäîæ ñóðàõ Çîðèëò:
Òîäîðõîé èíòåãðàëûã òîäîðõîéëîõ, áè÷èõ, òýìäýãëýõ Òîäîðõîé èíòåãðàëûí ýõ ôóíêöèéí õîëáîî õàìààðëûã ãàðãàõ Íüþòîí –Ëåéáíèöèéí òîìú¸îã òîäîðõîéëîõ Áîäëîãî äàñãàëààð øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ
Àðãà ç¿é: Àñóóäàë äýâø¿¿ëýí øèéäâýðëýõ, ä¿ãíýëò õèéõ, àæèãëàëò õèéõ. Òàéëáàð ÿðèà Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ¯ç¿¿ëýí 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 /õîëáîãäîõ òîìú¸î òîäîðõîéëîëò àãóóëñàí ñëàéäóóä /Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-
ëèéí ýëåìåíò
/õóãàöà
à/
Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà
А. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò
Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Б. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò
Àíõààðàõ ¿íýëýõ ç¿éë
21
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Ñýäýë òºð¿¿ëý
õ/5 ìèí/
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýýíèé áîäëîãî ñîíãîõ “Ïàðàáîë ìóðóé õýëáýðòýé çàì áàéâ. Õýðýâ 100ì-èéã 1 íýãæ áîëãîí àâáàë óã ïàðàáîë íü (0;0) (2;1) (4;4) êîîðäèíàòòàé öýã¿¿äèéã äàéðíà. Óã çàì áà øóëóóí çàìóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí öýöýðëýãèéí òàëáàéã îë. “А. Ýíý áîäëîãûã áîäîõîä ÿìàð ä¿ðìèéí òàëáàé îëîõ âý? А. Îëîõ ãýæ áàéãàà ä¿ðñèéã íýðëý. Áèäíèé ºìíº ìýääýã ä¿ðñ ìºí ¿¿ А. Èéì ä¿ðñèéí òàëáàéã îëîõîä òîäîðõîé èíòåãðàë õýðýãëýãäýíý.
Áîäëîãûí ó÷ðûã îëîõ Òîäîðõîé èíòåãðàëûí
õýðýãëýýã òîäîðõîéëíî.Б. Ýíý íü ìóðóéãààð õ¿õýýëýãäñýí õÿëáàð áèø ä¿ðñ áàéíà.
Б. Çàì èéìýðõ¿¿ õýëáýðòýé áàéõ áîëîâ óó?
Б. Èéì ä¿ðñèéí òàëáàéã ÿàæ îëîõ áîë ãýäýã íü ñîíèí áàéíà
Ñóðàã÷èä áîäëîãûí ºã¿¿ëáýðýýñ þó îëæ õàðñíûã õÿíàõ
Èéì òºðëèéí õýðýãëýý àìüäðàëä áàéãàà ýñýõèéã òîäîðõîéëîõ
Ãàðàõ ¿ð ä¿í: Àìüäðàëä èéì ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ òîõèîëäîë çºí人 ãàðäàã èéìýýñ òîäîðõîé èíòåãðàë þóíä õýðýãëýãäýõ âý? ãýñýí òºñººëºëòýé áîëëîî. Îäîî õàðèí òîäîðõîé èíòåãðàë ãýæ ÿã þó âý ÿàæ õýðýãëýõ âý? ãýñýí àñóóäàë ãàð÷ èðæ áàéãààã îéëãîõ
22
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
А. Äýýðõ ä¿ãíýëòýýñ
¿çýõýä áèä õýðýãëýõ ãýýä áàéãàà òîäîðõîé èíòåãðàë ãýæ þó ãýäãèéã òîäîðõîéëîõ õýðýãòýé áîëæ áàéíà. ¯¿íèé òóëä ýõëýýä áèäíèé îëîõ ãýýä áàéãàà ä¿ðñ ÿìàð íýðòýéã òîäîðõîéëú¸. Ìóðóé øóãàìàí
òðàïåöèéí òîäîðõîéëîëòûã ¿ç¿¿ëýíãýýð áýëäýæ ñóðàã÷äàä øóóä ìýäýýëýë ºãíº. /¿ç¿¿ëýí6.1/А. Ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã äàðààëëûí õÿçãààðòàé õîëáîæ òîâ÷ òàéëáàðëàõ
Òîäîðõîéëîëòûí ó÷ðûã îëîõ
ºìíºõ òºñººëºãäñºí çóðãàà êîîðäèíàòûí õàâòãàé äýýð ä¿ðñýëæ õÿçãààðòàé õîëáîæ îéëãîõ
Òîäîðõîéëîëòîíä àæèãëàëò ä¿ãíýëò õèéõ
Òàéëáàðûã ìàø îéëãîìæòîé õèéõ
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí
òîäîðõîéëîëòûã ¿ç¿¿ëýíãýýð áýëòãýæ ìýäýýëýë ºãºõ /¿ç¿¿ëýí6.2/ Òîäîðõîéëîëò
äýýðýý òàéëáàð õèéõ
Òîäîðõîéëîëòûí ó÷ðûã îëæ òýìäýãëýë õèéõ Èíòåãðàëûí òýìäýãëýãýýã óíøèõ
А. Îäîî áèä íàðò ÿìàð àñóóäàë ãàð÷ èðýõ âý? Èíòåãðàë áîäîõ
àðãà áàéõ òàëààð ÿðèëöàõ
Б. Òîäîðõîé èíòåãðàëàà ÿàæ áîäîõ âý?
