MATEMATIKA - ODABRANA POGLAVLJA Zadaci za vjezbu

4. Sturm-Liouvilleov problem

1. Pronadite vlastite vrijednosti i vlastite funkcije S-L problema

U ′′(x) + λU(x) = 0 , 0 < x < π ,U(0) = U(π) = 0.

2. Pronadite vlastite vrijednosti i vlastite funkcije periodicnog S-L problema

U ′′(x) + λU(x) = 0 , − π < x < π ,U(−π) = U(π) ,U ′(−π) = U ′(π).

3. Pronadite vlastite vrijednosti i vlastite funkcije S-L problema(x2Φ′)′ + λΦ = 0 , 1 < x < e ,Φ(1) = Φ(e) = 0.

4. Pronadite vlastite vrijednosti i normalizirane vlastite funkcije S-L problema

a)

Φ′′ + λΦ = 0 , 0 < x < l ,Φ′(0) = Φ′(l) = 0;

b)

Φ′′ + λΦ = 0 , 0 < x < l ,Φ′(0) = Φ(l) = 0;

c)

Φ′′ + λΦ = 0 , 0 < x < 1 ,Φ(0) = Φ(1)− Φ′(1) = 0;

1

MATEMATIKA - ODABRANA POGLAVLJA Zadaci za vjezbu

Rjesenja

1. vlastite vrijednosti: λn = n2, n = 1, 2, 3, · · ·pripadne vlastite funkcije: Un(x) = sinnx, n = 1, 2, 3, · · ·

2. vlastite vrijednosti: λn = n2, n = 0, 1, 2, 3, · · ·pripadne vlastite funkcije: 1, cosnx, sinnx, n = 1, 2, 3, · · ·

3. vlastite vrijednosti: λn =14

+ n2π2, n = 1, 2, 3, · · ·

pripadne vlastite funkcije: Φn(x) =1√x

sin(nπ lnx), n = 1, 2, 3, · · ·

4. a) vlastite vrijednosti: λ = 0, λn =n2π2

l2, n = 1, 2, 3, · · ·

pripadne vlastite funkcije: Φ0(x) =1√l,

Φn(x) =

√2l

cosnπx

l, n = 1, 2, 3, · · · ;

b) vlastite vrijednosti: λn =(2n+ 1)2π2

4l2, n = 0, 1, 2, 3, · · ·

pripadne vlastite funkcije: Φn(x) =

√2l

cos2n+ 1

2lx, n = 0, 1, 2, 3, · · ·

c) vlastite vrijednosti: λ = 0, λn = µ2n, n = 1, 2, · · · ,

pripadne vlastite funkcije: Φ(x) =√

3x, Φn(x) = sinµnx, n = 1, 2, 3, · · · ,gdje su µ1 < µ2 < · · · pozitivni korijeni jednadzbe tg x = x.

2