¯ç¿¿ëýí 6.3 6.4 Çóðãààñ ä¿ðìèéí 23
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Ìýäëýã á¿òýýëãýõ/25 ìèí /
äýýð òàéëáàð õèéõ Ýíäýýñ ìóðóé
øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàé ÿàæ îëäîãèéã ä¿ãíýëò õèéæ ãàðãàíà. Òîäîðõîéëîëòûã
¿ç¿¿ëýí 6.5 õèéõ F(b)-F(a) ÿëãàâðûí
òîâ÷ áè÷èãëýëèéã ñàìáàðò áè÷èæ òàéëáàðëàõ
òàëáàé ÿàæ îëîõûã ìýäýõ Òîäîðõîéëîëòûã òîäîðõîéëæ òýìäýãëýõ Òîäîðõîéëîëò òîìú¸îíóóäûí ó÷ðûã ñàéí îéëãîõ áà õýðýâ îéëãîìæã¿é ç¿éë áàéâàë áàãøààñ àñóóæ ìýäýõ
Äýýðõ òîäîðõîéëîëòîîñ ¿íäýñëýí íüþòîí –ëåéáíèöèéí òîìú¸îã òîäîðõîéëîõ ¯ç¿¿ëýí 6.6 ∫
−2
1
x2dx èíòåãðàë áîä ãýñýí æèøýýã õàìòàð÷ áîäíî.
Äýýðõ òîäîðõîéëîëòîîñ ¿íäýñëýí òåîðåì òîäîðõîéëîõ Òîäîðõîéëîëòîî õýð ¿íýí õèéñíèéã áàãøèéí áýëòãýñýí ¿ç¿¿ëýíãýýñ õàðíà. Áîäëîãûã áîäîõ òîìú¸îã õýðõýí õýðýãëýæ áàéãààã ñàéí ó÷ðûã îëîõ õàðèó 3 ãàð÷ áàéíà.
Òîäîðõîé èíòåãðàëä
òîäîðõîéã¿é èíòåãðàëòàé àäèë ÷àíàðûã ÷àíàðóóä òîäîðõîéëîãäîíî
ººðñ人 òîäîðõîé èíòåãðàëûí ÷àíàðûã òîäîðõîéëæ áè÷íý.
Ñóðàã÷äûí áèå
äààñàí ¿éë
/10 ìèí/
áîäëîãîíä ñîíãîëò õèéõ áîäîëòîíä õÿíàëò
òàâèõ Òàéëáàð õèéõ
Äàðààõ áîäëîãûã áîäîõ
∫−1
2
(3 x2−5 x+2 ) dx
∫−3
1
x2 dx−∫1
3
(−x )2 ÿëãàâàðûã òîîöîîë
Äàñãàë 20à, á
÷àíàðóóäûã ÿàæ àøèãëàõàä àíõààðàõ
Äààëãàâàð Äàñãàë ñóðàõ áè÷ãèéí ¹
24
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
20-23
ÕÈ×ÝÝË -8Ñýäýâ: Áàòàòãàë õè÷ýýë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Íüþòîí-Ëåéáíèöèéí òîìú¸îã õýðýãëýõ ÷àäâàð òºëºâø¿¿ëýõ Çîðèëò:
Õýðýãëýãäýõ òîìú¸î, òîäîðõîéëîëòûã ñýðãýýí ñàíàõ Áîäëîãî áîäîõîä õîëáîãäîõ òåîðåì, òîìú¸îã çºâ îíîâ÷òîé õýðýãëýõ Òåîðåì õýðýãëýí áîäëîãî áîäîõ àñóóäàë øèéäâýðëýõ ÷àäâàð
òºëºâø¿¿ëýõ Àðãà: Õè÷ýýëèéã áîäëîãîîð ñýäýëæ¿¿ëýõ àðãààð çîõèîí áàéãóóëíà. Ñóðàã÷äààð ìýäëýã á¿òýýëãýõ ¿éë àæèëëàãààã äàðààõ áàéäëààð çîõèîí áàéãóóëíà. Õýðýãëýãäýõ¿¿í: Ном сурах бичигÕè÷ýýëèéí ÿâö: ¿å øàò Ñóðàã÷èéí ¿éë
àæèëëàãààÁàãøèéí äýìæëýã Àíõààð
àõ ¿íýëýõ ç¿éë
Ãýðèéí äààëãàâ
àð øàëãàõ
№20-23
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí ÷àíàðûã òîìú¸îëæ áè÷èõ
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí ÷àíàðóóäûã õýðõýí òîìú¸îëæ èðñíèéã
Ä¿ðýì èæèë áè÷èãë
25
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
/10 ìèí/ /Òîäîðõîé áóñòàé àäèë ó÷è𠺺ðñ人 òîäîðõîéëíî /
Õî¸ð èíòåãðàëûí õîîðîíä ÿìàð ÿëãàà áàéãààã õàðàõ
ñàìáàðò ñóðàã÷ ãàðãàí áè÷¿¿ëæ øàëãàõ
÷àíàðûí óòãûã òàéëáàðëóóëàõ
ýë ººð ººð áîëîõûã àíõààðàõ
Ñóðàã÷äûí áèå äààñàí
¿éë àæèëëàã
àà/30ìèí/
Сурах бичгийн 24-27-р äàñãàëûã àæèëëàõ
Äààëãàâàð ñóðàõ áè÷ãèéí äàñãàë¹ 24-27-ийн үлдэгдэл
ÕÈ×ÝÝË-9Ñýäýâ: Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý Çîðèëãî: Òîäîðõîé èíòåãðàëûí òóñëàìæòàé ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàé îëîõ òàëáàé îëîõ. Çîðèëò:
Ìóðóé øóãàìàí òðàïåö ä¿ðñèéí òóõàé óõàãäàõóóí Ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã òîõèîäîë òóñ á¿ð äýýð
òîäîðõîéëîõ Æèøýý áîäëîãî äýýð øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ
Àãóóëãà: ªìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãà
o Òîäîðõîé èíòåãðàë ò¿¿íèéã áîäîõ àðãóóä
o Ìóðóé øóãàìàí òðàïåö o Ôóíêöèéí ãðàôèê çóðàõ
o Ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿í îëîõ
26
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Àðãà ç¿é: Çóðàãò ¿ç¿¿ëýí àøèãëàí òàéëáàð ÿðèàíû àðãà õýðýãëýíý.Õýðýãëýãäýõ¿¿í: Ñëàéä-10.1, 10.2, 10.3, 10.4Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-
ëèéí ýëåìåíò
/õóãàöà
à/
Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà
А. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò
Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Б. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò
Àíõààðàõ ¿íýëýõ
ç¿éë
ºìíºõèéã ñýðãýýí ñàíóóëà
õ/5 ìèí/
ªìíºõ õè÷ýýëä ¿çñýí
ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òóõàé ñýðãýýõ
Òîäîðõîéëîëò áà òîìú¸îã õàðèëöàí ÿðèëöàõ
Ä¿ðñýý òàíèõ
Ìýäëýã á¿òýýëã
ýõ/15ìèí/
y=f ( x ) [ a ; b ] çàâñàðò òîäîðõîéëîãäñîí ýåðýã óòãàòàé ôóíêö áîë ò¿¿íä õàðãàëçàõ ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéã ñëàéä10.1 äýýð òàéëáàðëàí òîäîðõîéëîõ
Òàëáàéí òîìú¸î áè÷èõýä òóñëàõ ÷èãë¿¿ëýõ
Ôóíêö ÿàæ òîäîðõîéëîãäîí ä¿ðñëýãäñýíèé ó÷ðûã îëîõ
Çóðàãò ¿íäýñëýãäýí òàëáàéí òîìú¸î áè÷èõ
Ä¿ðñ á¿ðèéí ÿëãààã ñàéí îëæ õàðàõ
Ñóðàã÷èä ä¿ðñýý õýðõýí òàíüæ áàéãàà ò¿¿íèé òàëáàéã õýðõýí òºñººëæ áàéãààã àíõààðàõ
Ѻðºã óòãà àâäàã
ôóíêö ò¿¿íèé ãðàôèêèéã ä¿ðñýëæ ¿ç¿¿ëýõ ñëàéä10.2
Çóðàãò ¿íäýñëýí òàëáàéí òîìú¸î áè÷èõýä ÷èãë¿¿ëýõ
ºìíºõ çóðãààñ ÿìàð ÿëãààòàé áàéãààã àæèãëàõ
ªìíºõ ä¿ðñèéí òàëáàéí òîìú¸îã èëýðõèéëñýíòýé àäèëààð ä¿ðñèéí òàëáàéã òîäîðõîéëîõ
y=f ( x ) [ a ; b ] çàâñàð äýýðýý òýìäýãýý õýä õýäýí
Çóðàã ÿìàð õýëáýðòýé ºìíºõ çóðãààñ þóãààðàà ÿëãààòàé áàéãààã
27
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
óäàà ººð÷èëñºí ä¿ðñ ñîíãîõ ñëàéä10.3
ßëãààã õàðàõûí òóëä ä¿ðñèéí þóã íü àæèãëàõ âý? ãýäýãò äºõ¿¿ëýõ
àæèãëàæ òîäîðõîéëîõ ºìíºõ æèøýýíèé ýåðýã
ñºðºã çàâñàð äýýðõ òàëáàéã òóñ á¿ðä íü ÿàæ òîäîðõîéëñíîî ¿íäýñëýí
S=∫a
c
f ( x )dx+|∫c
d
f ( x )dx|+∫d
c
f (x)
. . . òîìú¸îã ãàðãàõ
Ñëàéä10.4
А. Ä¿ðñ ÿìàð îíöëîãòîé âý?А. Ä¿ðñèéí òàëáàéã ÿàæ èëýðõèéëýõ âý?
Ýíý çóðàãò f 1 ( x )>f 2( x) ãýæ ºãºãäñºí áàéãààã àæèãëàõ
Ýíä ä¿ðñèéí òàëáàé ìóðóé
øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàéíóóäûí ÿëãàâàðòàé òýíöýõèéã îëæ õàðàõБ. Ä¿ðñèéí òàëáàéã
S=∫a
b
f 1 ( x ) dx−∫a
b
f 2(x)dx . .. ãýæ òîäîðõîéëíî.
28
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Ìýäë
ýãèé
ã õý
ðýãë
ýõ/ 2
0 ìè
í/ Øèíý ìýäëýãèéã
áàòàòãàõ äàñãàë æèøýý ñîíãîõ
Áîäëîãûã õàìòàð÷ áîäîõ áà áîäîõîä ÷èãë¿¿ëýõ
Ñëàéä 10.6, 10.7,
10.8 ñëàéä äàõ çóðãààð áîäëîãî áîäóóëàõ
s=sinx ,x=π, x=2 π
x=0
Øóãàìóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí ä¿ðñèéí òàëáàéã îë.
Б.
s=∫0
12
cosπxdx−∫0
13
(6 x2−5 x+1 ) dx+|∫13
12
(6 x2−5 x+1 ) dx|+|∫13
1
cosπxdx|
òîìú¸îã õàìòàð÷ ãàðãàæ àâíà. Б. Ýíý èíòåãðàëûã öààøèä ¿ðãýëæë¿¿ëýí áîäîõ
Áîäëîãûí ¿ð ä¿í óòãûã áàéíãà òîîöîõ
ÕÈ×ÝÝË-10Ñýäýâ: Áàòàòãàë õè÷ýýë Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Õàâòãàé ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ ìýäëýãýý áàòàòãàõ, ºãºãäñºí ä¿ðñýýð õàøèãäñàí ä¿ðñèéí òàëáàéã îëîõ Çîðèëò
Ñóðàã÷äàà èäýâõèòýé îðîëöîõ ñîíèðõîë òºð¿¿ëýõ ºìíºõ ìýäëýãèéã ñýðãýýõ ºãºäñºí ä¿ðñýýð õàøèãäñàí ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõ
Àðãà: Õè÷ýýëèéã ñîíèðõîëòîé áîëãîõ çîðèëãîîð ÀÕÀ çîõèîõ, òàéëáàð ÿðèà Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ñëàéä11.1, 11.2, 11.3, 11.4 11.5 /ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí ä¿ðñ¿¿ä àãóóëñàí ñëàéäóóä /Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-
ëèéí ýëåìåíò
Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà
А. Áàãøèéí òàâèõ
Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Б. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò
Àíõààðàõ ¿íýëýõ
ç¿éë
29
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
/õóãàöà
à/
àñóóëò õàðèóëò
ªìíºõèéã ñýðãýýõ/10-15
ìèí/
Ñóðàã÷äûí ñýòãýë ñýðãýýõ äàñãàë áîëãîí ìàòåìàòèêèéí åðºíõèé ìýäëýãèéã õàìàðñàí õÿëáàð àñóóëòààð ÀÕÀ ÿâóóëàõ Òîãëîîìûã ÀÕÀ-èéí
çîõèîí ÿâóóëàõ ãýõäýý íýã àñóóëòàíä á¿äýðâýë òîãëîîìîîñ ãàðàõûã ñàéí òàéëáàðëàõ Àñóóëòûã
áýëòãýõ
Ààñóóëòàíä ¿íýí çºâ õàðèóëàõ
Íýã ñóðàã÷ íýã àñóóëòàíä
áóðóó õàðèóëàõ ýðõòýé Àñóóëòàíä õàðèóëàõ
áîëîí áóñäûã õàðèóëæ áàéõàä àíõààðàëòàé ñîíñîõ
Àñóóëòàíä çºâ
õàðèóëæ áàéãàà ýñýõ áîëîí
òîãëîëòûí ýìõ
çàìáàðòààé
áàéäàëä àíõààðàõ
Ñóðàã÷-äûíÁèå
äààñàí ¿éë
àæèëëàãà/25-
30ìèí /
Çóðæ áýëòãýñýí ñëàéä
äàõ ä¿ðñèéí òàëáàé îëîõñëàéä 11.1, 11.2, 11,3 11.4 Áîäëîãî áîäîõîä ÷èãë¿¿ëýõ òàéëáàð õèéõ
Áîäëîãóóäûã áîäîõ Áàãøèéí çààâàð
çºâëºãººã ñàéí îéëãîæ õýðýãëýõ
Ñóðàã÷äûí õèéæ áàéãàà ¿éëäë¿¿äèéí àíõààðàõ Ñóðàã÷èä á¿ãäýýðýý îðîëöîæ áàéãàà ýñýõèéã õÿíàõ
Äààëãàâàð Ñóðàõ áè÷ãèéí ¹28-39
ÕÈ×ÝÝË-11Ñýäýâ: Èíòåãðàëûí õýðýãëýý Хамрах хүрээ: ЕБС-ын 11-р анги
Çîðèëãî: Èíòåãðàëààð ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã îëîõ Çîðèëò:
Ýðãýëòèéí áèå áîëîõ êîíóñ, öèëèíäðèéã ñýðãýýí ñàíàõ Êîíóñ áà öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèé òóõàé Ýçýëõ¿¿íèéã èíòåãðàëòàé õîëáîæ òîäîðõîéëîõ
30
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Áîäëîãî äàñãàëààð øèíý ìýäëýãèéã áàòàòãàõ Àãóóëãà:
ºìíº ñóäàëñàí àãóóëãà Öààøèä ñóäëàõ àãóóëãào Ýðãýëòèéí áèå áîëîõ êîíóñ,
öèëèíäð ò¿¿íèé ýëåìåíò¿¿ä o Öèëèíäð áà êîíóñûí ýçýëõ¿¿í
o Áºìáºðöãèéí ýçýëõ¿¿íèéã èíòåãðàëààð èëýðõèéëýõ
Àðãà ç¿é: òàéëáàð ÿðèà, àæèãëàëòûí àðãà Õýðýãëýãäýõ¿¿í: ¿ç¿¿ëýí 1/ýðãýëòýýð öèëèíäð ¿¿ññýíèéã õàðóóëñàí çóðàã ò¿¿íèé ýçýëõ¿¿í / ¿ç¿¿ëýí 2/ýðãýëòýýð êîíóñ ¿¿ñ÷ áàéãààã õàðóóëàõ ñëàéä/Õè÷ýýëèéí ÿâö: Õè÷ýý-
ëèéí ýëåìåíò
/õóãàöà
à/
Áàãøèéí ¿éë àæèëëàãàà
А. Áàãøèéí òàâèõ àñóóëò
Ñóðàã÷èéí ¿éë àæèëëàãàà
Б. Ñóðàã÷èéí áîëîìæèò õàðèóëò
Àíõààðàõ ¿íýëýõ
ç¿éë
ñýðãýýí ñàíàõ/5 ìèí/
А. Ýðãýëòèéí áèå ãýæ þó âý ãýäãèéã ñýðãýýí ñàíàöãààÿ. Öèëèíäðèéí òóõàé òîâ÷ ìýäýýëýë àâàõ ºãºõ
Б. Öèëèíäðèéí õàìãèéí ýíãèéí õÿëáàð òîäîðõîéëîëò õýëýõ áà ñàíàõ “Òîéðãèéí öýã íýã á¿ðèéã äàéðóóëñàí ºãñºí øóëóóíòàé ïàðàëëåëü øóëóóí òàòàõàä ¿¿ñýõ ä¿ðñèéã äóãóé öèëèíäð ãàäàðãóó”“öèëèíäð ãàäàðãóóã îãòîëñîí ïàðàëëåëü õî¸ð õàâòãàéãààð õàøèãäñàí áèåèéã öèëèíäð ãýíý.”
Ä¿ðñèéí ÿìàð õýñãèéã îíöîëæ ñýðãýýõýä àíõààðàõ
Ýðãýëòèéí áèå ¿¿ñýõ íºõöëèéã òàéëáàðëàõ
Öèëèíäð ¿¿ñýõ íºõöºëèéã òàéëáàðëàõ
y=f ( X) òàñðàëòã¿é ìóðóé x=a , x=b , y=0
øóãàìóóäààð õ¿ðýýëýãäñýí ìóðóé øóãàìàí òðàïåö Îõ òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä áèå ¿¿ñíý. Ýíý íü òóõàéí ¿éëäëýýð ¿¿ññýí ýðãýëòèéí
31
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
áèå
Ìýäëýã á¿òýýõ/20ìèí /
Á. y=R , x=0 , x=h , y=0 øóãàìààð õ¿ðýýëýãäñýí ä¿ðñ àáöèññ òýíõëýãèéã òîéð÷ öèëèíäð ¿¿ñíý ãýäýã òàéëáàð õèéõ
Áàãøèéí òàéëáàðûã îéëãîæ òýìäýãëýõ
Ìàòå
ìàòè
ê òý
ìäýã
ëýãý
ý ¿ã
õýë
ëýãè
éã ç
ºâ ò
îäîð
õîéë
æ õ
ýðýã
ëýõ
áè÷è
æ
òýìä
ýãëý
õ
Ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí Îõ òýíõëýãèéã òîéð÷ ýðãýõýä ¿¿ññýí áèåèéí ýçýëõ¿¿íèéã òîäîðõîéëîõ
Óã òîìú¸îíîîñ ¿¿ññýí ìºðäºë㺺
Õîëáîãäîõ òåîðåìûí ó÷ðûã îëîõ
Ýçýëõ¿¿íèéã òîìú¸îëæ áè÷èæ òýìäýãëýõ
Öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿íèé òîìú¸îã ¿ãýýð õýëýõ А. Öèëèíäðèéí ýçýëõ¿¿í ñóóðèéí äóãóéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñýíòýé òýíö¿¿ ãýñýí ºã¿¿ëáýðèéã òîìú¸îëîõîä ÷èãë¿¿ëýõ
Ýçýëõ¿¿íèéã ¿ãýýð èëýðõèéëñíèéã òîìú¸îëîõ
Б. ºíäºð-h, ñóóðèéí ðàäèóñ-R,ͺõöºë ¸ñîîð
V=π∫0
h
R2 dx=π R2h
Êîíóñûí ýçýëõ¿¿í òîäîðõîéëñîí ºã¿¿ëáýðèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéëýõýä ÷èãë¿¿ëýõ
“Ñóóðèéí ðàäèóñ íü R- òýé ºíäºð íü h – òýé òýíö¿¿ êîíóñûí ýçýëõ¿¿í ñóóðèéí òàëáàéã ºíäðººð ¿ðæ¿¿ëñíèé ãóðàâíû íýãòýé òýíö¿¿” ºã¿¿ëáýðèéã òîìú¸îãîîð èëýðõèéëýõ
Ìýäëýãýý õýðýãëýõ /10 ìèí/
Øèíý ìýäëýãèéã õýðýãëýõ áîäëîãî ñîíãîõ
Áîäëîãûã áèå äààæ áîäîõ Áàãøààñ òàéëáàð àâàõ Äàñãàë¹ 40 à,á
Äààëãàâàð Äàñãàë¹ 40-42
32
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Дараагийн хичээл-13 сэдвийн шалгалт-2 авна шалгалтын материал хавсаргав.Мөн математик сонгон судлах хичээлийн цаг дээр МУИС-ийн МКС-аас гаргасан “Математикийн сорилго” номны 7-р бүлгийн А хувилбарыг бодож өгнө.Б хувилбарыг суралцагчидад бие даалтаар өгнө.
33
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Сэдвийн шалгалт-1
А хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’
1. f ( x )=5 x+2 функцийн эх функцийг ол.
A. x2+2 x B. 5 x2
2 c. x2
5+2 x D. 5 x2
2+2 x
2. F ( x )=sin 5 x функц эх функц нь болох функцийг ол.
A. cos5 x B. cos5 x+C c. cos5 x
5+C D.
−cos5 x5
+C
3. F ( x )=2 x функцийн эх функцүүдийн дотроос (2,5) цэгийг дайрахэх функцийг ол.A. x2+10 B. x2−2 c. x2+3 D. x2+1
4. ∫7 dx=?
A. 7 x+10 B. 7x−2 c. 7x+C D. x2
5. ∫ x3 dx=?
A. 3 x2+C B. x3
3+C c. x4
4+C D. x4+C
6. ∫52 x+1 dx=?
A. 52 x+1+C B. 5x2+x+C c. 52 x+1
2+C D. 52 x+1
2 ln5+C
7. ∫cos2 xdx=?
A.x2+ sin 2 x
4+C B. cos3 x+C c. cos3 x
3+C D.
x2+ sin 2 x
2+C
8. ∫ f ( x )df ( x )=8 x2 бол f ( x )=?
A. 8 x2+C B. 4 x c. 8 x2 D. x2
9. ∫ f (2 x ) dx=g(x ) бол ∫ f ( x )dx=?
A. 2 g (x )+c B. 2 g ( x2 ) c.2 g (2 x ) D. g (2 x )
10. ∫ dx1+x2=?
A. arctgx+C B.arcctgx+C c. arctgx D. arcctgx11. f ' ( x )=2 x−1 ба f (3 )=35 бол f (0 )=? бодолт хий
12. ∫ x ex dx=? бодолт хий.
13. ∫ sinx ∙ ex dx=? бодолт хий.
34
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Б хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’
1. f ( x )=3 x+4 функцийн эх функцийг ол.
A. x3+4 x B. 3 x2
2 c. x2
3+4 x D. 3 x2
2+4 x
2. F ( x )=cos5 x функц эх функц нь болох функцийг ол.
A. sin 5 x B. sin 5 x+C c. sin 5 x
5+C D.
−sin 5 x5
+C
3. F ( x )=3 x2 функцийн эх функцүүдийн дотроос (2,5) цэгийг дайрахэх функцийг ол.A. 3 x2+5 B. x3−3 c. x3+3 D. x3+C
4. ∫8 dx=?
A. 8 x+10 B. 8x−2 c. 8x+C D. x2
5. ∫ x4 dx=?
A. 4 x3+C B. x4
4+C c. x2
2+C D. x4+C
6. ∫62 x+1 dx=?
A. 62 x+1+C B. 6x2+ x+C c. 62 x +1
2+C D. 62 x+1
2 ln6+C
7. ∫sin2 xdx=?
A.x2− cos2 x
4+C B. sin3 x+C c. sin3 x
3−C D.
x2− sin 2 x
2+C
8. ∫ f ( x )df ( x )=18 x2 бол f ( x )=?
A. 6 x2+C B. 36 x c. 18 x2 D. x2
9. ∫ f (3 x ) dx=g( x) бол ∫ f ( x )dx=?
A. 3 g ( x )+c B. 3g( x3 ) c.3 g (3 x ) D. g (3 x )
10. ∫ dx1+x2=?
A. −arctgx+C B.−arcctgx+C c. −arctgx D. −arcctgx11. f ' ( x )=5 x−1 ба f (3 )=20 бол f (0 )=? бодолт хий
12. ∫ x ex dx=? бодолт хий.
13. ∫ cosx ∙ ex dx=? бодолт хий.
35
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Сэдвийн шалгалт-2
А хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’
1. ∫1
2
dx=?
A. 1 B2 c. 0 D.−1
2. ∫ f (x )dx=sin5 x бол ∫0
π10
f ( x )=?
A. 1 B. π10 c.0 D. −1
3. ∫1
5
f ( x )=10 ба ∫5
7
f ( x )=3 бол ∫1
7
f ( x )=?
A. 10 B. 13 c. 3 D. 7
4. ∫1
4
( x2+3 x−4 ) dx=?
A. 31,5 B. 24 c. 24 D. 0
5. ∫1
b
( 3 x2−2 x ) dx=20 b бол b=?
A. −4 B.4 c. 5 D. 5 ,−4
6. ∫1
2 dx√2 x+3
=?
A. √7−√5 B.√7−√53
c.√7−√52
D. 1
7. ∫1
2
73 x dx=?
A.39102ln 7 B. 39102 ∙ ln7 c.
ln 739102 D.39102
8. y=−x2+3ба y=−1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол./ Бодолт хий/9. y=x2 ба y=2 x2−1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол. /Бодолт хий/10. Биеийн хөдөлгөөний хурд хугацааны t агшинд v=15−3 t томъёогоор өгөгдөв. Хугацаа тоолж
эхэлснээс хойш зогсох хүртэл биеийн явах замыг ол. /Бодолт хий/
36
Интеграл нэгж хичээлийн õºòºëáºð Математикийн багш Б.Ариунзул
Б хувилбар 11-р анги хугацаа : 40’
1. ∫1
4
dx=?
B. 3 B2 c. 5 D.−1
2. ∫ f (x )dx=sin7 x бол ∫0
π21
f ( x )=?
B. 1 B. π21 c.0 D. −1
3. ∫1
5
f ( x )=15 ба ∫5
7
f ( x )=6 бол ∫1
7
f ( x )=?
B. 15 B. 21 c. 6 D. 7
4. ∫1
4
( x2+2 x+2 ) dx=?
B. 42 B. 24 c. -42 D. -24
5. ∫1
b
( 3 x2+2 x ) dx=12 b бол b=?
B. −4 B.4 c. 3 D. 3,−4
6. ∫1
2 dx√4 x+3
=?
B. √11−√7 B.√11−√74
c.√11−√72
D. 1
7. ∫1
2
33 x dx=?
B.234ln3 B. 234 ∙ ln 3 c.
ln3234 D.234
8. y=x2+3ба y=7 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол./ Бодолт хий/9. y=x2 ба y=2 x2+1 шугамуудаар хашигдсан дүрсийн талбайг ол. /Бодолт хий10. Биеийн хөдөлгөөний хурд хугацааны t агшинд v=15−5 t томъёогоор өгөгдөв. Хугацаа тоолж
эхэлснээс хойш зогсох хүртэл биеийн явах замыг ол ./ Бодолт хий/
37